Mechanik - Universität Leipzigresearch.uni-leipzig.de/mqf/poeppl/BA_mechanik_1.pdf · 6 Definition...

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1 Mechanik 1 Kinematik Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m³ Masse m = endlich groß [m] = kg Dichte ρ = m/V = [ρ] = kg/m 3 Folgen: - Ort genau angebbar - Drehung um sich selbst nicht möglich! 1.1. Modell der Punktmasse und Koordinatensysteme (KS) - Beschreibung der Bewegung eines Körpers durch Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung - Körper wird als Punktmasse (PM) beschrieben
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1

Mechanik

1 Kinematik

Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m

Masse m = endlich gro [m] = kg

Dichte = m/V = [] = kg/m3

Folgen: - Ort genau angebbar

- Drehung um sich selbst nicht mglich!

1.1. Modell der Punktmasse und

Koordinatensysteme (KS)

- Beschreibung der Bewegung eines Krpers durch Ort, Geschwindigkeit und

Beschleunigung

- Krper wird als Punktmasse (PM) beschrieben

2

Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS):

hier: Kartesisches KS (rechtwinklig)

Dimensionalitt:

a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse

x0 x

0z0

z

x

b) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse

c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse

Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durch

Ortsvektor festgelegt:

),,( zyxkzjyixr i

j

k

kji

,,Einheitsvektoren:

mit 1 kji

und kji

0 kjkiji

222 zyxrr

mit Betrag (Lnge)

(Wiederholung Vektorrechnung)

b)

a)

c)

zyx eee

,,oder

3

1.2. Geradlinig (eindimensionale) Bewegung der PM

Physikalische Gren: - Zeit t, [t] = m/s

- Ort x(t), [x] = m

- Geschwindigkeit v(t) = vx(t), [v] = m/s

- Beschleunigung a(t) = ax(t) , [a] = m/s2

i

j

k

PM

P(x,t)

1.2.1. Definition Geschwindigkeit

t

x

tt

xxv

12

12Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 Anfangs- u. Endzeit

x1, x2 Anfangs- u. Endort

Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel

44

Momentangeschwindigkeit:

xdt

dx

t

xv

t

0lim

Differenzialquotient

1. Ableitung von x nach t

v hngt oft von der Zeit ab:

1txz.B.: =

0

x

t1t

(Gibt an, wie sich x mit t ndert,

Momentangeschwindigkeit)

t

txttxv

t

0lim

Anstieg tan der

x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1,

v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve

bei t1

Exp.: Momentangeschwindigkeit

5

1.2.2. Geradlinige, gleichfrmige Bewegung

constvv 0 00 xtx Anfangsbedingung:

dt

dxv 0

Separation der Variablen (x, t)dtvdx 0

Integration

t

t

tx

x

dtvdx

00

0

000 ttvxtx Weg-Zeit-Gesetz der

gleichfrmigen, geradlinigen

Bewegung

000 ttvxtx

x(t) - Gerade

x(t) ?

6

Definition Beschleunigung

t

v

tt

vva

12

12Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 Anfangs- u. Endzeit

v1, v2 Anfangs- u.

Endgeschwindigkeit

[a] = m/s2

Momentanbeschleunigung:

xdt

xdv

dt

dv

t

va

t

2

2

0lim

(Gibt an, wie sich v mit t ndert,

Momentanbeschleunigung)

t

tvttva

t

0lim

0

v

t1t

1.Ableitung von v nach t

2.Ableitung von x nach t

a hngt oft von der Zeit ab:

Anstieg tan der

v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1a(t1) ist Tangente an v(t) Kurve

bei t1

1tvz.B.: =

Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf Luftkissenbahn

1.2.3. Geradlinige, beschleunigte Bewegung

Jetzt ist Geschwindigkeit zeitabhngig v = v(t).

7

1.2.4. Geradlinige, gleichmig, beschleunigte Bewegung

constaa 0 ,00 xtx Anfangsbedingung:

dt

dva 0

Separation der Variablen (v, t) dtadv 0

Integration

t

t

tv

v

dtavd

00

0

000 ttavtv Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der

gleichmig beschleunigten,

geradlinigen Bewegung

,00 vtv

000 ttavtv

v(t) - Gerade

v(t) ?

8

x(t) ?

dt

dxv

Separation der Variablen (x, t) dttvdx

Integration

t

t

tx

x

dttvdx

00

2000002

1ttattvxtx

Weg-Zeit-Gesetz der

gleichmig beschleunigten,

geradlinigen Bewegung

t

t

dtttavxtx

0

0000

000 ttavtv mit

x(t) - Parabel

9

Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf Luftkissenbahn

Hinweis fr geradlinige Bewegung:

aus gegebenen x(t) folgt aus gegebenen a(t) folgt

dt

dxv

dt

dva

t

t

dtavtv

0

00

t

t

dttvxtx

0

0

t

a(t)

t0 t

v(t) v0

t

v(t)

t0 t

x(t) x0

101010

1.3. Krummlinige (dreidimensionale) Bewegung der PM

1.3.1. Geschwindigkeitsvektor

tztytxktzjtyitxtr ;;

zeitabhniger Ortsvektor:

kji

;; sind zeitunabhngige Einheitsvektoren, die zeitlich konstantes KKS aufspannen

Beschreibung in kartesischen Koordinatensystem (KKS)

0 kjkiji

1 kji

x

y

z

i

k

j

tr

P(x, y, z, t)

Bahnkurve

der PM

1111

1.3. Krummlinige (dreidimensionale) Bewegung der PM

t

r

tt

rrv

12

12

Momentangeschwindigkeit:

Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 Anfangs- u. Endzeit

Anfangs- u. Endort

rdt

rd

t

rv

t

0lim

Differenzialquotient

21, rr

tv

ist Vektortangente an tr

t

trttrv

t

0lim

1.3.1. Geschwindigkeitsvektor

x

y

z

i

k

j

11 tr

P1(t1)

Bahnkurve

der PM

22 tr

r

P2(t2)

tztytx

kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

;;

12

1.3.2. Beschleunigungsvektor

t

v

tt

vva

12

12

Momentanbeschleunigung:

Durchschnittsbeschleunigung:t1, t2 Anfangs- u. Endzeit

Anfangs- u.

Endgeschwindigkeit

rdt

rdv

dt

vd

t

va

t

2

2

0lim

21,vv

Differenzialquotient

ta

ist Vektortangente an

tv

ta

zeigt immer in Richtung des

Zentrums der gekrmmten Bahnkurve

t

tvttva

t

0lim

13

Winkelgeschwindigkeit ist

Vektor entlang Drehachse:

1.3.3. Spezialfall: Gleichfrmige Kreisbewegung

Ortsvektor:2-dim. Bewegung in x-y Ebene Kreisbahn

Drehachse entlang z-Achse

,tr

constrtr

Radius der

Kreisbahn

PM bewegt sich auf Kreisbogen:

trts

Definition Winkelgeschwindigkeit:

r

v

dt

ds

rdt

rtsd

dt

d B

1/

[] = rad s-1 = s-1

Bv

- Bahngeschwindigkeit,

tangentielle Geschwindigkeit

tr

tvB

t ts

x

y

PM

z

14

gleichfrmige Kreisbewegung: const

dtd Integration

t

t

t

dtd00 00

tt

tr

t ts

x

y

PM

,0,0

dt

d

15

gleichfrmige Kreisbewegung: const

Integration

t

t

t

dtd00 00

tt

tr

t ts

tx

ty

x

y

PM

,0,0

dt

d

dt

d

dtd

trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit

0,sin,cos ttrtr

Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler

16

gleichfrmige Kreisbewegung: const

Integration

t

t

t

dtd00 00

tt

tr

tvB

t ts

tx

ty

x

y

PM

,0,0

dt

d

dtd

trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit

0,sin,cos ttrtr

Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler

0,cos,sin ttrdt

rdtvB

Bahngeschwindigkeit:

BB vrv ,rvB

0,0

BB vrvBv

ist Vektortangente

an Kreisbahn

rExp.: Schleifscheibe und

Vektorprodukt

1717

0,sin,cos2 ttrdt

vdta Bz

r

r

r

vrta Bz

22

Zentripetalbeschleunigung::

gleichfrmige Kreisbewegung ist

beschleunigte Bewegung

0za

r

vadt

vdBz

B

Vektorprodukt (rechte Handregel)

tr

tvB

t ts

tx

ty

x

y

PM

taz

,0,0

rvB