06 esfuerzo axial

1

Sistemas estáticamente determinados

En muchos casos de diseño de componentes cargados axialmente, es determinante saber

predecir el comportamiento de la deflexión que sufre.

Considérese el caso general de una barra cargada axialmente como indica la figura.

La deformación unitaria en la

dirección x es:

Donde δu es la deformación

axial de un elemento

infinitesimal y δx es el

tamaño inicial del elemento

diferencial.

uB uD

P1 P4P3P2B D

dxx

Px + dPxPx

dx + εx dx

IWC-240 Mecánica de SólidosESFUERZO AXIAL-SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

ε� � δ�δ�

2

Reescribiendo (*) en términos de δu

Donde u(l) y u(0) son desplazamientos absolutos

Luego,

Nótese que la diferencia u(l) - u(0) representa el cambio de longitud Δ entre los puntos D y B.

Por consiguiente:

Sabemos de acuerdo a la ley de Hooke (para materiales elásticos lineales) que:

Luego, Donde: Px � P(x)Ax� A(x)Ex � E(x)

δ� � ε� ∙ δ�

donde,


� δ� = u l − u 0 = � ε� ∙ δ��

��

�

∆l = � ε� ∙ δ��

�

ε� = σ�Eσ� = P�A�

∆l = � P� ∙ δ�A� ∙ E��

�

3

Ejemplo

Considérese la barra de sección transversal constante A,

de longitud L, con módulo de elasticidad E.

Determínese la deflexión del extremo libre causada por

la aplicación de una fuerza concentrada.

Del diafragma puede concluirse que tanto la fuerza P como la sección de la barra permanecen

constante en el largo L.

Luego,

Nótese en esta ecuación que la deflexión es directamente proporcional a la carga P y el largo L es

inversamente proporcional al área A y al módulo de elasticidad E.

B C

Desarrollo

B C C’

PP

DCL


∆l � � P� ∙ δ�A� ∙ E�

� PA ∙ E � δ� � P ∙ L

A ∙ E�

�

�

�

∆l � ∆� P ∙ LA ∙ E

4

Gráficamente

P

L X

Fuerza

Deformación unitaria

L X

L X

Desplazamiento


PA ∙ E

∆= P ∙ L�A ∙ E

De acuerdo al principio de transmisibilidad, la carga se

transmite de manera constante a lo largo de la barra

La deformación unitaria axial permanece constante a lo

largo de la barra puesto que el material el homogéneo y

la sección transversal el constante

El desplazamiento es creciente, depende de la distancia

al punto de empotramiento. Al inicio es cero y el valor

máximo ocurre en x=L

5

La ecuación puede presentarse convenientemente como:

Donde representa la constante de resorte o rigidez.

KKKK representa la fuerza requerida para producir una deflexión unitaria.

Luego, para la i-ésima barra cargada axialmente o un segmento de barra de longitud LLLLiiii

Análogamente definimos la flexibilidad f f f f como

f f f f representa la deflexión resultante de la aplicación de una fuerza unitaria.

Luego,


∆= P ∙ LA ∙ E

P = A ∙ EL ∆ → P

∆ = A ∙ EL

k = P∆

k� = A� ∙ E�L�

f = 1k = L

F

f� = L�A� ∙ E�

6

Una masa m � 2kgm � 2kgm � 2kgm � 2kg está unida a una barra de una

aleación de níquel y tiene 20 [mm20 [mm20 [mm20 [mm ] de diámetro y 400400400400 [mm][mm][mm][mm] de longitud.

Determine la frecuencia de vibración. Considere la masa

concentrada en un punto y desprecie el peso de la barra.

Para la barra, sea E=E=E=E= 180180180180 [[[[GPaGPaGPaGPa]]]]La frecuencia natura de vibración es:

Ø=20Ø=20Ø=20Ø=20

xxxx


f � 12π

g∆

Ejercicios

donde g es la aceleración de gravedad y Δ es la deflexión

estática del sistema.

7

Ø�20 mmØ�20 mmØ�20 mmØ�20 mm

xxxx

PPPP

RRRR


E=180[GPa]

∆l x = � P� ∙ δxA� ∙ E = P

A ∙ E � δx = P ∙ LA ∙ E

��

��

f = 12π

g∆

= 20[N] ∙ 0,4[m] ∙ 4π ∙ 20 ∙ 10/0 1 ∙ 180 ∙ 102[Pa]

∆l x = L = 1,41 × 10/4[m]

f = 12π

10 m s161,41 × 10/4[m] = 1338[Hz]

Desarrollo

DCL

El extremo de la barra sufre un desplazamiento de1,41 × 10/4[m]Obtenido Δ determinamos la frecuencia natural del

sistema

8

Tres esferas se encuentran suspendidas como indica la

figura. Considere E = 160 [GPa]l1 = l2 = l3 = 2 [m]A1 = 2 [mm2] ; m1 = 4 [kg]A2 = 3 [mm2] m2 = 8 [kg]A3 = 4 [mm2] m3 = 12 [kg]Determine distribución de fuerzas en los alambres.

Deformación unitaria axial.

Desplazamientos


Ejercicio

llll1111

llll2222

llll3333

AAAA1111

mmmm1111

AAAA2222

mmmm2222

AAAA3333

9

DCL General DCL 1 DCL 2 DCL 3


Desarrollo

10

Deformación unitaria axial

ε � σE = P

A ∙ EεA = PA + P1 + P0AA ∙ E = 240[N]

2[mm1] ∙ 10/C ∙ 200 ∙ 102[Pa] = 6 ∙ 10/D[−]

ε1 = P1 + P0A1 ∙ E = 200[N]3[mm1] ∙ 10/C ∙ 200 ∙ 102[Pa] = 3,3 ∙ 10/D[−]

ε0 = P0A0 ∙ E = 120[N]4[mm1] ∙ 10/C ∙ 200 ∙ 102[Pa] = 1,5 ∙ 10/D[−]


Desplazamientos

∆l x = � P� ∙ δ�A� ∙ E��

� ∆lA= (PA + P1 + P0)AA ∙ E ∙ L = εA ∙ 1[m] = 12 ∙ 10/D[m]

∆l1= (P1+P0)A1 ∙ E ∙ L = ε1 ∙ 1[m] = 6,6 ∙ 10/D[m]

∆l0= P0A0 ∙ E ∙ L = ε0 ∙ 1[m] = 3 ∙ 10/D[m]

11

Gráficamente


12

A1 = 50 [mm2] ; P1 = 20.000 [kN]A2 = 80 [mm2] P2 = - 40.000 [kN]A3 = 50 [mm2] P3 = 30.000 [kN]A4 = 25 [mm2] P4 = -10.000 [kN]

Considérese la barra de la figura, que se compone de cuatro partes de distinto diámetro. Está

sometida a las cargas que se indican, condición que la mantiene en equilibrio estático.

Determine los diagramas de fuerza, deformación unitaria axial y desplazamiento.

Considere E=200 [Gpa]


Ejercicio

13

Desarrollo


14


εA � −20 ∙ 100[N]50[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa] = −2 ∙ 10/0[−]

ε1 = 20 ∙ 100[N]80[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa] = 1,25 ∙ 10/0[−]

ε0 = 20 ∙ 100[N]50[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa] = 2 ∙ 10/0[−]

εD = −10 ∙ 100[N]50[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa] = −1 ∙ 10/0[−]

εI = −10 ∙ 100[N]25[mm1] ∙ 200 ∙ 100[MPa] = −2 ∙ 10/0[−]

ε = PA ∙ E

Desarrollo

Los cambios de sección y de reacción resultante permiten definir cinco tramos en los que la

deformación unitaria axial será distinta. Para cada uno de los tramos de la barra evaluamos la

deformación unitaria axial

15

Δl1 = -2 [mm]Δl2 = 2,5 [mm]Δl3 = 1 [mm]Δl4 = -1 [mm]Δl5 = -3 [mm]Δl6 = 0


∆= ∆lA + ∆l1 + ∆l0 + ∆lD + ∆lI

= −2 ∙ 10/0 ∙ 1 m + 1,25 ∙ 10/0 ∙ 2 m + 2 ∙ 10/0 ∙ 0,5 m +

= −2,5 ∙ 10/0[m]

Para cada uno de los cinco tramos reconocidos anteriormente determinamos la elongación que

sufre la barra

Luego,

= εA LA + ε1L1 + ε0L0 + εDLD + εILI + εCLC

+ −1 ∙ 10/0 ∙ 1 m + (−2 ∙ 10/0) ∙ 1,5[m]

Donde ∆l6 corresponde al tramo entre la aplicación de la última carga a derecha y el borde

derecho de la barra. En este tramo la elongación es nula

16

XXXX

ΔΔΔΔl[mm]l[mm]l[mm]l[mm]

Deformación axial unitaria


Gráficamente

XXXX

εεεε·10·10·10·10----3333[[[[----]]]]

Elongación

17

Un pilote de madera uniforme, que ha sido hincado a

una profundidad L en arcilla, soporta una carga F en su

parte superior. Esta carga es resistida íntegramente por

la fricción f a lo largo del pilote que varía de manera

parabólica tal como se muestra en la figura.

Determine el acortamiento total del pilote en términos

de F, L, A y E


Ejemplo

18

Desarrollo


PMA � −F B � ky1dy�

M� �F B k L0

3 � y03

PM1 � � ky1dyM

�� k y0

3Determinación de k

P FM � 0

Es posible determinar k evaluando las ecuaciones de

equilibrio en y=L

�F B kL03 � 0

k � 3FL0

Mediante un elemento del poste ubicado a una distancia

y elaboramos el DCL

PMA

PM1

F

F

−F

kL03

19


∆l = � PMAM ∙ EM dy = 1A ∙ E � − F ∙ y0

L0 dy��

�Q

= − FAEL0 ∙ yD

4 R L0 = − FL

4AE

Luego,

PMA = −F + 3 ∙ FL0

L03 − y0

3 = − F ∙ y0L0

PM1 = k ∙ y03 = 3 ∙ F

L0 ∙ y03 = F ∙ y0

L0

Evaluando Py2 obtendremos el mismo resultado pero con signo opuesto.

La deformación total se obtiene evaluando, a lo largo de toda la longitud, la integral que

considera la carga en función de la posición y.

20

∆l y � − F ∙ yD4AEL0

PM y � �k ∙ y0

3� �

F ∙ y0

L0

ε y �PM

AE�

1

AE∙F ∙ y0

L0

PM y

y y

∆l y-F

�FL

4AE

-F


21

Determine la deflexión del extremo libre de la barra

estática, causada por su propio peso w [N/m]. El área de

la sección transversal es constante. Suponga E conocido.

Ejemplo

Desarrollo

Convenientemente definimos un sistema de referencia

orientado hacia abajo y partiendo desde el punto de

empotramiento

El peso propio actúa como una carga dependiente de la

posición x. Cuando x sea igual a 0 la carga P será igual al

peso de la barra.

Cuando x sea igual a L, la carga P será igual a cero.


22

∆l x = � P�A� ∙ E� dx��

= 1AE � w L − x dx�

�= 1

AE w Lx − x12 R x

0

El área A y el módulo de elasticidad E permanecen constantes a lo largo de la barra. Solo la carga

P varía en función de x

P x = w ∙ (L − x)

∆l x = 1AE w Lx − x1

2

∆l x = L = 1AE w L1 − L1

2 = wL12AE


23

Gráficamente

∆l x �1

AEw Lx �

x1

2

wL1

2AEw ∙ L

x x

w ∙ L � x�

P x ∆l x

La carga en función de la posición x se comporta como una línea recta en tanto que el

comportamiento de la deflexión es parabólico.


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