Κρούσεις

ΓΕΛΔΕ Σαπών

2011 - 2012

ΦυσικήΓ’ Λυκείου

Στον μακρόκοσμο...

Όταν δύο μπάλες μπιλιάρδου συγκρούονται , έρχονται σε επαφή , δέχονται μεγάλες δυνάμεις(δράση – αντίδραση ) σε πολύ μικρό χρονικόδιάστημα και οι ταχύτητές τους μεταβάλλονται.

Στον μικρόκοσμο ...

τα σώματα δεν έρχονται σε επαφή. Εντούτοις πάλι δέχονται μεγάλεςδυνάμεις (δράση – αντίδραση ) σεπολύ μικρό χρονικό διάστημα και οιταχύτητές τους μεταβάλλονται. Μιλάμεγια σκέδαση.

Τι είναι κρούση...

ΚρούσειςΚεντρικές/Μετωπικές Έκκεντρες Πλάγιες

Οι ταχύτητες τωνσωμάτων πριν καιμετά την κρούση

έχουν ίδια διεύθυνση.

Οι ταχύτητες είναιπαράλληλες.Έχουν

διαφορετικούς φορείς.

Οι ταχύτητες έχουνδιαφορετικέςδιευθύνσεις.

Ανάλογα με τις διευθύνσεις των ταχυτήτων των σωμάτων πριν και μετά την κρούση...

Ανάλογα με το αν ισχύει ή όχι η αρχή διατήρησης της κινητικήςενέργειας :

ΚρούσειςΕλαστικές Ανελαστικές

Η κινητική ενέργεια τουσυστήματος διατηρείται. Δεν παράγεται θερμότητα.

Ένα μέρος της κινητικήςενέργειας του συστήματοςμετατρέπεται σε θερμότητα.

Η κινητική ενέργεια τουσυστήματος ΔΕ διατηρείταιΚαρχ = Κτελ

Καρχ = Κτελ + QQ = Καρχ - Κτελ

Πλαστική κρούση

Είναι ειδική περίπτωση ανελαστικήςκρούσης.Κατ’ αυτήν τα συγκρουόμενα σώματασχηματίζουν συσσωμάτωμα. ( κοινήταχύτητα. )Η παραγόμενη θερμότητα είναι σημαντική.

Έστω το σώμα πουκινείται με ταχύτητα υ :

υr

Ορίζεται ως ορμή το διανυσματικόμέγεθος : .P mυ=

ur rPur

Μέτρο : .P mυ=Μονάδα :

.1 kg ms

Θυμόμαστε τι είναι η ορμή...

Η διατήρηση της ορμής στις κρούσειςΓια να διατηρείται η ορμή, το σύστημα πρέπει να είναιΜΟΝΩΜΕΝΟ, δηλαδή να μην ασκούνται σ’αυτό εξωτερικέςδυνάμεις ή αν ασκούνται, να έχουν συνισταμένη ίση με τομηδέν.Επειδή η κρούση είναι φαινόμενο που διαρκεί ελάχιστοχρονικό διάστημα, οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεωνμπορούν να θεωρηθούν αμελητέες και επομένως τοσύστημα μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο.

Επομένως σε όλες τις περιπτώσεις πουέχουμε κρούση, ισχύει ηΑΡΧΗ ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

Αρχή διατήρησης της ορμής

Η ολική ορμή του συστήματος πριν την κρούσηισούται με την ολική ορμή του συστήματος μετά

την κρούση, δηλαδή

Pπριν = P μετά

Κεντρική ελαστική κρούση

Κεντρική ίδιες διευθύνσεις ταχυτήτων πριν και μετάτην κρούση

Ισχύουν : - Αρχή ∆ιατήρησης Ορμής- Αρχή ∆ιατήρησης Κινητικής Ενέργειας

υ1 υ2

m1m2

Έστω τα σώματα του σχήματος :

Για να συγκρουστούν πρέπει :

1υr

2υr

1 2υ υ>r r

Η εικόνα μετά την κρούση είναι :

1΄υr 2

΄υr

P Pαρχ τελ

αρχ τελ

=

Κ = Κ

r r / /1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 / 2 / 21 1 2 2 1 1 2 2

. . . .1 1 1 1. . .( ) .( )2 2 2 2

m m m m

m m m m

υ υ υ υ

υ υ υ υ

⇒ + = +

⇒ + = +

m1m2

m1m2

2 2 / 2 / 21 1 2 2 1 1 2 2. . .( ) .( ) ( 2 )m m m mυ υ υ υ+ = +

/ /1 1 2 2 1 1 2 2. . . . ( 1 )m m m mυ υ υ υ+ = +

/ /1 1 1 2 2 2( 1 ) .( ) .( - ) ( 3 )m mυ υ υ υ⇒ − =

2 / 2 / 2 21 1 1 2 2 2( 2 ) . ( ) . ( ) ( 4 )m mυ υ υ υ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

/ / / /1 1 1 1 1 2 2 2 2 2( 4 ) .( ).( ) .( - ).( + ) ( 5 )m mυ υ υ υ υ υ υ υ⇒ − + =

/ /1 1 1 2 2 2.( ) .( - ) ( 3 )m mυ υ υ υ− =

/ / / /1 1 1 1 1 2 2 2 2 2.( ).( ) .( - ).( + ) ( 5 )m mυ υ υ υ υ υ υ υ− + =

/ /1 1 2 2( 5 ) , ( 3 ) + ( 6 )υ υ υ υ⇒ + =

/ /1 1 1 1 2 2 2 2( 3 ) . . . - . ( 7 ) m m m mυ υ υ υ⇒ − =

Θα λύσουμε το σύστημα των ( 6 ) και ( 7 ).

/ /1 1 2 2+ ( 6 )υ υ υ υ+ =

/ /1 1 1 1 2 2 2 2. . . - . ( 7 ) m m m mυ υ υ υ− =

/ /1 1 1 1 1 2 1 2(6) . . . + . ( 8 )m m m mυ υ υ υ⇒ + =

Προσθέτω /1 1 1 2 2 1 2 22 . ( ). +( ). ( 9 )m m m m mυ υ υ⇒ = + −

/ 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2 = . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

/ /1 1 2 2+ ( 6 )υ υ υ υ+ =

/ /1 1 1 1 2 2 2 2. . . - . ( 7 ) m m m mυ υ υ υ− =

Αφαιρώ

/ 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2 = . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

/ /2 1 2 1 2 2 2 2(6) . . . + . ( 10 )m m m mυ υ υ υ⇒ + =

/1 2 1 1 2 1 2 2( ). ( ). 2 . ( 11 )m m m m mυ υ υ⇒ − − + = −

/ 2 1 21 2 1

1 2 1 2

2 = . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

/ 2 1 21 2 1

1 2 1 2

2 = . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

/ 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2= . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

/ 2 1 21 2 1

1 2 1 2

2= . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

Τελικά, κάθε φορά που θα έχουμε άσκηση με κεντρική, ελαστική κρούση, από την αρχή διατήρησης της ορμής και την αρχή διατήρησης κινητικής

ενέργειας ισχύουν:

Μερικές περιπτώσειςελαστικής κρούσης

Α. Σώματα ίδιων μαζών

/ 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2= . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

/ 2 1 21 2 1

1 2 1 2

2= . . m m mm m m m

υ υ υ−+

+ +

Αν m1 = m2 , τότε : /1 2 1 2

2 = . . m m mm m m m

υ υ υ υ−+ =

+ +

/2 1 2 1

2 = . . m m mm m m m

υ υ υ υ−+ =

+ +και

Έχουμε δηλαδή ανταλλαγή ταχυτήτων.

Β. To ένα σώμα είναι αρχικά ακίνητο υ2=0

1υr

2 0υ =r

1΄υr 2

΄υr

/ 1 2 1 12 1 1

1 2 1 2 1 2

2 2= . . 0 = . m m m mm m m m m m

υ υ υ−+

+ + +

/ 2 1 2 1 21 1 1

1 2 1 2 1 2

2= . 0 . . m m m m mm m m m m m

υ υ υ− −+ =

+ + +

Τι συμβαίνει ανm1>m2 και τι ανm1<m2 ;

Β1. Κινούμενο σώμα προσπίπτει σε ακίνητο πολύμεγαλύτερης μάζας. (υ2=0 και m2>>m1)

/ 12 1

1 2

2= . mm m

υ υ+

/ 1 21 1

1 2

. m mm m

υ υ−=

+2

1 12

0 . 0mm

υ υ−≈ = −

+

12

2.0 . 00 m

υ≈ =+

« Το σώμα μικρής μάζας ανακλάται με αντίθετη ταχύτητα »

« Το σώμα μεγάλης μάζας m2παραμένει ακίνητο»

Β1. Κινούμενο σώμα προσπίπτει σε ακίνητοπολύ μικρότερης μάζας. (υ2=0 και m1>>m2)

/ 12 1

1 2

2= . mm m

υ υ+

/ 1 21 1

1 2

. m mm m

υ υ−=

+

« Το σώμα μεγάλης μάζας συνεχίζει ακάθεκτο. »

11 1

1

0 . 0

mm

υ υ−≈ =

+

11 1

1

2 . 20

mm

υ υ≈ =+

Πρόσπτωση υπό γωνίαΑν η σφαίρα προσκρούσει ελαστικά και πλάγια σε τοίχο, αναλύουμε την ταχύτητά της σε δύο συνιστώσες, μιακάθετη στον τοίχο υχ και μία παράλληλη σ’αυτόν υψ.

Θα ισχύει : υχ΄ = - υχυy΄ = υy

Άρα για τη συνολική ταχύτητα μετά την κρούσηθα ισχύει :

υυυυυυ =+=+= 2222yxyx ΄΄΄

∆ηλαδή το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει. Για τις γωνίες....

΄y

y

υυ

ημα

υυ

ημπ

=

= υ = υ΄

υy = υy΄π = α

∆ηλαδή η γωνίαπρόσπτωσης ισούται με τηγωνία ανάκλασης.

ΠαρατηρήσειςΣτις ανελαστικές κρούσεις:

1. Απώλεια ενέργειας : Εαπωλ= Q = Κολ,αρχ - Κολ,τελ

2. Κλάσμα απώλειας ενέργειας

3. Ποσοστό % απώλειας ενέργειαςαρχολ

τελολαρχολ

αρχολ

π

,

,,

, ΚΚ−Κ

=Κ

= aEa

%100%,

,, ⋅Κ

Κ−Κ=

αρχολ

τελολαρχολa

Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής ΕνέργειαςΗ μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος ισούται με το άθροισμα τωνέργων όλων των δύνάμεων που ασκούνται στο σώμα.

∆Κ = ΣW Κτελ - Καρχ = W1 + W2 + W3 + …..

To έργο W μιας δύναμης είναι θετικό όταν η δύναμη είναι ομόρροπη τηςμετατόπισης και αρνητικό όταν είναι αντίρροπη.

Παράδειγμα 5.1

Παράδειγμα 5.2

Α∆Ο σε άξονες