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Was ist Mathematik? Didaktik der Mathematik

Referenten: Luise Mielke und Martin Herold

Dozent: Professor Jahnke

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Gliederung

1. Überblick2. Diskussionsrunde

Was ist Mathe Anwendung Notwendigkeit Gebiete Gefühle

3. Was denkt wer über Mathematik? 4. Darf ich vorstellen: Mathematik 5. Geschichtlicher Abriss

3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Fibonacci, Euler, Gauß, Cantor – Damals und Heute

6. Aufbau einer jeden Mathematik7. Mathematische Teilgebiete8. Instrumente der Mathematik – Damals und Heute 9. Mathematik ist nützlich: Anwendungsbereiche der Mathematik10. Was ist ein Mathematiker?11. Reflexion der Diskussionsrunde

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2. Diskussionsrunde Was ist Mathematik

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2. Diskussionsrunde Anwendung

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2. Diskussionsrunde Notwendigkeit

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2. Diskussionsrunde Gebiete

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2. DiskussionsrundeEure Gefühle für Mathematik

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• „Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.“ (M.W. Lomonossow)

• „Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.“ (Jean-Jacques Rousseau)

• „Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.“ (Georg Cantor)

• „Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.“ (Jakob I. Bernoulli)

3. Was denkt wer über Mathematik?

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• „Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat.“ (Jules Verne)• „Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.“ (Leonardo da Vinchi)• „Alles was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.“ (Rene Descartes) • „Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen.“ (Galileo Galilei)• „Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“ (Galileo Galilei)• „Math is like Ophelia in Hamlet — charming and a bit mad.“ (Alfred North Whitehead)

3. Was denkt wer über Mathematik?

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4. Darf ich vorstellen: Mathematik

• Altgriechisches Verb: manthánō : „Ich lerne“• Griechisches Adjektiv: mathēmatikē : „zum Lernen gehörig“• „Wissenschaft welche aus der Untersuchung von Figuren und

dem Rechnen mit Zahlen entstand“ • Bis heute ist keine allgemeingültige Definition existent• Auch streitet man darüber ob Mathematik zu den

Naturwissenschaften gehört, oder vielleicht sogar zur Philosophie

• Auf jeden Fall gilt sie als die älteste „Wissenschaft“• Mathematisches Grundverständnis gilt als Vorraussetzung zum

Verständnis aller Geistes- und Naturwissenschaften (frei nach Platon)

• Deduktiver Charakter von der Hypothese zur Schlussfolgerung

Luise

3.) Sehr diplomatisch formuliert, denn hier wird keine Aussage über den Charakter unserer jetzigen Mathematik gemacht.5.) Die Mathematik benutzt nicht die gleichen Verfahen, die in den anderen Naturwissen-schaften angewandt werden. Ergebnisse werden nicht aus Beobachtungen erschlossen. Auch wirft sie viele philosophische Probleme auf. Zahlreiche Mathematiker waren zugleich Philosophen.7.) Platon hatte über seiner philosopischen Universität ein Schild mit der Aufschrift: "Nur wer der Geometrie mächtig ist, vermag diese Schwelle zu übertreten"

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• Mathematik ist kumulativ Alles baut aufeinander auf• mittlerweile derart viele spezielle Teilgebiete

unmöglich die gesamte Mathematik zu kennen• Mathematiker spezialisieren sich deshalb nur auf wenige

Teilgebiete• Ziel: Finden einer interessanten ewigen Wahrheit• einmal streng logisch bewiesen: zeitlose Wahrheit

einmal Mathematik, immer Mathematik exakte Wissenschaft

• Mathematiker arbeiten heutzutage innerhalb inter-nationaler Netzwerke zusammen, denn bis jetzt und in nächster Zukunft gilt es noch viele mathematische Probleme zu lösen


Luise

4.) Diese Sicht auf die Mathematik als endgültige Wissenschaft ist sehr umstritten. Frühere Mathematiker machten viele Fehler und führten manchmal ungenaue Beweise. So mussten/ konnten schon einige Entdeckungen widerlegt werden. Trotzallem macht die Mathematik auf die Menschen einen sehr fixierten Eindruck.

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• Die Sprache der Mathematik besteht aus Formeln und Fachbegriffen• Obwohl sie die grundlegendste aller Wissenschaften ist, gibt es für sie keinen Nobelpreis• Mathematik ist allgegenwärtig (vgl. Anwendungsgebiete) • Mathematik polarisiert seit Jahrhunderten die Menschheit entweder man hasst sie, oder man liebt sie


Luise

2.) Angeblich soll Alfred Nobel wegen eines Mathematikers von seiner Verehrten zurückgewiesen worden sein. Aus Groll hat Herr Nobel der Mathematik keinen Nobelpreis gewidmet. Dies ist nichts weiter als eine nette Anekdote, die sich als falsch erwiesen hat. Heutzutage gibt es eigens für die Mathematik gestiftete Preise, wie den Abel-Preis und die Fields-Medaille, die nur Mathematiker, die unter 40 Jahre alt sind erhalten dürfen.

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5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik

Kurzer Zeitablauf:• Babylonien 3000 - 700 v.Chr• Ägypten 3000 - 1600 v.Chr.• Griechenland 600 - 100 v.Chr.• Griechisch-Römisches Imperium 150 - 525 n.Chr.• Islamische Welt 750 - 1450 n.Chr.• Westliche Welt 1100 - 1600 n.Chr.• Moderne 1600 n.Chr. - Heute

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Babylonien 3000 - 700 v.Chr

• Zahlen basieren auf einem Hexadesinal System• Es können alle natürlichen Zahlen dargestellt werden• Und Rationale Zahlen mit Nenner mit Primfaktorzerlegung 2,3,5

enthalten.• Besaßen Geometrisch Aufgaben von Typ:

Man hat x Meter Zaun und muss eine Fläche Y umschließen, wie müssen a und b geschaffen sein.

• Erste Aufgaben ohne Zweck nur zum Rechnen üben• Rechneten überwiegend mit Multiplikationstabellen

Martin Herold

Hexadesinal Systemx=y*60^k mit y und k Element der natürlichen ZahlenDarausfolgt 61=1*60^1+1*60^0 oder 3601Die Darstellung ist deshalb wichtig.

Martin Herold

Vorher wurden nur mathematische Aufgaben zur Lösung von Problemen erdacht.

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Martin Herold

Hier sieht man zwei Darstellungen von Multiplikationstabellen.Die Linke zeigt Zahlen von 1-99 Die Recht eine Aufgabe

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Ägypten 3000 - 1600 v.Chr.

• Zahlen basieren auf einem Dezimalsystem• Es können alle natürlichen Zahlen dargestellt werden• Und Rationale Zahlen mit Zähler 1 • Brüche von anderem Typ müssen in Stamm Bruchdarstellung

geschrieben werden • Konnten bereits Volumen der Pyramiden exakt bestimmen• Lineare und Quadratische Gleichungen konnten geometrisch

gelöst werden Begründung der Geometrischen Algebra• Erste Aufgabensammlung in den Papyrus-Rind und

Papyrus-Moskau

Martin Herold

Also ist 2/5=1/3+1/15

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Martin Herold

Abbildung des Papayrus Moskau

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Griechenland 600 - 200 v.Chr.

Vertreter:• Thales von Milet• Pythagoras und die Pythagoreer• Hippasos von Metapont• Eudoxos• Aristoteles• Hippokrates• Euklid• Archimedes

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Thales von Milet

Formulierter mehrere geometrische Sätze

Unter anderem: Satz des Thales

Martin Herold

Alle Dreieck in einem halbierten Kreis haben immer einen Rechtenwinkel.

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Pythagoras und die Pythagoreer

• Die Zahl rückt in den Mittelpunkt.• Prägen den begriff der „Kommensurabilität“ • „Zwei gleichartige Größen besitzen steht eine „Einheit“, so dass

Die Größen ein Verhältnis haben.“

Seinen G1 und G2 gleichartig ex. Einheit e, so dass

m*e = G1 und n*e = G2 G1 : G2 = m : n

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Hippasos von Metapont

• Entdeckte als erster Inkommensurable Größen im Ordenszeichen der Pythagoreer

d/s ≠ Qs

d

Martin Herold

Hippasos zeigt auf altgriechische Art das es keine kleine Einheit e zwischen s und d gibt, so dass m*e=s und n*e=d

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Eudoxos

• Löst Problem durch das „Prinzip des Eudoxos“

a : x = x : b a/x = x/b x = ab x = ab

• Diese Anschauung löst Problem der Quadrate ohne die Wurzel zu betrachten

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√wir

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Euklid

• Schrieb die „Elemente“, ist eine Zusammenfassung der bekannten Mathematik in 13 Büchern

• Aufbau: Axiome, Postulate, Beweise• Buch I Geometrie• Buch VII Mengentheorie• Buch XIII Platonische Körper

Martin Herold

Die Elemente von Euklid sind die ersten Bücher über Mathematik indem aus Axiomen,... Schlüße gezogen wurden.

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Leonardo von Paris, Filius Bonacci (Sohn des Bonacci)geschätzte Lebensdaten 1180-1240

• Rechenmeister aus Paris Bedeutendster Mathematiker des Mittelalters• Bereiste Mittelmeerraum und arabische Länder• Schrieb 1202 die Erkenntnisse der Reisen über Algebra und Arithmetik in seinem Werk Liber Abaci (Buch des Rechnens) nieder• Darin beschrieb er auf Latein die schriftlichen Rechenverfahren, die wir heute in der Grundschule erlernen

5. Geschichtlicher Abriss Leonardo Fibonacci

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• Führte die arabische Schreibweise der Zahlen in Europa ein, und löste damit die Römische ab• Fibonacci Folge:

fn=fn-1+fn-2 f1=1, f2=1

Quotient zweier Folgeglieder konvergiert gegen goldenen Schnitt

5. Geschichtlicher Abriss Leonardo Fibonacci

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Die Fibonacci-Spirale

Luise

Die Fibonacci-Spirale. Das große Rechteck wird an der langen Seite im goldenen Schnitt geteilt. So wird ein Quadrat mit der Seitenlänge des kleineren Teils vom Rechteck abgezogen (rechts). Das unter dem Quadrat entstandene Recheck durchläuft dieselbe Prozedur nur über Kopf gestellt. Dieser Prozess setzt sich fort. Fängt man nun in der unteren rechten Ecke an und verbindet jeweils die gegenüberliegenden Ecken miteinander, ensteht die sogenannte Fibonacci-Spirale. Diese ist auch in der Natur zu finden, zum Beispiel ordnet die Sonnenblume ihre Samen in Form der Spirale an.

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1607-1665

• Französischer Jurist

• Freizeit-Mathematiker

• Studierte die Schriften von Euklid und Apollionus

• befasste sich mit der Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung

und Differentialrechnung

• Untersuchte Minimum und Maximum sowie die Zusammensetzung

und Zerlegung von Zahlen

5. Geschichtlicher Abriss Pierre de Fermat

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• Und trug damit einen wesentlichen Teil zur Entwicklung der analytischen Geometrie bei• Nach ihm sind die Fermat`schen zahlen und der kleine und große Fermat`sche Satz benannt• Fermats großer Satz: a^n+b^n=c^n kann nur für n=2 gelten• Großer Satz konnte erst 300 Jahre später durch Andrew Whiles bewiesen werden (jedenfalls die Theorie dahinter)

5. Geschichtlicher Abriss Pierre de Fermat

Luise

Andrew Whiles konnte für seinen Beweis die Fields-Medaille nicht erlangen, da zur Zeit des Beweises zwar noch unter 40, zur Zeit der Verleihung, (alle 4 Jahre) schon über 40 war.

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1707-1783 Basel / Schweiz

• Studierte bei Johann Bernoulli• Erblindete 1771 forschte trotzdem noch weiter• viele mathematische Symbole (Summenzeichen, e) gehen auf ihn zurück• gilt als Begründer der Analysis• Beschäftigte sich mit Differential- und Integralrechnung, Zahlentheorie, Algebra• Insgesamt gibt es 866 Publikationen von Euler, darunter:

5. Geschichtlicher Abriss Leonhard Euler

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• "Introductio in analysin infinitorum" 1748 Begriff der Funktion f(x)• Über 50x Euler: Eulersche Zahl: e; Eulerschen Relation: e^iπ+1=0 • "Lettres à une princesse d'Allemagne" (1768) Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie• „Euler fehlte nur eine Eigenschaft zu einem vollkommenen Genie: nämlich unverständlich zu sein.„ (Georg Ferdinand Frobenius 1917) • Euler erfand das Mathematik-Rätsel-Spiel Soduko

5. Geschichtlicher Abriss Leonhard Euler

Luise

In seinem Werk: "Lettres á une princesse d`Allemagne" beschrieb er in Form von Briefen an eine junge Frau die Grundideen der Physik, Astronomie, Mathematik, Philosophie und Theologie. Diese galten als gut verständlich, daher das Zitat von Frobenius

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•1777-1855 Braunschweig/ Deutschland

•Gilt als Fürst der Mathematiker • Motto: 'Pauca sed matura' (Weniges, aber Reifes) • Konnte eher rechnen als sprechen (er über sich)• Soll bereits mit 3 Jahre die Lohnabrechnung seines Vaters korrigiert haben, galt als wahres Wunderkind, deswegen gefördert und unterstützt

• Grundschule: benutzte Summenformel:

s=n(n+1)/2 (der kleine Gauß)

5. Geschichtlicher Abriss Carl-Friedrich Gauß

Luise

Über Gauß sagt man er arbeitet wie einen Fuchs. Wie ein Fuchs mit seinem Schwanz seine Fährte verwischt, verwischte Gauß nach jeder Erkenntnis den Weg der ihn dort hin gebracht hat. So viel es vielen, die sich mit seinen Werken befassten, schwer seinen Gedankengängen zu FolgenUnterstützt wurde er vor Allem vom damaligen Herzog von Braunschweig

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• Entwickelte die Methode der kleinsten Quadrate (Flächeninhaltsberechnungen), bewies Fundamentalsatz der Algebra (1799), konstruierte mit Zirkel und Lineal regel- mäßiges 17-Eck, entwickelte Anwendung unendlicher Reihen (Wesen der Analysis)• 1801: Disquisitiones Arithmeticae - Zahlentheorie• Mit 19 vermass er im Auftrag des Königs Georg IV dessen Reich Hannover • Nach im benannt: Gaußsche Glockenkurve, Eliminationsverfahren

5. Geschichtlicher Abriss Carl-Friedrich Gauß

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Luise

Ein Ausschnitt des ehemaligen 10 DM-Scheins auf dem Gauß und seine Glockenkurve abgebildet waren.

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Luise

Man geht davon aus, das die Intelligenz unter den Menschen normalverteilt ist. So lässt sich hier die Gauß`sche Glockenkurve anwenden. Aus ihr lässt sich unter Anderem ablesen, dass wenn man einen IQ von 100 besitzt, man ungefähr so intelligent ist wie 50% der aller Anderen. 50% aller Menschen haben den gleichen oder einen kleineren IQ. Bei einem IQ von 130 haben nur 2,3% der Menschen einen höheren IQ.

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• 1845-1918 deutscher Mathematiker

• Schüler von Weierstrass und Kronecker• Litt seit dem 41 Lebensjahr an manischer Depression • Gilt als Begründer der Mengenlehre • Beschäftigte sich mit Äquivalenz, Mächtigkeit und Abzählbarkeit von Mengen und entwickelte das noch heute verwendete Diagonalverfahren

5. Geschichtlicher Abriss Georg Cantor

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• Entwickelte Theorie der Kardinalzahlen, bewies Überabzählbarkeit der • reellen Zahlen• Zeigte auch Interesse an Philosophie und Literaturwissenschaft suchte nach wahrem Autor der Shakespeare Stücke• War Mitbegründer und Vorsitzender der deutschen Mathematiker-Vereinigung (1890)• "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." (David Hilbert)

5. Geschichtlicher Abriss Georg Cantor

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Das Diagonalverfahren

Luise

Mit diesem Verfahren läßt sich die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen anschaulich zeigen. Würde man unendlich lange den Pfeilen folgen würde man eine jede rationale Zahl gezählt haben ohne zwischendrin eine auszulassen.

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6. Aufbau einer jeden Mathematik

• Alles beginnt bei den Axiomen Grundsatz, als gültig anerkannt muss (kann oft) nicht bewiesen werden

• Aus den Axiomen werden Aussagen hergeleitet, die sich, einmal streng logisch bewiesen, Satz nennen dürfen

• Die wichtigsten Sätze sind Fundamentalsätze• Zum Beweis des Satzes werden häufig Lemmata (Hilfssätze

zu gezogen)• Lemmata beweisen „einfache“ aber nicht triviale Tatsachen

der Mathematik, welche Vorraussetzungen für ein Satz darstellen

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• Definitionen, auf Eigenschaften eines Sachverhaltes basierende Benennung/ Bezeichnung• Einfache Schlussfolgerungen aus den Sätzen und Definitionen nennt man Korollar (lat. Die Zugabe) Beweise folgen auf Grundlage des Satzes und sind oft mit wenig Zeitaufwand durchführbar

6. Aufbau einer jeden Mathematik

Luise

Dieser axiomatische Aufbar existiert oft nur in der Theorie. Mit einem praktischen Blick auf die Mathematik ist sie jedoch nicht so einfach zu strukturieren.

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Geometrie

Arithmetik

Algebra

Mengenlehre

Analysis

Differenzial-/Integralrechnung

Diff. Gleichungusw.

Topologie

usw.

Funktionen-theorie

Numerik

7. Mathematische Teilgebiete

Martin Herold

Diese Aufteilung ist nicht als feststehen zu verstehen, da sich aus einzelnen Teilgebieten auch Gebiete aus anderen Bereichen entwickelt haben.Zum BeispielTopologie ist ebenfalls Bestandteil der Analysis.

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7. Mathematische Teilgebiete

Bis 1868 gab es folgende Forschungsgebiete

● Geschichte und Philosophie ● Analytische Geometrie ● Algebra ● Synthetische Geometrie● Zahlentheorie ● Mechanik● Wahrscheinlichkeitsrechnung ● Mathematische Physik● Reihen ● Geodäsie und Astro.● Diff.- / Integralrechnung● Funktionentheorie

und 38 Unterabteilungen

1979 bereits ca. 4000

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8. Instrumente der Mathematik – Damals und Heute

• Kopf? Finger? Sand?.... Tafel? Kreide?... Zettel? Stift?

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Während Archimedes in die Mathematik vertieft Formeln in den Sand schreibt , bemerkt er nicht, dass hinter im der Krieg beginnt

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• Kopf? Finger? Sand?.... Tafel? Kreide?... Zettel? Stift?• „Mathematik wird mit einem Minimum an Instrumenten und

einem Maximum an Hirntätigkeit betrieben“ klassische Sicht

• Minimum der Instrumente:• Schreibutensil wichtig zur Verbreitung und Überlieferung• Lineal und Zirkel Konstruktionen in der euklidischen

Geometrie (zur Konstruktion regelmäßiger n-Ecke)• Abakus (Rechentafel, 1100 v. Chr. Erfunden) Arithmetik)

Luise

5.) Noch zu nennen ist ein Winkelmesser, den wir besonders in der Geometrie sehr oft verwenden.

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Geometrie• Abakus (Rechentafel, 1100 v. Chr. erfunden) Arithmetik• Rechenschieber Multiplikation/ Division

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Der Rechenschieber(Anfang 20. Jahrhundert)

Luise

Mit einem Rechenschieber liessen sich je nach Ausführung nicht nur Multiplikation und Division durchführen sondern auch Wurzeln und Logarithmen berechnen.

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Geometrie• Abakus (Rechentafel, 1100 v. Chr. erfunden) Arithmetik• Rechenschieber Multiplikation/ Division)• Taschenrechner (Berechnung von Wurzeln, Logarithmen

etc.) • Computer kann dem Mathematik-Betreibenden viel Arbeit

abnehmen (Maple), ist deswegen aber auch manchmal verpönt. Dient weiterhin zur Veranschaulichung

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9. Mathematik ist nützlich: Anwendungsbereiche der Mathematik

Intergal- und Differenzialrechung Physik (Mechanik)

Vektorgeometrie Physik, Architektur

Variationsrechnung Physik (Beschreibung (Lagrange) komplexer Bewegungsprozesse

Reihenentwicklung Approximation von Funktionen (Taylor, Fourier) Geologie, Physik

Martin Herold

Zu den Augenscheinlich wichtigen Bereichen kommen noch Bereiche in denen die Mathematik eine sehr wichtige Rolle, wie zum Beispiel Kodierung in Binaercodes für die Computer oder Optimierung von Zeitabläufen bei der Bahn. (mehr oder weniger)

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Taylorreihe

Martin Herold

Beispiele für die Reihenentwicklung

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Fourierreihe

Grad n=10 Grad n=30

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Grad n=50 Grad n=70

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Intergal- und Differenzialrechung Physik (Mechanik)

Vektorgeometrie Physik, Architektur

Variationsrechnung Physik (Beschreibung (Lagrange) komplexer Bewegungsprozesse

Reihenentwicklung Approximation von Funktionen (Taylor, Fourier) Geologie, Physik

Stochastik Wirtschaft, Physik (Quantenphysik)

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Numerik

Binärzahlen Computerkodes


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Binärzahlen

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Numerik


Permutation Kryptographie


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Kryptographie

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Numerik


Permutation Kryptographie

Sphärische Geometrie Landvermessung


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10. Was ist ein Mathematiker?

Drei Richtungen des Mathematischen Denkens

Platonismus:

• Mathematische Objekte sind real. (Unendliche Mengen, raumfüllende Kurven) • Objekte sind unveränderlich • Jede sinnvolle Frage über Objekte hat präzise Antwort• Für Platonisten ist Mathematik eine empirische

Wissenschaft, sie kann nichts erfinden was nicht da ist. Es bleibt nur vorhandenes zu entdecken.

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Formalismus:

• Mathematiker geht davon aus, dass es solche Objekte nicht gibt • Mathematik besteht aus Axiome, Definitionen und Sätzen Also aus „Formeln“• Formeln geben keine Auskunft über ihren Inhalt, weis zwar

das seine Umformungen in anderen Gebieten Anwendbar sind interessiert sich aber nicht dafür.

• Formel hat unabhängig vom Wahrheitswert der Aussage keine Bedeutung

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Konstruktivismus:

• Für Konstruktivist ist echte Mathematik, was sind durch endliche Konstruktion erzeugen lässt

• Menge der reelen Zahlen ist nicht Existent

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Der „Ideale“ Mathematiker

• Versteckt sich in seiner dunklen Kammer• Zurückgezogen• Beschäftigt sich mit einem Thema, das nur 100 Leute

kennen und 12 verstehen• Flüchtet sich bei Diskussionen in Formalismen• Spricht auch im normalen Leben in mathematischer Sprache• Seine Hilfsmittel sind Stift und Kopf• Hält sein Gebiet für das wichtigste überhaupt• Fühlt sich nur wohl, wenn 80% des Tages mit nachdenken

verbringen kann, selbst im Schlaf

Martin Herold

Dies sind lediglich Vorurteile mit denen ich mich in meinem Studium konfrontiert sehr.

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Was der reale Mathematiker sein sollte

• Weltoffen• Beschäftigt sich nebenbei noch mit anderen Teilgebieten• Ist auch einwenig philosophisch• Hält den Kopf für wichtig, weis aber auch andere Medien zu

nutzen (wie Computer)• Kann sein Forschungsgebiet anschaulich erklären, da es ihm

auch um die Weitergabe seines Wissens geht • Kann Diskussionen folgen ohne sich in Formalismen zurück

zu ziehen• Ist bereit auch andere Meinungen und Beweisideen

annehmen und daraus lernen• Hält seinen Tag für zu kurz und von Nacht wollen wir hier gar

nicht erst reden

Martin Herold

Dies sind Eigenschaften sind nur MEINER MEINUNG nach Eigenschaften einer Guten Mathematikers.

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11. Reflexion der Diskussionsrunde

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“Mathematics may be defined as the subjectin which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.”

"So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist."

Bertrand Russell

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Quellen

• www.turing.org.uk/turing/scrapbook/ww2.html• www.cs.swan.ac.uk• homepages.tesco.net• www.uuxp.com/cx/img/ascii.gif• www.pohlig.de/Mathematik/Taylor/taylor31.gif• homepage.ruhr-uni-bochum.de/.../bw5.JPG• www.wikipedia.de• http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik• http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F• http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler• http://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor• http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci• http://de.wikipedia.org/wiki/Fermat• www.mathematik.de• http://www.kk.s.bw.schule.de/mathge/euler.htm• http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html• www.genie-gauss.de• http://www.mathematik.ch/mathematiker/fermat.php• www.mathematik.ch/mathematiker/cantor.php• www.fonline.de/rs-ebs/geschichte/ges4.htm

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