ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ – ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1Α.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και • f(α) ≠ f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος, ώστε f( ) = η . Μονάδες 7 Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ ανάγκη f(β) > 0. Μονάδες 2

ii) Αν τότε : . Μονάδες 2

iii) Ισχύει . Μονάδες 2

iv) Αν τότε f(x)>0 κοντά στο . Μονάδες 2

v) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και είναι συνεχής στο (α,β] , τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή . Μονάδες 2

vi) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,10] με f(1)=-1 και f(10)=5 , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε . Μονάδες 2

vii) Ισχύει : Μονάδες 2

viii ) Ισχύει Μονάδες 2

ix) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο Δ , τότε η εικόνα του Δ μέσω της f είναι διάστημα . Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 2

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει : για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 Μονάδες 6 β) Θεωρούμε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει :

για κάθε x>e. i) Να βρείτε τον τύπο της g Μονάδες 4

ii) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1 Μονάδες 4

iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Μονάδες 5

iv) Nα λύσετε την εξίσωση Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 3Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

▪ και για κάθε .

▪ H f είναι γνησίως φθίνουσα .

Γ1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης , και να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο (0,1) . Μονάδες 7

Γ2) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της με τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας xoy σε ένα μόνο σημείο με τετμημένη . Μονάδες 6

Γ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση , έχει μια τουλάχιστον

, ρίζα στο διάστημα . Όπου g η συνάρτηση του Γ1 . Μονάδες 6

Γ4) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 3

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν : ▪

▪ .

Γ1) Να δείξετε ότι Μονάδες 6

Γ2) Να δείξετε ότι : για κάθε . Μονάδες 7

Γ3) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . Μονάδες 7

Γ4) Να βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες η εξίσωση , έχει ακριβώς μια ρίζα στο R . Μονάδες 5