Mικρό σώµα µάζας m βρίσκεται σε λείο κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, συγκρατούµενο από ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Mε την βοήθεια µιας οριζόντιας δύναµης

�

! F το σώµα κρατείται σε µια θέ

ση, όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Kάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου παύει να ενεργεί η δύναµη. i) Nα βρείτε την ταχύτητα µεταβολής της ορµής του σώµατος την στιγ µή t=T/3, όπου T η περίοδος ταλάντωσης του σώµατος. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την κινητική ενέργεια του σώµατος. Να θεωρήσετε ως θετική φορά της διεύθυνσης κίνησης του σώµατος την προς τα κάτω.

ΛΥΣΗ: i) Το σώµα αρχικά ισορροπεί επί του κεκλιµένου επιπέδου στην θέση Α (σχ. 1) υπό την επίδραση του βάρους του

�

! w , της αντίδρασης

�

! N

του επιπέδου, η οποία κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο και της δύναµης

�

! F , ενώ το ελατήριο δεν επιδρά στο σώµα, διότι βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Λόγω της ισορροπίας η παράλληλη προς το επίπεδο συνι στώσα

�

! w

x του βάρους εξουδετερώνει την αντίστοιχη συνιστώσα

�

! F

x της

�

! F ,

δηλαδή ισχύει:

�

wx

= Fx

�

!

�

mg!µ" = F#$%" (1)

Σχήµα όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Όταν καταργηθεί η δύναµη

�

! F το

σώµα τίθεται σε α.α.τ. κατα µήκος του επιπέδου µε κέντρο ταλάντωσης

την νέα θέση ισορροπίας του Ο, που βρίσκεται κάτω από την αρχική του θέση Α σε απόσταση x0 από αυτήν, για την οποία ισχύει:

�

wx

= kx0

�

!

�

mg!µ" = kx0

�

!

�

x0 = mg!µ" /k

�

!

(1)

�

x0

= F!"#$ /k (2) Eάν θ είναι η φάση ταλάντωσης του σώµατος κατά την έναρξη της κίνη σής του (t=0), τότε oι εξισώσεις της αποµάκρυνσής και της ταχύτητάς του θα είναι της µορφής:

�

x = x0!µ ("t +#)

v = x0"$%&("t +#)

' ( ) (3)

όπου ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης, ίση µε

�

k/m . Οι σχέσεις (3) για t=0 γράφονται:

�

-x0

= x0!µ"

0 = x0#$%&"

' ( )

�

!

�

!µ" = -1

#$%" = 0

& ' (

�

!

�

! =3"

2 (4)

Συνδυάζοντας (2), (3) και (4) παίρνουµε:

�

x =F!"#$

k%µ

k

mt +

3&2

'

( )

*

+ , (5)

και

�

v =F!"#$

k

k

m!"#

k

mt +

3%2

&

' (

)

* + (6)

Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, η ταχύτητα µεταβολής της ορµής του σώµατος είναι κάθε στιγµή ίση µε την συνισταµένη δύναµη που δέχεται, δηλαδή ισχύει:

�

d! P

dt=! F !"

�

!

�

d! P

dt= -k! x

η οποία για τις αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων

�

d! P /dt και

�

! x δίνει:

�

dP

dt= -kx

�

!

(5)

�

dP

dt= -k

F!"#$k

%µk

mt +

3&2

'

( )

*

+ ,

�

dP

dt= -F!"#$ %µ &t +

3'2

(

) *

+

, -

�

!

t= T/3

�

dP

dt

!

" #

$

% &

t=T/3

= -F'()* +µ,T

3+

3-2

!

" #

$

% &

�

!

�

dP

dt

!

" #

$

% &

t=T/3

= -F'()* +µ2,3

+3,2

!

" #

$

% &

�

!

�

dP

dt

!

" #

$

% &

t=T/3

= -F'()*

2 (7)

ii) H κινητική ενέργεια του σώµατος δίνεται κάθε στιγµή από την σχέση:

�

K=mv

2

2

�

!

(6)

�

K=m

2

F2!"#2$k

2

k

m!"#2

k

mt +

3%2

&

' (

)

* +

�

!

�

K=F

2!"#2$2k

!"#2k

mt +

3%2

&

' (

)

* +

P.M. fysikos

Ένα µικρό σώµα µάζας m ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεµένο στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατη ρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Kάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ενεργεί συνεχώς επί του σώµατος σταθερή οριζόντια δύναµη

�

! F , η οποία προκαλεί

επιµήκυνση του ελατηρίου. i) Nα δέιξετε ότι, το σώµα θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση, της οποίας να καθορίσετε το κέντρο. ii) Nα γράψετε την εξίσωση κίνησης του σώµατος θεωρώντας, ως θετική φορά στην διεύθυνση κίνησής του την φορά της δύναµης

�

! F .

iii) Nα βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώ µατος την χρονική στιγµή t=T/3, όπου T η περίοδος της ταλάντωσής του. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε αν υπάρχει θέση στην οποία το σώµα ισορροπεί, όταν σ’ αυτό επιδρά η δύναµη

�

! F . Αν δεχθούµε ότι υπάρχει µια τέτοια θέση Ο, τότε το

σώµα θα δέχεται στην θέση αυτή εκτος από την δύναµη

�

! F το βάρος του

�

! w ,

την δύναµη

�

! f 0 από το παραµορφωµένο ελατήριο και την αντίδραση

�

! N του

λείου οριζόντιου επιπέδου η οποία κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω (σχ. 2), Λόγω της ισορροπίας του σώµατος η

�

! N θα είναι αντίθετη του βάρους

�

! w

και η

�

! f 0 αντίθετη της

�

! F , οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

F = f0

�

!

�

F = kx0

�

!

�

x0

= F/k (1) όπου x0 η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση. Αν λοιπόν το σώµα βρεθεί µε µηδενική ταχύτητα στην θέση Ο, θα ισρροπεί. Εξετά ζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση Μ, στην οποία η αποµάκρυνσή του σε σχέση µε το Ο είναι

�

! x , παρατηρούµε ότι το µέτρο της δύναµης

�

! f από το ελατήριο

είναι µεγαλύτερο του µέτρου της

�

! F , δηλαδή στην θέση αυτή το σώµα δέχεται

συνισταµένη δύναµη

�

! F !"

, της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι:

�

F!"

= -f + F = -k(x + x0) + F

�

!

(1)

�

F!"

= -k(x + F/k) + F

�

!

�

F!"

= -kx (2)

Σχήµα 2

όπου x η αλγεβρική τιµή του διανύσµατος της αποµάκρυνσης. Η σχέση (2) εξασφαλίζει ότι το σώµα δεχόµενο την δύναµη

�

! F εκτελεί α.α.τ. µε κέντρο τα

λάντωσης την θέση ισορροπίας του Ο και σταθερά ταλαντωσης k, που σηµαίνει ότι η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης θα ικανοποιεί την σχέση:

�

k = m!2

�

!

�

! = k/m (3) ii) Την στιγµή t=0 που αρχίζει να δρα στο σώµα η δύναµη

�

! F η απόστασή του

από το Ο είναι x0, και η ταχύτητα του είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι το πλά τος της ταλάντωσης είναι x0. H εξίσωση κίνησης του σώµατος και η εξίσωση της ταχύτητάς του θα έχουν την µορφή:

�

x = x0!µ ("t +#)

v = x0"$%&("t +#)

' ( )

�

!

t= 0

�

- x0

= x0!µ"

0 = x0#$%&"

' ( )

�

!

�

!µ" = -1

#$%" = 0

& ' (

�

!

�

! =3"

2 (4)

όπου φ η φάση ταλάντωσης του σώµατος την στιγµή t=0. Eπόµένως η τελική µορφή της εξίσωσης κίνησης του σώµατος θα είναι:

�

x =F

k!µ

k

mt +

3"2

#

$ %

&

' ( (5)

iii) Εφαρµόζοντας για το σώµα µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το θεώρηµα κινητικήε ενέργειας-έργου παίρνουµε την σχέση:

�

dK = dW!

F !"

�

!

�

dK

dt=

dW!

F !"

dt (6)

όπου dK η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος στον χρόνο dt και

�

dW!

F !"το αντίστοιχο έργο της συνισταµένης δύναµης

�

! F !"

που δέχεται το σώµα.

Το πηλίκο dK/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και αποτελεί την αντί στοιχη ταχύτητα µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος, το δε πηλί κο

�

dW!

F !"/dt αποτελεί την ισχύ της

�

! F !"

την στιγµή t, η οποία είναι ίση µε Fολv.

Έτσι η σχέση (6) γράφεται:

�

dK

dt= F

!"v = -kxv

�

!

(5)

�

dK

dt= -Fv!µ

k

mt +

3"2

#

$ %

&

' ( (7)

Eξάλλου η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας δίνεται από την σχέση:

�

v =F

k

k

m!"#

k

mt +

3$2

%

& '

(

) * =

F

km

!"#k

mt +

3$2

%

& '

(

) *

οπότε η (7) γράφεται:

�

dK

dt= -

F2

km

!"#k

mt +

3$2

%

& '

(

) * +µ

k

mt +

3$2

%

& '

(

) * (8)

H (8) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=T/3 δίνει:

�

dK

dt= -

F2

km

!"#k

m

T

3+

3$2

%

& '

(

) * +µ

k

m

T

3+

3$2

%

& '

(

) *

�

!

�

dK

dt= -

F2

km

!"#2$3

+3$2

%

& '

(

) * +µ

2$3

+3$2

%

& '

(

) *

�

!

�

dK

dt= -

F2

km

!"#13$6

%

& '

(

) * +µ

13$6

%

& '

(

) *

�

!

�

dK

dt= -

F2

km

3

2

!

" #

$

% &

1

2

!

" #

$

% & = -

F2

4

3

km

P.M. fysikos

Ένα σφαιρίδιο µάζας m, στερεώνεται ανάµεσα σε δύο ελατήρια που έχουν σταθερές k1 και k2. Oι ελεύθερες άκρες των δύο ελατηρίων, στερεώνονται σε δύο ακλόνητα σηµεία, ώστε τα ελατήρια να είναι κατακόρυφα και το σφαιρίδιο κρατείται αρχικά

στην θέση εκείνη, όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος και στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερο. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t την βαρυτική δυναµική ενέργεια του σφαιριδίου, ως προς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από την αρχική του θέση. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t την δυναµική ενέργει α ελαστικής παραµόρφωσης των δύο ελατηρίων. Δίνεται η επιτάχυν ση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Στην θέση ισορροπίας Ο του σφαιριδίου το πάνω ελατήριο σταθεράς k1 είναι τεντωµένο, ενώ το κάτω ελατήριο σταθεράς k2 είναι συµπιεσµένο και µάλιστα οι παραµορφώσεις τους έχουν το ίδιο µήκος. Όµως το σφαιρίδιο στην θέση Ο ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του

�

! w και των δυνάµεων

�

! F 1(0),

�

! F 2(0) από τα παραµορφωµένα ελατήρια (σχ. 3), οπότε θα ισχύει η σχέση:

�

w = F1(0) + F2(0)

�

!

�

mg = k1x0 + k2x0

�

!

�

x0 = mg /(k1 + k2) (1)

Σχήµα 3

όπου x0 το κοινό µήκος των παραµορφώσεων των δύο ελατηρίων. Όταν το σφαι ρίδιο αφεθεί ελευθερο στην θέση Α, όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους µή κος, θα εκτελέσει κατακόρυφη α.α.τ. πλάτους x0, µε σταθερά ταλάντωσης k1+k2 και κέντρο ταλάντωσης το Ο. Θεωρώντας ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα πάνω, η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου θα έχει την µο ρφή:

�

x = x0!µ ("t + #/2)

�

!

(1)

�

x =mg

k1 + k2

!

" #

$

% & '()*t (2)

µε

�

! =k

1+ k

2

m (3)

Η βαρυτική δυναµική ενέργεια UB του σφαιριδίου ως προς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Α, δίνεται κάθε στιγµή από την σχέση:

�

UB = -mg(x0 - x) = mg(x - x0)

�

!

(1),(2)

�

UB = mgmg

k1 + k2

!

" #

$

% & '()*t -

mg

k1 + k2

+

,

-

.

/

0

�

!

�

UB =m2g2

k1 + k2

!"#$t - 1( ) (4)

ii) H ολική µηχανική ενέργεια του συστήµατος των δύο ελατηρίων και του σφαιριδίου διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της ταλάντωσης, είναι δε ίση µε την µηχανική του ενέργεια την στιγµή t=0, η οποία όµως είναι ίση µε µηδέν, διότι την στιγµή αυτή τα δύο ελατήρια έχουν µηδενική δυναµική ενέργεια ελα στικής παραµορφώσεως, το δε σφαιρίδιο έχει µηδενική κινητική και µηδενική βαρυτική ενέργεια. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε την σχέση:

�

UB

+ U!"#$ .

+ mv2/2 = 0

�

!

�

U!"#$ .

= -UB

- mv2/2 (5)

Όµως για την ταχύτητα του σφαιριδίου (αλγεβρική τιµή) ισχύει η σχέση:

�

v = x0!"#$(!t + %/2)

�

!

(1),(3)

�

v = -mg

k1 + k2

!

" #

$

% &

k1 + k2

m'µ(t

�

!

�

v = -gm

k1 + k2

!µ"t (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4), (5), και (6) παίρνουµε:

�

U!"#$ . = -m2g2

k1 + k2

%&'(t - 1( ) -m

2-g

m

k1 + k2

)µ(t*

+ ,

-

. /

2

�

!

�

U!"#$ . = -m2g2

k1 + k2

%&'(t - 1( ) -m2g2

2(k1 + k2))µ 2(t

�

!

�

U!"#$ . = -m2g2

k1 + k2

%&'(t - 1+ )µ 2(t /2( )

P.M. fysikos

Στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, έχει στερεωθεί σώµα Σ µάζας M, το οποίο είναι σ’ επαφή µε το οριζόντιο έδαφος. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου έχει στερεωθεί ένας γυάλινος σωλήνας µάζας M΄, του οποίου άξονας είναι κατακόρυ

φος. O σωλήνας κλείνεται µε φελλό µάζας m, περιέχει δε ατµούς αιθέρα αµελητέας µάζας. Θερµαίνουµε τους ατµούς του αιθέρα, οπότε ο φελλός εκτινάσσεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του φελλού, ώστε ο σωλήνας να εκτελεί µε ασφά λεια κατακόρυφη ταλάντωση χωρίς το σώµα να εγκαταλείπει το οριζόντιο έδαφος; Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: Eάν

�

! v ! ,

�

! v ! είναι οι ταχύτητες του φελλού και του σωλήνα αντι

στοίχως αµέσως µετά την έκρηξη, θα ισχύει σύµφωνα µε την αρχή διατή ρησης της ορµής η σχέση:

�

mv! - M'v" = 0

�

!

�

v! = M'v"/m (1) Ο σωλήνας µετά την έκρηξη εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. µε κέντρο ταλάν τωσης Ο’ που βρίσκεται υψηλότερα του σηµείου έκρηξης Ο κατά x* και ισ χύει:

�

mg = kx*

�

!

�

x* = mg/k (2)

Σχήµα 4

Eφαρµόζοντας για την ταλάντωση του σωλήνα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας στην θέση Ο, παίρνουµε την σχέση:

�

M'v!

2

2+

kx*

2

2=

kx0

2

2

�

!

�

x0

2= x

*

2+

M'v!

2

k

�

!

(2)

�

x0

2 =m2g2

k2+

M'v!

2

k (3)

όπου x0 τα πλάτος ταλάντωσης του δίσκου. Για να είναι ασφαλής η ταλάν

τωση του σωλήνα πρέπει, όταν αυτός βρίσκεται στην ανώτατη θέση του Α το σώµα Σ να διατηρεί έστω και οριακά την επαφή του µε το έδαφος, δη λαδη πρέπει η αντίδραση

�

! N του εδάφους την στιγµή αυτή να µη µηδενί

ζεται ή τουλάχιστον να µηδενίζεται οριακά, που σηµαίνει ότι το µέτρο της πρέπει να ικανοποιεί την σχέση N≥:0. Στην οριακή περίπτωση που η αντίδραση

�

! N µηδενίζεται το ελατήριο θα είναι τεντωµένο κατά xελ, οπότε

θα ασκεί στο σώµα δύναµη

�

! F !"

προς τα πάνω, το δε σώµα θα βρίσκεται σε κατάσταση οριακής ισορροπίας και εποµένως θα ισχύει:

�

Mg - F!"

= 0

�

!

�

Mg = kx!"

�

!

�

x!"

= Mg/k (4) Όµως άν x1 είναι η στατική συµπίεση που προκαλεί στο ελατήριο ο σωλή νας, τότε τα µήκη x0 , x1 , xελ ικανοποιούν την σχέση (σχ. 4):

�

x0

= x!"

+ x1

�

!

(4)

�

x0 =Mg

k+

M'g

k=

g(M + M')

k (5)

Σύνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) παίρνουµε

�

g2(M + M')2

k2=

m2g2

k2+

M'v!

2

k

�

!

�

M'v!

2 =g2

k[(M + M')2 - m2]

�

!

�

v!

2 =g2

kM'[(M + M')2 - m2]

�

!

�

v!

= g(M + M')2 - m2

M'k (6)

και η (1) µε βάση την (6) δίνει:

�

v! =M'g

m

(M + M')2 - m2

M'k (7)

Η σχέση (7) είναι αποδεκτή εφ’ όσον ισχύει Μ+Μ’>m. Είναι ακόµη προφα νές ότι η ταχύτητα του φελλού που καθορίζει η σχέση (7) είναι η µέγιστη επιτρεπόµενη για την ασφαλή ταλάντωση του σωλήνα.

P.M. fysikos

Ένα αρµονικό κύµα συχνότητας f διαδίδεται κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού µέσου, το οποίο εκτείνεται στον άξονα x'x. H αρχή O του άξονα αυτού ταλαντεύεται κάθετα προς αυτόν και την χρονική στιγµή t=0 η ταχύτητά του είναι θετική, η δε αποµάκρυνσή του είναι ίση µε το µισό του πλάτους A του κύµατος. i) Nα βρείτε την κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το κύµα, αν αυτό διαδίδεται κατά την θετική φορά του άξονα x'x και το µήκος κυµατός του είναι λ.

ii) Nα βρείτε κατά ποιες χρονικές στιγµές η ταχύτητα ταλάντωσης του σηµείου x=λ γίνεται ίση µε το µισό της µέγιστης τιµής της. iii) Nα σχεδιάσετε το διάγραµµα µεταβολής της φάσεως ταλάντωσης του σηµείου x=λ/2 σε συνάρτηση µε τον χρόνο καθώς και το διάγραµ µα κατανοµής των φάσεων ταλάντωσης των σηµείων του ελαστικού µέσου την χρονική στιγµή t=T. Nα δεχθείτε ότι το κύµα έχει αποκα τασταθεί σε µεγάλο µήκος του ελαστικού µέσου. ΛΥΣΗ: i) Η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει ένα αρµονικό κύµα που διαδί δεται σε γραµµικό ελαστικό µέσο κατά την θετική φορά του άξονα x’x στον οποίο εκτείνεται, έχει την γενική µορφή:

�

y(t,x) = A!µ 2"t

T-x

#+

$2"

%

& '

(

) * = A!µ2" ft -

x

#+

$2"

%

& '

(

) * (1)

όπου φ σταθερή ποσότητα που πρέπει να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες που θέτουµε για την περιγραφή του κύµατος. Από την (1) προκύπτει ότι η ταχύτη τα ταλάντωσης των σηµείων του ελαστικού µέσου περιγράφεται από την σχέση:

�

v(t,x) = 2!fA"#$2! ft -x

%+

&2!

'

( )

*

+ , (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t=0 για το σηµειο x=0 δίνουν:

�

y(0,0) = A!µ"

v(0,0) = 2#fA$%&"

' ( )

�

!

�

A /2 = A!µ"

2#fA$%&" > 0

' ( )

�

!

�

!µ" = 1/2

#$%" > 0

& ' (

�

!

�

! ="

6

Άρα η κυµατοσυνάστηση που περιγράφει το κύµα έχει την µορφή:

�

y(t,x) = A!µ 2" ft -x

#+

1

12

$

% &

'

( ) (3)

ii) Oι χρονικές στιγµές που η ταχύτητα ταλάντωσης του σηµείου x=λ θα γίνει ίση µε το µισό της µέγιστης τιµής της, δηλαδή ίση µε πfA, θα προκύψουν ως λύσεις της τριγωνοµετρικής εξίσωσης:

�

!fA = 2!fA"#$2! ft -%%

+1

12

&

' (

)

* +

�

!

�

!"# 2$ft -11$12

%

& '

(

) * =

1

2

�

!

�

!"# 2$ft -11$12

%

& '

(

) * = !"#

$3

%

& '

(

) *

�

!

�

2!ft -11!

12= 2k! +

!

3

�

!

�

2ft = 2k +15

12

�

!

�

t =1

fk +

15

24

!

" #

$

% & , µε k=0, 1, 2, …..

iii) H φάση ταλάντωσης των σηµείων του γραµµικού µέσου διαδόσεως του κύ µατος περιγράφεται από την συνάρτηση:

�

!(t,x) = 2" ft -x

#+

1

12

$

% &

'

( ) (4)

Η (4) για το σηµείο x=λ/2 γράφεται:

�

!(t,"/2) = 2# ft -"2"

+1

12

$

% &

'

( )

�

!

�

!(t,"/2) = 2# ft -5

12

$

% &

'

( ) t≥0 (5)

Σχήµα 5 Σχήµα 6 H (5) εκφάζει πως µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε τον χρόνο t η φάση ταλάντω σης του σηµείου x=λ, η δέ γραφική της παράσταση είναι η ευθεία του σχήµατος (5). Η (4) για t=T=1/f δίνει:

�

!(T,x) = 2" 1-x

#+

1

12

$

% &

'

( )

�

!

�

!(T,x) ="6

13

2-x

#$

% &

'

( )

�

-! < x < +! (6)

H (6) εκφράζει την κατανοµή των φάσεων ταλάντωσης των διαφόρων σηµείων του γραµµικού µέσου διάδοσης του κύµατος την συγκεκριµένη χρονική στιγµή t=T, η δε γραφική της παράσταση είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (6).

P.M. fysikos

Δύο σηµεία O1, O2 της ελεύθερης επιφάνειας ήρε µου νερού αποτελούν σύγχρονες πηγές αρµονικών κυµάτων. Tα κύµατα αυτά θεωρούνται εγκάρσια και διαδίδονται στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού µε ταχύτητα v=20 m/s. Ένα σηµείο M που οι αποστάσεις του από τις πηγές O1, O2 είναι r1=20 m και r2=15 m αντι στοίχως βρίσκεται επί ενισχυτικού κροσσού συµβολής, ενώ ένα άλλο σηµείο M' που οι αντίστοιχες αποστάσεις του από τις πηγές είναι

r'1=30 m και r'2=20 m βρίσκεται στον ενισχυτικό κροσσό συµβολής της αµέσως ανώτερης τάξεως. i) Nα βρεθεί η συχνότητα των δύο πηγών. ii) Εάν οι δύο πηγές δεν είναι σύγχρονες, αλλά παρουσιάζουν µεταξύ τους διαφορά φάσεως π, τα σηµεία M, M' θα ανήκουν σε κροσσούς ενίσχυσης, σε κροσσούς απόσβεσης ή τίποτε από τα δύο; ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι το σηµείο Μ της ελεύθερης επιφάνειας του νερού βρίσκεται στον k-τάξεως ενισχυτικό κροσσό συµβολής, οπότε σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος το σηµείο Μ’ θα βρίσκεται στον ενισχυτικό κροσσό συµβολής τάξεως k+1. Θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

r1 - r2 = k!

r'1 -r'2 = (k +1)!

"

#

$

�

!

(" )

�

(r'1 -r'2 ) - (r1 - r2) = !

�

!

�

(r'1 -r'2 ) - (r1 - r2) =v

f

�

!

�

f =v

(r'1 -r'2 ) - (r1 - r2) (1)

Σχήµα 7 Mε αντικατάσταση των δεδοµένων στην (1) παίρνουµε:

�

f =20 m/s

(10 - 5) m= 4 s-1

ii) Έστω ότι η πηγή Ο1 την χρονική στιγµή t=0 έχει µηδενική φάση ταλάν τωσης και ότι προηγείται φασικά της Ο2 κατά π. Τότε οι εξισώσεις κίνησης των δύο πηγών θα έχουν την µορφή:

�

y(O1) = A!µ"t

y(O2) = A!µ ("t - #)

$ % &

όπου Α το πλάτος και ω η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης των πηγών. Θεω ρώντας ένα οποιοδήποτε σηµείο Σ της ελεύθερης επιφάνειας του νερού, που οι αποστάσεις του από τις πηγές Ο1, Ο2 είναι x1, x2 αντιστοίχως, τότε οι εξισώσεις που περιγράφουν τα δύο αρµονικά κύµατα που φθάνουν στο Σ έχουν την µορ φή:

�

y1 = A!µ"(t - x1/v)

y2 = A!µ ["(t - x2/v) - #]

$ % &

�

!

�

y1 = A!µ 2"(t/T - x1/#)

y2 = A!µ2"(t /T - x2/# - 1/2)

$ % & (2)

µε την παραδοχή ότι το πλάτος των δύο κυµάτων δεν αλλοιώνεται κατά την διαδροµή τους από τις πηγές προς το σηµείο Σ. H εξίσωση κίνησης του σηµείου Σ, όταν δονείται εξ’ αιτίας και των δύο κυµάτων που φθάνουν σ’ αυτό, θα προ κύψει µε βάση την αρχή της επαλληλίας, δηλαδή η ολική του αποµάκρυνση yΣ θα δίνεται από την σχέση:

�

y!

= y1 + y2

�

!

(2)

�

y! = A"µ 2#t

T-x1

$%

& '

(

) * + A"µ 2#

t

T-x1

$-1

2

%

& '

(

) *

�

!

�

y! = A "µ2#t

T-x1

$%

& '

(

) * + "µ 2#

t

T-x1

$-1

2

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0 (3)

Χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα:

�

!µ" + !µ# = 2$%&" -#

2

'

( )

*

+ , !µ

" +#2

'

( )

*

+ ,

η (3) παίρνει την µορφή:

�

y! = 2A"#$%x2 - x1

&+

1

2

'

( )

*

+ , -µ%

t

T-x1 + x2

&-1

2

'

( )

*

+ , (4)

µε

�

t ! maxx1

v,x2

v

"

# $

%

& '

Από την (4) προκύπτει ότι το σηµείο Σ ταλαντεύεται αρµονικά µε τον χρόνο µε πλάτος που εξαρτάται από τις αποστάσεις του εκ των δύο πηγών σύµφωνα µε την σχέση:

�

A! = 2A "#$%x

2- x

1

&+

1

2

'

( )

*

+ , (5)

H (5) εφαρµοζόµενη για το σηµείο Μ (x1=r1=20 m, x2=r2=15 m) δίνει:

�

AM

= 2A !"#$15 - 20

5+

1

2

%

& '

(

) * = 2A !"#$ -

$2

%

& '

(

) * = 0

δηλαδή το σηµείο Μ ανήκει σε αποσβεστικό κροσσό συµβολής. Εξάλλου η (5) εφαρµοζόµενη για το σηµείο Μ’ (x1=r’1=30 m, x2=r’2=20 m) δίνει:

�

AM'

= 2A !"#$20 - 30

5+

1

2

%

& '

(

) * = 2A !"#$ -

3$2

%

& '

(

) * = 0

δηλαδή και το σηµείο Μ’ ανήκει σε αποσβεστικό κροσσό. P.M. fysikos

Σε γραµµικό οµογενές ελαστικό µέσον µεγάλου µήκους, διαδίδονται δύο αρµονικά κύµατα που περιγράφονται από τις κυµατοσυναρτήσεις:

�

y1 = A!µ("t -kx +!)

y2 = A!µ("t +kx)

"

#

$

όπου y0, ω, k και θ σταθερές και θετικές ποσότητες i) Nα δείξετε ότι η ταχύτητα διαδόσεως των δύο κυµάτων είναι ίση µε ω/k. ii) Nα δείξετε ότι η συµβολή των δύο κυµάτων δηµιουργεί στάσιµο κύµα. iii) Nα βρείτε για ποιά τιµή της γωνίας φ η αρχή µέτρησης των απο στάσεων συµπίπτει µε δεσµό του στασίµου κύµατος. ΛYΣH: i) H κυµατοσυνάρτηση, που περιγράφει ένα αρµονικό κύµα περιόδου T και µήκους κύµατος λ έχει την γενική µορφή:

�

y = y0!µ2"t

T-x

#+

$

2"

!

" #

$

% & = y0!µ

2"t

T-2"x

#+$

!

" #

$

% &

όπου φ η φάση ταλάντωσης της αρχής O του άξονα διάδοσης x'x του κύµατος κατά την στιγµή t=0. Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση µε την κυµατοσυνά ρτηση που εκφράζει το πρώτο από τα δύο κύµατα που διαδίδονται στο γραµµι κό ελαστικό µέσο συνάγουµε τις σχέσεις:

�

! = 2"/T

k = 2"/#

!

"

#

!

�

!

k="

T !

�

!

k= v

όπου v η ταχύτητα διαδόσεως των δύο κυµάτων. H συµβολή των δύο κυµάτων δίνει συνιστάµενο κύµα, που περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση:

�

y!"= y1 + y2 = y0#µ($t -kx +%) + y0#µ($t +kx) !

�

y!" = y0 #µ($t -kx +%) +#µ($t +kx)[ ] (1)

H (1) µε βάση την Tριγωνοµετρική ταυτότητα:

!µ"+!µ#= 2$%&

(" -#)

2!!µ

("+#)

2

παίρνει την µορφή:

�

y!" = 2y0#$%(-kx +&/2)'µ((t +&/2) !

�

y!" = 2y0#$%(kx - &/2)'µ((t +&/2) (2) Aπό την σχέση (2) προκύπτει ότι, εκ της συµβολής των δύο κυµάτων ένα οποιο δήποτε σηµείο του ελαστικού µέσου εκτελεί αρµονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας ω, µε πλάτος που εξαρτάται από την θέση του ως προς την αρχή O του άξονα xx’, σύµφωνα µε την σχέση:

�

y'0 = 2y0 !"#(kx - $/2)

Όµως η παραπάνω ιδιότητα είναι χαρακτηριστική ενός στάσιµου κύµατος, δη λαδή η σχέση (2) περιγράφει ένα στάσιµο αρµονικό κύµα. ii) Για να είναι η αρχή O του άξονα xx’ δεσµός του στασίµου κύµατος πρέπει για x=0 να είναι y’0 =0, δηλαδή πρέπει:

�

2y0 !"#(-$/2) = 0 ! !"#($/2) = 0 ! !/2 ="/2 !

! ="

που σηµαίνει ότι, την χρονική στιγµή t=0 τα δύο κύµατα πρέπει να συµβάλ λουν στην αρχή O µε διαφορά φάσεως π.

P.M. fysikos

Κατά µήκος µιας τεντωµένης χορδής µήκους L, της οποίας οι άκρες Α και Β είναι στερεωµένες, έχει δηµιουργηθεί µόνιµο στάσιµο αρµονικό κύµα περιόδου Τ. Την χρονική στιγµή t=0 όλα τα σηµεία της χορδής βρισκονται στις θέσεις ισορροπίας τους, ένω την χρονική στιγµή t=T/4 το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος έχει την µορφή της καµπύλης (i). i) Aν λάβουµε ως αρχή της x-συντεταγµένης των σηµείων της χορδής το µέσον Ο αυτής και ως θετική φορά από το Ο στο Β, να βρείτε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος της χορδής και να σχεδιάσετε το στιγ µιότυπό του την χρονική στιγµή t=3T/4. ii) Nα βρείτε την κινητική ενέργεια ενός πολύ µικρού τµήµατος της χορδής µάζας Δm, που βρίσκεται στην θέση x=-λ/3, κατά την χρονική στιγµή t=3T/4, όπου λ/2 η απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς δεσµους του στάσιµου κύµατος. ΛYΣH: i) Το στάσιµο κύµα που έχει δηµιουργηθεί πάνω στην χορδή µπορεί να περιγραφεί από µια σχέση της µορφής:

�

y(t,x) = A!"#2$x%

+&'

( )

*

+ , -µ

2$tT

+.'

( )

*

+ , (1)

µε t≥0 και -L/2≤x≤L/2 όπου Α, φ, θ σταθερές ποσότητες που απαιτούν προσδιορισµό. Όµως από το στιγ µιότυπο του στάσιµου κύµατος την χρονική στιγµή t=T/4 (σχ. 8), προκύπτει ότι το µήκος L της χορδής είναι 3λ/2, δηλαδη είναι λ=2L/3, οπότε η (1) γράφεται:

Σχήµα 8

�

y(t,x) = A!"#3$xL

+%&

' (

)

* + ,µ

2$tT

+-&

' (

)

* + (2)

Eπειδή το µέσον Ο της χορδής (x=0) αποτελεί δεσµό του στάσιµου κύµατος, ση µαίνει ότι κάθε στιγµή το πλάτος ταλάντωσής του είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει:

�

!"# 0/L+$( ) = 0

�

!

�

! = "/2 (3)

Aκόµη δίνεται ότι την στιγµή t=0 όλα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται στην θέση ισορροπίας τους, δηλαδή ισχύει:

�

A!"#3$xL

+$2

%

& '

(

) * +µ 0 +,( ) = 0

�

!

�

!µ" = 0

�

!

�

! = 0 (4)

Eξάλλου από το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος την χρονική στιγµή t=T/4, προκύπτει ότι το σηµείο x=λ/4=L/6 έχει την στιγµή αυτή αποµάκρυνση -α, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

-! = A"#$3%L6L

+%2

&

' (

)

* + ,µ

2%T4T

&

' (

)

* +

�

!

�

-! = A"#$ %( )&µ % /2( )

�

!

�

A = ! (5)

Συνδιάζοντας τις σχέσεις (2), (3), (4) και (5) παίρνουµε την ζητούµενη εξίσωση του στάσιµου κύµατος, δηλαδή θα έχoυµε:

�

y(t,x) = !"#$3%xL

+%2

&

' (

)

* + ,µ

2%tT

&

' (

)

* +

�

!

�

y(t,x) = -!"µ3#xL

$

% &

'

( ) "µ

2#tT

$

% &

'

( ) (6)

µε t≥0 και -L/2≤x≤L/2 Θέτοντας στην σχέση (6) όπου t=3T/4 παίρνουµε:

�

y(3T/4,x) = -!"µ3#xL

$

% &

'

( ) "µ

3#2

$

% &

'

( )

�

!

�

y(3T/4,x) = !"µ3#xL

$

% &

'

( ) (7)

Η γραφική παράσταση της (7) αποτελεί το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος την χρονική στιγµή t=3T/4 (καµπύλη ii). ii) Από την (6) προκύπτει ότι η ταχύτητα ταλάντωσης των σηµείων της χορδής δίνεται από την σχέση:

�

v(t,x) = -2!"T

#µ3!xL

$

% &

'

( ) *+,

2!tT

$

% &

'

( ) (8)

µε t≥0 και -L/2≤x≤L/2 H (8) για το σηµείο M(x=-λ/3=-2L/9) και για την χρονική στιγµή t=3T/2, δίνει:

�

vM

= -2!"T

#µ -3!L

2L

9

$

% &

'

( ) *+,

2!T

3T

2

$

% &

'

( )

�

!

�

vM

=2!"T

#µ2!3

$

% &

'

( ) *+, 3!( )

�

!

�

vM

= -2!"

T

3

2= -

3!"

T (8)

H κινητική ενέργεια του σηµείου Μ την χρονική στιγµή t=3T/4 είναι:

�

K =mv

M

2

2

�

!

(8)

�

K =m

2-

3!"T

#

$ %

&

' (

2

=3m! 2" 2

2T2

P.M. fysikos

Tο δοκάρι Δ του σχήµατος (9) έχει µάζα M και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές στο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το σώµα Σ έχει µάζα m και παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n µε το

δoκάρι. Tο ελατήριο θεωρείται ιδανικό, έχει σταθερά k και φυσικό µήκος L0 όσο και το µήκος του δοκαριού. Συσπειρώνουµε το ελατήριο κατά S κρατώντας το σύστηµα ακίνητο και στην συνέχεια το αφήνου µε ελεύθερο. i) Nα δείξετε ότι το δοκάρι θα κινηθεί µόνο εφ’ όσον ισχύει S>nmg/k, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Aν S=4nmg/k ποιές ταχύτητες θα έχουν τα σώµατα, όταν το ελατή ριο αποκτήσει το φυσικό του µήκος; iii) Για ποιά αρχική συσπείρωση του ελατηρίου το σώµα δεν εγκατα λείπει το δοκάρι; ΛΥΣΗ: i) Tην στιγµή που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο το δοκάρι δέχεται κατά την οριζόντια διεύθυνση δύναµη

�

! F ! από το συµπιεσµένο ελατήριο, που

είναι αντίθετη* της δύναµης

�

! F !"

που δέχεται το σώµα από το ελατήριο. Επίσης

δέχεται κατά την ίδια διευθυνση δύναµη

�

! T ' αντίθετη της τριβης

�

! T που εξασκεί

το δοκάρι στο σώµα (τρίτος νόµος του Νευτωνα). Για να τεθεί το δοκάρι σε κίνηση όταν το σύστηµα αφεθεί ελευθερο, πρέπει FΔ>Τ και τότε η τριβη είναι τριβή ολισθήσεως οπότε θα πρέπει να ισχύει:

�

F!

> nmg

�

!

�

F!"

> nmg

�

!

�

kS > nmg

�

!

�

S > nmg/k (1)

Σχήµα 9 ii) Eίναι προφανές ότι αν S=4nmg/k το δοκάρι και το σώµα θα τεθουν σε κίνηση ως προς το έδαφος και έστω

�

! v

!,

�

! v

K, οι ταχύτητες του σώµατος

και του δοκαριού αντιστοίχως όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του µήκος. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα δοκάρι-σώµα την αρχή διατήρησης της ορµής κατά τον χρόνο που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος παίρνουµε την σχέση:

�

0 = mv!

- Mv"

�

!

�

v!

= mv"/M (2)

-------------------------------- * Αυτό εξηγείται αν εξετάσουµε το ελατήριο λαµβάνοντας υπ’ όψη µας ότι δέχεται

από το σώµα δύναµη -

�

! F !"

και από το δοκάρι δύναµη –

�

! F ! (τρίτος νόµος του Νεύτω

να) και ότι η µάζα του θεωρείται ασήµαντη. (δεύτερος νόµος του Νευτωνα).

Eφαρµόζοντας ακόµη για το σύστηµα και για τον ίδιο χρόνο το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου, έχουµε την σχέση:

�

mv!

2

2+

Mv"

2

2-kS2

2= -nmgS

�

!

�

kS2 - 2nmgS = mv!

2 + MvK

2

�

!

(2)

�

kS2 - 2nmgS = mv!

2 + M(mv!/M)2

�

!

�

k4nmg

k

!

" #

$

% &

2

- 2nmg4nmg

k

!

" #

$

% & = mv'

2 +m2v'

2

M

�

!

�

16n2m2g2

k-8n2m2g2

k= m 1+

m

M

!

" #

$

% & v'

2

�

!

�

8n2mg2

k=

M + m

M

!

" #

$

% & v'

2

�

!

�

v!2 =

8n2mg2

k

M

M + m

"

# $

%

& '

�

!

�

v!

= 2ng2mM

k(M + m) (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παιρνουµε:

�

v!

=2ngm

M

2mM

k(M + m) (4)

iii) H µεγαλύτερη συσπείρωση Smax για την οποία το σώµα δεν εγκαταλείπει το δοκάρι αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου το σώµα φθάνει στο αριστερό άκρο του δοκαριού µε µηδενική ταχύτητα σε σχέση µε αυτό, που σηµαίνει ότι εκείνη την στιγµή το σώµα και το δοκάρι θα έχουν την ίδια ταχύτητα ως προς το ακίνητο έδαφος. Για να είναι συµβατή η περίπτωση αυτή µε την αρχή διατή ρησης της ορµής πρέπει η κοινή αυτή ταχύτητα δοκαριού-σώµατος να είναι µηδενική. Τότε το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου, θα δίνει την σχέ ση:

�

0 + 0 - kSmax

2 /2 = -nmgSmax

�

!

�

Smax =2nmg

k>

nmg

k

P.M. fysikos

Ένα σώµα µάζας M, έχει την µορφή ορθογώνιας σφήνας και ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, ώστε η κεκλιµένη έδρα της σφήνας να είναι ελεύθερη (σχ. 10). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, εκτοξεύεται από την βάση της κεκλιµένης έδρας κατά µήκος αυτής προς τα πάνω, µε ταχύτητα µέτρου v0.

i) Εάν το σφαιρίδιο ολισθαίνοντας χωρίς τριβή πάνω στην κεκλιµένη έδρα δεν χάνει την επαφή του µε αυτήν, να βρεθεί η µέγιστη απόστα σή του από το έδαφος. ii) Nα βρείτε την µεταβολή της ορµής της σφήνας κατά τον χρόνο κίνησης του σφαιριδίου από την χαµηλότερη πρός την υψηλότερη θέση του. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η γωνία κλίσεως

φ της κεκλιµένης έδρας της σφήνας ως προς το έδαφος. ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή που το σφαιρίδιο φθάνει στο υψηλότερο σηµείο Α από το έδαφος παύει η ανοδική του κίνηση σε σχέση µε την σφήνα, δηλαδή έχει µηδενική ταχύτητα ως προς αυτήν, που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτήν το σφαιρίδιο και η σφήνα έχουν την ίδια ταχύτητα ως προς το ακίνητο έδαφος. Επειδή το σύστηµα σφήνα-σφαιρίδιο δεν δέχεται οριζόντιες δυνάµεις η ορµή του διατηρείται σταθερή κατά την οριζόντια διεύθυνση, οπότε θα ισχύει:

�

! P !"# ,x =

! P $%& ,x

�

!

�

m! v

0x+! 0 = m

! V + M

! V

�

!

�

m! v 0x = (m + M)

! V

�

!

�

! V =

m! v

0x

m + M (1)

Σχήµα 10 Η (1) δηλώνει ότι την στιγµή που το σφαιρίδιο φθάνει στο σηµείο Α η κοι νή ταχύτητα

�

! V σφήνας σφαιριδίου είναι οµόρροπη της οριζόντιας αρχι

κής ταχύτητας

�

! v

0x του σφαιριδίου. Από την (1) για τα µέτρα των

ταχύτήτων

�

! V ,

�

! v

0x έχουµε:

�

V =mv

0x

m + M=

mv0!"#$

m + M (2)

Eξάλλου κατά την κίνηση του συστήµατος η µηχανική του ενέργεια δια τηρείται, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

�

mv0

2

2+ 0 =

mV2

2+

MV2

2+ mgh

�

!

�

mv0

2 = (m + M)V2 + 2mgh

�

!

(2)

�

mv0

2 = m + M( )mv0!"#$m + M

%

& '

(

) *

2

+ 2mgh

�

!

�

v0

2 =mv0

2!"#

2$

m + M+ 2gh

�

!

�

2gh = v0

2 1 -m!"#2$m + M

%

& '

(

) *

�

!

�

h =v0

2

2g1 -

m!"#2$m + M

%

& '

(

) *

�

!

�

h =v0

2

2g

M + m!µ2"

m + M

#

$ %

&

' ( (3)

όπου h η ζητούµενη µέγιστη απόσταση. ii) H µεταβολή της ορµής της σφήνας κατα τον χρόνο κίνησης του σφαι ριδίου από το χαµηλότερο προς το υψηλότερο σηµείο της τροχιάς του δί νεται από την σχέση:

�

!! P "#$% .

= M" V -! 0 = M

" V

�

!

(1)

�

!! P "#$% .

=mM! v

0x

m + M

δηλαδή το διάνυσµα

�

!! P "#$% .

είναι οµόροπο προς το

�

! v

0x και το µέτρο του

υπολογίζεται από την σχέση:

�

!P"#$% .=

mMv0"&%'

m + M

P.M. fysikos

H σφαίρα του σχήµατος (11) έχει µάζα m και προσ κρούει στην κεκλιµένη έδρα της σφήνας Σ µάζας M, η οποία είναι ακίνητη σε λείο οριζόντιο έδαφος. Eάν η ταχύτητα

�

! v

0 της σφαίρας

είναι οριζόντια και η κεκλιµένη έδρα της σφήνας σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο έδαφος, να βρεθεί η ταχύτητα της σφήνας µετά την κρούση, η οποία θα θεωρηθεί ελαστική. ΛΥΣΗ: Το σύστηµα σφήνα-σφαίρα δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυ νάµεις, δηλαδή είναι µηχανικά µονωµενο κατά την οριζόντια διεύθυνση που σηµαίνει ότι η ορµή του δεν µεταβάλλεται κατά την διεύθυνση αυτή στον χρόνο κρούσεως του σφαιρίδίου µε την σφήνα. Μπορούµε εποµένως να γράψουµε την σχέση:

�

mv0+ 0 = mv

x+ MV

�

!

�

vx

= v0- MV/m (1)

όπου

�

! V η ταχύτητα της σφήνας και

�

! v

x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύ

τητας του σφαιριδίου αµέσως µετά την κρούση. Εξάλλου κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt→0) της κρούσεως η πεπερασµένη συνιστώσα του βά ρους της σφαίρας κατά την παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο διεύ

θυνση z, προκαλεί ασήµαντη µεταβολή της ορµής της σφαίρας κατά την διεύθυνση αυτή. Επίσης µηδενική θα είναι και η αντιστοιχη µεταβολή που προκαλεί στην σφαίρα η κρουστική δύναµη που δέχεται από την σφήνα, διότι η δύναµη αυτή δεν έχει συνιστώσα κατά την διεύθυνση z, αφού η κεκλιµένη έδρα της σφήνας είναι λεία. Με βάση τα παραπάνω µπορουµε να γράψουµε την σχέση:

Σχήµα 11

�

mv0z

= mv'z+ mv''

z

�

!

�

v0!"#$ = vx!"#$ + vy%µ$

�

!

(1)

�

vy!µ" = (MV/m)#$%" +vy!µ"

�

!

�

vy!µ" =(MV/m)#$%"

�

!

�

vy =MV

m

!

" #

$

% & '()*+µ*

(2)

όπου

�

! v

0z,

�

! v '

z,

�

! v ''

z οι συνιστώσες των ταχυτήτων

�

! v

0,

�

! v

x,

�

! v

y αντιστοιχως

κατά την διευθυνση z, και

�

! v

y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας

του σφαιριδίου αµέσως µετά την κρούση. Επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος πριν την κρούση είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή έχουµε:

�

mv0

2

2=

mvx

2

2+

mvy

2

2+

MV2

2

�

!

(1) ,(2)

�

mv0

2= m v

0-MV

m

!

" #

$

% &

2

+ mMV

m

!

" #

$

% &

2

'()2*+µ

2*+ MV

2

�

!

�

mv0

2= mv

0

2+

M2V

2

m- 2Mv

0V +

M2V

2

m

!"#2$%µ

2$

&

' (

)

* + + MV

2

�

!

�

0 =MV

m- 2v

0+

MV

m

!"#2$%µ

2$

&

' (

)

* + + V

�

!

�

VM

m+

M

m

!"#2$%µ

2$+1

&

' (

)

* + = 2v

0

�

!

�

V M!µ 2" + M#$%

2" + m!µ 2

"( ) = 2v0m!µ 2

"

�

!

�

V =2v

0m!µ

2"

M + m!µ2"

P.M. fysikos

To σώµα Σ του σχήµατος (12) έχει µάζα m και προσπίπτει οριζοντίως µε ταχύτητα µέτρου v0 στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο εχει στερεωθεί στο δοκάρι Δ, µάζας M. To ελατήριο έχει σταθερά k, ενώ η τριβή σε όλες τις επαφές είναι ασήµαντη. i) Nα βρεθεί η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. ii) Πόση είναι η τελική ταχύτητα που θ’ αποκτήσει το δοκάρι; ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή που το ελατήριο παρουσιάζει την µέγιστη συσπείρωσή του xmax το σώµα ακινητεί σε σχέση µε το δοκάρι, που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή σώµα και δοκάρι θα έχουν ως προς το ακίνητο έδαφος την ίδια ταχύτητα

�

! V

K. Εξάλλου το σύστηµα σώµα-δοκάρι είναι µηχανικά µονωµένο, δηλαδή

ισχύει για το σύστηµα αυτό η αρχή διατήρησης την ορµής, σύµφωνα µε την οποία µπορουµε να γράψουµε την σχέση:

�

mv0 + 0 = (m + M)VK

�

!

�

VK = mv0/(m + M) (1)

Σχήµα 12 Στην διάρκεια που το ελατήριο συµπιέζεται η µηχανική ενέργεια του συστή µατος διατηρείται, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

mv0

2

2+ 0 =

(m + M)VK

2

2+

kxmax

2

2

�

!

�

kxmax

2= mv0

2- (m + M)VK

2

�

!

(1)

�

kxmax

2= mv

0

2- m + M( )

mv0

m + M

!

" #

$

% &

2

�

!

�

kxmax

2= mv

0

21 -

m

m + M

!

" #

$

% &

�

!

�

xmax = v0

mM

k(m + M) (2)

ii) Έστω

�

! v

!,

�

! v

! οι ταχύτητες του σώµατος και του δοκαριού αντιστοίχως την

στιγµή που το ελατήριο επανακτά το φυσικό του µήκος. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής έχουµε την σχέση:

�

mv0+ 0 = Mv

!- mv

"

�

!

�

v!

= Mv"/m - v

0 (3)

Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας κατα τον χρόνο της συµπίεσης και αποσυµπίεσης του ελατηρίου παίρνουµε την σχέση:

�

mv0

2

2+ 0 =

mv!

2

2+

Mv"

2

2

�

!

(3)

�

mv0

2= m

Mv!

m- v

0

"

# $

%

& '

2

+ Mv!2

�

!

�

mv0

2=

M2v

!

2

m+ mv

0

2- 2Mv

0v

!

�

!

�

0 =M

2v

!

2

m- 2Mv

0v

!

�

!

�

v!

=2mv

0

m + M (4)

P.M. fysikos

Ένα σώµα µάζας m, κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Tο σώµα κάποια στιγµή συναντά το ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο, µε ταχύτητα µέτ ρου v0, της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε τον άξονα του ελατηρίου. Aν ο µέγιστος ρυθµός µε ταβολής της ορµής του σώµατος είναι P, να βρείτε: i) την συσπείρωση του ελατηρίου την στιγµή που ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος είναι ίσος µε µηδέν και ii) την αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής της κινητικής του ενέργειας του σώµατος. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Στην διάρκεια που το σώµα είναι σε επαφή µε το ελατήριο δέ χεται το βάρος του

�

m! g , την δύναµη

�

! F !"

από το συµπιεσµένο ελατήριο και την αντίδραση του οριζόντιου επιπέδου, που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N , που εξουδετερώνει το βάρος

του. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της ορµής του σώµατος απο κτά την µεγαλύτερη τιµή του P* την στιγµή που το µέτρο της συνι σταµένης δύναµης που δέχεται το σώµα αποκτά την µεγαλύτερη τιµή του. Αυτό θα συµβεί λίγο πρίν το ελατήριο υποστεί την µέγιστη συσπεί

ρωσή του xmax , διότι τότε οι δυνάµεις

�

! T και

�

! F !"

θα είναι οµόρροπες το δε µέτρο της

�

! F !"

θα έχει λάβει την µεγαλύτερή του τιµή ίση µε kxmax, όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

Σχήµα 13

�

(dP/dt)max = T + kxmax

�

!

�

P*= nN + kx

max

�

!

�

P* = nmg + kxmax

�

!

�

kxmax = P* - nmg (1) Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µετα ξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως µέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου παίρνουµε την σχέση:

�

0 -mv

0

2

2= W!

F !"+ W!

T

�

!

�

-mv0

2

2= -

kxmax

2

2- nmgxmax

�

!

�

mv0

2 = kxmax

2 + nmgxmax (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

�

mv0

2 = P*xmax - nmgxmax + nmgxmax

�

!

�

mv0

2= P

*x

max

�

!

�

xmax

= mv0

2/P* (3)

Στην θέση όπου ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος γίνεται µη δέν πρέπει να µηδενίζεται και η συνισταµένη δύναµη επί του σώµατος, δηλαδή την στιγµή αυτή πρέπει η

�

! T να είναι αντίθετη της

�

! F !"

και αυτό θα συµβεί όταν το ελατήριο αποσυµπιέζεται, οπότε το σώµα θα έχει αλλά ξει φορά κίνησης µε αποτέλεσµα να αλλάξει φορά και η τριβή. Τότε θα έχουµε την σχέση:

�

kx0 = nmg

�

!

�

x0 = nmg/k (4) όπου x0 η ζητούµενη συσπείρωση του ελατηρίου. Για τον υπολογισµό της σταθεράς k απαλοίφουµε το xmax µεταξύ των (1) και (3) και θα έχουµε:

�

kmv0

2

P*

= P* - nmg

�

!

�

k =P*(P* - nmg)

mv0

2

οπότε η (4) δίνει:

�

x0 =nm2gv0

2

P*(P* - nmg) (5)

ii) Εάν dK είναι η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος µετα ξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt θα έχουµε, σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, την σχέση:

�

dK = dW!

F !"

�

!

�

dK

dt=

dW!

F !"

dt=

F!"

dx

dt

�

!

�

dK

dt= F

!"v (6)

όπου dK/dt η ταχύτητα µεταβολής της κινητικής ενέργειας την χρονική στιγµή t,

�

! v η αντίστοιχη ταχύτητα και

�

! F !"

η αντίστοιχη συνισταµένη δύναµη επί του σώµατος. Όµως την στιγµή που η συσπείρωση του ελατηρίου είναι x0 ισχύει Fολ=0, οπότε η (6) δίνει dK/dt=0.

P.M. fysikos

Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 της ίδιας µάζας, συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικό νήµα µήκους L=10 m και κρατούνται σε απόσταση α=6 m η µία από την άλλη στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, που βρίσκεται σε αρκετά µεγάλο ύψος από το έδαφος. Kάποια στιγµη που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου αφήνεται ελεύθερη η σφαίρα Σ1 και µετά από χρόνο t0=1 s αφήνεται και η Σ2. i) Nα βρεθούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών, λιγο πριν τεντώσει το ελαστικό νήµα. ii) Nα βρεθούν τα µέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών την στιγµή που επίκειται η χαλάρωση του ελαστικού νήµατος. Δίνεται η επιτά χυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και ότι ο χρόνος παραµόρφωσης του νήµατος είναι πολύ µικρός. ΛΥΣΗ: i) Εάν t είναι ο χρόνος κίνησης της σφαίρας Σ2 µέχρις ότου τεντώσει το νήµα, τότε ο χρόνος κίνησης της σφαίρας Σ1 θα είναι t+t0, oι δε αντίστοιχες µετατοπίσεις τους h1, h2 θα υπολογίζονται από τις σχέσεις:

�

h1= g(t + t0)2/2

h2= gt2/2

!

"

#

�

!

(" )

�

h1 - h2 = g(t + t0)2/2 - gt2/2

�

!

�

h1 - h2 = g(t0

2 + 2tt0)/2

�

!

�

2(h1 - h2)- gt0

2 = 2gtt0

�

!

�

t =2(h1 - h2)- gt0

2

2gt0

(1)

Όµως από το σκιασµένο ορθογώνιο τρίγωνο, µε εφαρµογή του θεωρήµατος του Πυθαγόρα, έχουµε την σχέση:

�

h1- h

2= L

2-!

2 οπότε η (1) γράφεται:

�

t =2 L2 -! 2 - gt0

2

2gt0

=2 102 - 62 - 10"12

2"10"1 s = 0,3 s

Σχήµα 14

Εξάλλου, εάν

�

! v

1,

�

! v

2 είναι οι ταχύτητες των σφαιρών Σ1, Σ2 αντιστοίχως λίγο

πρίν τεντωθεί το νήµα, θα έχουµε:

�

v1 = g(t + t0) = 10!1,3 m/s =13 m/s (2) και

�

v2 = gt = 10!0,3 m/s = 3 m/s (3) ii) Όταν αρχίζει το τέντωµα του ελαστικού νήµατος συµβαίνει ελαστική κρού ση των δύο σφαιρών και στο βραχύ χρονικό διάστηµα που διαρκεί η παραµόρ φωση του νήµατος οι ταχύτητές τους κατά την κάθετη προς την διάκεντρό τους διεύθτνση δεν µεταβάλλονται, ενώ κατα την διεύθυνση της διακέντρου οι δύο σφαίρες ανταλλάσουν τις ταχύτητές τους, διότι κατά την διεύθυνση αυτή η κρόύση τους είναι ελαστική και οι σφαίρες έχουν την ίδια µάζα. Εάν

�

! v

1x,

�

! v

2x

είναι οι συνιστώσες των ταχυτήτων

�

! v

1,

�

! v

2 αντιστοίχως κατά την διέυθυνση

της διακέντρου των δύο σφαιρών και

�

! v 1y,

�

! v 2y οι αντίστοιχες συνιστώσες τους

κατά την κάθετη προς την διάκεντρο διεύθυνση, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

v1y = v1!"#$ = v1 %/L = 13&0,6 m/s =7,8 m/s

v1x = v1'µ$ = v1 1 - (%/L)2 = 13&0,8 m/s = 10,4 m/s

(

) *

+ * (4)

και

�

v2y = v2!"#$ = v2 %/L = 3&0,6 m/s =1,8 m/s

v2x = v2'µ$ = v2 1 - (%/L)2 = 3&0,8 m/s = 2,4 m/s

(

) *

+ * (5)

Εξάλλου εάν

�

! v '

1,

�

! v '

2 είναι οι ταχύτητες των Σ1, Σ2 αντιστοίχως την στιγµή που

επίκειται η χαλάρωση του νήµατος, τότε για τις αντίστοιχες συνιστώσες τους θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

v'1y = v1y =7,8 m/s

v'1x = v2x = 2,4 m/s

!

"

#

(6)

και

�

v'2y = v2y =1,8 m/s

v'2x = v1x = 10,4 m/s

!

"

#

(7)

Τα µέτρα των ταχυτήτων

�

! v '

1 και

�

! v '

2 υπολογίζονται από τις σχέσεις:

�

v'1 = (v'1x )2 + (v'1y )2 =

(4)

(2,4)2 + (7,8)2 m/s = 8,16 m/s

v'2 = (v'2x )2 + (v'2y )2 =

(5)

(10,4)2 + (1,8)2 m/s = 10,55 m/s

!

" #

$ #

P.M. fysikos