Septiembre 2009Ao 1 | N3ISSN: 1852-5091

Problemas matemticos

Curiosidades fsicas

Taller y laboratorio

Historia

Demostraciones visuales

Gdel no se decide

Nanociencias Gigaproblemas

Qumica y simetras

3 Q.e.d.

Q.e.d., Quod erat demonstrandum, es una expresin latina que significa: lo que se quera demostrar

Tiene su origen en la frase griega (per dei dejai), que usaron muchos matemticos, entre ellos Euclides y Arqumedes, para sealar que haban alcanzado la demostracin que buscaban.

Extraa pareja

Qu sorprendente, escandalosa y osada relacin hay entre la fsica y la matemtica? Una es una ciencia natural, y se refiere a las cosas que existen, mientras que la otra es una ciencia formal, que prescinde, en teora, de la necesidad de un mundo al que se le aplique.

La fsica describe el universo; la matemtica, el pensamiento; y hasta hay quienes le niegan siquiera ese mnimo contacto con la realidad material.Algo tienen en comn esas dos ciencias: ninguna de ellas es exacta. La fsica perdi esa categora con el advenimiento de la mecnica cuntica y su principio de incertidumbre; y la matemtica lo hizo a partir de Kurt Gdel, y sus ideas de incompletitud e indecidibilidad.Sin embargo, y a pesar de esos hechos irrefutables de la historia reciente, el conjunto de la fsica y la matemtica se conoce en muchos mbitos como el de las cien-cias exactas; justamente lo que no son. Y donde se acepta que eso ya no les cuadra, se invent lo de ciencias duras, lo que requiere costosas e in-cmodas explicaciones. En qu sentido son duras? En sus procedimientos de validacin? Duras de entender? Duras de matar? Duras de corazn?

El hecho es que esas ciencias forman un do indisoluble, a pesar de sus profundas diferencias de origen y de objeto de estudio. No hay, acaso, mucha gente que da clases de fsica y matemtica, con la misma natura-lidad que si las diera de qumica y biologa, o de historia y geografa? Si tantos y tantas ensean fsica y matemtica a la vez por qu no abun-dan, en cambio, profesores y profesoras de poltica y equitacin; ingls y artes marciales, economa y msica, o geodesia y filosofa?

Algo profundo y desconocido une a los integrantes de esta clebre pareja. Galileo Galilei dijo que el universo es un libro abierto ante nuestros ojos, escrito en lengua matemtica. Cualquiera sea la inmen-sa distancia epistemolgica, hay entre esas ciencias una atraccin sin lmites; se buscan una a la otra con frenes, y cuando se encuentran, como en la palanca de Arqumedes, la relatividad de Einstein o la cun-tica de Heisenberg, se arrojan con desenfreno una sobre otra, y se dan un festn como si no hubiera un maana.1

Mientras subsista ese misterio, disfrutemos la inexactitud de las cien-cias. En este nmero ofrecemos un artculo sobre Gdel, quien demos-tr que toda matemtica que se precie, incluye afirmaciones que no se pueden demostrar, y de las que no se sabe si son ciertas.

Agustn Rela

1. As dice James Bond en Muere otro da (Lee Tamahori, 2002), cuando se hace pasar por un fo-tgrafo de la vida silvestre y alguien le pregunta, con intencin, qu hace un predador cuando por fin alcanza su presa.

Editorial

3: Editorial

5: La forma hace a la funcin Por Alberto Ghini y Cecilia Di Risio 16: Microelectromecnica y nanotecnologa

Por Agustn Rela

21: Gdel: una vida incompleta Por Christian Espndola

26: Arqumedes tambin juega Por Carlos Borches

13: Problemas matemticos: Guarda con el tringulo!

25: Taller y laboratorio: Experimentos fsicos con una radio y un

celular

29: Curiosidades fsicas: Intriga hidrulica. Vidrios polarizados?

30: Libros y revistas: Matemtica hoy

31: Correo Soluciones, pedidos y comentarios

32: Intimidades de un cierre: Mitos y certezas

Artculos

Secciones

StaffQ.e.d.Ciencias duras en palabras blandas

Revista trimestral de divulgacinAo I, nmero 3

Universidad de Buenos AiresCiclo Bsico Comn (CBC)Departamento de Ciencias ExactasPabelln 3, Ciudad Universitaria, Buenos Aires, Argentina

Directores: Agustn RelaJuan Carlos Pedraza

Editor: Carlos Borches

Redaccin: Iliana Pisarro

Diseo: Pablo Gabriel Gonzlez

Consejo editorial:Cecilia Di RisioEduardo LaplagneFlora GutirrezPatricia FauringSilvia Reich

Agradecemos la colaboracin deAlberto GhiniChristian EspndolaFabin BlancoOriana Salvetti

Impresa en La Copia

revistaqed@cbc.uba.ar http://qed.espaciotiempo.org.arhttp://www.slideshare.net/revistaqedhttp://www.qed.cbc.uba.ar

+54 11 4789-6000, interno 6083+54 11 4781-0706ISSN 1852-5091

Todos los derechos reservados;reproduccin parcial o totalcon permiso previo del Editor,y cita de fuente.Registro de propiedad intelectual en trmite

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5 Q.e.d.

La forma hace a la funcin

Quien se acerque actualmente al estudio de la qumica en un nivel apenas superior al elemental, debe familiarizarse con una visin tridimensional de las partculas que constituyen la estructura submicroscpica de los compuestos. Probablemente esto parezca obvio, puesto que es claro que todo cuerpo con existencia fsica tiene un volumen. Sin embargo, no fue sino hasta ya entrado el siglo XIX en que los cientficos comenzaron a comprender que el volumen, y en particular la forma de esas partculas elementales, tenan una importancia fundamental en su comportamiento, y en las propiedades macroscpicas de las sustancias.

Estos estudios coinciden con el nacimiento de la qumica orgnica como ciencia independiente. Conceptos (y an trminos) tales como isomera, poder rotatorio, imgenes especulares incongruentes (no superponibles), radicales, acuados en esos momentos, han permanecido prcticamente inalterados hasta nuestros das. La mayor parte de esos trabajos tienen sin duda como figura central a Louis Pasteur. l mismo fue plenamente conciente de la importancia de sus descubrimientos. As, en su exposicin presentada en 1860 titulada De la asimetra de los productos orgnicos naturales expres: La teora de la disimetra molecular que hemos pre-cisamente establecido, es en efecto uno de los captulos ms excitantes de la ciencia. Y ms adelante: abre a la fisiologa nuevos horizontes, distantes, pero seguros. La proposicin de que una molcula, como cual-quier otro objeto material, poda clasificarse de acuerdo con la imagen que producira en un espejo, qued completamente demostrada por l mismo y fue aceptada por la posteridad.1

En este artculo se presenta un esbozo de la historia de la qumica en tres dimensiones desde los trabajos liminares de Pasteur. Se discuten some-ramente las fuerzas interactuantes entre tomos y entre molculas que permiten justificar la forma que adoptan los compuestos. Se presentan en particular ejemplos tomados del campo de la farmacologa, perfumera, aditivos de alimentos y otros de la interaccin de molculas de inters biolgico con macromolculas (enzimas, receptores).

El joven Pasteur (1822-1895) en su poca de estudiante en la Escuela Normal Superior de Pars. El dibujo, copia del daguerrotipo original, lleva la firma de Labayne y fue realizado para la revista Life.

1. La frase Une dissymtrie molculaire que Pasteur introdujo en el prefacio de su publicacin de 1848, fue elegida como ttulo para el primer volumen de la edicin nacional de sus obras com-pletas y est inscripta como palabra clave en el mausoleo que guarda sus restos en el Instituto Pasteur de Pars.

Alberto Ghini y Cecilia Di Risio CBC - UBA

El volumen y la forma de las partculas submicros-

cpicas tienen una importancia central a la hora de

comprender el comportamiento y las propiedades

macroscpicas de las sustancias.

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Un observador distrado puede cndidamente concluir que existe en casi todos los organismos vivos una tendencia a desarrollarse simtricamente. La mayora de los animales poseen simetra bilateral y la mayora de las plan-tas, cuando no se deforman por la competicin con otras plantas o con su entorno, desarrollan una simetra prcticamente cilndrica. Dicha tenden-cia resulta an ms evidente en los organismos ms simples. Esta simetra exterior puede llevar a la conclusin de que los ladrillos a partir de los que se construyen dichos organismos son tambin simtricos. Sin embargo, la mayora de los procesos moleculares biolgicos involucran interacciones entre molculas asimtricas.

UN POCO DE HISTORIA

El reconocimiento de que la vida en nuestro planeta est basada en las propie-dades de los compuestos del carbono provino de trabajos realizados hacia el final del siglo XVIII y principios del XIX. Hasta bien entrado el siglo XIX muchos cientficos pensaban que los compuestos orgnicos (provenientes de organis-mos vivos) seguan una qumica diferente a la de los compuestos inorgnicos. Dos caractersticas los diferenciaban claramente: por un lado, sus frmulas mnimas no guardaban entre sus tomos una relacin de nmeros enteros y pequeos (ley de Dalton); por otra parte, se conocan varios compuestos que a pesar de poseer la misma composicin cualitativa y cuantitativa, presentaban comportamientos fsicos y qumicos diferentes.

Buscando respuestas para estos interrogantes surgieron dos ideas importantes: las estructuras de estos compuestos estaban formadas por cadenas carbona-das, y los mismos tomos podan unirse entre s en forma diferente dando lugar a la existencia de compuestos diferentes. Liebig postul que algunos tomos se podan unir entre s formando grupos, a los que llam radicales, los cuales se podan encontrar como tales en compuestos diferentes. Estos descu-brimientos fueron fundacionales para la qumica orgnica y constituyeron un avance extraordinario para la qumica en general. A partir de all, se comenz a comprender la estructura interna de los compuestos, incorporndose el con-cepto de enlace qumico.

ISOMERA DE LOS CIDOS TARTRICOS Y RACMICOS:

El cido tartrico fue descubierto por Scheele en 1769. Su actividad ptica fue observada en 1815 por Biot, quien realiz un estudio detallado de la in-fluencia del agua, el alcohol y varios cidos y bases sobre su poder rotatorio entre 1832 y 1837.

El cido racmico (tambin llamado paratartrico) fue aislado por Kestner en 1820, e investigado en detalle por Gay-Lussac en 1826, quien demostr que su composicin era idntica a la del tartrico, aunque diferan notablemente en sus propiedades fsicas. Fue analizado por Biot, demostrando que era ptica-mente inactivo. Estos hechos fueron utilizados por Berzelius para establecer el trmino isomerismo en 1830.

Los cidos tartricos y racmico, y sus sales, fueron rigurosamente estudiados por Pasteur. En sus conferencias dictadas en 1860, se refiri a este trabajo en la siguiente forma: El paratartrato y el tartrato doble de sodio y amonio tie-nen la misma composicin qumica, la misma forma cristalina con los mismos ngulos, el mismo peso especfico, la misma doble refraccin, y consecuente-mente la misma inclinacin en sus ejes pticos. Cuando se disuelven en agua, su refraccin es la misma. Pero el tartrato disuelto desva el plano de la luz polarizada (...) Encontr, efectivamente, que las caras hemihdricas, que en el tartrato estaban todas volcadas hacia el mismo lado, estaban inclinadas en el paratartrato a veces hacia la izquierda y a veces hacia la derecha. Separ cuidadosamente los cristales que eran hemihdricos hacia la izquierda de los que lo eran hacia la derecha, y examin sus soluciones separadamente en el polarmetro. Entonces observ con no menor sorpresa que placer, que los cristales hemihdricos hacia la izquierda desviaban el ngulo de polarizacin hacia la izquierda, y los hemihdricos hacia la derecha lo desviaban hacia la derecha. (Pasteur dio el nombre de mezclas racmicas a los productos en los

Justus Von Liebig (1803-1873), considerado uno de los padres de la qumica orgnica. No slo fue un im-portante qumico terico, tambin realiz aportes a la industria de alimentos y particip en emprendimientos industriales en ese rubro. Un pueblo de la provincia de Entre Ros, nacido al calor de la industria frigorfica, lleva su nombre.

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cuales se produca la cancelacin de la actividad ptica por la neutralizacin de dos formas opuestas).

En otra de sus conferencias de 1860, Pasteur describe el cido mesotartrico:

... adems del cido racmico, obtuve cido tartrico sin ninguna accin sobre la luz polarizada, e incapaz de resolverse como el cido racmico en dextro y levo-tartrico; un cido muy curioso, perfectamente cristalino, que produce sales cuya belleza de forma no era inferior ni a los tartratos ni al race-mato. Y su increble lucidez mental le permiti explicar as (en 1860!!) esta aparente anomala: El cido natural es como una escalera en espiral en relacin al ordenamiento de los tomos mientras que el cido inactivo era como la misma escalera hecha de los mismos escalones, pero ordenada en forma recta.

El genio de Pasteur le permiti adems reconocer que la absoluta identi-dad entre ambos cidos tartricos existe slo cuando se combinan con com-puestos inactivos respecto a la luz polarizada. (...) De hecho, a menudo ocurre que la combinacin es posible con el compuesto dextro, e imposible con el levo, o viceversa. Y todava fue ms lejos: en organismos vivos observ que la levadura que causa la fermentacin del cido dextro, deja la sal levo sin tocar, a pesar de su absoluta identidad en las propiedades f-sicas y qumicas de ambos tartratos, siempre que no se los someta a alguna accin disimtrica.

Puesto que la disimetra molecular es imposible en figuras confinadas a dos dimensiones, los trabajos de Pasteur se basaron en el postulado fundamen-tal de que las molculas eran cuerpos tridimensionales, en los cuales los tomos estn unidos de una manera definida, que preserva sus orientacio-nes, adems de la mera secuencia de tomos de C, O, H, etctera.

La elucidacin del fenmeno de la disimetra molecular coloca enton-ces a Pasteur como pionero en el estudio de la qumica en el espacio. Sin embargo, cuando Pasteur realiz estos trabajos (1846-1853), el es-tudio de la qumica estructural no haba progresado todava hasta el punto en el cual se poda especificar la secuencia de los tomos, aun en los compuestos orgnicos ms simples. De hecho, no fue sino hasta 1861 que Kekul introdujo las primeras frmulas grficas (smbolos para los compuestos).

La visin de Pasteur respecto de la estructura del cido tartrico se incorpor en sus escritos como pregunta: Estn los tomos del cido dextro agrupados sobre la espiral de una hlice dextrogiratoria, o bien colocados en la cima de un tetraedro irregular, o quiz dispuestos de acuerdo a algn agrupamiento disimtrico particular, u otro? Nosotros no podemos responder estas preguntas. Pero lo que no se puede dudar es que los tomos estn agrupados en algn orden disimtrico, de modo que son no superponibles con sus imgenes especulares. Y no es menos cierto que en el cido levo tienen el agrupamiento disimtrico exactamente opuesto.

En este pasaje Pasteur propuso la idea del tetraedro irregular, lo cual todava hoy constituye la ilustracin ms simple y comn de la disimetra molecular. Tambin propuso las estructuras helicoidal y espiralada

Sus experimentos sobre la fermentacin de los distintos cidos tartricos y sus derivados, en los cuales concluy que la disimetra molecular interviene en un fenmeno de tipo fisiolgico constituyeron adems el puente que l mismo atraves hacia sus extraordinarias investigaciones en biologa, por los cuales es hoy universalmente conocido.

FUERZAS ACTUANTES ENTRE TOMOS Y MOLCULAS

Los tomos se mantienen unidos en sus molculas a una distancia determinada debido a la existencia de fuerzas atractivas y repulsivas, las cuales son funda-mentalmente de carcter electrosttico. El valor promedio de dicha distancia se conoce como longitud de enlace. A su vez, entre las molculas existen tam-

Vista superior del tetraedro que representa los dos enantimeros de la alanina. Abajo se puede ver una representacin espacial clsica del tetraedro que representa una molcula de metano

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bin fuerzas del mismo carcter, pero de menor intensidad, a las cuales, para diferenciarlas de las anteriores, se las llama fuerzas de no unin.

En la bsqueda de las condiciones ms estables, los sistemas qumicos tienden hacia un mnimo de energa potencial (entalpa, H, relacionada esencialmen-te con el calor) y un mximo de desorden o de azar (entropa, S, relacionada esencialmente con las probabilidades). Las molculas en s mismas llegan tam-bin a una situacin de equilibrio dinmico, en el cual los tomos y grupos se distribuyen lo ms alejados posibles entre ellos, en un continuo movimiento de traslacin, y de rotacin y vibracin de sus enlaces, con lo cual la energa se distribuye en la forma ms homognea posible (mxima entropa). Cuanto ms libre sea el movimiento, ms efectiva ser la estabilizacin.

Cada tomo, o grupo de tomos, se puede considerar como un espacio relativamente esfrico en donde los electrones se desplazan rodeando al ncleo, o a los ncleos, car-gados positivamente. El volumen aproximado, o promediado, de esta esfera est dado por el llamado radio de Van der Waals, el cual representa la distancia mnima a la cual dos tomos (o grupos) que no estn unidos entre s, pueden acercarse sin que interfie-ran sus nubes electrnicas. La forma aproximada que adopta una molcula se puede predecir, entonces, considerando que los tomos unidos a un mismo tomo central se acomodan en el espacio de manera de alejarse lo ms posible unos de otros, dentro de la distancia permitida para la existencia de los enlaces correspondientes.

A esta distancia mxima posible llegan los tomos y grupos, a travs de giros sobre enlaces simples (permitido por la simetra cilndrica de los mismos). Cuando los sus-tituyentes sobre dos tomos de carbono contiguos se ubican en el mismo plano, si estn del mismo lado la distancia es mnima, mientras que si estn en lados opues-tos, la distancia es mxima. Entre esos dos extremos existen infinitas posibilidades, que corresponden a diferentes distancias entre tomos y/o grupos y por tanto a diferentes interacciones. Dos parmetros que definen la geometra molecular son la longitud de enlace, y el ngulo de enlace (definido este ltimo como el ngulo formado por las lneas imaginarias que unen dos tomos con un tercero en comn). En el caso de molculas asimtricas es muy importante la secuencia en que estn unidos dichos tomos (configuracin), segn un orden predeterminado (por ejem-plo, segn el sentido de giro de las agujas de un reloj), lo que hace que existan molculas diferentes, formadas por los mismos tomos, con idnticos ngulos y lon-gitudes de enlace, e incluso la misma distancia relativa entre los mismos tomos y/o grupos (imgenes especulares incongruentes). Las posiciones que ocupan los tomos de una molcula por simple giro alrededor de un enlace sencillo determinan la con-formacin, que es tambin un parmetro muy importante para definir la forma de una molcula (decisivo en las macromolculas). Mientras que la configuracin es un parmetro cualitativo (identifica unvocamente el compuesto), la conformacin da una idea cuantitativa de la distribucin de los tomos y grupos en el espacio (la cual es funcin de las energas inherentes a cada conformacin).

UN MUCHO DE GENIALIDAD

Los principios esenciales de la estructura tridimensional de las molculas orgni-cas que proporcionaron las bases estructurales a los descubrimientos de Pasteur, fueron formulados independientemente por J. vant Hoff, y por J A. Le Bel, en 1874. vant Hoff (primer Premio Nobel de Qumica, en 1901) propuso que cuando un tomo de carbono en una molcula est unido a cuatro tomos, stos ocupan los cuatro vrtices de un tetraedro, con el tomo de carbono en el centro. Si esos tomos (o grupos) son diferentes, ellos pueden ocupar dos arreglos espaciales dis-tintos que son quirales1: su relacin es de imgenes especulares incongruentes. El tomo de carbono central se puede llamar entonces un centro de asimetra. Por el contrario, si al menos dos de los tomos o grupos son indistinguibles entre s, slo es posible un nico ordenamiento alrededor del tomo de carbono central.

La mayora de las molculas que participan activamente en los procesos de la vida, incluyendo las enzimas, son pticamente activas y tienen centros de asimetra.

1 La palabra quiral proviene de quirs, mano en griego. Las manos izquierda y derecha son el ejem-plo ms familiar y cercano de orientacin espacial de simetra especular. La mano izquierda es incon-gruente con respecto a la derecha, en el sentido de que no hay ninguna manera de hacer coincidir una con la otra, con el empleo de traslaciones y rotaciones.

Jacobus Henricus vant Hoff (1852-1911) qumico ho-lands ganador del Premio Nobel de qumica del ao 1901. Con 22 aos, cuando an no haba terminado su carrera, propuso la hiptesis del carbono tetradrico asimtrico a fin de explicar las dos formas ismeras del cido tartrico.

9 Q.e.d.

Las enzimas catalizan reacciones qumicas uniendo las molculas del reactan-te (sustrato) a un sitio especfico de la molcula (enzima). Las enzimas son protenas, y las protenas estn construidas por un gran nmero de unidades asimtricas, los aminocidos.

No hay elementos de simetra en una enzima, ni en su sitio especfico. Cada enzima acepta muy poca variacin en el tipo molecular del sustrato: pequeos cambios en la forma o el tamao pueden redundar en que la reaccin se haga mucho ms lenta, o que directamente no ocurra. Emil Fis-cher (Premio Nobel de Qumica en 1902) seguramente tuvo esto en mente cuando dijo, ya en 1894, que la enzima con el sustrato deban ajustar entre s como una llave con su cerradura. Como la cerradura no tiene simetra, la llave debe introducirse con una nica orientacin tridimensional; o sea, la llave tiene que girar en un sentido particular para abrir la cerradura, de modo que un costado en particular de la llave ejecuta la operacin real de mover el mecanismo de la cerradura.

La gran mayora de los compuestos orgnicos presentes en la naturaleza son pticamente activos, debido a que los organismos tienden a producir slo un enantimero2 de una dada molcula.

Para que un compuesto qumico funcione adecuadamente en el organismo no slo es importante que los componentes moleculares estn conectados en el orden correcto, sino que adems ocupen la posicin adecuada en el espacio. Un tomo o grupo mal ubicado pueden hacer que la reaccin sea inefectiva o an peor, inesperada.

ALGUNOS EJEMPLOS...

Nuestros sentidos del gusto y del olfato son altamente sensibles a diferencias estereoqumicas sutiles en las molculas que los estimulan. Cuando las sus-tancias olorosas atraviesan la cavidad nasal, las molculas interaccionan con sensores olfatorios especficos ubicados en tejidos de la membrana interna de la nariz, lo cual dispara una seal que llega al cerebro, e indica la percepcin de un olor determinado.

Un ejemplo clsico es nuestra respuesta olfatoria a las dos formas enantio-mricas de la carvona, ambos utilizados como especias (aromatizantes): R-carvona tiene olor a menta, mientras que (S)-carvona huele parecido al comi-no. Se presentan a continuacin las frmulas planas (que no dicen nada de esa gran diferencia) y la estructura tridimensional de los dos enantimeros, en donde se observa que el grupo (radical) isopropilideno se encuentra en un caso casi perpendicular al plano del anillo de seis carbonos y en el otro, prcticamente paralelo.

Los a-aminocidos tambin exhiben sorprendentes diferencias en sus propiedades gustativas. As, los enantimeros L de los aminocidos leucina, fenilalanina, tiro-sina y triptofano tienen gusto amargo, mientras que los correspondientes enan-timeros D son dulces. El producto comercial Aspartame que se utiliza como endulzante de bajas caloras, es un dipptido formado por dos aminocidos: cido L-asprtico (que por s slo no tiene gusto) y L-fenilalanina (que es amargo). Sin embargo juntos forman una molcula con gusto intensamente dulce (aproximada-mente 160 veces ms dulce que la sacarosa). La sustitucin de la L -fenilalanina de la molcula por su enantimero D-fenilalanina, el cual por s mismo tiene gusto dulce, da como resultado un dipptido con gusto amargo.

2 El enantimetro de una sustancia es su reflexin especular

Vant Hoff construy los modelos que se ilustran en la fotografa donde cada cara tiene un color y una etiqueta que representa a un grupo particular. Esta coleccin se encuentra actualmente en el Leiden history of science museum

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aspartame (dipptido dulce) (dipptido amargo)

COOH

NH2H3C

SHH3C

COOH

NH2H3C

SHH3C

D-penicilamina L-penicilamina

Otro ejemplo menos dramtico es el del aminocido penicilamina. El enantimero D es un agente quelante relativamente poco txico, que se utiliza para eliminar metales pesados del cuerpo: es un antdoto eficaz para el envenenamiento con plomo, oro o mercurio. En contraste, el enantimero L, causa atrofia ptica que puede conducir a la ceguera.

R COOH

NH2

R COOH

NH2HOOC N COOCH3

NH2

O

H

CH2Phaspartamo

LL DHOOC N COOCH3

NH2

O

H

CH2PhL

aminocido-L aminocido-D dulce amargo

Siempre que se introduce un compuesto en el organismo, sea como aditivo en ali-mentos o como frmaco, surge el problema de la toxicidad. Cuando las molculas poseen uno o ms centros asimtricos, las propiedades toxicolgicas adversas pueden deberse a uno solo de los enantimeros. Muchos recordamos el triste caso de la talidomida, administrado como tranquilizante en forma de mezcla racmica a mujeres embarazadas en la dcada del 60, y que produjo nacimiento de nios con malformaciones. Posteriormente se demostr que el efecto adverso lo produca el enantimero que no posea las propiedades sedantes!!.

Cuando los aminocidos se unen entre s para formar pptidos y protenas, la estereoqumica de cada unidad se ve reflejada en la macromolcula formada. Y as, como pensaba Pasteur, se pueden formar hlices, espirales

As, la lana, que es una protena, tiene una estructura de tipo helicoidal (como un resorte!) y ello hace que se pueda estirar y volver a su posicin.

11 Q.e.d.

O

HO

OHO

OH

F

Dexametasona

O

HO

OHO

OH

Cortisol

Fig1 - Cortisol unido al receptor

Por el contrario la seda, otra protena, tiene una estructura laminada, que le proporciona una textura totalmente diferente, en cierto modo impermeable, y que, por cierto, prcticamente no se puede estirar. No es por casualidad que las plumas de las aves tengan una estructura parecida.

Las hormonas esteroidales ejercen habitualmente su funcin biolgica por for-macin de un complejo con una protena especfica (receptor). La especifici-dad de accin est basada en procesos de reconocimiento molecular por el receptor, y ese reconocimiento se debe a que los grupos funcionales adecuados se encuentran en la posicin adecuada.

Cuando la hormona se une al sitio activo del receptor, se produce un cambio conformacional en el mismo, lo que produce pequeos (pero muy significati-vos) cambios en las posiciones de aminocido claves. Esto permite que otras molculas pequeas (llamadas cofactores) se unan (o no) a ellos, lo cual dispa-ra una respuesta diferente, y en general sumamente compleja.

Se presenta a continuacin (Fig1) la estructura del cortisol (el glucocorticoide natural ms potente en humanos) unido a su receptor.

El cortisol se une al receptor porque los grupos polares estn ubicados en la regin que les permite interactuar con los grupos polares complementarios en el receptor; a su vez, las partes no polares ayudan a acercarse a travs de interacciones con la cadena carbonada de la protena (hidrofbica), separn-dose as de las molculas de agua que constituyen el entorno biolgico. En la siguiente figura se muestran slo los aminocidos del receptor que interactan especficamente con el ligando (el sitio activo).

Si observamos las estructuras tridimensionales de la dexametasona (el medi-camento sinttico de estructura esteroidal ms utilizado como anti-inflamato-rio) y del cortisol, podremos entonces comprender por qu, a pesar de las no-tables diferencias estructurales entre ambas molculas (presencia de un grupo metilo, un tomo de flor y un doble enlace adicionales en la dexametasona), este medicamento se une tambin al receptor de glucocorticoides.

Notablemente, el mismo principio que rige estas interacciones fabulosas, go-bierna tambin procesos aparentemente tan sencillos como la extraccin de una grasa por el jabn o la disolucin de cualquier soluto en un solvente org-nico. La qumica de la vida (y la qumica en definitiva) se basa en pocos princi-pios, genialmente utilizados. Darwin en su libro El origen de las Especies (del cual se cumplen ahora 150 aos de su publicacin) lo describe con esta frase genial: La naturaleza es prdiga en variedad, pero avara en invencin.

12Q.e.d.

Con el simple principio de atraccin y repulsin entre cargas opuestas o del mismo signo, se construye la estructura material del universo, desde lo ms grande hasta la simple (y tan maravillosa desde tantos puntos de vista) molcula de agua. Y es con-movedor recordar que tomos y molculas se combinan e interaccionan entre ellos en forma tan maravillosa para permitir nada menos que la vida sobre la tierra.

Gran parte del desarrollo actual de la Qumica se est dando en la bsqueda de nuevas sustancias que puedan ser tiles para distintos fines, y que mejoren en definitiva la calidad de vida de la gente. Y buena parte de eso se est haciendo sobre la base de que la forma hace a la funcin.3

Dedicado con admiracin, gratitud y afecto al Dr Carlos P. Lantos.

3 En palabras de la Fundacin Nobel: In chemistry, shape matters, en qumica, la forma importa. (De la presentacin a los Premios Nobel de Qumica, 1975: John Cornforth y Vladimir Prelog). Otros cientficos galardonados por desarrollar las herramientas necesarias para comprender la relacin nti-ma entre la forma de las molculas y su funcin y la manera en la cual las molculas utilizan la forma para reconocerse e interactuar entre s en los sistemas vivientes , fueron: Derek Barton y Odd Hassel (1969) y Donald Cram, Jean-Marie Lehn y Charles Pedersen (1987)

Pocos cientficos han logrado en vida y despus de su muerte un reconoci-miento tan extenso como Luis Pasteur. Revisando brevemente su obra pode-mos encontrar las causas de su merecida fama.

Pasteur adquiere notoriedad acadmica en la Universidad de Estrasburgo, con sus investigaciones acerca de la relacin entre la forma de los cristales de cido tartrico y su diversa accin sobre el plano de polarizacin de la luz. Este hallazgo le vali, con menos de 30 aos, la Legin de Honor Fran-cesa y luego una invitacin para ser decano de la Facultad de Ciencias en la Universidad de Lille.

Con la mudanza de Estrasburgo a Lille hizo lo que pocos cientficos haran hoy en da: abandonar una lnea de investigacin terica y promisoria para entregarse de lleno al vino y la cerveza, o ms exactamente a los procesos de fermentacin.

En torno a la universidad, se desarrollaba una importante industria de bebidas alcohlicas cuya produccin estaba siempre en jaque: la fermentacin poda conducir al zumo de uva a un buen vino siempre que no se tornara agrio. Cien-tficos de la talla de Liebig consideraban que el proceso de fermentacin era un proceso exclusivamente qumico, pero los estudios de Pasteur lo conducen a afirmar que toda fermentacin es obra de un microbio especial. De esta manera haba que impulsar la accin de los microbios que producan el alcohol a partir del azcar del zumo de uva y frenar la accin de aquellos agentes que producan cido lctico y agriaban el vino. Naca la pasteurizacin que se ex-tendera por toda la industria de los alimentos.1

Estos trabajos, que hoy llamaramos de impacto social, le dieron renombre mun-dial, pero al mismo tiempo reflejaban una idea del concepto de vida que se puso a prueba con la discusin en torno a la generacin espontnea, polmica que fue seguida con vivo inters por la opinin pblica. (ver Intimidades..., pg 34)

Esto slo ya sera suficiente para ganarse el bronce, pero adems tomemos nota de que la sociedad de su tiempo sinti que Pasteur encontr la forma de evitar la enfermedad del gusano de seda, del carbunco, clera de las gallinas, erisipela de los cerdos, perineumona de bovinos, y la remat curando la mortal rabia de perros y lobos. Ahora entenderemos porque su nombre est en tantas calles y mi computadora no denuncia error ortogrfico cuando escribo Pasteur.

C.B.

1. Mucho despus de la muerte de Pasteur se-comprendi ms acabadamente el proceso de fermentacin. El conocimiento actual de esos pro-cesos qumicos permite realizar fermentaciones en forma artificial, sin necesidad de contar con la participacin de microorganismos.

Tendremos un nuevo Newton (*)

(*) Tendremos un nuevo Newton, o un nuevo Ga-lileo, le escribe Marie Laurent a su suegro, con-tando entusiasmada las hazaas cientficas de su esposo, Luis Pasteur.

13 Q.e.d.

Guarda con el tringulo!Juego de mesa con fichas de dos colores

Jueg

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mat

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La matemtica se ocupa tanto de generalizar propiedades particula res, como de descubrir que algo que pareca nuevo es en realidad una parte de un problema ms vasto estudiado antes. Ambos procesos, como en otras ciencias y en la vida misma, facilitan que de una idea surja otra.

Por Juan Carlos PedrazaCBC - UBA

PINTAR EL PLANO CON DOS COLORES

Supongamos que pintamos de negro o de blanco1 los infinitos puntos de esta hoja de papel. Veremos enseguida que cualquiera sea la forma en que se haga esa clasificacin, siempre se hallarn tres puntos del mismo color (blancos o negros) que formen un tringulo equiltero, o sea un tringulo de lados iguales.

Para simplificar el problema, compliqumoslo2.

Supongamos que la hoja es todo el plano sin lmites. Encontraremos tres puntos pintados del mismo color que son los vrtices de un tringulo de lados iguales.

Supongamos que alguien asegura que pudo pintar el plano de tal manera que nunca hallaremos esos tres puntos. Seguramente puso infinitos puntos negros e infinitos blancos; de otro modo hallaramos enseguida el tringulo buscado, con slo alejarnos un poco de los puntos que estn presentes en cantidad limitada.

Para fijar ideas (y para aprovechar el fondo blanco de esta hoja) tomemos dos de los infinitos puntos negros.

Construyamos dos tringulos equilteros cuyos nuevos vrtices pintamos por ahora de gris (a la izquierda) para no comprometernos. De qu color sern en verdad? Negro, quizs, alguno de ellos? Imposible, porque eso formara el tringulo bus ca do, y quien pint el plano ha asegurado que no existe. Entonces los dos puntos nuevos tienen que ser blancos (a la derecha).

1 Un fsico que ley las pruebas de este artculo no puede contener el siguiente comentario. El color de un objeto est dado por la longitud de las ondas de luz que refleja. Para que un objeto refleje luz, su tamao tiene que ser no mucho menor que el de la onda; de otro modo sta le pasar de largo alrededor sin enterarse de que all hay un objeto, como vemos que hacen las olas del mar cuando pasan como si nada a travs de los postes de un muelle; en cambio se reflejan en el malecn mucho ms grande, o en un barco. La idea de puntos blancos y negros se debe interpretar, en este contexto matemtico, como meros nombres de dos categoras, y no como colores fsicos, incompatibles con puntos de tamao nulo.

2 La idea de un plano infinito parece ms compleja que la de una hoja, pero en rigor es ms simple, porque elimina la complicacin de los bordes. Y el problema se simplifica aun ms si se extiende a todo el espacio tridimensional.

14Q.e.d.

Construyamos dos nuevos equilteros mayores con esos dos puntos blancos. Y como antes, pintemos de gris los nuevos vrtices. Ser blanco alguno de ellos?

No, porque aparecera el tringulo que nos dijeron que no existe. Tienen que ser, entonces, negros.

Se pueden marcar seis puntos adicionales como vrtices de nuevos tringulos. Ninguno de ellos puede ser negro, porque formara un tringulo equiltero con otros puntos del mismo color. Tienen que ser, forzosamente, blancos. Pero entonces aparece un equiltero blanco, el marcado en lnea de puntos! Por eso, los nuevos puntos no pueden ser blancos. Y tampoco negros. Eso contra-dice la suposicin de partida, de que se podan pintar los puntos del plano de modo que nunca hallramos tres del mismo color que sean los vrtices de un tringulo equiltero.

Queda as demostrada la falsedad de esa suposicin, y la veracidad de la que subrayamos al comienzo.

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HGANSE LOS BORDES

En su libro Cmo resolver problemas, el matemtico hngaro Gyrgy Plya (1887-1985) recomienda leer por segunda vez las solucio nes para identificar las estrategias utilizadas. Si hacemos eso aqu, vemos que para encontrar tres de un mismo color que fueran vrtices de un tringulo equiltero usamos muy pocos puntos del plano pintado en blanco y negro: alcanzaron diez. Surge esta pregunta: Cuntos puntos son suficientes para que, distribuidos conve nien temente en el plano, haya siempre tres que formen un tringulo equiltero, no importa de qu colores, blanco o negro, se pinte cada uno?

Consideremos un tablero de catorce puntos como se ve en la figura. Si los puntos 7 y 8 son del mismo color, necesitaremos a lo sumo los diez puntos de la figura anterior para conseguir el tringulo equiltero.

Es posible ver que esos catorce puntos tambin son suficientes para hallar un equiltero de uno de los colores, aunque 7 y 8 estn pintados de colores diferentes.

Omitimos, por espacio, la demostracin3, que se puede consultar, sin embargo, en la versin digital de la Revista.

3 Hay un tablero de menos de catorce puntos, negros o blancos, que siempre tengan un tringulo equiltero de vrtices del mismo color? Y si fueran tres los colores? Y si en vez de tringulos se tratase de cuadrados? (Es que, como dijimos, una cosa lleva a la otra.) Queden esas preguntas como fuentes de deleite para el lector.

15 Q.e.d.

Un momento! Y los bordes de la hoja? Con la ansiedad de contarles el juego Guarda con el tringulo me los estaba olvidando.

De todas maneras, tal vez usted ya se haya dado cuenta que este tablero de 14 puntos cabe en cualquier hoja con tal de hacerlo ms pequeo si fuera necesario.

Una vez ubicados los 14 puntos en la hoja los bordes dejan de ser un problema. Si aceptamos que ellos son suficientes para que una vez pintados de blanco o de negro, siempre haya tres del mismo color que forman un tringulo equil-tero, el problema original queda resuelto. Q.e.d.

EL JUEGO

En un tablero de catorce posiciones como el de la ltima figura, juegan dos jugadores, uno con fichas blancas, y el otro, negras, que ponen por turno y una por vez. Gana el que obliga al contrincante a formar un tringulo equiltero con los vrtices de su color. Comienzan las blancas.

ESTRATEGIA GANADORA (SE ACAB EL JUEGO)

El negro tiene una estrategia ganadora basada en la simetra del tablero. Pue-de obligar a su oponente a que sea el primero en formar el equiltero de vr-tices de su color. Para ello el negro, que juega en segundo lugar, debe ocupar con su ficha el punto simtrico con respecto al centro del tablero (el sol en la figura), del que acaba de jugar su rival. La figura ilustra dos jugadas. El negro sigue o copia al blanco. As, si el negro forma un tringulo equiltero es porque blanco lo ha hecho en la jugada inmediata precedente.

OTRO JUEGO

Ya que hemos quemado el juego anterior al revelar la estrategia ganadora, presentamos una ligera variante con un nuevo desafo. Juega primero el blan-co y despus juega dos veces seguidas el negro. A continuacin juega dos veces seguidas el blanco, y as en ms, siempre dos fichas, hasta que alguno de los dos jugadores forme un tringulo equiltero con los tres vrtices del mismo color, momento en que pierde la partida.

Aqu tambin hay una estrategia ganadora. Cul? Quede para el lector o lec-tora la satisfaccin de hallarla o, al menos, el placer de buscarla.

Versin en vidrio de Guarda con el Tringulo! reali-zado por la artesana Adriana Conta. Foto: Oriana Salvetti.

16Q.e.d.

Por

Agu

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BA

Microelectromecnica y nanotecnologa

Los mecanismos de tamao microscpico y atmico manifiestan efectos que

en escalas mayores son insignificantes. El peso es como si no existiera, en

comparacin con las fuerzas electrostticas; y con la fuerza del punto cero, tambin llamada fuerza del vaco, o efecto Casimir.

La figura muestra engranajes microscpicos de silicona, fabricados por los Laboratorios Nacionales Sandia, un organismo militar (vase el smbolo del guila) en Albuquerque, Estados Unidos. El mayor mide 0,4 mm de dimetro, y cada diente, 20 micrones, menos del grosor de un cabello. Se los fabrica con tcnicas pticas, de rayos X y qumicas, semejantes a las empleadas en la elaboracin de circuitos integrados.

Los pequeos hoyos provienen de golpes de planchado, para que las ruedas permanezcan planas y no se desengranen.

Abajo, un mecanismo elaborado con un material ms reciente, la silicona pla-narizada, cuya estructura molecular no requiere planchado. Cada vez que una de las piezas alargadas recibe una seal elctrica, se adelanta por atraccin electrosttica, y cuando la tensin desaparece, vuelve a su sitio por elastici-dad. Cada pulso hace avanzar un diente, en una bomba que usa la industria farmacutica para dosificar volmenes microscpicos de lquidos.

Las imgenes se obtuvieron con la tcnica de barrido electrnico, porque la longitud de onda de la luz visible es demasiado grande en comparacin con los detalles de las piezas, los que saldran borrosos en una fotografa ptica.

Los mecanismos acompaan la tendencia a la miniaturizacin ya conocida en los componentes y circuitos electrnicos, y tienen cada vez ms aplicaciones tiles y pacficas; en inyectores de tinta de impresoras, medidores de presin arterial, detectores de vibraciones, y pantallas con piezas mviles que hacen girar diminutos espejos muchas veces por segundo, desvan la luz y forman las imgenes. En los ltimos aos se hicieron algunos mecanismos tan pequeos, que su tamao poco difiere del de una molcula. Eso dio ligar al nacimiento de la micromecnica molecular, o nanotecnologa.

LA ESCALA PEQUEA

Cuando en el ambiente tecnolgico se utiliza la palabra micro, generalmente se quiere significar algo pequeo1, sin que importe exactamente su tamao, y ni siquiera su orden de magnitud. En cambio, cuando se dice nanotecnologa se hace referencia, especficamente, a tamaos del orden de un nanmetro, o la millonsima parte de un milmetro. Esa longitud es quinientas veces ms peque-a que una onda de luz; entonces no podemos ver, directamente y con luz visi-ble, objetos nanotecnolgicos, cuyo tamao es el de pocas decenas de tomos.

Lo pequeo funciona de modo diferente a como lo hace lo ms grande, aunque en un caso y el otro valgan las mismas leyes fsicas. Entre los muchos fen-menos que ocurren, hay algunos que se manifiestan en diversa medida, de acuerdo con el tamao de los objetos.

1. Por ejemplo, un microinterruptor, o micro-switch, es un interruptor muy pequeo, pero no tanto como un micrn. Reciben ese nombre interruptores de un centmetro de tamao, o ms, y cuyos con-tactos, cuando abren y cierran un circuito, recorren una distancia del orden de un milmetro.

17 Q.e.d.

Por ejemplo, un incendio en un bosque o en una mina de carbn puede durar meses encendido; un brasero, horas; en cambio un ascua se apaga en menos de un segundo2. Un flan pequeo, cuando se lo desmolda, se mantiene ergui-do y firme sobre su base, mientras que uno grande se aplasta y esparce en el plato por su propio peso. Una paloma puede desprenderse de sus excrementos mientras vuela, no as una mosca, que los adhiere a un objeto fijo.

La micromecnica y la nanomecnica van ms all de la disminucin del tamao de mecanismos mayores de eficacia conocida. Si slo se redujese la escala, sin ningn otro cambio, apareceran efectos (muchos de ellos inconvenientes) que no se observan en la escala grande, y a veces ni se sospechan, como la adherencia electrosttica entre piezas, la dificultad para mantener diferencias de temperatu-ra entre dos puntos, la extraordinaria viscosidad de los lquidos (que en gran can-tidad parecen muy fluidos), el efecto del sonido en los mecanismos de engranajes pequeos, la adherencia del polvo e impurezas, y la condensacin de la humedad, cuyas pequeas gotas pueden frenar por completo una rueda, o una palanca.

En el diseo de piezas microscpicas se tienen presentes esos efectos de es-cala, y se consideran sin necesidad de toparse con ellos por sorpresa, como quizs ocurri en los comienzos de esa tecnologa.

El razonamiento bsico se funda en que, cuando un cuerpo tiene un tamao doble que otro, su rea es cudruple; y su volumen, ctuple.

La figura de la izquierda muestra, arriba, un cubo de un metro de lado. Su volumen es de un metro cbico; y su rea, de seis metros cuadrados. Si tuviera la densidad del agua, pesara mil kilos; y apoyado sobre su cara inferior, ejer-cera sobre el suelo una presin de mil kilos por metro cuadrado.

Abajo, un cubo de dos metros de lado. Su volumen es de ocho metros cbicos, y su rea, de veinticuatro metros cuadrados. Si su densidad fuera la misma que la del cubo anterior, pesara ocho mil kilos, y apoyado sobre su cara inferior, cuya rea es de cuatro metros cuadrados, ejercera sobre el piso una presin de dos mil kilos por metro cuadrado; el doble que antes. As entonces, sera bien posible que un cubo pequeo se sostenga, mientras que uno grande, y del mismo material, se desmorone. Los cuerpos pequeos son ms robustos, en proporcin, que los grandes.

Las piezas muy pequeas, de prototipos ensayados en una escala mucho mayor que la de servicio, presentan muy disminuidas sus propiedades de volumen, masa y peso, en comparacin con las de rea, y con las de longitud. Por ejem-plo, si se confiaba en el peso de una parte para que vuelva a su posicin de reposo cuando se la suelta, se hallar, en la rplica pequea, que ese peso es insignificante, y que no alcanza para despegar la pieza de su sostn, al cual quedar adherida electrostticamente3. Es que la carga elctrica responde a la superficie, mientras que el peso depende del volumen.

As como la pequeez trae esos inconvenientes, tiene tambin ventajas, entre ellas la robustez. La velocidad de giro de un motor de automvil, o de lavarro-pas, es del orden de las mil revoluciones por minuto. Una amoladora de disco alcanza las tres mil. Una mayor velocidad de giro hara que esos motores se despedacen; o que, sin eso, vibren tanto, que se desgasten en poco tiempo. Un torno de dentista, ms pequeo, alcanza fcilmente las diez mil revolucio-nes por minuto. Y hay motores microscpicos, bastante pequeos como para girar a medio milln de revoluciones por minuto.

2. Por eso no hay animales homeotermos, tambin llamados de sangre caliente, de menos de un centmetro; porque para mantener su temperatura quemaran el alimento en menos tiempo del nece-sario para conseguirlo, y aun ingerirlo.

3. En algunas operaciones quirrgicas para implantar huesecillos de plstico en el odo medio, en reemplazo de los originales daados por una infeccin, los cirujanos deben usar herramientas espe-ciales, para poder soltar los diminutos repuestos sin que se queden pegados a las pinzas.

volumen = 1 m3

rea = 6 m2

1m 1m 1m

volumen = 8 m3

rea = 24 m2

2 m 2 m 2 m

Detalle de una pata de mosca y partculas de polen. Los pelos eliminan cargas elc-tricas que capturaran mucho polvo. Aun as, el insecto se debe frotar patas, alas y cabeza, para quitarse laboriosamente las part-culas adheridas, tarea innecesaria para los animales grandes. La pata termina en dos esponjas que exudan un lquido pe-gajoso, y un par de tenazas.(Foto: Corey Binns.)

18Q.e.d.

EL EFECTO CASIMIR

Es curioso lo que ocurre con muchas ideas cientficas. Al comienzo son slo es-peculaciones sin mucho fundamento, que muchos critican 4, y hasta rechazan, con razones que en el momento parecen sobradas. Pasado un tiempo, esas ideas se aceptan, o, al menos, se estudian con curiosidad. Despus, algunas se corroboran en complejos y delicados experimentos; pero el conocimiento resultante slo tiene inters terico. Pasan algunos aos, y a esa idea se le saca provecho; o, sin eso, se perciben sus manifestaciones prcticas en alguna rama de la industria. Y, por fin, se fabrican centenares de miles de millones de componentes, que forman parte de artefactos domsticos e industriales, basa-dos en un principio fsico que, pocas dcadas antes, era slo una idea atrevida.

Eso pas con los satlites, la relatividad del espacio y el tiempo, la energa nuclear, el efecto tnel cuntico, y con muchas otras ideas, entre ellas la lla-mada fuerza del vaco 5, fuerza del punto cero, o efecto Casimir, en honor de Hendrik Casimir (19092000), quien descubri, en 1948, que aun en un vaco terica-mente perfecto, sin materia ni radiacin, y en el cero absoluto de temperatura, las llamadas fluctuaciones cunticas de la radiacin (que no pue-de ser absolutamente nula, y adopta por momentos valores diferentes de cero) generan una fuerza de atraccin entre placas conductoras planas y paralelas, y de repulsin en ciertos casos de curvatura. Esa fuerza es muy pequea, y no se percibe en experimentos con cuerpos de tamao visible; pero se empez a notar cuando se fabricaron objetos de pocos nanmetros. Al principio eso era un inconveniente que dificultaba el movimiento de las piezas; pero despus, result una nueva variable de control, de efectos aprovechables.

NANOTUBOS, NANOLMINAS Y NANOESFERAS

Se llaman nanotubos los cilindros de dimetro prcticamente atmico. Tienen variadas aplicaciones nanotecnolgicas, y tuvieron su origen en fibras de gro-sor mucho mayor, y de propsitos modestos, como el de reforzar estructuras de plstico. El vidrio, por ejemplo, es un material cuya resistencia a la rotura a la traccin es pequea; no mucho mayor que la de los plsticos. Pero cuando se lo hila finamente, adquiere una resistencia a los esfuerzos muy elevada, que no tiene una barra maciza de la misma seccin transversal total.

El clsico concepto de resistencia a la traccin, en newton por metro cuadrado, o kilogramos por centmetro cuadrado, no tiene aplicacin en el caso de los hilados, porque la fuerza resistente parece no ser proporcional a la seccin, en centmetros cuadrados, como en los objetos ms gruesos, sino al permetro, en centmetros lineales. En el conjunto de las fibras de vidrio que refuerzan el plstico de una caa de pescar, un aislador o el eje de un motor, la cantidad total de permetro de las fibras hiladas es muy grande, y lo mismo ocurre con la fuerza que puede resistir el haz. Lo mismo se experiment con fibras de carbono, que resultaron aun ms resistentes que las de vidrio, ambas de grosor cercano a un micrn, diez veces ms fino que el de una tela de araa.

Descubierto ese hecho, se fabricaron fibras cada vez ms delgadas, para usar-las como refuerzo, hasta tropezar con el lmite atmico. Es imposible hacer una fibra de grosor menor que el de un tomo, y, de hecho, debe tener un dimetro de varios tomos, para que stos se puedan acomodar en una estruc-tura estable.

En el caso del carbono, esa estructura es una malla hexagonal cerrada en for-ma de tubo, que recibi el nombre de nanotubo.

Aunque los nanotubos se conocen, en teora, desde 1950, la evidencia de su existencia, y su fabricacin, datan de 1991. En 1994 se logr una

4. Albert Einstein, uno de los ms grandes cientficos de la historia, y cuyos conocimientos y seriedad de argumentacin fueron siempre indiscutibles, negaba, al principio, la fsica cuntica, a pesar de que aos despus le otorgaron el premio Nobel justamente por la explicacin cuntica del efecto fotoelc-trico.

5. Hay quienes la llaman fuerza de la nada, para causar perplejidad, como si hiciera falta alguna razn adicional para quedar perplejos ante ese fenmeno, ajeno a la percepcin ordinaria y cotidiana.

4480 dA

chFC =

Efecto Casimir. La radiacin encerrada entre las placas conductoras, y, por tanto, reflectan-tes, genera interferencias que alteran el balan-ce con la radiacin externa (que no interfiere del igual manera). Con eso, predomina la pre-sin ejercida por la radiacin exterior. La fuer-za es inversamente proporcional a la cuarta po-tencia de la separacin. A una distancia entre placas de cien dimetros atmicos, la presin de Casimir es de una atmsfera. FC: fuerza de Casimir, en N; c: velocidad de la luz, 299792458 m/s; h, constante de Planck, 6,6260681034 m2.kg/s; , 3,14159265; A, rea, en m2; d, separacin, en m.

Representacin artstica de varios nanotubos de carbono. Cada tomo de ese elemento ocupa un nodo de la red. Hay tubos de una sola capa, como stos, y otros de estructura ms compleja, con varias capas vinculadas entre s mediante enlaces atmicos. Esta figura no representa la torsin que pueden tener los nanotubos, hacia la izquierda o hacia la derecha.

19 Q.e.d.

estructura plana, llamada grafeno, por su semejanza con el grafito. Sus propiedades son nuevas y extraas, y dan lugar a variadas aplicaciones. Forman parte de sistemas microelectromecnicos (mems), como piezas mviles, y como conductores elctricos. Se estudia la posibilidad de alma-cenar tomos de hidrgeno en esos tubos, sin necesidad de mantenerlo a presin, lo que sera de gran utilidad en los automviles que usen ese gas como combustible. Se aprovechara su torsin estructural para fabricar nanomotores. Resisten, adems grandes fuerzas 6. Y si se los pudiera hacer muy largos (actualmente no llegan a tener ni un micrn de longitud), se podran usar como cables capaces de conducir muchos amperes por mil-metro cuadrado.

Para fabricar nanotubos se vaporiza carbono con arcos elctricos, lseres, u otros medios, y se deja que su vapor se condense y cristalice sobre superficies fras. Los nanotubos se forman naturalmente al ordenarse los tomos, y su grosor y longitud dependen de las temperaturas de los vapores y de las paredes del recipiente, y de otros parmetros del proceso.

Con tcnicas similares, Jun Ni y otros investigadores construyeron, en 2009, nanotubos de boro, y hojas de espesor atmico de ese elemento. La posibi-lidad la haban predicho un ao antes, con la ayuda de modelos de compu-tadora. Esos materiales tendran aplicacin electrnica en la fabricacin de transistores y compuertas lgicas de muy pequeo tamao.

Siempre con el procedimiento de condensar vapores sobre superficies ms fras (el mismo que se usa a veces en la fabricacin de transisto-res, microprocesado-res y circuitos integrados), se obtuvieron lminas de carbono, de silicio, y de otros elementos, de apenas uno o dos tomos de espesor.

Las tcnicas de fabricacin de nanotubos, nanoesferas y nanosuperficies, en las que parte del trabajo se hace solo y de modo casi espontneo, como re-sultado de las fuerzas de interaccin entre las partes, recuerda la manera en la que, en los seres vivos, la materia inorgnica se organiza en molculas orgnicas, como los aminocidos y las protenas, para formar la pared de una clula, u otras estructuras de complejidad mayor7.

En 2007, el cientfico coreano Ji-Hoon Lee, y otros miembros del Departamen-to de Materiales del Instituto de Ciencias Gwangju, en la repblica de Corea, reportaron que las bacterias Shewanella sintetizan nanotubos de sulfuro de arsnico, de 20 a 100 nanometros de dimetro, que poseen propiedades fo-toconductivas; esto es, conducen la electricidad cuando la luz incide sobre ellos. Se abri, con esa observacin, la posibilidad de fabricar nanotubos por medios biolgicos, en una tcnica que combina la nanotecnologa con la bio-tecnologa.

6. En 1895, mucho antes de los satlites, el cientfico ruso Konstantin Tsiolkovsky, mientras admiraba la hoy famosa torre diseada por Alexandre Gustave Eiffel, y comentaba con l su diseo, concibi la idea de hacer una construccin de ms de cien mil kilmetros de altura, que se mantendra erguida y tirante gracias a la rotacin terrestre, para usarla como escalera para poner cargas en rbita, con gran ahorro de energa en comparacin con los cohetes. El material necesario para erguir una antena o to-rre semejante, si fuera de grosor y densidad uniforme, debera resistir decenas de miles de kilogramos por centmetro cuadrado. Pues bien, los nanotubos de carbono satisfacen, hoy, esa exigencia.

7. El ingeniero Eric Drexler, cuando estudiaba la posibilidad de sembrar nanobots (robots nanom-tricos) para degradar contaminantes qumicos del suelo y el agua, sugiri, en 1986, una aventurada y fantstica hiptesis que llam la melaza gris (grey goo) Segn esa idea, en algn laboratorio se podran fabricar nanobots capaces de replicarse a s mismos, que luego escaparan por accidente, y se reproduciran de manera descontrolada, a partir de la materia del medio ambiente. Muchos juzgan descabellada esa especulacin, a pesar de que la aparicin de la vida en nuestro planeta la muestra como tericamente factible, y de que se es justamente el comportamiento de algunos virus, los cuales se pueden manipular genticamente con tcnicas que, en lo sustancial, se asemejan a los pro-cedimientos de construccin propios de la nanotecnologa. En medios cientficos serios, que incluyen al propio Drexler, hoy se descarta esa catastrfica posibilidad. La melaza gris no podra competir con la vida, que est aprendiendo a sobrevivir desde hace tres mil millones de aos.

Prefijo Smbolo Factor Mnemo

yocto y 1024 ocho

zepto z 1021 siete

atto a 1018 (1)

femto f 1015 (1)

pico p 1012 sobra

nano n 109 enano

micro 106 pequeo

mili m 0,001 mil

centi c 0,01 cien

deci d 0,1 diez

1

deca d 10 diez

hecto h 100 cien

kilo k 1000 mil

mega M 106 grande

giga G 109 gigante

tera T 1012 cuatro

peta P 1015 cinco

exa E 1018 seis

zetta Z 1021 siete

yotta Y 1024 ocho

Prefijos de mltiplos y submltiplos. La tercera co-lumna da una pista mnemotcnica para recordar los menos usuales. Por ejemplo, tera se parece a tetra, cuatro, y como 3 x 4 = 12, un tera-ohm equi-vale a 1012 . Los smbolos van en mayscula a partir de mega.

(1) Femto y atto significan quince y dieciocho en dans. Esos prefijos los introdujo el fsico Niels Bohr, estudioso del tomo, cuyo ncleo mide, aproximadamente, un femto-metro.

Esfera de oro y polmero, de un nanmetro de dimetro. (La imagen se obtuvo por barrido electrnico, sin luz vi-sible.) La tcnica constructiva, inspirada en la formacin de la membrana de una clula viva, la desarroll el grupo de investigacin que dirige Chad Mirkin en la Northwes-tern University, e incluye la unin de pequeos cuerpos de oro, con polmeros. Los conjuntos tienden a unirse de manera ordenada, en lminas curvas y esferas.

20Q.e.d.

NANOMOTORES

Las mquinas rotativas de tamao nanomtrico son muy diferentes de los mo-tores elctricos, o de explosin, que conocemos en el tamao habitual, o pe-queo, pero visible. Y tambin difieren sustancialmente de los micromotores, nombre que reciben los motores cuyo tamao es del orden de un centmetro, o pocos milmetros. Los nanomotores, de tamao del orden del nanmetro, son verdaderas molculas mviles, de estructura especialmente diseada y construida, y estn formados por pocos miles de tomos. Algunos ya existen realmente; y muchos otros son slo ideas, en la fase inicial de proyecto y ex-perimentacin.

En este tipo de construcciones, las distancias son tan pequeas, que los elec-trones pueden saltar de un sitio a otro, aunque los objetos no se toquen 8. Se cree que el pasaje de una corriente elctrica entre los electrodos, inducir un giro, por la estructura en espiral que se le dara al nanotubo central.

Otros diseos permiten un desplazamiento lineal, en vez de rotativo. Si se ajusta un nanotubo corto de carbono alrededor de otro ms largo, el de afuera se desplaza hacia el extremo de menor temperatura, donde las vibraciones de los tomos son de menor amplitud, y transmiten, por eso, un impulso menor.

Ese motor lineal es til como herramienta de exploracin en microscopios de fuerza atmica y de efecto tnel9, gracias a que con un control adecuado de las temperaturas, se pueden dirigir desplazamientos de menor orden que el tamao de un tomo.

En la etapa actual del desarrollo de la nanotecnologa, el campo de la ima-ginacin es mucho ms vasto que el de los alcances concretos. Hay muchos proyectos cuya viabilidad se comprob con modelos de computadora, sin que se hayan fabricado todava. Sin embargo, y por la misma ndole de las herra-mientas de elaboracin, en esta rama de la industria la distancia entre la idea y el hecho es bastante menor que la que existe en otras, como la nutica, o la arquitectura.

8. Lo que llamamos tocar est lejos de nuestra idea intuitiva de compartir un punto geomtrico. Lejos de eso, el ms fuerte puetazo dado sobre una mesa, mantiene una considerable distancia entre la madera y la mano, equivalente a varios radios atmicos. La fuerza que se ejercen ambos cuerpos en ese caso, es la de repulsin elctrica entre los electrones de los tomos que se acercan. (Quizs en eso se base la excusa Ni lo toqu! esgrimida en algunos accidentes de trnsito.) En distancias nano-mtricas, el concepto de estar o no en contacto se reemplaza por el ms amplio de la comparacin de las fuerzas de interaccin entre tomos cercanos.

9. El microscopio tnel tiene una punta microscpica que recorre la superficie del objeto, y le arranca electrones con menos tensin elctrica que la que corresponde segn la teora clsica, efecto que se conoce como tnel, por comparacin con una bolilla que supera una loma sin tener energa cintica suficiente, como si atravesara el terreno a travs de un tnel. El de fuerza atmica tiene alguna se-mejanza, pero en vez de arrancar electrones, stos la atraen mientras se desplaza paralelamente a la superficie. La fuerza se mide por la flexin del fino soporte de la aguja.

Imgenes del presidente de EEUU, Barack Obama, creadas con estructuras de nanotubos de carbono por un equipo de investigadores de la Universidad de Michigan. Cada una est constituda con aproxi-madamente 150 millones de diminutos nanotubos de carbono, y fueron fotografiados utilizando un micros-copio electrnico.

Engranaje diferencial, imaginado en el Instituto de Ma-nufactura Molecular (IMM), California, en los Estados Unidos, con varias clases de tomos.

21 Q.e.d.

El Sr. Porqu. Ese era el apodo que Kurt Gdel se haba ganado, de nio, por parte de su familia, en clara alusin a su naturaleza persistentemente inqui-sitiva. Nacido en 1906 en Brnn, ciudad que perteneca al entonces imperio austro-hngaro, Gdel se convertira en uno de los lgicos ms importantes y revolucionarios, y jugara un prominente rol en el programa destinado a cons-truir los cimientos de la matemtica. Ya a temprana edad mostr talento para las ciencias exactas y los idiomas en general, capacidad que le resultara de enorme utilidad para el anlisis de la sintaxis lgica que subyace en los pro-cedimientos deductivos. Gdel perteneci a una generacin a la que le toc presenciar tiempos difciles, dos guerras mundiales e importantes cambios. A pesar de no mostrar inters alguno en la poltica, debi sufrir las dificultades y riesgos producto de un convulsionado rgimen en la Alemania nazi, que lo convencieron finalmente de emigrar a Estados Unidos. A lo largo de su vida mantuvo intactas su insaciable curiosidad y sus ambiciosas aspiraciones, y en una apasionante bsqueda de la verdad supo abrirse camino y estar al corrien-te de las tendencias intelectuales de su poca.

Ingres a la Universidad de Viena sin decidirse an por estudiar matemtica o fsica, pero los alentadores cursos de teora de nmeros que dictaba uno de sus profesores acabaron por convencerlo de que deba dedicar su vida a investigar en detalle la primera. Ya en 1929 haba logrado doctorarse con una interesante tesis acerca de la lgica de primer orden, la principal herramienta usada para los desarrollos matemticos usuales. Haba comenzado a asistir a las reuniones del Crculo de Viena, junto a hombres de la talla de Rudolf Carnap, y para ese entonces ya tena una idea bastante ntida de lo que consideraba la verdadera naturaleza de la matemtica y su relacin con el mundo real. No era la prime-ra vez que los matemticos hacan consideraciones epistemolgicas acerca de la filosofa de su ciencia, y el siglo XX fue testigo de la aparicin de numerosas corrientes de pensamiento al respecto. Con el avance y complejidad que se haba logrado en la estructura del pensamiento lgico, era cada vez ms fre-cuente la pregunta acerca del lugar y significado que la matemtica posea. Y Gdel, urgido por la incesante necesidad de buscar la razn, decidi proponer-se la arriesgada empresa de llegar a las ltimas consecuencias. Es realmente la matemtica, como se piensa, el lenguaje del universo? Son las entidades matemticas objetos reales o es su existencia un mero postulado ontolgico til? Dnde radica la generalidad del lenguaje matemtico y cules son sus lmites? Estas preguntas, as como muchos otros interrogantes similares, in-trigaran la incansable mente de Gdel y conduciran sus investigaciones por el inexorable derrotero hacia uno de los resultados ms fundamentales y de mayor impacto en el mundo de la lgica.

EL DESPERTAR

Desde los tiempos de Euclides las intuiciones matemticas se fundamenta-ban sobre premisas que se daban por ciertas, y las deducciones se hacan a travs de reglas de razonamiento implcitas que nadie pona en duda y que

Podra el ser humano, intentando suplir las falencias de un sistema en construccin, enfrentarse a una incompletitud inherente e irremediable? Gdel nos demuestra que, al menos en el campo de la matemtica, este parece ser el caso, y su vida nos ensea que la obsesin por la perfeccin puede resultar un arma de doble filo.

Si voy a mi oficina es nicamente para tener el privile-gio de volver luego a casa paseando con Gdel, deca Einstein de su amigo y vecino del Centro de Estudios Avanzados de Princeton. Tres aos antes del cumplea-os nmero 70 de Einstein, Gdel se puso a trabajar en su regalo: un modelo cosmolgico para un universo en rotacin consistente con la relatividad general en el que una persona puede viajar a su propio pasado. Gdel lo termin justo a tiempo para su publicacin.

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22Q.e.d.

Gdel acostumbraba tomarse todas las cosas en serio. Cuando se le ofreci la ciudadana norteamericana, de-cidi estudiar previamente en detalle la Constitucin de los EE.UU. Un da antes de la jura llam a Oskar Mor-genstern otro del brillante grupo de Princeton, coau-tor de la Teora de Juegos- muy nervioso; haba descu-bierto una inconsistencia lgica en la Constitucin por la cual se poda instaurar una dictadura en los EE.UU. Morgenstern intent calmarlo y le sugiri que jurara y despus siguiera trabajando en el tema. Al da siguien-te Morgenstern y Einstein acompaaron a Gdel para evitar cualquier reaccin poco afortunada del lgico. Segn los testigos, se produjo el siguiente dilogo con el juez Philip Forman, Ud. tena la nacionalidad alema-na hasta ahora, no? -Austriaca corrigi Gdel; Es igual -prosigui el juez- aquello fue durante una horrible dictadura, pero afortunadamente eso no puede pasar aqu; De ninguna manera, yo puedo demos-trarle que s! afirm Gdel, y comenz a explicarle el mecanismo que haba descubierto. Afortunadamente, el juez Forman lo interrumpi, Einstein y Morgenstern consiguieron calmar a Gdel y la jura se produjo sin mayores sobresaltos.

constituan la base de todo buen argumento. Pero a finales del siglo XIX, la aparicin de ciertas contradicciones en el corazn del edificio matemtico puso en evidencia que era necesario enunciar explcitamente los mecanis-mos usados para extraer conclusiones, con el objeto de identificar la raz del problema y salvar, en la medida de lo posible, la mayor parte de la matem-tica que estaba siendo amenazada con insolentes paradojas. Fue entonces que se hizo clara la necesidad de un desarrollo axiomtico, de distinguir entre los aspectos que la matemtica describa y los mtodos usados para ello. Si bien la matemtica haba seguido enriquecindose durante cientos de aos gracias al aporte de diversos hombres de ciencia, se hizo necesario proveer un marco terico subyacente para organizar toda la estructura. Las premisas consideradas evidentes deban ahora tomar sin excepcin la forma de axiomas, y todo lo que pudiera deducirse deba hacerse sobre la base de ellos y por medio de reglas de inferencia explcitas y cuidadosamente con-troladas. Era una distincin entre la forma y el contenido, entre el lenguaje usado para describir ciertos resultados y el significado mismo de los propios enunciados; en otras palabras, una distincin entre sintaxis y semntica. Se trataba de establecer reglas gramaticales para el lenguaje matemtico, de atribuirle caractersticas estructurales independientes de aquello que poda describir, de producir una escisin entre el objeto de estudio y el sujeto que lo estudia, por medio de la cual el matemtico comenzaba a analizar el alcance de su ciencia como sistema, pero salindose de dicho sistema y contemplndolo desde afuera. Este profundo cambio en la concepcin de la matemtica tendra importantsimas consecuencias, y el nuevo enfoque permitira abrir un campo de investigacin innovador. Por primera vez se tomaba conciencia de los mecanismos del funcionamiento del sistema, y este despertar ayud a imponerse a la rutina detrs de los engranajes que lo movan, logrando una instrospeccin y jugando con la autorreferencia. Haba surgido la metamatemtica.

De la mano de matemticos como David Hilbert, Alfred Tarski y Thoralf Sko-lem, el impulso que este cambio de perspectiva confiri a la disciplina fue multiplicado y explotado con creces. Mientras matemticos anteriores haban dirigido sus investigaciones haciendo camino entre la tupida vegetacin de la selva matemtica, el nuevo enfoque equivala a subir un nivel y contemplar el panorama completo desde arriba. De esta manera podan hacerse deducciones acerca de lo eficiente que poda ser un cierto camino o si una determinada va poda conducir al resultado esperado sin necesidad de recorrerlos. Este inteli-gente punto de vista era novedoso y distinto a los desarrollos acostumbrados, pero tambin ms arriesgado y peligroso. Subir de nivel era til para lograr un mayor entendimiento del quehacer matemtico, pero trepar el rbol de la sabidura conllevaba el riesgo de tomar conciencia de las propias limitaciones del mtodo, as como de la imposibilidad de cumplir con algunos propsitos y de llegar a ciertos destinos; y mientras ms altura se alcance, ms estrepitosa puede ser la cada.

Hilbert planeaba disear un programa segn el cual el mtodo lgico-matem-tico se demuestre infalible y suficiente para todos los propsitos, establecin-dose como herramienta primordial para alcanzar la verdad. Gdel, entusias-mado por este plan, se abocara a estudiar las propiedades metamatemticas del sistema axiomtico, lo que terminara por asestar un duro golpe al corazn del programa de Hilbert, un golpe que nadie vio venir.

EN BUSCA DE LA COMPLETITUD

Durante sus aos en la universidad, Gdel comenz a abrazar la idea de que las entidades matemticas tenan existencia propia en el mundo, inde-pendientemente del que las postulara. Segn esta idea, la matemtica no se inventa sino que se descubre, y la visin del campo matemtico se hace ms amplia a medida que se toma conciencia de su vastedad por medio de la investigacin. Se planteaba entonces el siguiente interrogante: son los mtodos de investigacin lo suficientemente poderosos como para permitir al matemtico adentrarse en todos los resquicios del saber? son lo sufi-cientemente confiables como para no dejar dudas acerca de los resultados

23 Q.e.d.

hallados? Y en caso afirmativo, hay alguna manera de usar los propios mtodos del sistema para probarlo? Hilbert haba jugado todas sus cartas a intentar convencer al resto de la comunidad acadmica de la posibilidad de establecer estos hechos sin lugar a dudas, convirtiendo la matemtica en un sistema autocontenido, a prueba de fallos. Soaba con conseguir la completitud del sistema matemtico, la certeza de que toda aquella pre-gunta que era capaz de expresar en el lenguaje del sistema poda ser res-pondida efectivamente. De este modo no habra nada que eventualmente no pudiera conocerse: la creatividad humana era el lmite. Entusiasmado por la idea de tener un referente universal para la verdad, Gdel inici un estudio profundo de la gramtica de los sistemas axiomticos, con el objeto de establecer su rol y sus implicaciones. Grande sera la sorpresa de sus contemporneos al conocer el punto culminante de sus investigaciones; despus de mucho buscar, concluy Gdel que la completitud puede lograr-se, pero pagando un altsimo precio.

La idea de Gdel es de una complejidad extrema, pero puede describirse a grandes rasgos de un modo muy simple. Su construccin se basa en intentar traducir viejas paradojas del lenguaje a un nuevo idioma, el de la matem-tica, y el corazn de sus investigaciones gira en torno a cmo efectuar esta traduccin de modo de conseguir que enunciados autorreferentes puedan ser reproducidos en el lenguaje de un sistema axiomtico adecuado. Para ello, el sistema debe ser lo suficientemente potente como para poder expresar el gnero de enunciados que hablan de s mismos. Si con ayuda de una adecuada traduccin, razonaba Gdel, un enunciado del tipo: Este enunciado no tiene demostracin pudiera colarse en el desarrollo formal de una teora, tal teora sucumbira irremediablemente a la prdida de la completitud. En efecto, el enunciado en cuestin no podra ser demostrado, pues hacerlo equivaldra a probar justamente lo contrario, como el propio enunciado afirma. Luego, si uno se empea en conseguir la completitud, acaba cayendo en una inconsis-tencia; el nico modo de lograr que el sistema sea completo es renunciando a su consistencia.

Frente a esta alternativa para nada deseable, surge la idea de trabajar con sistemas distintos que no sean capaces de exhibir este tipo de enunciados autorreferenciales. Un tal sistema no debera nunca poder hacer referencia a s mismo, dejando para la metamatemtica cualquier consideracin en cuanto a su sintaxis. Sin embargo, como Gdel prob, un tal sistema sera demasiado dbil como para intentar describir uno de los conceptos fundamentales que la matemtica intenta elucidar: los nmeros naturales. Parecera un sinsentido que la matemtica, que justamente surgi por la necesidad de abstraer el con-cepto de nmero, deba ahora renunciar a explicarlo en su totalidad para poder evitar el enunciado gdeliano. El sistema, en ese caso, podra ser efectiva-mente completo, pero su rango de accin sera limitado. Desde el momento en que un sistema se propone axiomatizar adecuadamente los nmeros naturales, sucumbe sin remedio a los argumentos de Gdel, siendo capaz de hacer que la aritmtica sea su propia metamatemtica, y actuando como una serpiente que se muerde a s misma y que inyecta el veneno de la incompletitud.

Como si no hubiese sido un golpe suficientemente fuerte, Gdel tena an ms que decir acerca de la coherencia de los sistemas considerados. Dedujo de sus investigaciones que un sistema consistente que contenga la aritmtica no solo resulta ser inherentemente incompleto, sino que adems es incapaz de probar su propia consistencia; en otras palabras, el nico modo en que un tal sistema pudiera demostrar de s mismo que es consistente sera que no lo fuera realmente. De este modo, si tenemos la esperanza de salvarlo de la inconsistencia, deber ser incapaz de reproducir en su lenguaje una prueba de su coherencia; una tal prueba, si existe, tendra que ser siempre efectuada por fuera de l, y el sistema nunca podra ser consciente de ello. En ese sentido, buscar empecinadamente una prueba de consistencia con mtodos del sistema es como jugar con fuego, ya que, de hallarla, inmediatamente encontraramos tambin una incoherencia. La matemtica quedaba as totalmente expuesta e indefensa, y la cuestin sobre su consistencia se hunda para siempre en la niebla. Si, en el mejor de los casos, resultara consistente, jams podramos averiguarlo con sus propios mtodos.

Versin animada de la paradoja del mentiroso en la que se inspir Gdel para la demostracin de la incompleti-tud. En ella se puede ver a Pinocchio, el mueco al que le creca la nariz cuando menta, afirmando: Mi nariz va a crecer ahora!, lo que genera un crculo vicioso que impide hacer aseveraciones sobre la veracidad de la frase. El trabajo de Gdel intenta traducir la parado-ja al lenguaje de la lgica, pero discriminando cuidado-samente entre diversos niveles de interpretacin, entre aseveraciones matemticas y metamatemticas. Con este novedoso enfoque la paradoja desaparece, pero su potencia y profundidad es tal que deja, de todas mane-ras, el rastro de la incompletitud en la teora.

24Q.e.d.

LA INCOMPLETITUD COMO VIRTUD

Los resultados de Gdel causaron en su momento una enorme conmocin en el mundo matemtico y sus consecuencias impresionaron a numerosos lgicos y fil-sofos de las ciencias. Pero desde la publicacin de estos resultados, en 1931, hasta nuestros das, los matemticos han podido sobreponerse y aceptar la incompleti-tud como parte de las reglas de juego. Ya Gdel haba hecho notar que un sistema poda probarse incompleto exhibiendo un enunciado que pueda formularse en su lenguaje (despus de traducir adecuadamente una autorreferencia) pero tal que el sistema no pueda demostrarlo ni refutarlo; es decir, mostrando que hay una cuestin acerca de la cual el sistema se abstiene y que resulta por lo tanto indecidible. Surge entonces naturalmente la posibilidad de ampliar el sistema de dos maneras posibles, agregando el enunciado o agregando su negacin. Siendo el enunciado indecidible para el sistema original, si ste era consistente, el nuevo sistema lo ser tambin, cualquiera que fuere la alternativa elegida. De esta ma-nera se crean nuevas estructuras que describen universos distintos e igualmente aceptables, pero que son tambin incompletas, y por tanto susceptibles de ser ampliadas a su vez a otros sistemas, cada vez ms especficos. La riqueza y varie-dad de lo incompleto resulta una cualidad deseable frente a la monotona de un sistema completo y llano; se resigna la completitud en favor de la diversidad, as como se resigna la certeza de la consistencia en favor de la coherencia.

La bsqueda de la verdad ltima haba conducido a Gdel a terrenos insospe-chados, y sus indagaciones sobre la completitud culminaron con su gran descu-brimiento. No hay dudas de que su condicin obsesiva y detallista le permiti concebir su genial mtodo para lograr que un sistema sea autorreferente, aun-que, cual arma de doble filo, le jugara en su contra hacia el final de su vida. Los numerosos premios y reconocimientos que recibi por su trabajo atestiguan una dedicacin exhaustiva y esforzada en el campo de los fundamentos de la matemtica, pero al precio de una personalidad suspicaz y peligrosamente paranoica. En sus ltimos aos, Gdel no pudo evitar sufrir perodos de inesta-bilidad mental y fobias. Y si bien no era la primera vez que experimentaba una crisis nerviosa, nunca haba arriesgado tanto. Temeroso de que pudiera envene-narse, era cuidadosamente selectivo con lo que ingera y pronto se rehus casi a comer, lo que eventualmente le condujo a la muerte por inanicin.

Qu escabrosos pensamientos pu-dieron haber pasado por la mente de Gdel para llevarlo a adoptar esa de-terminacin? Hasta qu punto puede alguien ser consecuente con su com-portamiento an a riesgo de perder la vida? Fue el recelo extremo una per-versa jugada del destino o fue, irnica-mente, el mismo deseo de completitud de su esquema obsesivo el que le con-dujo a la incoherencia? Sea cual fuere la respuesta, lo cierto es que marc el punto final para el Sr. Porqu, el genio que, de tanto querer tener razn, aca-b por perderla. Y su muerte nos deja, una vez ms, la misma sensacin que sus teoremas: la de una inextricable in-completitud.

Galera de grabados, de M.C. Escher. En esta ilustracin del genial artista se puede apreciar, de acuerdo a la in-terpretacin de Douglas Hofstadter, un sistema autorrefe-rente que plasma el espritu de la demostracin de Gdel: el observador contempla un cuadro del que l mismo for-ma parte, aunque no llega a darse cuenta de tal hecho, que slo puede ser sealado un observador externo. El hueco central representara, segn Hofstadter, la incom-pletitud del sistema, necesaria para evitar su inconsisten-cia, a la vez que pone en evidencia que tal incompletitud slo puede detectarse si se lo observa desde afuera.

25 Q.e.d.

Experimentos fsicos con una radio y un celularCon un canasto de alambre, papel de aluminio, una radio AM y FM, y un telfono celular[1], se pueden experimentar algunas propiedades de las ondas electromagnticas.

La radio se silencia tanto al envolverla en papel metlico, como al alojarla entre el canasto y una hoja de ese papel. Las ondas de radio AM y FM tienen una longitud mucho mayor que las aberturas del cesto; medio kilmetro las primeras, y tres metros las otras, y no pasan at travs de la malla.

En cambio, un telfono celular slo se asla al envolverlo por completo, porque su onda, de frecuencia cercana al gigahertz, mide apenas unos tres centmetros, y una buena parte de su energa pasa a travs de las aberturas del canasto. Tambin recibe llamadas dentro de un horno[2], y de una heladera; en cambio no lo hace cuando se lo encierra en una olla metlica perfectamente tapada.

Para esa clase de experimentos es til uno de esos adornos que encienden una luz intermitente cuando se los excita con la onda de un celular, y que suelen formar parte de llaveros con forma de mueca, pelota o lagartija.

Tiramos la lagartija, y en diferentes condiciones experimentales se pue-de observar si el llavero destella cada vez que se enciende o se apaga el celular, sin necesidad de hacer una llamada. Esa prctica ayuda a com-prender cmo se relaciona la longitud de onda con la frecuencia, y con la velocidad de la luz.[3]

A veces notamos que cuando arriba una llamada a un aparato apoyado sobre un televisor, una computadora, o un equipo de sonido, se perciben perturbaciones intermitentes de imagen o de sonido, generadas por la comunicacin del celular con la torre telefnica. Pero adems de eso, y con el aparato en espera, la aproximacin del telfono a una radio de AM con el dial de sintona volcado hacia el extremo de frecuencias bajas, en cierta posicin y orientacin, hace que por la radio se oigan ruidos rtmicos, que no son, esta vez, de comunicaciones, sino, simplemente, efectos de las corrientes variables del reloj interno del celular.

A.R.

Talle

r y

Labo

rato

rio

[1] La palabra celular alude a la zona de influencia de cada torre de telefona, un lote de terreno pa-recido a la celda o clula de un panal. Cuanto menor es la distancia entre torres, tanto menor es la energa necesaria para la comunicacin, lo que facilita la telefona mvil con bateras pequeas, que reemplazan las pesadas y costosas valijas que se usaban hace veinte aos.

[2] No se debe encender el horno; se arruinara el aparato.

[3] La longitud de onda (lambda), en metros; la frecuencia (ni, o nu), en ciclos por segundo, o hertz, y la velocidad de la luz, c, de 299.792.458 m/s en el vaco, se relacionan mediante = c/.

26Q.e.d.

En realidad, la palabra Stomachin es una deformacin del trmino original Ostomachion (O)

Arqumedes tambien juega Carlos BorchesCBC - UBAEn anteriores nmeros de Q.e.d. contamos las vicisitudes del palimpsesto perdido

que llev oculto por siglos un par de trabajos de Arqumedes. Nos hemos referido ya a El Mtodo, es hora de hacerlo con su compaero de ruta, tal vez, injustamente

subestimado por ser slo un juego, O no?

Jos Babini, uno de los precursores de la Historia de la Ciencia en nuestro pas, siguiendo los pasos de otros grandes especialistas, clasific la obra de Arqume-des y reserv la categora de trabajos menores para referirse al Stomachin. Especie de puzzle geomtrico, sentenci Babini acercando a nuestro idioma los juicios del fillogo Johan Heiberg y del holands Eduard Jan Dijksterhuis, uno de los mayores conocedores de la obra de Arqumedes.

Todo lo que conocemos hoy sobre el Stomachin, palabra griega que significa dolor de estmago, proviene del texto griego recientemente recuperado (Ver Q.e.d. Nro 1) ; de una traduccin muy libre al rabe del siglo XVII, y de varios manuscritos romanos donde se alude al Stomachin como Loculus Archimedius, algo as como la caja de Arqumedes.

Pero, qu es concretamente el Stomachion? Gracias al manuscrito rabe sa-bemos que es una coleccin de catorce piezas poligonales con las cuales haba que armar un cuadrado tal como se indica en la figura al pi .

Algunos textos romanos indican que el juego tambin se utilizaba para armar figuras libres, lo que hoy conocemos como Tangram, pero con el doble de piezas

27 Q.e.d.

En diversos textos romanos se invita a jugar con la caja de Arqumdes armando figuras libremente. Los textos romanos de Ausonius (Cento nuptialis), Caesius Bassus y M. Victorinus (Ars grammatica) establecen una relacin entre las distintas frases que se pueden armar con las mismas palabras y las diversas imgenes que se pueden construir con las catorce piezas del Stomachin.

Se pueden consultar los textos latinos y las construccio-nes propuestas en el sitio http://www.archimedes-lab.org/

El popular juego chino Tangram se origin alrededor del siglo XI de nuestra era, en tiempos la dinasta Song. En occidente se populariz durante el siglo XIX.

RELEYENDO AL STOMACHION

Experto en lenguas clsicas, Dijksterhuis fue para atrs y para adelante con el confuso y fragmentario texto del Stomachin sin poder descifrar cul era la intencin de Arqumedes. Era tan slo un juego?

El siracusano hablaba de las magnitudes de las figuras, de sus movimientos y de las consideraciones intelectualmente desafiantes que planteaba el juego. Algunos creyeron que se entretena buscando todas las figuras posibles para armar, al estilo del tangram; otros que simplemente analizaba qu fraccin del rea del cuadrado le corresponda a cada pieza, como lo sugiere el manuscrito rabe. En el siglo XXI surgi una nueva interpretacin: el Stomachin plantea el primer problema conocido de combinatoria.

El anlisis combinatorio es el rea de la matemtica que se ocupa, entre otras cosas, de contar los casos posibles que presenta una situacin parti-cular, por ejemplo: Cuntas palabras distintas de a lo sumo diez letras se pueden escribir con las letras de la palabra Arqumedes? (Si consideramos como palabra cualquier conjunto ordenado de letras independiente de si tienen o no significado en algn idioma) Otro: De cuntas formas posibles podemos repartir entre Iliana, Agustn, Juan Carlos, Pablo y yo las catorce piezas del Stomachin durante una reunin de redaccin de Q.e.d.? Tpicos problemas de combinatoria.

Reviel Netz, el historiador que tiene a su cargo el estudio del palimpsesto bi-zantino, sostiene que Arqumedes planteaba el problema de calcular de cun-tas formas posibles se puede armar el cuadrado con las piezas del Stomachin.

La conjetura cobra sentido por un trabajo del historiador Fabio Acerbi, quien en 2005 encontr una interpretacin desde el punto de vista de la combinato-ria a un relato de Plutarco, el mismo que nos leg las semblanzas ms comple-tas y antiguas de Arqumedes.

Cuenta Plutarco que el filsofo estoico Crsipo haba afirmado que con las reglas de la lgica estoica se pueden obtener ms de un milln de aserciones a partir de diez aserciones, a lo cual el clebre astrnomo Hiparco le retruc que no, eran 103.049 o 310.954.

Plutarco no hace ms referencia al tema, pero en 1997 David Hough y Richard Stanley (uno de los mayores especialistas en combinatoria de la actualidad) publicaron en el American Mathematical Monthly una breve nota donde se sealaba que las cantidades sugeridas por Hiparco estaban relacionadas con los nmeros de Schrder (Ver recuadro).

De todas formas, como no se saba cules eran las reglas usadas por Crsi-po, tampoco podamos saber si Hiparco haba calculado bien o no todas las combinaciones posibles. Ah entra en juego Acerbi y su reciente contribucin, donde le da