. 1

: .

2011

. 2

. 3

A n i n t r o d u c t i o n t o

n u m b e r t h e o r y E d w a r d B . B u r g e r .

2 1 .

:

R i e a m a n n J o h n D e r b y s h i r e ,

, ( 7 ) .

F e r m a t S i m o n S i n g h ,

, ( 1 3 ) .

S i m o n S i n g h , (

1 0 1 1 ) .

M a r c u s D u S a u d o y ,

( )

1 3

F e r m a t 1 9 9 4 .

, 2 0 1 1 , B u r g e r

.

.

( 2 0 1 1 )

. 4

. 5

. ;

.

:

.

1 . ( p r i m e s )

1

.

2 .

2,3,5,7,11,13,17,...

3 .

; .

4 . 1 8 9 6

ln.

5 . R i e m a n n

.

R i e m a n n .

.

6 .

.

. 6

1 .

.

;

.

2 . ,

2 2 2x y z ,

x 3 , y 4 z 5 .

;

3 . 1 6 3 7 P . d e F e r m a t ( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 )

n n nx y z n 3

.

3 5 0

,

1 9 9 4 .

4 .

.

5 .

,

.

.

. 7

. :

1 .

.

,

.

2 .

.

,

.

m o d u l a r

1 .

,

.

2 .

,

.

.

.

. 8

1 .

.

2 .

.

1 .

,

.

2 .

1 8 4 4

1 . ,

,

.

2 .

: 22

7

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,

.

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. 9

.

,

1,2,3,... .

( n a t u r a l )

. . . 7

6

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, .

( R a t i o n a l )

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, ( I r r a t i o n a l ) , (

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2 , .

,

( R e a l ) .

.

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.

.

.

1 . 2,4,6,8,... ( e v e n )

2 2 .

2 . 1,3,5,7,.. ( o d d )

2 1

2 1 .

3 .

1,4,9,16,... ;

4 . 1,4,2,1,4,2,1,...

3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...

11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...

L o t h a r

C o l l a t z t o 1 9 3 7 : ,

2, 3 1 .

5 . 2 . 2 3 4 5 62 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 9, . . . , 2 512.

4 , 8 , 1 , 3 , 6 , 5

7

462 70.368.744.177.664 , 9

532 9.007.199.254.740.992 .

, ,

2 1 6 7 7

242 16.777.216 .

. 1 1

.

1 . C a r l F r i e d r i c h G a u s s 3 0 1 7 7 7

. , ,

.

2 . G a u s s .

.

3 . 3

.

B u t t n e r

( 1)1 2 3 ...

2.

.

4 . G a u s s

.

.

5 . . :

6 .

. .

. 1 2

.

1 . 1,3 ,6 ,10,15,21,28,

2 .

( t r i a n g u l a r )

.

3 .

G a u s s 3 ,

5 0 5 0

1 0 0 . ; .

1 - 2 - 3 -

4 - . . . .

4 . -

( 1)

2

5 .

.

, ,

. . .

6 . 6 .

- ;

. 1 3

7 . 1 7 9 6 1 9 G a u s s

.

P i e r r e d e F e r m a t 1 6 3 8

.

8 .

1 0 0 .

,

.

( c o m b i n a t o r i a l

n u m b e r t h e o r y ) .

.

1 .

.

1

1 .

( a r i t h m e t i c

p r o g r e s s i o n ) .

2 . . 2

2 . 2 , 4 , 6 , 8 , ,

.

3 . 1

1 0 . 1 0 0 0

. ; ,

-

1

1 ( 1)

. 1 4

4 .

( ; ; )

. :

1

2 1

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2

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.

1 . 1 . 0 0 0 . 0 0 0 .

2 .

1 . 0 0 0 . 0 0 0 .

3 .

. . 3 6 .

, 3 6 - 9 = 2 7 .

.

; .

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. 1 5

.

1 .

,

.

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2 . 1

2 .

: 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , .

3 . 1 0 ; 1 0 0 0

; - ;

4 . . 3

2 . 6 ;

1 0 0 ;

5 .

( g e o m e t r i c p r o g r e s s i o n ) .

1

( r a t i o ) .

6 . -

1

1

1 .

7 . 1 0

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. 1 6

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1 . 1

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( e x p o n e n t i a l g r o w t h ) .

2 . r 1 ( )

( g r o w s e x p o n e n t i a l l y ) , 0 r 1 ( ) ( d e c a y s e x p o n e n t i a l l y ) .

3 . 1 0

1

2

.

4 . 3 0 0 . .

.

:

2

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r : 2 3 1

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1

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r 1 : 1

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2 : 11

11

10

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2 1 .

. 1 7

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.

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22 , 4 32

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,

.

, ,

.

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0,033gr

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.

( ,

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1 . 1

2.

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2 .

1 1 1 1 1 1

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. . .

.

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3 .

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10

10

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20

1 1( ) 0,00000095367431640625...2 2

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4 .

12 3

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2 3

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2 2 2 .

6 . , 0,999... .

,

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0,9 9

10,

0,99 9 9

10 100,

0,999 9 9 9

10 100 1000,

:

9 9 9 1 1 10,999... ... 9( ...) 9 S

10 100 1000 10 100 1000

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1

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.

.

0,999... ; ; ;

0,999... 1 !!!

. 2 0

. 1202

1 .

.

.

;

2 .

.

3 . :

1, 1,2 ,3 ,5 ,8, 13 ,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987,

1597, 2584,4181, 6765, 1094 6 . . .

144 ! ! !

4 .

F i b o n a c c i

L e o n a r d o P i s a n o F i b o n a c c i ( 1 1 7 0

. . ) . F i b o n a c c i 1 2 0 2

l i b e r a b a c i ,

.

, , ,

.

. 2 1

5 .

.

:

2 1 1 2F F F F 1 F 1 .

6 . 1 9 E d o u a r d L u c a s

L 2,1 ,3 ,4,7,11,18,29,47,76,123,199,

L u c a s ( L u c a s s e q u e n c e ) .

;

7 .

:

1 . 1 3 3F F L , 2 4 4F F L 2 2F F L

2 . 1 2 2(F F ... F ) 1 F

L u c a s ;

.

1 .

:

[ V I ] [ 5 ] .

[ 3 ] . ,

, .

,

.

. 2 2

2 .

= 1

1 - ,

2 1 1 5 1 0 1 2

0,61803398875

1 1 5

2 1,61803398875 .

.

3 . ,

(

, ) .

4. 150 : 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766...

http://goldennumber.net/phi20000.htm

5 .

, , .

L u c a P a c i o l i ( 1 4 4 5 - 1 5 2 4 ) .

J o h a n n e s K e p l e r ( 1 5 7 1 - 1 6 3 0 ) .

L . L o r e n z ( 1 8 2 9 - 1 8 9 1 ) .

L e o n a r d o D a V i n c i

( 1 4 5 2 - 1 5 1 9 ) .

http://goldennumber.net/phi20000.htm

. 2 3

.

1 . F i b o n a c c i

.

2 .

F i b o n a c c i , :

1 2 3 5 8 131 , 2 , 1.5 , 1.66 , 1.6 , 1.625

1 1 2 3 5 8

21 34 55 891.615 , 1.619 , 1.617 , 1.618 ,...

13 21 34 55

! ! !

3 .

.

:

11

1

2 (1 1) 11

1 1 1

3 (2 1) 1 11 1

12 2 21

1

5 (3 2) 2 11 1

13 3 31

11

1

8 (5 3) 3 11 1

15 5 51

11

11

1

. 2 4

4 .

. .

, :

1

11

11

11

11

11

11 ...

.

1

1

.

5 . : 1 5

2

,

1 5

2

.

. 2 5

. ;

1 . :

2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,

200 , 195 , 185 , 170 , 150 ,

9 , 6 , 18 , 15 , 45 , 42 , 126 ,

50 , 49 , 47 , 44 , 40 , 35 , 29 , 22 , 14 ,

2 . 2 0

;

3 . .

4 5 .

.

;

4 .

.

. 2 6

.

Fibonacci

1 .

.

;

F i b o n a c c i ;

2 . J a c q u e s B i n e t 1 8 4 3

.

3 . :

: 21x 1 x x 1

x

( 4 )

2 1

2 1 .

4 . :

3 2 2 ( 1) 1 2 1 4 3 2 (2 1) 2 2( 1) 3 25 4 2 (3 2) 3 2 3( 1) 2 5 3

;

. 2 7

5 . :

2

3

4

5

6

1

2 1

3 2

5 3

8 5

...

6 .

F i b o n a c c i ; ;

7 .

F i b o n a c c i :

1 F F .

8 . ( ; ; ) .

1 F F

9 . :

F ( )

1 5 1 5 1 5 1 5( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2F 1 5 1 5 5

2 2 .

1 0 . F i b o n a c c i

.

1 1 .

1 1

L 1 L u c a s ;

. 2 8

.

1 .

1 8 8 3

C l a u s ,

. L u c a s ! !

2 .

,

.

3 . ,

.

4 .

.

5 .

, ,

, .

6 .

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7 . :

h t t p : / / u s e r s . s c h . g r / t h a f o u n a r / g a m e s / t o w e r s O f H a n o i / t o w e r s O f H a n o i .

h t m l

http://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi.htmlhttp://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi.html

. 2 9

. ! !

1 .

.

2 . 1

;

1 .

2

;

3 .

3

;

7

.

4

;

, 1 5 .

3 .

1 , 3 , 7 , 15 ,

4 .

,

: 1h 2 h 1 .

5 .

.

6 .

6 4

3 .

642 1

. ,

,

.

.

583.344.214.028 1 5 0 0

. 3 0

.

1. 300..

,

.

2. ,

. (),

( ) ,

( )

,

.

, , .

3.

.

4 .

( f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f a r i t h m e t i c )

1

.

5 .

1

.

6 . 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 ,

7 . 12 ( c o m p o s i t e )

2 2 3 . ( f a c t o r i n g ) .

. 3 1

8 . 1

. . 6

6 2 3

6 1 2 3 .

9 .

.

1 0 .

.

.

1 .

;

2 . 2 0 0 . . ( 2 7 6 - 1 9 5 . . )

.

3 . ( s i e v e ) .

4 .

1 0 0 :

1 1 0 0

( ) .

2 .

3 .

5 7 .

1 0 0 .

. 3 2

5 . 4

1 0 0 .

3 0 0 ;

;

6 .

.

7 . .

2 , 3 , 5 , 7 1 0

.

.

1 0 .

1 0 .

1 0 0

.

8 .

3 0 0 .

. 3 3

9 . ,

.

1 0 . 3 9 7 ; .

397 19.24 , 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 . ; ; ;

.

1 . ;

1 . 9

.

.

.

2 . *

1 2 3 , , ,..., .

* .

* 1 2 3 ... 1.

* 1 , . * q . * q

1 2 3 , , ,..., ;

* 1 2 3 , , ,..., 1 .

* q . * .

3 .

.

. 3 4

2 . ;

1 . 2

3 ( ; ; ; ) .

2 .

2 , 3 , 4

;

3 .

;

4 . .

.

5 . .

*

.

* k 2 3 ... ( 1) .

* k 2 2 3 ... ( 1) 2

2 .

* k 3 2 3 ... ( 1) 3

3 .

*

k 4 2 3 ... ( 1) 4 ,

k 5 2 3 ... ( 1) 5

. . .

k ( 1) 2 3 ... ( 1) ( 1) .

*

.

6 . ,

6 .

2 3 4 5 6 7 5040 .

5042 , 5043 , 5044 , 5045 , 5046 , 5047 .

. 3 5

Euler

A.

1 . 1 7 3 7 L e o n h a r d E u l e r ,

:

1 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ...1 1 1 1 2 3 4 5

1 1 1 12 3 5 7

2 .

,

.

3 .

( h a r m o n i c s e r i e s ) .

, .

.

( ) ( d i v e r g e s ) .

4 . ; .

1 1 1 1 1 1 11 ...

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ...

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ...

2 4 4 8 8 8 8

1 1 11 ...

2 2 2

1 1 1 ...

. 3 6

5 . E u l e r

:

s s s s s

s s s s

1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...

1 1 1 12 3 4 5 61 1 1 1

2 3 5 7 s 1 .

6 . : s s s s

1 1 1 1(s) 1 ...

2 3 4 5 ,

( z e t a f u n c t i o n )

:

s 1(s) (1 p ) ,

,

E u l e r ! ! !

7 .

.

E u l e r .

: s s s s

1 1 1 1(s) 1 ... (1)

2 3 4 5

s

1

2 :

s s s s s s

1 1 1 1 1 1(s) ... (2)

2 2 4 6 8 10

( 2 ) ( 1 ) :

s s s s s s s

1 1 1 1 1 1 1(1 ) (s) 1 ... (3)

2 3 5 7 9 11 13

( 3 ) s

1

3 :

s s s s s s s s s

1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (s) ... (4)

3 2 3 9 15 21 27 33 39

. 3 7

( 4 ) ( 1 ) :

s s s s s s s s s

1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (s) 1 ... (5)

3 2 5 7 11 13 17 19 23

2

3 .

:

s s s s s s s s s

1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (s) 1 ...

5 3 2 7 11 13 17 19 23

:

s s s s s

1 1 1 1 1... (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (s) 1

11 7 5 3 2

:

s s s s

1 1 1 1(s) ...

1 1 1 11 1 1 1

2 3 5 7

* 1 . ( )

.

1 1 1 1

...1 1 1 1

1 1 1 12 3 5 7

.

1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ...

1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1

2 3 5 7 .

. 3 8

2 0 ;

.

2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 .

;

;

;

,

;

(n)

n . (20) 8 .

, , n

(n) .

(n) ;

.

1 . 1 8 o A d r i e n - M a r i e -

L e g e n d r e G a u s s n

(n)

n

ln(n).

2 . 1 8 5 0 P a f n u t y C h e b y s h e v :

(n)

n

ln(n)

n

1 .

. 3 9

3 . 1 8 5 9 B e r n h a r d R i e m a n n

( o n t h e N u m b e r o f P r i m e

L e s s T h a n a G i v e n M a g n i t u d e )

.

R i e m a n n z e t a f u n c t i o n .

s x iy (s) 0

0 x 1 ( R i e m a n n H y p o t h e s i s )

(s) 0

1 / 2 .

R i e m a n n

(n) n

ln(n).

R i e m a n n .

1 9 0 0 D a v i d H i l b e r t 2 3

,

R i e m a n n .

2 0 0 0 C a m b r i d g e C l a y

1 . 0 0 0 . 0 0 0 . $ .

.

2 0 0 1

Z e t a G r i d 1 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0 . 0 0 0

(s) 0

1 / 2 ,

R i e m a n n .

4 . T o 1 8 9 6 o J a s q u e s S a l o m o n H a d a m a r d

C h a r l e s d e l a V a l l e e P o u s s i n ,

:

(n)

n

ln(n)

1 .

... ! ! !

. 4 0

5 .

(n)

n

ln(n).

.

n

0

Li(n) (1/ logt)dt

( l o g a r i t h m i c i n t e r g r a l ) .

6 . 1 9 1 4 J o h n L i t t l e w o o d

Li(n)

(n) .

.

7 . . . . 1 8 9 6

,

. G . H . H a r d y 1 9 2 1

.

8 . 1 9 3 3 S a m u e l S k e w e s

R i e m a n n ,

Li(n) (n) n

34101010 .

S k e w e s n u m b e r

.

Li(n)

(n) ( ) n

ln(n) * 2 . ( )

. 4 1

9 . 1 9 4 8 P a u l E r d o s

A t l e S e l b e r g

( e l e m e n t a r y )

.

.

. S e l b e r g ,

, 1 9 5 0 F i e l d s ( N o b e l

) . E r d o s , 1 5 0 0

5 0 0 , 1 9 5 2

C o l e P r i z e (

) .

.

,

,

1 . G a u s s

. 1 8 3 7

J o h a n n D i r i c h l e t .

2 . ,

2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 3 , 5 , 7

.

;

2 0 0 4 B e n G r e e n T e r e n c e T a o

, .

n, n 3, n 6 ;

. 4 2

3 . ( t w i n p r i m e s ) ;

.

(3,5), (5,7), (11,13) . ;

.

n 2 n 2n .

n n n

n (1 ) n .

4 . 1 7 4 2 C h r i s t i a n

G o l d b a c h ( 1 6 9 0 - 1 7 6 4 )

2

.

8 = 3 + 5 ,

1 6 = 5 + 1 1 .

,

. .

4 2 = 5 + 3 7 = 1 1 + 3 1 = 1 3 + 2 9 = 1 9 + 2 3 .

5 . P . F e r m a t ( 1 6 0 1 - 1 6 6 5 ) n2

nF 2 1

.

1 2 3 4F 5, F 17, F 257, F 65537

32

5F 2 1 4294967297 ,

641. .

* 3 . ( )

. 4 3

6 . M . M e r s e n n e ( 1 5 8 8 - 1 6 4 8 )

p ppM 2 1

;

p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203,

2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701,

23209, 44497, 86243, 132049

,

11

11M 2 1 2047 23 89 .

pM

. .

1 9 8 3

132049M , 39751

, .

.

. 4 4

.

1 . ( d i v i s i o n )

.

4 7 3 .

( q u o t i e n t ) 1 5 ( r e m a i n d e r ) 2 :

47 3 15 2 .

.

51: 4 0 , 1 , 2 , 3 .

:

,

.

2 .

.

0 ,

:

0 .

.

1 . 1 2 6 1 1 2

.

, , .

;

. 4 5

2 .

( ) 1 2 6 1 1 2 .

( g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r )

.

:

126 2 3 3 7 112 2 2 2 2 7 ,

2 7 14 ( ( 1 2 6 , 1 1 2 ) = 1 4 ) , 1 4 .

3 .

( E u c l i d e a n a l g o r i t h m ) .

: ,

,

, , ( , ) = ( , ) .

. .

.

4 . ,

( 1 2 6 , 1 1 2 ) .

, :

126 112 1 14

112 14 8 0

1 4 ( 1 2 6 , 1 1 2 ) = 1 4 .

( 2 4 5 , 2 1 7 ) ! ! .

, ( , ) = 1

( r e l a t i v e l y

p r i m e n u m b e r s ) .

,

1 .

5 . 8 4 5 5 :

84 55 29

55 29 26

29 26 3

26 3 2

1

1

1

8

1 13 2

. 4 6

:

3 2

3 26 3 3 26

29 26 26 29

1

( 8) 1 9

( 1) 9 9 10

9 ( 1) 10 19 10

( 1)

26

29 55 29 29 55

84 55 55 84 5519 10 19 29

1

84 5 19 2951

6 . , ,

x y 1 x,y .

.

1 .

9 + 8 ;

5 ! ! ! ,

! ! !

.

1 2 .

9 + 8 = 3

; ; ;

. 4 7

2 .

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 ,

4 .

0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , .

0 , 1 , 2 , 3 .

,

3 0 .

4 .

1 4 2 2 ,

4 2 ,

2 .

3 . 1 4 2 2 4

22 14(mod4)

14 22(mod4) .

4 .

, , .

2 2 1 7

4 2 1 :

22 17 39 2 1 3 ,

22 17 5 2 1 1,

22 17 374 2 1 2 .

. 4 8

5 . ( m o d u l a r a r i t h m e t i c )

:

(mod) 0(mod)

( ) - .

(mod) (mod) :

(mod)

(mod )

(mod)

(mod) :

(mod)

(mod)

(mod)

(mod) m

m m (mod)

m m (mod)

6 . m o d u l a r

G a u s s 1 8 0 1 .

3 . .

.

7 . m o d u l a r .

,

1 0 0 . 0 0 0 .

9 ,

.

A B C - D E F - G H I

. .

7A 3B 9C 7D 3E 9F 7G 3H 9I

0(mod10)

.

I S B N

U P C s .

. 4 9

.

1 .

( C r y p t o g r a p h y ) .

( D e c r y p t i o n ) .

2 .

.

.

.

.

.

3 .

, ,

3 , .

( C a e s a r c i p f e r ) .

4 .

. , ,

,

.

A

.

5 .

( M o n o a l p h a b e t i c s u b s t r i t u t i o n

c i p h e r s ) .

. 5 0

6 .

(

) .

7 . ( F r e q u e n c y

a n a l y s i s )

.

,

.

8 .

.

, .

9 . 1 5 2 3

! ! !

2 4

.

2 4

.

.

, ,

.

. 5 1

1 0 .

.

.

.

.

.

;

,

, - , . . .

1 1 .

( E n i g m a ) ,

.

.

2210 .

,

. A l a n T u r i n g ( 1 9 1 2 - 1 9 5 4 )

.

1 2 .

.

.

.

.

. 5 2

.

1 .

.

2 .

.

.

.

;

.

;

.

;

* ,

.

*

.

*

.

*

. * 4 . ( )

3 .

,

.

,

.

4 .

.

! ! !

.

. 5 3

5 . W . D i f f i e M . H e l l m a n

R . M e r c l e

,

.

m o d u l a r

6 . xy 3 (mod7) .

x

x3 : 7 .

:

7 .

. .

8 .

.

0

1 ,

b i t s .

xy 3 (mod7) .

! ! !

.

. . = 3 = 1 ,

.

. 5 4

3 3 (mod7)

6

A 3b (mod7) 3 (mod7) 6

1b 3 (mod7)

3

B 1 (mod7) 6 (mod7) 6

* 5 . ( )

9. ! ! !

1 0 .

xy 3 (mod7)

6 3 ,

.

.

1 1 .

.

.

. 5 5

.

1 .

,

.

2 . W h i t f i e l d D i f f i e

.

.

,

( p r i v a t e )

( p u b l i c ) .

, ,

.

3 . ,

,

. * 6 . ( )

4 .

.

.

. . 5 6

R.S.A.

A . modulo

1 . 1 6 4 0 P . F e r m a t ,

,

F e r m a t . 1 7 3 6 E u l e r .

2 . :

p

p,

, p 1 :p 1.

p 1 1(modp)

7919

7919 , 5862 :

79185862 1(mod7919) .

3 . E u l e r

:

n ( ) .

n 1,2,3,...,n 1. r n , n

r 1(modn) . F e r m a t

E u l e r n

( n 1 ) n .

4 . . 2 1 ,

2 1 :

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 .

: 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 1 0 , 1 1 , 1 3 , 1 6 , 1 7 , 1 9 , 2 0 , 1 2

2 1 .

12 1(mod21) ,

12 12 123 1mod(21) , (10 ) 1(mod21) . . .

. . 5 7

. R .R i vest , A.Shamir , L .Adleman

1 . T o 1 9 7 7 M . I . T . R o n R i v e s t , A d i S h a m i r

L e o n a r d A d l e m a n

.

.

( p r i v a t e )

( p u b l i c ) .

R , S , A

.

2 . :

* , .

3 7 .

* 21 .

*

, (3 1) (7 1) 2 6 12 .

*

1 2 , . . 29 .

* : (12,29) 1 x,y

29 x 12 y 1. ( 4 6 ) .

29 12 25 1 1.

* 29 21 ( )

* 5 ( ) .

* .

3 .

:

.

.

. . 5 8

1 0 ,

.

.

, A S C I I

.

1 0 .

2910 : 21

19 . 2919 10 (mod21) .

.

19 ,

519 : 21 10 .

510 19 (mod21) .

10 , 1 0

.

. ;

1 . R o n R i v e s t

,

.

2 . p q

p , q . 4 0 8 . 5 0 8 . 0 9 1

1 8 . 3 1 3 2 2 . 3 0 7 ,

8

.

6510

, 13010

. 5 0

.

(

1 9 9 5 ) 1 5

. * 7 . ( )

. . 5 9

3 .

,

30810 .

.

4 . 1 9 7 7 R S A , M a r t i n

G a r d n e r S c i e n t i f i c A m e r i c a n :

= 1 1 4 . 3 8 1 . 6 2 5 . 7 5 7 . 8 8 8 . 8 6 7 . 6 6 9 . 2 3 5 . 7 7 9 . 9 7 6 . 1 4 6 . 6 1 2 . 0 1 0 . 2 1 8 . 2 9 6 .

7 2 1 . 2 4 2 . 3 6 2 . 5 6 2 . 5 6 1 . 8 4 2 . 9 3 5 . 7 0 6 . 9 3 5 . 2 4 5 . 7 3 3 . 8 9 7 . 8 3 0 . 5 9 7 . 1 2 3 . 5 6 3 .

9 5 8 . 7 0 5 . 0 5 8 . 9 8 9 . 0 7 5 . 1 4 7 . 5 9 9 . 2 9 0 . 0 2 6 . 8 7 9 . 5 4 3 . 5 4 1

1 0 0

.

1 7

.

* 8 . ( )

R S A ! !

. . 6 0

.

1 .

1 6 0 6

( 9

. . ) .

. 3 . 7 0 0

- , .

1 6 . 1 4

4 6 .

2 . ,

3 . . .

:

,

,

,

, , ,

,

.

3 .

, ,

,

.

4 . 1 3

, . 6

.

. 1 5 7 0

R a f a e l B o m b e l l i

.

. . 6 1

.

1 .

.

, . :

* 2x 1 7 x 3 ,

* 2x 1 6 ,

* 2x 4 x 2 ,

* px qy 1 p,q

.

. . 3x 2y 1

x 2n 1 y 3n 1 n

* x y ,

, .

o o(x ,y )

o o

x x t, y y t

t .

2 . m o d u l a r

.

34x 2y 1 ; .

.

:

m

m .

3 . 2 2 2x y z ;

,

x 3, y 4, z 5 . .

.

;

. . 6 2

. 10 Hi lbert

1 . 1 9 0 0 ,

. D a v i d H i l b e r t

( 1 8 6 2 - 1 9 4 3 ) 2 3

, ,

.

.

2 . 1 0 .

,

.

3 .

;

1 9 7 0 , Y u r i M a t y a s e v i c h , 2 2

, .

4 .

.

. . 6 3

Fermat

.

1 . P i e r d e F e r m a t 2 0 1 6 0 1

B e a u m o n t - d e L o m a g n e .

1 6 3 1

.

,

. E . T . B e l l

, F e r m a t

.

.

.

2 . F e r m a t

2 6

. 2 5

2 7 .

. F e r m a t

, ! ! !

3 .

:

4 1

4 1.

.

.

1 7 4 9 E u l e r .

. . 6 4

4 .

2 8 ,

:

.

:

,

.

5 . ,

F e r m a t

.

. 4

1 . n n 3

x,y,z n n nx y z .

,

3 5 0 ! ! !

2 .

n 4

n {3,5,7,11,13,...} ,

. ;

. . 6 5

3 .

n . n .

4 . 6 6 6x y z

x,y,z :

o o o(x ,y ,z ) ,

6 6 6 2 3 2 3 2 3

o o o o o o(x ) (y ) (z ) (x ) (y ) (z )

3 3 3x y z

2 2 2

o o o(x ,y ,z ) .

8 8 8x y z

.

5 .

.

! ! !

n ! !

. 4 4 4x y z

1 . ,

, F e r m a t 4 4 4x y z

.

2 .

.

3 . 1 1 1(x ,y ,z ) .

2 2 2(x ,y ,z ) ,

3 3 3(x ,y ,z ) .

. (x,y,z) ,

.

1 1 1(x ,y ,z )

.

. . 6 6

.

1 . 1 7 5 3 L e o n h a r d E u l e r

F e r m a t n 3

2 . .

S o p h i e G e r m a i n s 1 1 7 7 6 .

1 3

, E u l e r

N e w t o n . E c o l e P o l y t e c h n i q u e

A n t o i n e - A u g u s t L e B l a n c .

J o s e p h - L o u i s L a g r a n g e

. S o p h i e

G e r m a i n

.

3 . G a u s s

.

p 2p 1 .

. 3 7 , 5 1 1 , . . .

( G e r m a i n n u m b e r s ) .

4 .

F e r m a t .

: n n nx y z

( n G e r m a i n ) x,y,z

n .

5 . 1 8 2 5 G u s t a v L e j e u n e - D i r i c h l e t A d r i e n -

M a r i e L e g e n d