|| ΗΜ

1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΘΕΜΑ Α Α1. Ένας κυκλικός αγωγός ακτίνας 𝑟 διαρρέεται από ρεύμα έντασης 𝛪. Το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο του είναι 𝛣1. Ένας άλλος κυκλικός αγω-γός ακτίνας 𝑟/2 διαρρέεται από ρεύμα έντασης 2𝛪. Το μέτρο της έντασης του μαγνη-τικού πεδίου στο κέντρο του είναι 𝛣2. Η σχέση που συνδέει τα μέτρα των εντάσεων είναι: α. 𝛣2 = 4𝛣1 β. 𝛣2 = 2𝛣1 γ. 𝛣2 = 𝛣1 δ. 𝛣2 = 𝛣1/4 Α2. Η δύναμη Laplace που ασκείται σε ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό ο οποίος βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο: α. έχει τη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών. β. είναι παράλληλη στον αγωγό. γ. είναι κάθετη και στον αγωγό και παράλληλη στις δυναμικές γραμμές. δ. είναι κάθετη και στον αγωγό και στις δυναμικές γραμμές Α3. Για να δημιουργηθεί επαγωγικό ρεύμα σ’ ένα πηνίο, πρέπει: α. από τις σπείρες του πηνίου να διέρχεται μαγνητική ροή. β. να μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από το πηνίο. γ. το πηνίο να αποτελεί τμήμα κλειστού κυκλώματος. δ. το κύκλωμα του πηνίου να είναι κλειστό και να μεταβάλλεται η μαγνητική ροή που διέρχεται από τις σπείρες του. Α4. Η εναλλασσόμενη τάση που αναπτύσσεται στα άκρα ενός στρεφόμενου πλαισίου, μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο, έχει τη μορφή 𝑣 = 100𝜂𝜂60𝜋𝑡 (SI). Αν διπλασια-στεί η συχνότητα περιστροφής του πλαισίου, η εναλλασσόμενη τάση θα έχει στο SI τη μορφή: α. 𝑣 = 100𝜂𝜂120𝜋𝑡 β. 𝑣 = 200𝜂𝜂60𝜋𝑡 γ. 𝑣 = 100𝜂𝜂60𝜋𝑡 δ. 𝑣 = 200𝜂𝜂120𝜋𝑡

|| ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

2

Α5. α. Οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι κλειστές β. Μονάδα έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι το 1Ν/Α γ. Τα διαμαγνητικά υλικά έχουν μαγνητική διαπερατότητα 𝜂 > 1 δ. Ο κανόνας του Lenz δεν ισχύει όταν το επαγωγικό ρεύμα είναι εναλλασσόμενο ΘΕΜΑ Β Β1. Β1α. Δύο παράλληλοι ρευματοφόροι αγωγοί (1) και (2) απέχουν μεταξύ τους από-σταση 𝑑 και διαρρέονται από ρεύματα ίδιας φοράς και ίδιας έντασης 𝛪1 = 𝛪2 = 𝛪. Η ένταση του μαγνητικού είναι ίδια σε δύο σημεία Κ και Λ που βρίσκονται στο επίπεδο των δύο αγωγών και είναι συμμετρικά ως προς τον αγωγό (2). Η απόσταση των σημείων Κ και Λ είναι: α. 𝑑√2 β. 𝑑/2 γ. 2𝑑 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστό είναι το α. Αιτιολόγηση Από την εκφώνηση προκύπτει ότι:

𝛣𝛫 = 𝛣𝛬 ⇒ 𝛣𝛫1 − 𝛣𝛫2 = 𝛣𝛬1 + 𝛣𝛬2 ⇒

𝑘𝜇2𝛪

𝑑 − 𝑥− 𝑘𝜇

2𝛪𝑥

= 𝑘𝜇2𝛪

𝑑 + 𝑥+ 𝑘𝜇

2𝛪𝑥⇒

1𝑑 − 𝑥

−1

𝑑 + 𝑥=

2𝑥⇒

2𝑥𝑑2 − 𝑥2

=2𝑥⇒ 𝑥2 = 𝑑2 − 𝑥2 ⇒ 𝑥 =

𝑑√22

Επομένως η απόσταση των σημείων Κ και Λ είναι:

(ΚΛ) = 2𝑥 = 2𝑑√2

2⇒ (ΚΛ) = 𝑑√2

|| ΗΜ

3

Β1β. Ένα κυκλικό πλαίσιο με 𝛮 σπείρες, ίδιας ακτίνας 𝛼 και αντίστασης 𝑅 η καθεμία, τροφοδοτείται από πηγή ΗΕΔ ℰ και εσωτερικής αντίστασης 𝑟 = 𝑅. Αν διπλασιάσου-με τον αριθμό των σπειρών, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο του πλαισίου αυξάνεται κατά 20%. Ο αριθμός 𝛮 των σπειρών του πλαισίου είναι: α. 2 β. 1 γ. 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστό είναι το α. Αιτιολόγηση Με τον διπλασιασμό του αριθμού σπειρών, η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο κέντρο του πλαισίου είναι:

𝛣′ = 1,2𝛣 ⇒ 𝑘𝜇2𝜋𝛪′

𝛼2𝛮 = 1,2𝑘𝜇

2𝜋𝛪𝛼

𝛮 ⇒ 2𝛪′ = 1,2𝛪 ⇒

2ℰ

2𝛮𝑅 + 𝑟= 1,2

ℰ𝛮𝑅 + 𝑟

⇒1

(2𝛮 + 1)𝑅= 0,6

1(𝛮 + 1)𝑅

⇒

𝛮 + 1 = 0,6(2𝛮 + 1) ⇒ 𝛮 + 1 = 1,2𝛮 + 0,6 ⇒ 𝛮 = 2

Β2. Τρεις αγωγοί ενώνονται σχηματίζοντας ορθογώνιο τρί-γωνο ΑΓΔ το οποίο τοποθετείται σε οριζόντιο ομογενές μα-γνητικό πεδίο έτσι ώστε η υποτείνουσα ΓΔ να είναι κάθετη στις δυναμικές γραμμές, όπως στο σχήμα. Αν 𝛣 το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου και 𝛪 η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τους αγωγούς, η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το αγώγιμο τρίγωνο από το μαγνητικό πεδίο έχει μέτρο: α. 𝐹 = 2𝐵𝐵(ΓΔ) β. 𝐹 = 0 γ. 𝐹 = 𝐵𝐵(ΓΔ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

|| ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

4

Λύση Σωστό είναι το β. Αιτιολόγηση Οι δυνάμεις �⃗�𝛥𝛥, �⃗�𝛥𝛢 έχουν κατεύθυνση ⊗ και η δύναμη �⃗�𝛢𝛥 έχει κατεύθυνση ⊙. Για τα μέτρα τους ισχύουν:

𝐹1 = 𝐹𝛥𝛥 = 𝛣𝛪(ΑΔ)𝜂𝜂𝜂

𝐹2 = 𝐹𝛥𝛢 = 𝛣𝛪(ΑΓ)𝜂𝜂𝜂� ⇒

𝐹12 = 𝛣𝛪[(ΑΔ)𝜂𝜂𝜂 + (ΑΓ)𝜂𝜂𝜂] ⇒

𝐹12 = 𝛣𝛪[(ΔΖ) + (ΖΓ)] = 𝛣𝛪(ΓΔ)

𝐹3 = 𝐹𝛢𝛥 = 𝛣𝛪(ΓΔ)

Επομένως η συνισταμένη δύναμη πάνω στο αγώγιμο τρίγωνο έχει μέτρο:

𝐹 = 𝐹3 − 𝐹12 ⇒ 𝐹 = 0 Β3. Β3α.Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο πηνία Π1 και Π2, τα οποία απέχουν αρκε-τά το ένα από το άλλο και δύο ραβδόμορ-φοι μαγνήτες Μ1 και Μ2. Το μαγνητικό πεδίο κάθε ραβδόμορφου μαγνήτη επη-ρεάζει μόνο το πηνίο που βρίσκεται δίπλα του. Καθώς ο ραβδόμορφος μαγνήτης Μ1 πλησιάζει στο πηνίο Π1, κατά μήκος του ά-ξονα του πηνίου, ο μαγνήτης Μ2 που βρίσκεται ακίνητος δίπλα από το πηνίο Π2: α. θα κινηθεί προς τα δεξιά. β. θα κινηθεί προς τ’ αριστερά. γ. θα παραμείνει ακίνητος. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Απάντηση Σωστό είναι το α. Αιτιολόγηση Η μετακίνηση του μαγνήτη Μ1 προκαλεί μεταβολή της μαγνητικής ροής στο πηνίο Π1. Εμφανίζεται έτσι ΗΕΔ από επαγωγή στα άκρα του πηνίου Π1. Το κύκλωμα εί-

|| ΗΜ

5

ναι κλειστό, άρα διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα. Με βάση τον κανόνα του Lenz, το μαγνητικό πεδίο στο πηνίο Π1 θα αντιστέκεται στην κίνηση του μαγνήτη Μ1, δηλαδή στο δεξιό άκρο του πηνίου Π1 εμφανίζεται βόρειος πόλος. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού βρίσκουμε τη φορά του ρεύματος στο πηνίο Π1, όπως φαί-νεται στο σχήμα. Επομένως στο πηνίο Π2 δημιουργείται μαγνητικό πεδίο με βόρειο πόλο στο αριστερό άκρο του. Άρα ο μαγνήτης Μ2 θα κινηθεί προς τα δεξιά, διότι ο νότιος πόλος του δέχεται ελκτική δύναμη που έχει μεγαλύτερο μέτρο από το μέτρο της απωστικής δύναμης που δέχεται ο βόρειος πόλος του. Β3β. Στα άκρα ορθογωνίου πλαισίου εμβαδού 𝑆 έχει συνδεθεί θερμικό αμπερόμετρο. Το πλαίσιο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου 𝜔 γύρω από άξονα που διέρχεται από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του και είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου. Τη χρονική στιγμή 𝑡0 = 0 το πλαίσιο είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Το φορτίο που πέρασε από μια διατομή του αγωγού από τη χρονική στιγμή 𝑡0 = 0 έως τη χρονική στιγμή 𝑡 = 𝛵/4 είναι 𝑞. Η ένδειξη του αμπερομέτρου είναι: α. 𝜔𝑞/2 β. 𝜔𝑞/√2 γ. 𝜔𝑞/2√2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Λύση Σωστό είναι το β. Αιτιολόγηση Σε χρόνο 𝑡 = 𝛵/4 το πλαίσιο γίνεται παράλληλο στις δυναμικές γραμμές, οπότε το επαγωγικό φορτίο θα είναι:

𝑞 = −𝛥𝛥𝑅

= −0 −𝛮𝛣𝑆

𝑅=𝛮𝛣𝑆𝑅

⇒ 𝛮𝛣𝑆 = 𝑞𝑅

Η ενεργός ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος θα είναι:

𝐵𝜀𝜀 =𝑉𝜀𝜀𝑅

=𝑉𝑅√2

=𝜔𝛮𝛣𝑆𝑅√2

=𝜔𝑞𝑅𝑅√2

⇒ 𝐵𝜀𝜀 =𝜔𝑞√2

|| ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

6

ΘΕΜΑ Γ 2. Στη διάταξη του σχήματος, οι μαγνητικές βελόνες που είναι στα τέσσερα σημεία (1), (2), (3), (4), βρί-σκονται σε απόσταση 𝛼 = 40 cm από τον ευθύγραμ-μο αγωγό, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο των σημείων. Οι βελόνες δείχνουν τη διεύθυνση Νότος - Βορράς. Διαβιβάζουμε ρεύμα έντασης 𝛪 = 10 Α στον αγωγό και τότε η βελόνα που βρίσκεται στη θέση (2) εκτρέπεται κατά γωνία 45°. α. Βρείτε την ένταση του γήινου μαγνητικού πεδίου. β. Βρείτε το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου στα σημεία (1), (2), (3), (4). γ. Αν διπλασιάσουμε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό, βρείτε τη

νέα ένταση του μαγνητικού πεδίου στα σημεία (1) και (3). Δίνεται 𝑘𝜇 = 10−7Ν/Α2. ΛΥΣΗ α. Τα σημεία (1), (2), (3), (4) βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον αγωγό, οπότε η ένταση του μαγνητικού πεδίου 𝛣�⃗ 𝛥 που δημιουργεί ο αγωγός έχει το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία και είναι:

𝛣𝛥 = 𝑘𝜇2𝛪𝛼

= 5 · 10−6Τ

Η ένταση 𝛣�⃗ 𝛢 του γήινου μαγνητικού πεδίου είναι ίδια σε όλα τα σημεία. Στο σημείο (2) οι συνιστώσες 𝛣�⃗ 𝛥 και 𝛣�⃗ 𝛢 είναι κάθετες και η συνισταμένη ένταση 𝛣�⃗ σχηματίζει γωνία 45° με κάθε συνιστώσα. Έτσι θα είναι:

𝛣𝛢 = 𝛣𝛥 ⇒ 𝛣𝛢 = 5 · 10−6Τ

β. Στο σημείο (1) τα διανύσματα 𝛣�⃗ 𝛥 και 𝛣�⃗ 𝛢 είναι ομόρροπα και η συνισταμένη έντα-ση 𝛣�⃗ θα έχει την ίδια κατεύθυνση με τις συνιστώσες και μέτρο:

𝛣1 = 𝛣𝛢 + 𝛣𝛥 = 2 · 5 · 10−6 ⇒ 𝛣1 = 10−5Τ Στο σημείο (2) η συνισταμένη ένταση έχει μέτρο:

𝛣2 = 𝛣𝛢√2 ⇒ 𝛣2 = 5√2 · 10−6Τ και κατεύθυνση βορειοδυτικά. Στο σημείο (3) είναι 𝛣3 = 0. Στο σημείο (4) η συνι-σταμένη ένταση έχει μέτρο:

𝛣4 = 𝛣𝛢√2 ⇒ 𝛣4 = 5√2 ∙ 10−6Τ και κατεύθυνση βορειοανατολικά.

|| ΗΜ

7

γ. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί τώρα ο αγωγός έχει μέτρο:

𝛣𝛥′ = 2𝛣𝛥 = 10−5Τ Στο σημείο (1) ισχύει:

𝛣1′ = 𝛣𝛢 + 𝛣𝛥′ ⇒ 𝛣1′ = 15 · 10−6Τ Στο σημείο (3) ισχύει:

𝛣3′ = 𝛣𝛥′ − 𝛣𝛢 ⇒ 𝛣3′ = 5 · 10−6Τ ΘΕΜΑ Δ Τα άκρα Γ και Δ δύο παράλληλων και οριζόντιων αγωγών Γ𝑥 και Δ𝑦, αμελητέας αντίστασης, συν-δέονται με αμπερόμετρο που έχει αντίσταση 𝑅𝐴 =2 Ω. Στο επίπεδο των αγωγών αυτών είναι τοποθετημένος κάθετα στη διεύθυνσή τους, ένας άλλος ευθύγραμμος αγωγός ΚΛ που έχει μήκος 𝑙 = 0,5 m, μάζα 𝑚 = 1 kg, αντίσταση 𝑅 = 8 Ω και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές έχοντας τα άκρα του σε επαφή με τους αγωγούς Γ𝑥 και Δ𝑦. Το σύστημα των αγωγών βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης μέτρου 𝛣 = 2 Τ, που είναι κάθετο στο επίπεδο των αγωγών. Τη χρονι-κή στιγμή 𝑡 = 0, που ο αγωγός ΚΛ είναι ακίνητος, ασκείται σ’ αυτόν εξωτερική δύνα-μη �⃗�, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο αγωγός ΚΛ αποκτά σταθερή επιτάχυνση μέτρου 𝑎 = 2 m/s2. α. Βρείτε την επαγωγική ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο κύκλωμα σαν συνάρτηση του

χρόνου. β. Δείξτε γραφικά πώς μεταβάλλεται η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύ-

κλωμα. γ. Ποια χρονική στιγμή η τάση στα άκρα του αμπερομέτρου είναι 1,2 V; δ. Πόσο φορτίο διέρχεται από το αμπερόμετρο σε χρόνο 𝑡 = 5 s; ε. Βρείτε τη δύναμη 𝐹 σαν συνάρτηση του χρόνου και κάντε τη γραφική παράσταση. ΛΥΣΗ α. Ο αγωγός ΚΛ εκτελεί ευθύγραμμα ομαλά επιταχυ-νόμενη κίνηση με εξίσωση ταχύτητας 𝜐 = 𝑎𝑡. Η μα-γνητική ροή στο κύκλωμα μεταβάλλεται και έτσι ανα-πτύσσεται επαγωγική ΗΕΔ:

ℰ𝜀𝜀 =𝑑𝛥𝑑𝑡

= 𝐵𝑑𝑆𝑑𝑡

= 𝐵𝑙𝑑𝑥𝑑𝑡

= 𝐵𝑙𝜐 = 𝐵𝑙𝑎𝑡 ⇒

|| ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

8

ℰ𝜀𝜀 = 2𝑡 (SI)

β. Το κύκλωμα διαρρέεται από επαγωγικό ρεύμα έντασης:

𝛪 =ℰ𝜀𝜀

𝑅 + 𝑅𝐴=

2𝑡8 + 2

⇒ 𝐵 = 0,2𝑡 (SI)

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝛪 = 𝑓(𝑡) φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ. Η τάση στα άκρα του αμπερομέτρου είναι:

𝑉 = 𝛪𝑅𝐴 ⇒ 𝑉 = 0,4𝑡 (SI) Τη χρονική στιγμή που η τάση στα άκρα του αμπερομέτρου είναι 1,2 V ισχύει:

1,2 = 0,4𝑡 ⇒ 𝑡 = 3 s δ. Τη χρονική στιγμή 𝑡 = 5 s είναι 𝐵 = 0,2 ∙ 5 = 1 Α. Το φορτίο υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση 𝛪 = 𝑓(𝑡) με εμβαδομέτρηση:

𝑞 =12∙ 5 ∙ 1 ⇒ 𝑞 = 2,5 C

ε. Από τον θεμελιώδη νόμο βρίσκουμε τη χρονική εξίσω-ση της εξωτερικής δύναμης:

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 − 𝐹𝐿 = 𝑚𝑎 ⇒ 𝐹 = 𝛣𝛪𝑙 + 𝑚𝑎 ⇒

𝐹 = 0,2𝑡 + 1 (SI) Το διάγραμμα της εξωτερικής δύναμης που ασκείται στον αγωγό σε συνάρτηση με τον χρόνο φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

|| Εναλλασσόμενο Ρεύμα

9

Επιλεγμένα Θέματα Β ΘΕΜΑΤΑ Β Β1. Δύο ίδιοι αντιστάτες συνδέονται παράλληλα και στα άκρα τους εφαρμόζεται συνεχής σταθερή τάση 𝑉𝛴. Συνδέουμε τους δύο αντιστάτες σε σειρά και στα άκρα τους εφαρμόζουμε εναλλασσόμενη τάση της μορφής 𝜐 = 𝑉𝜂𝜂𝜂𝑡. Αν η συνολική θερμό-τητα στους αντιστάτες είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις, για την ενεργό τιμή της εναλλασσόμενης τάσης ισχύει: α. 𝑉𝜀𝜈 = 2𝑉𝛴 β. 𝑉𝜀𝜈 = 𝑉𝛴√2 γ. 𝑉𝜀𝜈 = 𝑉𝛴 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστό είναι το α. Αιτιολόγηση Θα εφαρμόσουμε τον νόμο του Joule σε κάθε περίπτωση. Στην παράλληλη σύνδεση η ισοδύνα-μη αντίσταση είναι 𝑅𝜊𝜊 = 𝑅/2 και ισχύει:

𝑄1 =𝑉𝛴2

𝑅𝜊𝜊𝑡 =

𝑉𝛴2

𝑅/2𝑡 = 2

𝑉𝛴2

𝑅𝑡

Στη σύνδεση σε σειρά η ισοδύναμη αντίσταση είναι 𝑅𝜊𝜊 = 2𝑅 και ισχύει:

𝑄2 =𝑉𝜀𝜈2

𝑅𝜊𝜊𝑡 =

𝑉𝜀𝜈2

2𝑅𝑡

Η συνολική θερμότητα στους αντιστάτες είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις:

𝑄1 = 𝑄2 ⇒ 2𝑉𝛴2

𝑅𝑡 =

𝑉𝜀𝜈2

2𝑅𝑡 ⇒ 𝑉𝜀𝜈 = 2𝑉𝛴

B2. Η ένταση ενός εναλλασσόμενου ρεύματος έχει τη μορφή 𝑖 = 𝐼𝜂𝜂𝜂𝑡. Η στιγμιαία τιμή της έντασης του ρεύματος γίνεται, μέσα στην πρώτη περίοδο, δύο φορές ίση με την ενεργό τιμή της. Μεταξύ των στιγμών αυτών, μεσολαβεί διάστημα 𝛥𝑡 = 5 ms. H συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι: α. 𝑓 = 25 Hz β. 𝑓 = 50 Hz γ. 𝑓 = 100 Hz Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

|| Επιλεγμένα Θέματα

10

Σωστό είναι το β. Αιτιολόγηση Η στιγμιαία τιμή της έντασης του ρεύματος γίνεται ίση με 𝛪𝜀𝜈 = 𝛪/√2 τις χρονικές στιγμές για τις οποίες ισχύει:

𝑖 = 𝐼𝜂𝜂𝜂𝑡 ⇒𝛪√2

= 𝐼𝜂𝜂𝜂𝑡 ⇒ 𝜂𝜂𝜂𝑡 =1√2

Μέσα στην πρώτη περίοδο αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή για την οποία:

𝜂𝑡1 =𝜋4

και για δεύτερη φορά τη χρονική στιγμή για την οποία:

𝜂𝑡2 =3𝜋4

Επομένως:

𝜂(𝑡2 − 𝑡1) =3𝜋4−𝜋4⇒ 𝜂𝛥𝑡 =

𝜋2⇒ 2𝜋𝑓 =

𝜋2⇒ 𝑓 =

14𝛥𝑡

⇒ 𝑓 = 50 Hz

|| Εναλλασσόμενο Ρεύμα

1

Επιλεγμένα Θέματα Γ-Δ 1. Αντιστάτης με αντίσταση 𝑅 = 44 Ω τροφοδοτείται από εναλλασσόμενη τάση της μορφής 𝑣 = 220𝜂𝜂100𝜋𝜋 (SI). Α. Να δείξετε γραφικά πώς μεταβάλλονται με τον χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή

𝜋 = 25 ms, τα παρακάτω μεγέθη: α. η στιγμιαία τάση. β. η στιγμιαία ένταση του ρεύματος. γ. η στιγμιαία ισχύς.

B. Να υπολογίστε τις χρονικές στιγμές στις οποίες η στιγμιαία ισχύς γίνεται: α. μέγιστη. β. ίση με τη μέση ισχύ.

Απ.[Β. α. 𝜋 = 5 ms, 15 ms, 25 ms, β. 𝜋 = 2,5 ms, 7,5 ms, 12,5 ms]

Λύση Α. Από την εξίσωση της εναλλασσόμενης τάσης, 𝑣 = 220𝜂𝜂100𝜋𝜋 (SI), προκύπτουν τα εξής:

𝜔 = 100𝜋 rad s⁄ και 𝑉 = 220 V Η περίοδος είναι:

𝛵 =2𝜋𝜔

= 20 ms

Το πλάτος της έντασης του ρεύματος είναι: 𝐼 = 𝑉𝑅

= 5 A Η χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος είναι:

𝑖 = 𝐼𝜂𝜂𝜔𝜋 ⇒ 𝑖 = 5𝜂𝜂100𝜋𝜋 (SI) Η χρονική εξίσωση της ισχύος είναι:

𝑝 = 𝑖2𝑅 ⇒ 𝑝 = 1100𝜂𝜂2100𝜋𝜋 (SI)

Στα σχήματα φαίνονται οι ζητούμενες γραφικές παραστάσεις.

B. α. Μέχρι τη χρονική στιγμή 𝜋 = 25 ms = 5𝛵/4, η στιγμιαία ισχύς γίνεται μέγιστη τις χρονικές στιγμές:

𝜋 = 𝛵/4, 3𝛵/4, 5𝛵/4 ή 𝜋 = 5 ms, 15 ms, 25 ms

|| Εναλλασσόμενο Ρεύμα

2

β. Η στιγμιαία ισχύς γίνεται ίση με τη μέση ισχύ όταν:

𝑝 = 𝑃 ⇒ 𝑉𝐼𝜂𝜂2𝜔𝜋 =12𝑉𝐼 ⇒ 𝜂𝜂100𝜋𝜋 = ±√2/2

Μέχρι τη χρονική στιγμή 𝜋 = 25 ms = 5𝛵/4, αυτό συμβαίνει τις χρονικές στιγμές:

𝜋 = 𝛵/8, 3𝛵/8, 5𝛵/8 ή 𝜋 = 2,5 ms, 7,5 ms, 12,5 ms

2. Ένας ηλεκτρικός λαμπτήρας Λ, αντίστασης 𝑅 = 60 Ω, συνδέεται σε οικιακό δίκτυο και στα άκρα του εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση της μορφής 𝑣 = 𝑉𝜂𝜂𝜔𝜋. Ο λαμπτήρας λειτουρ-γεί κανονικά και η στιγμιαία ισχύς του μετα-βάλλεται όπως δείχνει το διάγραμμα του διπλα-νού σχήματος. α. Βρείτε την ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον λαμπτήρα. β. Γράψτε τη χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος και κάντε τη γραφική της

παράσταση. γ. Βρείτε την ενεργό τάση στα άκρα του λαμπτήρα καθώς και τη μέση ισχύ του

λαμπτήρα. δ. Βρείτε την ενέργεια που προσφέρει το ηλεκτρικό ρεύμα στον λαμπτήρα μέχρι τη

χρονική στιγμή 𝜋1 = 25 ms. ε. Πόσους λαμπτήρες, όμοιους με τον Λ, μπορούμε να συνδέσουμε στο δίκτυο ώστε να

λειτουργούν κανονικά, χωρίς να πέσει η ασφάλεια των 21 Α;

Απ.[α. 𝑰𝜺𝜺 = 𝟐 𝚨, β. 𝒊 = 𝟐√𝟐𝜼𝜼𝟏𝟏𝟏𝟏𝒕 (SI), γ. 𝑽𝜺𝜺 = 𝟏𝟐𝟏 𝐕, 𝑷 = 𝟐𝟐𝟏 𝐖,

δ. 𝑾 = 𝟔 𝐉, ε. 𝜨 =𝟏𝟏]

Λύση

α. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι 𝒑𝒎𝒎𝒎 = 𝟐𝟒𝟏 𝐖. Το πλάτος της έντασης του ρεύματος υπολογίζεται από τη μέγιστη τιμή της ισχύος:

𝒑𝒎𝒎𝒎 = 𝜤𝟐𝑹 ⇒ 𝜤 = �𝒑𝒎𝒎𝒎𝑹

= �𝟐𝟒𝟏𝟔𝟏

= 𝟐√𝟐 𝚨

Η ενεργός ένταση του ρεύματος είναι:

𝑰𝜺𝜺 =𝑰√𝟐

⇒ 𝑰𝜺𝜺 = 𝟐 𝚨

β. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι:

𝜯 +𝜯𝟐

= 𝒕𝟏 ⇒ 𝟓𝜯𝟐

= 𝒕𝟏 ⇒ 𝑻 =𝟐𝟓𝒕𝟏 ⇒ 𝑻 = 𝟐𝟏 𝐦𝐦

|| Εναλλασσόμενο Ρεύμα

3

οπότε η γωνιακή συχνότητα είναι:

𝝎 =𝟐𝟏𝜯

= 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝐫𝐫𝐫/𝐦

Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον λαμπτήρα είναι:

𝒊 = 𝑰𝜼𝜼𝝎𝒕 ⇒ 𝒊 = 𝟐√𝟐𝜼𝜼𝟏𝟏𝟏𝟏𝒕 (SI) και η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝒊 = 𝒇(𝒕) φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ. Η ενεργός τάση στα άκρα του λαμπτήρα είναι:

𝑽𝜺𝜺 = 𝜤𝜺𝜺𝑹 ⇒ 𝑽𝜺𝜺 = 𝟏𝟐𝟏 𝐕

και η μέση ισχύς του λαμπτήρα είναι:

𝑷 = 𝑰𝜺𝜺𝟐 𝑹 ⇒ 𝑷 = 𝟐𝟐𝟏 𝐖

δ. Το 𝜋1 = 25 ms δεν είναι ακέραιο πολλαπλά-σιο της περιόδου και έτσι θα υπολογίσουμε την προσφερόμενη ενέργεια από το διάγραμμα 𝒑-𝒕 με εμβαδομέτρηση: Από 0 έως 𝛵, η ενέργεια 𝑾𝟏 που προσφέρθηκε εκφράζεται ως εμβαδόν 𝜠𝟏 και είναι:

𝑾𝟏 = 𝑷𝑻 = 𝟐,𝟒 𝐉

Από 𝑇 έως 𝜋1, η ενέργεια 𝑾𝟐 που προσφέρθηκε ισούται με το εμβαδόν 𝜠𝟐 για το οποίο ισχύει:

𝑬𝟐 =𝟏𝟐𝜠𝟏 οπότε 𝑾𝟐 =

𝟏𝟐𝑾𝟏 = 𝟏,𝟐 𝐉

Από 0 έως 𝒕𝟏, ενέργεια που προσφέρει το ηλεκτρικό ρεύμα στον λαμπτήρα θα είναι:

𝑾 = 𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 ⇒ 𝑾 = 𝟔 𝐉 ε. Οι λαμπτήρες για να λειτουργούν κανονικά πρέπει να συνδεθούν παράλληλα και να διαρρέονται όλοι από ρεύμα με ενεργό ένταση 𝟐 𝚨. Αν 𝜨 ο αριθμός των λαμπτήρων τότε η ασφάλεια θα διαρρέεται από ρεύμα ενεργού έντασης 𝜨𝑰𝜺𝜺 και πρέπει να ισχύει:

𝜨𝑰𝜺𝜺 ≤ 𝟐𝟏 ⇒ 𝟐𝜨 ≤ 𝟐𝟏 ⇒ 𝜨 ≤ 𝟏𝟏,𝟓 Άρα ο μέγιστος αριθμός λαμπτήρων που μπορούμε να συνδέσουμε στο δίκτυο είναι 𝟏𝟏 λαμπτήρες.

«Στα Μυστικά της Φυσικής – Ηλεκτρομαγνητισμός» Ενδεικτικές ασκήσεις Να χαρακτηρίσετε κάθε επόμενη πρόταση ως σωστή (Σ) ή ως λάθος (Λ). 11.5 Η φορά του εναλλασσόμενου ρεύματος αλλάζει κάθε Τ/2, όπου Τ η περίοδός του. 11.6 Η ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος μεγιστοποιείται κατά απόλυτη τιμή 2 φορές σε κάθε

περίοδο. 11.7 Η μέγιστη τιμή της έντασης του εναλλασσόμενου ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει ένα

κύκλωμα ονομάζεται ενεργός ένταση. 11.8 Η ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. 11.9 Η ενεργός τιμή της τάσης είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. 11.10 Το ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται πάνω στους θερμικούς αντιστάτες ενός κυκλώματος

εναλλασσόμενου ρεύματος είναι ανάλογο της ενεργού τιμής της έντασης του ρεύματος. 11.11 Κύκλωμα αποτελείται από έναν αντιστάτη και πηγή εναλλασσόμενης τάσης. Αν διπλασιαστεί η

μέγιστη τιμή της τάσης, τότε η μέγιστη τιμή της ισχύος στον αντιστάτη θα διπλασιαστεί. 11.12 Σε κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος με ωμική αντίσταση, η μέγιστη τιμή της τάσης είναι

ανάλογη της μέγιστης τιμής της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος.

Απαντήσεις 11.5 Σ 11.10 Λ 11.6 Σ 11.11 Λ 11.7 Λ 11.12 Σ 11.8 Σ 11.13 Σ 11.9 Λ 11.14 Λ

Συνεχές ρεύμα και έπειτα εναλλασσόμενο Δίνεται το παρακάτω κύκλωμα το οποίο αποτελείται από:

• ηλεκτρική πηγή με ΗΕΔ Ε = 24 V και εσωτερική αντίσταση r = 1 Ω • αντιστάτες με ηλεκτρικές αντιστάσεις R1 = 2 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 12 Ω • αγωγούς (σύρματα) αμελητέας ωμικής αντίστασης α. Να υπολογίσετε τις εντάσεις όλων των ρευμάτων που διαρρέουν το κύκλωμα. β. Η θερμότητα που εκλύεται από τον αντιστάτη R2 σε χρονικό διάστημα Δt ισούται με τη θερμότητα που εκλύεται από τον ίδιο αντιστάτη στο ίδιο χρονικό διάστημα, όταν διαρρέεται από εναλλασσόμενο ηλεκτρικό ρεύμα συχνότητας f = 50 Hz. Να βρείτε την εξίσωση της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος με το χρόνο.

γ. Να υπολογίσετε τη στιγμιαία ισχύ στον αντιστάτη R2 τη χρονική στιγμή 11

600 t s= , όταν διαρρέεται

από το εναλλασσόμενο ρεύμα. Λύση

α. Η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι: Rολ = r+R1+

𝑅2·𝑅3𝑅2+𝑅3

= 1+2+3 = 6 Ω Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει την ηλεκτρική πηγή υπολογίζεται από το νόμο του Ohm στο κλειστό κύκλωμα: Ι = 𝛦

𝑅𝜊𝜊 = 24

6 = 4 Α

Η ένταση Ι του ηλεκτρικού ρεύματος

διακλαδίζεται σε Ι2 που διαρρέει την αντίσταση R2 και σε Ι3 που διαρρέει την αντίσταση R3. Η ισοδύναμη αντίσταση R23 των αντιστάσεων R2 και R3 ισούται με R23 = 𝑅2·𝑅3

𝑅2+𝑅3 = 3 Ω και η τάση στα άκρα της είναι

V23=V2=V3=I·R23=12 V. Οι δύο εντάσεις των ρευμάτων Ι2 και Ι3 υπολογίζονται από το νόμο του Ohm: I2 = 𝑉2

𝑅2 = 12

4 = 3 A και Ι3 = = 𝑉3

𝑅3 = 12

12 = 1 A

β. Εφόσον οι θερμότητες είναι ίσες, η ένταση I2 ισούται με την ενεργό ένταση Ιεν του εναλλασσόμενου ρεύματος. Άρα Ιεν=3 Α. Tο πλάτος της έντασης υπολογίζεται: Ι = Ιεν·√2 = 3·√2 Α Η κυκλική συχνότητα ω είναι: ω=2πf=100π r/s. H εξίσωση της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος με το χρόνο είναι: i=I·ημ(ωt) i=3·√2·ημ(100πt) (SI)

γ. Τη χρονική στιγμή t1=1600

s η ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι:

i=3·√2·ημ(100π 1600

)=3·√22

Α

Η στιγμιαία ισχύς ισούται με: P=i2·R2=9·24

·4 P=18 W.

Περιστρεφόμενο πλαίσιο Συρμάτινο πλαίσιο που αποτελείται από Ν=100 σπείρες εμβαδού Α=100 cm2 η κάθε μία. Το πλαίσιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1 Τ και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=20 r/s γύρω από άξονά του, που είναι κάθετος στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Από την περιστροφική κίνηση του πλαισίου παράγεται εναλλασσόμενη τάση της μορφής v=V·ημ(ωt), η οποία εφαρμόζεται, μέσω δακτυλίων, στα άκρα θερμικής συσκευής που λειτουργεί με εναλλασσόμενο ρεύμα και έχει ενδείξεις κανονικής λειτουργίας 40 W/20 V. α. Να γράψετε την εξίσωση της εναλλασσόμενης τάσης και της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει τη θερμική συσκευή. β. Να αιτιολογήσετε αν η θερμική συσκευή λειτουργεί κανονικά. γ. Πόση θερμότητα εκλύεται από τη θερμική συσκευή σε χρονικό διάστημα 100 περιόδων του εναλλασσόμενου ρεύματος; δ. Να υπολογίσετε τη στιγμιαία ισχύ τη χρονική στιγμή t= 𝜋

120 s.

Η ωμική αντίσταση του πλαισίου να θεωρηθεί αμελητέα.

Λύση α. Το πλάτος της τάσης του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι: V = N·ω·Β·Α = 100·20·1·0,01 = 20 V. Η αντίσταση του πλαισίου είναι: Pκ = 𝑉𝜅

2

𝑅 R = 𝑉𝜅

2

𝑃𝜅 R = 400

40 R = 10 Ω

Το πλάτος της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει τη θερμική συσκευή είναι: Ι = 𝑉

𝑅 I = 20

10 I = 2 Α

Άρα η εξίσωση της εναλλασσόμενης τάσης είναι: v = V·ημ(ωt) v = 20·ημ(20t) (SI) και η εξίσωση της εναλλασσόμενης έντασης που διαρρέει τη θερμική συσκευή είναι: i = I·ημ(ωt) i = 2·ημ(20t) (SI)

β. Η ενεργός τιμή της εναλλασσόμενης τάσης είναι: Vεν = 𝑉

√2 Vεν = 20

√2 Vεν = 10√2 V

Παρατηρούμε ότι η ενεργός τιμή της εναλλασσόμενης τάσης (Vεν = 10√2 V) δεν είναι ίση με την τάση κανονικής λειτουργίας (Vκ = 20 V) της θερμικής συσκευής. Άρα η θερμική συσκευή δεν λειτουργεί κανονικά.

γ. Η ενεργός τιμή της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει τη θερμική συσκευή είναι: Ιεν = 𝑉𝜀𝜀

𝑅 Ιεν = 10√2

10 Ιεν = √2 A

Η περίοδος Τ του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι: Τ = 2𝜋

𝜔 Τ = 𝜋

10 s

Η ζητούμενη θερμότητα εύκολα υπολογίζεται: Q = 𝐼𝜀𝜀2 ·R·Δt Q = 2·10·100· 𝜋

10 Q = 200π J

δ. Η ένταση του εναλλασσόμενου ρεύματος τη χρονική στιγμή t= 𝜋120

s είναι:

i = 2·ημ(20· 𝜋120

) i = 2·12 i = 1 A

Άρα η στιγμιαία ισχύ τη χρονική στιγμή t= 𝜋120

s είναι: P = i2·R P = 10 W.