Ορμή - Κρούσεις

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 1

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 2

Χτύπημα καράτε

�

Δl = υ Δt⇒Δt = Δlυ

= 1cm(υ f −υ i) /2

= 1cm7.5m /s

⇒Δt =10ms

�

F = ΔpΔt

= 45Κgm /s0.001s

= 4.5 ×104N!!!

q  Σπάσιμο μιας σανίδας ξύλου με την ώθηση

I = FΔt = Δp = mΔυ Δt πολύ μικρό και Δp = σταθ. è F μεγάλη

Ø  Σώματα:

ü Χέρι: Mxεριού=3Kg, ταχύτητα υχεριού=15m/s, ορμή pχεριού =45Κg m/s

ü Σανίδα: l=30 cm, κινείται ~1cm πριν σπάσει, ~500Nt για 1cm λύγισμα

Αν υποθέσουμε ότι η σανίδα σταματά το χέρι τότε:

Παράδειγµα

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 3

Δυο όµοιες µπάλες αφήνονται να πέσουν στο έδαφος από το ίδιο ύψος. Και στις δυο περιπτώσεις οι µπάλες έχουν την ίδια ταχύτητα προς τα κάτω καθώς χτυπούν στο έδαφος. Στην περίπτωση 1 η µπάλα αναπηδά ενώ στη περίπτωση 2 η µπάλα παραµένει κολληµένη στο έδαφος. Σε ποιά περίπτωση το µέγεθος της ώθησης από το έδαφος στη µπάλα είναι µεγαλύτερη;

(Α) Περίπτωση 1 (Β) Περίπτωση 2 (Γ) Ίδια και στις δυο περιπτώσεις

Περίπτωση 1 - Αναπήδηση

Ι = Δp ⇒ Ι = m υ f − m

υi

⇒ Ι = m υ f − −

υi( ) = 2mυ

vi vfx

y

Περίπτωση 2 – Μη αναπήδηση

Ι = Δp ⇒ Ι = m υ f − m

υi

⇒ Ι = m 0 − −υi( ) = mυ

Παράδειγµα

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 4

Ο Γιώργος µάζας 75kg και η Μαρία µάζας 50kg είναι ακίνητοι στηριζόµενοι στα πατίνια τους κοιτάζοντας ο ένας τον άλλο. Η Μαρία σπρώχνει το Γιώργο µε µια σταθερή δύναµη F = 45N για Δt = 3sec. Ποιός από τους δύο θα κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα µετά την ώθηση;

(Α) Γιώργος (Β) Μαρία (Γ) Έχουν την ίδια ταχύτητα

Γιώργος (κίνηση σε + διεύθυνση)

Ι = Δ!p = FΜ→ΓΔt = 45N ×3s =135Nsec

Ι =mΓ

!υ f −

!υi( ) =mΓυΓ

Μαρία (κίνηση σε – διεύθυνση)

Από τις 2 παραπάνω σχέσεις

υΓ =

135Nsec75kg =1.8m/ s

Ι = Δ!p = FΓ→ΜΔt = −45N( )×3s = −135Nsec Ι = mΜ

υ f −

υi( ) = −mυΜ

Από τις 2 παραπάνω σχέσεις

υΜ = −135Ns50kg = −2.7m/ s

Σηµειώστε:

!PΓ +!PM =75kg×1.8m

s+50kg× −2.7m

s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=135Ns −135Ns =0Ns ⇒

PΓ /M

f = 0 =PΓ /Mi

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 5

Κρούσεις

q  Ξέρουμε ότι

�

F ∑ = d p

dt⇒ d p =

F dt ⇒ d p =

F dt∫∫

Εξετάζουμε τη μάζα m2:

�

′ p 2 − p 2 =

F dt

ti

t f∫ = Δ p 2

Εξετάζουμε τη μάζα m1:

�

′ p 1 − p 1 = −

F dt

ti

t f∫ = Δ p 1

�

Δ p 1 = −Δ

p 2 Από τη στιγμή που οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες 2121 pppp ′+′=+⇒

t v2 m2

v1m1 (1) F12

m2

-F21

m1(2)

υ1

m1

υ2

m2(3)

q  Αν δύο σώματα συγκρουστούν τότε: Ø  Υπάρχει ώθηση (ο χρόνος αλλαγής ορμής είναι μικρός) Ø  Οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες και πολύ μεγαλύτερες από οποιαδήποτε εξωτερική δύναμη (σύστημα απομονωμένο)

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 6

Ελαστική κρούση – 1 διάσταση

�

m1 v 1 + m2

v 2 = m1 ′ v 1 + m2

′ v 2

�

12m1v1

2 + 12m2v2

2 = 12m1 ′ v 1

2 + 12m2 ′ v 2

2

Έχουμε 2 εξισώσεις και 2 αγνώστουs: v'1 και v'2. Λύνουμε για v'1 και v'2

Μετά από πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι για κρούσεις σε 1-διάσταση:

Aν m1= m2 τότε: v'2 = v1 και v'1 =v2

v2 m2 v1

m1 v2

m1 v1

m2

Διατήρηση ορμής

Διατήρηση κινητικής ενέργειας

τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες

q  Σε ελαστικές κρούσεις διατηρούνται η κινητική ενέργεια και η ορμή

�

′ v 1 = v1m1 −m2

m1 + m2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + v2

2m2

m1 + m2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

′ v 2 = v12m1

m1 + m2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ + v2

m2 −m1

m1 + m2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 7

Ελαστική κρούση

v1 −v2 =′v2 −′v1

Μή Ελαστικές και Πλαστικές κρούσεις

p1 +p2 =

′p1 +′p2

Δηλαδή οι σχετικές τους ταχύτητες είναι ίδιες πριν και μετά την κρούση ακόμα και αν οι μάζες τους είναι διαφορετικές

q  Μπορούμε να δείξουμε ότι

q  Σε μή ελαστικές κρούσεις ΔΕΝ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ η μηχανική ενέργεια

q  Επομένως υπάρχει μόνο μια εξίσωση, αυτή της διατήρησης της ορμής

q  Σε πλαστικές κρούσεις τα σώματα μένουν κολλημένα μετά την κρούση

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 8

−mσϕ .υi

2

2d1

d2 =12

2mσϕ . + Mτουβ .( ) mσϕ .2 υi

2

2mσϕ . + Mτουβ .( )2 −12

mσϕ .υi2

Κρούση σε 1-διάσταση - Παράδειγμα Μια σφαίρα 7gr όταν φεύγει από ένα πιστόλι προς ένα ακλόνητο ξύλινο τούβλο µάζας 1kg διεισδύει στο τούβλο σε βάθος 8cm. Το τούβλο κατόπιν τοποθετείται πάνω σε λεία επιφάνεια και είναι ελεύθερο να κινηθεί. Μια δεύτερη όµοια σφαίρα πυροβολείται µε την ίδια ταχύτητα και ίδια απόσταση από το όπλο προς το τούβλο. Σε πόσο βάθος θα εισχωρήσει η σφαίρα µέσα στο τούβλο στην δεύτερη περίπτωση;

Λύση Υποθέτουµε ότι οι ταχύτητες των 2 σφαιρών είναι ίσες και ότι η ίδια δύναµη απαιτείται ώστε οι σφαίρες να διεισδύσουν µέσα στο τούβλο. Αυτή η δύναµη δρα στη σφαίρα αντίθετα µε τη φορά της κίνησής της Ø  Για την 1η σφαίρα, από το θεώρηµα έργου-ενέργειας έχουµε:

W = Eκιν .f − Eκιν .

i = −Eκιν .i (1)

Ø  Από διατήρηση της ορµής στη 2η περίπτωση παίρνουµε:

(3)

⇒ d2 =

mσϕ . + Mτουβ .

2mσϕ . + Mτουβ .( ) d1

Αντικαθιστούµε την (1) και (3) στη (2)

Ø  Όµοια για τη 2η σφαίρα: (το τούβλο µπορεί να κινηθεί τώρα)

⇒−Fd2 =

12

mσϕ2 + mσϕ

1 + Mτουβ .( )υf2 − 1

2mσϕυi

2 (2)

⇒−Fd1 = − 1

2mσϕ .υi

2

⇒ F =

mσϕ .υi2

2d1

W = Eκιν .f − Eκιν .

i

�

⇒υ f =mσϕυ i

(2mσϕ + Mτουβ .)

�

pi = pf ⇒ mσϕυ i = (2mσϕ + Mτουβ .)υ f

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 9

Κρούσεις σε 2 διαστάσεις

p1 +p2 =

′p1 +′p2 όπου p = (px,py)

Δηλαδή είναι 2 εξισώσεις, µια για κάθε διεύθυνση (x,y) και υπάρχει και µια τρίτη εξίσωση λόγω διατήρησης της µηχανικής ενέργειας

Ø  Εποµένως χρειαζόµαστε κάτι ακόµα για τη τελική κατάσταση

q  Για ελαστικές κρούσεις

Αν m1, m2, v1, v2 είναι γνωστά τότε έχουµε 3 εξισώσεις µε 4 αγνώστους p'1x, p'1y, p'2x, p'2y

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 10

Κρούσεις σε 2 διαστάσεις - Παράδειγµα Ø  Το σώμα 1 πριν την κρούση κινείται με ταχύτητα v1i ενώ το σώμα 2 είναι σε ηρεμία v2i=0

Πριν τη κρούση Ø  Στη x-διεύθυνση η αρχική ορμή είναι m1v1i

Ø  Στη y-διεύθυνση η αρχική ορμή είναι μηδέν

q  Μετά την κρούση τα σώματα κινούνται με κάποιες γωνίες θ και φ ως προς την x-διεύθυνση

q  Μετά την κρούση τα σώματα έχουν συνιστώσες ταχύτητας στη y-διεύθυνση.

υ1xf = υ1

f cosθυ2x

f = υ2f cosφ

υ2yf = υ2

f sinφυ1y

f = υ1f sinθ

Μετά την κρούση

Η ορµή στην x-διεύθυνση είναι m1υ1f cosθ + m2υ2

f cosφ

Η ορµή στην y-διεύθυνση είναι m1υ2f sinθ + m2υ2

f sin −φ( )

Το σώμα 1 έχει ταχύτητα:

ενώ το σώμα 2 έχει ταχύτητα:

Το σώμα 1 έχει ταχύτητα: υ2yf = υ2

f sin −φ( )(κανονικά )

⇒ m1υ2f sinθ − m2υ2

f sinφ

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 11

Μεθοδολογία λύσης ασκήσεων q  Προσδιορίστε ένα σύστηµα συντεταγµένων και ορίστε τις ταχύτητες των σωµάτων του συστήµατος ως προς τους άξονες αυτού του συστήµατος

q  Σχεδιάστε και προσδιορίστε όλα τα διανύσµατα των ταχυτήτων και ότι άλλη πληροφορία σας δίνεται στο πρόβληµα

q  Γράψτε τις εξισώσεις για την x- και y- συνιστώσα της ορµής κάθε σώµατος πριν και µετά την κρούση.

q  Γράψτε τις εξισώσεις για την ολική ορµή του συστήµατος στην x-διεύθυνση πριν και µετά την κρούση και εξισώστε

q  Εξετάστε το είδος της κρούσης:

Ø  Για ελαστική κρούση, η µηχανική ενέργεια διατηρείται. Εξισώστε την µηχανική ενέργεια πριν και µετά την κρούση για να βρείτε επιπλέον σχέσεις µεταξύ των ταχυτήτων

Ø  Για µη ελαστική κρούση, η µηχανική ενέργεια δεν διατηρείται και θα χρειάζεστε και άλλες πληροφορίες από το πρόβληµα.

Ø  Για πλαστική κρούση, τα σώµατα έχουν την ίδια ταχύτητα µετά την κρούση. Λύστε τις εξισώσεις των ορµών ως προς τους αγνώστους.

Μην ξεχνάτε τα απαραίτητα πρόσηµα ανάλογα µε τη διεύθυνση

Επαναλάβετε και για την ολική ορµή στην y-διεύθυνση

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 12

Κρούσεις - Παραδείγματα

v1 m1

Πριν

m2 x

y

q  Από διατήρηση της ορμής έχουμε:

Μετά θ1

θ2

Έχουμε 3 εξισώσεις και θέλουμε να ξέρουμε θ1+θ2

q  Θα αποδείξουμε ότι σε ελαστική μη κεντρική κρούση δύο σωμάτων ίδιας μάζας, ένα εκ των οποίων αρχικά είναι ακίνητο, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων των τελικών ταχυτήτων είναι πάντοτε 90ο

�

(1) ˆ x mv1 + 0 = m ′ v 1 cosθ1 + m ′ v 2 cosθ2

�

(2) ˆ y 0 + 0 = m ′ v 1 sinθ1 − m ′ v 2 sinθ2

�

12mv1

2 + 0 = 12m ′ v 1

2 + 12m ′ v 2

2

�

(3) ⇒ v12 = ′ v 1

2 + ′ v 22 ⇒ v1

2 − ′ v 12 − ′ v 2

2 = 0

q  Από διατήρηση της ενέργειας έχουμε: �

⇒ v1 = ′ v 1 cosθ1 + ′ v 2 cosθ2

�

⇒ 0 = ′ v 1 sinθ1 − ′ v 2 sinθ2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 13

Παράδειγμα (συνέχεια) Υψώνουμε στο τετράγωνο τις σχέσεις (1) και (2) οπότε και παίρνουμε

Προσθέτοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουμε:

v12 = ′v1

2 + ′v22 + 2 ′v1 ′v2 cosθ1 cosθ2 − sinθ1 sinθ2( )

cos θ1 +θ2( ) = cosθ1 cosθ2 − sinθ1 sinθ2

Άρα καταλήγουμε με την σχέση:

Το αριστερό μέλος όμως είναι η (3) και επομένως

2 ′v1 ′v2 cos θ1 +θ2( ) = 0⇒ cos θ1 +θ2( ) = 0⇒θ1 +θ2 = 900

Σε 2-D τα σώματα είναι 90ο μακριά. Για 1-D η θ1 δεν ορίζεται

�

⇒ v12 = ′ v 1

2 cos2θ1 + ′ v 22 cos2θ2 + 2 ′ v 1 ′ v 2 cosθ1 cosθ2

�

⇒ 0 = ′ v 12 sin2θ1 + ′ v 2

2 sin2θ2 − 2 ′ v 1 ′ v 2 sinθ1 sinθ2

(1)΄

(2)΄

v12 = ′v1

2 + ′v22 + 2 ′v1 ′v2 cos θ1 +θ2( )⇒

v12 − ′v1

2 − ′v22 = 2 ′v1 ′v2 cos θ1 +θ2( )(3)΄

�

v1 = ′ v 1 cosθ1 + ′ v 2 cosθ2

�

0 = ′ v 1 sinθ1 − ′ v 2 sinθ2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 14

Παράδειγμα

m1 m2

v2 v1

Tη χρονική στιγµή t', η µάζα m1 έχει ταχύτητα v'1 και το ελατήριο συσπειρώνεται. Ποιά είναι η ταχύτητα v'2τη στιγµή t' ?

Ø  Από διατήρηση της ορμής:

m1!v1 + m2

!v2 = m1! ′v1 + m2

! ′v2 Mόνο η v'2 είναι άγνωστη

Ø  Από διατήρηση της ενέργειας:

12

m1v12 + 1

2m2v2

2 = 12

m1 ′v12 + 1

2m2 ′v2

1

Αυτή η σχέση δίνει την συσπείρωση του ελατηρίου τη στιγμή t'

Ελαστική κρούση που περιέχει μάζες και ελατήρια.

+ 1

2kx2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 15

Παράδειγμα - Πλαστική κρούση 1-D

v m M

Πριν

M+m

Μετά

Από διατήρηση της ορµής:

m!v + 0 = m+ M( ) ! ′v

Αν οι µάζες ήταν ίδιες τότε Μ=m και η παραπάνω σχέση δίνει: ! ′v =!v2

Παρατηρούµε ότι η κινητική ενέργεια πριν και µετά την κρούση είναι:

Kf =

12

2m( ) ′v 2 = m v2

4=

Ki

2⇒

Ένα µέρος της ενέργειας έχει χαθεί σε µορφή θερµότητας.

⇒ ! ′v = !v m

M + m

ΔK = K f − Ki = −m v2

4

Ki =

12

mv2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 16

Παράδειγμα – Πλαστική κρούση 2-D

θ=? 30ο

45ο

m

m

2m u=? v

v

Ποια είναι η τελική ταχύτητα u και η γωνία θ?

Η ορµή p είναι ένα διάνυσµα. Εποµένως όπως έχουµε δει αυτό σηµαίνει διατήρηση ως προς κάθε κατεύθυνση (αν ήµασταν στο χώρο 3-d)

Πριν την κρούση

px = mvcos300 + mvcos450

py = −mvsin300 + mvsin450

Μετά την κρούση

′px = 2mυ cosθ

′py = 2mυ sinθ

Σύµφωνα µε τη διατήρηση της ορµής:

Δηλαδή 2 εξισώσεις µε 2 αγνώστους (υ και θ)

Διαιρώντας την (1) µε την (2) έχουµε:

�

12− 12

32 + 1

2

= tanθ ⇒θ = 7.5°

Aπό την εξίσωση: px = ′px ⇒ mv

32

+ 1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2mυ cos7.50 ⇒υ = 0.79v

px = ′px

py = ′py

(1)

(2)

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 17

Quiz

Ø  Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας

Έτοιµοι;

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 18

Προβλήµατα ορµής/ώθησης µε µεταβαλλόµενη µάζα Τρένο κινείται µε σταθερή ταχύτητα, v=1m/sec, κάτω από ένα σιλό το οποίο αποθέτει σιτάρι µε ρυθµό 1kgr/sec.

Λύση Ποιο είναι το σύστηµά µας?

dmdt

= 1kgr / sec ρυθµός αύξησης του σιταριού

v

Σιτάρι που πέφτει: px= 0 αλλά υπάρχει py.

Το τρένο έχει σαν «εργαλεία» την κάθετη δύναµη και την τριβή

Τι δύναµη χρειάζεται για να συνεχίσει να κινείται το τρένο?

Το τρένο και το σιτάρι στο τρένο

Χτυπά στο τρένο, οπότε p´y= 0, ενώ αναπτύσσει p΄x To τρένο πρέπει να προσφέρει τη δύναµη για την αλλαγή αυτή της ορµής

Το σιτάρι ασκεί στο τρένο ίση και αντίθετη δύναµη και το τρένο επιβραδύνεται

Η µηχανή είναι αυτή που πρέπει να δώσει την ώθηση που χρειάζεται

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 19

Τρένο (συνέχεια) Θεωρείστε ένα µικρό χρονικό διάστηµα Δt

M f = Mi +

dmdt

Δt

pxi = Miv αφού θέλουµε vτρένου =σταθ.

Ix = Δpx = FxΔt = px

f − pxi = v dm

dtΔt ⇒

Fx =

dmdt

v = 1 msec

⋅1kgrsec

= 1N

Αυτή είναι η δύναµη που πρέπει να αναπτυχθεί από την µηχανή του τρένου ώστε το τρένο να εξακολουθεί να κινείται µε σταθερή ταχύτητα

px

f = Mi +dmdt

Δt⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

v

Αλλαγή της µάζας του τρένου

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 20

2ο Παράδειγµα - Πύραυλοι, αεροπλάνα κλπ

Μ v+dv

q  Κίνηση πυραύλων – Κλασικό πρόβληµα Πύραυλος µε αρχική µάζα MΠ Εκτοξεύει µάζα µε ταχύτητα Vεκτ (σχετικά µε τον πύραυλο).

Ποια είναι η ταχύτητα όταν η µάζα του είναι m

Λύση Για ένα αποµονωµένο σύστηµα (πύραυλος-εξάτµιση) ξέρουµε ότι

Ας υποθέσουµε ότι η µάζα του πυραύλου αλλάζει από Μ+dm σε Μ d!pdt

= 0⇒ p =σταϑ.

και η ταχύτητά του από v σε v+dv

Μ v

dm

v-vεκτ

dm

Μi=M+dm

ΦΥΣ 111 - Διαλ.23 21

Πύραυλος

⇒ dv

v i

v f∫ = −vεκτ

dMMMi

M f∫ ⇒ v f − v i = −vεκτ ln M( )Mi

M f

pi = p f ⇒ M + Δm( )v = M v + Δv( ) + Δm v − vεκτ( )

⇒ Mv + vΔm = Mv + MΔv + vΔm− vεκτ Δm( ) ⇒ MΔv = vεκτ Δm

⇒ v f = v i − vεκτ ln M f − ln Mi( )

⇒ v f = v i + vεκτ ln

Mi

M f

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ Απειρίζεται καθώς το Mf →0

Αν η αρχική µάζα του πυραύλου είναι M = 10 x m τότε v = 2.3vεκτ

Έστω τώρα ότι Δt → 0 τότε Δm →dm και ΔΜ →dM ενώ dm = -dM.

⇒ Mdv = −vεκτ dM ⇒ dv = −vεκτ

dMM

Δt →0

Το κέρδος σε ταχύτητα πολύ µικρό µεγαλώνοντας τη µάζα του πυραύλου

Εφαρµόζοντας διατήρηση της ορµής έχουµε:

Αν η µάζα είναι Μ = 100 x m τότε v = 4.6vεκτ