Πίνακεςhy119/tziritas/02_matrices.pdf · 2020. 10. 7. · Γ. Τζιρίτας,...

Γ. Τζιρίτας, Φθινόπωρο 2020 1

Γραμμική Άλγεβρα Γραμμική Άλγεβρα

Πίνακες


Ορισμοί

Πίνακας είναι μια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες. Έστω πίνακας A με m γραμμές και n στήλες

A=[ a11 a12 ⋯ a1na21 a22 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 ⋯ amn

]Ένας πίνακας μεγέθους m x n μπορεί να θεωρηθείως μια διατεταγμένη συλλογή από n διανύσματα μεγέθους m

A=[v1 v2 ⋯ vn ]

A=[ 1 −1 2 1−1 1 1 11 −1 5 3 ]


Πίνακας / εικόνα

105 102 108 101 102 111 100 105 96 111 126 121 132 122 116 123109 98 93 102 109 116 122 122 122 122 123 127 127 127 128 120109 111 105 112 105 105 111 108 107 123 129 141 124 124 113 116120 117 129 126 108 94 93 100 100 89 90 124 144 141 134 113130 130 100 105 119 129 137 145 143 143 131 103 105 140 148 134122 103 116 122 117 118 122 146 137 137 133 131 101 108 139 133100 108 117 105 90 79 44 55 54 78 113 114 121 107 104 127107 119 81 93 157 99 42 127 54 48 47 62 90 111 108 114112 83 95 171 174 73 43 71 48 45 65 107 67 75 101 110104 102 155 180 173 90 46 62 44 45 87 146 95 55 86 95157 151 146 177 181 144 76 54 47 71 132 161 116 107 93 101131 122 130 146 163 172 139 116 104 129 156 148 142 111 102 111159 145 143 140 148 152 153 168 151 153 145 136 97 101 113 128141 160 145 127 121 135 145 142 130 115 96 104 114 117 124 141140 145 149 156 157 136 109 122 114 122 133 127 125 136 144 135143 151 143 147 165 169 162 160 153 149 137 134 129 134 143 145

Εικόνα


Πίνακας γονιδιακής έκφρασης


Πίνακας γράφου

0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 1 1 0


Στήλες / γραμμές πίνακα

Ένας πίνακας μεγέθους m x n μπορεί να θεωρηθείως μια διατεταγμένη συλλογή από n διανύσματα μεγέθους m

A=[v1 v2 ⋯ vn ]Το κάθε διάνυσμα-στήλη μπορεί να θεωρηθεί ένας πίνακας m x 1

Ένας πίνακας μεγέθους m x n μπορεί να θεωρηθεί ως μια διατεταγμένη συλλογή από m διανύσματα-γραμμή μεγέθους n

A=[ a1T

a2T

⋮amT ]

Το κάθε διάνυσμα-γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ένας πίνακας 1 x n


Στήλες / γραμμές πίνακα

[v1 v2 v3 v4 ]

A=[ 1 −1 2 1−1 1 1 11 −1 5 3 ]

[a1T

a2T

a3T ]A=[ 1 −1 2 1

−1 1 1 11 −1 5 3 ]


Πρόσθεση πινάκων

Ορίζεται η πρόσθεση δύο πινάκων ίδιου μεγέθους σε γραμμές και στήλες με παρόμοιο τρόπο με την πρόσθεση των διανυσμάτων Προστίθενται ανά δύο τα στοιχεία που βρίσκονται στην ίδια θέση

Αν aij είναι το τυπικό στοιχείο του πίνακα A και bij το αντίστοιχο του πίνακα B, τότε το αντίστοιχο τυπικό στοιχείο του A+B είναι aij+bij

Η πρόσθεση πινάκων έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα, A+B = B+A, και την προσεταιριστική ιδιότητα, A+(B+C) = (A+B)+C

aij=i ,∀ j , bij= j ,∀ i , aij+bij=i+ j , i=1,2,3 , j=1,2,3

A=[1 1 12 2 23 3 3 ] , B=[1 2 3

1 2 31 2 3 ] , A+B=[2 3 4

3 4 54 5 6 ]


Πολλαπλασιασμός πινάκα με αριθμό

Ορίζεται ο πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα με παρόμοιο τρόπο με το βαθμωτό πολλαπλασιασμό διανύσματος, πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία του πίνακα με τον αριθμό.

Ο πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα έχει την επιμεριστική ιδιότητα και σε σχέση με την πρόσθεση πινάκων και σε σχέση με την πρόσθεση αριθμών.

λ(A+B)=λ A+λ B(λ+μ) A=λ A+μ Α


Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα

Ένας πίνακας μεγέθους m x n μπορεί να πολλαπλασιασθεί με ένα διάνυσμα μεγέθους n και δίδει ως αποτέλεσμα ένα διάνυσμα μεγέθους m.Αν είναι A ο πίνακας και το διάνυσμα, θα έχουμε

A x=[v1 v2 ⋯ vn ] [ x1x2⋮xn ]=x1 v1+x2 v2+⋯+xn vn

Αναλυτικά A x=[ a11 x1+a12 x2+⋯+a1n xna21 x1+a22 x2+⋯+a2n xn

⋮am1 x1+am2 x2+⋯+amn xn

]=[a1T x

a2T x⋯amT x ]

x

[ 1 −1 2−1 1 1 ] [321 ]=[ 3−2+2−3+2+1 ]=[30 ]

γραμμικός συνδυασμός

των στηλών του πίνακα


Πολλαπλασιασμός πινάκων

Ορίζεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων με την προϋπόθεση ότι το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα ισούται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου

Αν το μέγεθος του πίνακα A είναι m x K και του πίνακα B είναι K x n, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να γίνει και ο πίνακας C = A B έχει μέγεθος m x n

[ 1 −1 2−1 1 1 ] [ 1 −1 2 1

−1 1 1 11 −1 5 3 ]=[ 4 −4 11 6

−1 1 4 3 ]



A=[a1T

⋮a iT

⋮amT ]=[v1 ⋯ vk ⋯ vK ] , B=[ b1

T

⋮bkT

⋮bKT ]=[u1 ⋯ u j ⋯ un ]

C=A B

cij=a i⋅u j=∑k=1

K

aikukj

Το στοιχείο του πίνακα C θα είναι ίσο με το εσωτερικό γινόμενο μιας γραμμής του A με μια στήλη του B



A=[a1T

⋮a iT

⋮amT ]=[v1 ⋯ vk ⋯ vK ] , B=[ b1

T

⋮bkT

⋮bKT ]=[u1 ⋯ u j ⋯ un ]

C=A B

Οι στήλες του C θα είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του A

C=[ A u1 ⋯ A u j ⋯ A un ]



A=[a1T

⋮a iT

⋮amT ]=[v1 ⋯ vk ⋯ vK ] , B=[ b1

T

⋮bkT

⋮bKT ]=[u1 ⋯ u j ⋯ un ]

C=A B

Οι γραμμές του C θα είναι γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του B

C=[a1T B⋮a iT B⋮amT B

]



A=[a1T

⋮a iT

⋮amT ]=[v1 ⋯ vk ⋯ vK ] , B=[ b1

T

⋮bkT

⋮bKT ]=[u1 ⋯ u j ⋯ un ]

C=A B

C=∑k=1

K

vk bkT

Άθροισμα πινάκων

(m×1)(1×n)


Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πινάκων

A B≠B A

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα Ενώ μπορεί να υπάρχει το γινόμενο A Β,μπορεί να μην υπάρχει το γινόμενο B A, και αντίστροφαΑκόμα και στην περίπτωση που υπάρχουν και τα δύο γινόμενα (m=n), γενικά ισχύει

A=[1 11 21 3 ] , B=[1 −1 0

1 0 −1 ]

A B=[2 −1 −13 −1 −24 −1 −3 ] , B A=[0 −1

0 −2 ]

A (B+C )=A B+AC , (A+B)C=AC+BC , (A B)C=A (BC )

Εφόσον γίνονται οι πολλαπλασιασμοί ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες


Πολλαπλασιασμός πινάκων : ανακεφαλαίωση

Γενικά ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα

Amx K BK x n=Cmx n

Πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακαΝα ισούται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου

Κάθε στοιχείο του πίνακα C θα είναι ίσο με το εσωτερικό γινόμενο μιας γραμμής του A με μια στήλη του B

Οι γραμμές του C είναι γραμμικός συνδυασμός των γραμμών του B

Οι στήλες του C είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του A

Ο πίνακας C είναι άθροισμα των γινομένων μιας στήλης (m x 1) του Α επί την αντίστοιχη γραμμή (1 x n) του Β


Ειδικές κατηγορίες πινάκων

aij=0 ,∀ i≠ j

Αν το πλήθος των γραμμών ισούται με το πλήθος των στηλών (m=n), ο πίνακας ονομάζεται τετραγωνικόςΑν σε ένα τετραγωνικό πίνακα ο πίνακας ονομάζεται διαγώνιος

A=[1 0 00 −1 00 0 3 ]D=[d1 0 ⋯ 0

0 d2 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ dn

]Αν σε ένα διαγώνιο πίνακα ο πίνακας ονομάζεται ταυτοτικός και συμβολίζεται με I

aii=1 ,∀ i

[1 00 1 ] , [1 0 0

0 1 00 0 1 ]I=[1 0 ⋯ 0

0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 1 ]


Ανάστροφος πίνακα

Ορίζεται ο ανάστροφος ενός πίνακα A και συμβολίζεται AT,ο πίνακας που έχει ως στήλες τις γραμμές του AΤα στοιχεία του ανάστροφου πίνακα θα είναι aji,εφόσον τα στοιχεία του A είναι aij

A=[1 11 21 3 ] , ΑΤ=[1 1 1

1 2 3 ]Αν υπάρχει το γινόμενο πινάκων A Β, τότε (A Β)T = ΒΤ ΑΤ


Συμμετρικός / αντισυμμετρικός πίνακας

Αν A = AT ο πίνακας είναι τετραγωνικός και ονομάζεται συμμετρικός Αν A = -AT ο πίνακας είναι τετραγωνικός και ονομάζεται αντισυμμετρικός

A=[2 1 01 0 −10 −1 −2 ]

συμμετρικός

A=[ 0 1 2−1 0 1−2 −1 0 ]

αντισυμμετρικός

Για οποιοδήποτε πίνακα A, οι πίνακες A AT και AT A υπάρχουν, είναι τετραγωνικοί και συμμετρικοί

A=[1 11 21 3 ] , ΑΤ=[1 1 1

1 2 3 ] , AT A=[3 66 14 ] , Α AT=[2 3 4

3 5 74 7 10 ]


Αντίστροφος πίνακα

[1 11 2 ] [ 2 −1

−1 1 ]=[1 00 1 ]

[1 11 1 ]Ο πίνακας δεν αντιστρέφεται

[1 11 1 ] [b11 b12

b21 b22 ]=[b11+b21 b12+b22b11+b21 b12+b22 ]

Αν υπάρχει πίνακας Β, ώστε , τότε ο Β είναι αντίστροφος του A και συμβολίζεται Επομένως αντίστροφος ορίζεται μόνο για τετραγωνικούς πίνακες

A−1A B=B A=I

(A−1)−1=AΑν υπάρχει ο αντίστροφος, θα ισχύει και (AT )−1=(A−1 )T

Αν αντιστρέφονται οι ίδιου μεγέθους πίνακες Α και Β, τότε

(A B )−1=B−1 A−1


Ίχνος πίνακα

Σε ένα τετραγωνικό πίνακα ορίζεται το ίχνος ως το άθροισμα των στοιχείων της διαγωνίου του πίνακα,

tr (A)=∑i=1

n

aii

Ιδιότητες

tr (A Β)=tr (Β Α)

tr (A+Β)=tr (Α)+tr (Β)

tr ( λ A)=λ tr (Α )

tr (AΤ)=tr (Α)


Ίχνος πίνακα

tr (A)=∑i=1

n

aii

tr ([2 1 01 0 −10 −1 −2 ])=0

tr (AT A)=‖v1‖2+‖v2‖

2=17=tr (A AT )=‖a1‖2+‖a2‖

2+‖a3‖2=∑i=1

m

∑ j=1

n

aij2

A=[1 11 21 3 ] , ΑΤ=[1 1 1

1 2 3 ] , AT A=[3 66 14 ]

v1 v2

Πίνακεςhy119/tziritas/02_matrices.pdf · 2020. 10. 7. · Γ. Τζιρίτας,...

Documents

Transcript of Πίνακεςhy119/tziritas/02_matrices.pdf · 2020. 10. 7. · Γ. Τζιρίτας,...