2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε. 17

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΞΩΝ – ΓΩΝΙΩΝ

Χρησιμοποιούμε τις παρακάτω μονάδες μέτρησης τόξων και γωνιών:

1. Τόξο ενός ακτινίου (1 rad ), λέγεται το τόξο u

που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα R του κύκλου.

Αν το μήκος ενός τόξου AB είναι s και το μέτρο του

σε ακτίνια α τότε:

s

αR

ή s α R .

Γωνία ενός ακτινίου ( 1 rad ), λέγεται η επίκεντρη

γωνία που βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου.

2. Τόξο μιας μοίρας ( o1 ), λέγεται ένα από τα 360 ίσα τόξα στα οποία χωρίζεται

ένας κύκλος .

Γωνία μιας μοίρας ( o1 ), λέγεται η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε τόξο μιας

μοίρας .

Είναι φανερό ότι ένα τόξο AB και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία του φ έχουν το ίδιο

μέτρο όταν μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει στην

μονάδα μέτρησης του τόξου.

Αν α , μ είναι το μέτρο ενός τόξου AB ( μιας γωνίας φ ) σε ακτίνια και μοίρες

αντίστοιχα τότε ισχύει ο τύπος:

α μ

π 180 .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1. Το μέτρο ενός κύκλου ( μιας πλήρους γωνίας ) είναι: 2π rad ή o360 .

2. Το μέτρο ενός ημικυκλίου ( μιας ευθείας γωνίας ) είναι: π rad ή o180 .

3. Το μέτρο ενός τεταρτοκυκλίου ( μιας ορθής γωνίας ) είναι: π

rad2

ή o90 .

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ι. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Έστω ω είναι μία οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (o90A ). Ορίζουμε

απεναντι καθετη πλευραημω

υποτεινουσα

προσκειμενη καθετη πλευρασυνω

υποτεινουσα

απεναντι καθετη πλευραεφω

προσκειμενη καθετη πλευρα

προσκειμενη καθετη πλευραεφω

απεναντι καθετη πλευρα .

Α

Β

u O



Επομένως από το διπλανό σχήμα έχουμε:

ΒΓ

ΑΓημω

ΒΓ

ΑΒσυνω

ΑΒ

ΑΓεφω

ΑΓ

ΑΒσφω

ΙΙ.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ

ΘΕΤΙΚΕΣ – ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΓΩΝΙΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ

ΠΛΗΡΗ ΓΩΝΙΑ

Στο καρτεσιανό επίπεδο xΟψ θεωρούμε ότι όλες οι γωνίες διαγράφονται από την

ημιευθεία Οx με περιστροφή γύρω από το Ο κατά την θετική φορά ( αντίθετη από

την περιστροφή των δεικτών του ρολογιού ) ή κατά την αρνητική φορά ( ίδια με την

περιστροφή των δεικτών του ρολογιού ).

Αν θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία ω με πλευρές Ox , Oz τότε:

Η ημιευθεία Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω και

Η ημιευθεία Οz λέγεται τελική πλευρά της γωνίας ω.

Μία γωνία λέγεται θετική όταν διαγράφεται από την ημιευθεία Ox με περιστροφή

γύρω από το Ο κατά την θετική φορά και αρνητική όταν διαγράφεται από την

ημιευθεία Ox με περιστροφή γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά .

Γωνία ο

μ ή α rad λέμε την θετική γωνία ˆxOz η οποία έχει μέτρο ομ ή α rad .

Γωνία ομ ή α rad λέμε την αρνητική γωνία ˆxOz η οποία έχει μέτρο ομ ή α rad .

Με τον προηγούμενο τρόπο ορίζονται γωνίες θετικές ή αρνητικές που έχουν μέτρο

μεγαλύτερο από το μέτρο της πλήρους γωνίας ( o360 ή 2π rad ), αρκεί η ημιευθεία

Ox να διαγράψει τουλάχιστον μία πλήρη περιστροφή.

Παραδείγματα

1. Γωνία o720 είναι η γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Ox όταν κάνει δύο πλήρης

περιστροφές κατά την θετική φορά .

Α Β

Γ

v

ω

O

ω

ψ΄

ψ

x΄ x

z



2. Γωνία o500 είναι η γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Ox όταν κάνει μία

πλήρη περιστροφή και κατόπιν διαγράφει γωνία o140 κατά την αρνητική φορά .

3. Γωνία 5π rad είναι η γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Ox όταν κάνει 2,5

περιστροφές κατά την θετική φορά .

4. Γωνία 3π rad είναι η γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Ox όταν κάνει 1,5

περιστροφές κατά την αρνητική φορά .

ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΑΡΧΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΛΙΚΗ ΠΛΕΥΡΑ

Θεωρούμε μία γωνία ω με αρχική πλευρά Οx και τελική πλευρά Oz . Αν η ημιευθεία

Οx , περιστραφεί κατά την θετική φορά , συμπληρώσει ν πλήρεις περιστροφές, *ν και στην συνέχεια διαγράψει την γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία

φ 2π ν ω ή oφ 360 ν ω που έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω.

Αν όμως η ημιευθεία Οx , περιστραφεί κατά την αρνητική φορά , συμπληρώσει ν

πλήρεις περιστροφές και στην συνέχεια διαγράψει την γωνία ω, τότε θα έχει

διαγράψει γωνία φ 2π ν ω ή oφ 360 ν ω που έχει την ίδια τελική πλευρά

με την γωνία ω.

Επομένως υπάρχουν άπειρες γωνίες φ που έχουν την ίδια αρχική και τελική πλευρά

με την γωνία ω. Όλες αυτές έχουν μορφή φ 2κπ ω ή oφ 360 κ ω , κ .

Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν δύο γωνίες ω , φ συνδέονται με μια σχέση της

μορφής φ 2κπ ω ή oφ 360 κ ω , κ , τότε η διαφορά τους φ ω είναι ίση

με 2π ή ο360 . Αφού έχουν την ίδια αρχική πλευρά Οx , θα έχουν και την ίδια τελική

πλευρά Oz .

Από τα προηγούμενα έχουμε :

Αν δύο γωνίες ω και φ έχουν την ίδια αρχική και τελική πλευρά τότε συνδέονται

με την σχέση:

φ 2κπ ω , κ ή φ 360κ ω , κ .

Και αντίστροφα αν ω , φ είναι δύο γωνίες που συνδέονται με την σχέση:

φ 2κπ ω , κ ή φ 360κ ω , κ .

τότε οι γωνίες ω και φ έχουν την ίδια αρχική και τελική πλευρά .


1. Δίνονται οι γωνίες: ο ο ο ο ο ο540 , 1120 , 1800 , 90 , 690 , 1960 . Να

παρασταθούν στη μορφή o360 κ ω , κ , όπου ω μη αρνητική γωνία μικρότερη

από ο360 .

2. Δίνονται οι γωνίες: 17π 36π 58π 79π 15π 125π

, , , , , 3 5 6 3 4 12

. Να παρασταθούν

στη μορφή 2κπ ω , κ , όπου ω μη αρνητική γωνία μικρότερη από 2 .


1. Αν x είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός τότε υπάρχει μοναδική γωνία η

οποία

Είναι θετική και έχει μέτρο x rad , αν x 0 .

Είναι αρνητική και έχει μέτρο x rad , αν x 0 .



2. Όλες οι γωνίες με τελική πλευρά Ox ή Ox έχουν μορφή κπ ή 180κ , κ ενώ

όλες οι γωνίες με τελική πλευρά Oψ ή Oψ έχουν μορφή π

κπ2

ή ο ο180 κ 90 ,

κ .

3. Όταν δεν αναφέρεται η μονάδα μέτρησης μιας γωνίας, θα εννοούμε μονάδα

μέτρησης το rad .

π.x

Όταν αναφέρουμε γωνία που αντιστοιχεί στον αριθμό 5 θα εννοούμε γωνία 5 rad .

4. Οι γωνίες που χρησιμοποιούμε σε καθημερινές εφαρμογές μετρούνται σχεδόν

πάντα σε μοίρες .

Οι γωνίες που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά ( Ανάλυση ) μετρούνται σχεδόν

πάντα σε ακτίνια .

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ

Έστω μια γωνία ω με αρχική πλευρά την Οx και τελική την Οz. Στην ημιευθεία Οz

παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο M x,ψ και έστω 2 2ρ OM x ψ .

Ορίζουμε: ψ

ημωρ

, x

συνωρ

, ψ

εφωx

με x 0 και x

σφωψ

με ψ 0 .

Οι αριθμοί ημω , συνω , εφω και σφω είναι ανεξάρτητοι από την θέση του σημείου Μ

πάνω στην ημιευθεία Οz, εξαρτώνται μόνο από την γωνία ω και λέγονται

τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

Αφού η γωνία ω και οι γωνίες φ 2κπ ω , κ ή oφ 360 κ ω , κ έχουν

την ίδια τελική πλευρά έχουμε:

ημ 2κπ ω ημω οημ 360 κ ω ημω

συν 2κπ ω συνω οσυν 360 κ ω συνω

εφ 2κπ ω εφω οεφ 360 κ ω εφω

σφ 2κπ ω σφω όπου κ οσφ 360 κ ω σφω όπου κ .

ή

O

ω

ψ΄

ψ

x΄ x

z

ρ

M(x,ψ)



ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος λέγεται ένας κύκλος με κέντρο τη αρχή O 0,0 ενός

( ορθοκανονικού ) συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ίση με την μονάδα

μήκους ρ 1 .

Έστω ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο

σημείο Μ(x,ψ). Αφού ρ ΟΜ 1 , έχουμε :

ημω ψ τεταγμένη του σημείου Μ

συνω x τετμημένη του σημείου Μ

ψεφω

x με x 0 και

xσφω

ψ με ψ 0

Άμεσες συνέπειες των προηγούμενων είναι ότι:

1. Το ημω και το συνω παίρνουν τιμές μεταξύ των αριθμών 1 και 1 . Δηλαδή για

οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν:

1 ημω 1 και 1 συνω 1 .

2. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών εξαρτώνται από το τεταρτημόριο στο

οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας ω και δίνονται στον παρακάτω πίνακα .

ημω

συνω

εφω

σφω

Μνημονικός κανόνας O H ΕΣ Σ

o1 o2 o3

ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

ΤΡΙΓΩΝ. ΑΡΙΘ. o4

O

ψ΄

ψ

x΄ x

Α ( 1,0) Α(1,0)

Β(0,1)

Β (0, 1)

ω M(x,ψ)

O

ψ΄

ψ

x΄ x




1. Οι γωνίες με τελική πλευρά Οx ή Οx΄ έχουν μορφή κπ ή 180κ, κ και η τελική

τους πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Α 1,0 ή 1,0

αντίστοιχα . Επομένως:

ημ κπ 0 ή οημ 180 κ 0 , κ .

Ειδικότερα: ημ0 ημπ 0 ή ο οημ0 ημ180 0 .

2. Οι γωνίες με τελική πλευρά Οψ ή Οψ΄ έχουν μορφή π

κπ2

ή ο ο180 κ 90 ,

κ και η τελική τους πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Β(0,1)

ή 0, 1 αντίστοιχα . Επομένως

πσυν κπ 0

2

ή ο οσυν 180 κ 90 0 , κ .

Ειδικότερα: π 3π

συν συν 02 2 ή ο οσυν90 συν270 0 .

3. Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι δεν ορίζεται:

Η εφαπτομένη των γωνιών π

ω κπ2

ή ο οω 180 κ 90 , κ .

Η συνεφαπτομένη των γωνιών ω κπ ή οω 180 κ , κ .

IV. ΟΙ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΩΝ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ

Θεωρούμε τις ευθείες ε , σ οι οποίες

εφάπτονται σ’έναν τριγωνομετρικό κύκλο στα

σημεία Α 1,0 και Β 0,1 αντίστοιχα .

Η ευθεία ε λέγεται ευθεία των εφαπτομένων

και η σ λέγεται ευθεία των συνεφαπτομένων.

Έστω ότι η τελική πλευρά Oz μιας γωνίας ω ή η

προέκταση της τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο

στο σημείο M(x,ψ) και την ευθεία των εφαπτομένων ε στο σημείο Ε1,ψ .

Τα τρίγωνα ΠΟΜ και ΑΟΕ είναι όμοια οπότε έχουμε:

ΠΜ ΑΕΑΕ

ΟΠ ΟΑ 1 .

Επειδή ΠΜ ημω , ΟΠ συνω και ΕΑΕ ψ η σχέση (1) γράφεται:

Ε

ημωψ

συνω

Ε

ημωψ

συνω Εεφω ψ (2).

Όμως οι αριθμοί εφω και Εψ είναι ομόσημοι και συγκεκριμένα θετικοί αν το Μ

βρίσκεται στο ο1 ή ο3 τεταρτημόριο και αρνητικοί αν το Μ βρίσκεται στο ο2 ή ο4

τεταρτημόριο. Επομένως από την σχέση (2) έχουμε:

ε

O

ψ΄

ψ

x΄ x

σ

Α

Β



Εεφω ψ τεταγμένη του σημείου Ε .

Αν ότι η τελική πλευρά Oz μιας γωνίας ω τέμνει την ευθεία των συνεφαπτομένων σ

στο σημείο ΣΣ( x ,1 ) , όμοια αποδεικνύεται ότι:

Σσφω x τετμημένη του σημείου Σ .

V. ΓΝΩΣΤΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί : οπ 30

6, οπ

454

, οπ 60

3.

Είναι γνωστοί από τις προηγούμενες τάξεις και δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ε

O

ψ΄

ψ

x΄ x

σ

Α

Β

ΕΕ 1,ψ

ΣΣ x ,1

ω

ε

O

ψ΄

ψ

x΄ x

σ

Α

Β

ΕΕ 1,ψ

ΣΣ x ,1

ω

ε ψ΄

ψ

x΄ x

σ

Α

Β

ΕΕ 1,ψ

ΣΣ x ,1

ω

ε

O

ψ΄

ψ

x΄ x

σ

Α

Β

ΕΕ 1,ψ

ΣΣ x ,1

ω



2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί: ο0 0 , οπ 90

2, οπ 180 , ο3π

2702

Η τελική πλευρά της γωνίας ο0 0 τέμνει τον

τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Α 1,0 .

Η τελική πλευρά της γωνίας οπ 90

2τέμνει τον

τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Β 0,1 .

Η τελική πλευρά της γωνίας οπ 180 τέμνει τον

τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Α 1,0 .

Η τελική πλευρά της γωνίας ο3π 270

2τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο

σημείο Β 0, 1 .

Επομένως έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

Γωνία ω

σε rad π

6

π

4

π

3

σε μοίρες ο30 ο45 ο60

Τριγωνομετρικοί

αριθμοί

ημω 1

2

2

2

3

2

συνω 3

2

2

2

1

2

εφω 3

3 1 3

σφω 3 1 3

3

Γωνία ω Σε rad 0

π

2 π

3π

2

Σε μοίρες ο0 ο90 ο180 ο270

Τριγωνομετρικοί

αριθμοί

ημω 0 1 0 1

συνω 1 0 1 0

εφω 0 Δεν

ορίζεται 0

Δεν

ορίζεται

σφω Δεν

ορίζεται 0

Δεν

ορίζεται 0

O

ψ΄

ψ

x΄ x

Α ( 1,0) Α(1,0)

Β(0,1)

Β (0, 1)



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

1. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: ο2940 και ο6090 .

2. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: 79π

3 και

103π

4 .

3. Αν 12α π , να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

Α ημ2α συν3α εφ4α σφ6α .

4. Αν μ και Μ είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης:

4συνx 1

f x3

,

να βρεθεί το άθροισμα μ Μ .

5. Να απλοποιηθεί η παράσταση: 1 συνx 1 ημx

Βσυνx 1 ημx 1

.



ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε:

(i) Πόσες μοίρες είναι το 1rad (ii) Πόσα rad είναι 1 μοίρα .

2. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι παρακάτω γωνίες:

π

3,

π

4,

π

6,

π

2, π ,

3π

2,

π

2 , π ,

3π

2 .

3. Να βρείτε πόσα rad είναι οι παρακάτω γωνίες: ο30 , ο45 , ο60 , ο90 , ο120 , ο180 , ο270 , ο30 , ο45 , ο60 , ο90 , ο180 , ο270 ,

ο360 , ο720 .

4. Να βρείτε σε ακτίνια και σε μοίρες τις γωνίες που δίνονται στα παρακάτω

σχήματα:

5. Δίνονται οι γωνίες: 7π

3,

17π

4,

37π

6,

21π

2, 17π ,

23π

2, 108π ,

35π

3 ,

7π

4 ,

35π

6

, 23π

2 , 206π , 39π ,

57π

2 . Να παρασταθούν στη μορφή 2κπ θ όπου κ

και θ θετικός αριθμός μικρότερος από 2π .

6. Δίνονται οι γωνίες: ο2880 , ο750 , ο405 , ο1140 , ο1890 , ο3060 , ο2430 , ο2850 , ο1740 , ο990 , ο900 , ο1170 . Να παρασταθούν στη μορφή ο360κ θ όπου κ

και θ θετικός αριθμός μικρότερος από ο360 .

7. Σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο που τέμνει τον ημιάξονα Ox στο σημείο Α είναι

εγγεγραμμένο το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ.

(i) Να βρείτε σε ακτίνια και μοίρες τις θετικές επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στα

τόξα: ΑΒ , ΑΓ .

(ii) Να βρείτε σε ακτίνια και μοίρες τις αρνητικές επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στα

τόξα: ΑΒ , ΑΓ .

8. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες αληθεύει η ισότητα:

(i) α

ημxα 1

(ii) α 2

συνx2α 1

.

9. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες αληθεύει η ισότητα: 2συνx α α 1 .

10. Η τελική πλευρά μιας γωνίας φ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ.

Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ όταν:

x x

ψ

ψ

x x

ψ

ψ

(ii) (i)



(i) 3 4

Μ ,5 5

(ii) 4 3

Μ ,5 5

(iii) 1 3

Μ ,2 2

(iv) 3 1

Μ ,2 2

.

11. Οι γωνίες θ , ω δίνονται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε

το άθροισμα εφθ σφω .

12. Να βρείτε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς :

(i) 13π

ημ6

(ii) 43π

ημ2

(iii) 23π

συν2

(iv) 19π

εφ3

(v) 11π

σφ4

.

13. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών:

(i) ο1485 (ii) ο1020 (iii) 199π

3 (iv)

215π

6 .

14. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

π πημ εφ0 συνπ σφ

2 2Α3π π

ημ εφπ συν0 σφ2 2

,

3π

εφ2κπ συν 2κπ π ημ 2κπ2

Β3π π

σφ 2κπ ημ 2κπ2 2

.

15. Αν 6α π , να βρείτε την τιμή του κλάσματος ημα 2ημ2α ημ3α

συνα 2συν2α συν3α

.

16. Αν f x 4ημ2x 2συνx , να βρείτε το 47π

f6

.

17. Να βρείτε την μεγαλύτερη και την μικρότερη τιμή των παραστάσεων:

Α 3ημx 2 Β 1 2συνx 3

Γ2 συνx

8

Δ3 ημx

.

18. Αν 5ημ3x 2α 7 , να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει ο α .

θ ω



2.2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ 1 ( ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ )

Για κάθε x ισχύει: 2 2ημ x συν x 1 .

Απόδειξη Έστω Μ το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά

της γωνίας x τέμνει τον τριγωνομετρικό

κύκλο. Τότε

ΟΠ ημx και ΟΡ συνx .

Επομένως 2 2ημ x συν x 2 2ημ x συν x

2 2ημx συνx

2 2ΟΠ ΟΡ

2 2

ΟΠ ΠΜ 2

ΟΜ 21 1.

ΠΟΡΙΣΜΑ 1 Για κάθε x ισχύουν:

(i) 2 2ημ x 1 συν x ή 2ημx 1 συν x

(ii) 2 2συν x 1 ημ x ή 2συνx 1 ημ x .

ΘΕΩΡΗΜΑ 2

(i) Για κάθε π

x A κπ , κ2

ισχύει:

ημxεφx

συνx

(ii) Για κάθε x A κπ, κ ισχύει: συνx

σφxημx

.

ΘΕΩΡΗΜΑ 3

Για κάθε π

x A κπ, κπ , κ2

ισχύει: εφx σφx 1 .

Απόδειξη

Για κάθε x A ορίζεται η εφx και η σφx και έχουμε: ημx συνx

εφx σφx 1συνx ημx

.

ΠΟΡΙΣΜΑ 2

Για κάθε π

x A κπ, κπ , κ2

ισχύουν:

(i) 1

εφxσφx

(ii) 1

σφxεφx

ΘΕΩΡΗΜΑ 4

Για κάθε π

x A κπ , κ2

ισχύουν:

(i) 2

2

1συν x

1 εφ x

(ii)

22

2

εφ xημ x

1 εφ x

.

M ημx,συνx

x x x

ψ

ψ΄

O



Απόδειξη Για κάθε x A ορίζεται η εφx και είναι συνx 0 .

(i) Από το βασικό θεώρημα έχουμε:

2 2ημ x συν x 1 2

2 2

ημ x 11

συν x συν x 2

2

1εφ x 1

συν x 2

2

1συν x

1 εφ x

.

(ii) Επίσης από το βασικό θεώρημα έχουμε:

2 2ημ x συν x 1 2 2ημ x 1 συν x 2

2

1ημ x 1

1 εφ x

22

2

1 εφ x 1ημ x

1 εφ x

22

2

εφ xημ x

1 εφ x

.

ΠΟΡΙΣΜΑ 3

Για κάθε π

x A κπ , κ2

ισχύουν:

(i) 2

1συνx

1 εφ x

(ii)

2

εφxημx

1 εφ x

.

Σχόλιο

Στις προηγούμενες περιπτώσεις επιλέγουμε το πρόσημο ή το πρόσημο ανάλογα

με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας x .

Παρατήρηση

Στην τριγωνομετρία είναι πολλές φορές χρήσιμες οι ταυτότητες:

1. 22 2α β α β 2αβ 2.

33 3α β α β 3αβ α β .




1. Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x όταν 3

ημx5

και 3π

π x2

.

2. Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x όταν 9

εφx40

και π

x π2 .

3. Αν π

0 x2

και 2ημx συνx 1 , να βρεθεί το ημx .

4. Αν π

0 x2

και

2 2

2

ημ x συν x 1

2ημx συνx

, να υπολογιστεί το ημx .

5. Να απλοποιηθεί η παράσταση: 2 2

2 2

7 5ημ x συν x

3ημ x 2συν x 1

.

6. Να αποδειχθεί ότι: συνx ημx

ημx συνx1 εφx 1 σφx

.

7. Αν π

x π2 και 2 2εφ x σφ x 2εφx 2σφx 1 0 , να αποδειχθεί ότι:

2 2εφ x σφ x 7 .

8. Αν π

x π2 , x συνθ και ψ ημθ να απλοποιηθεί η παράσταση:

3 2 2 3

1 2xψΠ

x x ψ xψ ψ

.

9. Αν 3π

x 2π2 , να αποδειχθεί ότι:

1 συνx 1 συνx 2

1 συνx 1 συνx ημx

.

10. Αν η εξίσωση 24x 3x λ 0 έχει ρίζες

1x συνα και

2x ημα , να

αποδειχθεί ότι 7

λ8

.

11. Να αποδειχθεί ότι η παράσταση: 6 6 4 43Α ημ x συν x ημ x συν x

2 έχει

σταθερή τιμή ανεξάρτητη από το x .




1. Να βρείτε το λ , ώστε να υπάρχει γωνία ω για την οποία να ισχύει:

(i) 2λ 1

ημωλ 3

και

λ 2συνω

λ 3

(ii)

λεφω

2 και σφω λ 1 .

Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών

2. Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x όταν:

(i) 3

ημx5

και π

0 x2

(ii) 4

συνx5

και π

x π2 .


(i) 3

εφx4

και 3π

π x2

(ii) 12

σφx5

και 3π

x 2π2 .


(i) 12

ημx13

και 3π

x 2π2 (ii)

5εφx

4 και

πx π

2 .

5. Αν εφx 2 , να βρείτε την τιμή της παράστασης: 23συν x ημx συνx .

6. Αν το συνω είναι ρίζα της εξίσωσης 22x 5x 2 0 και 3π

π ω2

, να βρείτε

την τιμή της παράστασης:

2συνω 3ημωΒ

εφω σφω

.

7. Αν η εφω είναι ρίζα της εξίσωσης 2x 1 3 x 3 0 και π

ω π2 , να

βρείτε την τιμή της παράστασης:

συνω 1 ημω 1Γ

1 11 1

ημω συνω

.

8. Αν 3π

π x2

και 3ημx 2συνx

22ημx συνx

, να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς

της γωνίας x .

9. Αν 3π

π x2

και 1 3

ημx συνx2

,

πx π

2 να βρείτε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x.

10. 66. Αν 1

σφω 5ημω

και π

ω π2 να βρείτε την τιμή της παράστασης:

Π 39ημω 26συνω 12εφω 15σφω .

Απλοποίηση παραστάσεων

11. Αν π π

x4 2 και

1ημx συνx

2 , να δείξετε ότι: 3 3 5 2

ημ x συν x8

.



12. Αν εφx σφx 3 , δείξετε ότι: 3 3εφ x σφ x 18 .

13. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

(i) 2ημ α

συνα 1 (ii) 2 21 συν α ημ α .


(i) 2 23 ημ α συν α (ii) 2 2

ημα συνα ημα συνα .


(i) 4 4 2 2ημ α συν α ημ α συν α (ii) 2

2

2ημ α 1

1 2συν α

.


(i) 2 2

2

1εφ α ημ α

συν α (ii)

2 2

2 2

ημ α εφ α

συν α σφ α

.


(i) 2

2

1 ημ α1

1 συν α

(ii)

1 1εφα εφα

συνα συνα

.

Ταυτότητες

18. Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

(i) 2

2

2

συν α 1εφ α

ημ α 1

(ii)

5συνα 4 3 5ημα0

3 5ημα 4 5συνα

.


(i) 2 2

1 11

ημ α εφ α (ii)

1 ημα συνα

συνα 1 ημα

.


(i) 2

2 2 2

1 εφ α 1

ημ α συν α εφ α 1

(ii)

ημα συνα εφα 1

ημα συνα εφα 1

.


(i) 2 2 2 2εφ α ημ α εφ α ημ α (ii) εφα σφβ εφα

σφα εφβ εφβ

.


(i) 2

2 2

2

1 εφ α1 2ημ α 2συν α 1

1 εφ α

(ii)

συνx 1εφx

1 ημx συνx

.


(i) ημα 1 συνα 2

1 συνα ημα ημα

(ii) 4 2 2 2ημ α ημ α συν α συν α 1 .




(i) εφx ημx 1 συνx

εφx ημx 1 συνx

(ii)

3 2

εφx ημx 1

ημ x συνx συν x

.

25. Να αποδείξετε την ταυτότητα: 2 2

6

2 2

ημ α εφ αεφ α

συν α σφ α

.


(i) 2

εφα σφα 2 εφα 1

εφα σφα 2 εφα 1

(ii)

2

1 ημα συνα 1 ημα συνα2

ημ α ημα

.

27. Να αποδείξετε ότι: 1 ημ18

εφ18 1ημ18 1 συν18

.

28. Να αποδείξετε ότι: 1 1

1 σφω 1 εφω 2ημω συνω

.

29. Να αποδείξετε ότι: 2 2 2 2 2 2ημ α συν β συν α ημ β ημ α ημ β .


ημα συνβ συνα ημβ συνα συνβ ημα ημβ 1 .

31. Αν π

0 x2

, να αποδειχθεί ότι: 1 συνα 1 συνα 2

1 συνα 1 συνα ημα

.

32. Αν ημx συνx α , α 1 να υπολογίσετε συναρτήσει του α τις παραστάσεις:

(i) ημx συνx (ii) εφx σφx (iii) 3 3ημ x συν x (iv) 4 4ημ x συν x .


3 3

2 2

εφ α 1 σφ αεφ α σφ α

ημ α ημασυνα συν α .


3

ημx συνxεφ x εφ x εφx 1

συν x

.

35. Να αποδείξετε ότι:

2 2

2 21 1ημω συνω 7 εφ ω σφ ω

ημω συνω

.



2.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ

I. ΓΩΝΙΕΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ

Οι τελικές πλευρές των αντίθετων γωνιών x και x τέμνουν τον τριγωνομετρικό

κύκλο στα σημεία Μ, Μ΄ αντίστοιχα τα οποία είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα

xx΄. Επομένως

ημ x ημx

συν x συνx

εφ x εφx

σφ x σφx

Δηλαδή

Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους όλους τους άλλους

τριγωνομετρικούς αριθμούς.

II. ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ π ή 180ο

Οι τελικές πλευρές των παραπληρωματικών γωνιών x και π x τέμνουν τον

τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ, Μ΄ αντίστοιχα τα οποία είναι συμμετρικά ως

προς τον άξονα ψψ΄. Επομένως

ημ π x ημx

συν π x συνx

εφ π x εφx

σφ π x σφx

Δηλαδή

Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους όλους τους

άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

III. ΓΩΝΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ π ή 180ο

Οι τελικές πλευρές των παραπληρωματικών γωνιών x και π x τέμνουν τον

τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ , Μ αντίστοιχα τα οποία είναι συμμετρικά ως

προς την αρχή Ο των αξόνων. Επομένως

ημ π x ημx

συν π x συνx

εφ π x εφx

σφ π x σφx

ψ

x

x M(α,β)

M (α, β)

x x

ψ z

z

ψ

π x x

M(α,β) M ( α,β)

x x

ψ

z z

ψ

π x x

M(α,β)

M ( α, β)

x x

ψ

z

z



Δηλαδή

Οι γωνίες με διαφορά π έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη και

αντίθετο το ημίτονο και το συνημίτονο.

IV. ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ π2

ή 90ο

Οι τελικές πλευρές των συμπληρωματικών γωνιών π

x και x2 τέμνουν τον

τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ, Μ΄ αντίστοιχα τα οποία είναι συμμετρικά ως

προς την διχοτόμο του ου1 και του ου3 τεταρτημορίου. Επομένως

π

ημ x συνx2

πσυν x ημx

2

πεφ x σφx

2

πσφ x εφx

2

Δηλαδή

Οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν το ημίτονο της μιας ίσο με το συνημίτονο της

άλλης και την εφαπτομένη της μιας ίση με την συνεφαπτομένη της άλλης.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π

x2 από τους


Λύση

Επειδή π π

x x2 2 , έχουμε:

πημ x

2

πημ x

2

συν x συνx

πσυν x

2

πσυν x

2

ημ x ημx

πεφ x

2

πεφ x

2

σφ x σφx

πσφ x

2

πσφ x

2

εφ x εφx .

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 3π

x2 από τους


ψ

πx

2

x

M

M x x

ψ

z

z



Λύση

Επειδή 3π π

x π x2 2

, έχουμε:

. 3π π π

ημ x ημ π x ημ x συνx2 2 2

.

3π π πσυν x συν π x συν x ημx

2 2 2

.

3π π πεφ x εφ π x εφ x σφx

2 2 2

.

3π π πσφ x σφ π x σφ x εφx

2 2 2

.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3

Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 3π

x2 από τους


Λύση

Επειδή 3π π

x 2π x2 2

, έχουμε:

3π π π πημ x ημ 2π x ημ x ημ x συνx

2 2 2 2

.

3π π π πσυν x συν 2π x συν x συν x ημx

2 2 2 2

.

3π π π πεφ x εφ 2π x εφ x εφ x σφx

2 2 2 2

.

3π π π πσφ x σφ 2π x σφ x σφ x εφx

2 2 2 2

.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

1. Οι γωνίες π

ω2 και

3πω

2 έχουν ημίτονο ίσο ή αντίθετο με το συνημίτονο,

συνημίτονο ίσο ή αντίθετο με το ημίτονο της γωνίας ω και εφαπτομένη ίση ή

αντίθετη με την συνεφαπτομένη, συνεφαπτομένη ίση ή αντίθετη με την εφαπτομένη

της γωνίας ω.

2. Οι γωνίες π ω και 2π ω ( 0 ω ) έχουν ημίτονο ίσο ή αντίθετο με το ημίτονο,

συνημίτονο ίσο ή αντίθετο με το συνημίτονο της γωνίας ω και εφαπτομένη ίση ή

αντίθετη με την εφαπτομένη, συνεφαπτομένη ίση ή αντίθετη με την συνεφαπτομένη

της γωνίας ω.



Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά

της γωνίας π

ω2 ,

3πω

2 , π ω , 2π ω , αν θεωρήσουμε ότι η τελική πλευρά της

γωνίας ω βρίσκεται στο ο1 τεταρτημόριο.

ΤΥΠΟΙ ΑΝΑΓΩΓΗΣ

ημ ω ημω

συν ω συνω

εφ ω εφω

σφ ω σφω

πημ ω συνω

2

πσυν ω ημω

2

πεφ ω σφω

2

πσφ ω εφω

2

πημ ω συνω

2

πσυν ω ημω

2

πεφ ω σφω

2

πσφ ω εφω

2

3πημ ω συνω

2

3πσυν ω ημω

2

3πεφ ω σφω

2

3πσφ ω εφω

2

3πημ ω συνω

2

3πσυν ω ημω

2

3πεφ ω σφω

2

3πσφ ω εφω

2

ημ π ω ημω

συν π ω συνω

εφ π ω εφω

σφ π ω σφω

ημ π ω ημω

συν π ω συνω

εφ π ω εφω

σφ π ω σφω

ημ 2π ω ημω

συν 2π ω συνω

εφ 2π ω εφω

σφ 2π ω σφω




1. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 2 213π 3π π 7π

εφ εφ ημ ημ38 19 9 18

.

2. Αν A , B , Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ , να απλοποιηθεί το κλάσμα:

2 2Α Β Γσυν συν

2 2

Α Β Γσφ σφ

2 2

.

3. Αν για τις οξείες γωνίες A , B ισχύουν οΑ Β 30 και

3συν 3Α 2Β

5 , να

βρεθεί η εφΒ .

4. Να αποδειχθεί ότι: ο

ο

ο

συν3799εφ71 0

συν3851 .

5. Στο διπλανό σχήμα έχουμε Α 2,7 , Β 3, 5 και

ΑΓΟ θ . Να βρεθεί το ημθ .

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ είναι ΑΓ 12 και

ΒΓ 5 . Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

2 2 2

ΑΒ ΑΓ ΒΓ 144 25 169 , οπότε ΑΒ 13 .

ΒΓ 5ημα

ΑΒ 13

Επειδή θ 180 α έχουμε: ο 5ημθ ημ 180 α ημα

13 .

6. Αν π

θ π2 και

3εφθ

4 , να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

3π

Α συν π θ εφ θ2

.

7. Να απλοποιηθεί η παράσταση:

π 3πημ α συν α εφ π α

2 2A

3π πημ α συν α εφ π α

2 2

.

ψ΄

ψ

x΄ x

θ

Α

Β

Γ

2

7

5

3

α

α

Γ

ψ΄

ψ

x΄ x

θ

Α

Β

Γ

2

7

5

3

Ο



8. Να υπολογιστεί η παράσταση:

31π 19πημ σφ

6 4Α

35π 28πσυν εφ

4 3

.

9. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται στους

δύο κύκλους με κέντρα K και Λ . Αν ΚΜ 9 ,

ΛΝ 4 και ΚΛΝ x , να βρεθεί το συνx .

Κ

Λ

Μ Ν

x ε




Πολλαπλής επιλογής

1. Με ποιο από τα παρακάτω δεν είναι ίσο το οσυν10 :

Α. οημ80 Β. οημ100 Γ. οσυν 10 Δ. οσυν170 Ε. οσυν350 .

2. Με ποιο από τα παρακάτω είναι ίσο το οημ260 :

Α. οημ80 Β. οημ 80 Γ. οσυν350 Δ. οσυν10 Ε. οσυν170 .

3. Αν Α , Β , Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ , τότε ποια τις παρακάτω ισότητες ποια

δεν είναι αληθής;

Α. ημΑ ημ Β Γ Β. σφΒ σφ Α Γ Γ. συνΓ συν Α Β

Δ. Α Β Γ

εφ σφ2 2

Ε.

Α Β 1συν 1

2 Γημ

2

.

4. Ποιο από τα παρακάτω είναι μεγαλύτερο:

Α. οημ300 Β. συν 210 Γ. οεφ240 Δ. ο

1

ημ120 Ε.

ο

1

συν60.

Υπολογισμός Τριγωνομετρικών αριθμών

5. Να βρείτε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς:

(i) οημ150 , οσυν120 , οεφ150 , οσφ135 (ii) οεφ300 , οημ315 , οσυν330 , οσφ330 .

6. Να βρείτε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς:

(i) 7π

ημ6

, 5π

συν6

, 4π

εφ3

, 5π

σφ3

(ii) 3π

εφ4

, 5π

ημ4

, 7π

συν6

, 4π

σφ3

.

7. Αν Α , Β , Γ είναι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι:

(i) ημ Β Γ ημΑ (ii) Β Γ Α

συν ημ2 2

(iii) 2 2Α Β Γσυν συν 1

2 2

(iv)

Β Γ Αεφ εφ 1

2 2

8. Αν Α , Β , Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ , να βρείτε την τιμή του κλάσματος::

2 2

2 2

ημ Α συν Β ΓK

ημ Β συν Α Γ

. 1

Απλοποίηση Παρατάσεων


(i)

17πημ α συν α 5π

2

5πημ α

2

(ii)

ημ 91π θ ημ 90π θ

πημ θ συν θ

2

.




(i)

3π πημ x συν x

ημ x συν π x 2 2

π2ημ π x2συν x

2

(ii)

3π 5πημ x ημ x

2 2

3π 5πσυν x συν x

4 4

.


(i)

ο

ο

συν 1740

εφ 7410

(ii)

ο ο ο

ο ο ο

συν10 ημ210 ημ260

εφ35 συν 300 σφ305

.


(i)

11πσυν x

2

9πσφ x

2

(ii)

49πσυν α ημ α

2

3πημ α ημ π α

2

.


(i)

ο ο ο

ο ο ο

ημ 180 α εφ 270 α συν α 360

εφ 180 α εφ 90 α εφ 270 α

(ii)

3π π πημ α εφ π β σφ α ημ γ

2 2 2

σφ π β συν π α συν π γ εφ α

.

Υπολογισμός τιμής παράστασης

14. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

(i) 2 ο ο ο 2 οεφ 210 2ημ120 εφ45 εφ120 συν 30 (ii)

πσυν θ

ημ π θ 2

1 1σφθ σφθ

ημθ ημθ

.


(i) 2 2 27π 2π 4π 7πημ εφ συν 4σφ

6 3 3 4 (ii)

ο

ο ο

1 συν240

συν150 εφ300

(iii) 2 ο 2 οημ 18 ημ 72

7π 17πσφ εφ

24 24

.




(i) ο ο οημ 210 συν70 ημ340

(ii) 7π 3π

συν π x ημ x εφ x σφ π x2 2

.

17. Αν 3

συνα5

και 3π

π α2

, να βρείτε την τιμή της παράστασης:

πεφ 2π α ημ α

2Α

3πσφ π α συν α

2

.

18. Αν 3

ημx4

και π

x 0,2

, να βρείτε το 13π

ημ x2

.

19. Αν η γωνία o1830 είναι θ rad και

13π π

g x ημ x 7π συν x ημ x2 6

,

να βρείτε το g θ .

20. Αν Α , Β είναι εσωτερικές γωνίες τριγώνου ΑΒΓ , οΑ Β 36 και

3συν 5Α 4Β

5 , να βρείτε την

πεφ Β

2

.

21. Αν 6x π , να βρείτε την τιμή του κλάσματος συν8x συν2x

ημ6x ημ4x

.

22. Αν 3π

3συν π α 4συν α 02

, να βρείτε την

πεφ α

2

.

23. Αν Α , Β , Γ είναι γωνίες τριγώνου ΑΒΓ , να βρείτε την τιμή του κλάσματος:

εφ Α Β εφΑK

εφ Β Γ εφΓ

.



2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται κάθε ισότητα της μορφής f x g x , όπου f x ,

g x είναι δύο παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικές εκφράσεις της

μεταβλητής x

Η λύση όλων των τριγωνομετρικών εξισώσεων, με κατάλληλους μετασχηματισμούς,

ανάγεται στην λύση μιας βασικής εξίσωσης της μορφής:

ημx ημθ ή συνx συνθ ή εφx εφθ ή σφx σφθ ,

όπου θ είναι γνωστή γωνία.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

I. Η ΕΞΙΣΩΣΗ: ημx ημθ

Θεωρούμε την εξίσωση ημx ημθ , όπου θ είναι

γνωστή γωνία. Επειδή

ημθ ημ π θ , έχουμε ημθ ημ 2κπ θ και

ημ π θ ημ 2κπ π θ , κ , οπότε

συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται

από τους τύπους:

x 2κπ θ ή x 2κπ π θ , κ

II. Η ΕΞΙΣΩΣΗ συνx συνθ

Θεωρούμε την εξίσωση συνx συνθ , όπου θ είναι

γνωστή γωνία. Επειδή

συνθ συν θ , έχουμε συνθ συν 2κπ θ και

συν θ συν 2κπ θ , κ , οπότε

συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται

από τους τύπους:

x 2κπ θ ή x 2κπ θ , κ

III. Η ΕΞΙΣΩΣΗ εφx εφθ

Θεωρούμε την εξίσωση εφx εφθ , όπου θ είναι

γνωστή γωνία. Επειδή εφθ εφ π θ , έχουμε

εφθ εφ 2κπ θ και

εφ π θ εφ 2κπ π θ , κ , οπότε

συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης

δίνονται από τον τύπο:

x κπ θ , κ

ψ

π θ θ

M(α,β) M ( α,β)

x x

ψ

z z

ψ

x

x M(α,β)

M (α, β)

x x

ψ z

z

ψ

π x x M(α,β)

M ( α, β)

x x

ψ

z

z



III. Η ΕΞΙΣΩΣΗ σφx σφθ

Θεωρούμε την εξίσωση σφx σφθ , όπου θ είναι

γνωστή γωνία. Όπως προηγούμενα

συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης

δίνονται από τον τύπο:

x κπ θ , κ

Ανακεφαλαίωση Ισχύουν οι τύποι:

ημx ημθ x 2κπ θ ή x 2κπ π θ , κ

συνx συνθ x 2κπ θ , κ

εφx εφθ x κπ θ , κ

σφx σφθ x κπ θ , κ .

Στα προηγούμενα θεωρήσαμε ότι η γνωστή γωνία είναι θ rad .Όταν η γνωστή γωνία

είναι oθ , τότε οι προηγούμενοι τύποι γίνονται:

o oημx ημθ x 360κ θ ή ο o

x 360κ 180 θ , κ

o oσυνx συνθ x 360κ θ , κ

o oεφx εφθ x 180κ θ , κ

o oσφx σφθ x 180κ θ , κ .

Παραδείγματα Να λυθούν οι εξισώσεις

1. π

ημx ημ3

2. 2π

συνx συν6

3. π

εφx εφ4

4. 3π

σφx σφ4

5. οημx ημ30 6. οσυνx συν65 7. οεφx εφ120 8. οσφx σφ20 .

ΑΠΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Λέγονται οι εξισώσεις της μορφής: ημx α , συνx α , εφx α , σφx α , όπου α

είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Για να λύσουμε τις εξισώσεις αυτές βρίσκουμε μια γνωστή γωνία θ , τέτοια ώστε:

ημθ α , συνθ α , εφθ α , σφθ α

Επομένως οι εξισώσεις γράφονται στη μορφή ημx ημθ , συνx συνθ , εφx εφθ ,

σφx σφθ που γνωρίζουμε τη λύση τους.

ψ

π x x M(α,β)

M ( α, β)

x x

ψ

z

z




Να λυθούν οι εξισώσεις:

(i) 1

ημx2

(ii) 2

ημx2

(iii) 3

συνx2

(iv) 1

συνx2

(v) εφx 3 (vi) 3

εφx3

(vii) σφx 1 (viii) σφx 3 .

ΑΛΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε μια

τριγωνομετρική εξίσωση ανάλογα με την μορφή της. Θα αναφέρουμε μερικούς από

αυτούς.

Λύση εξίσωσης με παραγοντοποίηση Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: 2συνx συν2x συνx

Λύση εξίσωσης με τους τύπους αναγωγής στο α τεταρτημόριο Παράδειγμα

Να λυθεί η εξίσωση: π

ημx συν x 06

Λύση εξίσωσης με αλλαγή μεταβλητής Παράδειγμα

Να λυθεί η εξίσωση: 22ημ x ημx 1 0

Λύση ομογενούς εξίσωσης

Παράδειγμα

Να λυθεί η εξίσωση: 2 23ημ x 3 3 ημxσυνx 3συν x 0 .




1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

(i) 2ημx 1 0 (ii) 2συνx 2 (iii) 3εφx 3 0 (iv) σφx 1 0 .


(i) 2ημx 3 0 (ii) 2συνx 1 0 (iii) εφx 3 0 (iv) 3σφx 3 0 .


(i) 2

ημ3x2

(ii) x π

2συν 1 03 6

(iii) εφ3x εφx 0

(iv) εφ4x σφ2x 0 .

4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις :

(i) 24ημ x 3 0 (ii) 2 2ημ 3x ημ x 0 (iii) 2 2εφ 3x εφ 2x 0

(iv) 2 2εφ 5x σφ 2x 0 .

5. Να λυθεί η εξίσωση: 2ημx συν2x 1 2συν2x ημx 0 .

6. Να λυθεί η εξίσωση: 21 ημ 3x συν 3x 1

2 4 4

.


(i) 22συν x ημx 2 0 (ii) εφ3x σφx 1

(iii) 2 22συν x 1 2ημ x (vi) 2

2

13εφ x 1

συν x .


(i) 2συν x 1 ημx συνx (ii) 22συν x ημx 1 0

(iii) 3 22ημ x 7ημ x 7ημx 2 0 (vi) 2σφ x 1 3 σφx 3 0 .


(i) ημx συνx 0 (ii) 3ημx 3συνx 0

(iii) 2 23συν x 4 3συνx ημx 3ημ x 0 .

10. Για ποιες τιμές του θ η εξίσωση 2x 4 ημθ x 3 0 έχει δύο ρίζες

ίσες.





(i) 3

ημx2

(ii) 1

συνx2

(iii) 2

ημx2

(iv) 3

εφx3

(v) σφx 3 .


(i) x 3

ημ3 2 (ii)

1συν2x

2 (iii)

xεφ 3

2 (iv)

3σφ3x

3 (v)

xσφ 1

3 .


(i) 1

ημx2

(ii) 3

συνx2

(iii) εφx 3 (iv) 3

σφx3

(v) εφx 1 .


(i) 3

ημ2x2

(ii) x 1

συν2 2 (iii) 2ημx 2 0 (iv) 2συνx 1 0

(v) 3εφx 1 0 (vi) σφx 3 0 .


(i) ημx 0 (ii) συνx 0 (iii) ημx 1 (iv) συνx 1

(v) εφx 0 (vi) σφx 0 .


(i) 1

ημ3x2

(ii) 2συν4x 1 (iii) x 3

ημ2 2 (iv)

2x 1συν

3 2

(v) 3

εφ 2x3

(vi) x

σφ 12 .


(i) π

2ημ x 13

(ii)

π 1συν 2x

4 2

(iii)

x π 3ημ

3 2 2

(iv) π

συν 3x 16

(v)

π3εφ x 3

6

(vi)

x πσφ 1

2 3

.


(i) π

2ημ 3x 14

(ii)

π2συν 2x 3

3

(iii)

x π 3ημ

3 2 2

(iv) π

συν 3x 16

(v)

π3εφ x 3

6

(vi)

x πσφ 1

2 3

.


(i) ημ7x ημ2x (ii) συν4x συν3x (iii) ημ9x ημ6x 0

(iv) συν5x συν2x 0 (v) εφ5x εφ2x (vi) εφ6x εφ2x 0 .




(i) ημx συν2x (ii) συν3x ημ2x 0 (iii) ημ4x ημx 0

(iv) συν5x ημ2x 0 (v) εφ5x εφ4x 1 (vi) π

εφ x σφ3x 06

.


(i) 2 2ημ 3x ημ x (ii) 2 2συν 6x ημ 2x 0 (iii) 2 2εφ 3x εφ x 0 .


(i) 24ημ 2x 1 (ii) 24συν 3x 3 0 (iii) 23εφ 2x 1 0 (iv) 22σφ x 6 0 .


(i) ημx συνx 0 (ii) ημx συνx 0 (iii) εφx σφx 0 (iv) εφx σφx 0

(v) ημ3x ημx 0 (vi) ημ4x συν2x 0 .


(i) 2 2ημ 3x συν 3x 0 (ii) 4ημx συνx 2ημx 2 2συνx 2 0

(iii) εφ2x σφx 1 (iv) εφ3x εφx 1 .


(i) 3συν 2x συν2x 0 (ii) 4 22ημ x ημ x 0

(iii) εφ2x σφ2x 2 (iv) π x

εφ 2x εφ π 14 2

.


(i) 22συν x συνx 1 0 (ii) 2ημ x 3ημx 2 0

(iii) 2συν 3x 5συν3x 4 0 (iv) 23εφ x 2 3εφx 3 0 .


(i) 22ημ x ημx 1 (ii) 2συν x ημx 1

(iii) 2 2ημ x συν x συνx (iv) 2 2εφ x σφ x 2 .


(i) 2 27ημ x 5συν x 2 0 (ii) 22συν x 3ημx

(iii) 2 2ημ x συν x συνx (iv) 2 2εφ x σφ x 2 .


(i) 2 22 3εφxσυν x συν x (ii) 3 2εφ x εφ x 3εφx 3 0

(iii) 1 συνx εφx ημx (iv) 2ημxεφx εφx 2ημx 1 0 .


(i) 21 συν 2x ημ 2x 1

2 4 4

(ii)

21 συν 2x ημ 2x 13

2 4 4

.


(i) 2 1 11 ημ 3x συν 3x

2 2 (ii) 2 3 1

1 συν 3x ημ 3x2 2

.



22. Για ποιες τιμές του θ η εξίσωση 2x 2 εφθ x 3 0 έχει δύο ρίζες ίσες.

23. Δίνεται η εξίσωση 2x 1 ημθ x ημθ 0

(i) Να δείξετε ότι για κάθε θ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές.

(ii) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης

(iii) Για ποιες τιμές του θ μία ρίζα της παραπάνω εξίσωσης είναι διπλάσια της

άλλης.

24. Να λυθεί η εξίσωση: 2ημxεφx 1 2ημx εφx .

25. Να λυθεί η εξίσωση: 2 2ημ x 1 3 ημxσυνx 3συν x .

26. Να λυθεί η εξίσωση:

2

2

1 1συν x

12 31 1 3

ημ x4 2

.


(i) 2ημ x 3συνx ημx 0 (ii) 3π

συν x 2ημ x π συνx2

(iii) 2ημx συνx 3 2συνx 3ημx 0 (iv) 2συνx συνx 8εφx 5 .


(i) ημx συνx 0 (ii) ημx συνx 0 (iii) 3

2

1 πεφ x 1 3σφ x 3

συν x 2

(iv) π π 1 π

συν ημ εφx ημ συνx4 6 συνx 4

.



2.5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

I. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΗΜΙΤΟΝΟ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ορίζεται μία συνάρτηση f η οποία σε κάθε πραγματικό αριθμό x αντιστοιχίζει

τον αριθμό ημx , δηλαδή έχει τύπο f x ημx . Η f λέγεται συνάρτηση ημίτονο.

Σχόλιο Όταν γράφουμε ημx , όπου x είναι ένας πραγματικός αριθμός, εννοούμε το ημίτονο

της γωνίας x rad .

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ημxf x

Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ημx :

H συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού Α .

Η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών f A 1,1 .

Για κάθε x ισχύει f x ημ x ημx f x . Άρα η συνάρτηση f είναι

περιττή, οπότε έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O των αξόνων.

Επειδή ημ x 2π ημ x 2π ημx για κάθε x , συμπεραίνουμε ότι η

συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ 2π .

Γνωρίζουμε ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου

M στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας x x rad

τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Όταν το x

μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π

2, το M κινείται από

το Α μέχρι το Β . Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που

σημαίνει ότι η συνάρτηση f x ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π

0,2

Όμοια αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση f x ημx είναι:

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π 3π

,2 2

γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3π

, 2π2

.

Τα προηγούμενα

συμπεράσματα φαίνονται

στον διπλανό πίνακα.

x x

Α

Β

Μ

Ο

Μ

ψ

x

f x ημx

0

0

π

2

3π

2 2π

1 1 0



Επειδή f A 1,1 η συνάρτηση παρουσιάζει:

μέγιστο το 1 όταν π

x2

ελάχιστο το 1 όταν 3π

x2

.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f x ημx , στο διάστημα 0,2π δίνεται στo

διπλανο σχήμα:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x ημx λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.

II. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ορίζεται μία συνάρτηση g η οποία σε κάθε πραγματικό αριθμό x αντιστοιχίζει

τον αριθμό συνx , δηλαδή έχει τύπο g x συνx . Η g λέγεται συνάρτηση

συνημίτονο.

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ g συνxx

Θεωρούμε τη συνάρτηση g x συνx :

H συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού Α .

Η συνάρτηση g έχει σύνολο τιμών g A 1,1 .

Για κάθε x ισχύει g x συν x συνx g x . Άρα η συνάρτηση g είναι

άρτια, οπότε έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ψψ .

Επειδή συν x 2π συν x 2π συνx για κάθε x , συμπεραίνουμε ότι η

συνάρτηση h είναι περιοδική με περίοδο Τ 2π .

Γνωρίζουμε ότι το συνx είναι η τετμημένη του σημείο


τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Όταν το x

μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π , το M κινείται από

το Α μέχρι το Α . Άρα η τετμημένη του ελαττώνεται,

που σημαίνει ότι η συνάρτηση g x συνx είναι

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, π .

Όμοια αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση g x συνx είναι γνησίως αύξουσα στο

διάστημα π,2π .

x

Α

Β

Μ

Μ

ψ

Α

Β

x

ψ

ψ

Ο

2π

π π

2

3π

2

1

1



Τα προηγούμενα συμπεράσματα

φαίνονται στον διπλανό πίνακα.

Επειδή f A 1,1 η συνάρτηση παρουσιάζει:

μέγιστο το 1 όταν x 0

ελάχιστο το 1 όταν x π .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

g x συνx , στο διάστημα 0,2π δίνεται στo

παρακάτω σχήμα:

III. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ορίζεται μία συνάρτηση f η οποία σε κάθε πραγματικό αριθμό x με π

x κπ2

,

κ , αντιστοιχίζει τον αριθμό εφx , δηλαδή έχει τύπο f x εφx .

Η f λέγεται συνάρτηση εφαπτομένη.

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ h εφxx

Θεωρούμε τη συνάρτηση h x εφx :

Αν π

x κπ , κ2

, τότε συνx 0 . Επομένως η συνάρτηση h έχει πεδίο

ορισμού π

Α κπ , κ2

.

Επειδή για κάθε αριθμό α , υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός x , τέτοιος ώστε

εφx α συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση g έχει σύνολο τιμών h A .

Για κάθε x ισχύει h x εφ x εφx h x . Άρα η συνάρτηση h

είναι περιττή, οπότε έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O των αξόνων.

Επειδή εφ x π εφ x π εφx για κάθε x , συμπεραίνουμε ότι η

συνάρτηση g είναι περιοδική με περίοδο Τ π . Θα μελετήσουμε την συνάρτηση

στο διάστημα π π

,2 2

.

x

f x συνx

0

0

π 2π

1 0

x

ψ

ψ

Ο 2π

π

π

2

3π

2

1

1



Γνωρίζουμε ότι η εφx είναι η τεταγμένη του σημείου


τέμνει την ευθεία ε των εφαπτομένων. Όταν το x

μεταβάλλεται από το π

2 μέχρι το

π

2, το M κινείται

από το Β μέχρι το Β . Άρα η τετμημένη του

αυξάνεται, που σημαίνει ότι η συνάρτηση h x εφx

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα π π

,2 2

.



Επειδή h A η συνάρτηση h δεν έχει ακρότατα.

Δίνοντας στο x τιμές πολύ κοντά στο π

2 αλλά μεγαλύτερες από

π

2 , οι τιμές

της συνάρτησης ελαττώνονται απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση έχει όριο από

δεξιά στο π

2 το και γράφουμε

πx

2

lim h x

.

Δίνοντας στο x τιμές πολύ κοντά στο π

2 αλλά μικρότερες από

π

2, οι τιμές της

συνάρτησης αυξάνουν απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση έχει όριο από

αριστερά στο π

2 το και γράφουμε

π

x2

lim h x

.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης h x εφx ,

στο διάστημα π π

,2 2

δίνεται στo παρακάτω

σχήμα:

IV. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ορίζεται μία συνάρτηση f η οποία σε κάθε πραγματικό αριθμό x με x κπ ,

κ , αντιστοιχίζει τον αριθμό σφx , δηλαδή έχει τύπο f x σφx .

Η f λέγεται συνάρτηση συνεφαπτομένη.

x x

Α

Β

Μ

ε ψ

1Μ

2Μ

Β

x

h x εφx 0 δ.ο

0 π

2

δ.ο

π

2

x x

ψ

ψ

Ο

π

2

π

2



ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ φ φxx σ

Θεωρούμε τη συνάρτηση φ x σφx :

Αν x κπ, κ , τότε ημx 0 . Επομένως η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού

Α κπ, κ .

Επειδή για κάθε αριθμό α , υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός x , τέτοιος ώστε

σφx α συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση φ έχει σύνολο τιμών φ A .

Για κάθε x ισχύει φ x σφ x σφx φ x . Άρα η συνάρτηση φ

είναι περιττή, οπότε έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O των αξόνων.

Επειδή σφ x π σφ x π σφx για κάθε x , συμπεραίνουμε ότι η

συνάρτηση φ είναι περιοδική με περίοδο Τ π . Θα μελετήσουμε την συνάρτηση

στο διάστημα 0, π .

Γνωρίζουμε ότι η σφx είναι η τετμημένη του σημείου


τέμνει την ευθεία σ των συνεφαπτομένων. Όταν το x

μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π , το M κινείται από το

Β μέχρι το Β . Άρα η τετμημένη του ελαττώνεται, που

σημαίνει ότι η συνάρτηση h x σφx είναι γνησίως

φθίνουσα στο διάστημα 0, π .



Επειδή φ A η συνάρτηση h δεν έχει ακρότατα.

Δίνοντας στο x τιμές πολύ κοντά στο 0 αλλά μεγαλύτερες από 0 , οι τιμές της

συνάρτησης αυξάνουν απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση έχει όριο από δεξιά στο 0

το και γράφουμε x 0lim φ x

.

Δίνοντας στο x τιμές πολύ κοντά στο π αλλά μικρότερες από π , οι τιμές της

συνάρτησης ελαττώνονται απεριόριστα. Δηλαδή η συνάρτηση έχει όριο από

αριστερά στο π το και γράφουμε x πlim φ x

.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ x σφx , στο

διάστημα 0, π δίνεται στo παρακάτω σχήμα:

x

φ x σφx 0 δ.ο

π

δ.ο

0

π

2

x x

Α

Β Μ σ

ψ

1Μ 2Μ

Β

Α

x

ψ

ψ

Ο

π

2

π



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Από τις συναρτήσεις που θα ασχοληθούμε, περιοδικές μπορεί να είναι αυτές που ο

τύπος τους περιέχει, μόνο τριγωνομετρικές εκφράσεις, της ανεξάρτητης μεταβλητής

x.

IV. ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: ωxημf x ρ , ωxg x ρ συν ,

ωxh εφx ρ ΚΑΙ ωxφ σφx ρ , ΟΠΟΥ ρ,ω 0 .

Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις f x ρημωx και g x ρσυνωx με ρ,ω 0 :

είναι περιοδικές με περίοδο 2π

Τω

.

έχουν πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το ρ,ρ , οπότε έχουν ελάχιστη

τιμή ρ και μέγιστη τιμή ρ .

Οι συναρτήσεις h x ρεφωx και φ x ρσφωx με ρ,ω 0

είναι περιοδικές με περίοδο π

Τω

.

έχουν πεδία ορισμού τα h

κπA , κ

ω

, φ

πκπ

2A , κω

και

έχουν σύνολο τιμών το , οπότε δεν έχουν μέγιστη και ελάχιστη τιμή.


Η συνάρτηση f x 4ημ 3x έχει

πεδίο ορισμού Α , έχει ελάχιστη

τιμή 4 , μέγιστη τιμή 4 και είναι

περιοδική με περίοδο 2π

Τ3

.

Η γραφική της παράσταση δίνεται

στο διπλανό σχήμα.

4

x

ψ

ψ

Ο

4π

3

4

4π

3

x




1. Να εξετασθεί αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

(i) 4 4f x ημ x συν x (ii) f x 2ημxσυνx (iii) 2 3

f x xημ x x

(iv) 2

f x1 συνx

.

2. Αν 1 2

π πx x

8 4 , με την βοήθεια της μονοτονίας των τριγωνομετρικών

συναρτήσεων να συγκριθούν οι αριθμοί:

(i) 1

ημ4x , 2

ημ4x (ii) 1

συν4x , 2

συν4x (iii) 1ημ π 4x , 2

ημ π 4x

(iv) 1

συν8x , 2

συν8x .

3. Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

3f x 2f x ημxσυνx 1 .

(i) Να αποδειχθεί ότι η f είναι περιττή.

(ii) Να βρεθεί ο τύπος της

(iii) Να αποδειχθεί ότι η f είναι περιοδική με περίοδο Τ π .

4. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

(i) 1

f x2ημx 1

(ii) f x συνx (iii) π

f x εφ x4

(iv) 1

f xσφ3x

.

5. Να βρεθεί το σύνολο τιμών και μέγιστη, ελάχιστη τιμή των παρακάτω

συναρτήσεων:

(i) f x 3 4συνx (ii) f x 5 3ημx (iii) 7

f x3 ημx

(iv) 2 2f x 5ημ x 7συν x .

Επίσης να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες οι παραπάνω συναρτήσεις

παίρνουν ακρότατες τιμές.

6. Να βρεθούν τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω

συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες :

(i) f x 2ημx 1 (ii) 2f x 2συν x 3συνx 2 (iii) f x ημx συνx .

7. Αν x 2π,2π , να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω


(i) f x ημx (ii) g x ημx (iii) h x ημx (iv)

φ x ημ x .



8. Να βρεθεί η περίοδος και η μέγιστη, ελάχιστη τιμή των παρακάτω


(i) f x 4ημ3x (ii) πx

f x 3συν 24

(iii) πx

f x 2εφ6

.

Κατόπιν να γίνει η γραφική τους παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας

περιόδου.

9. Η συνάρτηση π

f x α 2 ημ βx γ2

, α 0 , β 0 έχει μέγιστη τιμή 4 ,

περίοδο π

3 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

πΑ ,1

18

.

(i) Να βρεθούν τα α , β και γ

(ii) Να βρεθούν η περίοδος, η μέγιστη τιμή και η ελάχιστη τιμή και της

συνάρτησης g x 4ημ6x . Επίσης να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες

η συνάρτηση g παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

(iii) Να βρεθούν τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης g

τέμνει τον άξονα xx .

(iv) Να βρεθούν οι τιμές: g 0 , π

g12

, π

g6

, π

g4

, π

g3

.

(v) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης g x , π

x 0,3

και

κατόπιν στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f x , π

x 0,3

.

10. Να βρεθούν οι εξισώσεις των παρακάτω ημιτονοειδών καμπύλων:

(i)

(ii)

x x

ψ

ψ

2π 3

3

x x

ψ

ψ

3 5

5



11. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f x 3ημ2x στο διάστημα 0,2π .

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) g x 3ημ2x (ii) h x 3ημ2x (iii) π

s x 3ημ 2x 24

.

x

ψ

ψ

π

3

3

π

2

π

4

3π

4 2π

fC




Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

1. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις

4 2 2 2f x ημ x ημ x συν x συν x 3 και 6 6 2 2g x ημ x ημ x 3ημ xσυν x 7

είναι σταθερές και να βρείτε την σταθερή τιμή τους.

2. Δίνεται η συνάρτηση x

f x ημx συνx εφ2

. Να βρείτε τις τιμές:

(i) π

f2

(ii) π

f3

(iii) 2π

f3

(iv) 5π

f6

.

Πεδίο ορισμού – Σύνολο τιμών – Μονοτονία – Ακρότατα –

3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) 1

f x2συνx 3

(ii) 2

f x1 συνx

(iii) 5

f x3 εφx

(iv) 2

f xημx συνx

(v) x

f x σφ2

.

4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) 1

f xημx 1

(ii) π

f x εφ x4

(iii)

3f x

σφx

5. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) 1

f x συνx2

(ii) f x 3ημx 5 (iii) f x 4συνx 2

(iv) 1

f x εφx 12

(v) π

f x 2ημ 3x4

.

6. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) f x 3 2ημx (ii) f x 2 5συνx (iii) 2f x 7 ημ x

(iv) 2

f x4 3ημx

(v) 2

f x2 ημx

(vi) 2 2f x 4ημ x 5συν x

(vii) 2f x ημ x 2ημx 1 .

7. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις παίρνουν

μέγιστη και ελάχιστη τιμή:

(i) f x ημ x (ii) f x 1 συν2x (iii) 1 x

f x ημ2 3

(iv) π

f x 4συν 2x6

(v) f x ημx (vi) f x συν2x .

8. Να βρείτε την περίοδο των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) ημx

f x3

(ii) f x συν2x (iii) x

f x ημα

, α 0

(iv) f x εφ3x (v) f x ημx συνx (vi) f x ημx εφx



9. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

(i) f x 3ημx 2εφx (ii) 2f x 5ημx (iii) 2f x 7x εφ x

(iv) 1 συνx

f x1 συνx

(v)

1 ημxf x

1 ημx

(vi) 4 3f x 5x 2ημx

(vii) f x ημ εφx (viii) f x ημ ημx .

10. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:

(i) f x ημx συνx (ii) 2f x ημx 2 (iii) 3f x ημ2x ημ x

(iv) 1

f xημx

(v) 1

f xσυνx

(vi) f x ημ5x ημ3x 5ημxσυν2x

11. Με την βοήθεια της μονοτονίας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων να βρείτε τα

πρόσημα των παραστάσεων:

(i)

ο ο

ο ο

εφ100 εφ160

ημ 10 ημ 20

(ii)

ο ο

ο ο

εφ111 εφ105

ημ15 συν10

(iii)

πημ1 ημ

35π

εφ εφ26

.

12. Με την βοήθεια της μονοτονίας της συνάρτησης f x ημx να διατάξετε σε

αύξουσα σειρά τους αριθμούς: οημ200 , οημ50 , οσυν60 , οημ170 , οσυν350 , οημ450 .

13. Αν 1 22π x x 3π , να συγκρίνετε τους αριθμούς:

(i) 1xημ

2 και 2x

ημ2

(ii) 1xσυν

4 και 2x

συν4

(iii) 1π xεφ

2

και 2π x

εφ2

.

Γραφικές παραστάσεις

14. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των

παρακάτω συναρτήσεων:

f x ημx 3 , g x ημ x π , π

h x ημ x 22

όπου 0 x 2π .



f x συνx 2 , π

g x συν x2

, h x συν x π 3 όπου 0 x 2π .



f x ημx , g x ημx , h x ημx όπου 0 x 2π .

17. Δίνεται η συνάρτηση f x 3ημ2x .

(i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

(ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή, την ελάχιστη τιμή και την περίοδο της f

(iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε ένα διάστημα πλάτους μιας

περιόδου.



18. Δίνεται η συνάρτηση 2x

f x 4συν3

.

(i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

(ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή, την ελάχιστη τιμή και την περίοδο της f

(iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε ένα διάστημα πλάτους μιας

περιόδου.

19. Δίνεται η συνάρτηση f x ημx ημx .

(i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

(ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της στο διάστημα 0,2π

(iii) Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της

(iv) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0,2π

(v) Να λύσετε την εξίσωση f x π f x π 1 .

Παραμετρικές

20. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x αημ2x β διέρχεται από τα

σημεία π 9

Α ,12 4

και π 5

Β ,4 2

. Να βρείτε τους α , β και να κάνετε την γραφική

παράσταση της f .

21. Δίνεται η συνάρτηση f x αημ βx , α,β 0 .

(i) Να βρεθούν τα α , β αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το διάστημα 2,2

και περίοδο Τ 4π

(ii) Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους

άξονες xx και ψψ .

(iii) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η f δέχεται μέγιστο και ελάχιστο.

(iii) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης f

x 0 π 2π 3π 4π

f x

(iv) Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα 0,4π

και με τη βοήθεια αυτής βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και το πρόσημο της f .

22. Δίνεται η συνάρτηση f x αημ βx 4 , α,β 0 . Αν Τ η περίοδος της f με

Τ π και η f έχει μέγιστη τιμή 5 , τότε:

(i) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β .

(ii) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες η f

δέχεται μέγιστο και ελάχιστο.

(iv) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx .

(v) Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα 0, π

και με αυτήν βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και το πρόσημο της f .



2.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ

Α. ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: συν α β συνα συνβ ημα ημβ .

ΠΟΡΙΣΜΑ 1

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: συν α β συνα συνβ ημα ημβ .

Απόδειξη

Έχουμε: συν α β συν α β συνα συν β ημα ημ β

συνα συνβ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ .

Β. ΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ 2

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: ημ α β ημα συνβ ημβ συνα .

Απόδειξη Έχουμε:

π π

ημ α β συν α β συν α β2 2

π πσυν α συνβ ημβ ημ α ημα συνβ ημβ συνα

2 2

.

ΠΟΡΙΣΜΑ 2

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: ημ α β ημα συνβ ημβ συνα .


ημ α β ημ α β ημα συν β ημ β συνα

συνα συνβ ημβ συνα ημα συνβ ημβ συνα .

Γ. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ 3

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: εφα εφβ

εφ α β1 εφα εφβ

.


ημα συνβ ημβ συνα

ημ α β ημα συνβ ημβ συνα συνα συνβ συνα συνβεφ α β

συνα συνβ ημα ημβσυν α β συνα συνβ ημα ημβ

συνα συνβ συνα συνβ



ημα ημβ

εφα εφβσυνα συνβ

ημα ημβ 1 εφα εφβ1

συνα συνβ

.

ΠΟΡΙΣΜΑ 3

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: εφα εφβ


.


εφα εφ β εφα εφβ εφα εφβεφ α β εφ α β

1 εφα εφ β 1 εφα εφβ 1 εφα εφβ

.

Δ. ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ 4

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: σφα σφβ 1

σφ α βσφα σφβ

.


πεφ α εφβ

π π 2σφ α β εφ α β εφ α β

π2 21 εφ α εφβ

2

1 σφα σφβ 1σφα

σφα σφβ 1σφβ σφβ

1 σφβ σφα σφα σφβ1 σφα

σφβ σφβ

.

ΠΟΡΙΣΜΑ 4

Για οποιεσδήποτε γωνίες α, β ισχύει: σφα σφβ 1

σφ α βσφβ σφα

.


σφα σφ β 1 σφα σφβ 1 σφα σφβ 1σφ α β σφ α β

σφα σφ β σφα σφβ σφα σφβ

σφα σφβ 1

σφβ σφα

.



ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ

Ισχύουν οι τύποι:

1. ημ α β ημα συνβ ημβ συνα 2. ημ α β ημα συνβ ημβ συνα

3. συν α β συνα συνβ ημα ημβ 4. συν α β συνα συνβ ημα ημβ

5. εφα εφβ


6.

εφα εφβεφ α β

1 εφα εφβ

7. σφα σφβ 1

σφ α βσφα σφβ

8.

σφα σφβ 1σφ α β

σφβ σφα

.


Με την βοήθεια των προηγούμενων τύπων μπορούμε :

I. Nα υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών που είναι ίσες με το

άθροισμα ή την διαφορά γωνιών των οποίων γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς.


Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: ο15 και

ο75 .

II. Nα υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς αθροίσματος ή διαφοράς

γωνιών των οποίων γνωρίζουμε έναν από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς.


Αν 3

ημα5

με 3π

α 2π2 και

12συνβ

13 με

3ππ β

2 , να υπολογιστούν οι

τριγωνομετρικοί αριθμοί του αθροίσματος α β .

III. Nα αποδεικνύουμε διάφορες τριγωνομετρικές ταυτότητες

IV. Nα αποδεικνύουμε διάφορες σχέσεις σχετικά με τις γωνίες ενός τριγώνου.

IV. Nα λύνουμε τριγωνομετρικές εξισώσεις.




1. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 15 .

Όμοια υπολογίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: 75 και 105 .

2. Να υπολογιστεί η τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

(i) συν70 συν10 συν80 συν20

συν69 συν9 συν81 συν21

(ii)

ημ9 συν39 συν9 ημ39

3π 5π 3π 5πσυν συν ημ ημ

7 28 7 28

(iii)

2 2

2 2

7π πεφ εφ

24 247π π

1 εφ εφ24 24

(iv)

4π π π 7π 5π πημ συν ημ συν 1 εφ εφ

9 9 18 18 12 12

5π πεφ εφ

12 12

.

3. Να αποδειχθεί ότι:

(i) ημ α β


(ii)

ημ α βσφα σφβ

ημα ημβ

4. Να αποδειχθεί ότι: 2 2

2 2

εφ 5α εφ 2αεφ7α εφ3α

1 εφ 5α εφ 2α

5. Αν 4

συνα5

με 3π

π α2

και 12

ημβ13

με π

β π2 , να υπολογιστούν οι

τριγωνομετρικοί αριθμοί της διαφοράς α β .

6. Να αποδειχθεί ότι: 2 2 2 2συν α β συν α β συν α ημ β συν β ημ α

7. Αν σφα σφβ 1 , 1

ημα ημβ2

και π

α,β 0,2

, τότε να βρεθεί η γωνία

α β .

8. Αν π

α β4

με π

α, β κπ2

, να αποδειχθεί ότι: 1 εφα 1 εφβ 2 .

9. Αν α β γ π , να αποδειχθεί ότι:

(i) εφα εφβ εφγ εφα εφβ εφγ

(ii) σφα σφβ σφβ σφγ σφγ σφα 1

(iii) 2 2 2συν α συν β συν γ 2συνα συνβ συνγ 1 .


ημ α β ημ β γ ημ γ α0

συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα

11. Να αποδειχθεί ότι αν σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ή σχέση 2 2 2

συν Α συν Β συν Γ 1

Τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, και αντίστροφα.



12. Να λυθούν οι εξισώσεις:

(i) 1 2ημx ημ2x 2συνx συν2x (iv) ημ5x ημ2x συν3x 0

(iii) π π

εφ x εφ x 2 34 4

.

13. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο

ΑΒΓ , Α 90 με ΑΓ 4 . Στην πλευρά ΑΒ

παίρνουμε το σημείο Δ . Αν ΓΔ 5 , ΒΔ 2 και

ΒΓΔ x , να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας x .

14. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε , Ζ στις

πλευρές ΓΔ , ΒΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΕΓ

3ΕΔ

και

ΒΖ ΖΓ . Αν ΑΕΖ ω , τότε να βρεθεί η εφω .

Δ

ω

Α Β

Γ

Ζ

Α

x

Β

Γ

Δ

4 5

2




Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος – διαφοράς γωνιών

1. Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς:

(i) συν75 (ii) 7π

ημ12

(iii) 5π

εφ12

(iv) συν210 .


(i) ημ 30 α συνα συν 30 α ημα (ii) π π

συν α συνα ημ α ημα3 3

(iii) π π π π

συν α συν α ημ α ημ α6 4 6 4

(iv)

εφ 13 θ εφ 47 θ

1 εφ 13 θ εφ 47 θ

.


(i) ημ104 συν14 συν104 ημ14 (ii) συν85 συν35 ημ85 ημ35

(iii) συν163 συν13 ημ163 ημ13 (iv) εφ200 εφ10

1 εφ20 εφ10

.


(i) συν68 συν8 ημ8 ημ68

ημ53 συν23 ημ23 συν53

(ii)

ημ34 ημ146 ημ236 ημ304

συν32 συν28 συν302 ημ152

.

(iii) 1 εφ2 εφ152

εφ152 εφ2

(iv)

σφ78 σφ303

1 εφ 192 σφ237


(i) συν70 συν10 συν80 συν20

συν69 συν9 συν81 συν21

(ii)

21π 3π 3π πσυν ημ συν ημ

10 20 20 107π 7π 7π 7π

ημ ημ συν συν8 24 8 24

(iii)

7π 4π 7π 4πημ συν συν ημ

30 15 30 157π 5π 7π 5π

ημ συν συν ημ12 12 12 12

(iv) ημ10 συν20 συν10 ημ20

συν19 συν11 ημ19 ημ11

.


(i)

2 2

2 2

7π πεφ εφ

24 247π π

1 εφ εφ24 24

(ii) ημ9 συν39 συν9 ημ39

3π 5π 3π 5πσυν συν ημ ημ

7 28 7 28

7. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α β όταν:

4ημα

5 ,

πα π

2 και

5συνβ

13 ,

3πβ 2π

2 .




π 8συν α

2 10

,

3πα 2π

2 και

π 3ημ β

2 5

,

π0 β

2 .


8εφα

17 ,

3ππ α

2 και

7σφβ

24 ,

πβ π

2 .

10. (i) Να βρείτε το συνβ όταν 3

συνα5

, συν α β 0 , π

0 α2

και π

β π2 .

(ii) Να βρείτε το ημα όταν 3

ημβ5

, 33

εφ α β56

, π

α π2 και

3ππ β

2 .

11. Αν 9

συνα41

, 3π

π α2

, να βρείτε την π

εφ α4

.


12. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:

(i) συν3α συνα ημ3α ημα (ii) συν α β 2ημα ημβ

(iii) ημ 90 α συν 90 β συν 90 α ημ 90 β


(i)

συν α β ημα ημβ

συν α β ημα ημβ

(ii)

ημ α β ημ α β

συν α β συν α β

(iii) 2 2 2ημ 30 α ημ 30 α ημ α (iv) 2 2 2συν 60 α συν α 60 συν α .


(i) 1 εφα

εφ 45 α1 εφα

(ii)

εφα εφβ

εφα εφβ

(iii) 1 εφα εφβ

1 εφα εφβ

(iv)

εφ α β εφβ

εφ α β εφβ


(i) συν2α ημ2α εφα (ii) ημ4α σφ2α συν4α

(iii)

π πεφ α εφ α

4 4

π πσφ α σφ α

4 4

(iv)

2ημ α βεφβ


(v)

2

2

3 εφ 15

3εφ 15 1

.

Τριγωνομετρικες ταυτίτητες


(i) 6

ημ15 εφ30 συν153

(ii) 2 2ημ α β ημ α β ημ α ημ β

(iii) ημ2α συν2α εφα εφα (iv) ημ α β


.




(i) 2 2

2 2

εφ α εφ βεφ α β εφ α β

1 εφ α εφ β

(ii) εφ α β εφα εφβ εφα εφβ εφ α β

(iii)

ημα 2ημ 60 α 3

εφα2συν 30 α 3συνα

(iv)

2συνα 2ημ 45 α2

2ημ 60 α 3συνα


(i)

συν 30 α συν330 συναεφα

ημ 30 α ημ120 ημα

(ii) 2 2 2ημ α β ημ α ημ β 2ημα ημβ συν α β

(iii) σφα συνβ ημβ

σφ α βσυνβ σφα ημβ

(iv) 3 23συνα ημ α συν α ημα 2συν α 30


(i)

εφα ημ 45 α

ημ 45 α1 εφα

(ii)

εφα εφβ εφα εφβ

2εφ α β εφ α β

(iii) εφα εφβ σφ α β εφα εφβ σφ α β 2


(i) ημ α β συνβ ημβ συν α β ημα

(ii) συν α β συν α β ημ α β ημ α β συν2α

(iii) 2 2 2 2συν α β συν α β συν α ημ β συν β ημ α

(iv) εφ α β εφ β γ εφ γ α εφ α β εφ β γ εφ γ α .


(i) 2 2

2 2

εφ 2α εφ αεφ3α εφα

1 εφ 2α εφ α

(ii)

2ημ α βεφα εφβ


(iv) ημ α β ημ β γ ημ γ α

0ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα

.


(i) Αν α β 45 τότε 1 εφα 1 εφβ 2

(ii) 2 2 2π π 3συν α συν α συν α

3 3 2

(iii) 2π π4ημ α ημ α 4ημ α 3

3 3

(iv) 2 2 22συνα συνβ συν α β συν α συν β ημ α β .


(i) ημα ημ β γ ημβ ημ γ α ημγ ημ α β 0



(ii) 2 2 2 2ημ 5α συν 2α συν 5α ημ 2α ημ7α ημ3α

(iii) 2 2

2 2

ημ α β ημ α βεφ α εφ β

συν α συν β

(iv)

2ημα συνβ ημ α βεφ α β

συν α β 2ημα ημβ

.


(i) 2 2 2 2συν α συν β εφ α εφ β ημ α β ημ α β

(ii) 2 2 2ημ α β ημ α ημ β 2ημα ημβ συν α β

(iii) 2

2

1 2συν α1

π π2εφ α ημ α

4 4

(iv) ημ α β ημ α β ημα ημβ ημα ημβ .

25. Να αποδείξετε ότι α β 45 όταν:

(i) 1

εφα2

, 1

εφβ3

και α, β είναι οξείες γωνίες.

(ii) σφα 4 , 5

σφβ3

και α, β είναι οξείες γωνίες.

(iii) 1

εφαμ

, μ 1

εφβμ 1

και μ 0

26. Αν α, β, γ είναι οξείες γωνίες και ισχύουν εφα 2 1 εφx ,

εφβ 2 1 εφx και εφγ 2ημx συνx , π

x κπ2

, να αποδείξετε ότι α β γ .

27. Να εκφράσετε τα ημ α β γ , συν α β γ και εφ α β γ συναρτήσει

των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών α, β, γ .

28. Αν α β γ π να αποδείξετε ότι:

(i) εφα εφβ εφγ εφα εφβ εφγ (ii) σφα σφβ σφβ σφγ σφγ σφα 1

(iii) 2 2 2συν α συν β συν γ 2συνα συνβ συνγ 1

(iv) 2 2 2ημ α ημ β ημ γ 2συνα συνβ συνγ 2 .

29. Αν α β γ π να αποδείξετε ότι:

(i) α β γ α β γ

σφ σφ σφ σφ σφ σφ2 2 2 2 2 2

(ii) εφ2α εφ2β εφ2γ εφ2α εφ2β εφ2γ

(iii) συνα συνβ συνγ

2ημβ ημγ ημγ ημα ημα ημβ

.


(i) ημ20 ημ40 ημ100 (ii) συν10 2συν50 συν70 ημ40 0

(iii) ημ530 1

εφ1001 ημ640 ημ10

(iii) 2

2

3σφ 15 1σφ15

3 σφ 15

.



31. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

ημΑ ημ Β ΓεφΒ

συν Β Γ

, να αποδείξετε ότι

πΑ

2 και αντιστρόφως.

32. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ 3ΑΔ , να

αποδείξετε ότι:

(i) 2

2εφΒεφω

3 εφ Β

,όπου Β ΑΒΓ

(ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β , αν

Β 60 .

33. Αν 1

ημα5

, π

0 α2

και 1

ημβ10

, π

0 α2

, να αποδείξετε ότι:

πα β

4 .

34. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

2 2 π πf x συν x συν x συνx συν x

3 3

είναι σταθερή και να βρείτε την

σταθερή τιμή της.

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

35. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(i) (ii)

(iii) (iv) .


(i) (ii)

(iii)

(iv) .


(i) x π x π 1

ημ συν συν ημ2 3 2 3 4

(ii) π π 1

συν συνx ημ ημx6 6 2

(iii)

πεφ εφx

4 3π

1 εφ εφx4

(iv) εφ2x εφx

11 εφ2x εφx

.


(i) εφ3x εφ2x

11 εφ3x εφ2x

(ii) εφ2x συν3x ημ3x 2ημ5x 0 .

1 ημx ημ2x συνx συν2x εφ20 εφx 1 εφ20 εφx

συν3x ημx ημ2x 0 ημ5x ημ2x συν3x 0

ημ α x συν α x ημα 6

ημ 60 x ημ 60 x2

2 2 3συν 60 x συν 60 x

2

ημ 45 2x ημ 60 x ημ 45 2x ημ 30 x 1

ω

Α Β

Γ

Δ



2.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Α. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α ΘΕΩΡΗΜΑ 1

Ισχύουν οι τύποι:

1.ημ2α 2ημα συνα 2. 2 2συν2α συν α ημ α 2 22συν α 1 1 2ημ α .

3.2

2εφαεφ2α

1 εφ α

4.

2σφ α 1

σφ2α2σφα


1. ημ2α ημ α α ημασυνα ημασυνα 2ημασυνα .

2. 2 2συν2α συν α α συνασυνα ημαημα συν α ημ α .

Επίσης

2 2 2 2 2 2 2συν α ημ α συν α 1 συν α συν α 1 συν α 1 2συν α , και

2 2 2 2 2συν α ημ α 1 ημ α ημ α 1 2ημ α .

3. 2

εφα εφα 2εφαεφ2α εφ α α

1 εφα εφα 1 εφ α

.

4. 2σφα σφα 1 σφ α 1

σφ2α σφ α ασφα σφα 2σφα

.

ΠΟΡΙΣΜΑ 1 Αν στους προηγούμενους τύπους αντικαταστήσουμε το 2α με α παίρνουμε:

1. α α

ημα 2ημ συν2 2

2. 2 2α ασυνα συν ημ

2 2 2 2α α

2συν 1 1 2ημ2 2 .

3. 2

α2εφ

2εφαα

1 εφ2

4.

2 ασφ 1

2σφαα

2σφ2

.

Β. ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α , όταν

γνωρίζουμε το συν2α .

ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Ισχύουν οι τύποι:

1. 2 1 συν2αημ α

2

2. 2 1 συν2α

συν α2

3. 2 1 συν2αεφ α

1 συν2α

4. 2 1 συν2α

σφ α1 συν2α


1. 2 2 2 1 συν2ασυν2α 1 2ημ α 2ημ α 1 συν2α ημ α

2

.



2. 2 2 2 1 συν2ασυν2α 2συν α 1 2συν α 1 συν2α συν α

2

.

3. 2

2

2

1 συν2αημ α 1 συν2α2εφ α

1 συν2ασυν α 1 συν2α

2

.

4. 2

2

1 1 συν2ασφ α

εφ α 1 συν2α

.

Γ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α ΑΠΟ ΤΗΝ εφα


1. 2

2εφαημ2α

1 εφ α

2.

2

2

1 εφ ασυν2α

1 εφ α


1. 2

2 2 22 2 2

2 2

2ημα συνα ημα2

2ημα συνα 2εφασυν α συναημ2α 2ημα συναημ α συν αημ α συν α 1 εφ αημα

1συν α συν α συνα

.

2.

22 2

22 22 2

2 2 2 2

2 2

ημασυν α ημ α 11 εφ ασυνασυν α συν ασυν2α συν α ημ α

συν α ημ α 1 εφ αημα1

συν α συν α συνα

.

Δ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 3α ΑΠΟ ΤΗΝ εφα


1. 3ημ3α 3ημα 4ημ α 2. 3συν3α 4συν α 3συνα


1. ημ3α ημ 2α α ημ2α συνα ημα συν2α

22ημα συνα συνα ημα 1 2ημ α 2 32ημα συν α ημα 2ημ α

2 3 3 32ημα 1 ημ α ημα 2ημ α 2ημα 2ημ α ημα 2ημ α 33ημα 4ημ α .

2. συν3α συν 2α α συν2α συνα ημ2α ημα

22συν α 1 συνα 2ημα συνα ημα 3 22συν α συνα 2ημ α συνα

3 22συν α συνα 2 1 συν α συνα 3 32συν α συνα 2συνα 2συν α

34συν α 3συνα .





(i) 3

2

3εφx εφ xεφ3x

1 3εφ x

(ii)

3

2

σφ x 3σφxσφ3x

3σφ x 1

.

2. Αν 40

ημα41

, 3π

α 2π2 , να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

γωνίας 2α .


4π π

ημ συν18 18

.


2

4 4

ημ 2x 2συν x1 2ημ x 1

συν x ημ x

5. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί: π

ημ12

, π

συν12

και π

εφ12


(i) 4 2 4εφ α 8συν π α συν π 4α 1 8ημ α

(ii)

2

2

1 εφ2α 2ημ4α 1 1 συν4α

1 εφ 2α

.

7. Να αποδειχθεί ότι: 43 4συν2α συν4α

εφ α3 4συν2α συν4α

.

8. Να αποδειχτεί ότι

(i) ημ3α συν3α

2ημα συνα

(ii) 1

ημ10 συν20 συν408

.

9. Να αποδειχθεί ότι: π 3π 5π 7π 1

1 συν 1 συν 1 συν 1 συν8 8 8 8 8

.


(i) 4 4 5ημ x συν x

8 (ii) συν2x ημx 1 0 .


(i) εφx εφ2x 1 (ii) 2 xσυν2x 2συν 0

2 .



12. Αν π

0 α4

, να αποδειχθεί ότι: 1 ημ2α συνα ημα .

13. Για τη γωνία α ισχύει ότι:

5συν2α 14συνα 7 0

(i) Να αποδειχτεί ότι 3

συνα5

(ii) Αν επιπλέον ισχύει 3π

π α2

, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί

ημ2α , συν2α και εφ2α .

14. (i) Να λύσετε την εξίσωση

ημ2x 3συνx 0 .

(ii) Να αποδειχτεί ότι

1 συν2α αεφ

2ημα ημ2α 2

για όλες τις τιμές του α που ορίζεται η ισότητα.

15. Να αποδείξετε ότι: από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με δοσμένη υποτείνουσα,

το ισοσκελές τρίγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

Λύση

Έστω ΑΒΓ , Α 90 ορθογώνιο τρίγωνο με σταθερή

υποτείνουσα ΒΓ α , τότε

ΑΒ α συνΒ και ΑΓ α ημΒ .

Αν Ε είναι το εμβαδό του τριγώνου, έχουμε

21 1 1Ε ΑΒ ΑΓ α συνΒ α ημΒ α ημΒ συνΒ

2 2 2

2 21 1α 2ημΒ συνΒ α ημ2Β

4 4 .

Το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν ημ2Β 1 2Β 90 Β 45 . Αφού Β 45

τότε και Γ 45 , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Άρα από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με δοσμένη υποτείνουσα, το ισοσκελές τρίγωνο

έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

α

Α Β

Γ




Υπολογιστικές

1. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσματα:

(i) ημ2α

2ημα (ii)

2

ημ2α

2συν α (iii)

συν2α

συνα ημα (iv)

συν2α

ημα συνα.

2. Να βρείτε την γωνία φ ενός τριγώνου όταν:

(i) 2 2 1ημ φ συν φ

2 (ii)

1ημφ συνφ

4 .

3. Να αποδείξετε ότι: 2 2συν x ψ ημ x ψ συν2x συν2ψ .


(i)

ημ 2α β ημβ

2συν α βημα ημα

(ii)

π φ 1 ημφεφ 1

4 2 συνφ


(i) 2 2 2 φ ω

ημφ ημω συνφ συνω 4συν2

(ii) π φ π φ

4συν ημ 2 4συνφ6 2 3 2

.

6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α , όταν:

(i) 2

ημα3

και 3π

π α2

(ii) εφα 2 και π

α π2 .

7. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α , όταν:

(i) α 15

συν2 17 και

αημ 0

2 (ii)

α 5εφ

2 12 και

3πα 2π

2 .

8. (i) Να υπολογίσετε το ημα

3 2συνα, αν

αεφ 2

2

(ii) Να υπολογίσετε το εφα ημα

εφα ημα

, αν

α 4εφ

2 3 .

9. Αν 4

συν2α5

, π

α π2 , να βρείτε τους ημα , συνα και εφα .

10. Να υπολογίσετε τους εφ2β και σφ 2α 2β , όταν: 1

εφα4

και εφβ 2 .

11. Να βρείτε τους φ

ημ2

, φ

συν2

και φ

εφ2

, όταν:

(i) 3

συνφ5

, 3π

φ 2π2 (iii)

4ημφ

5 ,

3ππ φ

2

12. Να βρείτε τους φ

ημ2

, φ

συν2

και φ

εφ2

, όταν:



(ii) 12

συνφ13

, 3π

π φ2

. (iv) 3

εφφ4

, 3π

π φ2

.

13. Να βρείτε τους ημ2α και συν2α , όταν:

(i) 7

συνα25

, 3π

α 2π2 (ii)

12ημα

13 ,

3ππ α

2 .

14. Αν 5

ημα συνα4

, π 3π

α4 4 , να βρείτε τους ημ2α , συν2α και εφ2α .

15. (i) Να βρείτε το ημ4x , αν εφx 3 (ii) Να βρείτε το συν4x , αν 1

σφx2

.

16. Αν συνx 2ημx

22ημx 3συνx

, να βρείτε τους ημ2x και συν2x .

17. Να υπολογίσετε τα παρακάτω:

(i) π

ημ8

(ii) π

εφ8

(iii) π π

ημ συν12 12

(iv) 17π π

ημ εφ12 12

.

18. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

(i) π 3π

σφ σφ8 8 (ii) 8συν10 συν50 συν70

(iii) π 13π

4ημ ημ10 10

(iv) 4 43π 3πημ συν

8 8 .

19. Αν 1

ημα4

, να βρείτε την τιμή της παράστασης ημ4α 2ημ2α συνα .

20. Αν 1

εφα5

, να βρείτε την τιμή της παράστασης 5

6 7ημ2α.

21. Αν α α 1

ημ συν2 2 2 ,

3πα 2π

2 , να βρείτε το ημ2α .

22. Αν 5

ημα13

, 3π

π α2

, να βρείτε το α

ημ2

. 5

26

.

Αποδεικτικές


(i) 2 π α1 ημα 2συν

4 2

(ii) 2 π α

1 ημα 2ημ4 2

(iii) 22ημα ημ2α αεφ

2ημα ημ2α 2

(iv)

26 6α α ημ α 4

ημ συν συνα2 2 4


(i) 21 ημ2x πεφ x

1 ημ2x 4

(ii)

2

2

2συν x1

π π2εφ x ημ x

4 4



(iii) 43 4συν2α συν4αεφ α

3 4συν2α συν4α

25. (i) Αν π

α π2 , να αποδείξετε ότι:

2 2α α 21 εφ σφ 1

2 2 ημα

(ii) Αν π 3π

α2 4 , να αποδείξετε ότι:

2 2

συν2α 1ημ2α

σφ α εφ α 2

.


(i) 2 2ασυν2α συνα 2συν 2ημ α

2 (ii) 3 3 3συν α συν3α ημ α ημ3α συν 2α .

27. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:

(i) 4 2 24ημ α ημ 2α 4ημ α (ii) ημ2α εφα συν2α εφα

(iii) ημ3α συν3α

2ημα συνα

(iv) συν2α 1 εφα

1 ημ2α 1 εφα


(i)

α αεφ εφ

2 2 εφαα α

1 εφ 1 εφ2 2

(ii) 2 2συν α β συν α β συν2α συν2β 1 .


(i) 1

ημ40 ημ50 συν102

(ii) 4ημ18 συν36 1 (iii) 1

ημ70 ημ50 ημ108


(i) εφ15 εφ75 4 (ii) 16συν20 συν40 συν60 συν80 1

(iii) 8συν10 συν20 συν40 σφ10 (iv) 1 4ημ10 ημ70

12ημ10

.


(i) π π 1

ημ συν12 12 4

(ii) εφ55 εφ35 2εφ20

(iii) 8συν10 συν20 συν40 σφ10 (iv) π 3π 1

συν συν5 5 4 .


(i) π 3π 1

συν συν5 5 2 (ii) 2ημ70 8συν20 συν40 συν80 2συν 10

(iii) 8συν10 συν20 συν40 σφ10 (iv) π 3π 1

συν συν5 5 4


(i) 4 4π 3π 3συν συν

8 8 4 (ii) 4 4π 3π 3

ημ ημ8 8 4 .



34. Να αποδείξετε ότι: 4 4 4 4π 3π 5π 7π 3συν συν συν συν

8 8 8 8 2



(i) 2ημ φ συν2φ (ii) 4 4συν α ημ α (iii) 21 συν2β 2ημ β

(iv) 4 4α ασυν ημ συνα

2 2 .


(i) 2

εφα

1 εφ α (ii)

συν2α ημ2α

ημα συνα (iii)

συν2φσυνφ

ημφ συνφ

(iv)

2συν β

β βεφ σφ

2 2

.


(i) 2 21 8ημ α συν α (ii) συν2α ημ2α

συνα ημα

(iii) 2

ημ2α ημα συνα (iv) 4 2 2 4συν α 6συν α ημ α ημ α .


(i) α α

2ημ 45 ημ 452 2

(ii)

2

ημα συνα

1 ημ2α


(i) 2

1 ημα

α ασυν ημ

2 2

(ii) 2

π πημ 2α ημ 2α συν4α

4 4

.


(i)

α1 συν

4

2

(ii)

α1 συν

6α

1 συν6

(iii)

3πημ α 1

2

π1 ημ α

2

.


(i) 2συν α

α ασυν εφ

2 2

(ii)

2

2

1 εφ 45 α

1 εφ 45 α

(iii) εφ α 45 εφ α 45


(iv) 2 2 4ημ 2x 4συν x 4συν x

(v) π π π π π

96 3ημ συν συν συν συν48 48 24 12 6

.




(i) 2ημ2α 2ημ 45 α (ii) 2ημ2α 2συν 45 α


(i) 1 1 1 1

συνα2 2 2 2 , 0 α π (ii)

1 1 1 1συνα

2 2 2 2 , 0 α π .


(i)

α ασφ εφ

2 2α α

σφ εφ2 2

(ii)

2

2

εφ 45 α 1

εφ 45 α 1

(iii)

2σφ2α

ημ4α


(i) π α 1 ημα

εφ4 2 συνα

(ii)

ημ 60 α

α α4ημ 15 ημ 75

4 4

.


(i) 2

2

2συν α 1

π π2εφ α ημ α

4 4

(ii) 2 2συν α β συν α β συν2α συν2β


(i) ημ4α συν2α

1 συν4α 1 συν2α

(ii)

2 2

2 2

ημ 2α 4ημ α

ημ 2α 4ημ α 4

(iii) συν4α 4συν2α 3 .

Απόδειξη ταυτοτήτων

49. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

(i) 2 α1 ημα 2συν 45

2

(ii) 2 α

1 ημα 2ημ 452

(iii) 1 ημ2α π

εφ ασυν2α 4

(iv) 21 ημα π α

σφ1 ημα 4 2

.


(i) ημ2α 2ημα α

εφημ2α 2ημα 2

(ii)

1 συν2α 1 συνα ασφ

ημ2α συνα 2

(iii)

α ασφ 2σφα εφ

2 2


(i) α α

ημα συνα εφ εφ2 2

(ii) 2 42 1 συν2α ημ 2α 4συν α

(iii) 3 34ημα συν α 4ημ α συνα ημ4α .


(i) 22συν2α ημ4αεφ 45 α

2συν2α ημ4α

(ii)

1 ημ2α συν2αεφα

1 ημ2α συν2α




(i) σφ2α

συν2ασφα σφ2α

(ii) 6 6 4 42 ημ α συν α 3 ημ α συν α 1 0 .


(i) 2 α βημα ημα ημβ συνα συνα συνβ 2συν

2

(ii) 2 α βημα ημα ημβ συνα συνα συνβ 2ημ

2


(i) 2 2 2 α β

ημα ημβ συνα συνβ 4συν2

(ii) 2 2 2 α β

ημα ημβ συνα συνβ 4ημ2

.


(i) 4 4ημ α 2ημα συνα συν α

συν2αεφ2α 1

(ii)

21 2ημ α 1 εφα

1 ημ2α 1 εφα

(iii)

4 4 22ημ α συν α συν α α

συν2 1 συνα 2


(i)

ημ π α

συν π α 1α

ημα συνα εφ2

(ii) 2 2ημ 45 α ημ 30 α ημ15 συν 15 2α ημ2α .


(i) εφ2x εφx

ημ2xεφ2x εφx

(ii) 2

2 2

συνα 1ημ α

α α 4σφ εφ

2 2


(i)

22

2 2 2

1 εφ α11

4ημ α συν α 4εφ α

(ii)

σφα εφα2σφ2α

1 εφ2α εφα

.


(i) 3π

1 ημ4α σφ 2α συν4α 04

(ii)

2 π2ημ α

π4σφ α

συν2α 4


(i) 2

6 63 συν 2α συν2α

συν α ημ α4

(ii) 4 4 21

1 ημ α συν α ημ 2α2

.




(i) 2 2 π3συν α 4ημα συνα ημ α 1 2 2συν 2α

4

(ii) 4 1 34συν α 2συν2α συν4α

2 2


(i) 2 2 2

συν2α 1

4ημ 2α σφ α εφ α

(ii) 2 1 1

ημ α 1 σφα 1 σφα ημ2αημα ημα

.


(i) συν4α 1 1

ημ4ασφα εφα 2

(ii) 2 2 21 συνα α

εφ συν α ημ α1 συνα 2


(i) 4 4

4 42

συν2α συν α ημ α0

1συν α ημ α1 ημ 2α

2

(ii) 2 2 2 2 2συν α ημ 2α συν α συν2α 2ημ α συν α .


(i) 43 4συν2α συν4α 8ημ α (ii) 2 4 2 2

4

2 2

ημ 2α 4ημ α 4ημ α συν αεφ α

4 ημ 2α 4ημ α


(i) 2 2

4

2

ημ 2α 4ημ α 1 1σφ α

1 8ημ α συν4α 2

(ii)

2

2

ημ 4α 302συν 2α 3ημ4α 1

ημ 4α 302ημ 2α 3ημ4α 1

.


(i)

2

2

α1 εφ

1 ημ2α 2 ημααημα συνα

1 εφ2

(ii) 2

2

2συν α 1 1

π π 24εφ α ημ α

4 4


(i) π 1 ημ2α

εφ α4 συν2α

(ii)

4 4ημ α 2ημα συνα συν ασυν2α

εφ2α 1


(i) 43 4συν2α συν4α 8ημ α (ii) 4 1 1 3συν α συν4α συν2α

8 2 8 .


(i) 4 4 21ημ α συν α 1 συν 2α

2 (ii) 6 6 24 ημ α συν α 1 3συν 2α




(i) 8 8 2 4α α8 ημ συν 1 6συν α συν α

2 2

(ii)

π 1ημ x 1 ημx συνx

4 2

.


(i) 21 ημ8α 2συν 45 4α (ii)

α ασυν ημ

12 2 εφαα α συνα

συν ημ2 2


(i)

1σφα

2συναημα

ημα εφα 1 συν2α

(ii) 2 2 2 α β

συνα ημβ ημα συνβ 4συν 452

.


(i) 1 α α

2 σφ2α σφ εφημ2α 2 2

(ii)

α1 ημα 1 ημα 2ημ

2 ,

π0 α

2


(i) 43 4συν2α συν4α 8ημ α

(ii) ημ32α

συνα συν2α συν4α συν8α συν16α32ημα

.

Εξισώσεις


(i) 2 2 1ημ x συν x

2 (ii) ημx ημ2x (iii) συν2x συνx


(i) 2ημ x συν2x (ii) εφ2x 3εφx (iii) 1

ημ 45 x ημ 45 x2

.


(i) ημ2x εφx (ii) 3συν2x 2συνx (iii) 2

συνx ημx ημ2x


(i) εφ2x 3ημx (ii) 2

συνx ημx 1 συν2x (iii) 4 4ημ x συν x 1 .


(i) 22συν2x 2συν4x 3ημ 2x 1 (ii) 1 2ημx ημx 2συν2x 1


(i) 2 23x 3xσυν7x ημ συν συνx

2 2 (ii) 2 2 1

ημ x 2συν x ημ2x 02

.




(i) 24ημ x 1 συν2x 1 συν2x (ii) 24συν x 1 συν2x 1 συν2x


(i) 2

1 συνx συνx ημx (ii) 2

ημ2x ημx συνx .


(i) x 2π x

εφ 3σφ2 4

(ii) 48συν x συν4x 1


(i) 2 xεφx 2ημ ημx

2 (ii)

συν2xεφ2x 2

1 ημ2x

.


(i) 2 1 ημxσφ x

1 συνx

(ii) εφ 45 x 1 ημ2x (iii) 2 2σφ x εφ x 16συν2x


(i) 2ημx συνx 3ημ2x 0 (ii) 2

ημ2x συνx ημx


(i) 4 4ημ 2x συν 2x ημ2x συν2x (ii) 4 4 23ημ x συν x 2ημ2x ημ 2x 0

4 .


(i) 2 2

1 24 0

ημ x συν x ημx συνx

(ii) εφ5x 2ημ10x 5ημ5x


(i) 2 26ημ x 2ημ 2x 5 (ii) 3 2 2 xσυν x συν x 4συν 0

2 .


(i) 2ημx ημ2x συνx 2συν x (ii) 2ημ2x ημ x 2ημx 4συνx


(i) 2 xεφx ημ π x 2ημ

2 (ii) 1 ημ2x συνx ημx συνx ημx .


(i) 3 συνx ημx 1 συν2x ημ2x (ii) 2 2ημ x 3ημx συνx 2συν x 0


(i) 2 22συν x 3ημ2x 8ημ x 0 (ii) 2 23ημ x 5συν x 2συν2x 4ημ2x 0 .


(i) 2 22ημ x 5ημx συνx 8συν x 2 (ii) 1

4ημx 6συνxσυνx




(i) 4 3 2 2 3 4ημ x ημ x συνx ημ x συν x ημx συν x συν x 1

(ii) 2ημ x 1 εφx 3ημx συνx ημx 3 0 .


(i) 2 2π2ημ x 2ημ x εφx

4

(ii) εφx σφx συν4x 3


(i) ημ2x 12 ημx συνx 12 0 (ii) 1 εφx 2 2ημx .


(i) συν3x 2συνx (ii) συν9x 2συν6x 2 (iii) 2συν4x συν 3x .


(i) x

3ημ ημx3 (ii) ημ6x 2 2συν4x (iii)

π 3 3π xημ x 2ημ

4 2 4 2

.


(i) ημ4x ημ2x 0 (ii) συν 3x 4π ημ π x

(iii) 22συν4x 5συν2x 1 2ημ x


(i) 2

1 ημ2x ημ3x συν3x

(ii) 62 συν4x 5συν2x 8ημ x .


(i) 32ημ x συν2x ημx 0 (ii) 23ημ 2x 7συν2x 3

(iii) 2 24ημ x ημ 2x 3 (iv) 2 24συν 2x 9συν x 7 .


(i) π π

ημ x συν x 1 συν2x6 3

(ii) 68ημ x 3συν2x 2συν4x 1 0


(i) 3 1 ημx 1 συν2x (ii) 6 6 7ημ x συν x

17 .


(i) 22συν x συν5x 1 (ii) 24ημ xσυν2x 2 ημ2x


(i) 2 x8ημ 3ημx 4 0

2 (ii) 4 4ημ x συν x συν4x .




(i) 4 4 23ημ x συν x ημ2x ημ 2x 0

4 (ii)

x 53εφ σφx

2 ημx


(i) 6 4 2 2 3 5ημ x ημ x συν x ημ x συν x ημx συν x

(ii) 2 2 3 4ημ x συν x 10ημx συν x 21συν x 0 .

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

111. Για ποιες τιμές του x , όπου x 0,2π , η συνάρτηση f x 4ημx συνx

παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή; Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

συνάρτησης.

112. Να βρείτε την περίοδο των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) f x ημx συνx (ii) 2 2f x συν x ημ x (iii) συνx

f x1 ημx

(iv) 2f x συν2x 2ημ x (v) x

f x 2σφx σφ2

.

113. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων:

(i) π π

f x ημ x ημ x4 4

(ii) 4 4f x συν x ημ x

(iii) 2 2f x 1 8ημ x συν x (iv) 2f x 2ημ x συν2x .

(v) f x 1 εφx εφ2x (vi) 22 π

f x συν x ημx συνx4

.

114. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, η μικρότερη βάση είναι ίση με τις ίσες πλευρές. Η

εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει μία διαγώνιος του τραπεζίου με την

μεγαλύτερη βάση είναι ίση με 3

4. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των

γωνιών της μικρότερης βάσης του τραπεζίου.

115. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ημίτονο της γωνίας της κορυφής είναι ίσο με 24

25.

Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών της βάσης του τριγώνου.

116. Το συνημίτονο μιας γωνίας ενός ρόμβου είναι ίσο με 23

25 . Να βρείτε το

ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών που σχηματίζουν οι διαγώνιες του ρόμβου με

τις πλευρές του.

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...

Documents

Transcript of 2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...