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Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 10

Grundwissen Mathematik 10. Klasse, Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Seite 1 von 12

1 KREIS und KUGEL

Bogenlänge °

=180

παrb

Das Verhältnis °

=180

πα

r

b heißt Bogenmaß, ist nur vom

Mittelpunktswinkel α abhängig und ist eine andere Möglichkeit,

die Größe eines Winkels anzugeben. Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Bogenmaß 0

6

π

4

π

3

π

2

π

π

2

3π

π2

Bei Winkeln über 360° bzw. π2 beginnen die Sinus- und Kosinuswerte von vorn.

Kreissektorfläche °

=360

2 απrA Kreissegmentfläche A:

„Sektorfläche minus Dreiecksfläche“ Dreieck ist gleichschenklig! A

Kugelvolumen π3

3

4rVK = Kugeloberfläche π24rOK =

3

4

3

π

KVr =

π4

KOr =

2 SINUS und KOSINUS Im Einheitskreis (Radius 1) gilt für den Mittelpunktswinkel α :

Hochwert: y = sinα

Rechtswert: x = cosα


Vergleich der Sinus- und Kosinuswerte in den anderen Quadranten z.B. für °= 30α :

II. Quadrant:

°=°=°−° 30sin150sin)30180sin(

°−=°=°−° 30cos150cos)30180cos(

III. Quadrant:

°−=°=°+° 30sin210sin)30180sin(

°−=°=°+° 30cos210cos)30180cos(

IV. Quadrant:

°−=°=°−° 30sin330sin)30360sin(

°=°=°−° 30cos330cos)30360cos(

Vorzeichen von Sinus und Kosinus:

+ + - +

- - - + Sinus- und Kosinusfunktion x im Bogenmaß (also ohne Benennung) statt im Gradmaß ACHTUNG: Taschenrechner auf RAD umstellen! Alle Werte wiederholen sich im Abstand

π2 (Periodenlänge)


Veränderungen der Sinusfunktion y = a sinx a ist die Amplitude (größte Abweichung in y-Richtung von der Mittellage) und bewirkt also eine Streckung/Stauchung in y-Richtung. hier: a = 1; Amplitude 1 hier: a = 2; Amplitude 2 y = sin(bx)

b verändert die Periode von π2 auf b

π2,

bewirkt also eine Streckung/Stauchung in x-Richtung.

hier: b = 1; Periode π2

hier: b = 2; Periode ππ

=2

2

y = sin(x - c) c bewirkt eine Verschiebung in x-Richtung hier: c = 0 hier: c = 1 also um 1 nach rechts! (Phasenverschiebung) y = sin(x) + d d bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung hier: d = 0 hier: d = 2 also um 2 nach oben!


Beispiel: y = 3sin[2(x - 1)] + 1

Amplitude 3 Periode ππ

=2

2 um 1 nach rechts um 1 nach oben

3 EXPONENTIELLES WACHSTUM und EXPONENTIALFUNKTION lineares Wachstum: exponentielles Wachstum:

axby ⋅+= xaby ⋅= für 1>a

b: Startwert x: Anzahl der Zeiteinheiten a: Wachstumsfaktor ___________________________ Die x-Achse ist Asymptote. ax ist immer positiv und ungleich 0! Wachstum für a>1 Zerfall oder Abnahme für a<1 Jede Funktion mit einem x im Exponenten heißt Exponentialfunktion.


4 LOGARITHMUS

x = logb p ist diejenige Hochzahl (Exponent), mit der man die Basis b potenzieren muss

um den Potenzwert p zu erhalten, also:

logb p = x denn bx = p log2 8 = 3 denn 23 = 8 Sonderfälle: logb 1 = 0 logb b = 1 log10 x = lg x Es gibt nur Basen b>0 und ungleich 1! Rechenregeln für den Logarithmus:

qpqp bbb loglog)(log +=⋅ (Logarithmus eines Produkts)

qpq

pbbb loglog)(log −= (Logarithmus eines Quotienten)

prp b

r

b log)(log ⋅= (Logarithmus einer Potenz)

a

pp

b

ba

log

loglog = (Wechsel der Basis)

Lösen von Exponentialgleichungen z.B. auf beiden Seiten gleiche Basen oder erst noch zusammenfassen: herstellen und dann Exponenten vergleichen:

2

11

22

5,02

11

1

−=

−=+

=

=

−+

+

x

x

x

x

2

93

79

213

73323

7323

2

2

=

=

=

−

=⋅⋅−

=⋅−

−

−

x

x

x

xx

xx

z.B. beide Seiten logarithmieren (z.B. mit Zehnerlogarithmus):

12lg

3lg

2lg

3lg1

3lg2lg)1(

3lg2lg

32

1

1

−=

=+

=+

=

=

+

+

x

x

x

x

x

( )

( )

2lg3lg2

3lg

3lg2lg3lg2

3lg2lg3lg2

2lg3lg3lg2

2lg3lg12

2lg3lg

23

12

12

−=

=−

=−

=−

=−

=

=

−

−

x

x

xx

xx

xx

xx

xx


5 MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE typische Aufgabenstellungen, z.B. beim n-maligen Würfeln:

a) beim n-ten Wurf die erste Sechs: 6

1

6

51

⋅

−n

(Die ersten n-1 Würfe sind keine 6, der letzte schon.)

b) frühestens beim n-ten Wurf eine 6: 16

51

⋅

−n

(Die ersten n-1 Würfe sind keine 6, der letzte Versuch kann eine 6 sein, muss aber nicht!) c) Wie oft muss mindestens geworfen werden, damit mit einer WSK von wenigstens 90% mindestens eine Sechs kommt?

P(„mindestens eine Sechs“) = 1 - P(„keine Sechs“) =

n

−

6

51 muss also %90≥ sein!

≥

≤

⋅

≤

≤

−≥

−

≥

−

6

5lg

1,0lg

1,0lg6

5lg

1,0lg6

5lg

1,06

5

1,06

5

9,06

51

n

n

n

n

n

n

Beachte: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

bedingte WK: )(

)()(

BP

BAPAPB

∩= ist die WK, dass A eintritt unter der Vorbedingung,

dass B gilt; am besten mit Vierfeldertafel:

A A

B )( BAP ∩ )( BAP ∩ )(BP

B )( BAP ∩ )( BAP ∩ )(BP

)(AP )(AP 1


6 GANZRATIONALE FUNKTIONEN

nxaxf ⋅=)( heißt auch Potenzfunktion oder Parabel n-ter Ordnung

Ist n gerade, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Ist n ungerade, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

ganzrationale Funktion, z.B. dritten Grades: )652(25,0)( 23+−−= xxxxf

Zur Nullstellensuche muss man die Gleichung lösen: 0)652(25,0 23=+−− xxx

Finde die erste Nullstelle durch Probieren: z.B. 11 =x

Polynomdivision ergibt die erste Zerlegung des Terms:

6)1(:)652( 223−−=−+−− xxxxxx

Löse 062=−− xx entweder mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel aus der 9. Klasse)

oder mit Satz von Vieta: )2)(3(62+−=−− xxxx

Also heißen die anderen beiden Nullstellen: 32 =x und 23 −=x

Somit kann man die Funktion auch komplett in Linearfaktoren zerlegen:

)2)(3)(1(25,0)( +−−= xxxxf

Arten von Nullstellen: einfache Nst.: schneiden die x-Achse; gehören zu einem einfachen Linearfaktor: f(x) = (x + 2)(x - 1) x1 = -2 x2 = 1


doppelte Nst.: berühren die x-Achse; gehören zu einem zweifachen Linearfaktor: f(x) = (x - 3)² x1 = x2 = 3 dreifache Nst.: berühren und schneiden die x-Achse gehören zu einem dreifachen Linearfaktor: f(x) = (x - 1)³ x1 = x2 = x3 = 1 Symmetrie von Funktionen f(-x) f(x) f(-x) f(x)

f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung


Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen: Nur der Grad (höchster vorkommender Exponent) entscheidet zusammen mit dem davor stehenden Faktor (Koeffizienten): f(x) = 0,5x3 - 1,5x + 1 Das 0,5 ist positiv, also kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oben.

±∞=±∞→

)(lim xfx

g(x) = -x4 - 2x3 + 2x +1 Das Minus vor dem x4 ist negativ, also kommt der Graph von links unten und geht nach rechts unten.

−∞=±∞→

)(lim xfx

Grobverlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion z.B. f(x) = 2 (x + 2) (x - 1)² (x - 2) Der Grad ist 4 (höchster Exponent nach dem Ausmultiplizieren). Koeffizient 2 ist positiv, also kommt der Graph von links oben und geht nach rechts oben, d.h.

+∞=±∞→

)(lim xfx

x1 = -2 ist einfache Nst., also Schnittstelle x2 = 1 ist doppelte Nst., also Berührstelle x3 = 2 ist einfache Nst., also Schnittstelle Dann muss der Graph zwangsläufig etwa so verlaufen:


7 Das Verhalten z.B. einer gebrochen-rationalen Funktion im Unendlichen:

falls +∞=±∞→

)(lim xfx

, so heißt f divergent

falls axfx

=±∞→

)(lim , so heißt f konvergent gegen die feste Zahl a

z.B. 5

12)(

2

2

+

+=

x

xxf Nenner immer positiv, also RD f =

Zähler immer ungleich 0, also keine Nullstellen

=

+

+

=±∞→±∞→

2

2

2

2

51

12

lim)(lim

xx

xx

xfxx

21

2

51

12

lim

2

2

==

+

+

±∞→

x

x

x also: waagrechte Asymptote y = 2

TRICK: höchste Nennerpotenz ausklammern und kürzen! Die Brüche, die nur im Nenner ein x enthalten, werden alle 0!!! y = 2 Gf


8 Der Einfluss von Parametern im Funktionsterm auf den Graphen

am Beispiel 2)1()( 2+−= xxf (Scheitelform! also S(1/2)) oder 32)( 2

+−= xxxf

a) Verschiebung in y-Richtung Verschiebung in y-Richtung nach oben: f(x) + d, falls d > 0 Verschiebung in y-Richtung nach unten: f(x) + d, falls d < 0 f(x) +1 = (x - 1)² +2 + 1 = (x - 1)² + 3 S(1/3) f(x) - 2 = (x - 1)² +2 - 2 = (x - 1)² S(1/0) Hänge das d hinten ans Ende des Funktionsterms an! b) Verschiebung in x-Richtung Verschiebung in x-Richtung nach rechts: f(x - b), falls b > 0 Verschiebung in x-Richtung nach links: f(x - b), falls b < 0 f(x - 1) = (x - 1 - 1)² +2 = (x - 2)² + 2 S(2/2) f(x -(-2)) = (x + 2 - 1)² +2 = (x + 1)² + 2 S(-1/2) Ersetze jedes x im Funktionsterm durch das (x - b) ! c) Strecken oder Stauchen in y-Richtung Strecken in y-Richtung mit dem Faktor c: c f(x), falls c > 1 Stauchen in y-Richtung mit dem Faktor c: c f(x), falls 0 < c < 1 2 f(x) = 2 [(x - 1)² +2] = 2 (x - 1)² + 4 S(1/4) 0,5 f(x) = 0,5 [(x - 1)² +2] = 0,5 (x - 1)² + 1 S(1/1) Schreibe den Faktor c vor den ganzen Funktionsterm!


d) Strecken oder Stauchen in x-Richtung Strecken in x-Richtung mit dem Faktor a: f(ax), falls 0 < a < 1 Stauchen in x-Richtung mit dem Faktor a: f(ax), falls c > 1 f(0,5x) = (0,5x - 1)² +2 = [0,5 (x - 2)]² +2 = 0,25 (x - 2)² + 2 S(2/2) f(2x) = (2x - 1)² +2 = [2 (x - 0,5)]² + 2 = 4 (x - 0,5)² + 2 S(0,5/2) Ersetze jedes vorkommende x im Funktionsterm durch ax! e) Spiegeln des Graphen Achsenspiegeln an der x-Achse: -f(x) Achsenspiegeln an der y-Achse: f(-x) Punktspiegeln am Ursprung: -f(-x) -f(x) = - [(x - 1)² + 2] = - (x - 1)² - 2 S(1/-2) f(-x) = (-x - 1)² + 2 = (x + 1)² + 2 S(-1/2) -f(-x) = - [(-x - 1)² + 2] = -(x + 1)² - 2 S(-1/-2) Schreibe das „-“ vor den ganzen Term bzw. vor jedes vorkommende x bzw. beides!

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