Κεφάλαιο 2 - Ιδιότητες συναρτήσεων

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Κεφάλαιο 2:Ιδιότητες συναρτήσεων

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Α’ Ομάδας

1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις

είναι:

α) γνησίως αύξουσα και β) γνησίως φθίνουσα.

Απάντηση:

Η συνάρτηση )(xf είναι γνησίως φθίνουσα στο (-∞,1] και γνησίως αύξουσα στο

[1,+ ∞).

Η συνάρτηση )(xg είναι γνησίως αύξουσα στο (-∞,0], γνησίως φθίνουσα στο [0,2]

και γνησίως αύξουσα στο [2,+ ∞).

Η συνάρτηση )(xh είναι γνησίως φθίνουσα στο (-∞,-1], γνησίως αύξουσα στο [-

1,0], γνησίως φθίνουσα στο [0,1] και γνησίως αύξουσα στο [1,+ ∞).

2. Να προσδιορίσετε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων της προηγούμενης

άσκησης, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών.

Απάντηση:

Η συνάρτηση )(xf παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για 1x , το 1)1( f και δεν

παρουσιάζει ολικό μέγιστο.

Η συνάρτηση )(xg δεν παρουσιάζει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο.

Η συνάρτηση )(xh παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για 1x και για 1x , το

2)1()1( hh και δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο.



3. Να δείξετε ότι:

i) Η συνάρτηση ƒ(x) = x2 - 6x +10 παρουσιάζει ελάχιστο για x = 3 .

ii) Η συνάρτηση1

2)(

2

x

xxg παρουσιάζει μέγιστο για x = 1.

Απάντηση:

i) Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση )(xf παρουσιάζει ελάχιστο για x=3 αρκεί να

δείξουμε ότι ισχύει η σχέση )3()( fxf . Θα έχουμε:

0)3(096x - x

1018910+6x - x10+ 36 - 3 10+6x - x)3()(

22

222

x

fxf

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε x ∈ℝ.

ii) Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση )(xg παρουσιάζει μέγιστο για x=1 αρκεί να

δείξουμε ότι ισχύει η σχέση )1()( gxg . Θα έχουμε:

0)1(012

122

2

1

2

11

12

1

2)1()(

22

2

222

xxx

xxx

x

x

xgxg

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε x ∈ℝ.

4. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι

περιττές:

i) 42

1 53)( xxxf ii) 13)(2 xxf iii) 1)(3 xxf

iv) 53

4 3)( xxxf v) x

xxf

1)(

2

5 vi) 1

2)(

26

x

xxf

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση )(1 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:

)(53)(5)(3)( 1

4242

1 xfxxxxxf

Εφόσον ισχύει )()( 11 xfxf για κάθε x ∈ℝ προκύπτει ότι η συνάρτηση )(1 xf είναι

άρτια.

ii) Η συνάρτηση )(2 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:



)(1313)( 22 xfxxxf

Εφόσον ισχύει )()( 22 xfxf για κάθε x ∈ℝ προκύπτει ότι η συνάρτηση )(2 xf

είναι άρτια.

iii) Η συνάρτηση )(3 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:

1)(3 xxf

Η συνάρτηση )(3 xf δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή αφού ισχύει ότι

)()( 33 xfxf και )()( 33 xfxf .

iv) Η συνάρτηση )(4 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:

)()3(3)(3)()( 4

535353

4 xfxxxxxxxf


είναι περιττή.

v) Η συνάρτηση )(5 xf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο (-∞,-1) U (-1,+ ∞). Ισχύει ότι:

x

x

x

xxf

1)(1

)()(

22

5

Η συνάρτηση )(5 xf δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή αφού ισχύει ότι

)()( 55 xfxf και )()( 55 xfxf .

vi) Η συνάρτηση )(6 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:

)(1

2

1)(

)(2)( 6226 xf

x

x

x

xxf



5. Ομοίως για τις συναρτήσεις:

i) x

xf1

)(1 ii) 2)(2 xxf iii) 11)(3 xxxf

iv) 1

1

)(24

x

xx

xf v) xxf )(5 vi) 2

6 1)( xxf



Απάντηση:

i) Η συνάρτηση )(1 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ εκτός από το μηδέν, δηλαδή το

σύνολο ℝ*. Ισχύει ότι:

)(11

)( 11 xfxx

xf

Εφόσον ισχύει )()( 11 xfxf για κάθε x ∈ℝ* προκύπτει ότι η συνάρτηση )(1 xf


ii) Η συνάρτηση )(2 xf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο [2,+ ∞). Επομένως η

συνάρτηση δεν έχει κέντρο συμμετρίας το 0. Άρα η συνάρτηση )(2 xf δεν είναι ούτε

άρτια ούτε περιττή.

iii) Η συνάρτηση )(3 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:

)(]11[11)1()1(11)( 33 xfxxxxxxxxxf



iv) Η συνάρτηση )(4 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ εκτός από το μηδέν, δηλαδή το

σύνολο ℝ*. Ισχύει ότι:

)(1

)1

(

1

)1

(

1)(

1

)( 42224 xfx

xx

x

xx

x

xx

xf



v) Η συνάρτηση )(5 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Ισχύει ότι:

)()( 55 xfxxxf



vi) Η συνάρτηση )(6 xf έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο [-1,1]. Ισχύει ότι:

)(1)(1)( 6

22

6 xfxxxf





6. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές είναι γραφικές παραστάσεις

άρτιας και ποιες περιττής συνάρτησης.

Απάντηση:

Η συνάρτηση )(xf όπως φαίνεται στο σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο

Ο(0,0). Επομένως η συνάρτηση )(xf είναι περιττή.

Η συνάρτηση )(xg όπως φαίνεται στο σχήμα έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y’y.

Επομένως η συνάρτηση )(xg είναι άρτια.

Η συνάρτηση )(xh όπως φαίνεται στο σχήμα δεν έχει ούτε κέντρο συμμετρίας το

σημείο Ο(0,0) ούτε άξονα συμμετρίας τον άξονα y’y. Επομένως η συνάρτηση )(xh

δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

7. Ομοίως για τις παρακάτω γραμμές:

Απάντηση:

Η συνάρτηση )(xf όπως φαίνεται στο σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας τον άξονα y’y.

Επομένως η συνάρτηση )(xf είναι άρτια.



Η συνάρτηση )(xg όπως φαίνεται στο σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο

Ο(0,0). Επομένως η συνάρτηση )(xg είναι περιττή.

Η συνάρτηση )(xh όπως φαίνεται στο σχήμα δεν έχει ούτε κέντρο συμμετρίας το

σημείο Ο(0,0) ούτε άξονα συμμετρίας τον άξονα y’y. Επομένως η συνάρτηση )(xh

δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

8. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές

παραστάσεις

α) Άρτιας συνάρτησης και β) Περιττής συνάρτησης.

Απάντηση:

α) Για να συμπληρώσουμε τις γραφικές παραστάσεις ώστε να παριστάνουν άρτιες

συναρτήσεις, σχεδιάζουμε τις συμμετρικές τους ως προς τον άξονα y’y, όπως

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

β) Για να συμπληρώσουμε τις γραφικές παραστάσεις ώστε να παριστάνουν περιττές

συναρτήσεις, σχεδιάζουμε τις συμμετρικές τους ως προς την αρχή των αξόνων,

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:



2.2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ

Α’ Ομάδας

1. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

φ(x) = |x|, ƒ(x) = |x| + 2 και g(x) = |x| - 2.

Απάντηση:

H γραφική παράσταση της φ(x) = |x| όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία αποτελείται

από τις διχοτόμους των γωνιών στο πρώτο και δεύτερο τεταρτημόριο. Η γραφική

παράσταση της ƒ(x) = |x| + 2 προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της φ(x) =

|x| κατά δύο μονάδες προς τα πάνω. Αντίστοιχα η γραφική παράσταση της g(x) =

|x| - 2 προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της φ(x) = |x| κατά δύο μονάδες

προς τα κάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο

παρακάτω σχήμα:

2. Ομοίως για τις συναρτήσεις: φ(x) = |x|, h(x) = |x + 2| και g(x) = |x - 2|.

Απάντηση:



παράσταση της h(x) = |x + 2| προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της φ(x) =

|x| κατά δύο μονάδες προς τα αριστερά. Αντίστοιχα η γραφική παράσταση της g(x)

= |x - 2|προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της φ(x) = |x| κατά δύο μονάδες

προς τα δεξιά. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο




3. Ομοίως για τις συναρτήσεις: φ(x) = |x|, F(x) = |x + 2| + 1 και g(x) = |x - 2| - 1.

Απάντηση:



παράσταση της F(x) = |x + 2| + 1 προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της

φ(x) = |x|: μία οριζόντια μετατόπιση κατά δύο μονάδες προς τα αριστερά και στη

συνέχεια από μία κατακόρυφη μετατόπιση κατά μία μονάδα προς τα πάνω.

Αντίστοιχα η γραφική παράσταση της g(x) = |x - 2| - 1 προκύπτει από δύο

διαδοχικές μετατοπίσεις της φ(x) = |x|: μία οριζόντια μετατόπιση κατά δύο μονάδες

προς τα δεξιά και στη συνέχεια από μία κατακόρυφη μετατόπιση κατά μία μονάδα

προς τα κάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο


4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ που

αποτελείται από την διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων και από το

ημικύκλιο που ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο και έχει διάμετρο που ορίζουν τα

σημεία O(0,0) και A(2,0).



Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i) ƒ(x) = φ(x) + 2 και g(x) = φ(x) - 2

ii) h(x) = φ(x + 3) και q(x) = φ(x - 3)

iii) F(x) = φ(x + 3) + 2 και G(x) = φ(x - 3) - 2.

Απάντηση:

i) Η γραφική παράσταση της ƒ(x) = φ(x) + 2 προκύπτει από μία κατακόρυφη

μετατόπιση της φ(x) κατά δύο μονάδες προς τα πάνω. Αντίστοιχα η γραφική

παράσταση της g(x) = φ(x) – 2 προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της φ(x)

κατά δύο μονάδες προς τα κάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:

ii) Η γραφική παράσταση της h(x) = φ(x + 3) προκύπτει από μία οριζόντια

μετατόπιση της φ(x) κατά τρεις μονάδες προς τα αριστερά. Αντίστοιχα η γραφική

παράσταση της q(x) = φ(x - 3) προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της φ(x)

κατά τρεις μονάδες προς τα δεξιά. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:



iii) Η γραφική παράσταση της F(x) = φ(x + 3) + 2 προκύπτει από δύο διαδοχικές

μετατοπίσεις της φ(x): μία οριζόντια μετατόπιση κατά τρεις μονάδες προς τα

αριστερά και στη συνέχεια από μία κατακόρυφη μετατόπιση κατά δύο μονάδες

προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα:

Αντίστοιχα η γραφική παράσταση της G(x) = φ(x - 3) – 2 προκύπτει από δύο

διαδοχικές μετατοπίσεις της φ(x): μία οριζόντια μετατόπιση κατά τρεις μονάδες

προς τα δεξιά και στη συνέχεια από μία κατακόρυφη μετατόπιση κατά δύο μονάδες

προς τα κάτω. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα:

5. Δίνεται η συνάρτηση φ(x) = 2x2 -1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ƒ της

οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της

γραφικής παράστασης της φ:



i) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω.

ii) κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.

iii) κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 1 μονάδες προς τα πάνω.

iv) κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.

Απάντηση:

i) Θα έχουμε: φ(x) = 2(x-2)2 -1+1=2(x-2)2

Σημείωση: Στην παραπάνω σχέση σημειώσαμε με κόκκινο χρώμα τις μονάδες που

αφαιρούνται λόγω της μετατόπισης προς τα δεξιά και με πράσινο χρώμα τις

μονάδες που προστίθενται λόγω της μετατόπισης προς τα πάνω.

ii) Θα έχουμε: φ(x) = 2(x-3)2 -1-2=2(x-3)2-3


αφαιρούνται λόγω της μετατόπισης προς τα δεξιά και με πράσινο χρώμα τις

μονάδες που αφαιρούνται λόγω της μετατόπισης προς τα κάτω.

iii) Θα έχουμε: φ(x) = 2(x+2)2 -1+1=2(x+2)2


προστίθενται λόγω της μετατόπισης προς τα αριστερά και με πράσινο χρώμα τις


iv) Θα έχουμε: φ(x) = 2(x+3)2 -1-2=2(x+3)2-3



μονάδες που αφαιρούνται λόγω της μετατόπισης προς τα κάτω.



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

I. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο

ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

1. Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία

Α (1,2) και Β(1,3).

Απάντηση:

Υπάρχει συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α

(1,2) και Β(1,3). Για παράδειγμα έχουμε την κατακόρυφη ευθεία x=1. Επομένως η

παραπάνω πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.

2. Οι ευθείες y = α2 x - 2 και y = -x + 1 τέμνονται.

Απάντηση:

Οι ευθείες δεν τέμνονται στην περίπτωση που οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι

ίσοι, οπότε τότε οι ευθείες ή θα είναι παράλληλες ή θα ταυτίζονται. Δηλαδή στην

προκειμένη περίπτωση θα πρέπει να ισχύει α2=-1. Όμως η εξίσωση αυτή είναι

αδύνατη. Επομένως οι ευθείες τέμνονται και η παραπάνω πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.

1. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η - ƒ είναι γνησίως φθίνουσα.

Απάντηση:

Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Έστω ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα στο Α. Τότε για κάθε x1, x2 ϵ A με x1 < x2 ισχύει:

))(())(()()()()( 212121 xfxfxfxfxfxf .

Επομένως Af και η παραπάνω πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.

2. Μία γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα.

Απάντηση:

Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Α. Θα

αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0)( xf έχει το πολύ μία ρίζα στο Α.

Έστω ότι η εξίσωση 0)( xf έχει τουλάχιστον δύο ρίζες x1, x2 ϵ A με x1 < x2 .

Τότε θα ισχύει 0)( 1 xf και 0)( 2 xf άτοπο διότι Af οπότε για κάθε x1, x2 ϵ A

με x1 < x2 ισχύει )()( 21 xfxf .



Αν Af αποδεικνύεται ομοίως.

Επομένως η παραπάνω πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.

3. Υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση που διέρχεται από τα

σημεία Α (1,2), Β(2,1) και Γ (3,3).

Απάντηση:

Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Δ και γνησίως μονότονη στο Δ.

Θα αποδείξουμε ότι η γραφική της παράσταση δεν μπορεί να περάσει και από τα

τρία σημεία Α(1,2) , Β(2,1) και Γ(3,3).

Έστω ότι f και έστω ότι η Cf διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ.

Αλλά 1<2<3 οπότε )3()2()1( fff , άτοπο, διότι 2)1( f , 1)2( f και

3)3( f .

Αν f εργαζόμαστε ομοίως.

Επομένως η παραπάνω πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ.

4.Αν μια συνάρτηση ƒ είναι γνησίως φθίνουσα και έχει ρίζα τον αριθμό 1, τότε θα

ισχύει ƒ(0) < 0 .

Απάντηση:

Έστω Af οπού Α το πεδίο ορισμού της f και 0 ϵ A και 1 ϵ A.

Επειδή η εξίσωση 0)( xf έχει ρίζα τον αριθμό 1, θα ισχύει 0)1( f .

Άρα 0<1 οπότε 0)0()1()0( fff .


5.Αν μια συνάρτηση ƒ είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α (1,2) και Β (2,5), τότε η ƒ είναι γνησίως αύξουσα.

Απάντηση:

Η συνάρτηση f είναι γνωσίως μονότονη σε ένα σύνολο Δ. Επομένως f ή f .



Αν f τότε για κάθε x1, x2 ϵ Δ με x1 < x2 ισχύει )()( 21 xfxf .

Αν f τότε για κάθε x1, x2 ϵ Δ με x1 < x2 ισχύει )()( 21 xfxf .

Τα σημεία Α(1,2) και Β(2,5) είναι σημεία της Cf (δηλαδή της γραφικής παράστασης

της f).

Άρα 2)1( f και 5)2( f . Επειδή 1<2 και )2()1( ff προκύπτει ότι f .


6. Αν η μέγιστη τιμή μιας συνάρτησης ƒ είναι ίση με 1, τότε η εξίσωση ƒ(x) = 2 είναι

αδύνατη.

Απάντηση:

Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο σε ένα σημείο x0 με 1)( 0 xf . Άρα για κάθε x

που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f ισχύει:

1)()()( 0 xfxfxf

Επομένως η εξίσωση 2)( xf είναι αδύνατη και η παραπάνω πρόταση είναι

ΑΛΗΘΗΣ.

7.Η συνάρτηση F:=[-1,2]→R με ƒ(x) = 3x2 είναι άρτια.

Απάντηση:

Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέγεται άρτια, αν για κάθε x ϵ Α,

-x ϵ Α και )()( xfxf .

Επομένως η συνάρτηση F:=[-1,2]→R με ƒ(x) = 3x2 δεν είναι άρτια, διότι π.χ. 3/2 ϵ [-

1,2] ενώ το -3/2 ϵ [-1,2].

2 -3/2 -1 0 1 3/2 2




8. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και έχει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έχει

ρίζα και τον αριθμό -ρ.

Απάντηση:

Έστω ότι μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι άρτια. Επειδή ο

αριθμός ρ είναι ρίζα της θα ισχύει: 0)( f .

Αλλά ρ ϵ Α οπότε -ρ ϵ Α και )()( ff . Άρα 0)( f .

Ομοίως αποδεικνύεται αν η f είναι περιττή.


9. Αν μία συνάρτηση ƒ είναι άρτια, τότε η ƒ δεν είναι γνησίως μονότονη.

Απάντηση:

Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α η οποία είναι άρτια. Τότε για

κάθε x ϵ Α, -x ϵ Α και )()( xfxf .

Έστω x≠0.

Aν x>0 τότε –x<0.

Επομένως –x<x και επειδή η f είναι άρτια έχουμε )()( xfxf . Άρα η f δεν είναι

γνησίως μονότονη.

Αν x<0 αποδεικνύεται ομοίως.


10. Αν μία συνάρτηση ƒ είναι άρτια, τότε η -ƒ είναι περιττή.

Απάντηση:

Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Έστω ότι η f είναι άρτια.

Τότε για κάθε x ϵ Α, -x ϵ Α και

))(())(()()()()( xfxfxfxfxfxf .

Άρα η συνάρτηση –f είναι άρτια.




II. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση για την παρακάτω συνάρτηση ƒ.

Η συνάρτηση ƒ, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές

μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ(x) = 3x4 μιας

οριζόντιας κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά 2

μονάδες προς τα πάνω, έχει τύπο :

Α) f (x) = 3(x-1)4 + 2 Β) f (x) = 3(x-1)4 - 2

Γ) f (x) = 3(x+1)4 + 2 Δ) f (x) = 3(x+1)4 – 2

Απάντηση:

Η συνάρτηση ƒ, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές

μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ(x) = 3x4 μιας οριζόντιας

κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά 2 μονάδες προς τα

πάνω, έχει τύπο f (x) = 3(x+1)4 + 2. Επομένως σωστή απάντηση είναι η Γ.




Κεφάλαιο 2 - Ιδιότητες συναρτήσεων

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 2 - Ιδιότητες συναρτήσεων