b Carreg Axial e Cisalhamento
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ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
DIAGR. TENSO DEFORM. ESPECFICA - Lei de Hooke -
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
1
Ensaio de Trao
Diagrama Fora Deformao
Alberto B. Vieira Jr.
Diagrama Tenso Deformao especfica
=
l
=
F A
Alberto B. Vieira Jr.
Caractersticas do Diagrama Tenso Deformao especfica (para um material como o ao)
Alberto B. Vieira Jr.
Conceito de tenso de falha: tenso de escoamento ou tenso ltima ?
2
Lei de Hooke
(Elasticidade linear)
=EExemplos de caractersticas de alguns materiais: E (GPa) Ao Alumnio Concreto Madeira 200 70 25 12
Pode-se conhecer a tenso, na fase elstica, se se conhecer a deformao especfica e o mdulo de elasticidade do material
Mdulo de Elasticidade ou Mdulo de Young
Y(MPa) 250 270 ---40
u(MPa) 400 300 40 70
Tenses Admissveis - Conceito de Segurana
adm =
YC.S .
ou adm =
uC.S .
Valores tpicos de Coeficientes de Segurana C.S. para vrios materiais:
C.S.Ao Concreto Madeira Pedra 1,6 a 2,0 2,5 a 3,0 4,0 a 8,0 8,0 a 10,0
Ao : C.S . 1,8 adm 140 MPa
3
Clculo da deformao entre dois pontos sob carregamento axial:
=
l
= lN
=
E
=
A E
=
Nl E A
=
lE
Se a fora normal N ou a rea A variarem entre S1 e S2,Alberto B. Vieira Jr.
=
x2 x1
N ( x) dx E A( x)
4
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
EXERCCIOS CARREG. AXIAL
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
5
Ex. 1
Alberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
(*) Obs.:
1GPa = 1 kN
mm 2
6
Ex. 2
Alberto B. Vieira Jr.
Clculo das foras nas barras
Alberto B. Vieira Jr.
7
Clculo das deformaes e deslocamentos
Alberto B. Vieira Jr.
Resumo
Alberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
8
Ex. 3
Alberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
9
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
TENSES DE CISALHAMENTO, ESMAGAMENTO E EM PLANOS OBLQUOS
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
10
Tenso de esmagamento
Tenso de esmagamento: Tenso (compressiva) entre duas superfcies em contato Tenso de cisalhamento: Tenso relacionada tendncia de deslizamento entre duas sees adjacentes do mesmo elemento estrutural
Tenso de cisalhamento
Cisalhamento (corte)
Alberto B. Vieira Jr. Alberto B. Vieira Jr.
Tenso normal
Tenso de esmagamento
Tenses em planos oblquos
A = b hh = h cos h = h cos
A=bh
A = b h
cos
A =
A cos
Alberto B. Vieira Jr.
x =
N A
= =
N = A
N cos A cos =
=
N cos 2 A
= x cos 2
T N sen = A A cos
N sen cos = x sen cos A
11
Interpretao das tendncias de deformao associadas s componentes de tenso
e
: componentes de tenso
Sinais para as tenses de cisalhamento:
12
Ex. 25 (lista)
Pedal
500 N
Dimetro do pino C: 6 mm
Determinar:
a) Tenso mdia de cisalhamento no pino C; b) Tenso nominal de esmagamento no pedal em C; c) Tenso nominal de esmagamento em cada chapa de ligao no pto. C
13
Alberto B. Vieira Jr.
14
Ex. 30 (lista)
15
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS E TENSES TRMICAS
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
16
Problemas envolvendo variao de temperatura Estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestticas) Estruturas isostticas
Equaes de Equilbrio. (Eqs. estticas ou cinticas)
F
y
= 0, ... ;
( M )
z P
= 0, ...
Equaes de compatibilidade de deslocamentos.(Eqs. cinemticas, de deformaes compatveis ou eqs. geomtricas)
Alberto B. Vieira Jr.
vB
BE CFvC
vD
Relaes esforo deformao. (Relaes constitutivas)=Nl EA
=
Tl G Ip
Relaes temperatura deformao T = T T = T l13 2T
Estratgias de aplicao das equaes:
Mtodo das foras (ou da flexibilidade)
Os deslocamentos relativos so relacionadas a esforos:
= E A N flexibilidade
l 1 3 2
Mtodo dos deslocamentos, mtodo das deformaes (ou da rigidez)
Os esforos so expressos em funo dos deslocamentos relativos:
E A N = l3 2 1rigidez
17
Princpio da Superposio
Alberto B. Vieira Jr.
Estrutura livre ou Isosttica fundamental
18
Ex. 1
(Riley P.E. 5.11)
19
20
Ex. 2
(Beer Ex. 2.4)
Usando o mtodo da superposio:
21
22
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
EXERCCIOS
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
23
Ex. 1 (Riley 2.50)
24
25
Resoluo pela utilizao de frmulas:
26
Ex. 2
Alberto B. Vieira Jr.
27
28
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
COMPORTAMENTO ELASTOPLSTICO
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
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Caractersticas de grficos TensoDeformao Especfica para diversos tipos de materiais
= f ( )
Fase no-linear
= f ( ) ou
= f ( )
Fase elstica linear
Comportamento no-linear
=E
Ex.: materiais que seguem a lei de Ramberg-Osgood
Endurecimento
Comportamento elastoplstico Fase perfeitamente plstica
YAlberto B. Vieira Jr.
Fase elstica linear
Fase elstica linear
=E
=EYMaterial elastoplstico. Ex.: ao
Deformao especfica constante ao longo de um determinado trecho de comprimento l
=
l
= lCarregamento Fase elstica
Deformao especfica varivel ao longo de um determinado trecho de comprimento l
= ( x) dx0
l
=
l Nl = AE E
No incio do escoamento,
Y =
Y lE
(*)Obs.: Na anlise elastoplstica, muitas vezes importante utilizar o diagrama Fora Deformao (F ou N ), alm da considerao do diagrama Tenso Deformao especfica ( )
30
Diferenas de comportamento das estruturas quanto ocorrncia de plasticidade em alguma parte:
Estruturas isostticas : Toda a estrutura participa do escoamento, pois no h impedimento a estrutura se transforma em um mecanismo.
Estruturas hiperestticas : Partes da estrutura podem escoar enquanto que outras podem se manter na fase elstica.
31
Ex. 1
a)Diagramas Tenso Def. espec. Para o material da barra interna b e para o material do tubo externo t
Diagr. Fora normal Deformao para a barra interna b
Diagr. Fora normal Deformao para o tubo externo t
Alberto B. Vieira Jr.
Diagrama Fora Deformao para o conjunto
32
Alberto B. Vieira Jr.
33
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
COEF. DE POISSON, LEI DE HOOKE GENERALIZADA E DILATAO VOLUMTRICA
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
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Coeficiente de Poisson
= y x
y = x
Proporcionalidade entre duas deformaes ortogonais Alberto B. Vieira Jr.
- muito baixo pouca deformao lateral (Ex.: cortia, concreto); - Obs.: 0
0,5
escoamento, 0,5; - Para comportamento no-linear, usa-se o termo razo de contrao, ao invs de .
constante na fase elstica, mas varia quando h grandes deformaes. Ex.: ao: no
Condies para as deformaes laterais serem constantes no caso de um carregamento axial: - Material homogneo; - Material isotrpico ou ortotrpico; - Para cte., o regime deve ser elstico linear.
35
Lei de Hooke generalizada
Alberto B. Vieira Jr.
x
=
E
x
;
y
=
E
y
Estado plano de tenses
Influncia da deformao na outra direo:
x = x + ( y ) =
xE
yE
x =
Alberto B. Vieira Jr.
1 ( x y ) E 1 y = ( y x ) E
(I)
( II )
z =
E
(
x
+ y )
( III )
Lei de Hooke para o estado plano de tenses: Obteno das deformaes especficas em funo das componentes de tenso.
36
Eq. ( I ) : Eq. ( II ) :
1 ( x y ) E 1 y = ( y x ) y = E y + x E
x =
( II ) em ( I ) : x =
1 1 [ x ( E y + x )] x = [ x E y 2 x ] 1424 3 4 4 E Ey
x (1 2 ) = E x + E y
x = y =
E ( x + y ) 1 2 E ( y + x ) 1 2
Outra expresso da Lei de Hooke para o estado plano de tenses: Obteno das componentes de tenso em funo das deformaes especficas.
Lei de Hooke generalizada para o caso geral de estado de tenso
x =
E (1 ) x + ( y + z ) 1 2E (1 ) y + ( z + x ) 1 2 E (1 ) z + ( x + y ) 1 2
[
]] ]
y = z =
[
[
Lei de Hooke para o caso geral de estado de tenso: Obteno das componentes de tenso em funo das deformaes especficas.
37
Lei de Hooke para o Cisalhamento - Tenses e deformaes especficas de cisalhamento
Alberto B. Vieira Jr.
Sinais para a tenso de cisalhamento :
Sinais para a deformao especfica de cisalhamento :
(+) ()
- Face positiva - orientao positiva - Face negativa - orientao negativa - Face positiva - orientao negativa - Face negativa - orientao positiva
(+) :
Diminuio do ngulo entre faces de mesmo sinal Formao de ngulo agudo entre faces de mesmo sinal
Ensaio de toro para determinao do comportamento Tenso Deformao especfica no caso do cisalhamento=Tr Ip
Ex.: Y
1 Y 2
=
rl
Lei de Hooke para o cisalhamentoAlberto B. Vieira Jr.
= G
=
E 2(1 + )
G : Mdulo de elasticidadeem cisalhamento ou Mdulo de elasticidade transversal
38
Dilatao volumtricaL = L0 + L0 {L =
L = L0 ( 1 +
)
(*)
V = V0 + V0 ( x + y + z ) V = V0 (1 + x + y + z ) 14 244 4 3V
Definindo-se = dilatao = variao de volume por unidade (de volume): e (+) : aumento de volume;
e
V = V0 ( x + y + z );
e=
V V0
e= x + y +zAlberto B. Vieira Jr.
e (-) : reduo de volume; = L0 )
V = V0 e(assim como
Relao da dilatao e com as componentes de tenso:
e=
1 2 ( x + y + z ) E
(*) Deduo da variao de volume em funo do volume inicial e das deformaes especficas nas vrias direes:V0 = a b c; V = a ( 1 + x ) b (1 + y ) c ( 1 + z );
V = a b c (1 + x + y + z + x y + y z + x z + x y z )No caso de pequenas deformaes especficas,
x y ; y z ; x z ; x y z 0
y c b
V = V0 (1 + x + y + z ) = V0 ( 1 + e )
x z a
39
Ex. 1
Alberto B. Vieira Jr.
a) Determinar as variaes dimensionais ou deformaes x ; y e z b) Determinar a variao de volume da barra V
40
Comprovao:
Clculo da dilatao volumtrica e da variao volumtrica diretamente atravs das componentes de tenso:
41
Ex. 2: Ex. 54 (lista)
a) Calcular a variao no comprimento do lado AB; b) Calcular a variao no comprimento do lado BC; c) Calcular a variao no comprimento da diagonal AC;
42
Ex. 3
Vaso sem presso interna
Ao ASTM A-36 = 0,30
E = 200 GPa
Espessura de parede = 6 mm; Presso interna = 8,4 bars Aps a pressurizao do vaso, a) Qual a nova distncia entre os pontos A e B ?; b) Qual a nova distncia entre os pontos D e A ?; c) Qual a variao da distncia entre os pontos D e B ?
43
a)
x =
1 ( x y ) E 1 (70 0.3 140) x = 200 103
x E = 200 GPa = 0,30 pi = 8,4 bar
( ) =1,4 (10 ) mm / mm4
AB ' = AB (1 + x ) = 80 1 + 1,4 10 4
[
(
)]
AB ' = 80,0112 mm
t = 6,0 mm
b)1bar = 1 10 Pa = 100 kPa5
( )
pi = 8,4 (100 kPa ) pi = 840 kPa ou
pi = 0,84 MPa
1 ( y x ) E 1 (140 0.3 70) y = 200 103
y =
x =
pi D 0,84 2 (10 = 4t 4 6
3
)=
y70 MPa
( ) = 5,95 (10 ) mm / mm4
DA' = DA (1 + y ) = 60 1 + 5,95 10 4
[
(
)]
y =
pi D 0,84 2 103 = = 140 MPa 2t 2 6
( )
DA' = 60,0357 mm
c)AB ' = 80,0112 mm DA' = 60,0357 mm E = 200 GPa = 0,30 pi = 8,4 bar t = 6,0 mm
DB ' =
(AB ) + (DA )' 2
' 2
DB ' = 80,0112 2 + 60,0357 2 DB ' = 100,0304 mm
DB = (DB ' = 100,0304 ) (DB = 100 ) DB = 0,0304 mm
44
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
ENERGIA DE DEFORMAO
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
45
Aplicando a carga (fora) gradualmente, at atingir o valor
P,
cada valor intermedirio da fora produz um trabalho, pois se movimenta ao longo de d .
No havendo dissipao, esse trabalho fica armazenado na forma de Energia de Deformao U
Alberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
Comportamento elstico linear:
dU = F d
U=
P 2
Comportamento no-linear e/ou ocorrncia de plasticidade
Limite de proporcionalidade
En. de def. perdida (En. de def. inelstica)Alberto B. Vieira Jr.
Energia de deformao recuperada (En. de def. elstica)
U = F d0
46
Voltando ao caso do regime elstico linear:
=
Pl EA
P=
EA l
P U= 2Alberto B. Vieira Jr.
P2 l U= 2 EAMesma carga P :
ou
U=
E A2 2l
Mesma deformao :
l
U
l
U
EA UU = f P2
EA U(*)Obs: Somar a contribuio de cada trecho da estrutura para o total geral da Energia de Deformao no utilizar o princpio da superposio!
( )
ou
U= f 2
( )P ou a no linear! )
No vale o princpio da superposio para efeitos da influncia da carga ou de deformaes( A dependncia de U em relao a
Densidade de energia de deformao
u2E A Al
U u= V
P2 l, onde V: volume.
u=
P2 u= 2 E A2 u= E 2 2 l2
u=
22EE 2 2
(I)
E A 2(*) Obs.:
u=
2l Al=
u=
( II )
(I)
u =
22E
2 2
u=
2
Alberto B. Vieira Jr.
u=
2
47
Mdulo de resilincia
ur
Mdulo de tenacidade
ut
Capacidade do material absorver e liberar energia no regime elstico (energia recupervel) Capacidade do material absorver energia sem sofrer deformao permanente
Capacidade do material absorver energia sem fraturar
Alberto B. Vieira Jr.
ut
ur =
Y Y2
ur =
2 Y
2E
48
Ex.: 1
Calcular a energia de deformao da barra, U AC
Ex.: 2
Ex.: 3
Calcular a energia de deformao da barra, U AC
Calcular a energia de deformao da barra, U AC
49
Ex. 4
Equilbrio do n C conforme eixos locais adotados x e y
Calcular a energia de deformao do sistema
50
ENG 285 - Resistncia dos Materiais I-A Prof. Alberto B. Vieira Jr.
PRINCPIO DE SAINT-VENANT E CONCENTRAO DE TENSO
UFBA - ESCOLA POLITCNICA DEPTO. DE CONSTRUO E ESTRUTURAS
51
Princpio de Saint-VenantAlberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
A uma distncia suficiente do ponto de aplicao das cargas, as tenses e deformaes produzidas por sistemas equivalentes tendem a ser iguais. A uma distncia suficiente do ponto de aplicao das cargas, torna-se possvel o uso de expresses simplificadas para as distribuies de tenses e deformaes.
Concentrao de tenso
Alberto B. Vieira Jr.
Alberto B. Vieira Jr.
Fator de concentrao de tenso K
K=
max nom
max = K nom52
Fator de concentrao de tenso Furo interno
nom =
P (B d ) t
onde t : espessura
Fator de concentrao de tenso Reduo de largura
nom =
P bt
onde t : espessura
53
Fator de concentrao de tenso Presena de entalhes
nom =
P bt
onde t : espessura
54
Ex. 1
55
Ex. 2
( Ex. 58 Lista )
a ) " r" p / ( T = A ) = ? b) P / adm =150 MPa, Pmax = ?
a) " r" p / ( T = A ) = ?
b) P / adm =150 MPa, Pmax = ?
56
Ex. 3 (Ex. 4.16 Hibbeler)
57