Το πρώτο µεγάλο θεώρηµα

Ένα από τα πιο συναρπαστικά και ασφαλώς πιο φηµισµένα και χρήσιµα θεωρήµατα

της στοιχειώδους γεωµετρίας είναι το λεγόµενο πυθαγόρειο θεώρηµα, που λέει ότι «σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσα είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Αν υπάρχει ένα θεώρηµα του οποίου η γέννηση δικαιούται να θεωρηθεί µια µεγάλη στιγµή στα µαθηµατικά, τότε το πυθαγόρειο θεώρηµα είναι το πιο κατάλληλο, γιατί είναι ίσως το πρώτο πραγµατικά µεγάλο θεώρηµα των µαθηµατικών. Όταν όµως αρχίζουµε να εξετάζουµε την προέλευση του θεωρήµατος, τότε είναι σαν να ψάχνουµε σε θολά νερά. Αν και η παράδοση έχει αποδώσει το περίφηµο θεώρηµα στον Πυθαγόρα, η εξέταση πήλινων πινάκων µε σφηνοειδή γραφή, που βρέθηκαν στην Μεσοποταµία τον 20ό αιώνα, αποκαλύπτει ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν πάνω από χίλια χρόνια πριν τον Πυθαγόρα, γνώριζαν το θεώρηµα. Το θεώρηµα γνώριζαν επίσης οι αρχαίοι Ινδοί και Κινέζοι της εποχής του Πυθαγόρα ή και νωρίτερα, όπως αποδεικνύεται από σχετικές εργασίες τους. Αυτές οι µη ελληνικές και πιθανόν προελληνικές αναφορές στο θεώρηµα δεν περιέχουν όµως αποδείξεις του, και ίσως είναι αλήθεια ότι ο Πυθαγόρας ή κάποιο µέλος της διάσηµης αδελφότητας του ήταν ο πρώτος που έδωσε µια λογική απόδειξη στο θεώρηµα.

Ας σταµατήσουµε όµως λίγο να πούµε λίγα λόγια για τον Πυθαγόρα και τη σχεδόν µυστικιστική αδελφότητα του. Ο Πυθαγόρας είναι το δεύτερο πρόσωπο που αναφέρεται µε το όνοµα του στην ιστορία των µαθηµατικών. Κοιτάζοντας µέσα από τη µυθική οµίχλη του παρελθόντος µαθαίνουµε πως ο Πυθαγόρας γεννήθηκε σε ένα νησί του Αιγαίου, τη Σάµο, γύρω στα 572 π.Χ., όχι µακριά από τη Μίλητο, την πατρίδα του Θαλή. Καθώς µάλιστα ήταν περίπου πενήντα χρόνια νεότερος από το Θαλή και ζούσε τόσο κοντά του, ίσως ο Πυθαγόρας να ήταν µαθητής του. Σε κάθε περίπτωση ο Πυθαγόρας, όπως και ο Θαλής, φαίνεται πως έχει µείνει για ένα διάστηµα στην Αίγυπτο και έχει ταξιδέψει και σε πιο µακρινούς τόπους, πιθανόν και µέχρι την Ινδία. Γυρνώντας στην πατρίδα του µετά από δυο χρόνια περιπλάνησης, βρίσκει τη Σάµο κάτω από την τυραννία του Πολυκράτη και τις περισσότερες περιοχές της Ιωνίας κάτω από περσική κυριαρχία. Έτσι µεταναστεύει στο ελληνικό λιµάνι του Κρότωνα που βρίσκεται στην µπότα της νότιας Ιταλίας. Εκεί ιδρύει την περίφηµη πυθαγόρεια σχολή που, εκτός από ακαδηµία για τη µελέτη της φιλοσοφίας, των µαθηµατικών και της φυσικής επιστήµης, εξελίχθηκε σε µια στενά συνδεδεµένη αδελφότητα µε µυστικούς κανόνες και ιεροτελεστίες. Με τον καιρό η πολιτική ισχύς και οι αριστοκρατικές τάσεις της αδελφότητας δυνάµωσαν τόσο, που οι δηµοκρατικές δυνάµεις της νότιας Ιταλίας κατέστρεψαν τα κτίρια της σχολής και τους ανάγκασαν να διασκορπιστούν. Σύ-φωνα µε τις φήµες, ο Πυθαγόρας κατέφυγε στον Μεταπόντιο όπου πέθανε, δολοφονηµένος ίσως από τους διώκτες του, στην προχωρηµένη ηλικία των 75 ή των 80

ετών. Η αδελφότητα αν και διασκορπισµένη συνέχισε να υπάρχει για δυο τουλάχιστον αιώνες ακόµα.

Η πυθαγόρεια φιλοσοφία, που µυρίζει ινδική προέλευση, στηριζόταν στην υπόθεση ότι οι ακέραιοι αριθµοί είναι η αιτία των διάφορων ποιοτήτων του ανθρώπου και της ύλης· µε λίγα λόγια οι ακέραιοι αριθµοί ρυθµίζουν το Σύµπαν και ποιοτικά και ποσοτικά. Αυτή η έννοια και η εξύψωση των ακέραιων αριθµών οδήγησε στη βαθιά µελέτη τους· γιατί ποιος ξέρει, αποκαλύπτοντας τις εσωτερικές τους ιδιότητες, ίσως µπορούσαν σε κάποιο βαθµό να καθορίσουν ή να βελτιώσουν το πεπρωµένο τους. Έτσι οι αριθµοί αλλά και η γεωµετρία, εξαιτίας της στενής σχέσης της µ' αυτούς, αποτελούσαν διαρκώς αντικείµενο µελέτης. Επειδή η διδασκαλία του Πυθαγόρα ήταν αποκλειστικά προφορική και επειδή στην αδελφότητα υπάρχει η συνήθεια να αποδίδονται όλες οι ανακαλύψεις στο σεβαστό ιδρυτή, είναι σήµερα δύσκολο να ξέρουµε ποιες ακριβώς µαθηµατικές ανακαλύψεις πρέπει να αποδοθούν στον ίδιο τον Πυθαγόρα και ποιες στα άλλα µέλη της αδελφότητας.

Επιστρέφοντας στη µεγάλη στιγµή των µαθηµατικών που εξετάζουµε είναι φυσικό να αναρωτηθούµε σχετικά µε τη φύση της απόδειξης που έδωσε ο Πυθαγόρας στο µεγάλο θεώρηµα που πήρε το όνοµα του. Έχουν διατυπωθεί πολλές απόψεις πάνω στο θέµα αυτό και επικρατεί γενικά η πεποίθηση ότι πρόκειται για απόδειξη µε τη µέθοδο της διαµέρισης, όπως η παρακάτω. Έστω α, β, γ οι κάθετες και η υποτείνουσα του δεδοµένου ορθογώνιου τριγώνου και έστω τα δυο τετράγωνα του σχήµατος 3, καθένα από τα οποία έχει πλευρά α+β. Το πρώτο τετράγωνο διαµερίζεται σε έξι κοµµάτια -τα δυο τετράγωνα πάνω στις καθέτους και τα τέσσερα τρίγωνα που είναι ίσα µε το δεδοµένο. Το δεύτερο τετράγωνο διαµερίζεται σε πέντε κοµµάτια— το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα και πάλι τέσσερα τρίγωνα ίσα µε το δεδοµένο. Αφαιρώντας ίσα από ίσα συνεπάγεται στην περίπτωση µας ότι το τετράγωνο στην πάνω υποτείνουσα είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων πάνω στις καθέτους.

Για να αποδείξουµε ότι το κεντρικό κοµµάτι στο δεύτερο σχήµα είναι πράγµατι τετράγωνο πλευράς γ, πρέπει να χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι το άθροισµα των γωνιών ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο µε δυο ορθές γωνίες. Αλλά και το γεγονός αυτό για τυχαίο τρίγωνο έχει αποδοθεί επίσης στους πυθαγόρειους. Επειδή η απόδειξη αυτού του γενικού νόµου απαιτεί µε τη σειρά της γνώσεις πάνω στις ιδιότητες των παραλλήλων, γι' αυτό και η ανάπτυξη αυτής της θεωρίας αποδίδεται στους αρχαίους πυθαγόρειους.

Κανένα ίσως θεώρηµα των µαθηµατικών δεν έχει δεχτεί τόσες διαφορετικές αποδείξεις όσες το πυθαγόρειο θεώρηµα. Η Ε.Σ. Λούµις (Ε.S. Loomis) στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου της.

Η Πυθαγόρεία Πρόταση* έχει συγκεντρώσει και ταξινοµήσει 370 αποδείξεις για το περίφηµο αυτό θεώρηµα.

∆ύο εµβαδά ή δύο όγκοι Π και Ρ λέγονται ίσοι ως προς πρόσθεση αν µπορούν να διαµεριστούν σε αντίστοιχα ζεύγη ίσων κοµµατιών. Λέγονται δε ίσοι ως προς αφαίρεση αν στα Π και Ρ µπορούµε να ενώσουµε αντίστοιχα ζεύγη ίσων κοµµατιών και να πάρουµε δυο νέα σχήµατα που να είναι ίσα ως προς πρόσθεση. Υπάρχουν πολλές αποδείξεις του πυθαγόρειου θεωρήµατος που καταλήγουν αποδεικνύοντας ότι το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο ως προς πρόσθεση ή αφαίρεση µε τα δύο τετράγωνα που βρίσκονται πάνω στις καθέτους του ορθογώνιου τριγώνου. Η απόδειξη που δώσαµε παραπάνω και που πιθανόν οφείλεται στον Πυθαγόρα είναι απόδειξη ισότητας ως προς αφαίρεση.

Τα σχήµατα 4 και 5 απεικονίζουν δυο αποδείξεις ισότητας ως προς πρόσθεση που δόθηκαν από τον Πέριγκαλ (Η. Ρerigal) στα 1873* και τον Ντουντένεϋ (Η.Ε. Dudeney) στα 1917, αντίστοιχα. Στο σχήµα 6 απεικονίζεται µια απόδειξη ισότητας ως προς αφαίρεση που

λέγεται ότι οφείλεται στον Λεονάρντο ντα Βίτσι (1452-1519). Είναι ενδιαφέρον ότι τα εµβαδά δύο ίσων πολυγώνων είναι ίσα ως προς

πρόσθεση και η διαµέριση µπορεί πάντα να γίνεται µε διαβήτη και κανόνα. Από την άλλη, ο Μαξ Ντεν (Max Dehn) στα 1901 απέδειξε ότι δυο πολύεδρα που έχουν ίσους όγκους δεν έχουν απαραίτητα ίσους όγκους ως προς πρόσθεση ή αφαίρεση. Συγκεκριµένα, είναι αδύνατο να διαµερίσουµε ένα κανονικό τετράεδρο σε πολυεδρικά µέρη που αν τα συγκεντρώσουµε να σχηµατίσουµε έναν κύβο. Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του (περίπου 300 π.Χ.) χρησιµοποιεί συνήθως µεθόδους διαµέρισης για να αποδείξει ισότητα εµβαδών.

Η κοµψή απόδειξη που έδωσε ο Ευκλείδης για το πυθαγόρειο θεώρηµα στην Πρόταση 47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του, στηρίζεται στο σχήµα 7, το οποίο µερικές φορές αναφέρεται ως κουκούλα του Φραγκισκανού ή καρέκλα της νύφης. Μια περίληψη της απόδειξης έχει ως εξής: (ΑΓ)2 = 2(ΙΑΒ) = 2(ΓΑ∆) == (Α∆ΚΛ). Οµοίως (ΒΓ)2 = (ΒΕΚΛ). Συνεπώς (ΑΓ)2 + (ΒΓ)2 = (Α∆ΚΛ) + (ΒΕΚΛ) = (ΑΒ)2.

Οι καθηγητές της µέσης εκπαίδευσης δείχνουν πολλές φορές στους µαθητές τους την περίεργη απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήµατος που δόθηκε από τον Ινδό µαθηµατικό και αστρονόµο Μπάσκαρα, που διέπρεψε γύρω στα 1150. Είναι µια απόδειξη διαµέρισης κατά την οποία το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα διαµερίζεται, όπως δείχνει το σχήµα 8, σε τέσσερα τρίγωνα, καθένα από τα οποία είναι ίσο µε το δεδοµένο ορθογώνιο τρίγωνο, και σε ένα τετράγωνο πλευράς ίσης µε τη διαφορά των καθέτων του δεδοµένου τριγώνου. Τα κοµµάτια αυτά αναδιατάσσονται εύκολα για να µας δώσουν το άθροισµα των τετραγώνων πάνω στις δύο καθέτους. Ο Μπάσκαρα σχεδίασε το σχήµα και η µόνη επεξήγηση που έδωσε ήταν η λέξη «ιδού!». Με λίγη άλγεβρα παίρνουµε ασφαλώς την απόδειξη, διότι αν γ είναι η υποτείνουσα και α και β οι κάθετες πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου, τότε γ2 = 4(αβ/2) + (β-α)2 = α2+β2.

Ίσως µια καλύτερη απόδειξη «ιδού!» του πυθαγόρειου θεωρήµατος να ήταν µια

δυναµική απόδειξη σε µια κινηµατογραφική ταινία, όπου το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα να µετασχηµατίζεται µε συνεχή τρόπο στο άθροισµα των τετραγώνων πάνω στις καθέτους περνώντας από τα στάδια που φαίνονται στο σχήµα 9.

Ο Μπάσκαρα έδωσε επίσης µια δεύτερη απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήµατος

φέρνοντας το ύψος πάνω στην υποτείνουσα. Από τα όµοια ορθογώνια τρίγωνα στο σχήµα 10 έχουµε:

γ/β = β/µ και γ/α = α/ν ή γµ = β2 και γν = α2 .

Προσθέτοντας, παίρνουµε: α2+β2 = γ(µ+ν) = γ2. Η ίδια αυτή απόδειξη δόθηκε πάλι από τον Άγγλο µαθηµατικό Τζ. Γουόλις

(John Wallis, 1616-1703) τον 17ο αιώνα. Κάποιοι από τους προέδρους των ΗΠΑ έχουν κατά κάποιον τρόπο συνδεθεί µε τα

µαθηµατικά. Ο Τζόρτζ Ουάσιγκτον ήταν διακεκριµένος τοπογράφος, ο Τόµας Τζέφφερσον έκανε ό,τι µπορούσε να ενθαρρύνει τη διδασκαλία ανώτερων µαθηµατικών στις ΗΠΑ και ο Αβραάµ Λίνκολν λέγεται ότι έµαθε λογική µελετώντας τα Στοι-χείχ του Ευκλείδη. Περισσότερο δηµιουργικός ήταν ο Τζ. Γκάρφιλ-ντ (James Abram Garfield, 1831-1881) ο εικοστός πρόεδρος των ΗΠΑ, ο οποίος σαν σπουδαστής

ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον και δραστηριότητα στα στοιχειώδη µαθηµατικά. Στα 1876 και ενώ ήταν µέλος της Βουλής των Αντιπροσώπων, πέντε µόλις χρόνια πριν γίνει πρόεδρος των ΗΠΑ, έδωσε µόνος του µια πολύ ωραία απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήµατος. Την απόδειξη αυτή τη σκέφτηκε σε µια µαθηµατική συζήτηση µε άλλα µέλη του Κογκρέσου1 η απόδειξη δηµοσιεύτηκε στη συνέχεια στο New England Journal of Education. Στη γεωµετρία της µέσης εκπαίδευσης οι µαθητές εν διαφέρονται

πάντα να γνωρίσουν την απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήµατος αµέσως µετά τον τύπο που δίνει το εµβαδόν τραπεζίου. Η απόδειξη στηρίζεται στον υπολογισµό του εµβαδού του τραπεζίου του σχήµατος 11 µε δυο διαφορετικούς τρόπους —από τη µια µε τον τύπο του εµβαδού του τραπεζίου (ως το γινόµενο του ηµια-θροίσµατος^των παράλληλων πλευρών επί την απόσταση τους), και από την άλλη ως το άθροισµα των τριών ορθογωνίων τριγώνων στα οποία διαµερίζεται το τραπέζιο. Εξισώνοντας τις δυο αυτές εκφράσεις για το εµβαδόν του τραπεζίου, βρίσκουµε ότι (βλ. σχήµα 11)

(α+β) (α+β)/2 = 2[(αβ)/2] + γ2/2

ή α2+2αβ + β2 = 2αβ+γ2,

οπότε α2 +β2 = γ2 . Αφού λοιπόν για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο µε καθέτους α και β και υποτείνουσα

γ υπάρχει ένα τραπέζιο όπως φαίνεται στο σχήµα, το πυθαγόρειο θεώρηµα έχει αποδειχτεί.

Το πυθαγόρειο θεώρηµα, όπως και πολλά άλλα µεγάλα θεωρήµατα, έχει δεχτεί πολυάριθµες προεκτάσεις. Ακόµα και στην εποχή του Ευκλείδη ήταν γνωστές ορισµένες γενικεύσεις του. Η Πρόταση 31, για παράδειγµα, του Βιβλίου VI των Στοιχείων λέει: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εµβαδόν σχήµατος που σχεδιάζεται πάνω στην υποτείνουσα είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών όµοιων σχηµάτων που σχεδιάζονται µε όµοιο τρόπο πάνω στις δύο κάθετες πλευρές. Αυτή η γενίκευση απλά αντικαθιστά τα τρία τετράγωνα πάνω στις τρεις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου µε τρία όµοια και όµοια σχεδιασµένα σχήµατα. Μια πιο αξιόλογη γενίκευση προκύπτει από τις Προτάσεις 12 και 13 του Βιβλίου II. Μια. συνδυασµένη και κάπως εκσυγχρονισµένη διατύπωση των δυο αυτών προτάσεων είναι η ακόλουθη: Σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από αµβλεία (οξεία) γωνία είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των άλλων δυο πλευρών αυξηµένο (µειωµένο) κατά το διπλάσιο του γινοµένου της µιας πλευράς επί την προβολή της άλλης πάνω στην πρώτη. ∆ηλαδή, σύµφωνα µε το συµβολισµό του σχήµατος 12,

(ΑΒ)2 = (ΒΓ)2 + (ΓΑ)2 ± 2(ΒΓ} · (∆Γ), όπου βάζουµε συν ή πλην αν η γωνία Γ του τριγώνου ΑΒΓ είναι αµβλεία ή οξεία αντίστοιχα. Αν θεωρήσουµε προσανατολισµένα ευθύγραµµα τµήµατα, τότε µπορούµε να συνδέσουµε τις Προτάσεις 12 και, 13 του Βιβλίου II µε την Πρόταση 47 του Βιβλίου Ι (το πυθαγόρειο θεώρηµα) στην παρακάτω πρόταση: Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ, το ∆ είναι το ίχνος του ύφους πάνω στην πλευρά ΒΓ, τότε

(AB)2 = (ΒΓ)2 + (ΓΑ)2 - 2(ΒΓ) · (∆Γ)

Επειδή (∆Γ) = (ΓΑ) · συν ΒΓΑ, συνεπάγεται, ότι. η τελευταία πρόταση είναι ο λεγόµενος νόµος των συνηµίτονων, που αποτελεί πράγµατι µια θαυµάσια γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήµατος.

Αλλά η πιο αξιοσηµείωτη ίσως προέκταση του πυθαγόρειου θεωρήµατος που έρχεται πάλι από τις µέρες της ελληνικής αρχαιότητας είναι, αυτή που δόθηκε από τον Πάππο από την Αλεξάνδρεια (περίπου 300 π.Χ.) στην αρχή του Βιβλίου Ι της Μαθηµατικής Συναγωγής του. Η επέκταση του πυθαγορείου θεωρήµατος σύµφωνα µε τον Πάππο είναι η εξής (βλ. σχήµα 13): Έστω ΑΒΓ ένα τυχαίο τρίγωνο και ΓΑ∆Ε, ΓΒΖΗ παραλληλόγραµµα που περιγράφονται εξωτερικά στις πλευρές ΓΑ και ΓΕ. Έστω ότι οι ∆Ε και ΖΗ τέµνονται στο Θ. Φέρνουµε τις AM και ΒΡ παράλληλες και ίσες προς τη ΘΓ. Τότε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου ΑΒΡΜ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των παραλληλογράµµων ΓΑ∆Ε και ΓΒΖΗ. Η απόδειξη είναι εύκολη γιατί έχουµε ΓΑ∆Ε = ΓΑΚΘ = ΝΜΑΛ και ΓΒΖΗ - ΓΒΙΘ = ΝΡΒΛ. Οπότε ΓΑ∆Ε + ΓΒΖΗ = ΝΜΑΛ + ΝΡΒΛ - ΑΒΡΜ. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι το πυθαγόρειο θεώρηµα έχει γενικευτεί προς δύο

κατευθύνσεις, αφού το ορθογώνιο τρίγωνο του πυθαγόρειου θεωρήµατος έχει αντικατασταθεί από τυχαίο τρίγωνο και τα τετράγωνα στις καθέτους έχουν αντικατασταθεί από τυχαία παραλληλόγραµµα.

Ο µαθητής της Μέσης εκπαίδευσης δύσκολα θα µείνει αδιάφορος στην επέκταση του πυθαγόρειου θεωρήµατος από τον Πάππο και η απόδειξη της θα αποτελέσει, γι' αυτόν µια θαυµάσια άσκηση. Οι πιο ικανοί µαθητές ίσως ενδιαφερθούν να προσπαθήσουν µόνοι τους να αποδείξουν την παραπέρα επέκταση (στον τρισδιάστατο χώρο) της προέκτασης του Πάππου: Έστω ΑΒΓ∆ (βλ. σχήµα 14) ένα τυχαίο τετράεδρο και ΑΒ∆-ΕΖΗ, ΒΓ∆-ΘΙΤ, ΓΑ∆-ΚΑΜ τρία τυχαία τριγωνικά πρίσµατα πού περιγράφονται εξωτερικά στις έδρες ΑΒΑ, ΒΓ∆, ΓΑ∆, του ΑΒΓ∆. Έστω Σ το σηµείο τοµής των επίπεδων ΕΖΗ, ΘΙΤ, ΚΑΜ και έστω ΑΒΓ-ΝΟΡ το τριγωνικο πρίσµα του οποίου οι ακµές ΑΝ, ΒΟ, ΓΡ προκύπτουν µε παράλληλη µετατόπιση του διανύσµατος Σ∆. Τότε ο όγκος του ΑΒΓ-ΝΟΡ είναι ίσος µε το άθροισµα των όγκων των ΑΒ∆-ΕΖΗ, ΒΓ∆-ΘΙΤ καί ΓΑΑ-ΚΑΜ. Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτή που δώσαµε παραπάνω για την επέκταση του Πάππου.

∆ίνουµε τέλος, χωρίς απόδειξη, ένα ανάλογο του πυθαγορείου θεωρήµατος στον τρισδιάστατο χώρο, που συχνά αναφέρεται, σαν θεώρηµα του ντε Γκουά (De Gya)*. Ας ξεκινήσουµε µε µερικούς ορισµούς. Ένα τετράεδρο που έχει µια τριεδρική γωνία, της οποίας οι γωνίες όλων των εδρών είναι, ορθές λέγεται τρισορθογώνιο τετράεδρο και, η τριεδρική γωνία λέγεται ορθή γωνία του τετραέδρου. Η έδρα που βρίσκεται, απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται βάση του τετραέδρου. Το θεώρηµα του ντε Γκουά µπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εξής: Το τετράγωνο του εµβαδού της βάσης ενός τρισορθογώνιου τετραέ8ρου είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των εµβαδών των άλλων τριών εδρών του. Αφήνουµε την απόδειξη στους τολµηρούς αναγνώστες. Καθώς το ενδιαφέρον για την εξερεύνηση του ∆ιαστήµατος και η πιθανότητα να υπάρχει ζωή και σε άλλα µέρη του αυξάνονται, εµφανίζονται, από καιρό σε καιρό προτάσεις για την κατασκευή στη Γη µιας τεράστιας συσκευής που να δείχνει στους πιθανούς εξωτερικούς παρατηρητές ότι στον πλανήτη µας υπάρχει νόηση. Η πιο κατάλληλη συσκευή φαίνεται, να είναι µια συ σκευή-µαµουθ τοποθετηµένη στην έρηµο Σαχάρα, στις στέπες της Ρωσίας ή σε κάποια άλλη αχανή περιοχή, που να επεξηγεί το πυθαγόρειο θεώρηµα. Όλα τα νοήµονα όντα πρέπει, να γνωρίζουν το αξιόλογο και ασφαλώς όχι κοινότοπο αυτό θεώρηµα της ευκλείδειας γεωµετρίας και φαίνεται πράγµατι δύσκολο να σκεφτούµε καλύτερη συσκευή γι' αυτόν τον σκοπό.

* Τό θεώρηµα πήρε το όνοµα του από τον J.P. de Gua de Malves (1712-1785), ο

οποίος παρουσίασε την πρόταση στην Ακαδηµία Επιστηµών στο Παρίσι στα 1783. Τό θεώρηµα όµως ήταν γνωστό στον Καρτέσιο (1596-1650) και στο σύγχρονο του Φαλχάµπερ (J. Fauehaber, 1580-1653). Πρόκειται για µια ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού θεωρήµατος που ο Τινσό (Tinseau) είχε παρουσιάσει στην Ακαδηµία Επιστηµών του Παρισιού στα 1774.

Στα 1971, η Νικαράγουα κυκλοφόρησε µια σειρά γραµµατοσήµων αφιερωµένη στους ( δέκα

πιο σηµαντικούς µαθηµατικούς τύπους» του κόσµου. Κάθε γραµµατόσηµο εικονίζει ένα συγκεκριµένο τύπο µαζί µε κατάλληλη εικονογράφηση και στην άλλη του όψη υπάρχει µια µικρή πρόταση στα ισπανικά που αναφέρεται στη σπουδαιότητα του τύπου. Ένα από τα γραµµατόσηµα της σειράς αφιερώνεται στον πυθαγόρειο τύπο: α2+β2 = γ2. Πρέπει να είναι πολύ ευχάριστο για τους επιστήµονες και τους µαθηµατικούς να βλέπουν

αυτούς τους τύπους να απολαµβάνουν τέτοια εκτίµηση, φού αυτοί οι τύποι έχουν ασφαλώς προσφέρει περισσότερα στην ανάπτυξη του ανθρώπου από ό,τι πολλοί βασιλιάδες και στρατηγοί που εικονίζονται συνήθως στα γραµµατόσηµα. Ασκήσεις

4.1 Αποδείξτε ότι δυο παραλληλόγραµµα που έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη έχουν ίσα εµβαδά, αποδεικνύοντας1 ότι είναι ίσα ως προς πρόσθεση ή αφαίρεση. (Αυτή είναι η µέθοδος που χρησιµοποίησε ο Ευκλείδης στην Πρόταση 35 του βιβλίου Ι των Στοιχείων του).

4.2 Επειδή δεν υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν έστω και ειδική περίπτωση του πυθαγόρειου θεωρήµατος,

προκύπτει το πιο κάτω καθαρά ακαδηµαϊκό πρόβληµα: Αποδείξτε, χωρίς να χρησιµοποιήσετε το πυθαγόρειο θεώρηµα, ούτε το αντίστροφο του ούτε καµία από τις συνέπειες του, ότι το τρίγωνο 3-4-5 είναι ορθογώνιο. Λύσετε αυτό το πρόβληµα χρησιµοποιώντας το σχήµα 15, που υπάρχει στο Τσου-πέι, το πιο παλιό κινέζικο µαθηµατικό έργο, που τοποθετείται ίσως στη δεύτερη χιλιετηρίδα π.Χ.

4.3 Αποδείξτε την παρακάτω γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήµατος που διατυπώθηκε από τον Τάµπιτ Ιµπν Κουόρρα: Αν ΑΒΓ είναι ένα τυχαίο τρίγωνο και αν Β' και Γ' είναι σηµεία πάνω·στη ΒΓ τέτοια ώστε γωνΑΒ'Β = γων ΑΓ'Γ = γωνΑ, τότε (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2 = ΒΓ(ΒΒ'+ΓΓ').

Αποδείξτε ότι όταν η γωνΑ είναι ορθή τότε το θεώρηµα αυτό είναι το πυθαγόρειο θεώρηµα.

4.4 Ποια είναι η πυθαγόρειοι σχέση για ένα ορθό σφαιρικό τρίγωνο µε καθέτους α, β και υποτείνουσα γ, όπου α, β και γ είναιγωνιακές µετρήσεις;

4.5 ∆ιατυπώστε και αποδείξτε το αντίστροφο του πυθαγόρειου θεωρήµατος. (Αυτή είναι η Πρόταση 48, η τελευταία πρόταση του Βιβλίου 1 των Στοιχείων του Ευκλείδη).

ΛΥΣΕΙΣ 4.1 Βλ. σχήµα 67.

4.2 Τα τέσσερα, ορθογώνια τρίγωνα που έχουν καθέτους µε µήκη3 και 4, µαζί µε το µικρό µονα8ιαίο τετράγωνο, σχηµατιζόµένα τετράγωνο εµβαδού 25. Συνεπώς, η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου µε καθέτους 3 και 4, έχει µήκος 5. Επειδή ένα τρίγωνο προσδιορίζεται από τις τρεις πλευρές του, συνεπάγεται ότι το τρίγωνο 3-4-5 είναι ορθογώνιο.

4.3 Ο κύκλος ΑΒ'Γ εφάπτεται στο ΑΒ, στο σηµείο Α. Ο κύκλοςΑΓ'Β εφάπτεται στο ΑΓ, στο σηµείο Α. Συνεπώς, (ΑΒ)2 =(ΒΓ)-(ΒΒ'), (ΑΓ)2 = (ΒΓ)-(ΓΓ') κ.τ.λ. Όταν γωνΑ = 90°, ταΒ' και Γ' συµπίπτουν µε το ίχνος του ύφους από το Α. 4.4 συνγ = συνα · συν/3.

4.5 Σε ένα τρίγωνο µε πλευρές α, β, γ, αν α +β =γ , τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την πλευρά γ.

Έστω δ η υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου µε καθέτους α και β. Τότε δ =α2+β2=γ2, οπότε δ = γ. Συνεπώς το δεδοµένο τρίγωνο είναι όµοιο µε το ορθογώνιο τρίγωνο. Σχετική Βιβλιογραφία 1. Boltyvanskii. Equivalent and Equidecomposable-Figures, µετάφρ. Α.Κ.Henn και C.E.

Watts. Boston: D.C. Heath, 1963. 2. Heath T.L. History of Greek Mathematics, 2 τοµ. New York: OxfordUniversity Press,

1931. 3. Loomis E.S. The Pythagorean Proposition, 2η εκδ. Ann Arbor, Mich.:ιδιωτική έκδοση,

Edwards Brothers, 1940.