T מבחן

Zשונות ידועה - מבחני tשונות לא ידועה – מבחני

מדגם בודדמדגמים מזווגים/תלוייםשני מדגמים ב"ת

tהתפלגות

אם ורק אם המשתנה X ~ N(, 2 )ראינו כי הוא משתנה נורמלי סטנדרטי.

. אינן ידועותברוב המקרים השונות וסטיית התקן באוכלוסיה לסטיית התקן של אמדןפתרון סטטיסטי לכך מתאפשר על ידי

האוכלוסייה. אומדים את סטיית התקן באוכלוסיה באמצעות סטיית תקן המדגם.

. t ויש להשתמש ב Z במקרה זה לא ניתן להשתמש ב

1/)(1

2

nXXsdn

ii

X

Z

למשתנה החדש

המשמש הנקבע על ידי גודל המדגםדרגות חופשמספר עם t התפלגות לאמידת סטיית התקן.

רק הוא משתנה מקרי ו היא קבועה Zעבור

עבור המשתנה החדש גם וגם הם מקריים.

ככלל ככל שמספר דרגות החופש גדל סטיית התקן נאמדת בצורה טובה יותר קרובה יותר להתפלגות נורמלית סטנדרטיתtוהתפלגות ה

.1דרגות חופש = גודל המדגם –

df=(n-1)

ˆ

X

tdf

xx

כאשר נתונה, יש התפלגות אחת נורמלית סטנדרטית.

. מתקבלת משפחה של sdכאשר היא אינה נתונה ואנו מציבים במקומה את משתנה ממדגם למדגם.sd כי הסטטיטסטי tהתפלגויות

קיימת הדרישה לכך שהביטוי tגם בשימוש בהתפלגות

יתפלג נורמלית.

לפיכך כדי להשתמש בה יש להניח כי התפלגות האוכלוסיה ממנה הוצא המדגם היא נורמלית )או שהדגימה עומדת בתנאי משפט הגבול המרכזי(

ככלל ככל שמספר דרגות החופש גדל סטיית התקן נאמדת בצורה טובה קרובה יותר להתפלגות נורמלית סטנדרטיתtיותר והתפלגות ה

ˆ

X

tdf

-- ה"פעמון" התפלגות נורמלית סטנדרטית

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Normalized mean

De

nsi

ty

tהתפלגויות

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Normalized mean

De

nsi

ty

ד"ח20

ד"ח 2

ד"ח 1

למדגם בודד tמבחן . zאותו רעיון כמו מבחן

אנחנו משווים בין ממוצע המדגם לממוצע המשוער באוכלוסיה, כאשר משתמשים באומדן של סטיית

התקן באוכלוסיה.

)להזכירכם, בהתפלגות דגימה סטיית התקן = טעות התקן לכן לאחר ביצוע האמדן לסטיית התקן של

(. nהאוכלוסייה אנחנו מחלקים אותו ב

דוגמא גרם. 104עד כה ידוע היה שמשקל ממוצע של עגבנייה הנו

חוקר מעוניין לבחון את השפעת שינוי בדישון על משקל העגבניות.

עגבניות לאחר השינוי בדישון:15מדגם של 111 108 97 89 113 118 102 113 116 106 118 100 111

107 130

:גרם. 109.27ממוצע המדגם :98.50 אמדן שונות מדגמית – sd ערךt :( / 104 – 109.27) נצפהsqrt(98.50/15)=2.05

ממוצע המדגםממוצע

האוכלוסייה

מדגם בודד– בדיקת השערותt: מבחן 1דוגמה

=2.05 נצפה: tערך 2.01 דרגות חופש= 14 קריטיים עבור tערכי

-2.01או הערך שלנו

גדול מהערך הקריטי לכן ניתן במקרה זה לדחות את השערת האפס.

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Normalized mean

14

df t d

en

sity

ד"ח.14 עם tהתפלגות

להפרש תוחלות בין מדגמים tמבחן תלויים

ממוצעים שונים עבור אותן נבדקים ההבדלים בין. כלומר - השוואת הממוצעים של שני תצפיות

משתנים שונים בעבור אותה קבוצה לפני ואחרי . לדוגמה, השוואה בין ממוצע המשקל של המשתתפים

במדגם לפני דיאטה ואחרי דיאטה, או השוואה בין משכורות של קבוצה אחת בנקודות זמן שונות.

התהליך זהה לחלוטין לזה של בדיקת השערות עבור התפלגותt למדגם בודד רק שבמקום לעבוד על ערכי x אנו עובדים על

– ההפרשים שבין שתי המדידות.dערכי

מה ההיגיון?-

אם בממוצע ההפרשים בין שתי המדידות גדולים מספיק נוכל לומר שיש הבדל בין שתי הקבוצות.

איך : עבור כל זוג תצפיות יש לחשב את ההפרש בין שתי הקבוצות ) לדוגמא - עבור אדם א' משקל לפני דיאטה

לעומת אחרי דיאטה(.

לחשב את ההפרשים בין כל זוג תצפיות במדגם. בפועל -ישכמו כן יש לחשב את סטיית התקן של ההפרשים.

למדגם בודד כאשר את tעבור הנתונים האלו יש לערוך מבחן או לערך כלשהו לפי ההשערה0ממוצע ההפרשים משווים ל

הזוג הראשוןהזוג השניהזוג השלישי.......nהזוג ה

Xn…….X3X2X1מדגם ראשון/לפני

Yn........Y3Y2Y1מדגם שני/אחרי

Dn=Xn-Yn.........D3=X3-Y3D2=X2-Y2D1=X1-Y1הפרש

השערות

0:0 dH

0:1 dH

מדגמים מזווגים.חלופה מחקרית בעלת אותו הפתרון הסטטיסטי הליך: מזווגים את הנבדקים לפי קריטריון רלוונטי

למחקר )קשור למשתנה התלוי(. ומתייחסים לשני בני הזוג כזהים. אחד מבני הזוג מקבל טיפול והשני נחשב

לביקורת )או מקבל פלסבו(. מודדים את שני בני הזוג בסוף הטיפול מחשבים את

למדגמים תלויים tההפרש בינהם ומבצעים מבחן שימו לב- בשני המקריםn שווה מספר הזוגות ולא

מספר הנבדקים

מבחןt :למדגמים תלויים/מזווגים מתאים ל

שתי מדידות של אותו משתנה באותם נבדקים

( test-retest)

מדידות של שני משתנים שונים )שנמדדו על אותה סקאלה( באותם נבדקים )יותר כועס או יותר שמח(

מדידות של אותו המשתנה בנבדקים שונים אך מזווגים

(matched pairs) .

להפרש תוחלות בין מדגמים tמבחן בלתי תלויים

שונות ובלתי השוואת ערכיהן של שתי קבוצות נפרדות, לגבי אותו משתנה )ממוצע הקבוצות(.תלויות במדגם

הרעיון – אם ההפרש בין ממוצעי הקבוצות גדול אזי הן כנראה שונות זו מזו )שייכות להתפלגויות אחרות(.

לדוגמה, השוואת ממוצע המשכורות של האחיות לעומת ממוצע המשכורות של הרופאים;

דוגמה נוספת: השוואת ממוצע שעות לחץ דם של גברים לעומת לחץ דם של נשים.

למדגמים tתנאים מקדימים למבחן בלתי תלויים

כאשר המשתנה הבלתי תלוי הוא בעל שתי רמות בלבד. ) כאשר משתנה הוא בעל יותר משתי רמות נבצע

ניתוח שונות(.

כאשר המשתנה הבלתי תלוי הוא משתנה רציף מסולם רווח ומעלה.

כאשר נבדקים שונים נמצאים בשתי הרמות. )לא ייתכן כי יהיו לנו נבדקים שיימצאו בשני המדגמים(.

השערותהשערת האפס :השערה נגדית:

:חד כיווניאו

או

xH YX /0:0

xH YX /0:1

xH YX /0:1

xH YX /0:1

דוגמא האם קיים הבדל בין ממוצע שנות ההשכלה בקרב

נשים מול הממוצע של אותו משתנה בקרב גברים. לצורך כך, נערוך מבחןt.למדגמים בלתי תלויים ההשערה שלנו היא, שקיים הבדל בין ממוצע שנות

ההשכלה של נשים ובין הממוצע של גברים.?מהן ההשערות

0 =H0: μ1 - μ2H1: μ1 - μ2 ≠ 0

שיוויון שונויות אחת ההנחות החשובות עליהן מתבסס מבחןt היא

שמתקיים שיווין שונויות בין שתי הקבוצות. אין משמעות לנושא זה כאשר המדגמים הם תלויים

)מדוע?( במבחן t יש לבדוק הנחה זו מראש על למדגמים ב"ת

)מבחן לווין(. fידי מבחן סטטיסטי שנקרא מבחן כרגיל.tאם השונויות שוות – ניתן להשתמש במבחן - tאם הן אינן שוות – ישנו פתרון סטטיסטי למבחן -

שאינו מניח שיוויון שונויות.

תהליך עבודה:א. עבור מדגם בודד

1?האם שונות האוכלוסיה ידועה .

כן: נשתמש במבחן z

למדגם tלא: נשתמש במבחן בודד ונאמוד את השונות.

עבור שני מדגמים?האם המדגמים תלויים

למדגמים תלויים/מזווגים tמבחן

כן

לא

האם ניתן להניח שיוויון (fשונויות )מבחן

לא

למדגמים בלתי tמבחן תלויים המבוסס על שני אמדני שונויות )הממוצע

(.spשלהן –

כן

למדגמים תלויים עם אמדן tמבחן (.sd מספיק spלשונות שווה )אין צורך ב