Θ ε ώ ξ ε κ α I ( 1 ν Θ ε ώ ξ ε κ α Γ η α κ έ ζ ω λ )

Τν άζξνηζκα ηωλ ηεηξαγώλωλ δπν πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην δηπιάζην ηνπ ηεηξαγώλνπ ηεο δηακέζνπ πνπ

πεξηέρεηαη κεηαμύ ηωλ πιεπξώλ απηώλ, απμεκέλν θαηά ην κηζό ηνπ ηεηξαγώλνπ ηεο ηξίηεο πιεπξάο.

Θ ε ώ ξ ε κ α I I ( 2 ν Θ ε ώ ξ ε κ α Γ η α κ έ ζ ω λ )

Η δηαθνξά ηωλ ηεηξαγώλωλ δύν πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην δηπιάζην γηλόκελν ηεο ηξίηεο πιεπξάο επί ηελ

πξνβνιή ηεο αληίζηνηρεο δηακέζνπ πάλω ζηελ πιεπξά απηή. Απόδειξη

Έζησ ΑΓ > 𝛢𝛣 (𝛽 > 𝛾)

Φέξλνπκε ηε δηάκεζν ΑΜ νπόηε ηζρύεη:

ΜΒ = ΜΓ =ΒΓ

2=

α

2

Σηα ηξίγσλα ΑΜΓ, ΑΜΒ έρνπκε

1.𝛢𝛭 = 𝛢𝛭 2. 𝛣𝛭 = 𝛤𝛭3. 𝛢𝛤 > 𝛢𝛣

𝛦𝜑 .3 §3.12 (56) Μ 1 > Μ 2

Φέξλνπκε ην ύςνο ΑΓ, ηόηε ην Γ είλαη κεηαμύ ηνπ Β θαη Μ γηαηί Μ 2 < 90°, νπόηε ΔΜ = προβαΑΜ.

Μ 1 > 90 θαη Μ 2 < 90° γηαηί

Αλ Μ 1 = Μ 2 = 90° ηόηε ε ΑΜ ζα είλαη δηάκεζνο θαη ύςνο καδί. Άξα ην

ηξίγσλν ΑΒΓ ζα είλαη ηζνζθειέο κε ΑΒ = ΑΓ. Άηνπν γηαηί από ππόζεζε έρνπκε

ΑΓ > 𝛢𝛣.

Αλ Μ 1 < 90° Δπεηδή Μ 2 < Μ 1 ζα έρνπκε: Μ 1 < 90°

Μ 2 < 90° + Μ 1 + Μ 2 < 180°

Άηνπν γηαηί Μ 1 + Μ 2 = 180°

Άξα ε κόλε πεξίπηωζε πνπ είλαη απνδεθηή είλαη ε 𝚳 𝟏 > 𝟗𝟎 𝛋𝛂𝛊 𝚳 𝟐 < 𝟗𝟎°

Δθαξκόδνπκε ην ΘΙΙ(190) ζην ηξίγωλν ΑΜΓ :

ΑΓ2 = ΑΜ2 + ΜΓ2 + 2 ⋅ ΜΓ ⋅ πξνβΜΓ

ΑΜ ⟺

β2 = κ

α2 +

α

2

2

+ 2α

2∙ ΓΜ ⟺

β2 = κ

α2 +

α2

4+ α ∙ ΓΜ (2)

Δθαξκόδνπκε ην ΘΙ(189) ζην ηξίγωλν ΑΜΒ: ΑΒ2 = ΑΜ2 + ΒΜ2 − 2 ∙ ΒΜ ∙ προβΒΜΑΜ ⟺

γ2 = μα2 +

α

2

2

− 2α

2∙ ΔΜ ⟺

γ2 = μα2 +

α2

4− α ∙ ΔΜ (1)

Γηα ην 1ν Θεώξεκα ηωλ δηακέζωλ έρνπκε:

Από ηηο (1) θαη (2) κε πξόζζεζε θαηά κέιε έρνπκε:

2 β2 = μα

2 +α2

4+ α ∙ ΔΜ

1 γ2 = μα2 +

α2

4− α ∙ ΔΜ

+ β2 + 𝛾2 = 2μα

2 + 2α2

4⇒

⇒ 𝛃𝟐 + 𝜸𝟐 = 𝟐𝛍𝛂𝟐 +

𝛂𝟐

𝟐

Γηα ην 2ν Θεώξεκα ηωλ δηακέζωλ έρνπκε:

Από ηηο (1) θαη (2) κε αθαίξεζε θαηά κέιε έρνπκε:

2 β2 = κ

α2 +

α2

4+ α ∙ ΓΜ

1 γ2 = κα2 +

α2

4− α ∙ ΓΜ

− 𝛃𝟐 − 𝜸𝟐 = 𝟐𝛂 ∙ 𝚫𝚳

Θεώρηµα ΙΙ §5.9 (Σελ. 109)

Αν η διάµεσος ενός τριγώνου ισούται µε το µισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την

πλευρά αυτή.