ΚΕΕ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γεωµετρία

ΑΘΗΝΑ 2000

Οµάδα Σύνταξης Εποπτεία: Παπασταυρίδης Σταύρος, Καθηγητής Παν/µίου Αθηνών Καραγεώργος ∆ηµήτρης, Λέκτορας Παν/µίου Αθηνών

Συντονιστές: Κοθάλη - Κολοκούρη Ευπραξία, Σχολικός Σύµβουλος, Μ.Εd. Σίδερης Πολυχρόνης, Σχολικός Σύµβουλος Συγγραφική οµάδα: Γεωργακάκος Ηλίας, Μαθηµατικός ∆.Ε. Κοντογιάννης Ιωάννης, Μαθηµατικός ∆.Ε. Μαρκοτζανέτος Αντώνιος, Μαθηµατικός ∆.Ε. Μπούρικα Μαρία, Μαθηµατικός ∆.Ε., Μ.Εd. Πέτρου Αθηνά, Μαθηµατικός ∆.Ε., Μ.Εd. Χριστόφιλος Ευγένιος, Μαθηµατικός ∆.Ε.

Copyright (C) 2000: Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Αδριανού 91, 105 56 Αθήνα

Απαγορεύεται η αναδηµοσίευση ή ανατύπωση ή φωτοτύπηση µέρους ή όλου του παρόντος βιβλίου, καθώς και η χρησιµοποίηση των ερωτήσεων, ασκήσεων και προβληµάτων που περιέχονται σ’ αυτό σε σχολικά βοηθήµατα ή για οποιοδήποτε άλλο σκοπό, χωρίς τη γραπτή άδεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας.

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Γ Ε ΩΜ Ε Τ Ρ Ι Α

• ΠΡΟΛΟΓΟΣ ...............................................................................................5 • ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ...............................................................7 Κεφάλαιο 9ο Μετρικές Σχέσεις

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”...................................................... 9 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ............................................................. 13 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης ......................................................................... 18 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ........................................................................ 22 • Ερωτήσεις ανάπτυξης .............................................................................. 24

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή .................................................... 37 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντοµες λύσεις στις ερωτήσεις........................... 45 Κεφάλαιο 10ο Εµβαδά Πολυγώνων

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”.................................................... 82 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ............................................................. 84 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης ......................................................................... 89 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ........................................................................ 95 • Ερωτήσεις ανάπτυξης .............................................................................. 98

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή .................................................. 113 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντοµες λύσεις στις ερωτήσεις......................... 119

3

Κεφάλαιο 11ο Κανονικά Πολύγωνα • Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”.................................................. 146 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ........................................................... 148 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ...................................................................... 153 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης ....................................................................... 157 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ............................................................................ 160

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή .................................................. 169 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντοµες λύσεις στις ερωτήσεις......................... 173 Κεφάλαιο 12ο Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”.................................................. 197 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ........................................................... 201 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης ....................................................................... 205 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ...................................................................... 206 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ............................................................................ 214

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή .................................................. 221 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντοµες λύσεις στις ερωτήσεις......................... 227 Κεφάλαιο 13ο Γεωµετρικά Στερεά

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”.................................................. 251 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ........................................................... 256 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ...................................................................... 264 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ............................................................................ 269

Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή .................................................. 281 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντοµες λύσεις στις ερωτήσεις......................... 287

∆ακτυλογράφηση - Σελιδοποίηση: ∆ήµητρα Κοµνηνού Σχήµατα: Κλειώ Βερβέρη - Βιτζηλαίου

4

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Με τα τελευταία βιβλία αξιολόγησης των µαθητών ολοκληρώνεται µια σηµαντική προσπάθεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας, στόχος της οποίας ήταν η εκπόνηση και διάδοση νέων µεθόδων αξιολόγησης των µαθητών του Ενιαίου Λυκείου. Στο πλαίσιό της εκπονήθηκαν τα τρία τελευταία χρόνια δεκάδες βιβλίων που καλύπτουν το σύνολο σχεδόν των µαθηµάτων, τα οποία διδάσκονται στο Λύκειο. Τα βιβλία αυτά περιέχουν οδηγίες µεθοδολογίας σχετικές µε την αξιολόγηση των µαθητών, παραδείγµατα ερωτήσεων διαφόρων τύπων, υποδείγµατα εξεταστικών δοκιµασιών, θέµατα συνθετικών - δηµιουργικών εργασιών και άλλα χρήσιµα στοιχεία για τους εκπαιδευτικούς.

Το έντυπο αυτό υλικό συνοδεύτηκε από την παραγωγή ανάλογου ηλεκτρονικού υλικού, από τη δηµιουργία Τράπεζας Θεµάτων και από πολυάριθµες επιµορφωτικές δραστηριότητες σχετικές µε την αξιολόγηση των µαθητών.

Η παραπάνω προσπάθεια δεν είχε σκοπό να επιβάλει ένα συγκεκριµένο τρόπο αξιολόγησης ούτε να αυξήσει το φόρτο εργασίας διδασκόντων και διδασκοµένων, όπως ισχυρίστηκαν ορισµένοι. Επιδίωξε να ενηµερώσει τους καθηγητές για τις σύγχρονες εξεταστικές µεθόδους, να τους δώσει πρακτικά παραδείγµατα εφαρµογής τους, να τους προβληµατίσει γύρω από τα θέµατα αυτά και να τους παράσχει ερεθίσµατα για αυτοµόρφωση. Πιστεύουµε ότι µε το έργο µας συµβάλαµε στη διεύρυνση της δυνατότητας των διδασκόντων να επιλέγουν οι ίδιοι τη µέθοδο που θεωρούν πιο κατάλληλη για την αξιολόγηση των µαθητών τους και βοηθήσαµε στην αύξηση της παιδαγωγικής τους αυτονοµίας.

Πεποίθησή µας είναι πως όλα αυτά άλλαξαν το τοπίο στον τοµέα της αξιολόγησης των µαθητών του Ενιαίου Λυκείου, έφεραν νέο πνεύµα και άρχισαν να τροποποιούν σταδιακά ξεπερασµένες αντιλήψεις και τακτικές που κυριάρχησαν επί πολλά χρόνια στο Ελληνικό σχολείο. Τα θετικά σχόλια που εκφράστηκαν από το σύνολο σχεδόν των επιστηµονικών και εκπαιδευτικών φορέων για τα θέµατα των εξετάσεων του περασµένου Ιουνίου, τα οποία

5

διαµορφώθηκαν µε βάση το πνεύµα και τη µεθοδολογία της αντίστοιχης εργασίας του Κ.Ε.Ε., επιβεβαιώνουν όσα προαναφέρθηκαν.

Η κριτική που είχε αρχικά ασκηθεί για το έργο µας περιορίζεται συνεχώς, ενώ αυξάνει καθηµερινά η αποδοχή του από την εκπαιδευτική κοινότητα και η αναγνώρισή του. Σ’ αυτό συνέβαλε ασφαλώς και η βελτίωση του υποστηρικτικού υλικού που παράγεται από το Κ.Ε.Ε., η οποία οφείλεται, µεταξύ άλλων, και στις παρατηρήσεις και υποδείξεις των διδασκόντων στα Ενιαία Λύκεια. Η συνειδητοποίηση, τέλος, του τρόπου µε τον οποίο πρέπει να χρησιµοποιείται το υλικό αυτό στη διδακτική πράξη και ο περιορισµός των σφαλµάτων που διαπράχθηκαν στην αρχή (µηχανική αναπαραγωγή πλήθους ερωτήσεων, υπέρµετρη αύξηση της εργασίας των µαθητών, απουσία εναλλακτικών τρόπων αξιολόγησης κτλ.) οδήγησαν σε πολύ θετικά αποτελέσµατα, τα οποία όσο περνά ο καιρός θα γίνονται εµφανέστερα.

Η διαπίστωση αυτή µας ενισχύει να συνεχίσουµε την προσπάθειά µας και να την επεκτείνουµε, εκπονώντας ανάλογο υλικό και για άλλες εκπαιδευτικές βαθµίδες, εφόσον εξασφαλιστούν οι απαραίτητες οικονοµικές και λοιπές προϋποθέσεις.

Τελειώνοντας, επιθυµώ να ευχαριστήσω όλους τους συνεργάτες µου στο Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, οι οποίοι εργάστηκαν αφιλοκερδώς, µε αφοσίωση και σπάνιο ζήλο και επιτέλεσαν κάτω από δύσκολες συνθήκες σηµαντικό έργο. Ευχαριστώ ακόµη όλους τους εκπαιδευτικούς που µε ποικίλους τρόπους στήριξαν την προσπάθειά µας και βοήθησαν στην επιτυχία της. Ξέχωρες ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω στις δακτυλογράφους του Κ.Ε.Ε, στο τεχνικό προσωπικό του, στον Προϊστάµενο της Γραµµατείας του κ. Γεώργιο Κορκόντζηλα και στους εκδότες που συνεργάστηκαν µαζί µας από το 1997 µέχρι σήµερα.

Αθήνα, Ιούνιος 2000

Καθηγητής Μιχάλης Κασσωτάκης

6

Πρόεδρος του ∆.Σ. του Κ.Ε.Ε. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Το Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (Κ.Ε.Ε.), µε την έκδοση του τεύχους

αυτού, συνεχίζει την προσπάθεια στήριξης των Εκπαιδευτικών σε ζητήµατα σχετικά µε την αξιολόγηση των µαθητών στα Μαθηµατικά της Β΄ τάξης του Ενιαίου Λυκείου, σύµφωνα µε το πνεύµα της Εκπαιδευτικής Μεταρρύθµισης.

Παράλληλα, τα θέµατα του τεύχους αυτού (καθώς και τα αντίστοιχα των προηγουµένων εκδόσεων του Κ.Ε.Ε.) εισάγονται στην Τράπεζα Θεµάτων των προαγωγικών εξετάσεων. Για τον λόγο αυτό οι ερωτήσεις έχουν χωριστεί σε δύο κατηγορίες.

♦ Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες µετά τον αριθµό ακολουθεί ένας αστερίσκος (*) και είναι οι ερωτήσεις διαφόρων τύπων που αποτελούν απλή εφαρµογή της θεωρίας.

♦ Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες µετά τον αριθµό ακολουθούν δύο αστερίσκοι (**) και είναι προβλήµατα ή ασκήσεις για τη λύση των οποίων απαιτείται ικανότητα συνδυασµού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών.

Οι ερωτήσεις που περιέχονται στο τεύχος αυτό καθώς και τα σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης, έχουν ενδεικτικό και συµβουλευτικό χαρακτήρα για τον καθηγητή, ο οποίος έχει τη δυνατότητα να τα τροποποιήσει ή να διατυπώσει δικά του, αν το κρίνει αναγκαίο.

Αθήνα, Ιούνιος 2000

Σταύρος Παπασταυρίδης Καθηγητής Πανεπιστηµίου

7

Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

Να χαρακτηρίσετε µε «Σ» (σωστό) ή «Λ» (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις.

1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ2 = ΑΓ2 + ΒΓ2, τότε το τρίγωνο είναι: i. Ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Β ii. Ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Α ii. Ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Γ

Σ Λ Σ Λ Σ Λ

2. * Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος ισχύει: i. ΑΒ2 = Β∆⋅ΒΓ ii. ΑΓ2 = ΑΒ⋅Α∆ iii. Α∆2 = Β∆⋅∆Γ iv. Α∆2 = Β∆⋅ΒΓ v. ΑΒ2 = Β∆⋅∆Γ vi. ΑΓ2 = ∆Γ⋅ΒΓ

∆

A

B

Γ

Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ

3. * Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος, στο οποίο η Α∆ είναι ύψος και η ΑΜ διάµεσος, ισχύει: i. ΑΒ2 = ΒΓ⋅Β∆

ii. ΑΒ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

- ΑΓ2

iii. ΑΒ2 = ΑΜ2 + ΒΜ2 iv. ΑΒ2 = ΒΓ2 - ΑΓ2 v. ΑΒ2 = Β∆2 + Α∆2

vi. ΑΒ2 = 4

ΒΓ2

+ ΒΜ2

∆

A

B

Γ

Μ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ Σ Λ Σ Λ

Σ Λ

4. * Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο. Ισχύει α2 > β2 + γ2. Σ Λ

9

5. * Αν γ η µεγαλύτερη πλευρά τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ και γ2 > α2 + β2, τότε αυτό είναι αµβλυγώνιο.

Σ Λ

6. * Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει β2 < α2 + γ2. Σ Λ 7. * Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύει β2 < α2 + γ2,

τότε το τρίγωνο είναι πάντοτε οξυγώνιο.

Σ Λ 8. * Για τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α∆, ισχύει ΑΒ2 = ΒΓ⋅Β∆. Σ Λ

9. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε A < 90° ισχύει ΒΓ∧

2 < ΑΒ2 + ΑΓ2. Σ Λ

10. * Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρονα: α2 < β2 + γ2, β2 < α2 + γ2, γ2 < α2 + β2, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Σ Λ 11. * Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ για το οποίο να

ισχύουν ταυτόχρονα: α2 > β2 + γ2, β2 < α2 + γ2, γ2 > α2 + β2.

Σ Λ 12. * Αν γνωρίζουµε τις τρεις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ α, β, γ,

τότε συγκρίνοντας το τετράγωνο µιας οποιασδήποτε πλευράς του µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, µπορούµε να διαπιστώσουµε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αµβλυγώνιο.

Σ Λ 13. * Το τρίγωνο που έχει µήκη πλευρών 5, 7, 9 είναι οξυγώνιο. Σ Λ

14. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ που έχει διάµεσο την ΑΜ και ύψος το Α∆

ισχύει: AΓ - ΑΒ2 2 = 2ΒΓ⋅∆Μ.

Σ Λ

15. * Στο διπλανό σχήµα, αν το Α∆ είναι ύψος, ισχύει ΑΓ2 = ΑΒ2 + ΒΓ2 - 2Β∆⋅∆Γ.

Σ Λ

16. * Αν Α∆ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά β τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ και ισχύουν ταυτόχρονα:

α2 = β2 + γ2 - 2βΑ∆ και α2 = β2 + γ2 + 2βΑ∆, τότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α.

Σ Λ

10

17. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6 cm, ΑΓ = 8 cm και ΒΓ = 7 cm. Η ΑΜ είναι διάµεσος και το Α∆ είναι ύψος. Το ∆Μ ισούται µε 2 cm.

Σ Λ

18. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ η µα είναι διάµεσός του.

Ισχύει β2 + γ2 = + 2µα2 α 2

2.

Σ Λ

19. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι διάµεσος και το Α∆ είναι ύψος. Ισχύει:

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + ∆Μ2

2.

Σ Λ

20. * Αν γνωρίζουµε τις διαµέσους ενός τριγώνου, µπορούµε να υπολογίσουµε τις πλευρές του.

Σ Λ

21. * Η απόδειξη των θεωρηµάτων της διαµέσου, µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια της γενίκευσης του Πυθαγορείου Θεωρήµατος.

Σ Λ

22. * Το G είναι το βαρύκεντρο

τριγώνου ΑΒΓ. Ισχύει ∆B∆Γ

=

BGΓG

.

Σ Λ

11

23. * Το ευθύγραµµο τµήµα α διαιρείται σε µέσο και άκρο λόγο από το σηµείο Μ όπως φαίνεται

στο σχήµα. Ο λόγος φ = αx

=

5 + 12

εκφράζει το λόγο της

χρυσής τοµής.

Σ Λ

24. * Στο διπλανό σχήµα Ο είναι το κέντρο του κύκλου και ΣΟ = δ, ΟΑ = R. Ισχύει ΣΑ⋅ΑΒ = δ2 - R2.

Σ Λ

25. * Το σηµείο Ρ είναι εσωτερικό του κύκλου (Ο, R) και ΟΡ = δ < R. Αν µια ευθεία διέρχεται από το Ρ και τέµνει τον κύκλο στα Α, Β, τότε ΡΑ.ΡΒ = R2 - δ2.

Σ Λ

26. * Η δύναµη σηµείου ως προς κύκλο και η απόσταση του σηµείου από το κέντρο είναι ποσά ανάλογα.

Σ Λ

27. * ∆ίνονται δύο οµόκεντροι κύκλοι. Σηµείο Ρ κινείται στον εξωτερικό κύκλο. Η δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είναι σταθερή.

Σ Λ 28. * Στο διπλανό σχήµα είναι ΟΓ = 4

cm, Ο∆ = 3 cm και ΟΒ = OA3

= x.

Η τιµή του x είναι 2 cm.

Σ Λ

12

29. * Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Γ∆ τέµνονται στο σηµείο Ο και είναι ΟΑ = 3 cm, ΟΒ = 6 cm, ΟΓ = 2 cm και Ο∆ = 8 cm. Τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ είναι οµοκυκλικά.

Σ Λ

13

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. * Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος. Λανθασµένη είναι η σχέση: i. Α∆2 = Β∆⋅∆Γ ii. ΑΒ2 = Β∆⋅ΒΓ iii. ΑΓ2 = Β∆⋅∆Γ iv. ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2

v. ∆ΓΒ∆

ΑΓΑΒ

2

2

=

∆

A

B

Γ

2. * Στο διπλανό σχήµα η ∆Β σε cm ισούται µε: i. 3 ii. 4 iii. 5 iv. 6 v. 7

∆

A

B

Γ6 cm

4 cm

x cm

3. * Στο διπλανό σχήµα η ∆Γ σε cm ισούται µε: i. 2 ii. 3 iii. 2,2 iv. 3,2 v. 3,5

Γ

∆

A

B

3 cm

4 cm

x cm

4. * Στο διπλανό σχήµα η ∆Γ σε cm ισούται µε: i. 5,5 ii. 8 iii. 4 iv. 5 v. 4,5

∆

A

B

Γ

10 cm

6 cm

x cm

5. * Αν το µήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι α5 , τότε τα

µήκη των καθέτων πλευρών του είναι:

i. 3α, α2 ii. α, α2 iii. α, 2α iv. α, α5 v. α3 , 2α

13

6. * Αν το µήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι α2 , τότε τα µήκη των καθέτων πλευρών του είναι:

i. α21 , α

21 ii. α, α

21 iii. α

31 , α iv. α

41 , α

41 v. α, α

7. * Η διαγώνιος τετραγώνου είναι 4 cm. Το µήκος της πλευράς του σε cm

ισούται µε:

i. 22 ii. 5 iii. 25 , iv. 23 v. 2 8. * Το ευθύγραµµο τµήµα που είναι µέση ανάλογος των ευθυγράµµων

τµηµάτων µε µήκη 2 cm και 4 cm έχει µήκος σε cm:

i. 8 ii. 23 iii. 6, iv. 22 v. 3 9. * Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήµατος ισχύει

.2=ΑΓΑΒ Ο λόγος

∆ΓΒ∆ ισούται µε:

i. 3 ii. 4 iii. 2 iv. 1 v. 5

∆

A B

Γ

10. * Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 5 cm και το Α∆ ύψος και η γωνία ΒΑ∆ = 30°. Το µήκος της πλευράς ΑΓ σε cm ισούται µε:

i. 3 ii. 41 iii. 10

iv. 21 v. 20

11. * Στο διπλανό σχήµα ισχύει: i. γ2 = β2 + α2 + αγ ii. γ2 = β2 - α2 - 2αΒ∆ iii. β2 = α2 + γ2 + αγ iv. β2 = α2 + γ2 - αγ v. β2 = γ2 + ∆Γ2

14

12. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε < 90° φέρνουµε τα ύψη Β∆ και ΓΕ. Από τις παρακάτω ισότητες λανθασµένη είναι:

∧A

i. α2 = β2 + γ2 - 2βΑ∆ ii. α2 = β2 + γ2 - 2γΑΕ

iii. α2 = Β∆2 + ∆Γ2 iv. α2 = β2 + γ2 + 2βΑ∆ v. α2 = ΕΒ2 + ΕΓ2

13. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύει α2 = β2 + γ2 + βγ. Αν Α∆ είναι η

προβολή της πλευράς γ = ΑΒ στην ΑΓ τότε η γωνία ΑΒ∆ είναι: i. 45° ii. 30° iii. 60° iv. 75° v. 15°

14. * Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι = 90°, β > γ, το Α∆ ύψος και η ΑΜ = µ

∧A

α διάµεσος. Από τις παρακάτω σχέσεις λανθασµένη είναι: i. β2 + γ2 = 4ΑΜ2 ii. β2 - γ2 = 2α∆Μ

iii. β2 = + ΜΓµ α2 2 + α∆Μ

iv. β2 + γ2 = 2 + µ α2 α 2

2

v. γ2 + µ = 2Α∆2 + α2 BM2

2

15. * Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°) είναι: ∧A

i. β2 + γ2 = ii. βµ α2 2 + γ2 = iii. β2µα

2 2 + γ2 = 3µ α2

iv. β2 + γ2 = v. β4µ α2 2 + γ2 = 5µ α

2

15

16. * Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ < ΑΓ, την ΑΜ διάµεσο και το Α∆ ύψος. Ισχύει: i. ΑΓ2 - ΑΒ2 = 2ΒΓ.Γ∆ ii. ΑΒ2 - ΑΓ2 = 2ΒΓ.∆Μ iii. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΒΓ.∆Μ

iv. ΑΓ2 + ΑΒ2 = 2ΑΜ.∆Μ v. κανένα από τα προηγούµενα

17. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύει: α2 = β2 + γ2 - 2βΑ∆, όπου Α∆ η προβολή της γ πάνω στη β. Αν έχουµε β < Α∆, τότε:

i. < 90° ii. > 90° iii. = 90° iv. > 90° v. > 90° ∧Γ

∧Γ

∧Γ

∧A

∧Β

18. * Αν α = 10 cm, β = 9 cm και γ = 7 cm είναι τα µήκη πλευρών τριγώνου ΑΒΓ

τότε η προβολή Α∆ της πλευράς γ πάνω στη β σε cm είναι:

i. 53

ii. 8 iii. 9 iv. 172

v. 192

19. * Στο διπλανό τρίγωνο είναι ΑΒ = 5 cm, ΑΓ = 7 cm

και ΒΓ = 6 cm. Η ΑΜ είναι διάµεσος και το Α∆ είναι ύψος. Το ∆Μ έχει µήκος: i. 1 ii. 2 iii. 2,5 iv. 3 v. 4

20. * Στο διπλανό σχήµα είναι ΣΑ = 2 cm, ΣΒ = 9 cm, Σ∆ = 6 cm. Για να είναι οµοκυκλικά τα σηµεία Α, Γ, Β και ∆, το ΓΣ πρέπει να ισούται µε:

2 96A

B

Γ

∆

Σ

i. 69

ii. 6 . 92

iii. 2 . 62

iv. 152

v. 3

16

21. * Στο διπλανό σχήµα η σωστή σχέση είναι: i. ΡΑ⋅ΡΓ = Ρ∆⋅ΡΒ ii. ΡΑ⋅ΡΒ = ΡΓ⋅Ρ∆ iii. ΡΑ⋅ΑΒ = ΡΓ⋅Γ∆ iv. ΡΑ⋅Ρ∆ = ΡΓ⋅ΡΒ v. ΡΑ⋅Γ∆ = ΡΓ⋅ΑΒ

22. * Στο διπλανό σχήµα η σωστή σχέση είναι:

i. ΡΑ⋅ΑΒ = ΡΓ⋅Γ∆ ii. ΡΑ⋅ΡΒ = ΡΓ⋅Ρ∆ iii. ΡΑ⋅Ρ∆ = ΡΓ⋅ΡΒ iv. ΡΑ⋅Γ∆ = ΡΓ⋅ΑΒ v. ΡΑ⋅ΡΓ = ΑΒ⋅Γ∆

23. * Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούµε τη χορδή ΑΒ. Σηµείο Ρ µετακινείται πάνω στη

χορδή. Η δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο γίνεται µέγιστη όταν: i. το Ρ είναι ένα από τα άκρα Α και Β ii. το Ρ είναι µέσο της ΑΒ iii. οποιοδήποτε σηµείο της ΑΒ iv. το Ρ διαιρεί το ΑΒ σε µέσο και άκρο λόγο v. κανένα από τα παραπάνω

24. * Το πρόβληµα της χρυσής τοµής είναι:

i. η διαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο ii. η διαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος στο µέσο iii. η διαίρεση κύκλου σε δύο τόξα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου iv. η διαίρεση γωνίας σε τρεις ίσες γωνίες v. κανένα από τα παραπάνω

17

Ερωτήσεις αντιστοίχησης

1. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα αναφέρονται τα µήκη των πλευρών

τεσσάρων τετραγώνων. Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε το στοιχείο της στήλης Β που αντιστοιχεί στο µήκος της διαγωνίου του.

στήλη Α Μήκος πλευράς τετραγώνου

στήλη Β Μήκος διαγωνίου τετραγώνου

1. 4α

2. 72 α

3. 4 2 α

4. 5 α

Α. 10 α

Β. 6α Γ. 8α

∆. 24 α Ε. 12α

ΣΤ. 6 α

1 2 3 4

18

2. * Στη στήλη Α έχουµε είδη µιας γωνίας τριγώνου ΑΒΓ και στη στήλη Β σχέσεις µεταξύ των πλευρών του. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε γωνία της στήλης Α την αντίστοιχη σχέση από τη στήλη Β.

στήλη Α στήλη Β

1. Α = 90°

2. Α < 90°

3. Β = 90°

4. Β < 90°

Α. β2 = α2 - γ2 Β. α2 < β2 + γ2 Γ. α2 > β2 + γ2 ∆. α2 + γ2 = β2 Ε. γ2 - β2 > α2 Ζ. β2 < γ2 + α2 Η. γ2 = α2 + β2

1 2 3 4

19

3. * Από κάθε σχήµα της στήλης Α προκύπτει µια σχέση της στήλης Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε την αντίστοιχη σχέση της στήλης Β.


1.

2.

3.

Α. Γ∆2 = Α∆.∆Β + ΑΒ.ΒΓ Β. Α∆2 + Β∆2 = ΑΕ2 + ΕΒ2 Γ. ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆2 + Β∆.Α∆ ∆. ΑΓ2 - ΒΓ2 = Α∆2 - Β∆2 Ε. ΑΒ2 = ΒΓ2 + ΑΓ2 + 2ΒΓ.∆Γ Ζ. Α∆2 + Γ∆2 = ΑΕ2 + ΕΓ2

1 2 3

20

4. * Στο επίπεδο του κύκλου (Ο, R) παίρνουµε σηµείο Σ που απέχει απόσταση

δ από το κέντρο Ο του κύκλου. Φέρνουµε από το σηµείο Σ ευθεία που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε θέση του σηµείου Σ που περιγράφεται στη στήλη Α µε την αντίστοιχη τιµή του γινοµένου ΣΑ⋅ΣΒ που βρίσκεται στη στήλη Β.

στήλη Α Το σηµείο είναι:

στήλη Β Τιµή του γινοµένου ΣΑ⋅ΣΒ

1. εσωτερικό του κύκλου

2. εξωτερικό του κύκλου

3. πάνω στο κέντρο

4. πάνω στον κύκλο

Α. δ2 - R2 Β. R2 - δ2 Γ. 0 ∆. δ2 Ε. R2 Ζ. R2 + δ2

1 2 3 4

21

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. * Με βάση το διπλανό σχήµα, όπου ΑΗ

ύψος και ΑΜ διάµεσος του τριγώνου ΑΒΓ, να συµπληρωθούν οι ισότητες: i. ΑΓ2 = ΑΜ2 + ΜΓ2 + 2ΜΓ .... ii. ΑΜ2 = ΑΗ2 + …… iii. ΑΓ2 - ΑΒ2 = …… M

A

B ΓH iv. 2ΑΜ2 = ΑΓ2 + ΑΒ2 ........

2. * Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος να

συµπληρωθεί ο πίνακας:

∆

A B

Γ

ΑΒ 3 ΑΓ 4 ΒΓ Γ∆ ∆Β Α∆

22

3. * Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος να συµπληρωθεί ο πίνακας:

∆

A B

Γ

∆Γ 4 ΑΓ 8 ΒΓ ΑΒ ∆Β Α∆

4. * Να συµπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύµφωνα µε το διπλανό σχήµα: i. ΑΒ2 = Β∆⋅ …… ii. ΑΓ2 = ΒΓ⋅ ……

∆

A

B

Γ iii. Α∆2 = …… ⋅ …… iv. ΑΓ⋅ΑΒ = …… ⋅ …… v. ΒΓ2 = (……)2 + (……)2

5. * Να συµπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύµφωνα µε το διπλανό σχήµα: i. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + …… ii. ΑΓ2 = ∆Γ2 + ……

∆

A

B

Γ

Μ

iii. ΑΓ2 = ∆Γ ⋅ …… iv. Α∆2 = Β∆ ⋅ …… v. Α∆2 = ΑΓ2 - …… vi. ΑΜ2 = Α∆2 + …… vii. 2ΑΜ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - ……

23

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και

ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ

2. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = 2 + 2 . Να υπολογίσετε: i. Την πλευρά ΑΒ ii. Τη διαγώνιο ΑΓ

3. ** Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°) είναι περιγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, r). Αν η πλευρά ΑΒ = 16 cm και η ακτίνα r = 4 cm, να υπολογίσετε:

∧A

i. Την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ii. Την πλευρά ΑΓ του τριγώνου

4. ** Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχει ύψος ΑΗ. Αν ισχύει ΒΓ - ΑΗ = 12 cm, να

υπολογίσετε: i. Την πλευρά του ii. Το ύψος του υ

5. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α2 = β2 + γ2, να δείξετε ότι το τρίγωνο µε

πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι τρίγωνο ορθογώνιο. 6. ** Η διαφορά των τετραγώνων των δύο πλευρών τριγώνου ισούται µε τη

διαφορά των τετραγώνων των προβολών τους πάνω στην τρίτη πλευρά.

24

7. ** Στο διπλανό σχήµα η ΑΒ είναι διάµετρος του κύκλου και η Α∆ τυχαία χορδή του. Να δείξετε ότι η Α∆ είναι µέση ανάλογος της διαµέτρου ΑΒ και της προβολής της πάνω στη διάµετρο ΑΒ.

∆

A B

8. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε το ύψος Β∆. Να δείξετε ότι:

(ΑΒ)2 + (ΒΓ)2 + (ΑΓ)2 = (Γ∆)2 + 2 (Α∆)2 + 3 (Β∆)2. 9. ** ∆ύο κύκλοι µε ακτίνες α και 4α

εφάπτονται εξωτερικά, όπως στο σχήµα. Αν ΑΒ είναι η κοινή εφαπτοµένη των δύο κύκλων: i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΛΒ

είναι τραπέζιο. ii. Να υπολογίσετε το µήκος ΑΒ συναρτήσει

του α.

α

A

Λ

Β

Κ 4α

10. ** ∆ίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε συναρτήσει

του α: i. Tο ύψος του υ ii. Tο ύψος υ΄ του ισόπλευρου τριγώνου, που η πλευρά του είναι ίση µε το

ύψος υ του πρώτου τριγώνου.

11. ** Η περίµετρος ενός ρόµβου είναι 84 m. Να υπολογιστούν οι διαγώνιοί του,

αν γνωρίζουµε ότι η µία είναι τα 53 της άλλης.

25

12. ** Στο τραπέζιο ΑΒΓ∆ του διπλανού σχήµατος Μ και Ν είναι τα µέσα των διαγωνίων του ΑΓ και Β∆ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

i. ΜΝ = 2

EΓ

ii. ΒΓ2 - Α∆2 = 4ΜΝ2. Γ∆

A B

Ν Μ

Ε

13. ** Στο ισοσκελές τραπέζιο ΚΛΜΝ να δείξετε: i. ΖΝ = ΗΜ ii. ΚΜ2 - ΚΝ2 = ΚΛ⋅ΜΝ

Ζ

Κ

Ν Η Μ

Λ

14. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90°) η ΑΒ = ∧

43 ΑΓ. Αν Α∆ είναι το

ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι ∆Β = 169 ∆Γ.

15. ** Έστω ∆ τυχαίο σηµείο

στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήµατος. Η κάθετη στο ∆ τέµνει την ΑΒ στο Ε και την προέκτασή της ΑΓ στο Ζ. Αν Κ σηµείο της ∆Ζ τέτοιο ώστε

Β∧K Γ = 90°, να δείξετε:

Γ

A

B ∆

Ζ

Κ

Ε

i. ∆Κ2 = ∆Β⋅∆Γ ii. ∆Κ2 = ∆Ζ⋅∆Ε

26

16. ** Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η βάση του ΒΓ και το ύψος του Α∆ έχουν το ίδιο µήκος 8 cm. Να υπολογιστεί η ακτίνα R του περιγεγραµµένου του κύκλου.

∆

A

B Γ

O

17. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε = 2 , να δείξετε ότι ∧Β

∧Γ 2

2

ΑΒAΓ = 3.

18. ** Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε

∆Β = ΑΒ. Φέρνουµε το ύψος ΓΕ. Αν ισχύει ΑΒ = 4ΒΕ, να δείξετε ότι

Γ∆2 = ΒΓ2 + 23 ΑΓ2.

19. ** Να υπολογίσετε την απόσταση ΚΛ της τσιµεντένιας σκάλας, αν το πλάτος κάθε σκαλοπατιού είναι 40 cm και το ύψος του 30 cm.

Μ

Κ

Λ

20. ** Να υπολογίσετε (σε ίντσες) την πλευρά τετράγωνης οθόνης τηλεόρασης 24 ιντσών.

Γ∆

ΒΑ x

x24

ίντσες

Σηµείωση: Με την έκφραση «τηλεόραση α ιντσών» εννοούµε ότι η διαγώνιος της

οθόνης είναι α ίντσες.

27

21. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ (ως προς τις γωνίες του) του οποίου οι πλευρές γ, β, α, είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 4, 5 και 6 αντιστοίχως. Αν Α∆ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, να δείξετε ότι

Α∆ = 30

γ+ β + α .

22. ** Ένα τρίγωνο έχει πλευρές µε µήκη 2, 1 + 3 , 6 . Να δείξετε ότι η

γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά µε µήκος 6 είναι 60°. 23. ** Ενός τριγώνου ΑΒΓ τα µήκη των πλευρών του είναι 5 cm, 3 cm και 7 cm.

i. Να προσδιοριστεί το είδος του ως προς τις γωνίες του. ii. Να υπολογιστεί σε µοίρες η γωνία του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι

από τη µεγαλύτερη πλευρά του.

24. ** Στη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ = 11 παίρνουµε σηµείο ∆, τέτοιο ώστε να είναι Β∆ = 3 και ∆Γ = 7. Να υπολογίσετε το Α∆.

25. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου αν έχει διαµέσους µε µήκη 3, 4, 5. 26. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΓ > ΑΒ και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι:

ΗΓ2 - ΗΒ2 = ΑΓ2 - ΑΒ2.

27. ** Αν κ, λ, κ + λ - κλ2 2 είναι τα µήκη των πλευρών ενός τριγώνου, να υπολογιστεί σε µοίρες η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά που

έχει µήκος κ + λ - κλ2 2 .

28. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι αν µβ < µγ, τότε β > γ.

28

29. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι = 120°. Αν Β∆ είναι το ύψος του, τότε να δείξετε ότι:

∧A

i. Α∆ = 2γ

ii. α2 = β2 + γ2 + βγ

30. ** Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι: ΑΒ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, ΑΓ = 7 cm. i. Να δείξετε ότι η γωνία Β είναι αµβλεία. ii. Να υπολογίσετε την προβολή Β∆ της πλευράς ΑΒ πάνω στη ΒΓ. iii. Να υπολογίσετε τη γωνία Β.

31. ** Για τις βάσεις ΑΒ και Γ∆ τραπεζίου ΑΒΓ∆ έχουµε Γ∆ = 2ΑΒ. Να δείξετε ότι ΑΓ2 + Β∆2 = ΒΓ2 + Γ∆2 + ∆Α2.

32. ** Σε κύκλο (Κ, R) παίρνουµε σηµείο Μ µιας χορδής ΑΒ. Να δείξετε ότι

ΚΜ2 + ΜΑ⋅ΜΒ = R2.

33. Με εφαρµογή του θεωρήµατος των διαµέσων στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

( = 90°) να αποδείξετε ότι: µ∧A α = α

2.

34. ** Με εφαρµογή του θεωρήµατος των διαµέσων στο ισόπλευρο τρίγωνο

πλευράς α να αποδείξετε ότι το ύψος του ισούται µε α 32

.

35. ** Θεωρούµε το τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάµεσό του ΑΜ. Παίρνουµε το µέσο

Λ του ΒΜ και το µέσο Ν του ΜΓ. Αν είναι ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α, ΑΛ = ν

και ΑΝ = λ, να αποδείξετε ότι: β2 + γ2 = ν2 + λ2 + 3α8

2

.

29

36. ** Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των τετραγώνων των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι µεγαλύτερο ή ίσο από το άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του.

37. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουµε πάνω στη βάση του ΒΓ τα σηµεία ∆ και Ε

ώστε Β∆ = ∆Ε = ΕΓ. Να δείξετε ότι: ΑΒ2 + 2ΑΓ2 = 3ΑΕ2 + 6∆Ε2.

38. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90°) να δειχθεί ότι: ∧A

i. α2 + β2 + γ2 = 8 µ α2

ii. + µ = 5 µβ2

γ2 µ α

2

39. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διάµεσοι µβ και µγ τέµνονται κάθετα, να δείξετε

ότι: β2 + γ2 = 5α2.

40. ** Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε = 90° και το G είναι το κέντρο βάρους του. Να αποδείξετε ότι:

∧A

i. + µ + = µ α2

β2 µ γ

2 32

α2

ii. GA2 + GB2 + GΓ2 = 23

α2

41. ** Αν µ + µ = 5µ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο µε διαµέσους µβ2

γ2

α2

α, µβ, µγ

είναι ορθογώνιο.

42. ** Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικές πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ µε α > β, γ > δ, να αποδείξετε ότι η διαφορά (α2 + γ2) - (β2 + δ2) ισούται µε το διπλάσιο της µιας διαγωνίου επί την προβολή της άλλης πάνω σ’ αυτήν.

30

43. ** Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι:

16 ( + µ + µ ) = 9 (αµ α2 µβ

2β2 µ γ

2α2 µ γ

2 2β2 + β2γ2 + γ2α2)

44. ** ∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ

κατά ευθύγραµµο τµήµα Γ∆ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: Α∆2 = ΑΓ2 + 2ΒΓ2.

45. ** ∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και τη γωνία του Α αµβλεία. Να αποδείξετε ότι: ΒΓ2 = 2ΑΓ⋅∆Γ, όπου ∆ η προβολή του Β πάνω στην ΑΓ.

46. ** ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90°). Φέρνουµε τη διάµεσο ΑΜ και προς την ΑΜ στο σηµείο Μ κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Σ. Να αποδείξετε ότι: ΣΒ

∧

2 + ΣΓ2 = 2ΣΑ2. 47. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάµεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της ΒΓ

παίρνουµε σηµείο Ε, ώστε ΓΕ = α2

. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ2 = 3β2 + γ2 - 3 . µ α2

48. ** Θεωρούµε κύκλο (Ο, R), µια διάµετρό του ΑΒ και τα σηµεία Γ και ∆ της

ΑΒ ώστε ΟΓ = Ο∆ = δ. Αν Ρ είναι τυχαίο σηµείο του κύκλου (Ο, R) και Ε, Ζ οι τοµές των ΡΓ και Ρ∆ αντιστοίχως µε τον κύκλο, να αποδείξετε ότι:

i. ∆Ζ = R - δ∆Ρ

2 2

και ΓΕ = R - δΓΡ

2 2

(δ < R)

ii. ΓΡΓΕ

+ ∆Ρ∆Ζ

= σταθερό.

49. ** ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90°). Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ κατά ευθύγραµµο τµήµα Β∆ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: Γ∆

∧

2 = 2ΒΓ⋅Α∆.

31

50. ** Σε κύκλο (Ο, R) είναι εγγεγραµµένο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Από το Α φέρνουµε τυχούσα ευθεία η οποία τέµνει την ΒΓ στο ∆ και τον κύκλο στο Ε. Να δείξετε ότι: i. ΑΒ2 = Α∆⋅ΑΕ ii. ο κύκλος που διέρχεται από τα σηµεία Β, ∆, Ε εφάπτεται στην ΑΒ.

51. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 15 cm παίρνουµε σηµείο Γ που απέχει από το

κέντρο 10 cm. Μια χορδή ΑΒ διέρχεται από το Γ και είναι ΑΓ = 3ΓΒ. Να βρεθεί το µήκος της χορδής.

52. ** Από σηµείο Ρ εκτός κύκλου φέρνουµε την εφαπτόµενη ΡΑ και την

τέµνουσα ΡΒΓ του κύκλου. Να δειχθεί ότι: i. Το τρίγωνο ΡΑΒ είναι όµοιο µε το τρίγωνο ΡΓΑ.

ii. Α = BΑΓ

2

2PBPΓ

53. ** Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τα ύψη Α∆, ΒΕ που τέµνονται στο Η.

i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕ∆Β είναι εγγράψιµο σε κύκλο. ii. Να δείξετε ότι ΑΒ2 = ΒΗ⋅ΒΕ + ΑΗ⋅Α∆.

54. ** Με πλευρά τη χορδή ΑΒ = α κύκλου (Ο, R) κατασκευάζουµε τετράγωνο ΑΒΓ∆ που η πλευρά του ΒΓ δεν έχει σηµείο εσωτερικό του κύκλου. Αν το εφαπτόµενο τµήµα ΓΕ του κύκλου είναι ΓΕ = 2α, να βρείτε το R.

55. ** Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και

Γ∆ τέµνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, ΡΓ = 15 cm, να υπολογιστεί η πλευρά Γ∆ και η εφαπτόµενη ΡΣ του κύκλου.

32

56. ** ∆υο κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι ή ότι τέµνονται κάθετα, όταν η γωνία των εφαπτοµένων τους σ’ ένα από τα σηµεία τοµής τους είναι ορθή. Να αποδείξετε ότι: i. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να τέµνονται δύο κύκλοι κάθετα είναι το

τετράγωνο της διακέντρου τους να είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των ακτίνων τους.

ii. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δύο κύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) ορθογώνιοι είναι: η δύναµη του κέντρου του Ο1 ως προς τον κύκλο Ο2 να ισούται µε το τετράγωνο της ακτίνας του Ο1, δηλαδή:

= . ∆ (Ο , R )Ο

2 2

1 R12

57. ** Θεωρούµε κύκλο (Ο, R), µια σταθερή διάµετρό του ΑΒ και µια σταθερή

ευθεία ε ΑΒ. Αν η ευθεία ε τέµνει τυχαία χορδή ΑΓ του κύκλου στο σηµείο Σ, να αποδείξετε ότι: ΑΣ⋅ΑΓ = σταθερό.

⊥

58. ** Θεωρούµε κύκλο (Ο, R), µια διάµετρο αυτού ΑΒ και ένα σηµείο Ρ στην

προέκταση της ΒΑ. Φέρνουµε την εφαπτοµένη ΡΓ και την κάθετη στο Ρ προς την ΑΒ που τέµνει τη ΒΓ στο ∆. Να αποδείξετε ότι: ΡΒ2 = ΡΓ2 + ΒΓ⋅Β∆.

59. ** Να αποδείξετε ότι τα σηµεία που ισαπέχουν απ’ το κέντρο του κύκλου,

έχουν την ίδια δύναµη ως προς τον κύκλο αυτό.

60. ** Θεωρούµε κύκλο (Ο, R) και µια διάµετρό του ΑΒ. Γράφουµε µια χορδή

Γ∆ του κύκλου που τέµνει την ΑΒ στο σηµείο Ε έτσι ώστε Α ∆ = 45°. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ⋅ΕΒ + 2ΟΖ

∧E

2 = R2, όπου Ζ η προβολή του Ο στην Γ∆.

61. ** ∆υο κύκλοι (Ο, R) και (Ο΄, R΄) τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόµενα τµήµατα, που γράφονται από τυχαίο σηµείο της προέκτασης του ΑΒ προς τους δύο κύκλους είναι ίσα.

33

62. ** Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και τον περιγεγραµµένο του κύκλο. Η διάµεσος του τριγώνου ΑΜ προεκτεινόµενη τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. i. Να υπολογίσετε το γινόµενο ΑΜ⋅ΜΕ συναρτήσει του α. ii. Να υπολογίσετε το γινόµενο ΑΜ⋅ΜΕ συναρτήσει των β, γ και του µα.

63. ** ∆ίνεται κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα R. Μέσα στον κύκλο παίρνουµε

σταθερό σηµείο Α και κατασκευάζουµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα τη χορδή ΒΓ. Αν Μ είναι το µέσο της µεταβλητής της υποτείνουσας ΒΓ και ∆ το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΚΑ, να δείξετε ότι: i. ΑΜ2 + ΚΜ2 = R2 ii. Μ∆ = σταθερό

64. ** Επί ενός κύκλου λαµβάνουµε τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆. Τα ευθύγραµµα

τµήµατα ή οι φορείς που ορίζουν τα τέσσερα αυτά σηµεία τέµνονται το πολύ σε τρία σηµεία. Να γράψετε όλες τις σχέσεις, που συνδέουν τις αποστάσεις των σηµείων τοµής από τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆.

65. ** Με κέντρο το σηµείο τοµής των διαγωνίων παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆

γράφουµε κύκλο τυχαίας ακτίνας. Αν Ρ σηµείο του κύκλου, να δείξετε ότι: ΡΑ2 + ΡΒ2 + ΡΓ2 + Ρ∆2 = σταθερό.

34

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

(µε τη χρήση αβαθµολόγητου χάρακα και διαβήτη)

1. ** Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ που έχουν την ιδιότητα ΜΑ2 + ΜΒ2 = 50λ2, όταν τα Α και Β είναι σταθερά σηµεία, ώστε ΑΒ = 6λ, όπου λ δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα.

2. ** Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ, που έχουν την ιδιότητα

ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2λ2 όταν ΑΒ = 2λ (Α, Β σταθερά).

3. ** Να βρεθεί σηµείο Ρ του τόξου µιας χορδής ΑΒ ώστε να είναι: ΡAPΒ

= µν

.

4. ** Να κατασκευασθεί το ευθύγραµµο τµήµα x ώστε x2 = 2α2 + β2, όταν α, β

είναι δεδοµένα ευθύγραµµα τµήµατα.

5. ** Να λυθεί γεωµετρικά το σύστηµα: . x + y = 6xy = 8

6. ** ∆ίνονται δύο σηµεία Α και Β εκτός της ευθείας ε, η ευθεία ε και ο λόγος

µν

. Να βρεθούν τα σηµεία Μ της ευθείας ε, ώστε να είναι MAMB

= µν

.

7. ** ∆ίνονται δύο σταθερά σηµεία Α και Β εκτός της ευθείας ε και η ευθεία ε.

Να βρεθεί σηµείο Μ της ευθείας ε, ώστε το άθροισµα ΜΑ2 + ΜΒ2 να είναι ελάχιστο.

35

ΣΧΕ∆ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝ

ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ (Κ ε φ ά λ α ι ο 9 ο : Με τ ρ ι κ έ ς Σ χ έ σ ε ι ς )

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε

ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων,

ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου

τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

38

1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

∆ιδακτική ενότητα: Μετρικές Σχέσεις

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος, στο οποίο η Α∆ είναι ύψος και η ΑΜ διάµεσος, ισχύει: i. ΑΒ2 = ΒΓ⋅Β∆

ii. ΑΒ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

- ΑΓ2

iii. ΑΒ2 = ΑΜ2 + ΒΜ2 iv. ΑΒ2 = ΒΓ2 - ΑΓ2 v. ΑΒ2 = Β∆2 + Α∆2

vi. ΑΒ2 = 4

ΒΓ2

+ ΒΜ2

∆

A

B

Γ

Μ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ Σ Λ Σ Λ

Σ Λ

Β. Να αποδείξετε µία σωστή σχέση από τις παραπάνω.

ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και τη γωνία του Α αµβλεία. Αν ∆ είναι η προβολή του Β πάνω στην ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΒΓ2 = 2ΑΓ⋅∆Γ.

39



ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να συµπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύµφωνα µε το διπλανό σχήµα: i. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + …… ii. ΑΓ2 = ∆Γ2 + ……

∆

A

B

Γ

Μ

iii. ΑΓ2 = ∆Γ ⋅ …… iv. Α∆2 = Β∆ ⋅ …… v. Α∆2 = ΑΓ2 - …… vi. ΑΜ2 = Α∆2 + …… vii. 2ΑΜ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - ……

Β. Να αποδείξετε την πρώτη σχέση από τις παραπάνω.

ΘΕΜΑ 2ο

Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και Γ∆ τέµνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, PB = 10 cm, ΡΓ = 15 cm, να υπολογιστούν: i. η πλευρά Γ∆ ii. η εφαπτοµένη ΡΣ του κύκλου.

40



ΘΕΜΑ 1ο

Α. ∆ίνεται κύκλος ακτίνας ΟΑ = 6 cm, εφαπτόµενο τµήµα του ΡΑ = 8 cm και µεταβλητή τέµνουσα ΡΓΒ. Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω ζεύγη δεν ταιριάζει:

i. x = 6 και y = 323

ii. x = 2 και y = 32 iii. x = 4 και y = 16 iv. x = 5 και y = 12,8

v. x = 7 και y = 647

B. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°) είναι: ∧A

i. β2 + γ2 = ii. βµ α2

3µ

2 + γ2 =

iii. β

2µα2

α22 + γ2 = iv. βα

2 2 + γ2 = 4µ βA

B

Γ

αγ µα

v. β2 + γ2 = 5µ α

2

41

ΘΕΜΑ 2ο

Από τη διασταύρωση Σ δύο δρόµων ξεκινούν 4 άτοµα µε κατευθύνσεις τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και αντίστοιχες ταχύτητες 2, 9, 3 και 6 km/h. Μετά από µία ώρα (1 h) σταµατούν στις θέσεις Α1, Β1, Γ1, ∆1 αντίστοιχα.

i. Να δείξετε ότι υπάρχει σηµείο του επιπέδου από το οποίο τα 4 άτοµα

ισαπέχουν. ii. Να προσδιορίσετε το σηµείο αυτό. iii. Να δείξετε ότι µετά από ν ώρες (ν h) για τις θέσεις Αν, Βν, Γν, ∆ν υπάρχει

άλλο σηµείο από το οποίο ισαπέχουν. iv. Αν Λ είναι η θέση του σηµείου από το οποίο ισαπέχουν µετά από ν ώρες

(ν h) και R η κοινή απόσταση, τότε ΣΛ2 = R2 - 18ν2. (∆ίνεται: ∆ιανυόµενο διάστηµα = ταχύτητα . χρόνος)

42



ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρηµα: «Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου, είναι ίση µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαµέσου πάνω σ’ αυτήν».

Β. Ενός τριγώνου ΑΒΓ τα µήκη των πλευρών του είναι: ΑΒ = λ, ΑΓ = λ 2 ,

ΒΓ = λ 3 . Να βρεθούν συναρτήσει του λ: i. το µήκος της προβολής της διαµέσου ΑΜ στη ΒΓ ii. το µήκος της προβολής της διαµέσου ΒΝ στην ΑΓ

ΘΕΜΑ 2ο

Κάθε είδος τριγώνου της στήλης Α έχει για πλευρές µια τριάδα που τα µήκη τους είναι στη στήλη Β. Να συνδέσετε µε µια γραµµή κάθε είδος τριγώνου µε την αντίστοιχη τριάδα.

στήλη Α Είδος τριγώνου

στήλη Β Μήκη ευθυγράµµων τµηµάτων

οξυγώνιο

ορθογώνιο

αµβλυγώνιο

2, 3, 4

2, 3, 5

6, 8, 10

3, 6, 10

16, 10, 14

43

ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΙΣ - ΥΠΟ∆Ε ΙΞΕ ΙΣ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕ ΙΣ

ΣΤ ΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕ ΙΣ

Κεφάλαιο 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

46

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

i. Λ i. Σ 4. Σ 13. Λ 22. Λ

ii. Λ ii. Σ 5. Σ 14. Σ 23. Σ 1.

iii. Σ iii. Λ 6. Σ 15. Λ 24. Λ i. Σ iv. Σ 7. Λ 16. Σ 25. Σ

ii. Λ v. Σ 8. Λ 17. Σ 26. Λ iii. Σ

3.

vi. Λ 9. Σ 18. Σ 27. Σ iv. Λ 10. Σ 19. Λ 28. Σ v. Λ 11. Λ 20. Σ 29. Λ

2.

vi. Σ 12. Λ 21. Σ


1. iii 7. i 13. ii 19. ii 2. iii 8. iv 14. v 20. v 3. iv 9. ii 15. iv 21. ii 4. v 10. iv 16. v 22. ii 5. iii 11. iii 17. ii 23. ii 6. v 12. iv 18. i 24. i

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

47

1. 1 ∆ 2. 1 Α 2 Ε 2 Β 3 Γ 3 ∆ 4 Α 4 Ζ 3. 1 ∆ 4. 1 Β 2 Β 2 Α 3 Ζ 3 Ε 4 Γ


1. i. ΑΓ2 = ΑΜ2 + ΜΓ2 + 2ΜΓ⋅ΗΜ

ii. ΑΜ2 = ΑΗ2 + ΗΜ2 iii. ΑΓ2 - ΑΒ2 = 2ΒΓ⋅ΗΜ

iv. 2ΑΜ2 = ΑΓ2 + ΑΒ2 - 2

ΒΓ2

2.

ΑΒ 3 ΑΓ 4 ΒΓ 5 Γ∆ 3,2 ∆Β 1,8 Α∆ 2,4

3.

48

∆Γ 4 ΑΓ 8 ΒΓ 16 ΑΒ 8 3

∆Β 12 Α∆ 4 3

4. i. ΑΒ2 = Β∆⋅ ΒΓ ii. ΑΓ2 = ΒΓ⋅ ∆Γ iii. Α∆2 = Β∆⋅ ∆Γ iv. ΑΓ⋅ΑΒ = ΒΓ ⋅ Α∆ v. ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2

5. i. ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

ii. ΑΓ2 = ∆Γ2 + Α∆2 iii. ΑΓ2 = ∆Γ ⋅ ΒΓ iv. Α∆2 = Β∆ ⋅ ∆Γ v. Α∆2 = ΑΓ2 - ∆Γ2 vi. ΑΜ2 = Α∆2 + ∆Μ2

vii.2ΑΜ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - 2

ΒΓ2

49

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. i. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΓ, µε

εφαρµογή του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, έχουµε:

ΑΗ2 = ΑΓ2 - ΗΓ2 = 72 - 22 = 49 - 4 = 45.

Άρα ΑΗ = 45 = 3 5 cm.

ii. Για το τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε:

(ΑΒΓ) = 2ΑΗΒΓ ⋅ =

2ΒKΑΓ ⋅ , άρα

ΒΚ = ΑΓΑΗΒΓ ⋅

Γ

A

BH

K

ΒΚ = 7

534 ⋅ = 7

512 cm

2. i. Υπολογισµός της πλευράς ΑΒ: Έχουµε: ΑΒ + ΑΓ = 2 + 2 ή

ΑΒ + ΑΒ 2 = 2 + 2

ΑΒ (1 + 2 ) = 2 + 2

ΑΒ = 2 1

)2 (2+

+

ΑΒ = 1) - 2()2 (11) - 2( )2 (2

+

+

ΑΒ = 1 - 2

1) - 2( )2 (2 +

ΑΒ = 1) - 2( )2 (2 + = 2

A B

∆ Γ

ii. Υπολογισµός της πλευράς ΑΓ:

Από την αρχική σχέση έχουµε: ΑΒ + ΑΓ = 2 + 2 ή ΑΓ = 2 + 2 - ΑΒ

Άρα ΑΓ = 2 - 2 2 + ΑΓ = 2

50

3. Είναι ΖΟ ⊥ ΑΒ, ΟΗ ⊥ ΑΓ ΖΟ = ΟΗ = 4 cm, ΑΖ = 4 cm Άρα ΒΖ = 12 cm, άρα ΒΘ = 12 cm Αν ΘΓ = x, τότε ΗΓ = x

Με εφαρµογή του Πυθαγορείου Θεωρήµατος στο τρίγωνο ΑΒΓ και µε δεδοµένο ότι ΑΒ = 16, ΑΓ = 4 + x, ΒΓ = x + 12, έχουµε: ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2 162 + (4 + x)2 = (x + 12)2 256 + 16 + 8x + x2 = x2 + 24x + 144 24x - 8x = 256 + 16 - 144 16x = 128

x = 16128 , άρα x = 8

Άρα i. ΒΓ = 8 + 12 = 20 cm ii. ΑΓ = 4 + 8 = 12 cm

ΓΑ

Β

Ζ

Η

Ο

Θ

x

x

4. i. Αν α η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου,

µε εφαρµογή του Πυθαγορείου θεωρήµατος στο τρίγωνο ΑΗΓ έχουµε:

ΑΗ = 2

3α .

Άρα η σχέση ΒΓ - ΑΗ = 12 cm γράφεται

α - 2

3α = 12. Άρα:

α (1 - 23 ) = 12 ή α =

23 - 2

12 = 3 - 2

24

Άρα α = 24 (2 + 3 ) cm

Γ

A

B H

ii. υ = 2

3α . Άρα υ = 2

3 )3 (2 24 + = 12 (2 + 3 ) 3 cm =

51

12 (2 3 + 3) cm.

5. (5β)2 + (5γ)2 = 25β2 + 25γ2 = 25 (β2 + γ2) = 25α2 = (5α)2 Άρα το τρίγωνο µε πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι ορθογώνιο.

6. Έστω ΑΓ > ΑΒ. Φέρνουµε το ύψος ΑΗ και

έχουµε: ΑΓ2 - ΑΒ2 = (ΑΗ2 + ΗΓ2) - (ΑΗ2 + ΒΗ2) =

ΗΓ2 - ΗΒ2 Σηµείωση:

Τρίγωνο ΑΗΓ ορθογώνιο, άρα ΑΓ2 = ΑΗ2 + ΗΓ2 Τρίγωνο ΑΗΒ ορθογώνιο, άρα ΑΒ2 = ΑΗ2 + ΗΒ2 Γ

A

B H

7. Πρέπει να δείξουµε ότι Α∆2 = ΑΒ⋅ΑΖ. Φέρνουµε

την ∆Β. Το τρίγωνο Α∆Β είναι ορθογώνιο στο ∆. Άρα από το Α∆Β τρίγωνο, έχουµε: Α∆2 = ΑΒ⋅ΑΖ (Το τετράγωνο µιας καθέτου πλευράς ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πάνω στην υποτείνουσα).

∆

A BO Z

8. Το τρίγωνο Α∆Β είναι ορθογώνιο,

άρα ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆2 Το τρίγωνο Β∆Γ είναι ορθογώνιο, άρα

ΒΓ2 = Β∆2 + ∆Γ2 Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, άρα

ΑΓ2 = ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆2 Άρα

Γ

A

B

∆

ΑΒ2 + ΒΓ2 + ΑΓ2 = Α∆2 + Β∆2 + Β∆2 + ∆Γ2 + Α∆2 + Β∆2 = Γ∆2 + 2Α∆2 + 3Β∆2

52

9. i. , άρα ΑΚ // ΒΛ, άρα

ΑΒΛΚ τραπέζιο

⊥

⊥

ΑΒ ΒΛ

AB ΑΚ

ii. Φέρνουµε ΚΖ // ΑΒ, ΚΖ = ΑΒ (ΑΚΖΒ ορθογώνιο παραλληλόγραµµο). Το τρίγωνο ΚΖΛ είναι ορθογώνιο στο Ζ. Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε:

α

A

Λ

Β

Κ 4α

Ζ

ΚΖ2 = ΚΛ2 - ΖΛ2 ή ΚΖ2 = (5α)2 - (3α)2 = 25α2 - 9α2 = 16α2 ΚΖ = 4α, ΚΖ = ΑΒ = 4α

10. Το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α.

i. υ = 2

3α (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου)

ii. υ΄ = 2

3υ = 2

32

3α⋅

ή υ΄ = 4α3

Γ

A

B ∆

υ

11. Έστω ΑΓ = δ1, Β∆ = δ2 και ΒΓ = 4

84 = 21 cm

Ισχύει: δ2 = 53 δ1 (1)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΓ έχουµε:

2

2

2δ

+ 2

1

2δ

= 212 (2)

Με λύση του συστήµατος των (1) και (2) έχουµε:

Γ

∆ Β

Α

Ο

δ1

δ2

53

2

1

2

δ 53

+ 2

1

2δ

= 212 ή

259 δ 1 + δ 1 = 441⋅4 ή 2 2

2534 δ 1 = 1764 2

34δ 1 = 25⋅441⋅4 2

δ 1 = 2

34444125 ⋅⋅

δ1 = 34

444125 ⋅⋅ = 34

2125 ⋅⋅ 34 cm

Άρα δ2 = 53 δ1 =

53⋅

342125 ⋅⋅ 34 =

3412634 ⋅ =

173463 cm

12. i. Φέρνουµε ΒΕ ⊥ Γ∆. Η ευθεία ΜΝ διέρχεται και από το

µέσον της πλευράς Α∆.

Άρα ΖΜ = 2∆Γ , ΖΝ =

2ΑΒ και

ΜΝ = ΖΜ - ΖΝ, άρα Γ∆

A B

Ν ΜΖ

Ε

ΜΝ = 2ΑΒ - ∆Γ =

2∆Ε - ∆Γ =

2ΕΓ (1)

ii. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ έχουµε: ΒΓ2 = ΒΕ2 + ΕΓ2 = Α∆2 + ΕΓ2 ή ΒΓ2 - Α∆2 = ΕΓ2 (2)

Aπό την (1) έχουµε: ΕΓ = 2ΜΝ ή ΕΓ2 = 4ΜΝ2 (3) Aπό (2) και (3) έχουµε: ΒΓ2 - Α∆2 = 4ΜΝ2

54

13. i. Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΚΖΝ, ΛΗΜ έχουµε ΖΝ = ΗΜ.

ii. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΖΜ, ΚΖΝ έχουµε:

Ζ

Κ

Ν Η

Λ

Μ

ΚΜ2 = ΚΖ2 + ΖΜ2 (1) ΚΝ2 = ΚΖ2 + ΖΝ2 (2) Με αφαίρεση των (1) και (2) κατά µέλη έχουµε:

ΚΜ2 - ΚΝ2 = ΖΜ2 - ΖΝ2 = (ΖΜ + ΖΝ) (ΖΜ - ΖΝ) = ΜΝ⋅ΖΗ = ΝΜ⋅ΚΛ

14. ΑΒ = 43 ΑΓ, άρα

AΓAB =

43

Αλλά 2

2

(AΓ)(AB) =

∆ΓB∆ , άρα

∆ΓB∆ =

2

4

3

= 169

ΓA

B

∆

15. i. Το ∆Κ είναι ύψος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΚΓ. Άρα ∆Κ2 = ∆Β⋅∆Γ

ii. Αρκεί να δείξουµε ∆Β⋅∆Γ = ∆Ζ⋅∆Ε ή

∆E∆B =

∆Γ∆Z

Τα τρίγωνα Β∆Ε, Ζ∆Γ είναι

ορθογώνια και ΕB∆ = ∆ Γ (έχουν κάθετες πλευρές).

∧ ∧Z

Γ

A

B ∆

Ζ

Κ

Ε

Συνεπώς Β∆ Ε ≈ Ζ Γ. Άρα ∆Β⋅∆Γ = ∆Ζ⋅∆Ε∆ ∆

∆

55

16. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ = Α∆ = 8 cm.

Tο κέντρο του περιγεγραµµένου του κύκλου είναι πάνω στην Α∆. Προεκτείνουµε την Α∆ και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε τον περιγεγραµµένο κύκλο. Φέρουµε την ΒΕ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ έχουµε Β∆2 = Α∆⋅∆Ε. Αλλά ∆Ε = ΑΕ - Α∆ = 2R - 8. Άρα 42 = 8 (2R - 8). Άρα R = 5 cm.

∆

A

B Γ

O

E 17. Το ΑΒΓ είναι

ορθογώνιο τρίγωνο.

Αφού = 2 ,

έχουµε = 60°,

= 30°

∧B∧B

∧Γ

∧Γ

ΓB ∆ M

Α

Α∆ το ύψος και ΑΜ η διάµεσος του ΑΒΓ.

Άρα 2

2

ABAΓ =

∆B∆Γ (1) ΑΜ =

2BΓ = ΒΜ (2)

Άρα το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο (αφού = 60°). Άρα Α∆ ύψος και

διάµεσος για το ΑΒΜ. Άρα ∆Β =

∧B

2BΜ =

2ΜΓ (3)

Άρα από (1), (3) έχουµε 2

2

ABAΓ =

∆BΜΓ ∆Μ + =

∆B2∆Β ∆Β + =

∆B3∆Β = 3

56

18. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓ∆, έχουµε:

Γ∆2 = ∆Ε2 + ΕΓ2 = 2

45AB

+ ΕΓ2 =

ΑΒ2 + 2

43AB

+ ΕΓ2 (1)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΓ, έχουµε: ΒΓ2 = ΕΓ2 + ΒΕ2 (2) Από (1) και (2) έχουµε:

Γ

A

B

∆

Ε

Γ∆2 = ΑΒ2 + 169 ΑΒ2 + ΕΓ2 = ΑΒ2 +

2

4AB

+

168 ΑΒ2 + ΕΓ2 =

ΑΒ2 + ΒΕ2 + ΕΓ2 + 168 ΑΒ2 = ΒΓ2 + ΑΒ2 +

21 ΑΒ2 =

ΒΓ2 + 23 ΑΒ2 = ΒΓ2 +

23 ΑΓ2

19. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΙΝ έχουµε:

ΚΝ2 = 302 + 402 ή ΚΝ2 = 900 + 1600 ή ΚΝ = 50 cm ΚΛ = 13⋅50 cm ή ΚΛ = 650 cm

Μ

Κ

Λ

Ι

Ν

57

20. Με Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο

ΑΒ∆ έχουµε: 2x2 = 242 ή x2 = 288 ή

x = 288 ή x ≈ 17 ίντσες

Γ∆

ΒΑ x

x

24 ίντσες

21. Αν α, β, γ οι πλευρές του τριγώνου

ΑΒΓ έχουµε: 4γ =

5β =

6α = κ. Τότε:

γ = 4κ, β = 5κ, α = 6κ (1) Ισχύει: 36κ2 < 25κ2 + 16κ2 ή 36κ2 < 41κ2, άρα το τρίγωνο ΑΒΓ

είναι οξυγώνιο. Επίσης, µε εφαρµογή του

γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουµε:

Γ

A

B

∆

β

γ

α

α2 = β2 + γ2 - 2β⋅Α∆ ή 36κ2 = 25κ2 + 16κ2 - 2⋅5⋅κ⋅Α∆ ή - 5κ2 = - 10κ⋅Α∆

Άρα Α∆ = 2κ ή Α∆ =

30κ15 ή Α∆ =

30 γ β α ++ (λόγω της (1)).

58

22. Έστω ΒΓ = 6 , ΑΓ = 1 + 3 , ΑΒ = 2

Όπως προκύπτει από τις σχέσεις των µηκών των πλευρών, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο. Με εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος έχουµε:

( 6 )2 = (1 + 3 )2 + 22 - 2 (1 + 3 ) Α∆

6 = 1 + 3 + 2 3 + 4 - 2 (1 + 3 ) Α∆

6 - 8 - 2 3 = - 2 (1 + 3 ) Α∆

- 2 (1 + 3 ) = - 2 (1 + 3 ) Α∆, άρα Α∆ = 1

Αλλά συνΑ = ΑΒΑ∆ =

21 . Άρα Α = 60°.

Γ

A

B

∆

2

6

1+ 3

23. i. Έχουµε: 72 > 52 + 32, 49 > 34, άρα το τρί-γωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο µε

αµβλεία τη γωνία . ∧A

Γ

A

B

∆

3 5

1

7

ii. Με εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος έχουµε: 72 = 52 + 32 + 2⋅5⋅Α∆ 49 = 25 + 9 + 10Α∆ 15 = 10Α∆ ή Α∆ = 1,5 cm

συν∧A 1 =

35,1 = 0,5 =

21 , άρα

∧A 1 = 60°, άρα = 120°

∧A

59

24. Στο τρίγωνο ΑΒ∆, µε εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος, έχουµε:

ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆2 + 2Β∆⋅∆Μ 112 = x2 + 32 + 2⋅3⋅2 121 = x2 + 9 + 12 121 = x2 + 21, άρα x2 = 100, άρα x = 10 Άρα Α∆ = 10 Γ

A

B M

x

∆

1111

3

+=

+=

+=

4 γ- 2β 2α µ

4β - 2γ 2α µ

4α - 2γ 2β µ

2222γ

2222β

2222α 25.

. Έστω µα = 5, µβ = 3, µγ = 4. Θα είναι:

µ µ µ 2γ

2β

2α += ή 2β2 + 2γ2 - α2 = 2α2 + 2γ2 - β2 + 2α2 + 2β2 - γ2 ή

β2 + γ2 = 5α2 > α2, τότε < 90°. Παρόµοια βρίσκουµε < 90° ή Γ < 90° ∧A

∧B

∧

26. Έστω το Μ µέσον της ΒΓ. Στο τρίγωνο ΒΗΓ µε εφαρµογή του 2ου θεωρήµατος διαµέσων έχουµε: ΗΓ2 - ΗΒ2 = 2ΒΓ⋅∆Μ (1)

Οµοίως στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε:

ΑΓ2 - ΑΒ2 = 2ΒΓ⋅∆Μ (2) Γ

A

B M

H

∆

Από (1) και (2) έχουµε: ΗΓ2 - ΗΒ2 = ΑΓ2 - ΑΒ2

60

27. Είναι: κ2 + λ2 - κλ < κ2 + λ2. Άρα η γωνία που είναι

απέναντι από την πλευρά

κλ- λ κ 22 + είναι οξεία.

Έχουµε: 2

22 κλ- λ κ +

=

κ2 + λ2 - 2κ⋅Α∆ Γ

A

B

κλ

∆

κ + λ - κλ2 2

κ2 + λ2 - κλ = κ2 + λ2 - 2κ⋅Α∆ - κλ = - 2κ⋅Α∆

λ = 2Α∆ ή Α∆ = 2λ . Όµως συνΑ =

ΑBΑ∆ =

1λ2λ

ή συνΑ = 21 , άρα = 60°

∧A

28. Ισχύει µβ < µγ, άρα µ < µ . 2β

2γ

Άρα 4

β - 2γ 2α 222 + < 4

γ- 2β 2α 222 + ή 3γ2 < 3β2 ή γ2 < β2. Άρα β > γ.

29. i. Ισχύει: α2 = β2 + γ2 + 2β⋅Α∆ (1)

Στο τρίγωνο Α∆Β έχουµε:

συνA1 = γ

A∆

συν60° = γ

A∆

21 =

γA∆ , άρα Α∆ =

2γ (2)

Γ

A

B α

β

∆

γ

120°1

ii. Από (1) και (2) έχουµε:

α2 = β2 + γ2 + 2β 2γ α2 = β2 + γ2 + βγ

61

30. i. 72 > 32 + 52 δηλαδή β2 > α2 + γ2, άρα

αµβλεία ∧B

ii. β2 = α2 + γ2 + 2α⋅∆Β 72 = 52 + 32 + 2⋅5⋅∆Β ή 49 - 25 - 9 = 10∆Β ή ∆Β = 1,5

iii. συνB1 = AB∆B =

35,1 = 0,5.

Άρα Β1 = 60°, άρα = 120° ∧B

Γ

A

B

∆

3

5

7

1

31. Στο τρίγωνο Α∆Γ µε εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεω-ρήµατος έχουµε:

ΑΓ2 = Α∆2 + ∆Γ2 - 2∆Γ⋅∆Η (1) Οµοίως στο τρίγωνο ∆ΒΓ έχουµε: ∆Β2 = ΒΓ2 + ∆Γ2 - 2∆Γ⋅ΕΓ (2)

Η

Α

∆ Ε Γ

Β

Προσθέτουµε τις (1), (2): ΑΓ2 + ∆Β2 = Α∆2 + ∆Γ2 - 2∆Γ⋅∆Η + ΒΓ2 + ∆Γ2 - 2∆Γ⋅ΕΓ = Α∆2 + ΒΓ2 + 2∆Γ2 - 2∆Γ (∆Η + ΕΓ).

Αλλά ∆Η + ΕΓ = ΑΒ = 2Γ∆ .

Άρα: ΑΓ2 + ∆Β2 = Α∆2 + ΒΓ2 + 2∆Γ2 - 2∆Γ2∆Γ ⋅ =

Α∆2 + ΒΓ2 + 2∆Γ2 - ∆Γ2 = Α∆2 + ΒΓ2 + ∆Γ2

62

32. Στο τρίγωνο ΜΚΒ µε εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος έχουµε:

ΚΒ2 = ΜΚ2 + ΜΒ2 - 2ΜΒ⋅ΜΖ R2 = ΜΚ2 + ΜΒ (ΜΒ - 2ΜΖ) Αλλά ΜΒ - 2ΜΖ = ΑΜ

Άρα R2 = ΜΚ2 + ΜΒ⋅ΑΜ

A Ζ Β

Κ

Μ

33. Έχουµε:

γ2 + β2 = 2 2αµ +

2α 2

2 µ = γ2α

2 + β2 - 2α 2

2 µ = α2α

2 - 2α 2

= 2α 2

2αµ =

4α 2

, άρα µα = 2α

Γ

A B

β

γ

Μα

34. ΑΜ = µα = υα

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2 2αµ +

2

2ΒΓ

2 µ = α2α

2 + α2 - 2α 2

= 2α2 - 2α 2

= 2

3α 2

Τότε: µα = 2

3α = υα

Γ

A

B M

α α

α

63

35. Με εφαρµογή του 1ου θεωρήµατος διαµέσων στο

Α Γ έχουµε: ∆

B

β2 + γ2 = 2ΑΜ2 + 2α 2

(1)

Με εφαρµογή του θεωρήµατος

διαµέσων στο ΑΛΝ έχουµε: ∆

λ2 + ν2 = 2ΑΜ2 + 2

Λ 2Ν .

Γ

A

B M ΝΛ

γ βλν

α

Τότε: 2ΑΜ2 = λ2 + ν2 -2

Λ 2Ν (2)

Από (1) και (2) έχουµε: β2 + γ2 = λ2 + ν2 + 2α 2

- 2

Λ 2Ν =

= λ2 + ν2 + 2α 2

- 2

2α 2

= λ2 + ν2 + 2α 2

- 8α 2

, άρα β2 + γ2 = λ2 + ν2 + 8

3α 2

36. Έστω Μ µέσον του Β∆ και Ν

µέσον του ΑΓ.

Στο τρίγωνο Α ∆ έχουµε: ∆B

ΑΒ2 + Α∆2 = 2ΑΜ2 + 2

Β 2∆ (1)

Στο τρίγωνο Β ∆ έχουµε: ∆Γ

∆Γ2 + ΒΓ2 = 2ΓΜ2 + 2

Β 2∆ (2)

Γ

A

B

∆

Μ

Ν

Με πρόσθεση κατά µέλη των (1) και (2) έχουµε: ΑΒ2 + Α∆2 + ∆Γ2 + ΒΓ2 = 2 (ΑΜ2 + ΓΜ2) + Β∆2 =

2 (2ΜΝ2 + 2

ΑΓ2

) + Β∆2 = 4ΜΝ2 + ΑΓ2 + Β∆2 ≥ ΑΓ2 + Β∆2

64

37. Εφαρµόζουµε το 1ο θεώρηµα

διαµέσων στα τρίγωνα Α Ε, Α∆ Γ: ∆B

∆

ΑΒ2 + ΑΕ2 = 2Α∆2 + 2

ΒΕ2

(1)

Α∆2 + ΑΓ2 = 2ΑΕ2 + 2

∆Γ2

ή Γ

A

B ∆ Ε

2Α∆2 + 2ΑΓ2 = 4ΑΕ2 + ∆Γ2 (2) Προσθέτουµε κατά µέλη τις (1) και (2):

ΑΒ2 + ΑΕ2 + 2Α∆2 + 2ΑΓ2 = 2Α∆2 + 4ΑΕ2 + ∆Γ2 + 2

ΒΕ 2

ή

ΑΒ2 + 2ΑΓ2 = 3ΑΕ2 + ∆Γ2 + 2

ΒΕ 2

(3)

Αλλά: ∆Γ = 2∆Ε, ΒΕ = 2∆Ε Άρα η (3) γίνεται: ΑΒ2 + 2ΑΓ2 = 3ΑΕ2 + 4∆Ε2 + 2∆Ε2 = 3ΑΕ2 + 6∆Ε2

38. i. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α2 + β2 + γ2 = 2α2

Άρα πρέπει να δειχθεί: α2 = 4 µ 2α

Αλλά µα = 2α ή 2µα = α.

Άρα 4 = α2αµ 2 (1)

ii. + = 2βµ 2

γµ4

β - 2γ 2α 222 + + 4

γ- 2β 2α 222 +

=

Γ

A B

µα

Μα

β

γ

4 γ β 4α 222 ++ =

45α 2

= α2 + 4α 2

= 5 µ (λόγω της (1)). 2α

65

39. Το τρίγωνο Β Γ είναι ορθογώνιο. Άρα: ∆Ο

ΒΟ2 + ΟΓ2 = ΒΓ2

(32 µβ)2 + (

32 µγ)2 = α2

94 ( µ ) = α2 2

βµ + 2γ

Γ

A

B

µβ

µγ

Ο

α

94

++4

γ β 4α 222

= α2 ή 4α2 + β2 + γ2 = 9α2 ή β2 + γ2 = 5α2

40. i. µ + 2αµ + 2

β2γµ =

4 γ-2β 2α β- 2γ 2α 2222222 +++++ α - 22γ 2β 2

= 4

αγβ 23 2 +3 2 +3 = 4

3α ) γ (β 3 222 ++ =

43α 2+3α 2

= 4α 26 =

23 α2

ii. GA2 + GB2 + GΓ2 = (32 µα)2 + (

32 µβ)2 + (

32 µγ)2 =

94⋅

23 α2 =

32 α2

Γ

A B

G

66

41. Ισχύει µ = 2βµ + 2

γ 4 γ β 4α 222 ++ (1)

5 = 5 2αµ

4α - 2γ 2β 222 + (2)

2βµ + = 5 µ (3) 2

γµ 2α

Η σχέση (3) λόγω των (1) και (2) γίνεται:

4 γ β 4α 222 ++ =

45α - 10γ 10β 222 + ή 4α2 + β2 + γ2 = 10β2 + 10γ2 - 5α2

9α2 = 9β2 + 9γ2

α2 = β2 + γ2. Άρα Α Γ ορθογώνιο ∆B

42. Πρέπει να δειχθεί ότι: (α2 + γ2) - (β2 + δ2) = 2ΑΓ⋅ΖΗ ή (α2 - β2) + (γ2 - δ2) = 2ΑΓ⋅ΖΗ Στα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓ∆ εφαρµόζουµε το

2ο θεώρηµα διαµέσων:

Α Γ: α∆B 2 - β2 = 2ΑΓ⋅ΜΗ (1)

Α ∆: γ∆Γ 2 - δ2 = 2ΑΓ⋅ΜΖ (2)

Προσθέτοντας τις (1), (2) έχουµε: (α2 - β2) + (γ2 - δ2) = 2ΑΓ (ΜΗ + ΜΖ) ή (α2 - β2) + (γ2 - δ2) = 2ΑΓ⋅ΖΗ

ΓA

B

HΜZ

∆

αβ

δ γ

γ > δ > βα

43. 16 ( µ µ ) = … (µε αντικατάσταση και πράξεις) = 2α

2βµ + 2

β2γµ + 2

αµ 2γµ

9 (α2β2 + β2γ2 + γ2α2)

67

44. Με εφαρµογή του 1ου θεωρήµατος

διαµέσων στο Α ∆ έχουµε: ∆B

Α∆2 + ΑΒ2 = 2ΑΓ2 + 2

Β∆ 2

Α∆2 = 2ΑΓ2 - ΑΒ2 + 2

Β∆ 2

= ΓB ∆

Α

ΑΓ2 + 2

(2ΒΓ)2

= ΑΓ2 + 2

4ΒΓ2

= ΑΓ2 + 2ΒΓ2

45. Εφαρµόζουµε το γενικευµένο

Πυθαγόρειο θεώρηµα στο Α Γ: ∆B

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 + 2ΑΓ⋅Α∆ = 2ΑΓ2 + 2ΑΓ⋅Α∆ = 2ΑΓ (ΑΓ + Α∆) = 2ΑΓ⋅∆Γ

Γ

A

∆

Β

46. Στο Γ Β εφαρµόζουµε το 1ο θεώρηµα διαµέσων:

∆Σ

ΣΒ2 + ΣΓ2 = 2ΣΜ2 + 2

ΒΓ2

=

2ΣΜ2 + 2

)2( 2ΑΜ = 2ΣΜ2 + 2ΑΜ2 =

2 (ΣΜ2 + ΑΜ2) = 2ΣΑ2

(γιατί το Σ Α είναι ορθογώνιο στο Μ) ∆M

Γ

A B

Σ

Μ

68


διαµέσων στο ΑM Ε, στο οποίο η ΑΓ είναι διάµεσος και έχουµε:

∆

ΑΕ2 + ΑΜ2 = 2ΑΓ2 + 2

ME 2

ΑΕ2 = 2β2 - 2αµ +

2α 2

(1)

Γ

A

B Μ ΕΕα 2

Από την εφαρµογή του 1ου θεωρήµατος διαµέσων στο Α Γ έχουµε: ∆B

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΜ2 + 2

ΒΓ2

ή γ2 + β2 = 2 µ + 2α 2

α 2

ή 2α 2

= β2 + γ2 - 2 µ (2) 2α

Η σχέση (1) βάσει της (2) γίνεται:

ΑΕ2 = 2β2 - + β2αµ 2 + γ2 - 2 ή ΑΕ2

αµ 2 = 3β2 + γ2 - 3 2αµ

48. i. Ισχύει: ∆Ζ⋅∆P = ∆Β⋅∆A = (R - δ) (R + δ) = R2 - δ2

Άρα ∆Ζ⋅∆Ρ = R2 - δ2 ή ∆Ζ = ∆Ρδ - R 22

(1)

Οµοίως ΓΕ⋅ΓΡ = ΑΓ⋅ΓΒ = (R - δ) (R + δ) = R2 - δ2

Άρα ΓΕ⋅ΓΡ = R2 - δ2 ή ΓΕ = ΓΡδ - R 22

(2)

Β

P

OΓ

∆

Ε

Α

Ζ

δ δ

ii. Από τις (1), (2) έχουµε:

ΓΕΓΡ +

∆Ζ∆Ρ =

ΓΡδ - R

ΓΡ22 +

∆Ρδ - R

∆Ρ22 = 22

2

δ - RΓΡ + 22

2

δ - R∆Ρ =

22

22

δ - R∆Ρ ΓΡ + = 22

22

δ - R2

Γ∆ 20Ρ + = 22

22

δ - R2δ 2R + = σταθ.

69

49. Με εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος στο τρίγωνο ΓΒ∆ έχουµε:

Γ∆2 = ΓΒ2 + Β∆2 + 2∆Β⋅ΑΒ = 2ΓΒ2 + 2ΓΒ⋅ΑΒ = 2ΓΒ (ΓΒ + ΑΒ) = 2ΓΒ (Β∆ + ΑΒ) = 2ΓΒ⋅Α∆

Γ

A Β ∆

50. i. Με εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος στο

Α ∆ έχουµε: ∆B

ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆2 - 2Β∆⋅Μ∆ ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆ (Β∆ - 2Μ∆) (1) Αλλά: Β∆ - 2Μ∆ = Β∆ - Μ∆ - Μ∆ =

2ΓB - Μ∆ = ∆Γ (2)

Γ

A

BM ∆

Ε

1

1

Ο

Από (1) και (2) έχουµε: ΑΒ2 = Α∆2 + Β∆⋅∆Γ (3) Αλλά Α∆⋅∆Ε = Β∆⋅∆Γ (4) Από (3) και (4) έχουµε: ΑΒ2 = Α∆2 + Α∆⋅∆Ε = Α∆ (Α∆ + ∆Ε) = Α∆⋅AΕ

ii. Από τα Β, ∆, Ε περνά ένας κύκλος και το σηµείο Α είναι εξωτερικό του σηµείο. Από τη σχέση ΑΒ2 = Α∆⋅ΑΕ έχουµε ότι το ΑΒ είναι εφαπτόµενο στον κύκλο που ορίζεται από τα σηµεία ∆, Ε, Β.

70

51. Ισχύει ΑΓ⋅ΓΒ = ΓΕ⋅ΓΖ (1) Αλλά ΑΓ = 3ΓΒ

ΓΕ = ΕΟ - ΓΟ = 15 - 10 = 5 cm ΓΖ = ΓΟ + ΟΖ = 10 + 15 = 25 cm

H σχέση (1) βάσει των παραπάνω γίνεται: 3ΓΒ⋅ΓΒ = 5⋅25 ή 3ΓΒ2 = 125 ή

ΓΒ = 3

125

Ε

Ζ

Ο

Β

Α

Γ

Αλλά ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ. Άρα ΑΒ = 4ΓΒ ή ΑΒ = 43

125 cm

52. i. Ρ Β ≈ Ρ Α (1) γιατί ∆Α

∆Γ

Ρ Γ = Α Γ (υπό χορδής και εφαπτοµένης)

∧Α

∧B

∧Ρ = (κοινή)

∧Ρ

Άρα ισχύει η (1) ii. Από την οµοιότητα έχουµε:

ΡΑΡΒ =

ΑΓΑΒ =

ΡΓΡΑ άρα

ΡΑ2 = ΡΒ⋅ΡΓ

Γ

A

B

Ρ

Ο

Τότε: 2

ΑΓΑΒ

=

2

ΡΑΡΒ

= 2

2

ΡΑΡΒ =

ΡΓΡΒΡΒ2

⋅ =

ΡΓΡΒ

71

53. i. Θα δείξουµε ότι το τετράπλευρο ΑΕ∆Β είναι εγγράψιµο σε κύκλο (1). Η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τα ∆, Ε µε γωνία ορθή. Άρα ισχύει η (1). Οµοίως τα ΑΖΗΕ, ΖΗ∆Β είναι εγγράψιµα σε κύκλο.

ii. Θα δείξουµε ότι ΑΒ2 = ΒΗΒΕ + ΑΗ⋅Α∆

Γ

A

B

Ε

∆

ΖΗ

Αφού από τα τετράπλευρα ΑΖΗΕ, ΖΗ∆Β περνά κύκλος ισχύει: ΒΗ⋅ΒΕ = ΒΖ⋅ΑΒ, ΑΗ⋅Α∆ = ΑΖ⋅ΑΒ Προσθέτουµε κατά µέλη τις παραπάνω σχέσεις και έχουµε: ΒΗ⋅ΒΕ + ΑΗ⋅Α∆ = (ΒΖ + ΑΖ) ΑΒ ή ΒΗ⋅ΒΕ + ΑΗ⋅Α∆ = ΑΒ2

54. Ισχύει ΓΕ2 = ΓΒ⋅ΓΖ (2α)2 = α⋅ΓΖ ή ΓΖ = 4α Αλλά ΖΒ = ΓΖ - ΒΓ = 4α - α = 3α

Το Α Ζ ορθογώνιο: ∆B

(2R)2 = ΖΒ2 +ΒΑ2 ή 4R2 = (3α)2 + α2 ή 4R2 = 9α2 + α2 ή

R = 25 α ή R =

210 α

Γ

A

B

Ε

∆

O

Ζ

α

α

α

2α3α

α

72

55. ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, ΡΓ = 15 cm Ισχύει: ΡΑ⋅ΡΒ = Ρ∆⋅ΡΓ 9⋅10 = Ρ∆⋅15 ή Ρ∆ = 6 cm ΡΣ2 = Ρ∆⋅ΡΓ ΡΣ2 = 6⋅15

ΡΣ = 109 ⋅ = 3 10 cm

A

B

Γ

∆

O

Σ

Ρ

56. i. Έστω (Ο1, R1), (Ο2, R2) οι δύο κύκλοι

x y = 90°, άρα O∧Α 1

∆ΑO2

ορθογώνιο (O1O2)2 = (O1Α)2 + (O2Α)2 ή

(O1O2)2 = R1 + R (1) 2 22

ii. ∆ = (O1O2)2 - R 1

22

O)R ,(O

22

)1(= R 2

1

Α

Ο2Ο1

yx

57. Το τετράπλευρο ΒΓΣΣ΄ είναι

εγγράψιµο (Γ = ΄ = 1L) σε κύκλο, άρα ΑΓ⋅ΑΣ = ΑΒ⋅ΑΣ΄. Αφού η ε σταθερή και ο κύκλος

(Ο,

∧ ∧Σ

2ΑΒ ) σταθερός, το γινόµενο

ΑΒ⋅ΑΣ΄ είναι σταθερό: ΑΓ⋅ΑΣ = ΑΒ⋅ΑΣ΄ = σταθερό.

Β

Σ

O

Γ

Σ ΄

εΑ

73

58. Θα δείξουµε: ΡΒ2 = ΡΓ2 + ΒΓ⋅Β∆ (1) ΡΓ2 = ΡΑ⋅ΡΒ ως εφαπτοµένη στον

(Ο, R) Από την (1) έχουµε: ΡΒ2 - ΡΓ2 = ΡΒ2 - ΡΑ⋅ΡΒ = ΡΒ (ΡΒ - ΡΑ) = ΡΒ⋅ΑΒ (2) Αλλά ισχύει ΡΒ⋅ΑΒ = ΒΓ⋅Β∆, γιατί

το ΑΓ∆Ρ είναι εγγράψιµο σε κύκλο.

Β

∆

O

Γ

ΡΑ

Άρα η (2) γίνεται: ΡΒ2 - ΡΓ2 = ΒΓ⋅Β∆ ή ΡΒ2 = ΡΓ2 + ΒΓ⋅Β∆

59. Για κάθε σηµείο Μ έτσι ώστε

ΜΟ = δ ισχύει = = ΟΜMR) (O,∆ 2 - R2 =

δ2 - R2 = σταθερό, δ > R. O

Μ

60. Θα δείξουµε: ΑΕ⋅ΕΒ + 2ΟΖ2 = R2 Ισχύει AE⋅EB = R2 - OE2 ή AE⋅EB + OE2 = R2 (1)

Αλλά το ορθογώνιο τρίγωνο Ε Ο ∆Z

( Z = 90°) είναι και ισοσκελές, άρα ΕΖ = ΖΟ. ∧

Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε:

OΗ ΒΑ

Γ

ΖΕ

∆

45°45°

ΟΕ2 = ΕΖ2 + ΖΟ2 = 2ΖΟ2. Άρα η σχέση (1) γίνεται: ΑΕ⋅ΕΒ + 2ΖΟ2 = R2

74

61. Έστω (O, R), (O΄, R΄) οι δύο κύκλοι και ΜΑΒ η κοινή τέµνουσα των δύο κύκλων.

Τότε ΜΚ2 = ΜΑ⋅ΜΒ και ΜΛ2 = ΜΑ⋅ΜΒ

Άρα ΜΚ = ΜΛ.

Α

Ο΄Ο

ΚΛ

Μ

Β

62. i. Ισχύει: ΑΜ⋅ΜΕ = ΒΜ⋅ΜΓ = 4α 2

,

(αφού ΒΜ = ΜΓ = 2α )

ii. Θεώρηµα διαµέσων στο Α Γ: ∆B

β2 + γ2 = 2 + 2αµ

2α 2

(1) ή

Β

γ

O

Γ

β

Α

Ε

αΜ

2 (β2 + γ2) = 4 µ + α2

α2 ή α2 = 2 (β2 + γ2) - 4 2

αµ

Από (i) έχουµε: ΑΜ⋅ΜΕ = 4α 2

= 4

4µ - ) γ (β 2 2α

22 + =

2 γ β 22 + - µ 2

α

75

63. i. Πρέπει να δείξουµε ότι: ΑΜ2 + ΜΚ2 = R2 Αφού ΒΜ = MΓ, ΚΒ = ΚΓ, τότε KM ⊥ BΓ

Είναι ΑΜ = 2ΒΓ

γιατί Α Γ ορθογώνιο

στην .

∆B

∧A

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚM Γ έχουµε: ∆

ΜΚ2 + ΜΓ2 = R2 ή

Β

∆ Κ

Γ

Α

Ε

Μ

ΜΚ2 + 2

2ΒΓ

= R2 ή ΜΚ2 + ΑΜ2 = R2 (1)

ii. Εφαρµόζουµε το θεώρηµα διαµέσων στο Α Κ:

ΑΜ

∆M

2 + ΚΜ2 = 2∆Μ2 + 2

AK 2

(ΑΚ σταθερό) (2)

Από (1) και (2) έχουµε: R2 - 2

AK 2

= 2∆Μ2 ή ∆Μ = 4

AK - 2

R 22

=

σταθερό

64. Το ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο στον ίδιο κύκλο. Οι προεκτάσεις των ΑΒ, ∆Γ τέµνονται στο Λ, οι προεκτάσεις των Α∆, ΒΓ στο Κ, καθώς και οι διαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΓ, Β∆ στο Μ. Έτσι οι δυνατές σχέσεις που συνδέουν τις αποστάσεις των σηµείων τοµής από τα Α, Β, Γ, ∆ είναι οι παρακάτω:

α) ΜΑ⋅ΜΓ = ΜΒ⋅Μ∆ β) ΚΑ⋅Κ∆ = ΚΒ⋅ΚΓ γ) ΛΑ⋅ΛΒ = Λ∆⋅ΛΓ

Β

∆

Ο

Γ

Α

ΜΚ

Λ

76


διαµέσων στα τρίγωνα Ρ ∆,

Ρ Γ και έχουµε:

∆B

∆A

ΡΒ2 + Ρ∆2 = 2ΡΟ2 + 2

B∆2

(1)

ΡΑ2 + ΡΓ2 = 2ΡΟ2 + 2

Α 2Γ (2) Β

∆

Γ

Α

Ρ

Ο

Προσθέτουµε κατά µέλη τις (1), (2): ΡΑ2 + ΡΒ2 + ΡΓ2 + Ρ∆2 =

4ΡΟ2 + 2Β∆ Α 22 +Γ = 4R2 +

2Β∆ Α 22 +Γ = σταθερό, αφού οι διαγώνιες

ΑΓ, Β∆ του παραλληλογράµµου είναι σταθερά ευθύγραµµα τµήµατα.

77

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Απαντήσεις - Λύσεις

1. ∆ίνεται ΑΒ = 6λ Έστω Μ τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου.

Από το 1ο θεώρηµα διαµέσων στο τρίγωνο

ΜΑΒ έχουµε: ΜΑ2 + ΜΒ2 = 2ΜΟ2 + 2

ΑΒ2

,

Ο µέσον του ΑΒ ή 50λ2 = 2ΜΟ2 + 2

36λ 2

ή

O

Μ

Α Β

ΜΟ2 = 16λ2 ή ΜΟ = 4λ = σταθερό Άρα το σηµείο Μ απέχει σταθερή απόσταση από το µέσο του ΑΒ, δηλαδή ο γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος (Ο, 4λ) Αντίστροφα: Έστω ένα σηµείο Μ του κύκλου (Ο, 4λ).

Τότε: ΜΑ2 + ΜΒ2 = 2ΜΟ2 + 2

ΑΒ2

= 2 (4λ)2 + 2

36λ 2

= 32λ2 + 18λ2 = 50λ2

Άρα το Μ έχει την ιδιότητα: ΜΑ2 + ΜΒ2 = 50λ2 Ο γεωµετρικός τόπος είναι όλα τα σηµεία του κύκλου (Ο, 4λ).

2. ∆ίνεται ΑΒ = 2λ, Ο το µέσον του. Έστω ένα σηµείο Μ του επιπέδου µε: ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ⋅Ο∆ ή 2λ2 = 2ΑΒ⋅Ο∆

2λ2 = 4λ⋅Ο∆ ή Ο∆ = 2λ = σταθερό

(ΜΑ > ΜΒ) Το σηµείο ∆ βρίσκεται στην ηµιευθεία

ΟΒ και απέχει από το Ο σταθερή απόσταση Ο∆ = 2λ .

O

Μ

Α ∆ Β

(ε)

2λ

Το δε σηµείο Μ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σηµείο ∆.

78

Αντίστροφα: Για οποιοδήποτε σηµείο Μ της ευθείας (ε) ισχύει:

ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ⋅Ο∆ = 2⋅2λ⋅2λ = 2λ2.

Το Μ ικανοποιεί την ιδιότητα του προβλήµατος. Άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε).

3. Έστω Ρ σηµείο του µικρού τόξου ώστε ∩

AB

ΡΒΡΑ =

νµ και σηµεία ∆, Ε του ΑΒ ώστε:

∆Β∆Α =

ΡΒΡΑ =

ΕΒΕΑ =

νµ (1)

Σύµφωνα µε την (1) αρκεί να χωρίσουµε τη

χορδή ΑΒ σε λόγο νµ , εσωτερικά και

εξωτερικά.

O

Β

Α

Ρ

∆

Ε

Τότε τα ∆, Ε είναι συζυγή αρµονικά των Α, Β και η ∆ Ε = 90°. Άρα το Ρ βρίσκεται και πάνω στον κύκλο διαµέτρου ∆Ε.

∧P

Κατασκευή: Γράφουµε κύκλο διαµέτρου ∆Ε όπου η τοµή µε τον (Ο, R)

ορίζει το σηµείο Ρ του (έλασσον) που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ. Ο

κύκλος διαµέτρου ∆Ε τέµνει το µεγάλο τόξο σ’ ένα σηµείο και δίνει δεύτερη λύση.

∩AB

∩AB

4. x2 = ( 2 α)2 + β2. Κατασκευάζω:

i. το 2 α, ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου µε κάθετες πλευρές α, α.

ii. το x ως υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου µε

κάθετες πλευρές β, 2 α. α

2α

β

α

( 2α

)+ β

2 2

x =

79

5. Πρέπει να είναι x + y = 6

xy = 8 = (2 2 )2 Πάνω σε ευθεία ε παίρνουµε τµήµα ΑΒ = 6. Με διάµετρο το ΑΒ

γράφουµε ηµικύκλιο (Ο, 2

AB ). Α Β

Γ

ε

∆

Ο

Ε

Ζ

Από το Α φέρουµε εφαπτοµένη στο ηµικύκλιο και σ’ αυτήν παίρνουµε

τµήµα ΑΓ = 2 2 . Από το Γ φέρουµε παράλληλη προς την ΑΒ που τέµνει το ηµικύκλιο σε δύο σηµεία ∆, Ε. Η κάθετος από το ∆ προς την ΑΒ τέµνει αυτήν σε σηµείο Ζ, που τη χωρίζει σε δύο τµήµατα ΑΖ, ΖΒ. Αυτά είναι τα ζητούµενα τµήµατα x, y. Πράγµατι ΑΖ + ΖΒ = 6. Επίσης εάν φέρουµε τις Α∆, ∆Β, στο ορθογώνιο τρίγωνο Α∆Β ισχύει:

∆Ζ2 = ΑΖ⋅ΖΒ ή (2 2 )2 = xy Άρα ΑΖ = x, ΖΒ = y. Παρατήρηση: Στο συγκεκριµένο πρόβληµα υπάρχουν δύο λύσεις, αφού

2 2 < 3 και άρα η παράλληλη από το Γ προς την ΑΒ τέµνει το ηµικύκλιο σε δύο σηµεία.

6. Έστω Μ σηµείο της ε ώστε

ΜΒΜΑ =

νµ και ∆, Ε σηµεία του ΑΒ

ώστε ∆Β∆Α =

ΕΒΕΑ =

ΜΒΜΑ =

νµ (1).

Τα ∆, Ε είναι τα συζυγή αρµονικά των Α, Β, είναι σταθερά και η

∆ Ε = 90°. ∧

MA

B

∆

EΜ

ε

Άρα το σηµείο Μ βρίσκεται και πάνω στον κύκλο διαµέτρου ∆Ε.

80

Κατασκευή: Προσδιορίζουµε τα ∆, Ε ώστε να είναι συζυγή αρµονικά των Α, Β σύµφωνα µε την (1). Γράφουµε κύκλο διαµέτρου ∆Ε. Οι τοµές του κύκλου αυτού µε την ε ορίζουν τα ζητούµενα σηµεία Μ. Παρατήρηση: Για να έχει λύση το πρόβληµα πρέπει η απόσταση του µέσου

του ∆Ε από την ε να είναι µεγαλύτερη ή ίση µε 2∆E (δύο λύσεις ή µία λύση

αντίστοιχα).

7. ΜΑ2 + ΜΒ2 = 2ΜΟ2 + 2

ΑΒ2

(θεώρηµα

διαµέσων στο Α Β, ΑΒ σταθερό). Για να είναι το ΜΑ

∆M2 + ΜΒ2 ελάχιστο θα

πρέπει να είναι ελάχιστο το ΜΟ, το οποίο είναι όταν ΟΜ ⊥ (ε) (ΟΜ ≤ ΟΜ΄), Μ΄ τυχαίο σηµείο της (ε).

A

B

Ο

Με Μ

81

Κεφάλαιο 10: ΕΜΒΑ∆Α ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ


1. * Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα εµβαδά, τότε τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.

Σ Λ

2. * Αν ένα τρίγωνο χωρίζεται από µια διχοτόµο του σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα, τότε είναι ισοσκελές.

Σ Λ

3. * Αν ένα τρίγωνο χωρίζεται από ένα ύψος του σε δύο ισεµβαδικά τρίγωνα, τότε είναι ισοσκελές.

Σ Λ

4. * Ένα τρίγωνο χωρίζεται από µία διάµεσό του σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα.

Σ Λ

5. * ∆ύο ισοδύναµα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. Σ Λ

6. * Ο τύπος του Ήρωνα Ε = ) γ- (τ β) - (τ α) - (τ τ ισχύει µόνο

σε ορθογώνια τρίγωνα.

Σ Λ

7. * Ο τύπος Ε = 2δ . δ 21 όπου δ1, δ2 οι διαγώνιοι ενός

τετραπλεύρου ισχύει σε κάθε τετράπλευρο µε κάθετες διαγώνιους.

Σ Λ

8. * ∆ύο τρίγωνα όµοια και ισεµβαδικά είναι ίσα. Σ Λ 9. * ∆ύο τετράγωνα τα οποία έχουν ίσα εµβαδά είναι ίσα. Σ Λ

10. * Ο λόγος των εµβαδών δύο ισοπλεύρων τριγώνων είναι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου των υψών τους.

Σ Λ

11. * Αν οι γωνίες Α και ∆ των τριγώνων ΑΒΓ και ∆ΕΖ είναι

συµπληρωµατικές, τότε )()(

∆ΕΖΑΒΓ =

Ζ∆ΕΓΑΒ

.∆

.Α .

Σ Λ

12. * Σε τετράπλευρο ΑΒΓ∆, αν Μ είναι το µέσο της διαγωνίου Β∆, τότε τα σχήµατα ΑΜΓ∆ και ΑΜΓΒ είναι ισοδύναµα.

Σ Λ

13. * Αν οι πλευρές τετραγώνου αυξηθούν κατά 4 cm η καθεµία, τότε το εµβαδόν του αυξάνεται κατά 16 cm2.

Σ Λ

82

14. * Αν η πλευρά τετραγώνου τριπλασιαστεί, τότε το εµβαδόν

του 9-πλασιάζεται.

Σ Λ 15. * Τετράγωνο πλευράς α είναι ισοδύναµο µε ισόπλευρο

τρίγωνο πλευράς ίσης µε τη διαγώνιο του τετραγώνου.

Σ Λ 16. * Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε διαστάσεις α, β είναι

ισοδύναµο µε τετράγωνο που έχει πλευρά ίση µε τη διαγώνιο του ορθογωνίου παραλληλογράµµου.

Σ Λ 17. * Ρόµβος µε διαγωνίους δ1, δ2 είναι ισοδύναµος µε ορθογώνιο

τρίγωνο µε κάθετες πλευρές τις διαγώνιες δ1, δ2 του ρόµβου.

Σ Λ 18. * Ρόµβος µε διαγώνιες δ1, δ2 είναι ισοδύναµος µε ορθογώνιο

παραλληλόγραµµο µε διαστάσεις δ1, δ2.

Σ Λ 19. * Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 2α είναι ισοδύναµο µε

τετράγωνο πλευράς α.

Σ Λ 20. * Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α είναι ισοδύναµο µε

ρόµβο πλευράς α και οξείας γωνίας 60°.

Σ Λ 21. * Αν οι γωνίες Α και ∆ των τριγώνων ΑΒΓ και ∆ΕΖ είναι

παραπληρωµατικές, τότε )()(

∆ΕΖΑΒΓ =

Ζ∆ΕΓΑΒ

.∆

.Α .

Σ Λ

22. * Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι όµοια µε λόγο

οµοιότητας λ, τότε 2

)(ΑΒΑΒΓ = 2

)(ΚΛΚΛΜ = λ2, όπου ΑΒ και ΚΛ

οµόλογες πλευρές τους.

Σ Λ

23. * Το εµβαδό ενός τετραγώνου δίνεται από τον τύπο 21 δ2,

όπου δ η διαγώνιός του.

Σ Λ

24. * Η ευθεία που συνδέει τα µέσα των δύο βάσεων τραπεζίου το διαιρεί σε δύο ισοδύναµα τραπέζια.

Σ Λ

83

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * ∆ύο τρίγωνα, τα οποία έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία και ίσα

εµβαδά, έχουν αντίστοιχα ίσα Α. όλα τα ύψη τους. Β. όλες τις διαµέσους τους. Γ. τις διαµέσους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. ∆. τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. Ε. τις διχοτόµους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές.

2. * Ένα ορθογώνιο παραλληλό-γραµµο ΕΖΗΘ και ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουν ίσα εµβαδά και το ύψος Α∆ του τριγώνου είναι ίσο µε την πλευρά ΕΖ. Από τις παρακάτω σχέσεις σωστή είναι η Α. ΒΓ = ΕΘ. Β. Α∆ = ΕΘ. Γ. ΕΘ = 2ΒΓ.

∆. ΕΘ = ΑΓ. Ε. ΗΖ = 2

BΓ .

3. * Αν ο λόγος των περιµέτρων δύο όµοιων πολυγώνων είναι 31 , τότε ο

λόγος των εµβαδών είναι

Α. 31 . Β.

91 . Γ.

61 . ∆.

271 . Ε.

31 .

84

4. * Ο τύπος Ε = 2.δδ 21 (δ1, δ2 οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου) εκφράζει το

εµβαδό Α. ενός τετραπλεύρου µε δύο από τις πλευρές του ίσες. Β. ενός τετραπλεύρου µε τις πλευρές του κάθετες ανά δύο. Γ. ενός τετραπλεύρου µε κάθετες διαγώνιους. ∆. ενός ορθογωνίου µε διαγώνιες που έχουν σχέση δ1 = 2δ2. Ε. ενός ισοσκελούς τραπεζίου.

5. * Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς γ το εµβαδόν του ισούται µε

Α. γ2

43 . Β. γ

4υ . Γ.

2γ υ2. ∆. γ2

163 . Ε. γ2

43 .

6. * Αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ, Α΄ΒΓ

συµβαίνει ΑΑ΄ // ΒΓ τότε Α

Β Γ

Α′

Α. (ΑΒΓ) = (Α΄ΒΓ). Β. τρίγωνο ΑΒΓ = τρίγωνο Α΄ΒΓ. Γ. γωνία Α΄ = Α. ∆. γωνία Α΄ = 90° - Α. Ε. τρίγωνο ΑΒΓ ≈ τρίγωνο Α΄ΒΓ.

7. * Η διάµεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα

Α. µόνο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Β. µόνο όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Γ. µόνο όταν το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο. ∆. πάντα. Ε. µόνο όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

85

8. * Σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α1Β1Γ1 ο τύπος )ΓΒ(Α

)(

111

ΑΒΓ = 1111 Γ.ΑΒΑ

.ΑΓΑΒ ισχύει

όταν Α. γωνία Γ = Γ1. Β. γωνία Β = Β1 . Γ. γωνία Α = 180° - Β1 - Γ1. ∆. γωνία Α = 90° + Α1. Ε. γωνία Α = Α1 ή γωνία (Α + Α1) = 180°.

9. * Το ύψος Α∆ ενός τριγώνου ΑΒΓ το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα

όταν Α. γωνία Α = 90°. Β. γωνία Α = Β. Γ. γωνία Α = 60° = Β. ∆. ΒΓ = ΑΓ. Ε. ΒΓ = ΑΒ.

10. * Ένα τραπέζιο µε βάσεις β1, β2 και ύψος υ είναι ισοδύναµο µε ένα

ορθογώνιο του οποίου οι διαστάσεις είναι

Α. β1 + β2 και υ. Β. 2β β 21 + και

2υ . Γ. β1 + υ και

2β 2 .

∆. 4β β 21 + και 2υ. Ε. 2υ και

2β β 21 + .

11. * Ο τύπος Ε = ) γ- (τ β) - (τ α) - (τ τ δίνει το εµβαδόν ενός τριγώνου µε

πλευρές α, β, γ αν

Α. τ = α + β + γ. Β. 2α = 2 (τ - β). Γ. α = 2γ β + .

∆. τ = 2α +

2β +

2γ . Ε. τ = αβηµΓ.

86

12. * Αν Ε1, Ε2 τα εµβαδά δύο οµοίων πολυγώνων και λ ο λόγος οµοιότητάς τους, τότε ισχύει

Α. λ2 = Ε1.Ε2 . Β. λ2 = 2

1

ΕΕ

. Γ. Ε1λ = . 22Ε

∆. λ = 2

2

1

ΕΕ

. Ε. Ε1.Ε2 = λ.

13. * Αν ΑΒΓ∆ τραπέζιο και Σ το σηµείο τοµής

των διαγωνίων του, τότε ισχύει

Α. (ΣΑ∆) = (ΣΒΓ). Β. (ΣΑΒ) = (Σ∆Γ). Γ. (ΣΒΓ) = (ΣΑ∆) + (Σ∆Γ). ∆. (ΑΒΓ) = (Α∆Γ). Ε. (ΣΑ∆) = 2 (ΣΒΓ).

14. * Το εµβαδόν ισόπλευρου τριγώνου είναι 4 3 cm2. Η κάθε πλευρά του

είναι

Α. 4 3 cm. Β. 8 3 cm. Γ. 4 4 cm. 3

∆. 4 cm. Ε. 3

12 cm.

15. * Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ ισούται µε

Α. 21 αγηµΑ. Β.

21 αβσυνΓ. Γ.

21 βγσυν (90° - Α).

∆. ) γ (τ β) (τ α) (τ τ +++ . Ε. 21 αγσυνΒ.

87

16. * Το εµβαδόν τετραγώνου µε διαγώνιο δ είναι ίσο µε

Α. 21 δ2. Β.

4δ2

. Γ. 2δ2. ∆. δ 2 . Ε. 2

2δ .

17. * Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνία Α = 90°) το εµβαδόν του είναι ίσο µε

Α. 21 αβηµΑ. Β.

21 βγ. Γ.

21 αγηµΑ.

∆. 21 βγσυνΑ. Ε.

21 αβγ.

18. * Αν ένα τετράπλευρο έχει κάθετες τις διαγώνιές του δ1, δ2, τότε το εµβαδόν

του ισούται µε

Α. 2δ δ 21 + . Β.

2.δδ 21 . Γ.

4.δδ 21 . ∆. . Ε. δ2

221 .δδ 1.δ2.

88


1. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε το εµβαδό του στη στήλη

Β. στήλη Α στήλη Β

1.

2.

3.

Α) 3α2 3

Β) 80 Γ) 60 ∆) 96

Ε) 9α2 3

89

2. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε το εµβαδόν του στη στήλη Β.

στήλη Α στήλη Β 1.

2.

3.

Α) 12,5

Β) 25

Γ) 3 108

∆) 12108

Ε) 12

90

3. * Οι ισότητες στη στήλη Α εκφράζουν εµβαδά και περιέχουν στοιχεία του διπλανού σχήµατος. Οι προτάσεις στη στήλη Β προσδιορίζουν τα στοιχεία του διπλανού σχήµατος, όπως αυτά χρησιµοποιούνται στις ισότητες της στήλης Α. Να αντιστοιχίσετε τις ισότητες της στήλης Α µε τις προτάσεις της στήλης Β.


1. (∆ΑΓ) = 2

∆Κ.ΑΓ

2. (ΑΒΓ∆) = 2

ΑΓ.∆Β

3. ΕΖ.ΖΗ = (ΕΖΗΘ)

4. (Α∆Β) = 2

∆Β.ΑΚ

Α) ΑΓ, ∆Β διαγώνιοι του ΑΒΓ∆ Β) ΕΖ ύψος του ΕΖΗΘ Γ) ∆Β βάση του τριγώνου Α∆Β ∆) ∆Κ ύψος του τριγώνου Α∆Γ Ε) ΑΓ βάση του τριγώνου ΑΒΓ

ΣΤ) ∆Β βάση του τριγώνου ∆ΓΒ

91

4. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε έναν τύπο της στήλης Β ο οποίος εκφράζει το εµβαδόν του.


1.

2.

3.

4.

Α) Ε = 2

2∆Α

Β) Ε = Α∆.ΒΓ Γ) Ε = ΑΒ.ΑΕ ∆) Ε = Α∆.∆Γ

Ε) Ε = 2

2ΑΓ

ΣΤ) Ε = 2.∆ΒΑΓ

92

5. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε έναν τύπο της στήλης Β ο οποίος εκφράζει το εµβαδόν του.


1.

Α Β

Γ

30°

2.

3.

4.

Α) 41 ΑΓ.ΒΓ

Β) ΑΒ 43

Γ) 2.ΑΒΑΓ

∆) 21 ΑΒ.ΒΓ

23

Ε) 21 ΑΓ.ΒΓ

22

ΣΤ) 4

32ΑΒ

93

6. * Στη στήλη Α υπάρχουν ευθύγραµµα σχήµατα. Στη στήλη Β υπάρχουν εµβαδά. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήµα της στήλης Α µε το εµβαδόν του στη στήλη Β.

στήλη Α στήλη Β 1.

2.

3.

4.

5.

Α) 8α2 Β) 7α2

Γ) 6α2 ∆) 4α2 Ε) 3α2

ΣΤ) 2α2 Ζ) α2

Η) 2

3α 2

94

Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. * Το εµβαδόν ενός τραπεζίου ισούται µε το γινόµενο της διαµέσου των µη

παράλληλων πλευρών επί ……………… . 2. * Αν το ένα ύψος ενός παραλληλογράµµου είναι διπλάσιο από το άλλο του

ύψος, τότε η µία πλευρά που αντιστοιχεί σ’ αυτό είναι ……………… .

3. * Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει (ΑΒΓ) = ) γ- (τ β) - (τ α) - (τ τ όπου

τ = ……………… .

4. * Αν το εµβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι 2αβ (όπου α, β πλευρές), τότε η

µεγαλύτερη γωνία του είναι η ……………… και είναι ίση µε …………… . 5. * Αν δ1, δ2 είναι οι διαγώνιοι ρόµβου, το εµβαδό του ισούται µε ………… . 6. * Αν ένας ρόµβος πλευράς α µε διαγώνιες δ1, δ2 είναι ισοδύναµος µε ένα

ορθογώνιο, τότε οι πλευρές του ορθογωνίου είναι οι ……………… ή οι ……………… .

7. * Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι 30°. Το εµβαδόν του συναρτήσει των

πλευρών του α, γ είναι ……………… .

95

8. * Υπολογίστε και συµπληρώστε στη στήλη Β τα εµβαδά των σχηµάτων που βρίσκονται στη στήλη Α.


Ε = …………

Ε = …………

Ε = …………

96

9. * Υπολογίστε και συµπληρώστε στη στήλη Β τα εµβαδά των τριγώνων των οποίων τα στοιχεία βρίσκονται στη στήλη Α.

στήλη Α στοιχεία τριγώνου ΑΒΓ

στήλη Β εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ

α = 2, γ = 3, Β = 60°

Ε = …………

α = 3, β = 3, γ = 4

Ε = …………

α = β = γ, υα = 5 3

Ε = …………

α = β = γ = 4

Ε = …………

97

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ∆, Ε, Ζ τα

µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) (∆ΕΖ) = (ΖΓΕ)

β) (∆ΕΖ) = 41 (ΑΒΓ).

2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος

τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ ισούται µε το γινόµενο της µιας διαγωνίου του ΑΓ επί το ηµιάθροισµα των αποστάσεων ∆Ε, ΖΒ των δύο άλλων κορυφών από τη διαγώνιο αυτή.

3. ** Όταν οι διαγώνιες ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓ∆

σχηµατίζουν γωνία Ο = 30°, να δείξετε ότι ισχύει:

α) (ΑΟ∆) = 41 Ο∆.ΟΑ

β) (ΑΒΓ∆) = 41 ΑΓ.∆Β.

4. ** Από ένα σηµείο Ε της διαγωνίου Β∆

παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ φέρνουµε παράλληλες προς τις πλευρές του. Να δείξετε ότι τα παραλληλόγραµµα που βρίσκονται εκατέρωθεν της Β∆ είναι ισοδύναµα.

98

5. ** Από τις κορυφές ενός τετραπλεύρου ΑΒΓ∆

φέρνουµε παράλληλες προς τις διαγωνίους του. Να δείξετε ότι το περιγεγραµµένο στο τετράπλευρο παραλληλόγραµµο ΗΖΕΘ έχει εµβαδό διπλάσιο από το εµβαδό του τετραπλεύρου.

6. ** Να δείξετε ότι σε ρόµβο, του οποίου το εµβαδόν είναι ίσο µε το

ηµιγινόµενο µιας διαγωνίου επί την πλευρά του, µια γωνία του είναι 60°. 7. ** Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου το

εµβαδόν ισούται µε 21 α.µα, όπου µα η διάµεσος από

την κορυφή Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

Α

Β ΓΜ

µα

8. ** Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ, το εµβαδόν του

οποίου ισούται µε 21 α.δα, όπου δα η διχοτόµος της

γωνίας Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

9. ** Να δείξετε ότι αν ένα τετράγωνο πλευράς α και ένα ισόπλευρο τρίγωνο

πλευράς β έχουν την ίδια περίµετρο, τότε το εµβαδόν του τετραγώνου

ισούται µε 16β9 2

.

99

10. ** ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και από το µέσο Κ της διαγωνίου Β∆ φέρνουµε τυχαία ευθεία ΕΖ που τέµνει τις ΑΒ και Γ∆ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι (ΑΕΖ∆) = (ΒΓΖΕ).

11. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από ένα σηµείο Ο

εσωτερικό του ΑΒΓ φέρνουµε κάθετες στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και πάνω σ’ αυτές παίρνουµε τµήµατα Ο∆ = ΑΒ, ΟΕ = ΒΓ, ΟΖ = ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ισχύει: α) (∆ΟΕ) = (ΑΒΓ) και β) (∆ΕΖ) = 3(ΑΒΓ).

12. ** Ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆

το εµβαδόν του είναι ίσο µε 4

2ΑΓ , όπου ΑΓ η

µία διαγώνιός του. ∆είξτε ότι η οξεία γωνία ΑΟ∆ των διαγωνίων του είναι 30°.

Α Β

Γ∆

30°Ο

13. ** Το εµβαδόν ενός τετραγώνου είναι 256 cm2. Αν ελαττώσουµε την πλευρά

του κατά 10 cm, κατά πόσα cm2 ελαττώνεται το εµβαδόν του;

14. ** Τραπεζίου ΑΒΓ∆ οι µη παράλληλες πλευρές Α∆ και ΒΓ τέµνονται στο Κ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΑΓ και ΚΒ∆ είναι ισοδύναµα.

100

15. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Μ της

πλευράς ΒΓ, τέτοιο ώστε ΒΜ = 32 ΒΓ. Να

δείξετε ότι το εµβαδόν του ΑΒΜ είναι ίσο µε

τα 32 του εµβαδού του τριγώνου ΑΒΓ.

Α

ΒMΓ

16. ** Έστω ΑΒΓ ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α και ΚΛΜ τρίγωνο µε γωνία

∧K = 120°. Τότε να δείξετε ότι

)()(

ΑΒΓΚΛΜ = 2α

.ΛΜΚΛ .

17. ** Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ έχει βάσεις α

και 3α και ύψος ∆Ε = 2α και Κ, Λ είναι τα µέσα των διαγωνίων του. α) Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΚΛ. β) Να δείξετε ότι:

(ΑΚΛ) = (ΒΚΛ) = (ΓΚΛ) = (∆ΚΛ).

18. ** Αν η πλευρά ενός τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 m, το εµβαδόν του

αυξάνεται κατά 136 m2. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου αυτού. 19. ** Η περίµετρος ενός ρόµβου ΑΒΓ∆ είναι 48 cm και η απόσταση των δύο

απέναντι πλευρών του είναι 5 cm. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του ρόµβου. 20. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει γωνία Γ = 60°, β = 12 cm, α = 3 cm και είναι

ισοδύναµο µε ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογιστεί η πλευρά του ισοπλεύρου αυτού τριγώνου.

101

21. ** Σ’ ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ συνδέουµε την κορυφή Α µε τα µέσα Κ, Λ των πλευρών Γ∆ και ΒΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

(ΑΚΓΛ) = 21 (ΑΒΓ∆).

22. ** ∆ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ∆ µε διαστάσεις

ΒΓ = α και ΑΒ = β. Φέρνουµε την ΟΜ, όπου Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του και Μ το µέσο της πλευράς ∆Γ.

α) Να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ΟΜΒ συναρτήσει των α, β. β) ∆είξτε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜΓ είναι ισοδύναµα. γ) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του ΟΜΒ συναρτήσει των α, β.

23. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ και κύκλος (Κ, R) που έχει το κέντρο του στην πλευρά ΒΓ και εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Να δείξετε ότι: R (β + γ) = 2Ε.

24. ** Από την κορυφή Β τριγώνου ΑΒΓ φέρνουµε µια οποιαδήποτε ευθεία που να συναντά την προέκταση της ΓΑ, προς το µέρος του Α σε ένα σηµείο Β΄, καθώς και την ΓΓ΄//ΒΒ΄, που συναντά την προέκταση της ΒΑ στο Γ΄. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ΄Γ΄ είναι ισεµβαδικά.

102

25. ** Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε ένα σηµείο Κ έτσι ώστε να είναι γωνία ΑΚΒ = γωνία ΓΚΑ = 120° και ΚΑ = 2 cm, ΚΒ = 6 cm, ΚΓ = 10 cm. Να υπολογιστούν τα εµβαδά των τριγώνων: α) ΚΒΓ και β) ΑΒΓ.

Α

Β Γ

Κ

26. ** Αν το άθροισµα των διαγωνίων ενός ρόµβου είναι 14 cm και η περίµετρός του είναι 20 cm, να βρεθούν: α) το εµβαδόν του και β) το ύψος του ρόµβου από την κορυφή Α.

27. ** Ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ έχει µια γωνία του 5-πλάσια µιας άλλης

και την περίµετρό του 12-πλάσια µιας πλευράς. Αν το εµβαδόν του είναι 40 cm2, να υπολογισθούν: α) οι πλευρές του και β) τα ύψη του.

28. ** Προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως κατά τµήµατα Β∆ = ΒΑ, ΓΕ = ΓΒ και ΑΖ = ΑΓ. Να δείξετε ότι: α) (ΖΓΕ) = 2 (ΑΒΓ) και β) (∆ΕΖ) = 7 (ΑΒΓ).

A

B

Γ

∆

Ε

Ζ

103

29. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ που τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: (ΑΒΕ)2 = (ΑΒΓ) . (Α∆Ε).

30. ** Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°). Κατασκευάζουµε επί των τριών πλευρών και εκτός του τριγώνου τετράγωνα ΒΓ∆Ε, ΓΑΘΙ, ΑΒΚΛ. Αν γνωρίζουµε τις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α, να υπολογισθούν:

∧A

α) Τα εµβαδά (ΚΒΕ), (∆ΓΙ), (ΛΑΘ) και β) Το εµβαδόν του εξαγώνου ∆ΕΚΛΘΙ,

ΙΑ

Β Γ

Κ

Λ

Θ

∆Ε

31. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = γ, ΑΓ = β και γωνία Α = 30°. Επί των πλευρών ΑΒ και ΑΓ και έξω από το τρίγωνο κατασκευάζουµε τετράγωνα ΑΒ∆Ε, ΑΓΖΗ και φέρνουµε την ΕΗ.

30°

A

B Γ

βγ

∆

Ε Η

Ζ

α) ∆είξτε ότι τα τρίγωνα ΑΕΗ και ΑΒΓ είναι ισοδύναµα. β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του ΒΓΖΗΕ∆.

32. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ = υ, γωνία Β = 60° και γωνία Γ = 45°. Να υπολογίσετε συναρτήσει του υ: α) Τις πλευρές του τριγώνου β) Το εµβαδόν του γ) Τα ύψη προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ.

104

33. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ παίρνουµε αντίστοιχα τα

σηµεία ∆, Ε, Ζ έτσι ώστε: Α∆ = 21 ΑΒ,

ΒΕ = 31 ΒΓ, ΓΖ =

41 ΓΑ. Αν γνωρίζουµε

ότι (ΑΒΓ) = Ε, να υπολογίσετε:

α) Τα εµβαδά των τριγώνων ∆ΒΕ, ΕΖΓ, Α∆Ζ. β) Το εµβαδόν του τριγώνου ∆ΕΖ.

34. ** ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) µε ΑΒ = 6 cm και γωνία ΒΑΓ = 120°.

α) Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

β) Αν Ε σηµείο της ΑΓ, τέτοιο ώστε ΑΕ = 21 ΕΓ και Α∆ το ύψος του

τριγώνου ΑΒΓ, να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ∆ΕΓ.

35. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε β = 2γ, Α∆ µια διχοτόµος του και ΒΜ µια διάµεσός του. Να δείξετε ότι:

α) )()BM(

∆ΜΓ∆ =

21 β)

)()M(

ΑΒΓ∆Γ =

31 .

Γ

Α

γβ

Β ∆

Μ

36. ** Ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι περιγεγραµµένο περί τον κύκλο Ο. Να δείξετε ότι αληθεύει η σχέση: (ΟΑΒ) + (ΟΓ∆) = (ΟΑ∆) + (ΟΒΓ).

105

37. ** Σε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ παίρνουµε δύο τυχόντα σηµεία Ε και Θ επί των πλευρών ΑΒ και Γ∆ αντίστοιχα. Οι ευθείες ∆Ε και ΑΘ τέµνονται στο Ζ και οι ευθείες ΓΕ και ΒΘ τέµνονται στο Η. Να δείξετε ότι: α) (ΕΖΘ) = (ΑΖ∆) β) (ΕΗΘΖ) = (ΒΗΓ) + (Α∆Ζ).

38. ** Έστω τραπέζιο ΑΒΓ∆, υ το ύψος από το Α και ΗΘ η διάµεσός του. Φέρνουµε ευθύγραµµο τµήµα που διέρχεται από το µέσο Μ της ΗΘ και τέµνει τις ΑΒ, ∆Γ στα σηµεία Ζ, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) (ΑΖΕ∆) = ΗΜ.υ και β) (ΑΖΕ∆) = (ΖΒΓΕ).

// //

Α Ζ Β

Θ

ΓΕ

Μ

∆

Ηυ

39. ** Τραπεζίου ΑΒΓ∆ οι βάσεις είναι ΑΒ = α, Γ∆ = β και υ το ύψος του. Φέρνουµε τη διάµεσο ΕΖ που τέµνει τις διαγώνιες ΑΓ και Β∆ στα Θ και Η αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι:

α) (ΑΗΓ) = 4

υβ) - (α και

β) (ΑΒΖΕ) - (ΕΖΓ∆) = (ΑΗΓ).

40. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει α = 17 cm, β = 8 cm, γ = 15 cm.

α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

β) Αν Α∆ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογίσετε το λόγο )()B(

ΑΓ∆∆Α .

106

41. ** Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 90 cm2. Από ένα σηµείο Μ του ύψους του Α∆, που το

διαιρεί σε δύο τµήµατα ΑΜ, Μ∆ µε λόγο 12 ,

φέρνουµε παράλληλο προς τη ΒΓ που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΕΖ.

42. ** Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ προεκτείνουµε τις πλευρές του και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα Α∆΄ = Α∆, ΒΑ΄ = ΒΑ, ΓΒ΄ = ΓΒ, ∆Γ΄ = ∆Γ.

α) Να δείξετε ότι το Α΄Β΄Γ΄∆΄ είναι παραλληλόγραµµο β) Να εκφραστεί το εµβαδόν του Α΄Β΄Γ΄∆΄, συναρτήσει του εµβαδού Ε του

ΑΒΓ∆.

43. ** ∆ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και έστω Ο σηµείο της διαγωνίου του ΑΓ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑ∆ είναι ισοδύναµα.

44. ** ∆ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε βάσεις

ΑΒ και Γ∆ και ύψος ΓΖ. Να δείξετε ότι το εµβαδόν του τραπεζίου αυτού είναι διπλάσιο του εµβαδού του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΖ.

Α Ζ Β

Γ∆

107

45. ** Να υπολογιστούν οι πλευρές ενός ισοσκελούς τραπεζίου, αν γνωρίζουµε ότι η περίµετρός του είναι 60 m, το εµβαδόν του 160 m2 και το ύψος του 8 m.

46. ** ∆ίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΓ∆, που έχει βάσεις ΑΒ = 70 cm, Γ∆ = 20 cm και µη παράλληλες πλευρές ΒΓ = 40 cm και Α∆ = 30 cm. α) Να αποδειχθεί ότι οι ΒΓ και Α∆ είναι κάθετοι. β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓ∆.

47. ** Να δείξετε ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει:

µ α2 + + µ = 3Εµβ

2γ2 3

(µα, µβ, µγ οι τρεις διάµεσοι του τριγώνου και Ε το εµβαδόν του).

48. ** ∆είξτε ότι δύο τρίγωνα που έχουν κορυφή ένα τυχόν σηµείο της περιµέτρου ενός παραλληλογράµµου και βάσεις τις διαγώνιές του, έχουν σταθερό άθροισµα εµβαδών.

49. ** Να διαιρεθεί τετράγωνο πλευράς α = 6 cm σε τρία ισοδύναµα µέρη µε

ευθείες που διέρχονται από µια κορυφή του.

108

50. ** Παρατηρώντας τα 4 παρακάτω τρίγωνα, βρείτε τη σχέση που συνδέει µεταξύ τους τα εµβαδά Ε1, Ε2, Ε3 των αντίστοιχων τριγώνων. ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.

51. ** Μια οµάδα προσκόπων κατασκηνώνει

δίπλα σ’ ένα ποτάµι και θέλει να σχηµατίσει µια τριγωνική περίφραξη στην όχθη του ποταµού (βλ. διπλανό σχήµα). Η οµάδα έχει στη διάθεσή της δύο σχοινιά µήκους 30 m και 40 m και θέλει να περιφράξει το µεγαλύτερο δυνατό εµβαδόν. Πώς θα το καταφέρει: α) αν τα µήκη ΑΓ, ΓΒ της τριγωνικής περίφραξης είναι 40 m και 30 m

αντίστοιχα; β) αν το ΑΓ + ΓΒ = 70 m;

Σηµείωση: Θεωρήστε την όχθη ΑΒ περίπου ευθεία γραµµή.

109

52. ** Στο διπλανό σχήµα το ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο και Ε∆ = ΘΓ = ΗΒ = ΑΖ. α) Να βρείτε το εµβαδόν του ΑΒΓ∆

συναρτήσει των α, β. β) Τι σχήµα είναι το ΕΖΗΘ; γ) Να βρείτε τα εµβαδά των τριγώνων ΑΖΕ,

Ε∆Θ, ΘΓΗ, ΗΒΖ και του σχήµατος ΕΖΗΘ συναρτήσει των α, β.

δ) Χρησιµοποιώντας τις απαντήσεις των ερωτηµάτων (α), (γ), ποιο βασικό πολύ γνωστό γεωµετρικό θεώρηµα µπορείτε να αποδείξετε;

53. ** Τέσσερις αδελφοί κληρονόµησαν από

τον πατέρα τους διαµπερές τετραγωνικό οικόπεδο πλευράς 60 m. Για να πληρώσουν την Εφορία πούλησαν ένα τµήµα από αυτό σχήµατος τετραγώνου, πλευράς 30 m, µε πρόσοψη στον αγροτικό δρόµο. Το υπόλοιπο οικόπεδο το µοίρασαν µεταξύ τους τα αδέλφια σε 4 ισεµβαδικά οικόπεδα µε πρόσοψη στον Εθνικό δρόµο. α) Να βρείτε πόσα τετραγωνικά µέτρα πούλησαν για να πληρώσουν την

Εφορία. β) Να βρείτε πόσο είναι το εµβαδόν καθενός από τα 4 οικόπεδα που πήραν

οι αδελφοί. γ) Να σχεδιάσετε τα οικόπεδα που πήρε καθένας από τους τέσσερις

αδελφούς και να βρείτε την περίµετρό τους. δ) Αν το τετράγωνο που πουλήθηκε ήταν σε διαφορετική θέση, µπορούσε να

γίνει δικαιότερη η διαίρεση του υπόλοιπου οικοπέδου για τα τέσσερα αδέλφια; Παρατήρηση: Η ερώτηση (δ) να µην δοθεί σε διαγώνισµα, γιατί είναι θέµα που µπορούµε να διαπραγµατευθούµε µόνο στην τάξη.

110

111

54. ** Για να ρυµοτοµηθεί τετραγωνικό αγροτεµάχιο πλευράς 600 m, κατασκευάζεται στο κέντρο του τετραγωνική πλατεία πλευράς 300 m. Το υπόλοιπο αγροτεµάχιο χωρίζεται σε 8 ισεµβαδικά οικόπεδα. α) Σχεδιάστε τις διαγωνίους του τετραγωνικού αγροτεµαχίου και υπολογίστε

το µήκος τους. β) Τοποθετήστε στο σχήµα την τετραγωνική πλατεία και υπολογίστε το

εµβαδόν της. γ) Ολοκληρώστε το σχήµα σχεδιάζοντας τα 8 ζητούµενα ισεµβαδικά

οικόπεδα. Τι σχήµα έχουν αυτά; δ) Υπολογίστε για καθένα από τα 8 οικόπεδα:

i) το εµβαδόν του ii) την περίµετρό του. Παρατήρηση: Το παραπάνω πρόβληµα µπορούµε να το διαπραγµατευθούµε στην τάξη και µε την παρακάτω εκφώνηση: Πρόβληµα: Για να ρυµοτοµηθεί τετραγωνικό αγροτεµάχιο πλευράς 600 m, κατασκευάζεται στο κέντρο του τετραγωνική πλατεία πλευράς 300 m. Το υπόλοιπο αγροτεµάχιο να χωριστεί σε 8 ισεµβαδικά οικόπεδα.

55. ** ∆εδοµένο τρίγωνο ΑΒΓ να µετασχηµατιστεί σε ισοδύναµο ορθογώνιο. 56. ** ∆εδοµένο πεντάγωνο να µετασχηµατιστεί σε ισοδύναµο τρίγωνο. 57. ** ∆εδοµένο τρίγωνο ΑΒΓ να µετασχηµατιστεί σε ισοδύναµο ορθογώνιο

τρίγωνο. 58. ** Να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναµο µε δεδοµένο ορθογώνιο µε

διαστάσεις α = 3, β = 7.

ΣΧΕ∆ Ι Α ΚΡ Ι ΤΗΡ ΙΩΝ

ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ (Κ ε φ ά λ α ι ο 1 0 ο : Ε µ β α δ ά Πο λ υ γ ώ νω ν )






114


∆ιδακτική ενότητα: Εµβαδά Πολυγώνων

ΘΕΜΑ 1ο A. Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν οξυγωνίου τριγώνου

ΑΒΓ είναι ίσο µε το ηµιγινόµενο µιας πλευράς επί το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος.

B. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε: α) Την πλευρά ΒΓ. β) Την πλευρά ΑΓ. γ) Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

ΘΕΜΑ 2ο Τριγώνου ΑΒΓ τα ∆, Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών του. Να δειχθεί ότι: α) (∆ΕΖ) = (ΕΖΓ) β) (ΑΒΓ) = 4 (∆ΕΖ)

115



ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν τραπεζίου

ισούται µε Ε = 2β β 21 + .υ όπου β1, β2 οι

βάσεις του και υ το ύψος του.

Β. Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο να υπολογίσετε: α) Το ύψος του υ. β) Το εµβαδόν του.

ΘΕΜΑ 2ο Τετραγωνικός αγρός µε πλευρά 300 m χωρίζεται σε τρία ισεµβαδικά οικόπεδα, όπως στο διπλανό σχήµα. Να υπολογίσετε για κάθε οικόπεδο: A. α) Το εµβαδόν του.

β) Τις διαστάσεις του. Β. Στο διπλανό σχήµα τα ΑΒΖ, ΑΖΓΕ και

Α∆Ε είναι ισεµβαδικά. Υπολογίστε το x.

116



ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

ισούται µε το ηµιγινόµενο των κάθετων πλευρών του. Β. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε

συναρτήσει του α: α) Το εµβαδόν του. β) Την ΒΓ. γ) Το ύψος Α∆.

ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνεται ένα ορθογώνιο τραπέζιο. Να υπολογίσετε: A. Το εµβαδόν του. B. Την περίµετρό του. Γ. Αν η ∆Κ χωρίζει το τραπέζιο ΑΒΓ∆ σε

δύο ισοδύναµα σχήµατα ΑΒΚ∆ και ΚΓ∆, να υπολογίσετε τα µήκη ΒΚ και ΚΓ.

117



ΘΕΜΑ 1ο Α. Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος

παραλληλογράµµου είναι ίσο προς το γινόµενο µιας πλευράς του επί το αντίστοιχο προς αυτή ύψος.

Β. Στο διπλανό σχήµα έχουµε: (ΑΒΖΗ) = 20 cm2, (ΗΖΓ∆) = 30 cm2 και ΑΒ = 10 cm. i) Το µήκος του ΒΖ είναι

α) 4 cm. β) 2 cm. γ) 3 cm. δ) 1,5 cm. ε) 2

10 cm.

ii) Το µήκος του ΖΓ είναι

α) 2

30 cm. β) 12 cm. γ) 2 cm. δ) 3 cm. ε) 6 cm.

ΘΕΜΑ 2ο Όταν το οικόπεδο του διπλανού σχήµατος συµπεριελήφθη στο σχέδιο πόλης, οι δύο δρόµοι που χαράχθηκαν, απέκοψαν τέτοιο τµήµα της έκτασής του, ώστε ο λόγος του αρχικού εµβαδού του προς το εµβαδόν που

αποκόπηκε είναι 15 . Αν ΑΒ = 10 m και οι

γωνίες ∆ και Γ είναι ίσες µε 60°, να υπολογίσετε:

Α Β

ΓΖΕ∆

αα

α) Το µήκος του ∆Ε συναρτήσει του α. β) Την πλευρά α. γ) Το εµβαδόν που αποκόπηκε από τη χάραξη των δρόµων.

118

119

δ) Αν το οικόπεδο είχε πριν τη χάραξη των δρόµων αξία 3.000.000 δρχ., πόση πρέπει να είναι η αποζηµίωση του οικοπεδούχου από την απαλλοτρίωση αυτή;

Κεφάλαιο 10: ΕΜΒΑ∆Α ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

120


1. ∆, 2. Ε, 3. Β, 4. Γ, 5. ∆, 6. Α, 7. ∆, 8. Ε, 9. Γ, 10. ∆, 11. ∆, 12. Β, 13. Α, 14. ∆, 15. Γ, 16. Α, 17. Β, 18. Β.

Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Λ, 2. Σ, 3. Σ, 4. Σ, 5. Λ, 6. Λ, 7. Σ, 8. Σ, 9. Σ, 10. Σ, 11. Λ, 12. Σ, 13. Λ, 14. Σ, 15. Λ, 16. Λ, 17. Σ, 18. Λ, 19. Λ, 20. Λ, 21. Λ, 22. Σ, 23. Σ, 24. Σ. Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 Β 2. 1 Ε 2 Α 2 Α 3 ∆ 3 Γ 3. 1 ∆ 4. 1 ΣΤ 2 Α 2 ∆ 3 Β 3 Γ 4 Γ 4 Ε 5. 1 Α 6. 1 Ζ 2 ΣΤ 2 Ε 3 ∆ 3 Γ 4 Γ 4 Α 5 ∆ Ερωτήσεις συµπλήρωσης

121

1. Το ύψος του. 2. Το µισό της άλλης.

3. τ = 2

γ β α ++

4. H Γ και είναι ίση µε 90°. 5. Το ηµιγινόµενο των διαγωνίων του.

6. δ1, 22δ ή οι

21δ , δ2.

7. 4αγ

8. α) 24 β) 3

316 γ) 2

9α

9. α) 2

33 β) 2 5 γ) 25 3 δ) 4 3

122

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. α) Επειδή τα Ζ, ∆, Ε είναι µέσα των πλευρών

τριγώνου είναι Ζ∆ // ΓΕ και ∆Ε // ΖΓ. Άρα το τετράπλευρο Ζ∆ΕΓ είναι παραλληλόγραµµο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ισοδύναµα τρίγωνα. Άρα (∆ΕΖ) = (ΖΓΕ).

β) Έχουµε (∆ΕΖ) = (ΖΓΕ) από το παραλληλόγραµµο Ζ∆ΕΓ, (∆ΕΖ) = (∆ΕΒ) από το παραλληλόγραµµο Ζ∆ΒΕ και (∆ΕΖ) = (ΑΖ∆) από το παραλληλόγραµµο ΑΖΕ∆. Άρα (∆ΕΖ) = (∆ΕΒ) = (ΖΓΕ) = (ΑΖ∆). Εποµένως

(ΑΒΓ) = 4 (∆ΕΖ) ή (∆ΕΖ) = 41 (ΑΒΓ).

2. Θα δείξουµε ότι (ΑΒΓ∆) = ΑΓ 2ΒΖ ∆Ε + .

Πράγµατι είναι:

(Α∆Γ) = 2∆ΕΑΓ ⋅

(ΑΒΓ) = 2ΒΑΓ Ζ⋅

Εποµένως (Α∆Γ) + (ΑΒΓ) = 2∆ΕΑΓ ⋅ +

2ΒΑΓ Ζ⋅ ή

(ΑΒΓ∆) = 2

ΒΖΑΓ ∆Ε ⋅+⋅ΑΓ = 2

ΒΖ) (∆Ε ΑΓ +

(ΑΒΓ∆) = ΑΓ 2ΒΖ ∆Ε +

123

3. α) (ΑΟ∆) = 21 ΟΑ.Ο∆⋅ηµ30° =

21 ΟΑ.Ο∆⋅

21 =

41 ΟΑ.Ο∆

β) Έχουµε: (ΑΟ∆) = 41 ΟΑ⋅Ο∆

Όµοια έχουµε: (ΓΟΒ) = 41 ΟΓ⋅ΟΒ

(∆ΟΓ) = 41 Ο∆⋅ΟΓ

(ΑΟΒ) = 41 ΟΑ⋅ΟΒ

Άρα: (ΑΟ∆) + (ΓΟΒ) + (∆ΟΓ) + (ΑΟΒ) =

41

(ΟΑ⋅Ο∆ + ΟΓ⋅ΟΒ + Ο∆⋅ΟΓ + ΟΑ⋅ΟΒ) =

41

[ΟΑ (Ο∆ + ΟΒ) + ΟΓ (ΟΒ + Ο∆)] =

41

(ΟΑ⋅Β∆ + ΟΓ⋅Β∆) = 41

[(Β∆ (ΟΑ + ΟΓ)] = 41

Β∆⋅ΑΓ

(ΑΒΓ∆) = (ΑΟ∆) + (ΓΟ∆) + (ΓΟΒ) + (ΑΟΒ) = 41

ΑΓ⋅Β∆

4. Είναι (ΑΒ∆) = (ΒΓ∆) (1) από το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ (ΚΕ∆) = (ΕΗ∆) (2) από το παραλληλόγραµµο ΚΕΗ∆ (ΒΖΕ) = (ΒΛΕ) (3) από το παραλληλόγραµµο ΖΒΛΕ

Ζ

Κ Λ

Η

Αφαιρούµε τις ισότητες (2) και (3) από την (1) και έχουµε: (ΑΒ∆) - (ΚΕ∆) - (ΒΖΕ) = (ΒΓ∆) - (ΕΗ∆) - (ΒΛΕ) (ΑΚΕΖ) = (ΕΛΓΗ) Από ίσα αφαιρέσαµε ίσα και έµειναν ίσα.

124

5. Θα δείξουµε ότι (ΗΖΕΘ) = 2 (ΑΒΓ∆). Πράγµατι, από τα σχηµατιζόµενα παραλληλόγραµµα ΑΕΒΟ, ΑΟ∆Θ, ∆ΟΓΗ και ΓΖΒΟ έχουµε ότι (ΑΘ∆) = (ΑΟ∆), (ΑΕΒ) = (ΑΟΒ), (∆ΟΓ) = (∆ΗΓ) και (ΓΟΒ) = (ΒΖΓ). Εποµένως: (ΗΖΕΘ) = (ΑΘ∆) + (ΑΟ∆) + (ΑΕΒ) + (ΑΟΒ) + (∆ΟΓ) + (∆ΗΓ) + (ΓΟΒ) + (ΒΖΓ) = 2 (ΑΟ∆) + 2 (ΑΟΒ) + 2 (∆ΟΓ) + 2 (ΓΟΒ) = 2 [(ΑΟ∆) + (ΑΟΒ) + (∆ΟΓ) + (ΓΟΒ)] = 2 (ΑΒΓ∆)

Ο

6. Από την εκφώνηση έχουµε ότι Ε = 2αδ1 . Όµως ξέρουµε ότι το εµβαδό του

ρόµβου δίνεται από τη σχέση Ε = 2

21δδ . Άρα 2αδ1 =

221δδ ή ή α = δ2.

Επειδή λοιπόν καταλήξαµε ότι η µία διαγώνιος του ρόµβου θα ισούται µε την πλευρά του και επειδή οι διαδοχικές πλευρές του ρόµβου είναι ίσες, η διαγώνιος αυτή λοιπόν θα χωρίζει το ρόµβο σε δύο ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Άρα υποχρεωτικά τότε η µία γωνία του ρόµβου θα είναι 60°.

7. Ξέρουµε ότι το εµβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε = 21α υα. Όµως

σύµφωνα µε την εκφώνηση είναι Ε = 21

α⋅µα. Άρα 21α⋅µα =

21

α⋅υα ή µα = υα.

Για να συµβαίνει όµως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διάµεσος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται µε το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

125

8. Ξέρουµε ότι το εµβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε = 21α⋅υα. Όµως,

σύµφωνα µε την εκφώνηση, είναι Ε = 21

α⋅δα. Άρα 21α⋅δα =

21α⋅υα ή δα = υα.

Για να συµβαίνει όµως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διχοτόµος της γωνίας που αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται µε το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο.

9. Η περίµετρος τετραγώνου πλευράς α είναι 4α και το εµβαδό του είναι α2. Η

περίµετρος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς β είναι 3β. Σύµφωνα µε την

εκφώνηση έχουµε ότι 4α = 3β ή α =4

3β. Εποµένως το εµβαδό του

τετραγώνου µε πλευρά α =4

3β θα είναι Ε = α2 =

2

43β

=

169β 2

.

10. Παρατηρούµε ότι τα τρίγωνα ΚΕΒ

και Κ∆Ζ είναι ίσα γιατί ∧Κ 1 =

∧Κ 2 ως

κατακορυφή, ∧∆ 1 =

∧B 1 ως εντός

εναλλάξ και ΚΒ = Κ∆. Άρα ΕΒ = ∆Ζ.

Ζ

EΑ Β

∆ Γ

K

1

12

1

Όµως επειδή ΑΒ = ∆Γ θα έχουµε ότι ΑΒ - ΕΒ = Γ∆ - ∆Ζ ή ΑΕ = ΖΓ. Τα τραπέζια λοιπόν ΑΕΖ∆ και ΕΒΓΖ είναι ισοδύναµα, αφού έχουν ίσα ύψη και ίσο ηµιάθροισµα βάσεων.

∆ηλαδή: 2∆Ζ AΕ + υ =

2 ΖΓ ΕΒ + υ ή (ΑΕΖ∆) = (ΒΓΖΕ).

126

11. α) (∆ΟΕ) = 21 Ο∆⋅ΟΕ⋅ηµΕ ∆ =

∧O

21 ΑΒ⋅ΒΓ⋅ηµΒ = (ΑΒΓ)

ηµΕ ∆ = ηµΒ γιατί το τετράπλευρο ΟΗΒΙ

είναι εγγράψιµο, αφού έχει = H = 90°.

∧O

∧I

∧

Η

Ι

β) Όµοια βρίσκουµε ότι (ΖΟ∆) = (ΑΒΓ) και (ΖΟΕ) = (ΑΒΓ). Άρα (∆ΟΕ) + (ΖΟΕ) + (ΖΟ∆) = 3 (ΑΒΓ).

12. Είναι (ΑΒΓ∆) = 4

ΑΓ2

.

Όµως (ΑΟ∆) = 21

ΟΑ⋅Ο∆⋅ηµΟ1 και

Α Β

Γ∆

30° Ο1 2

(ΑΟΒ) = 21

ΟΑ⋅ΟΒ⋅ηµΟ2

Τα τρίγωνα αυτά είναι ισεµβαδικά γιατί ∧O 1 +

∧O 2 = 180°.

Άρα (ΑΒΓ∆) = 4 (ΑΟ∆)

4 (ΑΟ∆) = 4

ΑΓ2

ή 4 21⋅

2ΑΓ

⋅2ΑΓ ηµΟ1 =

4ΑΓ2

ή

2ΑΓ2

⋅ ηµΟ1 = 4

ΑΓ2

ή ηµΟ1 = 21

ή ∧O 1 = 30°

13. Το εµβαδό τετραγώνου πλευράς α είναι Ε = α2. Εδώ είναι α2 = 256 cm2 ή α = 16 cm. Αν ελαττώσουµε την πλευρά α κατά 10 cm, τότε γίνεται 6 cm η πλευρά και το εµβαδό τότε του τετραγώνου γίνεται Ε΄ = 36 cm2. Άρα ∆Ε = Ε - Ε΄ = 256 - 36 = 220 cm2.

127

14. Είναι: (ΓΑΒ) = 2υAB ⋅ , (∆ΑΒ) =

2υAB ⋅ .

Άρα (ΓΑΒ) = (∆ΑΒ) (ΚΑΓ) = (ΚΑΒ) + (ΓΑΒ) (Κ∆Β) = (ΚΑΒ) + (∆ΑΒ)

Άρα (ΚΑΓ) = (Κ∆Β).

15. Θα δείξουµε ότι (ΑΒΜ) = 32 (ΑΒΓ).

Πράγµατι: (ΑΒΜ) = 21 ΜΒ⋅υ =

21⋅

32 ΒΓ⋅υ =

32 (

21 ΒΓ⋅υ) =

32 (ΑΒΓ)

Α

ΒMΓ

16. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και το τρίγωνο ΚΛΜ µε γωνία Κ = 120° έχουν

γωνίες παραπληρωµατικές.

Εποµένως (ΑΒΓ)(ΚΛΜ)

= AΓAB

ΚΛ·ΛΜ⋅

= αα

ΚΛ·ΛΜ⋅

= 2αΚΛ·ΛΜ

17. α) Είναι γνωστό ότι:

ΚΛ = 2∆Γ - AB =

2α - 3α = α

Άρα (ΑΚΛ) = 2

ΚΛ·ΚΕ = 2αα ⋅ =

2α 2

ΑΕ = α, άρα ∆ΓΕΑ παραλληλόγραµµο,

άρα ΚΕ = 2

2α = α

128

β) Από το τραπέζιο ΚΛΒΑ προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΒΚΛ έχουν κοινή βάση ΚΛ και κοινό ύψος ΚΕ = α. Άρα (ΑΚΛ) = (ΒΚΛ). Όµοια, από το τραπέζιο ΚΛΓ∆ έχουµε ότι (ΓΚΛ) = (∆ΚΛ), αφού έχουν κοινή βάση Γ∆ = α και κοινό ύψος Κ∆ = α.

18. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε το εµβαδό του είναι α2. Αν η πλευρά του τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 m, τότε: Ε΄ = (α + 4)2 ή Ε + 136 = (α + 4)2 ή α2 + 136 = α2 + 8α + 16 ή 8α = 136 - 16 ή 8α = 120 ή α = 15 m

19. Επειδή η περίµετρος του ρόµβου είναι 48 cm τότε 48 = 4α, όπου α είναι η

πλευρά του ρόµβου. Άρα α = 12 cm. Όµως ο ρόµβος είναι παραλληλόγραµµο και αφού η πλευρά του είναι α και το ύψος του είναι 5 cm, τότε το εµβαδό του είναι 12 cm ⋅ 5 cm = 60 cm2.

20. Έστω Ε το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ.

Τότε Ε = 21 α⋅βηµΓ =

21 12⋅3⋅ηµ60° =

21 36

23 = 9 3 cm2.

Εποµένως το εµβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου θα είναι:

43α2

= 9 3 ή α2 = 36 ή α = 6 cm.

129

21. Είναι:

(ΓΑ∆) = 21 (ΑΒΓ∆) και (ΑΚΓ) =

21 (ΓΑ∆) =

21

21 (ΑΒΓ∆) =

41 (ΑΒΓ∆).

Όµοια (ΑΒΓ) = 21 (ΑΒΓ∆) και (ΑΛΓ) =

21 (ΑΒΓ) =

21

21 (ΑΒΓ∆) =

41 (ΑΒΓ∆)

Άρα (ΑΚΓΛ) = (ΑΚΓ) + (ΑΛΓ) = 41 (ΑΒΓ∆) +

41 (ΑΒΓ∆) =

21 (ΑΒΓ∆)

22. α) Έστω ΒΓ = β και ΑΒ = α.

Είναι ΟΜ = 2β

ΟΒ = 2

B∆ = 2β α 22 +

Λ

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΜ έχουµε:

ΒΜ2 = ΒΓ2 + ΓΜ2 ή ΒΜ2 = β2 + 4α2

= 4α 4β 22 +

ΒΜ = 21 22 α 4β +

β) (ΟΒΜ) = 2ΒΛΟΜ ⋅ =

22α

2β⋅

= 8αβ (1)

(ΟΓΜ) = 2ΜΓΟΜ ⋅ =

22α

2β⋅

= 8αβ . Άρα (ΟΒΜ) = (ΟΜΓ).

γ) Είναι η σχέση (1).

130

23. Έστω Ε το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε: (ΑΒΓ) = (ΑΚΒ) + (ΑΚΓ)

Ε = 2γR +

2βR (ΑΒ = γ, ΑΓ = β)

2Ε = (β + γ) R

24. Είναι: ∧Α 1 =

∧Α 2,

∧Γ 1 = ,

∧B ΄

1

∧B 1 = .

∧Γ ΄

1

Άρα: Α Γ΄ ≈ Α Β΄ ∧Γ

∧B

Από την οµοιότητα των τριγώνων Α Γ΄ και

Α Β΄ έχουµε:

∧Γ

∧B

ΑΒ΄ΑΓ =

ΑΒΑΓ΄ (1)

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ΄Γ΄ έχουν µια γωνία

Γ΄Β΄1

13

24

11ΓΒ

Α

1

ίση, ∧Α 3 =

∧Α 4. Εποµένως

(ΑΒ΄Γ΄)(ΑΒΓ)

= AΓ΄ΑΒ΄AΓΑΒ⋅⋅

(1)= 1

Άρα (ΑΒΓ) = (ΑΒ΄Γ΄).

25. Β∧Κ Γ = 360° - (Α

∧ΚΒ + Α

∧Κ Γ) =

360° - 240° = 120°

α) (ΚΒΓ) = 21 ΚΒ⋅ΚΓ⋅ηµΒ

∧Κ Γ =

21 6⋅10⋅

23 = 15 3 cm2

Α

Β Γ

Κ

β) (ΑKΒ) = 21 AK⋅ΚΒ⋅ηµA

∧K Β =

21 2⋅6⋅

23 = 3 3 cm2

(ΑKΓ) = 21 AK⋅ΚΓ⋅ηµA

∧K Γ =

21 2⋅10⋅ηµ120° =

21 2⋅10⋅

23 = 5 3 cm

(ΑΒΓ) = (ΑKΒ) + (ΑKΓ) + (KΒΓ) = 3 3 + 5 3 + 15 3 = 23 3 cm2

131

26. α) Έστω α = 5 cm η πλευρά του ρόµβου. Ισχύει: 2

1δ

2 +

22δ

2 = 52

(Πυθαγόρειο θεώρηµα) ή + = 100. Αφού (δ21δ

22δ 1 + δ2)2 - 2δ1δ2 = 100,

τότε έχουµε δ1 + δ2 = 14 cm, δ1δ2 = 48 cm2. Όµως Ερόµβου = 2δδ 21 = 24 cm2

β) Ε = υ⋅α ή 24 = υ⋅5. Άρα υ = 4,8 cm.

27. α) Αν ∆ = x, τότε = 5x. ∧ ∧

A

Άρα = 30°, = 150°. ∧∆

∧A

Άρα ΑΜ = υ = 2α (1)

Ε = υβ (1)=

2αβ = 40 (2)

Μ

βΑ Β

Γ∆30°

υα υ1

Όµως 2 (α + β) = 12α (3) Από (2), (3) έχουµε β = 20 cm, α = 4 cm (4)

β) Από (1), (4) έχουµε υ = 2 cm. Όµως Ε = υ1⋅α = 40 ή υ1⋅4 = 40. Άρα υ1 = 10 cm.

28. α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΖΕ έχουν τις γωνίες τους Γ και Γ1

παραπληρωµατικές. Άρα (ΓΖΕ)(ΑΒΓ) =

ΓΕΖΓΑΓΒΓ⋅⋅ =

21 (1)

β) Όµοια

Ζ

∆

Ε

Β

1

ΑΓ

(∆ΒΕ) = 2 (ΑΒΓ), (ΖΑ∆) = 2 (ΑΒΓ) (2) (∆ΕΖ) = (ΑΒΓ) + (∆ΒΕ) + (ΓΖΕ) + (ΖΑ∆)

132

133

Απ’ όπου και λόγω των (1), (2) έχουµε (∆ΕΖ) = 7 (ΑΒΓ).

29. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΒΓ έχουν κοινή γωνία Α, άρα:

(ΑΒΓ)(ΑΒΕ)

= AΓABΑEAΒ⋅⋅ =

AΓΑE (1)

Όµοια τα τρίγωνα Α∆Ε και ΑΒΕ, άρα:

(ΑΒΕ)(Α∆Ε)

= AΕABΑEA∆⋅⋅ =

AΒΑ∆ (2)

Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: AΓΑE =

AΒΑ∆ (3) (∆Ε // ΒΓ)

Από (1), (2), (3) έχουµε (ΑΒΓ)(ΑΒΕ)

= (ΑΒΕ)(Α∆Ε)

.

Άρα (ΑΒΕ)2 = (ΑΒΓ) (Α∆Ε). 30. α) Γωνία ΚΒΕ + γωνία ΑΒΓ = 180°.

Άρα (ΑΒΓ)(ΚΒΕ) =

γαγα = 1

(ΑΒ = ΚΒ = γ, ΒΓ = ΒΕ = α).

Άρα (ΚΒΕ) = (ΑΒΓ) = 2βγ (ΑΓ = γ).

Όµοια βρίσκουµε (∆ΓΙ) = 2βγ , (ΛΑΘ) =

2βγ

ΙΑ

Β Γ

Κ

Λ

Θ

∆Ε β) (∆ΕΚΛΘΙ) = (ΑΒΓ) + (ΚΒΑΛ) + (ΑΓΙΘ) + (ΒΓ∆Ε) + (ΚΒΕ) + (∆ΓΙ) +

(ΛΑΘ) = 2βγ + γ2 + β2 + α2 +

2βγ +

2βγ +

2βγ = α2 + β2 + γ2 + 2βγ =

α2 + (β + γ)2 ή (∆ΕΚΛΘΙ) = 2α2 + 2βγ = 2 (α2 + βγ).

133

31. α) Β Γ + Ε Η = 180°.

Άρα

∧A

∧A

(ΑΒΓ(EAH)

) =

γβγβ = 1.

β) (ΒΓΖΗΕ∆) = (ΑΒΓ) + (ΕΑΗ) +

(ΕΑΒ∆) + (ΑΓΖΗ) = 2

γβηµ30° +

2γβηµ150° + γ2 + β2 =

2γβ + γ2 + β2

30°

A

B Γ

βγ

∆

Ε Η

Ζ

32. α) Αφού τρίγωνο ΑHΓ ισοσκελές, τότε

ΑΗ = ΗΓ = υ (1) και ΑΓ = 2 υ.

Αφού στο τρίγωνο ΑΒΗ, ΒAΗ = 30°,

τότε ΑΒ =

∧

32υ =

332υ

και

ΒΗ = 2

AB = 3

3υ (2)

Από (1), (2) έχουµε: ΒΓ = ΒΗ + ΗΓ = υ

+3

33

β) Ε = υ2

+6

33

γ) Ε = 2ΑΒυ1 ⋅ , …, υ1 = υ

+6

333 Ε =

2ΑΓυ2 ⋅ , …, υ2 = υ

+6

623

134

33. α) Τα τρίγωνα ∆ΒΕ και ΑΒΓ έχουν κοινή την γωνία Β.

Άρα (ΑΒΓ)(∆ΒΕ)

= ΒΓABΒEΒ∆⋅⋅ , όµως ΒΕ =

31

ΒΓ και Β∆ = 21 ΑΒ.

Άρα (ΑΒΓ)(∆ΒΕ)

= ΒΓΑΒ3ΒΓ

2ΑΒ

⋅

⋅ =

61

, άρα (∆ΒΕ) = 6

(ΑΒΓ) = 6Ε .

Όµοια βρίσκουµε (ΖΓΕ) = 6

(ΑΒΓ) = 6Ε και (Α∆Ζ) =

8(ΑΒΓ) 3 =

83Ε .

β) (∆ΕΖ) = (ΑΒΓ) - (Β∆Ε) - (Α∆Ζ) - (ΖΕΓ) = Ε - 6Ε -

83Ε -

6Ε =

247Ε

34. α) (ΑΒΓ) = ΑΒ⋅ΑΓ⋅ηµ120° = 18 3 cm2

β) Τα τρίγωνα ∆ΕΓ και ΑΒΓ έχουν κοινή την γωνία Γ.

Άρα (ΑΒΓ)(∆ΓΕ) =

ΒΓAΓEΓ∆Γ⋅⋅ =

ΒΓΑΓ3

2ΑΓ2ΒΓ

⋅ =

62

Απ’ όπου (∆ΕΓ) = 6

(ΑΒΓ) 2 = 6

3182 ⋅ = 6 3 cm2

35. α) Τα τρίγωνα ΒΜ∆ και ∆ΜΓ έχουν κοινό ύψος, έστω υ, από την κορυφή Μ. Έτσι:

(∆ΜΓ)(BM∆) =

∆ΓυΒυ⋅∆⋅ =

∆ΓΒ∆ .

Όµως βγ =

21 =

∆ΓΒ∆ (1) Γ

Α

γβ

Β ∆

Μ

(θεώρηµα διχοτόµων στο ΑΒΓ, µε Α∆ διχοτόµο της γωνίας Α)

Άρα (∆ΜΓ)(BM∆) =

21

135

β) (ΑΒΓ)(M∆Γ) =

ΒΓΑΓ∆ΓΜΓ⋅⋅ (2)

Όµως από την (1) έχουµε:

∆Γ∆Γ Β∆ + =

22+1 , …, ∆Γ =

32ΒΓ (3)

Έτσι, από τις (2), (3) έχουµε: (ΑΒΓ)(M∆Γ) =

ΒΓΑΓ3

2BΓ2

AΓ

⋅ = … =

31

36. (ΟΑΒ) = 2ρAB ⋅ (ρ ακτίνα εγγεγραµµένου

κύκλου)

(ΟΓ∆) = 2ρΓ∆ ⋅ , (ΟΑ∆) =

2ρA∆ ⋅ ,

(ΟΒΓ) = 2ρBΓ ⋅

(ΟΑΒ) + (ΟΓ∆) = 2Γ∆ AB+ ρ (ΟΑ∆) + (ΟΒΓ) =

2ΒΓ A∆ + ρ (1)

Όµως ΑΒ + ∆Γ = Α∆ + ΒΓ (2)

Άρα, από (1) και (2) έχουµε (ΟΑΒ) + (ΟΓ∆) = (ΟΑ∆) + (ΟΒΓ)

Σηµείωση: Η απόδειξη της (2) είναι απλή λόγω της ισότητας των εφαπτόµενων προς τον κύκλο από σηµείο εκτός αυτού.

37. α) (ΕΖΘ) = (ΑΘΕ) - (ΑΖΕ) (1) και (ΑΖ∆) = (Α∆Ε) - (ΑΖΕ) (2) Όµως (ΑΘΕ) = (Α∆Ε), διότι έχουν κοινή βάση την ΑΕ και ίσα ύψη από τις κορυφές ∆ και Θ την απόσταση των παραλλήλων ΑΒ και ∆Γ. Άρα, από (1), (2) έχουµε (ΕΖΘ) = (ΑΖ∆)

136

β) (ΕΖΘΗ) = (ΕΖΘ) + (ΕΘΗ) (3) Όµως στο ερώτηµα (α) αποδείξαµε ότι (ΕΖΘ) = (ΑΖ∆) (4) και µε όµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι (ΕΘΗ) = (ΗΒΓ) (5) Άρα η (3) λόγω των (4), (5) γίνεται: (ΕΗΘΖ) = (ΑΖ∆) + (ΗΒΓ)

38. α) Το ΑΖΕ∆ είναι τραπέζιο (γενικά). Άρα:

ΗΜ = 2∆E ΑZ+

.

Άρα (ΑΖΕ∆) = 2∆E ΑZ+

υ = ΗΜ⋅υ (1)

β) Όµοια µε το ερώτηµα (α) αποδεικνύεται ότι (ΖΒΓΕ) = ΜΘ⋅υ (2)

// //

Α Ζ Β

Θ

ΓΕ

Μ

∆

Ηυ

Όµως ΜΘ = ΗΜ (3) Άρα από τις (1), (2), (3) έχουµε: (ΑΖΕ∆) = (ΖΒΓΕ)

39. α) (ΑΗΓ) = (ΑΘΗ) + (ΘΗΓ).

Όµως τα τρίγωνα ΑΘΗ και ΘΗΓ έχουν

κοινή βάση τους ΘΗ = 2β - α

και ίσα

ύψη 2υ , άρα (ΑΗΓ) =

2β - α⋅

2υ⋅

21 +

2β - α⋅

2υ⋅

21 =

4β) - (α

υ

β) (ΑΒΖΕ) = 2α EZ +⋅

2υ =

2

α 2β α+

+

⋅2υ =

22β 3α +

⋅2υ =

4β 3α +⋅

2υ ή

(ΑΒΖΕ) = 8β 3α + υ. Όµοια (ΕΖΓ∆) =

8α 3β + υ.

Άρα (ΑΒΖΕ) - (ΕΖΓ∆) = 4β - α υ = (ΑΗΓ)

137

40. α) 172 = 82 + 152, άρα α2 = β2 + γ2 Άρα ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α.

β) Τα τρίγωνα (ΑΒ∆), (ΑΓ∆) είναι όµοια.

Άρα: (ΑΓ∆)(AB∆) =

2

βγ

=

2

815

β

Α

Β∆Γ1

α

γ

2

41. Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΓ είναι όµοια. Άρα

(ΑΒΓ)(ΑΕΖ)

= 2ΑΜ

Α∆

= 2

32

=

94 .

Αφού (ΑΒΓ) = 90 cm2, τότε

(ΑΕΖ) = 9904 ⋅ = 40 cm2

42. α) Τα τρίγωνα Γ΄∆∆΄ και ΒΒ΄Α΄ είναι ίσα διότι έχουν: i) BB΄ = ∆∆΄ ii) Γ΄∆ = ΒΑ΄

iii) ∆ = ∧ ∧

ΒΆρα Γ΄∆΄ = Β΄Α΄. Α΄

Β΄∆

Γ2

Γ΄

Β

Α΄

∆΄

1

Όµοια Γ΄Β΄ = ∆΄Α΄, άρα το Γ΄Β΄Α΄∆΄ είναι παραλληλόγραµµο.

β) ∧∆ 2 =

∧Γ 1, άρα έχουµε

(Α∆Γ)(Γ΄ΓΒ΄) =

∆ΓΑ∆Γ΄ΓΓΒ΄⋅⋅ =

∆Γ2∆Γ = 2

Άρα: (Γ΄ΓΒ΄) = 2 (Α∆Γ) = 2 2Ε = Ε

Όµοια: (Γ΄∆∆΄) = Ε. Έτσι έχουµε: (Α΄Β΄Γ΄∆΄) = (ΑΒΓ∆) + 2 (Γ΄∆∆΄) + 2 (Γ΄ΓΒ΄) = Ε + 2Ε + 2Ε = 5Ε

138

43. Τα τρίγωνα Α∆Ο, ΑΟΒ έχουν κοινή βάση ΟΑ και ίσα ύψη υ από τις κορυφές ∆ και Β (η ισότητα των υψών είναι προφανής λόγω της ισότητας των αντιστοίχων ορθογωνίων τριγώνων που σχηµατίζονται από τα ύψη και τις πλευρές Α∆, ΒΓ του παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆), άρα είναι ισοδύναµα.

44. Είναι τρίγωνα ΑΗ∆ = ΖΓΒ. Άρα ΑΗ = ΖΒ και ∆Γ = ΗΖ (αφού ∆ΗΖΓ ορθογώνιο παραλληλόγραµµο). Άρα ΑΖ = ΗΖ + ΑΗ = ∆Γ + ΑΗ (1) ΗΒ = ΗΖ + ΖΒ = ∆Γ + ΖΒ = ∆Γ + ΑΗ = ΑΖ (2) Η ΖΑ Β

∆ Γ

(ΑΒΓ∆) = 2ΑΒ ∆Γ + υ =

2ΗΒ ΑΗ ∆Γ ++ υ =

2ΑΗ ∆Γ + υ +

2ΗΒ υ

)1(=

= 2ΑΖ υ +

2ΗΒ υ

)2(=

2ΑΖ υ +

2ΑΖ υ = 2 (ΑΓΖ)

45. 2α + v + V = 60 (1)

2V v + 8 = 160 (2)

Από την (1) λόγω της (2) έχουµε 2α = 20, άρα α = 10 m.

Στο Β Γ έχουµε ∆H

α2 = ΒΗ2 + ΗΓ2, …, ΗΓ = 6 m ΗΘ

Α Β

∆ ΓV

v

α α8

Όµως ∆Θ = ΗΓ, άρα 2v + 2ΗΓ = 60 - 2α = 40, …, v = 14 m Άρα V = 14 + 2⋅6 = 26 m.

139

46. Αφού Ο Γ ≈ Ο Β ∆∆

∆A

α) ΟΑΟ∆ =

ΟΒΟΓ =

ΑΒ∆Γ ή

Ο∆ -ΟΑ Ο∆ =

ΟΓ - ΟΒΟΓ =

∆Γ-ΑΒ∆Γ ή

∆ΑΟ∆ =

ΓΒΟΓ =

5020 , απ’ όπου Ο∆ = 12 cm, ΟΓ = 16 cm.

Αφού 122 + 162 = 202, τότε τρίγωνο Ο∆Γ ορθογώνιο στο . ∧O

β) (ΑΒΓ∆) = (ΟΑΒ) - (Ο∆Γ) = 2

5642 ⋅ - 216⋅12 = 1080 cm2.

47. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: µα = υα, όµως υα = 2

3α.

Όµοια µβ = 2

3α, µγ =

23α

.

Άρα µ 2α + µ + µ = 3 2

β2γ

2

23α

= 3

433α 2

(1)

Όµως 4

32α = Ε (2)

Άρα η (1) λόγω της (2) γίνεται: µ α + µ + µ = 3Ε2 2β

2γ 3 .

48. (E∆B) = 2υEB ⋅ (AΕΓ) =

2υΕA ⋅

(E∆B) + (AΕΓ) = (EB + ΕA) 2υ =

= 2υΑΒ ⋅ =

2(ΑΒΓ∆)

ΕΑ Β

∆ Γ

υυ

140

49. (ΑΕ∆) = 3

(ΑΒΓ∆) ή

2A∆AΕ ⋅ =

362

ή

26AΕ ⋅ = 12 ή ΑΕ = 4

Όµοια βρίσκουµε ΖΓ = 4.

6

Α Β

∆ Γ

Ε

Ζ

6

50.

E1 = 2

3α 2

, E2 = 2

3β 2

, E3 = 2

3γ 2

Όµως: α2 + β2 = γ2, άρα E1 + E2 = E3.

141

51. α) (ΑΓΒ) = 21 ΑΓ⋅ΓΒ⋅ηµΓ. Παρατηρούµε

ότι αν ηµΓ γίνει µέγιστο θα έχουµε το µεγαλύτερο δυνατό εµβαδό. Άρα αν Γ = 90°, τότε ηµΓ = 1 (µέγιστο) και

(ΑΓΒ) = 2ΓΒΑΓ ⋅ = 600 m2. Συνεπώς οι

πρόσκοποι πρέπει να σχηµατίσουν τρίγωνο µε γωνία Γ = 90°.

β) (ΑΒΓ) = 21 ΑΓ⋅ΓΒ⋅ηµΓ =

21 35⋅35⋅1 = 612,5 m2

ΑΓ + ΓΒ = 70 m για να είναι µέγιστο το ΑΓ⋅ΓΒ πρέπει ΑΓ = ΓΒ = 35 m. Σηµείωση: Είναι γνωστό ότι το γινόµενο δύο αριθµών µε σταθερό άθροισµα γίνεται

µέγιστο όταν οι αριθµοί γίνουν ίσοι.

52. α) (ΑΒΓ∆) = (α + β)2 β) Τα τρίγωνα ΑΖΕ, Ε∆Θ, ΘΓΗ, ΖΒΗ είναι

προφανώς ίσα και ορθογώνια λόγω της κατασκευής τους (βλ. σχήµα). Άρα ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ = ΘΕ = γ.

Όµως: ∧Ε 1 +

∧Ζ 1 = 90

∧Ε 2 +

∧Θ 1 = 90

∧Ζ 1 = Ε

∧

2 ∧Ε 1 =

∧Θ 1

Άρα 1 + 2 = 90, άρα 3 = 90°. ∧Ε

∧Ε

∧Ε

α

Α Β

∆ Γ

Η

Ζ

1Θ

1

23Ε

β γ

1

Άρα το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

γ) Προφανώς ∆Θ = β = ΖΒ = ΗΓ = β (βλ. (β) ερώτηµα).

Άρα (ΑΖΕ) = (ΕΘ∆) = (ΘΓΗ) = (ΗΒΖ) = 2αβ

(ΕΖΗΘ) = γ2 = α2 + β2.

δ) (ΑΒΓ∆) = γ2 + 4 2αβ αλλά (ΑΒΓ∆) = (α + β)2

Άρα (α + β)2 = γ2 + 2αβ ή α2 + β2 + 2αβ = γ2 + 2αβ ή α2 + β2 = γ2 Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΖ.

142

53. α) (ΗΖΓΕ) = 900 m2 β) (ΑΒΓ∆) = 3600 m2

4(ΑΒΖΗΕ∆) =

4900 - 0360

= 4

2700 = 675 m2

Α Β

∆ Γ

Ζ

60

Ε

Η60

30

30

γ) Όπως φαίνεται από το διπλανό σχήµα, τα τέσσερα οικόπεδα (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), (ΙV) έχουν αντίστοιχα προσόψεις x, y + ω, z, z στον εθνικό δρόµο και πρέπει να είναι ισεµβαδικά.

∆ηλαδή ΕΙ = ΕΙΙ = ΕΙΙΙ = ΕΙV, απ’ όπου έχουµε:

x⋅30 = y⋅30 + ω⋅60 = z⋅60 = 675

Απ’ όπου: z = 60675 = 11,25 (1)

x = 30675 = 22, 5 (2)

y + 2ω = 30675 = 22,5 (3)

Α Β

∆

z

Ε

Η Z

30

z ω y x

IIIIIIIV

60

Αλλά 2z + ω + y + x = 60, η οποία λόγω των (1), (2) γίνεται: 2⋅11,25 + ω + y + 22,5 = 60 ή ω + y = 15 (4) Λύνοντας το σύστηµα των (3) και (4) έχουµε: y = 7,5 και ω = 7,5 Άρα η περίµετρος των ΕΙ, ΕΙΙ, ΕΙΙΙ, ΕΙV είναι αντίστοιχα 105 m, 150 m, 135 m, 135 m.

143

54. α) ∆Β2 = ΑΒ2 + Α∆2 = 720.000 m2 Άρα ∆Β ≈ 848,5 m ≈ ΑΓ

β) E = 90.000 m2 γ) Το ΑΖΚΙ είναι ορθογώνιο τραπέζιο,

αφού ΑΖ // ΙΛ και = 90°. Επίσης και τα ΖΚΛΒ, ΛΒΕΜ, ΜΕΓΝ, ΠΝΓΘ, ΡΠΘ∆, ∆ΡΣΗ, ΗΣΙΑ.

∧Z

δ) i) (ΑΖΚΙ) = 2

IK ΑΖ + ΚΖ

Σ

Α Β

∆ Γ

Η

Ζ

Θ

ΟΕ

Κ

Μ

ΛΙ

Π ΝΡ

Όµως ΚΖ = ΟΖ - ΟΚ = 300 - 150 = 150 m.

Άρα (ΑΖΚΙ) = 2

150 300 + 150 = 33750 m2

ii) ΑΙ = 4ΑΓ ≈ 212,1.

Άρα η περίµετρος Π ≈ ΑΖ + ΖΚ + ΙΚ + ΑΙ = 300 + 150 + 150 + 212,1 = 812,1 m.

55. Φέρνουµε το ύψος Α∆ και από το Α ευθεία

παράλληλη προς την ΒΓ, την Αx. Παίρνουµε

τµήµα ΑΖ πάνω στην Αx ώστε ΑΖ = 2ΒΓ .

Το ζητούµενο ορθογώνιο έχει πλευρές Α∆, ΑΖ.

Ζx

Α

Β ∆ ΓΗ

144

56. Α΄ φάση: Από το Ε φέρνουµε παράλληλη προς την ∆Α, την ΕΖ. Το πεντάγωνο ΑΒΓ∆Ε µετασχηµατίζεται σε ισοδύναµο τετράπλευρο, το ΖΒΓ∆Ζ.

Ζ

Ε

Α Β

∆

Γ

Β΄ φάση: Φέρνουµε τη διαγώνιο ∆Β και από το Γ την ΓΗ // ∆Β. Το Ζ∆Η είναι ισοδύναµο µε το τετράπλευρο Ζ∆ΓΒ.

Ζ ΗΒ

∆

Γ

57. Φέρνουµε το ύψος Α∆. Πάνω στην προέκταση της

ΒΓ παίρνουµε ΓΕ = Β∆. Το τρίγωνο Α∆Ε είναι το ισοδύναµο ορθογώνιο.

Γ

Α

Β ∆

Ε

58. Εάν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε x2 = 3⋅7. Κατασκευάζουµε το x ως µέση ανάλογο των 3 και 7. Σε ευθεία xy παίρνουµε διαδοχικά

x y

Β

A 7

x

3

145

146

τα τµήµατα 3, 7. Με διάµετρο το 10 γράφουµε ηµικύκλιο και στο σηµείο Α υψώνουµε κάθετο. Το µήκος του ΑΒ είναι η ζητούµενη πλευρά του τετραγώνου.

Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * ∆ύο κανονικά οκτάγωνα είναι όµοια. Σ Λ 2. * ∆ύο κανονικά πολύγωνα µε τον ίδιο αριθµό πλευρών είναι

όµοια.

Σ Λ 3. * Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις γωνίες ίσες είναι

κανονικό.

Σ Λ 4. * Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες

είναι κανονικό.

Σ Λ 5. * Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία

είναι συµπληρωµατικές.

Σ Λ 6. * Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία

είναι ίσες µεταξύ τους.

Σ Λ 7. * ∆ύο κυκλικοί τοµείς του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων που

αντιστοιχούν σε ίσα τόξα, έχουν ίσα εµβαδά.

Σ Λ 8. * Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι αντιστρόφως

ανάλογο της ακτίνας του.

Σ Λ 9. * Ο λόγος των µηκών δύο κύκλων είναι ίσος µε το λόγο των

ακτίνων τους.

Σ Λ 10. * Ο λόγος των εµβαδών δύο κύκλων είναι ίσος µε το λόγο των

ακτίνων τους.

Σ Λ

11. * Αν είναι µία από τις ίσες γωνίες ενός κανονικού

ν-γώνου, τότε

φν

∧

φνν

∧= −360 180o

o

.

Σ Λ

12. * Η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου δίνεται από τον

τύπο ων

ν∧

=360o

.

Σ Λ 13. * Ακτίνα ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται κάθε ακτίνα του

146

εγγεγραµµένου κύκλου του. Σ Λ 14. * Ο περιγεγραµµένος και εγγεγραµµένος κύκλος κάθε

κανονικού πολυγώνου είναι οµόκεντροι κύκλοι.

Σ Λ 15. * Η πλευρά ενός τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο,

ισούται µε την ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου.

Σ Λ 16. * Το απόστηµα ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραµµένου σε

κύκλο ισούται µε την πλευρά του εξαγώνου.

Σ Λ 17. * Το απόστηµα ενός ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραµµένου σε

κύκλο ισούται µε το µισό της ακτίνας του περιγεγραµµένου κύκλου.

Σ Λ 18. * Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση µε τη

γωνία που σχηµατίζουν τα αποστήµατα δύο διαδοχικών πλευρών του.

Σ Λ 19. * Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και η κεντρική του

γωνία είναι παραπληρωµατικές.

Σ Λ 20. * ∆ύο πολύγωνα µε τον ίδιο αριθµό πλευρών είναι όµοια. Σ Λ 21. * Σε δύο όµοια κανονικά πολύγωνα, ο λόγος οµοιότητάς τους

ισούται µε το τετράγωνο του λόγου των ακτίνων του.

Σ Λ 22. * Ένα περιγεγραµµένο σε κύκλο πολύγωνο µε όλες τις

πλευρές ίσες είναι κανονικό.

Σ Λ 23. * ∆ύο κυκλικοί τοµείς του ίδιου κύκλου έχουν ίσα εµβαδά. Σ Λ

24. * Ο τύπος συνδέει την πλευρά λ2ν

22ν λ - 4R4α = ν, το

απόστηµα αν και την ακτίνα R του περιγεγραµµένου κύκλου κανονικού ν-γώνου.

Σ Λ

25. * Ο λόγος του µήκους κύκλου προς το µήκος της διαµέτρου του ισούται µε π.

Σ Λ

26. * Το µήκος κύκλου ακτίνας 1 είναι π. Σ Λ

147

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Εάν το απόστηµα κανονικού πολυγώνου, εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας

R, είναι R 22

, η πλευρά του είναι

Α. R 2 2 Β. R 2 Γ. 2R ∆. 2R2 Ε. R 2. * Εάν η πλευρά κανονικού πολυγώνου, εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R,

είναι R 3, το απόστηµά του είναι

Α. R Β. R3

Γ. R2

∆. R 32

Ε.3R

3. * Εάν το απόστηµα κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας

R, είναι R 32

η πλευρά του είναι

Α. R 22

Β. 2R Γ. R 2 ∆. R Ε. R2

4. * Η σχέση, που συνδέει τα στοιχεία αν και λν (αποστήµατος και πλευράς) κανονικού ν-γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. α2

λν2

ν2+ = R2 Β. α λ

ν2 ν

2

+ =2 2

2R

Γ. α λν2 ν

2

+ =4

2R ∆. α λν2

ν2+ = R 2

Ε. α λ ν2

ν2+ =

R 2

4

5. * Το κανονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνία είναι ορθή, είναι Α. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. κανονικό πεντάγωνο ∆. κανονικό εξάγωνο Ε. κανονικό δεκάγωνο

148

6. * Το κανονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνία είναι αµβλεία, είναι Α. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνο ∆. εξάγωνο Ε. οκτάγωνο

7. * Εάν η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο

ακτίνας R, είναι 60ο, τότε η πλευρά του (συναρτήσει του R) είναι

Α. R2

Β. R 3 Γ. 2R ∆. R 2 Ε. R

8. * Αν είναι µία από τις ίσες γωνίες ενός κανονικού ν-γώνου τότε

ισούται µε

φν

∧φν

∧

Α. 180 360°+

°ν

Β. 180 360°−

°ν

Γ. 360 180°−

°ν

∆. 360 180°+

°ν

Ε. 360°ν

9. * Αν Ρν η περίµετρος ενός κανονικού ν-γώνου, τότε το εµβαδό του Εν είναι

Α. 12λ αν ν⋅ Β. 1

2P αν ν⋅ Γ. 1

2P λν ν⋅

∆. 12

P λν ν2⋅ Ε. 1

2νP λν ν⋅

10. * Η πλευρά λ6 κανονικού εξαγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. 2

3R Β. R Γ. R ∆. 2 R2

Ε. R3

11. * Η πλευρά λ4 τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. 12

2R Β. R Γ. R 2 ∆. R 2 2 Ε. 13

2R

12. * Η πλευρά λ3 ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

149

Α. 2

3R Β. R Γ. R 3 ∆. 12

R Ε. 3

3R

13. * Το κανονικό πολύγωνο του οποίου η πλευρά λν ισούται µε την ακτίνα R

του περιγεγραµµένου κύκλου είναι Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνο ∆. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο

14. * Το κανονικό πολύγωνο του οποίου το απόστήµα αν ισούται µε το µισό της

πλευράς λν είναι: Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. πεντάγωνο ∆. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο

15. * Το µήκος S τόξου µ µοιρών που ανήκει σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. 2180πRµ Β. πR2

180µ Γ. πRµ

360 ∆. πRµ

180 Ε. πR2

360µ

16. * Το εµβαδό Ε κυκλικού δίσκου (0, R) είναι

Α. 2πR B. πR2 Γ. π2R ∆. 2π2R E. 2π

17. * Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο είναι Α. 30° Β. 45° Γ. 60° ∆. 90° Ε. 120°

18. * Η κεντρική γωνία ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο είναι

Α. 30° Β. 45° Γ. 60° ∆. 90° Ε. 120°

19. * Η γωνία κανονικού πενταγώνου είναι Α. 30° Β. 45° Γ. 60° ∆. 108° Ε. 120°

20. * Η γωνία κανονικού δεκαγώνου είναι

Α. 30° Β. 45° Γ. 120° ∆. 144° Ε. 150°

150

21. * Το κανονικό πολύγωνο µε γωνία 108° είναι Α. τετράγωνο Β. πεντάγωνο Γ. εξάγωνο ∆. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο

22. * Το κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R µε κεντρική γωνία 24° είναι Α. εξάγωνο Β. οκτάγωνο Γ. δεκάγωνο ∆. δωδεκάγωνο Ε. 15γωνο

23. * Το απόστηµα α3 ισοπλεύρου τριγώνου, εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. 12

3R Β. R 33

Γ. 12

R ∆. R 3 Ε. R 34

24. * Το απόστηµα α4 τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R είναι

Α. R 2 Β. 12

2R Γ. 13

2R ∆. 14

2R Ε. R 3

25. * Το εµβαδόν Εµ ενός κυκλικού τοµέα µ µοιρών είναι

A. πRµ360

Β. πR2

360µ Γ. πR 2

180µ ∆. πRµ

180 Ε. πRµ 2

360

151

26. * Το γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµατος

είναι Α. ηµικύκλιο Β. µηνίσκος Γ. τεταρτοκύκλιο ∆. κυκλικός τοµέας Ε. κυκλικό τµήµα

27. * Το µήκος κύκλου ακτίνας R είναι

Α. πR B. πR2 Γ. 2πR ∆. πR 2

2 Ε. 2πR2

28. * ∆ύο πολύγωνα είναι όµοια όταν

Α. έχουν το ίδιο αριθµό πλευρών Β. είναι εγγεγραµµένα στον ίδιο κύκλο Γ. είναι κανονικά και έχουν τον ίδιο αριθµό πλευρών ∆. είναι περιγεγραµµένα σε οµόκεντρους κύκλους Ε. έχουν τον ίδιο αριθµό γωνιών

29. * Ένα πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο

Α. είναι κανονικό. B. είναι όχι απαραίτητα κανονικό. Γ. έχει όλες τις πλευρές του ίσες. ∆. έχει όλες τις κεντρικές γωνίες του ίσες. Ε. έχει όλες τις γωνίες του ίσες.

30. * Αν ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (0, R) και το

απόστηµά του αν ισούται µε το R2

, τότε το πολύγωνο είναι

Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο Γ. εξάγωνο ∆. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο

152

31. * Ένα πολύγωνο το οποίο είναι εγγεγραµµένο και ταυτόχρονα περιγεγραµ-µένο σε δύο οµόκεντρους κύκλους είναι Α. ισοσκελές τρίγωνο. Β. ισοσκελές τραπέζιο. Γ. τυχόν τετράπλευρο. ∆. κανονικό. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

32. * Σε ένα κανονικό πολύγωνο µε άρτιο (2µ) πλήθος πλευρών η κεντρική του

γωνία ω είναι

Α. 36 02° Β.

2360+µ° Γ.

2µ2360+°

∆. µ

180° Ε. κανένα από τα παραπάνω.

33. * Κάθε κανονικό πολύγωνο που µπορεί να χωριστεί σε διαδοχικά ισόπλευρα

και ίσα τρίγωνα µε κοινή κορυφή το κέντρο του πολυγώνου είναι Α. τετράγωνο Β. πεντάγωνο Γ. εξάγωνο ∆. δεκάγωνο Ε. κανένα από τα παραπάνω

153


1. * Εάν το απόστηµα αν κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο,

ακτίνας R ισούται µε R2

, η πλευρά λν ισούται µε ............... και το πλήθος

των πλευρών του πολυγώνου είναι…. 2. * Εάν το απόστηµα αν κανονικού πολυγώνου, εγγεγραµµένου σε κύκλο

ακτίνας R ισούται µε R 32

, η πλευρά του λν ισούται µε ….............και το

πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι…. 3. * Εάν το απόστηµα αν κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο

ακτίνας R ισούται µε R 22

, η πλευρά του λν ισούται µε….............. και το

πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι…. 4. * Εάν η πλευρά λν κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R

ισούται µε R το απόστηµά του αν ισούται µε…................ και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι….

5. * Να συµπληρωθεί ο πίνακας:

Κανονικό πολύγωνο Κεντρική γωνία (ων) σε µοίρες

Γωνία πολυγώνου (φν) σε µοίρες

τρίγωνο τετράγωνο οκτάγωνο δεκάγωνο εικοσάγωνο


153

Κεντρική γωνία (ων) κανονικού πολυγώνου σε µοίρες

Πλήθος πλευρών (ν) κανονικού πολυγώνου

6 10 15 72


ν : πλήθος πλευρών κανονικού

πολυγώνου

λν: πλευρά κανονικού ν-γώνου

αν: απόστηµα κανονικού ν-γώνου

Εν: εµβαδόν κανονικού ν-γώνου

3 4 6


Γωνία (φν) κανονικού πολυγώνου σε µοίρες

Είδος κανονικού πολυγώνου

60 108 135 150

154

9. * Να συµπληρωθεί ο πίνακας: ν : πλήθος πλευρών

κανονικού πολυγώνου

αν: απόστηµα κανονικού πολυγώνου

λν: πλευρά κανονικού πολυγώνου

Εν: εµβαδόν κανονικού πολυγώνου

ν = 3 5cm ν = 4 144cm2 ν = 6 10cm


Ακτίνα R κύκλου Μήκος L κύκλου Εµβαδόν Ε κύκλου 30π 20πα

2α 3

15πα2 7π

α3


Ακτίνα R κύκλου

Γωνία µ µοιρών κυκλ. τοµέα

Μήκος τόξου S Eµβαδόν E κυκλ. τοµέα

8 163π

9 95π

5α 60 150

12απ 2

2α 5 300

155

12. * Να συµπληρωθεί ο πίνακας: Τόξο µ µοιρών Μήκος τόξου

10 πR

4

34πR

180

156

Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. * Αντιστοιχίστε κάθε ένα κανονικό πολύγωνο της στήλης (Α) µε το εµβαδό

του στη στήλη (Β). Στήλη Α Στήλη Β

Κανονικά πολύγωνα εγγεγραµµένα σε κύκλο ακτίνας R

Εµβαδά καν. πολυγώνων συναρτήσει του R

τρίγωνο

τετράγωνο

εξάγωνο

4R2

3 34

2R

32

32R

2R2

3 32R 2. * Αντιστοιχίστε κάθε πλευρά κανονικού πολυγώνου της στήλης (Α) µε το

αντίστοιχο απόστηµά του, στη στήλη (Β). Στήλη Α Στήλη Β

Πλευρά λν κανονικού πολυγώνου συναρτήσει του R

Απόστηµα αν καν. πολυγώνου συναρτήσει του R

R

R 3

R 2

R

R 32

R2

R 22

R3

157

3. * Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε το αντίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β).

Στήλη Α Στήλη Β Κεντρική γωνία ων

κανονικού πολυγώνου Πλευρά λν κανονικού πολυγώνου

(συναρτήσει του R)

60o

90o

120o

R 2 2R R

R 3

R 32

4. * Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε το αντίστοιχο στοιχείο της

στήλης (Β). Στήλη Α Στήλη Β

Ακτίνα κύκλου Εµβαδόν κύκλου

2α

α 3

α2

πα 2

4

4πα2

32πα 2

3πα2

πα 2

2

158

5. * Στη στήλη (Α) αναγράφονται το µέτρο µ µοιρών τόξου και η ακτίνα του κύκλου του, R. Στη στήλη (Β) αναγράφεται το µήκος του S. Αντιστοιχίστε κάθε τόξο της στήλης (Α) µε το µήκος του στη στήλη (Β).

Στήλη Α Στήλη Β

µ = 60ο R = 1

µ = 30ο R = 2 µ = 90ο R = 2

µ = 120ο R = 3

S = π

S =2 3

3π

S =2 3π

S =π3

S =π 2

6

S =π 2

2

159

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο.

Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R του

οποίου η κεντρική γωνία είναι 16°; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. ** Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο

(0, R) και η ηµιπερίµετρός του είναι 80 cm. Να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα R του κύκλου.

β) Ο λόγος εµβαδό τετραγώνου εµβαδό κύκλου

.

4. ** Τετράγωνο ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (0, R).

Γνωρίζοντας (βλέπε το σχήµα της άσκησης 3), ότι ΑΓ - ΑΒ = 12 cm, να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα του κύκλου. β) Το εµβαδόν του κύκλου.

5. ** Αν είναι λ4 +λ3 = 96 cm όπου λ4 και λ3 πλευρές των εγγεγραµµένων σε

κύκλο (0, R) τετραγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου, να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα R του κύκλου. β) Τα αποστήµατα α4 και α3 των ανωτέρω κανονικών πολυγώνων.

6. ** Να αποδείξετε ότι τα µέσα των πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου είναι

κορυφές επίσης κανονικού εξαγώνου.

160

7. ** Ο λόγος των αποστηµάτων δύο κανονικών οκταγώνων είναι 34

.

Να υπολογιστούν: α) Ο λόγος των περιµέτρων τους. β) Ο λόγος των εµβαδών τους.

8. ** Κανονικού πολυγώνου, η ακτίνα R είναι 8 cm και το απόστηµά του α

είναι 4 cm. Να υπολογιστούν: 3

α) Η πλευρά του λ. β) Η κεντρική του γωνία ω σε µοίρες. γ) Το πλήθος ν των πλευρών του.

9. ** ∆ίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ∆ΕΖ και

ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΕ. Να υπολογιστούν:

α) Η πλευρά ΑΓ, αν γνωρίζουµε ότι ΑΒ = 6 cm.

β) Ο λόγος ΓΕ)A(Γ∆ΕΖ)AB( των εµβαδών τους.

10. ** ∆ίνεται κύκλος (0, R) και το εγγεγραµµένο τετράγωνο ΑΒΓ∆. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ και πάνω στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΒΕ = ΒΑ. Να δείξετε ότι: α) ΑΓ = ΓΕ

β) Το ευθύγραµµο τµήµα ΕΓ είναι εφαπτόµενο του κύκλου (0, R) στο σηµείο Γ.

γ) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΓΕ (συναρτήσει του R).

161

11. ** Σε κύκλο ακτίνας R παίρνουµε τα διαδοχικά

τόξα AB o∩

=60 , , B oΓ∩

=90 Γ∆∩

=120o . α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ∆ είναι ισοσκελές

τραπέζιο. β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του.

∆

Α

Γ

Β

12. ** Σε κύκλο ακτίνας R το ΑΒΓ∆ είναι εγγεγραµµένο τετράγωνο και το Α΄Β΄Γ΄∆΄ περιγεγραµµένο τετράγωνο. α) Να εκφραστούν οι πλευρές λ4 και λ΄4

των δύο τετραγώνων συναρτήσει της ακτίνας R.

β) Να βρεθεί ο λόγος των εµβαδών τους EE′

.

13. ** ∆ύο ίσα κανονικά εξάγωνα έχουν µία πλευρά κοινή µήκους λ (τα εξάγωνα

δεν ταυτίζονται). Να υπολογίσετε την απόσταση των κέντρων τους συναρτήσει του λ.

14. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm εγγράφονται

ισόπλευρο τρίγωνο και κανονικό εξάγωνο. Να υπολογιστούν: α) Το εµβαδόν του κανονικού εξαγώνου

ΑΒΓ∆ΕΖ. β) Το εµβαδόν των τριών γραµµοσκιασµένων

µερών.

162

15. ** Σε κύκλο ακτίνας R εγγράφουµε κανονικό πολύγωνο, µε κεντρική γωνία

ίση µε τα 43

µιας ορθής.

α) Ποιο είναι το πλήθος των πλευρών του κανονικού αυτού πολυγώνου; β) Να βρείτε το εµβαδόν του πολυγώνου αυτού (συναρτήσει του R).

16. ** Σε κύκλο ακτίνας R είναι εγγεγραµµένο κανονικό εξάγωνο. Να βρεθούν: α) Το εµβαδόν του εξαγώνου (συναρτήσει του R). β) Το εµβαδόν του µέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το εξάγωνο.

17. ** Κύκλος είναι εγγεγραµµένος σε τετράγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε:

α) Το εµβαδόν του κύκλου (συναρτήσει του α). β) Το εµβαδόν του µέρους του τετραγώνου, που βρίσκεται εκτός του κύ-

κλου.

18. ** Σ’ ένα κύκλο µε ακτίνα R = 6 cm εγγράφουµε τετράγωνο και στο τετράγωνο εγγράφουµε νέο κύκλο. Να υπολογιστούν: α) Το εµβαδό του τετραγώνου. β) Ο λόγος των εµβαδών των δύο κύκλων.

19. ** Κύκλος ακτίνας R διαιρείται σε δύο κυκλικά τµήµατα από την πλευρά ΑΒ ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραµµένο σ’ αυτόν. Να υπολογιστούν: α) Το µήκος του µικρότερου τόξου ΑΒ. β) Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα ΑΟΒ.

20. ** ∆ύο ίσοι τεµνόµενοι κύκλοι (Ο, R) και (Ο΄, R) έχουν διάκεντρο ίση µε

R 2 και κοινή χορδή ΑΒ. Να βρεθούν: α) Το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα ΑΟΒ. β) Το εµβαδόν του κοινού µέρους των δύο κύκλων.

163

21. ** Σε κύκλο ακτίνας R η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί στην πλευρά λ4 εγγεγραµµένου τετραγώνου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο κυκλικά τµήµατα. Να βρεθούν: α) Το εµβαδόν του µικρότερου κυκλικού τµήµατος του κύκλου. β) Το εµβαδόν του µεγαλύτερου κυκλικού τµήµατος.

22. ** Κύκλος µε ακτίνα R είναι εγγεγραµ-µένος σε τετράγωνο ΑΒΓ∆. Με κέντρο την κορυφή Α του τετραγώνου ΑΒΓ∆ και ακτίνα την διαγώνιό του ΑΓ γράφουµε κύκλο. Να υπολογιστούν: α) Το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ∆

αν είναι γνωστή η ακτίνα R. β) Ο λόγος των εµβαδών των δύο

κύκλων.

23. ** Σε τετράγωνο πλευράς 2α εγγράφουµε και περιγράφουµε δύο κύκλους. Να υπολογιστούν: α) Το εµβαδόν του εσωτερικού κύκλου. β) Ο λόγος των εµβαδών των δύο κύκλων.

24. ** Να δειχθεί ότι το εµβαδόν κύκλου, που έχει διάµετρο την υποτείνουσα

ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των δύο άλλων κύκλων, που έχουν διαµέτρους τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου.

164

25. ** Σε κύκλο (0, R) θεωρούµε δύο κάθετες ακτίνες του ΟΑ και ΟΒ. Με διάµετρο την ΑΒ γράφουµε εκτός του κύκλου ηµικύκλιο. Να υπολογιστούν: α) Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. β) Το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µηνί-

σκου ΟΑΒ.

26. ** Να δείξετε ότι η διχοτόµος της γωνίας ΑΒΕ ενός κανονικού πενταγώνου ΑΒΓ∆Ε είναι κάθετη στη πλευρά ΒΓ.

27. ** Να δείξετε ότι κάθε διαγώνιος κανονικού πενταγώνου είναι παράλληλη προς µία πλευρά του.

28. ** ∆ίνεται κανονικό εξάγωνο περιγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας 3cm.

Να υπολογίσετε: α) την πλευρά του β) το απόστηµά του γ) το εµβαδόν του.

29. ** ∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς λ3 = 9 cm εγγεγραµµένο σε κύκλο, ακτίνας R. Να υπολογιστούν: α) Το µήκος του κύκλου. β) Το εµβαδόν των τριών κυκλικών τµηµάτων που βρίσκονται έξω από το

τρίγωνο.

165

30. ** ∆ίνεται κύκλος µε διάµετρο ΑΒ = 6α. ∆ιαιρούµε την διάµετρο ΑΒ σε τρία ίσα τµήµατα ΑΓ = Γ∆ = ∆Β. Με διαµέτρους τις ΑΓ, Γ∆ και ∆Β γράφουµε τρεις ίσους κύκλους. Να υπολογισθούν: α) Το εµβαδόν του κύκλου µε διάµετρο την ΑΒ.

β) Το εµβαδόν καθενός των τριών ίσων κύκλων. γ) Το λόγο του αθροίσµατος των εµβαδών των τριών ίσων κύκλων προς το

εµβαδό του κύκλου (Ο,ΟΑ). δ) Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου που βρίσκεται έξω από τους

τρεις κύκλους.

31. ** Με διάµετρο την πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο που τέµνει τις πλευρές του τριγώνου στα σηµεία ∆ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΒ∆ και ΟΕΓ είναι

ισόπλευρα. β) Να υπολογιστεί το εµβαδό του κυκλικού τοµέα

Ο∆ΖΒ.

γ) Να υπολογισθούν τα εµβαδά των δύο γραµµοσκιασµένων κυκλικών τµηµάτων.

32. ** ∆είξτε ότι ο λόγος των εµβαδών του περιγεγραµµένου και του εγγεγραµ-

µένου ισοπλεύρου τριγώνου στον κύκλο (Ο, R) είναι 14

.

166

33. ** Να αποδειχθεί: α) ότι τα συγκεκριµένα αποστήµατα α3 και α6

κανονικού τριγώνου και εξαγώνου που είναι εγγεγραµµένα στον ίδιο κύκλο ακτίνας R είναι µεταξύ τους κάθετα (βλ. διπλανό σχήµα) και

β) ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΟΒ∆ είναι ισεµ-βαδικά.

34. ** Να αποδειχτεί ότι το εµβαδόν Ε κυκλικής στεφάνης που σχηµατίζεται µεταξύ των δύο κύκλων ακτίνων R και ρ (µε R > ρ), ισούται µε

2

2

ρΣ)OA(4

π .

35. ** Κανονικού εξαγώνου ΑΒΓ∆ΕΖ οι πλευρές ΑΒ,Γ∆ τέµνονται στο Ο.

Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑ∆ συναρτήσει της ακτίνας R του περιγεγραµµένου στο εξάγωνο κύκλου.

36. ** Το εµβαδόν ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο είναι

12 3 2cm . Αν στον ίδιο κύκλο εγγράψουµε τετράγωνο, να βρεθούν: α) Η πλευρά του λ4 β) Το απόστηµα του α4 γ) Το εµβαδόν του Ε4

37. ** Μέσα σ’ ένα χωράφι σχήµατος τετραγώνου κατασκευάσαµε το µεγαλύτερο κυκλικό αλώνι που ήταν δυνατό ακτίνας 40 m. α) Ποιο ήταν το µήκος της πλευράς του τετραγωνικού χωραφιού; β) Ποια είναι η αξία του χωραφιού αν στην περιοχή αυτή η γη κοστίζει

10.000 δρχ./m2; γ) Πόσο είναι το εµβαδόν του χωραφιού που είναι έξω από το κυκλικό αλώνι;

167

168

38. ** Η διάµετρος τροχού ποδηλάτου είναι 0.50 m. Πόσες στροφές θα κάνει σε µία διαδροµή 1 Km;

39. ** Στο εσωτερικό κυκλικού πάρκου ακτίνας 6 m θέλουµε να κάνουµε µια

διακοσµητική πλακόστρωση σχήµατος τετραγώνου µε το µεγαλύτερο δυνατό εµβαδό. α) Αν τα διακοσµητικά πλακάκια έχουν εµβαδό 0.09 m2, πόσα θα χρειαστούν

για τη διακόσµηση αυτή; β) Στο µέρος του πάρκου που δεν θα πλακοστρωθεί θέλουµε να φυτέψουµε

γκαζόν του οποίου το κόστος είναι 3.000 δρχ. ανά m2. Πόσο θα κοστίσει το γκαζόν;


ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ (Κ ε φ ά λ α ι ο 1 1 ο : Κα ν ο ν ι κ ά

Πο λ ύ γ ω ν α )






170


∆ιδακτική ενότητα: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση κύκλου

ΘΕΜΑ 1ο Α. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραµµένο τετράγωνο. Να υπολογίσετε συναρτήσει

της ακτίνας R α) την πλευρά του β) το απόστηµά του. Β. Σε κύκλο (O,R) είναι εγγεγραµµένο τετράγωνο. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας (λ4 η πλευρά του, α4 το απόστηµά του

και Ε4 το εµβαδόν του)

ν R λ4 α4 Ε4 4 225 4 6 4 3

ΘΕΜΑ 2ο Με διάµετρο την πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο προς το ίδιο µέρος του τριγώνου στα σηµεία ∆ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνο ΟΒ∆ και ΟΕΓ είναι

ισόπλευρα. β) Nα υπολογισθεί το εµβαδόν του κυκλικού τοµέα

Ο∆ΖΒ.

γ) Να υπολογισθούν τα εµβαδά των δύο κυκλικών τµηµάτων που βρίσκονται έξω από το τρίγωνο.

171

172


∆ιδακτική ενότητα: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση κύκλου

ΘΕΜΑ 1ο Α. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε

συναρτήσει της ακτίνας R. α) την πλευρά του β) το απόστηµά του Β. Σε κύκλο (O,R) είναι εγγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να συµπληρωθεί ο

παρακάτω πίνακας. (λ3 η πλευρά του, α3 το απόστηµά του και Ε3 το εµβαδό του).

ν R λ3 Ε3 3 6 3 5 3 100 3

ΘΕΜΑ 2ο Κύκλος είναι εγγεγραµµένος σε τετράγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εµβαδό του κύκλου (συνάρτηση του α) β) Το εµβαδό του µέρους του τετραγώνου, που βρίσκεται εκτός του κύκλου.

Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

174

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. Σ 10. Λ 19. Σ 2. Σ 11. Λ 20. Λ 3. Λ 12. Σ 21. Λ 4. Λ 13. Λ 22. Σ 5. Λ 14. Σ 23. Λ 6. Λ 15. Λ 24. Σ 7. Σ 16. Λ 25. Σ 8. Λ 17. Σ 26. Λ 9. Σ 18. Σ


1. Β 10. Γ 18. Ε 26. ∆ 2. Γ 11. Γ 19. ∆ 27. Γ 3. ∆ 12. Γ 20. ∆ 28. Γ 4. Γ 13. ∆ 21. Β 29. Β 5. Β 14. Β 22. Ε 30. Α 6. Α 15. ∆ 23. Γ 31. ∆ 7. Ε 16. Β 24. Β 32. ∆ 8. Β 17. Γ 25. Β 33. Γ 9. Β

175


1. λ ν = 3 ν = R 3

2. λ ν = 6 Rν =

3. λ ν = 4 ν = R 2

4. α ν = 6 ν =R 3

2 5. Κανονικό

πολύγωνο Κεντρική γωνία (ων)

σε µοίρες Γωνία πολυγώνου (φν)

σε µοίρες

τρίγωνο 120 60 τετράγωνο 90 90 οκτάγωνο 45 135 δεκάγωνο 36 144 εικοσάγωνο 18 162 6. Κεντρική γωνία (ων)

κανονικού πολυγώνου σε µοίρες Πλήθος πλευρών (ν) κανονικού πολυγώνου

6 60 10 36 15 24 72 5

176

7. ν: πλευρές κανονικού πολυγώνου

λν: πλευρά κανονικού

πολυγώνου

αν: απόστηµα κανονικού

πολυγώνου


3 R 3 R2

34

32R

4 R 2 R 22

2R2

6 R 2

3R 32

32R

8. Γωνία (φν) κανονικού

πολυγώνου σε µοίρες

Είδος κανονικού πολυγώνου

60 ισόπλευρο τρίγωνο

108 κανονικό πεντάγωνο

135 κανονικό οκτάγωνο

150 κανονικό δωδεκάγωνο

9. ν : πλήθος πλευρών

κανονικού πολυγώνου

αν: απόστηµα κανονικού πολυγώνου

λν: πλευρά κανονικού πολυγώνου


3 5cm 10 3cm 75 3 2cm

4 6cm 12cm 144cm2

6 5 3cm 10cm 150 3 2cm

177

10. Ακτίνα R κύκλου

Μήκος L κύκλου Εµβαδόν Ε κύκλου

15 30π 225π

10α 20πα 100πα2

2α 3 4 3πα 12πα2

α 15 2 15πα 15πα2

7 π72 7π

α3

23

3πα 13πα 2

11. Ακτίνα R

κύκλου Γωνία µ µοιρών κυκλικού τοµέα

Μήκος τόξου S

Εµβαδόν Ε κυκλικού τοµέα

8 30 43π 16π

3

9 36 9π5

8,1π

5α 60 53πα 25

6πα 2

α 55

150 5

6πα πα

12

2

2α 5 300 103

πα5 503πα 2

178

12. Τόξο µ µοιρών Μήκος τόξου

10 πR18

45 πR4

135 34πR

180 π⋅R


1. (Α) (Β) 2. (Α) (Β) τρίγωνο 3 3

4

2R R R 3

2

τετράγωνο 2R2 R 3 R2

εξάγωνο 32

32R R 2 R 22

3. (Α) (Β) 4. (Α) (Β)

60o R 2α 4πα2

90o R 2 α 3 3πα2

120o R 3 2α πα 2

2

179

5. (Α) (Β)

µ = 60ο R=1 S =π3

µ = 30ο R = 2 S =π 2

6

µ = 90ο R = 2 S = π

µ = 120ο R = 3 S =2 3

3π

180

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΗΟ, έχουµε:

ΒΗ2 = ΒΟ2 - ΟΗ2 (1) Αλλά ΟΗ = R, ΒΟ = 2R, αφού η γωνία ΟΒΗ = 30°. Η (1) γίνεται: ΒΗ2 = (2R)2 - R2 = 4R2 - R2 = 3R2

Άρα ΒΗ = R 3 = 3 3 cm Γ

O

B H

A

H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α = 6 3cm .

β) Το ΕΑΒΓ = 3ΕΒΟΓ = 3 21 ΒΓ⋅ΟΗ =

23 6 3 ⋅3 = 2cm327 .

2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:

ω = ν

360° , ν ∈ Ν - 1, 2. Με ω = 16° έχουµε: 16° = ν

360° ή ν = °°

16360 = 22,5.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο κανονικό πολύγωνο.

3. α) Ισχύει ΑΒ + ΒΓ = 80 cm (1) Αν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: ΑΓ2 = ΑΒ2 + ΒΓ2 ή (2R)2 = x2 + x2 ή

4R2 = 2x2 ή x2 = 2R2. Άρα x = R 2 (2)

Γ

O

BA

∆

R

Από (1) και (2) έχουµε: 2 R 2 = 80 ή R = 2

40 ή R = 20 2 cm

β) Η πλευρά x του τετραγώνου είναι: x = 20 2 ⋅ 2 = 40 cm

Άρα κύκλου

τετραγώνου

ΕΕ

λ = = 22

22

cm)220(πcm40

⋅ 2

2

cm800πcm1600

⋅, άρα λ =

π2

181

4. α) Ισχύει ΑΓ - ΑΒ = 12 cm (1) Αν x η πλευρά του τετραγώνου, τότε:

2R = x 2 ή x = R 2 (2) Η (1) λόγω της (2) γίνεται:

2R - R 2 = 12 ή R (2 - 2 ) = 12 ή

R = 2 - 2

12 = )2 (2 )2 - (2

)2 (2 12+

+ = 2 - 2

)2 (2 122

+ ή R = 6 (2 + 2 ) cm

β) E = πR2 = π [6 (2 + 2 )]2 ή Ε = 72π (3 + 2 2 ) cm2 5. α) Ισχύει λ4 + λ3 = 96 cm (1)

µε λ4 = R 2 , λ3 = R 3 , η σχέση (1) γίνεται:

R 2 + R 3 = 96 ή R ( 3 + 2 ) = 96 ή

R = 2 3

96+

= )2 - 3( )2 3(

)2 -3( 96+

R = 96 ( 3 - 2 ) cm

β) α4 = 2

2R = 2

2 )2- 3( 96 ή cm 2)-6( 48α 4 =

α3 = 2R =

2)2- 3( 96 ή cm )2 - 3( 48α3 =

6. Το εξάγωνο που σχηµατίζεται από τα µέσα

των πλευρών του κανονικού εξαγώνου ΑΒΓ∆ΕΖ είναι το ΗΘΙΚΛΜ. Συγκρίνοντας τα τρίγωνα ΗΒΘ, ΘΓΙ, παρατηρούµε ότι έχουν ΗΒ = ΒΘ = ΘΓ = ΓΙ και γωνίες

= = 120°. ∧B

∧Γ

Α

Γ

Β

∆Ε

Ζ

Η

Κ

ΙΛ

ΘΜ

182

Άρα αυτά είναι ίσα και άρα ΗΘ = ΘΙ. Επίσης, η γωνία Η Ι = 120°. ∧Θ

Γενικεύοντας ισχύει ΗΘ = ΘΙ = … = ΜΗ και = = ∧Θ

∧Ι

∧Κ = … = = 120°.

∧Η

Άρα το εξάγωνο ΗΘΙΚΛΜ είναι κανονικό. 7. Τα δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όµοια πολύγωνα και ο λόγος οµοιότητας λ

ισούται µε το λόγο των αποστηµάτων τους, δηλαδή λ = αα

8

8′=

34

.

α) Ο λόγος των περιµέτρων του ισούται µε το λόγο οµοιότητας, δηλαδή

43

Π'Π

= .

β) Ο λόγος των εµβαδών τους ισούται µε το τετράγωνο του λόγου της

οµοιότητάς τους, δηλαδή 169

Ε'Ε= .

8. α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΗΑ εφαρµόζουµε

Πυθαγόρειο θεώρηµα και έχουµε: ΑΗ2 = ΑΟ2 - ΟΗ2 ή

ΑΗ2 = 82 - (4 3 )2 = 64 - 16⋅3 = 16.

Άρα ΑΗ = 4 cm και ΑΒ = λν = 8 cm Α ΒΗ

Ο

ω

β) Στο τρίγωνο ΟΑΒ, η ΟΑ = ΑΒ = 8 cm, δηλαδή νλ R = . Άρα το τρίγωνο

ΟΑΒ είναι ισόπλευρο, άρα γωνία = 60°. ∧Ο

γ) Το πλήθος των πλευρών ν του κανονικού πολυγώνου είναι:

ν = ω

360° ή ν = °°

60360 ή ν = 6, πρόκειται δηλαδή για κανονικό εξάγωνο.

183

9. α) Η πλευρά ΑΒ = 6 cm είναι η πλευρά του κανονικού εξαγώνου του εγγεγραµµένου στον κύκλο (Ο, R).

Άρα ΑΒ = λ6 = R = 6 cm. Εποµένως η

πλευρά ΑΓ = λ3 = R 3 = 6 3 cm.

β) ΑΒ = λ6 = 6 cm

ΟΗ = α6 = 2

3R = 2

36 = 3 3 cm Α

Γ

Β

∆Ε

Ζ

Η

ω

Ο

Θ

ΑΓ = λ3 = R 3 = 6 3 cm

ΟΘ = α3 = 2R =

26 = 3 cm.

Εποµένως: λ = ΓΕ)A(Γ∆ΕΖ)AB( =

(OΑΓ) 3(ΟΑΒ) 6 =

ΟΘΑΓ 21 3

ΟΗΑΒ 21 6

⋅

⋅ =

ΟΘΑΓΟΗ2ΑΒ

⋅⋅ ,

λ = 3363362

⋅

⋅⋅ = 2

10. α) Στο τρίγωνο ΑΓΕ η ΓΒ είναι διάµεσος (αφού ΑΒ = ΒΕ) και ύψος (αφού η γωνία Β = 90° ως εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο). Άρα το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές και άρα ΑΓ = ΓΕ.

β) Στο τρίγωνο ΑΓΕ οι γωνίες = = 45°. Άρα η γωνία Α Ε = 90°. Άρα η ΓΕ είναι εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Γ.

∧A

∧E

∧Γ

γ) (ΑΓΕ) = 2ΓΕAΓ ⋅ =

22R2R ⋅ = 2R2

184

11. α) = 360° - ( + + ) = ∩∆A

∩AB

∩BΓ

∩Γ∆

360° - 60° - 90° - 120° = 90°

Άρα ∆ = B = 90°. ∩A

∩Γ

Άρα οι χορδές Α∆ και ΒΓ είναι ίσες και

επιπλέον ΑΒ // Γ∆ ( . )57Γ ,105 B °=°=∧∧

Άρα ΑΒΓ∆ ισοσκελές τραπέζιο. Α

Γ

Β

∆

Η

Ο

Θ

β) AB = 60°, άρα η χορδή ∩

RλAB 6 == ∩

BΓ = 90°, άρα η χορδή 2RλΒΓ 4 == ∩Γ∆ = 120°, άρα η χορδή 3RλΓ∆ 3 == ∩∆A = 90°, άρα η χορδή 2Rλ = Α∆ 4 =

γ) Ε = 21 (ΑΒ + Γ∆) ΗΘ (1)

Αλλά ΟΗ = α6 = 2

3R , ΟΘ = α3 = 2R

Άρα ΗΘ = ΟΗ + ΟΘ = 2

3R + 2R =

21) 3( R + (2)

Η (1) λόγω της (2) και του (β) ερωτήµατος γίνεται:

Ε = 21 )3R (R +

21) 3( R + =

41) 3( R 22 +

185

12. α) ΑΒ = λ4, Α΄Β΄ = λ4΄ , ΑΓ = δ = 2 R (δ διαγώνιος του τετραγώνου ΑΒΓ∆)

Άρα δ = 2R = AB 2 ή AB = 2

2R ή

ΑΒ = λ4 = 22

R22⋅

ή λ4 = R 2 και

Α΄Β΄ = λ4΄ = 2R.

β) ΕΕ = ′

λ = 2

4

24΄λλ

= 2

2

(2R))2(R = 2

2

4R2R =

21

13. H απόσταση

ΚΛ = ΚΗ + ΗΛ =

α6 + α6 = 2α6 = 2

32R = R 3 .

Αλλά λ6 = R = λ.

Άρα ΚΛ = λ 3 .

ΛΚ

λλ

Η

14. α) Έχουµε µε R = 3 cm:

ΑΒ = λ6 = 3 cm, ΟΘ = α6 = 2

33 cm

ΟΗ = α3 = 23 cm, ∆Ζ = λ3 = 3 3 cm

Άρα = 6 ΑΒΓ∆ΕΖΕ21 ΑΒ⋅ΟΘ =

6 21 3

233 = 2cm

2327

Α

Γ Β

∆

Ε Ζ

Η

Ο

Θ

β) Ε = 2

327E - Ε ZB∆ΑΒΓ∆ΕΖ = - 3 21 ∆Ζ⋅ΟΗ =

2

327 - 3 21 3 3

23

= 2

327 - 4

327 . Άρα Ε = 4

327 cm2.

186

15. α) H κεντρική γωνία ω του κανονικού εγγεγραµµένου πολυγώνου είναι: ∧ω =

34 L ή = 120°. Αλλά ισχύει =

∧ω

∧ω

ν360° µε ν τον αριθµό των

πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Άρα ν = °°

120360 , ν = 3

β) Η πλευρά λ3 του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 3Rλ3 = και το απόστηµά

του α3 = 2R . Άρα το εµβαδόν του υπολογίζεται:

Ε = 3 21 R 3

2R ή E =

433R 2

cm2

16. α) ΑΒ = λ6 = R OH = α6 = 2

3R

ΑΒΓ∆ΕΖΕ = 6 21 AB⋅ΟΗ =

6 21 R

23R =

233R 2

β) E = πR2 - = πRΑΒΓ∆ΕΖΕ 2 - 2

33R 2

= Α

Γ

Β

∆Ε

Ζ

Η

Ο

233R - 2πR 22

= 2

R 2

(2π - 3 3 )

17. α) Η ακτίνα του κύκλου είναι 2α . Άρα το

εµβαδόν του κύκλου είναι:

Ε = π 2

2α

=

4πα 2

(1)

β) Το εµβαδό του τετραγώνου είναι: = αΑΒΓ∆E 2 (2)

Α

Γ

Β

∆

α

Ο

Με αφαίρεση της (1) από τη (2) έχουµε το ζητούµενο εµβαδό:

Ε = α2 - 4πα 2

= 4 πα- 4α 22

= 4α 2

(4 - π)

187

18. α) Αν λ4 είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε

2Rλ 4 = ή cm 26λ 4 = .

Εποµένως ΕΑΒΓ∆ = (6 2 )2 cm2 = 72 cm2. β) H ακτίνα του εξωτερικού κύκλου είναι R = 6 cm

και η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου είναι

ρ = 3 2 cm. Άρα ο λόγος των εµβαδών τους είναι:

2 1836

)2(3π6πλ

2

2

==⋅

⋅=

19. α) Η ΑΒ είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου

εγγεγραµµένου σε κύκλο. Άρα = 120°. Εποµένως:

∧Ο

∩AB

S =°

°⋅⋅180

120Rπ = 32 πR

β) Για το εµβαδό του κυκλικού τοµέα ΑΟΒ έχουµε:

Α Β

Ο

E R Ro

oκ.τοµ. =⋅ ⋅

=π π2 2120

360 3

20. α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ µε ΟΑ

= R και ΟΚ = 2

2R

εφαρµόζουµε πυθαγόρειο θεώρηµα και έχουµε:

Α

Β

Ο Ο΄

R R

Κ21

188

ΑΚ2 = ΟΑ2 - ΟΚ2 = R2 - 2

22R

= R2 -

42R 2

= 4

2R 2

= 2

R 2

Άρα ΑΚ = 2

2R και εποµένως το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ είναι

ισοσκελές.

Άρα ∧Ο 1 = 45°, άρα =

∧Ο

∧Ο 1 +

∧Ο 2 = 90°. Εποµένως:

E = ∩AOB °

°⋅⋅360

90Rπ 2

= 4

πR 2

(1)

β) Ε = 2 [ - Ε∩AOB

E ΑΟΒ] (2)

Αλλά ΕΑΟΒ = 2

R 2

(3)

Από (1) και (3) η σχέση (2) γίνεται: Ε = 2 [4

πR 2

- 2

R 2

] = 2

R 2

(π - 2)

21. α) Για τον υπολογισµό του εµβαδού του

µικρότερου κυκλικού τµήµατος αφαιρούµε από το εµβαδό του κυκλικού τοµέα ΑΟΒ το εµβαδό του τριγώνου ΑΟΒ.

∩AOB

E = °

°⋅⋅360

90Rπ 2

= 4

πR 2

(1)

ΕΑΟΒ = 2

ΑΟ2

= 2

R 2

(2) Α Β

Ο

Το ζητούµενο εµβαδόν σύµφωνα µε τις (1), (2) είναι:

Ε = 4

πR 2

- 2

R 2

= 4

R 2

(π - 2) (3)

β) Για τον υπολογισµό του µεγαλύτερου κυκλικού τµήµατος αφαιρούµε από το εµβαδό του κύκλου το εµβαδό της σχέσης (3) και έχουµε:

Ε = πR2 - 4

R 2

(π - 2) Ε = 4

R 2

(3π + 2)

189

22. α) Είναι ΑΟ = ΟΓ, ΟΗ ⊥ Α∆, τότε ΟΗ // ∆Γ.

Στο τρίγωνο Α∆Γ η ΟΗ = // 2∆Γ ή

∆Γ = 2ΟΗ = 2R. E = ∆ΓABΓ∆

2 = (2R)2 = 4R2

β) Στο τετράγωνο ΑΒΓ∆ πλευράς 2R η ΑΓ διαγώνιός του. Τότε ισχύει:

ΑΓ2 = Α∆2 + ∆Γ2 ή ΑΓ2 = (2R)2 + (2R)2 ή ΑΓ2 = 8R2

Η Ο

Ο λόγος εµβαδών των δύο κύκλων (Α, ΑΓ), (Ο, R) είναι:

2

2

2

2

R) (Ο,

AΓ) (A,

πRπ8R

πRπA

EE

=Γ

= = 8

23. Το τρίγωνο ∆ΟΓ είναι ορθογώνιο στο Ο και ισοσκελές (∆Ο = ΟΓ). Επίσης ΟΗ ⊥ ∆Γ. Άρα ∆Η = ΗΓ = α και ΟΗ = α.

Στο τρίγωνο ΟΗ∆, ∆∧

1 = 45°, = 90°. ∧Η

Εφαρµόζουµε το Πυθαγόρειο θεώρηµα: ∆Ο2 = ∆Η2 + ΗΟ2, ∆Ο2 = α2 + α2 ή ∆Ο2 = 2α2 (1)

Α

Γ

Β

∆ α

Ο

α

2α

1Η

α) Ε(Ο, ΟΗ) = π⋅ΟΗ2 = πα2

β) Ε(Ο, Ο∆) = π⋅Ο∆2 π⋅2α)1(= 2 , άρα: 2

πα2πα

EE

2

2

ΟΗ) (Ο,

O∆) (O, ==

190

24. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε:

α2 = β2 + γ2 ή 4πα 2

= 4πβ2

+ 4πγ 2

ή

π 2

2α

= π

2

2β

+ π

2

2γ

ή

Εα = ΕΒ + Εγ

Α Γ

Β

α

β

γ

Με Εα συµβολίζουµε το εµβαδό του κύκλου µε διάµετρο α Με Εβ συµβολίζουµε το εµβαδό του κύκλου µε διάµετρο β Με Εγ συµβολίζουµε το εµβαδό του κύκλου µε διάµετρο γ.

25. α) Είναι ΟΑ = ΟΒ = R, ΕΟΑΒ = 21 RR =

2R 2

β) EΜΗΝΙΣΚΟΥ = ΕΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) - [ΕΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - ΕΑΟΒ] (Ι) Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ

(ΟΑ = ΟΒ = R, = 90°) έχουµε: ∧O

ΑΒ2 = ΟΑ2 + ΟΒ2 ή (2ΚΒ)2 = R2 + R2 ή 4ΚΒ2 = 2R2 ή ΚΒ2 = 2

R 2

(1)

ΕΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) = 2

πKB2

)1(=

22

R π2

= 4

πR 2

(2)

ΕΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - ΕΑΟΒ = 360

90πR 2

- 2

R 2

= 4

πR 2

- 2

R 2

(3)

Από την ισότητα (Ι):

EΜΗΝΙΣΚΟΥ = ΕΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) - [ΕΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - ΕΑΟΒ] (3) (2),=

4πR 2

- (4

πR 2

- 2

R 2

) = 2

R 2

191

26. Αν είναι η κεντρική γωνία του κανονικού πενταγώνου τότε:

∧ω

∧ω =

5360° ή = 72°

∧ω

Αν η εσωτερική γωνία του κανονικού πενταγώνου

είναι:

∧φ

∧φ + = 180° ή φ = 180° - 72° ή φ = 108°

∧ω

∧ ∧

Στο τρίγωνο ΑΒΕ είναι ΑΒ = AΕ (ισοσκελές), άρα: ∧

ABE = , τότε 2 + = 180° ή 2 = 180° - 108° ή ∧

AEB∧

ABE∧A

∧ABE

2 = 72° ή = 36° ∧

ABE∧

ABE

Η = - ή = 108° - 36° ή = 72°. ∧

EBΓ∧

ABΓ∧

ABE∧

EBΓ∧

EBΓ

Όµως = + = ∧

ΖBΓ∧

ΖBΕ∧

EBΓ2

ABE∧

+ EB = ∧Γ

236° + 72° = 18° + 72° = 90°

Άρα ΖΒ ⊥ ΒΓ.

27. Από την προηγούµενη λύση της (26), έχουµε: = 72° και = 108°,

άρα + B = 72° + 108° = 180°. Τότε ΒΕ // Γ∆, αφού οι εντός και επί τα αυτά των ΒΕ, Γ∆ που τέµνονται από τη ΒΓ είναι παραπληρωµατικές.

∧EBΓ

∧BΓ∆

∧EBΓ

∧Γ∆

192

28. Από το σχήµα: ΟΗ = 3 cm, ΟΒ = x, ΗΒ = 2x .

Στο : ΟΒ∆

OHB 2 = ΟΗ2 + ΗΒ2 ή

x2 = 32 + 4

x 4

ή 4

3x 2

= 9 ή x2 = 12 ή

x = 2 3 cm. Όµως:

Α

Γ

Β

∆Ε

Ζ

Η

Ο

α΄6 = ΟΗ = 3 cm, ΑΒ = 2ΗΒ ή ΑΒ = x = 32 .

Άρα α) λ΄6 = 32 cm

β) α΄6 = 3 cm

γ) ΕΑΒΓ∆ΕΖΗ = 6ΕΑΟΒ = 6 2α΄ λ΄ 66 = 6

2332 ⋅ = 18 3 cm2

29. Είναι λ3 = 9 cm. Γνωρίζουµε ότι λ3 = R 3 , τότε R 3 = 9 ή R = 3 3 cm

α) Το µήκος του κύκλου L = 2πR = 2π⋅3 3 = 6π 3 cm

β) Eτριών κυκλικών τµηµάτων εκτός τριγώνου = πR2 - Eισοπλευρ. = π (3 3 )2 - 4

3λ 23 =

27π - 4

392

= (27π - 4

318 ) cm2 = 9 (3π - 4

39 ) cm2.

30. α) π 2

2AB

= π

2

26α

= π (3α)2 = 9πα2, ΑΒ = 6α

β) Είναι ΑΓ = Γ∆ = ∆Β = 3

AB = 3

6α = 2α.

Τότε π 2

2AΓ

= π

2

22α

= πα 2

γ) Από το (α) και το (β) έχουµε: 2

2

9πα3πα = 1

3

δ) Εγραµµοσκιασµένο = Ε(Ο, ΟΑ) - 3Εµικρού κύκλου = 9πα2 - 3πα2 = 6πα 2

193

31. α) Το τρίγωνο ΟΒ∆ είναι ισοσκελές (ΟΒ = Ο∆)

µε , άρα είναι ισόπλευρο. Το ίδιο και για το τρίγωνο ΟΕΓ.

B o∧=60

β) Είναι: Εκυκλικού τοµέα Ο∆ΖΒ = 360

60(OB) π 2 ⋅ =

= 62α π

2

= 24πα 2

γ) Τα εµβαδά των δύο γραµµοσκιασµένων κυκλικών τµηµάτων είναι:

Ε = 2

∆ΒΟ

2

Ε - 24πα

= 2

4

3 2α

- 24πα

2

2

= 2

163 α -

24πα 22

=

= 12πα 2

- 8α 3 2

= 4α 2

23 -

3π

32. Είναι: 41

R2/R

αα

EE 22

3

3

περ/νου

εγ/νου =

=

′

=

33. α) Η ΑΒ∆ = 90° γιατί βαίνει σε ηµικύκλιο ∧

α3 ⊥ ΑΒ, α6 ⊥ Β∆, τότε α3 ⊥ α6

β) ΕΑΟΒ = 2ABα3 ⋅ =

2

3R2R⋅

= 4

3R 2

ΕΟΒ∆ = 2B∆α6 ⋅ =

2

R2

3R⋅

= 4

3R 2

,

τότε: ΕΑΟΒ = ΕΟΒ∆

194

34. 22222στεφαν. ΑΣπ)ρ - (R π πρ- πRE ⋅===

Όµως ΕΟΑΣ = 2ρAΣ ⋅ ή

ρ2ΕΟΑΣ = ΑΣ, τότε:

2

2ΟΑΣ

2ΟΑΣ2

στεφαν. ρ4Ε π

ρ2Ε π πAΣE =

==

35. Το τρίγωνο ΟΑ∆ είναι ισόπλευρο µε πλευρά Α∆ = 2R. Άρα:

ΕΟΑ∆ = 4

3 (2R)2

= R2 3

Α

Γ

Β

∆Ε

Ζ

Ο

K

R

R

36. Εισοπλ. = 12 3 cm2, όµως Εισοπλ. = 2αλ

333 = 2

2R33R ⋅

= 4

33R 2

Τότε: 4

33R 2

= 12 3 ή R2 = 16 ή R = 4 cm

α) λ4 = 2 R ή λ4 = 2 ⋅ 4 ή λ4 = 4 2 cm

β) α4 = 22 R ή α4 =

22 4 ή α4 = 2 2 cm

γ) Ε4 = λ ή Ε24 4 = (4 2 )2 ή Ε4 = 32 cm2

37. α) Πλευρά τετραγώνου = 2⋅40 = 80 m

β) Αξία χωραφιού = 802⋅10.000 = 64.000.000 δρχ. γ) Εζητούµενο = 802 - π⋅402 = 6400 - 1600 π = 1600 (4 - π) m2

195

38. Είναι διάµετρος δ = 0,5 m, Lτροχού = 2π 2δ = π⋅0,5 m

Αν ν ο αριθµός στροφών, τότε ν⋅Lτροχού = 1.000 m ή ν = τροχούL

1000 ή

ν = 0,5π1000 =

π2000 στροφές.

39. α) Στο κυκλικό πάρκο R = 6 m θα εγγραφεί τετράγωνο πλευράς λ4 = R 2

ή λ4 = 6 2 , Ε4 = (6 2 )2 = 72 m2. ∆ηλαδή θα χρειαστούν 72:0,09 πλακάκια = 800 πλακάκια.

β) Αν Ε το µέρος που δεν έχει πλακάκια, θα είναι:

Ε = πR2 - λ ή Ε = π624

2 - (6 2 )2 ή Ε ≈ 3,14⋅36 - 72 ή Ε ≈ 41,04 m2

Το κόστος είναι 41,04 ⋅ 3.000 = 123.120 δρχ.

196

Κεφάλαιο 12: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ∆Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ


1. * Κάθε ευθεία που διέρχεται από δύο διαφορετικά σηµεία του

επιπέδου ανήκει στο επίπεδο αυτό.

Σ Λ 2. * Τρία συνευθειακά σηµεία ορίζουν ένα επίπεδο. Σ Λ 3. * ∆ύο τεµνόµενες ευθείες βρίσκονται σε δύο διαφορετικά

επίπεδα.

Σ Λ 4. * ∆ύο παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο. Σ Λ 5. * ∆ύο ασύµβατες ευθείες ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Σ Λ 6. * ∆ύο ασύµβατες ευθείες είναι παράλληλες. Σ Λ 7. * ∆ύο επίπεδα που δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο είναι

παράλληλα.

Σ Λ 8. * Η τοµή κυκλικού δίσκου µε επίπεδο που δεν τον περιέχει

είναι κύκλος.

Σ Λ 9. * Μια ευθεία είναι κάθετη σ’ ένα επίπεδο όταν είναι κάθετη

σε µια µόνο ευθεία του επιπέδου.

Σ Λ 10. * Από ένα σηµείο µιας ευθείας διέρχεται µοναδικό επίπεδο

κάθετο προς αυτή.

Σ Λ 11. * Αν δύο ευθείες είναι µεταξύ τους παράλληλες και η µία είναι

κάθετη σ’ ένα επίπεδο, τότε η άλλη είναι παράλληλη στο επίπεδο αυτό.

Σ Λ

12. * Αν οι αποστάσεις των σηµείων Α και Β από ένα επίπεδο είναι 3 cm και 5 cm αντίστοιχα τότε τα σηµεία Α και Β είναι σηµεία επιπέδου παράλληλου προς το αρχικό.

Σ Λ

197

13. * Αν p // q // r και ε, λ τέµνουσες τα επίπεδα αυτά τότε ισχύουν οι σχέσεις:

i) ∆ΕΑΒ =

ΕΖΒΓ

ii) ΒΓΑΒ =

∆Ε∆Ζ

iii) ΑΓΑΒ =

∆Ζ∆Ε

r

E

ΖΓ

q

∆

p

B

A

λε

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

14. * Η προβολή κάθετης ευθείας σ’ ένα επίπεδο είναι ευθεία. Σ Λ 15. * Αν ευθεία είναι κάθετη σ’ ένα επίπεδο τότε η κλίση της ως

προς το επίπεδο είναι µηδέν.

Σ Λ 16. * Η προβολή ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ = 4 cm παράλληλου

προς επίπεδο έχει µήκος 4 cm.

Σ Λ 17. * Η προβολή κυκλικού δίσκου ακτίνας 5 cm παράλληλου προς

επίπεδο είναι κύκλος µε ακτίνα 3 cm.

Σ Λ 18. * Κλίση ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ ως προς επίπεδο είναι η

γωνία που σχηµατίζει το ΑΒ µε την απόσταση του σηµείου Β από το επίπεδο.

Σ Λ

198

19. * Στο διπλανό σχήµα i) Η προβολή του Α

είναι το Α. ii) Η προβολή του Β

είναι το ΒΒ΄. iii) Η προβολή του

ΑΒ είναι το ΒΒ΄. iv) Η προβολή του

ΑΒ είναι το ΑΒ΄. v) Αν ΒΒ΄ = ΑΒ΄

τότε = 30° ∧

΄BAB

A

B

B ´

p

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ 20. * Αν η κλίση ευθείας ε ως προς επίπεδο p είναι µηδέν τότε η ε

είναι παράλληλη προς το p ή ανήκει σ’ αυτό.

Σ Λ 21. * Αν η γωνία των ασυµβάτων ευθειών είναι ορθή τότε αυτές

λέγονται ορθογώνιες.

Σ Λ

22. * Η γωνία δύο ασύµβατων ευθειών είναι δίεδρη γωνία. Σ Λ

199

23. * Στο διπλανό σχήµα i) Αν q ⊥ ε, q ∩ p1 = ε1,

q ∩ p2 = ε2, τότε η κυρτή και η µη κυρτή γωνία που ορίζονται από τις ηµιευθείες ε1 και ε2 ονοµάζονται αντίστοιχες επίπεδες γωνίες της κυρτής και µη κυρτής δίεδρης γωνίας.

ii) Το µέτρο κάθε επίπεδης γωνίας είναι διάφορο του µέτρου της δίεδρης γωνίας.

ε

q

ρ1ρ2

ε2

Σ Λ

Σ Λ

24. * Αν µια οξεία και µια αµβλεία δίεδρη γωνία έχουν τις έδρες τους παράλληλες, τότε οι αντίστοιχες επίπεδες γωνίες είναι συµπληρωµατικές.

Σ Λ 25. * Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που ισαπέχουν από τις

έδρες δίεδρης γωνίας είναι το ηµιεπίπεδο που διχοτοµεί τη δίεδρη.

Σ Λ 26. * ∆ύο επίπεδα ονοµάζονται κάθετα µεταξύ τους, όταν

σχηµατίζουν µία ορθή δίεδρη.

Σ Λ 27. * ∆ύο τεµνόµενα επίπεδα σχηµατίζουν δύο δίεδρες γωνίες. Σ Λ 28. * Τα επίπεδα που διχοτοµούν δύο εφεξής παραπληρωµατικές

δίεδρες γωνίες είναι παράλληλα.

Σ Λ

200

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Το πλήθος των ευθειών που περιέχονται σ’ ένα επίπεδο είναι

Α. ένα µόνο. Β. δύο τεµνόµενες. Γ. τρεις παράλληλες. ∆. τέσσερις τεµνόµενες ανά δύο. Ε. άπειρο.

2. * Ένα επίπεδο ορίζεται από

Α. δύο σηµεία. Β. τρία συνευθειακά σηµεία. Γ. τρία µη συνευθειακά σηµεία. ∆. τέσσερα συνευθειακά σηµεία. Ε. µία ευθεία.

3. * ∆ύο ασύµβατες ευθείες

Α. είναι παράλληλες. Β. τέµνονται. Γ. ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. ∆. ανήκουν σε δύο διαφορετικά επίπεδα. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

4. * Στο διπλανό σχήµα

i) Το µήκος ΚΑ είναι Α. 2. Β. 3. Γ. 4. ∆. 5. Ε. 6.

ii) Το µήκος ΜΖ είναι

Α. 5 . Β. 10 . Γ. 15 .

∆. 100 . Ε. 125 .

Μ

Κ

Ζ

3 5

10

Αp

201

5. * Στο διπλανό σχήµα είναι p // q // r και ΑΒ = 5 cm, ΒΓ = 3 cm, ∆Ε = 10 cm. Τότε η ΕΖ σε cm είναι Α. 3. Β. 4. Γ. 5. ∆. 6. Ε. 7.

ε1 ε2

r

E

ΖΓ

q

∆

p

B

A

6. * Στο σχήµα της προηγούµενης ερώτησης αν είναι ΒΓ = 6 cm και ∆Ζ = 15 cm,

ΑΒ = 4, τότε το µήκος του ∆Ε σε cm είναι Α. 2. Β. 4. Γ. 6. ∆. 8. Ε. 10.

7. * Στο διπλανό σχήµα το µήκος της προβολής του ΑΒ στο επίπεδο p σε cm είναι

Α. 2. Β. 5 . Γ. 3.

∆. 4. Ε. 5. A

B

Γ

p

3 cm5 cm

202

8. * Στο διπλανό σχήµα αν

2AB BB = τότε η κλίση της ΑΒ

ως προς το επίπεδο είναι Α. 30°. Β. 45°. Γ. 60°. ∆. 75°. Ε. 90°.

B

B ´

p 9. * Αν η προβολή ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ ισούται µε την απόσταση του

σηµείου Β από το επίπεδο τότε η κλίση του ΑΒ ως προς το επίπεδο είναι Α. 30°. Β. 45°. Γ. 60°. ∆. 75°. Ε. 90°.

10. * Η προβολή ευθείας πάνω σε επίπεδο είναι σηµείο όταν η ευθεία

Α. είναι παράλληλη προς το επίπεδο. Β. σχηµατίζει γωνία 30° µε το επίπεδο. Γ. σχηµατίζει γωνία 45° µε το επίπεδο. ∆. σχηµατίζει γωνία 60° µε το επίπεδο. Ε. σχηµατίζει γωνία 90° µε το επίπεδο.

11. * Αν ένα επίπεδο τέµνει δύο παράλληλα επίπεδα τότε οι σχηµατιζόµενες

εντός και επί τ’ αυτά µέρη δίεδρες γωνίες είναι Α. ίσες. Β. συµπληρωµατικές. Γ. παραπληρωµατικές. ∆. και οι δύο αµβλείες. Ε. και οι δύο οξείες.

12. * Για την προβολή Κ΄Λ΄ ενός τµήµατος ΚΛ πάνω σε επίπεδο ισχύει πάντοτε

Α. Κ΄Λ΄ = ΚΛ. Β. Κ΄Λ΄ < ΚΛ. Γ. Κ΄Λ΄ ≤ ΚΛ ∆. Κ΄Λ΄ > ΚΛ Ε. Κ΄Λ΄ ≥ ΚΛ

203

204

13. * Αν κ είναι η κλίση µιας ευθείας ως προς επίπεδο θα ισχύει µόνο Α. 90° < κ ≤ 180°. Β. 180° ≤ κ ≤ 270°. Γ. 270° ≤ κ ≤ 360°. ∆. 0° ≤ κ ≤ 90°. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

14. * Αν το επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ τέµνει κάθετα επίπεδο p τότε η προβολή του

τριγώνου στο επίπεδο είναι Α. ευθεία Β. ευθύγραµµο τµήµα Γ. σηµείο ∆. ευθεία κάθετη στο επίπεδο p Ε. ευθύγραµµο τµήµα κάθετο στο επίπεδο p

Ερώτηση αντιστοίχισης 1. * Αντιστοιχίστε κάθε σχήµα της στήλης Α µε την κατάλληλη σχέση της

στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

B

B ´A30°

A

B

B ´45°

A

B

B ´60°

Α) ΒΒ΄ = 2

AB

Β) ΑΒ΄ = 2

AB

Γ) ΑΒ΄ = ΒΒ΄

∆) ΑΒ΄ = 2

BB

Ε) ΑΒ = ΒΒ΄

1 2 3

205

Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. * Να συµπληρώσετε τα παρακάτω αξιώµατα του χώρου:

i) ....................................... σηµεία ορίζουν ακριβώς ένα επίπεδο. ii) Σε κάθε επίπεδο ανήκουν τουλάχιστον....................................... σηµεία µη

συνευθειακά. iii) Υπάρχει τουλάχιστον......................................., το οποίο δεν ανήκει σ’

ένα δεδοµένο επίπεδο. iv) Η ευθεία που διέρχεται από ....................................... ενός επιπέδου

ανήκει το σηµείο αυτό. v) Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σηµείο, τότε έχουν .................................

ανήκει στο επίπεδο αυτό. 2. * Να συµπληρώσετε τις παρακάτω συνέπειες των αξιωµάτων του χώρου:

i) Κάθε επίπεδο περιέχει....................................... σηµεία. ii) Κάθε επίπεδο περιέχει....................................... ευθείες. iii) Για κάθε επίπεδο υπάρχουν....................................... σηµεία που δεν

ανήκουν σ’ αυτό. iv) Μια ευθεία και ....................................... ορίζουν ένα µοναδικό επίπεδο. v) ∆ύο ....................................... ορίζουν ένα µοναδικό επίπεδο.

3. * Κλίση ευθείας ως προς το επίπεδο ονοµάζουµε τη γωνία .......................... .

206

4. * Συµπληρώστε στις στήλες Β και Γ τις εκφράσεις που αντιστοιχούν στα σχήµατα της στήλης Α.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Σχήµατα Εκφράσεις Εκφράσεις

ε

p

Η ευθεία ε ……………… στο επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν ………… κοινά σηµεία.

ε

p

Α

Η ευθεία ε ……………… το επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν ……… κοινό σηµείο.

ε

p

Η ευθεία ε ……………… προς το επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο p δεν έχουν ……… κοινό σηµείο.

207

5. * Παρατηρώντας το σχήµα της στήλης Α συµπληρώστε τις προτάσεις της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β Σχήµα Προτάσεις

ε

pΓ

∆Β

Α

Αν ΑΒ ⊥ p και ......................., τότε ΑΓ ⊥ ε Αν ΑΒ ⊥ p και ΑΓ ⊥ ε, τότε ....................... Αν ΑΓ ⊥ ε, ΒΓ ⊥ ε και ......................., τότε ...............

208

6. * Παρατηρώντας το σχήµα της στήλης Α όπου p // q // r συµπληρώστε τις ισότητες της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β Σχήµα Ισότητες

ε1 ε2

r

E

ΖΓ

q

∆

p

B

A

ΓBAB =

ΓΓ

BA

=

ΑΓΒA

=

209

7. * Παρατηρώντας το σχήµα της στήλης Α συµπληρώστε αριθµητικά τις ισότητες της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β Σχήµα Ισότητες

15 10

4

ε1 ε2

r

E

ΖΓ

q

∆

p

B

A

ΒΓ = ΑΓ =

ΑΓΒA

=

210

8. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Σχήµατα Κλίση κ Αντίστοιχες

σχέσεις

A

B

B ´

κ

κ =

ΑΒ΄ = ΒΒ΄

B

B ´A30°

κ = 30°

ΒΒ΄ =

A

B

B ´κ

κ =

ΑΒ΄ = 2ΑΒ

211

9. * Παρατηρώντας τα σχήµατα της στήλης Α συµπληρώστε τις αντίστοιχες εκφράσεις της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β Σχήµατα Αντίστοιχες εκφράσεις

p

q

λ

ε

Α

Αν ε ⊥ p και q περιέχει την ε, τότε .......................

p

q

εΑ

Β

Αν p ⊥ q, Α σηµείο του p και AB ⊥ q, τότε .......................

212

p

q w

Αν q ⊥ p και w ⊥ p και q, p δεν τέµνονται, τότε .......................

p

q

ε

w

Αν q ⊥ p και w ⊥ p και q, w έχουν κοινή ευθεία την ε, τότε .......................

213

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ∆ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς

και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι σηµείο του επιπέδου p.

2. ** Να δείξετε ότι κάθε ευθεία ε που ορίζεται από ένα σηµείο Α ενός

επιπέδου p και από ένα άλλο σηµείο Β που βρίσκεται εκτός του επιπέδου δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε το επίπεδο εκτός του Α.

3. ** ∆ίνονται δύο ασύµβατες ευθείες ε1 και ε2 και τυχαίο σηµείο Α της ε1. Να

δείξετε ότι: α) Το Α και η ε2 ορίζουν ένα επίπεδο. β) Το επίπεδο αυτό έχει µε την ε1 κοινό µόνο το σηµείο Α.

4. ** ∆ύο κύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) τέµνονται στα σηµεία Α και Β. Έστω Γ

το σηµείο τοµής της ΑΒ µε την Ο1Ο2 (Γ ≠ Ο1, Ο2). Να δείξετε ότι οι κύκλοι αυτοί ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.

5. ** ∆ίνονται δύο ασύµβατες ευθείες ε1 και ε2 και Α, Β αντίστοιχα σηµεία των

ευθειών ε1 και ε2. Να δείξετε ότι α) Τα ζεύγη (Α, ε2) και (Β, ε1) ορίζουν αντίστοιχα δύο επίπεδα p και q. β) Η τοµή των επιπέδων p και q είναι η ευθεία ΑΒ.

6. ** Έστω επίπεδο p και δύο παράλληλες ευθείες του ε1 και ε2. ∆ύο επίπεδα q, t

έχουν τοµές µε το p τις ευθείες ε1 και ε2 αντίστοιχα. Αν q, t τέµνονται κατά την ε3 να δείξετε ότι η ε3: α) Είναι παράλληλη προς τις ευθείες ε1 και ε2. β) ∆εν έχει κανένα κοινό σηµείο µε το p.

214

7. ** ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε (Α∆ // ΒΓ) και σηµείο Κ, που δεν ανήκει στο επίπεδο p του τραπεζίου. Να κατασκευάσετε την τοµή των επιπέδων (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, ∆) αφού προσδιορίσετε προηγουµένως ένα ακόµη σηµείο του p, που µαζί µε το σηµείο Κ θα την ορίζει.

8. ** Αν Κ το περίκεντρο τριγώνου ΑΒΓ και ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδο

του τριγώνου στο σηµείο Κ, να δείξετε ότι κάθε σηµείο Ο της ε ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου.

9. ** ∆ίνεται επίπεδο p και ένα σηµείο Κ που δεν ανήκει στο p και απέχει από

αυτό απόσταση α. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του p τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση λ (λ > α).

10. ** ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και σε σηµείο του Α ένα εφαπτόµενο τµήµα

ΑΒ = R 2 . Πάνω στη κάθετη ευθεία προς το επίπεδο του κύκλου στο

σηµείο Ο παίρνουµε τµήµα ΟΓ = R 6 . Να υπολογίσετε τα τµήµατα:

α) ΑΓ. β) ΒΓ.

11. ** Από σηµείο Κ εκτός επιπέδου p φέρουµε κάθετη ΚΟ στο p και τις πλάγιες

προς αυτό ΚΑ και ΚΒ. Αν στις ΚΟ, ΚΑ και ΚΒ πάρουµε σηµεία Γ, ∆, Ε

αντίστοιχα έτσι ώστε να ισχύει ΚΟΚΓ =

ΚΑΚ∆ =

ΚΒΚΕ να δείξετε ότι:

α) Η Γ∆ είναι παράλληλη προς την ΟΑ. β) Η ΓΕ είναι παράλληλη προς την ΟΒ. γ) Η ΚΟ είναι κάθετη στο επίπεδο (Γ, ∆, Ε)

12. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90°) φέρουµε από το µέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ ευθεία ε κάθετη στο επίπεδό του. Να δείξετε ότι για κάθε σηµείο Κ της ευθείας ε ισχύει ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ.

∧

215

13. ** ∆ίνονται δύο σηµεία Α και Β ενός επιπέδου p και σηµείο Γ έξω από το επίπεδο p. Το Γ απέχει από το επίπεδο p απόσταση Γ∆ = 8 cm και από το

τµήµα ΑΒ απόσταση ΓΖ = 10 cm. Να δείξετε ότι Β)(ΓΑΒ)(∆Α =

53 .

14. ** ∆ίνεται = 60° σε επίπεδο

p και στην πλευρά Αy παίρνουµε σηµείο Β έτσι ώστε ΑΒ = 6 cm και φέρουµε από το Β κάθετη ευθεία ε στο επίπεδο p. Αν επί της ε πάρουµε τµήµα Β∆ = 10 cm και είναι ∆Γ ⊥ Αx:

∧xAy

α) Να δείξετε ότι ΒΓ ⊥ ΑΓ. β) Να βρείτε την απόσταση Γ∆.

ε

pΓ

∆

Βy

x

A

15. *** Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του χώρου, για τα οποία

ισχύει ΜΑ2 - ΜΒ2 = λ2, όπου Α, Β είναι δύο ορισµένα σηµεία και λ ένα γνωστό ευθύγραµµο τµήµα.

16. ** ∆ίνονται δύο ασύµβατες ευθείες ε1 και ε2. Να δείξετε ότι από κάθε µία διέρχεται ένα µόνο επίπεδο παράλληλο προς την άλλη.

17. ** Από κάθε σηµείο του χώρου, που δεν ανήκει σε καµία από δύο ασύµβατες ευθείες ε1 και ε2 διέρχεται ένα µόνο επίπεδο παράλληλο προς αυτές.

18. ** Από κάθε σηµείο Α, που δεν ανήκει στο επίπεδο q δύο τεµνοµένων ευθειών ε1 και ε2 διέρχεται ένα µόνο επίπεδο παράλληλο προς τις ε1 και ε2.

216

19. *** ∆ίνεται στρεβλό(1) τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και τα βαρύκεντρα(2) Θ και Θ΄ των τριγώνων ΑΓ∆ και ΒΓ∆ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ΘΘ΄ είναι παράλληλη προς: α) την ΑΒ. β) το επίπεδο (Α, Β, Γ). γ) το επίπεδο (Α, Β, ∆).

(1) Στρεβλό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι το σχήµα του οποίου οι κορυφές Α, Β, Γ, ∆ δεν ανήκουν όλες στο ίδιο επίπεδο.

(2) Βαρύκεντρο τριγώνου ΑΒΓ είναι το σηµείο τοµής των διαµέσων του.

20. ** ∆ίνεται επίπεδο p, σηµείο Α εκτός αυτού και ευθεία ε1 που τέµνει το p και δεν διέρχεται από το Α. Να κατασκευάσετε(1) ευθεία ε2 παράλληλη του p η οποία να διέρχεται από το Α και να τέµνει την ε1. (1) Όταν ζητάµε «κατασκευή σχήµατος στο χώρο», εννοούµε το θεωρητικό καθορισµό

του σχήµατος, δηλαδή την εύρεση στοιχείων µε τη βοήθεια αβαθµολόγητου κανόνα και διαβήτη, µε τα οποία µπορεί το σχήµα να ορισθεί.

21. ** ∆ίνεται στρεβλό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και τα µέσα Ε, Ζ και Η αντίστοιχα

των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και Γ∆. Να δείξετε ότι: α) Οι ευθείες ΑΓ και Β∆ είναι παράλληλες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η). β) Το ευθύγραµµο τµήµα Α∆ τέµνεται από το επίπεδο (Ε, Ζ, Η) στο µέσο

του.

22. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από τις κορυφές του φέρνουµε τα παράλληλα και ίσα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ έξω από το επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ και προς το ίδιο µέρος του χώρου. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα. β) Τα επίπεδα των δύο τριγώνων είναι παράλληλα.

217

23. ** Στο διπλανό σχήµα είναι p // q // r και ΑΒ = 6,5 cm, ΒΓ = 4 cm, Α΄Γ΄ = 10 cm. Να υπολογίσετε τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων: α) Α΄Β΄ β) Β΄Γ΄.

Γ ΄

Β ΄Β

Α ΄

Γ

ε1 ε2

r

q

p

A

24. ** Θεωρούµε επίπεδο p και σηµείο Ο έξω από αυτό. Αν Α, Β και Γ είναι τρία σηµεία του επιπέδου P να δείξετε ότι τα µέσα Μ, Ν και Κ αντίστοιχα των ευθυγράµµων τµηµάτων ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ ισαπέχουν από το επίπεδο p στις παρακάτω περιπτώσεις α) Όταν τα Α, Β και Γ δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. β) Όταν τα Α, Β και Γ βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

25. ** Αν ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο και ΑΑ΄ = 5 cm, BB΄ = 8 cm, ΓΓ΄ = 9 cm, ∆∆΄ = 6 cm

και ΑΑ΄ // BB΄ // ΓΓ΄ // ∆∆΄, να δείξετε ότι: α) (ΑΑ΄, ∆∆΄) // (ΒΒ΄, ΓΓ΄). β) (ΑΑ΄, ΒΒ΄) // (ΓΓ΄, ∆∆΄).

218

26. ** ∆ίνονται δυο οξείες γωνίες x O y, x΄O ΄y΄ που περιέχονται σε διαφορετικά επίπεδα p και q αντίστοιχα και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Να δείξετε ότι:

∧ ∧

α) p // q.

β) x y = x΄O y΄. ∧O

∧

27. ** ∆ίνονται δύο παράλληλα επίπεδα p και q. Από ένα σηµείο Κ του χώρου

φέρουµε τρεις ηµιευθείες Kx, Ky, Kz οι οποίες τέµνουν τα επίπεδα p και q στα σηµεία Α, Β, Γ και ∆, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ είναι όµοια.

28. ** Να δείξετε ότι οι προβολές δύο παράλληλων ευθειών ε1 και ε2 σε επίπεδο p α) είναι παράλληλες ευθείες. β) Σε ποιες περιπτώσεις δεν ισχύει το (α);

29. ** ∆ίνονται δύο παράλληλα επίπεδα p και q. Να δείξετε ότι κάθε ευθεία ε που τέµνει τα επίπεδα p και q σχηµατίζει ίσες γωνίες µε αυτά.

30. ** Να δείξετε ότι η προβολή ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ πάνω σ’ ένα

επίπεδο p είναι παραλληλόγραµµο. 31. ** ∆ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ πλάγιο προς το επίπεδο p. Να δείξετε ότι

η προβολή του µέσου Μ του ΑΒ στο επίπεδο p είναι το µέσο της προβολής Α΄Β΄ του ΑΒ στο p.

32. ** Τα άκρα ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ απέχουν από επίπεδο p, 26 cm και

38 cm αντίστοιχα. Αν η προβολή του ΑΒ πάνω στο επίπεδο p είναι Α΄Β΄ = 16 cm, να βρεθεί το µήκος του τµήµατος ΑΒ.

219

33. ** ∆ίνονται δύο ρόµβοι ΑΒΓ∆ και ΕΒΖ∆ µε κοινή διαγώνιο τη Β∆ οι οποίοι βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα. Να δείξετε ότι το επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες ΑΓ και ΕΖ είναι κάθετο στα επίπεδα των δύο ρόµβων.

Ζ

Ε

Α

∆Β

Γ

Ο

34. ** Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των ευθειών που διέρχονται από ένα σηµείο Α και είναι ορθογώνιες προς µία ευθεία ε.

35. ** Αν δύο ευθείες ε1, ε2 είναι ορθογώνιες, τότε καθεµιά περιέχεται σε επίπεδο κάθετο προς την άλλη και αντιστρόφως.

36. ** Αν µία ευθεία ε είναι κάθετη σε επίπεδο p και παράλληλη προς άλλο επίπεδο q τότε είναι p ⊥ q.

220


ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ (Κ ε φ ά λ α ι ο 1 2 ο : Ε υ θ ε ί ε ς κ α ι Ε π ί π ε δ α

σ τ ο χ ώ ρ ο )






222


∆ιδακτική ενότητα: Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο

ΘΕΜΑ 1ο Α. Παρατηρώντας το σχήµα της στήλης Α συµπληρώστε τις προτάσεις της

στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β Σχήµα Προτάσεις

ε

pΓ

∆Β

Α

Αν ΑΒ ⊥ p και ......................., τότε ΑΓ ⊥ ε Αν ΑΒ ⊥ p και ΑΓ ⊥ ε, τότε ....................... Αν ΑΓ ⊥ ε, ΒΓ ⊥ ε και ......................., τότε ...............

Β. ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και σε σηµείο του Α ένα εφαπτόµενο τµήµα

ΑΒ = R 2 . Πάνω στη κάθετη προς το επίπεδο του κύκλου στο Ο παίρνουµε

τµήµα ΟΓ = R 6 . Να υπολογίσετε τα τµήµατα:

α) ΑΓ. β) ΒΓ.

223

ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνεται = 60° σε επίπεδο p και

στην πλευρά Αy παίρνουµε σηµείο Β έτσι ώστε ΑΒ = 6 cm (λ γνωστό ευθύγραµµο τµήµα) και φέρουµε από το Β κάθετη ευθεία ε στο επίπεδο p. Αν επί της ε πάρουµε τµήµα Β∆ = 10 cm και ∆Γ ⊥ Αx

∧xAy

α) να δείξετε ότι ΒΓ ⊥ ΑΓ. β) να βρείτε την απόσταση Γ∆.

ε

pΓ

∆

Βy

x

A

224


∆ιδακτική ενότητα: Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο

ΘΕΜΑ 1ο Α. i) Κλίση ευθείας ως προς επίπεδο ονοµάζουµε τη γωνία .................................. . ii) • Για την προβολή Κ΄Λ΄ ενός τµήµατος ΚΛ πάνω σε επίπεδο ισχύει πάντοτε

Α. Κ΄Λ΄ = ΚΛ. Β. Κ΄Λ΄ < ΚΛ. Γ. Κ΄Λ΄ ≤ ΚΛ. ∆. Κ΄Λ΄ > ΚΛ. Ε. Κ΄Λ΄ ≥ ΚΛ.

• Αν κ είναι η κλίση µιας ευθείας ως προς επίπεδο θα ισχύει µόνο

Α. 90° < κ ≤ 180°. Β. 180° ≤ κ ≤ 270°. Γ. 270° ≤ κ ≤ 360°. ∆. 0° ≤ κ ≤ 90°. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

• Αν το επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ τέµνει κάθετα επίπεδο p τότε η προβολή του

τριγώνου στο επίπεδο είναι Α. ευθεία. Β. ευθύγραµµο τµήµα. Γ. σηµείο. ∆. ευθεία κάθετη στο επίπεδο p. Ε. ευθύγραµµο τµήµα κάθετο στο επίπεδο p.

Β.

225

• Η προβολή ευθείας πάνω σε επίπεδο είναι σηµείο όταν η ευθεία Α. είναι παράλληλη προς το επίπεδο. Β. σχηµατίζει γωνία 30° µε το επίπεδο. Γ. σχηµατίζει γωνία 45° µε το επίπεδο. ∆. σχηµατίζει γωνία 60° µε το επίπεδο. Ε. σχηµατίζει γωνία 90° µε το επίπεδο.

• Στο διπλανό σχήµα το µήκος της προβολής του ΑΒ στο επίπεδο p σε cm είναι Α. 2. Β. 5 . Γ. 3. ∆. 4. Ε. 5. A

B

Γ

p

3 cm5 cm

• Στο διπλανό σχήµα αν

2AB BB = τότε η κλίση της ΑΒ

ως προς το επίπεδο είναι Α. 30°. Β. 45°. Γ. 60°. ∆. 75°. Ε. 90°.

B

B ´

p

• Αν η προβολή ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ ισούται µε την απόσταση του σηµείου Β από το επίπεδο τότε η κλίση του ΑΒ ως προς το επίπεδο είναι Α. 30°. Β. 45°. Γ. 60°. ∆. 75°. Ε. 90°.

ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνονται δύο σηµεία Α και Β ενός επιπέδου p και σηµείο Γ έξω από το επίπεδο p. Το Γ απέχει από το επίπεδο p απόσταση Γ∆ = 8 cm και από το ΑΒ απόσταση

ΓΖ = 10 cm. Να δείξετε ότι Β)(ΓΑΒ)(∆Α =

53 .

226

Κεφάλαιο 12: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ∆Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

228


1. Σ, 2. Λ, 3. Λ, 4. Σ, 5. Λ, 6. Λ, 7. Σ, 8. Λ, 9. Λ, 10. Σ, 11. Λ, 12. Λ, 13. i) Σ - ii) Λ - iii) Σ, 14. Λ, 15. Λ, 16. Σ, 17. Λ, 18. Λ, 19. i) Σ - ii) Λ - iii) Λ - iv) Σ - v) Λ, 20. Σ, 21. Σ, 22. Λ, 23. i) Σ - ii) Λ, 24. Λ, 25. Σ, 26. Σ, 27. Λ, 28. Λ.


1. Ε, 2. Γ, 3. ∆, 4. i) Γ - ii) Ε, 5. ∆, 6. Γ, 7. ∆, 8. Α, 9. Β, 10. Ε, 11. Γ, 12. Γ, 13. ∆, 14. Β. Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1 Α 2 Γ 3 Β Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. i) Τρία µη συνευθειακά ii) τρία iii) ένα σηµείο του χώρου iv) δύο διαφορετικά σηµεία v) µια κοινή ευθεία στην οποία 2. i) άπειρα ii) άπειρες

229

iii) άπειρα iv) ένα σηµείο εκτός αυτής v) τεµνόµενες ευθείες 3. που σχηµατίζει η ευθεία µε την προβολή της στο επίπεδο 4.

Στήλη Β Στήλη Γ Εκφράσεις Εκφράσεις

Η ευθεία ε ανήκει στο επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν άπειρα κοινά σηµεία.

Η ευθεία ε τέµνει το επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν ένα κοινό σηµείο.

Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς το επίπεδο p.

Η ευθεία ε και το επίπεδο p δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο.

230

5.

Στήλη Β Προτάσεις

Αν ΑΒ ⊥ p και ΒΓ ⊥ ε τότε ΑΓ ⊥ ε. Αν ΑΒ ⊥ p και ΑΓ ⊥ ε, τότε ΒΓ ⊥ ε. Αν ΑΓ ⊥ ε, ΒΓ ⊥ ε και ΑΒ ⊥ ΒΓ, τότε ΑΒ ⊥ p.

6.

Στήλη Β Ισότητες

ΓBAB =

ΕΖ∆Ε

ΓΓ

BA

= ΕΖ∆Z

ΑΓΒA

= ∆Ζ∆E

231

7.

Στήλη Β Ισότητες

ΒΓ = 6 ΑΓ = 21

ΑΓΒA =

2115

8.

Στήλη Β Στήλη Γ Κλίση κ Αντίστοιχες σχέσεις

κ = 45°

ΑΒ΄ = ΒΒ΄

κ = 30°

ΒΒ΄ = 2ΑΒ

κ = 60°

ΑΒ΄ = 2ΑΒ

232

233

9.

Στήλη Β Αντίστοιχες εκφράσεις

Αν ε ⊥ p και q περιέχει την ε, τότε q ⊥ p.

Αν p ⊥ q, Α σηµείο του p και AB ⊥ q, τότε ΑΒ ανήκει στο p.

Αν q ⊥ p και w ⊥ p και p ∩ q ≠ 0, τότε q // w. Αν q ⊥ p και w ⊥ p και q ∩ w = ε, τότε ε ⊥ p.

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία

του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ν. Το Ν σαν σηµείο της ΒΓ ανήκει στο p, άρα και το Μ σαν σηµείο της ΑΝ ανήκει στο p. p

Α

Μ

Ν

ΓB

2. Έστω ε µια ευθεία που ορίζεται

από ένα σηµείο Α ενός επιπέδου p και από ένα άλλο σηµείο Β που βρίσκεται έξω από το p. Η ε δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε το p παρά µόνο το Α. Γιατί αν είχε και άλλο κοινό σηµείο θα ανήκε στο p και συνεπώς το Β θα ήταν σηµείο του Ρ.

p

Α

ε

B

3. α) Επειδή ε1 και ε2 ασύµβατες το

σηµείο Α δεν θα είναι σηµείο της ευθείας ε2. Εποµένως (Α, ε1) ορίζουν ένα επίπεδο p.

β) Είναι p ∩ ε1 = Α γιατί αν υπήρχε και άλλο κοινό σηµείο εκτός από το Α, η ε1 θα ήταν ευθεία του p. Τούτο είναι άτοπο, διότι ε1, ε2 ασύµβατες.

pε2

Α

ε1

234

4. Οι ευθείες Ο1Ο2 και ΑΒ τέµνονται, άρα ορίζουν ένα επίπεδο p. Ο κυκλικός δίσκος (Ο1, R1) έχει µε το επίπεδο p, κοινά τα µη συνευθειακά σηµεία Α, Β, Ο1. Όµοια ο κυκλικός δίσκος (Ο2, R2) έχει µε το p κοινά τα µη συνευθειακά σηµεία Ο2, Α, Β. Άρα οι κύκλοι (Ο1, R1) και (Ο2, R2) βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο p.

p

Α

ΒΓ

Ο2Ο1

5. α) Επειδή το σηµείο Α δεν βρίσκεται πάνω στην ε2 το ζεύγος (Α, ε2) ορίζει επίπεδο p. Όµοια και το ζεύγος (Β, ε1) ορίζει επίπεδο q.

β) Τα επίπεδα αυτά δεν ταυτίζονται, γιατί οι ευθείες ε1 και ε2 είναι ασύµβατες. Άρα τα επίπεδα p και q, επειδή έχουν κοινά τα σηµεία Α και Β, τέµνονται κατά την ευθεία ΑΒ.

p

Αε2

ε1

B

q 6. α) Αν η ευθεία ε3 έτεµνε την ε1

στο σηµείο Ο, αυτό θα ήταν και σηµείο της ε2. Εποµένως οι ε1 και ε2 θα περνούσαν από το Ο. Τούτο είναι άτοπο, άρα ε3 // ε1. Όµοια ε3 // ε2. p

ε2

O

ε1q

ε3

t

β) Αν η ε3 είχε µε το επίπεδο p έστω και ένα κοινό σηµείο, αυτό θα ήταν και

σηµείο της ε1. Τούτο είναι άτοπο, αφού ε3 // ε2 (βλ. (α) ερώτηµα).

235

7. Τα επίπεδα (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, ∆) έχουν κοινό το σηµείο Κ. Επίσης τα επίπεδα (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, ∆) τέµνουν το επίπεδο p κατά τις µη παράλληλες ευθείες ΑΒ και ∆Γ αντίστοιχα. Έστω Ε το σηµείο τοµής των ΑΒ, ∆Γ. Το Ε είναι διαφο-

Ε

p

Γ∆

Β

Κ

A

ρετικό από το Κ αφού το Ε ανήκει στο p. Το Ε είναι κοινό σηµείο των επιπέδων (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, ∆). Εποµένως η ζητούµενη τοµή των επιπέδων (Κ, Α, Β) και (Κ, Γ, ∆) είναι η ευθεία ΚΕ.

8. Το Κ ως περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, ισαπέχει από τις κορυφές του δηλαδή ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ. Έτσι για τα πλάγια τµήµατα ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ (Ο τυχόν σηµείο της ε) ισχύει ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ λόγω της ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων ΟΚΑ, ΟΚΓ, ΟΚΒ.

Β

ΓΑ

Ο

ε

Κ

236

9. Έστω ΜΚ = λ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΟΚ έχουµε ΟΜ =

22 α -λ . Άρα το Μ είναι σηµείο του

κύκλου

(Ο, 22 α -λ ).

Αντιστρόφως: Έστω Μ σηµείο του

κύκλου (Ο, 22 α -λ ).

λ

Μ

Ο

Κ

α

p

Τότε ΟΜ = 22 α -λ οπότε ΜΚ = λ. Άρα το Μ είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Έτσι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος

(Ο, 22 α -λ ) επί του επιπέδου p.

10. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΟΑ έχουµε

ΑΓ2 = ΟΑ2 + ΟΓ2 ή ΑΓ2 = R2 + 6R2 = 7R2 ή

AΓ = R 7

β) Επειδή ΓΟ ⊥ p και ΟΑ ⊥ ΑΒ από το θεώρηµα τριών καθέτων είναι ΓΑ ⊥ ΑΒ. Έτσι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ έχουµε

R

ΑΟ

Γ

Β

p

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 ή ΒΓ2 = 2R2 + 7R2 = 9R2 ή ΒΓ = 3R

237

11. α) Επειδή είναι ΚΑΚ∆

ΚΟΚΓ

= σύµφωνα µε

το θεώρηµα του Θαλή έχουµε ότι Γ∆ // ΟΑ.

β) Όµοια, αφού ΚBΚE

ΚΟΚΓ

= , έχουµε

ΓΕ // ΟΒ. γ) Επειδή ΚΟ ⊥ p έχουµε ότι ΚΟ ⊥ ΟΑ

και ΚΟ ⊥ ΟΒ. Άρα ΚΟ ⊥ Γ∆ και ΚΟ ⊥ ΓΕ, αφού ∆Γ // ΟΑ και ΓΕ // ΟΒ, οπότε η ΚΟ είναι κάθετη στο επίπεδο (Γ, ∆, Ε).

Α

Ο

Γ

p

E∆

K

Β

12. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, Μ µέσο της ΒΓ και ε ⊥ (Α, Β, Γ) έχουµε ότι ΜΑ = ΜΒ = ΜΓ. Αν Κ είναι οποιοδήποτε σηµείο της ε τότε για τα πλάγια προς το επίπεδο (Α, Β, Γ) τµήµατα ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ ισχύει ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ λόγω της ισότητας των τριγώνων ΚΑΒ, ΚΜΑ, ΚΜΓ. p

Α

Γ

Β

Κ

ε

Μ

238

13. Είναι Γ∆ ⊥ p και ΓΖ ⊥ ΑΒ. Τότε, σύµφωνα µε το θεώρηµα τριών καθέτων, έχουµε ότι ∆Ζ ⊥ ΑΒ. Άρα ΓΖ, ∆Ζ ύψη των τριγώνων ΑΒΓ και Α∆Β αντίστοιχα. Από το ορθογώνιο τρίγωνο Γ∆Ζ έχουµε ∆Ζ2 = ΓΖ2 - Γ∆2 ή ∆Ζ2 = 100 - 64 = 36 cm2 ή ∆Ζ = 6 cm. Εποµένως

p

Α

Γ

Β

∆

Ζ

53

cm10cm6

ΓΖΑΒ21

∆ΖΑΒ21

(ΓΑΒ)(∆ΑΒ)

==⋅⋅

⋅⋅=

14. α) Είναι ∆Γ ⊥ Αx. Επειδή ∆Β ⊥ p,

σύµφωνα µε το θεώρηµα τριών καθέτων, έχουµε ΒΓ ⊥ Αx ή ΒΓ ⊥ ΑΓ.

β) Επειδή ∧

ΒΑΓ = 60° άρα ∧

ΑΒΓ = 30° οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

έχουµε ότι ΑΓ = 2ΑΒ ή ΑΓ =

26 = 3

cm και ΒΓ2 = ΑΒ2 - ΑΓ2 = 36 -9 = 27.

p

ΑΓ

Β

∆ε

x

y

60°

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓ∆ έχουµε Γ∆2 = ΒΓ2 + ∆Β2 = 27 + 100 = 127

ή Γ∆ = 127 cm ≅ 11,26 cm.

239

15. Έστω Σ το µέσο του ΑΒ και ΜΟ ⊥ ΑΒ. Τότε κατά το δεύτερο θεώρηµα διαµέσων στο τρίγωνο ΜΑΒ έχουµε ότι ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ · ΣΟ. Έτσι η ισότητα ΜΑ2 - ΜΒ2 = λ γράφεται 2ΑΒ·ΣΟ = λ2

ή ΣΟ =2ΑΒλ 2

. Επειδή τα Α, Β είναι δε-

Α Β

M

OΣ

p

δοµένα το Ο προσδιορίζεται, οπότε το Μ είναι σηµείο του επιπέδου p που είναι κάθετο στην ΑΒ στο Ο.

Αντιστρόφως: Για κάθε σηµείο Μ του p ισχύει ΣΟ =2ΑΒλ 2

και λόγω της

ισότητας ΜΑ2 - ΜΒ2 = 2ΑΒ · ΣΟ προκύπτει ότι ΜΑ2 - ΜΒ2 =λ2 δηλαδή το Μ είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι το επίπεδο p.

16. Θεωρούµε δύο ασύµβατες ευθείες ε1 και ε2 και ένα σηµείο Α της ε1. Στο επίπεδο (Α, ε2) φέρνουµε την Αx // ε2. Το επίπεδο (ε1, Ax) περιέχει την ε1 και είναι παράλληλο της ε2, αφού ε2 // Αx. Κάθε άλλο επίπεδο q, που περιέχει την ε1 και είναι

Αx

ε1

ε2

παράλληλο της ε2 περιέχει και την Αx, αφού το Α ανήκει στο q και Αx // ε2. Άρα το q ταυτίζεται µε το (ε1, Ax) και εποµένως ένα µόνο επίπεδο περιέχει την ε1 και είναι παράλληλο της ε2. Όµοια ένα µόνο επίπεδο περιέχει την ε2 και είναι παράλληλο προς την ε1.

240

17. Έστω σηµείο Σ και οι δύο ασύµβατες ευθείες ε1, ε2. Από το Σ

άγονται δύο µόνο ευθείες και

ώστε να είναι // ε

΄1ε΄2ε

΄1

΄2

΄2ε

΄1ε

΄1ε

1 και //

ε2. Οι τεµνόµενες ευθείες ,

ορίζουν το επίπεδο ( ε , ) το

οποίο είναι παράλληλο προς τις ε

ε

ε

΄2

2

ε

΄

΄1

1

και ε2, αφού ε1 // και ε2 // ε .

Εκτός

p

Σ

ε ΄1

ε ΄2

ε1

ε2

του ( ε , ) δεν υπάρχει άλλο επίπεδο το οποίο να περιέχει το Σ και να είναι

παράλληλο προς τις ε

΄1

΄2ε

1, ε2, διότι ένα τέτοιο επίπεδο θα περιείχε τις , ε και

εποµένως θα ταυτιζόταν µε το ( ε , ).

΄1ε

΄2

΄1

΄2ε

18. Στο επίπεδο (Α, ε1) θεωρούµε την Ax // ε1 και στο (Α, ε2) την Αy // ε2. Τότε το επίπεδο p των Αx, Ay είναι παράλληλο προς τις ε1, ε2 αφού ε1 // Αx και ε2 // Αy. Έστω ότι και ένα άλλο επίπεδο p΄ διέρχεται από το Α και είναι παράλληλο προς τις ε1 και ε2. Τότε στο p΄ περιέχονται οι Αx, Αy.

p

Αx

y

q

ε1

ε2

Γιατί αν π.χ. η Αx δεν περιεχόταν στο p΄ τότε θα υπήρχε ευθεία Αx΄ του p΄ παράλληλη της ε1 και από το Α θα είχαµε δύο παράλληλες προς την ε1 τις Αx, Ax΄.

241

Αυτό όµως είναι άτοπο, οπότε οι Αx, Ay περιέχονται στο p΄ που σηµαίνει ότι το p΄ ταυτίζεται µε το p και άρα ένα µόνο επίπεδο διέρχεται από το Α και είναι παράλληλο προς τις ε1 και ε2.

19. α) Έστω Μ το µέσο της Γ∆ τότε το Θ είναι

το σηµείο της διαµέσου ΑΜ µε ΘΜΑΘ = 2

και το Θ΄ είναι το σηµείο της διαµέσου

ΒΜ µε ΜΘ

ΒΘ΄΄ = 2. Έτσι στο τρίγωνο ΑΜΒ

έχουµε ΜΘ

ΒΘ=

ΘΜΑΘ

΄΄ οπότε ΘΘ΄ // ΑΒ.

Γ

Β∆

Α

Μ

Θ

Θ΄

β) Η ΘΘ΄ // ΑΒ που είναι η τοµή των επιπέδων (Α, Β, Γ) και (Α, Β, ∆) χωρίς

να περιέχεται σε κανένα από αυτά αφού περιέχεται στο (Α, Β, Μ). Άρα ΘΘ΄ // (Α, Β, Γ).

γ) Όµοια µε το (β), ΘΘ΄ // (Α, Β, ∆).

20. Έστω Β το ίχνος της ε1 πάνω στο επίπεδο p. To επίπεδο (ε1, Α) έχει µε το p κοινό το Β και άρα τέµνει το p κατά ευθεία Βx. Από το Α φέρνουµε πάνω στο επίπεδο (ε1, Α) την ε2 // Βx η οποία τέµνει την ε1 σε σηµείο ∆, αφού και η παράλληλή της Βx τέµνεται από την ε1. Έτσι η ζητούµενη ευθεία είναι η ε2 αφού τέµνει την

p

Α

x B

∆

ε1

ε2

ε1 και είναι παράλληλη του p γιατί ε2 // Bx. Άλλη ευθεία // Βx από το Α

δεν υπάρχει, διότι τότε θα υπήρχαν από το σηµείο Α δύο παράλληλες προς τη Βx.

΄2ε

242

21. α) Επειδή οι ευθείες ΑΓ και Β∆ είναι αντίστοιχα παράλληλες προς τις ευθείες ΕΖ και ΗΖ του επιπέδου (Ε, Ζ, Η) (γνωστό θεώρηµα επιπεδοµετρίας) και βρίσκονται έξω από αυτό, άρα είναι παράλληλες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η).

β) Ονοµάζουµε Θ το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος Α∆ και φέρνουµε την ευθεία ΗΘ. Είναι ΗΘ // ΑΓ (ενώνει τα µέσα των Α∆, ∆Γ στο τρίγωνο Α∆Γ) και ΑΓ // (Ε, Ζ, Η), άρα η ευθεία ΗΘ βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η).

Γ

Β∆

Α

EΘ

ZH

Άρα το ευθύγραµµο τµήµα Α∆, επειδή δεν βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η) τέµνεται από αυτό στο µέσο του Θ.

22. α) Από τα παραλληλόγραµµα ΑΑ΄Β΄Β, ΑΑ΄Γ΄Γ και ΓΓ΄Β΄Β έχουµε αντίστοιχα ΑΒ // = Α΄Β΄, ΑΓ // = Α΄Γ΄ και ΓΒ // = Γ΄Β΄. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄είναι ίσα.

β) Τα επίπεδά τους είναι διαφορετικά και παράλληλα (διαφορετικά εκ κατασκευής, παράλληλα λόγω του (α)).

Γ΄ Β΄

Α΄

A

Γ Β

243

23. Αφού το Γ είναι εσωτερικό σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ θα έχουµε ΑΓ = ΑΒ - ΓΒ ή ΑΓ = 6,5 - 4 = 2,5 cm. Από το θεώρηµα του Θαλή έχουµε

42,510

ΑΓΑ΄Γ΄

ΒΓΒ΄Γ΄

ΑΒΑ΄Β΄

====

Άρα 4ΑΒΑ΄Β΄

= 4ΒΓΒ΄Γ΄

=

Έχουµε όµως ΑΒ = 6,5 cm και ΒΓ = 4 cm.

α) Άρα 46,5Α΄Β΄

= ή Α΄Β΄ = 26 cm.

β) Άρα 44

Β΄Γ΄= ή Β΄Γ΄ = 16 cm.

Γ ΄

Β ΄Β

Α ΄

Γ

ε1 ε2

r

q

p

A

244

24. Φέρνουµε τις ευθείες ΜΚ και ΜΝ. Επειδή η ευθεία ΜΚ περνάει από τα µέσα των πλευρών ΟΑ και ΟΓ του τριγώνου ΟΑΓ θα έχουµε ΜΚ // ΑΓ. Όµοια ΜΝ // ΑΒ. Εποµένως α) Το επίπεδο που ορίζεται από

τα σηµεία Μ, Ν και Κ, όταν τα Α, Β και Γ δεν βρίσκονται σε µία ευθεία είναι παράλληλο προς το επίπεδο p. Άρα τα σηµεία Μ, Ν και Κ ισαπέχουν από το p.

Α

Ο

Ν

p

K

Β

Μ

Γ

β) Η ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Μ, Ν και Κ όταν τα Α, Β και Γ βρίσκονται πάνω σε µία ευθεία είναι παράλληλη προς το επίπεδο p. Άρα τα σηµεία Μ, Ν και Κ ισαπέχουν από το p.

ΓΒ

Ο

Α

Μ Ν Κ

25. α) Είναι (ΑΑ΄, ∆∆΄) // (ΒΒ΄, ΓΓ΄) αφού δύο τεµνόµενες ευθείες ΑΑ΄, Α∆ του επιπέδου (ΑΑ΄, ∆∆΄) είναι παράλληλες προς τις ευθείες ΒΒ΄, ΒΓ αντίστοιχα του επιπέδου (ΒΒ΄, ΓΓ΄).

β) Όµοια (ΑΑ΄, ΒΒ΄) // (ΓΓ΄, ∆∆΄).

245

26. α) Επειδή οι γωνίες ,

περιέχονται στα διαφορετικά επίπεδα p, q και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι p // q (p παράλληλο σε δύο τεµνόµενες ευθείες του q και αντίστροφα).

∧xOy ΄x΄O΄y

∧

β) Φέρνουµε την ΟΟ΄ και από τα Α, Β

της xOy φέρνουµε ΑΑ // ΟΟ // ΒΒ .

Τα τρίγωνα Ο΄Α΄Β΄, ΟΑΒ έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία όπως φαίνεται από τα παραλληλόγραµµα ΟΟ΄Α΄Α (ΟΟ΄ // = ΑΑ΄),

∧

pO x

yB

A

qO΄

Α΄

B΄x΄

y΄

ΟΟ΄Β΄Β (ΟΟ΄ // = Β΄Β) και ΑΒΒ΄Α΄ (ΒΒ΄ // = ΑΑ΄). Από την ισότητα

των τριγώνων αυτών έχουµε = . ∧ΒΑO =

∧ΒΑ ΄΄O΄

∧x΄O΄y΄

27. Οι ηµιευθείες Kx, Ky επειδή τέµνονται ορίζουν τη θέση του επιπέδου (x, K, y). Έχουµε ΑΒ // ∆Ε ως τοµές των παραλλήλων επιπέδων p και q από το τρίτο επίπεδο (x, K, y). Για τον ίδιο λόγο έχουµε ΒΓ // ΕΖ και ΑΓ // ∆Ζ. Παρατηρούµε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ έχουν τις οµόλογες πλευρές τους παράλληλες, οπότε είναι όµοια.

p

q

K

∆

Γ

Z

Α

y Zx

Β

E

246

28. α) Από τα τυχαία σηµεία Α και Β αντίστοιχα των ευθειών ε1 και ε2 φέρνουµε τις κάθετες ευθείες n1 και n2 στο επίπεδο p. Ονοµάζουµε q και r τα επίπεδα, που ορίζονται αντίστοιχα από τις ευθείες n1, ε1 και n2, ε2. Τα επίπεδα αυτά τέµνουν το p κατά

τις ευθείες και που είναι

αντίστοιχα οι προβολές των ευθειών ε

΄1ε

΄2ε

1 και ε2 πάνω στο p. Είναι όµως n1 // n2 και ε1 // ε2 άρα

p

Λ

ε ΄1

ε ΄2

ε1

ε2

(n )1

n2

Γ

Β∆

∆΄Α΄

Β΄

Γ΄

q

r

q // r. Εποµένως και οι τοµές τους µε το p θα είναι παράλληλες δηλαδή θα

έχουµε ε // . ΄1

΄2ε

β) Στην περίπτωση που οι ε1 // ε2 ανήκουν σε επίπεδο q ⊥ p, τότε οι προβολές ταυτίζονται σε µια ευθεία. Στην περίπτωση που οι ε1, ε2 είναι κάθετες στο επίπεδο p, τότε οι προβολές είναι δύο διαφορετικά σηµεία.

247

29. Από το σηµείο Α της ε που είναι διαφορετικό από τα Β και Γ φέρνουµε την ευθεία ε΄ ⊥ p. Τότε η ε΄ θα είναι κάθετη και στο q. Έστω Α1 και Α2 τα σηµεία τοµής της ε΄ αντίστοιχα µε τα p και q. Επειδή οι ευθείες ΒΑ1 και ΓΑ2

είναι παράλληλες θα έχουµε (οι

ανήκουν στο επίπεδο (Α, Γ, Α

∧∧= φω

∧∧φ,ω 2)).

p

q

ε

Α

Β

ε΄

Α1ω

Γ Α2φ

30. Έστω Α΄, Β΄, Γ΄ και ∆΄ οι προβολές των Α, Β, Γ και ∆ πάνω στο p. Τότε το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄∆΄ είναι η προβολή του ΑΒΓ∆ πάνω στο p. Επειδή έχουµε ∆΄Γ΄ // Α΄Β΄ και Γ΄Β΄ // ∆΄Α΄ συµπεραίνουµε ότι το Α΄Β΄Γ΄∆΄ είναι παραλληλόγραµµο.

p

Γ

Β

∆

Α

Γ΄

Β΄

∆΄

Α΄

248

31. Έστω ΑΒ το ευθύγραµµο τµήµα και Μ το µέσο του. Ονοµάζουµε Α΄, Β΄ και Μ΄ αντίστοιχα τις προβολές των Α, Β και Μ πάνω στο p. Τότε το Μ΄ είναι σηµείο του ευθύγραµµου τµήµατος Α΄Β΄ που είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στο p. Από το θεώρηµα Θαλή για τις παράλληλες ευθείες ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΜΜ΄ που τέµνονται από τις ευθείες ΑΒ και Α΄Β΄ έχουµε:

Β΄Μ΄ΒM

Α΄Μ΄AM

= .

p

Α΄ Β΄Μ΄

Α

Β

Μ

Είναι όµως ΑΜ = ΒΜ. Άρα Α΄Μ΄ = Β΄Μ΄, δηλαδή Μ΄ µέσο του Α΄Β΄.

32. ΑΑ΄ = 26 cm BB΄ = 36 cm Αν στο επίπεδο ΒΑΑ΄ φέρουµε την ΑΓ // Α΄Β΄ έχουµε τότε ΑΓ = Α΄Β΄, ΑΑ΄ = ΓΒ΄ και ΒΓ = ΒΒ΄ - ΓΒ΄ =38 - 26 = 12 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε ΑΒ2 = ΑΓ2 + ΒΓ2 = 162 + 122 = 256 + 144 = 400 AB = 20 cm.

pp

Α

Β

Γ

Α΄ Β΄

249

33. Έχουµε Β∆ ⊥ ΑΓ και Β∆ ⊥ ΕΖ. Εποµένως η Β∆ (τοµή των δύο ρόµβων ΑΒΓ∆, ΕΒΖ∆) είναι κάθετη στο επίπεδο (ΑΟΕ) που ορίζουν οι ΑΓ και ΕΖ. Άρα τελικά προκύπτει ότι το επίπεδο αυτό είναι κάθετο στα επίπεδα των δύο ρόµβων.

Ζ

Ε

Α

∆Β

Γ

Ο

34. Έστω Αx µία ευθεία του γεωµετρικού τόπου. Τότε η Ax είναι ορθογώνια προς την ε. Φέρνουµε την ΑΒ ⊥ ε. Τότε το επίπεδο (ΑΒ, Αx) είναι κάθετο στην ε αφού ε ⊥ ΑΒ και ε ορθογώνια προς την Αx. Άρα η Αx περιέχεται στο επίπεδο p που διέρχεται από το Α και είναι κάθετο της ε. Αλλά και κάθε ευθεία που διέρχεται από το Α και ανήκει στο p πλην της ΑΒ είναι ορθογώνια προς την ε αφού ε ⊥ p. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι το επίπεδο p (πλην της ΑΒ).

p

x

AB

ε

250

35. Έστω AB η κοινή κάθετη των ασυµβάτων ε1, ε2. Τότε το επίπεδο (Α, ε2) ⊥ ε1, αφού ε1 ⊥ ΑΒ και ε1 ορθογώνια της ε2. Οµοίως το (Β, ε1) ⊥ ε2. Το αντίστροφο είναι προφανές αφού όταν π.χ. η ε2 περιέχεται σε επίπεδο κάθετο της ε1, τότε η ε1 είναι ορθογώνια προς όλες τις ευθείες που δεν διέρχονται από το ίχνος της και άρα και προς την ε2.

p

ε2

A B

ε1

36. Αν από ένα σηµείο Α του q φέρουµε Αx // ε, τότε η Αx θα είναι ευθεία του q αφού ε // q. Επειδή όµως ε ⊥ p και Αx // ε είναι και Αx ⊥ p. Άρα είναι q ⊥ p αφού το q περιέχει την x που είναι κάθετη στο p.

p

q

251

Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ


1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p,

µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο της πολυγωνικής γραµµής φέρουµε την παράλληλη ευθεία προς την ε.

Βασιζόµενοι στο παραπάνω να απαντήσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). α) Το σύνολο αυτών των παραλλήλων ευθειών σχηµατίζει

µια επιφάνεια, η οποία ονοµάζεται πρισµατική επιφάνεια. β) Κάθε µία από τις παράλληλες ευθείες ονοµάζεται οδηγός

της πρισµατικής επιφάνειας. γ) Η πολυγωνική γραµµή του p ονοµάζεται γενέτειρα.

Σ Λ

Σ Λ Σ Λ

2. * Οι γενέτειρες που διέρχονται από τις κορυφές της πολυγωνικής γραµµής ονοµάζονται ακµές της πρισµατικής επιφάνειας.

Σ Λ

3. * Όταν οι βάσεις του πρίσµατος είναι κάθετες στις γενέτειρες, τότε το πρίσµα λέγεται ορθό.

Σ Λ

4. * Όταν οι έδρες ενός πρίσµατος είναι παραλληλόγραµµα, τότε το πρίσµα λέγεται παραλληλεπίπεδο.

Σ Λ

5. * Κάθε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ορθό πρίσµα. Σ Λ 6. * Κάθε παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο. Σ Λ 7. * Κάθε πρίσµα του οποίου οι βάσεις είναι τετράγωνα και το

ύψος του ισούται µε την πλευρά των τετραγώνων λέγεται κύβος.

Σ Λ

251

8. * Ο κύβος είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Σ Λ 9. * ∆ιαγώνιος πρίσµατος είναι το ευθύγραµµο τµήµα που

ενώνει δύο οποιεσδήποτε κορυφές του.

Σ Λ 10. * ∆ιαγώνιο επίπεδο πρίσµατος είναι αυτό που διέρχεται από

δύο παράπλευρες ακµές του που δεν ανήκουν στην ίδια παράπλευρη έδρα.

Σ Λ 11. * Το παραλληλεπίπεδο έχει τέσσερις διαγώνιες. Σ Λ 12. * Ο κύβος έχει ένα διαγώνιο επίπεδο. Σ Λ 13. * Η τοµή των διαγωνίων επιπέδων ενός ορθογωνίου

παραλληλεπιπέδου είναι κάθετη στις βάσεις του.

Σ Λ 14. * Το πρίσµα του οποίου οι βάσεις είναι πολύγωνα

ονοµάζεται κανονικό πρίσµα.

Σ Λ 15. * Οι παράπλευρες έδρες παραλληλεπιπέδου είναι τετράγωνα.

Σ Λ 16. * Οι παράπλευρες ακµές πρίσµατος είναι παράλληλες και

ίσες.

Σ Λ 17. * Οι βάσεις τριγωνικού πρίσµατος είναι όµοια τρίγωνα µε

λόγο οµοιότητας 1/2.

Σ Λ 18. * Οι παράπλευρες έδρες ορθού τριγωνικού πρίσµατος είναι

ορθογώνια τρίγωνα.

Σ Λ 19. * Όλες οι διαγώνιες ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι

ίσες.

Σ Λ 20. * Μια τρίεδρη γωνία µπορεί να σχηµατίζεται και από τρεις

ίσες δίεδρες γωνίες.

Σ Λ 21. * Οι τρίεδρες γωνίες παραλληλεπιπέδου είναι όλες

τρισορθογώνιες τρίεδρες.

Σ Λ 22. * Οι τρίεδρες γωνίες κύβου είναι όλες τρισορθογώνιες

τρίεδρες.

Σ Λ 23. * Οι τρίεδρες γωνίες κανονικού δωδεκαέδρου σχηµατίζονται

από τρεις δίεδρες αµβλείες γωνίες.

Σ Λ 24. * Ο όγκος V πολυέδρου είναι ακέραιος αριθµός. Σ Λ

252

25. * Τα ίσα πολύεδρα είναι ισοδύναµα. Σ Λ 26. * Τα ισοδύναµα πολύεδρα έχουν λόγο όγκων 1/2. Σ Λ 27. * Η δίεδρη γωνία που σχηµατίζουν οι παράπλευρες έδρες

κανονικής πυραµίδας είναι οξεία.

Σ Λ 28. * Το παράπλευρο ύψος κανονικής πυραµίδας ισούται µε το

ύψος της.

Σ Λ 29. * Η παράπλευρη επιφάνεια κύβου ονοµάζεται και τετράεδρο. Σ Λ 30. * Το τετράεδρο που έχει όλες του τις ακµές ίσες λέγεται

κανονικό.

Σ Λ 31. * Μια τριγωνική πυραµίδα ονοµάζεται και τετράεδρο. Σ Λ 32. * Κάθε ορθό τριγωνικό πρίσµα χωρίζεται σε τρεις

ισοδύναµες τριγωνικές πυραµίδες.

Σ Λ 33. * Η πυραµίδα που έχει βάση ισοσκελές τρίγωνο είναι

κανονική. Σ Λ

34. * Οι παράπλευρες έδρες κανονικής πυραµίδας είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Σ Λ

35. * Τριγωνικές πυραµίδες µε ίσα ύψη έχουν ίσους όγκους. Σ Λ 36. * Το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειας Επ πυραµίδας

είναι ανάλογο της πλευράς της βάσης της.

Σ Λ 37. * Ο όγκος V πυραµίδας είναι αντιστρόφως ανάλογος του

ύψους της υ.

Σ Λ 38. * Αν διπλασιάσουµε την πλευρά της βάσης µιας κανονικής

πυραµίδας, τότε το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς της παραµένει σταθερό.

Σ Λ 39. * Αν διπλασιάσουµε το ύψος υ µιας κανονικής πυραµίδας,

τότε ο όγκος της διπλασιάζεται.

Σ Λ 40. * Οι βάσεις κόλουρης πυραµίδας είναι ίσες. Σ Λ 41. * Οι παράπλευρες έδρες κανονικής κόλουρης πυραµίδας

είναι ίσα ισοσκελή τραπέζια.

Σ Λ

42. * Οι βάσεις κόλουρης πυραµίδας είναι όµοια πολύγωνα, µε

253

λόγο οµοιότητας το λόγο των αποστάσεων των βάσεων από την κορυφή της αρχικής πυραµίδας (από την οποία προέκυψε η κόλουρη).

Σ Λ 43. * Το εµβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου µε

ακτίνα βάσεων R και ύψος υ είναι πRυ.

Σ Λ 44. * Ο όγκος V κυλίνδρου µε ακτίνα βάσεων R και ύψος υ

είναι πR2υ.

Σ Λ 45. * Αν διπλασιάσουµε το ύψος υ και την ακτίνα R των

βάσεων κυλίνδρου, τότε το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς του οκταπλασιάζεται.

Σ Λ 46. * Αν διπλασιάσουµε το ύψος υ κυλίνδρου, τότε το εµβαδό

της παράπλευρης επιφάνειάς του Επ διπλασιάζεται.

Σ Λ 47. * Αν διπλασιάσουµε το ύψος υ κυλίνδρου τότε ο όγκος του

V διπλασιάζεται.

Σ Λ 48. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R των βάσεων κυλίνδρου

τότε ο όγκος του διπλασιάζεται.

Σ Λ 49. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R των βάσεων κυλίνδρου

τότε το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς του διπλασιάζεται.

Σ Λ 50. * Το εµβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου

είναι ανάλογο του ύψους του υ.

Σ Λ 51. * Ο όγκος V κυλίνδρου είναι αντιστρόφως ανάλογος του

τετραγώνου της ακτίνας R των βάσεών του.

Σ Λ 52. * Το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειας Επ κώνου είναι

ανάλογο της ακτίνας R της βάσης του και αντιστρόφως ανάλογο του ύψους του υ.

Σ Λ 53. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κώνου, τότε το

εµβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειάς του διπλασιάζεται.

Σ Λ

54. * Αν τριπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κώνου, τότε ο όγκος του V τριπλασιάζεται.

Σ Λ

254

55. * Ο όγκος V κώνου είναι ανάλογος του τετραγώνου της ακτίνας R της βάσης του.

Σ Λ

56. * Αν ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ ( A = = 90°) περιστραφεί πλήρως γύρω από µία µη παράλληλη πλευρά του ΑΒ, τότε το στερεό του οποίου η επιφάνεια διαγράφεται από την τεθλασµένη γραµµή ΑΒΓ∆, ονοµάζεται ορθός κόλουρος κώνος.

∧ ∧B

Σ Λ

57. * Τέσσερα συνεπίπεδα σηµεία ορίζουν µια µοναδική σφαιρική επιφάνεια.

Σ Λ

58. * Μέγιστος κύκλος σφαίρας είναι η τοµή αυτής µε επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της.

Σ Λ

59. * Στη στήλη Α αναφέρονται οι σχετικές θέσεις σφαίρας (Κ, R) και ευθείας που απέχει απόσταση δ από το Κ. Συµπληρώστε στη στήλη Γ, Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) αν η σχέση της στήλης Β αντιστοιχεί ή όχι στην έκφραση της στήλης Α. Όπου βάλατε Λ συµπληρώστε τη σωστή σχέση στη στήλη ∆.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆ Τα δύο σχήµατα δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο.

δ < R

Τα δύο σχήµατα έχουν ένα και µο-ναδικό κοινό σηµείο.

δ = R

Τα δύο σχήµατα έχουν δύο κοινά σηµεία.

δ > R

60. * To εµβαδό Ε σφαιρικής επιφάνειας είναι ανάλογο της ακτίνας της R.

Σ Λ

61. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R σφαιρικής επιφάνειας, τότε το εµβαδό της Ε διπλασιάζεται.

Σ Λ

62. * Ένα κυρτό πολύεδρο ονοµάζεται κανονικό, όταν οι έδρες του είναι κυρτά κανονικά πολύγωνα ίσα µεταξύ τους.

Σ Λ

63. * Το κανονικό δεκάεδρο είναι πλατωνικό στερεό. Σ Λ

255

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο

Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο. ∆. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.

2. * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές

Α. 4. Β. 6. Γ. 8. ∆. 10. Ε. 12. 3. * Κάθε τριγωνικό πρίσµα έχει κορυφές

Α. 4. Β. 6. Γ. 8. ∆. 10. Ε. 12. 4. * Οι απέναντι έδρες παραλληλεπιπέδου είναι ίσα

Α. ορθογώνια παραλληλόγραµµα. Β. παραλληλόγραµµα. Γ. τετράγωνα. ∆. τραπέζια. Ε. κανένα από τα παραπάνω.

5. * Στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του σχήµατος αν

οι διαστάσεις του είναι 2 cm, 3 cm και 6 cm, τότε οποιαδήποτε διαγώνιός του είναι σε cm Α. 3. Β. 5. Γ. 6. ∆. 7. Ε. 7,5.

δ

3 cm

2 cm

6 cm

6. * Κάθε διαγώνιος κύβου µε ακµή α έχει µήκος

Α. 2α . Β. 2

2α . Γ. 22α . ∆. 3α . Ε. 33α .

256

7. * Αν το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας κύβου είναι 96 cm2 τότε το µήκος µιας ακµής του α είναι σε cm Α. 4. Β. 6. Γ. 8. ∆. 10. Ε. 12.

8. * Αν το εµβαδό της βάσης ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι 16 m2 και

το ύψος του 4 m τότε ο όγκος του είναι σε m3 Α. 4. Β. 20. Γ. 40. ∆. 48. Ε. 64.

9. * Αν η βάση ορθού πρίσµατος είναι τρίγωνο µε µια πλευρά 4 m και

αντίστοιχο ύψος 3 m και το ύψος του πρίσµατος είναι 10 m, τότε ο όγκος του ορθού πρίσµατος είναι σε m3 Α. 30. Β. 40. Γ. 50. ∆. 60. Ε. 70.

10. * Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας ορθού πρίσµατος όπου (Π =

περίµετρος βάσης, υ = ύψος και Ε = εµβαδό βάσης του πρίσµατος) είναι

Α. Πυ + Ε. Β. Πυ. Γ. Πυ + 2Ε. ∆. Πυ + 2E . Ε. 2Πυ + Ε.

11. * Το εµβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας κύβου ακµής α είναι

Α. α2. Β. 6α. Γ. 4α. ∆. 4α2. Ε. 6α2.

12. * Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας κύβου ακµής α είναι Α. 6α. Β. 4α. Γ. 6α2. ∆. 4α2. Ε. α2.

13. * Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

διαστάσεων α, β και γ είναι Α. αβ + βγ + γα. Β. 2 (αβ + βγ). Γ. 2 (αβ + βγ + γα). ∆. 2αβ + 2βγ + γα. Ε. αβ + 2βγ + 2γα.

257

14. * Κανονικό ορθό πρίσµα µε ύψος υ έχει βάση εξάγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι Α. 6R. Β. 6Rυ. Γ. 2Rυ. ∆. 6R2 + υ. Ε. 6R2 + 2υ.

15. * Κανονικού ορθού τριγωνικού πρίσµατος το ύψος του είναι R και η βάση

του είναι εγγεγραµµένη σε κύκλο ακτίνας R. Τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι

Α. 4

3R 2

. Β. 2

33R 2

. Γ. 3 3R 2 . ∆. 32R . Ε. 4R3 2

.

16. * Μια τριγωνική ορθή πυραµίδα είναι κανονική αν η βάση της είναι τρίγωνο

Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο. ∆. σκαληνό.

17. * Η τοµή πυραµίδας µε επίπεδο παράλληλο προς τη βάση της αποκόπτει µια

πυραµίδα και ένα στερεό το οποίο είναι Α. πυραµίδα. Β. πρίσµα. Γ. κύβος. ∆. παραλληλεπίπεδο. Ε. κόλουρη πυραµίδα.

18. * Αν Π είναι η περίµετρος της βάσης πυραµίδας και h το παράπλευρο ύψος

της τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς της είναι

Α. Π + h. Β. 2

hΠ + . Γ. 2Πh. ∆. 2

hΠ ⋅ . Ε. 3

hΠ ⋅ .

19. * Αν κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει εµβαδό παράπλευρης επιφάνειας

12 cm2 και παράπλευρο ύψος 3 cm, τότε η περίµετρος της βάσης της σε cm είναι Α. 4. Β. 6. Γ. 8. ∆. 10. Ε. 12.

258

20. * Αν κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει εµβαδό παράπλευρης επιφάνειας 24 cm2 και παράπλευρο ύψος 4 cm τότε η πλευρά της βάσης της σε cm είναι Α. 3. Β. 4. Γ. 5. ∆. 6. Ε. 8.

21. * Ο όγκος V κανονικής τετραγωνικής πυραµίδας µε πλευρά βάσης α και

ύψος υ είναι

Α. α2υ. Β. 3υα 2

. Γ. 3αυ2

. ∆. 3υ2α 2

. Ε. 2υα 2

.

22. Αν το ύψος υ πυραµίδας διπλασιάζεται τότε ο όγκος της V

Α. διπλασιάζεται. Β. τετραπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. ∆. οκταπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

23. * Ο όγκος V κόλουρης πυραµίδας µε εµβαδά βάσεων Β, β και ύψος υ είναι

Α. 3

Ββ)υ β B( ++. Β.

3Ββ)υ β (Β ++ . Γ.

3)υΒβ β (Β ++

.

∆. 3

)υΒβ β Β( 2++. Ε.

3Ββ)υ β (Β ++

.

24. * Η τριγωνική πυραµίδα του διπλανού σχήµατος

έχει ύψος ΟΚ = 6 cm και εµβαδό βάσης 10 cm2. Φέρνουµε επίπεδο παράλληλο προς τη βάση ώστε η τοµή του µε τη πυραµίδα Α΄Β΄Γ΄ να έχει εµβαδό 5 cm2. Η απόσταση ΟΚ΄ της κορυφής Ο από το παράλληλο επίπεδο (Α΄Β΄Γ΄) σε cm είναι

Α. 3 2 . Β. 2 . Γ. 3. ∆. 5. Ε. 6.

Β΄

Ο

ΒΑ

Α΄

Κ

Κ΄Γ

Γ΄

259

25. * Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου µε ακτίνα βάσης R και ύψος υ είναι

Α. πRυ. Β. 2

πRυ . Γ. 4

πRυ . ∆. 2πRυ. Ε. 3

2πRυ .

26. * Ο όγκος V κυλίνδρου µε ακτίνα βάσης R και ύψος υ είναι

Α. 2υπR2

. Β. 3υπR2

. Γ. . ∆. 2 . Ε. . υπR2 υπR2 2πRυ

27. * Αν υποδιπλασιάσουµε το ύψος υ και την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου

τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. υποτετραπλασιάζεται. Γ. υποεξαπλασιάζεται. ∆. υποοκταπλασιάζεται. Ε. υποδεκαπλασιάζεται.

28. * Αν διπλασιάσουµε το ύψος υ και την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου τότε ο

όγκος του V Α. διπλασιάζεται. Β. τετραπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. ∆. οκταπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

29. * Αν κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 2 cm και εµβαδό ΕΠ παράπλευρης

επιφάνειας ίσο µε 24 cm2, τότε το ύψος του σε cm είναι

Α. π2 . Β.

π4 . Γ.

π6 . ∆. 6π. Ε.

π24 .

30. * Αν κύλινδρος έχει ύψος υ ίσο µε 4 cm και όγκο V ίσο µε 64 cm3 τότε η

ακτίνα R της βάσης του σε cm είναι

Α. 4π. Β. π4π . Γ.

ππ4 . ∆. 4π . Ε. 2π

4π .

260

31. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου µε ύψος υ, τότε ο όγκος του V Α. διπλασιάζεται. Β. τετραπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. ∆. οκταπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

32. * Αν τριπλασιάσουµε το ύψος υ κυλίνδρου µε ακτίνα βάσης R τότε ο όγκος

του V Α. διπλασιάζεται. Β. τριπλασιάζεται. Γ. εξαπλασιάζεται. ∆. εννεαπλασιάζεται. Ε. δεκαπλασιάζεται.

33. * Αν υποδιπλασιάσουµε το ύψος υ κυλίνδρου µε ακτίνα βάσης R τότε το

εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. διπλασιάζεται. Β. παραµένει σταθερό. Γ. υποδιπλασιάζεται. ∆. υποτετραπλασιάζεται. Ε. τετραπλασιάζεται.

34. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου µε ύψος υ τότε το

εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. παραµένει σταθερό. Γ. διπλασιάζεται. ∆. τετραπλασιάζεται. Ε. οκταπλασιάζεται.

35. * Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφανείας κώνου µε ακτίνα βάσης R και παράπλευρο ύψος h είναι

Α. 4πRh. Β. 2

πRh . Γ. πRh. ∆. 2πRh. Ε. 4

πRh .

36. * Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφανείας κώνου µε ακτίνα βάσης R και

παράπλευρο ύψος h είναι Α. πR (h + 2R). Β. πR (h + R). Γ. 2πR (h + R).

∆. 2

R) (h πR + . Ε. 4

R) (h πR + .

261

37. * Ο όγκος V κώνου µε ακτίνα βάσης R και ύψος υ είναι

Α. πR2υ. Β. 21 πR2υ. Γ.

3υπR2

. ∆. 2πR2υ. Ε. πRυ2.

38. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κώνου τότε ο όγκος του V

Α. διπλασιάζεται. Β. παραµένει σταθερός. Γ. τριπλασιάζεται. ∆. τετραπλασιάζεται. Ε. εξαπλασιάζεται.

39. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κώνου και υποδιπλασιάσουµε

το παράπλευρο ύψος του h, τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. διπλασιάζεται. Γ. τετραπλασιάζεται. ∆. οκταπλασιάζεται. Ε. παραµένει σταθερό.

40. * Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειας κόλουρου κώνου µε ακτίνες

βάσεων R, ρ και παράπλευρο ύψος h είναι Α. π (R + ρ) h. Β. 2π (R + ρ) h. Γ. 3π (R + ρ) h.

∆. 2

h ρ) (R π + . Ε. π2 (R + ρ) h.

41. * Το εµβαδό Ε σφαιρικής επιφάνειας µε ακτίνα R είναι

Α. 2πR2. Β. 4πR2. Γ. 4π2R. ∆. πR2. Ε. 4

πR2

.

42. * Το εµβαδό Ε επιφάνειας σφαίρας είναι 16 m2. H ακτίνα της R σε m είναι

Α. π2 . Β. π2 . Γ.

ππ2 . ∆.

π2 . Ε. 2π.

43. * Ο όγκος V σφαιρικής επιφάνειας µε ακτίνα R είναι

Α. 31 πR3. Β.

32 πR3. Γ. πR3. ∆.

34πR3

. Ε. 43 πR3.

262

263

44. * Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R σφαιρικής επιφάνειας, τότε το εµβαδό της Ε Α. διπλασιάζεται. Β. τριπλασιάζεται. Γ. τετραπλασιάζεται. ∆. εξαπλασιάζεται. Ε. παραµένει σταθερό.

45. * Ποιο από τα παρακάτω κυρτά πολύεδρα δεν είναι πλατωνικό στερεό;

Α. το κανονικό τετράεδρο Β. το κανονικό εξάεδρο Γ. το κανονικό οκτάεδρο ∆. το κανονικό δεκάεδρο Ε. το κανονικό δωδεκάεδρο

46. * Σε κάθε κανονικό πολύεδρο, αν K είναι ο αριθµός των κορυφών του, Ε ο

αριθµός των εδρών του και Α ο αριθµός των ακµών του, τότε ισχύει η σχέση Α. Κ - Ε = Α + 2. Β. Κ + Ε = Α - 2. Γ. Κ + Ε = Α + 2. ∆. Ε - Κ = 2 - Α. Ε. Κ - Ε = Α - 2.

47. * Πολύεδρο µε 7 κορυφές και 11 ακµές έχει έδρες

Α. 4. Β. 6. Γ. 8. ∆. 10. Ε. 12.

Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. * Αν οι βάσεις πρίσµατος είναι παραλληλόγραµµα, τότε το πρίσµα

ονοµάζεται ....................................... . 2. * Ορθό πρίσµα µε βάσεις παραλληλόγραµµα ονοµάζεται ...............................

.......................................................... . 3. * Ορθό πρίσµα, του οποίου οι βάσεις είναι τετράγωνα και το ύψος του

ισούται µε την πλευρά των τετραγώνων ονοµάζεται ............................ . 4. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα δίνονται τα γεωµετρικά στερεά, κύβος

µε ακµή α και παραλληλεπίπεδο µε διαστάσεις α, β, γ. Να συµπληρώσετε τις στήλες Β, Γ, ∆ και Ε.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆ Στήλη Ε

Γεωµετρικό στερεό

∆ιαγώνιος δ Εµβαδό

παράπλευρης επιφάνειας ΕΠ

Εµβαδό ολικής

επιφάνειας Εολ

Όγκος V

Κύβος

Παραλλη- λεπίπεδο

264

5. * Σ’ ένα ορθό κανονικό πρίσµα η βάση του είναι εγγεγραµµένη σε κύκλο R και το ύψος του είναι υ. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.


Κανονικό σχήµαβάσης

Πλευρά βάσης

Εµβαδό παράπλευρης επιφάνειας ΕΠ

Εµβαδό ολικής επιφάνειας

Εολ Όγκος V

3R

υ24R ⋅

Εξάγωνο

6. * Στη στήλη Α δίνεται πλάγιο πρίσµα στο οποίο καθεµία από τις

παράπλευρες ακµές είναι 4 cm. Αν φ είναι η γωνία κλίσης των ακµών του προς το επίπεδο της βάσης του, να συµπληρώσετε τον πίνακα.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Πλάγιο πρίσµα Γωνία κλίσης φ Ύψος πρίσµατος υ

30°

22

∆΄

Α΄

Γ΄

Β΄

∆ Γ

Α Β

60°

265

7. * Να συµπληρωθούν οι στήλες Β, Γ, ∆, Ε µε βάση τα σχήµατα της στήλης Α συναρτήσει των α και λ, όπου α είναι η πλευρά της βάσης και λ η παράπλευρη ακµή των πυραµίδων.

Στήλη Α Κανονικές πυραµίδες

Ι

∆

Ο

Β

ΑΚ

α

Γ

λ

ΙΙ

∆

Ο

ΒΑ

Κ Μ

Γ

α

λ

ΙΙΙ

∆

ΒΑ

ΚΜ

Γ

α

Ο

αΖ

Ε

λ

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆ Στήλη Ε Ύψος υ

Παράπλευρο ύψος h

Εµβαδό παράπλευρης επιφάνειας Επ

Εµβαδό ολικής επιφάνειας Εολ

Ι

ΙΙ

ΙΙΙ

266

8. * Να συµπληρώσετε τις στήλες Β, Γ και ∆ µε βάση τα σχήµατα που δίνονται στη στήλη Α. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

Σχήµατα Εµβαδό παράπλευρης

επιφάνειας Επ Εµβαδό ολικής επιφάνειας Εολ

Όγκος V

υ

R

2υ

R

υ

2R

2υ

2R

267

9. * Να συµπληρώσετε τις στήλες Β, Γ, ∆, Ε του παρακάτω πίνακα από το σχήµα της στήλης Α συναρτήσει του π.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆ Στήλη Ε Σχήµα υ R ΕΠ V

5 0,2 0,8 6,28

0,6 6,2 υ

R 30 1500

10. * Αν R είναι η ακτίνα σφαιρικής επιφάνειας, δ η διάµετρός της και Ε το εµβαδό της, να συµπληρώσετε τις στήλες Α, Β, Γ του παρακάτω πίνακα συναρτήσει του π.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ R δ Ε 3 5 25π

268

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A = 90°) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε:

∧

α) Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειας. β) Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας. γ) Τον όγκο του V.

2. ** ∆ίνεται ορθό πρίσµα µε βάση ρόµβο ΑΒΓ∆ ο οποίος έχει διαγώνιες

ΑΓ = 6 cm και Β∆ = 8 cm. Αν το πρίσµα έχει παράπλευρη ακµή 7 cm, να βρείτε: α) Την πλευρά του ρόµβου. β) Το εµβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας. γ) Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας. δ) Τον όγκο V του πρίσµατος.

3. ** Η παράπλευρη ακµή κανονικού τετραγωνικού πρίσµατος είναι διπλάσια

της πλευράς της βάσης του και το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι 2α2 (όπου α δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα). Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά της βάσης του πρίσµατος. β) Τον όγκο του πρίσµατος.

4. ** Κανονικό εξαγωνικό πρίσµα έχει απόστηµα

βάσης 32 cm και ύψος τριπλάσιο από την

πλευρά της βάσης του. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά της βάσης του. β) Το εµβαδό της βάσης του. γ) Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειάς του.

Ο

Α ΒΓ

269

5. ** Το κανονικό πρίσµα του διπλανού σχήµατος έχει πλευρά βάσης α και το επίπεδο Γ΄ΑΒ σχηµατίζει µε τη βάση γωνία 45° και Γ΄∆ ⊥ ΑΒ. Να βρείτε: α) Τον όγκο και β) Το εµβαδό του τριγώνου Γ΄ΑΒ. 45°

Α΄

Α

∆

Β

Γ

Γ΄

Β΄

6. ** Σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το µήκος του είναι διπλάσιο από το

πλάτος του και η διαγώνιος του παραλληλεπιπέδου είναι τριπλάσια από το ύψος του. Αν ο όγκος του V είναι 3200 cm3, να βρείτε: α) Τις διαστάσεις του. β) Το εµβαδό του

7. ** Στο διπλανό σχήµα να υπολογισθεί ο όγκος V της σκηνής.

6,5 m

4,5 m

3 m

2,5 m

8. ** ∆οχείο έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και χωράει 72 m3 νερό.

Αν γνωρίζουµε ότι το µήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του και το βάθος του είναι τα 2/3 του µήκους του, να υπολογίσετε τις διαστάσεις του α, β και γ.

270

9. ** ∆εξαµενή έχει σχήµα κανονικού εξαγωνικού πρίσµατος. Ο πυθµένας της δεξαµενής είναι οριζόντιος και το ύψος του νερού που περιέχει είναι 2 m. Αν

ρίξουµε µια πέτρα σχήµατος κύβου και ακµής 0,5 3 m τότε η στάθµη του

νερού υψώνεται κατά 0,01 m. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά της εξαγωνικής βάσης της. β) Τον όγκο του νερού που έχει η δεξαµενή.

10. ** Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ολική επιφάνεια 108 m2, διαγώνιο της βάσης του ίση µε 5 m και άθροισµα των τριών διαστάσεών του 13 m. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις α, β και γ του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

11. ** Οι τρεις διαστάσεις ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ανάλογες προς τους αριθµούς 3, 4, 5 και η ολική επιφάνειά του είναι 21.150 cm2. Να υπολογίσετε: α) Τις τρεις διαστάσεις του α, β και γ. β) Τον όγκο του V.

12. ** Σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο οι διαστάσεις του αποτελούν διαδοχικούς

όρους αριθµητικής προόδου µε άθροισµα 27 cm και η επιφάνειά του είναι 454 cm2. Nα βρείτε τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου.

13. ** Το ύψος της τριγωνικής βάσης κανονικού

πρίσµατος είναι 2,5 3 cm και η διαγώνιος µιας

παράπλευρης έδρας του 13 cm. Να υπολογίσετε: α) Το ύψος του πρίσµατος. β) Το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειάς του. γ) Το εµβαδό της ολικής επιφάνειάς του.

13 cm

Α΄

Α

∆

Β

Γ

Γ΄

Β΄

271

14. ** Ανοιχτή κυβική δεξαµενή έχει διαγώνιο 10 m. Πόσο θα στοιχίσει το βάψιµό της εξωτερικά αν το 1 m2 στοιχίζει 150 δρχ.

15. ** Βάψαµε µια δεξαµενή σχήµατος κύβου και πληρώσαµε 108.000 δρχ. προς 500 δρχ. το m2. Να υπολογίσετε: α) Την ακµή της δεξαµενής. β) Τον όγκο της.

16. ** Κανονική εξαγωνική πυραµίδα έχει ακµή βάσης 5α και ύψος 6α. Να υπολογίσετε τα εµβαδά: α) Της βάσης. β) Της παράπλευρης επιφάνειας. γ) Της ολικής επιφάνειας.

17. ** Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει παράπλευρο ύψος ίσο προς τα 5/6 της ακµής της βάσης της. Αν η ολική επιφάνειά της είναι 384 cm2, να βρείτε: α) Την ακµή της βάσης της. β) Το ύψος της. Ο

K

Β Γ

Α ∆

Ε

18. ** Σε κανονική τετραγωνική πυραµίδα µε πλευρά βάσης α και ύψος υ ισχύει

α2 = 12υ2. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η παράπλευρη έδρα της µε τη βάση.

19. ** Η βάση κανονικής πυραµίδας είναι τετράγωνο πλευράς 0,4 m και η παράπλευρη ακµή της ισούται µε 0,7 m. Να υπολογίσετε τα εµβαδά: α) Της παράπλευρης επιφάνειας. β) Της ολικής επιφάνειας.

272

20. ** Η βάση κανονικής πυραµίδας είναι εξάγωνο πλευράς 8 cm και το ύψος της ισούται µε 50 cm. Να υπολογίσετε: α) Το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειας. β) Το εµβαδό της ολικής επιφάνειας. γ) Τον όγκο της.

21. ** Η βάση κανονικής πυραµίδας είναι τετράγωνο πλευράς 0,8 m και η

παράπλευρη ακµή της 1,5 m. Να υπολογίσετε: α) Το ύψος της πυραµίδας. β) Τον όγκο της.

22. ** Η βάση κανονικής πυραµίδας είναι εξάγωνο πλευράς 2 m και το ύψος της

10 m. Να υπολογίσετε: α) Την παράπλευρη ακµή της. β) Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς της. γ) Τον όγκο της V.

23. ** Κανονική πυραµίδα έχει βάση ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6 cm και όγκο

80 cm3. Να υπολογίσετε το ύψος της.

24. ** Τα επίπεδα δύο ισοπλεύρων τριγώνων ΑΒΓ, ∆ΒΓ µε πλευρά α σχηµατίζουν δίεδρη γωνία 60°. Να βρείτε το ύψος ΑΑ΄ του τετραέδρου ΑΒΓ∆. ∆

Α΄

Α

Μ

Β

Γ

25. ** Να υπολογίσετε το εµβαδό της επιφάνειας κανονικού τετραέδρου ακµής 4

cm.

273

26. ** Οι βάσεις κανονικής κόλουρης πυραµίδας είναι τετράγωνα µε πλευρές 80 cm και 60 cm αντίστοιχα και το παράπλευρο ύψος της είναι 1 m. Να υπολογίσετε τα εµβαδά: α) Της παράπλευρης επιφάνειάς της. β) Της ολικής επιφάνειάς της.

27. ** Οι βάσεις κανονικής κόλουρης πυραµίδας είναι ισόπλευρα τρίγωνα πλευρών 1,2 m και 0,95 m αντίστοιχα και η παράπλευρη ακµή της είναι 1,5 m. Να υπολογίσετε τα εµβαδά: α) Της παράπλευρης επιφάνειάς της. β) Το εµβαδό της ολικής επιφάνειάς της.

∆ Ζ

Α

Β

Γ

Ε

Κ

Θ

28. ** Η καπνοδόχος κτιρίου έχει σχήµα κόλουρης κανονικής τετραγωνικής πυραµίδας µε βάσεις τετράγωνα πλευρών 70 cm και 60 cm αντίστοιχα και η παράπλευρη ακµή της είναι 65 cm. Να υπολογίσετε τον όγκο V της καπνοδόχου.

∆

Ζ

Α

Γ

Ε

ΗΘ

υ

Β

Λ

Κ

29. ** Το πέλµα (η βάση) κολόνας οικοδοµής έχει σχήµα κόλουρης πυραµίδας

µε βάσεις τετράγωνα πλευρών 3,2 m και 0,2 m και ύψος 2 m. Ο εργολάβος

υπολόγισε τον όγκο της χρησιµοποιώντας τον πρακτικό τύπο υ.β)(B21V +=

Αδίκησε ή όχι τον ιδιοκτήτη και πόσο;

274

30. ** Η πυραµίδα του Χέοπα έχει βάση τετράγωνο µε πλευρά 233 m και ύψος 146 m. α) Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραµίδας. β) Οι εσωτερικοί χώροι µε τα αφιερώµατα και τις αίθουσες των νεκρών

καταλαµβάνουν το ένα χιλιοστό του όγκου της πυραµίδας. Να υπολογίσετε τον όγκο της πέτρας που χρειάστηκε για την κατασκευή της πυραµίδας.

γ) Αν ξέρουµε ότι ένα m3 πέτρα ζυγίζει 2 t, πόσοι τόνοι πέτρας χρειάστηκαν για να κατασκευαστεί η πυραµίδα αυτή;

31. ** Η παράπλευρη επιφάνεια κανονικού τριγωνικού πρίσµατος εγγεγραµµένου σε κύλινδρο έχει

εµβαδό 3 m2. Να βρείτε το εµβαδό της

παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου συναρτήσει του π.

Α΄

Β΄

Α

ΒΓ

Γ΄

32. ** Η ακτίνα R και το ύψος υ κυλίνδρου ικανοποιούν τη σχέση R1 +

υ1 =

21 .

Να βρείτε το λόγο του όγκου προς την ολική του επιφάνεια.

275

33. ** Το διπλανό µεταλλικό κουτί έχει υ = 20 cm και διάµετρο βάσης 10 cm. Να υπολογίσετε: α) Το εµβαδό του µεταλλικού φύλλου που χρειάστηκε για

την κατασκευή του κουτιού. β) Τον όγκο του κουτιού.

υ

R

34. ** Από συµπαγή µεταλλικό κύλινδρο κέντρου Κ,

ακτίνας 2 cm και ύψους 5 cm, αφαιρέσαµε κύλινδρο κέντρου Κ΄, ύψους 5 cm και ακτίνας 1,5 cm. Αν το ειδικό βάρος του µετάλλου είναι 7,4 gr/cm3 να υπολογίσετε: α) Το βάρος του στερεού που αποµένει. β) Το εµβαδό της ολικής επιφάνειας του στερεού

που αποµένει. Κ΄

R2 ΚR1

υ

35. ** Στο διπλανό σχήµα παρουσιάζεται η διατοµή ενός χαλύβδινου µηχανικού εξαρτήµατος. Αν γνωρίζουµε ότι το πάχος του είναι 28 mm και το ειδικό βάρος του χάλυβα είναι 7,86 gr/cm3 να υπολογίσετε: α) Το βάρος του εξαρτήµατος. β) Το εµβαδό της ολικής επιφάνειάς του.

60 mm30 mm

276

36. ** Ο σωλήνας ενός καλοριφέρ, από τον καυστήρα µέχρι τα σώµατα του καλοριφέρ έχει µήκος 25 m και διάµετρο 12 cm (βλέπε διπλανό σχήµα). Θέλουµε να τον περιτυλίξουµε µε µονωτική ταινία για να περιορίσουµε τις απώλειες της θερµότητας. Να υπολογίσετε την επιφάνεια της µονωτικής ταινίας που χρειάζεται, αν

γνωρίζουµε ότι χάνεται το 5% της επιφάνειας της ταινίας κατά την επικάλυψη του σωλήνα.

37. ** Η ακτίνα της βάσης κώνου είναι 1 m και το εµβαδό της ολικής επιφάνειάς

του είναι 9,42 m2. Να υπολογίσετε: α) Το παράπλευρο ύψος του κώνου. β) Το ύψος του κώνου. γ) Το εµβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου. δ) Τον όγκο του.

38. ** Το εµβαδό ισοπλεύρου τριγώνου είναι 9 3 m2. Να υπολογίσετε τον όγκο

V του κώνου, ο οποίος έχει βάση τον κύκλο που είναι εγγεγραµµένος στο τρίγωνο αυτό και ύψος έχει την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου.

39. ** Η περίµετρος της βάσης κώνου είναι 6π m και το παράπλευρο ύψος του σχηµατίζει µε τη βάση του γωνία 60°. Να υπολογίσετε: α) Το εµβαδό Επ της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου. β) Τον όγκο V του κώνου

40. ** Το εµβαδό της ολικής επιφάνειας κώνου είναι 8 m2 και το παράπλευρο ύψος του είναι 2 m. Nα υπολογίσετε τον όγκο του.

277

41. ** Η κυρτή επιφάνεια κώνου έχει εµβαδό 565 dm2 και το παράπλευρο ύψος

του είναι 18 dm. Να υπολογίσετε: α) Την ακτίνα του. β) Το ύψος του. γ) Τον όγκο του.

42. ** Στο διπλανό σχήµα η σφαίρα ακτίνας R εφάπτεται ενός κυλίνδρου. Να δείξετε ότι ο λόγος του όγκου του κυλίνδρου προς τον όγκο της σφαίρας, είναι ίσος µε το λόγο της επιφάνειας του κυλίνδρου προς την επιφάνεια

της σφαίρας, δηλαδή VσφVκυλ =

ΕσφΕκυλ .

υ = 2RRR

43. ** Στο διπλανό σχήµα θεωρούµε δύο διαδοχικά τµήµατα ΑΓ = 2α, ΒΓ = α και τα ηµικύκλια διαµέτρων ΑΓ, ΓΒ, ΑΒ προς το ίδιο µέρος της ΑΒ. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται κατά την πλήρη περιστροφή περί την ΑΒ του καµπυλογράµµου τριγώνου, που ορίζουν τα τρία ηµικύκλια.

ΒΓA

44. ** Στο διπλανό σχήµα, κώνος έχει την κορυφή του Κ στο κέντρο σφαίρας (Κ, R) και βάση µια επίπεδη τοµή της σφαίρας. Αν το ύψος του κώνου είναι 12 cm και ο όγκος του 100π cm3, να υπολογίσετε την ακτίνα R της σφαίρας.

Κ

αR

ρ

278

45. ** Τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίµετρο 20 cm, υα = 5 cm και πλευρά α = 9 cm. Να

βρείτε: α) Τον όγκο του στερεού που παράγεται κατά την πλήρη περιστροφή του

τριγώνου ΑΒΓ περί την ΒΓ. β) Το εµβαδό της επιφάνειας του στερεού που παράγεται κατά την πλήρη

περιστροφή του τριγώνου ΑΒΓ περί την ΒΓ.

46. ** ∆ύο σφαίρες έχουν ακτίνες 10 cm και 8 cm αντίστοιχα και τα κέντρα τους απέχουν 12 cm. α) Να εξετάσετε αν οι σφαίρες τέµνονται. β) Αν τέµνονται να υπολογίσετε το εµβαδό

της τοµής τους.

Ο

Α

Ο΄Γ

Β

47. ** Να δείξετε ότι ο λόγος των τετραγώνων διαµέτρου σφαίρας και της ακµής

κύβου εγγεγραµµένου σε αυτή είναι 3:1.

48. ** Η ακµή κύβου είναι α. Να υπολογίσετε τη διαφορά των επιφανειών περιγεγραµµένης και εγγεγραµµένης σφαίρας στο κύβο αυτό.

49. ** Το εµβαδό σφαίρας είναι 7,85 m2. Να υπολογίσετε το µήκος ενός µέγιστου κύκλου της.

50. ** Η ακτίνα σφαίρας είναι 2 m. Να υπολογίσετε την ακτίνα σφαίρας µε

διπλάσια επιφάνεια. 51. Να εκφράσετε το εµβαδό σφαίρας συναρτήσει του µήκους ενός µεγίστου

κύκλου της.

279

52. ** Τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = 4 cm,

ΑΓ = 6 cm και = 60° και περιστρέφεται πλήρως γύρω από την ΒΓ. Να βρείτε:

∧Β

α) Τον όγκο του στερεού που παράγεται.

∆Β Γ

Α

1

β) Το εµβαδό του στερεού που παράγεται.

280


ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ (Κ ε φ ά λ α ι ο 1 3 ο : Γ εω µ ε τ ρ ι κ ά Σ τ ε ρ ε ά )

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων, ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

282


∆ιδακτική ενότητα: Γεωµετρικά Στερεά

ΘΕΜΑ 1ο

Α. ∆ίνεται ορθός κύλινδρος ακτίνας R και ύψους υ. α) Να σχεδιαστεί το ανάπτυγµά του. β) Να βρεθεί ο τύπος της παράπλευρης επιφάνειάς του. γ) Να βρεθεί ο τύπος της ολικής επιφάνειάς του.

Β. α) Αν υποδιπλασιάσουµε το ύψος υ και την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου

τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφάνειάς του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. υποτετραπλασιάζεται. Γ. υποεξαπλασιάζεται. ∆. υποοκταπλασιάζεται. Ε. υποδεκαπλασιάζεται.

β) Αν κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 2 cm και εµβαδό ΕΠ παράπλευρης επιφάνειας ίσο µε 24 cm2 τότε το ύψος του σε cm είναι

Α. π2 . Β.

π4 . Γ.

π6 . ∆. 6π. Ε.

π24 .

γ) Αν υποδιπλασιάσουµε το ύψος υ κυλίνδρου µε ακτίνα βάσης R τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφανείας του Α. διπλασιάζεται. Β. παραµένει σταθερό. Γ. υποδιπλασιάζεται. ∆. υποτετραπλασιάζεται. Ε. τετραπλασιάζεται.

δ) Αν διπλασιάσουµε την ακτίνα R της βάσης κυλίνδρου µε ύψος υ τότε το εµβαδό ΕΠ της παράπλευρης επιφανείας του Α. υποδιπλασιάζεται. Β. παραµένει σταθερό. Γ. διπλασιάζεται. ∆. τετραπλασιάζεται. Ε. οκταπλασιάζεται.

283

ΘΕΜΑ 2ο Σε έναν τοίχο υπάρχει µια εσοχή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, βάθους 4 cm, µήκους 6 cm και ύψους 5 cm. Στην εσοχή αυτή θέλουµε να τοποθετήσουµε το µεταλλικό κιβώτιο του διπλανού σχήµατος. Πόσο πρέπει να είναι το µήκος x του κιβωτίου αυτού ώστε να χωράει στην εσοχή του τοίχου;

6 cm

4 cm

x

284


∆ιδακτική ενότητα: Γεωµετρικά Στερεά

ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να υπολογιστεί η ολική επιφάνεια ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε

διαστάσεις α, β, γ. β) Να υπολογιστεί η διαγώνιος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

συναρτήσει των διαστάσεών του. γ) Να υπολογιστεί η διαγώνιος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου όταν

α = β = γ.

Β. α) Το εµβαδό ΕΠ της παράπλευσης επιφάνειας κύβου ακµής α είναι

Α. α2. Β. 6α. Γ. 4α. ∆. 4α2. Ε. 6α2. β) Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας κύβου ακµής α είναι

Α. 6α. Β. 4α. Γ. 6α2. ∆. 4α2. Ε. α2. γ) Το εµβαδό Εολ της ολικής επιφάνειας ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

διαστάσεων α, β και γ είναι Α. αβ + βγ + γα. Β. 2 (αβ + βγ). Γ. 2 (αβ + βγ + γα). ∆. 2αβ + 2βγ + γα. Ε. αβ + 2βγ + 2γα.

δ) Αν ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου οι διαστάσεις του είναι 2 cm, 3 cm και 6 cm, τότε οποιαδήποτε διαγώνιός του είναι σε cm Α. 3. Β. 5. Γ. 6. ∆. 7. Ε. 7,5.

ε) Κάθε διαγώνιος κύβου µε ακµή α έχει µήκος

Α. 2α . Β. 2

2α . Γ. 22α . ∆. 3α . Ε. 33α .

ζ) Αν το εµβαδό της ολικής επιφάνειας κύβου είναι 96 cm2 τότε το µήκος µιας ακµής του α είναι σε cm Α. 4. Β. 6. Γ. 8. ∆. 10. Ε. 12.

285

ΘΕΜΑ 2ο Στο διπλανό µολύβι να υπολογίσετε: α) Το εµβαδό της παράπλευρης

επιφάνειάς του Επ. β) Τον όγκο του V.

6 mm

2 mm

3 mm

286

Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ

288


1. α) Σ - β) Λ - γ) Λ, 2. Σ, 3. Σ, 4. Σ, 5. Σ, 6. Λ, 7. Λ, 8. Σ, 9. Λ, 10. Σ, 11. Σ, 12. Λ, 13. Σ, 14. Λ, 15. Λ, 16. Σ, 17. Λ, 18. Λ, 19. Σ, 20. Σ, 21. Λ, 22. Σ, 23. Σ, 24. Λ, 25. Σ, 26. Λ, 27. Σ, 28. Λ, 29. Λ, 30. Σ, 31. Σ, 32. Σ, 33. Λ, 34. Σ, 35. Λ, 36. Σ, 37. Λ, 38. Λ, 39. Σ, 40. Λ, 41. Σ, 42. Σ, 43. Λ, 44. Σ, 45. Λ, 46. Σ, 47. Σ, 48. Λ, 49. Σ, 50. Σ, 51. Λ, 52. Λ, 53. Σ, 54. Λ, 55. Σ, 56. Σ, 57. Λ, 58. Σ 59. Στήλη Γ Στήλη ∆ Λ δ > R Σ Λ δ < R 60. Λ, 61. Λ, 62. Σ, 63. Λ.


1. Β, 2. Ε, 3. Β, 4. Β, 5. ∆, 6. ∆, 7. Α, 8. Ε, 9. ∆, 10. Γ, 11. ∆, 12. Γ, 13. Γ, 14. Β, 15. Γ, 16. Β, 17. Ε, 18. ∆, 19. Γ, 20. Α, 21. Β, 22. Α, 23. Γ, 24. Α, 25. ∆, 26. Γ, 27. Β, 28. ∆, 29. Γ, 30. Γ, 31. Β, 32. Β, 33. Γ, 34. Γ, 35. Γ, 36. Β, 37. Γ, 38. ∆, 39. Ε, 40. Α, 41. Β, 42. Γ, 43. ∆, 44. Γ, 45. ∆, 46. Γ, 47. Β.


289

1. παραλληλεπίπεδο 2. ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 3. κύβος 4.


Γεωµετρικό στερεό

∆ιαγώνιος δ Εµβαδό

παράπλευρης επιφάνειας ΕΠ

Εµβαδό ολικής

επιφάνειας Εολ

Όγκος V

Κύβος α 3 4α2 6α2 α3

Παραλλη- λεπίπεδο

222 γ β α ++

2 (α + β) γ 2 (αβ + βγ + γα) αβγ

5.


Κανονικό σχήµαβάσης

Πλευρά βάσης

Εµβαδό παράπλευρης επιφάνειας ΕΠ

Εµβαδό ολικής επιφάνειας

Εολ Όγκος V

ισόπλευρο τρίγωνο

3R 3 3R ⋅υ 3 3R ⋅υ

+ 2

33R 2

433R 2

⋅υ

τετράγωνο 2R υ24R ⋅ υ24R ⋅

+ 4R2 2R2⋅υ

Εξάγωνο R 6R⋅υ 6R⋅υ +

3R2 3 233R 2

⋅υ

6.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ

290

Πλάγιο πρίσµα Γωνία κλίσης φ Ύψος πρίσµατος υ 30° 2

45° 22

∆΄

Α΄

Γ΄

Β΄

∆ Γ

Α Β

60° 32

291

7.

Στήλη Α Κανονικές πυραµίδες

Ι

∆

Ο

Β

ΑΚ

α

Γ

λ

ΙΙ

∆

Ο

ΒΑ

Κ Μ

Γ

α

λ

ΙΙΙ

∆

ΒΑ

ΚΜ

Γ

α

Ο

αΖ

Ε

λ

Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆ Στήλη Ε Ύψος υ

Παράπλευρο ύψος h

Εµβαδό παράπλευρης επιφάνειας Επ

Εµβαδό ολικής επιφάνειας Εολ

Ι 31 22 3α - 9λ

21 22 α - 4λ

43 α 22 α - 4λ

α 22 α - 4λ +

43α2

ΙΙ 21 22 2α - 4λ

21 22 2α - 4λ α 22 2α - 4λ α 22 2α - 4λ + α2

ΙΙΙ 22 α - λ 21 22 2α - 4λ

2α3 22 2α - 4λ

2α3 22 α - 4λ

+ 2

33α2

43

292

8. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆

Σχήµατα Εµβαδό παράπλευρης

επιφάνειας Επ Εµβαδό ολικής επιφάνειας Εολ

Όγκος V

υ

R

2πRυ 2πR (R + υ) πR2υ

2υ

R

4πRυ 2πR (R + 2υ) 2πR2υ

υ

2R

4πRυ 4πR (2R + υ) 4πR2υ

2υ

2R

8πRυ 8πR (R + υ) 8πR2υ

293

9. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ Στήλη ∆ Στήλη Ε Σχήµα υ R ΕΠ V

5 0,2 2π 0,2π

0,8 π9,3 6,28

π2,12

π16,5 0,6 6,2 1,857

υ

R 30

ππ25 300 π2 1500

10.

Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Γ R δ Ε 3 6 36π

2,5 5 25π 1,25 2,5 25π

294

Ερωτήσεις ανάπτυξης και σύντοµης απάντησης 1. α) ΑΒ2 = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 cm2

ΑΒ = 4 cm Περ. βάσης = 3 + 4 + 5 = 12 cm Eπ = 12 cm · 7 cm = 84 cm2

β) Eβ = 2

cm 4 · cm 3 = 6 cm2

Εολ = 2Εβ + Επ = 96 cm2 γ) V = 6 · 7 = 42 cm3

5

Α΄

Α

3

Β Γ

Γ΄Β΄

7

2. α) ΒΟ = 4 cm

AO = 3 cm Άρα από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ προκύπτει ότι ΑΒ = 5 cm

β) Περ. βάσης = 4 · 5 = 20 cm Eπ = 20 · 7 = 140 cm2

γ) Eβ = 2

cm 6 · cm 8 = 24 cm2

Eολ = 2Εβ + Επ = 188 cm2

δ) V = 24 cm2 · 7 cm = 168 cm3

ΟΑ

∆

Β

Γ

3. α) Έστω x η πλευρά της βάσης. Τότε το εµβαδό της θα είναι x2. Η

παράπλευρη ακµή είναι 2x. Η περίµετρος της βάσης είναι 4x. Το ύψος

του πρίσµατος είναι 2x. Άρα Επ = 4x · 2x = 8x2 ή 8x2 = 2α2 ή x = 2α

β) V = Eβ · υ = 2

2α

⋅ 2 ⋅

2α =

4α3

295

4. α) Έστω ΑΒ = α

ΟΓ = 2 3 cm αλλά και OΓ = 2

3α

Άρα 2 3 = 2

3α ή α = 4 cm

Ο

Α ΒΓ

β) Eβ = 6 · 4

3α 2

ή Eβ = 4

3166 ⋅ = 24 3 cm2

γ) Είναι ύψος πρίσµατος υ = 3⋅α = 12 cm, Επ = 6⋅α⋅υ = 6⋅4⋅12 = 288 cm2

Eολ = Επ + 2Εβ = 48 (6 + 3 ) cm2

5. α) To ∆ είναι το µέσο της ΑΒ. Οπότε Γ∆∧

Γ΄ = 45° και

Γ∆, Γ΄∆ ⊥ ΑΒ. Άρα ΓΓ΄ = Γ∆ = 2

3α . Εποµένως

V = Eβ · υ = 4

3α 2

· 2

3α = 8

3α3

.

β) Εξάλλου Γ΄∆ = Γ∆ 2 = 2

6α οπότε

(Γ΄ΑΒ) = 21 ΑΒ · Γ΄∆ =

46α 2

45°

Α΄

Α

∆

Β

Γ

Γ΄

Β΄

6. α) Έστω α, β, γ οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου.

Είναι α = 2β δ = 3γ (1) αβγ = 3200 δ2 =α2 + β2 + γ2

Από τη λύση του συστήµατος (1) προκύπτει γ = 10 cm, β = 12,6 cm, α = 25,2 cm

β) E = 2 (αβ + βγ + γα) = 2 (25,2 · 12,6 + 12,6 · 10 + 10 · 25,2) = 2 (317,52 + 126 + 252) = 2 · 695,52 = 1391 cm2

296

7. Το εµβαδό της πρόσοψης αποτελείται από ένα ορθογώνιο µε διαστάσεις 3 m και 2,5 m και ένα τρίγωνο µε βάση 3 m και ύψος

4,5 - 2,5 = 2 m και είναι

Ε = 3 · 2,5 + 21 · 3 · 2 =

7,5 + 3 = 10,5 m2.

6,5 m

4,5 m

3 m

2,5 m

Εποµένως ο όγκος V της σκηνής είναι V = Eβ · υ = 10,5 · 6,5 = 68,25 m3. 8. Έστω α το πλάτος του δοχείου, β το µήκος του και γ το βάθος του. Τότε το

µήκος του θα είναι 2α και το βάθος του θα είναι 3

4α . Ο όγκος του δοχείου

είναι 2α · α 3

4α = 3

8α3

. Άρα 3

8α3

= 72 ή 8α3 = 216 ή α3 = 27 ή α = 3 m.

Εποµένως β = 6 m και γ = 4 m.

9. α) Έστω α η πλευρά της βάσης. Τότε εµβ. βάσης = 2

33α 2

. Η πέτρα έχει

ακµή 0,5 3 m και ο όγκος της είναι Vπέτρας = (0,5)3 ( 3 )3m3. O όγκος

αυτός της πέτρας είναι ίσος µε τον όγκο του νερού της δεξαµενής η οποία

έχει εµβαδό βάσης 2

33α 2

και ύψος 0,01 m.

∆ηλαδή 2

33α 2

· 0,01 = (0,5)3 ( 3 )3 ή α2 = 25 ή α = 5 m.

β) Ο όγκος του νερού που περιέχει η δεξαµενή είναι 2

325 3 ⋅ · 2 = 75 3 m3

10. Είναι α + β + γ = 13, 2 (αβ + βγ + γα) = 108, α2 + β2 =25

Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει ότι α = 3 cm, β = 4 cm, γ = 6 cm

297

11. Είναι 3

α =

4β =

5γ = λ, 2αβ + 2βγ + 2γα = 21.150 ή

α = 3λ, β = 4λ, γ = 5λ 2 · 3λ · 4λ + 2 · 4λ · 5λ + 2 · 5λ · 3λ = 21.150 Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει λ = ±15. Η λ = - 15 απορρίπτεται. Για λ = 15 έχουµε α = 45 cm, β = 60 cm, γ = 75 cm. β) V = α · β · γ ή V = 45 · 60 · 75 = 202.500 cm3.

12. Εφόσον οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου αποτελούν

διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου έχουµε: α = x - ω β = x γ = x + ω Επειδή α + β + γ = 27 cm τότε x - ω + x + x + ω = 27 ή 3x = 27 ή x = 9 Άρα α = 9 - ω, β = 9, γ = 9 + ω Η επιφάνεια του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισούται προς 454 cm2 και είναι Ε = 2 (αβ + αγ + βγ) = 2 [9 (9 - ω) + (9 - ω) (9 + ω) +9 (9 + ω)] = 454 ή 92 - 9ω +92 -ω2 +92 +9ω =227 ή ω2 = 16 ή ω = ± 4 cm i) Για ω = 4 έχουµε α = 5 cm, β = 9 cm, γ = 13 cm ii) Για ω = - 4 έχουµε α = 13 cm, β = 9 cm, γ = 5 cm Και στις δύο περιπτώσεις ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι V = αβγ =5 · 9 · 13 =585 cm3

13. α) Η βάση του είναι ισόπλευρο τρίγωνο

Α∆ = 2

3α ή 2,5 3 = 2

3α ή α = 5 cm,

ΑΒ = 5 cm Από το ορθογώνιο τρίγωνο Α΄ΑΒ έχουµε

ΑΑ΄ = ΑΒ - Α΄Β 22 = 5 - 31 22 = 144 οπότε

υ = 12 cm β) Επ = 3α · υ =3 · 5 · 12 =180 cm2

γ) Εολ = Επ + 2 Εβ = 180 + 2 4

352

= 201,4 cm2

13 cm

Α΄

Α

∆

Β

Γ

Γ΄

Β΄

298

14. Θα βάψουµε τις 5 έδρες τις οποίες έχουν εµβαδό Ε = 5α2. Είναι δ = α 3 ή δ2

= 3α2 ή 102 =3α2 ή α2 = 3

100 =33,33 m2

E = 5 · 33,33 = 166,65 m2. Θα στοιχίσει 166,65 · 150 = 24.998 δρχ.

15. Εολ = 500

000.108 = 216 m2

α) Εολ = 6α2 ή 216 = 6α2 ή α2 = 36 ή α = 6 m β) V = α3 = 63 m3 = 216 m3

16. α) Φέρουµε το ύψος ΚΟ και ΟΗ ⊥ ΑΒ τότε ΚΗ ⊥ ΑΒ. Το απόστηµα ΟΗ κανονικού

εξαγώνου πλευράς 5α ισούται µε ΟΗ = 2

35α

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΗ έχουµε:

ΚΗ2 = ΚΟ2 + ΟΗ2 = (6α)2 + (2

35α )2 = 4

219α 2

ή

ΚΗ = 2219α

Ο

Α

Β

H

K

Το εµβαδό της βάσης είναι Β = 2

33(5α)2

= 2

375α 2

β) Επ = 2

65α ⋅ · 2219α =

221915α 2

γ) Εολ = 2

375α 2

+ 2

21915α 2

= 2α 215 (5 3 + 219 )

299

17. α) Έστω ΑΒ = α η ακµή της βάσης της

τότε ΚΕ = 6

5α όπου ΚΕ το

παράπλευρο ύψος.

Εολ = Επ + Β = 2

4α ·6

5α + α2 = 3

8α 2

384 = 3

8α 2

, α2 = 144,

α = 12 cm

Ο

K

Β Γ

Α ∆

Ε

β) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΕ µε OE = 2α = 6 cm και KE =

65α = 10 cm

έχουµε ΚΟ2 = ΚΕ2 - ΟΕ2 = 102 - 62 = 64 ή ΚΟ = 8 cm

18. Έχουµε υ = 12α =

32α =

63α . Αν

Μ είναι το µέσο της Α∆, τότε ΟΜ = 2α

και ΚΜ2 = 12α 2

+ 4α 2

= 3α 2

οπότε

ΚΜ = 3

3α = 2ΚΟ. Άρα ΟΜKO =

21 .

Ο

K

Β

Γ

Α

∆

Μ

Αλλά ηµ = ΟΜΚ∧

ΟΜKO =

21 . Άρα = 30°. Όµως ΟΜ ⊥ Α∆ και

ΚΜ ⊥ Α∆ οπότε η είναι η αντίστοιχη επίπεδη.

ΟΜΚ∧

ΟΜΚ∧

300

19. α) Επ = 2

hΠ ⋅

Περ. βάσης = 4 · 0,4 = 1,6 m το παράπλευρο ύψος ΚΕ είναι ΚΕ2 = ΚΑ2 - ΕΑ2 = 0,72 - 0,22 ή ΚΕ2 = 0,49 - 0,04 = 0,45 ή

ΚΕ = 0,67 m Ο

K

ΒΓ

Α∆

Ε

Επ = 2

m 0,67 m ⋅1,6 = 2

m 21,072 = 0,536 m2

β) Εολ = Εβ + Επ = 0,16 + 0,536 = 0,696 m2

20. α) Επ = 2

hΠ ⋅

ΟΜ = 2

3α = 2

38 = 4 3 cm

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΜ έχουµε: h2 = ΚO2 + OM2 = 502 + 48 = = 2500 + 48 = 2548 cm2

h = 50,47 cm

Επ = 250,47 6 8 ⋅⋅ = 1211,28 cm2

Ο

K

Β

Γ

Α

h

Μ

β) Εολ = Εβ + Επ = 2

33·82

+ 1211,28 = 166,27 + 1211,28 = 1377,55 cm2

γ) V = 3

50 · 166,27 = 2771,2 cm3

301

21. α) OB = 2

0,8

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΒ έχουµε:

ΚO2 = ΚB2 - OB2 = 1,52 - 2

0,82

=

= 2,25 - 2

0,64 = 2,25 - 0,32 = 1,93 m2,

KO = 1,38 m

Ο

K

Β

Γ

Α

∆

Ε

β) V = 3

υ Eβ ⋅ = 31,38 0,82 ⋅ =

31,38 0,64 ⋅ =

38832,0 = 0,294 m3

22. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΟΒ έχουµε:

ΚΒ2 = ΚΟ2 + OB2 = 102 + 22 = = 100 + 4 = 104 m2, KB = 10,19 m

β) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΜΒ έχουµε: ΚΜ2 = ΚΒ2 - ΜB2 = 104 - 12 = 103 m2 KΜ = 10,148 m

Επ = 2

h⋅Π ή Επ = 210,14826 ⋅⋅ = 60,88 m2

γ) Είναι Εβ = 2

33α 2

και V = 3

υ Εβ ⋅

Άρα V = 32

10 32 3 2

⋅⋅⋅ = 34,64 m3

Ο

K

Β

Γ

Α

Μ

23. V = 3

ύψος βάσης µβ. ⋅Ε

Εµβ. βάσης = 4

362

= 4

336 = 9 3 cm2

80 = 3

υ39 ⋅ ή 240 = 9 3 · υ ή υ = 39

240 ή υ = 27

3240 =9

380 = 15,4 cm

302

24. Αν Μ είναι το µέσο του ΒΓ, τότε ΑΜ, Μ∆ ⊥ ΒΓ,

οπότε A = 60°. Αν ΑΑ΄ ⊥ Μ∆, τότε ΑΑ΄ ⊥ (Β, Γ, ∆)

∆∧

M

Αλλά ΄ΑΑΜ∧

= 30°, οπότε ΜΑ΄ = 2

ΑΜ και ∆

Α΄

Α

Μ

Β

Γ

ΑΑ΄ = 4

ΑΜ - ΑΜ2

2 = 2

3ΑΜ = 23

23α⋅ =

43α

Συντοµότερα ΑΑ΄ = ΑΜ⋅ηµ60° = ΑΜ ⋅23 =

23

23α⋅ =

43α .

25. Η επιφάνεια κανονικού τετραέδρου αποτελείται από 4 ίσα ισόπλευρα

τρίγωνα πλευράς 4 cm και καθένα τους έχει εµβαδό 4

342

.

Άρα Εολ = 4 · 4

342

= 16 3 cm2 = 27,71 cm2

26. α) Επ = 2

hΠ΄)(Π ⋅+ ή Επ = 2

100)604804( ⋅⋅+⋅ = 28.000 cm2

β) Εολ = Επ + ΕΒ + Εβ = 28.000 + 6.400 + 3.600 = 38.000 cm2

27. α) Επ = 2

ΕΘΠ΄) (Π ⋅+

Π = 1,2 · 3 = 3,6 m Π΄ = 0,95 · 3 = 2,85 m Υπολογίζουµε την ΕΘ από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΘΒ.

∆ Ζ

Α

Β

Γ

Ε

Κ

Θ

303

Πράγµατι αν φέρουµε τις ΕΘ και ΖΚ κάθετες πάνω στη ΒΓ θα είναι ΕΖ = ΘΚ = 0,95 m και ΒΘ = ΚΓ. Άρα θα είναι 2ΒΘ = ΒΓ - ΘΚ = 1,2 - 0,95 = 0,25, δηλαδή ΒΘ = 0,125 m. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΘΒ έχουµε: ΕΘ2 = ΕΒ2 - ΒΘ2 = 1,52 - 0,1252 = 2,25 - 0,015625 = 2,234 m2 ΕΘ =1,49 m

Επ = ( )2

1,49 2,85 3,6 ⋅+ =21,49 ,456 ⋅ =

2,61059 = 4,8 m2

β) Εολ = 4

32, 21 + 4

395,0 2

+ 4,8 = 0,62 + 0,39 + 4,8 = 5,81 m2

304

28. α) V = 31 υ (Β +β + Ββ )

Β = 702 = 4.900 cm2 β = 602 = 3.600 cm2

Ββ = 22 6070 ⋅ = 70 · 60 = 4.200 cm2

Υπολογισµός του υ Από το Ζ φέρουµε κάθετη ΖΛ πάνω στη βάση ΑΒΓ∆ η οποία τέµνει την ΚΒ στο σηµείο Λ. Θα είναι ΛΒ = ΚΒ - ΚΛ ή

ΛΒ = 2

270 - 2

260 = 5 2 cm

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΖΛΒ έχουµε:

∆

Ζ

Α

Γ

Ε

ΗΘ

υ

Β

Λ

Κ

ΖΛ2 = ΖΒ2 - ΛΒ2 = 4225 - (5 2 )2 = 4225 - 50 = 4175 cm2 Άρα ΖΛ = υ = 64,61 cm

V = 31 64,61 (4900 + 3600 + 4200) =

31⋅ 64,61⋅12.700 = 273.515,6 cm3

305

29. Η διαφορά ∆ του όγκου είναι

∆ = 21 (Β + β) υ -

31 (Β + Ββ + β) υ =

6υ [3 (Β + β) - 2 (Β + Ββ + β)] =

6υ (Β - 2 Ββ + β) =

6υ ( Β - β )2 > 0. Άρα ∆ > 0.

Ο εργολάβος αδίκησε τον ιδιοκτήτη κατά

6υ ( Β - β )2 =

62 ( 23,2 - 20,2 )2 =

62 (3,2 - 0,2)2 =

62 · 32 = 3 m3.

Ο εργολάβος χρέωνε παραπάνω 3 m3 µπετόν σε κάθε πέλµα.

30. α) V = 31 Eβ · υ =

31 2332 · 146 ≅ 2.642.065 m3

β) Η πέτρα που χρειάστηκε είναι 1000 - 1 = 999 χιλιοστά του όγκου της πυραµίδας, δηλαδή 0,999 · 2.642.065 ≅ 2.639.423 m3

γ) Είναι 2 · 2.639.423 = 5.278.846 t περίπου

31. Αν R είναι η ακτίνα της βάσης και υ το ύψος του κυλίνδρου, τότε η παράπλευρη επιφάνεια του πρίσµατος έχει εµβαδό

Επ = 3 · ΑΒ · υ = 3λ3 · υ = 3R 3 υ.

Άρα 3 = 3R 3 υ, δηλαδή Rυ = 31 .

Το εµβαδό Ε΄π της παράπλευρης επιφάνειας του

κυλίνδρου θα είναι Ε΄π = 2πRυ = 3

2π .

Α΄

Β΄

Α

ΒΓ

Γ΄

32. Έχουµε R1 +

υ1 =

21 ή

υRR υ + =

21 ή υR = 2 (υ + R)

V = πR2υ, ο όγκος του κυλίνδρου. Ε = 2πR (υ + R), η ολική επιφάνεια του κυλίνδρου.

Άρα EV =

R) (υ 2πRυπR 2

+ =

R) (υ 2πRR) (υ 2πR

++ = 1

306

33. α) Εολ = Επ + 2Εβ Επ = 2πRυ

R = 2δ =

210 = 5 cm

Επ = 2 · 3,14 · 5 · 20 = 628 cm2 Εβ = πR2 = 3,14 · 52 = 78,5 cm2 Εολ = 628 + 2 · 78,5 = 628 + 157 = 785 cm2

β) V = πR2 · υ = 3,14 · 52 · 20 = 3,14 · 25 · 20 = 1570 cm3

υ

R

34. α) Ο αρχικός κύλινδρος έχει R1 = 2 cm και υ1 = 5 cm και αυτός που αφαιρούµε R2 = 1,5 cm και υ2 = 5 cm. Το στερεό που απέµεινε έχει όγκο

V = V1 - V2 = πR12υ - πR2

2υ ή V = π (R1

2 - R22) υ ή

V = π (22 - 1,52) · 5 = 8,75π ≅ 27,475 cm3 και εποµένως το βάρος του είναι Β = 27,475 · 7,4 = 203,3 gr

Κ΄

R2 ΚR1

υ

β) E = + 2 ( E - ) ή 1πE + 2πE 1β 2βE

E = 2π (R1 + R2) υ + 2π (R12 - R2

2) = 2π (R1 + R2) (υ + R1 - R2) ή Ε = 2π (2 + 1,5) (5 + 2 - 1,5) = 38,5 π cm2 ή Ε =120,89 cm2

35. α) Θα βρούµε πρώτα τον όγκο V1, V2 των κυλίνδρων. Από τον όγκο

V1 = π (2

60 )2 · 28 = 25.200π mm3 = 25,2π

cm3 του εξωτερικού κυλίνδρου θα αφαιρέσουµε

τον όγκο V2 = π (2

30 )2 · 28 = 6,3π cm3 του

εσωτερικού.

60 mm30 mm

Είναι V = 25,2π - 6,3π = 18,9π ≅ 59,346 cm3

307

Άρα το βάρος Β του εξαρτήµατος είναι Β = 7,86 · 59,346 ≅ 466,46 gr β) Η επιφάνεια του εξαρτήµατος αποτελείται από τις κυρτές επιφάνειες των

δύο κυλίνδρων και από τις επιφάνειες των βάσεών του που είναι σαν της διατοµής. Άρα

Εολ = 2π 2

60 · 28 + 2π 2

30 · 28 + 2π (2

60 )2 - 2π (2

30 )2 =

1680π + 840π + 1800π -450π = 3870π mm2 = 38,7π cm2 ≅ 121,518 cm2

36. Το µήκος του σωλήνα είναι 25 · 100 = 2500 cm και η ακτίνα του

212 = 6 cm. Oπότε

Ε1 = 2πρυ = 2⋅3,14⋅6⋅2500 = 94.200 cm2 Εποµένως τα (100 - 5)% = 95% της

ταινίας είναι 94200 cm2 και αν x cm2

είναι όλη η ταινία τότε 10095 x = 94200

0,95x = 94200, x = 95,0

94200 , x = 99.158 cm2, x = 9,9158 ≅ 10 m2

37. α) Εολ = πR (h + R) ή 9,42 = π · 1 (h + 1) ή τελικά h = 2 (περίπου)

β) υ2 = h2 - R2 ή υ2 = 3 ή υ = 3

γ) Επ = πRh = 3,14 · 1 · 2 = 6,28 m2 (περίπου)

δ) V = 31 πR2 · υ =

31 3,14 · 12 · 3 = 1,81 m3

(περίπου) R

hυ

Α Γ

Β

308

38. Το εµβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου είναι 4

3α 2

. Άρα 4

3α 2

= 9 3 ή

α = 6 m. Η ακτίνα του κύκλου του εγγεγραµµένου σε ισόπλευρο τρίγωνο

πλευράς α είναι ίση µε R = 6

3α άρα R = 6

36 = 3 . Το εµβαδό της βάσης

του κώνου είναι Εβ = π ( 3 )2 = 3π m2. Το ύψος του κώνου είναι 6 m, άρα ο

όγκος V του κώνου θα είναι V = 31 3π · 6 = 6π = 18,84 m3.

39. α) Αν R η ακτίνα της βάσης του κώνου, τότε η

περίµετρος της βάσης είναι 2πR. Άρα 2πR = 6π ή R = 3 m

OA = R = 2h ή h = 2R = 6 m

υ2 = h2 - R2 = 62 - 32 = 27 m2 υ = 5,19 m

Επ = πRh = 56,52 m2

β) V = 31 πR2υ = 48,88 m3

R

hυ

O60°

30°

Κ

A

40. Ε = πR (h + R) ή 8 = πR (2 + R) ή πR2 + 2πR - 8 = 0 ή 3,14R2 + 6,28 R - 8 =

0 ή R = 0,88 cm

V = 31 πR2⋅υ =

31 ⋅ 3,14 (0,88)2 ⋅ 2 = 1,621 m3.

309

41. α) Επ = πRh ή 56,5 = 3,14 R⋅18 ή R = 652,5

5,56 ≅ 10 dm

β) υ = 22 R -h = 22 10 -81 = 224 ≅ 15 dm

γ) V = 31 πR2υ =

31 3,14 · 102 · 15 = 1570 dm3

R

hυ

Α Γ

Β

42. Vκυλ = πR2υ και επειδή υ = 2R θα είναι

Vκυλ = πR2 2R = 2πR3

Vσφ = 34 πR3

Η ολική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι Εκυλ = 2πRυ + 2πR2 = 2πR ⋅ 2R + 2πR2 = 4πR2 + 2πR2 = 6πR2

υ = 2RRR

Εσφ = 4πR2

Θα έχουµε λοιπόν: σφ

κυλ

VV

= 3

3

πR342πR =

342 =

46 =

23

σφ

κυλ

EE

= 2

2

4πR6πR =

46 =

23 . Εποµένως

σφ

κυλ

VV

= σφ

κυλ

EE

.

43. Αν V1, V2, V3 οι όγκοι των σφαιρών που προκύπτουν µε περιστροφή των ηµικυκλίων διαµέτρων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, τότε ο ζητούµενος όγκος είναι ΒΓA

V = V1 - V2 - V3 = 61 πΑΒ3 -

61 πΑΓ3 -

61 πΒΓ3 =

61 π [(3α)3 - (2α)3 - α3] =

61 π18α3 = 3πα3

310

44. Vκων = 31 πρ2α µε V = 100π cm3

α = υ = 12 cm και ρ η ακτίνα της βάσης του κώνου, που είναι και ακτίνα της επίπεδης τοµής

της σφαίρας. Ο τύπος του όγκου δίνει ρ2 = απ3V

R2 = ρ2 + α2. Άρα R2 = απ3V + α2 ή

Κ

αR

ρ

R2 = 12π100π3 ⋅ + 122 = 25 + 144 = 169 cm2 ή R = 13 cm

45. α) Αν A1 είναι η προβολή του Α πάνω στη ΒΓ, τότε

VΑΒΓ = 31 πΑΑ 1 ⋅ΒΑ

21 +

+ 31 πΑΑ ⋅ΓΑ1 = 2

1Α1

Β Γ

Α

= 31 πΑΑ 1 ⋅ (ΒΑ

21 + ΓΑ1) =

31 πΑΑ ⋅ΒΓ = 2

1 31 π⋅52⋅9 = 75π

β) ΕΑΒ + ΕΑΓ = π⋅ΑΑ1⋅ΑΒ + π⋅ΑΑ1⋅ΑΓ = π⋅υα (β +γ) = π⋅5⋅11 = 55π, αφού β + γ = 20 - α = 11

46. α) Είναι R = 10 cm και ρ = 8 cm. Τότε R + ρ = 18 cm. Επειδή ΟΟ΄ = 12 cm είναι

R + ρ > ΟΟ΄ και R - ρ < ΟΟ΄. Άρα οι σφαίρες τέµνονται κατά κύκλο, του οποίου το επίπεδο είναι κάθετο στην ΟΟ΄

Ο

Α

Ο΄Γ

Β

στο σηµείο Γ, το οποίο είναι και το κέντρο της τοµής. Το εµβαδό αυτού του κύκλου είναι πΑΓ2.

β) Θα υπολογίσουµε την ακτίνα ΑΓ. Γνωρίζουµε τις πλευρές του τριγώνου ΑΟΟ΄ εποµένως το εµβαδό του είναι:

311

Ε = γ)- (τ β) - (τ α) - (τ τ = 75315 ⋅⋅⋅ = 15 7 cm2. Αλλά

Ε = 2ΑΓ OO΄ ⋅ =

2ΑΓ12 , ώστε 6ΑΓ = 15 7 και ΑΓ =

6715 =

275 cm.

Το εµβαδό του κύκλου τοµής είναι πΑΓ2 = π 2

275

=

4π175 cm2.

312

47. δ = α 3 ή 2R = α 3 ή α = 3

2R

2

2

α

δ = 2

2

32R

(2R)

=

34R4R

2

2

= 13

48. Η διάµετρος 2R της σφαίρας της εγγεγραµµένης στον κύβο είναι ίση µε την

ακµή του α, δηλαδή 2R = α ή R = 2α . H επιφάνεια της εγγεγραµµένης

σφαίρας είναι ίση µε 4π 2

2α

= πα2. Η διάµετρος της σφαίρας της

περιγεγραµµένης περί τον κύβο ακµής α είναι ίση µε τη διαγώνιο του κύβου,

δηλαδή µε α 3 και εποµένως το εµβαδό της περιγεγραµµένης σφαίρας είναι

4π 2

23α

= 3πα2. Η διαφορά των επιφανειών είναι 3πα2 - πα2 = 2πα2.

49. Ε = 4πR2

Γ = 2πR ή Γ2 = 4π2R2 = E⋅π

Γ = πE ⋅ ή Γ = 7,85π = 4,96 m

50. 4π⋅22 =16 π. Αν R είναι η ακτίνα της σφαίρας µε διπλάσια επιφάνεια το εµβαδό

της θα είναι 4πR2. Άρα 4 πR2 = 2⋅16 π ή R2 = 8 άρα R = 2 2 = 2,82 m.

51. Ε = 4πR2, Γ = 2πR,

R = 2πΓ , E = 4π 2

2

4πΓ =

πΓ 2

313

52. α) VΑΒΓ = VΑΒ∆ + VΑΓ∆ =

31 πΑ∆2Β∆ +

31 πΑ∆2Γ∆ =

31 πΑ∆2 (Β∆ + Γ∆) =

31 πΑ∆2ΒΓ.

∆Β Γ

Α

1

Επειδή = 60° είναι = 30° ή Β∆ = ∧B

∧A

2ΑΒ = 2 cm και

Α∆ = 22 B∆ - AB = 2 3 cm, οπότε Γ∆ = 22 Α∆ - AΓ = 2 6 cm.

Άρα ΒΓ = 2 + 2 6 = 2 ( 6 + 1) cm, οπότε

V = 31 π⋅12⋅2 ( 6 + 1) = 8π ( 6 + 1) cm3

β) ΕΑΒ + ΕΑΓ = π⋅Α∆⋅ΑΒ + π⋅Α∆⋅ΑΓ = π⋅Α∆ (ΑΒ + ΑΓ) = π⋅2 3 ⋅10 =

20π 3 cm2

314

ΚΕΕ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Documents

Transcript of ΚΕΕ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ