Επίδραση του μαγνητικού πεδίου στην κίνηση των...

Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός

Άσκηση 4: Επίδραση του μαγνητικού πεδίου στην κίνηση των ηλεκτρονίων

Σελίδα 1 από 11 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980

Σχήμα 1

ΣΣκκοοππόόςς ττηηςς άάσσκκηησσηηςς:: Μελέτη της επίδρασης ενός μαγνητικού πεδίου στην κίνηση των ηλεκτρονίων. Μέτρηση του μαγνητικού πεδίου της γης.

ΘΘεεωωρρίίαα::

ΚΚίίννηησσηη ττωωνν ηηλλεεκκττρροοννίίωωνν υυππόό ττηηνν εεππίίδδρραασσηη μμααγγννηηττιικκοούύ ππεεδδίίοουυ::

Αν ένα φορτισμένο σωματίδιο εισέλθει σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με ταχύτητα u που σχηματίζει γωνία θ με τις γραμμές του πεδίου, θα υποστεί μια δύναμη που το μέγεθος της δίδεται από τον νόμο του Lorenz

sinF quB θ= (1).

Η διεύθυνση της δύναμης είναι κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν τα B

και u

, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Γενικά η δύναμη Lorenz , δίδεται από την σχέση

F qu B= ×

(2).

Έτσι, αν ένα ηλεκτρόνιο κινηθεί σε ένα μαγνητικό πεδίο, θα επιταχυνθεί από μια δύναμη ανάλογη της συνιστώσας της ταχύτητας που είναι κάθετη στο πεδίο και σε διεύθυνση πάντα κάθετη στα B

και u

. Εδώ, να σημειώσουμε, ότι, το έργο της δύναμης του μαγνητικού πεδίου είναι μηδενικό και επομένως, το σωματίδιο, διατηρεί την κινητική του ενέργεια. Στο πείραμα αυτό θα παρατηρήσουμε την απόκλιση μιας ηλεκτρονιακής δέσμης (Σχήμα 1), όταν επιδρά πάνω της ένα μαγνητικό πεδίο κάθετο προς την διεύθυνση της.

Ας θεωρήσουμε την περίπτωση του σχήματος 2. Τα ηλεκτρόνια βγαίνουν από το ηλεκτρονικό τηλεβόλο με ταχύτητα u , που προσδιορίζεται από την ηλεκτρονική σχέση

22

12

mu eV= (3).




Σχήμα 2

Εν συνεχεία, η δέσμη μπαίνει σε μία περιοχή μήκους , όπου υπάρχει μαγνητικό πεδίο B κάθετο προς το επίπεδο του σχήματος και με κατεύθυνση από μέσα προς τα έξω. Η δύναμη που εξασκείται από το πεδίο στα ηλεκτρόνια της δέσμης είναι

F euB= (4)

και είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα. Επιπλέον, επειδή η επιτάχυνση από την δύναμη του πεδίου είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα u

, αλλάζει μόνο τη διεύθυνση της u

και όχι το μέτρο της. Συνεπώς, βάσει των συνθηκών που περιγράφηκαν, το σωματίδιο εκτελεί κυκλική τροχιά με σταθερή ταχύτητα. Στη κυκλική κίνηση με σταθερή ταχύτητα, η επιτάχυνση έχει σταθερή τιμή και είναι πάντοτε κάθετη στην ταχύτητα προς το κέντρο του κύκλου. Έτσι, το ηλεκτρόνιο κινείται σε κυκλικό τόξο υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου με ακτίνα R που δίδεται από την σχέση

muReB

= (5).

Μόλις αφήσουν την περιοχή του μαγνητικού πεδίου, τα ηλεκτρόνια κινούνται ευθύγραμμα, όπως φαίνεται στο σχήμα 3, με μια απόκλιση θ από την οριζόντια αξονική διεύθυνση. Η γωνία, δίδεται από την σχέση

sin eBR mu

θ = = (6).

Η ολική μετατόπιση της κηλίδας από την οθόνη δίδεται από την σχέση

2eBD L

mu = +

(7)

και σε συνδυασμό με την σχέση 3, παίρνουμε

( )12

222

eBD LmeV

= +

(8).




Σχήμα 3

ΠΠεερριιγγρρααφφήή κκααιι δδηημμιιοουυρργγίίαα εεξξωωττεερριικκοούύ μμααγγννηηττιικκοούύ ππεεδδίίοουυ::

Αν σχηματίσουμε με σύρμα ένα κυκλικό βρόχο, μαγνητικές γραμμές ροής παρουσιάζουν μεγαλύτερη πυκνότητα στο εσωτερικό του βρόχου, όπως φαίνεται στο σχήμα 4 και το μαγνητικό πεδίο είναι μεγαλύτερο στο κέντρο του βρόχου παρά έξω από αυτόν.

Το πεδίο σε ένα σημείο P του άξονα του βρόχου θα δίδεται από την σχέση

30 sin2

IB µ θα

= (9). Το φαινόμενο γίνεται πιο έντονο αν χρησιμοποιήσουμε αρκετούς βρόχους κατά μήκος του κυλίνδρου, όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Ένα τέτοιο σύστημα λέγεται σωληνοειδές. Μέσα σε σωληνοειδές με μήκος αρκετά μεγαλύτερο από την διάμετρο του, το πεδίο, στο εσωτερικό του κυλινδρικού χώρου, είναι σχεδόν ομογενές και δίδεται από την σχέση

0NIBL

µ= (10),

όπου N είναι ο ολικός αριθμός των σπειρών και L το ολικό μήκος.

Σχήμα 4




ΠΠεειιρρααμμααττιικκήή ΔΔιιααδδιικκαασσίίαα κκααιι ΑΑννάάλλυυσσηη ΜΜεεττρρήήσσεεωωνν::

ΜΜααγγννηηττιικκήή ααππόόκκλλιισσηη::

Στο πρώτο μέρος του πειράματος, θα χρησιμοποιήσουμε την διάταξη της λυχνίας καθοδικών ακτινών. Επειδή, οι πλάκες απόκλισης δεν χρησιμοποιούνται σε αυτό το πείραμα, θα πρέπει να βραχυκυκλώσουμε τους ακροδέκτες τους μεταξύ τους και να τους συνδέσουμε σε μια από τις γειώσεις της τροφοδοσίας των πλακιδίων της μονάδας τροφοδοσίας. Συμπληρωματικά με την διάταξη CRT , θα χρησιμοποιήσουμε δύο σωληνοειδή, συνδεόμενα σε σειρά, με ολική αντίσταση

[ ]126,0 0,1R = ± Ω .

Καθώς θέλουμε να μελετήσουμε πειραματικά την δράση μαγνητικού πεδίου στην ηλεκτρονική δέσμη της CRT , τα σωληνοειδή τοποθετούνται εκατέρωθεν, αριστερά και αντίστοιχα δεξιά της λυχνίας. Έτσι, για δυο συνολικά τιμές της τάσης επιτάχυνσης 2V , μετρήσαμε την απόκλιση της δέσμης D συναρτήσει της sV , δηλ της τάσης στα άκρα του συστήματος των σωληνοειδών. Συστηματοποιώντας τις πειραματικά μας δεδομένα, προκύπτουν οι πίνακες 1, 2 και κατά επέκταση τα διαγράμματα 1, 3, μορφής ( )sD f V= και 2, 4,

μορφής ( )( )1 22sD f V V= .

Δίδεται, ότι:

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 21 2 1 2 22 21 2

2 2 232 2 2

12

s s ss s s

s

V V V V VV V V V V VV V V V

∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ ∂ ∂

Για [ ]2 653 1V Volts= ± :

[ ]0,001sV V± [ ]0,2D cm± ( )1 22sV V 1 2Volts ( )( )1 2

2sV V∆ 1 2Volts

0,000 0,0 0,0000 0,000039 0,144 0,2 0,0056 0,000039 0,504 0,6 0,0197 0,000042 0,876 1,0 0,0343 0,000047 1,069 1,2 0,0418 0,000051 1,464 1,6 0,0573 0,000059 1,799 2,0 0,0704 0,000067 1,961 2,2 0,0767 0,000071

Πίνακας 1




Για [ ]2 350 1V Volts= ± :

[ ]0,001sV V± [ ]0,2D cm± ( )1 22sV V 1 2Volts ( )( )1 2

2sV V∆ 1 2Volts

0,000 0,0 0,0000 0,000053 0,301 0,4 0,0161 0,000053 0,438 0,6 0,0234 0,000053 0,588 0,8 0,0314 0,000053 0,713 1,0 0,0381 0,000053 0,848 1,2 0,0453 0,000053 0,975 1,4 0,0521 0,000054 1,091 1,6 0,0583 0,000054

D=f(Vs) [V2=653Volts]

y = 1,0991x + 0,026

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000

Vs (Volts)

D(c

m)

Πίνακας 2

Διάγραμμα 1




D=f(Vs/(V2)^(1/2)) [V2=653Volts]

y = 28,087x + 0,026

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800

Vs/(V2)^(1/2) (Volts^(1/2))

D(c

m)

D=f(Vs) [V2=350Volts]

y = 1,4643x - 0,0318

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200

Vs (Volts)

D(c

m)






D=f(Vs/(V2)^(1/2)) [V2=350Volts]

y = 27,395x - 0,0318

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600

Vs/(V2)^(1/2) (Volts^(1/2))

D(c

m)

Για τα διαγράμματα 1,3, έχουμε:

Το μαγνητικό πεδίο είναι ανάλογο της έντασης του ρεύματος I , συνεπώς και της sV . Όμως, η απόκλιση που παίρνουμε είναι ανάλογη της έντασης B του μαγνητικού πεδίου, άρα, ευσταθεί λογικά, η απόκλιση που παίρνουμε να είναι ανάλογη με την τάση sV που αλλάζουμε.

Για τα διαγράμματα 2,4, έχουμε:

Η απόκλιση D δίδεται από την σχέση

( )12

222

eBD LmeV

= +

.

Όμως, η ένταση του μαγνητικού πεδίου B , δίδεται από την σχέση

0NIBL

µ=

Επιπλέον, γνωρίζουμε, ότι

sVIR

=





Ο συνδυασμός αυτών των τριών σχέσεων, μας δίνει αποτέλεσμα

( )01 1 2

22 22

se N VD LVme LR

µ = +

.

Παρατηρούμε, ότι, η απόκλιση D είναι ανάλογη της ποσότητας 1 22

sVV

. Καθώς, όμως,

ο παράγοντας, ( )

012 22

e N Lme LR

µ +

, της εν λόγω ποσότητας παραμένει σταθερός κατά

την εξέλιξη του φαινομένου, τότε η D εξαρτάται γραμμικά με τον όρο 1 22

sVV

.

ΤΤοο μμααγγννηηττιικκόό ππεεδδίίοο ττηηςς ΓΓηηςς:: Στο δεύτερο μέρος του πειράματος, θα χρησιμοποιήσουμε την διάταξη της λυχνίας καθοδικών ακτινών. Επειδή, οι πλάκες απόκλισης δεν χρησιμοποιούνται σε αυτό το πείραμα, θα πρέπει να βραχυκυκλώσουμε τους ακροδέκτες τους μεταξύ τους και να τους συνδέσουμε σε μια από τις γειώσεις της τροφοδοσίας των πλακιδίων της μονάδας τροφοδοσίας. Ρυθμίζουμε την τάση επιτάχυνσης 2V στην τιμή

[ ]652 1 Volts± . Σκοπός μας, στο δεύτερο μέρος της πειραματικής διαδικασίας, είναι να προσδιορίσουμε πειραματικά το μαγνητικό πεδίο B της Γης. Έτσι, έχουμε:

Το μαγνητικό πεδίο επηρεάζει μόνο ηλεκτρικά φορτία που κινούνται υπό γωνία σε σχέση με την διεύθυνση του πεδίου. Όταν η δέσμη δεν αποκλίνει, γνωρίζουμε, ότι, δεν επηρεάζεται από καμία δύναμη. Συνεπώς, σε αυτήν την περίπτωση δεν επηρεάζεται ούτε από το μαγνητικό πεδίο της Γης και έτσι συμπεραίνουμε, ότι, η δέσμη έχει ταχύτητα παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο της Γης.

Μετρήσαμε την μέγιστη απόκλιση της δέσμης και την βρήκαμε

[ ]0,8 0,2D cm= ± .

Μετρήσαμε την απόσταση από το 2Α (βλέπε: Εργαστηριακή Άσκηση 3) μέχρι την οθόνη και την βρήκαμε

[ ]15,8 0,1 cm= ± .




Αξιοποιώντας τα παραπάνω και λαμβάνοντας υπόψη, ότι, 0L = , από την σχέση 8, το μαγνητικό πεδίο B της Γης είναι:

( ) ( )5

1 12 2

2 2

1,15966 6,97 102 22 2

eB eDD L B L TeslameV meV

− = + ⇔ = + = ± ⋅

( )( ) ( )

22 2

22

2 22

3 22 21 1

22 22 2

5

12 2 2 22 2

6,97 10

B B BB D VD V

L eD e eDL D V L VmeVmeV meV

Tesla

−

−

∂ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∂

+ = ± ∆ + + ∆ + + ∆ =

= ± ⋅

4

Γης 0,5 10B Teslaθ−= ⋅

Συγκρίνοντας την πειραματική τιμή της ΓηςB , με την θεωρητική ΓηςB θ , έχουμε:

-4Γης Γης

Γης

1,15966 0,5 10% 100% 100% 99,9%

1,15966B B

Bθ

θ

δ− ⋅−

= ⋅ = ⋅ =

Παρατηρούμε, ότι, η εκατοστιαία διαφορά είναι αν όχι τεράστια, τότε δυσανάλογη μιας επιτυχημένης διαδικασίας. Υποθέτουμε, ότι, καθώς το πείραμα διεξήχθη σε εργαστήριο ηλεκτρομαγνητισμού παράλληλα με την διεξαγωγή άλλων εργαστηριακών ασκήσεων, τότε η παρουσία και λειτουργία των έτερων εργαστηριακών διατάξεων – συσκευών προκάλεσε ανεπιθύμητα μαγνητικά πεδία που αλλοίωσαν τις πειραματικές μας μετρήσεις.

ΕΕρρωωττήήσσεειιςς::

1. Υποθέστε πως το ηλεκτρονικό φορτίο είναι θετικό, αντί να είναι αρνητικό. Τι αλλαγές θα έπρεπε να κάνουμε στην CRT και πως θα άλλαζε η απόκλιση της δέσμης σε ένα μαγνητικό πεδίο;

Στην CRT θα πρέπει να αλλάξουμε την πολικότητα της τάσης επιτάχυνσης γιατί αλλιώς το θετικό φορτίο δεν θα επιταχυνθεί προς την οθόνη. Ακόμα θα πρέπει να αλλάξουμε την πολικότητα του πλέγματος ελέγχου γιατί αλλιώς αντί να σπρώχνει τα φορτία προς την κάθοδο θα τα επιταχύνει προς την οθόνη. Με το θετικό φορτίο η απόκλιση της δέσμης θα είναι αντίστροφη.




2. Γιατί σας έγινε η υπόδειξη να χρησιμοποιήσετε το συνδυασμό των μεταβλητών ( )1 2

2sV V για την γραφική παράσταση των μετρήσεων της απόκλισης;

Η απόκλιση D δίδεται από την σχέση

( )12

222

eBD LmeV

= +

.

Όμως, η ένταση του μαγνητικού πεδίου B , δίδεται από την σχέση

0NBL

µ=

Επιπλέον, γνωρίζουμε, ότι

sVIR

=

Ο συνδυασμός αυτών των τριών σχέσεων, μας δίνει αποτέλεσμα

( )01 1 2

22 22

se N VD LVme LR

µ = +

.

Παρατηρούμε, ότι, η απόκλιση D είναι ανάλογη της ποσότητας 1 22

sVV

.

Συνεπώς, η υπόδειξη γίνεται για να παρατηρήσουμε το αποτέλεσμα αυτό στο πείραμα.

3. Δείξτε πως η απόκλιση της δέσμης είναι ανάλογη του ρεύματος του σωληνοειδούς και αν ακόμη το μαγνητικό πεδίο δεν είναι ομογενές, με την προϋπόθεση, ότι, η γωνία απόκλισης είναι μικρή.

Το ομογενές μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται, δίδεται από την σχέση:

0NIBL

µ=

Επομένως, όσο μεγαλύτερο είναι το ρεύμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ένταση του μαγνητικού πεδίου. Ακόμη, η μαγνητική δύναμη, δίδεται από την σχέση:

F qu B= ×

Συνεπώς, όσο μεγαλύτερη είναι η ένταση του πεδίου, τόσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη και κατά επέκταση όσο μεγαλύτερη είναι η I , τόσο μεγαλύτερη είναι η F . Το μη ομογενές μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται, δίδεται από την σχέση:




30 sin2

IBa

µ θ=

Ομοίως, όσο μεγαλύτερη είναι η I , τόσο μεγαλύτερη είναι η F , εφόσον πάλι τα B και I είναι ανάλογα.

4. Οι τιμές που βρήκατε για το μαγνητικό πεδίο της Γης, συμφωνούν με τις τιμές των βιβλίων; Αν όχι, δώστε μερικούς λόγους για αυτήν την διαφορά.

Παρατηρούμε, ότι, η εκατοστιαία διαφορά που βρήκαμε στο δεύτερο μέρος του πειράματος, είναι αν όχι τεράστια, τότε δυσανάλογη μιας επιτυχημένης διαδικασίας. Υποθέτουμε, ότι, καθώς το πείραμα διεξήχθη σε εργαστήριο ηλεκτρομαγνητισμού παράλληλα με την διεξαγωγή άλλων εργαστηριακών ασκήσεων, τότε η παρουσία και λειτουργία των έτερων εργαστηριακών διατάξεων – συσκευών προκάλεσε ανεπιθύμητα μαγνητικά πεδία που αλλοίωσαν τις πειραματικές μας μετρήσεις.

5. Τι θα συνέβαινε, αν το πείραμα γινόταν έτσι, ώστε το μαγνητικό πεδίο να είναι

παράλληλο προς τον άξονα της CRT ; Θα μπορούσατε να το κάνετε αυτό στο πείραμα σας;

Αν το μαγνητικό πεδίο ήταν παράλληλο στον άξονα της CRT τότε δεν θα παίρναμε κανένα αποτέλεσμα, γιατί το μαγνητικό πεδίο επηρεάζει μόνο τα φορτία που κινούνται με κάποια γωνία προς αυτό.

6. Εάν εκτός από το μαγνητικό πεδίο εφαρμόσουμε μια τάση σε ένα από τα ζεύγη των πλακών απόκλισης, οι δυο αποκλίσεις μπορούν να αναιρέσουν η μια την άλλη. Ποιο ζεύγος πλακών πρέπει να χρησιμοποιήσετε και με ποια πολικότητα; Εάν η συνθήκη για μηδενική ολική απόκλιση ικανοποιείται και μετά αυξηθεί η τάση επιτάχυνσης, τι θα συμβεί;

Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ζεύγος πλακών που βρίσκεται στο πάνω και κάτω μέρος της CRT, γιατί το μαγνητικό πεδίο δίνει απόκλιση σε αυτόν τον άξονα. Εφόσον η απόκλιση που δίνει το μαγνητικό είναι προς τα πάνω, η πολικότητα του ηλεκτρικού πεδίου θα πρέπει να είναι προς τα πάνω, για να δίνει απόκλιση στη δέσμη ηλεκτρονίων προς τα κάτω. Αν αυξηθεί η τάση επιτάχυνσης η δέσμη θα αποκλίνει προς τα πάνω εφόσον τώρα υπερνικά το μαγνητικό πεδίο, αυτό συμβαίνει γιατί η ταχύτητα της δέσμης αυξάνεται, άρα αυξάνεται η μαγνητική δύναμη, ενώ η ηλεκτρική δύναμη, η οποία είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας, παραμένει σταθερή.

7. Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ένα μαγνητικό πεδίο για την εστίαση μιας ηλεκτρονιακής δέσμης; Μπορείτε να σκεφτείτε κανένα σχηματισμό μαγνητικού πεδίου, που να λειτουργεί ανάλογα με την ηλεκτροστατική εστίαση που αναφέραμε στην άσκηση 3;

Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί μαγνητικό πεδίο, διότι το τελευταίο μπορεί μόνο να αλλάξει την πορεία της δέσμης.

Επίδραση του μαγνητικού πεδίου στην κίνηση των...

Documents

Transcript of Επίδραση του μαγνητικού πεδίου στην κίνηση των...