Από το

Θεώρημα των Ροπών

στο

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ομιλητής: Αναστάσιος ΙωσήφΜηχανολόγος – Εκπαιδευτικός

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ – Παράρτημα Κέρκυρας

Μ

F

d

F

M = F×duur r

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄+ =

2 2 2

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄+ =

2 2 2

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄+ =

2 2 2

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= 2ΟΟ΄

Όμως 2ΟΟ΄= ΓΓ΄

Επομένως ΒΒ΄+ΔΔ΄= ΓΓ΄ ο.ε.δ

o Λύση άσκησης Ικανοποίηση – επιβράβευση.

o Αναζήτηση εφαρμογής της άσκησης.

o Όλες οι επιστήμες χρησιμοποιούν τις γνώσεις των Μαθηματικών (Φυσική, Μηχανολογία, Αρχιτεκτονική κ.λπ.).

o Κάθε στοιχείο του περιβάλλοντος έχει τη δική του αντιστοιχία με μια εξίσωση, ένα θεώρημα ή μια γεωμετρική κατασκευή και αντιστρόφως.

Κι εκείνο το φυτό αντίκρισα που διαιρεί άνισα, πλην σωστά το χώρο,είναι η αόρατη Γεωμετρία που διέπει στο βάθος ολάκερη την οικουμένη.

Οδυσσέας Ελύτης

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

Μ1

Μ2

Μ3

1 2 3

1 1 1AB×MM + AΔ×MM = AΓ×MM

2 2 2

1 2 3AB×MM +AΔ×MM =AΓ×MM

Μ1 2 3AB×MM +AΔ×MM =AΓ×MM

Μ1

Μ3

1 3AB×MM + 0 =AΓ×MM

1 3AB×MM =AΓ×MM

Μ

Μ1

Μ3

1 3(AB)×(MM )=(AΓ)×(MM )

2 2

(ΑΒΜ) = (ΑΓΜ)

1 2 3AB×MM +AΔ×MM =AΓ×MM

1 3AB×MM + 0 =AΓ×MM

1 3AB×MM =AΓ×MM

Μ

1 2 3AB×MM - AΔ×MM =AΓ×MM

Μ1

Μ3

Μ2 1 2 3AB×MM =AΔ×MM +AΓ×MM

31 2 (AΓ)×(MM )(AB)×(MM ) (AΔ)×(MM )= +

2 2 2

(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)

Μ

1 2 3AB×MM - AΔ×MM =AΓ×MM

Μ1

Μ3

Μ2 1 2 3AB×MM =AΔ×MM +AΓ×MM

31 2 (AΓ)×(MM )(AB)×(MM ) (AΔ)×(MM )= +

2 2 2

(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)

Μ

(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)

(ΜΑ) (ΒΒ΄) = (ΜΑ) [(ΒΕ΄)+(Ε΄Β΄)]× ×

(ΜΑ) (ΒΒ΄) = (ΜΑ) (ΒΕ΄)+(ΜΑ) (Ε΄Β΄)× × ×

(ΜΑΒ) = (ΜΑΓ) + (ΜΑΔ) ο.ε.δ.

Α΄

Ε

Ε΄

Δ΄

Β΄

Γ΄

Όμως ΒΕ΄=ΔΔ΄ και Ε΄Β΄=ΓΓ΄

(ΜΑ) (ΒΒ΄) = (ΜΑ) (ΔΔ΄)+(ΜΑ) (ΓΓ΄)× × ×

(ΜΑ)×(ΒΒ΄) (ΜΑ)×(ΔΔ΄) (ΜΑ)×(ΓΓ΄)= +

2 2 2

Μ

(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)-

(ΜΑΔ) = (ΜΑΓ) + (ΜΑΒ)

+

Α Β

Δ Γ

+

Α Β

Δ Γ

+

+

Α Β

Δ Γ

+Μ Δ΄

Β΄

+

+

Α Β

Δ Γ

Μ

ΜΑ = ΑΓ

και ΜΑ⊥ΑΓΔ΄

Β΄

+

+

Α Β

Δ Γ

Μ

ΜΑ = ΑΓ

και ΜΑ⊥ΑΓΔ΄

Β΄

(ΜΑΓ) = (ΜΑΒ) + (ΜΑΔ)

+

+

Α Β

Δ Γ

Μ

ΜΑ = ΑΓ

και ΜΑ⊥ΑΓ

(ΜΑΓ) = (ΜΑΒ) + (ΜΑΔ)

ΑΓ×ΑΜ ΑΔ×ΜΔ΄ ΑΒ×ΜΒ΄= +

2 2 2

Δ΄

Β΄

ΑΓ ΑΜ=ΑΔ ΜΔ΄+ΑΒ ΜΒ΄× × ×

Όμως ΑΜ=ΑΓ, ΑΔ=ΜΔ΄ και ΑΒ=ΜΒ΄, επομένως

2 2 2ΑΓ = ΑΔ + ΑΒ

Β

Α

Γ

Μ

Α΄

Μ΄

1 1ΒΜ×ΑΑ΄= ΑΒ×ΜΜ΄

2 2Όμως ΑΑ΄= ΒΑ΄΄, ΒΜ=ΓΒ και ΜΜ΄= ΑΒ

Α΄΄

2ΓΒ×ΒΑ΄΄=ΑΒ

Β

Α

Γ

Μ

Α΄

Α΄΄

Δ1 1

ΒΜ×ΑΑ΄= ΑΒ×ΜΜ΄2 2

Όμως ΑΑ΄= ΒΑ΄΄, ΒΜ=ΓΒ και ΜΜ΄= ΑΒ

2ΓΒ×ΒΑ΄΄=ΑΒ

1 1ΓΔ×ΑΕ= ΑΓ ΔΔ΄

2 2×

Ε

Δ΄Όμως ΑΕ=Α΄΄Γ , ΓΔ=ΓΒ και ΔΔ΄=ΑΓ

2ΓΒ×Α΄΄Γ=ΑΓ

(1)

(2)

(1),(2) ΓΒ⇒ (ΒΑ΄΄+Α΄΄Γ)=ΑΒ2 +ΑΓ2

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2

Ευχαριστώ για

την προσοχή σας