όρια συναρτήσεων [ενότητα 2]

22..11 ΜΜηη ΎΎππααρρξξηη ΟΟρριικκαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Ο Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Τ Ι Κ Ο Ι Δ Ρ Υ Μ Α Α Θ Η Ν Ω Ν ΣΣ ΧΧ ΟΟ ΛΛ ΗΗ ΤΤ ΕΕ ΧΧ ΝΝ ΟΟ ΛΛ ΟΟ ΓΓ ΩΩ ΝΝ ΕΕ ΦΦ ΑΑ ΡΡ ΜΜ ΟΟ ΓΓ ΩΩ ΝΝ

ΓΓ ΕΕ ΝΝ ΙΙ ΚΚ ΟΟ ΤΤ ΜΜ ΗΗ ΜΜ ΑΑ ΜΜ ΑΑ ΘΘ ΗΗ ΜΜ ΑΑ ΤΤ ΙΙ ΚΚ ΩΩ ΝΝ

1

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ I

ΌΌρριιαα ΣΣυυννααρρττήήσσεεωωνν

ΕΕ ππ ιι σσ ττ ηη μμ οο νν ιι κκ όό ςς ΣΣ υυ νν εε ρρ γγ άά ττ ηη ςς :: ΤΤ οο υυ λλ ιι άά ςς ΛΛ .. ΘΘ ωω μμ άά ςς ((PPhhDD MMaatthh..))

22 .. ΓΓ ΕΕΝΝ ΙΙ ΚΚΟΟΣΣ ΥΥΠΠΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΣΣΜΜΟΟΣΣ ΟΟΡΡ ΙΙ ΩΩΝΝ

22..11.. ΜΜηη ΎΎππααρρξξηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ [[ ΣΣ ΥΥ ΓΓΚΚΛΛ ΙΙ ΣΣΗΗ ((ΥΥΠΠΑΑΡΡ ΞΞΗΗ )) ΟΟΡΡ ΙΙ ΟΟΥΥ ]] :: Στις περιπτώσεις που για το ζητούμενο όριο

0

lim ( )x x

l f x±→

= ,

παρατηρήσουμε ότι 0( )f x ∈ , τότε το όριο υπάρχει (συγκλίνει) και άμεσα 0( )l f x= .

Για την περίπτωση του ορίου

lim ( )x

l f x→±∞

= ,

το ανάγουμε σε εκφράσεις γνωστών ορίων που συγκλίνουν στο άπειρο, π.χ.

1lim 0x x→±∞

= , lim 0, ( 1,1)x

xa x

→±∞= ∀ ∈ − , lim 0, ( , 1) (1, )x

xa a

→−∞= ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

Διαφορετικά, επειδή 1 0xx →±∞ ±→ , μπορούμε να μετατρέψουμε το ζητούμενο όριο σε

1 0 1 0 0

1 1lim ( ) lim ( ) lim lim1x x x x

l f x f x f fx x± ± ±→±∞ → → →

= = = =

,

οπότε, ερχόμαστε στην πρώτη περίπτωση.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ [[ΑΑΠΠΟΟΚΚΛΛ ΙΙ ΣΣΗΗ ((ΑΑΠΠΕΕ ΙΙ ΡΡ ΙΙ ΣΣΜΜΟΟΣΣ )) ΟΟΡΡ ΙΙ ΟΟΥΥ ]] :: Στις περιπτώσεις που η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου ανάγεται σε εκφράσεις των γνωστών ορίων που απειρίζονται (αποκλίνουν)

0

1lim limx x

xx±→±∞ →

= = ±∞ , ή

lim , ( , 1)x

xa a

→+∞= −∞ ∀ ∈ −∞ − , lim , (1, )x

xa a

→+∞= +∞ ∀ ∈ +∞

0lim lnx

x+→

= −∞ , lim lnx

x→+∞

= +∞ ,

και δεν εμφανίζει κάποιου είδους οριακής απροσδιοριστία (όπως 0 0 0∞ ∞ = = ⋅∞ ή 00 , 1 , 0∞ ∞ ), τότε το όριο απειρίζεται (αποκλίνει). Το παραπάνω προκύπτει φέρνοντας το όριο σε εκφράσεις επιμέρους

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ

ΤΤ ΟΟ ΥΥ ΛΛ ΙΙ ΑΑ ΣΣ ΛΛ .. ΘΘ ΩΩ ΜΜ ΑΑ ΣΣ

11.. ΓΓΕΕΝΝΙΙΚΚΟΟΣΣ ΥΥΠΠΟΟΛΛΟΟΓΓΙΙΣΣΜΜΟΟΣΣ ΟΟΡΡΙΙΩΩΝΝ 2

ορίων που κάποια από αυτά μπορεί να συγκλίνουν ενώ άλλα να αποκλίνουν (όπως τα παραπάνω), οπότε κάνοντας χρήση των γνωστών κανόνων των ορίων

( ) , a a+ ±∞ = ±∞ ∀ ∈ , *( ) (sgn )( ), a a a⋅ ±∞ = +∞ ∀ ∈ ,

( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ , ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞ ,

( ) ( ) ( ) ( ) +∞ −∞+∞ ⋅ +∞ = −∞ ⋅ −∞ = = = +∞

+∞ −∞, ( ) ( ) +∞ −∞

+∞ ⋅ −∞ = = = −∞−∞ +∞

,

το ζητούμενο όριο γενικά θα απειρίζεται (αποκλίνει).

Σημειώνουμε εδώ ότι η απροσδιοριστία της μορφής ( ) ( )±∞ − ±∞ , ή πιο σύντομα ∞−∞ , είναι φαινομενική καθώς αναιρείται άμεσα με εμφάνιση κοινού παράγοντα. Π.χ.,

[ ] ( ) [ ]2lim ( ) ( ) ( ) lim (1 ) lim lim (1 ) ( ) ( ) x x x x

x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− = +∞ − +∞ = − = ⋅ − = +∞ ⋅ −∞ = −∞ .

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ ΙΙ [[ΜΜΗΗ ΣΣ ΥΥ ΓΓΚΚΛΛΗΗΣΣΗΗ ΟΟΡΡ ΙΙ ΟΟΥΥ ]] :: Στις περιπτώσεις που η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου είναι έκφραση συναρτήσεων που ταλαντεύονται οριακά, π.χ.

0

1lim sinx x±→

, ή lim sinx

x→±∞

,

ή στην περίπτωση που διαφέρουν τα πλευρικά όρια

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x+ −→ →

≠ ,

τότε το ζητούμενο όριο δεν συγκλίνει.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙVV :: Γενικά, όταν η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου είναι της εκθετικής μορφής gf μπορούμε πάντα να την εκφράσουμε στην βολικότερη μορφή

ln ln(sgn ) (sgn )gf g fgf f e f e= = ,

κάνοντας χρήση της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ και της γνωστής λογαριθμικής ταυτότητας *ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ . Έτσι λοιπόν οριακές απροσδιοριστίες των μορφών 00 , 1 , 0∞ ∞

ανάγονται στην απροσδιοριστία 0 0 0∞ ∞ = = ⋅∞ .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..11..11.. Να υπολογιστούν τα όρια:

ΑΑ.. 2

3lim2x

lx+→

=−

. ΒΒ.. 22

3lim4x

lx→

=−

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..11..11ΑΑ:: Παρατηρούμε άμεσα ότι

2

3 3 3lim 2 2 2 0x

lx+ + +→

= = = = +∞ − − ,

και κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο απειρίζεται (αποκλίνει) καθώς l = +∞ .

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω γεγονός φέρνοντας το ζητούμενο όριο στη μορφή του γνωστού ορίου

ΟΟ ΡΡ ΙΙ ΑΑ ΣΣ ΥΥ ΝΝ ΑΑ ΡΡ ΤΤ ΗΗ ΣΣ ΕΕ ΩΩ ΝΝ

22..11 ΜΜηη ΎΎππααρρξξηη ΟΟρριικκαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 3

0

1limx x±→

= ±∞ .

Συγκεκριμένα, επειδή 22 0xx+→ +− → , έχουμε άμεσα

2 0 0

3 3 1lim lim 3 lim 3 ( )2x x x

lx x x+ + +→ → →

= = = = ⋅ +∞ = +∞−

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..11..11ΒΒ:: Παρατηρούμε άμεσα ότι

2 22

3 3 3 3lim 4 (2 ) 4 4 4 0x

lx ± + +→

= = = = = +∞ − − −

,

και κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο απειρίζεται (αποκλίνει) καθώς l = +∞ .


0

1limx x±→

= ±∞ .

Συγκεκριμένα, επειδή 2 24 0xx±→ +− → , έχουμε διαδοχικά

22 0 0

3 3 1lim lim 3 lim 3 ( )4x x x

lx xx + +→ → →

= = = = ⋅ +∞ = +∞−

.

Θα μπορούσαμε αναλυτικότερα να υπολογίζαμε τα πλευρικά όρια όπου θα βλέπαμε ότι αποκλίνουν ταυτόχρονα, δηλ.

2 22 2

3 3lim lim4 4x xx x+ −→ →= = +∞

− −,

και άρα εφόσον αυτά ταυτίζονται στο +∞ και το ζητούμενο όριο θα αποκλίνει στο +∞ .


ΑΑ.. 3lim2x

lx→+∞

=−

. ΒΒ.. 2lim , a x

al ax ax→−∞

= ∀ ∈−

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..11..22ΑΑ:: Παρατηρούμε άμεσα ότι

3 3 3lim 02 ( ) 2x

lx→+∞

= = = = − +∞ − +∞

,

και κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο υπάρχει (συγκλίνει) καθώς 0l = .


1lim 0x x→±∞

= .

Συγκεκριμένα, επειδή 2 xx →+∞− →+∞ , έχουμε άμεσα



2

3 3 1lim lim 3 lim 3 0 02 2x x x

lx x x→+∞ − →+∞ →+∞

= = = = ⋅ =− −

.

Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να φέρουμε το ζητούμενο όριο στην γνωστή μορφή

1lim 0x x→±∞

= .

μέσω κοινών παραγόντων, δηλ.

1 13 lim 3 lim3 3 3 0lim lim 012 22 1 2 01 2 lim1 lim 1

x x

x x

xx

x xlx x

xx x

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

→+∞→+∞

⋅= = = = = =

− − ⋅ −− −

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..11..22ΒΒ:: Αναιρούμε άμεσα την φαινομενική απροσδιοριστία ∞−∞ που είναι πιθανό να εμφανιστεί στον παρονομαστή, καθώς

2 2lim , αν 0 , ( ) sg n ()( ) ( ) ( )( ) ( )a x

a a a al a aax ax a→−∞

= = = = < ∀ ∈ +∞ + +∞ +∞ − +∞− −∞ − −∞

,

με τη εμφάνιση κοινού παράγοντα, δηλ.

2lim lim , 0, ( ) ( )[( ) ] ( ) ( )a x x

a a a a al a ax x a ax ax→−∞ →−∞

= = ∀ ∈ = = = = ∀ ∈ − −∞ −∞ + −∞ ⋅ −∞ +∞−

,

και κατά συνέπεια το ζητούμενο παραμετρικό όριο μηδενίζεται (συγκλίνει στο 0) καθώς 0l = .


1lim 0x x→±∞

= .

Συγκεκριμένα, έχουμε διαδοχικά

2

1lim lim lim , ( )a x x x

a a al ax x a x x ax ax→−∞ →−∞ →−∞

= = = ⋅ ∀ ∈ − −− ,

όπου τα επιμέρους όρια του παραπάνω γινομένου υπάρχουν, και συγκεκριμένα

1lim lim 0 0, x x

a a a ax x→−∞ →−∞= = ⋅ = ∀ ∈ ,

1 1 1lim lim lim 0x x a xx a x a x→−∞ − →−∞ →−∞

= = =− −

.

Κατά συνέπεια λοιπόν,

1 1lim lim lim 0 0 0, a x x x

a al ax x a x x a→−∞ →−∞ →−∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ∀ ∈ − − .

Στο παρακάτω Σχήμα απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης



66

1122

--1122

--66

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή.. σσυυννάάρρττηησσηη , a af ∀ ∈ ,, όόπποουυ lim ( ) 0, xa al f x a→−∞

= = ∀ ∈ ..

1f−

1f

2( ) , { }, aaf x x a a

x a= ∀ ∈ − ∀ ∈

− ,

όπου, για κάθε τιμή της παραμέτρου, παρατηρούμε οριακά

lim ( ) 0, a axl f x a

→−∞= = ∀ ∈ .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..11..33.. Να υπολογιστεί το όριο:

2

3

6lim3x

x xlx→

+ −=

−.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια, βρίσκουμε άμεσα ότι

2 2

3

6 (3 ) 3 6 6lim 3 3 3 0x

x xx+

+ +

+ +→

+ − + −= = = +∞ − −

,

2 2

3

6 (3 ) 3 6 6lim 3 3 3 0x

x xx−

− −

− −→

+ − + −= = = −∞ − −

,

και κατά συνέπεια

2 2

3 3

6 6lim lim3 3x x

x x x xx x+ −→ →

+ − + −≠

− −.

Εφόσον λοιπόν δεν ταυτίζονται τα πλευρικά όρια, η συνάρτηση δεν συγκλίνει στο σημείο 3.

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω γεγονός φέρνοντας το ζητούμενο όριο στη μορφή του γινομένου

grafeq: 99.81%

2

2

( ) ,

( ) , { },

,

{

}a

aaf

af x x a ax a

x x a ax a −= ∀ ∈

= ∀ ∈

−

−

−

∀

∈

− ∈

∀



2

3

1lim( 6)3x

l x xx→

= + − ⋅−

, 11

οπότε, επειδή το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός καθώς

2 2

3lim( 6) 3 3 6 6 0x

x x→

+ − = + − = ≠ ,

ενώ το όριο του δεύτερου παράγοντα δεν υπάρχει (δεν συγκλίνει) καθώς τα πλευρικά του όρια δεν ταυτίζονται, και συγκεκριμένα επειδή 33 0xx

±→ ±− → ,

03 3 0

1 1 1lim lim lim3 3 xx xx x x± ± → ±→ − →= = = ±∞

− −,

το ζητούμενο όριο γενικά δεν θα συγκλίνει. Αναλυτικότερα, εργαζόμενοι με τα πλευρικά όρια, εφόσον στην εξ. 11 δεν παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής 0 ⋅∞ (ή αλλιώς 0 0 = ∞ ∞ ), λαμβάνουμε άμεσα από αυτήν

2 2

3 3 3

1 1lim ( 6) lim ( 6) lim 6 ( )3 3x x x

x x x xx x+ + +→ → →

+ − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ +∞ = +∞− −

, και

2 2

3 3 3

1 1lim( 6) lim( 6) lim 6 ( )3 3x x x

x x x xx x− − −→ → →

+ − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ −∞ = −∞− −

,

και εφόσον τα πλευρικά όρια δεν ταυτίζονται, το ζητούμενο όριο δεν συγκλίνει.

Εναλλακτικά, μπορούμε να φέρουμε το ζητούμενο όριο σε εκφράσεις της μορφής

3

1lim( )x g x±→

, όπου 3( ) 0xg x±→ ±→ ,

και με χρήση του γνωστού ορίου

0

1limx x±→

= ±∞ ,

λαμβάνουμε άμεσα

3 ( ) 0 0

1 1 1lim lim lim( ) ( )x g x xg x g x x± ± ±→ → →

= = = ±∞ .

Εφαρμόζοντας τα παραπάνω, μετασχηματίζοντας τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου σε συνάρτηση του 3x − , οπότε, και επειδή 33 0xx

±→ ±− → , παίρνουμε διαδοχικά,

2 2 2

3 3 3 0

6 ( 3 3) ( 3) 6 3 ( 3 3) ( 3) 3lim lim lim 3 3 3x x x

x x x x x xlx x x→ → − →

+ − − + + − − + − + + − −= = = ⇒

− − −

2 2

0 0 0 0

( 3) 3 6 9 3 9 3 6lim lim lim 6 1 lim 7 x x x x

x x x x xl x xx x x x x x x→ → → →

+ + − + + = = + − = + + + − = + + ⇒

0 0

1lim 6 lim 7 0 7 x x

l xx±

+

→ → = + + = ±∞ + = ±∞ ,



δηλ. το ζητούμενο όριο δεν συγκλίνει στο σημείο 3, καθώς δεν ταυτίζονται τα παραπάνω πλευρικά όρια.

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..11..44.. Να υπολογιστεί η οριακή συνάρτηση:

2 21

2( ) lim , 4 ( 1) fa

axf x x Dx a→

+= ∀ ∈ ⊆

+ − + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια συγχρόνως, βρίσκουμε άμεσα ότι

2 2 2 2 2 21

2 1 2 2 2( ) lim , 4 ( 1) 4 (1 1) 4 4 0f

a

ax x x xf x x Dx a x x x±

±

± ± ±→

+ ⋅ + + += ∀ ∈ ⊆ = = = = + − + + − + + − +

*2 2

2 1 2 , fx x D

xx x+

= = + ∀ ∈ = ,


2 21

1( ) lim( 2) , 4 ( 1) fa

f x ax x Dx a→

= + ⋅ ∀ ∈ ⊆+ − +

, 11

οπότε, επειδή το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει καθώς και το όριο του δεύτερου παράγοντα για *x∈ , το ζητούμενο όριο θα συγκλίνει και συγκεκριμένα,

*2 2 2 21 1

1 1 1 2( ) lim( 2) lim ( 2) , 4 ( 1) fa a

f x ax x x Dxx a x x→ →

= + ⋅ = + ⋅ = + ∀ ∈ =+ − +

.

Στο παρακάτω Σχήμα, θεωρώντας την παραμετρική συνάρτηση

{ }2 22 2

2( ) , 4 ( 1) , | 4 ( 1) 04 ( 1)aaxf x x a a a

x a+

= ∀ ∈ − ± − + ∀ ∈ − + ≥+ − +

,

δηλ. την

{ }22 2

2( ) , 4 ( 1) , [ 1,3]4 ( 1)aaxf x x a a

x a+

= ∀ ∈ − ± − + ∀ ∈ −+ − +

,

απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης

{ } *2

2 2

2( ) , 4 ( 1) , {1 1 }4 ( 1)a k

axf x x a a kx a ∈

+= ∀ ∈ − ± − + ∀ ∈ ±

+ − +

,

γύρω δηλ. από την τιμή 1a = , όπου παρατηρούμε ότι οριακά

*21

1 2( ) lim ( ) , aaf x f x x

x x→= = + ∀ ∈ .



66

66

--66

--66

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, {1 1 }a ka kf

∈∀ ∈ ±

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς 1

lima af f→

= ..

113

f−

113

f+

f

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..11..55.. Να υπολογιστεί το όριο: 2

0

1limx

xlx→

−= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια της παραπάνω συνάρτησης στο 0, έχουμε άμεσα

2

0

1 0 1 1lim ( )00x

xx+

+

++→

− − − = = = − +∞ = −∞

, και

2

0

1 0 1 1lim ( )00x

xx−

−

+−→

− − − = = = − +∞ = −∞

.

Επομένως, το ζητούμενο όριο απειρίζεται (αποκλίνει) καθώς

2 2 2

0 0 0

1 1 1lim lim limx x x

x x xlx x x+ −→ → →

− − −= = == = −∞ ,


2

0

1lim( 1)x

l xx→

= − ⋅ , 11

οπότε, επειδή το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός καθώς

2 2

0lim( 1) 0 1 1 0x

x→

− = − = − ≠ ,

ενώ το όριο του δεύτερου παράγοντα απειρίζεται καθώς,

grafeq: 99.94%

{ }{ }

*

*

22 2

22 2

2( ) ,

2( ) , 4 ( 1) ,

4 ( 1) , {1 1 }4 ( 1

{1 1 }4 ( 1)

) k

k

a

a

axf

axf x x a a

x x a a k

k

a

x

x

a

∈

∈

+= ∀ ∈ −

+= ∀ ∈ − ± − + ∀ ∈ +

+

± − + ∀ ∈ −+

−

−

+

+



0 0

1 1lim limx xx x+ +→ →

= = +∞ και 0 0 0

1 1 1lim lim lim ( )x x xx x x− − −→ → →

= = − = − −∞ = +∞−

,

δηλ.

0

1limx x→

= +∞ ,

θα απειρίζεται και το ζητούμενο όριο. Συγκεκριμένα, εφόσον στην εξ. 11 δεν παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής 0 ⋅∞ (ή αλλιώς 0 0 = ∞ ∞ ), λαμβάνουμε άμεσα από αυτήν

2

0 0

1lim( 1) lim ( 1) ( )x x

l xx→ →

= − ⋅ = − ⋅ +∞ = −∞ ,

δηλ. η το ζητούμενο όριο απειρίζεται (αποκλίνει) στο −∞ .


lim ( 2 1) lnx

xl x

→+∞= − .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Γράφοντας το όριο της παραπάνω συνάρτησης, σαν

1lim (2 2) lnx

xl x

→+∞= − , 11

έχουμε άμεσα,

1 1 ( ) 0lim (2 2) ln (2 2) ln( ) (2 2) ( ) ( 1) ( ) x

xl x

++∞

→+∞ = − = − +∞ = − ⋅ +∞ = − ⋅ +∞ = −∞ .

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω γεγονός καθώς, επειδή το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 11 υπάρχει (επειδή υπάρχει το όριο του εκθέτη) και είναι διάφορο του μηδενός, δηλ.

1lim1 0lim (2 2) 2 2 2 2 1 0xx xx

→+∞

→+∞− = − = − = − ≠ ,

ή τυπικότερα,

( )1 1 0

1 0 0lim (2 2) lim 2 2 lim 2 2 2 2 1 0x x x

x x x+ +→+∞ → →

− = − = − = − = − ≠

,

ενώ το όριο του δεύτερου παράγοντα απειρίζεται καθώς,

lim lnx

x→+∞

= +∞ ,

θα απειρίζεται και το ζητούμενο όριο. Εφόσον λοιπόν δεν παρουσιάστηκε απροσδιοριστία της μορφής 0 ⋅∞ (ή αλλιώς 0 0 = ∞ ∞ ), από την εξ. 11 λαμβάνουμε άμεσα

1

lim (2 2) lim ln ( 1) ( )xx x

l x→+∞ →+∞

= − ⋅ = − ⋅ +∞ = −∞ ,

δηλ. το ζητούμενο όριο απειρίζεται (αποκλίνει) στο −∞ .



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..11..77.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο:

{ }0

lim , 1xa x

l x a a→

= + ∀ ∈ − ± ,

καθώς και οι οριακές συναρτήσεις

0( ) lim , a

fa

f x x a x D± ±±

→= + ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Γράφοντας το ζητούμενο όριο στη μορφή

1

0lim x

a xl x a

→= + { }, 1a∀ ∈ − ± ,

και υπολογίζοντας τα πλευρικά όρια, έχουμε άμεσα,

110

0lim 0 xx

x a a a+

+

+∞+

→

+ = + = = +∞

,

110

0

1lim 0 0xx

x a a aa

−

−

−∞−+∞→

+ = + = = =

,

για 1a > , δηλ. ( , 1) (1, )a∈ −∞ − ∪ +∞ και

110

0

1lim 0 0xx

x a a aa

+

+

+∞++∞→

+ = + = = =

,

110

0

1lim 0 xx

x a a a aa

−

−

−∞ +∞−−∞→

+ = + = = = = = +∞

,

για 0 1a≠ < , δηλ. ( 1,0) (0,1)a∈ − ∪ . Επειδή λοιπόν τα πλευρικά όρια δεν ταυτίζονται το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει για { }* 1a∈ − ± .

Στην περίπτωση που 0a = το ζητούμενο όριο μπορεί να γραφεί διαδοχικά

111 lnln

0 0 0 0lim lim lim

x xx xxx x x

l x e e⋅

→ → →= = = ,

από όπου, υπολογίζοντας τα πλευρικά όρια,

111 ln 0ln ( ) ( )000

1 1lim = lim 0x

xxxx

x e e e ee

++

+

⋅⋅ +∞ ⋅ −∞ −∞+∞→→

= = = = = =

+∞ , και

11 ln 0( ) ( )0

0lim xx

x e e e−

−

−

⋅−∞ ⋅ −∞ +∞

→

= = = = +∞

.

Επομένως, το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει και για 0a = , καθώς και σε αυτήν την περίπτωση δεν ταυτίζονται τα πλευρικά όρια. Κατά συνέπεια λοιπόν, δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο για καμιά τιμή της παραμέτρου { }1a∈ − ± .



Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω γεγονός καθώς (επειδή τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης του ζητούμενου ορίου είναι γενικά συναρτήσεις), φέρνουμε το όριο στη μορφή

1 ln1ln

0 0 0lim lim limx

x ax a xx

ax x x

l x a e e± ± ±

++

→ → →= + = = { }, 1a∀ ∈ − ± . 11

Για το όριο του εκθέτη θα έχουμε

( )0 0 0 0

ln 1 1lim lim ln lim lim lnx x x x

x ax a x a

x x x± ± ± ±→ → → →

+ = ⋅ + = ⋅ + =

( )( ) ln sgn ln ( )a a= ±∞ ⋅ = ⋅ ±∞ { }, 1a∀ ∈ − ± .

Υποθέτοντας ότι sgn ln 1a = − , δηλ.

ln 0 0 1 1 ( 1,1)a a a a< ⇒ < < ⇒ < ⇒ ∈ − ,

έχουμε άμεσα

( )0

lnlim sgn ln ( ) ( 1) ( )x

x aa

x±→

+= ⋅ ±∞ = − ⋅ ±∞ = ∞ ,

και έτσι το όριο δίνει

ln1

ln0lim lim lim

x axxx

a x a xxx

l x a e e±

+

+ → ∞→ → ∞

= + = =

,

οπότε το ζητούμενο όριο δεν συγκλίνει καθώς, όπως βλέπουμε από την παραπάνω σχέση,

1 1

0 0lim lim 0 lim limx xx x

x xx xx a e e x a

+ −→−∞ →+∞→ →+ = = ≠ +∞ = = + , 22

δηλ. τα πλευρικά του όρια δεν ταυτίζονται.

Υποθέτοντας τώρα ότι sgn ln 1a = , δηλ.

ln 0 1 ( , 1) (1, )a a a> ⇒ > ⇒ ∈ −∞ − ∪ +∞ ,


( )0

lnlim sgn ln ( ) ( 1) ( )x

x aa

x±→

+= ⋅ ±∞ = + ⋅ ±∞ = ±∞ ,

οπότε το ζητούμενο όριο δίνει τώρα

ln1

ln0lim lim lim

x axxx

x a xxx

x a e e±

+

+ →±∞→ →±∞

+ = = .

Το ζητούμενο όριο πάλι δεν συγκλίνει καθώς, βλέπουμε προφανώς, από την παραπάνω σχέση,

1 1

0 0lim lim 0 lim limx xx x

x xx xx a e e x a

+ −→+∞ →−∞→ →+ = = +∞ ≠ = = + , 33



44

44

--44

--44

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, {0 1 }a ka kf

∈∀ ∈ ±

κκααιι ηη οορριιαακκέέςς ττηηςς 0

lima

af f± ±→= ..

12

f−

12

f

0f+ ≡

≡(1,+ )

0f− ∞

≡( , 1)

0f− −∞ −

δηλ. τα πλευρικά του όρια πάλι δεν ταυτίζονται. Σημειώνουμε εδώ ότι δεν εξετάζουμε την περίπτωσηln 0a = , δηλ. 1a = ± , γιατί είναι εκτός υποθέσεως (καθώς διαφορετικά θα εμφανίζονταν απροσδιοριστία 0 0 0⋅∞ = = ∞ ∞ στο όριο του εκθέτη της εξ. 11)

Επειδή λοιπόν, σε κάθε περίπτωση, τα πλευρικά όρια δεν ταυτίζονται το ζητούμενο όριο γενικά δεν συγκλίνει για καμιά τιμή της παραμέτρου { }1a∈ − ± .

Για τον υπολογισμό τώρα της οριακής συνάρτησης f , επειδή ήδη έχουμε βρει από τις εξ. 22 και 33 ότι

1

0lim 0xx

x a+→

+ = , ( 1,1)a∀ ∈ − και 1

0lim 0xx

x a−→

+ = , ( , 1) (1, )a∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ ,

ή διαφορετικά (εναλλάσσοντας τον συμβολισμό),

0lim 0, ( 1,1)aa

a x x+→

+ = ∀ ∈ − και 0

lim 0, ( , 1) (1, )aa

a x x−→

+ = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ ,

συμπεραίνουμε άμεσα

0( ) lim 0, ( 1,1)a

fa

f x a x x D+ ++

→= + = ∀ ∈ = − ,

0( ) lim 0, ( , 1) (1, )a

fa

f x a x x D− −−

→= + = ∀ ∈ = −∞ − ∪ +∞ ,

Στο παρακάτω Σχήμα, απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης

**( ) , { 1}, {0 1 }a

a kf x a x x a k

∈= + ∀ ∈ − ± ∀ ∈ ±

,

όπου παρατηρούμε ότι οριακά

0( ) lim ( ) 0, ( 1,1)a

af x f x x

++→

= = ∀ ∈ − , δηλ. 0f+ ≡ , και

0( ) lim ( ) 0, ( , 1) (1, )a

af x f x x

−−→

= = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ , δηλ. 0f− ≡ .

grafeq: 99.95%

*

*( ) , ( , 1) (1, ),

( ) , ( 1,1), {0 1

0

}

{ 1 }aa

a

k

ak

f x a x

f x a x x

x a k

a k

∈

∈

= + ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞

= + ∀ ∈ − ∀

∀

∈

−

+

∈




ΑΑ..

ln(2 )cos

0lim

xx

xl x

−

→= . ΒΒ.. *cos

0lim ln ,

a xx

ax

l x a+

−

→= ∀ ∈ .

Επίσης, να υπολογιστεί και η οριακή συνάρτηση

cos

0( ) lim (ln ) ,

x aa

fa

f x a x D+

−

→= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: 22..11..88ΑΑ:: Έχουμε άμεσα,

ln(2 ) ln(2 0)ln 2cos cos 0

0lim 0 0 0

xx

xl x

− −

→

= = = =

.

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω γεγονός καθώς, επειδή το όριο της βάσης υπάρχει (και είναι προφανώς το μηδέν), όπως και το όριο του εκθέτη που είναι διάφορο του μηδενός (δεν εμφανίζεται δηλ. απροσδιοριστία της μορφής 0∞ ή 00 ), θα έχουμε

( ) 0

ln(2 )ln(2 ) limcos ln 2cos

0 0lim lim 0 0x

xxxx

x xl x x →

−−

→ →= = = = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: 22..11..88ΒΒ:: Έχουμε άμεσα,

0*cos 0cos

0lim ln ln 0 ( ) ,

aa xax

ax

l x a+

+

+

−−+

→

= = = +∞ ∀ ∈

,

οπότε *, al a += +∞ ∀ ∈ , ενώ

*0, al a −= ∀ ∈ .

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω αποτέλεσμα, εκφράζοντας το ζητούμενο όριο (καθώς τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης της συνάρτησης του ορίου μας είναι γενικά συναρτήσεις)στη μορφή

cos ln lnln ln *cos

0 0lim lim ,

a xx a x xx x

ax x

l e e a−

+ +

−

→ →= = ∀ ∈ . 11

Για το όριο του εκθέτη έχουμε άμεσα

( ) *

0 0 0 0lim ln ln lim lim ln ln ln lim ln ( ) sgn( ) ( ),

cos cosx x x x

a x a xx x a x a a ax x+ + + +→ → → →

− − = ⋅ = = ⋅ +∞ = ⋅ +∞ ∀ ∈

,

δηλ.

*

0lim ln ln ,

cosx

a x x ax+ +

→

−= +∞ ∀ ∈ και *

0lim ln ln ,

cosx

a x x ax+ −

→

−= −∞ ∀ ∈ ,

οπότε η εξ. 11 δίνει τελικά

ln ln *cos

ln lncos

lim lim , a x x xx

a a x xxx

l e e a−

+− →+∞→+∞= = = +∞ ∀ ∈ ,



44

1100

--11

--11

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμ.. σσυυννάάρρττ.. *, a af ∀ ∈ όόπποουυ *

0lim ( ) , ax

al f x a+→

= = +∞ ∀ ∈ κκααιι *

0lim ( ) 0, x

a afl x a −+→= = ∀ ∈ ..

10f−

10f

και

ln ln *cos

ln lncos

lim lim 0, a x x xx

a a x xxx

l e e a−

−− →−∞→−∞= = = ∀ ∈ .

Στο παρακάτω Σχήμα AA, απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης

*cos( ) ln , , a

a xx

a ff x x x D a−

= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ ,


*

0lim ( ) , ax

f x x+→

= +∞ ∀ ∈ και *

0lim ( ) 0, ax

f x x+ −

→= ∀ ∈ .

Σημειώνουμε εδώ, ότι εάν είχαμε να υπολογίσουμε το ίδιο όριο χωρίς όμως την απόλυτη τιμή, θα παίρναμε λόγω της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ ,

( )cos cos ln lnln ln ln ln *cos

0 0 0 0lim (sgn ln ) lim sgn ln lim lim ,

a x a xx x a x xx x x

ax x x x

l x e x e e a− −

+ + + +

−

→ → → →= = ⋅ = − ∀ ∈ , 22

όπου για το όριο του εκθέτη θα είχαμε άμεσα ακριβώς όπως και παραπάνω

*

0lim ln ln ,

cosx

a x x ax+ +

→

−= +∞ ∀ ∈ και *

0lim ln ln ,

cosx

a x x ax+ −

→

−= −∞ ∀ ∈ ,

οπότε η εξ. 22 θα έδινε τελικά

ln ln *cos

ln lncos

lim lim ( ) , a x x xx

a a x xxx

l e e a−

+− →+∞→+∞= − = − = − +∞ = −∞ ∀ ∈ ,

και

grafeq: 99.80%

c

*cos

*os

( )

(

l

) ln

n , ,

,

,

a

a

a xx

a f

a xx

a f

f x x

f x a

a

x D

D

x

x−

−

−

=

= ∀ ∈ ⊆ ∀

∀ ∈ ⊆ ∀ ∈

∈



22

55

--55

--22

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη 5001

, 1{ }ka k

ef a∈

∀ ∈

,, κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς 0

lim 0x

af f+→

= ≡ ..

f ≡ 0

ln ln *cos

ln lncos

lim lim 0, a x x xx

a a x xxx

l e e a−

−− →−∞→−∞= − = − = ∀ ∈ .

Επομένως, για τον υπολογισμό της οριακής συνάρτησης, επειδή είδαμε παραπάνω ότι

*cos

*0

,lim ln

0,

a xx

ax

al x

a+

−+

→−

−∞ ∀ ∈= = ∀ ∈

,

εναλλάσσοντας τα σύμβολα,

*cos

*0

,lim (ln )

0,

x aa

a

xa

x+

−+

→−

−∞ ∀ ∈= ∀ ∈

,

έχουμε ότι η οριακή συνάρτηση f είναι τελικά

*cos

0( ) lim (ln ) 0,

x aa

fa

f x a x D+

−

−→

= = ∀ ∈ = , δηλ. 0f ≡ .

Στο παρακάτω Σχήμα BB, απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης

5001

*cos( ) (ln ) , , {1 }a

x aka

a f kf x a x D a e

−

∈= ∀ ∈ = ∀ ∈

,


*

0( ) lim ( ) 0, a

af x f x x

+ −→

= = ∀ ∈ δηλ. 0f ≡ .

22..22.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς μμεε ΑΑππλλοοπποοίίηησσηη

Μπορούμε γενικά να υπολογίσουμε όρια που εμφανίζουν κάποιο είδος απροσδιοριστίας (όπως ∞−∞ ή 0 0 0∞ ∞ = = ⋅∞ ή 00 , 1 , 0∞ ∞ ), η οποία όμως είναι φαινομενική. Και αυτό γιατί απλοποιώντας την παράσταση του ζητούμενου ορίου άρετε άμεσα η απροσδιοριστία.

grafeq: 99.79%

5001

*cos( ) (ln ) , , {1 }x a

kaa k

f x a x a e−

∈= ∀ ∈ ∀ ∈

1 100f



ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ :: Η οριακή απροσδιοριστία ∞−∞ άρετε άμεσα με παραγοντοποίηση.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ :: Η οριακή απροσδιοριστία 0 0 0∞ ∞ = = ⋅∞ άρετε είτε με παραγοντοποίηση των τυχόν πολυωνύμων, είτε (ιδίως όταν περιλαμβάνονται και τετραγωνικές ρίζες πολυωνύμων) με χρήση της συζυγής παράστασης του παρονομαστή (πολλαπλασιάζοντας το κλάσμα με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή, ο αριθμητής γράφεται άμεσα σαν διαφορά τετραγώνων).

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ ΙΙ :: Οι οριακές απροσδιοριστίες 00 , 1 , 0∞ ∞ αίρονται εκφράζοντας το ζητούμενο όριο στη μορφή lne , δηλ. με χρήση της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ .


ΑΑ.. 2

23

5 6lim9x

x xlx→

− +=

−. ΒΒ..

2

3 20lim ,

2a x

axl ax x→

= ∀ ∈+

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..22..11ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής 0 0 . Μπορούμε να υπολογίσουμε το παραπάνω όριο απλοποιώντας απλά την ρητή παράσταση. Συγκεκριμένα, επειδή τα τριώνυμα αριθμητή και παρονομαστή διαθέτουν πραγματικές ρίζες, τις εμφανίζουμε στο κλάσμα, δηλ.

2

23 3

5 6 ( 2)( 3)lim lim( 3)( 3)9x x

x x x xlx xx→ →

− + − −= =

+ −−,

και άρουμε την απροσδιοριστία καθώς, λόγω κοινής ρίζας, απλοποιείται η ρητή παράσταση, οπότε

3

2lim3x

xlx→

−=

+.

Εξετάζοντας τώρα τα πλευρικά όρια, βρίσκουμε ότι είναι ίσα, και συγκεκριμένα

3

2 3 2 1lim 3 63 3x

xx+

+

+→

− −= = + +

,

3

2 3 2 1lim 3 63 3x

xx−

−

−→

− −= = + +

,

οπότε

3 3 3

2 2 2 1lim lim lim3 3 3 6x x x

x x xlx x x+ −→ → →

− − −= = = =

+ + +.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..22..11ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής 0 0 . Μπορούμε να υπολογίσουμε το παραπάνω όριο απλοποιώντας την ρητή παράσταση.

Συγκεκριμένα,

2

4 3 20 0lim lim

2 2a x x

ax alx x x x→ →

= =+ +

, a∀ ∈ .

Παρατηρούμε ότι το παραπάνω όριο δεν υπάρχει (δεν συγκλίνει), καθώς για *a∈ δεν ταυτίζονται τα πλευρικά όρια,


22..22.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς μμεε ΑΑππλλοοπποοίίηησσηη 17

2 20lim ( ) sgn( ) ( )

2 0 2 0x

a a a ax x± ±→

= = ⋅ ±∞ = ⋅ ±∞ + + ⋅ *, a∀ ∈ ,

ενώ για 0a = , τετριμμένα έχουμε 0 0l = .

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω γεγονός γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν γινόμενο

0 0

1lim lim( 2) ( 2)a x x

a alx x x x→ →

= = ⋅+ +

, a∀ ∈ ,

και επειδή το όριο του πρώτου παράγοντα απειρίζεται ενώ του δεύτερου υπάρχει, τα πλευρικά όρια του ζητούμενου ορίου θα απειρίζονται και αυτά, καθώς υποθέτοντας ότι *a∈ ,

0 0 0

1lim lim lim ( ) ( ) sgn( ) ( )( 2) ( 2) 20 2x x x

a a a a ax x x x+ + + +→ → →

= ⋅ = +∞ ⋅ = ⋅ +∞ = ⋅ +∞ + + + , και

0 0 0

1lim lim lim ( ) ( ) sgn( ) ( )( 2) ( 2) 20 2x x x

a a a a ax x x x− − − −→ → →

= ⋅ = −∞ ⋅ = ⋅ −∞ = ⋅ −∞ + + + ,

και μάλιστα

0 0lim lim

( 2) ( 2)x x

a ax x x x+ −→ →

≠+ +

,

δηλ. δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο για όλες τις τιμές τις παραμέτρου εκτός τις μηδενικής.

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..22..22.. Να υπολογιστούν οι οριακές συναρτήσεις

2( ) lim , fa

af x x Dx ax ++ →+∞

= ∀ ∈ ⊆−

και 2( ) lim , fa

af x x Dx ax −− →−∞

= ∀ ∈ ⊆−

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε άμεσα ότι

2 2( ) lim sgn( )( )( )a

af xxx ax x x+ →+∞

+∞ +∞ ∞= = = = −∞ ∞− − +∞

,

δηλ. εμφανίζεται οριακή απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή με την εμφάνιση κοινών παραγόντων, δηλ.

2 22

1( ) lim lim lima a a

a af xx ax xx xa x

aa

+ →+∞ →+∞ →+∞= = =

− −−

, fx D+

∀ ∈ .

Το όριο του παρονομαστή υπάρχει, οπότε λαμβάνουμε άμεσα

*22

2

1 1 1 1( ) , 1 0limlim

f

aa

f x x Dxx xx x xx aa

++

→+∞→+∞

= = = = − ∀ ∈ =⋅ − −−

.

Αντίστοιχα για την f− , λαμβάνουμε διαδοχικά



66

1122

--1122

--66

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , a af ∀ ∈ κκααιι ηη κκοοιιννήή οορριιαακκήή ττηηςς lima af f→±∞± = ..

1f−

1f

±f

*2 22

2

1 1 1( ) lim lim lim , 1lim

fa a a

a

a af x x Dxx ax xx x xxa x aaa

−− →−∞ →−∞ →−∞

→−∞

= = = = = − ∀ ∈ =− −−−

,

και άρα f f+ −= .

Στο παρακάτω Σχήμα απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης

2( ) , { }, aaf x x a a

x a= ∀ ∈ − ∀ ∈

− ,


*1( ) lim ( ) , aaf x f x x

x± →±∞= = ∀ ∈ .


ΑΑ.. 2

2

5 6lim1x

x xlx x→+∞

− +=

− +. ΒΒ..

2 4 3lim1x

x xlx→−∞

− +=

+,

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..22..33ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει σε αριθμητή και παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή παραγοντοποιώντας τα τριώνυμα αυτά. Το τριώνυμο του αριθμητή έχει πραγματικές ρίζες, οπότε

2

2 2

5 6 ( 2)( 3)lim lim1 1x x

x x x xlx x x x→+∞ →+∞

− + − −= =

− + − +,

ενώ το τριώνυμο του παρονομαστή δεν διαθέτει πραγματικές ρίζες, οπότε το πρόσημό του είναι το πρόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου του, δηλ. το τριώνυμο είναι πάντα θετικό (εξάλλου με τη συμπλήρωση τετραγώνων μπορούμε να γράψουμε το τριώνυμο σαν άθροισμα τετραγώνων από

grafeq: 99.89%

2

2

( ) ,

( ) , { },

,

{

}a

aaf

af x x a ax a

x x a ax a −= ∀ ∈

= ∀ ∈

−

−

−

∀

∈

− ∈

∀



όπου συμπεραίνουμε το θετικό πρόσημό του). Η απροσδιοριστία ∞−∞ αριθμητή και παρονομαστή λοιπόν δεν υφίσταται. Υφίσταται όμως η απροσδιοριστία της ρητής παράστασης η οποία είναι της μορφής ∞ ∞ .

Εφόσον έχουμε όριο στο άπειρο μιας ρητής συνάρτησης, άρουμε αυτήν την απροσδιοριστία διαιρώντας με τον μεγαλύτερο από τους μεγιστοβάθμιους όρους αριθμητή και παρονομαστή (ή αλλιώς εμφανίζοντας κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή τους μεγιστοβάθμιους όρους), δηλ. με το 2x . Έτσι, το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς τα επιμέρους όρια υπάρχουν (χωρίς να εμφανίζεται στο κλάσμα απροσδιοριστία της μορφής 0 0 ) και συγκεκριμένα

22

22 2

2 2 2

22

1 15 6 5 6 1 5 lim 6 lim1 1 5 0 6 0lim lim lim 11 11 1 0 01 11 1 lim lim

x x

x x x

x x

x xx xxx xl

x xx xx x x

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− + − −− − − ⋅ − ⋅ = = = = =− + − + − + − +

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..22..33ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει σε αριθμητή και παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Η απροσδιοριστία, όπως είδαμε και παραπάνω, είναι φαινομενική. Υφίσταται όμως η απροσδιοριστία της ρητής παράστασης και η οποία είναι της μορφής ∞ ∞ .

Εφόσον έχουμε όριο στο άπειρο μιας ρητής συνάρτησης, άρουμε αυτήν την απροσδιοριστία εμφανίζοντας κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή τους μεγιστοβάθμιους όρους (ή αλλιώς διαιρώντας με τον μεγαλύτερο από τους μεγιστοβάθμιους όρους αριθμητή και παρονομαστή, δηλ. με το 2x ). Το ζητούμενο όριο αποκλίνει, καθώς

22 2 2

4 3 4 31 14 3lim lim lim111 11

x x x

xx x x x x xl x

x xxx

→−∞ →−∞ →−∞

− + − + − + = = = ⋅+ ++

,

δηλ. το όριο του πρώτου παράγοντα αποκλίνει ενώ το όριο του δεύτερου συγκλίνει, οπότε άμεσα

( )2

4 31 lim lim1 0 0lim ( )

1 1 01 lim

x x

x

x

x xl x

x

→−∞ →−∞

→−∞

→−∞

− + − + = ⋅ = +∞ ⋅ = +∞ ⋅+ +


2

3

1lim , 2 1a x

axl ax x→+∞

−= ∀ ∈

+ + ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση

2

3

1( ) lim , 2 1 fa

a xf x x Da a ±± →±∞

−= ∀ ∈

+ +.



44

44

--44

--44

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , a af ∀ ∈ όόπποουυ lim ( ), a axl f x a

→−∞= ∀ ∈ ..

3f−

3f

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..22..44ΑΑ:: Άρουμε εδώ την εμφανιζόμενη απροσδιοριστία ∞ ∞ μετασχηματίζοντας τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου σε έκφραση του 1 x και στη συνέχεια κάνουμε χρήση του γνωστού ορίου

1lim 0x x→+∞

= .

Συγκεκριμένα, εμφανίζοντας κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή του μεγιστοβάθμιους όρους, λαμβάνουμε

22 2 2

33

2 32 3

1 11 1lim lim lim

2 12 12 1 11a x x x

x a aax x xlxx x x

x xx x→+∞ →+∞ →+∞

− − − = = = ⋅+ + + ++ +

, a∀ ∈ ,

και καθώς υπάρχουν τα επιμέρους όρια, χωρίς την εμφάνιση απροσδιοριστιών, η παραπάνω σχέση δίνει άμεσα

2

2 3

1lim1lim

2 11 2 lim lim

x

a x

x x

axl

xx x

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

− = ⋅

+ +

2

2 3

00 0, 1 2 0 0

a a−= ⋅ = ∀ ∈

+ ⋅ + .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, 0, al a= ∀ ∈ .


2

3

1( ) lim , , 2 1 aa fx

axf x x D ax x→+∞

−= ∀ ∈ ∀ ∈

+ + ,

που παρατηρούμε ότι οριακά


→+∞= = ∀ ∈ .

grafeq: 99.95%

2

*

3

2

3

1( ) , { 1}, 2 1

1( ) , { 1}, 2 1

a

aaxf x

ax

x ax

f x x ax

x

x −

−= ∀ ∈ − − ∀ ∈

+ +−

= ∀ ∈ − − ∀ ∈+ +



Για τον υπολογισμό τώρα της οριακής συνάρτησης f± , επειδή ήδη έχουμε βρει ότι

2

3

1lim 02 1a x

axlx x→+∞

−= =

+ +, a∀ ∈ ,

και επειδή, παρόμοια, θα ισχύει

2

3

1lim 02 1x

axx x→−∞

−=

+ +, a∀ ∈ ,

έχουμε συγκεντρωτικά ότι

2

3

1lim 02 1x

axx x→±∞

−=

+ +, a∀ ∈ ,

ή αλλιώς

2

3

1lim 02 1x

axx x→±∞

−=

+ +, a +∀ ∈ .

Εναλλάσσοντας τώρα τον συμβολισμό, παίρνουμε

2

3

1lim 02 1a

a xa a→±∞

−=

+ +, x +∀ ∈ ,


2

3

1( ) lim 0, 2 1 fx

a xf x x Da a ±± +→±∞

−= = ∀ ∈ =

+ +

,

δηλ. οι οριακές συναρτήσεις είναι η μηδενική στον + , δηλ. ο θετικός ημιάξονας των τετμημένων.


2

3

1( ) , , 2 1a

a xf x x aa a +

−= ∀ ∈ ∀ ∈

+ + ,


( ) lim ( ) 0, aaf x f x x± +→±∞

= = ∀ ∈ .



11

55

--11

--11

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , af a∀ ∈ κκααιι οοιι κκοοιιννέέςς οορριιαακκέέςς ττηηςς lim 0aaf f± →±∞

≡= ..

3f−

3f

0f± ≡


4

16lim4x

xlx→

−=

−.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Εκφράζουμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου σαν κλαδική (λόγω της ύπαρξης του απολύτου), δηλ.

2 2

2

2 2

16 16 4 0 416 4 44 16 16 4 0 4

( 4) 4

|

|

x xx x xx x xx x xx x x

x x

− −∀ ∈ − ≥ ∀ ≥ − − −= = − − − ∀ ∈ − < ∀ < − − − +

.

Εξετάζοντας τώρα τα πλευρικά όρια της παραπάνω συνάρτησης στο 44, έχουμε

2 2

4 4

16 16lim lim4 4x x

x xx x+ +→ →

− −=

− −, και

2 2

4 4

16 16lim lim4 4x x

x xx x− −→ →

− −=

− − +.

Στα παραπάνω πλευρικά όρια έχουμε απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Η απροσδιοριστία όμως άρετε καθώς προβαίνουμε σε απλοποίηση της ρητής παράστασης, δηλ.

2 2

4 4 4 4

16 16 ( 4)( 4)lim lim lim lim ( 4) 4 4 84 4 4x x x x

x x x x xx x x+ + + +

+

→ → → →

− − − + = = = + = + = − − −,

2 2

4 4 4 4

16 16 ( 4)( 4)lim lim lim lim ( 4) 4 4 84 4 4x x x x

x x x x xx x x− − − −

−

→ → → →

− − − + = = = − + = − − = − − − + − +.

grafeq: 99.87%

2*

2

3

3

1( ) , , 2 1

1( ) , , 2 1

a

a

a xf x x aa a

a xf x x aa a

−

+

+

−=

−= ∀ ∈ ∀ ∈

+

∀ ∈ ∀ ∈+ +

+



Επειδή τα παραπάνω πλευρικά όρια δεν ταυτίζονται, δηλ.

2 2

4 4

16 16lim lim4 4x x

x xx x+ −→ →

− −≠

− −,

το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει (δεν συγκλίνει).


2

0

(2 ) 4limx

xlx→

+ −= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία εμφανίζοντας τις πραγματικές ρίζες του τριωνύμου του αριθμητή και στη συνέχεια απλοποιώντας τη ρητή παράσταση, δηλ.

[ ][ ]2

0 0 0 0

(2 ) 2 (2 ) 2(2 ) 4 ( 4)lim lim lim lim( 4)x x x x

x xx x xl xx x x→ → → →

+ − + ++ − += = = = + ,

και άρα το ζητούμενο όριο υπάρχει και είναι τελικά

0lim( 4) 0 4 4x

l x→

= + = + = .


*3 2lim ,

x

a xx

el aa +→+∞

= ∀ ∈ ,


3 2( ) lim , a

faa

ef x x Dx +→+∞

= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Απλοποιώντας τη ρητή παράσταση, έχουμε

3 2 3 2 3 2

1 1lim lim lim( )

xx x

a x xx x x

e e ela a a a a a→+∞ →+∞ →+∞

= = =

*, a∀ ∈ .

Πρέπει όμως να εξετάσουμε περιπτώσεις για τη βάση 2e a . Επομένως,

( )

( )( ) ( )

33 2 2

3 23 2 2

33 2

11 ( ), ,lim , 1

1 1lim , , ,1 1 lim , 1

11 ,, 1

|

|

|

x

x

xxxa

x

e e a e ea aa a a

a e eel aa a ea a e ae a ea

ea a

→+∞

→+∞→+∞

⋅ +∞ ∀ ∈ −∀ ∈ >

∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ = = ⇒ ∀ ∈ <

= ± ∀ ∈ = ±



22

55

--55

--22

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμ.. σσυυννάάρρττηησσηη * 100, 1{ } { }a k ke k e kf a I

∈ ∈∀ ∪∈ = ± ± ±

,, όόπποουυ lim ( ), a x al f x a I→+∞

= ∀ ∈ ..

( )( )( ) ( )

3 2

, 0,

, ,0

0, , ,

,

a

a e

a el

a e e

e a e−

+∞ ∀ ∈−∞ ∀ ∈ −= ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞± = ±

.


{ } *3 2( ) , , 1a

x

a fx k

ef x x D a e ka + ∈

= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ ±

,

δηλ. γύρω από τα δεξιά της τιμής a e= − και γύρω από τα αριστερά της a e= , όπου παρατηρούμε ότι οριακά

{ } *lim ( ) , 1a ax k

l f x a e k→+∞ ∈

= = −∞ ∀ ∈ −

και { } *lim ( ) , 1a ax k

l f x a e k→+∞ ∈

= = +∞ ∀ ∈ − +

,

καθώς και της

{ } 1003 2( ) , , a

x

a fx k

ef x x D a e ka + ∈

= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ ± ±

,

δηλ. δεξιά (προς το +∞ ) της τιμής a e= και αριστερά (προς το −∞ ) της a e= − , όπου παρατηρούμε ότι οριακά

{ } 100lim ( ) 0, a ax k

l f x a e k→+∞ ∈

= = ∀ ∈ ± ±

.

Επίσης, απεικονίζονται και οι

( )3 2

3 2( ) , x

xe

ef x e xe

−+±

= = ± ∀ ∈±

.

grafeq: 99.54%

{ }

{ }

*

1003

2

2

3 2

3

( ) , ,

( )

( ) ,

, , 1

, a

a

x

a fx k

x

x

a

x

a f k

x

e

ef x

f x x D a

x D a e

ef x a e x

a

k

k

a

a

e+ ∈

+ ∈

+= = ± ∀

= ∀ ∈

= ∀ ∈ ∀ ∈ ± ±

∈

∀ ∈ ±

3 2e−

3 2e−−



Για τον υπολογισμό τώρα της οριακής συνάρτησης f , ήδη έχουμε βρει ότι

( )( )( ) ( )

3 2

3 2

, 0,

, ,0lim

0, , ,

,

x

a xx

a e

a eela a e e

e a e

+→+∞

−

+∞ ∀ ∈−∞ ∀ ∈ −= = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞± = ±

,

οπότε, εναλλάσσοντας τώρα τον συμβολισμό, παίρνουμε

( )( )( ) ( )

3 2

3 2

, 0,

, ,0lim

0, , ,

,

a

aa

x e

x eex x e e

e x e

+→+∞

−

+∞ ∀ ∈−∞ ∀ ∈ −= ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞± = ±

.

Συμπεραίνουμε λοιπόν άμεσα

( ) ( )3 2( ) lim 0, , ,a

aa

ef x x e ex +→+∞

= = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ και ( ) 3 2f e e−± = ± ,

ενώ η f δεν ορίζεται πουθενά αλλού, δηλ. το πεδίο ορισμού της f είναι το

( ), ,fD e e = −∞ − ∪ +∞ ,

όπου στα ανοικτά διαστήματα αυτού η οριακή συνάρτηση είναι η μηδενική,

( ) ( ), ,0

e ef

−∞ − ∪ +∞≡ ,

και στα άκρα του παίρνει τις τιμές ( ) 3 2f e e−± = ± .


*3 2( ) , ,

a

a

a fa

ef x x D ax += ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ ,


( ) ( )( ) lim ( ) 0, , ,aaf x f x x e e

→+∞= = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ και ( ) ( ) 3 2lim aa

f e f e e−

→+∞± = ± = ± .



22

55

--55

--22

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, af a∀ ∈ ,, κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς lima af f→+∞

= ..

3 2e−

e−

3f

( ),0

ef

+∞≡

3 2e−−

e

3f

( ) 0e

f−∞,−

≡

( )f e

( )f e−


33 13 1lim

3

xx

x

xlx

−+

→+∞

− = + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμπεριέχει σε βάση και εκθέτη απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ . Ωστόσο, τα όρια τόσο της βάσης όσο και του εκθέτη υπάρχουν. Συγκεκριμένα, εφόσον πρόκειται για όρια ρητών παραστάσεων στο άπειρο, της εκφράζουμε (βγάζοντας κοινό παράγοντα το x ) συναρτήσει του 1 x , οπότε κάνουμε χρήση του γνωστού ορίου 1 0xx →+∞ +→ .

Εφαρμόζοντας τα παραπάνω το ζητούμενο όριο γράφεται διαδοχικά,

3 31 11 13 31 13 3

lim lim33 11

xx x

xx x

x x

xx xl

xxx

− − + +

→+∞ →+∞

− − = = ++

.

Εφόσον υπάρχουν τα όρια αριθμητή και παρονομαστή (ο οποίος είναι διάφορος του μηδενός) τόσο στη βάση όσο και στον εκθέτη, τότε τα όρια τόσο της βάσης όσο και του εκθέτη υπάρχουν, και κατά συνέπεια η παραπάνω σχέση δίνει τελικά,

3 31 1 limlim

1 13 3 lim 1 03 0 1 3 3

1 13 3 lim 3 0lim 3 33 3 1 01 1 lim

x

x

x

x x

x xx

x

x

x xl

x x

→+∞

→+∞

→+∞

− −

+ + −+→+∞

→+∞

→+∞

− − − = = = = = + + +

.

grafeq: 99.87%

*3 2( ) , ,

a

a

a fa

ef x x D ax += ∀ ∈ ∀ ∈



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..22..99.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο: 2

2 41lim ,

xax

a x

axl ax a

−+

+→+∞

+= ∀ ∈ −

,

καθώς και η οριακή συνάρτηση 2

2 41( ) lim ,

aax

fa

a xf x x Da x

−+

→+∞

+= ∀ ∈ −

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμπεριέχει σε βάση και εκθέτη απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ .

Άρουμε την απροσδιοριστία της βάσης εκφράζοντάς τη (βγάζοντας κοινό παράγοντα το x ) συναρτήσει του 1 x , οπότε και κάνουμε χρήση του γνωστού ορίου 1 0xx →+∞ +→ . Συγκεκριμένα,

21 1

1lim lim lim11

x x x

x ax axax x xaax a xxx

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = =− −−

.

Επειδή το όριο του παρονομαστή υπάρχει και είναι μάλιστα διάφορο του μηδενός, ενώ το όριο του αριθμητή απειρίζεται υποθέτοντας 0a ≠ , θα απειρίζεται τότε και το παραπάνω όριο, που είναι το όριο της βάσης του ζητούμενου ορίου, δηλ.

( )2

*

1 1lim lim1 1 1lim lim lim + lim ,

lim 1 1 lim

x x

x x x x

x x

ax axax x x ax a x a

a ax a x xx x

→+∞ →+∞

+→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ + + = = = + = = +∞ ∀ ∈ − − −

.. 11

Εργαζόμενοι το ίδιο και για το όριο του εκθέτη (δηλ. εκφράζοντάς τον σαν συνάρτηση του 1 x , οπότε και κάνουμε χρήση του γνωστού ορίου 1 0xx →+∞ +→ ), παίρνουμε

2 2 21 1 12lim lim lim lim

4 4 44x x x x

x xx x x xxax x a ax a

x xx

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − − = = = ⋅+ + ++

.

Το όριο του παραπάνω δεύτερου παράγοντα υπάρχει (καθώς υπάρχουν τα όρια αριθμητή και παρονομαστή αυτού και επιπλέον το όριο του παρονομαστή αυτού είναι διάφορο του μηδενός, υποθέτοντας 0a ≠ ), ωστόσο το όριο του πρώτου παράγοντα απειρίζεται οπότε θα απειρίζεται όλο το παραπάνω όριο, δηλ.

2 2lim 1 1 lim2 1 0lim lim lim lim4 4 4 0lim lim

x x

x x x x

x x

x x xx x xax aa a

x x

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− − − − = ⋅ = ⋅ = ⋅ =+ +

+ +



*1 1lim ( ) , x

x aa a +→+∞

= = ⋅ +∞ = +∞ ∀ ∈ . 22

Εφόσον λοιπόν, βάσει των εξ. 11 και εξ. 22 τα όρια τόσο της βάσης όσο και του εκθέτη απειρίζονται, θα απειρίζεται και το ζητούμενο όριο, καθώς άμεσα

2 2lim2 21 1*1 1lim lim + ,

x

x xax ax

a x x

ax axl ax a x a

→+∞

− −− −

+∞+→+∞ →+∞

+ + = = = +∞ = ∞ ∀ ∈ − − .

Με ποιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο, κάνοντας αρχικά χρήση της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ ,

22 211 2 12 ln ln

11lim sgn lim ,

xaxax x ax

x a x aaxa x x

axl e e ax a

−−+ − +

− −−+→+∞ →+∞

+= = ∀ ∈ −

, 33

και επειδή για το όριο του εκθέτη, λόγω και των εξ. 11 και 22, έχουμε

2 22 1 2 1lim ln lim lim ln1 1x x x

x ax x axx a x aax ax→+∞ →+∞ →+∞

− + − + = ⋅ = − −− −

2

2

1

1( ) lim ln ( ) lim ln ( ) ( ) ,xax

x a

ax xx a →+∞+

→+∞−

+= +∞ ⋅ = +∞ ⋅ = +∞ ⋅ +∞ = +∞

−* a +∀ ∈

η εξ. 33 δίνει τελικά 2

2

2 1ln*1

2 1ln1

lim lim , x ax

xx aaxa xx ax

x aax

l e e a− +

−−+→+∞− +

→+∞−−

= = = +∞ ∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = , το ζητούμενο όριο παίρνει τη μορφή

2 124

01

2

1 1 1lim lim limx x

xx x xl

x xx

−−

→+∞ →+∞ →+∞ −

= = =

,

και επειδή ο παρονομαστής απειρίζεται (καθώς τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης απειρίζονται), το παραπάνω όριο θα μηδενίζεται, δηλ. άμεσα

01 1 lim 1

2 2 2

1 1 1 1 1lim 0lim lim x

x x xx

x x

lx x x →+∞

+∞ →+∞ − − −

→+∞ →+∞

= = = = = = +∞+∞ ,

ή με ποιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο

12

2 1 1ln 1 ln4 20

1 1lim lim sgn lim

xx xx x

x x xl e e

x x

−− −

→+∞ →+∞ →+∞

= = =

,

και επειδή

( )1lim 1 lim 12 2x x

x x→+∞ →+∞

− = − = +∞

και 1 00

1 1lim ln lim ln lim lnx x

xx x ++→+∞ →→= = = −∞ ,



55

55

--55

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, {1 }a ka kf ∈∀ ∈

κκααιι ηη 0f ,, όόπποουυ *lim ( ), {1 }kxa al f x a k ∈→+∞= ∀ ∈

..

--55

έχουμε τελικά

11 ln2

0 11 ln2

lim lim 0x

xx

x xx

l e e −

→−∞ − →−∞

= = = .

Συγκεντρωτικά λοιπόν,

*+ ,0, 0a

al

a+ ∞ ∀ ∈

= =

.


{ } *

22 41( ) , , 0 1

a

xax

a f k

axf x x D a kx a

−+

∈

+= ∀ ∈ ∀ ∈ + −

,

δηλ. γύρω από την τιμή 0a = , καθώς και της

0

22 *

01( ) ,

x

ff x x Dx

−

= ∀ ∈ =

,


*lim ( ) , a axl f x a

→+∞= = +∞ ∀ ∈ , και 0 0lim ( ) 0

xl f x

→+∞= = .


2*2 4 + ,1lim

0, 0

xax

a x

aaxlx a a

−+

+

→+∞

∞ ∀ ∈+= = − =

,


grafeq: 99.94%

{ } *

22

22 *

0

41( ) , ,

1( )

1

,

a

xax

a f k

x

f x xx

axf x x D a kx a

−+

∈

−

= ∀ ∈

+= ∀ ∈ ∀ ∈ −



11

--55

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, {1}a af ∀ ∈ − κκααιι οορριιαακκήή ττηηςς lim ( ) 0axf f x

→+∞= ≡ ..

--11

5f

2*2 4 + ,1lim

0, 0

aax

a

xa xa x x

−+

+

→+∞

∞ ∀ ∈+= − =

.


22 41(0) lim 0

aax

a

a xfa x

−+

→+∞

+= = −

,

ενώ η f δεν ορίζεται πουθενά αλλού, δηλ. το πεδίο ορισμού της f είναι το μονοσύνολο {0}fD = .


22 4

*1( ) , , {1}a

aax

a fa xf x x D aa x

−+ +

= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ − − ,


(0) lim (0) 0aaf f

→+∞= = , δηλ. 0f ≡ .


2

3

3 5 6lim3x

xlx→

− −=

−.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Άρουμε την απροσδιοριστία 0 0 που εμφανίζει το ζητούμενο όριο χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του αριθμητή. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με αυτήν, δηλ.

grafeq: 99.95%

22 4

*1( ) , , {1}a

aax

a fa xf x x D aa x

−+ +

= ∀ ∈ ∀ ∈ − −

55

0f ≡



( )( )( )

2 22

3 3 2

3 5 6 3 5 63 5 6lim lim 3 ( 3) 3 5 6x x

x xxlx x x→ →

− − − +− −= = ⇒

− − − +

( ) ( ) ( )2 2 2

3 3 32 2 2

9( 5) 36 9 81 9( 9)lim lim lim ( 3) 3 5 6 ( 3) 3 5 6 ( 3) 3 5 6x x x

x x xlx x x x x x→ → →

− − − −= = = ⇒

− − + − − + − − +

( ) 2 23 3 32

9( 3)( 3) 9( 3) 3lim lim 3lim3 5 6 5 2( 3) 3 5 6x x x

x x x xlx xx x→ → →

− + + += = =

− + − +− − +.. 11

Εξετάζοντας τώρα τα πλευρικά όρια:

2 23

3 3 3 3lim 25 2 (3 ) 5 2x

xx+

+

+→

+ + = = − + − +

,

2 23

3 3 3 3lim 25 2 (3 ) 5 2x

xx−

−

−→

+ + = = − + − +

,

αυτά ταυτίζονται, οπότε

2 2 23 3 3

3 3 3 3lim lim lim25 2 5 2 5 2x x x

x x xx x x+ −→ → →

+ + += = =

− + − + − +,

και από την εξ. 11, παίρνουμε τελικά

3 932 2

l = = .


0

3 9limx

xlx→

− −= .


( )( )( ) ( )0 0 0 0

3 9 3 93 9 1lim lim lim lim3 93 9 3 9x x x x

x xx xlx xx x x x→ → → →

− − + −− −= = = =

+ −+ − + −.

Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια της παραπάνω συνάρτησης στο σημείο 0, έχουμε

0

1 1 1 1lim 3 3 63 9 3 9 0x x+ +→

= = = ++ − + −

,

0

1 1 1 1lim 3 3 63 9 3 9 0x x− −→

= = = ++ − + −

,



και επομένως, άμεσα

0 0 0

3 9 3 9 3 9 1lim lim lim6x x x

x x xlx x x+ −→ → →

− − − − − −= = = = .


22

2 2lim2x

x xlx x→

+ −=

−.


( )( )( ) ( )2 2 22 2 2

2 2 2 22 2 2 2lim lim lim 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2 2x x x

x x x xx x x xlx x x x x x x x x x→ → →

+ − + ++ − + −= = = ⇒

− − + + − + +

( ) ( )2 2

2 1lim lim( 2 ) 2 2 2 2x x

xlx x x x x x x→ →

−= = −

− + + + +.. 11

Εξετάζοντας τα πλευρικά όρια της παραπάνω συνάρτησης στο σημείο 22, έχουμε

( ) ( )2

1 1 1lim 82 2 2 2 2 2 2x x x x+ + + +→

= = + + + + ⋅

,

( ) ( )2

1 1 1lim 82 2 2 2 2 2 2x x x x− − − −→

= = + + + + ⋅

.

Επομένως από την εξ. 11 παίρνουμε τελικά

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1 1lim lim lim82 2 2 2 2 2x x x

lx x x x x x x x x+ −→ → →

= − = − = − = −+ + + + + +

.


2

2lim , 2a x

x a xl ax x +→+∞

+ −= ∀ ∈

+ ,


2

2( ) lim ,

2 fa

x a af x x D

a a ±± →±∞

+ −= ∀ ∈ ⊆

+ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει στον αριθμητή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του αριθμητή είτε



(αμεσότερα, επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, οπότε

( )( )( ) ( )2 2 2

2 22 2lim lim lim 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2

a x x x

x a x x a xx a x x a xlx x x x x x x x x a x→+∞ →+∞ →+∞

+ − + ++ − + −= = = ⇒

+ + + + + + +

( )2 lim

( 2) 2a x

a xlx x x a x→+∞

−=

+ + +, a +∀ ∈ .. 11

Παρατηρούμε τώρα ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την νέα απροσδιοριστία διαιρώντας με x αριθμητή και παρονομαστή, οπότε

( ) ( )1

2 lim 2 lim( 2) 2 ( 2) 2

a x x

a x ax xl

x x x a x x x a x

x

→+∞ →+∞

−−

= =+ + + + + +

, a +∀ ∈ .

Επειδή το όριο του αριθμητή υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός, ενώ το όριο του παρονομαστή απειρίζεται (οπότε, πάντως, δεν εμφανίζεται απροσδιοριστία της μορφής 0 0 ), το παραπάνω όριο θα μηδενίζεται και συγκεκριμένα,

( ) ( ) [ ]

1lim 12 2 22 0

( ) ( ) ( )lim ( 2) 2 lim ( 2) 2

x

a

x x

axl

x x a x x x a x

→+∞

→+∞ →+∞

− − − − = = = = = +∞ +∞ + +∞ +∞ + + + + + +

.

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο μπορούμε να δείξουμε το μηδενισμό του απροσδιόριστου ορίου της εξ. 11 γράφοντας το όριο σαν έκφραση του 1 x , δηλ.

112 lim

1 1 1 221 1 1 1

a x

axl

ax x x x

→+∞

−=

+ + +

, a +∀ ∈ ,

και επειδή, 1 0xx →+∞ +→ ,

1 0 0

1 112 lim 2 lim

1 1 1 2 1 1 1 22 21 1 1 1

ax x

a ax xla a

x x x x x x x x

+ +→ →

− −= =

+ + + + + +

, a +∀ ∈ ,

και απλοποιώντας,

( )0 0

2

1 1

2 lim 2 lim , 1 2 11 1 2 1 2 1 2

ax x

ax axx xl a

xx ax axx xx x x x

+ + +→ →

− −

= = ∀ ∈ ⇒+ + + ⋅ + ++



( ) ( )0

( 1) 0(0 1)2 lim 2 0(1 2 ) 1 2 (1 0) 1 2

ax

x x axlx ax+→

− −= = ⋅ =

+ + + + +, a +∀ ∈ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Γράφοντας το ζητούμενο όριο εξ’ αρχής σαν έκφραση του 1 x και επειδή 1 0xx →+∞ +→ , το ζητούμενο όριο μετασχηματίζεται και στη συνέχεια απλοποιούμενο δίνει,

( )21 0 0 0 0

2 2 2

1 2 11 2 1 2 1 21 1lim lim lim lim

1 2 1 2 1 21 21 1

ax x x x

axa axax x x x x x xlx x

xx x xx x

+ + + +→ → → →

++ − + −+ − −= = = = ⇒

+ + ++

( ) ( )23 4

0 0

1 2 1 2lim lim

1 2 1 2ax x

ax axxl xx xx+ +→ →

+ − + −= ⋅ = ⋅

+ +, a +∀ ∈ .

Επειδή δύο όρια των παραγόντων του παραπάνω ορίου υπάρχουν, άμεσα έχουμε

( ) ( )3 4

0 0

1 2 1 0 2lim lim 0 0

1 2 1 0ax x

axl x

x+ +→ →

+ − + −= ⋅ = ⋅ =

+ +, a +∀ ∈ .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν 0, al a += ∀ ∈ . [[ ΤΤ ΕΕ ΛΛ ΟΟ ΣΣ ΕΕ ΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣ ΗΗ ΣΣ ]]

Για τον υπολογισμό τώρα της οριακής συνάρτησης f± , επειδή ήδη έχουμε βρει ότι

2

2lim 02a x

x a xlx x→+∞

+ −= =

+, a +∀ ∈ ,

και επειδή, παρόμοια, ισχύει

2

2lim 0

2x

x a xx x→−∞

+ −=

+, a∀ ∈ ,

(δεν αλλάζει κάτι όπως παρατηρούμε από την προηγούμενη απόδειξη) έχουμε συγκεντρωτικά ότι

2

2lim 0

2x

x a xx x→±∞

+ −=

+, a∀ ∈ .

Εναλλάσσοντας τώρα τον συμβολισμό, παίρνουμε

2

2lim 0

2x

x a aa a→±∞

+ −=

+, x∀ ∈ ,


2

2( ) lim 0,

2x

x a af x x

a a± →±∞

+ −= = ∀ ∈

+

,

δηλ. οι οριακές συναρτήσεις f± είναι η μηδενική στον , δηλ. ο άξονας των τετμημένων.

Στο παρακάτω Σχήμα, απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης



22

1100

--1100

--22

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , af a∀ ∈ κκααιι οοιι κκοοιιννέέςς οορριιαακκέέςς ττηηςς lim 0a af f± →±∞

= ≡ ..

3f−

3f

0f± ≡

2

2( ) 0, ,

2a

x a af x x a

a a+ −

= = ∀ ∈ ∀ ∈+

,


( ) lim ( ) 0, aaf x f x x± →±∞

= = ∀ ∈ .


2

2 2lim2x

x xlx x→+∞

+ +=

−.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει στον παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή με τη δημιουργία κοινού παράγοντα, δηλ.

2

2 2 2 2lim lim( 2)2x x

x x x xlx xx x→+∞ →+∞

+ + + += =

−−.

Παρατηρούμε τώρα ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του αριθμητή είτε (αμεσότερα, επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ .

Σύμφωνα λοιπόν με τον δεύτερο τρόπο

( )1 0 0 0 0

2 2

1 2 11 2 1 2 22 1 2 221 1lim lim lim lim

1 2 1 21 11 1 221 1

x x x x

x xx x x x x x xlx x

x xx xx x

+ + + +→ → → →

++ + + ++ + += = = = ⇒

− − −−

grafeq: 99.97%

2

*2

2( ) , ,

2

2( ) , ,

2

a

a

x a af x x a

ax a a

f x x a

a

a a −

+ −= ∀ ∈ ∀ ∈

+

+ −= ∀ ∈ ∀ ∈

+



( ) ( )23 4

0 0

1 2 2 1 2 2lim lim

1 2 1 2x x

x xxl xx xx+ +→ →

+ + + += ⋅ = ⋅

− −.


( ) ( )3 4

0 0

1 2 2 1 0 2lim lim 0 0

1 2 1 0x x

xl x

x+ +→ →

+ + + += ⋅ = ⋅ =

− −.

Με διαφορετική απλοποίηση, θα μπορούσαμε διαιρώντας με x αριθμητή και παρονομαστή, να έχουμε

2 2 22 2 1 2 22 2

lim lim lim( 2) 2 2x x x

x xx xx xx x xxl

x x x xx

→+∞ →+∞ →+∞

++ + + + += = =

− − −,

και επειδή το όριο του αριθμητή υπάρχει, ενώ το όριο του παρονομαστή απειρίζεται, γράφοντας το παραπάνω όριο σαν γινόμενο,

2

1 1 2 2lim2x

lx x xx→+∞

= ⋅ + + −

,

τότε και τα δύο όρια των παραγόντων του θα υπάρχουν, και κατά συνέπεια,

2 2

1 1 2 2 1lim lim lim lim lim 0 0 0 02 2x x x x x

lx x x xx→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − →+∞

= ⋅ + + = ⋅ = ⋅ =

− − .


2

2 2lim2 2x

x xlx x→+∞

+ +=

− +.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει στον παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Παρατηρούμε ότι το τριώνυμο του παρονομαστή δεν διαθέτει πραγματικές ρίζες, οπότε το πρόσημό του είναι το πρόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου του, δηλ. το τριώνυμο είναι πάντα θετικό (εξάλλου με τη συμπλήρωση τετραγώνων μπορούμε να γράψουμε το τριώνυμο σαν άθροισμα τετραγώνων από όπου συμπεραίνουμε το θετικό πρόσημό του). Η απροσδιοριστία του παρονομαστή λοιπόν δεν υφίσταται. Υφίσταται όμως η απροσδιοριστία της ρητής παράστασης η οποία είναι της μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του αριθμητή είτε (αμεσότερα, επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ .

Σύμφωνα λοιπόν με τον δεύτερο τρόπο



( )2 2 21 0 0 0 0

2 2 2

1 2 11 2 1 2 22 1 2 221 1lim lim lim lim

1 2 1 2 2 1 2 21 2 221 1

x x x x

x xx x x x x x xlx x x x

xx x xx x

+ + + +→ → → →

++ + + ++ + += = = = ⇒

− + − + − +− +

( ) ( )23 4

2 20 0

1 2 2 1 2 2lim lim

1 2 2 1 2 2x x

x xxl xx x x xx+ +→ →

+ + + += ⋅ = ⋅

− + − +.


( ) ( )3 420 0

1 2 2 1 0 2lim lim 0 0

1 0 01 2 2x x

xl x

x x+ +→ →

+ + + += ⋅ = ⋅ =

− +− +.

Με διαφορετική απλοποίηση, θα μπορούσαμε διαιρώντας με x αριθμητή και παρονομαστή, να έχουμε

2 2 2

2

2 2 1 2 22 2

lim lim lim2 22 2 2 2

x x x

x xx xx xx x xxl

x x x xx xx

→+∞ →+∞ →+∞

++ + + + += = =

− + − + − +.

Επειδή το όριο του αριθμητή υπάρχει, ενώ το όριο του παρονομαστή απειρίζεται, γράφοντας το παραπάνω όριο σαν γινόμενο,

2 2

2

1 1 2 2 1 1 2 2lim lim 2 2 22 1

x xl

x x x xx xx xx x x

→+∞ →+∞

= ⋅ + + = ⋅ + + ⇒ − + − +

2

2

1 1 1 2 2lim2 21

xl

x x xxx x

→+∞

= ⋅ ⋅ + +

− +,

τότε και τα τρία όρια των παραγόντων του θα υπάρχουν, και κατά συνέπεια,

2

2

1 1 1 2 2 1lim lim lim lim 0 0 02 2 1 0 01 lim lim

x x x x

x x

lx x xx

x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

= ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ =

− + − +.


( )2lim , a xl ax x x a +→+∞= + − ∀ ∈ ,


( )2( ) lim , faf x a x a a x D

→+∞= + − ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση της συνάρτησης είτε (επειδή



έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση της συνάρτησης του ορίου, οπότε

( ) ( )( )( ) ( )

2 22 2

2

2 2lim lim lim , a x x x

ax x x ax x x ax x xl ax x x aax x x ax x x

+→+∞ →+∞ →+∞

+ − + + + −= + − = = ∀ ∈ ⇒

+ + + +

( )2

2

( 1)lima x

a x xlax x x→+∞

− +=

+ +, a +∀ ∈ .. 11

Παρατηρούμε τώρα ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία βγάζοντας κοινό παράγοντα τον μεγιστοβάθμιο όρο σε αριθμητή και παρονομαστή, ή αλλιώς διαιρώντας με x αριθμητή και παρονομαστή, οπότε

2

2 2

2

( 1)( 1) 1 ( 1) 1lim lim lim

1 11a x x x

a x xa x a xxl

ax x x ax x axx x

→+∞ →+∞ →+∞

− +− + − +

= = =+ + + + ++

, a +∀ ∈ .

Παρατηρούμε, ότι στην περίπτωση που 1a ≠ , το όριο του αριθμητή απειρίζεται ενώ το όριο του παρονομαστή υπάρχει (και μάλιστα είναι διάφορο του μηδενός), οπότε και το ζητούμενο όριο θα απειρίζεται, καθώς

{ }( 1) lim 1( 1) 1 ( 1) ( )lim lim sgn( 1) ( ), 1

1 1 11 lim 1

xa x x

x

a xa x al a aaa a

x x

→+∞+→+∞ →+∞

→+∞

− +− + − ⋅ +∞ = = = = − ⋅ +∞ ∀ ∈ − + + + + +

,

και συγκεκριμένα,

, | 1 0 , (1, ), | 1 0 , (0,1)a

a a al

a a a+

+

+∞ ∀ ∈ − > +∞ ∀ ∈ +∞ = = −∞ ∀ ∈ − < −∞ ∀ ∈

.

Στην περίπτωση τώρα που 1a = , το όριο του αριθμητή υπάρχει όπως και το όριο του παρονομαστή (και μάλιστα είναι διάφορο του μηδενός), οπότε άμεσα παίρνουμε

11 1 1 1

21 1 0 11 1 lim 1lim 1 1xx

l

xx →+∞→+∞

= = = = + +

+ ++ +

.

Διαφορετικά θα μπορούσαμε, γράφοντας το όριο εξ. 11 σαν έκφραση του 1 x , να το μετασχηματίσουμε, καθώς 1 0xx →+∞ +→ , οπότε και θα παίρναμε το ζητούμενο.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Γράφοντας το ζητούμενο όριο εξ’ αρχής σαν έκφραση του 1 x και επειδή 1 0xx →+∞ +→ , το ζητούμενο όριο μετασχηματίζεται και στη συνέχεια απλοποιούμενο δίνει,



2

2 21 0 0 0

1 1 1 1 1 1lim lim lim , 1 1 1a

x x x

a a xl a ax x x x x xx x+ + + +

→ → →

+ = + − = + − = − ∀ ∈ ⇒

0

1limax

a xlx+→

+ −= , a +∀ ∈ . 22

Παρατηρούμε, ότι στην περίπτωση που το όριο του αριθμητή είναι διάφορο του μηδενός, δηλ.,

( )0

lim 1 0 1 0 1 1x

a x a a a+→

+ − ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ ± ⇒ ≠ ,

(επειδή a +∈ ), το ζητούμενο όριο της εξ. 22 θα απειρίζεται, καθώς

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

1 1lim 1 lim lim 1 ( ) 1 sgn 1 ( )ax x x

l a x a x a ax x+ + +→ → →

= ⋅ + − = ⋅ + − = +∞ ⋅ − = − ⋅ +∞ { }, 1a +∀ ∈ − ,


, | 1 0 , | 1 , (1, ), | 1 , [0,1), | 1 0

a

a a a a al

a a aa a+ +

++

+∞ ∀ ∈ − > +∞ ∀ ∈ > +∞ ∀ ∈ +∞ = = = −∞ ∀ ∈ < −∞ ∀ ∈−∞ ∀ ∈ − <

.

Στην περίπτωση τώρα που το όριο του αριθμητή είναι μηδέν, δηλ. εάν 1a = , το ζητούμενο όριο της εξ. 22 θα εμφανίσει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 , η οποία άρετε με χρήση της συζυγούς παράστασης του αριθμητή, οπότε η εξ. 22 για 1a = γράφεται,

( )( )( ) ( )1

0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim21 1 1 0 11 1 1 1x x x

x x xlxx x x x+ + +→ → →

+ − + + + −= = = = =

+ + + ++ + + +.

[[ ΤΤ ΕΕ ΛΛ ΟΟ ΣΣ ΕΕ ΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣ ΗΗ ΣΣ ]]


, [0,1)1 2, 1

, (1, )a

al a

a

−∞ ∀ ∈= =+∞ ∀ ∈ +∞

.


{ } *2( ) , , 1 1

aa f kf x ax x x x D a k

∈= + − ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ ±

,


{ } *lim ( ) , 1 1a a kxl f x a k

∈→+∞= = +∞ ∀ ∈ +

και { } *lim ( ) , 1 1a a kxl f x a k

∈→+∞= = −∞ ∀ ∈ −

,

καθώς και της 1

21( ) , ( , 1] [0, )ff x x x x x D= + − ∀ ∈ = −∞ − ∪ +∞ , για την οποία βλέπουμε ότι οριακά

1 11lim ( )2x

l f x→+∞

= = .



22

1100

--22

--22

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1{1 }a kkf a

∈∀ ∈ ±

,, όόπποουυ lim ( )a x al f x→+∞

= *, 1{1 }k

ka∈

∀ ∈ ±

..

12


( )2

, [0,1)lim 1 2, 1

, (1, )a x

al ax x x a

a→+∞

−∞ ∀ ∈= + − = =+∞ ∀ ∈ +∞

,


( )2

, [0,1)lim 1 2, 1

, (1, )a

xa x a a x

x→+∞

−∞ ∀ ∈+ − = =+∞ ∀ ∈ +∞

.


( )2 1(1) lim 12a

f a a a→+∞

= ⋅ + − = ,

ενώ η f δεν ορίζεται πουθενά αλλού, καθώς το πεδίο ορισμού της f είναι το μονοσύνολο {1}fD = , και άρα

12

f ≡ ,

οπότε το γράφημα της οριακής συνάρτησης f είναι το σημείο 2(1,1 2) ∈ .


2 60( ) , , aa ff x a x a a x D a= + − ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ ,


lim ( ) , [0,1)aaf x x

→+∞= −∞ ∀ ∈ και lim ( ) , (1, )aa

f x x→+∞

= +∞ ∀ ∈ +∞ ,

grafeq: 99.84%

{ }

{ }

*

*

2

21

2( )

( ) , , 1 1

, ,

( ) , ( , 1] [0, )

1 1a

aa f

a f k

k

f x x x x x

f x ax x

f x ax x x x D

x x

k

D a k

a∈

∈= + − ∀ ∈

= +

∀

− ∀ ∈

∈

= + − ∀

−

∈ −∞ − ∪ +∞

∀ ∈ +



22

1100

--22

--22

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη 60, af a∀ ∈ ,, κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς lima af f→+∞

= 1 2≡ ..

12

1

10f

1 2f ≡

καθώς και

1(1) lim (1)2aa

f f→+∞

= = ή 12

f ≡ .


23

9lim4 7x

xlx→

−=

− +.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με αυτή οπότε, απλοποιώντας, λαμβάνουμε διαδοχικά

( )( )( )( )

2 22

23 3 2 2

9 4 79lim lim 4 7 4 7 4 7x x

x xxlx x x→ →

− + +−= = ⇒

− + − + + +

( )( ) ( )( ) ( )2 2 2 2

22 23 3 3

9 4 7 9 4 7lim lim lim 4 7 8

16 7 9x x x

x x x xl x

x x→ → →

− + + − + += = − = − + + = −

− − −.


20

1 1lim1 1x

xlx x→

+ −=

+ − +.

grafeq: 99.99%

2 60( ) , , aa ff x a x a a x D a= + − ∀ ∈ ∀ ∈



ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία χρησιμοποιώντας τις συζυγείς παραστάσεις αριθμητή και παρονομαστή. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή και με τις δύο αυτές συζυγείς παραστάσεις οπότε, απλοποιώντας, λαμβάνουμε διαδοχικά

( )( )( )( )( )( )

2

20 0 2 2

1 1 1 1 1 11 1lim lim 1 1 1 1 1 1 1 1x x

x x x xxlx x x x x x x→ →

+ − + + + + ++ −= = ⇒

+ − + + − + + + + + +

( )( )

( )( ) ( )

2 22

20 0 0

( 1 1) 1 1 1 1 1 1lim lim lim( 1 1) 1 1 (1 ) 1 1 (1 ) 1 1x x x

x x x x x x x xlx x x x x x x x→ → →

+ − + + + + + + + + += = =

+ − − + + − + + − + +.

Το όριο τώρα υπολογίζεται άμεσα, καθώς υπάρχει το όριο του αριθμητή όπως και του παρονομαστή (και το οποίο είναι διάφορο του μηδενός) και κατά συνέπεια

( )( ) ( )

22

0

0

lim 1 1 0 1 0 1 1 1 11(1 1)lim(1 ) 1 1 (1 0 ) 0 1 1

x

x

x xl

x x→

→

+ + + + + + += = = =

+− + + − + +.


2

1lim1 1x

x xlx x→+∞

+ −=

+ − +.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει σε αριθμητή και παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τις συζυγείς παραστάσεις αριθμητή και παρονομαστή είτε (επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου με της συζυγείς παραστάσεις αριθμητή και παρονομαστή, οπότε λαμβάνουμε διαδοχικά

( )( )( )( )( )( )

2

2 2 2

1 1 1 11lim lim 1 1 1 1 1 1 1x x

x x x x x xx xlx x x x x x x x→+∞ →+∞

+ − + + + + ++ −= = ⇒

+ − + + − + + + + + +

( )( ) ( )

22

2

( 1 ) 1 1 1 1lim lim( 1 1) 1 (1 ) 1x x

x x x x x xlx x x x x x x x→+∞ →+∞

+ − + + + + + += =

+ − − + + − + +.

Παρατηρούμε τώρα ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία διαιρώντας με x αριθμητή και παρονομαστή (ή γράφοντας το σαν έκφραση του 1 x και μετασχηματίζοντάς το στη συνέχεια, καθώς 1 0xx →+∞ +→ ), οπότε



( ) ( ) ( )

22

2 2 2 21 1 1 1 11 1 1

lim lim lim(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1x x x

x xx xxx x x xxl

x x x x x x x x x x

x

→+∞ →+∞ →+∞

+ ++ + + + + + += = =

− + + − + + − + +.. 11

Επειδή το όριο του αριθμητή υπάρχει, ενώ το όριο του παρονομαστή απειρίζεται, έχουμε άμεσα

( )2 2

1 1 1lim lim 1 lim

(1 lim ) lim 1 lim

x x x

x x x

x x xlx x x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞

+ + +=

− + +

[ ] ( )0 0 1 0 1 1 0

( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( )

+ + + + + + + + = = = = −∞ ⋅ +∞ −∞− +∞ ⋅ +∞ + + +∞

.

Με έναν ποιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο, εφόσον είδαμε παραπάνω ότι το όριο του αριθμητή της εξ. 11 υπάρχει, ενώ το όριο του παρονομαστή της απειρίζεται, μπορούμε να γράψουμε το όριο της εξ. 11 σαν γινόμενο, οπότε θα έχουμε διαδοχικά,

( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1lim 1 lim 11(1 ) 1 1x x

lx x xx x x xx x x x x→+∞ →+∞

= + + + ⋅ = + + + ⋅ ⋅ = −− + + + +

( )2 2

1 1 1 1 1lim 11 (1 1 )x x xx x x x x→+∞

= + + + ⋅ ⋅ = − + +

2 2

1 1 1 1 1 1lim 11 1 1 1x x xx x x x→+∞

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ − + +

.

Παρατηρούμε ότι υπάρχουν τα επιμέρους όρια των παραγόντων του παραπάνω ορίου, και κατά συνέπεια άμεσα λαμβάνουμε,

2 2

1 1 1 1 1 1lim 1 lim lim lim1 1 1 1x x x x

lx xx x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ = − + +

2 2 1

1 1 1 1 1 1lim lim 1 lim lim lim1 1 lim (1 ) 1x x x x x

xx xx x x x→+∞ →+∞ →+∞ − →−∞ →+∞

→+∞

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ = − + +

( ) 10 0 1 0 0 0 01 0 1

= + + + ⋅ ⋅ ⋅ =+ +

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Γράφοντας το ζητούμενο όριο εξ’ αρχής σαν έκφραση του 1 x και επειδή ισχύει 1 0xx →+∞ +→ , το ζητούμενο όριο μετασχηματίζεται και στη συνέχεια απλοποιούμενο δίνει,

2 2 21 0 0 0

2

1 1 1 1 1 11 11 1lim lim lim

1 11 11 1 1 11 11 1

x x x

xx x x x x xl

x xx xx xx x

+ + +→ → →

++ − + − −= = = =

+ + −+ − ++ − +



( ) ( )

2 220 0 0

1 1 1 1 11 1lim lim lim1 1 11 1 11

x x x

x x xxxx x x xx xx

xxx

+ + +→ → →

+ − + −+ −= = =

+ + − ++ + −+ −

.

Επειδή το όριο του αριθμητή υπάρχει, όπως και το όριο του παρονομαστή (και το οποίο είναι διάφορο του μηδενός), έχουμε άμεσα

( )( )

( )0

22

0

lim 1 1 0 1 0 1 0 010 1 0 1 0lim 1 1

x

x

x xl

x x x

+

+

→

→

+ − + −= = = =

−+ − ++ − +.


2

1lim , 1

a x

x al ax a x→+∞

+ −= ∀ ∈

+ − + ,


2

1( ) lim , 1

fa

x af x x Dx a a→±∞

+ −= ∀ ∈ ⊆

+ − + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει στον παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή είτε (επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή, οπότε λαμβάνουμε διαδοχικά

( )( )( )( )

2

2 2 2

1 11lim lim , 1 1 1

a x x

x a x a xx al ax a x x a x x a x→+∞ →+∞

+ − + + ++ −= = ∀ ∈ ⇒

+ − + + − + + + +

( )( ) ( )( )2 2

2

1 1 1 1lim lim ,

(1 ) 11a x x

x a x a x x a x a xl a

x x ax a x→+∞ →+∞

+ − + + + + − + + += = ∀ ∈

− + −+ − − .

Παρατηρούμε τώρα ότι το όριο είναι της απροσδιόριστης μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία διαιρώντας με 2x αριθμητή και παρονομαστή (ή γράφοντας το σαν έκφραση του 1 x και μετασχηματίζοντάς το στη συνέχεια, καθώς 1 0xx →+∞ +→ ), οπότε

( )( ) 22

2 2 22

2 2

1 1 11 1

lim lim(1 ) 1 1 11

a x x

a x a xx a x a xxx x xxl

x x a axx x

→+∞ →+∞

− + ++ − + + + − + = = =− + − −

− +



2 2 2

2

1 1 1 1 11lim ,

1 11x

ax xx x x

aa

x x→+∞

−− − + +

= ∀ ∈−

− + .. 11


( )( )2 2 2

2

1 1 1 1 1lim lim lim lim 1 lim 0 0 0 0 1 0

1 1 0 1 0lim 1 lim

x x x x x

a

x x

ax xx x x

la

x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

−− − + + − − + + = = ⇒

− − +− +

0 01al = =−

, a∀ ∈

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Γράφοντας το ζητούμενο όριο εξ’ αρχής σαν έκφραση του 1 x και επειδή ισχύει 1 0xx →+∞ +→ , το ζητούμενο όριο μετασχηματίζεται και στη συνέχεια απλοποιούμενο δίνει,

2 2 21 0 0 0

2

1 1 11 1 11lim lim lim

1 11 11 1 111 1

ax x x

axa ax x xlax x

aa x xx xx x

+ + +→ → →

++ − + − −= = = =

+ + −+ − ++ − +

( )

2 2 20 0 0

2

111lim lim lim

1 1 1 1 11x x x

ax xx ax xax xx

ax x x x ax xaxx xx

+ + +→ → →

+ −+ −+ −

= = =+ + + + − +

− + −

, a∀ ∈ .


( )( )

( )0 0 0

22

0 0 0

lim 1 lim lim 0 1 0 0 0 010 1 0 1 0lim 1 lim 1 lim

x x xa

x x x

x x xl

x x x

+ + +

+ + +

→ → →

→ → →

+ − + −= = = =

−+ − ++ − +, a∀ ∈ .



100 * 100

2

1( ) , , 1 aa f

x af x x D ax a x

−

+ −= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ = ∪

+ − + ,


100lim ( ) 0, a axl f x a

→+∞= = ∀ ∈ .



55

1100

--22

--55

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη 100, af a∀ ∈ ,, όόπποουυ 100lim 0, a a al f a→+∞

= ∀= ∈ ..

3f

3f−

Για τον υπολογισμό τώρα της οριακής συνάρτησης f , επειδή ήδη έχουμε βρει ότι

2

1lim 01

a x

x alx a x→+∞

+ −= =

+ − +, a∀ ∈ ,


2

1lim 01a

x ax a a→+∞

+ −=

+ − +, a∀ ∈ ,


2

1( ) lim 0, 1

fa

x af x x Dx a a→+∞

+ −= = ∀ ∈ =

+ − +

,

δηλ. η οριακή συνάρτηση f είναι η μηδενική στον , δηλ. ο άξονας των τετμημένων.


100 * 100

2

1( ) , , 1 aa f

x af x x D ax a a

−

+ −= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ = ∪

+ − + ,


( ) lim ( ) 0, aaf x f x x

→+∞= = ∀ ∈ .

grafeq: 99.95%

1

*

2

00

2

1( ) , , 1

1( ) , , 1

a

a

a

f

f

a

x af x x D ax

x a

a x

f x x D ax a x

−

+ −= ∀ ∈ ∀ ∈

+ − +

+ −= ∀ ∈ ∀ ∈

+ − +



55

1100

--22

--55

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη 100, af a∀ ∈ κκααιι ηη οορριιαακκήή lim 0a aff→+∞

= ≡ ..

3f

3f−

0f ≡


( )2lim 1 , a xl x x ax a

→−∞= − + − ∀ ∈ ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση.

( )2( ) lim 1 , a

f x a a ax x→−∞

= − + − ∀ ∈ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Μπορούμε να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο αναλύοντας διεξοδικά τις περιπτώσεις ύπαρξης ή απροσδιοριστίας άμεσα ή διαφορετικά έμμεσα φέρνοντας το όριο σε παραγοντική μορφή.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Καταρχήν, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που έχουμε *a −∈ το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ , ενώ διαφορετικά, δηλ. εάν a +∈ , το ζητούμενο όριο απειρίζεται, καθώς είναι άθροισμα δυο ορίων που αποκλίνουν στο +∞ , δηλ.

2 *lim 1 lim ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , a x xl x x a x a a +→−∞ →−∞

= − + − = +∞ − −∞ + − ⋅ −∞ = +∞ + +∞ = +∞ ∀ ∈ .. 11

Επομένως, μας απομένει να εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση, δηλ. της απροσδιοριστίας όταν *a −∈ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση της

συνάρτησης του ορίου είτε (επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ . Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τη συζυγή παράσταση, παίρνουμε

( )( )2 22 2

*

2 2

1 1 1 ( )lim lim , 1 1

a x x

x x ax x x ax x x axl ax x ax x x ax

−→−∞ →−∞

− + − − + + − + −= = ∀ ∈ ⇒

− + + − + +

2 2

2

(1 ) 1lim1

a x

a x xlx x ax→−∞

− − +=

− + +

*, a −∀ ∈ .

grafeq: 99.99%

100

*

2

2

1( ) , ,

1( ) , , 1

1

a

a

a

a f

fx af x

x af x x D ax

x D ax a x

a x

−

+ −= ∀ ∈ ∀ ∈

+ −

+ −= ∀ ∀

+

∈ ∈+ − +



Το παραπάνω όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ την οποία και άρουμε διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το x (ή γράφοντας το παραπάνω όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ ). Άρα λοιπόν,

2 2 2 22 2

2 2 2

222

(1 ) 1 (1 ) 1 1 1(1 ) 1 (1 ) 1lim lim lim lim

1 11 1 1 1a x x x x

a x x a x x a x a xx x x xl

x x a x x x x x aa a x xx xx

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

− − + − − +− − + − − +

= = = = −− + + − + − + − + −+ − +

−

. 22

Σημειώνουμε ότι καθώς x → −∞ έχουμε 0x < οπότε ισχύει 2x x= − . Το όριο του παρονομαστή του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς υπάρχουν τα επιμέρους όριά του, δηλ.

2 2

1 1 1 1lim 1 1 lim lim 1 0 0 1x x x

a a a ax xx x→−∞ →−∞ →−∞

− + − = − + − = − + − = − ,

και μάλιστα είναι διάφορο του μηδενός, καθώς δεν ισχύει 1 0a− = δηλ. 1 0a = > , γιατί εξ’ υποθέσεως *a −∈ . Από την άλλη το όριο του αριθμητή της εξ. 22 θα απειρίζεται εάν 21 0a− ≠ δηλ. 1a ≠ − (επειδή

εξ’ υποθέσεως *a −∈ ), και επομένως το ζητούμενο όριο της εξ. 22 θα απειρίζεται επίσης, καθώς

2 2

22

1 1lim (1 ) 1 (1 ) lim 1 lim

1 11 1 1 lim limlim 1

x x xa

x xx

a x a xx xlaa

x xx x

→−∞ →−∞ →−∞

→−∞ →−∞→−∞

− − + − − + = − = − =

− + +− + +

2(1 ) ( ) 1 0 1(1 ) ( )

1 1a a

a a

− − − ⋅ −∞ − += − = + ⋅ +∞ + + +

*, { 1} a −∀ ∈ − − ⇒

*

*

, ( 1,0), 1 0, ( , 1), 1 0

||a

aa al

aa a−

−

+∞ ∀ ∈ − +∞ ∀ ∈ + > = = −∞ ∀ ∈ −∞ −−∞ ∀ ∈ + <

. 33

Τέλος, εάν 1a = − , το όριο του αριθμητή της εξ. 22 υπάρχει, οπότε το ζητούμενο όριο εξ. 22 δίνει

1

22

1 1lim 0 1 1 lim 1 0 11 1 21 11 1 1 lim lim 1lim 1 1

x x

x xx

xx xl

x xx x

→−∞ →−∞−

→−∞ →−∞→−∞

⋅ − + − + − + = − = − = − =+

− + +− + +

. 44

Συγκεντρωτικά λοιπόν, βάσει των εξ. 11, 33 και 44, έχουμε

, ( , 1), ( , 1)

1 2, 11 2, 1

, ( 1,0), ( 1, )

, [0, )

a

aa

al a

aa

a

−∞ ∀ ∈ −∞ − −∞ ∀ ∈ −∞ − = − = = = − +∞ ∀ ∈ − +∞ ∀ ∈ − +∞ +∞ ∀ ∈ +∞

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Γράφοντας το ζητούμενο όριο σε μορφή παραγόντων, δηλ.

( )2 22 2

1 1 1 1lim 1 lim 1 lim 1a x x xl x x ax x ax x ax

x xx x→−∞ →−∞ →−∞

= − + − = − + − = − + − , a∀ ∈ ,



και καθώς x → −∞ έχουμε 0x < και άρα x x= − , οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται

2 2

1 1 1 1lim 1 lim 1a x xl x ax x a

x xx x→−∞ →−∞

= − − + − = − − + +

, a∀ ∈ . 55

Παρατηρούμε ότι το όριο του δεύτερου παράγοντα υπάρχει, καθώς υπάρχουν τα επιμέρους όρια αυτού, δηλ.

2 2

1 1 1 1lim 1 1 lim lim 1 0 0 1x x x

a a a ax xx x→−∞ →−∞ →−∞

− + + = − + + = − + + = + .

Επειδή όμως το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 55 απειρίζεται, θα απειρίζεται και το ζητούμενο όριο της εξ. 55, καθώς

[ ] *2 2

1 1 1 1lim 1 lim lim 1 ( ) (1 ) , { 1} a x x xl x a x a a a

x xx x −→−∞ →−∞ →−∞

= − − + + = − ⋅ − + + = − −∞ ⋅ + ∀ ∈ − − ⇒

sgn( 1) ( )al a= + ⋅ +∞*

*

, ( 1, ), 1 0, ( , 1), 1 0

||

aa aaa a

−

−

+∞ ∀ ∈ − +∞ +∞ ∀ ∈ + > = = −∞ ∀ ∈ −∞ −−∞ ∀ ∈ + <

, 66

υποθέτοντας ταυτόχρονα ότι 1 0a + ≠ , δηλ. 1a ≠ − , έτσι ώστε να μην εμφανίζεται απροσδιοριστία στην εξ. 55 της μορφή 0∞⋅ = ∞ ∞ .

Στην περίπτωση τώρα που 1a = − , η εξ. 55 θα εμφανίζει όπως είδαμε απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ , την οποία και άρουμε είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση της δεύτερου παράγοντα του ορίου είτε (επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ . Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τη συζυγή παράσταση, η εξ. 55 δίνει

2 22

1

2 2

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1lim lim

1 1 1 11 1 1 1x x

x xx x x xl x x

x xx x

− →−∞ →−∞

− + − − + + − + −

= − = − ⇒− + + − + +

2

1

2 2

1 1lim lim

1 1 1 11 1 1 1x x

x xxx xl

x xx x

− →−∞ →−∞

− −= − = −

− + + − + +.


1

2

1lim 1 0 1 121 1 1 0 0 11 lim lim 1

x

x x

xl

x x

→−∞−

→−∞ →−∞

− −= − = − =

− + +− + +

. 77

Συγκεντρωτικά λοιπόν, βάσει των εξ. 66 και 77, έχουμε



55

1100

--1100

--55

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1{ 1 }a kkf a

∈∀ ∈ − ±

,, όόπποουυ lim ( )a x al f x→−∞

= *, 1{ 1 }k

ka∈

∀ ∈ − ±

..

12

, ( , 1)1 2, 1

, ( 1, )a

al a

a

−∞ ∀ ∈ −∞ −= = −+∞ ∀ ∈ − +∞

.



{ } *2( ) 1 , , 1 1

aa f kf x x x ax x D a k

∈= − + − ∀ ∈ = ∀ ∈ − ±

,

γύρω δηλ. από την τιμή 1a = − , όπου παρατηρούμε ότι οριακά

{ } *lim ( ) , 1 1a a kxl f x a k

∈→−∞= = +∞ ∀ ∈ − +

και { } *lim ( ) , 1 1a a kxl f x a k

∈→−∞= = −∞ ∀ ∈ − −

,

καθώς και της 1

21( ) 1 , ff x x x x x D− = − + + ∀ ∈ = , για την οποία βλέπουμε ότι οριακά

1 11lim ( )2x

l f x→−∞

= = .


( )2

, ( , 1)lim 1 1 2, 1

, ( 1, )a x

al x x ax a

a→−∞

−∞ ∀ ∈ −∞ −= − + − = = −+∞ ∀ ∈ − +∞

,


( )2

, ( , 1)lim 1 1 2, 1

, ( 1, )a

xa a ax x

x→−∞

−∞ ∀ ∈ −∞ −− + − = = −+∞ ∀ ∈ − +∞

.


grafeq: 99.80%

{ }

{ } *

*

21

2

2

( ) 1 , ,

( ) 1 , ,

1

( ) 1

1

,

1

1

a k

a k

f x x x x

f x x x ax

f

x a

x x x ax x a

x

k

k∈

−

∈

= − +

= − + − ∀ ∈ ∀ ∈

= − + − ∀ ∈ ∀ ∈

+ ∀ ∈

−

−

−

+



55

1100

--1100

--55

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , af a −∀ ∈ κκααιι ηη οορριιαακκήή lim 1 2x af f→−∞

= ≡ ..

12

3f−

1 2f ≡

( )2 1( 1) lim 12a

f a a a→−∞

− = − + + = ,

ενώ η f δεν ορίζεται πουθενά αλλού, καθώς το πεδίο ορισμού της f είναι το μονοσύνολο { 1}fD = − , και άρα

12

f ≡ ,

οπότε το γράφημα της οριακής συνάρτησης f είναι το σημείο 2( 1,1 2)− ∈ .


2( ) 1 , , aa ff x a a ax x D a −= − + − ∀ ∈ = ∀ ∈ ,


lim ( ) , ( , 1)aaf x x

→−∞= −∞ ∀ ∈ −∞ − και lim ( ) , ( 1, )aa

f x x→−∞

= +∞ ∀ ∈ − +∞ ,

καθώς και

1( 1) lim ( 1)2aa

f f→−∞

− = − = ή 12

f ≡ .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..22..2222.. Να προσδιοριστούν οι παράμετροι ,a b∈ , έτσι ώστε

( )2lim 2 5 0x

x x ax b→+∞

− + − − = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Μπορούμε να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο αναλύοντας διεξοδικά τις περιπτώσεις ύπαρξης ή απροσδιοριστίας άμεσα ή διαφορετικά έμμεσα φέρνοντας το όριο σε παραγοντική μορφή.

grafeq: 99.91%

2( ) 1 , , af x x x ax x a −= − + − ∀ ∈ ∀ ∈

1−



ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Καταρχήν, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που έχουμε *a +∈ το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ , ενώ διαφορετικά, δηλ. εάν a −∈ , το ζητούμενο όριο απειρίζεται, καθώς είναι άθροισμα δυο ορίων που αποκλίνουν στο +∞ , δηλ.

( )2 2, lim 2 5 lim 2 5 lima b x x x

l x x a xb x x a x b→+∞ →+∞ →+∞

= − + − − = − + − − =

lim ( 2 )5 lim ( ) 5 ( ) ( ) ( ) , x x

x x a x b a b a −→+∞ →+∞ − + − − = +∞ + − ⋅ +∞ − = +∞ + +∞ = +∞ ∀ ∈ .

Επειδή όμως επιθυμούμε την ύπαρξη του ορίου, μας απομένει να εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση, δηλ. της απροσδιοριστίας όταν *a +∈ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση της συνάρτησης του ορίου είτε (επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ . Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τη συζυγή παράσταση, παίρνουμε

( )( )2 22 2

, 2 2

2 5 2 5 2 5 ( )lim lim2 5 2 5

a b x x

x x ax b x x ax b x x ax blx x ax b x x ax b→+∞ →+∞

− + − − − + + + − + − += =

− + + + − + + +.

Το παραπάνω όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ την οποία και άρουμε διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το x (ή γράφοντας το παραπάνω όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ ). Άρα λοιπόν,

222 2

2

, 2 2 2

22

55 ( )2 5 ( ) 22lim lim lim

2 5 2 5 2 5a b x x x

ax bax bx x ax b xx x xxx xlx x a xb x x b x x ba a

x x xxx

→+∞ →+∞ →+∞

+ +− + − + − + −− + − = = = =

− + + + − + − ++ + + +

22

2

2 2

5 52 2 2lim lim

2 5 2 51 1x x

b bx a x x a x abx x x xb ba a

x x x xx x

→+∞ →+∞

− + − + − + − − −

= = =− + + + − + + +

22

2

5(1 ) 2 2lim

2 51x

bx a abx

bax xx

→+∞

−− + − −

=− + + +

*, , a b+∀ ∈ ∀ ∈ . 22

Σημειώνουμε ότι καθώς x → +∞ έχουμε 0x > οπότε ισχύει 2x x x= = . Το όριο του παρονομαστή του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς υπάρχουν τα επιμέρους όριά του, δηλ.

2 2

2 5 2 5lim 1 1 lim lim lim 1 0 0 0 1x x x x

b ba a a ax x x xx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + + + = − + + + = − + + − = + ,

και μάλιστα είναι διάφορο του μηδενός, καθώς δεν ισχύει 1 0a+ = δηλ. 1 0a = − < , γιατί εξ’ υποθέσεως *a +∈ . Από την άλλη το όριο του αριθμητή της εξ. 22 θα απειρίζεται εάν 21 0a− ≠ δηλ. 1a ≠ (επειδή

εξ’ υποθέσεως *a +∈ ), πράγμα όμως που δεν επιθυμούμε. Θα πρέπει λοιπόν 1a = , οπότε υπάρχουν τα όρια αριθμητή και παρονομαστή της εξ. 22 η οποία έτσι μας δίνει άμεσα,



2

1,

2

50 lim 2 2 0 0 2 2 122 51 lim lim 1 lim

xb

x x x

b b bxl bb

x xx

→+∞

→+∞ →+∞ →+∞

−+ − − + − −

= = = − −− + + +

, b∀ ∈ .

Επειδή εξ’ υποθέσεως πρέπει , 0a bl = , από την προηγούμενη σχέση, πρέπει τελικά 1b = − . Άρα λοιπόν για τις τιμές 1a = και 1b = − το όριο της άσκησης θα μηδενίζεται.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Γράφοντας το ζητούμενο όριο σε μορφή παραγόντων, δηλ.

( )2 2, 2 2

2 5 2 5lim 2 5 lim 1 lim 1a b x x xl x x ax b x ax b x ax b

x xx x→+∞ →+∞ →+∞

= − + − − = − + − − = − + − − ,

και καθώς x → +∞ έχουμε 0x > οπότε x x= , οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται

, 2 2

2 5 2 5lim 1 lim 1a b x x

bl x ax b x ax x xx x→+∞ →+∞

= − + − − = − + − −

, ,a b∀ ∈ . 33

Παρατηρούμε ότι το όριο του δεύτερου παράγοντα υπάρχει, καθώς υπάρχουν τα επιμέρους όρια αυτού, δηλ.

2 2

2 5 1 1 1lim 1 1 2 lim 5 lim lim 1 0 0 0 1x x x x

ba a b a ax x x xx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + − − = − + − − = − + − − = −

.

Επειδή όμως το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 33 απειρίζεται, θα απειρίζεται και το όριο της εξ. 33, υποθέτοντας ταυτόχρονα 1 0a− ≠ , δηλ. 1a ≠ , έτσι ώστε να μην εμφανίζεται απροσδιοριστία στην εξ. 33 της μορφή 0∞⋅ = ∞ ∞ . Επειδή όμως επιθυμούμε την ύπαρξη του ζητούμενου ορίου, θα πρέπει

1a = , οπότε το όριο της εξ. 33 θα εμφανίζει όπως είδαμε απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ , την οποία και άρουμε είτε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση της δεύτερου παράγοντα του ορίου αυτού είτε (επειδή έχουμε όριο στο άπειρο) γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση του 1 x , μετασχηματίζοντάς το, καθώς 1 0xx →+∞ +→ . Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τη συζυγή παράσταση, η εξ. 33 δίνει

2

2 2 2

1,

2 2

2 5 2 5 2 51 1 1 1 1 1lim lim ,

2 5 2 51 1 1 1b x x

b b bx x x xx x x xxl x x b

b bx x x xx x

→+∞ →+∞

− + − − − + + + − + − + = = ∀ ∈ ⇒

− + + + − + + +

2 2

2 2

1,

2 2

2 5 2 51 1 2 2lim lim

2 5 2 51 1 1 1b x x

b b bx bx xx x x xlb b

x x x xx x

→+∞ →+∞

− + − − − − + − −

= =− + + + − + + +

, b∀ ∈ .




2

1,

2

52 lim 2 lim 2 0 2 0 12 5 1 0 0 1 01 lim lim 1 lim

x xb

x x x

bb bx xl bb

x xx

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞

− + − − − + − −= = = − −

− + + +− + + +

, b∀ ∈ . 77

Επειδή εξ’ υποθέσεως πρέπει , 0a bl = , από την προηγούμενη σχέση, πρέπει τελικά 1b = − . Άρα λοιπόν για τις τιμές 1a = και 1b = − το όριο της άσκησης θα μηδενίζεται.

22..33.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς μμεε χχρρήήσσηη ΑΑππόόλλυυττωωνν ΦΦρρααγγμμάάττωωνν

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ :: Όταν το ζητούμενο όριο στο άπειρο εμπεριέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις, προσπαθούμε να φράξουμε απολύτως τη συνάρτηση του ορίου με μια συνάρτηση μηδενικού ορίου. Στην περίπτωση αυτή (και λόγω γνωστού θεωρήματος) η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου θα συγκλίνει απόλυτα στο μηδέν και επομένως το ζητούμενο όριο είναι το μηδέν.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ :: Στην περίπτωση απροσδιοριστίας της μορφής 00 μπορούμε να φέρουμε τη συνάρτηση του ορίου στη μορφή lne και να κάνουμε χρήση της λογαριθμικής ανισότητας

*ln 1, x x x +≤ − ∀ ∈ . Εάν η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου φράσσεται απολύτως από συνάρτηση μηδενικού ορίου, θα έχουμε (σύμφωνα με γνωστό θεώρημα), ότι και το ζητούμενο όριο συγκλίνει στο μηδέν.


2

sin 4lim3x

xlx x→+∞

=−

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Επειδή το ζητούμενο όριο στο άπειρο εμπεριέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις, προσπαθούμε να φράξουμε απολύτως τη συνάρτηση του ορίου με μια συνάρτηση μηδενικού ορίου.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, παρατηρούμε ότι

2 2

sin 4 13 3

xx x x x

≤− −

,,

καθώς και ότι

2

1 1 1 1 1 1lim lim lim lim lim 0 0 0(3 ) 3 33x x x x xx x x x x xx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = = ⋅ = ⋅ = − − −−

.

Εξαιτίας των παραπάνω (όπου η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου φράσσεται απολύτως από συνάρτηση μηδενικού ορίου), θα έχουμε, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, ότι και

2 2

sin 4 1lim lim 03 3x x

xlx x x x→+∞ →+∞

= = =− −

.

Επειδή το παραπάνω όριο συγκλίνει απόλυτα θα συγκλίνει και το ζητούμενο, δηλ. 0l = .


22..33.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς μμεε χχρρήήσσηη ΑΑπποολλύύττωωνν ΦΦρρααγγμμάάττωωνν 55


sin 5lim1 1x

xlx x→+∞

=− − +

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Επειδή το ζητούμενο όριο στο άπειρο εμπεριέχει τριγωνομετρική συνάρτηση πρέπει (όπως κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις) να φράξουμε απολύτως τη συνάρτηση του ορίου με μια συνάρτηση μηδενικού ορίου. Παρατηρούμε λοιπόν, ότι η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου φράσσεται απόλυτα από την

*sin 5 1 , 1 1 1 1

x xx x x x

≤ ∀ ∈− − + − − +

. 11

Εάν η συνάρτηση στο δεύτερο μέλος της ανισότητας έχει μηδενικό όριο τότε (βάση γνωστού θεωρήματος) και το ζητούμενο όριο θα συγκλίνει απόλυτα στο μηδέν, και κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο θα είναι το μηδέν .

Το όριο

1lim1 1x x x→+∞ − − +

,

έχει στον παρονομαστή απροσδιοριστία της μορφής ∞−∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με αυτή, οπότε

( )( )1 1 1 1 1lim lim lim

1 11 1 1 1 1 1x x x

x x x xx xx x x x x x→+∞ →+∞ →+∞

− + + − + += = ⇒

− − −− − + − − + − + +

1 1 1 1 1 1 1lim lim lim 2 21 1x x x

x x x xx x xx x→+∞ →+∞ →+∞

− + + − += = + ⇒

− − +

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim2 21 1x x x

x xx xx x x xx x→+∞ →+∞ →+∞

− += + = − + +

− − +. 22

Επειδή υπάρχουν τα όρια των δύο όρων του παραπάνω αθροίσματος, καθώς

2 2

1 1 1 1lim lim lim 0x x xx xx x→+∞ →+∞ →+∞

− = − =

, και

2 2

1 1 1 1lim lim lim 0x x xx xx x→+∞ →+∞ →+∞

+ = + =

,

τότε αυτό υπάρχει, οπότε η εξ. 22 δίνει άμεσα

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim 0 0 02 2 2x x xx x x xx x x x→+∞ →+∞ →+∞

− + + = − + + = + =

.



Εξαιτίας, τέλος, της ανισότητας εξ. 11, και επειδή το παραπάνω όριο συγκλίνει στο μηδέν, συμπεραίνουμε άμεσα ότι μηδενίζεται και το όριο

sin 5lim 01 1x

xx x→+∞

=− − +

.

Επειδή το παραπάνω όριο συγκλίνει απόλυτα στο μηδέν θα συγκλίνει και το ζητούμενο, δηλ. 0l = .


*sin sin 2 ...sinlim , n nx

x x nxl nx→+∞

= ∀ ∈ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Επειδή το ζητούμενο όριο στο άπειρο εμπεριέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις, προσπαθούμε να φράξουμε απολύτως τη συνάρτηση του ορίου με μια συνάρτηση μηδενικού ορίου.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, παρατηρούμε ότι

sin sin 2 ...sin 1n n

x x nxx x

≤ *, n∀ ∈ ,,

καθώς και ότι

1lim 0nx x→+∞= *, n∀ ∈ .

Εξαιτίας των παραπάνω (όπου η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου φράσσεται απολύτως από συνάρτηση μηδενικού ορίου), θα έχουμε, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, ότι και

sin sin 2 ...sinlim 0n nx

x x nxlx→+∞

= = *, n∀ ∈ .

Επειδή το παραπάνω όριο συγκλίνει απόλυτα θα συγκλίνει και το ζητούμενο, δηλ. σε κάθε περίπτωση *0, nl n= ∀ ∈ .


0lim x

xl x

+→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 . Φέρνουμε τη συνάρτηση του ορίου στη μορφή

[ ]( )ln ( )( )( ) sg n ( )

g xf xg xf x f x e= ,

και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα των λογαρίθμων *ln ln , ,ba b a a b += ∀ ∈ ,

[ ] ( ) ln ( )( )( ) sg n ( ) g x f xg xf x f x e= .

Έτσι, εάν υπάρχει το όριο του παραπάνω εκθέτη, θα υπάρχει και το ζητούμενο όριο.


22..33.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς μμεε χχρρήήσσηη ΑΑπποολλύύττωωνν ΦΦρρααγγμμάάττωωνν 57

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θα έχουμε ότι

ln( ) ln ln

0 0 0 0lim lim (sgn ) lim ( 1) lim

xxx x x x x

x x x xl x x e e e

+ + + +→ → → →= = = + = .. 11

Με χρήση της γνωστής ανισότητας *ln 1, x x x +≤ − ∀ ∈ , το απόλυτο φράγμα το παραπάνω εκθέτη δίνει

ln ln 1x x x x x x= ≤ − ,

αλλά επειδή

0lim 1 0x

x x+→

− = ,

επειδή δηλ. η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου φράσσεται απολύτως από συνάρτηση μηδενικού ορίου), θα έχουμε, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, ότι και

0 0 0lim ln 0 lim ln 0 lim ln 0x x x

x x x x x x+ + +→ → →

= ⇒ = ⇒ = .

Εφόσον λοιπόν υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 11, το ζητούμενο όριο θα δίνει άμεσα

0lim ln

ln 0

0lim 1x

x xx x

xl e e e+→

+→= = = = .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..33..55.. Να υπολογιστεί το όριο: 1 cos

0lim sin x

xl x

+

−

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 . Φέρνουμε τη συνάρτηση του ορίου στη μορφή

[ ]( )ln ( )( )( ) sg n ( )


και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα των λογαρίθμων *ln ln , ,ba b a a b += ∀ ∈ ,



Στη συγκεκριμένη περίπτωση, θα έχουμε ότι 1 cosln sin1 cos (1 cos ) ln sin (1 cos ) ln sin

0 0 0 0lim sin lim (sgn sin ) lim ( 1) lim

xxx x x x x

x x x xl x x e e e

−

+ + + +

− − −

→ → → →= = = + = . 11

Με χρήση της γνωστής ανισότητας *ln 1, x x x +≤ − ∀ ∈ , το απόλυτο φράγμα το παραπάνω εκθέτη δίνει

(1 cos ) ln sin (1 cos ) ln sin (1 cos ) sin 1x x x x x x− = − ≤ − − ,

αλλά επειδή

0lim (1 cos ) sin 1 0x

x x+→

− − = ,



τότε και

0 0 0lim (1 cos ) ln sin 0 lim (1 cos ) ln sin 0 lim (1 co s ) ln sin 0x x x

x x x x x x+ + +→ → →

− = ⇒ − = ⇒ − = .

Εφόσον λοιπόν υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 11, το ζητούμενο όριο θα δίνει άμεσα

0lim (1 cos ) ln sin

(1 cos ) ln sin 0

0lim 1x

x xx x

xl e e e+→

+

−−

→= = = = .

22..44.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 11 ∞ μμεε χχρρήήσσηη ττοουυ ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ::

( )1

0lim 1 lim 1 ,

xkx

x x

k kx e kx→±∞ →

+ = + = ∀ ∈

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία 1∞ , αναγόμενοι σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→±∞

+ ∈

, όπου 0 ,( ) x xg x

±→ ±∞→±∞ .

οπότε, λόγω του γνωστού ορίου,

lim 1 , x

k

x

k e kx→±∞

+ = ∀ ∈

,

συμπεραίνουμε την οριακή σύγκλιση των εκφράσεων αυτών, καθώς

( ) ( )

( )lim 1 lim 1

( ) ( )

g x g xk

x g x

k k eg x g x→±∞ →±∞

+ = + =

.

Αν, για παράδειγμα, έχουμε εκφράσεις

( )

lim 1 , ( )

f x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

τότε γράφοντας το όριο σαν

( )( ) ( )( )

lim 1 lim 1( ) ( )

f xf x g xg x

x x

k kg x g x→+∞ →+∞

+ = +

,

και με χρήση της γνωστής εκθετικής ταυτότητας * *( ) , , ,bc b ca a a b c+= ∀ ∈ ∀ ∈ , παίρνουμε

( )( ) ( ) ( )

lim 1 lim 1( ) ( )

f xf x g x g x

x x

k kg x g x→+∞ →+∞

+ = +

.

Έτσι, εάν το όριο της f στο +∞ συγκλίνει, τότε δεν παρουσιάζεται απροσδιοριστία ∞ ∞ στο εκθέτη,

οπότε άμεσα


22..44.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 1∞ μμεε χχρρήήσσηη ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ 59

( )

( )lim( ) ( ) 1 1( ) lim lim ( ) lim lim ( )( )lim 1 lim 1 ( ) ( )

( ) ( )

xg x x x x

f xf x g x g x f x f x

g xk k x

x x

k k e eg x g x

→+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⋅ ⋅

→+∞ →+∞

+ = + = = =

0 lim ( ) 0( ) ( ) 1xf xk ke e→+∞

⋅= = = ,

ενώ, εάν το όριο της f στο +∞ αποκλίνει, παρουσιάζεται απροσδιοριστία ∞ ∞ στο εκθέτη, την οποία και άρουμε (συνήθως με απλοποίηση). Αν λοιπόν

( )lim( )x

f xg x→+∞

∈ ,

το όριο υπολογίζεται άμεσα,

( )lim( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim( ) ( )lim 1 lim 1 ( )

( ) ( )

x

x x

f xf x g x f x f xg x k

k g x g x

x x

k k e eg x g x

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

+ = + = =

,

ενώ αν

( )lim( )x

f xg x→+∞

= ±∞ ,

φέρνοντας το όριο στη μορφή lne (καθώς τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης της συνάρτησης του ορίου μας αποτελούνται από συναρτήσεις), θα έχουμε

( )( ) ( ) ( )( ) ( )ln 1 ln 1( ) ( ) ( )lim 1 lim sgn 1 ( 1) lim

( ) ( )

f xg x g x g xkf x f x k

g x g x g x

x x x

k k e eg x g x

+ +

→+∞ →+∞ →+∞

+ = + = ±

.

Επειδή,

( ) ( ) ( )

( ) ( )lim ln 1 lim lim ln 1 ( ) ln lim 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g x g x g x

x x x x

f x k f x k kg x g x g x g x g x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ = ⋅ + = ±∞ ⋅ + =

( ) ln ( ) sg n () ( )ke k k= ±∞ ⋅ = ±∞ ⋅ = ⋅ ±∞ ,

παίρνουμε τελικά

( )

( )

( )( ) ln 1( ) ( )

sgn( ) ( )( ) ln 1 sgn( ) ( )( ) ( )

lim 1 ( 1) lim ( 1) lim {0, }( )

g x

g x

f x kf xg x g x x

x x kf x k kg x g x

k e eg x

+

→+∞ → ⋅ ±∞ + → ⋅ ±∞

+ = ± = ± ∈ ±∞

.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ :: Αντίστοιχα, μπορούμε να άρουμε την απροσδιοριστία 1∞ , αναγόμενοι σε έκφραση του ορίου της μορφής

[ ]1( )

0lim 1 ( ) , g xx

kg x k±→

+ ∀ ∈ , όπου 0 ,( ) 0x xg x±→ ±∞ ±→ ,

οπότε, λόγω του γνωστού ορίου,



( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ ,

συμπεραίνουμε την οριακή σύγκλιση των εκφράσεων αυτών, καθώς

1 1( ) ( )

0 ( ) 0lim[1 ( )] lim [1 ( )] , kg x g x

x g xkg x kg x e k

± ±→ →+ = + = ∀ ∈ .

Αν, για παράδειγμα, έχουμε εκφράσεις

( )

0lim[1 ( )] , f x

xkg x k

+→+ ∈ , όπου 0( ) 0xg x

±→ +→ .

τότε γράφοντας το όριο σαν

( )( )( )

0lim[1 ( )]

f xg xg x

xkg x

+→+ ,

και με χρήση της γνωστής εκθετικής ταυτότητας * *( ) , , ,bc b ca a a b c+= ∀ ∈ ∀ ∈ , παίρνουμε

{ }( ) ( )( )

( )( ) ( )0 0

lim[1 ( )] lim [1 ( )]f x f xg x

g xg x g xx x

kg x kg x+ +→ →

+ = + .

Έτσι, εάν το όριο της f στο 0+ συγκλίνει και είναι μη-μηδενικό, τότε δεν παρουσιάζεται απροσδιοριστία ∞ ∞ στο εκθέτη, οπότε άμεσα

{ } ( ) 0 00

1( ) lim lim ( )lim ( )( ) ( ) ( )0 0

lim[1 ( )] lim [1 ( )] ( ) g x xx

f x f xg xf x g x kg x

x xkg x kg x e + +→ →+→

+ +

⋅

→ →+ = + = =

0

( ) lim ( )( ) {0, }x

f xke e+→

±∞ ⋅±∞= = ∈ +∞ ,

ενώ, εάν το όριο της f στο 0± είναι μηδενικό, παρουσιάζεται απροσδιοριστία ∞ ∞ στο εκθέτη, την οποία και άρουμε (συνήθως με απλοποίηση). Τέλος, εάν το όριο της f στο 0± αποκλίνει, το όριο του εκθέτη προφανώς θα αποκλίνει και αυτό, οπότε

{ } ( ) 0 00

1( ) lim lim ( )lim ( )( ) ( ) ( )0 0

lim[1 ( )] lim [1 ( )] ( ) g x xx

f x f xg xf x g x kg x

x xkg x kg x e + +→ →+→

+ +

⋅

→ →+ = + = =

( ) ( )( ) {0, }ke e±∞ ⋅ ±∞ ±∞= = ∈ +∞ .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..44..11.. Να υπολογιστεί το όριο: 16lim

3

x

x

xlx

−

→+∞

− = + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ . και μπορεί να επιλυθεί με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή και στον εκθέτη (ή διαφορετικά, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x σε αριθμητή και παρονομαστή), οπότε παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής



( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα με τον τρόπο αυτό (που μερικές φορές δεν είναι και ο ευκολότερος), διαιρούμε τη ρητή παράσταση εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή, οπότε έχουμε διαδοχικά

1 1 16 3 3 6 9lim lim lim 13 3 3

x x x

x x x

x xlx x x

− − −

→+∞ →+∞ →+∞

− + − − = = = − + + + .

Στη συνέχεια εμφανίζουμε το διώνυμο του παρονομαστή στο διώνυμο του εκθέτη, δηλ.

1 3 3 1 3 49 9 9 9lim 1 lim 1 lim 1 13 3 3 3

x x x

x x xl

x x x x

− − − + + − −

→+∞ →+∞ →+∞

= + = + = + + − − − − − − − − .. 11

Τα όρια των δύο παραγόντων της εξ. 11, δηλ.

39lim 13

x

x x

− −

→+∞

+ − − και

49lim 13x x→+∞

+ − −

υπάρχουν, καθώς το πρώτο είναι της μορφής

lim 1 , x

k

x

k e kx→+∞

+ = ∀ ∈

,

ενώ το δεύτερο υπολογίζεται άμεσα. Άρα λοιπόν, από τη σχέση εξ. 11, και επειδή 3 xx →+∞+ →+∞ , παίρνουμε διαδοχικά

3 4 4

3

9 9 1 1lim 1 lim 1 lim 1 9 lim 3 3 391

3

x

xx x x xl

x x xx

− −

+→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= + ⋅ + = ⋅ + ⇒ − − − − − − − + +

( )4 93 3 9

3

1 1 1 11 09 9 9lim 1 lim 1 lim 13 3

x x x

x x x

l ee

x x x

+ + −

→+∞ + →+∞ →+∞

= ⋅ + = = = =− − − + + + + +

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x σε αριθμητή και παρονομαστή, οπότε παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα με τον τρόπο αυτόν (που είναι γενικά ευκολότερος από τον πρώτο), παίρνουμε σε πρώτη φάση διαδοχικά

1 1

1 1 16 61 16 6 3lim lim lim lim 1 1

333 11

x x

x x x

x x x x

xx x xlx x xx

xx

− −

− − −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − = = = = − + ⇒ + ++



16 6 3 3lim 1 1 1 1x x

xl

x x x x

− −

→+∞

= − − + +

. 22

Εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους γνωστά όρια

66

6 1 1 1lim 1 lim6 61 lim 1

x

x xx x

x

ex e

x x

−

−→+∞ →+∞

→+∞

− = = = = − − + +

,

33lim 1x

xe

x→+∞

+ =

,

καθώς και τα απλά όρια

6 1lim 1 1 6 lim 1 0 1x xx x→+∞ →+∞

− = − = − =

,

1 113 1lim 1 1 3 lim (1 0) 1

x xx x

− −−

→+∞ →+∞

+ = + = + =

,

το όριο εξ. 22 υπάρχει και, σύμφωνα με τα παραπάνω, είναι

16 3 96 6 3 3lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 1

x x

x x x xl e e e

x x x x

− −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ =

.


2 3lim2 3

x

x

xlx

−

→+∞

−=

+.


ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή και στον εκθέτη (ή διαφορετικά, βγάζοντας κοινό παράγοντα το 2x σε αριθμητή και παρονομαστή), οπότε παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο (που μερικές φορές δεν είναι και ο ευκολότερος), διαιρούμε τη ρητή παράσταση εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή της βάσης και στον εκθέτη, οπότε έχουμε διαδοχικά

1 1 1 1 (2 2) 3 31 22 2 2 2 22 3 2 3 3 3 6 6lim lim lim 1 lim 1

2 3 2 3 2 3 2 3

x x xx

x x x x

x xlx x x x

− − − + −− ⋅ ⋅

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + − − = = = − = − ⇒ + + + +



1 1 5 51 4(2 3 5) (2 3) 2 34 4 4 46 6 6 6lim 1 lim 1 lim 1 1

2 3 2 3 2 3 2 3

x x x

x x xl

x x x x

⋅ + − ⋅ + − + −

→+∞ →+∞ →+∞

= − = − = − − + + + + .. 11

Τα όρια των δύο παραγόντων του παραπάνω γινομένου υπάρχουν, καθώς για τον πρώτο παράγοντα, επειδή 2 3 xx →+∞+ →+∞ ,

1 4 1 4 1 42 3 2 3

2 3

6 6 6lim 1 lim 1 lim 12 3 2 3

x x x

x x xx x x

+ +

→+∞ + →+∞ →+∞

− = − = − = + +

6 1 4 3 2( )e e− −= ,

ενώ για τον δεύτερο, έχουμε άμεσα

5 5 5 554 4 4 44

2 3

6 1 1 1lim 1 1 6 lim 1 6 lim 1 6 lim (1 6 0) 12 3 2 3 2 3x x x xx x x x

− − − −−

→+∞ →+∞ + →+∞ →+∞

− = − = − = − = − ⋅ = + + + .

Λόγω της ύπαρξης των παραπάνω ορίων, υπολογίζουμε το ζητούμενο όριο καθώς η εξ. 11 δίνει άμεσα

51 42 34 3 2 3 26 6lim 1 lim 1 1

2 3 2 3

x

x xl e e

x x

+ −− −

→+∞ →+∞

= − ⋅ − = ⋅ = + + .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία της βάσης, διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με 2x (ή αλλιώς βγάζοντας το 2x κοινό παράγοντα), οπότε παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .


1 21 1 21 122 2

1 1 2 1 22

3 2 3 232 3 3 1 111 22 2lim lim lim lim2 3 3 3 2 3 21 3 1 112 2 2

x xx x

xx x x x x

xx xxx xl

xx x x xx

− −− −

−→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ −

− − − −− = = = = + + + ++

. 22

Εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους γνωστά όρια

1 2 1 2

3 2 1 2 3 43 2 3 2lim 1 lim 1 ( )x x

x xe e

x x± ±

→+∞ →+∞

± = ± = =

,

καθώς και τα

1 2 1 2 1 23 2 3 1 3lim 1 1 lim 1 0 12 2x xx x

− − −

→+∞ →+∞

± = ± = ± ⋅ =

,

το ζητούμενο όριο της εξ. 22 επίσης θα υπάρχει, καθώς σύμφωνα με τα παραπάνω όρια, η εξ. 22 δίνει άμεσα



1 2 1 2

3 43 4 (3 4) 3 2

1 2 3 41 2

3 2 3 2lim 1 lim 1113 2 3 2lim 1 lim 1

x

x x

x

x x

x x el e ee

x x

−

−→+∞ →+∞− + −

−

→+∞ →+∞

− ⋅ − ⋅ = = = =

⋅ + ⋅ +

.


21lim , 2

x

a x

axl ax

−

→+∞

− = ∀ ∈ + .


ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή και στον εκθέτη (ή διαφορετικά, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x σε αριθμητή και παρονομαστή), οπότε παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα με τον τρόπο αυτό (που μερικές φορές δεν είναι και ο ευκολότερος), διαιρούμε τη ρητή παράσταση εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή, οπότε έχουμε διαδοχικά

2 2( 2) 2 1 2 1lim lim2 3

x x

a x x

a x a al ax x

− −

→+∞ →+∞

+ − − + = = − + + , a∀ ∈ .

Για να εκφράσουμε όμως το ζητούμενο όριο στη μορφή

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

,

πρέπει να βγάλουμε κοινό παράγοντα το a , υποθέτοντας ότι *a∈ . Έχουμε λοιπόν διαδοχικά

2 22(2 1) 2 1lim 1 lim 1

2 2

x xx

a x x

a a al a ax x

− −−

→+∞ →+∞

+ + = − = − + + *, a∀ ∈ . 11

Το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 11, συγκλίνει, καθώς

2 2 4 4

2

2 1 2 1 2 1lim 1 lim 1 lim 12 2

x x x

x x x

a a ax x x

− + − −

→+∞ + →+∞ →+∞

+ + + − = − = − = + +

4442 1 2 1 2 1lim 1 lim 1 lim 1

xx xx x x xx x

x x x

a a ax x x

−−−

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = − = − = −

*, a∀ ∈ .

Επειδή λοιπόν το όριο της βάσης συγκλίνει άμεσα,



(2 1 )2 1lim 1 0x

a

x

a ex

− +

→+∞

+ − = ≠

*, a∀ ∈ ,

όπως και το όριο του εκθέτη,

2 2 2

4 4 1 4 1 1lim lim lim lim 4 limx x x x x

x xx x xx x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − = = + = + =

2 2

10 4 lim 0 4 0 0x x→+∞

= + = + ⋅ =

,

άρα λοιπόν

4lim20(2 1 )2 1 2 1lim 1 lim 1 1

2

x

xx x x

a

x x

a a ex x

→+∞

−−

− +

→+∞ →+∞

+ + − = − = = +

*, a∀ ∈ .

Για το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 11, έχουμε

2 2

2

, ( , 1)lim lim lim 0, ( 1,0) (0,1)

, (1, )

x x x

x xx

aa a a a

a

− −

→+∞ →+∞− →+∞

−∞ ∀ ∈ −∞ −= = = ∀ ∈ − ∪+∞ ∀ ∈ +∞

,

και για την περίπτωση 1a = ± λαμβάνουμε

ln 1 ln1 0 0lim ( 1) lim sgn( 1) lim lim 1xx x x

x x x xe e e e± ⋅

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞± = ± = ± = ± = ± = ± .

Άρα λοιπόν, λόγω των παραπάνω, το ζητούμενο όριο της εξ. 11, δίνει άμεσα

( )2 2

2

, ( , 1)1, 1

2 1 2 1lim lim 1 1 lim 1 0, ( 1,0) (0,1)2 2

1, 1, (1, )

x xx

a x x x

aa

a al a ax x

aa

− −−

→+∞ →+∞ →+∞

−∞ ∀ ∈ −∞ −− = −+ + = ⋅ − = ⋅ − = ∀ ∈ − ∪ + + =+∞ ∀ ∈ +∞

.


( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .


2 2

21 1

1lim lim lim222 11

x x

x

a x x x

x a aax x xlx x

xx

− −

−

→+∞ →+∞ →+∞

− − − = = = = + ++



2 21 2lim 1

x x

xa

x x

− −

→+∞

= − +

, a∀ ∈ . 22

Όπως και στην Επίλυση Ι, για να υπολογίσουμε το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 22 φέρνοντάς το στη μορφή

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

,

πρέπει να βγάλουμε κοινό παράγοντα το a , υποθέτοντας ότι *a∈ . Έχουμε λοιπόν

2 221 1lim 1 lim 1

x xx

a x xl a a

x x

− −−

→+∞ →+∞

= − = − *, a∀ ∈ ,

και εργαζόμενοι αντίστοιχα με την Επίλυση Ι, λαμβάνουμε διαδοχικά

2122

2 2 21 1 1lim 1 lim 1 lim 1

xx xxx x xx xxx x xa x x x

l a a ax x x

−−−

− − −

→+∞ →+∞ →+∞

= − = − = − =

( )

1 11 2 1 2

2 21 1lim 1 lim lim 1x xx xx x

x x

x x xa a

x x

− −

− −

→+∞ →+∞ →+∞

= − = ⋅ − =

( ) ( ) 0 1 0

1lim 1 2

2 ( 1) 0

2

1lim lim 1 lim lim limx

xx xx x x x

x x x xxa a e e a a

x

→+∞⋅ −

−

− −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞− →+∞

= ⋅ − = ⋅ = =

*, a∀ ∈ ⇒

, ( , 1)1, 1

0, ( 1,0) (0,1)1, 1

, (1, )

a

aa

l aa

a

−∞ ∀ ∈ −∞ −− = −= ∀ ∈ − ∪ =+∞ ∀ ∈ +∞

.


Για την περίπτωση τώρα 0a = , το ζητούμενο όριο δίνει,

22 2 1 1ln 2 ln2 20

0 1 1 1lim lim lim sgn lim2 2 2

xx xxx x

x x x x

xl e ex x x

−− −− −+ +

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⋅ − = = − = − = − + + + . 33

Ωστόσο,

1 2

2lim 2 lim 2 lim ( )x x x

x x x→+∞ + →+∞ →+∞

− = − = = +∞ = +∞ ,

12 002

1 1 1lim ln lim ln lim ln lim ln2 2 2x x x

x

xx x x ++→+∞ + →+∞ →→

+

= = = = −∞+ + +

και άρα



1lim 2 ln ( ) ( )2x

xx→+∞

− = +∞ ⋅ −∞ = −∞+

,

οπότε η εξ. 33 δίνει άμεσα

12 ln2

0 12 ln2

lim lim 0x

x x

xxx

l e e−

+

→−∞− →+∞+

= = = .

Σημειώνουμε εδώ ότι για την περίπτωση 1a = ± , θα μπορούσαμε εξ’ αρχής να υπολογίσουμε το όριο,

22 2 22

1 2 2

1 (1 1 ) (1 1 ) (1 1 )lim lim lim ( 1) lim2 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 )

xx x xx

x xx x x x

x x x x xlx x x x x

−− − −−

± − −→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

± − ± = = = ± = ± + + + +

. 33

και εργαζόμενοι αντίστοιχα με την Επίλυση Ι ή ΙΙ, θα λαμβάναμε διαδοχικά

2 1 22

1 2 2

(1 1 )(1 1 ) (1 1 )lim lim lim(1 2 )

(1 2 )(1 2 )

x x xxx x x xx x

xx xx x xx xx x

xx xlx

xx

− −−

± − −→+∞ →+∞ →+∞

= ± = ± = ± = + ++

( )

11 1lim 1 21 2 lim 1 lim 21

2

lim (1 1 )(1 1 )lim(1 2 ) lim (1 2 )

xx x

xxx xxx x xx

x xxx

xx ex x e

→+∞→+∞ →+∞

− − −

→+∞

→+∞→+∞

= ± = ± = ± + +

.

Επομένως,

0 1 01 2 1 2 0 0

1 ( ) ( ) 1l e e e⋅ −− −

± = ± = ± = ± = ± .


, ( , 1)1, 1

0, ( 1,1)1, 1

(1, )

a

aa

l aa

a

−∞ ∀ ∈ −∞ −− = −= ∀ ∈ − =+∞ ∀ ∈ +∞

.


{ } *

21( ) , [2, ), 0 12 a

x

a f k

axf x x D a kx

−

∈

− = ∀ ∈ = +∞ ∀ ∈ ± +

,


{ } *lim ( ) 0, 0 1a a kxl f x a k

∈→+∞= = ∀ ∈ ±

,

και επίσης των

21( ) , [2, ), 2 a

x

a faxf x x D ax

−− = ∀ ∈ = +∞ ∀ ∈ +

,



55

2200

--22

--55

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη **, 1{ }a k

kf a I∈

∀ ∪∈ = ±

,, όόπποουυ lim ( ), a x al f x a I→+∞

= ∀ ∈ ..

1

2

1−

δηλ. για τιμές a → ±∞ , όπου παρατηρούμε ότι οριακά

*lim ( ) , a axl f x a

→+∞= = +∞ ∀ ∈ και *lim ( ) , a ax

l f x a −→+∞= = −∞ ∀ ∈ .

Επίσης απεικονίζονται η

1

2

01( ) , [2, )2

x

ff x x Dx

−− = ∀ ∈ = +∞ +

,

για την οποία βλέπουμε ότι οριακά

0 0lim ( ) 0x

l f x→=∞

= = ,

και οι

1

2

11( ) , [2, )

2

x

fxf x x D

x ±

−

±

± − = ∀ ∈ = +∞ + ,

για τις οποίες βλέπουμε ότι οριακά

1 1lim ( ) 1x

l f x± ±→=∞= = .


2

, ( , 1)1, 1

1lim 0, ( 1,1)2

1, 1(1, )

x

a x

aa

axl ax

aa

−

→+∞

−∞ ∀ ∈ −∞ −− = −− = = ∀ ∈ − + =+∞ ∀ ∈ +∞

,


grafeq: 99.79%

{ }

{ } *

*

2

2

2*

2

*

1

1( )

1( ) ,

( ) ,

1( ) ,

[2, ),

[2, ), 0 1

[2

2

, ), 0 12

, [2 ),

2

, 2

x

x

a k

x

x

a k

a

a

axf x x a kx

ax

axf x x a k

axf x x

a

x

x

x

f xx

a

−

−

−

−

∈

∈

−

− =

− = ∀ ∈ +∞ ∀ ∈ − +

∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +

− = ∀ ∈ +∞ ∀

+

∈ +

− = ∀ ∈ +∞ ∀

∈ +

2

2

0

11( ) ,

1( ) , [2, )

[

2

2, )2

x

x

x

f x x

f xx

x

x−

±

−

±

− = ∀ ∈ +∞ +

− = ∀ ∈

+∞+



55

55

--55

--55

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, {1}aef a∀ −∈ ,, κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς lim

x af f→+∞

= ..

1

(1) 1f ≡

−( 1,1)

f ≡ 0

( 1) 1f − ≡ −

2−

2

1−

2

, ( , 1)1, 1

1lim 0, ( 1,1)2

1, 1(1, )

a

a

xx

ax xa

xx

−

→+∞

−∞ ∀ ∈ −∞ −− = −− = ∀ ∈ − + =+∞ ∀ ∈ +∞

.


21( ) lim 0, ( 1,1)2

a

a

axf x xa

−

→−∞

− = = ∀ ∈ − + και ( 1) 1f ± = ±

ενώ η f δεν ορίζεται πουθενά αλλού, καθώς το πεδίο ορισμού της f είναι το [ 1,1]fD = − .


2*1( ) , , , {1}

2 a

ak

a faxf x x D a e ka

−− = ∀ ∈ = = ∀ ∈ − +

,


( ) lim ( ) 0, ( 1,1)aaf x f x x

→−∞= = ∀ ∈ − δηλ.

( 1,1)0f

−≡ ,

καθώς και

( 1) lim ( 1) 1aaf f

→+∞± = ± = ± .


ΑΑ.. 11

lim(4 3 )x

xx

l x −

→= − . ΒΒ..

ln1

1lim(4 3 )

xx

xl x −

→= − .

grafeq: 99.96%

2*1( ) , [1,1], , {1}

2

ak

aaxf x x a e ka

−− = ∀ ∈ = ∀ ∈ − +



ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..44..44ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 1+∞ . Μπορούμε να επιλύσουμε το ζητούμενο όριο αναγόμενοι σε εκφράσεις της μορφής

[ ]1( )

0lim 1 ( ) , g xx

kg x k→

+ ∀ ∈ , όπου 1( ) 0xg x →→ ,

εμφανίζοντας στο διώνυμο της βάσης καθώς και στον αριθμητή του εκθέτη το 1x − . Στη συγκεκριμένη μας περίπτωση,

( ) [ ] [ ]1 111 1 1

lim 4 3 3 3 lim 4 3( 1) 3 lim 1 3( 1)x xx

x xxx x x

l x x x− −−→ → →

= − + − = − − − = − − . 11

και συνεχίζοντας

[ ] [ ] [ ][ ]1 1 1 11

1 1 11 1 1

lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) 1 3( 1)x

x x xx x x

l x x x x− +

+− − −

→ → →= − − = − − = − − − − . 22

Το όριο του πρώτου και του δεύτερου παράγοντα υπάρχει, καθώς για τον πρώτο υπολογίζεται άμεσα,

[ ]1

lim 1 3( 1) 1x

x→

− − =

ενώ για τον δεύτερο, σύμφωνα με τα παραπάνω και επειδή 11 0xx →− → ,

[ ] [ ] [ ]1 1 1

31 11 1 0 0

lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) lim 1 3 .x x xx x x

x x x e−− −→ − → →

− − = − − = − =

Εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους όρια, θα υπάρχει και το ζητούμενο όριο, καθώς βάσει των παραπάνω ορίων, η εξ. 22 δίνει άμεσα

[ ] [ ]1

3 311 1

lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) 1xx x

l x x e e− −−→ →

= − − ⋅ − − = ⋅ = .

Διαφορετικά (και πιο άμεσα), βάση της παραπάνω μεθοδολογίας, θα μπορούσαμε από την εξ. 11 να εξάγουμε το αποτέλεσμα, καθώς 11 0xx →− → , οπότε η εξ. 11 θα δίνει άμεσα

[ ] [ ] [ ] ( )1

lim 11 1 1 131 1 1

1 1 1 0 1lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) lim 1 3

xx x

xx x x x

x x x xl x x x x e

→−− − −

→ → − → →

= − − = − − = − − = − = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..44..44ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία στον εκθέτη, της μορφής 0 0 . Εμφανίζοντας στο διώνυμο της βάσης το 1x − , αναγόμαστε σε έκφραση ορίου της μορφής

[ ]1( )

0lim 1 ( ) , g xx

kg x k→

+ ∀ ∈ , όπου 1( ) 0xg x →→ .

Στη συγκεκριμένη μας περίπτωση,

( ) [ ] [ ]lnln 1ln

1 111 1 1

lim 4 3 3 3 lim 4 3( 1) 3 lim 1 3( 1)xxx

x xxx x x

l x x x− −−→ → →

= − + − = − − − = − −

. 33

Το όριο του εκθέτη υπάρχει, καθώς

1lim ln ln1 0x

x→

= = ,



όπως και το όριο της βάσης, καθώς και επειδή 11 0xx →− → ,

[ ] [ ] ( )1 1 1

31 11 1 0 0

lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) lim 1 3x x xx x x

x x x e−− −→ − → →

− − = − − = − = ,


[ ] [ ] ( )1

ln lim ln 01 1 13 01 1

1 1 0 1lim 1 3( 1) lim 1 3( 1) lim 1 3 1

xx x

x x xx x x

l x x x e→

− ⋅− −→ − → →

= − − = − − = − = = .


ΑΑ.. 0

lim 3 1x

xl x

→= + . ΒΒ..

0lim 3 1

xe

xl x

→= + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..44..55AA:: Το ζητούμενο όριο αυτό έχει απροσδιοριστία της μορφής 1∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή ανάγοντάς το στη μορφή του γνωστού ορίου

( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ .

Άμεσα λοιπόν

1 3

0 0lim 3 1 lim(1 3 ) xx

x xl x x e

→ →= + = + = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..44..55ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία στον εκθέτη, της μορφής 1∞ . Ανάγουμε το ζητούμενο όριο σε έκφραση ορίου της μορφής

[ ]1( )

0lim 1 ( ) , g xx

kg x k→

+ ∀ ∈ , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στη συγκεκριμένη μας περίπτωση,

( ) ( ) ( )1 1 1

0 0 0 0lim 3 1 lim 1 3 lim 1 3 lim 1 3

xx

x x

xx ee x xe e

x x x xl x x x x⋅

→ → → →

= + = + = + = + .. 11

Το όριο του εκθέτη συγκλίνει, καθώς

00

0 0lim 01xx

xe e→

= = = ,

όπως και το όριο της βάσης, καθώς

( )1

3

0lim 1 3 xx

x e→

+ = ,

οπότε το ζητούμενο όριο υπάρχει, με την εξ. 11 να δίνει άμεσα

( )0

lim 013 01

0lim 1 3 ( ) 1

xx

xe

xx

l x e e→

→

= + = = = .




[ ]2lim ( 1) ln( 4) lnx

l x x x→+∞

= − + − .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο έχει απροσδιοριστία, στον παράγοντα με τους λογαρίθμους, της μορφής ∞−∞ . Άρουμε καταρχήν αυτήν την απροσδιοριστία χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα των λογαρίθμων *ln ln ln , ,a b a b a b +− = ∀ ∈ , οπότε

2 24 4lim ( 1) ln lim ( 1) ln 1x x

xl x xx x→+∞ →+∞

+ = − = − +

.. 11

Παρατηρούμε ότι το όριο

( )4 4 1lim ln 1 ln lim 1 ln 1 4 lim ln 1 0 ln1 0x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞

+ = + = + = + = =

.

Κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο της εξ. 11 είναι τελικά της απροσδιόριστης μορφής 0 0 0∞⋅ = , ωστόσο άρουμε την απροσδιοριστία αναγόμενοι σε έκφραση ορίων της μορφής

lim 1 , x

k

x

k e kx→+∞

+ = ∀ ∈

.

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα των λογαρίθμων ln lnba b a= *, ,a b +∀ ∈ από την εξ. 11, λαμβάνουμε

2 21 12 4 4 4 4lim ( 1) ln 1 lim ln 1 lim ln 1 1

x x

x x xl x

x x x x

− −

→+∞ →+∞ →+∞

= − + = + = + +

. 22

Για τον υπολογισμό του επιμέρους ορίου

2

4lim 1x

x x→+∞

+

,

το φέρνουμε στη μορφή

4lim 1x x

x x

⋅

→+∞

+

,

οπότε με χρήση της γνωστής εκθετικής ταυτότητας * *( ) , , ,bc b ca a a b c+= ∀ ∈ ∀ ∈ , έχουμε

2

4 4lim 1 lim 1xx x

x xx x→+∞ →+∞

+ = +

.

Εφόσον το όριο της βάσης συγκλίνει στο 4e ενώ το όριο του εκθέτη αποκλίνει στο +∞ , συμπεραίνουμε άμεσα ότι

2

44lim 1 ( ) x

xe e

x+∞ +∞

→+∞

+ = = = +∞ .



Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω, γράφοντας

2 4 4ln 1 ln 14 4 4lim 1 lim 1 lim sgn 1 lim

xx xxx x x xx x

x x x xe e

x x x

+ +

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ = + = + =

,

και επειδή, για το όριο του εκθέτη,

( ) 44 4 4lim ln 1 lim lim ln 1 ( ) ln lim 1 ( ) ln ( ) 4x x x

x x x xx x e

x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ = ⋅ + = +∞ ⋅ + = +∞ ⋅ = +∞ ⋅ = +∞

,

άμεσα έχουμε

2 4ln 1

4ln 1

4lim 1 lim lim ( ) ( )x

x

x xxx

x xx

x

e ex

+

→+∞ →+∞ + →+∞

+ = ⋅ = +∞ ⋅ +∞ = +∞

.

Άρα λοιπόν, βάσει αυτού, η εξ. 22, δίνει τελικά

2 2 2

2

1 1 1

41

4 4 4 4 4 4lim ln 1 1 lim ln 1 lim 1 lim ln 1 lim 1 x

x x x

x x x x

x

lx x x x x x

− − −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + →+∞

= + + = + ⋅ + = + ⋅ + ⇒

( ) ( )1 1lim ln (1 0) lim ln (1 0) ( ) 1x x

l x x− −

→+∞ →+∞= ⋅ + = ⋅ + = +∞ ⋅ = +∞ .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..44..77.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο

lima x a

a x

x alx a

+ −

→+∞

− = + , a∀ ∈ ,


( ) lim , a

x a x

fa

a xf x x Dx a

+ −

→+∞

− = ∀ ∈ ⊆ + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ . Μπορούμε να το επιλύσουμε με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή και στον εκθέτη. Παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο (που αρκετές φορές δεν είναι και ο ευκολότερος), διαιρούμε τη ρητή παράσταση εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή, οπότε έχουμε διαδοχικά

2 2lim lim lim 1 , a x a a x a a x a

a x x x

x a x a a al ax a x a x a

+ + + + + +

→+∞ →+∞ →+∞

− + − = = = − ∀ ∈ ⇒ + + +



( )2 2 2 2lim 1 1 lim 1 1x aa x a a x a

x a

a x x

a a a alx a x a x a x a

−− +

+

→+∞ →+∞

= − − = − − = + + + +

1

2 2lim 1 lim 1a x a x a

x x

a ax a x a

+ −

→+∞ →+∞

= − ⋅ − = + +

1

2ln 11 21 2 lim lim sgn 1

x a x aaa x ax a

x a x

aa ex a x a

+ − + − +

+ →+∞ →+∞

= − ⋅ − + + .

Επειδή

22 2lim 1 lim 1 0x a x

a

x a x

a a ex a x

+−

+ →+∞ →+∞

− − = > + , a∀ ∈ ,

έχουμε διαδοχικά

( )1 2 1 2 1 2ln 1 ln 1 lim ln 1

1 2 0 lim ( 1) limx a x a x a

x

a a aa x a x a x ax a x a x a

a x xl a e e e

+ + +

→+∞

− − − + + +− − −

→+∞ →+∞= − ⋅ ⋅ + = = =

1 2 1 2 2lim lim ln 1 lim lim ln 1 0 lim ln 1

x a x a x a

x x x ax a x a

a a ax a x a x ax a x ae e e

+ + +

→+∞ →+∞ + →+∞− →+∞ + →+∞

⋅ − ⋅ − ⋅ − + + +− − = = = , a∀ ∈ ,

δηλ.

20 ln 0 1ae

al e e−⋅= = = , a∀ ∈ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x σε αριθμητή και παρονομαστή, οπότε παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα τώρα με τον τρόπο αυτό (που είναι γενικά ευκολότερος από τον πρώτο), παίρνουμε διαδοχικά

1 1lim lim lim

11

a x a a x a

a x a

a x x x

a axx a x xl

aax a xxx

+ + + +

+ +

→+∞ →+∞ →+∞

− − − = = = = + ++

1 1

lim1 1

x aa xx

x

a ax xa ax x

+

→+∞

− − =

+ +

1 1 1 1

lim lim lim1 1 1 1

x a x aa x a xx x

x x x

a a a ax x x xa a a ax x x x

+ +

→+∞ →+∞ →+∞

− − − − = = ⋅ = + + + +



22

2200

--22

--22

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , af a∀ ∈ ,, όόπποουυ lim ( ), a x al f x a→+∞

= ∀ ∈ ..

1

2

2f

1 1ln ln1 1

11 lim 1 1lim sgn sgn lim lim1 1 11 lim

x ax x x

aa xx x a xx aa xx x a x

x x x

x

a a x a xx e ea x a xa

x

+

− −+ −→+∞ −

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

− − − = ⋅ = ⋅ − − +

.

Επειδή όμως

2lim 1

1lim 01

lim 1

x

x ax ax ax

x

aa x ex ea x ea

x

−→+∞ −

→+∞

→+∞

− − = = = > − +

, a∀ ∈ ,

λαμβάνουμε διαδοχικά,

1ln1( 1) lim

xa xx a

x a xa x

l e −+ −

→+∞= + ⋅ =

1lim ln1

x

x

a xx ax a xe →+∞

−+ − =

1 11 1lim lim ln lim ln lim1 1

x x

x x x x

x a x a xa x a xx a x a xxe e→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ + − −⋅ ⋅

− − = =

21lim 1 lim (1 ) ln a

x xa x e

xe−

→+∞ →+∞

⋅ + ⋅

= 0 1 0 ( 2 ) 0 ( 2 ) 0 1a a ae e e⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ −= = = = , a∀ ∈ .



( ) , [ , ), a

a x a

a fx af x x D a ax a

+ −− = ∀ ∈ = +∞ ∀ ∈ +

,



→+∞= = ∀ ∈ .


grafeq: 99.98%

( ) , [ , ), a x a

ax af x x a ax a

+ −− = ∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +



22

1100

--1100

--22

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , aef a∀ ∈ ,, κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς lim 1

a af f→+∞

= ≡ .. 4−

4

1

1f ≡

4f

lim 1a x a

a x

x alx a

+ −

→+∞

− = = + , a∀ ∈ ,


lim 1x a x

a

a xx a

+ −

→+∞

− = + , x∀ ∈ .


( ) lim 1, x a x

a

a xf x xx a

+ −

→+∞

− = = ∀ ∈ +

,

δηλ. 1f ≡ .

Στο παρακάτω Σχήμα BB, απεικονίζονται η γραφική παράσταση της παραμετρικής συνάρτησης

, aef a∀ ∈ ,

όπου

( ) , ( , ] { } ( , ), a

x a x

a fa xf x x D a a a ax a

+ −− = ∀ ∈ = −∞ − = −∞ ∀ ∈ +

,

για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

( ) lim ( ) 1, aaf x f x x

→+∞= = ∀ ∈ .

grafeq: 99.95%

( ) , ( , ), a

a

x e xa

ae

e xf x x a ax e

+ − −

= ∀ ∈ −∞ ∀ ∈ +



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..44..88.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο 2 1

lim3

ax

a x

x alx

−

→+∞

− = + , a∀ ∈ ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση 2 1

( ) lim , 3

a x

fa

a xf x x Da

−

→+∞

− = ∀ ∈ ⊆ + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ . Μπορούμε να το επιλύσουμε με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή και στον εκθέτη. Παρατηρούμε ότι το όριο ανάγεται σε έκφραση του ορίου της μορφής

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο (που αρκετές φορές δεν είναι και ο ευκολότερος), διαιρούμε τη ρητή παράσταση εμφανίζοντας το διώνυμο του παρονομαστή στον αριθμητή, οπότε έχουμε διαδοχικά

2 2 21 1 13 3 3lim lim lim 13 3 3

ax ax ax

a x x x

x a x a alx x x

− − −

→+∞ →+∞ →+∞

− + − − + = = = − + + + , a∀ ∈ .

Στη συνέχεια εμφανίζουμε, με τον ίδιο τρόπο, εμφανίζουμε το διώνυμο του παρονομαστή 3x + στον εκθέτη, οπότε έχουμε διαδοχικά

2 2( 3 3) 1 ( 3) 6( 3) 9 13 3lim 1 lim 1 , 3 3

a x a x x

a x x

a al ax x

+ − − + − + + −

→+∞ →+∞

+ + = − = − ∀ ∈ ⇒ + +

2 2( 3) 6 ( 3) 9 1 ( 3) 6 ( 3) 9 13 3 3 3lim 1 lim 1 1 1 , 3 3 3 3

a x a x a a x a x a

a x x

a a a al ax x x x

+ − + + − + − + −

→+∞ →+∞

+ + + + = − = − − − ∀ ∈ ⇒ + + + +

2 6( 3) 3 9 13 3 3lim 1 1 13 3 3

a ax x a

a x

a a alx x x

−+ + −

→+∞

+ + + = − − − + + + , a∀ ∈ .. 11

Εξετάζοντας τα επιμέρους όρια, επειδή 3 xx →+∞+ →+∞ , έχουμε άμεσα

3 3(3 )

3

3 3 3lim 1 lim 1 lim 13 3

x x xa

x x x

a a a ex x x

+ +− +

→+∞ + →+∞ →+∞

+ + + − = − = − = + + , a∀ ∈ ,

και

[ ]9 1 9 1

9 1

3

3 1lim 1 1 (3 ) lim 1 (3 ) 0) 13 3

a aa

x x

a a ax x

− −−

→+∞ + →+∞

+ − = − + = − + ⋅ = + + , a∀ ∈ .

Άρα λοιπόν, βάσει αυτών, η εξ. 1 παίρνει τη μορφή



2 6( 3) 3 9 1

3 3 3

3 3 3lim 1 lim 1 lim 13 3 3

a ax x a

a x x x

a a alx x x

−+ + −

+ →+∞ + →+∞ + →+∞

+ + + = − ⋅ − ⋅ − = + + +

2

6(3 ) 6 (3 ) 6 (3 )3 3 3lim 1 1 lim 1 lim 1

a a axx x x xaa a a a a

x x x

a a ae e ex x x

⋅−− + + +

→+∞ →+∞ →+∞

+ + + = − ⋅ ⋅ = − = − =

3ln 1

6 (3 ) 3lim sgn 1

axxaxxa a

x

ae ex

+ − +

→+∞

+ = − =

3ln 16 (3 ) 3sgn lim 1 lim

xx aaxa a x

x x

ae ex

+−

+

→+∞ →+∞

+ = −

, a∀ ∈ , 22

και επειδή ισχύουν

(3 )3lim 1 0x

a

x

a ex

− +

→+∞

+ − = >

, a∀ ∈ ,

και

( ) (3 )3 3lim ln 1 lim ln lim 1 ( ) ln (3 ) ( )x x

a

x x x

a aax a x a e a ax x

− +

→+∞ →+∞ →+∞

+ + − = ⋅ − = ⋅ +∞ ⋅ = − + ⋅ +∞ =

, ( 3,0), ( , 3) (0, )

aa

+∞ ∀ ∈ −= −∞ ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞

,

τελικά λαμβάνουμε από την εξ. 22

3ln 16 (3 ) 6 (3 ) 6 (3 )

3ln 1

( 1) lim lim 0 0x

x

aaxa a a a x a ax

a xaaxx

l e e e e e+ − + + +

→+∞+ − →+∞

= ⋅ + ⋅ = = ⋅ = , ( 3,0)a∀ ∈ − και

3ln 16 (3 ) 6 (3 )

3ln 1

( 1) lim lim x

x

aaxa a a a xx

a xaaxx

l e e e e+ − + +

→−∞+ − →−∞

= ⋅ + ⋅ = ⇒

6 (3 ) ( )a a

al e += ⋅ +∞ = +∞ , ( , 3) (0, )a∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

Για τις περιπτώσεις { 3,0}a∈ − , από την εξ. 22, έχουμε αντίστοιχα

3 33 ln 1 3 ln 1 018(3 3) 0 3 ln1 3 ln1 3 0 03 lim lim 1 lim lim lim 1

x

x xx x x x xx

x x x x xl e e e e e e e e

−− −

− −− − − − − ⋅− →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = ⋅ = = = = ,

και

3 00 ln 16 0 (3 0) 0 0

0 lim lim 1 1 1x

xx

x xl e e e e

+⋅ −

⋅ ⋅ +

→+∞ →+∞= = = ⋅ = .




( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Σύμφωνα τώρα με τον τρόπο αυτό (που είναι γενικά ευκολότερος από τον πρώτο), παίρνουμε διαδοχικά

22 2

22

11 1

1 1

1 11 1lim lim lim

3 3 3 31 1 1 1

axax ax

a aaxx x x x

a aa ax x xx xlx

x x x x

−− −

−→+∞ →+∞ →+∞ −

− − − − = = = + + + +

, a∀ ∈ . 33

Εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους όρια

1 11lim 1 1 lim 1x x

a ax x

− −

→+∞ →+∞

− = − =

,

1 13 1lim 1 1 3 lim 1x xx x

− −

→+∞ →+∞

+ = + =

,

εξετάζουμε τώρα τα όρια

2

lim 1x

x

ax→+∞

−

και 2

3lim 1x

x x→+∞

+

.

Για το πρώτο όριο έχουμε διαδοχικά,

2ln 1 ln 1

lim 1 lim 1 lim 1 lim sgn 1 lim

xx xx ax x x x x axx x

x x x x x

a a a a e ex x x x

⋅ − −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− = − = − = − =

, a∀ ∈

οπότε και το δεύτερο αντίστοιχα δίνει

2 3ln 13lim 1 limxx x

x

x xe

x+

→+∞ →+∞

+ = .

Βάσει των παραπάνω η εξ. 33 παίρνει τη μορφή

2

2

ln 11

ln 1

1 33 ln 1ln 1

1 lim 1lim lim lim

33 lim 11

x

x

xx

aa ax xx

aaxxx

a a ax x xx axx xxx

a a ex exl

eexx

−−

−→+∞

−→+∞ →+∞ →+∞ ++

→+∞

− − = ⋅ = = = + +

3ln 1 ln 1

lim

x xaaxx x

xe

− − +

→+∞= , a∀ ∈ , 44

και επειδή



3lim ln 1 ln 1x x

x

aaxx x→+∞

− − + =

( ) 3lim ln lim 1 ln lim 1

x x

x x x

aa xx x→+∞ →+∞ →+∞

⋅ − − + =

( ) ( )3( ) ln ln ( ) ( 3) ( 3) ( )aa e e a a a a− = ⋅ +∞ ⋅ − = ⋅ +∞ ⋅ − − = − + ⋅ +∞ =

, ( 3,0), ( , 3) (0, )

aa

+∞ ∀ ∈ −= −∞ ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞

,

τελικά λαμβάνουμε

3ln 1 ln 1

3ln 1 ln 1

lim lim 0

x x

x x

aaxx x x

a xaaxx x

l e e

− − +

→+∞ − − + →−∞

= = = , ( 3,0)a∀ ∈ − και

3ln 1 ln 1

3ln 1 ln 1

lim lim

x x

x x

aaxx x x

a xaaxx x

l e e

− − +

→−∞ − − + →−∞

= = = +∞ , ( , 3) (0, )a∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

Για τις περιπτώσεις { 3,0}a∈ − , από την εξ. 44, έχουμε αντίστοιχα

3 33 ln 1 ln 13 0 0

3 lim lim 1

x xx

x x x

x xl e e e

−− − − +

− ⋅ − →+∞ →+∞= = = = ,

και

0 30 ln 1 ln 10

0 lim 1

x xx

x x

xl e e

⋅ − − +

→+∞= = = .



, ( 3,0)0 ( , 3) (0, )1, { 3,0}

a

al a

a

+∞ ∀ ∈ −= ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ ∈ −

.

Στο παρακάτω Σχήμα AA, απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής συνάρτησης 2 1

( ) , { 3, }, { 1, 2, 3}3 a

ax

a fx af x x D a ax

−− = ∀ ∈ = − − ∀ ∈ − − − − +

,


lim ( ) 0, { 1, 2, 3}a axl f x a

→+∞= = ∀ ∈ − − − − ,

καθώς και των 2 1

3( 3)( ) 1, { 3}

3

axxf x xx

−

−

− − = = ∀ ∈ − − + , δηλ. 3 1f− ≡ ,



55

1100

--55

--55

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρρ.. σσυυννάάρρττηησσηη , { 1, 2, 3}af a I∀ ∈ = − − − − ,, όόπποουυ lim ( ), a x al f x a I→+∞

= ∀ ∈ ..

1

3−

20 1

00 3 3( ) 1 , { 3,0}3

xx xf x xx x x

−− + = = = + ∀ ∈ − − +

.


2 1 , ( 3,0)lim 0, ( , 3) (0, )

31, { 3,0}

ax

a x

ax al ax

a

−

→+∞

+∞ ∀ ∈ −− = = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ + ∈ −

,


2 1 , ( 3,0)lim 0, ( , 3) (0, )

31, { 3,0}

a x

a

xa x xa

x

−

→+∞

+∞ ∀ ∈ −− = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ + ∈ −

, x∀ ∈ .

Συμπεραίνουμε λοιπόν άμεσα ότι 2 1

( ) lim 0, ( , 3) (0, )3

a x

a

a xf x xa

−

→+∞

− = = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ + , δηλ.

( , 3) (0, )0f

−∞ − ∪ +∞≡ και

( 3) (0) 1f f− = = ,

ενώ δεν ορίζεται πουθενά αλλού καθώς ( , 3] [0, )fD = −∞ − ∪ +∞ .

Στο παρακάτω Σχήμα BB, απεικονίζονται η γραφική παράσταση της παραμετρικής συνάρτησης 2 1

( ) , , 3 a

a x

a fa xf x x D aa

−− = ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ +

,


( ) lim ( ) 0, ( , 3) (0, )aaf x f x x

→+∞= = ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ και ( 3) lim ( 3) (0) lim (0) 1a aa a

f f f f→+∞ →+∞

− = − = = = .

grafeq: 99.98%

2

2

0

14

3

1*

( ) ,

( ) , { 3, }

3( ) 1 , { 3,0}

{ 3,

(

, 3

) 1,

},

}

3

3

{

ax

a

ax

a

f

x af x x a a

f

x af x x a

x

x x

x x

ax

x

−

−

−

−

−∞

− = ∀ ∈ − − ∀ ∈ +

− = ∀ ∈ − − ∀ ∈ +

=

= + ∀ ∈ − −

− −

∀

∈



55

1100

--1100

--55

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , af a∀ ∈ κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς lim 0a aff→+∞

= ≡ .. 3−

3f

(0, )0f

+∞≡

( )0f

−∞,−3≡

(0) 1f =

( 3) 1f − =

1

1


113

, 3lim , ,2

x

a b x

x al a bx b

−

→+∞

+= ∀ ∈ +

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Το ζητούμενο όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, βγάζοντας κοινό παράγοντα τους μεγιστοβάθμιους όρου σε αριθμητή και παρονομαστή αναγόμαστε, σε όρια της μορφής,

( )

lim 1 , ( )

g x

x

k kg x→+∞

+ ∈

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .

Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο, έχουμε διαδοχικά

11 113

3 3

, 113

33

1 11lim lim22 12 1

2

x x

a b xx x

a axx xl

bbxxx

− −

−→+∞ →+∞

+ + = = = ++

11

3 3

11

3 3

1 11lim , , 2 22 1 1

x

xx

a ax x a b

b bx x

−

−→+∞

+ + ∀ ∈ ⇒

+ +

3 3 3 1 311 11

3 3 3 3

, 11 11

3 3 3 3

1 1 1 11 1lim lim2 2 2 22 21 1 1 1

x x

a b x xx x

a a a ax x x xl

b b b bx x x x

− −

− −→+∞ →+∞

+ + + + = = + + + +

, ,a b∀ ∈ .. 11

grafeq: 99.96%

2 1

( ) , , 3 a

a x

a fa xf x x D aa

−− = ∀ ∈ ∀ ∈ +



Εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους όρια

3 3

33 3lim 1 lim 1 lim 1x x x

a

x xx

a a a exx x→+∞ →+∞→+∞

+ = + = + =

, a∀ ∈ ,

3 3

3

23 3

2 2 2lim 1 lim 1 lim 1x x x

b

x xx

b b b exx x→+∞ →+∞→+∞

+ = + = + =

, b∀ ∈ ,

επειδή 3 xx →+∞→+∞ , και

11

1 1lim 02xx −→+∞

= = +∞ ,

11 11111lim 1 1 lim (1 0) 1

x x

a a ax x

− −−

→+∞ →+∞

+ = + = + ⋅ =

, a∀ ∈ ,

11 11 112 1lim 1 1 lim 1 0 12 2x x

b b bx x

− − −

→+∞ →+∞

+ = + = + ⋅ =

, b∀ ∈ ,

το ζητούμενο όριο θα υπάρχει επίσης καθώς, σύμφωνα με τα παραπάνω, η εξ. 11 δίνει άμεσα

3

3

1 311

3 3

, 11 11

33

lim 1 lim 11lim , ,

2 22 lim 1lim 1

x

x x

a b x xx

xx

a ax xl a b

bbxx

−

→+∞ →+∞

− −→+∞

→+∞→+∞

+ + = ∀ ∈ ⇒ ++

3

3

3

3

1 311

3 3

, 11 11 2

33

lim 1 lim 11 1lim 0 0, ,

12 22 lim 1lim 1

x

axx

a b x bxx

xx

a aex xl a bebb

xx

−

→+∞→+∞

− −→+∞

→+∞→+∞

+ + = ⋅ = ⋅ ⋅ = ∀ ∈ ++

.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν , 0, ,a bl a b= ∀ ∈ .

22..55.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 00//00 μμεε χχρρήήσσηη ττοουυ ΤΤρριιγγωωννοομμεεττρριικκοούύ ΟΟρρίίοουυ::

0

sinlim 1x

xx→

= .

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ :: Άρουμε την απροσδιοριστία 0 0 φέρνοντας το ζητούμενο όριο στη μορφή

0 ,

sin ( )lim( )x x

g xg x±→ ±∞

, όπου 0 ,( ) 0x xg x±→ ±∞ ±→ .

Π.χ., εάν

0

sin ( )lim( )x

g xlf x+→

= , όπου 0( ), ( ) 0xf x g x+→→ ,

τότε



0 0

sin ( ) sin ( ) ( )lim lim( ) ( ) ( )x x

g x g x g xlf x g x f x+ +→ →

= = ⋅ ,

οπότε με άρση της εμφανιζόμενης απροσδιοριστίας 0 0 στον δεύτερο παράγοντα (συνήθως με απλοποίηση) και λόγω του γνωστού ορίου,

0

sinlim 1x

xx→

= ,

λαμβάνουμε

( ) 0 00 0 0 0

sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) ( )lim lim lim lim 1 lim lim( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x xx x x x

g x g x x g x g x g xlg x f x x f x f x f x+ + + +→ →→ → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .


*,

0

sinlim , , sina b

x

axl a bbx+→

= ∀ ∈ ∀ ∈ ,

καθώς και οι οριακές συναρτήσεις

0

sin( ) lim , sina

axf x xa+→

= ∀ ∈ και *

0

sin( ) lim , sina

ag x xax+→

= ∀ ∈ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Το φέρνουμε διαδοχικά στη μορφή

,0 0

sin sin

lim limsin sina b

x x

ax axax aax axlbx bxbbx

bx bx

+ +→ →= = *, ,a b∀ ∈ ,

υποθέτοντας ότι *a∈ . Παρατηρούμε ότι το όριο του αριθμητή και του παρονομαστή υπάρχουν, καθώς επειδή 0 0xax

+→→ και 0 0xbx+→→ ,

0 00

sin sin sinlim lim lim 1ax xx

ax ax xax ax x+ → →→

= = = και 0 00

sin sin sinlim lim lim 1bx xx

bx bx xbx bx x+ → →→

= = = *, a∀ ∈ ,

οπότε λαμβάνουμε άμεσα

0,

0

sinlim 1sin 1lim

xa b

x

axa a aaxl

bxb b bbx

+

+

→

→

= = ⋅ = *, ,a b∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα 0a = , το ζητούμενο όριο δίνει άμεσα

0,0 0

sin 0 0lim lim 0sin sinb

x xl

bx bx+ +→ →= = = *, b∀ ∈ .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν *, , , a bl a b a b= ∀ ∈ ∀ ∈ .


22..55.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 0/0 μμεε χχρρήήσσηη ΤΤρριιγγωωννοομμεεττρριικκοούύ ΟΟρρίίοουυ 85

1100

2200

--2200

--1100

ΣΣχχήήμμαα AA.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 { }a kkf a

∈∀ ∈


lim( ) ( ) , a aff x x x x→

= = ∀ ∈ ..

f

Ως αναφορά τις οριακές συναρτήσεις, είδαμε ότι

*,

0

sinlim , , sina b

x

axl a b a bbx+→

= = ∀ ∈ ∀ ∈ ,

οπότε με εναλλαγή των συμβόλων,

0

sinlim 1 , ,sina

ax x x xa+→= = ∀ ∈ και *

0

sin 1lim , ,sina

a xax x+→

= ∀ ∈

δηλ.

( ) , ,f x x x= ∀ ∈ και *1( ) , g x xx

= ∀ ∈ .

Στο παρακάτω Σχήμα AA, απεικονίζονται η γραφική παράσταση της παραμετρικής συνάρτησης

*

sin( ) , , {1 }sin aa f k

axf x x D a ka ∈

= ∀ ∈ = ∀ ∈

,


0( ) lim ( ) , aa

f x f x x x→

= = ∀ ∈ .

Στο παρακάτω Σχήμα BB, απεικονίζονται η γραφική παράσταση της παραμετρικής συνάρτησης

**sin( ) , , {1 }

sin aa g k

ag x x D a kax ∈

= ∀ ∈ = ∀ ∈

,


*

0

1( ) lim ( ) , aag x g x x

x→= = ∀ ∈ .

grafeq: 99.99%

*

sin( ) , , {1 }sina k

axf x x a ka ∈

= ∀ ∈ ∀ ∈



1100

2200

--2200

--1100

ΣΣχχήήμμαα BB.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 { }a kkg a

∈∀ ∈

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς *lim 1( ) ( ) , a ag xg x x x→+∞

= = ∀ ∈ ..

g


0

1 coslimx

xlx+→

−= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 , την οποία μπορούμε να άρουμε με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Χρησιμοποιώντας τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα 22sin 1 cos 2 ,x x= −

x∀ ∈ στο ζητούμενο όριο, λαμβάνουμε διαδοχικά

2 2

0 0 0

2sin ( 2) 2 sin ( 2) sin( 2)lim lim lim sin( 2)2 2 2x x x

x x xl xx x x+ + +→ → →

= = = .

Τα όρια των παραγόντων του γινομένου αυτού υπάρχουν, καθώς

0lim sin( 2) 0x

x+→

= ,

και επίσης, επειδή 02 0xx+→→ ,

0 4 0 0

sin 4 sin 4 sinlim lim lim 14 4x x x

x x xx x x→ → →

= = = ,

οπότε, άμεσα από την εξ. 11, λαμβάνουμε τελικά

0 0

sin( 2)lim lim sin( 2) 1 0 02x x

xl xx+ +→ →

= ⋅ = ⋅ =

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή δημιουργούμε διαφορά τετραγώνων στον αριθμητή, δηλ.

grafeq: 99.98%

**sin( ) , , {1 }

sina k

ag x x a kax ∈

= ∀ ∈ ∀ ∈



2 2

0 0 0

(1 cos )(1 cos ) 1 cos sinlim lim lim(1 cos ) (1 cos ) (1 cos )x x x

x x x xlx x x x x x+ + +→ → →

− + −= = =

+ + +,

οπότε και αναγόμαστε στο γνωστό όριο

0

sinlim 1x

xx+→

= ,

δηλ.

0 0 0 0

sin sin sin sin sin sin 0lim lim lim lim 1 0(1 cos ) 1 cos 1 cos 2x x x x

x x x x x xlx x x x x x+ + + +→ → → →

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = + + + .


π 2

tan 3limtan 5x

xlx→

= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής ∞ ∞ καθώς

π 2 π 2

sin 3 sin(3π 2) 1lim tan 3 lim cos3 cos (3π 2) 0x x

xxx± ±

±

± ±→ →

−= = = = ∞

,

π 2 π 2

sin 5 sin (5π 2) sin[(4π+π) 2] sin (π 2) 1lim tan 5 lim cos5 cos (5π 2) cos[(4π+π) 2] cos(π 2) 0x x

xxx± ±

± ± ±

± ± ±→ →

= = = = = = ∞

.

Άρουμε την απροσδιοριστία γράφουμε το ζητούμενο όριο σαν έκφραση ορίων της μορφής

π 2

sin ( )lim( )x

g xg x±→

, όπου π 2( ) 0xg x±→ ±→ .

Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο, λαμβάνουμε διαδοχικά

π 2 π 2 π 2

sin 3tan 3 sin 3 cos3cos3lim lim lim

sin 5tan 5 sin 5 cos5cos5

x x x

xx x xxl

xx x xx

→ → →

= = = ⋅

.. 11

Το όριο του πρώτου παράγοντα του παραπάνω γινομένου υπάρχει, καθώς

π 2

sin 3 sin 3π 2 sin(π π 2) sin(π 2)lim 1sin 5 sin 5π 2 sin(2π π 2) sin(π 2)x

xx→

+ −= = = = −

+ 22

Επίσης υπάρχει και το όριο του δεύτερου παράγοντα του γινομένου, καθώς μετασχηματίζοντας πρώτα τα συνημίτονα σε ημίτονα προσθαφαιρώντας το π 2 , και επειδή π 2π 2 0xx →− → , παίρνουμε

[ ][ ]π 2 π 2 π 2 0 0

cos 3(π 2) 3π 2cos3 cos3(π 2 π 2) cos(3 3π 2)lim lim lim lim cos5 cos5(π 2 π 2) cos 5( π 2) 5π 2 cos(5 5π 2)x x x x

xx x xx x x x→ → − → →

− +− + += = = ⇒

− + − + +

π 2 0

cos3 sin 3lim limcos5 sin 5x x

x xx x→ →=

−,



και στη συνέχεια φέρνοντας το όριο στη μορφή

π 2 0 0

sin 3 sin 33cos3 33 3lim lim limsin 5 sin 5cos5 55

5 5x x x

x xxx x xx xx x

x x→ → →

= − = − ,

το όριο αυτό υπάρχει, καθώς επειδή 03 0xx →→ και

05 0xx →→ ,

0 3 0 0

π 2

0 3 0 0

sin 3 sin 3 sinlim lim limcos3 3 3 3 3 1 33 3limsin 5 sin 5 sincos5 5 5 5 5 1 5lim lim lim

5 5

x x x

x

x x x

x x xx x x x

x x xxx x x

→ → →

→

→ → →

= − = − = − = − ⋅ = − . 33

Άρα λοιπόν, εφόσον υπάρχουν τα όρια των παραγόντων του γινομένου της εξ. 11, με άμεση εφαρμογή των εξ. 22 και 33, στην εξ. 11 λαμβάνουμε τελικά

π 2 π 2 π 2

sin 3 cos3 sin 3 cos3 3 3lim lim lim 1sin 5 cos5 sin 5 cos5 5 5x x x

x x x xlx x x x→ → →

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ − =

.


20

sin 4lim3x

xlx x→

=−

.


20 0

sin 4 sin 4lim lim(3 )3x x

x xlx xx x→ →

= =−− 0 0

sin 4 sin 4 14lim 4lim4 (3 ) 4 3x x

x xx x x x→ →

= = ⋅ − − .. 11


0

1 1 1lim3 3 0 3x x→

= =− −

,

και επίσης, επειδή 04 0xx →→ ,

0 4 0 0

sin 4 sin 4 sinlim lim lim 14 4x x x


= = = ,

Οπότε η σχέση εξ. 11, δίνει τελικά

0 0

sin 4 1 1 44lim lim 4 14 3 3 3x x

xlx x→ →

= ⋅ = ⋅ ⋅ = − .


2

20

tan 4lim5x

xlx→

= .




2

2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0

sin 4tan 4 sin 4 16 sin 4 16 sin 4 1cos 4lim lim lim lim lim

5 55 5 5 cos 4 16 cos 4 (4 ) cos 4x x x x x

xx x x xxl

x x x x x x x x→ → → → →

= = = = = ⋅ ⇒

2

20

16 sin 4 1lim5 4 cos 4x

xlx x→

= ⋅

.. 11


20

1 1lim 11cos 4x x→

= = ,

και επίσης, επειδή 04 0xx →→ ,

0 4 0

sin 4 sin 4lim lim 14 4x x

x xx x→ →

= = ,

Άμεσα λοιπόν από τη σχέση εξ. 11, λαμβάνουμε τελικά

2 22

20 0 0

16 sin 4 1 16 sin 4 16 16lim lim lim 1 15 4 5 4 5 5cos 4x x x

x xlx xx→ → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

.


*

0

sin sin 2 ...sinlim , n nx

x x nxl nx→

= ∀ ∈ .


*

0 0

sin sin 2 sin sin sin 2 sinlim ... lim 2 ... , 2n x x

x x nx x x nxl n nx x x x x nx→ →

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈ ⇒

nl = *

0

sin sin 2 sin(1 2 ... ) lim ... , 2x

x x nxn nx x nx→

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈ ,

και επειδή 0 *0, xnx n→→ ∀ ∈ , τα όρια των επιμέρους παραγόντων υπάρχουν, οπότε τελικά

*

0 2 0 0 0 0 0

sin sin 2 sin sin sin sin! lim lim ... lim ! lim lim ... lim ! 1 ... 1 !, 2n x x nx x x x n

n

x x nx x x xl n n n n nx x nx x x x→ → → → → →

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ∀ ∈

,

δηλ. *!, nl n n= ∀ ∈ .




2 2

4 3 20

sinlim2 sinx

x xlx x x→

=+

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία απλοποιώντας τη ρητή παράσταση, ανάγοντάς τη σε έκφραση του γνωστού ορίου

0

sinlim 1x

xx→

= .

Αντιστρέφοντας αρχικά το κλάσμα, έχουμε διαδοχικά

11 1 1 14 3 2 4 3 2 2

2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

2 sin 2 sin 2 sinlim lim lim lim 2sin sin sin sinx x x x

x x x x x x x xl x xxx x x x x x x

−− − − −

→ → → →

+ = = + = + = +

.

Επομένως, λόγω του παραπάνω γνωστού ορίου και του

0lim 0x

x→

= ,

το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς (εφόσον δεν εμφανίζεται κάποια άλλη οριακή απροσδιοριστία) παίρνουμε άμεσα

1 1 11 1 11

0 0 0 0

sin sin sin 1lim 2 2lim lim 2 lim 0 (2 1)2x x x x

x x xl x xx x x

− − −− − −−

→ → → →

= + = + = + = ⋅ =

.


1lim sinx

l xx→+∞

=

.


1 0

1 1 1 sin1 sin1lim sin lim sin lim lim1 1 1x x x x

x xl xx x x x x+→+∞ →+∞ →+∞ →

= = = =

,

και επειδή 1 0xx →+∞ +→ , λαμβάνουμε άμεσα

01 0

sin1 sinlim lim 11 xx

x xlx x+ →→

= = = .


+π

sinlimπx

xlx→

=−

.




+ + + +π π π 0 π 0

sin sin(π) sin( π) sin( π) πlim lim lim lim ππ π π πx x x x

x x x x xlxx x x x→ → − → − →

− − − − − = = = − = − ⋅ ⇒ −− − − −

+π 0

sin(π)limππx

xl xx− →

− = − ⋅ − − .. 11

Τα όρια των δύο παραγόντων του παραπάνω γινομένου υπάρχουν, καθώς

( )+π 0limπ 0

xx

− →− = ,

και επειδή ππ 0xx+→− → ,

+ +π 0 0

sin(π) sinlim lim 1πx x

x xx x− → →

−= =

−.

Κατά συνέπεια, λόγω της ύπαρξης των παραπάνω ορίων, από τη εξ. 11 λαμβάνουμε τελικά

( )+ + +π 0 π 0 π 0

sin(π) sin( π)limπ lim lim π 1 0 0π πx x x

x xl x xx x− → − → − →

− − = − ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ = − − .


0

tanlim , x

a x

axl ax→

= ∀ ∈

,


0

tan( ) lim , a

fa

axf x x Da→

= ∀ ∈ ⊆

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Εάν το όριο της βάσης υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός, τότε εφόσον δεν θα υφίσταται απροσδιοριστία της μορφής 00 , το ζητούμε όριο υπάρχει καθώς

0lim 0

0 0 0

tan tan tanlim lim lim 1x

x x

a x x x

ax ax axlx x x

→

→ → →

= = = =

, a∀ ∈ .

Εξετάζοντας λοιπόν το όριο της βάσης, μπορούμε να το φέρουμε στη μορφή

0

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου 0( ) 0xg x →→ .

οπότε και λαμβάνουμε διαδοχικά

0 0 0

tan sin 1 sinlim lim limcos cosx x x

ax ax ax ax x ax ax ax→ → →

= ⋅ = ⋅ ,, 11



υποθέτοντας *a∈ . Επειδή 0 0xax →→ , το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει, καθώς

0 0 0

sin sin sinlim lim lim 1x ax x

ax ax xax ax x→ → →

= = = *, a∀ ∈ ,

όπως επίσης υπάρχει και το όριο του δεύτερου παράγοντα,

0lim

cos cos 0x

a a aax→

= = *, a∀ ∈ .

Κατά συνέπεια υπάρχει το όριο της βάσης, καθώς η εξ. 11 δίνει άμεσα

0 0 0

tan sinlim lim lim 1cosx x x

ax ax a a ax ax ax→ → →

= ⋅ = ⋅ = *, a∀ ∈ , 22

και μάλιστα το όριο αυτό είναι διάφορο του μηδενός, μιας και υποθέσαμε παραπάνω *a∈ . Εφόσον υπάρχουν τα όρια της βάσης και του εκθέτη (και δεν εμφανίζεται οριακή απροσδιοριστία της μορφής

00 ), το ζητούμενο όριο θα υπάρχει, καθώς βάσει της εξ. 22, δίνει άμεσα

0lim

0

0 0

tan tanlim lim 1x

x x

a x x

ax axl ax x

→

→ →

= = = =

*, a∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = , προφανώς έχουμε

0 0 0 0

tan 0 0lim lim lim 0 lim 0 0x x

xa x x x x

xlx x→ → → →

= = = = =

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Μπορούμε επίσης να άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το συνάρτηση του ορίου, που είναι της μορφής ( )( )g xf x , στη μορφή

[ ]( )ln ( )( )( ) sg n ( )


και χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα των λογαρίθμων *ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ , τελικά


Εφόσον υπάρχει το όριο του εκθέτη, θα υπάρχει άμεσα και το ζητούμενο όριο.


tan tanln ln

0 0 0

tan tanlim lim sgn lim(sgn )xx ax axx

x xa x x x

ax axl e a ex x→ → →

= = =

, 11

έχοντας υποθέσει ότι *a∈ . Το όριο του εκθέτη υπάρχει καθώς

0lim 0x

x→

= , 22

και το όριο του δεύτερου παράγοντα του εκθέτη ανάγεται σε όριο της γνωστής μορφής

0

sinlim 1x

xx→

= .



Φέρνοντας λοιπόν το όριο του εκθέτη στη μορφή

0

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου 0( ) 0xg x →→ .

οπότε, λόγω του παραπάνω γνωστού ορίου, συμπεραίνουμε και την ύπαρξη του ορίου του εκθέτη, καθώς

0 0 0

tan sin 1 sinlim ln lim ln ln limcos cosx x x

ax ax ax ax x ax ax ax→ → →

= ⋅ = ⋅ *, a∀ ∈ ,

και επειδή 0 0xax →→ ,

0

tanlim lnx

axx→ 0 0 0

sinln lim lim ln 1 lim lncos cos 0ax ax ax

ax a a aax ax→ → →

= ⋅ = ⋅ = *, a∀ ∈ . 33

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια εξ. 22 και εξ. 33, υπάρχει και το όριο του εκθέτη της εξ. 11 και άρα και το ζητούμενο όριο, καθώς

0 0 0

tan tan tanln lim ln lim lim ln 0 ln

0(sgn ) lim (sgn ) (sgn ) (sgn ) sgnx x x

ax ax axx x x ax x xa x

l a e a e a e a e a→ → →⋅

⋅

→= = = = = *, a∀ ∈ .


0 0 0 0

tan 0 0lim lim lim 0 lim 0 0x x

xa x x x x

xlx x→ → → →

= = = = =

*, a∀ ∈ .



*

0

sgn( ),tanlim sgn( ), 0, 0

x

a x

a aaxl a ax a→

∀ ∈ = = = ∀ ∈ =

.

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, είδαμε ότι

0

tanlim sgn( ), x

a x

axl a ax→

= = ∀ ∈

,


0

tanlim sgn( ), a

a

ax x xa→

= ∀ ∈

,

δηλ. ( ) sgn , ff x x x D= ∀ ∈ = , ή συντομότερα, sgnf = .

Στο παρακάτω Σχήμα, απεικονίζονται η γραφική παράσταση της παραμετρικής συνάρτησης

*tan( ) , {(1 )(2π π 2)} , a

a

a f kaxf x x D a k a

a ∈ = ∀ ∈ = − ± ∀ ∈

,


0( ) lim ( ) sg n , aa

f x f x x x→

= = ∀ ∈ .



1100

2200

--2200

--1100

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 { }a kkf a

∈∀ ∈


lim sgna aff→

= = ..

1 5f

f ∗−≡ −1

1

1−

+f ∗ ≡ 1


ΑΑ.. 0

sin sinlimx

xlx→

= . ΒΒ.. 0

sin(1 cos )limsinx

xlx→

−= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..55..1111ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το ζητούμενο στη μορφή

0

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου 0( ) 0xg x →→ .


0 0

sin sin sin sin sin sinlim limsin sinx x

x x x xlx x x x→ →

= ⋅ = ⋅ .. 11

Επειδή 0sin 0xx →→ , το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει, καθώς

0 sin 0 0

sin sin sin sin sinlim lim lim 1sin sinx x x


= = = ,

όπως επίσης υπάρχει και το όριο του δεύτερου παράγοντα,

0

sinlim 1x

xx→

= .

Κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς η εξ. 11 δίνει άμεσα

0 0

sin sin sinlim lim 1 1 1sinx x

x xlx x→ →

= ⋅ = ⋅ = .

grafeq: 99.93%

*tan( ) , {(1 )(2π π 2)} , a

a kaxf x x a k a

a ∈ = ∀ ∈ − ± ∀ ∈

(0) 0f =



ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..55..1111ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το ζητούμενο στη μορφή

0

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου 0( ) 0xg x →→ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Μετατρέποντας το συνημίτονο σε ημίτονο βάσει της γνωστής τριγωνομετρικής ταυτότητας 22sin 1 cos 2 , x x x= − ∀ ∈ , λαμβάνουμε διαδοχικά

2 2 22 2

0 0 02 2

sin 2sin sin 2sin sin 2sin2sin 2sin2 2 22 2lim lim lim sin sin sin2sin 2sin

2 2x x x

x x xx x

lx xx x x→ → →

= = ⋅ = ⋅ ⇒

2

2

22 22

0 02 2

sin2sin

2 ( 2)sin 2sin sin 2sin( 2)2 2 22lim 2lim

sin sin 42sin 2sin2 2

x x

xx

x x xxxxl

x x x xxx x

→ →

⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

.. 11

Επειδή 2 02sin ( 2) 0xx →→ , υπάρχει το όριο

2

2 2

0 02 22sin 02

sin 2sin sin 2sinsin2 2lim lim lim 1

2sin 2sin2 2

xx x

x xx

x x x→ →→

= = = ,

και επίσης, επειδή 02 0xx →→ , υπάρχει το όριο

0 2 0 0

sin( 2) sin( 2) sinlim lim lim 12 2x x x


= = = .

Επιπλέον, υπάρχουν άμεσα τα όρια

0

sinlim 1x

xx→

= και 0

lim 04x

x→

= .

Εφόσον όλα τα παραπάνω όρια υπάρχουν, θα υπάρχει και το ζητούμενο όριο, καθώς από την εξ. 11 λαμβάνουμε άμεσα

2

022

0 02

0

sin2lim

sin 2sin12 22lim lim 2 1 0 0

sin 4 12sin lim2

x

x x

x

x

x xxl

x xx

→

→ →

→

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Δημιουργώντας διαφορά τετραγώνων μέσα στο ημίτονο του αριθμητή, λαμβάνουμε διαδοχικά



2 2

0 0 0

(1 cos )(1 cos ) 1 cos sinsin sin sin1 cos 1 cos 1 coslim lim limsin sin sinx x x

x x x xx x xl

x x x→ → →

− + −+ + += = = ,

οπότε ανάγουμε το ζητούμενο όριο σε έκφραση της μορφής

0

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου 0( ) 0xg x →→ ,

και συγκεκριμένα

2 2 2

2 20 0

sin sin sinsin sin sin1 cos 1 cos 1 coslim limsin 1 cossin sin

1 cos 1 cosx x

x x xxx x xl

x xx xx x

→ →

+ + += ⋅ = ⋅+

+ +

,

και επειδή

20sin 0 0

1 cos 2xx

x→→ =

+,

έχουμε τελικά

2

2

2 0 0sin 01 cos

sinsin sin sin1 coslim lim lim 0 1 0 01 cossin

1 cosx xx

x

xx xxl

x xxx

→ →→

+

+= ⋅ = ⋅ = ⋅ =+

+

.


*

0

sinlim , a x

axl aa x x a +→

= ∀ ∈− − +

,


0

sin( ) lim , fa

axf x x Dx a x a→

= ∀ ∈ ⊆− − +

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Άρουμε την απροσδιοριστία χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με αυτή, οπότε

( )( )( )

( )0 0 0

sin sinsinlim lim lim a x x x

ax a x x a ax a x x aaxla x x aa x x a a x x a a x x a→ → →

− + + − + += = = ⇒

− − −− − + − − + − + +

( ) ( )0 0

sin1 sinlim lim2 2a x x

ax a x x a a axl a x x ax ax→ →

− + + = − = − − + + *, a +∀ ∈ . 22

Χρησιμοποιώντας το γνωστό όριο



1100

2200

--22

--2200


∈∀ ∈

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς *

0lim , ( ) ( )a af x xf x x x +→

= ∀ ∈= − ..

f

0

sinlim 1x

xx→

= ,

καθώς και το ότι

( )0

lim 2x

a x x a a a a→

− + + = + = *, a +∀ ∈ ,

τα όρια των δύο παραγόντων της εξ. 22 υπάρχουν, και κατά συνέπεια

( ) ( )0 0 0 0

sin sinlim lim lim lim 2 2a x x ax x

a ax a axl a x x a a x x aax ax→ → → →

= − ⋅ − + + = − ⋅ − + + ⇒

*1 2 , 2aal a a a a += − ⋅ ⋅ = − ∀ ∈ .


*

0

sinlim , a x

axl a a aa x x a +→

= = − ∀ ∈− − +

,


*

0

sinlim , a

ax x x xx a x a +→

= − ∀ ∈− − +

,

οπότε η οριακή συνάρτηση είναι η *( ) , ff x x x x D += − ∀ ∈ = .


*sin( ) , [ , ), aa f

axf x x D a ax a x a += ∀ ∈ = +∞ ∀ ∈− − +

,


*

0( ) lim ( ) , aa

f x f x x x x +→= = − ∀ ∈ .

grafeq: 100.00%

*sin( ) , [ , ), aaxf x x a a

x a x a += ∀ ∈ +∞ ∀ ∈− − +



22..66.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 00//00 ήή 11∞ μμεε χχρρήήσσηη ττοουυ ΛΛοογγααρριιθθμμιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ::

0

ln(1 ) 1lim lim ln 1 1x x

x xx x→ →+∞

+ = + =

.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ :: Μπορούμε να άρουμε την απροσδιοριστία 0 0 φέρνοντας το όριο στη μορφή

[ ]0 ,

ln 1 ( )lim

( )x x

g xg x±→ ±∞

+, όπου 0 ,( ) 0x xg x

±→ ±∞→ .

Π.χ., για το υπολογισμό του ορίου

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xl

f x→

+= , όπου 0( ), ( ) 0xf x g x →→ ,

λόγω του γνωστού ορίου

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= ,

λαμβάνουμε άμεσα,

[ ] [ ]0 ( ) 0 0 0

ln 1 ( ) ln 1 ( )( ) ( ) ( )lim lim lim 1 lim ( ) lim( ) ( ) ( ) ( ) ( )x g x x x x

g x g xg x g x g xf xf x g x g x f x f x→ → → →+∞ →

+ +⋅ = ⋅ = ⋅ = ,

και άρουμε την νέα οριακή απροσδιοριστία, συνήθως με απλοποίηση.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ ΙΙ ΙΙ :: Μπορούμε να άρουμε την απροσδιοριστία 1∞ φέρνοντας τη συνάρτηση του ορίου στη μορφή

[ ] [ ]( )ln ( ) ( ) ln ( )( )( ) sg n ( ) sg n ( ) ,

g xf x g x f xg xf x f x e f x e x D= = ∀ ∈ ,

κάνοντας, δηλ., χρήση της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ και της γνωστής λογαριθμικής ταυτότητας *ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ . Το όριο του εκθέτη εμφανίζει απροσδιοριστία 0 0 και λόγω της

μορφής του ουσιαστικά αναγόμαστε στην Μεθοδολογία Ι.


0lim 1x

xl x

→= + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 1∞ . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία (ανάγουμε την απροσδιοριστία 1∞ σε 0 0 ) φέρνοντας το όριο στη μορφή

ln(sgn ) g fgf f e= ,

και υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη ανάγοντάς το στη μορφή

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→

+, όπου 0( ) 0xg x →→ .



22..66.. ΆΆρρσσηη οορριιαακκήήςς ααππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 0/0 ήή 1∞ μμεε χχρρήήσσηη λλοογγααρριιθθμμιικκοούύ οορρίίοουυ 99

[ ]1

ln( 1) ln( 1)ln 11

0 0 0 0 0lim 1 lim( 1) lim sgn( 1) lim( 1) lim

xx x

xxx x xx x x x x

l x x x e e e+ +

+

→ → → → →= + = + = + = + = .. 11

Το όριο του εκθέτη είναι της απροσδιόριστης μορφής 0 0 , ωστόσο άρετε άμεσα η απροσδιοριστία αυτή καθώς αποτελεί το γνωστό όριο

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= ,

Εφόσον, το όριο του εκθέτη υπάρχει, από την εξ. 11 λαμβάνουμε άμεσα

0

ln( 1) ln( 1)lim 1

0lim x

x xx x

xl e e e e→

+ +

→= = = = .


1

1lim x

xl x

+

−

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 1∞ . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία (ανάγουμε την απροσδιοριστία 1∞ σε 0 0 ) φέρνοντας το όριο στη μορφή



Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο, λαμβάνουμε διαδοχικά 1

11 ln

ln1 1 1

1 1 1 1lim lim lim limx

xxx x x

x x x xl x x e e−

+ + + +

− − −

→ → → →= = = = .. 11

Μετασχηματίζοντας το όριο του εκθέτη, καθώς 11 0xx+→ +− → , ανάγεται στο γνωστό όριο

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= ,


1 1 0 0

ln ln( 1 1) ln( 1)lim lim lim 11 1x x x

x x xx x x+ + +→ − → →

− + += = =

− −.

Εφόσον λοιπόν υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 11, θα υπάρχει και το ζητούμενο όριο, καθώς η εξ. 11 δίνει άμεσα,

1

lnln lim111

1lim x

xxxx

xl e e e e+→

+

−−

→= = = = .


[ ]lim ln( 1) lnx

l x x x→+∞

= + − .



ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, στον παράγοντα με τους λογαρίθμους, της μορφής ∞−∞ . Άρουμε καταρχήν αυτήν την φαινομενική απροσδιοριστία χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα των λογαρίθμων *ln ln ln , ,a b a b a b +− = ∀ ∈ , οπότε

1 1lim ln lim ln 1x x

xl x xx x→+∞ →+∞

+ = = +

. 11

Παρατηρούμε ότι το όριο

( )1 1 1lim ln 1 ln lim 1 ln 1 lim ln 1 0 ln1 0x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞

+ = + = + = + = =

.

Κατά συνέπεια το όριο της εξ. 11 είναι ουσιαστικά της απροσδιόριστης μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την φέρνοντας το όριο στη μορφή

[ ]ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→+∞

+, όπου ( ) 0xg x →+∞→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, φέρνουμε το ζητούμενο όριο της εξ. 11 στη μορφή

1 1ln 1 ln 11 1 1lim ln 1 lim lim

1 1x x x

x xl x xx x x

x x→+∞ →+∞ →+∞

+ + = + = ⋅ ⋅ = ⋅

. 22

Το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 22 υπάρχει και υπολογίζεται άμεσα, καθώς

1 1lim lim 0x x xx→+∞ →+∞

= = ,

όπως και το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 22, καθώς μετασχηματίζοντας, επειδή 1 0xx →+∞ +→ , λαμβάνουμε άμεσα

( )1 0 0

1 1ln 1 ln 1 ln 1lim lim lim 1

1 1x x x

xx xx x x+→+∞ → →

+ + + = = = .

Κατά συνέπεια, βάσει των παραπάνω, από τη εξ. 22 το ζητούμενο όριο υπολογίζεται άμεσα, δηλ.

1 1ln 1 ln 11 1lim lim lim 0 1 0

1 1x x x

x xlx xx x→+∞ →+∞ →+∞

+ + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .


2

0

1 sinlim lnsinx

xlx→

+= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, φέρνοντας το όριο στη μορφή



[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→

+, όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση,

2 2

20 0

ln(1 sin ) ln(1 sin )lim limsinsin sinx x

x xl xx x→ →

+ += = ⋅ .. 11

Το όριο του πρώτου παράγοντα της εξ. 22 υπάρχει και υπολογίζεται άμεσα, καθώς

0limsin sin 0 0x

x→

= = ,

όπως και το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 11, καθώς επειδή 2 0sin 0xx →→ , λαμβάνουμε άμεσα

2

2 2

2 20 0sin 0

ln(1 sin ) ln(1 sin ) ln(1 )lim lim lim 1sin sinx xx

x x xxx x→ →→

+ + += = = .

Κατά συνέπεια, εφόσον υπάρχουν τα παραπάνω δύο όρια, το ζητούμενο όριο υπολογίζεται άμεσα από τη εξ. 11, και συγκεκριμένα

2 2

2 20 0 0

ln(1 sin ) ln(1 sin )limsin limsin lim 0 1 0sin sinx x x

x xl x xx x→ → →

+ += ⋅ = ⋅ = ⋅ = .


1

1lim x x

xl x

+

−

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 1∞ καθώς,

111 1 01 1

1 1lim lim (1 ) (1 ) (1 )

xx x x

x xl x x

++

++

+ +

− + + + +∞− −

→ →

= = = = =

.

Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή φέρνοντας, κατ’ αρχήν, το όριο στην εκθετική του μορφή, δηλ.,

1 lnln1 1

1 1 1lim lim(sgn ) lim

xx

x x xxx x

x x xl x x e e−

+ + +

− −

→ → →= = = , 11

και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη, το οποίο όμως εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Λόγω της μορφής του εκθέτη, άρουμε οριακή απροσδιοριστία του γράφοντας το όριό του σαν

[ ]1

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x+→

+, όπου 1( ) 0xg x

+→→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, για το υπολογισμό του ορίου του εκθέτη της εξ. 11, μετασχηματίζουμε πρώτα το όριό του σε έκφραση του 1x − έτσι ώστε, επειδή 11 0xx

+→ +− → , θα έχουμε,



1 1 0 0

1 1 ln( 1)lim ln lim ln( 1 1) lim 11 1x x x

x x xx x xx x x+ + +→ − → →

− + += − + = + ⋅

− −. 22

Το παραπάνω όριο υπάρχει καθώς προφανώς υπάρχει το όριο του πρώτου παράγοντά του, ενώ το όριο του δεύτερου παράγοντα είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο

0

ln(1 )lim 1x

xx+→

+= ,

οπότε, άμεσα, η εξ. 22 δίνει,

1 0 0

ln( 1)lim ln lim 1 lim 1 1 11x x x

x xx xx x+ + +→ → →

+= + ⋅ = ⋅ =

−,

και κατά συνέπεια, εφόσον υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 11, το ζητούμενο όριο της εξ. 11 θα υπάρχει και αυτό καθώς,

1lim ln

11x

x xxl e e e+→ −= = = .


1lim , x a x a

ax

l x a+

− +

→= ∀ ∈ ,


1( ) lim , a x x a

fa

f x a x D+

− +

→= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι, επειδή

1

1

1 1lim lim (1 ) 1

ax ax a x a x a a

ax x

l x x+

+

+ +

++− + + +− −

→ →

= = = =

, ( ,1)a∀ ∈ −∞ ,

το ζητούμενο όριο υπάρχει στην περίπτωση που ( ,1)a∈ −∞ καθώς, άμεσα, δίνει

11

1lim 1 1, ( ,1)

x a ax a a

ax

l x a+

+ +− −

→= = = ∀ ∈ −∞ .

Στην περίπτωση, όμως, που 1a = εμφανίζεται οριακή απροσδιοριστία της μορφής 1∞ καθώς,

1 11 21 1 1 0

11

lim (1 ) (1 ) (1 )xx

xl x

+ +

+ +

+

+++ + + +∞− −

→

= = = =

.


11

1 1 1ln lnln1 1 11

1 1 1 1lim lim(sgn ) lim( 1) lim

xx

x x xx xxx x x

x x x xl x x e e e

+−

+ + + +

+ + +− − −

→ → → →= = = + = , 11



και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη, το οποίο όμως εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Λόγω της μορφής του εκθέτη, άρουμε οριακή απροσδιοριστία του γράφοντας το όριό του σαν

[ ]1

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x+→

+, όπου 1( ) 0xg x

+→→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, για το υπολογισμό του ορίου του εκθέτη της εξ. 11, μετασχηματίζουμε πρώτα το όριό του σε έκφραση του 1x − έτσι ώστε, επειδή 11 0xx

+→ +− → , θα έχουμε,

1 1 0 0

1 1 2 ln( 1)lim ln lim ln( 1 1) lim ( 2)1 1x x x

x x xx x xx x x+ + +→ − → →

+ − + += − + = + ⋅

− −. 22

Το παραπάνω όριο υπάρχει καθώς υπάρχει (προφανώς) το όριο του πρώτου παράγοντά του, ενώ το όριο του δεύτερου παράγοντα είναι ανάγεται στο γνωστό όριο

0

ln(1 )lim 1x

xx+→

+= ,

καθώς,

0 0 0 0 0 0

ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln( 1)lim lim lim lim lim lim 0 1 0x x x x x x

x x x x x xx x xx x xx x x x+ + + + + +→ → → → → →

+ + + + += = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .

Κατά συνέπεια η εξ. 22 δίνει άμεσα,

1 0 0

1 ln( 1)lim ln lim ( 2) lim 2 0 01x x x

x xx xx x+ + +→ → →

+ += + ⋅ = ⋅ =

−,

οπότε, εφόσον υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 11, το ζητούμενο όριο της εξ. 11 θα υπάρχει και αυτό καθώς,

1

1lim ln01

1 1x

x xxl e e+→

+−= = = .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, 1, ( ,1]al a= ∀ ∈ −∞ .


1lim 1, ( ,1]x a x a

ax

l x a+

− +

→= = ∀ ∈ −∞ ,


1lim 1, ( ,1]a x x a

aa x

+

− +

→= ∀ ∈ −∞ ,

οπότε η οριακή συνάρτηση είναι η ( ) 1, ( ,1]ff x x D= ∀ ∈ = −∞ , δηλ. 1f ≡ , ή ( ,1]

1f−∞

= .


*( ) , ( , ), {1 1 }a

a x x aa f k

f x a x D a a k− +∈

= ∀ ∈ = −∞ ∀ ∈ +

,



55

55

--55

--55

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 {1 }a kkf a

∈∀ ∈ +

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς ( ,1]1

lim 1a

aff −∞+→= = ..

1f(−∞,1]

=

1

1

δηλ. γύρω από τα δεξιά της τιμής 1a = , για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

1( ) lim ( ) 1, ( ,1]a

af x f x x

+→= = ∀ ∈ −∞ .

22..77.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 00//00 μμεε χχρρήήσσηη ττοουυ ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ::

*

0 0

1 1lim ln , lim 1x x

x x

a ea ax x+→ →

− −= ∀ ∈ =

.

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ :: Άρουμε την απροσδιοριστία 0 0 γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση της μορφής

0

( )

,

1lim( )

g x

x x

ag x±→ ±∞

− , όπου 0 ,( ) 0x xg x±→ ±∞→ ,

οπότε, λόγω του γνωστού ορίου

*

0

1lim ln , x

x

a a ax +→

−= ∀ ∈ ,

συμπεραίνουμε και την ύπαρξη των ορίων τέτοιων εκφράσεων, καθώς

0

( ) ( )

( ) 0 0,

1 1 1lim lim lim ln( ) ( )

g x g x x

g x xx x

a a a ag x g x x± → →→ ±∞

− − −= = = *, a +∀ ∈ .

Π.χ., για τον υπολογισμό του ορίου

( )

0

1lim( )

f x

x

ag x→

− , όπου 0( ), ( ) 0xf x g x →→ ,


grafeq: 99.97%

*( ) , ( , ), {1 1 }a x x aa k

f x a x a a k− +∈

= ∀ ∈ −∞ ∀ ∈ +


22..77.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 0/0 μμεε χχρρήήσσηη ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ 105

( ) ( ) ( )

0 0 ( ) 0 0 0 0

1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )lim lim lim lim lim lim( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x f x x

x x f x x x x

a a f x a f x a f xg x f x g x f x g x x g x→ → → → → →

− − − −= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

0

( )ln lim( )x

f xag x→

= ⋅ *, a +∀ ∈ ,

και στη συνέχεια άρουμε την νέα οριακή απροσδιοριστία 0 0 , συνήθως με απλοποίηση.


( )lim 2 1x

xl x

→+∞= − .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 0∞⋅ = . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία γράφοντας το όριο σαν έκφραση της μορφής

( ) 1lim( )

g x

x

ag x→+∞

− , όπου ( ) 0xg x →+∞→ ,

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, φέρνουμε το όριο στη μορφή

1

lim 2 1xx

l x→+∞

= −

,

και παίρνουμε τελικά, μέσω μετασχηματισμού, επειδή 1 0xx →+∞→ , το όριο

1

1 0 0

1 2 1lim 2 1 lim ln 21

xx

x xl

x x+ +→ →

−= − = =

.


1 2*

, , 1lim , , ,

1

x

a b c x

a bx cl a b cx

−

+→

+ += ∀ ∈ ∀ ∈

− ,


1 2

1

2( ) lim , 1

a

fa

x a xf x x Da

−

→

+ −= ∀ ∈

−.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Σπάζοντας το ζητούμενο όριο, το φέρνουμε στη μορφή

1 2 1 2 1 2

, , 1 1 1

1 1 1 1lim lim lim1 1 1 1

x x x

a b c x x x

a bx c a bx c a bx clx x x x

− − −

→ → →

+ + − + + + − + += = = + − − − −

, , ,a b c∀ ∈ 11

Παρατηρούμε ότι το όριο του πρώτου όρου εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία γράφοντας το όριο σαν έκφραση της μορφής

( )

1

1lim( )

g x

x

ag x→

− , όπου 1( ) 0xg x →→ ,



οπότε, επειδή 11 0xx →− → , αναγόμαστε στο όριο

1 1

1 1 0 0

1 1 1lim lim lim ln1 1

x x x

x x x

a a a ax x x

− −

→ − → →

− − −= = =

− −*, a +∀ ∈ , 22

ενώ, εάν 0a = , το όριο αυτό δεν συγκλίνει και κατά συνέπεια ούτε το ζητούμενο όριο θα συγκλίνει, καθώς δεν ταυτίζονται τα πλευρικά όρια,

1

1 1 1 0 0

0 1 1 1 1lim lim lim lim1 1 1

x

x x x xx x x x±

−

→ → − → →

− −= = − = − = ∞

− − − .

Ως αναφορά τον δεύτερο όρο, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που

2 *

1lim(1 )x

bx c k→

+ + = ∈ ,

δηλ. 1 0 1b c b c+ + ≠ ⇒ + ≠ − , τότε βάσει αυτού, η εξ. 11, με τη βοήθεια της εξ. 22, δίνει άμεσα

1 2

, , 1 1 1

1 1 1lim lim ln lim ln (sgn )( )1 1 1

x

a b c x x x

a bx cl a k a kx x x

−

→ → →

− + + = + = + = + +∞ = ±∞ − − − .

Στην περίπτωση τώρα που 1b c+ = − , τότε βάσει αυτού η εξ. 11, με τη βοήθεια της εξ. 22 ή της εξ. 33, δίνει αντίστοιχα

1 2 2

, , 1 1 1

1 1lim lim ln lim1 1 1

x

a b c x x x

a bx c bx bl ax x x

−

→ → →

− + + −= + = + = − − −

1

ln lim( 1) ln 2x

a b x a b→

= + + = + , 1b c+ = − *, a +∀ ∈ .


1 2*

, , 1

, , | 1lim ,

ln 2 , , | 11

x

a b c x

b c b ca bx cl aa b b c b cx

−

+→

±∞ ∀ ∈ + ≠ −+ += = ∀ ∈ + ∀ ∈ + = −−

.

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, από την παραπάνω γενική σχέση, βλέπουμε ότι

1 2*

, , 2 1

, , | ( 2) 12lim , ln 2 , , | ( 2) 11

x

a a x

a c aa axl aa b a c ax

−

− +→

±∞ ∀ ∈ + − ≠ −+ −= = ∀ ∈ + ∀ ∈ + − = −−

,

δηλ.

*1 2

, , 2 1

, | 12lim1 ln 2 , 1

x

a a x

a aa axlx a a a

−+

− →

±∞ ∀ ∈ ≠+ −= = =

− + =

*, {1}2, 1

aa

+±∞ ∀ ∈ −

=

,


*1 2

1

, {1}2lim1 2, 1

a

a

xx a xa x

−+

→

±∞ ∀ ∈ −+ −=

− =

,

δηλ. η οριακή συνάρτηση είναι η (1) 2f = , ενώ δεν ορίζεται πουθενά αλλού καθώς το πεδίο ορισμού της είναι το μονοσύνολο {1}fD = , δηλ. 2f ≡ , ή

{1}2f = .



22..77.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 0/0 μμεε χχρρήήσσηη ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ 107

55

55

--22

--55

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη 3001

, 1 {1 }a kkf a

∈∀ ∈ ±

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς {1}1lim 2a aff→

= = .. 1

2

3001

1 2 2( ) , , {1 1 }1 a

a

a f k

x a xf x x D a ka

−

∈

+ −= ∀ ∈ ∀ ∈ ±

−

,

δηλ. γύρω από την τιμή 1a = , για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

1(1) lim (1) 2aa

f f→

= = .

22..88.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 0000 μμεε χχρρήήσσηη ττοουυ ΓΓεεννιικκοούύ ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ::

0

lim 1x

xx

±→= ± .

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ :: Άρουμε την απροσδιοριστία 00 γράφοντας το ζητούμενο όριο σαν έκφραση της μορφής

0

( )

,lim ( )g x

x xg x

±→ ±∞, όπου 0 ,( ) 0x xg x

±→ ±∞ ±→ .


0lim 1x

xx

±→= ± ,

συμπεραίνουμε και την ύπαρξη των ορίων τέτοιων εκφράσεων, καθώς

0

( ) ( )

, ( ) 0 0lim ( ) lim ( ) lim 1g x g x x

x x g x xg x g x x

± ± ±→ ±∞ → →= = = ± *, a +∀ ∈ .

Σημειώνουμε εδώ ότι λόγω των διαφορετικών πλευρικών ορίων, το όριο της μορφής

0lim x

xx

→,

δεν συγκλίνει.

grafeq: 99.93%

3

3 0

0

1

0

0

1

1 2

1 2

( 1)( ) , ,

( 1)( ) , , {1 1 }

{1 1 }

1

1

a

a

a

a f k

a

a f k

x a xf

x a xf x x D a

x x D

a

a ka

k−

∈

−

∈

+ += ∀ ∈ ∀ ∈ +

+ += ∀ ∈ ∀ ∈ −

−

−

2f{1}

=



Π.χ., για τον υπολογισμό του ορίου

( )

0lim ( )g x

xf x

+→, όπου 0( ), ( ) 0xf x g x

+→ +→ ,

φέρνουμε το ζητούμενο όριο στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ ,

με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Εμφανίζοντας την συνάρτηση της βάσης στον εκθέτη, λαμβάνουμε

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

0 0 0lim ( ) lim ( ) lim ( )

g x g xf xg x f xf x f x

x x xf x f x f x

+ + +→ → → = = ,

και στη συνέχεια αίροντας την νέα οριακή απροσδιοριστία 0 0 του εκθέτη (συνήθως με απλοποίηση), λαμβάνουμε

( )0 0 0 0

( )( ) ( ) ( )limlim lim lim( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 0 ( ) 0 0lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim 1 1x x x x

g xg x g x g xf xf x f xg x f x f x x f x

x x f x xf x f x f x x

+ +→ → +→ →

+ + + +→ → → →

= = = = = .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Εναλλακτικά, εμφανίζοντας την συνάρτηση του εκθέτη στη βάση, λαμβάνουμε

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim lim ( )( ) ( ) ( )

g x g x g xg x g x g x

x x x x x

g x f x f xf x f x g x g xg x g x g x+ + + + +→ → → → →

= = = ⋅ =

( ) ( ) ( )( )

0 ( ) 0 0 0 0

( ) ( ) ( )lim lim ( ) lim lim lim( ) ( ) ( )

g x g x g xg x x

x g x x x x

f x f x f xg x xg x g x g x+ + + + +→ → → → →

= ⋅ = ⋅ =

,

και στη συνέχεια αίροντας την νέα οριακή απροσδιοριστία 0 0 της βάσης (συνήθως με απλοποίηση), για την οποία όμως

0

( )lim {0, }( )x

f xg x+→

∉ ±∞ ,

λαμβάνουμε

( )

0lim ( )g x

xf x

+→=

0lim ( ) 0

0 0

( ) ( )lim lim 1( ) ( )

xg x

x x

f x f xg x g x

+→

+ +→ →

= = ±

.

Στην περίπτωση

0

( )lim {0, }( )x

f xg x+→

∈ ±∞ ,

αίρουμε την οριακή απροσδιοριστία 00 ή 0∞ που ανακύπτει αναγόμενοι πάλι σε έκφραση του γνωστού ορίου

0lim 1x

xx

+→= .


22..88.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 00 μμεε χχρρήήσσηη ΓΓεεννιικκοούύ ΕΕκκθθεεττιικκοούύ ΟΟρρίίοουυ 109


ΑΑ.. 2 4

0lim

xx

xl x

+

+

→= . ΒΒ.. 2

0lim

x xx

xl x

+

−+

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..11ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 00 την οποία και άρουμε την απροσδιοριστία ανάγοντας το όριο σε έκφραση της μορφής

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .


( )2 2 2

1 14 4 4

0 0 0lim lim lim

x xxx x x

x x xl x x x

+ + +

⋅+ + +

→ → →= = = . 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου συγκλίνει, καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο,

0lim 1x

xx

+→= ,

όπως συγκλίνει προφανώς και το όριο του εκθέτη. Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια βάσης και εκθέτη της εξ. 11, με βάσει τα παραπάνω το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς

( ) 20

1lim4 1 4

0lim 1 1x xx

xl x →

+

+

→= = = .


2 224 42 2 4

2 20 0lim ( 4) lim ( 4)

4 4

x xx

x xx

x x

x xl x xx x+ +

+ ++

→ →

= + = + + + , 22

και επειδή

20

0lim 00 44x

xx+→

= =++

,

το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 22 συγκλίνει, καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο,

0lim 1x

xx

+→= ,

ενώ και το όριο του πρώτου παράγοντα συγκλίνει άμεσα. Επομένως,

2 22 2

2

04 42 2 04 0 4

2 20 0 004

lim ( 4) lim (0 4) lim 4 lim 1 1 14 4

x xx

x x xxxx x x

x

x xl x xx x+ + ++

+ ++ +

→ → →→+

= + ⋅ = + ⋅ = ⋅ = ⋅ = + + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..11ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 00 την οποία και άρουμε την απροσδιοριστία ανάγοντας το όριο σε έκφραση της μορφής

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .




( 2)2 ( 2)0 0 0

lim lim limx x

x x x xx x x xx x xx x x

l x x x+ + +

−− −

++ +→ → →

= = =

. 33

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή 0 0xx+→ +→ ,

0 0 0lim lim lim 1

x x x

x x xx x x

+ + +→ → →= = = ,

όπως και το όριο του εκθέτη, το οποίο εμφανίζει φαινομενική απροσδιοριστία της μορφής 0 0 που άρετε με απλοποίηση. Συγκεκριμένα, βγάζοντας κοινό παράγοντα το x (ή διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το x ), παίρνουμε

2

0 0 0 0

1 1 1 1 0 1lim lim lim lim2 2 0 2 2( 2) ( 2)x x x x

x xxx x xx x

x xx x x x+ + + +→ → → →

− − − − − = = = = =

+ + ++ +.

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια βάσης και εκθέτη της εξ. 33, με βάσει τα παραπάνω το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς

0lim

( 2) 1 2

0lim 1 1x

x xx x x

xl x

+→

+

−+

→

= = =

.


2 2

22

0 0 0

2lim lim lim2

2 2

x x x xx x x x

x x xx

x x x

x xx x xxl x x

xx x x xx x

+ + +

− −+ + −

− ++

→ → →

− −+ = = = + − − + +

, 44

και επειδή

0

0 0lim 02 0 2x

x xx+→

− −= =

+ +,


0lim 1x

xx

+→= ,


2 2 2 2

0 0 0 02

( 2) ( 2)lim lim lim lim2 2(1 )

x x x x x x x xx x x x

x xx x xx

x x x x x x x xlx xx x x x+ + +

+

− − − −+ + + +

−→ → → →+

+ − + −= = = + +− −

0

lim2

0

0 0

2lim lim 2 1 11

x

x xx

x

x x

x xx

+→

+ +

−+

→ →

+ = ⋅ = ⋅ = −

.

Σημειώνουμε εδώ ότι ισχύει



0 02

xx xx

+→ +−→

+,

καθώς

0(1 ) 0 (1 0 ) 0 02 2 0 2 2

xx x x xx x

++ + +

→ ++ +

− − −= → = = + + +

.


ΑΑ.. 22 2

3lim1

xx

x

xlx

+

→+∞

= +

. ΒΒ.. 2

0lim

1

xx

x

xlx+

+

→

= +

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..22ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 , καθώς βγάζοντας κοινό παράγοντα τους μεγιστοβάθμιους όρους των πολυωνύμων,

( )( )2 22 2

11 22 22 1 2

3 33 3

1lim lim lim1 1 11 1

x xxx xx x

x x x

x x xlx xx x

++ +

→+∞ →+∞ →+∞

= = = = + ++

2

lim 10

1 2 lim 1 1 00

3

lim 1 0 01 lim 1 1 0

x

x

x

xx

x

x

x

+→+∞

+→+∞

+ + +→+∞

+

→+∞

= = = + +

,

την οποία απροσδιοριστία και άρουμε ανάγοντας το όριο σε έκφραση της μορφής

( )lim ( )g x

xg x

→+∞, όπου ( ) 0xg x →+∞ +→ .

Επειδή 1 0xx →+∞ +→ , φέρνουμε αρχικά το ζητούμενο όριο στη μορφή

2 2 2

12 2 1 2 1 2

3 3 31 0 0

1lim lim lim1 1 1 1

xx xx x x

x x x

x x xlx x x+ +

+ + +

→+∞ → →

= = = + + + .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Εμφανίζοντας την συνάρτηση της βάσης στον εκθέτη, λαμβάνουμε 3

3 23 2 3

11 1 2

1 1 2 1

3 30 0lim lim

1 1

xx x x xx x x

x x

x xlx x+ +

++ +⋅

+ + +

→ →

= = + +

. 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή 3 0(1 ) 0xx x+→ ++ → ,

3 3

3

1 1

3 30 001

lim lim lim 11 1

x xx x x

xx xx

x x xx x+ ++

+ +

→ →→+

= = = + + ,

όπως και το όριο του εκθέτη, καθώς άμεσα,



3

20

1 1 0lim 11 01 2x

xx+→

+ += =

++.


3

203

1lim1 2

1 130

lim 1 11

x

xx xx

x

xlx

+→

+

+

++

→

= = = +

.


2 2

2 2

1 2 1 2

2 31 2 1 2

3 3 20 0 0

2 2

1 2 1lim lim lim1 1 1 2

1 2 1 2

x xx xx x

x x

x x x

x xx x xx xl

x xx x xx x

+ + +

+ +

+ +

→ → →

+ += = = + + + + +

, 22

και επειδή 2 0(1 2 ) 0xx x+→ ++ → , το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 22 συγκλίνει, καθώς είναι

ουσιαστικά το γνωστό όριο,

0lim 1x

xx

+→= ,


2 2 2

2

02 1 2 1 01 2 1 2 0

3 2 20 0 001 2

1 2 1 0lim lim lim 1 lim 1 1 11 01 1 2 1 2

x x xx x x x

xx x xx

x x xl xx x x+ + ++

+ ++ +

→ → →→+

+ + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ++ + +

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..22ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 , την οποία και άρουμε γράφοντα το όριο σαν έκφραση της μορφής,

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .


1 (1 )1 2 2

1 1 12

0 0 0lim lim lim

1 1 1

x x x xx x x x xx x xx x xx x

x x x

x x xlx x x+ + +

+ ++ + +⋅ ⋅

+ + ++

→ → →

= = = + + +

. 33

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή 0(1 ) 0xx x+→ ++ → ,

1 1

0 001

lim lim lim 11 1

x xx x

x

xx xx

x x xx x+ +

+

+ +

→ →→+

= = = + +

,

όπως και το όριο του εκθέτη, το όποιο μηδενίζεται άμεσα. Κατά συνέπεια στην εξ. 33 δεν υφίσταται καμιά οριακή απροσδιοριστία, οπότε και δίνει άμεσα,



0

(1 )lim2

10

0lim 1 1

1

x

x xx xx

x

xlx

+→

+

++

+

→

= = = +

.


22

22 2

0 0 0

22 1lim lim lim1 2 (1 ) 2

2 2

xxxx xx x

xx x

x x x

x xx x x xx xl

x xx x x x xx x

+ + +

++

++ +

→ → →

+ + + = ⋅ = = + + + + + +

, 44

και επειδή

0

0lim 02 2 0x

xx+→= =

+ +,


0lim 1x

xx

+→= ,

ενώ και το όριο του πρώτου παράγοντα εμφανίζει απροσδιοριστία 0∞ . Άρουμε την απροσδιοριστία αυτή εμφανίζοντας πάλι το παραπάνω γνωστό όριο, και πιο συγκεκριμένα

2 22 2

0 0 0 02 2

1 2 1 2lim lim lim lim(1 ) 12 2

x xx xx xx x

x xx x xx x

x x x xlx xx x xx

+ + + +

+ ++ +

→ → → →+ +

+ + = ⋅ ⋅ = ⋅ = + ++ +

2 2

10 0 02 2 2 2

1 2 1 2lim lim lim 11 1

x xx x

xxx x x x

x x

x xxx x

x x+ + +

+ +

→ → →+ +

+ += ⋅ = ⋅ = + +

( ) ( ) 0

02 2 0 0

1 1 1 2 20 0 lim2 2 2 2

0

1 2 1 2 0 1lim lim 2 1 1 11 1 0 1

lim x

xx

x xx x xx

x

xxx x

+ +

+→

+

+ +

→ →+ +

→

+ += ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = + +

.


ΑΑ.. 0

lim x

xl x

+→= . ΒΒ.. 1

0lim

xx

xl x

+

+

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..33ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 00 την οποία και άρουμε την απροσδιοριστία ανάγοντας το όριο σε έκφραση της μορφής

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .




( )1

0 0 0 0lim lim lim lim

x xx xx xx x xx x x x

l x x x x+ + + +

⋅

→ → → →= = = = .

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο,

0lim 1x

xx

+→= ,

ωστόσο, το όριο του εκθέτη προφανώς αποκλίνει (στο +∞ ) και κατά συνέπεια η παραπάνω μεθοδολογία δεν μας δίνει αποτέλεσμα καθώς ανακύπτει η οριακή απροσδιοριστία 1∞ .


( )0 0 0

lim lim limx x xx

x x xl x x x x x

+ + +→ → →

= = ⋅ ⋅ ⋅

.

Τα όρια των δύο παραγόντων της εξ. 11 υπάρχουν καθώς, επειδή 0 0xx+→ +→ , ανάγονται στο

γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,

οπότε άμεσα,

0 0 0 0 0lim lim lim lim lim 1 1 1

x x x x x x

x x x x xl x x x x x x

+ + + + +→ → → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..33ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 . Προσπαθώντας να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, γράφουμε το όριο σαν έκφραση της μορφής,

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .


( )1 1

1 1 1 10 0 0 0

lim lim lim limx x x x

xx x x x x x xx x x x

l x x x x+ + + +

⋅+ + + +

→ → → →= = = = .

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο,

0lim 1x

xx

+→= ,

ωστόσο, το όριο του εκθέτη προφανώς αποκλίνει (απειρίζεται θετικά) και κατά συνέπεια η παραπάνω μεθοδολογία δεν μας δίνει αποτέλεσμα καθώς ανακύπτει η οριακή απροσδιοριστία 1∞ .


1 1 1

0 0 0

1 1lim lim lim 11 1 1

x x xx x x

x x x

x x x x xl x x x xx x x x x+ + +

+ + +

→ → →

+ += ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + + +

1

1 10

lim 11

xx x x

x xx

xx xx+

++ +

→

= ⋅ + ⋅ +

.. 11



Τα όρια του πρώτου και του τρίτου παράγοντα της εξ. 11 υπάρχουν καθώς ανάγονται στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= .

Συγκεκριμένα, για τον πρώτο όρο,

11

11 10 0 0

lim lim limx x x xx x

x x xx x x

+ + +

⋅ ++ +→ → →

= =

,

όπου υπάρχει το όριο της βάσης, επειδή 0 0xx+→ +→ , όπως (προφανώς) και το όριο του εκθέτη

οπότε η παραπάνω σχέση δίνει άμεσα

( )0

1 1lim 11 0 1 110 0 0 0

lim lim lim lim 1 1xx x xx xx

x x x xx x x x

+→

+ + + +

+ ++

→ → → →

= = = = =

.

Επίσης, για τον τρίτο όρο, επειδή 0( 1) 0xx x+→ ++ → , άμεσα έχουμε,

1 1

0 001

lim lim lim 11 1

x xx x

x

xx xx

x x xx x+ +

+

+ +

→ →→+

= = =+ +

.

Κατά συνέπεια υπάρχει το ζητούμενο όριο της εξ. 11 και σύμφωνα με τα παραπάνω, δίνει τελικά,

0101 1 0 1

0 0 0lim lim 1 lim 1 0 1 1 1 1 1 1

1

xx x x

x xx x x

xl x xx+ + +

++ + +

→ → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ =

+.


2

2lim ( 2)x x

xl x

+

− +

→= − ,

όπως και η οριακή συνάρτηση

( ) lim ( ) , a a xf

a xf x a x x D

+

− +

→= − ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 00 . Προσπαθώντας να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, γράφουμε το όριο σαν έκφραση της μορφής,

( )

2lim ( )g x

xg x

+→, όπου 2( ) 0xg x

+→ +→ .


2 2( 2) ( 2)2 22 2

lim ( 2) lim ( 2)x x x xx xx x

x xl x x

+ +

− + − +− −− −

→ → = − = − .. 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή 22 0xx+→ +− → ,

( 2) ( 2)

2 2 0 0lim ( 2) lim ( 2) lim 1x x x

x x xx x x

+ + +

− −

→ − → →− = − = = ,



όπως και το όριο του εκθέτη, το οποίο εμφανίζει φαινομενική απροσδιοριστία της μορφής 0 0 που άρετε με απλοποίηση. Συγκεκριμένα, πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή, παίρνουμε διαδοχικά

( )( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

2 22 2 ( 2)( 1)lim lim lim lim2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 2x x x x

x x x xx x x x x xx x x x x x x x x x+ + + +→ → → →

− + + +− + − − − += = = =

− − + + − + + − + +

2

1 2 1 3lim42 2 2 2x

xx x+→

+ += = =

+ + + +.


2

2lim2( 2) 3 4

2lim ( 2) 1 1x

x xxx

xl x +→

+

− +−−

→

= − = = .


( )2 2

2

2 2

2 2lim ( 2) lim 22 2

x x x xx x

x x

x x xl x x xx x x x+ +

− + − +− +

→ →

− + − = − = − +

− + − + . 22

Το όριο του δεύτερου παράγοντα του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή 22 0xx x+→ +− + → ,

( ) ( )2 2

2 2 0 0lim 2 lim 2 lim 1

x x x x x

x x x xx x x x x

+ + +

− + − +

→ − + → →− + = − + = = ,

ενώ το όριο του πρώτου παράγοντα εμφανίζει στη βάση απροσδιοριστία της μορφής 0 0 την οποία και άρουμε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε διαδοχικά,

( )( )( )

( )2 22

22 2 2

( 2) 2 ( 2) 22lim lim lim22 2 2

x x x xx x

x x x

x x x x x xxx xx x x x x x+ + +

− + − +− +

→ → →

− + + − + +− = = = − −− + − + + +

( ) 2

2 2 20

2 2

( 2) 2 2 2 2lim lim 2 1( 2)( 1) 1 2 1

x xx x

x x

x x x x xx x x+ +

− +− + −

→ →

− + + + + + = = = = = − + + +

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια των δύο παραγόντων της εξ. 22, με βάσει τα παραπάνω το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς άμεσα,

( )2

2

2 2

2lim lim 2 1 1 12

x xx x

x x

xl x xx x+ +

− +− +

→ →

− = ⋅ − + = ⋅ = − +

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ ΙΙ :: Εναλλακτικά, μεταβάλλοντας τη βάση με διαφορετικό τρόπο, μπορούμε να επιλύσουμε το ζητούμενο όριο και συγκεκριμένα φέρνοντάς το στη μορφή

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2lim ( 2) ( 2) lim ( 2) ( 2) lim ( 2) ( 2)x x x x x x

x x xl x x x x x x

+ + +

− + − + − + − − +

→ → →= − − = − − = − − . 33



Το όριο του πρώτου παράγοντα του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή 22 0xx+→ +− → ,

2 2

2 2 0 0lim ( 2) lim ( 2) lim 1x x x

x x xx x x

+ + +

− −

→ − → →− = − = = ,

ενώ το όριο του δεύτερου παράγοντα εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 την οποία και άρουμε χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση του εκθέτη. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε διαδοχικά,

( )( )2 2 2 2 4 2 1( 2)2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2lim ( 2) lim ( 2) lim ( 2) lim ( 2)

x x x xx x x x

x x x xx x x x

+ + + +

− + + + − −− −

− + + + + + + +

→ → → →− = − = − = − =

1

2 2

22

1lim( 2)

x

xx x+

+ +

−→

= −

.

Το όριο της βάσης, όπως και του εκθέτη, του παραπάνω ορίου υπάρχει, οπότε άμεσα

2

1lim2 2 1 4

2 222

2

1 1lim ( 2) 11lim ( 2)

x xx

xxx

xx

+→

+

+

+ +− +

−→→

− = = = −

.

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια των δύο παραγόντων της εξ. 33, με βάσει τα παραπάνω το ζητούμενο όριο υπάρχει, καθώς άμεσα,

2 2 2

2 2lim ( 2) lim ( 2) 1 1 1x x

x xl x x

+ +

− − +

→ →= − ⋅ − = ⋅ = .

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, παρόμοια με τα παραπάνω, άμεσα προκύπτει

lim ( ) 1, x x a

x ax a a

+

− ++

→− = ∀ ∈ ,


lim ( ) 1, a a x

a xa x x

+

− ++

→− = ∀ ∈ .

Άρα λοιπόν

( ) lim ( ) 1, a a xf

a xf x a x x D

+

− ++

→= − = ∀ ∈ = , δηλ. 1f

+=

.


20lim ,

x

ax

xl ax a+→

= ∀ ∈ + ,

όπως και η οριακή συνάρτηση

20( ) lim ,

a

fa

af x x Da x+→

= ∀ ∈ ⊆ + .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 00 . Προσπαθώντας να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή, γράφουμε το όριο σαν έκφραση της μορφής,



( )

2lim ( )g x

xg x

+→, όπου 2( ) 0xg x

+→ +→ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Στην προκειμένη περίπτωση, φέρνουμε το όριο στη μορφή

20lim

( )

x

a xx

xlx a+→

=+

, a∀ ∈ .. 11

Το όριο του αριθμητή της εξ. 11 υπάρχει καθώς ανάγεται στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,


( )0 0 0

lim lim limx x xx

x x xx x x x x

+ + +→ → →

= ⋅ ⋅ ⋅

,

όπου, επειδή 0 0xx+→ +→ , λαμβάνουμε άμεσα,

0 0 0 0 0 0lim lim lim lim lim lim 1 1 1

x x x x x x x

x x x x x xx x x x x x x

+ + + + + +→ → → → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

.

Επίσης, υπάρχει και το όριο του παρονομαστή, καθώς προφανώς,

2 0

0lim ( ) sgnx

xx a a a

+→+ = = ,

υποθέτοντας ότι *a∈ . Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, το ζητούμενο όριο της εξ. 11 δίνει άμεσα

02

0

lim 1 sgnsgnlim ( )

x

xa x

x

xl a

ax a+

+

→

→

= = =+

*, a∀ ∈ .

Σημειώνουμε, τέλος, ότι στην περίπτωση που θέλαμε να εμφανίσουμε τη συνάρτηση της βάσης του ζητούμενου ορίου στον εκθέτη για να πάρουμε τη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ ,

θα παίρναμε διαδοχικά 2

2 2

2 2 2

2 2 2 20 0 0 0lim lim lim lim

x ax x a x x a x xx x

x xx a x a x a

ax x x x

x x x xlx a x a x a x a+ + + +

++ +

⋅ ⋅+ + +

→ → → →

= = = = + + + +

, 22

και μπορεί ναι μεν να υπάρχει το όριο της βάσης, καθώς επειδή 2 0 *( ) 0, xx x a a+→− → ∀ ∈ ,

2 2

2

*

2 2 *0 00

1,lim lim lim

1

x xx a x a x

xx xx a

ax x xx a x a a+ ±

+ + +

→ →→ −+

∀ ∈ = = = + + − ∀ ∈

,

ωστόσο, το όριο του εκθέτη της εξ. 22 αποκλίνει στην περίπτωση που *a∈ , οπότε και εμφανίζεται στη εξ. 22 οριακή απροσδιοριστία της μορφής 1∞ .




2 2 20 0 0lim lim lim

( )

x x xx

a xx x x

x x x xl x xx a x ax x a+ + +→ → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ + + + , a∀ ∈ ,

και επειδή 0 0xx+→ +→ , παίρνουμε, για *a∈ , άμεσα,

002 0

0

lim 1 1lim 1 1 sgnsgnlim ( )

x

xxa x x

x

xl x a

aax a+

+

+

→

→

→

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =+

*, a∀ ∈ .


Στην περίπτωση τώρα που 0a = , το ζητούμενο όριο παίρνει τη μορφή

0 20 0

1lim lim0

x

xx x

xlx x+ +→ →

= = + ,

όπου, όπως δείξαμε παραπάνω, το όριο του παρονομαστή υπάρχει, οπότε άμεσα

0

0

1 1 11lim x

x

lx

+→

= = = .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν

*1,1,a

al

a−

+

− ∀ ∈= ∀ ∈

.

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε ότι

*

20

1,lim

1,

x

ax

axlx a a+

−

→+

− ∀ ∈ = = + ∀ ∈

,


*

20

1,lim

1,

a

a

xaa x x+

−

→+

− ∀ ∈ = + ∀ ∈

.

Άρα λοιπόν

*

20

1,( ) lim

1,

a

a

xaf xa x x+

−

→+

− ∀ ∈ = == + ∀ ∈

.


22( ) , { }, {1 }

a

ak

a f kaf x x D a a e

a x ∈ = ∀ ∈ = − − ∀ ∈ +

,

δηλ. γύρω από δεξιά της τιμής 0a = , για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

*

0

1,( ) lim ( )

1,aa

xf x f x

x+

−

→+

− ∀ ∈= = ∀ ∈

.



55

55

--55

--55

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , 1 { }ka kef a ∈∀ ∈


lima

aff+→

= ..

1

1−


ΑΑ.. 2

2lim1

xx

xlx x→+∞

−=

− −. ΒΒ..

2 2

0lim

1

xx

x

xlx+

+

→

=

+ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..66ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ , αλλά η ουσιαστική απροσδιοριστία που εμφανίζει είναι της μορφής 00 , καθώς

1 1 1lim1

2 2 20

2 2

2 22

2 1 2 1 2lim lim2lim lim lim 01 1 1 11 1 1 1 lim lim

xx x x

x x x

x x x

x x

xx x xx x xl

x x x xx xx xx

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− − − − = = = = = − − − − − − − −

.

Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία μετασχηματίζοντας πρώτα το όριο (γράφοντας τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου σαν έκφραση του 1 x , οπότε 1 0xx →+∞ +→ ), και στη συνέχεια εμφανίζοντας το μετασχηματισμένο όριο σαν έκφραση της μορφής

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, εφαρμόζοντας τα παραπάνω, έχουμε διαδοχικά,

1 1

12 2

2 2

22

2 1 22lim lim lim

1 11 1 1

x x

x

x x x

xx xx xl

x x x xx xx

→+∞ →+∞ →+∞

− − − = = = − − − − − −

,

και επειδή 1 0xx →+∞ +→ ,

grafeq: 99.97%

*2

2( ) , { }, {1 }a

a k

af x x a a ka x ∈

= ∀ ∈ − − ∀ ∈ +

1f+

=

1f

∗−= −



1

22

21 0

2

1 22lim lim

1 1 11

xx

x x

x xx xlx x

x x

+→+∞ →

− −= = − − − −

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Εμφανίζοντας την συνάρτηση της βάσης στον εκθέτη, λαμβάνουμε 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

12 1 2 1 2 1 2

2 2 21 21 2 1 1

2 2 20 0 0

2 2 2lim lim lim1 1 1

x xx x x x x x x x x x xx

xx x x x x x x x

x x x

x x x x x xlx x x x x x+ + +

− −− − − − − − − −⋅ ⋅

−− − − − − − −

→ → →

− − − = = = − − − − − −

.. 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς επειδή

2

02 2

2 (1 2 ) 0 (1 0 ) 0 01 1 1 0 0 1

xx x x xx x x x

++ + +

→ ++ + +

− − −= → = = − − − − − −

,

2 2

2 2

2

2

2 22 21 1

2 20 2 001

2 2lim lim lim 11 1

x x x xx x x x

x

x x x xx x

x x x x xx x x x+ +

+

− −

− − − −

→ − →→

− −

− −= = = − − − −

,

όπως και το όριο του εκθέτη, το οποίο δίνει άμεσα

2

0

1 1 0 0lim 11 2 1 0x

x xx+→

− − − −= =

− −.


2

20

2

1lim2 1 2

2 11

20

2lim 1 11

x

x xx x x

x x

x

x xlx x

+→

+

− −− −− −

→

− = = = − −

.


2

2 2 20 0 0

2 1 2 1 2lim lim lim1 1 1

x x xx

x x x

x x x x xl x xxx x x x x x+ + +→ → →

− − − = ⋅ = ⋅ = − − − − − − ..

Το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει και υπολογίζεται άμεσα όπως και το όριο του δεύτερου το οποίο είναι φυσικά το γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,

και επομένως λαμβάνουμε άμεσα

0

2 20 0 0

1 2 1 2 1 0lim lim lim 1 1 1 11 0 01 1

x xx x

x x x

x xl x xx x x x+ + +→ → →

− − − = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = − −− − − − ..

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..66ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 00 , την οποία μπορούμε να άρουμε γράφοντας το όριο σαν έκφραση της μορφής,



( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .


2 2 32

11 2

2 2 22 21 1

0 0 0lim lim lim

1 1 1

xx x x x x x x

x xx xx

x x x

x x xlx x x+ + +

++ +⋅ ⋅

+ ++ +

→ → →

= = = + + +

.. 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει, καθώς ανάγεται στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,

και συγκεκριμένα, επειδή 2 0( 1) 0xx x+→ ++ → ,

2 2

2

2 21 1

0 001

lim lim lim 11 1

x xx x

x

x x xx

x x xx x+ +

+

+ +

→ →→

+

= = =

+ + .

Ωστόσο, το όριο του εκθέτη της εξ. 11 προφανώς απειρίζεται και επομένως εμφανίζεται οριακή απροσδιοριστία της μορφής 1∞ .


2 2 23

0 0

2 2lim lim2 21 1

x xx x

x x

x x x x xl xx x xx x+ +

+ +

→ →

+ += ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = + ++ +

2 2

3 2

0

2lim21

x xxx x

x

x

x xxxx+

+ ++

→

+ = ⋅ ⋅ ++

. 22

Το όριο του πρώτου παράγοντα, προφανώς, υπάρχει (καθώς υπάρχει το όριο τόσο της βάσης όσο και του εκθέτη αυτού, χωρίς την εμφάνιση απροσδιοριστιών της μορφής 00 ) και συγκεκριμένα, δίνει,

0

0lim2 2 0 2 0

0 0

2 2 0 2lim lim 2 11 1 0 1

x

x xx x

x x

x xx x

+→

+ +

+ + +

→ →

+ + += = = = + + +

.

Επίσης, υπάρχει και το όριο του τρίτου παράγοντα της εξ. 22 καθώς ανάγεται στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

→= ,

και συγκεκριμένα, επειδή 0( 2) 0xx x+→ ++ → ,

2 2

0 002

lim lim lim 12 2

x xx x

x

xx xx

x x xx x+ +

+

+ +

→ →→+

= = =+ +

.

Τέλος, υπάρχει και το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 22 καθώς ανάγεται πάλι στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,



και συγκεκριμένα, επειδή 0 0xx+→ +→ ,

0

3 3 3 3lim13 2 2 0 23 2 220 0 0 0 0

lim lim lim lim lim 1 1xx

x x x xx xx xx x x x x

x x x x x+→

+ + + + +

⋅ + + ++ +→ → → → →

= = = = = =

.

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα επιμέρους όρια των παραγόντων της εξ. 22, θα υπάρχει κατά συνέπεια και το ζητούμενο όριο της εξ. 22 καθώς, βάσει των παραπάνω, λαμβάνουμε άμεσα,

2 23 2

0 0 0

2lim lim lim 1 1 1 121

x xxx x

x

x x x

x xl xxx+ + +

+ ++

→ → →

+= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ++

.


, lim , ,1

xa b x

ax b xl a bx→+∞

+ −= ∀ ∈

+

,


( ) lim , 1

afa

x a af x x Da→+∞

+ −= ∀ ∈ ⊆

+

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει τη φαινομενική απροσδιοριστία, της μορφής ∞−∞ , την οποία και άρουμε με τη χρήση της συζυγής παράστασης του αριθμητή, παίρνοντας διαδοχικά

( )( )( ) ( )

1 11

, lim lim lim1 ( 1) ( 1)

x xx

a b x x x

ax b x ax b xax b x ax b xlx x ax b x x ax b x→+∞ →+∞ →+∞

+ − + + + − + − = = = = + + + + + + +

( )

1

( 1)lim( 1)

x

x

x a bx ax b x→+∞

− + = + + +

, ,a b∀ ∈ .

Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ που εμφανίζεται, μετασχηματίζοντας το όριο (και συγκεκριμένα γράφοντας τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου σαν έκφραση του 1 x , καθώς 1 0xx →+∞ +→ ), οπότε στη συνέχεια το μετασχηματισμένο όριο θα εμπεριέχει έκφραση του γνωστού ορίου

0lim 1x

xx

+→= .


1 1

,1 0

1 1( 1) ( 1)1 1lim lim

1 1 1 11 11 1 1 1 1 1

x x

a b x x

a b a bx xl

a ab bx x x x x x

+→+∞ →

− + − + = = = + + + + + +



( ) ( )0 0 0

11 1 1( 1)lim lim lim

1 11 1 ( 1) 111

xx x

x x x

b ba x aa b x x xxxa x a bxa bxb x xx x x

+ + +→ → →

− + − +− + = = = = + + + + ⋅ + + + + +

( )

[ ]

( )[ ]

( )0 0 0

( 1)1 ( 1)lim lim lim

( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1

xx

xxx

x x xxx x xx x x

xb a x bx a x a x bx

x a bx x a bx x x a bx+ + +→ → →

− + − + − + = = =+ + + + + + + + +

.. 11

Τα επιμέρους όρια της εξ. 11 δίνουν,

( ) ( ) ( )1 21 21 2 2 1 2

0 0 0 0 0lim lim lim lim lim 1 1

x x x x x

x x x x xx x x x x

+ + + + +→ → → → →= = = = = = ,

0 0

0lim ( 1) (0 1) 1 1x

xx

+→+ = + = = ,

( ) ( )0

0lim 1 0 1 1

x

xa bx a

+→+ + = + + = ,

από όπου συνάγεται άτι πρέπει a +∈ , και τέλος

[ ] ( )0 0

0lim ( 1) 0 sgnx

xa x b b b b

+→− + = + = = , 22

υποθέτοντας ότι *b∈ . Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα επιμέρους όρια της εξ. 11, υπάρχει και το ζητούμενο ολοκλήρωμα, καθώς έχουμε άμεσα

[ ]

( )0

,

0 0 0

lim ( 1) sgn sgn1 1 1lim lim ( 1) lim 1

x

xa b xx x

x x x

a x b bl bx x a bx

+

+ + +

→

→ → →

− += = =

⋅ ⋅⋅ + ⋅ + +, a +∀ ∈ *, b∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0b = , το όριο εξ. 22 δίνει

[ ]0 0 0 0

lim ( 1) 0 lim ( 1) lim ( 1) lim sgn( 1) 1 sgn( 1)x x x x x

x x x xa x a x a x a a

+ + + +→ → → →− + = − = − ⋅ = − ⋅ = − ,

υποθέτοντας ότι 1a ≠ , οπότε και σε αυτήν την περίπτωση ,0 sgn( 1)al a= − , {1}a +∀ ∈ − .

Τέλος, στην περίπτωση τώρα που 0b = και επιπλέον 1a = , το όριο εξ. 22 δίνει

0 0lim (0 0) lim 0 0x x

x xx

+ +→ →+ = = ,

οπότε,

( )0 0

1,0

0 0 0

lim (0 0) lim 0 0 01 1 1 1lim lim ( 1) lim 1

x x

x xxx x

x x x

xl

x x a bx

+ +

+ + +

→ →

→ → →

+= = = =

⋅ ⋅⋅ + ⋅ + +.




{ }

*

,

sgn , , sgn( 1), 0, 10, 1, 0

a b

b a bl a b a

a b

+

+

∀ ∈ ∀ ∈= − = ∀ ∈ − = =

.


{ }

*

,

sgn , , lim sgn( 1), 0, 1

10, 1, 0

xa b x

b a bax b xl a b a

xa b

+

+→+∞

∀ ∈ ∀ ∈+ − = = − = ∀ ∈ −+ = =

,

και ειδικότερα

*

1,sgn ,

lim sgn , 1 0, 0

xb x

b bx b xl b bx b→+∞

∀ ∈+ −= = = ∀ ∈

+ =

,


lim sgn , 1

bb

x b b x xb→+∞

+ −= ∀ ∈

+ .

Άρα λοιπόν

( ) lim sgn , 1

afa

x a af x x x Da→+∞

+ −= = ∀ ∈ =

+ .


( ) , [ , ), {1 0 }1 a

aa f k

x a af x x D a a ka ∈

+ −= ∀ ∈ = − +∞ ∀ ∈

+

,


*

0

1,( ) lim ( )

1,aa

xf x f x

x+

−

→+

− ∀ ∈= = ∀ ∈

.



33

55

--55

--33

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη , 10 { }a kkf a ∈∀ ∈


lima

aff+→

= ..

1

1−


2

1

( 1)lim 1ln1 3x

xl xx+→

−= −

+.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία, της μορφής 00 καθώς, χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα των λογαρίθμων *ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ , παίρνουμε

1 1 1 02 20

1

( 1) (1 1) 0lim ln 01 3 1 3 1 4

x

x

xlx

+ +

+

− −+ +

+ +→

− − = = = = + + ⋅

.

Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή μετασχηματίζοντας πρώτα το όριο (γράφοντας τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου σαν έκφραση του 1x − , καθώς 11 0xx

+→ +− → ), οπότε στη συνέχεια το μετασχηματισμένο όριο θα εμπεριέχει έκφραση του γνωστού ορίου

0lim 1x

xx

+→= .. 11


1 1 12 2 2 2

1 1 1 0 0

( 1) ( 1) ( 1)lim ln lim ln lim ln lim ln1 3 1 3( 1 1) 4 3( 1) 4 3

x x x x

x x x x

x x x xlx x x x+ + + +

− − −

→ → − → →

− − −= = = = + + − + + − +

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Αναλύοντας

2

0lim ln

(4 3 )

x

xx

xlx+→

=+

, 22

το όριο του αριθμητή υπάρχει καθώς ανάγεται στο γνωστό όριο της εξ. 11, και συγκεκριμένα,

grafeq: 99.98%

( ) , [ , ), {1 0 }1

aa k

x a af x x a a ka ∈

+ −= ∀ ∈ − +∞ ∀ ∈

+

1f+

=

1f

∗−= −



( )22

2

0 0 0lim lim lim

x xx x

x x xx x x x

+ + +→ → →

= = ⋅

,

και επειδή 0 0xx+→ +→ ,

( )2 2 2

2 2

0 00 0 0 0lim lim lim lim lim lim (1 1) 1

x x x xx x x

x xx x x xx x x x x x x

+ + + + → →→ → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

.

Υπάρχει, επίσης, και το όριο του παρονομαστή που δίνει άμεσα

0 0

0lim (4 3 ) (4 0) 4 1 0x

xx

+→+ = + = = ≠ .

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα δύο παραπάνω όρια (και το όριο του παρονομαστή είναι διάφορο του μηδενός), θα υπάρχει κατά συνέπεια και το ζητούμενο όριο εξ. 33, που δίνει τελικά

22

0

00

lim 1ln lim ln ln ln1 01(4 3 ) lim (4 3 )

xx

xx xx

x

xxlx x

+

+

+

→

→

→

= = = = =+ +

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Εμφανίζοντας την συνάρτηση της βάσης στον εκθέτη, αναγόμαστε στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ ,

Ωστόσο, όμως, εάν εφαρμόσουμε το παραπάνω, δηλ.

2 2 32

4 34 3

2 2 24 3 4 3

0 0 0lim ln lim ln lim ln

4 3 4 3 4 3

xx x x xx x

x xx

x x x

x x xlx x x+ + +

++

⋅+ +

→ → →

= = = + + +

, 33

και μπορεί ναι μεν να υπάρχει το όριο της βάσης, καθώς επειδή 2 0(4 3 ) 0xx x+→ ++ → ,

2 2

2

2 24 3 4 3

0 004 3

lim lim lim 14 3 4 3

x xx x

x

x x xx

x x xx x+ +

+

+ +

→ →→

+

= = = + +

,

ωστόσο το όριο του εκθέτη της εξ. 33 απειρίζεται, οπότε και εμφανίζεται στην εξ. 33 οριακή απροσδιοριστία της μορφής 1∞ .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ ΙΙ :: Εναλλακτικά, εμφανίζοντας την συνάρτηση του εκθέτη στη βάση, αναγόμαστε στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, φέρνουμε το ζητούμενο όριο στη μορφή,

32 3

0 0 0lim ln lim ln lim ln

4 3 4 3 (4 3 )

xx xx

xx x x

x x x xl x xx xx x+ + +→ → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ + + + ,

και επειδή 0 0xx+→ +→ , παίρνουμε άμεσα,



3 3

0

0 00

limln lim ln lim

(4 3 ) lim (4 3 )

x x

x xx

x xx xx

x xl x x

x x

+

+ +

+

→

→ →

→

= ⋅ = ⋅ =

+ +

3

30

000

lim 1ln lim ln 1 ln1 04lim (4 3 )

x

xx

x xx

xx

x

+

+

+

→

→

→

= ⋅ = ⋅ = = +

.


ΑΑ.. 0

limxx

xl x

+→= . ΒΒ..

31

0lim

xx x

xl x

+

+

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..99ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμπεριέχει στον εκθέτη απροσδιοριστία, της μορφής 00 . Ωστόσο, το όριο του εκθέτη υπάρχει καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο,

0lim 1x

xx

+→= ,

ενώ και το όριο της βάσης υπάρχει χωρίς να εμφανίζεται κάποια απροσδιοριστία. Άρα λοιπόν το ζητούμενο όριο δίνει άμεσα

( ) 0lim

1

0 0lim lim 0 0

xx x

xx

x xl x x +→

+ +→ →= = = = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..88..99ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία, της μορφής 00 καθώς γράφεται,

33

1 1

0 0lim lim

xx x

x x x

x xl x x

+ +

+ +

→ →= = .. 11

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Για τη συνάρτηση του εκθέτη 3

*( ) , 1

xxg x x

x += ∀ ∈+

,

εμφανίζοντας την συνάρτηση της βάσης αυτής στον εκθέτη της, αναγόμαστε στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .

Εφαρμόζοντας το παραπάνω, το όριο αυτό του εκθέτη γράφεται 1 33

1 23 3 1 6

0 0 0 0 0

1lim lim lim lim lim1 1 1 1 1

x xx xx xxx x xx x

x x x x x

x xx x xx x x x x

−

+ + + + +→ → → → →

= = = = ⋅ + + + + +

. 22

Το όριο του πρώτου παράγοντα (προφανώς) υπάρχει, ωστόσο ο δεύτερος παράγοντας εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 1∞ καθώς, ναι μεν υπάρχει το όριο της βάσης (επειδή 0 0xx

+→ +→ ),



0 0 0lim lim lim 1

x x x

x x xx x x

+ + +→ → →= = = ,

το όριο όμως του εκθέτη, προφανώς, απειρίζεται.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Εναλλακτικά, για τη συνάρτηση του εκθέτη 3

*( ) , 1

xxg x x

x += ∀ ∈+

,

εμφανίζοντας την συνάρτηση του εκθέτη στη βάση, λαμβάνουμε

( )

3

33 3

3132

3 3 23 32

0 0 0 0

1 1lim lim lim lim1 1 1 1

x

xx x

x x x x

xx x x

x x x x+ + + +

⋅

→ → → →

= = ⋅ = ⋅ + + + +

.

Τα όρια των δύο παραγόντων υπάρχουν, καθώς για τον πρώτο παράγοντα είναι προφανές, ενώ για τον δεύτερο αναγόμαστε στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= .

Συγκεκριμένα, επειδή 03 0xx+→ +→ ,

( )3 3

3

3 2 3 2 3 23 23 3

0 0 0lim lim lim 1 1

x x x

x x xx x x

+ + +→ → →

= = = =

.

Κατά συνέπεια, υπάρχει το όριο της g καθώς, άμεσα, 3

3 3 23

0 0 0 0

1 1lim ( ) lim lim lim 1 11 1 0 1

xx

x x x x

xg x xx x+ + + +→ → → →

= = ⋅ = ⋅ = + + + ,

οπότε, εφόσον υπάρχει το όριο του εκθέτη και της βάσης του ζητούμενου ορίου της εξ. 11, χωρίς την εμφάνιση άλλης απροσδιοριστίας, από την εξ. 11 λαμβάνουμε τελικά,

3

0lim

11

0lim 0 0

x

x

xx

xl x +→

+

+

→= = = .

22..99.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 00 ∞ μμεε ΕΕκκθθεεττιικκήή ΑΑννααγγωωγγήή

ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΛΛΟΟΓΓ ΙΙ ΑΑ :: Άρουμε γενικά την οριακή απροσδιοριστία της μορφής 0∞ με εκθετική αναγωγή, δηλ. φέρνοντας το όριο στη μορφή,

[ ] [ ]( )

0 0 0

ln ( ) ( ) ln ( )( )

, , ,lim ( ) lim sgn ( ) lim sgn ( )

f xg x f x g xf x

x x x x x xg x g x e g x e

± ± ±→ ±∞ → ±∞ → ±∞= = ,

όπου 0 ,( ) 0x xg x±→ ±∞→ και 0 ,( ) x xf x

±→ ±∞→∞ , κάνοντας χρήση της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ και της γνωστής λογαριθμικής ταυτότητας *ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ . Έτσι λοιπόν ή οριακή απροσδιοριστία της μορφής 0∞

ανάγεται σε απροσδιοριστία 0 0 0∞ ∞ = = ⋅∞ . Εάν, π.χ.,

[ ] ( ) ln ( )( )

0 0lim ( ) lim sgn ( ) f x g xf x

x xl g x g x e

± ±→ →= = ,



όπου 0( ) 0xg x±→→ και 0( ) xf x

±→→∞ , το όριο του εκθέτη αποκλίνει (απειρίζεται θετικά ή αρνητικά), και συγκεκριμένα,

0 0 0lim ( ) ln ( ) lim ( ) lim ln ( ) ( ) ln 0 ( ) ( ) x x x

f x g x f x g x± ± ±

+

→ → → = ⋅ = ±∞ ⋅ = ±∞ ⋅ −∞ = ∞ .

Στην περίπτωση που αποκλίνει αρνητικά, επειδή η βάση είναι ο θετικός αριθμός e , το ζητούμενο όριο μηδενίζεται, καθώς

[ ] ( ) ln ( ) ( ) ln ( )( )

( ) ln ( )0 0lim ( ) lim sgn ( ) lim lim 0f x g x f x g xf x x

f x g x xx xg x g x e e e

± ± →−∞ →−∞→ →= = ± = ± = ,

ενώ στην περίπτωση που αποκλίνει θετικά, επειδή η βάση είναι ο θετικός αριθμός e , το ζητούμενο όριο θα αποκλίνει (θετικά ή αρνητικά), καθώς άμεσα,

[ ] ( ) ln ( ) ( ) ln ( )( )

( ) ln ( )0 0lim ( ) lim sgn ( ) lim lim ( )f x g x f x g xf x x

f x g x xx xg x g x e e e

± ± →+∞ →+∞→ →= = ± = ± = ± +∞ = ±∞ .

Σημειώνουμε τέλος ότι οι οριακές απροσδιοριστίες της μορφής 0∞ ανάγονται άμεσα στη μορφή 00 καθώς, συμβολικά 0 0 0(1 0) 1 0∞ = = . Συγκεκριμένα,

0 0

( )( )

, ,

1lim ( ) lim1 ( )

f xf x

x x x xg x

g x± ±→ ±∞ → ±∞

=

,

όπου 0 ,( ) x xg x±→ ±∞→∞ και 0 ,( ) 0x xf x

±→ ±∞→ , οπότε άμεσα

0

( )( )

( ) 0, 1 ( ) 0 0

1 1 1lim ( ) lim lim 1 ( ) (0 )

f xf x

f xx x g x xg x

g x x± ± ± ±→ ±∞ → →

= = =

.


ΑΑ.. 0

lim x

xl x

+→= . ΒΒ..

0lim

x x

xl x

+→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..99..11ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 0∞ . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία με εκθετική αναγωγή, δηλ. φέρνοντας το όριο στη μορφή,

[ ] ( ) ln ( )

0lim sgn ( ) f x g x

xg x e

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→→ και 0( ) xf x+→→∞ .

Στην προκειμένη περίπτωση, φέρνουμε το όριο στη μορφή

1ln

ln1

0 0 0 0lim lim lim (sgn ) lim

xx

xxx x

x x x xl x x x e e

+ + + +→ → → →= = = = . 11

Το όριο του εκθέτη αποκλίνει αρνητικά καθώς,

0 0 0

ln 1lim lim lim ln ( ) ( )x x x

x xx x+ + +→ → →

= ⋅ = +∞ ⋅ −∞ = −∞

,

οπότε το ζητούμενο όριο της εξ. 11, προφανώς, θα μηδενίζεται, καθώς


22..99.. ΆΆρρσσηη ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 0∞ μμεε ΕΕκκθθεεττιικκήή ΑΑννααγγωωγγήή 131

ln ln

ln0lim lim lim 0

x xxx x

x xxx

l e e e+ →−∞→ →−∞

= = = = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..99..11ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμπεριέχει απροσδιοριστία, της μορφής 0∞ καθώς,

11 1 1

0

0 0 0lim lim lim 0

x x xx x x

x x xl x x x ∞

+ + +→ → →

= = = =

. 22

Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία αυτή καθώς, με εκθετική αναγωγή, λαμβάνουμε διαδοχικά,

ln ln ln1

ln0 0 0 0lim lim lim (sgn ) lim lim lim 0

x x xx xx x x x

x xx x x xx

x x x e e e e+ + + + →−∞→ → → → →−∞

= = = = = = . 33

και κατά συνέπεια, το όριο του εκθέτη της εξ. 22 αποκλίνει, οπότε εμφανίζεται νέα οριακή απροσδιοριστία επίσης της μορφής 0∞ . Άρουμε και αυτήν την απροσδιοριστία εργαζόμενοι όπως και στην παραπάνω άσκηση, δηλ. με εκθετική αναγωγή, φέρνοντας το ζητούμενο όριο της εξ. 22 στη μορφή,

( )111 1

1 lnln

0 0 0lim lim (sgn ) limxx xx

xxx x

x x xl x x e e

+ + +→ → →= = = . 44

Το όριο του παραπάνω εκθέτη αποκλίνει αρνητικά λόγω της εξ. 33 καθώς,

( )11 1 10 0 0 0 0

ln 1 1 1lim lim lim ln lim ( ) lim ( ) ( )xx x xx x x x x

x xxx x x+ + + + +→ → → → →

= ⋅ = ⋅ −∞ = ⋅ −∞ = +∞ ⋅ −∞ = −∞

.

Άρα λοιπόν, επειδή έχουμε θετική βάση στο όριο της εξ. 44, αυτό τελικά θα μηδενίζεται, καθώς

1 1

1

ln ln

ln0lim lim lim 0x x

x

x xxx x

x xxx

l e e e+ →−∞→ →−∞

= = = = .


2

20lim , x ax

ax

xl ax a+

+→

= ∀ ∈+

,


2

20( ) lim , a ax

fa

af x x Da x+

+→

= ∀ ∈ ⊆+

,

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 0∞ καθώς,

2

1110 0

020

0lim (0 ) (0 )0

ax ax

ax

xlx a a

+ ++

+

+ + ⋅+ + + +∞

+→

= = = = + +

, a +∀ ∈ .



Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία με εκθετική αναγωγή, δηλ. φέρνοντας το όριο στη μορφή,

[ ] ( ) ln ( )

0lim sgn ( ) f x g x

xg x e

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→→ και 0( ) xf x+→→∞ .

Στην προκειμένη περίπτωση, φέρνουμε το όριο στη μορφή 1

2

2 2 21ln ln

220 0

lim sgn lim sgn( )x axx x

x a x ax x aa

x x

xl e x a ex a

+

+ +

+ + +

→ →

= = + = + 2 2

1 ln2

0 0lim sgn( ) lim

xx ax x a

x xx a e

+ +

+ +

→ →

+ ⋅ =

[ ] 2 2 2 21 1ln ln

0 0sgn(0 ) lim (sgn ) lim

x xx ax x a x ax x a

x xa e a e

+ +

+ + + +

→ →= + ⋅ = ⋅ , a∀ ∈ .. 11

Το όριο του εκθέτη αποκλίνει αρνητικά καθώς,

2

2 2 2 20 0 0 0 0

1 1 1 1lim ln lim lim lim ln ( ) lim lnxx x x x

x a

x x xx x a ax a xx a x a x a+ + + + ±→ → → → →

+

= ⋅ ⋅ = ⋅ +∞ ⋅ = ++ + + +

0(sg n ) ( ) lim ln (sg n ) ( ) ( ) (sg n ) ( )

xa x a a

±→= ⋅ +∞ ⋅ = ⋅ +∞ ⋅ −∞ = ⋅ −∞ , a∀ ∈ ,

οπότε, επειδή η βάση είναι ο θετικός αριθμός e , το ζητούμενο όριο της εξ. 11 τελικά ή μηδενίζεται ή αποκλίνει αρνητικά καθώς,

2 2 2 2

2 2

1 1ln ln

10 ln (sgn ) ( )(sgn ) lim (sgn ) lim

x xx ax x a x ax x a

a xx ax ax x a

l a e a e+

+ + + +

→ → ⋅ −∞+ +

= ⋅ = ⋅ =

* *

**(sgn ) ( )

lim , 0,(sgn ) lim

,lim ,

x

x xxx a

x

e a aa e

ae a+→−∞ +

→ ⋅ −∞−−→+∞

∀ ∈ ∀ ∈ = ⋅ = = −∞ ∀ ∈− ∀ ∈

.

Στην περίπτωση τώρα που 0a = , το ζητούμενο όριο δίνει,

( )22

222

1 1

00 2 10 0 0

1 1 1lim lim lim lim lim ( ) 0

x xxxx x

x xx x x

xl xx x xx+ + +

+∞+ ⋅→+∞ →+∞→ → →

= = = = = = +∞ = +∞ + .

ή με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο και συγκεκριμένα με εκθετική αναγωγή, 2

2 2 2

2

ln ln ln0

ln ( ) ( )lim lim (sgn ) lim lim lim

xxx x x x x x

x x x xx xl x x e e e e

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞→ +∞ ⋅ +∞= = = = = = +∞ .


*

*

,, 0

0,a

al a

a

−

+

−∞ ∀ ∈= +∞ = ∀ ∈

.




22

55

--55

--22


∈∀ ∈

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς *0

lim 0a

aff++→

= =

..

1

1−

2

*

20*

,lim , 0

0,

x axa

x

axl a

x aa

+

−

+→

+

−∞ ∀ ∈= = +∞ =

+ ∀ ∈

,


2

*

20*

,lim , 0

0,

a axa

xa x

a xx

+

−

+→

+

−∞ ∀ ∈= +∞ =

+ ∀ ∈

.

Άρα λοιπόν

2 *20

( ) lim 0, a axf

a

af x x Da x+

++

→= = ∀ ∈ =

+ , δηλ. *0f

+=

.


2*2( ) , , {1 }

aa ax

a f k

af x x D a ka x

+∈

= ∀ ∈ ∀ ∈+

,


*

0( ) lim ( ) 0, a

af x f x x

+ +→

= = ∀ ∈ .


2

0lim ( ) sin , x

a xl x a ax a

→= + ∀ ∈ .

grafeq: 99.99%

2*2( ) , , {1 }

aa ax

a f k

af x x D a ka x

+∈

= ∀ ∈ ∀ ∈+

0f

∗+

=

1 3f



ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ :: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 0∞ καθώς,

11 12 2 00

0lim ( ) sin (0 ) sin( 0 ) (0 ) (0 )x

a xl x a ax a a ±±± ± ± ± ±∞

→

= + = + ⋅ = =

, a∀ ∈ .

Μπορούμε να άρουμε την παραπάνω απροσδιοριστία φέρνοντας το όριο στη μορφή, ( )( ) ln ( ) ( ) ln ( )

0 0 0lim ( ) lim lim

f xf x g x f x g x

x x xg x e e

→ → →= = , όπου 0( ) 0xg x →→ και 0( ) xf x →→±∞ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, φέρνουμε το όριο στη μορφή 1

22 1 ln ( ) sinln ( ) sin

0 0lim lim

x x a axx a ax xa x x

l e e + +

→ →= = , a∀ ∈ .. 11

Το όριο του παραπάνω εκθέτη απειρίζεται αρνητικά όταν 0x +→ και θετικά όταν 0x −→ καθώς, υπολογίζοντας τα πλευρικά του όρια,

2 2

0 0 0

1 1lim ln ( ) sin lim lim ln ( ) sinx x x

x a ax x a axx x± ± ±→ → →

+ = ⋅ + =

2 2 sgn sgn1 ln (0 ) sin( 0 ) ( ) ln ( ) 0 ( ) ln 00

a aa a a± ± ± − ±−

= ⋅ + ⋅ = −∞ ⋅ ⋅ = ±∞ ⋅ , a∀ ∈ .

Κατά συνέπεια,

* * *2

* * *0

( ) ln 0 , ( ) ( ), ,1lim ln ( ) sin( ) ln 0 , , ,x

a a ax a ax

x a a a−

+− − −

−→+ + +

−∞ ⋅ ∀ ∈ −∞ ⋅ −∞ ∀ ∈ +∞ ∀ ∈ + = = = −∞ ⋅ ∀ ∈ ∅ ∀ ∈ ∅ ∀ ∈

,

* * *2

* * *0

( ) ln 0 , , ,1lim ln ( ) sin( ) ln 0 , ( ) ( ), ,x

a a ax a ax

x a a a+

−− − −

+→+ + +

+∞ ⋅ ∀ ∈ ∅ ∀ ∈ ∅ ∀ ∈ + = = = +∞ ⋅ ∀ ∈ +∞ ⋅ −∞ ∀ ∈ −∞ ∀ ∈

,

οπότε σε κάθε περίπτωση τα πλευρικά όρια είτε δεν υπάρχουν είτε δεν ταυτίζονται, δηλ. *, al a∉ ∀ ∈ .

Στην περίπτωση που 0a = , το ζητούμενο όριο δίνει άμεσα,

2 2 10

0 0 0lim ( 0) sin 0 lim 0 lim 0x xx

x x xl x x x

± ± ±→ → →= + = ⋅ = ,

και εξετάζοντας τα πλευρικά όρια,

1

0lim 0 x

x −→∉ ,

καθώς υπάρχει ο αρνητικός εκθέτης 1 x και, όπως γνωρίζουμε, το μηδέν σε αρνητική δύναμη δεν ορίζεται, ενώ,

1

0lim 0 0x

x +→=



καθώς ο εκθέτης 1 x είναι θετικός και έτσι, προφανώς, το μηδέν σε θετική δύναμη παραμένει πάντα μηδέν. Και στην περίπτωση λοιπόν που 0a = , το ζητούμενο όριο δεν υφίσταται, και επομένως σε κάθε περίπτωση , al a∉ ∀ ∈ .


( 1)

0lim ,

x ax x

a x

xl ax a

−−

→

= ∀ ∈

+ ,


(1 )

0( ) lim ,

x aa a

fa

af x x Dx a+

−−

→

= ∀ ∈ ⊆

+ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 0∞ καθώς,

0 00 (0 1) 0 ( 1 )( 1)

0 00

0 0lim (0 ) (0 ) (0 )0

a ax aa ax x

a x

xlx a a a

± ±± ±

± ± ± ±± ±

− −−−± ±⋅ − ⋅ −−

± ± ± ±∞−± ±→

= = = = = = + +

,

υποθέτοντας ότι *a +∈ , ενώ παρατηρούμε ότι στην περίπτωση *a −∈ , το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει. Μπορούμε να άρουμε την παραπάνω απροσδιοριστία φέρνοντας το όριο στη μορφή,

( )( ) ln ( ) ( ) ln ( )

0 0 0lim ( ) lim lim

f xf x g x f x g x

x x xg x e e

→ → →= = ,

όπου 0( ) 0xg x →→ και

0( ) xf x →→±∞ .


( 1)ln ln

( 1)

0 0lim sgn lim

x ax x xx x a

x xx a x aa

x x

xl e ex a

−−

± ±

−−+ +

→ →

= = ±

+ *, a +∀ ∈ .. 11

Το όριο του παραπάνω εκθέτη αποκλίνει αρνητικά όταν 0x +→ και θετικά όταν 0x −→ καθώς,

0 0 0 0 0 0

1lim ln lim lim ln lim lim ln lim( 1) ( 1) 1x x x x x x

x x xx a x a x ax x x x x xx a x a x a± ± ± ± ± ±→ → → → → →

− − −= ⋅ = ⋅ ⋅ =

− − −+ + +,

00 0( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 10

a a aa a

±± ± +

± ±± ±

− − = ±∞ ⋅ ⋅ = ±∞ ⋅ ⋅ = ±∞ ⋅ ⋅ −∞ = ±∞ ⋅ −∞ = ∞− − +

*, a +∀ ∈ ,

οπότε, για το ζητούμενο όριο της εξ. 11, παίρνουμε αντίστοιχα,

ln( 1)

ln( 1)

lim limxx a

xx x x aa x xx a

x x x a

l e e−− +

→ ∞−→ ∞

− +

= ± = ±

*, a +∀ ∈ ,

και αναλυτικότερα,



( 1)

0lim lim 0

x ax x

x

xx

x ex a+

−−

→−∞→

= ± =

+ , και 22

( 1)

0lim lim ( )

x ax x

x

xx

x ex a−

−−

→+∞→

= − = − +∞ = −∞

+ . 33

Άρα, δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο για *a +∈ (καθώς τα πλευρικά όρια δεν ταυτίζονται), και επειδή ούτε και για *a −∈ υπάρχει (όπως είδαμε παραπάνω), έχουμε *, al a∉ ∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = , το ζητούμενο όριο παίρνει τη μορφή,

01( 1)

10 0 0

lim lim0

xx x

xx x

xl xx

−−

−→ →

= =

+ .

Όταν 0x −→ το παραπάνω όριο (προφανώς) δεν υπάρχει, ενώ όταν 0x +→ δεν εμφανίζει οριακή απροσδιοριστία, οπότε δίνει,

0

11 1lim 10 11 10 0

1lim lim 0 (0 ) 0

xx xx x

x x++

→

+ +

+ + −−− −+→ →

= = = = = +∞

. 44

Με πιο αυστηρό μαθηματικό τρόπο δείχνουμε το παραπάνω, γράφοντας,

( )1

11 11 ln lnln 1 11

10 0 0 ln1

lim lim sgn lim lim limx x xx xx xx

xx x x xx

x x e e e e−

+ + +

− −−→+∞→ → → →+∞

−

= = = = = +∞ .

Συγκεντρωτικά λοιπόν, σε κάθε περίπτωση , al a∉ ∀ ∈ . Αναλυτικά, μπορούμε βάσει των εξ. 22, 33 και 44 να δούμε ότι

*

( 1)

0*

,lim , 0

0,

x ax x

x

ax a

x a a+

−−

−

→

+

∅ ∀ ∈ = +∞ =

+ ∀ ∈

, και

*

( 1)

*0*

,,

lim , 0,

,

x ax x

x

aax aax a a

−

−−

−−

→+

+

∅ ∀ ∈∅ ∀ ∈ = ∅ = = +∞ ∀ ∈+ +∞ ∀ ∈

.


*

( 1)

0*

,lim , 0

0,

x ax x

ax

axl a

x a a+

−−

−

→

+

∅ ∀ ∈ = = +∞ =

+ ∀ ∈

,


*

( 1)

0*

,lim , 0

0,

a xa a

a

aa a

x a a+

−−

−

→

+

∅ ∀ ∈ = +∞ =

+ ∀ ∈

.



33

55

--22

--11


∈∀ ∈

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς *0

lim 0a

aff++→

= =

..

Άρα λοιπόν

(1 )*

0( ) lim 0,

x aa a

fa

af x x Dx a+

−−

+→

= = ∀ ∈ =

+ , δηλ. *0f

+=

.


*

(1 )( ) , , {1 }

a

x aa a

a f k

af x x D a kx a

−−

∈

= ∀ ∈ ∀ ∈

+

,


*

0( ) lim ( ) 0, a

af x f x x

+ +→

= = ∀ ∈ .

22..1100.. ΆΆρρσσηη ΣΣυυννδδυυαασσττιικκήήςς ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς

Στην παράγραφο αυτή εξετάζουμε συνδυασμένες οριακές απροσδιοριστίες, δηλ. είτε το ζητούμενο όριο να εμπεριέχει συγχρόνως διαφόρων ειδών απροσδιοριστίες είτε να εμφανίζονται διαδοχικές οριακές απροσδιοριστίες κατά την επίλυσή του.

Επισημαίνουμε ότι στις περιπτώσεις που η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου είναι της εκθετικής μορφής gf μπορούμε πάντα να πάρουμε τη βολικότερη μορφή

ln ln(sgn ) (sgn )gf g fgf f e f e= = ,

κάνοντας χρήση της εκθετικής αναγωγής, δηλ. της σχέσης ln *(sgn ) , aa a e a= ∀ ∈ και της γνωστής λογαριθμικής ταυτότητας *ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ . Έτσι λοιπόν οριακές απροσδιοριστίες των

grafeq: 99.96%

*

(1 )( ) , , {1 }

a

x aa a

a f k

af x x D a kx a

−−

∈

= ∀ ∈ ∀ ∈

+

0f

∗+

=

1 3f



μορφών 00 , 1 , 0∞ ∞ ανάγονται σε απροσδιοριστία 0 0 0∞ ∞ = = ⋅∞ του εκθέτη οπότε και εργαζόμαστε ανάλογα.


sinlim1

x

x

x xlx x→+∞

= − .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Επειδή το ζητούμενο όριο στο +∞ εμπεριέχει τριγωνομετρική συνάρτηση πρέπει (όπως κάνουμε σε αυτές τις περιπτώσεις) να φράξουμε απολύτως τη συνάρτηση του ορίου με μια συνάρτηση μηδενικού ορίου. Παρατηρούμε λοιπόν, ότι η συνάρτηση του ζητούμενου ορίου φράσσεται απόλυτα από την

{ }*sin 1 , 11 1

x xx x x xx x x x

≤ ∀ ∈ − − − .. 11

Εάν η συνάρτηση αυτή (στο δεύτερο μέλος της ανισότητας) έχει μηδενικό όριο τότε και το ζητούμενο όριο θα συγκλίνει απόλυτα στο μηδέν, και κατά συνέπεια το ζητούμενο όριο θα είναι το μηδέν .

Για τον υπολογισμό του ορίου

1lim1

x

x

xx x→+∞

−

, 22

παρατηρούμε ότι το όριο του πρώτου παράγοντα μηδενίζεται ενώ το όριο του δεύτερου εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής 1∞ . Φέρνουμε λοιπόν το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 22 στη μορφή

( )

lim 1( )

g x

x

kg x→+∞

+

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .


lim 1 , x

k

x

k e kx→+∞

+ = ∀ ∈

,

συμπεραίνουμε και την ύπαρξη αυτού του ορίου.


1 1 11 1 1 1 1lim lim lim 1 lim 1 11 1 1 1 1

x x x x

x x x x

x xx x x x x

− + −

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− + = = + = + + − − − − − . 33

Τα όρια των δύο παραπάνω παραγόντων υπάρχουν, και έτσι η εξ. 33 δίνει άμεσα

1 1

1

1 1 1 1lim lim 1 lim 1 lim 1 1 lim (1 0)1 1 1 1 1

x x x

x x x x x

x e ex x x x x

− −

→+∞ →+∞ →+∞ − →+∞ →+∞

= + ⋅ + == + ⋅ + = ⋅ + = − − − − − .

Άρα λοιπόν, η εξ. 22 δίνει άμεσα

1 1lim lim lim 0 01 1

x x

x x x

x x ex x x x→+∞ →+∞ →+∞

= ⋅ = ⋅ = − − ,


22..1100.. ΆΆρρσσηη ΣΣυυννδδυυαασσττιικκήήςς ΟΟρριιαακκήήςς ΑΑππρροοσσδδιιοορριισσττίίααςς 139

οπότε τελικά, επειδή το παραπάνω όριο συγκλίνει στο μηδέν, συμπεραίνουμε άμεσα ότι μηδενίζεται και το όριο

sinlim1

x

x

x xx x→+∞

−

,

και επομένως, επειδή το παραπάνω όριο συγκλίνει απόλυτα στο μηδέν θα συγκλίνει και το ζητούμενο, δηλ. 0l = .


0

ln(1 sin )lim , a x

axl ax→

+= ∀ ∈ ,


0

ln(1 sin )( ) lim , fa

axf x x Da→

+= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ :: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ .. Φέρνουμε το όριο στη μορφή

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→

+, όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση έχουμε

0 0 0

ln(1 sin ) ln(1 sin ) ln(1 sin ) sinlim lim limsin sin

sin

a x x x

ax ax ax axlx axx ax x

ax→ → →

+ + += = = ⋅ ,, 11

έχοντας υποθέσει ότι *a∈ . Τα όρια των παραπάνω δύο παραγόντων του γινομένου υπάρχουν, καθώς με μετασχηματισμό ανάγονται αντίστοιχα στα γνωστά όρια

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= και

0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για τον πρώτο παράγοντα, επειδή 0sin 0xax →→ ,

0 sin 0 0

ln(1 sin ) ln(1 sin ) ln(1 )lim lim lim 1sin sinx ax x


+ + += = = , 22

και για το δεύτερο παράγοντα, επειδή 0 0xax →→ ,

0 0 0 0

sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 1lim lim lim lim 1x x ax x

ax ax ax xx a a xa a xa x a a→ → → →

= = = = ⋅ = . 33

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα παραπάνω όρια εξ. 22 και 33, από την εξ. 11 λαμβάνουμε άμεσα



0 0

ln(1 sin ) sin 1 1lim lim 1sina x x

ax axlax x a a→ →

+= ⋅ = ⋅ = *, a∀ ∈ .


0 0 0 0 0 0

ln(1 sin 0 ) ln(1 0) ln1 0lim lim lim lim lim 0 0x x x x x

xlx x x x→ → → → →

+ += = = = = = .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα των λογαρίθμων *ln ln , ba b a a += ∀ ∈ , b∀ ∈ φέρνουμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου στη μορφή

[ ]1( )

0lim ln 1 ( ) g xx

kg x→

+ , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση έχουμε

1 sin1 *sin

0 0 0 0

ln(1 sin ) 1lim lim ln(1 sin ) lim ln(1 sin ) lim ln(1 sin ) , ax

x ax xa x x x x

axl ax ax ax ax x

⋅

→ → → →

+= = ⋅ + = + = + ∀ ∈ ⇒

sin1

*sin0

lim ln (1 sin ) ,

axx

axa x

l ax a→

= + ∀ ∈

.. 44

Το όριο της εκθετικής συνάρτησης μέσα στο λογάριθμο υπάρχει, καθώς το όριο της βάσης και του εκθέτη αυτής ανάγονται, με μετασχηματισμό, στα αντίστοιχα γνωστά όρια

( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ και 0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για το όριο της βάσης, επειδή 0sin 0xax →→ ,

1 1 1sin sin

0 sin 0 0lim(1 sin ) lim (1 sin ) lim(1 )ax ax xx ax x

ax ax x e→ → →

+ = + = + = , 55

και για το όριο του εκθέτη, επειδή 0 0xax →→ ,

0 0 0 0

sin sin sin sinlim lim lim lim 1x x ax x

ax ax ax xa a a a ax ax ax x→ → → →

= = = = ⋅ = *, a∀ ∈ . 66


sin sin1 1

*sin sin0 0

lim ln (1 sin ) ln lim (1 sin ) ,

ax axx x

ax axa x x

l ax ax a→ →

= + = + ∀ ∈ ⇒

0

sinlim1sin

0ln lim (1 sin ) ln

x

axx

aaxa x

l ax e a→

→

= + = =

*, a∀ ∈ .


0 0 0 0 0 0

ln(1 sin 0 ) ln(1 0) ln1 0lim lim lim lim lim 0 0x x x x x

xlx x x x→ → → → →

+ += = = = = = .




1100

1100

--1100

--1100


∈∀ ∈ ±


lima aff→

= ..


*

0

,ln(1 sin )lim , 0, 0a x

a aaxl a ax a→

∀ ∈+= = = ∀ ∈

=

.

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, με εναλλαγή των συμβόλων της παραπάνω συγκεντρωτικής σχέσης, έχουμε

0

ln(1 sin )lim , a

ax x xa→

+= ∀ ∈ ,

και επομένως

0

ln(1 sin )( ) lim , fa

axf x x x Da→

+= = ∀ ∈ = .


*

ln(1 sin )( ) , , { 1 }aa f k

axf x x D a ka ∈

+= ∀ ∈ ∀ ∈ ±

,


0( ) lim ( ) , aa

f x f x x x→

= = ∀ ∈ .


( )csc *, 0

lim 1 tan , , bxa b x

l ax a b→

= + ∀ ∈ ∀ ∈ ,

grafeq: 99.27%

*

*

ln(1 sin )( ) , ,

ln(1 sin )( ) , , {

{

}

}

1

1a

aa f

a f k

k

axf

axf x x D a ka

x x D a ka

∈

∈

+= ∀ ∈

+= ∀ ∈ ∀ −

∀ ∈

∈

f




( )csc

0( ) lim 1 tan , ax

faf x ax x D

→= + ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 1∞ . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ .. Φέρνουμε τη συνάρτηση του ορίου, που είναι της εκθετικής μορφής gf , στη μορφή

ln ln(sgn ) (sgn )gf g fgf f e f e= = .

Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο, λαμβάνουμε διαδοχικά cscln 1 tan csc ln 1 tancsc

, 0 0 0lim(1 tan ) limsgn(1 tan ) lim

bxax bx axbxa b x x x

l ax ax e e+ +

→ → →= + = + = *, , a b∀ ∈ ∀ ∈ .. 11

Το όριο του εκθέτη υπάρχει, καθώς γράφεται

0 0 0

ln 1 tan ln 1 tan1 1 sinlim csc ln 1 tan lim tan limsin tan cos sin tanx x x

ax axaxbx ax axbx ax ax bx ax→ → →

+ ++ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ *, ,a b∀ ∈ , 22

Τα όρια των τριών όρων του παραπάνω γινομένου υπάρχουν, καθώς

0

1 1lim 1cos 1x ax→

= = ,

και επειδή 0 0xax →→ και 0tan 0xax →→ τα όρια του δεύτερου και τρίτου όρου ανάγονται, αντίστοιχα, στα γνωστά όρια

0

sinlim 1x

xx→

= και 0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= .

δηλ.

0

0 0 0

0

sin sin sinlimsin 1lim lim limsin sin sinsin 1lim

x

x x x

x

ax ax xaxax a a a aax ax xbx bx xbx b b b bbx

bx bx x

→

→ → →

→

= = = = ⋅ = *, ,a b∀ ∈ ,

και

0 tan 0 0

ln(1 tan ) ln(1 tan ) ln(1 )lim lim lim 1tan tanx ax x


+ + += = = *, a∀ ∈ .

Επομένως, από τη εξ. 22 παίρνουμε άμεσα

0 0 0 0

1 sin ln(1 tan )lim csc ln(1 tan ) lim lim lim 1 1cos sin tanx x x x

ax ax a abx axax bx ax b b→ → → →

++ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = *, ,a b∀ ∈ ,

οπότε η εξ. 11 δίνει τελικά

0lim sec ln(1 tan )sec ln(1 tan )

, 0lim x

bx x bbx x a b aa b x

l e e e e→++

→= = = = *, ,a b∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = , προφανώς έχουμε αντίστοιχα



( ) ( )csc csc csc0, 0 0 0 0

lim 1 tan 0 lim 1 0 lim1 lim1 1bx bx bxb x x x x

l x→ → → →

= + = + = = = *, b∀ ∈ ,

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Φέρνουμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου στη μορφή

[ ]1( )

0lim 1 ( ) g xx

kg x→

+ , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, έχουμε

( ) ( ) ( )tan 1 1 tancsctan sin tan sin

, 0 0 0lim 1 tan lim 1 tan lim 1 tan

ax axbxax bx ax bx

a b x x xl ax ax ax⋅ ⋅

→ → →= + = + = + = ,,

( )tan

1 sintan

0lim 1 tan

axbx

axx

ax→

= + *, ,a b∀ ∈ . 33

Το όριο της παραπάνω εκθετικής συνάρτησης υπάρχει, καθώς τα όρια της βάσης και του εκθέτη ανάγονται, αντίστοιχα, στα γνωστά όρια

( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ και 0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για το όριο της βάσης, επειδή 0tan 0xax →→ ,

1 1 1tan tan

0 sin 0 0lim(1 tan ) lim (1 tan ) lim(1 )ax ax xx ax x

ax ax x e→ → →

+ = + = + = *, a∀ ∈ , 44

ενώ για το όριο του εκθέτη, επειδή 0 0xax →→ ,

*

0 0 0 0

sin sintan sin 1 1 1lim lim lim lim , ,

sin sinsin sin cos cos cosx x x x

ax axaxax ax aax ax a bbx bxbx bx ax ax b axbx

bx bx→ → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ∀ ∈ ⇒

0

tanlimsinx

axbx→

= 0

0

0

sinlim 1 1 1limsin cos 1 cos 0lim

x

x

x

xa a ax

xb ax b bx

→

→

→

⋅ = ⋅ ⋅ = *, ,a b∀ ∈ . 55


( ) ( )0

tan tanlim1 1sin sintan tan

, 0 0lim 1 tan lim 1 tan

x

ax axbx bx ba b aax ax

a b x xl ax ax e e

→

→ →

= + = + = = *, ,a b∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = , προφανώς έχουμε αντίστοιχα

( ) ( )csc csc csc0, 0 0 0 0

lim 1 tan 0 lim 1 0 lim1 lim1 1bx bx bxb x x x x

l x→ → → →

= + = + = = = *, b∀ ∈ ,



( )*

sc *, *0

, ,lim 1 tan , , 1, 0,

b ac bx b a

a b x

e a bl ax e a ba b→

∀ ∈= + = = ∀ ∈ ∀ ∈ = ∀ ∈

.



1100

1100

--1100

--1100

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 5 { }a kkf a

∈∀ ∈ ±


lima aff e→

= ≡ ..

e

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, με εναλλαγή των συμβόλων της παραπάνω σχέσης, έχουμε

( ) sc

0lim 1 tan , c ax x x

aax e e x

→+ = = ∀ ∈ ,


( ) sc

0( ) lim 1 tan , c ax

faf x ax e x D

→= + = ∀ ∈ = , δηλ. f e≡ .


( ) *

sc( ) 1 tan , , { 1 5 }a

c axa f k

f x ax x D a k∈

= + ∀ ∈ ∀ ∈ ±

,


0( ) lim ( ) , aa

f x f x e x→

= = ∀ ∈ .


2

0lim 1 sin , x

a xl ax a

→= + ∀ ∈ ,


2

0( ) lim 1 sin , a

faf x ax x D

→= + ∀ ∈ ⊆ .



grafeq: 99.92%

( )( ) *

*

s

sc

c

( ) 1 tan ,

( ) 1 tan

,

, , { 1 5

{1 5

}

}a

a

c axa f k

c axa f k

f

f x ax x D

x ax x D

a k

a k∈

∈

= + ∀ ∈ ∀

= +

∈

∀ ∈ ∈

−

∀

≡f e

1 5f 1 5f−





1 22 1 ln(1 sin )ln 1 sin2 1 2

0 0 0lim(1 sin ) limsgn(1 sin ) lim

x axaxx xa x x x

l ax ax e e++

→ → →= + = + = , a∀ ∈ .. 11

Το όριο του εκθέτη υπάρχει, καθώς με μετασχηματισμούς και υποθέτοντας *a∈ , ανάγεται σε γινόμενο των γνωστών ορίων

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= και

0

sinlim 1x

xx→

= .


2 2 2 2

2 20 0 0

2

ln(1 sin ) ln(1 sin ) ln(1 sin ) sinlim lim limsin sinsin

x x x

ax ax ax axx xax axx

ax→ → →

+ + += = ⋅ . 22

υποθέτοντας *a∈ . Για τον πρώτο παράγοντα του παραπάνω ορίου, και επειδή 2 0sin 0xax →→ ,

2

2 2

2 20 0sin 0

ln(1 sin ) ln(1 sin ) ln(1 )lim lim lim 1sin sinx xax

ax ax xxax ax→ →→

+ + += = = *, a∀ ∈ , 33

ενώ, για τον δεύτερο παράγοντα και επειδή 0 0xax →→ ,

2

0 0 0

sin sin 1 sinlim limsin limsinx x x

ax ax axax axx x a ax→ → →

= =0 0

1 sin 1limsin lim 0 1 0x x

axaxa ax a→ →

= = ⋅ = *, a∀ ∈ . 44

Κατά συνέπεια η εξ. 22, μέσω των εξ. 33 και 44, δίνει

2 2 2

20 0 0

ln(1 sin ) ln(1 sin ) sinlim lim lim 1 0 0sinx x x

ax ax axx xax→ → →

+ += ⋅ = ⋅ = *, a∀ ∈ ,

Οπότε, τελικά, το όριο του εκθέτη της εξ. 11 υπάρχει, και μάλιστα

0

1 1ln(1 sin ) lim ln(1 sin ) 0 *

0lim 1 1, x

ax axx x

a axl e e e l a→

+ +

→= = = = ⇒ = ∀ ∈ .


20 0 0 0

lim 1 sin 0 lim 1 0 lim 1 1x xx

x x xl x

→ → →= + = + = = .


[ ]1( )

0lim 1 ( ) g xx

kg x→

+ , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, έχουμε 2

2

2 2

sin1 sin 1

2 1 2 2sin sin0 0 0

lim(1 sin ) lim(1 sin ) lim (1 sin )

axax x

x xax axa x x x

l ax ax ax⋅

→ → →

= + = + = +

*, a∀ ∈ . 55




( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ και 0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για το όριο της βάσης, επειδή 2 0sin 0xax →→ ,

2 2

2

1 1 12 2sin sin

0 0sin 0lim(1 sin ) lim (1 sin ) lim(1 )ax ax xx xax

ax ax x e→ →→

+ = + = + = *, a∀ ∈ , 66

ενώ για το όριο του εκθέτη, επειδή 0 0xax →→ ,

2*

0 0 0 0 0

sin sin sin sinlim lim sin lim sin lim limsin , x x x x x

ax ax ax axax a ax a ax ax x ax ax→ → → → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ∀ ∈ ⇒

2

0 0

sin sinlim lim sin 0 1 0 0x x

ax xa ax x→ →

= ⋅ = ⋅ ⋅ = *, a∀ ∈ . 77

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα παραπάνω όρια εξ. 66 και 77, από την εξ. 55 λαμβάνουμε άμεσα 2

02

sinlim12 0sin

0lim (1 sin ) 1

x

axx

axa x

l ax e→

→

= + = =

* 1, al a⇒ = ∀ ∈ .


20 0 0 0

lim 1 sin 0 lim 1 0 lim 1 1x xx

x x xl x

→ → →= + = + = = .


Σε κάθε περίπτωση λοιπόν,

2

0lim 1 sin 1, x

a xl ax a

→= + = ∀ ∈ .

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, με εναλλαγή των συμβόλων της παραπάνω σχέσης, έχουμε

2

0lim 1 sin 1, a

aax x

→+ = ∀ ∈ ,


2

0( ) lim 1 sin 1, a

faf x ax x D

→= + = ∀ ∈ = , δηλ. 1f ≡ .


*2( ) 1 sin , , { 1 }

a

aa f k

f x ax x D a k∈

= + ∀ ∈ ∀ ∈ ±

,


0( ) lim ( ) 1, aa

f x f x x→

= = ∀ ∈ .



22

55

--55

--11


∈∀ ∈ ±


lim 1a aff→

= ≡ ..

1


2lim 2 cos , x

a x

al ax→+∞

= − ∀ ∈

,


2

20

1( ) lim 2 cos , ax

fa

xf x x Da→

+= − ∀ ∈ ⊆

.




Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο, και κάνοντας χρήση της γνωστής τριγωνομετρικής ταυτότητας 22sin 1 cos 2 , x x x= − ∀ ∈ , λαμβάνουμε διαδοχικά

22ln 1 2sin

2 2 22 2 2lim 1 1 cos lim 1 2sin lim sgn 1 2sin

2 2

xax xx

a x x x

a a al ex x x

+

→+∞ →+∞ →+∞

= + − = + = + =

22ln 1 2sin

2limaxx

xe

+

→+∞= , a∀ ∈ .. 11

grafeq: 99.98%

*2( ) 1 sin , , { 1 }

a

aa f k

f x ax x D a k∈

= + ∀ ∈ ∀ ∈ ±

≡ 1f



Το όριο του εκθέτη υπάρχει, καθώς με μετασχηματισμό, και υποθέτοντας *a∈ , ανάγεται σε γινόμενο των γνωστών ορίων

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= και

0

sinlim 1x

xx→

= .


22 2 2

2 0

2

1 1lim ln 1 2sin lim ln 1 2sin lim ln 1 2sin21 22

1x x x

a a axxx xx

x

+→+∞ →+∞ →

+ = + = + =

2 22 2

2 2

2 2 20 02

22

ln 1 2sin ln 1 2sin2 2 2sinlim lim

2sin2sin2

2sin2

x x

ax axax

xax ax

xax

+ +→ →

+ +

= = ⋅ =

22

2 2

2 2 20

ln 1 2sin2 sin2 lim

2sinx

axax ax

ax ax+→

+

= ⋅ ⋅ =

22

22

2 2 20

ln 1 2sin2 sin2 lim sin

2sinx

axax ax ax

ax ax+→

+

= ⋅ ⋅ *, a∀ ∈ . 22

Για τον πρώτο παράγοντα του παραπάνω ορίου, και επειδή 2 2 02sin ( 2) 0xax →→ ,

( )2

2

2 22 2

2 2 2 20 02sin 02

ln 1 2sin ln 1 2sinln 12 2

lim lim lim 12sin 2sinx ax x

ax axx

xax ax+ +→ →→

+ + + = = = *, a∀ ∈ ,

για τον δεύτερο παράγοντα, και επειδή 2 0 0xax →→ ,

2

2 2

2 20 0 0


ax ax xxax ax+ + +→ → →

= = = *, a∀ ∈ ,

ενώ το όριο του τρίτου παράγοντα υπολογίζεται άμεσα, καθώς

2

0lim sin 0x

ax ax+→

= *, a∀ ∈ .

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα παραπάνω τρία όρια, η εξ. 22 δίνει άμεσα

22

22 2

2 2 2 20 0 0

ln 1 2sin2 sinlim ln 1 2sin 2 lim lim lim sin 2 1 1 0 0

2 2sinx x x x

axa axx ax axx ax ax+ + +→+∞ → → →

+

+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

*, a∀ ∈ .

Οπότε, τελικά, το όριο του εκθέτη της εξ. 11 υπάρχει, και μάλιστα



2 22 20

ln 1 2sin lim ln 1 2sin02 2lim 1x

a ax xx x

a xl e e e→

+ +

→+∞= = = = *, a∀ ∈ .


0 2

0lim 2 cos lim (2 1) lim 1 lim 1 1x

x x

x x x xl

x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= − = − = = =

.


( )

lim 1( )

g x

x

kg x→+∞

+

, όπου ( ) xg x →+∞→+∞ .


22

22

2sin2

2sin2

22 2

22

1lim 1 1 cos lim 1 2sin lim 1 2 1 2sin

2

ax xa

x x x

a x x x

a alax xx

⋅

→+∞ →+∞ →+∞

= + − = + = + ⇒

222

22 22 2

2 sin1 1 22 sin22sin 2sin

2 2

2 22 2

1 1lim 1 lim 11 2sin 1 2sin

2 2

axa xxa axx x

a x xl

a ax x

⋅

→+∞ →+∞

= + = +

*, a∀ ∈ , 11


( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ και 0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για το όριο της βάσης, επειδή 2 21 2sin ( 2 ) xa x →+∞→+∞ ,

2 22 2

22

1 1

2sin 2sin2 2

12 22 22sin

2

1 1 1lim 1 lim 1 lim 11 2sin 1 2sin

2 2

a axx x

x xax

ea a xx x

⋅ ⋅

→+∞ →+∞→+∞

+ = + = + =

*, a∀ ∈ , 22

ενώ για το όριο του εκθέτη, επειδή 22 0xa x →+∞→ *, a∀ ∈ ,

2 22 2 2

22 2 2

2 2 2

sin sin sin1 12 2 2lim 2 sin 2 lim lim lim lim sin lim 2 2 2

2 2 2x x x x x x

a a aa a ax x xx x

a a ax xx x xx x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

2

22

2 002 2

sin sin2lim 2 sin lim 0 0 lim 0 1 0 02

2ax xx

aa xxx

a xxx

→+∞ →→= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = *, a∀ ∈ . 33




2lim 2 sin 22

22

1

2sin2

0

22

1lim 1 11 2sin

2

axx x

ax

a xl e

ax

→+∞

→+∞

= + = =

*, a∀ ∈ .



2lim 2 cos 1, x

a x

al ax→+∞

= − = ∀ ∈

.

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, από την παραπάνω σχέση έχουμε προφανώς

2

2

1lim 2 cos 1, x

x

a ax→+∞

+− = ∀ ∈

,

και κατά συνέπεια

2 2 2

2 2 2

1 1 1lim 2 cos lim 2 cos lim 2 cos 1 1, a aax x x

a

x x x

a a a ax x x→+∞ →+∞ →+∞

+ + + − = − = − = = ∀ ∈

,

οπότε με εναλλαγή των συμβόλων της παραπάνω σχέσης, έχουμε

2

2

1lim 2 cos 1, ax

a

x xa→+∞

+− = ∀ ∈

,


2

20

1( ) lim 2 cos 1, ax

fa

xf x x Da→

+= − = ∀ ∈ =

, δηλ. 1f ≡ .


2*

2

1( ) 2 co s , , a

ax

a fxf x x D a

a +

= − ∀ ∈ ∀ ∈

,

δηλ. για a → +∞ , για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

( ) lim ( ) 1, aaf x f x x

→+∞= = ∀ ∈ .



1100

55

--55

--22

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, af a∀ ∈ κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς lim 1a aff→+∞

= ≡ ..

1


sin

0

1lim , ax

a x

el ax→

−= ∀ ∈ ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση 2sin

0

1( ) lim , ( 1)

ax

fa

ef x x Da x→

−= ∀ ∈ ⊆

+ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ :: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το όριο στη μορφή

( )

0

1lim( )

g x

x

eg x→

− , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, παίρνουμε

sin sin sin

0 0 0

1 1 1 sinlim lim sin limsin sin

ax ax ax

a x x x

e e e axl axx x ax ax x→ → →

− − −= = = ⋅ *, a∀ ∈ . 11

Τα όρια των παραπάνω δύο όρων του γινομένου υπάρχουν, καθώς με μετασχηματισμό ανάγονται αντίστοιχα στα γνωστά όρια

0

1lim 1x

x

ex→

−= και

0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για τον πρώτο παράγοντα, επειδή 0sin 0xax →→ *, a∀ ∈ ,

grafeq: 99.99%

2*

2

1( ) 2 co s , , a

ax

a fxf x x D a

a +

= − ∀ ∈ ∀ ∈

≡ 1f

2f



sin sin

0 sin 0 0

1 1 1lim lim lim 1sin sin

ax ax x

x ax x

e e eax ax x→ → →

− − −= = = *, a∀ ∈ ,

ενώ για τον πρώτο παράγοντα, επειδή 0 0xax →→ *, a∀ ∈ ,

0 0 0


ax ax xa a a ax ax x→ → →

= = = ⋅ = *, a∀ ∈ ,

οπότε η εξ. 11, βάσει των παραπάνω ορίων, δίνει άμεσα

sin

0 0

1 sinlim lim 1sin

ax

a x x

e axl a aax ax→ →

−= ⋅ = ⋅ = *, a∀ ∈ .


sin 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1lim lim lim lim 0 0x

x x x x

e elx x x→ → → →

− − −= = = = = .


*sin

0

,1lim , 0, 0

ax

a x

a ael a ax a→

∀ ∈− = = = ∀ ∈ =

.


Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, από την παραπάνω σχέση έχουμε προφανώς 2sin

2

0

1lim , a x

x

e a ax→

−= ∀ ∈ ,

οπότε με εναλλαγή των συμβόλων της παραπάνω σχέσης, έχουμε 2sin

2

0

1lim , ax

a

e x xa→

−= ∀ ∈ ,

και επομένως, βάσει αυτής, 2 2sin sin 2

0 0

1 1 1( ) lim lim , { 1}( 1) 1 1

ax ax

fa a

e e xf x x Da x x a x→ →

− −= = = ∀ ∈ = − −

+ + + .


{ }2

*

sin 1( ) , { 1}, 1( 1) a

axk

a f k

ef x x D a ea x ∈

−= ∀ ∈ = − − ∀ ∈ ±

+

,


2

0( ) lim ( ) , { 1}

1aa

xf x f x xx→

= = ∀ ∈ − −+

.



1100

1100

--1100

--1100

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 { }ka k

ef a∈

∀ ∈ ±


lima aff→

= .. 1−

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..77.. Να υπολογιστούν τα παραμετρικά όρια:

cos*

, 20lim , ,

sin

ax

a b x

e el a bbx→

−= ∀ ∈ ∀ ∈ και ,lima a bb

l l→+∞

= , a∀ ∈ ,


cos

20( ) lim ,

sin

ax

fa

e ef x x Dax→

−= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το πρώτο όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το όριο στη μορφή

( )

0

1lim( )

g x

x

eg x→

− , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο κάνοντας χρήση της γνωστής τριγωνομετρικής ταυτότητας 22sin 1 cos 2 , x x x= − ∀ ∈ , λαμβάνουμε διαδοχικά

2 2 22sin 2sincos 1 cos 2 2

, 2 2 2 20 0 0 0 2

2sin( 1) 1 1 2lim lim lim limsin sin sin sin2sin

2

ax axax ax

a b x x x x

axe e e e e el e e

axbx bx bx bx

− −− +

→ → → →

−− − − −= = = = ⋅

−

*, a∀ ∈ . 11

Τα όρια των παραπάνω δύο όρων του γινομένου υπάρχουν, καθώς με μετασχηματισμό ανάγονται αντίστοιχα στα γνωστά όρια

grafeq: 99.97%

{ }

{ }

2

*

2

*

si

sin

n

1( ) , {

1( ) , { 1},

1}, 1( 1)

1( 1)

axk

axk

a k

a k

ef x x a ea x

ef x x a ea x

∈

∈

−= ∀ ∈ − − ∀ ∈

−= ∀ ∈ − − ∀

−

+

+

∈

f



0

1lim 1x

x

ex→

−= και

0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για τον πρώτο παράγοντα, επειδή 2 02sin ( 2) 0xax →− → *, a∀ ∈ ,

2 2

2

2sin 2sin2 2

0 02 22sin 02

1 1 1lim lim lim 12sin 2sin

2 2

ax axx

axx x

e e eax ax x

− −

→ →− →

− − −= = =

− −

*, a∀ ∈ , 22

ενώ για τον πρώτο παράγοντα,

2 2

22

2

2 20 0 0 0

sin sin2 2

22sin sin2 2 2 2lim 2lim 2lim lim

sin sinsinsin 2x x x x

ax axax

ax ax ax axa

bx bxbxbx bbxbx bx

→ → → →

⋅ − = − = − = − ⋅

*, ,a b∀ ∈ . 33

Το παραπάνω όριο όντως υπάρχει, και συγκεκριμένα, επειδή ισχύει 0 0xax →→ *, a∀ ∈ και 0 0xbx →→ *, b∀ ∈ , έχουμε

0 002

sin sin sin2 2lim lim lim 1

2 2axx x

ax axx

ax ax x→ →→= = = και

0 0 0

sin sin sinlim lim lim 1x bx x

bx bx xbx bx x→ → →

= = = *, ,a b∀ ∈ ,


2

022 2 2

2 2 2 20

0

sin2lim

2sin 12 2limsin 1sin 2 2 2lim

x

x

x

ax

ax axa a a

bxbx b b bbx

→

→

→

− = − = − ⋅ = −

*, ,a b∀ ∈ . 44

Κατά συνέπεια η εξ. 11, βάσει των εξ. 22 και 44, δίνει τελικά

2 22sin 2 22

, 2 2 20 02

2sin1 2lim lim 1sin 2 22sin

2

ax

a b x x

axe a eal e e

ax bx b b

−

→ →

− −= ⋅ = ⋅ ⋅ − = −

−

*, ,a b∀ ∈ .


cos 0

0, 2 2 20 0 0 0

0lim lim lim lim 0 0sin sin sin

x

b x x x x

e e e elbx bx bx→ → → →

− −= = = = = .




55

1100

--1100

--2200


∈∀ ∈ ±


lima aff→

= ..

2cos * 2

*2, 2 20

,lim , , 2sin 20, 0

ax

a b x

eae e a eal a bbbx ba→

− − ∀ ∈ = = = − ∀ ∈ ∀ ∈

=

. 55

Για το δεύτερο ζητούμενο όριο, σύμφωνα με το παραπάνω αποτέλεσμα, έχουμε άμεσα

2

, 2lim lim 02a a bb b

eal lb→+∞ →+∞

= = − =

, a∀ ∈ , δηλ. 0, al a= ∀ ∈ .

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, από την εξ. 55, έχουμε προφανώς

cos 2

,1 20lim ,

2sin

ax

a x

e e eal ax→

−= = − ∀ ∈ ,


cos 2

20lim ,

2sin

ax

a

e e ex xa→

−= − ∀ ∈ ,

και επομένως,

cos 2

20( ) lim ,

2sin

ax

fa

e e exf x x Da→

−= = − ∀ ∈ = .


{ } *

cos

2( ) , , 1sin a

ax

a f k

e ef x x D a ka ∈

−= ∀ ∈ = ∀ ∈ ±

,


2

0( ) lim ( ) ,

2aa

ef x f x x x→

= = − ∀ ∈ .

grafeq: 99.99%

{ } *

cos

2( ) , , 1sin

ax

a k

e ef x x a ka ∈

−= ∀ ∈ ∀ ∈ ±

f



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..88.. Να υπολογιστούν τα παραμετρικά όρια:

*

0

tan( 1)lim , x

a x

al ax +→

−= ∀ ∈ και

0lim aa

l l+→

= ,


0

tan(sin 1)( ) lim , a

fx

xf x x Da→

−= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το όριο στη μορφή

0

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου 0( ) 0xg x →→ .


*

0 0 0

tan( 1) ( 1)tan( 1) tan( 1) ( 1)1lim lim lim , 1

xx

x x xx

a xx x x

a aa a aal ax x xa +→ → →

−−− − −−= = = ⋅ ∀ ∈ ⇒

−

0

1 sin( 1) ( 1)limcos( 1) 1

x x

a x xx

a alxa a→

− −= ⋅ ⋅

− −*, a +∀ ∈ .. 11

Τα όρια των παραπάνω τριών όρων του γινομένου υπάρχουν, καθώς

0

1 1 1 1lim 1cos(1 1) cos 0 1cos( 1)xx a→

= = = =−−

*, a +∀ ∈ ,

το όριο του δεύτερου όρου, επειδή 01 0x xa →− → *, a +∀ ∈ , ανάγεται στο γνωστό όριο

0

sinlim 1x

xx→

= ,

δηλ.

0 01 0

sin( 1) sin( 1) sinlim lim lim 11 1x

x x

x xx xa

a a xxa a→ →− →

− −= = =

− −*, a +∀ ∈ ,

ενώ το όριο του τρίτου όρου είναι το γνωστό όριο

*

0

1lim ln , x

x

a a ax +→

−= ∀ ∈ .

Κατά συνέπεια, βάσει των παραπάνω ορίων, η εξ. 11 δίνει άμεσα

0 0 0

1 sin( 1) ( 1)lim lim lim 1 1 ln lncos( 1) 1

x x

a x xx x x

a al a axa a→ → →

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

− −*, a +∀ ∈ .



55

1100

--1100


0 0 0 0

tan(0 1) tan( 1) 1lim lim tan( 1) lim tan( 1) ( )x

x x xl

x x x±→ → →

− −= = = − = − ⋅ ±∞ ∉ ,

καθώς τα πλευρικά όρια απειρίζονται χωρίς όμως να συμπίπτουν [[ ΤΤ ΕΕ ΛΛ ΟΟ ΣΣ ΕΕ ΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣ ΗΗ ΣΣ ]]


*

0

tan( 1)lim ln , x

a x

al a ax +→

−= = ∀ ∈ και 0l ∉ . 22

Για το δεύτερο ζητούμενο όριο, σύμφωνα με το παραπάνω αποτέλεσμα, έχουμε άμεσα

0 0lim lim lnaa a

l l a+ +→ →

= = = −∞ .

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, από την εξ. 22, έχουμε προφανώς

2 22

sin 0 0

tan[(sin ) 1] tan(sin 1)lim lim ln sin , x x

a x x

a al a ax x→ →

− −= = = ∀ ∈ ,


22

0

tan(sin 1)lim ln sin , a

a

x x aa→

−= ∀ ∈ ,


22

0

tan(sin 1)( ) lim ln sin , a

fa

xf x x x Da→

−= = ∀ ∈ = .


{ } *

2tan(sin 1)( ) , , 1a

a

a f k

xf x x D a ka ∈

−= ∀ ∈ ∀ ∈ ±

,


2

0( ) lim ( ) ln sin , aa

f x f x x x→

= = ∀ ∈ .

grafeq: 99.27%

f



--55


∈∀ ∈ ±


lima aff→

= ..

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..99.. Να υπολογιστούν τα παραμετρικά όρια: *

, 0lim cot( ) ln( 1), , a b x

l ax bx a b→

= + ∀ ∈ ∀ ∈ και ,0

limb a bb

l l+→

= , b∀ ∈


0( ) lim cot( ) ln( sin 1), fa

f x ax a x x D→

= + ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 0∞⋅ = . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία με δύο τρόπους.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ .. Φέρνουμε το όριο στη μορφή

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→

+, όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, έχουμε

1

, 0 0 0

ln( 1) ln( 1) ln( 1) sinlim cos lim cos lim cossin sina b x x x

bx bx bx bx axl ax ax axax bx ax bx bx

−

→ → →

+ + + = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

.. 11

έχοντας υποθέσει ότι *b∈ . Τα όρια των παραπάνω τριών όρων του γινομένου υπάρχουν, καθώς

0lim cos 1x

ax→

= *, a∀ ∈ ,

ενώ τα δύο υπόλοιπά όρια, επειδή 0 0xbx →→ *, b∀ ∈ και 0 0xax →→ *, a∀ ∈ , ανάγονται αντίστοιχα στα γνωστά όρια

0

ln( 1)lim 1x

xx→

+= και

0

sinlim 1x

xx→

= ,


0 0 0

ln( 1) ln( 1) ln( 1)lim lim lim 1x bx x

bx bx xbx bx x→ → →

+ + += = = *, b∀ ∈ , και

1 1 1 1

0 0 0 0

sin sin sin sinlim lim lim limx x ax x

ax ax b ax b xb abx ax a ax a x

− − − −

→ → → →

= = = =

1

1

0

sinlim 1x

b x b ba x a a

−−

→

= = =

*, ,a b∀ ∈ .

Κατά συνέπεια, βάσει των παραπάνω ορίων, η εξ. 11 δίνει άμεσα

{ } *

2tan(sin 1)( ) , , 1a

a

a f k

xf x x D a ka ∈

−= ∀ ∈ ∀ ∈ ±



1*

, 0 0 0

ln( 1) sinlim cos lim lim 1 1 , ,a b x x x

bx ax b bl ax a bbx bx a a

−

→ → →

+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ∀ ∈

.

Στην περίπτωση τώρα που 0b = , προφανώς έχουμε

,0 0 0 0 0lim cot( ) ln(0 1) lim cot( ) ln1 lim cot( ) 0 lim 0 0a x x x x

l ax x ax ax→ → → →

= + = = ⋅ = = *, a∀ ∈ .


**

, 0

,lim cot( ) ln( 1) , ,

0, 0a b x

b b bl ax bx a baab

→

∀ ∈ = + = = ∀ ∈ ∀ ∈ =

.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Χρησιμοποιώντας τη γνωστή λογαριθμική ταυτότητα

*ln ln , , ba b a a b+= ∀ ∈ ∀ ∈ ,

φέρνουμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου στη μορφή

( )1

0lim ln (1 )

g x

xx

kx→

+

.


coscot 1 sincot

, 0 0 0 0lim cot( ) ln( 1) lim ln( 1) lim ln(1 ) lim ln (1 )

x axx ax axax x x

a b x x x xl ax bx bx bx bx

→ → → →

= + = + = + = +

.. 22

έχοντας υποθέσει ότι *a∈ . Το όριο του εκθέτη υπάρχει, καθώς με ανάγεται στο γνωστό όριο

0

sinlim 1x

xx→

= ,

και συγκεκριμένα, επειδή 0 0xax →→ *, a∀ ∈ ,

1

0 0 0

1 1 sinlim cos lim cos lim cossin sinx x x

x ax axax ax axax a ax a ax

−

→ → →

= = =

1*

0 0

1 sinlim lim cos , x x

ax ax aa ax

−

→ →

= ⋅ ∀ ∈ ⇒

1 1 11

0 0 0 0

1 sin 1 sin 1 sin 1 1lim cos lim 1 lim lim 1sinx x ax x

x ax ax xaxax a ax a ax a x a a

− − −−

→ → → →

= ⋅ = = = =

*, a∀ ∈ . 33

Επίσης, το όριο της βάσης υπάρχει, καθώς είναι το γνωστό όριο

( )10

lim 1 x b

xbx e

→+ = , b∀ ∈ . 44

Κατά συνέπεια, η εξ. 22, μέσω των εξ. 33 και 44, δίνει άμεσα

0cos lim cos1 1sin sin

*, 0 0

ln lim (1 ) ln lim (1 ) , , x

x xax axax ax

x xa b x x

l bx bx a b→

→ →

= + = + ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒



22

2200

--2200

--22


∈∀ ∈ ±


lima aff→

= ..

1, ln ( ) lnb a b a

a bbl e ea

= = = *, , a b∀ ∈ ∀ ∈ .



*, , , a b

bl a ba

= ∀ ∈ ∀ ∈ . 55

Σχετικά με το δεύτερο ζητούμενο όριο, από την παραπάνω σχέση έχουμε άμεσα

lim lim 0b aa a

bl la→+∞ →+∞

= = = , b∀ ∈ , δηλ. 0, bl b= ∀ ∈ .

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, έχουμε προφανώς

*, 0 0

lim cot( ) ln( 1) lim cot( ) ln( 1), , A B x al Ax Bx Aa Ba A B

→ →= + = + ∀ ∈ ∀ ∈ ,

οπότε, από την εξ. 55,

*,sin 0

sinlim cot( ) ln( sin 1) , x x a

xl ax a x xx→

= + = ∀ ∈ ,


*

0

sin( ) lim cot( ) ln( sin 1) , fa

xf x ax a x x Dx→

= + = ∀ ∈ = .


{ } *( ) cot( ) ln( sin 1), , 1aa f k

f x ax a x x D a k∈

= + ∀ ∈ ∀ ∈ ±

,


*

0

sin( ) lim ( ) , aa

xf x f x xx→

= = ∀ ∈ .

grafeq: 99.65%

{ }{ } *

*( ) cot( ) ln( sin 1), ,

( ) cot( ) ln( sin 1),

1

, 1a

aa f

f k

k

a

f x ax a x x

f x ax a x x D

D a

a k

k∈

∈= + ∀

= + ∀

∈

∈ −

∈

∀

∀

∈

f 1 6f



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..1100.. Να υπολογιστούν τα παραμετρικά όρια: csc *

0lim(3 1) , ax

a xl x a

→= + ∀ ∈ και lim aa

l l→+∞

= ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση 2csc ( )

0( ) lim(3 1) , a x x

faf x a x D−

→= + ∀ ∈ ⊆ .


ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Φέρνουμε τη συνάρτηση του ορίου, που είναι της εκθετικής μορφής gf , στη μορφή

ln(sgn ) g fgf f e= .


(csc ) ln 3 1csc (csc ) ln(3 1)

0 0 0lim(3 1) limsgn(3 1) limax xax ax x

a x x xl x x e e+ +

→ → →= + = + = *, a∀ ∈ .. 11

Η συνάρτηση όμως του εκθέτη έχει οριακή απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ , την οποία και άρουμε φέρνοντας το όριό της στη μορφή

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→

+, όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, φέρνουμε διαδοχικά το όριο στη μορφή

1

0 0 0 0

1 ln(3 1) 3 ln(3 1) 3 sin ln(3 1)lim(csc ) ln(3 1) lim 3 lim limsin 3 sin 3 3x x x x

x ax x ax xax x xax x a ax x a ax x

−

→ → → →

+ + + + = ⋅ = ⋅ = ⋅

. 22

Τα όρια των παραπάνω δύο όρων του γινομένου υπάρχουν, καθώς ανάγονται αντίστοιχα στα γνωστά όρια

0

sinlim 1x

xx→

= και 0

ln( 1)lim 1x

xx→

+= .

και συγκεκριμένα, για τον πρώτο παράγοντα, επειδή 0 0xax →→ *, a∀ ∈ ,

1 1 1 11

0 0 0 0

sin sin sin sinlim lim lim lim 1 1x ax x x

ax ax x xax ax x x

− − − −−

→ → → →

= = = = =

*, a∀ ∈ ,

ενώ για τον δεύτερο παράγοντα, επειδή 03 0xx →→ ,

0 3 0 0

ln(3 1) ln(3 1) ln( 1)lim lim lim 13 3x x x


+ + += = =

Κατά συνέπεια, βάσει των παραπάνω, η εξ. 22 δίνει άμεσα



1

0 0 0

3 sin ln(3 1) 3 3lim(csc ) ln(3 1) lim lim 1 13x x x

ax xax xa ax x a a

−

→ → →

+ + = ⋅ = ⋅ ⋅ =

*, a∀ ∈ ,

οπότε και το ζητούμενο όριο, από την εξ. 11, δίνει τελικά

0lim (csc ) ln(3 1)( ) ln(3 1) 3 3

0lim x

ax x ascsax x aa x

l e e e e→++

→= = = = *, a∀ ∈ .


[ ]1( )

0lim 1 ( ) , g xx

kg x k→

+ ∈ , όπου 0( ) 0xg x →→ .

Διαδοχικά λοιπόν

csccsc 1 1 sincsc

0 0 0 0lim(3 1) lim(1 3 ) lim (1 3 ) lim (1 3 )

xx axx ax axax x x x

a x x x xl x x x x

→ → → →

= + = + = + = +

*, a∀ ∈ .. 33

Επειδή λοιπόν το όριο της βάσης είναι το γνωστό όριο

( )1 3

0lim 1 3 x

xx e

→+ = ,

και το όριο του εκθέτη, επειδή 0 0xax →→ *, a∀ ∈ , ανάγεται στο επίσης γνωστό όριο

0

sinlim 1x

xx→

= ,

καθώς

1 1 1 1

0 0 0 0 0

sin sin 1 sin 1 sin 1 1lim lim lim lim lim 1sinx x x ax x

x ax ax ax xaax x ax a ax a x a a

− − − −

→ → → → →

= = = = = ⋅ =

*, a∀ ∈ ,

τότε η εξ. 33, βάσει των παραπάνω ορίων, δίνει άμεσα

( )0

lim1 sin 13 3

0lim(1 3 )

x

xax a ax

a xl x e e

→

→

= + = =

*, a∀ ∈ .


Σχετικά με το δεύτερο ζητούμενο όριο, έχουμε άμεσα

3lim lim aaa a

l l e→+∞ →+∞

= = ,

όπου το όριο του εκθέτη υπάρχει, καθώς

lim 3 0a

a→+∞

= *, a∀ ∈ ,


lim (3 )3 0lim 1a

aa

al e e e→+∞

→+∞= = = = δηλ. 1l = .

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, έχουμε δείξει ότι



55

1100

--1100

--55


∈∀ ∈ ±


lima aff→

= ..

csc 3 *

0lim(3 1) , aax

a xl x e a

→= + = ∀ ∈ ,

οπότε, με εναλλαγή των συμβόλων,

csc 3 *

0lim(3 1) , xax

aa e x

→+ = ∀ ∈ ,

και άμεσα,

22csc ( ) 3 2

0lim(3 1) , | 0x xa x x

aa e x x x−−

→+ = ∀ ∈ − ≠ .

Επομένως η οριακή συνάρτηση είναι η

2 3 *( ) , {1}x xff x e x D−= ∀ ∈ = − .


{ }2

*csc ( )( ) (3 1) , , 1

a

a x xa f k

f x a x D a k−∈

= + ∀ ∈ ∀ ∈ ±

,


2 3 *

0( ) lim ( ) , {1}x x

aaf x f x e x−

→= = ∀ ∈ − .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..1111.. Να υπολογιστεί το όριο: πtan2

1lim(4 3 )

x

xl x

→= − .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 1∞ . Μπορούμε να άρουμε την απροσδιοριστία με δύο τρόπους.

grafeq: 99.55%

{ }{ }2

2

*

*

csc ( )

csc ( )

( ) (3 1) ,

( ) (3 1) ,

, 1

, 1a

a

a x xa f

a x xf k

k

a

f x a x D

f x a x k

k

a

a

D−

−∈

∈= + ∀ ∈ ∀ ∈

= + ∀ ∈ ∀ ∈ −

f

1 6f

1



ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Φέρνουμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου στη μορφή

[ ]1( )

0lim 1 ( ) g xx

kg x→

+ , όπου *k ∈ και 1( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, έχουμε διαδοχικά

[ ] [ ]π π 1 πtan tan tan2 2 1 2

1 1 1lim(4 3 ) lim 1 3(1 ) lim 1 3(1 )

xx x xx

x x xl x x x

−−

→ → →= − = + − = + − ⇒

[ ] [ ]π(1 ) tan1π 1 2(1 ) tan

1 2 11 1

lim 1 3(1 ) lim 1 3(1 )x x

x xx x

x xl x x

−−

− −→ →

= + − = + −

.. 11

Το όριο της παραπάνω σύνθετης εκθετικής συνάρτησης υπάρχει, καθώς τα όρια της βάσης και του εκθέτη ανάγονται, αντίστοιχα, στα γνωστά όρια

( )1

0lim 1 , kxx

kx e k→

+ = ∀ ∈ και 0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για το όριο της βάσης, επειδή 11 0xx →− → ,

[ ] [ ] [ ]1 1 1

31 11 1 0 0

lim 1 3(1 ) lim 1 3(1 ) lim 1 3x x xx x x

x x x e− −→ − → →

+ − = + − = + = , 22

ενώ για το όριο του εκθέτη, επειδή 1(π 2)( 1) 0xx →− → ,

1 1 1 1

π π π π ππ sin sin ( 1)sinπ 2 2 2 2 22lim(1 ) tan lim(1 ) lim(1 ) lim(1 )π π π π π π2 cos cos cos ( 1)2 2 2 2 2 2

x x x x

x xxx x x x x

x x x→ → → →

+ − − + − = − = − = − = + − − +

1 1 1

π π π πsin ( 1) sin ( 1)1π π2 2 2 2lim(1 ) lim(1 ) lim sin ( 1)

π ππ π 2 2sin ( 1) sin ( 1)cos ( 1)2 22 2

x x x

x xxx x x

x xx→ → →

− + − + − = − = − = − − + = − −− +

1 1

π1 1( 1) 02

π πsin ( 1) sin ( 1)2π π 2 π π2 2lim sin ( 1) lim limsin ( 1)π ππ 2 2 π 2 2( 1) ( 1)2 2

x xx

x xx x

x x

− −

→ →− →

− − = − − + = − ⋅ − + = − −

12π 2 21 sin 1π 2 π π

−= − ⋅ ⋅ = − ⋅ = − . 33

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα παραπάνω όρια των εξ. 22 και 33, από την εξ. 11 λαμβάνουμε άμεσα

[ ]πlim (1 ) tan 221 π

131

π 61

1lim 1 3(1 )x x

xx

xl x e

e

−−→

−→

= + − = = .

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ ΙΙ :: Φέρνουμε τη συνάρτηση του ορίου, που είναι της μορφής gf , στη μορφή





πtan2

ππ tan ln 4 3tan ln 4 3 221 1 1

lim(4 3 ) limsgn(4 3 ) limx x xx x

x x xl x x e e

− −

→ → →= − = − = . 44

Η συνάρτηση όμως του εκθέτη έχει οριακή απροσδιοριστία της μορφής ∞ ∞ , την οποία και άρουμε φέρνοντας το όριό του στη μορφή

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x→

+, όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, φέρνουμε διαδοχικά το όριο του εκθέτη της εξ. 44 στη μορφή

[ ] [ ]1 1 1

ln 1 3(1 )π π πlim ln(4 3 ) tan lim ln 1 3(1 ) tan 3lim (1 ) tan2 2 3(1 ) 2x x x

xx x x x x x

x→ → →

+ −− = + − = −

−. 55

Το όριο λοιπόν του εκθέτη υπάρχει, καθώς με μετασχηματισμούς, ανάγεται σε γινόμενο των γνωστών ορίων

0

ln(1 )lim 1x

xx→

+= και

0

sinlim 1x

xx→

= .

Συγκεκριμένα, για τον πρώτο παράγοντα του παραπάνω ορίου, και επειδή 13(1 ) 0xx →− → ,

[ ] [ ]1 3(1 ) 0 0

ln 1 3(1 ) ln 1 3(1 ) ln(1 )lim lim lim 13(1 ) 3(1 )x x x

x x xx x x→ − → →

+ − + − += = =

− −, 66

ενώ, για τον δεύτερο παράγοντα ισχύει η εξ. 33, που αποδείχθηκε στην Επίλυση Ι. Κατά συνέπεια, βάσει των εξ. 33 και 66, υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 55, δηλ.

[ ]1 1 1

ln 1 3(1 )π π 2 6lim ln(4 3 ) tan 3lim lim(1 ) tan 3 12 3(1 ) 2π πx x x

xx x x x

x→ → →

+ − − = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = − − ,

οπότε, άμεσα από την εξ. 44, λαμβάνουμε

6π1

π πtan ln(4 3 ) lim tan ln(4 3 )2 2

π 61

1lim xx x x x

xl e e e

e

−→

− −

→= = = = .


0lim cosx

xl x

+→= .


ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Φέρνουμε τη συνάρτηση του ζητούμενου ορίου στη μορφή

[ ]1( )

0lim 1 ( ) g xx

kg x+→

+ , όπου 0( ) 0xg x+→→ .




( )2

2

2sin 1211 2sin2 2 2

0 0 0lim cos lim 1 2sin lim 1 2sin

2 2

x

xxxx

x x x

x xl x+ + +

⋅

→ → →

= = − = − ⇒

2

2

2sin2

1

2sin2 20

lim 1 2sin2

x

xx

x

xl+→

= −

.. 11


( )1

0lim 1 , kxx

kx e k+→

+ = ∀ ∈ και 0

sinlim 1x

xx+→

= .

Συγκεκριμένα, για το όριο της βάσης, επειδή 2 02sin ( 2) 0xx+→→ ,

( )2 2

2

1 11

2sin 2sin2 2 12 200 2sin 0

2

1lim 1 2sin lim 1 2sin lim 12 2

x xx

xxx

x x x ee+

+

−

→→ →

− = − = − = =

. 22

και για το όριο του εκθέτη, επειδή 0( 2) 0xx+→→ ,

2 2

2 22

22 00 0 0 0

2sin sin sin sin1 1 1 sin 1 12 2 2 2lim 2 lim lim lim lim 12 2 2 2 2

4 2 22

xx x x x

x x x xx

x xx xx+ + + + →→ → → →

= = = = = ⋅ =

. 33


( )2

02

2sinlim1 21

2 2sin

0

1 1lim 1 2sinx

xx

xx

l xe e

+→

+→

= − = =

.




( ) ( )1 11 ln cosln cos

0 0 0lim cos lim sgn cos lim

xx xx x

x x xl x x e e

+ + +→ → →= = = . 44

Η συνάρτηση όμως του εκθέτη έχει οριακή απροσδιοριστία της μορφής 0 0 , την οποία και άρουμε φέρνοντας το όριό του στη μορφή

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x+→

+, όπου 0( ) 0xg x

+→→ .



Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο όριο του εκθέτη της εξ. 44, και κάνοντας χρήση της γνωστής τριγωνομετρικής ταυτότητας 22sin 1 cos 2 , x x x= − ∀ ∈ , λαμβάνουμε διαδοχικά

2 22

0 0 02

ln 1 2sin ln 1 2sin 2sin2 21 2lim ln cos lim lim2sin

2x x x

x x x

xx x xx+ + +→ → →

− − −

= = ⋅−

. 55

Το όριο λοιπόν του εκθέτη υπάρχει, καθώς με μετασχηματισμούς, ανάγεται σε γινόμενο των γνωστών ορίων

0

ln(1 )lim 1x

xx+→

+= και

0

sinlim 1x

xx+→

= .

Συγκεκριμένα, για τον πρώτο παράγοντα του παραπάνω ορίου της εξ. 55, επειδή 2 02sin ( 2) 0xx

+→→ ,

( )2

2 2

0 02sin 02 22

ln 1 2sin ln 1 2sin2 2 ln 1

lim lim lim 12sin 2sin

2 2xx x

x xx

xx x+ ++→ →− →

− − + = = =

− −, 66

ενώ, για τον δεύτερο παράγοντα ισχύει η εξ. 33, που αποδείχθηκε στην Επίλυση Ι. Κατά συνέπεια, βάσει των εξ. 33 και 66, υπάρχει το όριο του εκθέτη εξ. 55, δηλ.

22

0 0 02

ln 1 2sin 2sin21 1 12lim ln cos lim lim 1 ( )2 2

2sin2

x x x

x x

xx xx+ + +→ → →

− −

= ⋅ = ⋅ − = −−

,

οπότε, άμεσα από την εξ. 44, λαμβάνουμε

0

11 1lim ln cosln cos2

0

1lim xxx xx

xl e e e

e+→

+

−

→= = = = .


+π 2

sin coslimπ 2x

xlx→

=−

.

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το όριο έχει απροσδιοριστία, της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία φέρνοντας το όριο στη μορφή

+π 2

sin ( )lim( )x

g xg x→

, όπου +π 2( ) 0xg x →→ .




+ +π 2 π 2

sin cos sin cos coslim limcosπ 2 π 2x x

x x xlxx x→ →

= = ⋅− −

.. 11

Το όριο του πρώτου παράγοντα υπάρχει, καθώς επειδή π 2cos( ) 0xx+→→ ,

+ cos 0 0π 2

sin cos sin cos sinlim lim lim 1cos cosx xx

x x xx x x− −→ →→

= = = . 22

Παρατηρούμε ότι το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 11 εμφανίζει απροσδιοριστία, επίσης της μορφής 0 0 . Μπορούμε όμως να άρουμε την απροσδιοριστία, όπως ακριβώς και παραπάνω, φέρνοντας το όριο στη μορφή

0

sin ( )lim( )x

xxγ

γ→, όπου

+π 2( ) 0xxγ →→ .

Συγκεκριμένα λοιπόν,

+ + + +π 2 0π 2 π 2 π 2

cos cos(π 2 π 2) sin( π 2) sin( π 2)lim lim lim limπ 2 π 2 π 2 π 2xx x x

x x x xx x x x− →→ → →

+ − − −= = = =

− − − −

+ + +0 0 0

sin sin sinlim lim limx x x

x x x x xx xx x→ → →

= = ⋅ = ⋅ .

Το παραπάνω όριο υπάρχει, καθώς υπάρχουν τα όρια των παραγόντων του, οπότε άμεσα

+ + + +0 0 0π 2

cos sin sinlim lim lim lim 1 0 0π 2 x x xx

x x xx xx xx → → →→

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =−

. 33

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια εξ. 22 και 33, η εξ. 11 δίνει τελικά

+ + +π 2 π 2 π 2

sin cos cos sin cos coslim lim lim 1 0 0cos cosπ 2 π 2x x x

x x x xlx xx x→ → →

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =− −

.

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..1144.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο sin

0lim , ax

a xl x a

→= ∀ ∈ ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση sin( sin )

0( ) lim , a x

faf x a x D

→= ∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 00 την οποία και άρουμε φέρνοντας το όριο στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

→, όπου 0( ) 0xg x →→ ,

είτε εμφανίζοντας στον εκθέτη τη συνάρτηση της βάσης είτε αντίστροφα.

ΕΕΠΠ ΙΙ ΛΛ ΥΥ ΣΣΗΗ ΙΙ :: Εμφανίζοντας στον εκθέτη τη συνάρτηση της βάσης, λαμβάνουμε διαδοχικά,



( )sin sinsin

0 0 0lim lim lim

x ax axax x xx x xa x x x

l x x x→ → →

= = = , a∀ ∈ .. 11

Το όριο της βάσης υπάρχει καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο

0lim 1x

xx

±→= ± ,

όπως και το όριο του εκθέτη, το οποίο ανάγεται άμεσα στο γνωστό όριο

0

sinlim 1x

xx→

= ,

καθώς, επειδή 0 0xax →→ , a∀ ∈ ,

0 0 0 0

sin sin sin sinlim lim lim lim 1x x ax x

ax ax ax xa a a a ax ax ax x→ → → →

= = = = ⋅ = ,

υποθέτοντας ότι *a∈ . Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια βάσης και εκθέτη της εξ. 11, τελικά στο ζητούμενο όριο της εξ. 11 δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία οπότε, βάσει αυτών των ορίων, παίρνουμε άμεσα

( ) 0

sinlim

0lim ( 1) 1x

axxx a

ax

l x →

±→= = ± = ± *, a∀ ∈ ,

δηλ. το ζητούμενο όριο δεν συγκλίνει *a∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = το ζητούμενο όριο δίνει άμεσα

sin 0 00 0 0 0

lim lim lim1 1x

x x xl x x

→ → →= = = = .

Άρα το ζητούμενο παραμετρικό όριο συγκλίνει μόνο για 0a = με 0 1l = .

Σημειώνουμε εδώ ότι εάν εμφανίζαμε στη βάση τη συνάρτηση του εκθέτη, θα λαμβάναμε διαδοχικά

( )( )

( )sinsin sin

sin sin0sin0 0 0

0

limsinlim lim sin lim sinsin sin lim sin

axax axax axx

a axx x xx

xax xl x ax axax ax ax

→

→ → →

→

= = = ⋅ =

sin

0lim , ax

xx a

→= ∀ ∈ ,

χωρίς να οδηγούμασταν σε λύση.



Εφαρμόζοντας το παραπάνω στο ζητούμενο όριο, λαμβάνουμε διαδοχικά sinln (sin ) lnsin

0 0 0lim lim(sgn ) lim

axx ax xaxa x x x

l x x e e±→ → →

= = = ± , a∀ ∈ ,

από όπου

sin sinln ln

0 0lim lim

xax axax x a xax ax

ax x

l e e± ±→ →

= ± = ± *, a∀ ∈ ,



55

1100

--1100

--55

ΣΣχχήήμμαα.. ΗΗ ππααρρααμμεεττρριικκήή σσυυννάάρρττηησσηη *, 1 10 { }a kkf a

∈∀ ∈ ±

κκααιι ηη οορριιαακκήή ττηηςς 0 {0}

lim 1a aff→

= = ..

και λόγω των γνωστών ορίων

0lim 1x

xx

±→= ± και

0

sinlim 1x

xx→

= ,

παίρνουμε τελικά

0 00

sinsin lim ln limlim ln1 ln1 0 1

xx

ax xx

axax a xa xaaxax

al e e e e± ±± → →→

⋅ ⋅ ⋅ = ± = ± = ± = ± = ± *, a∀ ∈ .

δηλ. το ζητούμενο όριο δεν συγκλίνει *a∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = το ζητούμενο όριο όπως και στην Επίλυση Ι, δίνει 0 1l = . Άρα το ζητούμενο παραμετρικό όριο συγκλίνει μόνο για 0a = με 0 1l = .


sin *

0lim 1, ax

xx a

+→= ∀ ∈ , sin *

0lim 1, ax

xx a

−→= − ∀ ∈ και sin

0lim 1, 0ax

a xl x a

→= = = ,

καθώς και ότι *, al a∉ ∀ ∈ , οπότε, με εναλλαγή των συμβόλων,

sin

0lim 1, 0ax

aa x

→= = ,

συμπεραίνουμε ότι η οριακή συνάρτηση είναι η

sin( sin )

0( ) lim 1, {0}a x

faf x a x D

→= = ∀ ∈ = , δηλ

{0}1f = ,

καθώς ορίζεται μόνο στο μονοσύνολο {0} .


{ } *sin( sin )( ) , , 1

a

a xa f k

f x a x D a k∈

= ∀ ∈ = ∀ ∈ ±

,


0lim 1aa

f+→

≡ και 0

lim 1aa

f−→

≡ −

grafeq: 99.98%

{ }{ }

*

*sin( si

sin( sin )

n )

( ) , , 1 10

( ) , , 1 10a x

a x

a

k

k

a

f

f x a x a

x a x a

k

k∈

∈= ∀ ∈ ∀

= ∀ ∈ ∀ ∈ −

∈

f 1

+0lim 1aa

f→

≡

−0lim 1aa

f→

≡ − 1−



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..1155.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο 3

0lim tan , x

ax

l ax a+→

= ∀ ∈ ,

καθώς και η οριακή συνάρτηση 3

0( ) lim tan ( sin )a

af x a x

+→= , fx D∀ ∈ ⊆ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 00 την οποία και άρουμε φέρνοντας το όριο στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→→ ,

είτε εμφανίζοντας στον εκθέτη τη συνάρτηση της βάσης είτε αντίστροφα.

Εμφανίζοντας στον εκθέτη τη συνάρτηση της βάσης, λαμβάνουμε διαδοχικά,

3 33tan tan tantan tan tan

0 0 0lim tan lim tan lim (tan )

ax x xx ax axax ax axa

x x xl ax ax ax

+ + +→ → → = = = ,, 11

υποθέτοντας ότι *a∈ . Το όριο της βάσης υπάρχει καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο

0lim 1x

xx

±→= ± ,

όπου, επειδή 0tan 0xax+→→ *, a∀ ∈ ,

tan *

tan *tan 0 0tan *0

tan 0 0

lim (tan ) lim 1,lim (tan ) 1,

lim (tan ) lim 1,

ax x

ax ax xax xx

ax x

ax x aax a

ax x a+ +

+

− −

+→ →

±→

−→ →

= = ∀ ∈ = = ± ∀ ∈ = = − ∀ ∈

,


0

sinlim 1x

xx→

= ,

καθώς, επειδή 0 0xax →→ *, a∀ ∈ ,

3 3 3

0 0 0 0lim lim cos lim cos lim cos

tan sin sin sinx x x x

x x ax x ax xax ax axax ax ax ax ax a+ + + +→ → → →

= = ⋅ = ⋅ =

1 1

1

0 0 0

sinlim lim cos lim 0 1 1 0 0sinax x ax

ax x axaxax a ax± ± ±

− −−

→ → →

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

*, a∀ ∈ .

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια της βάσης και του εκθέτη της εξ. 11, τελικά στο ζητούμενο όριο της εξ. 11 δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία οπότε, βάσει αυτών των ορίων, παίρνουμε άμεσα



3

0lim

tantan 0

0lim (tan ) ( 1) 1x

xaxax

ax

l ax +→

+→

= = ± = ± *, a ±∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που 0a = το ζητούμενο όριο δίνει άμεσα

3 3

00 0 0

lim tan 0 lim 0 lim 0 0x x

x x xl x

+ + +→ → →= = = = .


*

*

1,0, 0 sgn , 1,

a

al a a a

a

−

+

− ∀ ∈ = = = ∀ ∈ ∀ ∈

.

Σημειώνουμε εδώ ότι εάν εμφανίζαμε στη βάση τη συνάρτηση του εκθέτη, θα λαμβάναμε διαδοχικά

( ) ( ) ( )

( )

3 3 33 3

3

3

33 3

3 30 0 0 03

0

tantanlim tan lim tan lim lim ,lim

x x xx x

xa xx x x x

x

axx axl ax ax x xx x x

+ + + +

+

→ → → →

→

= = = =

3

0lim tan , x

xax a

+→= ∀ ∈ ,

χωρίς να οδηγούμασταν σε λύση.


3

0lim tan sgn , x

ax

l ax a a+→

= = ∀ ∈ ,


3

0lim tan sgn , a

aax x x

+→= ∀ ∈ ,


3

0

1, (2π,2 π π)1, | sin 0

( ) lim tan ( sin ) sgn sin 0, | sin 0 0, {π}1, | sin 0 1, (2π π,2 π 2π)

ka

ka

k

x k kx x

f x a x x x x x kx x x k k

+

∈

∈→

∈

− ∀ ∈ +− ∀ ∈ > = = = ∀ ∈ = = ∀ ∈ ∀ ∈ < ∀ ∈ + +

.


{ }3

*( ) tan ( sin ), , 1a

aa f k

f x a x x D a k∈

= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈

,

δηλ. δεξιά από την τιμή 0a = , για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

0( ) lim ( ) sgn sin , a

af x f x x x

+→= = ∀ ∈ .



22

22ππ

--22ππ

--22


∈∀ ∈


lima

aff+→

= ..


ΑΑ.. 2ln

1lim( 1) x

xl x

+→= − . ΒΒ..

1ln

1lim( 1)

x x

xl x

−

+→= − .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..1100..1166ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής 00 την οποία και άρουμε μετασχηματίζοντάς το πρώτα σε έκφραση του 1x − (οπότε και 11 0xx

+→− → ), και στη συνέχεια φέρνοντάς το στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, εφαρμόζοντας το παραπάνω , έχουμε διαδοχικά,

( )2

22 2

ln( 1)ln( 1)ln( 1 1) ln( 1)

1 0 0 0 0lim ( 1) lim lim lim

x xxx x xx xx x x x

l x x x x+ + + +

++− + +

− → → → →= − = = = .. 11


0lim 1x

xx

+→= ,


0

ln(1 )lim 1x

xx+→

+= ,

grafeq: 99.98%

{ }3

*( ) tan ( sin ), , 1a

aa f kf x a x x D a k

∈= ∀ ∈ ∀ ∈

f 1

1−



καθώς,

2

0 0 0

ln(1 ) 2 ln(1 ) ln(1 )lim lim 2 lim 2 1 2x x x

x x xx x x+ + +→ → →

+ + += = = ⋅ = .

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια της βάσης και του εκθέτη της εξ. 11, τελικά στο ζητούμενο όριο της εξ. 11 δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία οπότε, βάσει αυτών των ορίων, παίρνουμε άμεσα

( )2

0

ln( 1)lim2

0lim 1 1x

xxx

xl x +→

+

+

→= = = .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..1100..1166ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το όριο εμφανίζει στον εκθέτη απροσδιοριστία, της μορφής 00 , την οποία και άρουμε αφού πρώτα μετασχηματίσουμε το όριο του εκθέτη σε έκφραση του 1x −

(οπότε και 11 0xx+→− → ), και στη συνέχεια το φέρνουμε στη μορφή (όπως και στην παραπάνω

περίπτωση),

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, εφαρμόζοντας το παραπάνω στο όριο του εκθέτη, έχουμε διαδοχικά,

( ) ( ) ( ) ( )ln 11 11 ln 1

1 1 1 0 0 0lim ln lim ln lim ln 1 1 lim ln 1 lim ln 1

xx x x xx x

x x x x xx x x x x

+ + + + +

+− −

− +

→ → − → → →= = − + = + = + =

( )ln 1 ln 1

0lim ln 1

xx x

xx

+

+ +

→

= + 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου υπάρχει καθώς ανάγεται άμεσα στο γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,

καθώς, επειδή 0ln 1 0xx+→+ → ,

( ) ( )ln 1 ln 11

1 0 ln 1 0 0lim ln lim ln 1 lim ln 1 lim 1

x xx x

x x x xx x x x

+ + + +

+ +−

→ → + → →= + = + = ,


0

ln(1 )lim 1x

xx+→

+= ,

καθώς,

1

1 20 0 0 0 0

ln( 1)lim lim lim 2 lim 2 lim1 ln( 1)ln( 1)ln 1 ln( 1)2

x x x x x

x x x x xx xxx x

+ + + + +

−

→ → → → →

+ = = = = = +++ +

1

1

0

ln( 1)2 lim 2 1 2x

xx+

−−

→

+ = = ⋅ = ,

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια βάσης και εκθέτη της εξ. 11, τελικά το όριο αυτό δίνει



( ) 0lim

ln 1 ln 11 2

1 0lim ln lim ln 1 1 1 0

x

xx xx

x xx x

+→

+ +

+ +−

→ →

= + = = ≠ ,

και εφόσον το όριο αυτό αποτελεί το όριο του εκθέτη του ζητούμενου ορίου και είναι διάφορο του μηδενός, δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία στο ζητούμενο όριο το οποίο, βάσει της παραπάνω σχέσης, δίνει άμεσα

11

1lim ln

ln 1

1 1lim( 1) lim( 1) 0 0

xx

xx

x

x xl x x

−− +→

+ +→ →= − = − = = .


ΑΑ.. 1

0lim sin

xe

xl x

−

−

→= . ΒΒ..

tan1

0lim

xe

xl x −

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..1100..1177ΑΑ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία, της μορφής την οποία και άρουμε φέρνοντάς το στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

→, όπου 0( ) 0xg x

−→→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, εφαρμόζοντας το παραπάνω , έχουμε διαδοχικά,

sin 1 11 sin1 sinsin sin sin0 0 0 0

lim sin lim (sin ) lim (sin ) lim (sin )x x

xx

x e ee xe xx x xx x x x

l x x x x− − − −

− −−−

→ → → → = = = = .. 11


0lim 1x

xx

−→= − ,

όπου, επειδή 0sin 0xx−→ −→ ,

sin sin

0 sin 0 0lim (sin ) lim (sin ) lim 1x x x

x x xx x x

− − −→ → →= = = − ,

όπως και το όριο του εκθέτη, το οποίο ανάγεται άμεσα σε γινόμενο των γνωστών ορίων

0

1lim 1x

x

ex−→

−= και

0

sinlim 1x

xx−→

= ,

καθώς,

11

0 0 0 0 0

1 1 1 sinlim lim lim lim 1 lim 1 1 1sin sin sin

x x x

x x x x x

e e x e x xx x x x x x− − − − −

−−

→ → → → →

− − − = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −

.

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια της βάσης και του εκθέτη της εξ. 11, τελικά στο ζητούμενο όριο της εξ. 11 δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία οπότε, βάσει των παραπάνω αυτών ορίων, παίρνουμε άμεσα

0

1limsin 1sin0

lim (sin ) ( 1) 1x

x

ex x

xl x →

−−

→ = = − = − .

00



ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ 22..1100..1177ΒΒ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει απροσδιοριστία της μορφής , την οποία και άρουμε (αντίστοιχα με την παραπάνω περίπτωση) φέρνοντάς το στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

→, όπου 0( ) 0xg x →→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, έχουμε διαδοχικά,

( ) ( )tan tan

tantan

1 111

0 0 0 0lim lim lim lim

x xx

xx e ee xe xx x x

x x x xl x x x x

− −−−

→ → → →= = = = . 11

Το όριο της βάσης του παραπάνω ορίου δεν συγκλίνει όμως, καθώς λόγω των γνωστών ορίων

0lim 1x

xx

±→= ± , 22

δεν ταυτίζονται τα πλευρικά του όρια. Άρα και το ζητούμενο όριο δεν θα συγκλίνει. Μελετώντας το ζητούμενο όριο ως αναφορά τα πλευρικά του όρια, το όριο του εκθέτη ανάγεται άμεσα στο γνωστό όριο

0

1lim 1x

x

ex±→

−= ,

καθώς, επειδή 0tan 0xx±→ ±→ ,

tan tan tan tan

0 0 0 0 tan 0

1 1 1 1lim lim tan lim lim tan lim 0 1 0 0tan tan tan

x x x x

x x x x x

e e e ex xx x x x± ± ± ± ±→ → → → →

− − − −= = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = . 33

Από την εξ. 11 βάσει των εξ. 22 και 33 παίρνουμε άμεσα,

( )tan

tan0

1lim1 0

0 0lim lim ( 1) 1

xx

x

ee x x

x xx x ±→

± ±

−−

→ →= = ± = ± .

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..1188.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο sintan

, ,0

lim sin , , ,cx bx

a b cx

l a x a b c+→

= ∀ ∈ ,


sintan

0( ) lim sin , ,

a axf

af x a x D a

+→= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει στον εκθέτη απροσδιοριστία της μορφής , την οποία και άρουμε φέρνοντας το όριο του εκθέτη στη μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ ±→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, εφαρμόζοντας το παραπάνω στο όριο του εκθέτη, έχουμε διαδοχικά,

tan sinsinsin sin tantan tan0 0 0 0

lim tan lim (tan ) lim (tan ) lim (tan )bx cxcxcx cx bxbx bx

x x x xbx bx bx bx

+ + + +→ → → → = = = ,, 11

00

00



υποθέτοντας ότι *,b c∈ . Το όριο της βάσης υπάρχει καθώς είναι ουσιαστικά το γνωστό όριο

0lim 1x

xx

+→= ,

όπου, επειδή 0tan 0xbx+→ ±→ ,

*

tan tan 0*0 tan 0

0

lim 1,lim (tan ) lim (tan )

lim 1,

x

bx bx xxx bx

x

x bbx bx

x b+

+ ±

−

+→

→ →−

→

= ∀ ∈= = = − ∀ ∈

*, ,b c∀ ∈ ,


0

sinlim 1x

xx+→

= ,

καθώς, επειδή 0, 0xcx bx+→ ±→ *, ,b c∀ ∈ ,

0

0 0 0 0

0

sin sinlimsin sinlim lim cos lim cos lim cossin sintan sin lim

x

x x x x

x

cx cxccx cx ccx cxbx bx bxbx bxbx bx bb

bx bx

+

+ + + +

+

→

→ → → →

→

= = = ⋅ ⋅ =

0

0

sinlim 11 1sin 1lim

cx

bx

cxc c ccx

bxb b bbx

±

±

→

→

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = *, ,b c∀ ∈ .

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια βάσης και εκθέτη της εξ. 11, τελικά το όριο της εξ. 11 δίνει

0

*sinlimsin tan tan*0 0

1 1 0,lim tan lim (tan )

( 1) 1 0,x

c bcxcx bx bx

c bx x

bbx bx

b+→

+ +

+

→ →−

= ≠ ∀ ∈ = = − = − ≠ ∀ ∈

*, c∀ ∈ , 22

και εφόσον αυτό αποτελεί το όριο του εκθέτη του ζητούμενου ορίου και είναι διάφορο του μηδενός, δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία στο ζητούμενο όριο το οποίο, δίνει άμεσα

sintansin sin ln sintan tan, ,

0 0 0lim sin lim (sin ) lim (sgn sin )

cx bxcx cx axbx bxa b c

x x xl ax ax ax e

+ + +→ → →= = = =

sin(tan ) ln sin

0(sgn ) lim

cx bx ax

xa e

+→= *, , ,a b c∀ ∈ , 33

και επειδή από την εξ. 22,

*sin 0 *

*

1,tan ,

1,cx x b

bx cb

+→ +

−

∀ ∈→ ∀ ∈ ⇒− ∀ ∈

*sin 0 *

*

,( tan ) ln sin ,

,cx x b

bx ax cb

+→ +

−

−∞ ∀ ∈→ ∀ ∈+∞ ∀ ∈

,

η εξ 33 δίνει τελικά για το ζητούμενο όριο sin sin

sin

(tan ) ln sin (tan ) ln sin, ,

0 (tan ) ln sin 0(sgn ) lim (sgn ) lim (sgn ) lim

cx cx

cx

bx ax bx ax xa b c xx bx ax

l a e a e a e+ + → ∞→ →

= = =

*, b ±∀ ∈ , ⇒

*, b∀ ∈



**

, , *

(sgn ) 0 0,,

(sgn ) ( ),a b ca b

l ca b

+

−

⋅ = ∀ ∈= ∀ ∈⋅ +∞ ∀ ∈

.

Στην περίπτωση τώρα που 0b = και *c∈ , το ζητούμενο όριο δίνει sintan 0 0

,0,0 0 0

lim sin lim sin lim 1 1cx x

a cx x x

l ax ax+ + +→ → →

= = = = *, , a c∀ ∈ ∀ ∈ ,

ενώ στην περίπτωση που 0c = και *b∈ , το ζητούμενο όριο δίνει sin 0tan 1

, ,00 0 0

lim sin lim sin lim 0 0x bx

a bx x x

l ax ax+ + +→ → →

= = = = *, , a b∀ ∈ ∀ ∈ ,

Τέλος, στην ταυτόχρονη περίπτωση που 0b c= = , η συνάρτηση του ορίου δεν ορίζεται (παρουσιάζεται έκφραση 00 ).


* *

* *

, , *

*

0 , (sgn ) ( ), ,

, 1, 0, 0, 0,

a b c

b ca b c

l ab cc b

+

−

∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ +∞ ∀ ∈ ∀ ∈= ∀ ∈

= ∀ ∈ = ∀ ∈

.


sin

*

tan *1, ,1

0

0lim sin ,

1, 0

x bxb

x

bl x b

b+

+

−→

∀ ∈= = +∞ ∀ ∈ =

,


sin

*

tan *

0

0lim sin ,

1, 0

b bx

b

xb x

x+

+

−→

∀ ∈= +∞ ∀ ∈ =

,


sin*

tan

0

0( ) lim sin

1, 0a ax

a

xf x a

x+

+

→

∀ ∈= =

=

, fx D +∀ ∈ = .


{ }sin

*tan( ) sin , , 1

a

a

axa f k

f x a x D a k∈

= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈

,

δηλ. δεξιά από την τιμή 0a = , για την οποία παρατηρούμε ότι οριακά

*

0

0( ) lim ( )

1, 0aa

xf x f x

x+

+

→

∀ ∈= =

=

.



55

1100

--1100

--22


∈∀ ∈


lima

aff+→

= ..

ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΗΗ 22..1100..1199.. Να υπολογιστεί το παραμετρικό όριο 1 costan

0lim sin , , ,

cxbxa

xl a x a b c

−

+→= ∀ ∈ ,


1 costan

0( ) lim sin , ,

aa xf

af x a x D a

−

+→= ∀ ∈ ⊆ ∀ ∈ .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζει στον εκθέτη απροσδιοριστία της μορφής 00 , την οποία και άρουμε φέρνοντας (αντίστοιχα με την παραπάνω περίπτωση) το όριο του εκθέτη στη

μορφή

( )

0lim ( )g x

xg x

+→, όπου 0( ) 0xg x

+→ ±→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση, εφαρμόζοντας το παραπάνω στο όριο του εκθέτη, και χρησιμοποιώντας τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα 22sin 1 cos 2 , x x x= − ∀ ∈ , έχουμε διαδοχικά,

22

22sin ( 2)2sin ( 2)1 cos 2sin ( 2)

0 0 0 0lim tan lim tan lim tan lim tan

xx xcx x xx x

x x x xbx bx bx bx

+ + + +

−

→ → → →= = = , 22


0lim 1x

xx

+→= ,

, b∀ ∈

grafeq: 99.92%

{ }sin

*tan( ) sin , , 1

a

a

axa f kf x a x D a k

∈= ∀ ∈ ∀ ∈

0f ∗+≡

1

0f ∗+≡

(0) 1f =




0

sinlim 1x

xx+→

= ,

καθώς, επειδή 02 0xx+→ +→ ,

2

0 0 2 0 0 0

2sin ( 2) sin( 2) sin( 2) sinlim lim sin( 2) lim lim sin( 2) lim 0 1 0 02 2x x x x x

x x x xx xx x x x+ + + + +→ → → → →

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .

Εφόσον λοιπόν υπάρχουν τα όρια της βάσης και του εκθέτη της εξ. 11, τελικά το όριο της εξ. 11 βάσει των παραπάνω, δίνει άμεσα

( )22

0

2sin ( 2)2sin ( 2) lim1 cos 0

0 0 0lim tan tan lim tan lim tan 1 tanx

xxxcx x xx

x x xbx b x b x b b+→

+ + +

−

→ → →= = = ⋅ = , ,b c∀ ∈ ,

και εφόσον αυτό αποτελεί το όριο του εκθέτη του ζητούμενου ορίου, τότε εάν υποθέσουμε ότι είναι διάφορο του μηδενός, δηλ. *,b c∈ , δεν υφίσταται καμιά απροσδιοριστία στο ζητούμενο όριο το οποίο, βάσει της παραπάνω σχέσης, δίνει άμεσα

( )1 cos

1 cos 1 cos0

lim tantan tan

, ,0 0 0

lim sin sin lim sin limcx

cx cxx

bxbx bx

a b cx x x

l a x a x a x−

− − +→

+ + +→ → →

= = = =

( )tansin 0 sin 0 0ba= ⋅ = = , a∀ ∈ *, ,b c∀ ∈ .

Στην περίπτωση τώρα που επιπλέον 0b = , το ζητούμενο όριο δίνει 1 costan 0 0

,0,0 0 0

lim sin lim sin lim sin( 1) sincxx

a cx x x

l ax ax a a−

+ + +→ → →= = = ⋅ = , a∀ ∈ *, c∀ ∈ ,

ενώ στην περίπτωση που 0c = , ξανά το ζητούμενο όριο δίνει 1 cos 0 0tan tan tan

, ,00 0 0

lim sin lim sin lim sincbx bx b

a bx x x

l ax ax ax−

+ + +→ → →= = = =

( )tansin 0 sin( 1) sinba a a= ⋅ = ⋅ = , a∀ ∈ *, b∀ ∈ .

Τέλος, στην ταυτόχρονη περίπτωση που 0b c= = , η συνάρτηση του ορίου δεν ορίζεται (παρουσιάζεται έκφραση 0 0 ).


*

*, ,

*

0, ,sin , 0, , sin , 0,

a b c

b cl a b c a

a c b

∀ ∈= = ∀ ∈ ∀ ∈ = ∀ ∈

.

Ως αναφορά την οριακή συνάρτηση, έχουμε δείξει ότι 1 costan

1, ,10

lim sin 0, xbx

bx

l x b−

+→= = ∀ ∈ ,




1 costan

0lim sin 0,

aa x

aa x

−

+→= ∀ ∈ ,


1 costan

0( ) lim sin 0,

aa xf

af x a x D

−

+→= = ∀ ∈ = , δηλ. 0f ≡ .


1 2

1lim cosπx x

xl x

+

−

→= .

ΕΕΠΠΙΙΛΛΥΥΣΣΗΗ:: Παρατηρούμε ότι το ζητούμενο όριο εμφανίζεται απροσδιοριστία της μορφής 1∞ καθώς,

( )2 12 12

1 2 0 01 111 1

lim cosπ lim co sπ co sπ ( 1 ) (1 ) (1 )x

x x xx x

l x x+ ++

+ ++

+ +

⋅− + + + + +∞−−

→ →

= = = = − = =

.


2 21

2 ln cosπln cosπ1 1

1 1 1lim(cosπ ) lim lim

xx

x x xxx x

x x xl x e e−

+ + +

− −

→ → →= = = , 11

και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη, το οποίο όμως εμφανίζει, προφανώς, απροσδιοριστία της μορφής 0 0 . Λόγω της μορφής του εκθέτη, άρουμε οριακή απροσδιοριστία του, γράφοντας το όριό του σαν

[ ]0

ln 1 ( )lim

( )x

g xg x+→

+, όπου 0( ) 0xg x

+→ +→ .

Στην προκειμένη τώρα περίπτωση,

( ) ( )22 2

21 1

ln cosπ 1 1lim ln cosπ lim cos π 1

1 1 cosπ 1x x

xx xx xx x x+ +→ →

− += − ⋅

− − −. 22

Το όριο του δεύτερου παράγοντα της εξ. 22 υπάρχει καθώς, επειδή 2 1cosπ 1 0xx+→ +− → , αναγόμαστε

στο γνωστό όριο

0

ln(1 )lim 1x

xx+→

+= ,

καθώς,

( ) ( ) ( )2

2 2

2 21 cosπ 1 0 0

ln cosπ 1 1 ln co sπ 1 1 ln 1lim lim lim 1

cosπ 1 co sπ 1x x x

x x xxx x+ + +→ − → →

− + − + += == =

− −.

Ως αναφορά τον πρώτο παράγοντα της εξ. 22, εμφανίζει οριακή απροσδιοριστία της μορφής την οποία και άρουμε, καθώς,

( ) ( ) [ ]{ }2 2 2

1 1 0 0

1 1 1lim cosπ 1 lim cos π( 1 1) 1 lim cos π( 1) π 11 1x x x

x x xx x xx x x+ + +→ − → →

− + +− = − + − = + + − =

− −

0 0



( )2 2 2

0 0 0

1 1 1lim cos (π π) 1 lim ( cosπ ) 1 lim cos π 1x x x

x x xx x xx x x+ + +→ → →

+ + + = + − = − − = − ,

και κάνοντας χρήση της γνωστής τριγωνομετρικής ταυτότητας 22sin 1 cos 2 , x x x= − ∀ ∈ , παίρνουμε

( )4

22 2 4

0 0 0 0

πsin1 1π 1 π 2lim cosπ 1 lim 2sin 4 lim sin 2π lim ( 1)π2 22

x x x x

xx x xx x x xx x x x

+ + + +→ → → →

+ + + − = − = = + =

3

0

πsinπ 22π lim ( 1)sinπ22

x

xx x

x+→

= +

,

και επειδή 0(π 2) 0xx+→ +→ , κάνουμε χρήση του γνωστού ορίου

0

sinlim 1x

xx+→

= ,

οπότε,

( )2 3

1 0 0 0

πsinπ 2lim cosπ 1 2π lim ( 1) lim sin lim 2π 1 0 1 0π1 22

x x x x

xx x x xx x

+ + + +→ → → →

− = + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = − .

Κατά συνέπεια η εξ. 22 δίνει άμεσα,

( ) ( )22 2

21 1

ln cosπ 1 1lim ln cosπ lim cos π 1 0 1 0

1 1 cosπ 1x x

xx xx xx x x+ +→ →

− += − ⋅ = ⋅ =

− − −,

οπότε, εφόσον υπάρχει το όριο του εκθέτη της εξ. 11, το ζητούμενο όριο της εξ. 11 θα υπάρχει και αυτό καθώς,

2

1

1 lim ln cosπ2 011

1lim cosπ 1x

x xx xx

xl x e e+→

+

−−

→= = = = .

όρια συναρτήσεων [ενότητα 2]

Documents

Transcript of όρια συναρτήσεων [ενότητα 2]