MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99. PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50‘

1. Deducir a partir de las siguientes ecuaciones 1, 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

αααα xshxchxchy

las expresiones de la longitud y la tensión de la catenaria (2 puntos).

2. En un sólido con movimiento plano de velocidad angular constante 5 rad/s, el centro

instantáneo de rotación tiene una aceleración cuyo módulo vale 20 m/s2. ¿Cuánto

valdrá el módulo de dicha aceleración si el sólido se mueve con velocidad angular

de 5 rad/s y aceleración angular de 2 rad/s2 , si el centro instantáneo de rotación es el

mismo? (1 punto).

3. Definir componente de pivotamiento y

rodadura de la velocidad angular

relativa entre dos sólidos. Calcularlas

en el ejemplo siguiente para el contacto

sin deslizamiento entre los sólidos 1 y

2 de velocidad angular absoluta,

y →→

=Ω kω1

→→→

+=Ω ki ωω 22

(2 puntos).

C

21

45º

X

Z

Y

4. Calcular gráficamente la velocidad

absoluta de M (1 punto). A

B

M

L/2

L/2

45º

V

X

Y

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99. PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50‘

5. En las siguientes figuras calcular el

valor de la fuerza de rozamiento

indicando si existe equilibrio o no.

(1 punto)

Mg

f=1/2

Mg

f=1/2

30º

6. Calcular el diagrama de esfuerzos

cortantes y momentos flectores en la

viga de la figura (2 puntos).

q

L/3 L/3 L/3

7. ¿Cuál de estas 2 celosías es isostática? Demostrarlo (1 punto).

BA

OC

DEF

BA

OC

DEF

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99. SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘

La guía DE se traslada hacia arriba con velocidad constante V. Sobre ella rueda

sin deslizar un disco de centro C y radio R cuyo centro está articulado a la barra AC, de

longitud 3R, siendo A fijo.

Calcular la base o curva polar fija del movimiento del disco en función del

parámetro ϕ.

C

B

AX

Y

6R

D ER

3R

ϕ

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99. TERCER EJERCICIO TIEMPO: 40‘

Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano y la velocidad de su

centro O es V constante. Una barra AB de longitud 4R está articulada al disco en A y su

extremo B recorre el suelo. En B está articulada otra barra BC en cuyo extremo C se

articula la barra CD que puede girar alrededor del extremo D fijo. La longitud de la

barra CD es 2R.

Determinar en la posición que se muestra en la figura:

1. Velocidad angular de la barra CD. (3 puntos)

2. Aceleración angular de la barra CD. (7 puntos)

B

A

30º

C

DR

2ROV 4R R3

34

60º90º

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99. CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘

El bloque rectangular de la figura tiene una masa de 5M y dos ruedas de radio R

articuladas en los vértices A y B. La rueda 1 tiene una masa M y un par aplicado de

valor MgRP 2= en el sentido indicado en la figura. La rueda 2 tiene una masa

despreciable. El conjunto está situado sobre una rampa de 45º de inclinación.

Para que el conjunto se encuentre en equilibrio estricto, ¿qué valor mínimo del

coeficiente de fricción es preciso, y con qué tensión hay que tirar del cable anclado en C

al bloque?

1

2

3

T

P

5Mg

4R

2R

MA

B

C

45º

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99. QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘

Un cable de masa despreciable está suspendido entre el punto fijo A y una anilla sin masa B que puede deslizar sin rozamiento a lo largo de la barra horizontal MN.

La tensión del cable AB en el punto B forma 45º con la horizontal y la carga que soporta es de forma triangular continua por unidad de abscisa, de valor nulo en A y de valor 10 N/m en B.

Otro cable pesado BCD de 37 m de longitud y 10 N/m de peso por unidad de longitud está amarrado a la anilla B y pasa por una polea C de radio despreciable, de modo que el tramo vertical CD mide 13 m.

Sabiendo que los puntos A, B y C están situados a la misma altura, calcular:

1. Tensión en el punto C del cable BCD. (1 punto)

2. Fuerza de enlace de la polea C sobre el cable. (3 puntos)

3. Distancia entre los puntos A y B. (3 puntos)

4. Ecuación de la curva del cable AB, expresada en los ejes de la figura. (3 puntos)

A

D

NMCB

10 N/m

x

y

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 7-06-99. SOLUCIONES

2.- 1. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−−=

ϕϕ

ϕ

sen3tg

cos3

1

1

RRY

RRX

3.- 1. →→

⋅=Ω kRV

CD

2. →→

⋅⋅−=α kRV

637

2

2

CD

4.- 1. 138f =

2. Mg22T =

5.- 1. →→→

⋅+⋅= j120i50TC

2. →→→

⋅+⋅= j250i50C 3. m15AB =

4. 2x

450xy

3

−=

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50’

1. En la viga de la figura calcular el

diagrama de esfuerzos cortantes y

momentos flectores (2 puntos).

q

L L L

qLL/2

A B

2. Determinar el par necesario para que el

disco de masa M y radio R esté en

equilibrio (1 punto).

M

30º3

1f =

3. Indicar cuáles son el eje instantáneo de

rotación y deslizamiento y los axoides

fijo y móvil en el movimiento relativo

entre el cono 2 y el 1, si entre ambos

no hay deslizamiento (1 punto).

O

1

2

4. Indicar, si el disco rueda sin deslizar,

cuál de los siguientes movimientos

corresponde al de la barra AB y por

qué (1 punto):

a) Rotación instantánea. b) Traslación instantánea c) Rotación permanente d) Traslación permanente.

B

A

30ºR

OV

I

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50’

5. Determinar mediante el principio de

los trabajos virtuales cuál tiene que ser

el valor del par P para que el sistema,

que carece de rozamiento, se encuentre

en equilibrio cuando θ = 45º (2 puntos)

P

M, L M, L

θ

6. Comprobar si es posible que los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) de un sólido

rígido tengan las siguientes velocidades: k2jV,kiV,ji2V CBA

rrrrrrrr−=−=+= (1

punto).

7. Dos sólidos S1 y S2 animados de movimiento plano tienen las siguientes velocidades

angulares: ( )2 k1t3,kt3 21

rrrr+=ω=ω , respectivamente. Calcular la aceleración

angular relativa del sólido S2 respecto al S1. (2 puntos)

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 50’

El sistema de la figura consta de: un cono 1 de semiángulo en el vértice de 30º gira a velocidad angular ω3 constante alrededor de un eje fijo; un tronco de cono 2 de eje vertical fijo y semiángulo 60º que en el contacto con el cono 1 no tiene deslizamiento; y un cilindro interior fijo de radio R. Si entre el tronco de cono 2, el cilindro interior, y el suelo se sitúa una esfera de radio R no existiendo deslizamiento en los puntos de contacto A, B, y D. Calcular: 1. Velocidad angular del sólido 2. (1 punto) 2. Velocidad angular y eje instantáneo de rotación de la esfera. (3 puntos) 3. Aceleración angular del sólido 2 y de la esfera. (3 puntos) 4. Aceleración del centro de la esfera. (1 punto)

3R

O

E

Z

1

1

2

R

A

B

DC

X Y

3

ω3

30º

R34

5. Aceleración del punto A de la esfera. (2 puntos)

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. TERCERO EJERCICIO TIEMPO: 35’

Un disco de radio R asciende con velocidad angular constante ω por un plano inclinado

π que forma 45º con la horizontal. No hay deslizamiento entre plano y disco.

En el punto B del disco se encuentra articulada una barra de longitud 2R2 cuyo otro

extremo recorre el plano π mediante una deslizadera en el punto A. En el instante en

que la barra AB forma 45º con π, se pide:

1. Velocidad angular de la barra AB (2 puntos).

2. Velocidad de la deslizadera en A (1 punto)

3. Aceleración angular de la barra AB (3 puntos)

4. Aceleración de la deslizadera en A (2 puntos)

5. Polo de aceleraciones de AB (2 puntos).

B

A

ω

45º

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45’

Dos barras iguales AB y CD de masa M y longitud L están articuladas a los

puntos fijos A y D respectivamente, el extremo C de la barra CD está en contacto con el

punto medio de la barra AB y el punto medio E de la barra CD está unido a un extremo

del resorte ideal EF de constante elástica K.

Sabiendo que en C existe rozamiento al deslizamiento de valor f y que la

longitud del resorte es L, calcular:

1. Módulo de la fuerza de rozamiento en C, en el supuesto de que LMg3K = y

21f = ,

para que el sistema esté en equilibrio. (4 puntos)

2. Valores mínimo y máximo de K para que el sistema esté en equilibrio, si el

coeficiente de rozamiento al deslizamiento vale 21f = . (4 puntos)

3. Valor mínimo de f necesario para que el sistema esté en equilibrio si se sustituye el

resorte por un hilo. (2 puntos)

45º45º

45º

A

FE

D

C

B

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45’

Una estructura reticular ABCDEF formada por triángulos equiláteros de lado L y

situada en un plano vertical está articulada en A a la pared y en equilibrio. En F actúa

una carga P a determinar y en D está amarrado un cable que pesa 20 N/m y pasa sobre

un punto fijo G. La tangente al cable en D es horizontal y la tangente en G forma 30º

con la horizontal. La longitud GH es de 10 metros.

Determinar el valor de los esfuerzos en las barras BD y CD, indicando si son de

tracción o compresión.

60º

60º

60º

60º

30ºL

L

A B

CD

E F

G

H

P

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99. SOLUCIONES

2. 1. →→

ω−=Ω 32 e

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω=Ω

→→→

323 ee23 ;

R2ZY0X

=+=

3. ; →→

=α 02

→→

ω=α 12

3 e89

4. →→

ω−= 22

C eR89a

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=

→→→

322

A eeR89a

3. 1. →→

=Ω 0AB

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω=

→→→

ji2RVA

3. →→ ω

−=α k2

2

2

4. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω−=

→→→

jiRa 2A

5. 2RYY

2RXX

A

A

−=

+=

4. 1. →→

= 0Fr

2. LMg4K

LMg2

<<

3. 0f =

5. 375FBD = 375FCD =

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00. PRIMER EJERCICIO, TIEMPO: 50’

1. Deducir la primera fórmula de Frenet. (2 puntos) 2. Deducir la expresión de la aceleración del centro instantáneo de rotación. (2 puntos) 3. Deducir la longitud y la tensión de la catenaria en un punto a partir de la ecuación

de la catenaria: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα=

xchy . (2 puntos)

4. La barra AB de longitud L se mueve de modo que sus extremos recorren los ejes coordenados y el punto B tiene una velocidad V constante. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración del punto medio G. (2 puntos)

A

45º

B

Vr

G

5. Si la esfera de la figura pivota sobre el suelo con velocidad angular Ω y entre la

esfera y el cilindro no existe deslizamiento. ¿Qué velocidad angular tiene el cilindro, expresada en el sistema de referencia de la figura? ¿Cuál es la velocidad angular de rodadura y pivotamiento en el contacto esfera- cilindro? (2 puntos)

X

Y

Z

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00. SEGUNDO EJERCICIO, TIEMPO: 40’

El mecanismo de la figura consta de una barra OA de longitud R sobre un plano π que se mueve con una velocidad angular ω constante como se indica en la figura, una barra AB de longitud R perpendicular al plano π y eje de giro de un disco de radio R que gira con una velocidad angular 2ω constante en el sentido que se indica en la figura. Determinar en el instante en que ωt=45º: 1. La velocidad angular absoluta del disco y la velocidad absoluta de B (2 puntos). 2. El eje instantáneo de rotación y deslizamiento del disco (2 puntos). 3. Aceleración angular absoluta del disco (4 puntos). 4. Aceleración absoluta del punto B (2 puntos).

O

A

B2ω

90º π

e

ωt

R

R

R

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00. TERCER EJERCICIO, TIEMPO: 45’

Las barras OA, de longitud R3 , y OC pueden girar alrededor del punto fijo O. La barra OA lleva sólidamente unido un disco de radio R y el conjunto gira con velocidad angular ω constante en el sentido indicado en la figura. Sobre la periferia del disco rueda sin deslizar la barra BD con velocidad angular relativa ω constante en el sentido indicado. El extremo B esta unido mediante una deslizadera articulada a la barra OC.

Determinar en el instante en que OB=BE=R3

32 y la barra OC es horizontal:

1. Velocidad angular de la barra BD (1 punto) 2. Velocidad angular de OC (2 puntos) 3. Velocidad del punto B relativa a OC (1 punto) 4. Aceleración de E relativa al disco. (3 puntos) 5. Aceleración del punto E de la barra BD (3 Puntos)

ω

ω

O B

E

D

A

C

90º

30º

60º

R3

32

R3

32

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00. CUARTO EJERCICIO, TIEMPO: 50’

La viga AB está articulada al nudo B de la celosía y conectada mediante una barra biarticulada sin masa al nudo G de la misma, además está sometida a una carga distribuida tal y como se indica en la figura. 1. Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores de la viga AB.

(3 puntos) 2. Calcular las fuerzas soportadas por las barras GH, HF, y FE de la celosía, e indicar

si trabajan a compresión o tracción. (4 puntos) 3. Calcular las fuerzas soportadas por las barras BC, y DC de la celosía, e indicar si

trabajan a compresión o tracción. (3 puntos)

30º

4m 4m

4m

4m

2m 2m2m

10N/m

O

F E

D

C

G

H

BA 30º

60º60º

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00. QUINTO EJERCICIO, TIEMPO: 45’

El extremo A de la barra AB de masa M y longitud L está apoyado en una superficie

horizontal rugosa con coeficiente de rozamiento al deslizamiento de valor 32f = y el B

a un cable BCD de peso propio L

Mgq = que pasa por una polea C de radio

despreciable y tiene su extremo D atado a un punto fijo. Sabiendo que C y D están a la misma altura, que la tangente al cable en B es horizontal

y que la tensión en D forma con la horizontal un ángulo ϕ tal que34tg =ϕ , calcular:

1. Fuerza de rozamiento en A. (1 punto) 2. Tensión del cable en B. (1 punto) 3. Longitud del tramo de cable BC. (2 puntos) 4. Expresión vectorial de la tensión del cable en D. (2 puntos) 5. Fuerza de enlace sobre la polea C. (2 puntos) 6. Longitud del cable BCD. (2 puntos)

D

8L

45º

C

B

A

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00. SOLUCIONES

O

A

B2ω

90º π

e

ωt

R

R

R

x y

z

2. 1. →→→

+=Ω 32 2 eeDisco ωω→→→

+= 31 eReRVB ωω

2. RYZ

RX

522

56

=−

=

3. →→

= 122 eDisco ωα

4. →→→

ω−ω= 32

12

B eReRa

3. 1. 4. →→

−=Ω kBD ω2→→→

ω+ω= jR21iR

23a 22

ErelDisco

2. →→

−=Ω kOC 2ω 5.

→→→

ω+ω−= jR23iR

23a 22

E

3. →→

= iRVBrelOC ω

4. 1.

2. NFGH 15−= Compresión

NFFH 35= Tracción NFFE 35= Tracción

3. NFBC 10−= Compresión

NFCD 310= Tracción

5. 1. 2

MgFrozA =

2 4 6 X2.

2MgTB =

3. LlBC 83

=

4. →→→

+= jMgiMgTD 84

83

5. →→→

+= jMgiMgFC 87

81

6. LlBC 811

=

10

20

30

M

V

X

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00. PRIMER EJERCICIO, TIEMPO 60’

1. Deducir la expresión de la aceleración del centro instantáneo de rotación. (3 puntos)

2. Obtener las ecuaciones intrínsecas de un cable a partir de las ecuaciones vectoriales.

(3 puntos)

3. Circunferencias notables. (4 puntos)

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00. SEGUNDO EJERCICIO, TIEMPO 40’

El sólido 3, que gira alrededor del eje vertical fijo con velocidad angular ω constante,

lleva solidarios con él los ejes de revolución de dos conos de semiángulo en el vértice

45º y generatriz de longitud 2R . Si las velocidades angulares de los conos alrededor

de sus ejes de revolución, es decir las velocidades angulares relativas al sólido 3, son las

indicadas en la figura, calcular:

1. Velocidad angular del cono 1 y 2, y velocidad del punto B del cono 1. (2 puntos)

2. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento del cono 1. (1 punto)

3. Componentes de pivotamiento y rodadura en el contacto cono 1-suelo. (1 punto)

4. Componentes de pivotamiento y rodadura en el contacto cono 1-cono 2. (1 punto)

5. Aceleración angular del cono 1. (3 puntos)

6. Aceleración del punto B. (2 puntos)

12

3 ω

ω 2ω 2

R

BR 2 R 2

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00. TERCER EJERCICIO, TIEMPO 50’

Para el mecanismo de la figura y en la posición indicada sabiendo que es

constante y no hay deslizamiento entre el disco de radio R y la barra BE, se pide:

ω=ωAC

1.- Velocidad angular del disco. (4 puntos)

3.- Aceleración angular del disco. (6 puntos)

A

B

C

D

E

cte=ωF

º30 º60

º60

R2CDR2BCR6AER3AB

====

R

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00. CUARTO EJERCICIO, TIEMPO 40’

Para la estructura de la figura. Calcular:

1. Esfuerzos en las barras AE, BE, y BC, mediante el método de las secciones.

(3 puntos)

2. Esfuerzos en las barras EF y DF, mediante el método de los nudos. (3 puntos)

3. Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la barra FG. (4 puntos)

A

B

C

D

F

E

6 kN 6 kN

6 kN

6 m10 m

2 m

30º30º30º

30º

G

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00. QUINTO EJERCICIO, TIEMPO 50’

Sean dos masas puntuales de valor M unidos por el cable de peso por unidad de

longitud q , longitud y flecha R6 2R . Se pide:

1. obtener el parámetro de la catenaria. (2 puntos)

2. si el coeficiente de rozamiento entre bloque y suelo es 121f = y el peso por unidad

de longitud de cable3RMgq = obtener los valores admisibles de F para que el

sistema este en equilibrio. (3 puntos)

3. obtener para el mismo valor de q el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para

el cual el sistema sigue estando en equilibrio sin tener que aplicarle ninguna fuerza

F horizontal. (2 puntos)

4. si los dos bloques se alejan, y la flecha pasa a valer 2Rλ donde , obtener el

nuevo parámetro de la catenaria (en función de λ) y el valor mínimo del coeficiente

de rozamiento para que el sistema este en equilibrio sin aplicar ninguna fuerza

horizontal (para

10 <λ<

3RMgq = ). (2 puntos)

5. ¿es posible separar los dos bloques de forma que la flecha de la catenaria sea nula?

¿Qué valor tomaría ? (1 punto) OT

FF

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00. SOLUCIONES