Πολυμεσική Θεωρία Ορμής - Διατήρησης Ορμής – Κρούσεις...

Λάμπρος Αδάμ

www.lam-lab.com

[email protected]

Η πολυμεσική προσέγγιση συνοπτικής θεωρίας Ορμής-

Διατήρησης Ορμής-Κρούσεις γίνεται με τη μέθοδο

«Ερώτηση - Απάντηση - Πείραμα στο διαδίκτυο - Λυμένο

Παράδειγμα - Εφαρμογή» με σκοπό να συμπεριληφθούν

οι περισσότερες περιπτώσεις που μπορεί να αντιμετωπίσει

ένας μαθητής Γ΄Λυκείου. Εμπεριέχονται οι ιδέες και οι

αποδείξεις του Βιβλίου Οργανισμού τόσο της Β΄ όσο και

της Γ΄ Λυκείου, αλλά η προσέγγισή μου δρα και

συμπληρωματικά. Φιλοδοξία μου είναι η προσέγγισή

μου να δικαιολογεί το χαρακτηρισμό «ΠΟΛΥΜΕΣΙΚΗ».

Αρωγός μου στη προσπάθεια αυτή θα είναι το site μου:

www.lam-lab.com.

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις Γ΄ Λυκείου

Πολυμεσική Προσέγγιση Θεωρίας: Διατήρηση Ορμής-Κρούσεις Γ΄ Λυκείου 1

w w w . l a m - l a b . c o m a d a m l s c p @ g m a i l . c o m

1η Ερώτηση: Όταν λέμε «Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις» ενός συστήματος τι εννοούμε;

Πότε ένα σύστημα είναι μονωμένο;

Απάντηση:

Αρχικά ορίζουμε το σώμα ή τα σώματα που θα αποτελούν το σύστημά μας. Όλα τα υπόλοιπα σώματα, εκτός του συστήματός μας, αποτελούν το περιβάλλον του.

Σε ένα σύστημα σωμάτων διακρίνουμε δύο είδη δυνάμεων:

α) αυτές που εμφανίζονται αποκλειστικά μεταξύ των σωμάτων που αποτελούν το σύστημα και τις οποίες ονομάζουμε εσωτερικές, και

β) τις δυνάμεις που προέρχονται από σώματα του περιβάλλοντος, εκτός συστήματος, σε σώμα ή σώματα του συστήματος μας και οι οποίες ονομάζονται εξωτερικές.

Παράδειγμα: Ας εξετάσουμε το σύστημα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο μαγνήτης και η σφαίρα έχουν στερεωθεί πάνω σε αμαξάκια τα οποία μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές σε ένα οριζόντιο τραπέζι. Ποιες είναι οι εσωτερικές και ποιες οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται 1) σε κάθε ένα σώμα και 2) στα δύο σώματα, θεωρούμενα ως ένα σύστημα;

Ας τις προσδιορίσουμε αναλυτικά:

Στο μαγνήτη ασκούνται οι δυνάμεις:

α) Το βάρος του Β1.

β) Η αντίδραση N1 από την επιφάνεια στην οποία βρίσκεται.

γ) Η έλξη F από τη μεταλλική σφαίρα.

Στη μεταλλική σφαίρα ασκούνται οι δυνάμεις:

α) Το βάρος του Β2.

β) Η αντίδραση N2 από την επιφάνεια στην οποία βρίσκεται.

γ) Η έλξη F΄ από το μαγνήτη.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Μαγνήτης Β1 , N1 , F Δυνάμεις μεταξύ μορίων μαγνήτη

Μεταλλική σφαίρα Β2 , N2 , F΄ Δυνάμεις μεταξύ μορίων σφαίρας

Μαγνήτης+ Μεταλλική σφαίρα Β1 , N1 , Β2 , N2 F , F΄, Δυνάμεις μεταξύ μορίων

Μονωμένο σύστημα ονομάζουμε το σύστημα στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή αν ασκούνται έχουν μηδενική συνισταμένη. Άρα:

0

ώF

ύ

έ



Στο παράδειγμά μας ισχύει Β1 = Ν1 και Β2 = Ν2 .

Συνεπώς μόνο το σύστημα [μαγνήτης + μεταλλική σφαίρα] είναι μονωμένο. Έτσι η κίνησή τους θα καθορίζεται αποκλειστικά από τις εσωτερικές δυνάμεις.

2η Ερώτηση: Ποιο μέγεθος ονομάζουμε ορμή και ποια είναι η σχέση του μέτρου της ορμής

και της κινητικής ενέργειας ενός σώματος;

Απάντηση:

► Ορμή ενός σώματος: Ορίζουμε την ορμή p ενός σώματος ως το φυσικό μέγεθος που η τιμή του

εξαρτάται από τη μάζα και την ταχύτητα του σώματος. Συγκεκριμένα είναι:

Η ορμή, όπως προκύπτει από τη διπλανή σχέση, είναι μέγεθος διανυσματικό, που έχει κατεύθυνση την κατεύθυνση της

ταχύτητας του σώματος και η τιμή του είναι:

p = m·υ

Η μονάδα μέτρησής της στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων S.I. είναι το 1kg.m/s.

Προσοχή: Το σώμα μάζας m μπορεί να είναι ή υλικό σημείο ή στερεό σώμα που κάνει μεταφορική κίνηση!

► Σχέση μέτρου ορμής p και κινητικής ενέργειας Κ ενός σώματος:

2

222

2

1

mέή

mpmpή

} έάώ

m

pK

2

2

Δηλαδή μεταξύ δύο σωμάτων που έχουν την ίδια κατά μέτρο ορμή, μεγαλύτερη κινητική ενέργεια έχει το σώμα με την μικρότερη μάζα!

► Μια εφαρμογή:

Λόγω Αρχής Διατήρησης της Ορμής (βλέπε παρακάτω) αποδεικνύεται ότι κατά την εκπυρσοκρότηση ενός όπλου, η ορμή του όπλου είναι αντίθετη της ορμής του βλήματος, όμως η κινητική ενέργεια του μικρότερης μάζας βλήματος είναι πολύ μεγαλύτερη της κινητικής ενέργειας του όπλου. Γι αυτό και αν μας συναντήσει το βλήμα «θα μας πάνε τέσσερεις…», ενώ η κάνη απλά μας τινάζει λίγο το ώμο μας προς τα πίσω!



► Ορμή συστήματος 2 σωμάτων:

Έστω 1p και 2p οι ορμές δύο

σωμάτων οι οποίες σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Τότε η ολική

ορμή p του συστήματος των δύο

αυτών σωμάτων θα είναι ίση με:

21 ppp

To μέτρο της ολικής ορμής είναι:

21

2

2

2

1 2 ppppp

Ενώ η διεύθυνσή της δίνεται από τη σχέση:

21

2

pp

p

► Διερεύνηση της παραπάνω σχέσης:

Αν φ=0 ( 1p , 2p =ομόρροπα) τότε: pολ=p1+p2

Αν φ=1800 ( 1p , 2p =αντίρροπα) τότε: pολ=|p1-p2|

ή

Όταν p1>p2 Όταν p1<p2

Αν φ=900 ( 1p , 2p =κάθετα) τότε:

2

2

2

1 ppp (μέτρο)

1

2

p

p

(διεύθυνση)



3η Ερώτηση: Αποδείξαμε ότι η σχέση μέτρου ορμής και κινητικής ενέργειας για ένα σώμα

είναι: m

pK

2

2

. (1)

Για ένα σύστημα σωμάτων ισχύει αντίστοιχα: ??2

2

m

pK (2) ή

ΕΡΩΤΗΣΗ 5.1 του σχολικού βιβλίου: Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος;

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ: Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να μην έχει κινητική ενέργεια, αλλά να έχει ορμή;

Απάντηση: Ο Χ Ι Δ Ε Ν Ι Σ Χ Υ Ε Ι Η Σ Χ Ε Σ Η ( 2 ) Γ Ι Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Σ Ω Μ Α Τ Ω Ν !

Έστω ότι ένα σύστημα αποτελείται από 2 σώματα με μάζες m1 και m2, τα οποία έχουν κινητικές

ενέργειες αντίστοιχα Κ1 και Κ2, ενώ οι αντίστοιχες ορμές τους είναι 1p , 2p . Τότε η κινητική

ενέργεια του συστήματος θα είναι:

Κσυστ = Κ1 + Κ2

Λόγω του ότι ισχύει η σχέση (1) , μπορούμε να γράψουμε για την κινητική ενέργεια συστήματος:

2

2

2

1

2

121

22 m

p

m

pKKK (3) Κινητική ενέργεια συστήματος 2 σωμάτων

Ενώ για την ορμή του συστήματος ισχύει η διανυσματική σχέση:

21 ppp (4) Ορμή συστήματος 2 σωμάτων

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΡΩΤΗΣΗ 5.1 του σχολικού βιβλίου:

Ναι, ένα σύστημα 2 σωμάτων μπορεί να έχει μηδέν ορμή και αυτό συμβαίνει όταν οι ορμές των σωμάτων είναι αντίθετες και διάφορες του μηδενός η καθεμία ορμή. Αυτό βγαίνει από τη σχέση (4):

2121 0 ppppp Τότε από τη σχέση (3) , αν p1=p2≠0, καταλήγουμε

ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι διάφορη του μηδενός.

Άρα ένα σύστημα 2 σωμάτων μπορεί να έχει κινητική ενέργεια, χωρίς να έχει ορμή.

Αν όμως 1 σώμα δεν έχει ορμή τότε, με βάση τη σχέση (1), δεν μπορεί να έχει κινητική ενέργεια και το αντίστροφο!

Αν όμως ένα σύστημα 2 σωμάτων δεν έχει κινητική ενέργεια, τότε το σύστημα δεν μπορεί να έχει ορμή, αφού:

0000)4(

21

)1(

2121 pppKKKKK



4η Ερώτηση: ποια σχέση συνδέει τη μεταβολή της ορμής, τη δύναμη που ασκείται στο σώμα,

με αποτέλεσμα να αλλάζει η ορμή του και το χρόνο δράσης της δύναμης; Ή αλλιώς πως εμφανίζεται ο 2ος νόμος του Νεύτωνα σε σχέση με τη μεταβολή ορμής ενός σώματος;

Απάντηση: Τη σχέση αυτή μπορούμε να τη βρούμε, αν συνδυάσουμε το θεμελιώδη νόμο της

Μηχανικής. Δηλαδή όταν σε σώμα μάζας m ασκηθεί συνισταμένη δύναμη F τότε αυτό θα

αποκτήσει επιτάχυνση a και έτσι ισχύει:

)5(

ή

ή

ό

t

p

t

ppF

t

mm

tmamF

------------**********----------

5η Ερώτηση: Ποιες εφαρμογές διέπουν τη σχέση (5) ?

Που μπορούμε να καταλήξουμε διερευνώντας τη σχέση (5) ?

1η ΕΦΑΡΜΟΓΗ:

Το τεράστιας μάζας δεξαμε-νόπλοιο, του σχήματος, έχει τεράστια ορμή και για να σταματήσει πρέπει να υποστεί τεράστια μεταβολή ορμής :

tFp

Για να συμβεί αυτό πρέπει η δύναμη τριβής από το νερό, να δράσει για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα (μεγάλο Δt).

Γι αυτό και σβήνει τις μηχανές του περίπου 25km πριν φτάσει στο λιμάνι!



2η ΕΦΑΡΜΟΓΗ:

* Σημείωση: Ώθηση ονομάζεται το γινόμενο (δύναμη)*(χρόνο δράσης)



Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Γ΄Λυκείου/Κρούσεις/Διατήρηση Ορμής

Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα:

Crash Test: ΓΙΑΤΙ Ο ΟΔΗΓΟΣ ΜΑΛΛΟΝ ΤΗ ΓΛΥΤΩΝΕΙ ΟΤΑΝ

ΑΝΟΙΓΕΙ Ο ΑΕΡΟΣΑΚΟΣ, ΕΝΩ ΤΟ SUBARU WRX ΟΧΙ?

3η ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν στη σχέση tFp η δύναμη είναι σταθερή ( ήF ) τότε η

μεταβολή ορμής θα είναι ομόρροπο διάνυσμα με το διάνυσμα της συνι-σταμένης δύναμης:

Αν ήF τότε p ↑↑ F

Άσκηση με ιδέα αυτή της 3ης Εφαρμογής:

Ένα σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0 και μετά από λίγο περνά από τη θέση Α με

ταχύτητα υ1 και στη συνέχεια από τη θέση Β, έχοντας ταχύτητα υ2, όπως στο πρώτο σχήμα.

υ0→

→υ

→υ2

1

Α

BΔp

→ Δp→

Δp→

Δp→

(1) (2) (3) (4)

Δp→

(5)

http://www.lam-lab.com/kataskeyes-sxoleio-projects/g-lykeioy/kroyseis-doppler/diatirisi-ormis/



Ποιο από τα επόμενα σχήματα παριστά το διάνυσμα της μεταβολής της ορμής του σώματος, από τη

θέση Α μέχρι τη θέση Β; Δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα.

Στο σχήμα (2) το διάνυσμα έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας υ1 και στο (3) την κατεύθυνση της υ2.

Απάντηση:

Η μεταβολή της ορμής έχει την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη

που δέχεται το σώμα, σύμφωνα με το γενικευμένο νόμο του

Νεύτωνα:

t

PF

Άρα εδώ το σωστό διάγραμμα είναι το (1), αφού η μόνη

δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι το βάρος του, δύναμη

κατακόρυφη, συνεπώς κατακόρυφη της ίδιας διεύθυνσης θα

είναι και η μεταβολή της ορμής.1

4η ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν ενός σώματος είναι γνωστά τα διανύσματα της αρχικής του ορμής 1p

και της τελικής του ορμής 2p , τότε πως υπολογίζεται η μεταβολή της ορμής

12 ppp (αφαίρεση διανυσμάτων) που υπέστη το σώμα;

Απάντηση:

Η μεταβολή (αφαίρεση) δύο διανυσμάτων είναι ουσιαστικά πρόσθεση του τελικού διανύ-σματος με το αντίθετο του αρχικού. Δηλαδή:

)( 1212 ppppp

1 Πηγή: Διονύσης Μάργαρης: www.ylikonet.gr

υ0→

→υ

→υ2

1

Α

B

Δp→

w→

www.ylikonet.gr



Άσκηση: ΑΦΑΙΡΩΝΤΑΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ: Στις παρακάτω ερωτήσεις θεωρείστε ότι το σώμα δέχεται μια δύναμη F, αμελητέας χρονικής διάρκειας, η οποία του μεταβάλει την

ορμή.

1) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα (α). Για να κινηθεί όπως στο σχήμα

(β) πρέπει να δεχτεί δύναμη. Ποιο από τα παρακάτω σχήματα μπορεί να δείχνει την

κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης;

F

1

2

F F

F

)a( )(




F

1

2

F F

F

)a( )(




F

1

2

F

F

F

)a( )(






F

1

2

F

F

F

)a( )(

2

2

2

Απάντηση:

Από το γενικευμένο νόμο του Νεύτωνα, παίρνουμε:

FΔt

P

Πράγμα που σημαίνει ότι η δύναμη έχει την ίδια πάντα κατεύθυνση με τη μεταβολή της

ορμής!

1) Στο πρώτο σχήμα:

1

2

)a( )( 2P

1P

P

F

12 ppp

Δp=p2-p1>0 φορά δεξιά.

Δηλαδή η μεταβολή της ορμής είναι προς τα δεξιά, άρα προς τα δεξιά και η ασκούμενη

δύναμη.

2) Στο δεύτερο:

2P

1PP

F

1

2

)a( )(



12 ppp

Δp=p2-p1<0 φορά αριστερά.

Η μεταβολή της ορμής είναι προς τα αριστερά, άρα προς τα αριστερά και η ασκούμενη

δύναμη.

3) Στο τρίτο:

F

1

2

)a( )(

2P

1P

1P

P

Η μεταβολή της ορμής υπολογίζεται με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου, αφού:

1212 PPPPP

Οπότε την ίδια κατεύθυνση θα έχει και η ασκούμενη δύναμη. 4) Στην τέταρτη περίπτωση:

F

2P

1P

1P

P

1

2

)a( )(

Σύμφωνα και με την προηγούμενη περίπτωση.2

------------**********----------

6η Ερώτηση: Πως από τη σχέση tFp καταλήγουμε στην Αρχή Διατήρησης της Ορμής ?

Απάντηση: Αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων 0 F τότε το σύστημα είναι

μονωμένο οπότε η ορμή του μονωμένου συστήματός μας δεν θα μεταβάλλεται: 0p , δηλαδή

pppp 0

2 Πηγή: Διονύσης Μάργαρης www.ylikonet.gr

www.ylikonet.gr



► 1ο video εφαρμογή Α.Δ.Ο. στο www.lam-lab.com Μεταβαίνουμε στο www.lam-lab.com/Γ΄Λυκείου/Κρούσεις/Διατήρηση Ορμής


Τη στιγμή της έκρηξης του Challenger διατηρείται η ορμή πριν και μετά την έκρηξη; ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ...... ΚΑΙ.... LIVE ΕΚΡΗΞΗ ΤΟΥ CHALLENGER ΣΤΙΣ 1/28/1986



Πως γίνεται να διατηρείται η ορμή, αφού το τρίκυκλο επιταχύνεται όταν ο πυροσβεστήρας μπαίνει σε λειτουργία;

ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΟΥ ΜΙΤ: Fire Extinguisher on a Tricycle



Οι άνθρωποι αλληλοτραβιούνται και παρόλα αυτά το κίτρινο σημείο (κέντρο μάζας τους) δεν κινείται. Γιατί;

http://www.lam-lab.com/







ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΤΟΥ ΜΙΤ: ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΡΟΤΣΑΚΙΑ+ΑΝΘΡΩΠΟΙ


Βλέπετε το παρακάτω video και απαντάτε στο ερώτημα: ΜΗΠΩΣ ΣΤΗΝ ΕΚΡΗΞΗ ΤΩΝ ΒΕΓΓΑΛΙΚΩΝ ΒΛΕΠΕΤΕ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ?



ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2 ΚΑΡΟΤΣΑΚΙΑ+ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΕΙΝΑΙ ΜΟΝΩΜΕΝΟ ΑΠΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ. ΒΛΕΠΕΤΕ ΟΤΙ Η ΟΡΜΗ ΤΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΕΝ ΑΛΛΑΖΕΙ, ΠΑΡΟΛΟ ΠΟΥ Η ΟΡΜΗ ΤΟΥ ΚΑΘΕ ΚΑΡΟΤΣΙΟΥ ΑΛΛΑΖΕΙ? (VIDEO: Πανεπιστήμιο ΜΙΤ)








7η Ερώτηση: Πότε ισχύει και πότε δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής στις κρούσεις;

Συνήθως λέμε ότι σε κάθε κρούση ισχύει η ΑΔΟ και ξεχνάμε να πούμε ότι το σύστημα των σωμάτων είναι μονωμένο. Είναι «λογικό» να γίνεται αυτό; Η αλήθεια είναι ότι στην συντριπτική πλειονότητα των κρούσεων είναι σωστό. Ας δούμε όμως τα πράγματα από πιο κοντά… Παράδειγμα 1°: Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται μια σφαίρα Α και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητη σφαίρα Β. Ισχύει η Α.Δ.Ο.;

Στο σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σφαίρα στη διάρκεια της κρούσης. Στον κατακόρυφο άξονα y κάθε σφαίρα ισορροπεί και ΣFy=0. Συνεπώς για κάθε σφαίρα η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική, οπότε και το διανυσματικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν. Το σύστημα είναι μονωμένο και οι μεταβολές της ορμής κάθε σφαίρας, οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις F1-F2. Έτσι ισχύει η Α.Δ.Ο και μπορούμε να γράψουμε:

Παράδειγμα 2°: Ένα σώμα Α κατεβαίνει κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου και σε μια στιγμή συγκρούεται με σώμα Β, που ελάχιστα πριν τη κρούση δεν είχε ταχύτητα. Ισχύει η Α.Δ.Ο.;



Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στα δύο σώματα. Στη διάρκεια της κρούσης, στην διεύθυνση την παράλληλη στο επίπεδο, εκτός των εσωτερικών δυνάμεων F1, F2 ασκούνται και οι συνιστώσες των δύο βαρών W1x και W2x που είναι εξωτερικές δυνάμεις για το σύστημα. Όμως οι ωθήσεις αυτών των δυνάμεων είναι αμελητέες σε σχέση με τις ωθήσεις των εσωτερικών δυνάμεων F1-F2. Έτσι εφαρμόζουμε για το σύστημα την Α.Δ.Ο….. (Ώθηση μιας σταθερής δύναμης ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει την κατεύθυνση της δύναμης και μέτρο Ω=F·Δt, όπου Δt ο χρόνος που ασκείται σε ένα σώμα). Συμπέρασμα: Όταν οι εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα είναι μικρές και επίσης απειροστός ο

χρόνος δράσης τους, τότε το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο! Παράδειγμα 3°: Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Α μάζας Μ. Ένα βλήμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ που σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, σφηνώνεται στο σώμα Α. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση.

Προφανώς το βλήμα έχει ορμή στην διεύθυνση της ταχύτητας υ, ενώ μετά την κρούση το συσσωμάτωμα θα κινηθεί οριζόντια. Η ορμή λοιπόν του συστήματος δεν διατηρείται για την κρούση αυτή. Στο (β) σχήμα έχουμε σχεδιάσει τις εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης. Για να μηδενιστεί η ορμή στον κατακόρυφο άξονα, θα πρέπει η κάθετη αντίδραση του επιπέδου να είναι πολύ μεγαλύτερη του βάρους!!!



Δεν υπάρχουν όμως εξωτερικές δυνάμεις στον οριζόντιο άξονα, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε την διατήρηση της ορμής για τον άξονα x:

3 Άρα η διατήρηση της ορμής ισχύει σε άξονα κάθετο στα «τέρατα» δυνάμεις!

-----------------**********----------------

8η Ερώτηση: Τι ονομάζουμε κρούση γενικά αλλά και στην ατομική

φυσική;

Απάντηση: Όταν δύο σώματα συγκρούονται, για παράδειγμα όταν χτυπάνε δύο μπάλες του μπιλιάρδου (σχ. 5.1), η κινητική κατάστασή τους ή τουλάχιστον ενός από αυτά μεταβάλλεται απότομα. Οι απότομες αυτές αλλαγές της κίνησης προκαλούνται από τις ισχυρές δυνάμεις που αναπτύσσονται ανάμεσα στα σώματα που συγκρούονται, κατά τη μικρή διάρκεια της επαφής τους.

Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο όπου

συμπεριλαμβάνει και φαινόμενα όπου τα "συγκρουόμενα"

σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Για παράδειγμα όταν

ένα σωματίδιο α (πυρήνας He) κινείται προς ένα άλλο

πυρήνα (Π), οι αλληλεπιδράσεις τους, που είναι πολύ

ασθενείς όταν βρίσκονται μακριά, γίνονται πολύ ισχυρές

όταν τα σωματίδια πλησιάσουν με αποτέλεσμα την

απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση. Η χρονική

διάρκεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης είναι πολύ μικρή. Αν μπορούσαμε να

κινηματογραφήσουμε το φαινόμενο θα βλέπαμε ότι μοιάζει με τη σύγκρουση δύο σωμάτων, μόνο

που εδώ τα σώματα δεν έρχονται σε επαφή. Ονομάζουμε, λοιπόν, κρούση και κάθε φαινόμενο του

μικρόκοσμου, στο οποίο τα "συγκρουόμενα " σωματίδια, αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες

δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Το φαινόμενο αυτό στη σύγχρονη φυσική ονομάζεται

και σκέδαση (σχ. 5.2).

3 Πηγή: Διονύσης Μάργαρης www.ylikonet.gr

www.ylikonet.gr



9η Ερώτηση: Πως διακρίνονται οι κρούσεις ανάλογα με τον φορέα των ταχυτήτων των

σωμάτων πριν συγκρουστούν; Απάντηση: Διακρίνονται σε κεντρικές (ή μετωπικές), σε έκκεντρες και σε πλάγιες. Κεντρική, (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Αν τα σώματα που συγκρούονται είναι σφαίρες και η κρούση τους είναι κεντρική, οι ταχύτητές τους μετά την κρούση θα βρίσκονται επίσης στην ίδια (αρχική) διεύθυνση (σχ. 5.3).

Έκκεντρη, ονομάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες (σχ. 5.4α).

Πλάγια ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις (σχ. 5.4β).

10η Ερώτηση: Πως κατατάσσονται οι κρούσεις ανάλογα με το αν χάνουν κινητική ενέργεια

τα συγκρουόμενα σώματα ή όχι;

Απάντηση: Κατά τη σύγκρουση δύο σωμάτων ένα μέρος της μηχανικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Στην ιδανική περίπτωση που η κινητική ενέργεια των σωμάτων δε μεταβάλλεται με την κρούση, η κρούση ονομάζεται ελαστική. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο αμελητέας χρονικής διάρκειας, η βαρυτική δυναμική ενέργεια των σωμάτων - που εξαρτάται από τη θέση τους στο χώρο - δε μεταβάλλεται. Επομένως :



Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των

συγκρουόμενων σωμάτων.

ά

ήήύ

ή

:

Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση. Προσεγγιστικά ελαστική μπορεί να θεωρηθεί η κρούση ανάμεσα σε δύο πολύ σκληρά σώματα, όπως ανάμεσα σε δύο μπάλες του μπιλιάρδου. Στο μικρόκοσμο όμως έχουμε κρούσεις απολύτως ελαστικές όπως αυτή που περιγράψαμε προηγουμένως ανάμεσα στο σωμάτιο α και τον πυρήνα.

Ανελαστική, ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα.

Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που

οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων - στη δημιουργία

συσσωματώματος. Αυτή η κρούση ονομάζεται πλαστική.

ό

ά

ήή Q

ύ

ήή

ή

:

ή Εικ. 5.4 Η κρούση ανάμεσα στα αυτοκίνητα της εικόνας είναι σχεδόν πλαστική.

ήή

ά

ήήόQ

ύ

ήή

ή

:

Το ποσοστό (π) επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που μετατρέπεται σε θερμότητα, κατά τη διάρκεια μιας ανελαστικής κρούσης, βρίσκεται με την απλή μέθοδο των

τριών: Από την ή

ή

μετατράπηκε σε θερμότητα: ήόQ

Στα 100 π=?

Άρα:

%100||

%100

ήή

Q



Σπουδαίες παρατηρήσεις:

1. Εκτός από τη θερμότητα στις ανελαστικές κρούσεις έχουμε συναντήσει άλλη μια θερμότητα και

συγκεκριμένα τη θερμότητα που αναπτύσσεται κατά την κίνηση ενός σώματος, όταν σε αυτό

αναπτύσσεται σταθερή τριβή ολίσθησης. Δηλαδή:

ήόήs

sTWίή

έό

ίή

όόQ

ίTό

.

2. Αν δεν έχουμε ανελαστική κρούση, αλλά έχουμε μια ΕΚΡΗΞΗ, τότε η κινητική ενέργεια του

συστήματος αυξάνει, δηλαδή μέρος της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος πριν την έκρηξη

(χημική ενέργεια βόμβας) μετατρέπεται σε αύξηση κινητικής ενέργειας του συστήματος, μετά

την έκρηξη. Δηλαδή:

.. KKKE

έ

έ

ύά

ήώ

11η Ερώτηση: Σε ποια συμπεράσματα καταλήγουμε κατά τη μελέτη μετωπικής ελαστικής

κρούσης δύο σωμάτων, που κάνουν μεταφορική κίνηση;

Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 κινούνται με ταχύτητες υ1 και υ2, όπως στο παρακάτω σχήμα. Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και μετά την κρούση έχουν ταχύτητες υ1΄ και υ2'. Εάν γνωρίζουμε τις ταχύτητες των σφαιρών πριν την κρούση και τις μάζες τους μπορούμε να υπολογίσουμε τις ταχύτητές τους μετά την κρούση.



υ1 + υ1' = υ2 + υ2' (5.5)

Επιλύοντας το σύστημα των (5.1) και (5.5) ως προς υ1' και υ2' βρίσκουμε

Σημείωση :

Κατά τον υπολογισμό των ταχυτήτων των σφαιρών υποθέσαμε ότι οι σφαίρες μετά την κρούση συνεχίζουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Αν μετά τις πράξεις προκύψει αρνητική τιμή για την υ1’ θα συμπεράνουμε ότι η Σ1 άλλαξε φορά κίνησης μετά την κρούση.

Αν πριν την κρούση η σφαίρα Σ2 κινείται προς τα αρνητικά τότε η ταχύτητα υ2 θα αντικατασταθεί με την αρνητική της αλγεβρική τιμή και τότε οι ταχύτητες υ1’ και υ2’ μπορεί να είναι είτε θετικές είτε αρνητικές , οπότε μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται στη θετική κατεύθυνση ή στην αρνητική κατεύθυνση αντίστοιχα.

Γενικά όλες οι ταχύτητες πριν και μετά την κρούση αντικαθίστανται με τις αλγεβρικές τους τιμές, αν στο πρόβλημα είναι γνωστή η φορά κίνησης.



► ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ (5.6) και (5.7)

Α) Στην περίπτωση όπου m1 = m2 οι (5.6) και (5.7) γίνονται

υ1΄=υ2 και υ2'=υ1

Δηλαδή οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες.

Β) Στην περίπτωση που η Σ2 ήταν ακίνητη πριν την κρούση υ2=0 οι (5.6) και (5.7) γίνονται:



1

21

21'

1

mm

mm (5.8)

1

21

1'

2

2

mm

m (5.9)



Απούσης της βαρύτητας διατηρείται η ορμή κατά την ελαστική κρούση των μπαλών του τέννις;

ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΟ ΣΤΑΘΜΟ: ΔΕΙΤΕ ΤΙΣ ΜΠΑΛΛΕΣ ΤΟΥ ΤΕΝΝΙΣ ΝΑ ΑΝΤΑΛΛΑΣΟΥΝ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ

ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

Γ) ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ ΜΑΖΑΣ

Αν η σφαίρα Σ2 της προηγούμενης παραγράφου έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από τη Σ1 και είναι ακίνητη πριν την κρούση οι σχέσεις (5.8) και (5.9) διαιρώντας με m2 αριθμητή και παρονομαστή, παίρνουμε:





1

2

1

2

1

'

1

1

1

m

m

m

m

(5.10)

1

2

1

2

1

'

2

1

2

m

m

m

m

(5.11)

και επειδή 0

2

1 m

m

έχουμε: υ1' ≈ -υ1 και υ2' ≈ 0

Δηλαδή η σφαίρα μικρής μάζας ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτήν που είχε πριν την κρούση. Το σώμα μεγάλης μάζας παραμένει πρακτικά ακίνητο.

Σύμφωνα με τα παραπάνω όταν μια σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και κάθετα στην επιφάνεια ενός τοίχου ή στο δάπεδο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς.

.

σχ. 5.6 Αν η κρούση είναι ελαστική η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου

Δ) ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ ΜΕ ΛΕΙΟ ΤΟΙΧΟ

Στην περίπτωση που η σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε έναν λείο τοίχο αναλύουμε την ταχύτητά της σε δύο συνιστώσες, τη μία (υx): κάθετη στον τοίχο και την άλλη (υy): παράλληλη με αυτόν (σχ. 5.7).

Σύμφωνα με τα παραπάνω η κάθετη στον τοίχο συνιστώσα της ταχύτητας θα αλλάξει φορά και θα διατηρήσει το μέτρο της, δηλαδή (υx' =-υx).



Η δύναμη που ασκείται στη σφαίρα κατά την κρούση είναι κάθετη στον λείο τοίχο (δεν υπάρχει τριβή, η οποία αν υπήρχε θα ήταν παράλληλη στον τοίχο), άρα η y συνιστώσα της ταχύτητας δε μεταβάλλεται (υy' =υy).

Το μέτρο της ταχύτητας μετά την κρούση είναι:

δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας δε μεταβάλλεται.

Εναλλακτικά: επειδή η κρούση είναι ελαστική θα διατηρείται η κινητική ενέργεια της σφαίρας, πριν και μετά την κρούση, οπότε:

Κμετά=Κπριν ή 22

2

1

2

1 m΄m άρα υ΄=υ (μέτρα)

Αν π και α οι γωνίες που σχηματίζουν η και η , αντίστοιχα, με την κάθετη στον τοίχο ισχύει:

όμως υy' =υy και υ = υ'

οπότε ημπ = ημα

και γωνία

= γωνία

Δηλαδή: η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.



12η Ερώτηση-Άσκηση: Μια σφαίρα μάζας m1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλη

ακίνητη σφαίρα μάζα m2. Αν οι σφαίρες πριν και μετά την κρούση κάνουν μόνο μεταφορική κίνηση, τότε ποια πρέπει να είναι η σχέση της μάζας m1 με τη μάζα m2 ώστε :

Α) Η μάζα m2 να αποκτήσει τη μεγαλύτερή της ορμή;

Β) Η μάζα m2 να αποκτήσει τη μεγαλύτερή της ταχύτητα;

Γ) Η μάζα m1 να αποκτήσει τη μικρότερή της κινητική ενέργεια;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Έστω πριν την ελαστική κρούση ότι η σφαίρα μάζας m1 έχει ταχύτητα υ1, ενώ η σφαίρα μάζας m2

θα έχει υ2=0. Τότε οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση θα δίνονται (όπως έχουμε αποδείξει) από τις σχέσεις:

1

21

21'

1

mm

mm (5.8)

1

21

1'

2

2

mm

m (5.9)

Α) Η ορμή της σφαίρας μάζας m2, μετά την ελαστική κρούση θα είναι:

1

21

21'

222

2

mm

mmmp

και διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με τη μάζα m2, έχουμε:

1

2

1

1'

222

1

2

m

m

mmp

(5.10)

Διερευνώντας τη σχέση (5.10) δίνοντας στη μάζα m2 όλες τις δυνατές τιμές, έχουμε:

Μάζα m2 m2→0

m2= m1 m2→∞

Ορμή p2 p2≈0 p2= m1.υ1 p2= 2m1

.υ1



Άρα διαγραμματικά καταλήγουμε στην παράσταση:

Συμπεράσματα: όταν μια μπάλα πέφτει κάθετα και ελαστικά πάνω σε έναν τοίχο, τότε ο

τοίχος αποκτά τη μέγιστη ορμή του!!!!

Ξέρω ότι παραξενεύεστε αλλά είναι σωστό, γιατί ναι μεν νομίζετε ότι ο τοίχος είναι

ακίνητος, αλλά το σωστό είναι ότι υ2→0 (και όχι υ2=0) ενώ m2→∞ τότε το γινόμενο

(απειροστής ταχύτητας)x(άπειρη μάζα)≠0 !

Άλλωστε το μπαλάκι πέφτει κάθετα και ελαστικά πάνω σε έναν τοίχο, τότε το μπαλάκι

αντιστρέφει την ταχύτητά του. Δηλαδή:

max2])([)(0 11111111111222 mmmmmpppp

Δηλαδή τη μέγιστη ορμή την αποκτά το ακίνητο σώμα όταν το αρχικά κινούμενο σώμα

μεταβάλλει μέγιστα την ορμή του!

Άμα μας ρωτάνε για το τέρας σώμα, καλό είναι να αποτεινόμαστε στο μικρό σώμα και

μετά να καταλήγουμε στο τεράστιο σώμα, είτε μέσω αρχής διατήρησης της ορμής

(Δp2=-Δp1) είτε μέσω διατήρησης κινητικής ενέργειας (ΔΚ1=-ΔΚ2)



Β) Η ταχύτητα του σώματος m2 μετά την κρούση δίνεται από τη σχέση:

1

21

1'

2

2

mm

m (5.9)

Διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή τη μάζα m1 παίρνουμε τη σχέση:

1

1

2

'

2

1

2

m

m (5.11)

Ας διερευνήσουμε τώρα τη σχέση (5.11)

Μάζα m1 m1→0

m1= m2 m1→∞

ταχύτητα 2

2 ≈0

2 =υ1

2 =2 υ1

Άρα διαγραμματικά καταλήγουμε στην παράσταση:

Συμπέρασμα: τη μεγαλύτερη ταχύτητα την αποκτά το αρχικά ακίνητο σώμα όταν πάνω

του πέφτει κεντρικά και ελαστικά ένα σώμα τεράστιας μάζας !!!



Γ) Πότε η m1 έχει τη μικρότερη κινητική ενέργεια;

Προφανώς, επειδή η κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος, η μικρότερή της τιμή

είναι ίση με μηδέν. Άρα αυτό θα συμβεί όταν 01

Όμως ισχύει:

1

21

21'

1

mm

mm

Άρα 01 όταν 21 mm

Συμπεράσματα: τη μικρότερη κινητική ενέργεια την αποκτά το m1 όταν τα δύο σώματα ανταλλάσσουν

ταχύτητες, πράγμα που συμβαίνει όταν έχουν ίσες μάζες.

όταν τα δύο σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες, πράγμα που συμβαίνει όταν έχουν ίσες μάζες, τότε το σώμα μάζας m1 χάνει όλη του την κινητική ενέργεια, άρα συνώνυμα τότε το m1 μεταβιβάζει τη μέγιστη κινητική του ενέργεια στο m2.

13η Ερώτηση - Άσκηση 5.41 βιβλίου οργανισμού

ή πλάγια ελαστική κρούση όμοιων σφαιρών Μια σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με άλλη όμοια σφαίρα που αρχικά ηρεμεί. Δείξτε ότι αν η κρούση δεν είναι κεντρική, μετά την κρούση οι σφαίρες θα κινηθούν σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Δίνεται m1=m2=m

Πριν την κρούση: 021111 pmmp

2

1

2

1112

1

2

1 mmK και 02 K

Μετά την κρούση: 22221111 mmpmmp

2

1

2

1112

1

2

1 mmK και 2

2

2

2222

1

2

1 mmK



Λόγω διατήρησης της κινητικής ενέργειας (κρούση ελαστική) ισχύει:

211 KKK2

2

2

1

2

12

1

2

1

2

1 mmm

Άρα: 2

2

2

1

2

1 (1)

Λόγω διατήρησης της ορμής ισχύει:

211 ppp

τα διανύσματα αυτά προσθέτουμε τώρα με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου, οπότε έχουμε:

21

2

2

2

1

2

1 2 ppppp άρα

21

22

2

22

1

22

1

2 2 mmmm οπότε:

21

2

2

2

1

2

1 2 (2)

Η σχέση (2) γίνεται, λόγω της σχέσης (1):

021 (3)

Οπότε:

ή 02 άτοπο αφού τότε δεν θα γινότανε κρούση.

ή 01 πράγμα που θα ίσχυε (θα αντάλλασαν ταχύτητες τα δύο σώματα) μόνο αν η

κρούση ήταν κεντρική, πράγμα άτοπο αφού η κρούση δεν είναι κεντρική

ή 0 πράγμα που σημαίνει ότι rad2

δηλαδή: τα σώματα ίσης μάζας που κάνουν ελαστική όχι όμως κεντρική κρούση και το ένα από τα σώματα είναι ακίνητο πριν την κρούση, τότε τα σώματα μετά την κρούση φεύγουν σε κάθετες διευθύνσεις!



14η Ερώτηση: Μπορούμε σε ένα μονωμένο σύστημα να εφαρμόσουμε αρχή Διατήρησης

της Ορμής σε δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες; ΝΑΙ μπορούμε και για επιβεβαίωση λύνουμε το Παράδειγμα 5.2 βιβλίου οργανισμού:

Δύο σώματα με μάζες m1 = 2 kg και m2 = 3 kg κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ1 = 10 m/s και υ2 = 5 m/s και κάποια στιγμή συγκρούονται πλαστικά. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται από την πλαστική κρούση των δύο σωμάτων. Απάντηση :

Έστω V η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την

κρούση. Αν p η ορμή του συστήματος αμέσως πριν την

κρούση και άp η ορμή αμέσως μετά την κρούση, λόγω του ότι

το σύστημα είναι μονωμένο, θα ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής για το σύστημα των δύο σφαιρών, δηλαδή θα είναι:

άpp

Αναλύουμε το διάνυσμα V σε δύο συνιστώσες τη Vx κατά την διεύθυνση x και τη Vy κατά τη διεύθυνση y (σχ. 5.8). Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, είναι ίσες και οι συνιστώσες τους, επομένως:

από όπου βρίσκουμε, κάνοντας και χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος:



Πρόσθετο ερώτημα στην ίδια άσκηση: Ποια είναι η μεταβολή ορμής της κάθε σφαίρας στην παραπάνω κρούση;

Άξονας x: 012111111 s

mkgmVmppp xx

ά

xx φορά αριστερά

01202222 s

mkgVmppp xx

ά

xx

φορά δεξιά

Άξονας y: 0601111 s

mkgVmppp yy

ά

yy

φορά πάνω

06222222 s

mkgmVmppp yy

ά

yy φορά κάτω

(μέτρο): s

mkgppp yx 4,132

1

2

11 s

mkgppp yx 4,132

2

2

22

(διεύθυνση): 2

1

12

6

1

1

1

x

y

p

p

2

1

12

6

2

2

2

x

y

p

p

Προσοχή: για τη μεταβολή ορμής του σώματος m1 (ή m2) χρησιμοποιούμε τη μάζα του m1

(ή m2) και μετά την πλαστική κρούση, παρόλο που το m1 (ή m2) δεν υπάρχει μόνο του, αλλά υπάρχει ως συσσωμάτωμα. Δεν χρησιμοποιούμε τη μάζα του συσσωματώματος, αλλά μόνο το σώμα m1 (ή m2)!!

Γενίκευση: είτε πρόκειται για Διατήρηση Ορμής είτε πρόκειται για Μεταβολή Ορμής,

δηλαδή είτε πρόκειται για άθροισμα είτε πρόκειται για διαφορά διανυσμάτων, αυτό μπορεί να γίνεται αλγεβρικά σε κάθε ένα άξονα, συστήματος καθέτων αξόνων και μετά με Πυθαγόρειο Θεώρημα βρίσκουμε το μέτρο του ζητούμενου διανύσματος, δίνοντας επίσης τη διεύθυνσή του μέσου της εφθ.



15η Ερώτηση: Κατά την μετωπική ελαστική κρούση δύο σφαιρών που μόνο

μεταφέρονται (χωρίς να περιστρέφονται), ποια είναι η μέγιστη δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης των δύο σωμάτων; !!!

ΑΣΚΗΣΗ : Ένας κύβος μάζας m1 = 2 kg κινείται

ευθύγραμμα και ομαλά σε λείο οριζόντιο επίπεδο με

ταχύτητα μέτρου υ1 = 10 m/s. Μπροστά του, στην

ίδια κατεύθυνση, κινείται ομαλά ένας άλλος κύβος

μάζας m2 = 8 kg με ταχύτητα μέτρου υ2 = 5 m/s.

Στην πίσω πλευρά του είναι στερεωμένο ιδανικό

ελατήριο φυσικού μήκους l0 = 1 m και σταθεράς k = 1000 Ν/m. Ο άξονας του ελατηρίου

συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των δύο κύβων. Να βρείτε:

α. Τις ταχύτητες με τις οποίες κινούνται μετά τον αποχωρισμό τους.

β. Την ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν οι κύβοι.

γ. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που έγινε μέγιστη δυναμική ενέργεια

παραμόρφωσης κατά τη διάρκεια της ελαστικής κρούσης.

δ. Μέχρι τη στιγμή της μέγιστης συμπίεσης του ελατηρίου, να υπολογίσετε:

WF måëáô . 1 , WF måëáô . 2

ε. Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση :

)2()1()2()1()2()1(

2.1.

UUWW FF

στ. Να προσαρμόσετε το παραπάνω τύπο στη περίπτωση που το ένα άκρο του ελατηρίου είναι

ακλόνητο.

ΛΥΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ-ΦΥΣΙΚΟΥ-ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ (Φ.Φ.Φ.) Αρχικά το m1 έχει υ1>υ2, οπότε τα δύο σώματα πλησιάζουν μεταξύ τους. Έτσι το m1 θα πέσει πάνω στο ελατήριο και θα το υποχρεώσει να συσπειρωθεί. Τότε το ελατήριο θα ασκήσει δύναμη στο m1 αντίρροπη από την ταχύτητά του, υποχρεώνοντάς το να επιβραδυνθεί, δηλαδή αρχίζει η μείωση της ταχύτητας του. Ταυτοχρόνως το ελατήριο ασκεί ίσου μέτρου δύναμη και στο m2,

υ2 υ1

m2 m1



αλλά αυτή η δύναμη είναι ομόρροπη της ταχύτητάς του, υποχρεώνοντάς το να επιταχυνθεί, δηλαδή να αυξήσει την ταχύτητά του.

Όσο το η ταχύτητα V1 του m1 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα V2 του m2, τα σώματα θα πλησιάζουν μεταξύ τους και το ελατήριο θα βρίσκεται σε φάση συσπείρωσης, άρα η μέγιστη συσπείρωσή του θα συμβεί στο μέλλον, όχι όταν είναι V1 > V2.

Όσο το η ταχύτητα V1 του m1 είναι μικρότερη από την ταχύτητα V2 του m2, τα σώματα θα απομακρύνονται μεταξύ τους και το ελατήριο θα βρίσκεται σε φάση αποσυσπείρωσης, άρα η μέγιστη συσπείρωσή του θα έχει συμβεί στο παρελθόν, όχι όταν είναι V1 < V2

Άρα: η μέγιστη συσπείρωση Δlmax του ελατηρίου (τότε τα σώματα θα βρίσκονται στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση) θα συμβεί όταν τα δύο σώματα έχουν στιγμιαία κοινή ταχύτητα VK !!!



α. Από την αρχική κατάσταση (Σχήμα 1) μέχρι την τελική κατάσταση (Σχήμα 3) το ελατήριο έχει

συσπειρωθεί και αποσυσπειρωθεί επανερχόμενο στο φυσικό του μήκος. Δηλαδή τελικά δεν έχει

μονιμοποιηθεί καμία παραμόρφωση στο σύστημα m1-ελατήριο-m2. Άρα η κρούση μπορεί να

θεωρηθεί ΕΛΑΣΤΙΚΗ-ΜΕΤΩΠΙΚΗ άρα οι ταχύτητες των σωμάτων τελικά θα δίνονται από

τους τύπους:

Μετά από αντικατάσταση των δεδομένων τιμών, παίρνουμε:

smsm /7/2 21

αφού οι ταχύτητες βγήκαν θετικές, σημαίνει ότι τα σώματα θα κινηθούν προς τα δεξιά, απομακρυνόμενα μεταξύ τους.

β. Το σύστημα m1-ελατήριο-m2 είναι μονωμένο, αφού οι δυνάμεις του ελατηρίου στα σώματα είναι εσωτερικές του συστήματος. Άρα με Αρχή Διατήρησης της Ορμής για το σύστημα από την κατάσταση του σχήματος 1 μέχρι την κατάσταση του σχήματος 2, υπολογίζουμε την κοινή ταχύτητα VK των δύο σωμάτων. Θεωρώ θετική φορά διανυσμάτων προς τα δεξιά:

Α.Δ.Ο. KVmmmm )( 212211

Άρα: smVK /6

Εφαρμόζουμε τώρα Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας για το σύστημα από την κατάσταση του σχήματος 1 μέχρι την κατάσταση του σχήματος 2 υπολογίζουμε την μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου Δlmax:

ml

lkVmmmm K

2,0

2

1)(

2

1

2

1

2

1

max

2

max

2

21

2

22

2

11

2

..

1

..

(I)

Άρα η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σωμάτων είναι:

mmmllx 8,02,01max0min



γ. Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που έγινε μέγιστη δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης του ελατηρίου, είναι:

%10%100

2

1

2

12

1

%1002

22

2

11

2

max

.

max

mm

lk

K

Uά

ί

δ. Για να βρούμε τα έργα των δυνάμεων του ελατηρίου, θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα

Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας-Έργου (Θ.Μ.Κ.Ε-W) πρώτα για το m1 και μετά για το m2 από Κατάσταση 1 (Σχήμα 1) μέχρι Κατάσταση 2 (Σχήμα 2).

)(2

1

2

1 2

11

2

1

)1()2()2()1(

111.IImVmKKW KmmF

)(2

1

2

1 2

22

2

2

)1()2()2()1(

222.IIImVmKKW KmmF

ε. Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (ΙΙ) + (ΙΙΙ) καταλήγουμε στη σχέση:

)2

1

2

1()(

2

1 2

22

2

11

2

21

)2()1()2()1(

2.1.

mmVmmWW KFF

Όμως από την Α.Δ.ΕΜΗΧ που πήραμε στη σχέση (Ι) διαπιστώνουμε ότι:

)2(

.

)1(2

max

2

22

2

11

2

212

10)

2

1

2

1()(

2

1

UUlkmmVmm K

Σε συνδιασμό των δύο παραπάνω σχέσεων παίρνουμε ότι:

)2()1()2()1()2()1(

2.1.

UUWW FF

(IV)

Δηλαδή: η αλλαγή της δυναμικής ενέργειας ελαστικής παραμόρφωσης του ελατηρίου, οφείλεται στις ανταλλαχθείσες ενέργειες (έργα) που αθροιστικά συμβαίνουν και από τα δύο του άκρα !!!



στ. Αν το ένα άκρο είναι ακλόνητο αυτό σημαίνει ότι δεν παράγεται έργο από το ακλόνητο άκρο αφού η δύναμη του ελατηρίου δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της. Τότε και μόνο τότε ο τύπος (IV) καταλήγει στο γνωστό τύπο:

)2()1()2()1(

.

UUWF

Το έργο του τύπου αυτού είναι προφανώς το έργο της δύναμης του ελατηρίου του μοναδικά κινούμενου άκρο του.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε κάθε κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων, ναι μεν μπορεί να μην υπάρχει ελατήριο ανάμεσα στα συγκρουόμενα σώματα, αλλά τα ίδια τα σώματα λειτουργούν όπως εδώ λειτούργησε το ελατήριο. Άρα μεθοδολογικά, το πρόβλημα υπολογισμού της μέγιστης ελαστικής δυναμικής ενέργειας παραμόρφωσης, στην κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων, αντιμετωπίζεται με τον ίδιο τρόπο! Δηλαδή:

1. ΜΕ Α.Δ.Ο. ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΟΙΝΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ και 2. ΜΕ Α.Δ.ΕΜΗΧ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

16η Ερώτηση: Υπάρχει περίπτωση να γίνει κρούση μεταξύ δύο σωμάτων χωρίς να

έρθουν άμεσα σε επαφή μεταξύ τους, αλλά να γίνει μέσω απότομου τεντώματος κάποιου νήματος, που συνδέει τα δύο σώματα? Η απάντηση είναι ναι γίνεται, αλλά ας δούμε την ιδέα να εφαρμόζεται στο παρακάτω πρόβλημα.

ΑΣΚΗΣΗ (ΘΕΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΥΠΡΟΥ) Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο μη ελαστικού

νήματος μήκους L, ενώ το άλλο άκρο του νήματος είναι

δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Το σώμα με το νήμα χαλαρό, κρατείται στο σημείο Α σε οριζόντια απόσταση

ΟΑ= Lσυνθ, από το Ο.

Το σώμα αφήνεται ελεύθερο να πέσει κατακόρυφα. Να δείξετε ότι η κινητική ενέργεια Κ του σώματος, όταν φτάνει στο σημείο Γ, που βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που περνά από το σημείο Ο, δίνεται από τη σχέση:

)1( 3 mgLK



ΛΥΣΗ:

Φυσική Φυσικού Φαινομένου (Φ.Φ.Φ.)

Το σώμα μάζας m αφήνεται να πέσει ελεύθερα από το σημείο Α και αυτό γίνεται μέχρι τη θέση Β, όπου το μέχρι τότε χαλαρό νήμα, τεντώνει απότομα. Ακριβώς τη στιγμή αυτή η τάση του νήματος F γίνεται ΤΕΡΑΣΤΙΑ με αποτέλεσμα, μέσα σε απειροστό χρονικό διάστημα υποχρεώνει το σώμα να αλλάξει κατεύθυνση κίνησης, από την κατακόρυφη κατεύθυνση που είχε, όσο έπεφτε ελεύθερα, ξαφνικά αρχίζει να κινείται στον άξονα xx’ κάθετα στο τεντωμένο νήμα. Μετά το σώμα κάνοντας κυκλική κίνηση μεταβαίνει από το Β μέχρι τη θέση Γ. Τη στιγμή που το νήμα τεντώνει (dt→0), ενώ η ώθηση του μικρού βάρους θεωρείται αμελητέα (B.dt→0), η ώθηση της τεράστιας τάσης του νήματος F.dt δεν είναι καθόλου αμελητέα!! ► Έτσι εφαρμόζουμε Θεώρημα Διατή-ρησης της Ορμής κατά το τέντωμα του νήματος, στον άξονα xx’ κάθετα στο τεντωμένο νήμα, δηλαδή ΚΑΘΕΤΑ ΣΤΟ ΤΕΡΑΣ ΔΥΝΑΜΗ F !!!

ά

xxxx pp

''

ή Vmm

Άρα: )1( V

► Από Α στο Β (πριν τεντώσει το νήμα) εφαρμόζουμε Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας:

)()( B

MHX

A

MHX EE



Δηλαδή, λαμβάνοντας μηδέν βαρυτική δυναμική ενέργεια στη θέση Β, έχουμε:

2

2

100 mLgm άρα gL2 (2)

Άρα η σχέση (1), λόγω της σχέσης (2), γίνεται:

gLV 2 (3)

► Από το B (μετά το απότομο τέντωμα του νήματος) μέχρι το Γ εφαρμόζουμε Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας κι αυτό διότι η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος, αφού η τάση του νήματος, ως κάθετη μόνιμα στη στοιχειώδη μετατόπιση του σώματος, δεν παράγει έργο. Έτσι:

)()( MHXMHX EE

Λαμβάνοντας μηδέν βαρυτική δυναμική ενέργεια στη θέση Γ, έχουμε:

KLLgmVm )(2

1 2 (4)

H σχέση (4) λόγω της (3) γίνεται:

)1(22

1 2 LgmLgmK

Και επειδή ισχύει: συν2θ=1-ημ2θ, έχουμε:

)1( 3 mgLK

► Κατά το απότομο τέντωμα του νήματος παραμόρφωσε το σώμα που είναι δεμένο σ΄ αυτό (σίγουρα δημιούργησε μικρό εξόγκωμα, αθέατο ίσως με γυμνό μάτι) κι αυτό έγινε με ενεργειακό κόστος! Δηλαδή:

22

.2

1

2

1VmmKKQ

έ

άόά

BB

Συμπέρασμα: το απότομο τέντωμα του νήματος είναι ανελαστική κρούση του σώματος που είναι δεμένο στο νήμα με την οροφή, όπου έχουμε σταθερά αναρτήσει το σχοινί!!



17η Ερώτηση ενός φανταστικού μαθητή/τριας: «Είμαστε αρκετά εξοικειωμένοι/νες με τη

μελέτη φυσικών φαινομένων όπου ενδιαφερόμαστε για την μελέτη ΕΝΟΣ (1) σώματος, αλλά τι γίνεται όταν έχουμε ΔΥΟ (2) αλληλεπιδρώντα εν κινήσει σώματα; Δεν είναι αρκετά… σκούρα τα πράγματα;»

Δάσκαλος: Έχεις απόλυτο δίκαιο, αλλά σκέψου να έπρεπε να απαντήσουμε για το….. σύμπαν!! Θα γίνει κι αυτό, αλλά ας επανέλθουμε στα ΔΥΟ σώματα. Ήδη έχουμε μελετήσει ένα τέτοιο πρόβλημα. Βλέπε την 15η ερώτηση. Και τώρα ακόμα ένα πρόβλημα με 2 αλληλεπιδρώντα σώματα εν κινήσει.

5.49 Πρόβλημα Σχολικού Βιβλίου

Το σώμα Σ2 του διπλανού

σχήματος έχει μάζα m2 = 4kg και

βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο

δάπεδο. Πάνω στο Σ2 βρίσκεται

δεύτερο σώμα Σ1 που έχει μάζα

m1=950g. Το επίπεδο επαφής των

σωμάτων Σ1, Σ2 είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι μ=0,5. Στο Σ1

σφηνώνεται ένα βλήμα, μάζας mΒ = 50g που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υΒ = 100m/s. Η

χρονική διάρκεια της κρούσης του βλήματος με το σώμα Σ1 θεωρείται αμελητέα.

α) Ποια είναι η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα σώματα;

β) Πόση, συνολικά, θερμότητα μεταφέρεται στο περιβάλλον;

γ) Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή της κρούσης τα σώματα Σ1 και Σ2 αποκτούν κοινή

ταχύτητα;

δ) Πόσο μετακινήθηκε το Σ1 πάνω στο σώμα Σ2 μέχρι τη στιγμή αυτή;

Δίνεται g = 10 m/s2

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) ► Εύρεση ταχύτητας υ του mΒ+ m1 αμέσως μετά την κρούση τους

Κατά την κρούση του βλήματος με το Σ1 , το σύστημα των δύο αυτών σωμάτων είναι

μονωμένο, οπότε ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.) του συστήματος μεταξύ των

καταστάσεων ΚΑΤ.1→ΚΑΤ.2. Θεωρώντας θετική φορά διανυσμάτων προς τα δεξιά, έχουμε:



)1(/5)(1

1 smmm

mmmm

B

BBBBB

► Εύρεση κοινής ταχύτητας VK του όλου συστήματος στην ΚΑΤ.3

Φυσική Φυσικού Φαινομένου (Φ.Φ.Φ.): Αμέσως μετά την κρούση, μεταξύ του

συσσωματώματος (Σ1+mB) και του Σ2 αναπτύσσεται τριβές ολίσθησης: Τ στο (Σ1+mB) με φορά

προς τα αριστερά αντιτιθέμενη έτσι στη κίνησή του και Τ΄ στο Σ2, με φορά προς τα δεξιά,

υποχρεώνοντάς το να επιταχυνθεί προς τα δεξιά. Τα μέτρα των τριβών αυτών είναι ίσα, αφού

έχουν σχέση δράσης-αντίδρασης (3ος Νόμος Νεύτωνα). Άρα λοιπόν το (Σ1+mB) μειώνει την

ταχύτητά του, ενώ το Σ2 ξεκινώντας από την ηρεμία, επιταχύνεται ομαλά, δηλαδή αυξάνει την

ταχύτητά του. Μοιραία κάποια στιγμή θα αποκτήσουν κοινή ταχύτητα VK. Από κει και πέρα

το όλο συσσωμάτωμα θα κινείται με σταθερή ταχύτητα, αφού δεν υπάρχουν τριβές με το

οριζόντιο δάπεδο. Μετά την απόκτηση της κοινής ταχύτητας VK οι τριβές ολίσθησης Τ και Τ'

μεταξύ των (Σ1+mB) και του Σ2, μηδενίζονται αφού σταματάει η σχετική κίνηση τους.

Όμως και πάλι το σύστημα (mB +Σ1+ Σ2) είναι μονωμένο, άρα θα ισχύει η Α.Δ.Ο. του όλου

συστήματος από την ΚΑΤ.2 μέχρι την ΚΑΤ.3. Έτσι έχουμε:



)2(/1

)()()(

21

1211

32 smmmm

mmVVmmmmmpp

B

BKKBB

Παρατήρηση: Για να βρεθεί η VK θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει Α.Δ.Ο. για το σύστημα των

τριών σωμάτων μεταξύ ΚΑΤ.1 και ΚΑΤ.3

β) ► Εύρεση της ολικής θερμότητας Qολ του όλου συστήματος από ΚΑΤ.1 στην ΚΑΤ.3

Το όλο σύστημα (βλήμα+Σ1+Σ2), από την ΚΑΤ.1 μέχρι την ΚΑΤ.3, είναι μονωμένο από το

εξωτερικό του περιβάλλον, αφού η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος

είναι ίση με μηδέν. Έτσι ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας, δηλαδή έχουμε:

)3(3.1.

QEE KAT

MHX

KAT

MHX

Όμως τα σώματα κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να αλλάζει η βαρυτική δυναμική

ενέργεια του συστήματος, άρα στη σχέση (3) μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη Μηχανική

Ενέργεια του συστήματος μόνο με την Κινητική του Ενέργεια. Έτσι έχουμε:

)4(3.

.

1.

. QKK KATKAT

Ή )5(5,247)(2

1

2

1 2

21

23.1. JVmmmmKKQ KBBB

Παρατήρηση:

Στη Β΄ Λυκείου είχαμε μάθει ότι η θερμότητα ήταν η ενέργεια που ανταλλάσει ένα σύστημα με το περιβάλλον του, λόγω της μεταξύ τους διαφοράς θερμοκρασίας και μάλιστα ίσχυε ο τύπος Q=m.c.Δθ (m=μάζα συστήματος, c=ειδική θερμότητα υλικού του συστήματος, Δθ = διαφορά θερμοκρασίας συστήματος-περιβάλλοντος).

Τώρα λέμε ότι για τη θερμότητα ισχύει ο τύπος (3), δηλαδή ότι η θερμότητα που δίνει ένα σύστημα στο περιβάλλον του ισούται με τη μείωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος.

Υπάρχει αντίφαση μεταξύ των δύο αυτών ισχυρισμών;

Η απάντηση είναι: ΟΧΙ δεν υπάρχει αντίφαση, απλά περιγράφουμε το ίδιο φαινόμενο, αλλά με διαφορετικές πληροφορίες. Εξηγούμαι:

Τόσο κατά την κρούση, όσο και κατά την σχετική κίνηση, με τριβή ολίσθησης, του (βλήματος+Σ1), πάνω στο Σ2 η μείωση της κινητικής ενέργειας του όλου συστήματος εσωτερικοποιείται στο σύστημα, αυξάνοντας την εσωτερική ενέργεια του συστήματος, με αποτέλεσμα να αυξηθεί η



θερμοκρασία του. Έτσι δημιουργείται διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ συστήματος και περιβάλλοντος, με τελικό αποτέλεσμα να ρέει θερμότητα από το σύστημα (θερμότερο σώμα) στο περιβάλλον (ψυχρότερο σώμα) κι αυτό μέχρι να αποκατασταθεί θερμική ισορροπία μεταξύ τους, δηλαδή μέχρι το σύστημα να αποκτήσει την ίδια θερμοκρασία με το περιβάλλον. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα ξαναποκτά την αρχική του εσωτερική ενέργεια και αφού συνολικά δεν μονιμοποιείται αλλαγή στην εσωτερική ενέργεια του συστήματος (παρά μόνο πρόσκαιρα), δεν χρειάζεται να εμφανιστεί η εσωτερική ενέργεια μέσα στη μεταβολή της μηχανικής (εδώ κινητικής) ενέργειας του συστήματος!

γ) ► Εύρεση της επιβράδυνσης α1 του (mB+m1) και της επιτάχυνσης του m2

Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα (mΒ+Σ1) αρχίζει να επιβραδύνεται με επιβράδυνση

α1, που υπολογίζεται από το 2ο Νόμο Νεύτωνα (Ν.Ν):

)6(5)(

2

1

1

1

1

11

11

s

mg

mm

gmm

mm

N

mm

T

mm

F

B

B

BBB

ενώ το Σ2 επιταχύνεται από την ηρεμία με επιτάχυνση α2, που υπολογίζεται από 2ο Ν.Ν. :

)7(25,1)(

2

2

1

2

1

22

22

s

m

m

gmm

m

N

m

T

m

F B

► Εύρεση του χρόνου t: μετάβασης του συστήματος από την ΚΑΤ.2 στην ΚΑΤ.3

Η κίνηση του m2 είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, χωρίς αρχική ταχύτητα,

οπότε η VK δίνεται από τη σχέση:

sV

ttV KK 8,0

2

2



δ) Η μετατόπιση του Σ2 για χρόνο t=0,8s είναι:

)8(4,02

1 2

2 mty

Ενώ η μετατόπιση του (mΒ+Σ1), για το ίδιο χρονικό διάστημα θα είναι:

)9(4,24,02

1 2

1 mmttxy

H σχετική μετατόπιση x του (mΒ+Σ1) πάνω στο Σ2 θα βρεθεί αφαιρώντας τις σχέσεις (9)-(8), οπότε:

)10(24,04,2 mmmx

2oς ΤΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΟΥ x, ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ!

Εφαρμόζουμε Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας Έργου (Θ.Κ.Ε.W.) για το (mΒ+Σ1) από την ΚΑΤ.2

έως την ΚΑΤ.3:

)11()()(2

1)(

2

1 2

1

2

1

23 yxTmmVmmWKK BKBT

Εφαρμόζουμε Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας Έργου (Θ.Κ.Ε.W.) για το Σ2 από την ΚΑΤ.2 έως

την ΚΑΤ.3:

)12(02

1 2

2'

23

22yTVmWKK KT

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (11)+(12) και επειδή ισχύει Τ=Τ΄, έχουμε:

)13()(2

1)(

2

1 2

1

2

21 xTmmVmmm BKB

Άρα καταλήγουμε ότι x=2m

Παρατήρηση: Η σχέση (13) μας δίνει τη θερμότητα Q2 που αναπτύσσεται κατά την σχετική ολίσθηση του

(mΒ+Σ1) πάνω στο Σ2

)14()(2

1)(

2

12

2

1

2

21 QxTmmVmmm BKB

Άρα:

!

άό

ώόή

Wίή

όόίT



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

1. Διονύσης Μάργαρης : www.ylikonet.gr

2. Paul G. Hewitt : «Οι έννοιες της Φυσικής» Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

3. Πανεπιστήμιο M.I.T. :

http://video.mit.edu/watch/mit-physics-demo-collapsing-solenoid-12026/

4. Λάμπρος Αδάμ : www.lam-lab.com

5. Σχολικό βιβλίο Β΄ Λυκείου θετικού προσανατολισμού.

6. Σχολικό βιβλίο Γ΄ Λυκείου θετικού προσανατολισμού.

www.ylikonet.gr

http://video.mit.edu/watch/mit-physics-demo-collapsing-solenoid-12026/

www.lam-lab.com

Πολυμεσική Θεωρία Ορμής - Διατήρησης Ορμής – Κρούσεις...

Education

Transcript of Πολυμεσική Θεωρία Ορμής - Διατήρησης Ορμής – Κρούσεις...