Χρήσιµες Κατανοµές 1

∆ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)X~B(n,p) n ∈ N και 0<p<1 όταν

Η τ.µ. Χ παριστάνει τον αριθµό των επιτυχιών σε nανεξάρτητες δοκιµές Bernoulli, όταν η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιµή είναι p.

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:Ροπογεννήτρια:

Πολυάριθµες εφαρµογές. π.χ: Ποιοτικός Έλεγχος

( ) (1 ) 0,1,2,...,x n xX

nf x p p x n

x−⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

E( )X np= Var( )X npq=

( ) ( e ) 1t nXM t p q q p= + = −όπου

Χρήσιµες Κατανοµές 2

Υπεργεωµετρική Κατανοµή (Hypergeometric)X~HG (N, n, p) N>n, N,n N +, 0<p<1 και Np N +, όταν

X : αριθµός των επιτυχιών σε δειγµατοληψία µεγέθους n, χωρίς επανατοποθέτηση από πεπερασµένο πληθυσµό N ατόµων όταν αρχικά η πιθανότητα επιτυχίας είναι p. (εξαρτηµένα Bernoulli πειράµατα)

Μέση τιµή: (ίδια µε διωνυµική)

∆ιασπορά: ( διορθωτικός παράγοντας)

Όταν το N είναι πολύ µεγάλο και το n αρκετά µικρό η υπεργεωµετρική προσεγγίζεται από την διωνυµική.

( ) 0,1,2,...,min( , )X

Np N Npx n x

f x x n NpNn

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1N nN−−

E( )X np=

Var( )1

N nX npqN−

=−

Χρήσιµες Κατανοµές 3

Γεωµετρική Κατανοµή (Geometric)X~G (p) 0<p<1 όταν

X : αριθµός των επαναλήψεων (ανεξάρτητων δοκιµών Bernoulli) που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της πρώτης επιτυχίας, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p.

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:

Ροπογεννήτρια:

Η µέση τιµή ονοµάζεται µέσος χρόνος επιστροφήςµέσος χρόνος επιστροφής ή περίοδος επιστροφήςπερίοδος επιστροφής

1 1,2,...( ) όπου 1

0 αλλού

xpq xf x q p

−⎧ == = −⎨⎩

1E( )X p= 2Var( ) qX p=

e( ) , ln1 e

t

X t

pM t t qq

= < −−

Χρήσιµες Κατανοµές 4

Αρνητική ∆ιωνυµική (Negative Binomial)X~NB(r,p) r N και 0<p<1 όταν

Χ : αριθµός των επαναλήψεων (ανεξάρτητων δοκιµών Bernoulli) που απαιτούνται µέχρι την εµφάνιση της rεπιτυχίας, όταν η πιθανότητα επιτυχίας είναι p.

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:

Ροπογεννήτρια:

H Χ µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα r ανεξάρτητων και ισόνοµων τ.µ. µε γεωµετρική κατανοµή.

1( ) (1 ) , 1,...

1r x rx

f x p p x r rr

−−⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟−⎝ ⎠

E( ) rX p= 2Var( ) rqX p=

e( ) ln(1 e )

r tr

X t r

pM t t qq

= < −−

Χρήσιµες Κατανοµές 5

Κατανοµή PoissonX~P(λ), λ>0 όταν

Η τ.µ. X παριστάνει τον αριθµό εµφάνισης τυχαίων περιστατικών σε καθορισµένο χρονικό διάστηµα.

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:Ροπογεννήτρια:

Πολυάριθµες εφαρµογές. π.χ: Θεωρία τηλεφωνικής κίνησης (Teletraffic theory)

e( ) ( ) 0,1,2,3,... όπου 0!

x

f x P X x xx

λ λ λ−

= = = = >

E( )X λ= Var( )X λ=

( )( ) exp e 1tXM t tλ⎡ ⎤= − ∈⎣ ⎦

Χρήσιµες Κατανοµές 6

Κατανοµή Poisson (συνέχεια)

Χρήσιµες Κατανοµές 7

Κατανοµή Poisson (ιδιότητες)(1) Έστω τ.µ. X~B(n,p). Τότε

∆ηλ. µια διωνυµική κατανοµή όταν το n είναι αρκετά µεγάλο και το p είναι αρκετά µικρό, προσεγγίζεται από την κατανοµή Poisson.

(πρακτικά προσεγγίζουµε όταν n > 30 και np < 5)

0

e(1 ) 0,1,2,...!lim

xx n x

npnp

np p x

x x

λ

λ

λ−−

→∞→=

⎛ ⎞− = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Χρήσιµες Κατανοµές 8

∆ιαδικασία PoissonΈστω η τ.µ. Ν(t) που δίνει τον αριθµό των τυχαίων

συµβάντων στο χρονικό διάστηµα (0, t]. Το σύνολο των τ.µ. {Ν(t), t >0} ονοµάζεται στοχαστική διαδικασίαστοχαστική διαδικασία και επειδή η Ν(t) παίρνει ακέραιες τιµές στοχαστική διαδικασία στοχαστική διαδικασία ακεραίων τιµών.ακεραίων τιµών.

Η διαδικασία {Ν(t), t >0} είναι διαδικασία διαδικασία PoissonPoisson µε µέσο µε µέσο ρυθµό ρυθµό νν εάν πληρούνται οι συνθήκες:

(i) Ν(0) = 0(ii) Ο αριθµός των συµβάντων σε ξένα µεταξύ τους χρονικά

διαστήµατα είναι ανεξάρτητες τ.µ.(ii) Για οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα (s, s+t) µε s ≥ 0 και

t > 0, ο αριθµός των συµβάντων έχει κατανοµή Poisson

( ) e ( )( ) ( ) 0,1, 2,3,...!

t xtP N s t N s x xx

ν ν−

+ − = = =

Χρήσιµες Κατανοµές 9

Οµοιόµορφη Κατανοµή (Uniform)X~U(α,β) α<β όταν

Α.σ.κ. της Χ:

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:

Ροπογεννήτρια:Σηµαντικότερη χρήση: γεννήτριες τυχαίων αριθµών

1( )Xf x xα ββ α

= < <−

0

( )

1

X

xx aF x x

x

α

α ββ α

β

⎧ <⎪ −⎪= < <⎨ −⎪⎪ >⎩

( )2E( ) b aX +=

2( )12Var( ) b aX −=

e e( )( )

tb ta

XM tt b a

−=

−

( ) 1 ότανd

b a c

d cP c X d dx a c d bb a−

−< < = = < < <

−∫

Χρήσιµες Κατανοµές 10

Εκθετική Κατανοµή (Exponential)Χ ~ E(λ) όταν: όπου λ θετική σταθερά

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:

Ροπογενήτρια:

Αθροιστική Συνάρτηση κατανοµής της Χ:

Χρησιµοποιείται για να εκφράσει:• το χρόνο µεταξύ αφίξεων διαφορετικών πελατών σε κατάστηµα• το χρόνο συνοµιλίας σε µια τηλεφωνική επικοινωνία • το χρόνος ζωής ηλεκτρονικών κοµµατιών σε µία συσκευή

1 0( )

0 αλλού

x

Xe x

F xλ−⎧ − >

= ⎨⎩

0( )

0 αλλού

x

Xe x

f xλλ −⎧ >

= ⎨⎩

1E( )X λ= 21Var( )X λ=

1

( ) 1XtM t t λλ

−⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠

Χρήσιµες Κατανοµές 11

Εκθετική Κατανοµή (Ιδιότητες)(1) Ιδιότητα αµνησίας ή απώλεια µνήµης:

∆ηλαδή, η εκθετικά κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή δεν “γερνάει”

Απόδειξη: Ισχύει ότι

Όµως και αποδεικνύεται το ζητούµενο.

Σηµ. Η εκθετική είναι η µόνη συνεχής κατανοµή µε την ιδιότητα της αµνησίας.

( | ) ( )P X t s X t P X s> + > = >

( )( , ) ( ) e( | ) e( ) ( ) e

t ss

t

P X t s X t P X t sP X t s X tP X t P X t

λλ

λ

− +−

−

> + > > +> + > = = = =

> >

( ) e sP X s λ−> =

Χρήσιµες Κατανοµές 12

Εκθετική Κατανοµή (Ιδιότητες)(2) Οι χρόνοι αναµονής µεταξύ διαδοχικών συµβάντων σε µια διαδικασία Poisson είναι εκθετικά κατανεµηµένοι.

Έστω:• {Ν(t), t ≥ 0} διαδικασία Poisson µε µέσο ρυθµό ν,• Τ1 χρόνος αναµονής µέχρι το πρώτο συµβάν και • Τn χρόνος αναµονής από το n-1 µέχρι το n-οστόσυµβάν όταν (n = 2,3,…).

Τότε οι τυχαίες µεταβλητές Τ1, Τ2,... , είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε κοινή (εκθετική) κατανοµή E(ν) .

Χρήσιµες Κατανοµές 13

Κατανοµή Γάµµα (Gamma)X∼ G(a,β) a>0, β>0 όταν:

όπουa: παράµετρος µορφής, β : παράµετρος κλίµακας•Όταν a =1, τότε Γ(1) =1 και η κατανοµή γίνεται εκθετική µε λ = 1/β.•Όταν a >1, τότε κατανοµή µονοκόρυφη µε κορυφή στο x = β(α-1).•Όταν a ακέραιος, τότε Γ(α) = (α-1)! και η κατανοµή είναι γνωστή ως κατανοµή Erlang.

Μέση τιµή: ∆ιασπορά:Ροπογεννήτρια:

11 0( )( )

0 αλλού

xa

X

x e xaf x

β

αβ−−⎧ >⎪ Γ= ⎨

⎪⎩1

0( ) 0y aa e y dy a∞ − −Γ = >∫

( )X aβΕ = 2Var( )X aβ=( )( ) 1 a

XM t tβ −= −

Χρήσιµες Κατανοµές 14

Κατανοµή Γάµµα (Ιδιότητες)Έστω• {N (t), t ≥ 0} διαδικασία Poisson ρυθµού v• Wn: χρόνος αναµονής µέχρι την εµφάνιση του n-οστού

συµβάντος. Τότε η Wn έχει κατανοµή γάµµα µε α = n και β =1/v

(κατανοµή Erlang).Απόδειξη: θ.δ.ο.

Το θεώρηµα αποδεικνύει επίσης ότι το άθροισµα n τ.µ. µε εκθετική κατανοµή E(ν) έχει κατανοµή γάµµα G(n, 1/v).

1 0( 1)!( )0 αλλο

n

nn tv

W

v t e tnf t

ύ

− −⎧ >⎪ −= ⎨⎪⎩

Χρήσιµες Κατανοµές 15

Κανονική κατανοµή (Gauss)

X∼ N(µ,σ2) όταν:

Μέση τιµήΜέση τιµή: ∆ιασπορά∆ιασπορά:

ΡοπογεννήτριαΡοπογεννήτρια:

•Η fX (x) είναι συµµετρική γύρω από το µ.•Ολες οι κεντρικές ροπές περιττής τάξεως είναι µηδέν.•∆εν υπάρχει η α.σ.κ. FX (x) σε κλειστή µορφή.•Υπάρχουν πίνακες µε τιµές για την α.σ.κ. της N(0,1) –τυπική κανονική κατανοµή

22

1 ( )2

1( )2

x

Xf x e xµ

σ

πσ− −

= −∞ < < ∞

( )X µΕ = 2Var( )X σ=2 2

( ) exp2XtM t t σµ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Χρήσιµες Κατανοµές 16

Κανονική κατανοµή (συνέχεια)

Χρήσιµες Κατανοµές 17

Κανονική κατανοµή (τυποποίηση)Έστω X∼ N(µ,σ2).

Η τ.µ. έχει κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 0

και τυπική απόκλιση 1.

∆ιότι:1. Με χρήση ροπογεννητριών αποδεικνύεται ότι η

κατανοµή της είναι κανονική.

2.

3.

[ ]1 1( ) ( ) 0X X Xµ µ µσ σ σ−⎛ ⎞Ε = Ε − = Ε − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2

2 2 21 1Var( ) Var( ) Var( ) 1X X X σµσ σ σ

= − = = =

XZ µσ−

=

Χρήσιµες Κατανοµές 18

Κανονική κατανοµή (ιδιότητες)(1) Έστω X1, X2,…, Xn ∼ N(µi,σi

2) µε i = 1,2,…,n.

Τότε οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός τουςέχει κανονική κατανοµή µέσης τιµής και

διασποράς .

(2) (Κεντρικό Οριακό ΘεώρηµαΚεντρικό Οριακό Θεώρηµα)Έστω X1, X2,…, Xn ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε κοινή

µέση τιµή µ και κοινή διασπορά σ2. Τότε για µεγάλο nη τ.µ. Χ= X1+ X2+…+ Xn έχει προσεγγιστικά κανονική κατανοµή µέσης τιµής nµ και διασποράς nσ2.

1( )

i

ni

iE X c µ

== ∑

1

n

i ii

X c X=

=∑2 2

1( ) i i

n

iVar X c σ

== ∑

Χρήσιµες Κατανοµές 19

Λογαριθµοκανονική Κατανοµή (LogNormal)X∼ LN(ζ, τ) όταν η τ.µ. Υ=ln X ∼ N(ζ, τ), όπου-∞<ζ<∞ και τ >0. Προφανώς: X = exp(Y) και έχει σ.π.π.

Ισχύει ότι:Και για τον υπολογισµό της πιθανότητας:

2

2

1 1exp (ln ) 0( ) 22

0 αλλούX

x xf x x

ζτπτ

⎧ ⎡ ⎤− − >⎪ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎨⎪⎩

2 221

22( ) ( ) Var( )YX E e e X e eζ τ ζ τ τ+ + ⎡ 1⎤Ε = = = −⎣ ⎦

( ) (ln ln ln )ln ln ln ln

P a X b P a X ba b b aP Zζ ζ ζ ζτ τ τ τ

< < = < < =

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= < < = Φ −Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Χρήσιµες Κατανοµές 20

Κατανοµή WeibullX∼ WEI(a, β) a>0, β>0 όταν:

α.σ.κ.

Ισχύει ότι:

•Όταν a =1, τότε η κατανοµή είναι εκθετική µε λ = 1/β. [WEI(1, β)= E(1/β)]

•Όταν X∼ WEI(a, β), τότε Υ=(Χ/β)α ∼ E(1)

( )1 0( )

0 αλλού

axa

X

a x e xf x

β

β−−⎧ >⎪= ⎨

⎪⎩

2 21 2 1( ) (1 ) Var( ) (1 ) (1 )X Xα α αβ β ⎡ ⎤Ε = Γ + = Γ + −Γ +⎣ ⎦

( )1 0( )0 αλλού

ax

X

e xF xβ−⎧⎪ − >= ⎨

⎪⎩

Χρήσιµες Κατανοµές 21

Αξιοπιστία ΣυστηµάτωνΓια την µελέτη της αξιοπιστίας συστηµάτων έστωΧ : χρόνος λειτουργίας (διάρκεια ζωής) του συστήµατοςΓια την τ.µ. Χ µας ενδιαφέρουν:

Η σ.π.π. fX(x) και η α.σ.κ. FX(x)

Συνάρτηση αξιοπιστίας:

Ρυθµός αποτυχίας:

( ) ( ) 1 ( )R t P X t F t= > = −

0

( | )( ) limt

P t X t t X th tt∆ →

< < + ∆ >=

∆

Χρήσιµες Κατανοµές 22

Αξιοπιστία Συστηµάτων (συνέχεια)Οι συναρτήσεις fX(.), FX(.), R(.) και h(.)

χαρακτηρίζουν ισοδύναµα την κατανοµή της Χκαι συνδέονται µεταξύ τους.

ή

ή δηλ.

0 0

0

( , ) ( ) ( )( ) lim lim( ) [1 ( )]

( ) ( ) 1 ( )lim[1 ( )] 1 ( )

t t

t

P t X t t X t P X t t P X th tP X t t P X t t

F t t F t F tt F t F t

∆ → ∆ →

∆ →

< < + ∆ > < + ∆ − <= = =

> ⋅∆ − < ⋅∆′+ ∆ −

= =∆ − −

( )( )( )

f th tR t

=

[ ] [ ]1 ( ) ( )( ) ln ( )( ) ( )R t R t dh t R t

R t R t dt

′− ′−= = − = − 0

( ) exp ( )t

R t h s ds⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫