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TIEMPO MUERTO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFacultad de Ingeniería Química y Textil

Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426Profesor: Celso Montalvo

CELSO MONTALVO 2

Tiempo Muerto Es un retraso temporal en la llegada de una señal ó valor de una

variable.

No confundir con el término "Retraso de 1er Orden" que es sinónimo de "Sistema de 1er Orden".

x(t) y(t)

D

Q, m3/min

)()(

)()(

sXesY

tXtYs

d

d ⋅=

−=−τ

τ dD A

Qτ ⋅

=

CELSO MONTALVO 3

Tiempo Muerto La presencia de tiempo muerto en los procesos hace muy difícil el

cálculo exacto y también se dificulta mucho el control. Para convertir la función exponencial en una función polinómica

se usan las Series de Taylor:

Estas expresiones se reducen a las llamadas Aproximaciones de Padé de 1er y 2do Orden:

...!32

13322

+−+−=− ssse ddd

sd ττττ

2/

2/

3322 ...!3/2/111

s

ss

ddds

sd

dd

dd

eee

sssee τ

ττ

ττ

τττ

−−− ≡

++++=≡ ó

12/222/1

12/222/12/12/1

111

ss

ssss

ssse

dd

dd

d

d

dd

d

ττ

ττττ

τττ

++

+−≅

+−

≅+

≅−≅−

CELSO MONTALVO 4

Tiempo Muerto El gráfico de abajo muestra la respuesta transitoria de las

Aproximaciones de Padé ante un step unitario.

% Programa en Matlab. Tau=0.5; num=[-Tau/2 1];

den=[Tau/2 1]; num2=[Tau*Tau/12 -Tau/2

1]; den2=[Tau*Tau/12 Tau/2 1];

sys1=tf(num,den); sys2=tf(num2,den2)

step(sys1,sys2)Padé 2do Orden

Padé 1er Orden

CELSO MONTALVO 5

Tiempo Muerto El gráfico de abajo usa la función pade de Matlab para τd = 1.

0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Aproximaciones de Padé para Td=1

Time (sec)

Am

plit

ud

e1

1sτ +

1er Orden

2do Orden

3er Orden

4to Orden

CELSO MONTALVO 6

Tiempo Muerto El gráfico de abajo usa la función pade de Matlab para τd = 0.5.

0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Aproximaciones de Pade para Td=0.5

Time (sec)

Am

plit

ud

e1

1sτ +

1er Orden: Verde2do Orden: Rojo3er Orden: Cyan4to Orden: Lila

CELSO MONTALVO 7

Tiempo Muerto El gráfico de abajo usa la función pade de Matlab para τd = 0.1.

0 1 2 3 4 5 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Aproximaciones de Pade para Td = 0.1

Tiempo (sec)

Am

plit

ud

1er Orden: Verde2do Orden: Rojo3er Orden: Cyan4to Orden: Lila

11sτ +

CELSO MONTALVO 8

Ejemplo Un proceso cuya Función de Transferencia se muestra abajo sólo

puede medirse con tiempo muerto. Hallar la Respuesta Transitoria en el tiempo si se le perturba con un salto unitario.

SOLUCIÓN La función sin y con tiempo muerto, pertubada sería:

2

8( )(4 1)(4 1)

ss s s

=+ + +

P

2

8 1( )(4 1)(4 1)

ss s s s

= ⋅+ + +

P 2 2

8 1( )(4 1)(4 1)

ss es s s s

−= ⋅ ⋅+ + +

P

Usando la Aproximación de Padé de 1er orden:

2 2

8 1 1 / 2( )(4 1)(4 1) 1 / 2

sss s s s s

−= ⋅ ⋅

+ + + +P

CELSO MONTALVO 9

Ejemplo Invirtiendo las transformadas:

Usando Matlab, las gráficas respectivas son:

/ 4 /816 15 15( ) 8 8 sin15 8

t tt e e t− − = − −

P

/ 4 /8 /8 /82

72 16 32 15 16 15 15( ) 8 8 cos sin7 105 15 8 15 8

t t t tt e e e t e t− − − − = − − + −

P

0 5 10 15 20 25 30-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

Una solución práctica rápida sería descartar el tiempo muerto y calcular la Respuesta P(t), luego desplazar la curva un tiempo τd.

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FIN

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