A. Wynands, Uni Bonn 1 1 – 0 - π - e - i … Anmerkungen zur Mathematik-Didaktik am Beispiel π,...

A. Wynands, Uni Bonn 1

1 – 0 - π - e - i …

Anmerkungen zur Mathematik-Didaktik am Beispiel π, e und i

μάθημα - διδάσκω


Gliederung 1. Absicht und Leitgedanken – Mathematik & (Entwicklungs-, Lehr- / Lern-) Psychologie & Pädagogik

Mathematik-Didaktik

2. Ein Beitrag zur Frage: Was sollte Lernenden und Lehrenden im MU und in der Lehrerausbildung Mathe. Sek I / II angeboten werden?

3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (!) / Sek II (?) - Aufforderung zum Nach- und Mitdenken__________________________________________________________________________________________

1.1 Mathematik hat Geschichte … auf den Schultern von Giganten: Thales v. Milet 624 – 546 Pythagoras um 570 - nach 510 Euklid 360 – 280 Archimedes um 287 – 212

L. Euler 1707 - 1783 Carl Friedrich Gauß 1777-1855

1.2 Algebraische „Leitidee“ der Zahlentwicklung I, ١, , 1; 1 + 1 +1 + … N o (ỏυδεν (UDEN = leer /nichts) Ist a + x = b immer lösbar? ja in Z Ist a*x = b immer lösbar? ja in Q (+,*) - minimaler Körper mit unendlich vielen El. (Char. 0) Q „dicht mit Lücken“ R (+,*) – dicht, lückenlos, angeordnet … 1 + x*x = 0 soll Lösung haben – Adjunktion der Lösung C(+,*) algebraisch abgeschlossener Körper


2. Ein Beitrag zur Frage: Was sollte Lernenden und Lehrenden im MU und in der Lehrerausbildung Mathe. Sek I / II angeboten werden?

Schule: ideal / realAusschnitt aus … einer Ausstellungder „Schule von Athen“ „Mathematik zum Anfassen“


Zahl und Zeichen: Striche / Kerben … Bündel IIII| IIII| IIBabylon Maya

Römer I II III IV V … X L C D M


0 – ουδεν (gr.) = nichts - Ptolemäus 367/66 - 283/82

Zahl „Null“ zum Zählen und Rechnen 0 1 2 3 … Zahl + 0 = Zahl Zahl * 0 = 0

1 + x = 0 „negative“ Zahlen R. Descartes, 1596-1650 „falsche“ – Zahlen

L. Kronecker, 1823 - 1891 „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere [in der Mathematik] aber ist Menschenwerk“

Ziffer – Erfindung! – vgl. Georg IFRAH: Universalgeschichte der Zahlen, Campus Verlag, Frankfurt/New York, 1991; - http://de.wikipedia.org/wiki/Null#Babylonier


„Kreiszahl“ π - „Quadratur des Kreises“

Bodenplatte in Sardes / TR Säulen des Artemistempels in Sardes O – Skulptur München / Nähe Hbf


Definition für „π“ ?

Im MU:

Verhältnis von Kreis-Umfang zum Kreis-Durchmesser. π :=

In Uni:

12

0

2 2

: 14

: 1 ( ) ; 1

: 4 arctan1

x dx

dydx y x

dx

u

d


Wie groß ist π ? 1. Kön 7,23 und 2.Chr 4,2: aus Lutherbibel (1984) –Salomon-Tempel in Jerusalem ca. 1000 v.Chr.

„Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum andern 10 Ellen breit, ganz rund, fünf Ellen hoch, und eine Schnur von 30 Ellen konnte es umspannen.“

3


Im Papyrus Rhind Quadratur der Möndchen ca. 1800 v.Chr. - Hippokrates v. Chios 5 Jh. v. Chr.

π ca.

Heute kennt man mehr als 1 000 000 000 000 Dezimalziffern von π

Die Möndchen des Hippokrates

Man kann zeigen, dass die beiden gelben Halbmonde zusammen denselben Flächeninhalt haben wie das Dreieck. Können Sie das auch?

A B

C

M

Mb Ma

74 3,11

9


Archimedes (287-212 v. Chr.) versucht die „Quadratur des Kreises“ mit „Ausschöpfung“ durch 6-, 12-, … 96-Eck

2

22

2 4

26 2

n

Sehnen s und Höhen h im Einheitskreis:

( ) 12

1, 2 4

uUmfang: :

2 2

n

n

s

s

nn

n n

nn

sh

s s s

sn

Sehne_s2n

Radius_1

halbe_sn

Höhe_hn


Vieta (1540 -1603):

4 2

1 1 1,

2 2 2

Flächeninhalt: 2

n n

n nn

h h h

s hA n


Wallis (1616-1703) 4 3 3 5 5 7 7 9 9......

2 4 4 6 6 8 8 10

Brauncker (1620-1684)2

2

2

4 11

32

52

72

...2

..................................

Gregory (1638-1675) und Leibniz (1646-1716)

1 1 1 1arctan(1) 1 ... .......

4 3 5 7 9

Euler (1707-1783) 2

2 2 2 2

1 1 1 1.................

61 2 3 4


Von welcher „Zahl-Art“ ist π ?

Lambert (1761): π ist irrational

Lindemann (1882): π ist transzendent---------------------------------------------

Wallis, …, Euler, …,Lindemann,… haben ihren Platz in (Mathe.-) Vorlesung, (Didaktik-) Seminaren und Examensarbeiten


π im Mathematikunterricht

– z.B. Maßstab/SEKUNDO


Geschichte(n) im MU - Aus (m)einem Schulbuch: Wer kannte mehr als 3 Ziffern von π? Was findest du dazu im www?

A. Wynands: KMK-Standards -MNU 20.11.2006

9. Kl.


Mehr „Archimedisches“ besonders im Gymnasium … Approximation, Konvergenz (-Geschwindigkeit) - Erlebnis Frage: „Wie viel Termumformung braucht der Mensch?“ Antwort: Im MU (9. Kl.) Gy so viel …

2

22

2 4

26 2

n

Sehnen s und Höhen h im Einheitskreis:

( ) 12

1, 2 4

uUmfang: :

2 2

n

n

s

s

nn

n n

nn

sh

s s s

sn

Sehne_s2n

Radius_1

halbe_sn

Höhe_hn


Vom n-Eck- zum Kreisumfang1. Versuch mit…

führt zu einer Subtraktions-Katastrophe n Ecken

6 1,00E+00 3,0000000

12 5,18E-01 3,1058285

24 2,61E-01 3,1326286

48 1,31E-01 3,1393502

96 6,54E-02 3,1410320

22 4s s

50.331.648 1,25E-07 3,1374751

100.663.296 6,32E-08 3,1819805

201.326.592 2,98E-08 3,0000000

402.653.184 1,49E-08 3,0000000

805.306.368 0,00E+00 0,0000000


2. Versuch mit

1,25E-07 3,1415926536 1,98E-15 0,25000

6,24E-08 3,1415926536 2,83E-16 0,14286

3,12E-08 3,1415926536 2,83E-16 1,00000

1,56E-08 3,1415926536 0,00E+00 0,00000

7,80E-09 3,1415926536 0,00E+00 #DIV/0!

22 4

ss

s

s(n) Pi(n)

1,00E+003,000000000

0 .-. K-Faktor

5,18E-013,105828541

2 3,53E-02

2,61E-013,132628613

3 8,63E-03 0,24461

1,31E-013,139350203

0 2,15E-03 0,24866

6,54E-023,141031950

9 5,36E-04 0,24967

n Ecken

6

12

24

48

96

50.331.648

100.663.296

201.326.592

402.653.184

805.306.368

2n n

n

p p

p

2n n

n

p p

p


Von „2-hoch n“ über Wachstumsprozesse mit Euler zu e = …

2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035


Felix Klein 1849-1925 (* Düsseldorf, Bonn, Berlin, Göttingen) Hyperbel-Integration Logarithmus Exponentialfunktion.

Leonard Euler: zeigte den Weg von bx zu log (x), der

in den 1970er Jahren von Arnold Kirsch u.a. für den MU gangbar wurde.

Ausgangspunkte sind Wachstumsprozesse in der Sek. I… … in Märchen, Schachbrettgeschichten, Kapital, Populationen … Wachstum/Zerfall pro „Zeittakt“ um p% mit immer gleichem Faktor q := 1 + p/100

Arbeiten mit Hand und Verstand: 2hoch - Stäbe aufstellen …in gleichmäßigen Abständen, Stäbe für Zwischenplätze n-te Wurzeln, Einpassen anderer Stäbe log-Werte, Verändern der Abstände alle EXP-Funktionen

f(x) = bx sind zueinander affin (gedehnt / gestaucht).


e – die besondere Basis für „proportionales“ Wachstum …

2 3

1 1 1 11 für "sehr kleine" x = : (1 ) oder (1 ) (1 )

1mit Binomischer Formel....:

1 1 1 1(1 ) 1 1 ...

2 3

1 1 1 1 2 =1 1 (1 ) (1 )(1 ) ..

2 3!

x n n n

nk

b x b bn n n n

n n n

kn n n n

n n n

1 1 2 1.. (1 )(1 )...(1 ) ...

!man "sieht" und beweist später:

1 1 1 1 1 .... ... :

2 3! !

k

k n n n

ek


Was folgt aus der Definition von e? Die 1., 2., …Ableitung von ex ist wieder ex. Die Approximation von ex durch ein Polynom

muss die Bedingungen erfüllen:1 = e0 = a0, 1 = (ex )´x=0= a1 … 1 = k! · ak

x

0 0

1e

! !

1 also , insbesondere:

!

k

kk k

ek

xa

k k

2 30 1 2 3 ... ...x k

ke a a x a x a x a x


Definition des Logarithmus ln (x) als

Umkehrfunktion der (streng monotonen ) Funktion ex.

Algorithmus zur Berechnung von ex und ln (x) mit der Beziehung

ex = ( ex/2)2.

1. x-Wert wird n-mal halbiert, bis x/2n =: xn „sehr klein“,

2. damit wird die Näherung berechnet: 1 + xn + ½ (xn)2 =: y0 ,

3. y0 wird n-mal quadriert; man erhält den Näherungswert für ex.

Der „Umkehrweg“ führt von einem gegebenem Wert y := ex

in 3. über n-maliges Wurzelziehen zu y0 , in 2. wird die pos. Wurzel x0 von 1 + xn + ½ (xn)2 = y0 berechnet,

in 1. gilt damit 2nx0 ≈ ln (y).


0

1 und Annahme

!k

pe e Q

k q

1

1 10 ( ) ! ( ) ! 1

! !

q

o q

pq q

q k k

Die Transzendenz von e – nach Charles Hermite (1822-1901/ Beweis 1873) - ist (Pflicht-?)Stoff im Studium. Die Irrationalität (Euler 1737) ist ein schönes Thema einer Facharbeit im Gy.

Mit

Folgt

Widerspruch, weil rechts von „=„ eine ganze Zahl steht!


Überraschend schön: Der „komplexe Kitt“ i := √(-1) verbindet π und e mit den „neutralen“ Zahlen

0 und 1.

0

PI

1

i

ei*Pi + 1 = 0

e


Die „eingebildete“ imaginäre Einheit i ist ein Konstrukt, eine Erfindung menschlichen Denkens.

Problem: x2 + 1 = 0Lösung: i i2 + 1 = 0 i2 = -1 i3 = -i, i4 = 1 …

Erst C.F. Gauß (1777 - 1855) verhalf i zum Durchbruch. Ohne i gäbe es heute weder „reine“ noch „angewandte“ Mathematik!


0

PI

1

i

z


Gauß: z = x + iy ≈ 1 + i π/n z = x + i y auf dem Einheitskreis (r = 1) Für „große“ n ist α := π / n „sehr klein“ und es gilt: Einerseits wegen n-fach-Drehung

um α := π / n zn = -1 und Andererseits wegen

für „unendlich“ große n bzw. : zn = eiπ

also eiπ + 1 = 0

Eli Maor zitiert in seinem Buch Die Zahl e Benjamin Peirce (Mathematiker, Harvard, 19 Jh): „Die Formel ist gewiss absolut paradox; wir können sie nicht verstehen und wir wissen nicht, was sie bedeutet. Aber wir haben sie bewiesen und wissen daher, dass sie wahr ist“.

1(1 )

n

i

i

ini

e

n

i


Die schön(st)e Formel i := √(-1) verbindet π und e mit 1 und 0.

π

ei*π + 1 = 0

0 1

i

ei*π + 1 = 0

e


3. (Basis-) Kompetenzen Mathematik Sek I (!) / Sek II (?) - Aufforderung zum Nach- und Mitdenken

zum Sek. I – Abschluss

t s L t r tur Dida i che i e a t m t a he a i or ls e e


3. Basiskompetenzen Mathematik

Wer sagt was über(Basis-)Kompetenzen Mathematik

am Ende der Sek. II / Abi?

MNU – GDM - … ?

Und was sollten

Basiskompetenzenvon Lehramts-Studierenden sein?

?

?


Literatur

Beckmann, P. (1989): A History of π, St. Martin´s, New York, Blankenagel, Jürgen (1988): Überlegungen zur Brauchbarkeit dreier Rekursionsformeln für die

Pi-Berechnung nach Archimedes. Didakt. Math. v. 16(2) p.128-135. Euler, L. (1748): Introductio in Analysin Infinitorum, Bousquet, Lausanne Kneser, Martin (2004): Ein etwas anderer Zugang zur Exponentialfunktion; Math.

Semesterberichte 51, 225-229, (mit Einarbeitungen von historischen Bemerkungen durch R. Remmert).

Maor, Eli (1996):Die Zahl e – Geschichte und Geschichten, Birkhäuser, Basel. Posamentier/Lehmann (2004): A Biography of the World´s Most Mysterious Number;

Prometheus Books, New York

Schröder/Wurl/Wynands (2007): Schulbücher Maßstab/Faktor 9. Klasse für Haupt- und Realschulen, Schroedel-Verlag

Wynands, A. (2007): π und e – Anmerkungen eines Didaktikers zu zwei Zahlen; DMV- und GDM-Jahrestagung, Berlin

Wynands, A. (2007): π und e Zwei besondere Zahlen für Schüler und Lehrer; Festschrift für Michael Neubrand zum 60. Geburtstag. Franzbecker, Hildesheim

Wynands, A. (2009): Mindeststandards / Basiskompetenzen und „Risikogruppe“GDM-Mitteilungen 87-2009

Drüke-Noe e.a. (2011): Basiskompetenzen Mathematik für Alltag und Berufseinstieg am Ende der allgemeinen Schulpflicht - Handreichungen für den Unterricht mit CD-ROM.CornelsenVerlag

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