ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤO ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σελίδα 1

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4

Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο και ΑΔ η διχοτόμος η διχοτόμος της γωνίας ̂ .

(i) Αν Κ είναι ένα τυχαίο σημείο της ΑΔ να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές.

(ii) Πάνω στην προέκταση της ΑΔ θεωρούμε σημείο Μ έτσι ώστε ΒΚ=ΒΜ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΔΓ και

ΒΔΜ είναι ίσα.

ΛΥΣΗ

ΣΧΗΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

ΑΒΓ ισοσκελές (i) ΒΚΓ ισοσκελές

ΑΔ διχοτόμος της ̂ (ii) ΓΜΔ=ΚΓΔ

(i) H ΑΔ ως διχοτόμος της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος και ύψος συνεπώς είναι και μεσοκάθετος της

βάσης ΒΓ και εφόσον το σημείο Κ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΒΓ ισαπέχει από τα άκρα του δηλαδή ΚΒ=ΚΓ.

Άρα, το τρίγωνο ΒΓΚ είναι ισοσκελές.

(ii) H ΑΔ ως διχοτόμος της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος , άρα ΒΔ=ΔΓ.

H ΑΔ ως διχοτόμος της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος , άρα 0ˆ 90 .

Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΚΔΓ και ΒΔΜ. Τα δύο τρίγωνα έχουν:

0 γιατί η ΑΔ ως διχοτόμος της κορυφής ισοσκελόυς τριˆ ˆΒΔΜ=ΚΔΓ=90

γώνου είναι και ύψος

γιατί η ΑΔ ω

ς διχοτόμος

της κορυφής ισοσκελόυ

ς

τριγώνου είναι και διάμεσος

γιατί ΚΓ=ΒΚ από (i) και ΒΚ=ΒΜ από υπόθεση

Συνεπώς, ΚΔΓ=ΒΔΜ γιατί είναι ορθογώνια και έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μια προς μια.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤO ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σελίδα 2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5 (θεωρητική άσκηση)

Να αποδείξετε ότι οι μεσοκάθετοι των χορδών ενός κύκλου τέμνονται στο κέντρο του.

ΛΥΣΗ

Επειδή το κέντρο ενός κύκλου ισαπέχει από τα άκρα μιας

χορδής είναι σημείο της μεσοκαθέτου της.

Συνεπώς, το κέντρο ενός κύκλου είναι κοινό σημείο όλων των

μεσοκαθέτων των χορδών του , άρα όλες οι μεσοκάθετοι των

χορδών ενός κύκλου τέμνονται στο κέντρο του.

Παρατήρηση:

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για να προσδιορίσουμε το κέντρο ενός κύκλου αρκεί να φέρουμε δύο

χορδές του . Τότε το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων τους.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6 (θεωρητική άσκηση)

Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου ισαπέχει από τις πλευρές του.

ΛΥΣΗ

Έστω Ι το σημείο τομής των διχοτόμων , και

ενός τριγώνου ΑΒΓ τότε

το Ι είναι σημείο της άρα ισαπέχει από τις πλευρές

της γωνίας ̂ , δηλαδή το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΑΓ

το Ι είναι σημείο της άρα ισαπέχει από τις πλευρές

της γωνίας ̂ , δηλαδή το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΒΓ

Συνεπώς το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ δηλαδή τις

πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.