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Ficha de Trabalho Nº 2 - 11º Ano – 2005 – 2006 ESAS Página 1 de 11

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

MATEMÁTICA

11º ANOFICHA DE TRABALHO Nº 2 (Trigonometria)

ESCOLHA MÚLTIPLA

1. De um ângulo α sabe-se que ( )sen π α − é positivo e que cosα é negativo. Então α pertence a:

A 1º quadrante B 2º quadrante C 3º quadrante D 4º quadrante

2. O valor da expressão5

(5 )2

sen x cos xπ

π ⎛ ⎞

− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

é:

A - 2 B 0 C 1 D 2

3.

O valor da expressão

3

102cos sen tg

π

π π − +

é:A - 2 B 0 C 1 D 2

4. Das seguintes afirmações

I-7

4ºQ:2

senα α ∃ ∈ =

II- 2º Q : . 0sen cosα α α ∀ ∈ < , podemos dizer que:

A I e II são ambas verdadeiras B I e II são ambas falsas C I é falsa e II é verdadeira D I é verdadeira e II é falsa

5. O valor da expressão:2 (900º ) 2 (180º ) 3 (540º )cos sen tg− + é:

A 2 B 0 C 1 D -2

6. Qual das seguintes equações tem uma única solução em ] [0,π ?

A 0cos x = B 0tg x = C 1sen x = − D 1cos x =

7. Se3

2cos x = − e [ [0, x π ∈ o valor de (3 )

4sen x tg

π π

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠é:

A) 12

B) 12

−

C) 3

2− D)

3

2

8. Os valores de k para os quais a condição2

3

k cos β

−= é possível são:

A 2

2,5

k ⎡ ⎤

∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

B [ ]5,1k ∈ − C [ ]1,5k ∈ −

D

2,2

3k

⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

9.

Os valores de m que verificam simultaneamente as condições:sen mθ = e 1cos mθ = − são:

A { }0,1 B { }0 C { }0, 1− D { }1




10. O valor exacto de7 2 4

cos6 3 3

sen tgπ π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

é:

A 1 3 3

2

− +

B 3C

1 3

2

+ D

3

3

11. A expressão geral das raízes da equação1

2

cos x = − é:

A2

2 ,3

x k k π

π = ± + ∈Z B2

,3

x k k π

π = + ∈Z

C 2 ,3

x k k π

π = ± + ∈Z D 2 ,3

x k k π

π = − + ∈Z

12. O valor da expressão (3 ) (5 )sen x cos xπ π − − − , sendo3

4tg x = e 3ºQ∈ , é:

A 1

5 B

7

5 C

1

5− D

7

5−

13. Os valores de [ ]0,2 x π ∈ tais que 2 1 0sen x + = são:

A 5

,6 6

xπ π ⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

B 5 7

,6 6

xπ π ⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

C 7 11

,6 6

xπ π ⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

D4 5

,3 3

xπ π ⎧ ⎫

∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

14. No triângulo [ ] ABC , 10 AB cm= , 20 AC cm= e α amplitude do ângulo BAC

A área do triângulo [ ] ABC em função de α é:

A 100 A senα = B 100 A cosα =

C 5 20 A senα = + D 20 A senα =

15. Dos quatro ângulos seguintes um deles tem 1 radiano de amplitude. Qual poderá ser?

A x B x

C x D x

16. Na figura abaixo, está representado um triângulo rectângulo [ ] ABC , cuja a hipotenusa mede

2 m . Qual das expressões dá a área, (em m2 ) do triângulo [ ] ABC , em função da amplitude α , do

ângulo ABC

A 2sin cosα α B 2sin tanα α

C 4sin cosα α D 4sin tanα α




17. Na figura estão representados, em referencial o. n. xOy:• um quarto de círculo com centro na origem e raio 1• uma semi-recta paralela a Oy, com origem no ponto

( )0,1

• um ponto A pertencente a esta semi recta• um ângulo de amplitude α , cujo lado origem é o

semieixo positivo Ox, e cujo lado extremidade é asemi recta OA

•

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada,

em função de α ?

A2

α π

tg+ B

α π

tg

2+

C24

α π tg+ D

α

π

tg

2

4+

2001 2C 1F

18. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ ] ABCD , cujas bases têm 10 e 30 unidadesde comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.

Considere que um ponto P se deslocasobre o lado [ ] AB .

Para cada posição do ponto P, seja x aamplitude, em radianos, do ângulo PDA.Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [ ]PD divide o trapézio em duas figurascom a mesma área.Qual das equações seguintes traduz este problema?

A 1002

302

= xsen

B 1002

302

= xtg

C 1504

1030=

× xsenD 150

4

1030=

× xtg

2003 2F 19. A área da parte colorida da figura, com duas casas decimais, é:

A 2100,30cm

B 298,03cm

C 2100,25cm

D 2105,90cm




20. Na figura estão representados o círculo trigonométrico eum rectângulo [ ] ABCD .

O lado [ ]CD está contido no eixo das abcissas.

Os vértices A e B pertencem à circunferência.Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área dorectângulo [ ] ABCD é igual a:

A 2sin cos x x B 2sin tan x x

C 2sin x D 2 tan x

21. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r .Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura.Inicialmente o ponto P encontra-se à distância de 2 unidades da recta r .

Seja ( )α d

a distância de P a r , após uma rotação de amplitude α .Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo α ?

A ( ) α α cos1+=d B ( ) α α send += 2

C ( ) α α cos1−=d D ( ) α α send −= 2 2002 2F

22. Sendo3

,2

α π π ⎤ ⎡

∈ ⎥ ⎢⎦ ⎣, só uma das seguintes expressões é falsa. Qual?

A cos 0sen

α α

> B 2 0cos tgα α ⋅ >

C cos 0senα α + > D cos 0senα α × >

23. Seja g uma função definida por ( )g x tg x= .

Qual dos seguintes conjuntos poderá ser o domínio de g ?

A ,3 3

π π ⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

B3

,4 4

π π

⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣

C ] [0, π D ] [, 2π π




24. Na figura está representada uma circunferência de centro emO e raio 1.Os pontos A e B são extremos de um diâmetro dacircunferência.

Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre oarco AB, terminando o seu percurso em B.Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos,do ângulo AOP.Seja f a função que, a cada valor de [ ]0, x π ∈ , faz

corresponder o produto escalar OA OP⋅

.Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função f ?

A a B a

C a D a

25. Na figura está representada, em referencial o. n. xOy, uma recta r paralelaao eixo Oy.

Considere que um ponto P se desloca ao longo de toda a recta r .Sejam:

• x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por ladoorigem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semi-recta

O P•

;• f a função que dá, para cada x, a distância de P à origem do referencial

Dos gráficos seguintes apenas um pode ser o da função f . Qual?

A a B a C a D a




26. Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.

Qual dos valores poderá ser o período da função?

A 9

π B

2

9

π C

2

3

π D

4

3

π

27. Indique qual das seguintes figuras pode ser parte da representação gráfica da função

definida por: ( )1

s ns x

e x=

A a B a

C a D a

28. Qual é o limite da sucessão de termo geral1

2Un tg

n

π ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠?

A − ∞ B + ∞ C 0 D 1

29. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?A lim 0

xsen x

→+∞= B lim

xsen x

→+∞= + ∞

C lim 1 x

sen x→+∞

= D não existe lim x

sen x→+∞

30. Qual das expressões seguintes define uma função injectiva, de domínio ℜ ?A cos x B 2

x x− C 1 x + D 3 x




31. Seja D o domínio de uma função g tal que ( )1

1g x

tg x=

−.

Indique qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa.

A 0 D∈ B 3

4Dπ ∈ C Dπ ∈ D

5

4Dπ ∈

32. A profundidade da água do mar, à entrada de um certo porto de abrigo, varia com a maré.Admita que, num certo dia, a profundidade é de 11 metros, na maré alta, e de 7 metros, na maré

baixa.Admita ainda que o tempo que decorre entre cada maré baixa e cada maré alta é de 6 horas,sendo igualmente de 6 horas o tempo que decorre entre cada maré alta e cada maré baixa.

Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função que dá aprofundidade, em metros, da água do mar, à entrada desse porto, t horas após a maré baixa.

Qual é a expressão correcta?

A 9 2cos6

t π ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

B 9 2cos3

t π ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

C 11 4cos12

t π ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

D 9 2cos6

t π ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

33. Quantas são as soluções da equação 3 1sen x = que pertencem ao intervalo [ ]0,2π ?

A 5 B 10 C 15 D 20

34. Considere, em ℜ , a equação cos 4sen x x+ = . Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A A equação é impossível

B A equação tem exactamente uma solução

C A equação tem exactamente duas soluções

D A equação tem uma infinidade de soluções




EXERCÍCIOS DE DESENVOLVIMENTO

1. Averigúe se existe algum ângulo, tal que:

1.1. 3

5senα = e

4

5cosα =

1.2.

3

2cosα =

2. Determine o valor exacto das expressões:

2.1. 13

3 (5 )6

tg senπ π ⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

2.2. 13 5 10

3 6 3tg sen cos

π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.3. 5 25

(6 )

3 6

sen tg cosπ π

π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3. Simplifique as seguintes expressões:

3.1.1 3 3

(2 ) cos(3 ) ( )2 2 2

tg tg senπ

π θ π θ θ θ ⎛ ⎞

− + + − − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

3.2. ( )2

2 .2 2

sen cos sen cosπ π

θ θ θ θ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Considere o ângulo 3ºQα ∈ tal que5

cos12

α = − . Calcule:

4.1. tg α

4.2. 2 ( )2

sen senπ

π α α ⎛ ⎞

− + +⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Sabendo que4

(2 )5

sen xπ − = + e3

2 xπ π < < , calcule:

5.1. (5 )tg xπ +

5.1. 3

2sen xπ

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

6. Considere a expressão 2( ) A x sen x cos x= − .

6.1. Sabendo que2 2

3sen x = e 2º Q x ∈ , determine o valor de ( ) A x

6.2. Calcule o valor de x tal que1

( )2

A x cos x+ =

7. Prove que, para x∀ ∈ℜ , 2 2( ) ( ) 2cos x senx cos x senx+ + − =




8. Simplifique as expressões:

8.1. ( ).tg x

cos x sen xsenx

−

8.2.21

.sen

tg cossen

α α α

α

⎛ ⎞−+⎜ ⎟

⎝ ⎠

9. Determine os valores de k que satisfazem simultaneamente cada uma das condições:

9.1. 2 13

k senα −= e ,2π α π ⎤ ⎡∈ ⎥ ⎢⎦ ⎣

9.2. 1

2

k senα

+= e

1

2

k cosα

−=

10. Determine, em ℜ , o conjunto-solução das seguintes equações trigonométricas: 10.1. (2 ) 1sen x =

10.2. 3

6 3tg x

π ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

10.3.

2

2 0sen x sen x− =

11. Resolva, em ℜ , as seguintes equações:11.1. (2 1) 0sen x cos x + =

11.2. 22 3 1sen x sen x− = −

11.3. 2 0cos x cos x− =

11.4. 3 3 (2 ) 0tg x+ =

12. Resolva, em [ [0,2π , as equações trigonométricas.

12.1.2

2 2sen x cos x= − 12.2.

31

4 3tg tg x

π + = +

13. Defina, em extensão, o seguinte conjunto:

, : 2 . 1 02 2

A x cos xπ π ⎧ ⎫⎡ ⎤

= ∈ − − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

14. As marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados por uma função do tipo( )d t csenbaY ++= em que Y é o nível da água, em metros, e t o tempo em horas. Numa

praia da costa Portuguesa, em determinado dia foram feitas várias medições que permitiram

chegar à função ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

223

t senY

14.1. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboça o gráfico da função, durante operíodo de um dia.

14.2. Às oito horas da tarde, qual era o nível da água?14.3. Em que momentos a água atingiu o nível 4 m ?




15. Um painel publicitário é suportado por duas colunas A e B, distanciadas de 15 m, comomostra a figura.

O recorte superior do Painel foi feito recorrendo à função f definida por

( ) x x

sen x f cos3

4 −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ += .

Admite que f (x) é a altura em metros, do ponto do recorte superior do painel situado xmetros à direita da coluna A.

15.1. Mostra que a diferença da alturas do painel nos extremos, ligação com as colunas, éde aproximadamente, de 80 cm.

15.2. Determina a diferença entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo do painel.Apresenta o resultado arredondado às décimas. Nota: Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo,

três casas decimais.

15.3Um ponto P situa-se na base do painel e dista da parte superior do mesmo 3,8 mé possível localizar o ponto P? Justifica. (recorre à calculadora para justificares a

resposta, apresentando todos os elementos recolhidos, nomeadamente o gráfico ougráficos, bem como as possíveis coordenadas do ponto P).

16. Quando, há muito tempo atrás o David esteve com uma virose benigna, a temperatura do seucorpo evoluiu, num certo dia, de acordo com a função

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−= 1

425,38 t sent F

π

com F em gruas Celcius e t em horas. Responde às perguntas com a temperatura aproximadaàs décimas e o tempo ao minuto.

16.1 O Guilherme foi visitá-lo às 15h 30m. Qual era a temperatura do David?16.2 Qual foi a temperatura máxima que ele teve nesse dia?16.3 A febre do David repete-se com um certo período. Qual é esse período?16.4 Usando a calculadora diz quantas vezes nesse dia, a febre foi de 40 graus e indica dois

desses momentos. Explica muito claramente como respondeste a esta questão.

f(x)

Férias na Neve

15 m

x

BA




SOLUÇÕES

Escolha Múltipla

1 - B 2 - B 3 - B 4 - C 5 - D 6 - A 7 - C 8 - C

9 - A 10 - B 11 - A 12 - D 13 - C 14 - A 15 - C 16 - A

17 - C 18 - B 19 - A 20 - A 21 - A 22 - C 23 - A 24 - A

25 - A 26 - D 27 - A 28 - A 29 - D 30 - D 31 - D 32 - A

33 - B 34 - A

Exercícios de desenvolvimento

1.1 existe 1.2 não existe 2.1 33

2.2 3 2.3 3 12+ 3.1 2cosθ 3.2 1− 4.1 119

5

4.22 119 5

12

−5.1

4

35.2

3

56.1

11

96.2 45 90 , x k k = + ∈

8.1 1 ( 0 cos 0)tg x sen x x− ≠ ∧ ≠ 8.2cos x

sen xsen x

+ 9.11

, 22

k ⎤ ⎡

∈ ⎥ ⎢⎦ ⎣9.2 1k = ±

10.1 ,4

x k k π

π = + ∈ℜ 10.2 ,3

x k k π

π = + ∈ℜ 10.35

2 2 ,6 6

x k x k x k k π

π π π = ∨ = + ∨ = + ∈ ℜ

11.12

2 ,3

x k x k k π π π = ∨ = ± + ∈ℜ 11.2 5

2 2 ,2 6 6

x k x k x k k π π

π π π = + ∨ = + ∨ = + ∈ℜ

11.3 2 2 ,2

x k x k k π

π π = ∨ = + ∈ℜ 11.4 ,6 2

x k k π π

= + ∈ℜ 12.12

π ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

12.27

,6 6

π π

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

13. ,4 4

π π ⎧ ⎫−⎨ ⎬

⎩ ⎭14.1

14.2 1.5

14.3 1:05, 5:24, 13:6; 17:8

15.1 ( ) ( )15 0 0,8 80 f f m cm− = = 15.2 3,8m 15.3 Sim. Em 1 21, 01 e 10, 76 x x= =

16.1 37,4 16.2 40,5 16.3 8 horas 16.4 6 vezes. P. e. 3h 48’ e às 5’ 38’

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