ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A Α.1. Έστω μια συνάρτηση f, Μονάδες 9 Α.2. i. Πότε μία συνάρτηση λέγεται 1 1− ; ii. Πότε η ευθεία 0y y= λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας

συνάρτησης στο +∞ ; Μονάδες 3+3

Α.3. Να απαντήσετε με σωστό ή λάθος. i. Αν η ( )f : α,α− → είναι 1 1− τότε δεν είναι άρτια.

Μονάδες 2 ii. Αν ( )f x 0> κοντά στο 0x τότε ισχύει ( )

0x xlim f x 0→

> .

Μονάδες 2 iii. Αν ( )f x 0≠ , για κάθε x σε ένα διάστημα Δ τότε η f έχει σταθερό πρόσημο στο Δ.

Μονάδες 2 iv. Αν στο ( )α,β η ( )f x′ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( ) ( )0 0α,x x ,β∪ και η f είναι συνεχής

στο 0x , τότε το ( )0f x δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Μονάδες 2

v. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ( )f x 0′ = , για κάθε *x∈ , τότε η f είναι σταθερή στο *

. Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β Έστω συνάρτηση f : → η οποία είναι γνησίως μονότονη, συνεχής και τέτοια ώστε

( )x 3

f x 4lim 5

x 3→

−=

− και ( )

x 1

f x 2lim 2

x 1→

−=

−. Να αποδείξετε ότι

Β.1. Η f είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες 5

Β.2. ( )f x 0> , [ ]x 1,3∀ ∈ Μονάδες 5

Β.3. ( ) ( )x 3

f x 2f x 2lim 1

x 3→

− −=

−

Μονάδες 5

Β.4. Υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός ( )0x 1,3∈ τέτοιος ώστε ( ) ( ) ( )0

f 2 f ef x

2+

=

Μονάδες 5

Β.5. Υπάρχει ( )ξ 1,3∈ τέτοιος ώστε ( ) ( ) ( ) ( )22f ξ f 2 f e f e= + Μονάδες 5

____________________________________________________________________________________________________ Σελίδα 1/2

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ ]1,e με ( )f 1 2= , ( )f e e 1= + και σύνολο τιμών

το [ ]1,4− . Να αποδείξετε ότι:

Γ.1. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές ( )1 2x ,x 1,e∈ με 1 2x x≠ , τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f x f x 0′ ′= = . Μονάδες 5

Γ.2. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,e∈ τέτοιο ώστε ( )f ξ 0′′ = Μονάδες 5

Γ.3. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0x 1,e∈ τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )40 0 0 0f x f x 4f x x′ − = .

Μονάδες 5 Γ.4. Η ευθεία y x e 2= − + + τέμνει την fC σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο διάστημα ( )1,e .

Μονάδες 5 Γ.5. Υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ 1,e∈ με 1 2ξ ξ≠ τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f ξ f ξ 1′ ′⋅ =

Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → η οποία για κάθε x∈ ικανοποιεί τη σχέση

( ) ( ) 2 23 3x xf x f x e e− −+ = + .

Δ.1. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση για τη συνάρτηση ( ) 3g x x x= + . Μονάδες 5

Δ.2. Να δείξετε ότι ( ) 2xf x e−= , x∈ . Μονάδες 3

Δ.3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )1φ x ef xf x

= − , x∈ ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα. Μονάδες 3

Δ.4. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )

1 0

0 1

1 dx e f x dx e 1f x

+ < −∫ ∫ .

Μονάδες 2 Δ.5. Έστω ( )F x μια παράγουσα της f στο

, με ( )F 1 0= να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

( )1

0F x dx∫ .

Μονάδες 3

Δ.6. Έστω ( ) ( )1h x

f x= στο [ ]0,1 .

i. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την 1h− Μονάδες 3

ii. Αν 1Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη hC , τους άξονες x΄x , y΄y και την ευθεία x 1= και 2Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 1h

C − , τον άξονα x΄x και τις

κατακόρυφες ευθείες στα άκρα του διαστήματος που ορίζεται η 1h− , να δείξετε ότι 2 1Ε Ε e+ = . Μονάδες 6

____________________________________________________________________________________________________ Σελίδα 2/2