ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Γ. ΚΑΛΟΥΔΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2015

ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΤΙΚΗΣ &

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων

2

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΕΥΤΕΡΑ 13 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2015

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Θέμα A

1) Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελάχιστου για μία συνάρτηση

f με πεδίο ορισμού Α.

Α2) Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano

Α3) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Fermat

A4) Nα χαρακτηρίσετε τις

προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές ή

λανθασμένες

α) Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τις εικόνες δύο

συζυγών μιγαδικών αριθμων είναι ο άξονας yy'

Έστω f: α,α μία 1-1 συνεχής συνάρτηση για

1

την οποία

η αντίστροφή συνάρτηση είναι συνεχής. Τότε η εξίσωση f x 0

έχει μοναδική ρίζα.

γ) Εαν ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους y μειώνεται τότε το μέγεθος

y μειώνεται.

δ) Έστω ότι f: α,β είναι μία σ

x

α

υναρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη

με f x 0 και f α 0. Τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο α,β

ε) Έαν f είναι μία παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ συνάρτηση και α ,

τότε η συνάρτηση F x f t dt είναι τουλάχιστον

δύο φορές

παραγωγίσιμη στο Δ.

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

3

ΑΡΧΗ 2ης ΣΕΛΙΔΑΣ

Θέμα Β

εωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους

ισχύουν οι σχέσεις

z 1 z 1 iIm z με 0 Im z 2 1 2 1

w 1 2 με Re w , m w 0 2 .

Έστω επίσης οι μιγαδικοί αριθμοί κ με

2

κ z w και Re z Re w

1) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των

μιγαδικών αριθμών z είναι το τμήμα της παραβολής

y 4x με y 0 και 0 x 1 2

Β2) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόν

2 2

ων των

μιγαδικών αριθμών w είναι το τμήμα του κύκλου

x 1 y 2 με x, y 0

Β3) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός α

που ικανοποιεί ταυτόχρονα τις σχέσεις (1) και (2)

Β4) Να αποδείξετε ότ

ι για το μιγαδικό αριθμό κ, το κ παίρνει

μέγιστη και ελάχιστη τιμή και να δικαιολογήσετε ότι η ελάχιστη

τιμή του είναι μηδέν.

Θέμα Γ

x

Έστω η συνάρτηση

f: 0, με τύπο f x xlnx e 2

και η συνάρτηση

f x , x 0 g: 0, με τύπο g x

1, x 0

1) Να δικαιολογήσετε ότι η συνάρτηση f είναι τουλάχιστον

τρεις

φορες παραγωγίσιμη και να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

ξ τέτοιο ώστε f ξ 0

ΤΕΛΟΣ 2ης ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

4

ΑΡΧΗ 3ης ΣΕΛΙΔΑΣ

2) Για το ξ του προηγούμενου ερωτήματος να δείξετε ότι η f

είναι γνησίως αύξουσα στο 0,ξ και γνησίως φθίνουσα στο ξ, .

3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0,

4) Να αποδείξετε ότι

η εξίσωση g x 0 έχει μοναδική ρίζα στο 0, .

Θέμα Δ

x x

1 1

*

Έστω f: μία συνάρτηση δύο φορές παρ/μη, με συνεχή δεύτερη

παράγωγο, και F: μία παράγουσα της, για τις οποίες ισχύουν:

f π 0 και F 1 f (1)

f (t) f(t) dt f (t) F t dt 0

η συνάρτηση g: με

* *

f(x) g x 2 έχει οριζόντια

x

ασύμπτωτη στο την ευθεία με εξίσωση y 2

1) Να αποδείξετε ότι f (x) f(x) 0

2) Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) 1Α: με Α x και Β: με Β x xf

x x

Να αποδείξετε ότι

x 0

α) η συνάρτηση Α x έχει ορίζοντια ασύμτωτη στο + τον άξονα xx'.

β) lim Β x 0

Δ3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη

και ότι για κάθε α>π υπάρχει ξ>π τέτοιο ώστε π α f (ξ)

1 2

1 2 1 2

f(α)

4) Αν επιπλέον υπάρχουν δύο σημεία x ,x , τέτοια ώστε

η f να είναι κοίλη στο διάστημα x ,x , f(x) 0 για κάθε x x ,x

ΤΕΛΟΣ 3ης ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

5

ΑΡΧΗ 4ης ΣΕΛΙΔΑΣ

1 2

0

1 2

και οι εφαπτομένες της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f στα x ,x να είναι κάθετες,

να αποδείξετε ότι:

α) η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο σε εσωτερικό σημείο x του

διαστήματος x ,x

β) υπάρ

1 0

1 0

0 1 0 1

χει ρ x ,x τέτοιο ώστε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f, την εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης της

f στο σημείο x και την ευθεία x x να ισούται με

f x f(x ) y 2f xΕ

2

0

1

x

0x

0

f(x)dx, όπου y είναι ηf (ρ)

η τεταγμένη του σημείου της εφαπτομένης με τετμημένη x

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία,

κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα

στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο

μπορούν να γίνουν και με μολύβι.

Να γράψετε το όνομα σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων,

αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμία άλλη σημείωση δεν

επιτρέπεται να γράψετε.

Να απαντήσετε στο τετράδιο σας σε όλα τα θέματα.

Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των

φωτοαντιγράφων

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΤΕΛΟΣ 4ης ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

6

ΛΥΣΕΙΣ

Θέμα Α

1) Σχολικό βιβλίο: Ορισμός σελίδα 259

Α2) Σχολικό βιβλίο: Θεώρημα σελίδα 192

Α3) Σχολικό βιβλίο: Θεώρημα και απόδειξη σελίδες 260-261

Α4) α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ

Θέμα Β

Β1) Έστω z x yi, με x, y . Η σχέση 1 γίνεται

z 1 z 1 iIm z x yi 1 x yi 1 iy

x 1 yi x yi

1 iy

2 2 2 22

2 2 2 2

x 1 yi x 1

x 1 yi x 1 x 1 y x 1

x 2x 1 y x 2x 1 x

2x 1 2 2y x 2x 1

2 2 2

2

22 2

2x y 2x y 2x 2x y 4x

ι εικόνες των μιγαδικών αριθμων που ικανοποιούν τη σχέση 1

ανήκουν στην παραβολή y 4x. Ακόμα όμως έχουμε ότι:

0 Im z 2 1 2 0 y 2 1 2 0 y 2 1 2

0 4x 4 1 2 0 x 1 2

πομένως ο ζητού

2

μενος γεωμετρικός τόπος είναι το τμημα της παραβολής

y 4x με y 0 και 0 x 1 2

7

2 2

Β2) Από τη μορφή της εξίσωσης βλέπουμε ότι οι εικόνες των μιγαδικών

αριθμών w ανήκουν στον κύκλο με κέντρο (1,0) και ακτίνα ρ 2,

η καρτεσιανή εξίσωση του οποίου είναι x 1 y 2

Έστω ότι w x yi με x, y

2 2

ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου

η εικόνα ανήκει στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Επείδη

Re w , m w 0 έχουμε ότι

x,y 0, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος

x 1 y 2 με x,y 0

Β3) Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός

ο οποίος ικανοποιεί τις σχέσεις 1 και 2 ταυτόχρονα, αρκεί να δείξουμε

ότι οι παραπάνω γεωμετρικοί τόποι έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Πράγματ

2 2 2

2 2 22

22

2

ι, λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων έχουμε

y 4x y 4x y 4x

x 2x 1 4x 2x 1 y 2 x 1 4x 2

y 4xy 4x

x 2x 1 0 x 1 2 ή x 1 2

Η λύση x 1 2 απορρίπτεται διότι είναι μικρότ

22 2

ερη του μηδενός.

Για x 1 2 έχουμε ότι y 1 2 y 2 2 2 1

y 3 2 2 ,αλλά επειδή y 0 έχουμε ότι y 3 2 2

ο σύστημα έχει μοναδική λύση την x, y 1 2, 3 2 2

άρα ο μοναδικός μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί τις εξ

ισώσεις

1 και 2 είναι ό α 1 2 3 2 2i

8

2

2 2

22

Β4) Έστω x Re z Re w . Για τους μιγαδικούς αριθμους z και w

έχουμε ότι

z x 2 xi

w x 1 x 1 i

οπότε ο μιγαδικός αριθμός κ είναι ο

κ z w x 2 xi x 1 x 1 i 2 xi 1 x 1 i

και για το μέτρο του έχουμε ότι

κ 2 x 1 x 1 2 x

2

2

1 x 1

εωρούμε τη συνάρτηση f x 2 x 1 x 1 , x 0,1 2

f ορίζεται μέσω πράξεων συνεχών συναρτήσεων, οπότε είναι συνεχής

και από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής υπάρχουν

πραγματικοί αριθμοί m

και Μ ώστε m f x M m κ M

άρα το κ παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Όταν οι μιγαδικοί αριθμοί z και w επιλεγούν έτσι ώστε z w α

(όπου α ο μιγαδικος αρθμός του προηγούμενου ερωτήματος) τότε

κ z w α α 0 0

άρα η ελάχιστη τιμή του κ είναι 0.

Θέμα Γ

x

x x x

Γ1) Η συνάρτηση f: 0, με τύπο f x xlnx e 2

ορίζεται μέσω πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων,οπότε είναι

παραγωγίσιμη με

f x xlnx e 2 x lnx x lnx e 2 lnx 1 e

f x είναι άθροισμα και διαφορά παρα

x x x

γωγίσιμων συναρτήσεων

οπότε είναι παραγωγίσιμη με

1f x lnx 1 e lnx 1 e e

x

9

x

2

x 0 x

Η f x είναι διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων οπότε είναι

παραγωγίσιμη με

1f x e

x

Τελικά η f x είναι τουλάχιστον τρεις φορές παραγωγίσιμη στο 0,

ια τη δεύτερη παράγωγο έχουμε ότι

lim f x lim

x

0

x

x x

x

2

x x 0

1e 0

x

1lim f x lim e 0

x

1Aκόμα έχουμε ότι f x e 0 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα

x

συνάρτηση με σύνολο τιμών το

f 0, lim f x , lim f x ,

Αφού η

f είναι συνεχής, και το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της

από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ξ 0, ώστε

f ξ 0 και μάλιστα μοναδικό εφόσον η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Γ2) Έστω x ξ. Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι

f x f ξ f x 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,ξ

Έστω x ξ. Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι

f x f ξ f x 0, άρα η f εί

ναι γνησίως φθίνουσα στο ξ,

3) Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση

f x , x 0g: 0, με τύπο g x είναι συνεχής.

1, x 0

Για κάθε x 0 είναι g x f x και επειδή η f είναι συνεχής ως

παραγωγίσιμη και η g θα

είναι συνεχής στο 0, .

Μένει να αποδείξουμε ότι η g είναι συνεχης και στο 0. Έχουμε

10

x

x 0 x 0 x 0

x 0

0

0

x 0 x 0 x 0 x 0

lim g x lim f x lim xlnx e 2 1

Θα υπολογίσουμε το lim xlnx

Για αυτό το όριο έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0. .

lnxlnxlim xlnx lim lim lim

11

xx

DLH

x 0

2

x

x 0 x 0

1

x lim x 0.1

x

Για το ζητούμενο όριο έχουμε

lim g x lim xlnx e 2 0 1 2 1 g 0

άρα η g είναι συνεχής και στο 0.

4) Από το ερώτημα Γ3 έχουμε ότι

η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0, , άρα

0

0

και στο 0,1

g 0 1 0

g 1 1.ln1 e 2 e 2 0

πό το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0,1 ώστε

g x 0, άρα η εξίσωση g x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

Θα αποδείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

Από το

ξ ξ

ερώτημα Γ1 έχουμε οτι υπάρχει μοναδικό ξ 0, ώστε

1f ξ 0 e ή ξ e

ξ

πό το ερώτημα Γ2 έχουμε ότι

η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,ξ

η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ξ,

άρα το ξ είναι θέση ολικού μεγι

στου για την f και άρα για κάθε x 0,

είναι f x f ξ

α αποδείξουμε ότι f ξ 0.Πράγματι:

11

2ξ ξ 1 1 ξ ξ 1

f ξ lnξ 1 e lne 1 ξ 1ξ ξ ξ

Εφόσον το ξ 0, ο παρονομαστής είναι θετικός,

ενώ ο αρθμητής είναι τριώνυμο με διακρίνουσα Δ 3 0 και άρα

αρνητικός.

Τελικά έχουμε ότι f x 0 για κάθε x 0, και

άρα η f x

είναι γνησίως φθίνουσα.

Για κάθε x 0, είναι g x f x , και αφού η f είναι παραγωγίσιμη

είναι και η g x παραγωγίσιμη με g x f x 0

Τότε όμως και η g x είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση επομένως είναι

1

0-1 και άρα το x είναι η μοναδική ριζα της εξίσωσης g x 0

Θέμα Δ

x x

1 11) Έχουμε ότι για κάθε x ισχύει f (t) f(t) dt f (t) F t dt 0 1

Οι συναρτήσεις F x ,f(x),f (x) και f (x) είναι συνεχείς,

άρα,

οι συναρτήσεις f (x) f(x) και f (x) F x είναι συνεχείς ως αθροίσματα

σ

x x

1 1

x x x

1 1 1

υνεχών συναρτήσεων,

οπότε,

οι συναρτήσεις f (t) f(t) dt και f (t) F t dt είναι παραγωγίσιμες.

Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της σχέσης (1) έχουμε

f (t) f(t) dt f (t) F t dt 0 f (t) f(t) dt f (t)

x

1

x x

1 1

1 2

F t dt 0

f (t) f(t) dt f (t) F t dt 0 f (x) f(x) f (x) F x 0 2

έτουμε

h x f (x) f(x) 3 και h x f (x) F x 4

12

2

2 1

1 2 2 2

x

h x είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων και η παράγωγος της

είναι h x f (x) f(x) h x

σχέση 2 γίνεται f (x) f(x) f (x) F x 0

h x h x 0 h x h x 0 (5)

Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (5) με e

x x x x x x2 2 2 2 2

x2

x2

προκύπτει ότι

e h x e h x e 0 e h x e h x 0 e h x 0

συνάρτηση e h x έχει πεδίο ορισμού το και η παράγωγος της

είναι 0 για κάθε x , άρα η συνάρτηση είναι σταθερή, δηλαδή

e h x c 6

H σχέση (4) για

x

2

12

e 0x

2 2

x 1 δίνει

h 1 f (1) F 1 0 (αφού από την υπόθεση έχουμε ότι F 1 f (1))

οπότε η σχέση (6) για x 1 δίνει e h 1 c c 0

άρα e h x 0 h x 0 f (x) F x 0 (6)

Παραγωγίζοντας κατά μέλη τη σχέση (6) προκύπτει ότι

f

x

(x) F x 0 f (x) F x 0

f (x) F x 0 f (x) f(x) 0

f (x)2) α) Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση Α x έχει οριζόντια

xf (x)

ασύμπτωτη στο τον άξονα xx', αρκεί να αποδείξουμε ότι lim 0x

πό την υπόθε

x

f(x)ση έχουμε ότι η συνάρτηση g x 2 έχει

xοριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία με εξίσωση y 2, άρα

lim g x 2.

f(x) f(x)Έχουμε g x 2 g x 2 1

x xπό το ερώτημα Α έχουμε ότι f (x) f(x) 0 f(x) f (x)

άρα η

x x x x x x

f xf (x) σχέση (1) γίνεται g x 2 g x 2 (2)

x xΠαίρνοντας όρια όταν το x τείνει στο στα δύο μέλη της σχέσης (2)

προκύπτει ότι

f (x)lim lim g x 2 lim g x lim 2 lim g x lim 2 2 2

x 0

13

x 0

x 0

f (x)άρα η συνάρτηση Α x έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο

xτην ευθεία με εξίσωση y 0, δηλαδή τον άξονα xx'

1β) θα υπολογίσουμε το lim xf 0

x

1Θέτουμε t Τότε όταν x 0 t

x

1άρα lim xf

x

t t

f t1lim f t lim 0

t t

3) Από τη σχέση f (x) f(x) 0 προκύπτει ότι f (x) f(x)

αφού όμως η f είναι παραγωγίσιμη έπεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη

και άρα η f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμ

η.

Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την f στο διάστημα

π,α

f είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) στο π,α

f είναι παραγωγίσιμη στο π,α

άρα από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ξ π,α τέτοιο ώστε

f (x) f(x) f(π) 0

1 2

f α f π f(α) f(π) f(α)f (ξ) f (ξ) f (ξ)

α π α π α π

f (ξ) α π f(α) f (ξ) π α f(α).

4) α) Αφού υπάρχουν x ,x τέτοια ώστε οι εφαπτομένες της γραφικής

παράστασης της συνάρτ

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

ησης f στα x ,x να είναι κάθετες, έπεται ότι

f (x ).f (x ) 1 1

Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Βοlzano για την f (x) στο διάστημα x ,x

f είναι συνεχής (αφού είναι παραγωγίσιμη) στο x ,x

f (x ).f (x )<0 (

0 1 2 0

1 0 1 1 0

από την (1))

άρα από θεώρημα Βοlzano υπάρχει x x ,x ώστε f (x ) 0

πό την υπόθεση η συνάρτηση f είναι κοίλη, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Για κάθε x x ,x έχουμε x x ξ f (x ) f (x) f (x ) 0.

φού

1 0 1 0

0 2 0 2 0 2

0 2 0 2

για x x ,x είναι f (x)>0 η f είναι γνησιώς αύξουσα στο x ,x

Για κάθε x x ,x έχουμε x x x 0 f (x ) f (x) f (x ).

φού για x x ,x είναι f (x)<0 η f είναι γνησιώς φθίνουσα στο x ,x

οπότε το ξ είναι θέση τοπικού μέγιστου για την f.

14

1 1 1 1

1 2

1 2

β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f

στο x είναι y f (x ) x x f(x )

Αφού η f είναι κοίλη στο x ,x , η εφαπτομένη βρίσκεται πάνω

από τη γραφική παράσταση της f για κάθε x x ,x

Το

0 0 0

1 1 1

1

1 1 0

x x x

1 1 1

x x x

x

1 1 1

x

εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένη

της στο σημείο x και τις ευθείες x x , x x ισούται με

y f x dx y f x dx f (x ) x x f(x ) f x dx

f (x ) x x f(x ) dx

00 0 0

1 11

0 0

1 1

0

1

x2x x

11 1 0 1

x xx

2 x x

0 1 0 11 1 0 1 0 1 1 1

x x

x

1 0 1 1 0 10 1 0 1

x

x xf x dx f (x ) f(x ) x x f x dx

2

x x x xf (x ) f(x ) x x f x dx x x f (x ) f(x ) f x dx

2 2

f (x ) x x 2f(x ) y f(x )x x f x dx x x f x dx

2 2

0

1

x

x

1

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

f είναι συνεχής στο x ,x

f είναι παραγωγίσιμη στο x ,x

πό το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ρ x ,x τέτοιο ώστε

f(x ) f(x )f (ρ)

x x

Άπο το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι η f x είναι γνησίως

άυξουσα σ

0 0

1 1

1 0 0 1

0 10 1

x x

0 1 0 1 0 10 1

x x

0

το x ,x , άρα 1 1 και επομένως f(x ) f(x ) f (ρ) 0.

f(x ) f(x )ότε x x και με αντικατάσταση στη σχέση (1) έχουμε

f (ρ)

y f(x ) f(x ) f(x ) y f(x )x x f x dx f x dx

2 f (ρ) 2

f(x )

0

1

x

1 0 1

x

f(x ) y f(x )f x dx

2f (ρ)