Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

6
TPITH 29 MAΪOY 2012 17 AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA TΩN MAΘHMATIKΩN ΘETIKHΣ KAI TEXNOΛOΓIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012 ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. ΘΕΜΑ Β Β1.α΄ τρόπος: Αν z x iy = + , x, y R τότε: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x1 y x1 y 4 x y 1 + + + + = + = β΄ τρόπος: Έστω ( ) z Μ , η εικόνα του z και ( ) 1,0 B , ( ) A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2 B A AB Μ = η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι ορθή, άρα o BMA 90 = . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2 x y 1 + = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οι διαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και διχοτοούνται. Το B 2 K 2 = , άρα 2 2 2 2 OK 1 OK 2 2 1 1 1 2 4 2 = = = 2 OK O 1 2 OK 2 2 2 Γ= = = . Β3. Έστω w x iy = + , x, y R . ( ) x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12 + = + + = 2 2 16x 36y 144 + = 2 2 x y 1 9 4 + = 2 9 α = , 2 4 β = , 2 5 γ = Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4. Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι η έγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ και ελάχιστη ΣΒ ή ΣΒ . ΘΕΜΑ Γ Γ1. ( ) ( ) f x x 1 lnx 1 = , x 0 > οπότε: () ( ) x ln x x1 x 1 f x ln x (x 1) x + = + = . Είναι ( ) f 1 0 = . Αν x 1 > τότε : ln x 0 x ln x 0 > > και x 1 0 > άρα ( ) f x 0 > οπότε η f Αν 0 x 1 < < τότε: x 1 0 < και ln x 0 < άρα ( ) x1 x ln x 0 + < Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258. Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Για το πεδίο τιών θα βρούε τα ( ) 1 f , ( ) 2 f . ( ) () ( ) 1 x 0 f 1, lim f x f + = , ( ) f1 1 =− ( ) ( ) x 0 x 0 ln x 1 lim f x lim x 1 + + = +∞ = αφού Ολικό ελάχιστο το ( ) 1 1 f =− . x 0 lim ln x + = −∞ και ( ) x 0 x1 lim 1 =− .Άρα ( ) [ ) 1 1, f = +∞ . Το ( ) () ( ) 2 x f 1 , lim f x f →+∞ = ( ) ( ) [ ] x x lim f x lim x 1 ln x 1 →+∞ →+∞ = +∞ = αφού ( ) x lim x 1 →+∞ = +∞ , x lim ln x →+∞ = +∞ άρα ( ) [ ) 2 1, f =− +∞ . Οπότε το σύνολο τιών της f είναι ( ) ( ) [ ) 1 2 1, f f = +∞ . Γ2. x1 2013 x e = (1) ( ) ( ) x1 2013 x1 2013 x e ln x ln e x 1 lnx 2013 x 1 lnx 1 2012 = = = = ( ) f x 2012 = (2) Το ( ) 1 2012 f οπότε υπάρχει ( ) 1 1 1 x x 2012 :f = Το ( ) 2 2012 f οπότε υπάρχει ( ) 2 2 2 x x 2012 :f = Η f είναι ονότονη στα διαστήατα αυτά, άρα η (2) έχει 2 ακριβώς θετικές ρίζες. Εποένως και η ισοδύναή της (1) έχει ακριβώς 2 ρίζες θετικές. Γ3. Το 0 x ρίζα της εξίσωσης. ( ) ( ) f x f x 2012 0 + = ή ( ) ( ) x x x f xe f xe 2012e 0 + = . Επίσης ( ) 1 f x 2012 = και ( ) 2 f x 2012 = . Έστω ( ) ( ) x x hx f xe 2012e = , [ ] 1 2 x x ,x . Η h συνεχής ως αποτέλεσα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( ) x x x h x f xe f xe 2012e = + ( ) ( ) 1 1 x x 1 1 hx f x e 2012e 0 = = , ( ) ( ) 2 2 x x 2 2 hx f x e 2012e 0 = = Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του εωρήατος Rolle , για την h στο [ ] 1 2 x ,x , οπότε υπάρχει ένα ( ) 1 2 0 x x ,x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x 0 0 0 0 0 x 0 f x e f x e 2012e 0 f x f x 2012 h = + = + = Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι: ( ) ( ) e e e e e 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x 1 g x dx x 1 lnxdx x ln xdx x lnx x dx 2 2 2 x = = = = e e 2 2 2 2 e 2 2 1 1 e x e 0 1 dx 2 2 e 2e x e 2e e 1 x e 1 4 2 4 2 4 = = = = 2 2 2 e 2e e 4e 3 3 4 2 4 4 e + = Σχόλιο: Η εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το εβαδόν του ζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε () ( ) 1 g x dx EM Μ = ε 0 M 1 < < και να πάρουε ( ) M 0 EM lim + Η ( ) x φ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων () x 1 f t dt και 2 x x 1 + . Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( ) 2 1 2x g x f x x1 2x 1 e = −+ . Είναι () g0 0 = και () g1 0 = . Άρα η (1): ( ) () gx g0 και ( ) ( ) gx g1 . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα 0 x 0 = , 0 x 1 = και από Θεώρηα Fermat ( ) 0 0 g = και ( ) 1 0 g = . Οπότε ( )( ) 1 f1 1 0 e = και () 1 f11 0 e = Είναι ln x x 1 x < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( ) () x 1 ln x x f x ln t t dt e ft = + . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις. Από την (3): ( ) () x 1 ln x x fx ln t t dt e f t = + . Αν θέσουε () () x 1 ln t t h x dt f t = , ( ) h1 0 = η παραπάνω ισότητα γράφεται: () () () () () () x x 1x e e e e e h x h x h x h x h x h x + = = = ( ) ( ) ( ) x 1x hxe e = () x 1x h xe e c =− + ( ) 1x x x x h e e ce = + ( ) x x h e ce = + ( ) h1 0 e ce 0 c 1 = ⇒− + = = Άρα ( ) () () ( ) ( ) x x x x x 1 x t x ln x x ln t t h e e d e e e f e ln x x ft f x = = = = 2. ( ) ( ) x x 0 x 0 lim f x lim e ln x x + + = = −∞ Έστω ( ) f x αν x 0 + τότε υ → −∞ () () () 2 2 x 0 1 1 1 lim f x f x lim lim 1 f x + υ→−∞ υ→−∞ υ υ −υ υ −υ υ υ = = Θέτω t 1 = υ : 2 t 0 t 0 t 0 t 0 t t t 1 1 t 1 t lim lim lim lim 0 t t t 2 t 2t υ − = = = = 3. ( ) ( ) x f x F = ενώ ( ) ( ) ( ) ( ) x x x 1 x e ln x x e e 1 x F ln x x = =− = ′′ + x x 1 1 e ln x x 1 e x 1 lnx 0 x x = ++ = −− + > Άρα η ( ) x 0 F > ′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0 > . Στα [ ] x,2x , [ ] 2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής, οπότε υπάρχει ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 F 2x Fx x,2x :F x ξ∈ ξ = και υπάρχει () 1 f1 e = και () 1 f1 e =− . Άρα ( ) f x 0 < . Η δοσένη σχέση: () ( ) x 1 ln t t ln x x dt e f x ft = + (3) Είναι οπότε το πρώτο έλος της (3) Η g είναι η διαφορά των () () 2 x x1 1 f t dt x + φ = και 2 x x e . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 F 3x F 2x 2x,3x :F x ξ ξ = . Το 1 2 ξ , η Fγνησίως αύξουσα. ποένως, ( ) ( ) 1 2 F F ξ < ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) F 2x Fx F 3x F 2x x x 2F 2x Fx F 3x < > + 4. Έστω ( ) ( ) ( ) ( ) x F F3 2F x h = β+ β− , [ ] x ,2 ∈β β . Η h συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F3 2F F3 F 0 h β = β+ β− β = β− β < διότι ( ) ( ) F x f x 0 = < οπότε η F γνησίως φθίνουσα. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 F F3 2F 2 0 h β = β+ β− β > Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήατος Bolzano οπότε υπάρχει ( ) ,2 : ξ∈ β β () () ( ) () 0 F F3 2F h ξ = β+ β = ξ . Η h είναι γνησίως ονότονη άρα το ξ είναι οναδικό, διότι ( ) ( ) h x 2f x =− . α τω Κωστής Στρατής, αατς z w z w z max w 1 3 4 + + = + = ( ) z w z w z min w 1 2 1 = Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις ΘΕΜΑ 1. Η ( ) f x 0 και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσηο. Αν ( ) () 2 x x1 2 1 x x gx f t dt 0 e + = (1)

description

Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

Transcript of Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

Page 1: Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

TPITH 29 MAΪOY 2012 17

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA TΩN MAΘHMATIKΩN ΘETIKHΣ KAI TEXNOΛOΓIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Για το πεδίο τιών θα βρούε τα ( )1f , ( )2f .

( ) ( ) ( )1x 0

f 1 , lim f xf+→

=

, ( )f 1 1= −

( ) ( )x 0 x 0

ln x 1lim f x lim x 1+ +→ →

− = +∞= − αφού Ολικό ελάχιστο το ( )1 1f = − .

x 0lim ln x

+→= −∞ και ( )

x 0x 1lim 1

−→− = − .Άρα ( ) [ )1 1,f = − +∞ . Το ( ) ( ) ( )2

xf 1 , lim f xf

→+∞

=

( ) ( )[ ]x xlim f x lim x 1 ln x 1→+∞ →+∞

= +∞= − − αφού ( )xlim x 1→+∞

− = +∞ , xlim ln x→+∞

= +∞ άρα

( ) [ )2 1,f = − +∞ . Οπότε το σύνολο τιών της f είναι ( ) ( ) [ )1 2 1,f f = − +∞ .

Γ2. x 1 2013x e− = (1)

( ) ( )x 1 2013 x 1 2013x e ln x ln e x 1 ln x 2013 x 1 ln x 1 2012− −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔( )f x 2012⇔ = (2)

Το ( )12012 f∈ οπότε υπάρχει ( )111x x 2012: f∈ =

Το ( )22012 f∈ οπότε υπάρχει ( )222x x 2012: f∈ =

Η f είναι ονότονη στα διαστήατα αυτά, άρα η (2) έχει 2 ακριβώς θετικές ρίζες. Εποένως και η ισοδύναή της (1) έχει ακριβώς 2 ρίζες θετικές.

Γ3. Το0

x ρίζα της εξίσωσης. ( ) ( )f x f x 2012 0′ + − = ή ( ) ( )x x xf x e f x e 2012e 0′ + − = .

Επίσης ( )1f x 2012= και ( )2f x 2012= . Έστω ( ) ( ) x xh x f x e 2012e= − , [ ]1 2x x ,x∈ . Ηh συνεχής ως αποτέλεσα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε

παράγωγο ( ) ( ) ( )x x xh x f x e f x e 2012e′ ′= + −

( ) ( ) 1 1x x1 1h x f x e 2012e 0= − = , ( ) ( ) 2 2x x

2 2h x f x e 2012e 0= − =

Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του εωρήατος Rolle , για την h στο [ ]1 2x ,x ,

οπότε υπάρχει ένα ( )1 20x x , x∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x x x0 0 0 0 0x 0 f x e f x e 2012e 0 f x f x 2012h ′ ′= ⇒ + − = ⇒ + =

Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι:

( ) ( )e

e e e e2 2 2

11 1 1 1

x x x 1g x dx x 1 ln xdx x ln xdx x ln x x dx2 2 2 x

= − = − = − − − =∫ ∫ ∫ ∫

e2 2 2 2e2 2

1 1

e xe 0 1 dx2 2

e 2e x e 2e e 1x e 1

42 4 2 4

− − − − =∫

− −− − − −

− = − =

=2 2 2e 2e e 4e 33

42 4 4

e− − −+

− =

Σχόλιο: Η εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το εβαδόν τουζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε

( ) ( )1

g x dx E MΜ

=∫ ε 0 M 1< < και να πάρουε

( )M 0

E Mlim+→

ΘΕΜΑ

1. Η ( )f x 0≠ και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσηο.

Αν ( ) ( )2x x 1 2

1

x xg x f t dt 0e

− + −= − ≥∫ (1)

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Για το πεδίο τιών θα βρούε τα ( )1f , ( )2f .

( ) ( ) ( )1x 0

f 1 , lim f xf+→

=

, ( )f 1 1= −

( ) ( )x 0 x 0

ln x 1lim f x lim x 1+ +→ →

− = +∞= − αφού Ολικό ελάχιστο το ( )1 1f = − .

x 0lim ln x

+→= −∞ και ( )

x 0x 1lim 1

−→− = − .Άρα ( ) [ )1 1,f = − +∞ . Το ( ) ( ) ( )2

xf 1 , lim f xf

→+∞

=

( ) ( )[ ]x xlim f x lim x 1 ln x 1→+∞ →+∞

= +∞= − − αφού ( )xlim x 1→+∞

− = +∞ , xlim ln x→+∞

= +∞ άρα

( ) [ )2 1,f = − +∞ . Οπότε το σύνολο τιών της f είναι ( ) ( ) [ )1 2 1,f f = − +∞ .

Γ2. x 1 2013x e− = (1)

( ) ( )x 1 2013 x 1 2013x e ln x ln e x 1 ln x 2013 x 1 ln x 1 2012− −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔( )f x 2012⇔ = (2)

Το ( )12012 f∈ οπότε υπάρχει ( )111x x 2012: f∈ =

Το ( )22012 f∈ οπότε υπάρχει ( )222x x 2012: f∈ =

Η f είναι ονότονη στα διαστήατα αυτά, άρα η (2) έχει 2 ακριβώς θετικές ρίζες. Εποένως και η ισοδύναή της (1) έχει ακριβώς 2 ρίζες θετικές.

Γ3. Το0

x ρίζα της εξίσωσης. ( ) ( )f x f x 2012 0′ + − = ή ( ) ( )x x xf x e f x e 2012e 0′ + − = .

Επίσης ( )1f x 2012= και ( )2f x 2012= . Έστω ( ) ( ) x xh x f x e 2012e= − , [ ]1 2x x ,x∈ . Ηh συνεχής ως αποτέλεσα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε

παράγωγο ( ) ( ) ( )x x xh x f x e f x e 2012e′ ′= + −

( ) ( ) 1 1x x1 1h x f x e 2012e 0= − = , ( ) ( ) 2 2x x

2 2h x f x e 2012e 0= − =

Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του εωρήατος Rolle , για την h στο [ ]1 2x ,x ,

οπότε υπάρχει ένα ( )1 20x x , x∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x x x0 0 0 0 0x 0 f x e f x e 2012e 0 f x f x 2012h ′ ′= ⇒ + − = ⇒ + =

Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι:

( ) ( )e

e e e e2 2 2

11 1 1 1

x x x 1g x dx x 1 ln xdx x ln xdx x ln x x dx2 2 2 x

= − = − = − − − =∫ ∫ ∫ ∫

e2 2 2 2e2 2

1 1

e xe 0 1 dx2 2

e 2e x e 2e e 1x e 1

42 4 2 4

− − − − =∫

− −− − − −

− = − =

=2 2 2e 2e e 4e 33

42 4 4

e− − −+

− =

Σχόλιο: Η εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το εβαδόν τουζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε

( ) ( )1

g x dx E MΜ

=∫ ε 0 M 1< < και να πάρουε

( )M 0

E Mlim+→

ΘΕΜΑ

1. Η ( )f x 0≠ και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσηο.

Αν ( ) ( )2x x 1 2

1

x xg x f t dt 0e

− + −= − ≥∫ (1)

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Για το πεδίο τιών θα βρούε τα ( )1f , ( )2f .

( ) ( ) ( )1x 0

f 1 , lim f xf+→

=

, ( )f 1 1= −

( ) ( )x 0 x 0

ln x 1lim f x lim x 1+ +→ →

− = +∞= − αφού Ολικό ελάχιστο το ( )1 1f = − .

x 0lim ln x

+→= −∞ και ( )

x 0x 1lim 1

−→− = − .Άρα ( ) [ )1 1,f = − +∞ . Το ( ) ( ) ( )2

xf 1 , lim f xf

→+∞

=

( ) ( )[ ]x xlim f x lim x 1 ln x 1→+∞ →+∞

= +∞= − − αφού ( )xlim x 1→+∞

− = +∞ , xlim ln x→+∞

= +∞ άρα

( ) [ )2 1,f = − +∞ . Οπότε το σύνολο τιών της f είναι ( ) ( ) [ )1 2 1,f f = − +∞ .

Γ2. x 1 2013x e− = (1)

( ) ( )x 1 2013 x 1 2013x e ln x ln e x 1 ln x 2013 x 1 ln x 1 2012− −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔( )f x 2012⇔ = (2)

Το ( )12012 f∈ οπότε υπάρχει ( )111x x 2012: f∈ =

Το ( )22012 f∈ οπότε υπάρχει ( )222x x 2012: f∈ =

Η f είναι ονότονη στα διαστήατα αυτά, άρα η (2) έχει 2 ακριβώς θετικές ρίζες. Εποένως και η ισοδύναή της (1) έχει ακριβώς 2 ρίζες θετικές.

Γ3. Το0

x ρίζα της εξίσωσης. ( ) ( )f x f x 2012 0′ + − = ή ( ) ( )x x xf x e f x e 2012e 0′ + − = .

Επίσης ( )1f x 2012= και ( )2f x 2012= . Έστω ( ) ( ) x xh x f x e 2012e= − , [ ]1 2x x ,x∈ . Ηh συνεχής ως αποτέλεσα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε

παράγωγο ( ) ( ) ( )x x xh x f x e f x e 2012e′ ′= + −

( ) ( ) 1 1x x1 1h x f x e 2012e 0= − = , ( ) ( ) 2 2x x

2 2h x f x e 2012e 0= − =

Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του εωρήατος Rolle , για την h στο [ ]1 2x ,x ,

οπότε υπάρχει ένα ( )1 20x x , x∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x x x0 0 0 0 0x 0 f x e f x e 2012e 0 f x f x 2012h ′ ′= ⇒ + − = ⇒ + =

Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι:

( ) ( )e

e e e e2 2 2

11 1 1 1

x x x 1g x dx x 1 ln xdx x ln xdx x ln x x dx2 2 2 x

= − = − = − − − =∫ ∫ ∫ ∫

e2 2 2 2e2 2

1 1

e xe 0 1 dx2 2

e 2e x e 2e e 1x e 1

42 4 2 4

− − − − =∫

− −− − − −

− = − =

=2 2 2e 2e e 4e 33

42 4 4

e− − −+

− =

Σχόλιο: Η εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το εβαδόν τουζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε

( ) ( )1

g x dx E MΜ

=∫ ε 0 M 1< < και να πάρουε

( )M 0

E Mlim+→

ΘΕΜΑ

1. Η ( )f x 0≠ και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσηο.

Αν ( ) ( )2x x 1 2

1

x xg x f t dt 0e

− + −= − ≥∫ (1)

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η g είναι η διαφορά των ( ) ( )2x x 1

1f t dtx

− +∫φ = και

2x xe− .

Η ( )xφ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων ( )x

1f t dt∫ και 2x x 1− + .

Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( )2 1 2xg x f x x 1 2x 1

e−

′ = − + − − .

Είναι ( )g 0 0= και ( )g 1 0= . Άρα η (1): ( ) ( )g x g 0≥ και ( ) ( )g x g 1≥ . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα

0x 0= ,

0x 1= και από Θεώρηα

Fermat ( )0 0g =′ και ( )1 0g =′ . Οπότε ( )( ) 1f 1 1 0

e− − = και ( ) 1

f 1 1 0e

−− =

( ) 1f 1

e=−και ( ) 1

f 1e

= − . Άρα ( )f x 0< .

Η δοσένη σχέση: ( )

( )x

1

ln t tln x x dt e f xf t

− − = +∫

(3)

Είναι ln x x 1 x≤ − < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος

του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( )

( )

x

1

ln x xf x

ln t t dt ef t

−=

−+∫

. Η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες

συναρτήσεις. Από την (3): ( ) ( )

x

1

ln x xf x

ln t tdt e

f t−

=−

+∫ . Αν θέσουε ( )( )

x

1

ln t th x dt

f t

−= ∫ ,

( )h 1 0= η παραπάνω ισότητα γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x 1 xe e e e eh x h x h x h x h x h x− − −+ ⇒ − = ⇒ − = ⇒′ ′ ′=

( )( ) ( )x 1 xh x e e− −= − ⇒′ ′ ( ) x 1 xh x e e c− −′ = − + ⇒ ( ) 1 x x xxh e e ce−= − + ⇒

( ) xxh e ce= − +( )h 1 0 e ce 0 c 1= ⇒ − + = ⇒ =

Άρα ( )( ) ( )

( ) ( )xx x x x

1x t x

ln x xln t th e e d e e e f e ln x xf t f x

−= = = =∫−−− ⇒ − ⇒ ⇒ −

2. ( ) ( )x

x 0 x 0lim f x lim e ln x x

+ +

→ →= − = −∞

Έστω ( )f x = υ αν x 0+→ τότε υ → −∞

( )( )

( )2 2

x 0

11 1

lim f x f x lim lim1f x+ υ→−∞ υ→−∞→

υ − υ − υ υ − υ

υυ

= =

Θέτω t1=

υ: 2t 0 t 0 t 0 t 0

t t t 11 t 1 tlim lim lim lim 0

t t t 2t 2t→ → → →

− υ − − = = =

=

3. ( ) ( )x f xF =′ ενώ ( ) ( )( ) ( )x xx 1x e ln x x e e 1x

F ln x x− − −= − = − − =

′′ − +′

x x1 1e ln x x 1 e x 1 ln x 0x x

− − = − + + − = − − + > Άρα η ( )x 0F >′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0> . Στα [ ]x,2x , [ ]2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής,

οπότε υπάρχει ( ) ( )( ) ( )

11F 2x F x

x,2x : Fx−

′ξ ∈ ξ = και υπάρχει

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η g είναι η διαφορά των ( ) ( )2x x 1

1f t dtx

− +∫φ = και

2x xe− .

Η ( )xφ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων ( )x

1f t dt∫ και 2x x 1− + .

Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( )2 1 2xg x f x x 1 2x 1

e−

′ = − + − − .

Είναι ( )g 0 0= και ( )g 1 0= . Άρα η (1): ( ) ( )g x g 0≥ και ( ) ( )g x g 1≥ . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα

0x 0= ,

0x 1= και από Θεώρηα

Fermat ( )0 0g =′ και ( )1 0g =′ . Οπότε ( )( ) 1f 1 1 0

e− − = και ( ) 1

f 1 1 0e

−− =

( ) 1f 1

e=−και ( ) 1

f 1e

= − . Άρα ( )f x 0< .

Η δοσένη σχέση: ( )

( )x

1

ln t tln x x dt e f xf t

− − = +∫

(3)

Είναι ln x x 1 x≤ − < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος

του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( )

( )

x

1

ln x xf x

ln t t dt ef t

−=

−+∫

. Η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες

συναρτήσεις. Από την (3): ( ) ( )

x

1

ln x xf x

ln t tdt e

f t−

=−

+∫ . Αν θέσουε ( )( )

x

1

ln t th x dt

f t

−= ∫ ,

( )h 1 0= η παραπάνω ισότητα γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x 1 xe e e e eh x h x h x h x h x h x− − −+ ⇒ − = ⇒ − = ⇒′ ′ ′=

( )( ) ( )x 1 xh x e e− −= − ⇒′ ′ ( ) x 1 xh x e e c− −′ = − + ⇒ ( ) 1 x x xxh e e ce−= − + ⇒

( ) xxh e ce= − +( )h 1 0 e ce 0 c 1= ⇒ − + = ⇒ =

Άρα ( )( ) ( )

( ) ( )xx x x x

1x t x

ln x xln t th e e d e e e f e ln x xf t f x

−= = = =∫−−− ⇒ − ⇒ ⇒ −

2. ( ) ( )x

x 0 x 0lim f x lim e ln x x

+ +

→ →= − = −∞

Έστω ( )f x = υ αν x 0+→ τότε υ → −∞

( )( )

( )2 2

x 0

11 1

lim f x f x lim lim1f x+ υ→−∞ υ→−∞→

υ − υ − υ υ − υ

υυ

= =

Θέτω t1=

υ: 2t 0 t 0 t 0 t 0

t t t 11 t 1 tlim lim lim lim 0

t t t 2t 2t→ → → →

− υ − − = = =

=

3. ( ) ( )x f xF =′ ενώ ( ) ( )( ) ( )x xx 1x e ln x x e e 1x

F ln x x− − −= − = − − =

′′ − +′

x x1 1e ln x x 1 e x 1 ln x 0x x

− − = − + + − = − − + > Άρα η ( )x 0F >′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0> . Στα [ ]x,2x , [ ]2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής,

οπότε υπάρχει ( ) ( )( ) ( )

11F 2x F x

x,2x : Fx−

′ξ ∈ ξ = και υπάρχει

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η g είναι η διαφορά των ( ) ( )2x x 1

1f t dtx

− +∫φ = και

2x xe− .

Η ( )xφ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων ( )x

1f t dt∫ και 2x x 1− + .

Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( )2 1 2xg x f x x 1 2x 1

e−

′ = − + − − .

Είναι ( )g 0 0= και ( )g 1 0= . Άρα η (1): ( ) ( )g x g 0≥ και ( ) ( )g x g 1≥ . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα

0x 0= ,

0x 1= και από Θεώρηα

Fermat ( )0 0g =′ και ( )1 0g =′ . Οπότε ( )( ) 1f 1 1 0

e− − = και ( ) 1

f 1 1 0e

−− =

( ) 1f 1

e=−και ( ) 1

f 1e

= − . Άρα ( )f x 0< .

Η δοσένη σχέση: ( )

( )x

1

ln t tln x x dt e f xf t

− − = +∫

(3)

Είναι ln x x 1 x≤ − < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος

του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( )

( )

x

1

ln x xf x

ln t t dt ef t

−=

−+∫

. Η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες

συναρτήσεις. Από την (3): ( ) ( )

x

1

ln x xf x

ln t tdt e

f t−

=−

+∫ . Αν θέσουε ( )( )

x

1

ln t th x dt

f t

−= ∫ ,

( )h 1 0= η παραπάνω ισότητα γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x 1 xe e e e eh x h x h x h x h x h x− − −+ ⇒ − = ⇒ − = ⇒′ ′ ′=

( )( ) ( )x 1 xh x e e− −= − ⇒′ ′ ( ) x 1 xh x e e c− −′ = − + ⇒ ( ) 1 x x xxh e e ce−= − + ⇒

( ) xxh e ce= − +( )h 1 0 e ce 0 c 1= ⇒ − + = ⇒ =

Άρα ( )( ) ( )

( ) ( )xx x x x

1x t x

ln x xln t th e e d e e e f e ln x xf t f x

−= = = =∫−−− ⇒ − ⇒ ⇒ −

2. ( ) ( )x

x 0 x 0lim f x lim e ln x x

+ +

→ →= − = −∞

Έστω ( )f x = υ αν x 0+→ τότε υ → −∞

( )( )

( )2 2

x 0

11 1

lim f x f x lim lim1f x+ υ→−∞ υ→−∞→

υ − υ − υ υ − υ

υυ

= =

Θέτω t1=

υ: 2t 0 t 0 t 0 t 0

t t t 11 t 1 tlim lim lim lim 0

t t t 2t 2t→ → → →

− υ − − = = =

=

3. ( ) ( )x f xF =′ ενώ ( ) ( )( ) ( )x xx 1x e ln x x e e 1x

F ln x x− − −= − = − − =

′′ − +′

x x1 1e ln x x 1 e x 1 ln x 0x x

− − = − + + − = − − + > Άρα η ( )x 0F >′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0> . Στα [ ]x,2x , [ ]2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής,

οπότε υπάρχει ( ) ( )( ) ( )

11F 2x F x

x,2x : Fx−

′ξ ∈ ξ = και υπάρχει

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η g είναι η διαφορά των ( ) ( )2x x 1

1f t dtx

− +∫φ = και

2x xe− .

Η ( )xφ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων ( )x

1f t dt∫ και 2x x 1− + .

Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( )2 1 2xg x f x x 1 2x 1

e−

′ = − + − − .

Είναι ( )g 0 0= και ( )g 1 0= . Άρα η (1): ( ) ( )g x g 0≥ και ( ) ( )g x g 1≥ . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα

0x 0= ,

0x 1= και από Θεώρηα

Fermat ( )0 0g =′ και ( )1 0g =′ . Οπότε ( )( ) 1f 1 1 0

e− − = και ( ) 1

f 1 1 0e

−− =

( ) 1f 1

e=−και ( ) 1

f 1e

= − . Άρα ( )f x 0< .

Η δοσένη σχέση: ( )

( )x

1

ln t tln x x dt e f xf t

− − = +∫

(3)

Είναι ln x x 1 x≤ − < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος

του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( )

( )

x

1

ln x xf x

ln t t dt ef t

−=

−+∫

. Η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες

συναρτήσεις. Από την (3): ( ) ( )

x

1

ln x xf x

ln t tdt e

f t−

=−

+∫ . Αν θέσουε ( )( )

x

1

ln t th x dt

f t

−= ∫ ,

( )h 1 0= η παραπάνω ισότητα γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x 1 xe e e e eh x h x h x h x h x h x− − −+ ⇒ − = ⇒ − = ⇒′ ′ ′=

( )( ) ( )x 1 xh x e e− −= − ⇒′ ′ ( ) x 1 xh x e e c− −′ = − + ⇒ ( ) 1 x x xxh e e ce−= − + ⇒

( ) xxh e ce= − +( )h 1 0 e ce 0 c 1= ⇒ − + = ⇒ =

Άρα ( )( ) ( )

( ) ( )xx x x x

1x t x

ln x xln t th e e d e e e f e ln x xf t f x

−= = = =∫−−− ⇒ − ⇒ ⇒ −

2. ( ) ( )x

x 0 x 0lim f x lim e ln x x

+ +

→ →= − = −∞

Έστω ( )f x = υ αν x 0+→ τότε υ → −∞

( )( )

( )2 2

x 0

11 1

lim f x f x lim lim1f x+ υ→−∞ υ→−∞→

υ − υ − υ υ − υ

υυ

= =

Θέτω t1=

υ: 2t 0 t 0 t 0 t 0

t t t 11 t 1 tlim lim lim lim 0

t t t 2t 2t→ → → →

− υ − − = = =

=

3. ( ) ( )x f xF =′ ενώ ( ) ( )( ) ( )x xx 1x e ln x x e e 1x

F ln x x− − −= − = − − =

′′ − +′

x x1 1e ln x x 1 e x 1 ln x 0x x

− − = − + + − = − − + > Άρα η ( )x 0F >′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0> . Στα [ ]x,2x , [ ]2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής,

οπότε υπάρχει ( ) ( )( ) ( )

11F 2x F x

x,2x : Fx−

′ξ ∈ ξ = και υπάρχει

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η g είναι η διαφορά των ( ) ( )2x x 1

1f t dtx

− +∫φ = και

2x xe− .

Η ( )xφ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων ( )x

1f t dt∫ και 2x x 1− + .

Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( )2 1 2xg x f x x 1 2x 1

e−

′ = − + − − .

Είναι ( )g 0 0= και ( )g 1 0= . Άρα η (1): ( ) ( )g x g 0≥ και ( ) ( )g x g 1≥ . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα

0x 0= ,

0x 1= και από Θεώρηα

Fermat ( )0 0g =′ και ( )1 0g =′ . Οπότε ( )( ) 1f 1 1 0

e− − = και ( ) 1

f 1 1 0e

−− =

( ) 1f 1

e=−και ( ) 1

f 1e

= − . Άρα ( )f x 0< .

Η δοσένη σχέση: ( )

( )x

1

ln t tln x x dt e f xf t

− − = +∫

(3)

Είναι ln x x 1 x≤ − < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος

του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( )

( )

x

1

ln x xf x

ln t t dt ef t

−=

−+∫

. Η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες

συναρτήσεις. Από την (3): ( ) ( )

x

1

ln x xf x

ln t tdt e

f t−

=−

+∫ . Αν θέσουε ( )( )

x

1

ln t th x dt

f t

−= ∫ ,

( )h 1 0= η παραπάνω ισότητα γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x 1 xe e e e eh x h x h x h x h x h x− − −+ ⇒ − = ⇒ − = ⇒′ ′ ′=

( )( ) ( )x 1 xh x e e− −= − ⇒′ ′ ( ) x 1 xh x e e c− −′ = − + ⇒ ( ) 1 x x xxh e e ce−= − + ⇒

( ) xxh e ce= − +( )h 1 0 e ce 0 c 1= ⇒ − + = ⇒ =

Άρα ( )( ) ( )

( ) ( )xx x x x

1x t x

ln x xln t th e e d e e e f e ln x xf t f x

−= = = =∫−−− ⇒ − ⇒ ⇒ −

2. ( ) ( )x

x 0 x 0lim f x lim e ln x x

+ +

→ →= − = −∞

Έστω ( )f x = υ αν x 0+→ τότε υ → −∞

( )( )

( )2 2

x 0

11 1

lim f x f x lim lim1f x+ υ→−∞ υ→−∞→

υ − υ − υ υ − υ

υυ

= =

Θέτω t1=

υ: 2t 0 t 0 t 0 t 0

t t t 11 t 1 tlim lim lim lim 0

t t t 2t 2t→ → → →

− υ − − = = =

=

3. ( ) ( )x f xF =′ ενώ ( ) ( )( ) ( )x xx 1x e ln x x e e 1x

F ln x x− − −= − = − − =

′′ − +′

x x1 1e ln x x 1 e x 1 ln x 0x x

− − = − + + − = − − + > Άρα η ( )x 0F >′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0> . Στα [ ]x,2x , [ ]2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής,

οπότε υπάρχει ( ) ( )( ) ( )

11F 2x F x

x,2x : Fx−

′ξ ∈ ξ = και υπάρχει

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η g είναι η διαφορά των ( ) ( )2x x 1

1f t dtx

− +∫φ = και

2x xe− .

Η ( )xφ είναι η σύνθεση των παραγωγίσιων συναρτήσεων ( )x

1f t dt∫ και 2x x 1− + .

Οπότε η g είναι παραγωγίσιη ε παράγωγο ( ) ( ) ( )2 1 2xg x f x x 1 2x 1

e−

′ = − + − − .

Είναι ( )g 0 0= και ( )g 1 0= . Άρα η (1): ( ) ( )g x g 0≥ και ( ) ( )g x g 1≥ . Η g παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα

0x 0= ,

0x 1= και από Θεώρηα

Fermat ( )0 0g =′ και ( )1 0g =′ . Οπότε ( )( ) 1f 1 1 0

e− − = και ( ) 1

f 1 1 0e

−− =

( ) 1f 1

e=−και ( ) 1

f 1e

= − . Άρα ( )f x 0< .

Η δοσένη σχέση: ( )

( )x

1

ln t tln x x dt e f xf t

− − = +∫

(3)

Είναι ln x x 1 x≤ − < οπότε το πρώτο έλος της (3) δεν ηδενίζεται, άρα και κάθε όρος

του δεύτερου έλους της (3) είναι η ηδενικός άρα ( )

( )

x

1

ln x xf x

ln t t dt ef t

−=

−+∫

. Η συνάρτηση

f είναι παραγωγίσιη αφού το δεύτερο έλος αποτελείται από παραγωγίσιες

συναρτήσεις. Από την (3): ( ) ( )

x

1

ln x xf x

ln t tdt e

f t−

=−

+∫ . Αν θέσουε ( )( )

x

1

ln t th x dt

f t

−= ∫ ,

( )h 1 0= η παραπάνω ισότητα γράφεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x 1 xe e e e eh x h x h x h x h x h x− − −+ ⇒ − = ⇒ − = ⇒′ ′ ′=

( )( ) ( )x 1 xh x e e− −= − ⇒′ ′ ( ) x 1 xh x e e c− −′ = − + ⇒ ( ) 1 x x xxh e e ce−= − + ⇒

( ) xxh e ce= − +( )h 1 0 e ce 0 c 1= ⇒ − + = ⇒ =

Άρα ( )( ) ( )

( ) ( )xx x x x

1x t x

ln x xln t th e e d e e e f e ln x xf t f x

−= = = =∫−−− ⇒ − ⇒ ⇒ −

2. ( ) ( )x

x 0 x 0lim f x lim e ln x x

+ +

→ →= − = −∞

Έστω ( )f x = υ αν x 0+→ τότε υ → −∞

( )( )

( )2 2

x 0

11 1

lim f x f x lim lim1f x+ υ→−∞ υ→−∞→

υ − υ − υ υ − υ

υυ

= =

Θέτω t1=

υ: 2t 0 t 0 t 0 t 0

t t t 11 t 1 tlim lim lim lim 0

t t t 2t 2t→ → → →

− υ − − = = =

=

3. ( ) ( )x f xF =′ ενώ ( ) ( )( ) ( )x xx 1x e ln x x e e 1x

F ln x x− − −= − = − − =

′′ − +′

x x1 1e ln x x 1 e x 1 ln x 0x x

− − = − + + − = − − + > Άρα η ( )x 0F >′′ άρα η F στρέφει τα κοίλα προς τα άνω για x 0> . Στα [ ]x,2x , [ ]2x,3x η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήατος Μέσης ιής,

οπότε υπάρχει ( ) ( )( ) ( )

11F 2x F x

x,2x : Fx−

′ξ ∈ ξ = και υπάρχει

ΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

( ) ( )( ) ( )

22F 3x F 2x

2x,3x : Fx−

′ξ ∈ ξ = . Το1 2ξ < ξ , η F′ γνησίως αύξουσα. ποένως,

( ) ( )1 2F F′ ′ξ < ξ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F 2x F x F 3x F 2x

x x2F 2x F x F 3x− −

⇒ < ⇒ > +

4. Έστω ( ) ( ) ( ) ( )x F F 3 2F xh = β + β − , [ ]x ,2∈ β β . Η h συνεχής ως διαφορά συνεχών

συναρτήσεων. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F 3 2F F 3 F 0h β = β + β − β = β − β < διότι ( ) ( )F x f x 0′ = <οπότε η F γνησίως φθίνουσα. ( ) ( ) ( ) ( )2 F F 3 2F 2 0h β = β + β − β >

Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήατος Bolzano οπότε υπάρχει( ), 2 :ξ∈ β β ( ) ( ) ( ) ( )0 F F 3 2Fh ξ = ⇒ β + β = ξ . Η h είναι γνησίως ονότονη άρα το ξ

είναι οναδικό, διότι ( ) ( )h x 2f x′ = − .

α τωΚωστής Στρατής, αατς

ΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

( ) ( )( ) ( )

22F 3x F 2x

2x,3x : Fx−

′ξ ∈ ξ = . Το1 2ξ < ξ , η F′ γνησίως αύξουσα. ποένως,

( ) ( )1 2F F′ ′ξ < ξ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F 2x F x F 3x F 2x

x x2F 2x F x F 3x− −

⇒ < ⇒ > +

4. Έστω ( ) ( ) ( ) ( )x F F 3 2F xh = β + β − , [ ]x ,2∈ β β . Η h συνεχής ως διαφορά συνεχών

συναρτήσεων. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F 3 2F F 3 F 0h β = β + β − β = β − β < διότι ( ) ( )F x f x 0′ = <οπότε η F γνησίως φθίνουσα. ( ) ( ) ( ) ( )2 F F 3 2F 2 0h β = β + β − β >

Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήατος Bolzano οπότε υπάρχει( ), 2 :ξ∈ β β ( ) ( ) ( ) ( )0 F F 3 2Fh ξ = ⇒ β + β = ξ . Η h είναι γνησίως ονότονη άρα το ξ

είναι οναδικό.

α τωΚωστής Στρατής, αατς

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαθηατικ Θετικής και Τεχνολογικής ΚατεύθυνσηςΓ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 253. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 191. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 258.Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) ΛΘΕΜΑ ΒΒ1.α΄ τρόπος:

Αν z x iy= + , x, y R∈ τότε: ( ) ( )2 2 2 2 22 2x 1 y x 1 y 4 x y 1− + + + + = ⇔ + =

β΄ τρόπος: Έστω ( )zΜ , η εικόνα του z και ( )1,0B − , ( )A 1,0 η (1) γράφεται: 2 2 2B A ABΜ + Μ = ⇔ η γωνία του τριγώνου ΑΒΜ που είναι απέναντι από την ΑΒ είναι

ορθή, άρα oBMA 90= . Εποένως το ΑΒ φαίνεται από το Μ, υπό ορθή γωνία, οπότε ο

γεωετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος διαέτρου ΑΒ. Άρα 2 2 2x y 1+ = . Β2. Το ΟΑΓΒ είναι ρόβος οπότε οιδιαγώνιες τένονται κάθετα στο Κ και

διχοτοούνται. Το B2

K2

= , άρα

22 2 2OK 1 OK

2 2 11 1

2 4 2= − ⇒ = − = − ⇒

2OK O1 2

OK 22 2

⇒ Γ =⇒ = ⇒ = .

Β3. Έστω w x iy= + , x, y R∈ . ( )x iy 5 x iy 12 x iy 5x 5yi 12+ − − = ⇒ + − + = ⇒

2 216x 36y 144+ = ⇒2 2x y

19 4

⇒ + =

2 9α = , 2 4β = , 2 5γ =Η έγιστη τιή του w είναι 3 και η ελάχιστη τιή του w είναι 2. Β4.z w z w z max w 1 3 4− ≤ + ≤ + = + =

( )z w z w z min w 1 2 1− ≥ − ≥ − ≥ − =

Στο διπλανό σχήα φαίνεται ότι ηέγιστη απόσταση A′Λ ή ΚΑ καιελάχιστη ΣΒ ή ′ ′Σ Β .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( ) ( )f x x 1 ln x 1= − − , x 0> Η f αποτελείται από παραγωγίσιες συναρτήσεις

οπότε: ( ) ( )x ln x x 1x

1f x ln x (x 1)

x+ −′ = + − = . Είναι ( )f 1 0′ = .

Αν x 1> τότε : ln x 0 x ln x 0> ⇒ > και x 1 0− > άρα ( )f x 0′ > οπότε η f ↑Αν 0 x 1< < τότε: x 1 0− < και ln x 0< άρα ( )x 1x ln x 0−+ <Τα παραπάνω φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Για το πεδίο τιών θα βρούε τα ( )1f , ( )2f .

( ) ( ) ( )1x 0

f 1 , lim f xf+→

=

, ( )f 1 1= −

( ) ( )x 0 x 0

ln x 1lim f x lim x 1+ +→ →

− = +∞= − αφού Ολικό ελάχιστο το ( )1 1f = − .

x 0lim ln x

+→= −∞ και ( )

x 0x 1lim 1

−→− = − .Άρα ( ) [ )1 1,f = − +∞ . Το ( ) ( ) ( )2

xf 1 , lim f xf

→+∞

=

( ) ( )[ ]x xlim f x lim x 1 ln x 1→+∞ →+∞

= +∞= − − αφού ( )xlim x 1→+∞

− = +∞ , xlim ln x→+∞

= +∞ άρα

( ) [ )2 1,f = − +∞ . Οπότε το σύνολο τιών της f είναι ( ) ( ) [ )1 2 1,f f = − +∞ .

Γ2. x 1 2013x e− = (1)

( ) ( )x 1 2013 x 1 2013x e ln x ln e x 1 ln x 2013 x 1 ln x 1 2012− −= ⇔ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔( )f x 2012⇔ = (2)

Το ( )12012 f∈ οπότε υπάρχει ( )111x x 2012: f∈ =

Το ( )22012 f∈ οπότε υπάρχει ( )222x x 2012: f∈ =

Η f είναι ονότονη στα διαστήατα αυτά, άρα η (2) έχει 2 ακριβώς θετικές ρίζες. Εποένως και η ισοδύναή της (1) έχει ακριβώς 2 ρίζες θετικές.

Γ3. Το0

x ρίζα της εξίσωσης. ( ) ( )f x f x 2012 0′ + − = ή ( ) ( )x x xf x e f x e 2012e 0′ + − = .

Επίσης ( )1f x 2012= και ( )2f x 2012= . Έστω ( ) ( ) x xh x f x e 2012e= − , [ ]1 2x x ,x∈ . Ηh συνεχής ως αποτέλεσα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Η h παραγωγίσιη ε

παράγωγο ( ) ( ) ( )x x xh x f x e f x e 2012e′ ′= + −

( ) ( ) 1 1x x1 1h x f x e 2012e 0= − = , ( ) ( ) 2 2x x

2 2h x f x e 2012e 0= − =

Άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του εωρήατος Rolle , για την h στο [ ]1 2x ,x ,

οπότε υπάρχει ένα ( )1 20x x , x∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x x x0 0 0 0 0x 0 f x e f x e 2012e 0 f x f x 2012h ′ ′= ⇒ + − = ⇒ + =

Γ4. Όπως διατυπώνεται, το ζητούενο εβαδόν είναι:

( ) ( )e

e e e e2 2 2

11 1 1 1

x x x 1g x dx x 1 ln xdx x ln xdx x ln x x dx2 2 2 x

= − = − = − − − =∫ ∫ ∫ ∫

e2 2 2 2e2 2

1 1

e xe 0 1 dx2 2

e 2e x e 2e e 1x e 1

42 4 2 4

− − − − =∫

− −− − − −

− = − =

=2 2 2e 2e e 4e 33

42 4 4

e− − −+

− =

Σχόλιο: Η εκφώνηση δεν περιγράφει σωστά το εβαδόν τουζητούενου χωρίου. Υπάρχει περίπτωση να υπολογίσουε

( ) ( )1

g x dx E MΜ

=∫ ε 0 M 1< < και να πάρουε

( )M 0

E Mlim+→

ΘΕΜΑ

1. Η ( )f x 0≠ και ως συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσηο.

Αν ( ) ( )2x x 1 2

1

x xg x f t dt 0e

− + −= − ≥∫ (1)

Page 2: Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

TPITH 29 MAΪOY 201216Αρχαία Ελληνικά Θεωρητικής Κατεύθυνσης 2012 (ρτεινόενες Απαντήσεις)

ΓνωστόΑ1. ΜετάφρασηΚαι αυτά, επειδή η ηθική αρετή συνδέεται ε τα ευχάριστα και τα δυσάρεστασυναισθήατα˙ δηλαδή για την ευχαρίστηση κάνουε τις τιποτένιες πράξεις, ενώεξαιτίας της λύπης ένουε ακριά από τα (αισθητικώς) ωραία πράγατα. Γι’ αυτόπρέπει από την πιο ικρή ηλικία να έχουε διαπαιδαγωγηθεί, όπως λέει ο Πλάτωνας, ετέτοιον τρόπο, ώστε να χαιρόαστε και να λυπόαστε ε αυτά που πρέπει πραγατικάαυτή είναι η σωστή παιδεία. Όως δεν πρέπει να πούε να πούε όνο αυτό ότι δηλαδή (η αρετή είναι) έξη, αλλά καιποιας ακριβώς ποιότητας (έξη). Πρέπει λοιπόν να πούε ότι κάθε αρετή, όποιου τυχόνπράγατος είναι αρετή, και το ίδιο το πράγα το κάνει να φτάσει στην τέλεια κατάστασήτου και το βοηθάει να εκτελέσει ε τον πιο σωστό τρόπο το έργο που είναι προορισένογι’ αυτό˙ για παράδειγα, η αρετή του ατιού κάνει τέλειο και το άτι και το έργο πουείναι προορισένο γι’ αυτό, γιατί χάρη στην αρετή του ατιού βλέπουε καλά. Όοια καιη αρετή του αλόγου˙ κάνει το άλογο και τέλειο και ικανό να τρέξει και να σηκώσειεπάνω του τον αναβάτη και να είνει να αντιετωπίσει τους εχθρούς. Αν λοιπόν αυτόσυβαίνει σε όλες τις περιπτώσεις, τότε και η αρετή του ανθρώπου θα είναι η έξη λόγωτης οποίας ο άνθρωπος γίνεται καλός και χάρη στην οποία θα εκτελέσει ε το σωστότρόπο το έργο που είναι προορισένο γι’ αυτόν. Β1. Στο παρατιθέενο απόσπασα ο Αριστοτέλης αναφέρεται στο ασφαλές κατά τηγνώη του, κριτήριο («σηεῖον») ε το οποίο πορεί να διαπιστωθεί το είδος «τῶνἓξεων» που τείνει να διαορφώσει και να παγιώσει κάποιος άνθρωπος. Ο φιλόσοφοςκάνει κάποιες παρατηρήσεις σχετικά ε τα συναισθήατα που συνοδεύουν τις πράξειςας. Όταν ο άνθρωπος έχει διαορφώσει τα όνια στοιχεία του χαρακτήρα του, δοκιάζει κατά την εκτέλεση ιας πράξης ένα ευχάριστο ή δυσάρεστο συναίσθηα καιαυτό είναι το σηάδι, το κριτήριο που δείχνει ότι πράγατι έχουν διαορφωθεί αυτά ταστοιχεία. Για να κάνει εναργέστερη αυτή τη θέση, ο Αριστοτέλης φέρνει δύο(αποδεικτικά και όχι ενισχυτικά) παραδείγατα: στο πρώτο ο άνθρωπος απέχει από κάτι, ενώ στο δεύτερο δοκιάζει κάτι. Πιο συγκεκριένα, αναφέρεται στην αποχή από τιςσωατικές ηδονές. Αν δηλαδή κάποιος απέχει από τις σωατικές απολαύσεις καιαισθάνεται χαρά γι’ αυτό είναι εγκρατής («ὁ ὲν γάρ ἀπεχόενος … σώφρων»). Αντίθετα, αν κάποιος δυσανασχετεί γι’ αυτή την αποχή, αυτό σηαίνει ότι πάλι έχειδιαορφωθεί ένα όνιο στοιχείο του χαρακτήρα του αλλά αρνητικό: ο άνθρωπος αυτόςείναι ακόλαστος («ὁδ’ ἀχθόενος ἀκόλαστος»). Κατά τον ίδιο τρόπο, κάποιος που αντιετωπίζει ε χαρά ή, έστω, χωρίς λύπη τιςδυσχέρειες ή τους κινδύνους που συναντά στη ζωή του, ο άνθρωπος αυτός είναι ανδρείος(«ὁ ὲν ὑποένων τα δεινά καὶ χαίρων ἤ ὴ λυπούενός γε ἀνδρεῖος»). Αν όωςκάποιος νιώθει δυσάρεστα ’ αυτή την αντιετώπιση, χαρακτηρίζεται ως δειλός («ὁ δὲλυπούενος δειλός»). Μετά την παράθεση των παραπάνω παραδειγάτων, ο Σταγειρίτης φιλόσοφος, σύφωναε την πάγια συνήθειά του, διατυπώνει το γενικό συπέρασα που συνάγεται ε βάσηαυτά: οι ηθικές αρετές συνδέονται άρρηκτα ε τα συναισθήατα της ηδονής και τηςλύπης, ε τις ευάρεστες ή τις δυσάρεστες συναισθηατικές διαθέσεις («Περὶ ἡδονάς γὰρκαὶ λύπας ἐστίν ἡ ἠθική ἀρετή»). Ο Αριστοτέλης τέλος συναρτά τις ηθικές ιδιότητες και ε τον συναισθηατικό κόσο τουανθρώπου, τις παρορήσεις του, τις επιθυίες του, τον υχισό του. εν αρκεί ναγνωρίζει κανείς τι είναι σώφρον, ανδρείο ή δίκαιο για να το πράξει, αλλά είναιαπαραίτητο και να θέλει, να επιθυεί να το κάνει. Β2.α. Στο συγκεκριένο απόσπασα ο Αριστοτέλης κάνει ευρεία χρήση τωνφιλοσοφικών εννοιών « ἕξις», «ἀρετή» και «ἔργον», προκειένου να προσδιορίσει τιςηθικές αρετές που θα οδηγήσουν στην ευδαιονία του ανθρώπου. ἕξις: Η λέξη παράγεται από τον έλλοντα «ἕξω» του ρήατος «ἕχω» (από το θέα σεχ - < h εχ- <ἑχ- + παραγωγική κατάληξη –σις, η οποία δηλώνει ενέργεια. Η αρχική σηασίατης λέξης «ἕξις» είναι το να έχει ή να κατέχει κανείς συνέχεια κάτι που το έχειαποκτήσει. εν είναι όως όνο ενέργεια αλλά και αυτό που την ακολουθεί: η όνιηκατάσταση, η ιδιότητα που προκύπτει από συνήθεια ή από άσκηση και ε αυτή τησηασία τη χρησιοποιεί ο Αριστοτέλης, δίνοντάς της ηθικό περιεχόενο. Με άλλαλόγια έξεις είναι τα όνια ηθικά γνωρίσατα, τα όνια στοιχεία του χαρακτήρα ας, καλά ή κακά, αρετές ή κακίες. Στη νέα ελληνική, η λέξη έξη έχει κυρίως ψυχολογικόπεριεχόενο και είναι η συνήθεια (ή ο τρόπος συπεριφοράς) ως αποτέλεσαεπανάληψης, άθησης ή συνεχούς επίδρασης του ίδιου παράγοντα. ἀρετή: Η λέξη ἀρετή (<ριζ. ἀρ-) σχετίζεται ετυολογικά ε τις λέξεις Ἄρης, ἀρείων, ἄριστος, ἀραρίσκω (= ταιριάζω, προσαρόζω), ἀρέσω (η πρώτη σηασία της ἀρετῆςήταν η ανδρεία, η γενναιότητα στον πόλεο.). Κατά τον Αριστοτέλη, η «ἀρετή» κάνειαυτόν (αυτό) που την έχει να βρίσκεται στην τέλεια κατάστασή του (“εὖ ἔχον ἀποτελεῖ”) και το βοηθά να εκτελεί ε σωστό τρόπο το έργο για το οποίο είναι προορισένο από τηφύση («τὸ ἔργον αὐτοῡ εὖ ἀποδίδωσιν»). Τα παραπάνω επιβεβαιώνονται και από τηχρήση επειρικών παραδειγάτων που συνιστούν προσφιλή έθοδο του Αριστοτέλη. Ειδικότερα, θεωρεί πως η αρετή του ατιού είναι αυτή που καθιστά το άτι ικανό ναβλέπει αποτελεσατικά, αφού πρώτα φτάσει στην τέλεια κατάστασή του («οἷον ἡ τοῡὀφθαλοῡ ἀρετή … καὶ τὸ ἒργον αὐτοῡ»). Οοίως και στην περίπτωση του αλόγουχάρη στην αρετή ὁ ἵππος καθίσταται τέλειος, ἀγαθὸν δραεῖν καὶ ἐνεγκεῖν τὸν ἐπιβάτηνκαὶ εῖναι τούς πολείους. Τέλος, η αρετή του ανθρώπου επιτελεί το ίδιο ακριβώς έργοπου συνίσταται στην τελείωση των πράξεων του ανθρώπου (έσω της έξεως) αλλά καιτου ιδίου. Κατά συνέπεια, η αρετή δεν αφορά όνο στους ανθρώπους αλλά και στα ζώακαι τα πράγατα, άρα στα έψυχα και τα άψυχα. Με άλλα λόγια, η λέξη δεν έχειαποκλειστικά ηθικό περιεχόενο (όπως και στη νέα ελληνική) αλλά αποτελείοποιαδήποτε θετική ικανότητα ή απλώς ιδιότητα, που υπάρχει σε εγάλο βαθό (είναι ηυπεροχή, η ανωτερότητα σε κάτι), το προτέρηα, η αξιοσύνη έψυχων και άψυχων πουτα κάνει σπουδαία (=άξια σπουδής, αξιόλογα τέλεια), ενώ στην περίπτωση τουανθρώπου τη θέση του σπουδαῖος λαβάνει ο όρος ἀγαθός. Τέλος, η «εντελέχεια» (<ἐντελῶς + ἒχειν), ως όρος της αριστοτελικής φιλοσοφίας σηαίνει: ολοκλήρωση ήπραγατοποίηση ή τελείωση ιας κατάστασης. Η αρετή λοιπόν, ως «δυνάεις» στοιχείοτης ανθρώπινης οντότητας είναι η φυσική εκείνη δύναη που στρέφει τον άνθρωπο στηνεπίτευξη της πλήρους τελειότητας. ἒργον: Πρόκειται για τον προορισό του κάθε πράγατος (τὸ ἒργον αὐτοῡ). Σύφωναε τον Αριστοτέλη η φύσις, η οποία οὐδέν ποιεῖ άτην, έχει αναθέσει σε καθετί πουυπάρχει σ’ αυτόν τον κόσο ένα ἒργον, δηλαδή ία καθορισένη πορεία ε ένασυγκεκριένο τελικό σκοπό και προορισό, ε συγκεκριένη ποιότητα πουκαταδεικνύεται από την επανάληψη του επιρρήατος «εὖ». Όταν επιτελεστεί το έργο, τοον φτάνει στο τέλος του (στην τελείωσή του, στην τέλεια κατάστασή του). Έτσι, υπάρχειἒργον του ατιού, του αλόγου, του χεριού, του ποδιού, κ.ο.κ., όπως βέβαια και ἒργον τουανθρώπου, το οποίο είναι ψυχῆς ἐνέργεια κατά λόγος ἤ ὴ ἂνευ λόγου. Ο Σταγειρίτηςφιλόσοφος λοιπόν, ορίζει ως «τέλος» του ανθρώπου την ευδαιονία και ως «ἒργον» του, που τον οδηγεί σε αυτή, θεωρεί την ηθική πράξη, την ορθή συπεριφορά. Β2.β. Ο Αριστοτέλης στην προσπάθειά του να ορίσει την ηθική αρετή διαπιστώνει ότιαυτή αποτελεί ια ορφή «ἓξεως». Προκειένου να καταστήσει πληρέστερα τον ορισότου, διερευνά στη συνέχεια τι είδους «ἓξις» είναι η ηθική αρετή («ποια τις»), ποια είναιδηλαδή η «ειδοποιός διαφορά» της έναντι των «ἓξεων» εκείνων που συνιστούν ορφέςφαυλότητας ηθικής ειονεξίας. Για το σκοπό αυτό ο φιλόσοφος εντοπίζε αρχικά τις δύοβασικές λειτουργίες που «ἡ ἀρετή» γενικά επιτελεί σε οποιοδήποτε φυσικό ή τεχνητόδηιούργηα. Έτσι, υποστηρίζει ότι η αρετή κάθε πράγατος:

οδηγεί αυτό το ίδιο στην ολοκλήρωση, στην τελείωση του («αὐτό τε εὖ ἔχονἀποτελεῖ») και

το καθιστά ικανό να επιτελέσει ε άρτιο τρόπο το «ἔργον», τη δραστηριότηταεκείνη για την οποία η φύση ή ο κατασκευαστής του το έχει προορίσει («καὶ τοἔργον αὐτοῡ εὖ ἀποδίδωσιν»).

Μετά την παράθεση σχετικών παραδειγάτων που επιβεβαιώνουν την παραπάνω θέσητου, ο Αριστοτέλης οδηγείται στη διαπίστωση ότι «καὶ ἡ τοῡ ἀνθρώπου ἀρετὴ εἴη ἂν ἡἓξις ἀφ’ ἧς ἀγαθὸς ἂνθρωπος γίνεται καὶ ἀφ’ ἧς εὖ τὸ ἑαυτοῡ ἔργον

κατάσταση, η ιδιότητα που προκύπτει από συνήθεια ή από άσκηση και ε αυτή τησηασία τη χρησιοποιεί ο Αριστοτέλης, δίνοντάς της ηθικό περιεχόενο. Με άλλαλόγια έξεις είναι τα όνια ηθικά γνωρίσατα, τα όνια στοιχεία του χαρακτήρα ας, καλά ή κακά, αρετές ή κακίες. Στη νέα ελληνική, η λέξη έξη έχει κυρίως ψυχολογικόπεριεχόενο και είναι η συνήθεια (ή ο τρόπος συπεριφοράς) ως αποτέλεσαεπανάληψης, άθησης ή συνεχούς επίδρασης του ίδιου παράγοντα. ἀρετή: Η λέξη ἀρετή (<ριζ. ἀρ-) σχετίζεται ετυολογικά ε τις λέξεις Ἄρης, ἀρείων, ἄριστος, ἀραρίσκω (= ταιριάζω, προσαρόζω), ἀρέσω (η πρώτη σηασία της ἀρετῆςήταν η ανδρεία, η γενναιότητα στον πόλεο.). Κατά τον Αριστοτέλη, η «ἀρετή» κάνειαυτόν (αυτό) που την έχει να βρίσκεται στην τέλεια κατάστασή του (“εὖ ἔχον ἀποτελεῖ”) και το βοηθά να εκτελεί ε σωστό τρόπο το έργο για το οποίο είναι προορισένο από τηφύση («τὸ ἔργον αὐτοῡ εὖ ἀποδίδωσιν»). Τα παραπάνω επιβεβαιώνονται και από τηχρήση επειρικών παραδειγάτων που συνιστούν προσφιλή έθοδο του Αριστοτέλη. Ειδικότερα, θεωρεί πως η αρετή του ατιού είναι αυτή που καθιστά το άτι ικανό ναβλέπει αποτελεσατικά, αφού πρώτα φτάσει στην τέλεια κατάστασή του («οἷον ἡ τοῡὀφθαλοῡ ἀρετή … καὶ τὸ ἒργον αὐτοῡ»). Οοίως και στην περίπτωση του αλόγουχάρη στην αρετή ὁ ἵππος καθίσταται τέλειος, ἀγαθὸν δραεῖν καὶ ἐνεγκεῖν τὸν ἐπιβάτηνκαὶ εῖναι τούς πολείους. Τέλος, η αρετή του ανθρώπου επιτελεί το ίδιο ακριβώς έργοπου συνίσταται στην τελείωση των πράξεων του ανθρώπου (έσω της έξεως) αλλά καιτου ιδίου. Κατά συνέπεια, η αρετή δεν αφορά όνο στους ανθρώπους αλλά και στα ζώακαι τα πράγατα, άρα στα έψυχα και τα άψυχα. Με άλλα λόγια, η λέξη δεν έχειαποκλειστικά ηθικό περιεχόενο (όπως και στη νέα ελληνική) αλλά αποτελείοποιαδήποτε θετική ικανότητα ή απλώς ιδιότητα, που υπάρχει σε εγάλο βαθό (είναι ηυπεροχή, η ανωτερότητα σε κάτι), το προτέρηα, η αξιοσύνη έψυχων και άψυχων πουτα κάνει σπουδαία (=άξια σπουδής, αξιόλογα τέλεια), ενώ στην περίπτωση τουανθρώπου τη θέση του σπουδαῖος λαβάνει ο όρος ἀγαθός. Τέλος, η «εντελέχεια» (<ἐντελῶς + ἒχειν), ως όρος της αριστοτελικής φιλοσοφίας σηαίνει: ολοκλήρωση ήπραγατοποίηση ή τελείωση ιας κατάστασης. Η αρετή λοιπόν, ως «δυνάεις» στοιχείοτης ανθρώπινης οντότητας είναι η φυσική εκείνη δύναη που στρέφει τον άνθρωπο στηνεπίτευξη της πλήρους τελειότητας. ἒργον: Πρόκειται για τον προορισό του κάθε πράγατος (τὸ ἒργον αὐτοῡ). Σύφωναε τον Αριστοτέλη η φύσις, η οποία οὐδέν ποιεῖ άτην, έχει αναθέσει σε καθετί πουυπάρχει σ’ αυτόν τον κόσο ένα ἒργον, δηλαδή ία καθορισένη πορεία ε ένασυγκεκριένο τελικό σκοπό και προορισό, ε συγκεκριένη ποιότητα πουκαταδεικνύεται από την επανάληψη του επιρρήατος «εὖ». Όταν επιτελεστεί το έργο, τοον φτάνει στο τέλος του (στην τελείωσή του, στην τέλεια κατάστασή του). Έτσι, υπάρχειἒργον του ατιού, του αλόγου, του χεριού, του ποδιού, κ.ο.κ., όπως βέβαια και ἒργον τουανθρώπου, το οποίο είναι ψυχῆς ἐνέργεια κατά λόγος ἤ ὴ ἂνευ λόγου. Ο Σταγειρίτηςφιλόσοφος λοιπόν, ορίζει ως «τέλος» του ανθρώπου την ευδαιονία και ως «ἒργον» του, που τον οδηγεί σε αυτή, θεωρεί την ηθική πράξη, την ορθή συπεριφορά. Β2.β. Ο Αριστοτέλης στην προσπάθειά του να ορίσει την ηθική αρετή διαπιστώνει ότιαυτή αποτελεί ια ορφή «ἓξεως». Προκειένου να καταστήσει πληρέστερα τον ορισότου, διερευνά στη συνέχεια τι είδους «ἓξις» είναι η ηθική αρετή («ποια τις»), ποια είναιδηλαδή η «ειδοποιός διαφορά» της έναντι των «ἓξεων» εκείνων που συνιστούν ορφέςφαυλότητας ηθικής ειονεξίας. Για το σκοπό αυτό ο φιλόσοφος εντοπίζε αρχικά τις δύοβασικές λειτουργίες που «ἡ ἀρετή» γενικά επιτελεί σε οποιοδήποτε φυσικό ή τεχνητόδηιούργηα. Έτσι, υποστηρίζει ότι η αρετή κάθε πράγατος:

οδηγεί αυτό το ίδιο στην ολοκλήρωση, στην τελείωση του («αὐτό τε εὖ ἔχονἀποτελεῖ») και

το καθιστά ικανό να επιτελέσει ε άρτιο τρόπο το «ἔργον», τη δραστηριότηταεκείνη για την οποία η φύση ή ο κατασκευαστής του το έχει προορίσει («καὶ τοἔργον αὐτοῡ εὖ ἀποδίδωσιν»).

Μετά την παράθεση σχετικών παραδειγάτων που επιβεβαιώνουν την παραπάνω θέσητου, ο Αριστοτέλης οδηγείται στη διαπίστωση ότι «καὶ ἡ τοῡ ἀνθρώπου ἀρετὴ εἴη ἂν ἡἓξις ἀφ’ ἧς ἀγαθὸς ἂνθρωπος γίνεται καὶ ἀφ’ ἧς εὖ τὸ ἑαυτοῡ ἔργον

ἀποδώσει».Αναλυτικότερα, οι ηθικές αρετές συνδέονται ε την συνήθεια. Η επανάληψηδηλαδή καλῶν ἔξεων αποτελεί την άσκηση που εδραιώνει την ηθική αρετή. Έτσικαθιστά τον άνθρωπο «ἀγαθόν», ενάρετο, ηθικά ολοκληρωένο αλλά και του παρέχει τηδυνατότητα να επιτελέσει ε επιτυχία «το ἒργον» που η φύση του έχει αναθέσει(κατάκτηση της ευδαιονίας). Β3. Σχολικό βιβλίο σελ. 141 «Είκοσι χρόνια έεινε … να σωθεί η αλήθεια». Β4. σχεδόν: ἕξεων, ἀπεχόενος, ἀπεχόεθα, ἕξις, ἕχον, ἕχειαχάριστος: χαίρων, χαίρεινασήαντος: σηεῖονενδεής: δεῖπρόφαση: φησίνδιαονή: ὑποένων, εῖναιάρτιος: ἀρετήτελεσίδικος: ἀποτελεῖδηαγωγός: ἦχθαικαταδροικό: δραεῖνΓ1. Άνδρες στρατιώτες και των Αθηναίων και των άλλων συάχων, ο αγώνας βέβαιαπου πρόκειται να γίνει θα είναι οοίως κοινός για όλους ανεξαιρέτως και για τη σωτηρίακαι για την πατρίδα περισσότερο άλιστα για τον καθένα παρά για τους εχθρούς γιατί αννικήσουε τώρα ε τα πλοία, είναι δυνατό στον καθένα να προβλέπει την οικεία/ ιδιαίτερη πόλη/ (πατρίδα) η οποία υπάρχει/ βρίσκεται κάπου. στόσο ούτε πρέπει ναλιποψυχούε ούτε να παθαίνουε αυτό ακριβώς που (παθαίνουν) οι πιο άπειροι από τουςανθρώπους, οι οποίοι αφού έκαναν λάθος/ απέτυχαν στους πρώτους αγώνες έπειτα γιαπάντα έχουν την ελπίδα του φόβου όοια ε τις συφορές. Αλλά όσοι και από τουςΑθηναίους παρευρίσκεστε, επειδή είστε έπειροι σε πολλούς ήδη πολέους, και όσοιαπό τους συάχους (παρευρίσκεστε), επειδή πάντα εκστρατεύετε αί (ας), θυηθείτετα παράδοξα κατά τη διάρκεια των πολέων. Γ2. ἀγών: τοὺς ἀγῶναςναυσίν: ὦ ναῦὅπερ: αἷσπερπρώτοις: τοῖς προτέροιςσφαλέντες: τοῖς σφαλεῖσι(ν)

κρατήσωεν: κράτειἐπιδεῖν: ἐφορᾶνπάσχειν: πείσεταιἔχουσιν: σχοίηννήσθητε: ἐνήσθησαν

Γ3α. στρατιῶται: ονοατικός οοιόπτωτος επιθετικός προσδιορισός στο «ἄνδρες» τῳ: δοτική προσωπική από το απρόσωπο ρήα «ἕστι» ἀθυεῖν: τελικό απαρέφατο ως υποκείενο στο απρόσωπο ρήα «οὐ χρή» (ετεροπροσωπία) τῶν ἀνθρώπων: ονοατικός ετερόπτωτος προσδιορισός, γενική διαιρετική στο«ἀπειρότατοι» ταῖς υφοραῖς: ονοατικός ετερόπτωτος προσδιορισός, δοτική αντικειενική από το«ὁοίαν» τῶν παραλόγων: αντικείενο στο ρήα «νήσθητε» (ρήα νήης συντάσσεται εγενική) Γ3β. Ὁ Νικίας εἶπεν εἰ κρατήσαιεν / κρατήσειαν ταῖς ναυσίν, ὅτι εἴη τῳ τὴν ὑπάρχουσάνπου οἰκείαν πόλιν ἐπιδεῖν (ειδική πρόταση). Ὁ Νικίας εἶπεν εἰ κρατήσαιεν / κρατήσειαν ταῖς ναυσίν, εἶναι τῳ τὴν ὑπάρχουσάν πουοἰκείαν πόλιν ἐπιδεῖν (ειδικό απαρέφατο).

πιέλεια θεάτων

Αβδελέλλη Γιασεή, φιλόλογος

Χατζηβασιλείου Βάγια, φιλόλογος

ΠPOTEINOMENEΣ AΠANTHΣEIΣ ΣTA APXAIA EΛΛHNIKA ΘEΩPHTIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012

Page 3: Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

TPITH 22 MAΪOY 2012 15

ENΔEIKTIKEΣ AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ NEOEΛΛHNIKHΣ ΓΛΩΣΣAΣ ΓENIKHΣ ΠAIΔEIAΣ & EΠA.Λ. B΄

Ξεκινώντας από σήμερα, η εφημερίδα «EMΠPOΣ» σε συνεργασία με το MEΘOΔIKO Φροντιστήριο, θα δημοσιεύει τις απαντήσειςστα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων. Oι καθηγητές του Φροντιστηρίου θα είναι στη διάθεσή σας για οποιαδήποτε διευκρίνιση.

ΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

1

Ενδεικτικές απαντήσεις στο ηα της

Νεοελληνικής Γλώσσας Γενικής Παιδείας & ΕΠΑ.Λ. Β’

Α1. Περίληψη

Η κειενογράφος πραγατεύεται το διαχρονικό ρόλο της τέχνης στην πορεία της

ανθρωπότητας. Αρχικά, αναγνωρίζεται ο οικουενικός χαρακτήρας κάθε πολιτισού

αναδεικνύοντας, ωστόσο, τον αρχαίο ελληνικό και πρωτοστάτη αφενός στην επιβολή του

ανθρώπου στα πάθη και αφετέρου στην προσέγγισή του ε το θείο και το συνάνθρωπο. Το

γεγονός αυτό αναδεικνύει και η αναγωγή των αγαλάτων σε σύβολα ψυχικής ανύψωσης

και θεατοφύλακες της δηοκρατικής πολιτείας ως απότοκο ορθολογισού του

καλλιτέχνη. Παράλληλα, η πορεία του ανθρώπινου εκπολιτισού υποστασιοποιείται απ’

τον αρχαιοελληνικό πολιτισό χάρη στη συνύφανση της εσωτερικής θέασης ε την άρτια

φυσική οορφιά. Καταλήγοντας η δοκιιογράφος προβάλλει τον πάντα επίκαιρο

χαρακτήρα της τέχνης εξαίροντας τη συβολή της στην κατάκτηση της αυτογνωσίας και

την καλλιέργεια της αισθητικής, που την καθιστά δικαίως σηείο αναφοράς ας.

(λέξεις 117).

Β. Ασκήσεις

Β1. Είναι πανθοολογούενο ότι η αρχαία ελληνική τέχνη συνιστά το φωτεινό φάρο και

σηείο αναφοράς κάθε σύγχρονου καλλιτέχνη. Ενσαρκώνοντας την ιδέα της αρονίας και

του έτρου, αλλά ταυτόχρονα αναδεικνύοντας τον εαυτό της σε αγωγό υψηλών αξιών,

ανυπέρβλητων διανοηάτων και πολιτικών πειραατισών καθορίζει και επηρεάζει την

ανθρώπινη σκέψη. Η ανάδειξη των ανθρωπίνων δικαιωάτων, η προβολή της ελευθερίας, η

γέννηση της δηοκρατίας και οι πρωτοποριακοί για την εποχή προβληατισοί απηχούν

σύγχρονα ζητήατα που ταλανίζουν την εποχή ας. Επίκαιρη, λοιπόν, όσο ποτέ η αρχαία

ελληνική τέχνη αφουγκραζόενη το σήερα αντανακλά τη σύγχρονη πραγατικότητα.

(90 λέξεις)

B2. α) Στη τελευταία παράγραφο του κειένου η συγγραφέας ετέρχεται ως τρόπο πειθούς

την επίκληση στο σναίσηα, καθώς χρησιοποιεί προτρεπτική προστακτική («ιδού») ,

την αφήγηση «δάασε… άνθρωπο», την περιγραφή «το συντροφικό

συναπάντηα…γίγνεσθαι». Ακόη εντοπίζεται συναισθηατικά φορτισένο λεξιλόγιο:

«δάασε», «τέλεια ορφή», «ιδεατή πληρότητα» και εκτεταένη χρήση της ποιητικής

λειτουργίας της γλώσσας: «η αυγή του υστηρίου», «δηιουργός θεών», «η τέχνη πυξίδα»

κ.λπ. Τα παραπάνω έσα επιδιώκουν τη διέγερση του θαυασού για την αξία της αρχαίας

ελληνική τέχνης ε απώτερο σκοπό την επίρρωση της επιχειρηατολογίας της

δοκιιογράφου.

Παράλληλα, ως δεύτερο τρόπο πειθούς αξιοποιεί την επίκληση στη λογική. Πιο

συγκεκριένα ως έσο πειθούς παρατηρείται ένα επιχείρηα «Να γιατί… δηιουργία

ελευθερίας». Στόχος της κειενογράφου είναι η απόδειξη της αξίας της αρχαίας ελληνικής

ΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

1

Ενδεικτικές απαντήσεις στο ηα της

Νεοελληνικής Γλώσσας Γενικής Παιδείας & ΕΠΑ.Λ. Β’

Α1. Περίληψη

Η κειενογράφος πραγατεύεται το διαχρονικό ρόλο της τέχνης στην πορεία της

ανθρωπότητας. Αρχικά, αναγνωρίζεται ο οικουενικός χαρακτήρας κάθε πολιτισού

αναδεικνύοντας, ωστόσο, τον αρχαίο ελληνικό και πρωτοστάτη αφενός στην επιβολή του

ανθρώπου στα πάθη και αφετέρου στην προσέγγισή του ε το θείο και το συνάνθρωπο. Το

γεγονός αυτό αναδεικνύει και η αναγωγή των αγαλάτων σε σύβολα ψυχικής ανύψωσης

και θεατοφύλακες της δηοκρατικής πολιτείας ως απότοκο ορθολογισού του

καλλιτέχνη. Παράλληλα, η πορεία του ανθρώπινου εκπολιτισού υποστασιοποιείται απ’

τον αρχαιοελληνικό πολιτισό χάρη στη συνύφανση της εσωτερικής θέασης ε την άρτια

φυσική οορφιά. Καταλήγοντας η δοκιιογράφος προβάλλει τον πάντα επίκαιρο

χαρακτήρα της τέχνης εξαίροντας τη συβολή της στην κατάκτηση της αυτογνωσίας και

την καλλιέργεια της αισθητικής, που την καθιστά δικαίως σηείο αναφοράς ας.

(λέξεις 117).

Β. Ασκήσεις

Β1. Είναι πανθοολογούενο ότι η αρχαία ελληνική τέχνη συνιστά το φωτεινό φάρο και

σηείο αναφοράς κάθε σύγχρονου καλλιτέχνη. Ενσαρκώνοντας την ιδέα της αρονίας και

του έτρου, αλλά ταυτόχρονα αναδεικνύοντας τον εαυτό της σε αγωγό υψηλών αξιών,

ανυπέρβλητων διανοηάτων και πολιτικών πειραατισών καθορίζει και επηρεάζει την

ανθρώπινη σκέψη. Η ανάδειξη των ανθρωπίνων δικαιωάτων, η προβολή της ελευθερίας, η

γέννηση της δηοκρατίας και οι πρωτοποριακοί για την εποχή προβληατισοί απηχούν

σύγχρονα ζητήατα που ταλανίζουν την εποχή ας. Επίκαιρη, λοιπόν, όσο ποτέ η αρχαία

ελληνική τέχνη αφουγκραζόενη το σήερα αντανακλά τη σύγχρονη πραγατικότητα.

(90 λέξεις)

B2. α) Στη τελευταία παράγραφο του κειένου η συγγραφέας ετέρχεται ως τρόπο πειθούς

την επίκληση στο σναίσηα, καθώς χρησιοποιεί προτρεπτική προστακτική («ιδού») ,

την αφήγηση «δάασε… άνθρωπο», την περιγραφή «το συντροφικό

συναπάντηα…γίγνεσθαι». Ακόη εντοπίζεται συναισθηατικά φορτισένο λεξιλόγιο:

«δάασε», «τέλεια ορφή», «ιδεατή πληρότητα» και εκτεταένη χρήση της ποιητικής

λειτουργίας της γλώσσας: «η αυγή του υστηρίου», «δηιουργός θεών», «η τέχνη πυξίδα»

κ.λπ. Τα παραπάνω έσα επιδιώκουν τη διέγερση του θαυασού για την αξία της αρχαίας

ελληνική τέχνης ε απώτερο σκοπό την επίρρωση της επιχειρηατολογίας της

δοκιιογράφου.

Παράλληλα, ως δεύτερο τρόπο πειθούς αξιοποιεί την επίκληση στη λογική. Πιο

συγκεκριένα ως έσο πειθούς παρατηρείται ένα επιχείρηα «Να γιατί… δηιουργία

ελευθερίας». Στόχος της κειενογράφου είναι η απόδειξη της αξίας της αρχαίας ελληνικής

ΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

1

Ενδεικτικές απαντήσεις στο ηα της

Νεοελληνικής Γλώσσας Γενικής Παιδείας & ΕΠΑ.Λ. Β’

Α1. Περίληψη

Η κειενογράφος πραγατεύεται το διαχρονικό ρόλο της τέχνης στην πορεία της

ανθρωπότητας. Αρχικά, αναγνωρίζεται ο οικουενικός χαρακτήρας κάθε πολιτισού

αναδεικνύοντας, ωστόσο, τον αρχαίο ελληνικό και πρωτοστάτη αφενός στην επιβολή του

ανθρώπου στα πάθη και αφετέρου στην προσέγγισή του ε το θείο και το συνάνθρωπο. Το

γεγονός αυτό αναδεικνύει και η αναγωγή των αγαλάτων σε σύβολα ψυχικής ανύψωσης

και θεατοφύλακες της δηοκρατικής πολιτείας ως απότοκο ορθολογισού του

καλλιτέχνη. Παράλληλα, η πορεία του ανθρώπινου εκπολιτισού υποστασιοποιείται απ’

τον αρχαιοελληνικό πολιτισό χάρη στη συνύφανση της εσωτερικής θέασης ε την άρτια

φυσική οορφιά. Καταλήγοντας η δοκιιογράφος προβάλλει τον πάντα επίκαιρο

χαρακτήρα της τέχνης εξαίροντας τη συβολή της στην κατάκτηση της αυτογνωσίας και

την καλλιέργεια της αισθητικής, που την καθιστά δικαίως σηείο αναφοράς ας.

(λέξεις 117).

Β. Ασκήσεις

Β1. Είναι πανθοολογούενο ότι η αρχαία ελληνική τέχνη συνιστά το φωτεινό φάρο και

σηείο αναφοράς κάθε σύγχρονου καλλιτέχνη. Ενσαρκώνοντας την ιδέα της αρονίας και

του έτρου, αλλά ταυτόχρονα αναδεικνύοντας τον εαυτό της σε αγωγό υψηλών αξιών,

ανυπέρβλητων διανοηάτων και πολιτικών πειραατισών καθορίζει και επηρεάζει την

ανθρώπινη σκέψη. Η ανάδειξη των ανθρωπίνων δικαιωάτων, η προβολή της ελευθερίας, η

γέννηση της δηοκρατίας και οι πρωτοποριακοί για την εποχή προβληατισοί απηχούν

σύγχρονα ζητήατα που ταλανίζουν την εποχή ας. Επίκαιρη, λοιπόν, όσο ποτέ η αρχαία

ελληνική τέχνη αφουγκραζόενη το σήερα αντανακλά τη σύγχρονη πραγατικότητα.

(90 λέξεις)

B2. α) Στη τελευταία παράγραφο του κειένου η συγγραφέας ετέρχεται ως τρόπο πειθούς

την επίκληση στο σναίσηα, καθώς χρησιοποιεί προτρεπτική προστακτική («ιδού») ,

την αφήγηση «δάασε… άνθρωπο», την περιγραφή «το συντροφικό

συναπάντηα…γίγνεσθαι». Ακόη εντοπίζεται συναισθηατικά φορτισένο λεξιλόγιο:

«δάασε», «τέλεια ορφή», «ιδεατή πληρότητα» και εκτεταένη χρήση της ποιητικής

λειτουργίας της γλώσσας: «η αυγή του υστηρίου», «δηιουργός θεών», «η τέχνη πυξίδα»

κ.λπ. Τα παραπάνω έσα επιδιώκουν τη διέγερση του θαυασού για την αξία της αρχαίας

ελληνική τέχνης ε απώτερο σκοπό την επίρρωση της επιχειρηατολογίας της

δοκιιογράφου.

Παράλληλα, ως δεύτερο τρόπο πειθούς αξιοποιεί την επίκληση στη λογική. Πιο

συγκεκριένα ως έσο πειθούς παρατηρείται ένα επιχείρηα «Να γιατί… δηιουργία

ελευθερίας». Στόχος της κειενογράφου είναι η απόδειξη της αξίας της αρχαίας ελληνικής

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΕΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

2

τέχνης. Τέλος παραθέτει ως τεκήρια και επειρικές αλήθειες «είναι η τέχνη πυξίδα…

ελευθερίας».

B2. β) Στο κείενο η συγγραφέας χρησιοποιεί συχνά λέξεις ή φράσεις ε εταφορική

σηασία. Ενδεικτικά δίνονται τα ακόλουθα παραδείγατα: «η αυγή του υστηρίου»,

«πλάστης αθάνατου έργου», «είναι η τέχνη πυξίδα» , «δηιουργός θεών», «η αρχαία τέχνη

θα ένει ζωντανή».

B3. α) επίτευγα: κατόρθωα

δαάσει: τιθασεύσει, χαλιναγωγήσει

ετάβαση: πέρασα

πληρότητα: αρτιότητα, ολοκλήρωση

ουσιώδες: ουσιαστικό

B3. β) έλλογη: άλογη, παράλογη

κοντά: ακριά

συνοπτικό: εκτεταένο

φυσικής: τεχνητής

αιχαλωτίσει: απελευθερώσει,

Β4. «ιαγράφει…πολιτείας»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Τα πλαίσια ιας πάντα ευνοούενης και ισορροπηένης πολιτείας

διαγράφονται από τον τεχνίτη.

«άασε… άνθρωπο»: Ενεργητική σύνταξη

Παθητική σύνταξη → Το ζώο δαάστηκε από την ελληνική τέχνη πριν ανακαλυφθεί ο

τέλειος άνθρωπος.

Γ1. Επικοινωνιακό πλαίσιο: ιλία σε ηερίδα του δήου, ως εκπρόσωπος του σχολείου

ε θέα «Τέχνη και Ζωή».

Ύφος: Σοβαρό, επίσηο.

Γλώσσα: αναφορική.

Μέσα πειθούς: επίκληση στη λογική αλλά και στο συναίσθηα.

Ρηαικ πρόσωπα: όλα, εκτός του β΄ ενικού.

Προσφώνηση: Αγαπητοί συνδηότες /

Φίλοι και φίλες,

Πρόλογος: Μπορεί να χρησιοποιηθεί ως αφόρηση η αναφορά στη σηερινή Παγκόσια

ηέρα για την Πολιτισική ιαφορετικότητα, το ιάλογο και την Ανάπτυξη και σύνδεσή

της ε την Τέχνη, ως έσο πολιτισικής δηιουργίας. ρισός της έννοιας της Τέχνης και

αναφορά στα είδη της.

ΜΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

3

ητοενο Α΄: Προσφορά της τέχνης στους νέους

1. υβάλλει στην πνευατική καλλιέργεια του ανθρώπου → ενισχύει τον

προβληατισό → διευρύνει τους πνευατικούς ορίζοντες παρέχοντας πλήθος

γνώσεων για ποικίλα θέατα → καθιστά το άτοο ικανό να προσεγγίζει

πολυπρισατικά την πραγατικότητα.

2. ιαορφώνει την αισθητική του ατόου → αναπτύσσει τη δεκτικότητα απέναντι στα

αισθητικά ερεθίσατα του περιβάλλοντος, καλλιεργεί το αίσθηα του ωραίου, το

έτρο, τη συετρία και την αρονία → διευρύνει τα όρια αντίληψης του κόσου

αποακρύνοντας τον άνθρωπο από τον ψυχρό ορθολογισό και τη λογική του

συφέροντος.

3. υβάλλει στην ηθική αρτίωση του ανθρώπου → προβάλλει ανθρωπιστικές αξίες και

πρότυπα ηθικής ζωής → υποστασιοποιεί και απαθανατίζει τις εγάλες ηθικές πράξεις

→ επιδρά θετικά στον ψυχισό του ατόου και εξευγενίζει συναισθήατα έσω της

αισθητικής συγκίνησης.

4. Προάγει την κοινωνικοπολιτική ζωή → ευαισθητοποιεί το κοινό στα προβλήατα της

εποχής, εφόσον ο καλλιτέχνης ε το έργο του εκφράζει τις αγωνίες των ανθρώπων της

κοινωνίας του και της εποχής του → προβάλλει πρότυπα ζωής και συπεριφοράς

καθώς και κοινωνικοπολιτικές αξίες όπως η ισότητα, η δικαιοσύνη και η ειρήνη.

5. Καθορίζει τη φυσιογνωία και τη πολιτισική ταυτότητα κάθε λαού → τα

καλλιτεχνικά δηιουργήατα ενός λαού αντιπροσωπεύουν την ιδιαίτερη αισθητική του

και χαρακτηρίζουν την ποιότητα του εθνικού του πολιτισού → η λαϊκή κυρίως

τέχνη εκφράζει την πολιτιστική ταυτότητά του.

Μεταβατική Παράγραφος:

Καταγραφή της σηερινής θέσης της Τέχνης στα σχολεία, περιορισένες ώρες

διδασκαλίας της (τεχνοκρατική παιδεία)

Απαξίωση του αθήατος από τους νέους, ειδικά στο Λύκειο

Έλλειψη διδακτικού προσωπικού, καθηγητές ε ανεπαρκείς γνώσεις

Άρα: επιβεβληένη αναθεώρηση του τρόπου αντιετώπισής της από το σχολείο.

ητοενο Β΄: Συβολή σχολείου στην ουσιαστική επαφή των νέων ε την Τέχνη.

1. Προώθηση ανθρωπιστικής παιδείας στα σχολεία → αναπροσαρογή του

προγράατος σε όλες τις βαθίδες της εκπαίδευσης → υλικοτεχνική στήριξη.

2. Πρακτική ενασχόληση, ανάθεση εργασιών (ζωγραφικής, γλυπτική, φωτογραφίας,

κ.α.). ηιουργία θεατρικών οάδων, ουσικοχορευτικών συγκροτηάτων

προσανατολισένα τόσο στην παράδοση όσο και σε ορφές παγκόσιας εβέλειας.

3. Ουσιαστικές επισκέψεις σε ουσεία, θέατρα, κινηατογράφους, νηεία

«νατούρα».→ Ανάλογη προετοιασία από τους αθητές (συγκέντρωση

ενηερωτικού υλικού) και αποτύπωση εντυπώσεων επίσκεψης ε κάθε ορφή τέχνης

(ζωγραφική, ποίηση, φωτογραφία).

ΜΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

3

ητοενο Α΄: Προσφορά της τέχνης στους νέους

1. υβάλλει στην πνευατική καλλιέργεια του ανθρώπου → ενισχύει τον

προβληατισό → διευρύνει τους πνευατικούς ορίζοντες παρέχοντας πλήθος

γνώσεων για ποικίλα θέατα → καθιστά το άτοο ικανό να προσεγγίζει

πολυπρισατικά την πραγατικότητα.

2. ιαορφώνει την αισθητική του ατόου → αναπτύσσει τη δεκτικότητα απέναντι στα

αισθητικά ερεθίσατα του περιβάλλοντος, καλλιεργεί το αίσθηα του ωραίου, το

έτρο, τη συετρία και την αρονία → διευρύνει τα όρια αντίληψης του κόσου

αποακρύνοντας τον άνθρωπο από τον ψυχρό ορθολογισό και τη λογική του

συφέροντος.

3. υβάλλει στην ηθική αρτίωση του ανθρώπου → προβάλλει ανθρωπιστικές αξίες και

πρότυπα ηθικής ζωής → υποστασιοποιεί και απαθανατίζει τις εγάλες ηθικές πράξεις

→ επιδρά θετικά στον ψυχισό του ατόου και εξευγενίζει συναισθήατα έσω της

αισθητικής συγκίνησης.

4. Προάγει την κοινωνικοπολιτική ζωή → ευαισθητοποιεί το κοινό στα προβλήατα της

εποχής, εφόσον ο καλλιτέχνης ε το έργο του εκφράζει τις αγωνίες των ανθρώπων της

κοινωνίας του και της εποχής του → προβάλλει πρότυπα ζωής και συπεριφοράς

καθώς και κοινωνικοπολιτικές αξίες όπως η ισότητα, η δικαιοσύνη και η ειρήνη.

5. Καθορίζει τη φυσιογνωία και τη πολιτισική ταυτότητα κάθε λαού → τα

καλλιτεχνικά δηιουργήατα ενός λαού αντιπροσωπεύουν την ιδιαίτερη αισθητική του

και χαρακτηρίζουν την ποιότητα του εθνικού του πολιτισού → η λαϊκή κυρίως

τέχνη εκφράζει την πολιτιστική ταυτότητά του.

Μεταβατική Παράγραφος:

Καταγραφή της σηερινής θέσης της Τέχνης στα σχολεία, περιορισένες ώρες

διδασκαλίας της (τεχνοκρατική παιδεία)

Απαξίωση του αθήατος από τους νέους, ειδικά στο Λύκειο

Έλλειψη διδακτικού προσωπικού, καθηγητές ε ανεπαρκείς γνώσεις

Άρα: επιβεβληένη αναθεώρηση του τρόπου αντιετώπισής της από το σχολείο.

ητοενο Β΄: Συβολή σχολείου στην ουσιαστική επαφή των νέων ε την Τέχνη.

1. Προώθηση ανθρωπιστικής παιδείας στα σχολεία → αναπροσαρογή του

προγράατος σε όλες τις βαθίδες της εκπαίδευσης → υλικοτεχνική στήριξη.

2. Πρακτική ενασχόληση, ανάθεση εργασιών (ζωγραφικής, γλυπτική, φωτογραφίας,

κ.α.). ηιουργία θεατρικών οάδων, ουσικοχορευτικών συγκροτηάτων

προσανατολισένα τόσο στην παράδοση όσο και σε ορφές παγκόσιας εβέλειας.

3. Ουσιαστικές επισκέψεις σε ουσεία, θέατρα, κινηατογράφους, νηεία

«νατούρα».→ Ανάλογη προετοιασία από τους αθητές (συγκέντρωση

ενηερωτικού υλικού) και αποτύπωση εντυπώσεων επίσκεψης ε κάθε ορφή τέχνης

(ζωγραφική, ποίηση, φωτογραφία).

ΜΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

3

ητοενο Α΄: Προσφορά της τέχνης στους νέους

1. υβάλλει στην πνευατική καλλιέργεια του ανθρώπου → ενισχύει τον

προβληατισό → διευρύνει τους πνευατικούς ορίζοντες παρέχοντας πλήθος

γνώσεων για ποικίλα θέατα → καθιστά το άτοο ικανό να προσεγγίζει

πολυπρισατικά την πραγατικότητα.

2. ιαορφώνει την αισθητική του ατόου → αναπτύσσει τη δεκτικότητα απέναντι στα

αισθητικά ερεθίσατα του περιβάλλοντος, καλλιεργεί το αίσθηα του ωραίου, το

έτρο, τη συετρία και την αρονία → διευρύνει τα όρια αντίληψης του κόσου

αποακρύνοντας τον άνθρωπο από τον ψυχρό ορθολογισό και τη λογική του

συφέροντος.

3. υβάλλει στην ηθική αρτίωση του ανθρώπου → προβάλλει ανθρωπιστικές αξίες και

πρότυπα ηθικής ζωής → υποστασιοποιεί και απαθανατίζει τις εγάλες ηθικές πράξεις

→ επιδρά θετικά στον ψυχισό του ατόου και εξευγενίζει συναισθήατα έσω της

αισθητικής συγκίνησης.

4. Προάγει την κοινωνικοπολιτική ζωή → ευαισθητοποιεί το κοινό στα προβλήατα της

εποχής, εφόσον ο καλλιτέχνης ε το έργο του εκφράζει τις αγωνίες των ανθρώπων της

κοινωνίας του και της εποχής του → προβάλλει πρότυπα ζωής και συπεριφοράς

καθώς και κοινωνικοπολιτικές αξίες όπως η ισότητα, η δικαιοσύνη και η ειρήνη.

5. Καθορίζει τη φυσιογνωία και τη πολιτισική ταυτότητα κάθε λαού → τα

καλλιτεχνικά δηιουργήατα ενός λαού αντιπροσωπεύουν την ιδιαίτερη αισθητική του

και χαρακτηρίζουν την ποιότητα του εθνικού του πολιτισού → η λαϊκή κυρίως

τέχνη εκφράζει την πολιτιστική ταυτότητά του.

Μεταβατική Παράγραφος:

Καταγραφή της σηερινής θέσης της Τέχνης στα σχολεία, περιορισένες ώρες

διδασκαλίας της (τεχνοκρατική παιδεία)

Απαξίωση του αθήατος από τους νέους, ειδικά στο Λύκειο

Έλλειψη διδακτικού προσωπικού, καθηγητές ε ανεπαρκείς γνώσεις

Άρα: επιβεβληένη αναθεώρηση του τρόπου αντιετώπισής της από το σχολείο.

ητοενο Β΄: Συβολή σχολείου στην ουσιαστική επαφή των νέων ε την Τέχνη.

1. Προώθηση ανθρωπιστικής παιδείας στα σχολεία → αναπροσαρογή του

προγράατος σε όλες τις βαθίδες της εκπαίδευσης → υλικοτεχνική στήριξη.

2. Πρακτική ενασχόληση, ανάθεση εργασιών (ζωγραφικής, γλυπτική, φωτογραφίας,

κ.α.). ηιουργία θεατρικών οάδων, ουσικοχορευτικών συγκροτηάτων

προσανατολισένα τόσο στην παράδοση όσο και σε ορφές παγκόσιας εβέλειας.

3. Ουσιαστικές επισκέψεις σε ουσεία, θέατρα, κινηατογράφους, νηεία

«νατούρα».→ Ανάλογη προετοιασία από τους αθητές (συγκέντρωση

ενηερωτικού υλικού) και αποτύπωση εντυπώσεων επίσκεψης ε κάθε ορφή τέχνης

(ζωγραφική, ποίηση, φωτογραφία).

ΕΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

4

4. Εκπαιδευτικά προγράατα ως εφαλτήριο για πολιτισικές ανταλλαγές (π.χ.

Comenius ) ε σχολεία του εξωτερικού, συνδιοργάνωση πολιτιστικών εκδηλώσεων.

5. Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε πανελλαδικό επίπεδο (δηιουργία κινηατογραφικών

ταινιών, ουσικών συνθέσεων, ποίησης, ζωγραφικής, φωτογραφίας, κ.α.)

Επίλογος: Συγκεφαλαίωση της αξίας της Τέχνης για τους νέους ειδικά και την κοινωνία

γενικότερα. Αισιοδοξία για ριζική αλλαγή και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της

Τέχνης.

Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας.

Επιέλεια

Αβδελέλλη ιασεή

Σααρ Κυριακή

ΕΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

4

4. Εκπαιδευτικά προγράατα ως εφαλτήριο για πολιτισικές ανταλλαγές (π.χ.

Comenius ) ε σχολεία του εξωτερικού, συνδιοργάνωση πολιτιστικών εκδηλώσεων.

5. Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε πανελλαδικό επίπεδο (δηιουργία κινηατογραφικών

ταινιών, ουσικών συνθέσεων, ποίησης, ζωγραφικής, φωτογραφίας, κ.α.)

Επίλογος: Συγκεφαλαίωση της αξίας της Τέχνης για τους νέους ειδικά και την κοινωνία

γενικότερα. Αισιοδοξία για ριζική αλλαγή και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της

Τέχνης.

Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας.

Επιέλεια

Αβδελέλλη ιασεή

Σααρ Κυριακή

ΕΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

4

4. Εκπαιδευτικά προγράατα ως εφαλτήριο για πολιτισικές ανταλλαγές (π.χ.

Comenius ) ε σχολεία του εξωτερικού, συνδιοργάνωση πολιτιστικών εκδηλώσεων.

5. Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε πανελλαδικό επίπεδο (δηιουργία κινηατογραφικών

ταινιών, ουσικών συνθέσεων, ποίησης, ζωγραφικής, φωτογραφίας, κ.α.)

Επίλογος: Συγκεφαλαίωση της αξίας της Τέχνης για τους νέους ειδικά και την κοινωνία

γενικότερα. Αισιοδοξία για ριζική αλλαγή και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της

Τέχνης.

Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας.

Επιέλεια

Αβδελέλλη ιασεή

Σααρ Κυριακή

ΕΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

4

4. Εκπαιδευτικά προγράατα ως εφαλτήριο για πολιτισικές ανταλλαγές (π.χ.

Comenius ) ε σχολεία του εξωτερικού, συνδιοργάνωση πολιτιστικών εκδηλώσεων.

5. Καλλιτεχνικοί διαγωνισοί σε πανελλαδικό επίπεδο (δηιουργία κινηατογραφικών

ταινιών, ουσικών συνθέσεων, ποίησης, ζωγραφικής, φωτογραφίας, κ.α.)

Επίλογος: Συγκεφαλαίωση της αξίας της Τέχνης για τους νέους ειδικά και την κοινωνία

γενικότερα. Αισιοδοξία για ριζική αλλαγή και διαφοροποίηση στην αντιετώπιση της

Τέχνης.

Αποφώνηση: Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας.

Επιέλεια

Αβδελέλλη ιασεή

Σααρ Κυριακή

Page 4: Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

ΠEMΠTH 24 MAΪOY 2012 15

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA TΩN MAΘHMATIKΩN & ΣTOIXEIΩN ΣTATIΣTIKHΣ ΓENIKHΣ ΠAIΔEIAΣ - 2012

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ BIOΛOΓIAΣ ΓENIKHΣ ΠAIΔEIAΣ - Γ΄ΛYKEIOY 2012

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 96A4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Κάνοντας το ολύγωνο των

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων,

έρουε από το 50% του y y′

παράλληλη στον x x′ . Αυτή τένει το

πολύγωνο σε ένα σηείο που η

τετηένη του είναι 25. Άρα 25δ = .

Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα 50-50 . Άρα 1 2 3 4ν + ν = ν + ν ⇔

4 3 6 2 8 2α + + α − = α + + α − ⇔ 8 2 4 6 8α = − − + ⇒ α = . Ο πίνακας είναι: Χρόνοι(λεπτά) ix iv if % iN iF %

[ )5,15 10 12 20 12 20

[ )15,25 20 18 30 30 50

[ )25,35 30 24 40 54 90

[ )35,45 40 6 10 60 100Σύνολο 60 100

Β3. 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

x x x x 10 12 20 18 30 24 40 6x

60

ν + ν + ν + ν ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

ν + ν + ν + ν12 36 72 24

2 6 12 4 246

+ + += + + + ==

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 1 1 2 2 3 3 4 4S

x x x x x x x x+ + += ⇒

ν− ν − ν − ν − ν

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 10 60 20 60 30 60 40 60

S60

12 18 24 6− + − + − + −= ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2S 84 S 9,17= ⇒ =

Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα. Έστω x % τοζητούενο ποσοστό

Αναλογικά έχουε 45 35 10x 8

45 37 x−

= ⇒ =−

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 96A4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Κάνοντας το ολύγωνο των

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων,

έρουε από το 50% του y y′

παράλληλη στον x x′ . Αυτή τένει το

πολύγωνο σε ένα σηείο που η

τετηένη του είναι 25. Άρα 25δ = .

Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα 50-50 . Άρα 1 2 3 4ν + ν = ν + ν ⇔

4 3 6 2 8 2α + + α − = α + + α − ⇔ 8 2 4 6 8α = − − + ⇒ α = . Ο πίνακας είναι: Χρόνοι(λεπτά) ix iv if % iN iF %

[ )5,15 10 12 20 12 20

[ )15,25 20 18 30 30 50

[ )25,35 30 24 40 54 90

[ )35,45 40 6 10 60 100Σύνολο 60 100

Β3. 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

x x x x 10 12 20 18 30 24 40 6x

60

ν + ν + ν + ν ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

ν + ν + ν + ν12 36 72 24

2 6 12 4 246

+ + += + + + ==

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 1 1 2 2 3 3 4 4S

x x x x x x x x+ + += ⇒

ν− ν − ν − ν − ν

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 10 60 20 60 30 60 40 60

S60

12 18 24 6− + − + − + −= ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2S 84 S 9,17= ⇒ =

Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα. Έστω x % τοζητούενο ποσοστό

Αναλογικά έχουε 45 35 10x 8

45 37 x−

= ⇒ =−

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 96A4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Κάνοντας το ολύγωνο των

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων,

έρουε από το 50% του y y′

παράλληλη στον x x′ . Αυτή τένει το

πολύγωνο σε ένα σηείο που η

τετηένη του είναι 25. Άρα 25δ = .

Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα 50-50 . Άρα 1 2 3 4ν + ν = ν + ν ⇔

4 3 6 2 8 2α + + α − = α + + α − ⇔ 8 2 4 6 8α = − − + ⇒ α = . Ο πίνακας είναι: Χρόνοι(λεπτά) ix iv if % iN iF %

[ )5,15 10 12 20 12 20

[ )15,25 20 18 30 30 50

[ )25,35 30 24 40 54 90

[ )35,45 40 6 10 60 100Σύνολο 60 100

Β3. 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

x x x x 10 12 20 18 30 24 40 6x

60

ν + ν + ν + ν ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

ν + ν + ν + ν12 36 72 24

2 6 12 4 246

+ + += + + + ==

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 1 1 2 2 3 3 4 4S

x x x x x x x x+ + += ⇒

ν− ν − ν − ν − ν

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 10 60 20 60 30 60 40 60

S60

12 18 24 6− + − + − + −= ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2S 84 S 9,17= ⇒ =

Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα. Έστω x % τοζητούενο ποσοστό

Αναλογικά έχουε 45 35 10x 8

45 37 x−

= ⇒ =−

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 96A4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Κάνοντας το ολύγωνο των

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων,

έρουε από το 50% του y y′

παράλληλη στον x x′ . Αυτή τένει το

πολύγωνο σε ένα σηείο που η

τετηένη του είναι 25. Άρα 25δ = .

Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα 50-50 . Άρα 1 2 3 4ν + ν = ν + ν ⇔

4 3 6 2 8 2α + + α − = α + + α − ⇔ 8 2 4 6 8α = − − + ⇒ α = . Ο πίνακας είναι: Χρόνοι(λεπτά) ix iv if % iN iF %

[ )5,15 10 12 20 12 20

[ )15,25 20 18 30 30 50

[ )25,35 30 24 40 54 90

[ )35,45 40 6 10 60 100Σύνολο 60 100

Β3. 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

x x x x 10 12 20 18 30 24 40 6x

60

ν + ν + ν + ν ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

ν + ν + ν + ν12 36 72 24

2 6 12 4 246

+ + += + + + ==

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 1 1 2 2 3 3 4 4S

x x x x x x x x+ + += ⇒

ν− ν − ν − ν − ν

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 10 60 20 60 30 60 40 60

S60

12 18 24 6− + − + − + −= ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2S 84 S 9,17= ⇒ =

Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα. Έστω x % τοζητούενο ποσοστό

Αναλογικά έχουε 45 35 10x 8

45 37 x−

= ⇒ =−

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Λύσεις στα Μαατικ και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 31 A2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 148A3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 96A4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Κάνοντας το ολύγωνο των

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων,

έρουε από το 50% του y y′

παράλληλη στον x x′ . Αυτή τένει το

πολύγωνο σε ένα σηείο που η

τετηένη του είναι 25. Άρα 25δ = .

Β2. Η ιάεσος χωρίζει το είγα 50-50 . Άρα 1 2 3 4ν + ν = ν + ν ⇔

4 3 6 2 8 2α + + α − = α + + α − ⇔ 8 2 4 6 8α = − − + ⇒ α = . Ο πίνακας είναι: Χρόνοι(λεπτά) ix iv if % iN iF %

[ )5,15 10 12 20 12 20

[ )15,25 20 18 30 30 50

[ )25,35 30 24 40 54 90

[ )35,45 40 6 10 60 100Σύνολο 60 100

Β3. 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

x x x x 10 12 20 18 30 24 40 6x

60

ν + ν + ν + ν ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

ν + ν + ν + ν12 36 72 24

2 6 12 4 246

+ + += + + + ==

( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 1 1 2 2 3 3 4 4S

x x x x x x x x+ + += ⇒

ν− ν − ν − ν − ν

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 10 60 20 60 30 60 40 60

S60

12 18 24 6− + − + − + −= ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2S 84 S 9,17= ⇒ =

Β4. Μέσα σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις κατανέονται οοιόορα. Έστω x % τοζητούενο ποσοστό

Αναλογικά έχουε 45 35 10x 8

45 37 x−

= ⇒ =−

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Άρα 8%

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Έστω Γ: ο αθητής αθαίνει Γαλλικά Ι : ο αθητής αθαίνει Ισπανικά :Γ ∩ Ι ο αθητής αθαίνει Γαλλικά και Ισπανικά

( )23

P1

νΓ =

ν +, ( )

22

P1

ν+Ι =

ν +, ( )

21

P1

ν+Γ∩Ι =

ν +:Γ∪ Ι ο αθητής αθαίνει ία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες

( )( ) [ ]

( ) ( )2 2

2x 1 x 1 2P

x 3 2

2 x 3 2 2 x 3 4lim lim

x x x x 1→− →−Γ∪Ι =

+ +

+ − + −= =

+ +( ) ( )

( ) ( )( )

( )x 1 x 12 2

x 1 x 1 x 1 41

1 4x 3 2 x 3 2

2 2lim lim

x x 1 x→− →−

− + − −=

− ⋅+ + + +

= = =+

Οπότε το ενδεχόενο Γ ∪ Ι είναι βέβαιο.

Γ2. ( ) ( ) ( ) ( )P 1 P P I P 1Γ∪Ι = ⇒ Γ + − Γ∩Ι = ⇒

22 2 2 23 2 1 3 1

1 11 1 1 1

3 3ν ν+ ν+ ν++ − = ⇒ = ⇒

ν + ν + ν + ν +ν = ν ⇒ ν =

Γ3. ( ) ( )Γ−Ι ∪ Ι−Γ : ο αθητής αθαίνει ία όνο από τις δύο γλώσσες( ) ( )( ) ( ) ( )P P P IΓ−Ι ∪ Ι−Γ = Γ−Ι + −Γ ( ) ( ) ( ) ( )P P P I P I= Γ − Γ∩Ι + − ∩Γ =( ) ( ) ( )P P I 2P IΓ + − ∩Γ =

2 2 23 2 1

21 1 1

ν ν+ ν+= + −ν + ν + ν +

Επειδή 3ν = έχουε ( ) ( )( ) 3P

5Γ−Ι ∪ Ι−Γ =

Γ4. ( ) 4 2P

10 5Γ∩Ι = =

( )( )( ) ( )

( ) ( )2 2P 2

5 532 160 80Ν Γ∩Ι

Γ∩Ι = = ⇒ = ⇒Ν

Ν = ⇒ Ν =Ν

ΘΕΜΑ

1. ( )( )

( ) ( )2

22

2 2 22ln x ln x 1 ln x 1

0x x

12 ln x x 1 ln x 1

xf x f xx

− − − −= ≤

− +′ ′= ⇒ =

άρα η

( )f 0,↓ +∞

2. Το εβαδόν του ορθογωνίου είναι ( ) ( ) ( ) 2 xE x xf x E x 1 ln= ⇒ = + , x 0>

( ) 2ln xx

E x′ = , ( )E x 0 ln x 0 x 1′ = ⇒ = ⇒ =

( )E x 0 x 1′ > ⇒ > και ( )E x 0 x 1′ < ⇒ <Το πρόσηο της E′ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η Ε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x 1= , τότε ( ) 21 1E ln 1 1= + =Άρα το ΟΚΛΜ τετράγωνο.

3. Το ( )1f ′λ =( )1 1f = −′ Άρα : y xε = − + β

Τα 1 2 10x , x , ..., x έχουν x 10= , 2xS =

Επειδή y x= − + β έχουε y x y 10= − + β ⇒ = − + β καιy x y

1 2S S S= − ⇒ =

(υνδυασό εαρογή σχολικού βιβλίου)

y

S1 2yCV10 10y

1 110 20

10 10≤ ⇔ ≤

β−≤ ⇒ ⇒ β − ≥ ⇒

( )10 20 ή 10 20 30 ή 10β− ≥ β− ≤− ⇔ β ≥ β ≤ −

4. Ισχύουν ( ) ( )P A P A BΑ ⊆ Α ∪ Β ⇒ ≤ ∪( ) ( )A B P A B P A B∩ ⊆ Α ∪ Β ⇒ ∩ ≤ ∪

Η ( )f 0,↓ +∞ άρα ( )( ) ( )( )f P A f P A B≥ ∪ (1) ( )( ) ( )( )f P A B f P A B∩ ≥ ∪ (2)

Με πρόσθεση κατά έλη των (1) και (2) έχουε: ( )( ) ( )( ) ( )( )f P A f P A B 2f P A B+ ∩ ≥ ∪

α τω Κωστής Στρατής, αατς

ΟΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Η Ε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x 1= , τότε ( ) 21 1E ln 1 1= + =Άρα το ΟΚΛΜ τετράγωνο.

3. Το ( )1f ′λ =( )1 1f = −′ Άρα : y xε = − + β

Τα 1 2 10x , x , ..., x έχουν x 10= , 2xS =

Επειδή y x= − + β έχουε y x y 10= − + β ⇒ = − + β καιy x y

1 2S S S= − ⇒ =

(υνδυασό εαρογή σχολικού βιβλίου)

y

S1 2yCV10 10y

1 110 20

10 10≤ ⇔ ≤

β−≤ ⇒ ⇒ β − ≥ ⇒

( )10 20 ή 10 20 30 ή 10β− ≥ β− ≤− ⇔ β ≥ β ≤ −

4. Ισχύουν ( ) ( )P A P A BΑ ⊆ Α ∪ Β ⇒ ≤ ∪( ) ( )A B P A B P A B∩ ⊆ Α ∪ Β ⇒ ∩ ≤ ∪

Η ( )f 0,↓ +∞ άρα ( )( ) ( )( )f P A f P A B≥ ∪ (1) ( )( ) ( )( )f P A B f P A B∩ ≥ ∪ (2)

Με πρόσθεση κατά έλη των (1) και (2) έχουε: ( )( ) ( )( ) ( )( )f P A f P A B 2f P A B+ ∩ ≥ ∪

α τω Κωστής Στρατής, αατς

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Άρα 8%

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Έστω Γ: ο αθητής αθαίνει Γαλλικά Ι : ο αθητής αθαίνει Ισπανικά :Γ ∩ Ι ο αθητής αθαίνει Γαλλικά και Ισπανικά

( )23

P1

νΓ =

ν +, ( )

22

P1

ν+Ι =

ν +, ( )

21

P1

ν+Γ∩Ι =

ν +:Γ∪ Ι ο αθητής αθαίνει ία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες

( )( ) [ ]

( ) ( )2 2

2x 1 x 1 2P

x 3 2

2 x 3 2 2 x 3 4lim lim

x x x x 1→− →−Γ∪Ι =

+ +

+ − + −= =

+ +( ) ( )

( ) ( )( )

( )x 1 x 12 2

x 1 x 1 x 1 41

1 4x 3 2 x 3 2

2 2lim lim

x x 1 x→− →−

− + − −=

− ⋅+ + + +

= = =+

Οπότε το ενδεχόενο Γ ∪ Ι είναι βέβαιο.

Γ2. ( ) ( ) ( ) ( )P 1 P P I P 1Γ∪Ι = ⇒ Γ + − Γ∩Ι = ⇒

22 2 2 23 2 1 3 1

1 11 1 1 1

3 3ν ν+ ν+ ν++ − = ⇒ = ⇒

ν + ν + ν + ν +ν = ν ⇒ ν =

Γ3. ( ) ( )Γ−Ι ∪ Ι−Γ : ο αθητής αθαίνει ία όνο από τις δύο γλώσσες( ) ( )( ) ( ) ( )P P P IΓ−Ι ∪ Ι−Γ = Γ−Ι + −Γ ( ) ( ) ( ) ( )P P P I P I= Γ − Γ∩Ι + − ∩Γ =( ) ( ) ( )P P I 2P IΓ + − ∩Γ =

2 2 23 2 1

21 1 1

ν ν+ ν+= + −ν + ν + ν +

Επειδή 3ν = έχουε ( ) ( )( ) 3P

5Γ−Ι ∪ Ι−Γ =

Γ4. ( ) 4 2P

10 5Γ∩Ι = =

( )( )( ) ( )

( ) ( )2 2P 2

5 532 160 80Ν Γ∩Ι

Γ∩Ι = = ⇒ = ⇒Ν

Ν = ⇒ Ν =Ν

ΘΕΜΑ

1. ( )( )

( ) ( )2

22

2 2 22ln x ln x 1 ln x 1

0x x

12 ln x x 1 ln x 1

xf x f xx

− − − −= ≤

− +′ ′= ⇒ =

άρα η

( )f 0,↓ +∞

2. Το εβαδόν του ορθογωνίου είναι ( ) ( ) ( ) 2 xE x xf x E x 1 ln= ⇒ = + , x 0>

( ) 2ln xx

E x′ = , ( )E x 0 ln x 0 x 1′ = ⇒ = ⇒ =

( )E x 0 x 1′ > ⇒ > και ( )E x 0 x 1′ < ⇒ <Το πρόσηο της E′ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Άρα 8%

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Έστω Γ: ο αθητής αθαίνει Γαλλικά Ι : ο αθητής αθαίνει Ισπανικά :Γ ∩ Ι ο αθητής αθαίνει Γαλλικά και Ισπανικά

( )23

P1

νΓ =

ν +, ( )

22

P1

ν+Ι =

ν +, ( )

21

P1

ν+Γ∩Ι =

ν +:Γ∪ Ι ο αθητής αθαίνει ία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες

( )( ) [ ]

( ) ( )2 2

2x 1 x 1 2P

x 3 2

2 x 3 2 2 x 3 4lim lim

x x x x 1→− →−Γ∪Ι =

+ +

+ − + −= =

+ +( ) ( )

( ) ( )( )

( )x 1 x 12 2

x 1 x 1 x 1 41

1 4x 3 2 x 3 2

2 2lim lim

x x 1 x→− →−

− + − −=

− ⋅+ + + +

= = =+

Οπότε το ενδεχόενο Γ ∪ Ι είναι βέβαιο.

Γ2. ( ) ( ) ( ) ( )P 1 P P I P 1Γ∪Ι = ⇒ Γ + − Γ∩Ι = ⇒

22 2 2 23 2 1 3 1

1 11 1 1 1

3 3ν ν+ ν+ ν++ − = ⇒ = ⇒

ν + ν + ν + ν +ν = ν ⇒ ν =

Γ3. ( ) ( )Γ−Ι ∪ Ι−Γ : ο αθητής αθαίνει ία όνο από τις δύο γλώσσες( ) ( )( ) ( ) ( )P P P IΓ−Ι ∪ Ι−Γ = Γ−Ι + −Γ ( ) ( ) ( ) ( )P P P I P I= Γ − Γ∩Ι + − ∩Γ =( ) ( ) ( )P P I 2P IΓ + − ∩Γ =

2 2 23 2 1

21 1 1

ν ν+ ν+= + −ν + ν + ν +

Επειδή 3ν = έχουε ( ) ( )( ) 3P

5Γ−Ι ∪ Ι−Γ =

Γ4. ( ) 4 2P

10 5Γ∩Ι = =

( )( )( ) ( )

( ) ( )2 2P 2

5 532 160 80Ν Γ∩Ι

Γ∩Ι = = ⇒ = ⇒Ν

Ν = ⇒ Ν =Ν

ΘΕΜΑ

1. ( )( )

( ) ( )2

22

2 2 22ln x ln x 1 ln x 1

0x x

12 ln x x 1 ln x 1

xf x f xx

− − − −= ≤

− +′ ′= ⇒ =

άρα η

( )f 0,↓ +∞

2. Το εβαδόν του ορθογωνίου είναι ( ) ( ) ( ) 2 xE x xf x E x 1 ln= ⇒ = + , x 0>

( ) 2ln xx

E x′ = , ( )E x 0 ln x 0 x 1′ = ⇒ = ⇒ =

( )E x 0 x 1′ > ⇒ > και ( )E x 0 x 1′ < ⇒ <Το πρόσηο της E′ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

ΜΕΘΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

Απαντήσεις Θετν Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου 2012

ΘΕΜΑ A Α1. βΑ2. δΑ3. δΑ4. βΑ5. α ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σελ. 18 Σχολικού βιβλίου: «Για παράδειγα, ο ιός της πολυοελίτιδας … νωτιαίουυελού.» Σελ. 39 Σχολικού βιβλίου: «Το εβόλιο, όπως θα έκανε και ο ίδιος ο ικροοργανισός, … κύτταρα νήης». Το άτοο θα κάνει δευτερογενή ανοσοβιολογική απόκριση, γιατίενεργοποιούνται τα κύτταρα νήης (βοηθητικά Τ-λεφοκύτταρα νήης, Β-λεφοκύτταρα νήης, κυτταροτοξικά Τ-λεφοκύτταρα νήης), ξεκινά αέσως ηέκκριση αντισωάτων και έτσι δεν προλαβαίνουν να εφανιστούν τα συπτώατα τηςασθένειας. Το άτοο δεν νοσεί και πιθανότατα δεν αντιλαβάνεται ότι ολύνθηκε. Β2. Σελ. 85 Σχολικού βιβλίου: «Οι αυξανόενες ενεργειακές ανάγκες … κλία τουπλανήτη». Β3. Σελ. 47 Σχολικού βιβλίου: «ΟHIV ανήκει στους ρετροϊούς … υπάρχουν στηνεπιφάνειά τους.» Μπορεί να αναφερθεί και η ύπαρξη γλυκοπρωτεϊνών στο εξωτερικόπερίβληα του ιού. (Εικόνα 1.32). Β4. Σελ. 47-48 Σχολικού βιβλίου: «Κατόπιν όλων αυτών είναι εφανές … σεξουαλικήεπαφή».

ΘΕΜΑ ΓΓ1. Σελ. 126 Σχολικού βιβλίου: «Η διαδικασία ε την οποία οι οργανισοί … φυσικήεπιλογή». «Θεωρία του αρβίνου … συγκεκριένο περιβάλλον». Σελ. 129 Σχολικού βιβλίου: «Πρέπει επίσης να τονιστεί … στιγή».

Γ2. Σελ. 125-126 Σχολικού βιβλίου: Συπεράσατα 1, 2, 3.

Γ3. Σελ. 72-73 Σχολικού βιβλίου: «Ο όρος ποικιλότητα αναφέρεται … τα είδη πουτρέφονται από αυτό.» Άρα πιο ισορροπηένο θα είναι το οικοσύστηα της λίνης Α.

ΘΕΜΑ 1. Σελ. 108-109 Σχολικού βιβλίου: «Όσον αφορά το φαινόενο του ευτροφισού …

από ασφυξία». Με βάση τα παραπάνω η καπύλη Α αναφέρεται στην ποσότητα τωναποικοδοητών και η καπύλη Β στην ποσότητα του οξυγόνου στο νερό.

2. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Στους πρωτογενείς ρύπους συγκαταλέγονται τα οξείδιατου αζώτου, καθώς παράγονται από τις ηχανές εσωτερικής καύσης (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, εργοστάσια). Στα προϊόντα αντίδρασής τους ε το οξυγόνο της ατόσφαιραςκάτω από την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας, ανήκει το όζον (δευτερογενής ρύπος). «Με βάση τα παραπάνω πρώτα παράγονται τα οξείδια του αζώτου (καπύλη Α) καιακολούθως παράγεται σαν προϊόν αντίδρασης το όζον (καπύλη Β).

3. Σελ. 105 Σχολικού βιβλίου: «Τα οξείδια του αζώτου προκαλούν … εφυσήατος.»

Επιέλεια ετν: Βαξεβανέλλης Σπύρος, Βιολόγος

Page 5: Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

ΣABBATO 26 MAΪOY 201218

ΠPOTEINOMENEΣ AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ NEOEΛΛHNIKHΣ ΛOΓOTEXNIAΣ - 2012

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

οτεινενες Απαντήσεις στο ηα της Νεοελληνικής Λογοτεχνίας 2012

Α1. Η ποίηση του Καβάφη, ως προς τη στιχουργία οιάζει «πεζολογική». Συγκεκριένα, οιστίχοι είναι ελεύθεροι, σχεδόν πάντα ιαβικοί, κατά κανόνα ανισοσύλλαβοι, χωρίςοοιοκαταληξία και χωρίς επιέλεια στις χασωδίες. στόσο, πολύ προσεγένοι στηστίξη, στις περιόδους, στις παύσεις. Η ιδιότυπη γλώσσα του ποιήατος του Καβάφη είναι οιλούενη από την ελληνικήπαροικία της Αλεξάνδρειας (δηοτική ε τύπους λόγιους και πολιτικούς ιδιωατισούς) («ἐγκαρτέρησι» στιχ.3, «κάνουνε» στιχ.9), ενώ πολλές από τις λέξεις πουχρησιοποιούνται είναι «αντιποιητικές», της καθηερινής χρήσης. Τα φάρακα της τέχνης δηλαδή «Φαντασία και Λόγος» λειτουργούν ως σύβολα, ωςαναλγητικά φάρακα που πορούν να απαλύνουν, προσωρινά έστω, το άλγος που προξενείη φθορά του σώατος και της ορφής. Β1. Πράγατι, ο τίτλος «Μελαγχολία τοῦ Ἰάσωνος Κλεάνδρου ποιητοῦ ἐν Κοαγηνῇ 595 .Χ.» είναι ένας από τους εκτενέστερους τίτλους ποιηάτων που έγραψε ποτέ οΚαβάφης. Το ποίηα γράφεται το 1918 ε τον τίτλο Μαχαίρι, όταν ο ποιητής είναι 55 ετών. Ο πρώτος τίτλος υπογραίζει τη φρίκη των γηρατειών, αφήνει όως ξεγυνωένητην προσωπική πληγή του ποιητή. Γι’ αυτό ο Καβάφης σπεύδει να χρεώσει τη ελαγχολίακαι την οδύνη στο φανταστικό ποιητή Ιάσονα Κλεάνδρου. ηοσιεύεται έτσι το 1921ετον υπάρχων τίτλο, όπου ορίζει το (ψευδο)ιστορικό πλαίσιο και τον αφηγητή και δίνει έτσιδιαχρονική ισχύ στα λεγόενά του. Θα πορούσε να είναι ένας στίχος του ποιήατος. Ηέκταση που δίνεται στον τίτλο είναι σκόπιη, καθώς το ιστορικό άλλοθι αυτού τουεσωτερικού ονολόγου περιορίζεται στον τίτλο, και έτσι η ταύτιση των δύο ποιητώνγίνεται σχεδόν αναπόφευκτη. Ο Καβάφης, λοιπόν, κάνει χρήση ενός ποιητικού προσωπείουκαι ταυτίζεται ε τον Ιάσονα Κλεάνδρου. Αναλυτικότερα, η ελαγχολία του τίτλου έχει απολύτως συγκεκριένο σηείο αναφοράς: τα ορατά σηάδια της γήρανσης του σώατος ε όλο τον πόνο και την οδύνη πουσυνεπάγεται αυτή η φυσική και αναπόδραστη κατάσταση. Το πρόσωπο Ιάσων Κλεάνδρου είναι φανταστικό, ένας ανύπαρκτος ποιητής, ια personaτου ποιητή στην οποία προβάλλει τα συναισθήατά του και τους προβληατισούς του. Τοκυριώνυο Ιάσων παραπέπει συνειρικά στον οώνυο υθικό ήρωα από την Ιωλκό, τοναρχηγό της Αργοναυτικής εκστρατείας, τα κατορθώατα του οποίου υνήθηκαν αρχικάαπό την αρχαία λογοτεχνία (εξ ου προφανώς και η πατρωνυική γενιά Κλεάνδρου [κλέα + ανδρός] που κάνει τον Ιάσωνα «γιο της ανδρικής δόξας», «ένδοξο». Από την άλλη πλευρά, το όνοα Ιάσων παραπέπει στο ρήα ιάοαι - ωαι που σηαίνει θεραπεύω. Όπως είναιγνωστό, ο υθικός ήρωας κατά τη διάρκεια της Αργοναυτικής εκστρατείας συνδέθηκεερωτικά ε τη Μήδεια, ιαν από τις εγαλύτερες, αν όχι τη εγαλύτερη φαρακεύτρια τηςαρχαίας υθολογίας. Η Μήδεια ερωτεύτηκε τον Ιάσονα και προσφέρθηκε να τον βοηθήσειστην επικίνδυνη αποστολή του δίνοντάς του αρχικά ιαν αλοιφή που οι αρχαίες ελληνικέςπηγές αποκαλούν . Η Μήδεια κατείχε την τέχνη της αναστροφής του γήρατος καιτης απόδοσης της χαένης νεότητας. Σύφωνα δε ε έναν όχι και τόσο γνωστό ύθο, ηΜήδεια τεάχισε και έβρασε το σώα του Ιάσονα και του ξανάδωσε τη χαένη νεότητα. Καθίσταται, λοιπόν, φανερό ότι ο φανταστικός ποιητής Ιάσων Κλεάνδρου, δηλαδή οΚαβάφης, σκέπτεται σαν τον οώνυο υθικό αρχηγό της Αργοναυτικής εκστρατείας καικαταφεύγει στη δική του Μήδεια, την Ποίηση, αναζητώντας τα νηπενθή φάρακα που θαγλυκάνουν, έστω για λίγο, τον αβάσταχτο πόνο από το φριχτό αχαίρι της φθοράς τουχρόνου. Η οαγηνή ήταν κάποτε ένα ανεξάρτητο κρατίδιο βορειοανατολικά της Συρίας ως το638 που καταλήφθηκε από τους Άραβες και έγινε τήα της βυζαντινής αυτοκρατορίας. Ηεπιλογή του τόπου και του χρόνου δεν είναι τυχαία. Το κρατίδιο εκείνη την εποχή (595 .χ.) βρίσκεται σε παρακή: η χρονολογία του τίτλου τοποθετεί το ονόλογο του ΙάσωνοςΚλεάνδρου 53 χρόνια ετά το διαγούισα της Κοαγηνής από το Χοσρόη Α' τηςΠερσίας και τέσσερα χρόνια ετά την ειρήνη του βυζαντινού αυτοκράτορα Μαυρίκιου ετον Χοσρόη Β'. Έτσι, η φθορά του ποιητή συπίπτει ε τη φθορά του άλλοτε κραταιούκρατιδίου. Το έτος 595 .χ.είναι τυχαίο και υποδηλώνει ότι η θλίψη για τη γήρανση του σώατος καιτης ορφής, αλλά και η θεραπευτική δύναη της ποίησης, είναι διαχρονική. Είναι, ωστόσο, πολύ πιθανόν ο Καβάφης ε το έτος 595 .χ να ήθελε να δείξει ότι απέχει πέντε έτη από τοτέλος της έκτης δεκαετίας της ζωής του. Εποένως, το έτος αυτό δεν αναφέρεται ίσως

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

: Η λειτουργία της ποίησης για τον Καβάφη έχει αναλγητική καθώς τον λυτρώνει προσωρινάκαι τον αποφορτίζει συναισθηατικά. Ο Λειβαδίτης είναι περισσότερο απόλυτος καθώςδηλώνει ότι κανείς δεν πορεί να τον βοηθήσει. Τέλος, ο Καβάφης ε τον εκτενή τίτλοχρησιοποιεί ένα προσωπείο δίνοντας καθολική και διαχρονική διάσταση στο θέα τωνγηρατειών. Αντίθετα ο Λειβαδίτης ιλά άεσα για τον εαυτό του, δίχως να κρύβεται, δίνοντας ένα προσωπικό τόνο στο ποίηα. Αυτό ενισχύεται και από τον ίδιο τον τίτλο«Αυτοβιογραφία».

ιλεια εάτΧατζηβασιλείου Βάγια, φιλόλογος

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

: Η λειτουργία της ποίησης για τον Καβάφη έχει αναλγητική καθώς τον λυτρώνει προσωρινάκαι τον αποφορτίζει συναισθηατικά. Ο Λειβαδίτης είναι περισσότερο απόλυτος καθώςδηλώνει ότι κανείς δεν πορεί να τον βοηθήσει. Τέλος, ο Καβάφης ε τον εκτενή τίτλοχρησιοποιεί ένα προσωπείο δίνοντας καθολική και διαχρονική διάσταση στο θέα τωνγηρατειών. Αντίθετα ο Λειβαδίτης ιλά άεσα για τον εαυτό του, δίχως να κρύβεται, δίνοντας ένα προσωπικό τόνο στο ποίηα. Αυτό ενισχύεται και από τον ίδιο τον τίτλο«Αυτοβιογραφία».

ιλεια εάτΧατζηβασιλείου Βάγια, φιλόλογος

ΟΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

όνον στην εποχή της παρακής των ελληνικών κοινοτήτων της Μέσης Ανατολής αλλάκαι στη φθορά του ποιητή. Συπερασατικά, ο ποιητής, θέλοντας να αποστασιοποιηθεί από την έκφραση ιας τόσοέντονης ανησυχίας για το γήρασα του σώατος και της ορφής του, χρησιοποιεί τοπροσωπείο του Ιάσονα Κλεάνδρου, ώστε να διατυπώσει τις προσωπικές του θέσεις χωρίςόως αυτές να σκιάζονται από υποκειενισό. Ο Καβάφης χρησιοποιεί, παράλληλα, τονεκτενή αυτό τίτλο για να εταθέσει χρονικά τη ελαγχολική αυτή κατάσταση στο παρελθόνκαι ως εκ τούτου να προσδώσει στις σκέψεις και τον προβληατισό του διαχρονικότητααλλά και καθολικότητα. Β2. Εκφραστικά έσα: «Τό γήρασα τοῦ σώατος καί τῆς ορφῆς ου εἶναι πληγή»: εταφορική εικόνα, ε

την οποία αποδίδεται παραστατικά το αίσθηα της φρίκης που προκαλούν τα σηάδιατου χρόνου στο σώα και την ψυχική ορφολογία του ποιητή.

«εἶναι πληγή ἀπό φρικτό αχαῖρι»: επανάληψη του στίχου 2 της πρώτης ενότητας ετο στίχο 1 της δεύτερης ενότητας. Αυτό συντελεί τόσο στη συνοχή του ποιήατος όσοκαι στην έφαση που δίνεται λόγω της φθοροποιούς δύναης του χρόνου.

«φέρε»: χρήση προστακτικής. Μαρτυρά την επιτακτική ανάγκη για βοήθεια και τηναπελπισία του ποιητή, ο οποίος σε παρακλητικό τόνο ζητά τα φάρακα.

«Εἰς σέ προστρέχω Τέχνη τῆς Ποιήσεως,πού κάπως ξέρεις ἀπό φάρακα» ιάλογος(χρήση α΄ και β΄ ενικού ρηατικού προσώπου), που προσδίδει θεατρικότητα.

Γ1. Ο ποιητής, όπως κάθε θνητός, βρίσκεται αντιέτωπος ε την αδυσώπητη οίρα του, ετη νοοτελειακά αναπόφευκτη πορεία προς το τέλος. Φριχτό αχαίρι ο χρόνος, γι' αυτό δενέχει εγκαρτέρηση καιά. Ο δηιουργός, ωστόσο, γνωρίζει καλά ότι το οναδικό καταφύγιοενός ποιητή είναι σαφώς η τέχνη του, η οποία του επιτρέπει να αποστασιοποιηθεί από τονεαυτό του και να αφεθεί στη δηιουργική έκσταση, υιοθετώντας οποιαδήποτε περσόναεπιθυεί, δηιουργώντας ένα διαφορετικό κόσο, στον οποίο δε νιώθει πια ευάλωτος απότο χρόνο. Η αποστροφή (εἰς σε), το σχήα της προσωποποίησης (προσωποποιείται η Τέχνη τηςΠοίησης και παρακάτω η Φαντασία και ο Λόγος) και η περίφραση «Τέχνη της Ποιήσεως» (όπου επιλέγεται η λόγια κατάληξη «ποιήσεως») από τη ια προσδίδει στο λόγοεγαλοπρέπεια και καθιστά το ύφος υνητικό, εγκωιαστικό από την άλλη επιβεβαιώνειτην ιδιαίτερη σχέση του ποιητή ε την ποίηση. Ο ποιητής καταφεύγει στην ευεργετικήλειτουργία της ποίησης για να απαλύνει τον πόνο των γηρατειών. Η κυρίαρχη ιδιότητα του, όπως φροντίζει να ενηερώσει τον αναγνώστη από τον τίτλο ακόη, είναι ποιητική. Αφιέρωσε, δηλαδή τη ζωή του στην τέχνη του Λόγου. Υπήρξε ένας υπηρέτης της. ενείναι, εποένως, παράξενο να απευθυνθεί σε αυτήν, γνωρίζοντας βέβαια την παροδικήίαση, που πορεί να του προσφέρει («κάπως») Η Τέχνη της Ποιήσεως είναι πολύτιοβάλσαο που κάνει να η νιώθεται η πληγή. Η ποιητική πράξη λειτουργεί σαν ναρκωτικό. Απόπειρες νάρκωσης του πόνου γίνονται ε τη Φαντασία και το Λόγο. Σίγουρα, ηΦαντασία δεν υπαινίσσεται πλαστική ή δηιουργική φαντασία. Μάλλον πρόκειται γιααναπαραστατική φαντασία, ' άλλα λόγια για ένα είδος παραορφωένης νήης. Ο Λόγος αποδίδει ε λέξεις, εικόνες και σύβολα τη σύλληψη της Φαντασίας. Η ποίηση, εποένως, δεν είναι απλώς ια δηιουργική ενασχόληση, είναι ένας ολόκληροςκόσος στον οποίο ο ποιητής πορεί να ξεφύγει από την παρούσα κατάσταση της θλίψηςκαι να εισαχθεί σε ια νοητική κατάσταση στην οποία το πέρασα του χρόνου και ησυνακόλουθη φθορά του σώατος και της ορφής, δεν πορούν να τον πληγώσουν. 1. :Τα δύο ποιήατα έχουν ως κοινό θεατικό άξονα τα γηρατειά και τον αείλικτο χρόνο. Τόσο ο Καβάφης (Τό γήρασα τοῦ σώατος καί τῆς ορφῆς ου) όσο και ο Λειβαδίτης(στὴν ἡλικία ου χιονίζει, χιονίζει ἀδιάκοπα) αντιλαβάνονται ότι η φθορά είναιαναπόφευκτη και έχουν πλήρη επίγνωση της πραγατικότητας. Επιπλέον, ο πόνος και ηελαγχολία είναι εφανείς και στα δύο ποιήατα. Στο ποίηα του Καβάφη αυτόεπιτυγχάνεται ε την επανάληψη του στίχου «εἶναι πληγή ἀπό φρικτό αχαῖρι». Στο ποίηατου Λειβαδίτη η αντίστοιχη ελαγχολική διάθεση εντοπίζεται στις λέξεις «ολοόναχος / χτυπήατα / πόνος». Τέλος, και οι δύο είναι ποιητές και καταφεύγουν στην ποίησηπροκειένου να εκφράσουν τα συναισθήατά τους. Για τον Καβάφη η ποίηση αποτελείκαταφύγιο, ία θεότητα. Μέσω της ποίησης πορεί για λίγο ο δηιουργός να ξεχαστεί, ναξεφύγει από τη δυσάρεστη πραγατικότητα της ελαγχολικής ηλικίας του. Ο Λειβαδίτηςτην παροοιάζει σαν ια εγάλη αλήθεια στην οποία πορεί να καταφύγει, έστω και«ὕστερ’ ἀπὸ χρόνια».

Page 6: Θέματα Πανελληνιών Εξετάσεων 2012

ΣABBATO 26 MAΪOY 2012 19

AΠANTHΣEIΣ ΣTO MAΘHMA THΣ ΦYΣIKHΣ ΘETIKHΣ KAI TEXNOΛOΓIKHΣ KATEYΘYNΣHΣ - 2012

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =Κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις της σφαίρας

2Σ η ταχύτητα xυ δεν εταάλλεται διότι

αυτή δέχεται δυνάεις όνο στη διεύθυνση y y′ . ποένως , για το χρόνο 2t ισχύει:

2x

(A )t

Γ=

υ ή 2

2

(A )t υ

Γ= ή 2

(A )t 2

Γ=

υ ή 2 1

t 2t=

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( )

22

cmOI I M m

2 = + + ℓ ℓ 2 2 21 1 1

M M M12 4 2

= + +ℓ ℓ ℓ 25M

6= ℓ ή

( )OI 6 0, 09

5

6= ⋅ ⋅ ή ( )

2O

I 0, 45kgm=

Γ2. Η δύναη Fέχει σταθερή ροπή τ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Το έργο της είναι:

FW = τ ⋅ θ ή

FW F

= ⋅ ⋅ℓ ή F

120W 0, 3

= ⋅ ⋅π

ή F

W 18J=

Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας για τηνετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως τηνοριζόντια θέση.

F Mg mgWK W Wτελ αρχ +− Κ = + ή

2F

g mg2

1I 0 W

2− Μ −ω − =

ℓℓ ή

( )2 F

M 2m g2W

I

− +ω =

ℓή 2 2 18 12 10 0, 3

0, 45⋅ − ⋅ ⋅

ω = ή

0ω =Γ4. Αρχικά, η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της

δύναης F′

. Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οιροπές των δυνάεων, οι οποίες αντιστέκονται στηνκίνηση Mg

και mg

αυξάνονται. Η δοκός θα

αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου ησυνισταένη ροπή είναι 0Στ = . χουε, ως προς Ο:

0Στ = ή ( ) ( ) ( )F OA Mg mg A 0′ − ΚΓ − = ή

F Mg g 02 2

Μ′ − θ − θ =

ℓℓ ℓ ή

2F2Mg

′θ = ή

33060

θ = ή 60οθ =

ΘΕΜΑ

Κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις της σφαίρας2

Σ η ταχύτητα xυ δεν εταάλλεται διότι

αυτή δέχεται δυνάεις όνο στη διεύθυνση y y′ . ποένως , για το χρόνο 2t ισχύει:

2x

(A )t

Γ=

υ ή 2

2

(A )t υ

Γ= ή 2

(A )t 2

Γ=

υ ή 2 1

t 2t=

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( )

22

cmOI I M m

2 = + + ℓ ℓ 2 2 21 1 1

M M M12 4 2

= + +ℓ ℓ ℓ 25M

6= ℓ ή

( )OI 6 0, 09

5

6= ⋅ ⋅ ή ( )

2O

I 0, 45kgm=

Γ2. Η δύναη Fέχει σταθερή ροπή τ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Το έργο της είναι:

FW = τ ⋅ θ ή

FW F

= ⋅ ⋅ℓ ή F

120W 0, 3

= ⋅ ⋅π

ή F

W 18J=

Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας για τηνετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως τηνοριζόντια θέση.

F Mg mgWK W Wτελ αρχ +− Κ = + ή

2F

g mg2

1I 0 W

2− Μ −ω − =

ℓℓ ή

( )2 F

M 2m g2W

I

− +ω =

ℓή 2 2 18 12 10 0, 3

0, 45⋅ − ⋅ ⋅

ω = ή

0ω =Γ4. Αρχικά, η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της

δύναης F′

. Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οιροπές των δυνάεων, οι οποίες αντιστέκονται στηνκίνηση Mg

και mg

αυξάνονται. Η δοκός θα

αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου ησυνισταένη ροπή είναι 0Στ = . χουε, ως προς Ο:

0Στ = ή ( ) ( ) ( )F OA Mg mg A 0′ − ΚΓ − = ή

F Mg g 02 2

Μ′ − θ − θ =

ℓℓ ℓ ή

2F2Mg

′θ = ή

33060

θ = ή 60οθ =

ΘΕΜΑ

Κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις της σφαίρας2

Σ η ταχύτητα xυ δεν εταάλλεται διότι

αυτή δέχεται δυνάεις όνο στη διεύθυνση y y′ . ποένως , για το χρόνο 2t ισχύει:

2x

(A )t

Γ=

υ ή 2

2

(A )t υ

Γ= ή 2

(A )t 2

Γ=

υ ή 2 1

t 2t=

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( )

22

cmOI I M m

2 = + + ℓ ℓ 2 2 21 1 1

M M M12 4 2

= + +ℓ ℓ ℓ 25M

6= ℓ ή

( )OI 6 0, 09

5

6= ⋅ ⋅ ή ( )

2O

I 0, 45kgm=

Γ2. Η δύναη Fέχει σταθερή ροπή τ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Το έργο της είναι:

FW = τ ⋅ θ ή

FW F

= ⋅ ⋅ℓ ή F

120W 0, 3

= ⋅ ⋅π

ή F

W 18J=

Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας για τηνετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως τηνοριζόντια θέση.

F Mg mgWK W Wτελ αρχ +− Κ = + ή

2F

g mg2

1I 0 W

2− Μ −ω − =

ℓℓ ή

( )2 F

M 2m g2W

I

− +ω =

ℓή 2 2 18 12 10 0, 3

0, 45⋅ − ⋅ ⋅

ω = ή

0ω =Γ4. Αρχικά, η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της

δύναης F′

. Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οιροπές των δυνάεων, οι οποίες αντιστέκονται στηνκίνηση Mg

και mg

αυξάνονται. Η δοκός θα

αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου ησυνισταένη ροπή είναι 0Στ = . χουε, ως προς Ο:

0Στ = ή ( ) ( ) ( )F OA Mg mg A 0′ − ΚΓ − = ή

F Mg g 02 2

Μ′ − θ − θ =

ℓℓ ℓ ή

2F2Mg

′θ = ή

33060

θ = ή 60οθ =

ΘΕΜΑ

Κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις της σφαίρας2

Σ η ταχύτητα xυ δεν εταάλλεται διότι

αυτή δέχεται δυνάεις όνο στη διεύθυνση y y′ . ποένως , για το χρόνο 2t ισχύει:

2x

(A )t

Γ=

υ ή 2

2

(A )t υ

Γ= ή 2

(A )t 2

Γ=

υ ή 2 1

t 2t=

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( )

22

cmOI I M m

2 = + + ℓ ℓ 2 2 21 1 1

M M M12 4 2

= + +ℓ ℓ ℓ 25M

6= ℓ ή

( )OI 6 0, 09

5

6= ⋅ ⋅ ή ( )

2O

I 0, 45kgm=

Γ2. Η δύναη Fέχει σταθερή ροπή τ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Το έργο της είναι:

FW = τ ⋅ θ ή

FW F

= ⋅ ⋅ℓ ή F

120W 0, 3

= ⋅ ⋅π

ή F

W 18J=

Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας για τηνετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως τηνοριζόντια θέση.

F Mg mgWK W Wτελ αρχ +− Κ = + ή

2F

g mg2

1I 0 W

2− Μ −ω − =

ℓℓ ή

( )2 F

M 2m g2W

I

− +ω =

ℓή 2 2 18 12 10 0, 3

0, 45⋅ − ⋅ ⋅

ω = ή

0ω =Γ4. Αρχικά, η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της

δύναης F′

. Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οιροπές των δυνάεων, οι οποίες αντιστέκονται στηνκίνηση Mg

και mg

αυξάνονται. Η δοκός θα

αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου ησυνισταένη ροπή είναι 0Στ = . χουε, ως προς Ο:

0Στ = ή ( ) ( ) ( )F OA Mg mg A 0′ − ΚΓ − = ή

F Mg g 02 2

Μ′ − θ − θ =

ℓℓ ℓ ή

2F2Mg

′θ = ή

33060

θ = ή 60οθ =

ΘΕΜΑ

1. Στη θέση ισορροπίας Θ.Ι. του σώατος, τα ελατήρια έχουν ίσες παραορφώσεις

1ℓ από το φυσικό τους ήκος.

Ισχύει: 0xF =Σ ή 1 2

B F Fx = + ή ( )1 21 1m g k kφ = + ℓ (1)

Αν το σώα ετατοπισθεί από τη Θ.Ι. κατά τυχαίο x :

( ) ( )1 21 2 1 1 1B F F m g x xxF k k− − = φ − + +Σ = −′ ′ ℓ ℓ ή

( ) ( )1 2 1 21 1m gF k k k k xφ − −Σ = + +ℓ ή λόγω της (1): ( )1 2F k k x−Σ = +

Εποένως το σώα εκτελεί απλή αρονική ταλάντωση ε σταθερά επαναφοράς

1 2D k k= +

2. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι1

A = ℓ διότι στην θέση αυτή (Θ.Φ.Μ.) το σώα

δεν είχε ταχύτητα. Από την (1): ( )1

m

12102

200 =⋅ ⋅

ℓ ή1

0, 05m =ℓ

Η γωνιακή συχνότητα: 1

Dm

ω = ή 10rad / sω =

Τη χρονική στιγή0

t 0= το σώα βρίσκεται στη θέση0

x A= + . Η εξίσωση της

αποάκρυνσης είναι ( )0x A t= ω +φ . Για t 0= γίνεται 0A A= φ ή 0 1φ = και

επειδή 00 2≤ φ < π είναι 0 2

πφ = . Εποένως η εξίσωση της αποάκρυνσης ε το χρόνο

θα είναι x 0, 05 10t2

π= +

( )S.I. .

3. Για την ταλάντωση του συστήατος 1 2,Σ Σ η σταθερά επαναφοράς είναι

1,2 1 2D k k 200N / m= + = . Η γωνιακή συχνότητα της νέας ταλάντωσης είναι

1,2

1 2

Dm m+

′ω = ή 5rad / s′ω = .

Εποένως, η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του2

m : 222

D m ′= ω ή

2D 150 / m= Ν .

Το πλάτος A′ της ταλάντωσης του συστήατος 1 2,Σ Σ είναι ίσο ε την παραόρφωση

2ℓ των ελατηρίων στη θέση ισορροπίας του συστήατος θα είναι:

x0F =Σ ή ( )1 2 1 2 2 2

m m g k k+ φ = + ℓ ℓ ή ( )1 22 1 2

m m gk k+ φ

=+

ℓ ή2

18102

200 =⋅ ⋅

ℓ ή

2 0, 2m =ℓ

Οι δυνάεις που δέχεται το 2m στη διάρκεια της

ταλάντωσής του είναι η συνιστώσα2x

B του βάρους τουκαι η στατική τριβή. Στη διεύθυνση y y′ δέχεται τησυνιστώσα

yB και τη δύναη στήριξης N

από το 1m .

Είναιy

F 0Σ = ή 2y

N B= ή 2N m g= συνφ ή

32

6 10Ν = ⋅ ⋅ ή 30 3Ν = Ν . Στη διεύθυνση x x′ : x 2

F D xΣ = − ⋅ ή 2 2

T B x D x− = − ⋅

ή2 2

T m g D x= φ − ⋅ Η έγιστη τιή της στατικής τριβής που δέχεται εφόσον ηαποάκρυνση x εταβάλλεται εταξύ των τιών ′−Α και ′Α θα είναι:

max 2 2m g D A′Τ = + ή max1

6 10 150 0, 22

Τ = ⋅ ⋅ + ⋅ ή max 60NΤ =

Πρέπει maxΤ ή maxN

Τ ή 60

30 3 ή 2 3

3

ιέλια τνΚαστρινέλλης Ηλίας, φυσικός

max 2 2m g D A′Τ = + ή max1

6 10 150 0, 22

Τ = ⋅ ⋅ + ⋅ ή max 60NΤ =

Πρέπει maxΤ ή maxN

Τ ή 60

30 3 ή 2 3

3

ιέλια τνΚαστρινέλλης Ηλίας, φυσικός

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΘΕΜΑ ΑΑ1. γ Α2. βΑ3. γΑ4. γΑ5. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ

ΘΕΜΑ ΒΒ1. Σωστή απάντηση: γΑιτιολόγηση: Έστω nν : ο δείκτης διάθλασης

του νερού, nλ : ο δείκτης διάθλασης του

λαδιού. Είναι 11

θ = (1)

Η ακτίνα προερχόενη από το νερό θα περάσειστο λάδι και για τη γωνία διάθλασης 2θ θα

ισχύει: 1 2n nν λ θ = θ ή

12

n

λ

θθ = ή 2

1

θ = (2)

Για τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα η κρίσιη γωνία είναι crit′θ και ισχύει:

crit1

′θ = (3) . Από τις σχέσεις (2) και (3) παρατηρούε ότι 2 crit′θ θ= εποένως η

ακτίνα θα κινηθεί παράλληλα ε τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.

Β2. Σωστή απάντηση: α

Αιτιολόγηση: Η θέση του πρώτου δεσού είναι1

x4λ

= . Το σηείο Κ βρίσκεται στη

θέση 1Kx x

−= ή Kx4 6

λ λ−= ή Kx

12

λ= .

Το σηείο Λ βρίσκεται στη θέση1

x x12Λ λ

= + ή x4 12Λλ λ

= + ή x3Λλ

=

Τα πλάτη των ταλαντώσεων των σηείων Κ και Λ είναι αντίστοιχα: K2 x 22 2A 3

12Κπ π′Α = Α συν = συν = Αλ

και 2 x 22 2A3

ΛΛ

π π′Α = Α συν = συν = Αλ

Είναι Κ Κ

Λ Λ

′υ ωΑ=

′υ ωΑή 3Κ

Λ

υ=

υ

Β3. Σωστή απάντηση: αΑιτιολόγηση: Για το χρόνο 1t ισχύει :

1(A )

(1)

Για την κίνηση του2

Σ :

2x 2υ

υ = υσυνθ =Κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις της σφαίρας2

Σ η ταχύτητα xυ δεν εταάλλεται διότι

αυτή δέχεται δυνάεις όνο στη διεύθυνση y y′ . ποένως , για το χρόνο 2t ισχύει:

2x

(A )t

Γ=

υ ή 2

2

(A )t υ

Γ= ή 2

(A )t 2

Γ=

υ ή 2 1

t 2t=

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. ( )

22

cmOI I M m

2 = + + ℓ ℓ 2 2 21 1 1

M M M12 4 2

= + +ℓ ℓ ℓ 25M

6= ℓ ή

( )OI 6 0, 09

5

6= ⋅ ⋅ ή ( )

2O

I 0, 45kgm=

Γ2. Η δύναη Fέχει σταθερή ροπή τ σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Το έργο της είναι:

FW = τ ⋅ θ ή

FW F

= ⋅ ⋅ℓ ή F

120W 0, 3

= ⋅ ⋅π

ή F

W 18J=

Γ3. φαρόζουε θερηα έργου – ενέργειας για τηνετατόπιση της δοκού από την κατακόρυφη ως τηνοριζόντια θέση.

F Mg mgWK W Wτελ αρχ +− Κ = + ή

2F

g mg2

1I 0 W

2− Μ −ω − =

ℓℓ ή

( )2 F

M 2m g2W

I

− +ω =

ℓή 2 2 18 12 10 0, 3

0, 45⋅ − ⋅ ⋅

ω = ή

0ω =Γ4. Αρχικά, η στροφική κίνηση της δοκού είναι επιταχυνόενη εξαιτίας της ροπής της

δύναης F′

. Όσο όως η δοκός περιστρέφεται, οιροπές των δυνάεων, οι οποίες αντιστέκονται στηνκίνηση Mg

και mg

αυξάνονται. Η δοκός θα

αποκτήσει έγιστη γωνιακή ταχύτητα στη θέση όπου ησυνισταένη ροπή είναι 0Στ = . χουε, ως προς Ο:

0Στ = ή ( ) ( ) ( )F OA Mg mg A 0′ − ΚΓ − = ή

F Mg g 02 2

Μ′ − θ − θ =

ℓℓ ℓ ή

2F2Mg

′θ = ή

33060

θ = ή 60οθ =

ΘΕΜΑ