ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ...

383
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 1999-2000) ΑΘΗΝΑ 2000

Transcript of ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ...

Page 1: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

(εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 1999-2000)

ΑΘΗΝΑ 2000

Page 2: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Οµάδα Σύνταξης

Εποπτεία: Παπασταυρίδης Σταύρος, Καθηγητής Παν/µίου Αθηνών Καραγεώργος ∆ηµήτρης, Λέκτορας Παν/µίου Αθηνών Συντονιστές: Μακρής Κωνσταντίνος, Σχολικός Σύµβουλος Σβέρκος Ανδρέας, Σχολικός Σύµβουλος Συγγραφική οµάδα: Βογιατζόγλου Σωτήρης, Μαθηµατικός ∆.Ε. Βουργάνας Παναγιώτης, Μαθηµατικός ∆.Ε.

Γεωργακάκος Ηλίας, Μαθηµατικός ∆.Ε. Κεΐσογλου Στέφανος, Μαθηµατικός ∆.Ε., Μ.Εd. Κουτσανδρέας Γεράσιµος, Μαθηµατικός ∆.Ε. Κωνσταντόπουλος Ηλίας, Μαθηµατικός ∆.Ε. Μέτης Στέφανος, Μαθηµατικός ∆.Ε., Μ.Εd. Χάλκου Μάρα, Μαθηµατικός ∆.Ε., Μ.Εd. Χριστόφιλος Ευγένιος, Μαθηµατικός ∆.Ε.

Copyright (C) 2000: Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Αδριανού 91, 105 56 Αθήνα

Απαγορεύεται η αναδηµοσίευση ή ανατύπωση ή φωτοτύπηση µέρους ή όλου του παρόντος βιβλίου, καθώς και η χρησιµοποίηση των ερωτήσεων, ασκήσεων και προβληµάτων που περιέχονται σ’ αυτό σε σχολικά βοηθήµατα ή για οποιοδήποτε άλλο σκοπό, χωρίς τη γραπτή άδεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας.

2

Page 3: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Μ Α Θ ΗΜ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

• ΠΡΟΛΟΓΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 • ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ΜΕΡΟΣ Α΄ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Κεφάλαιο 2ο: Μιγαδικοί Αριθµοί

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”............................................................... 13 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ........................................................................ 16 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ................................................................................... 24 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης .................................................................................... 25 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ......................................................................................... 35

Απαντήσεις - Υποδείξεις στις ερωτήσεις............................................................... 49 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή ......................................................... 61

ΜΕΡΟΣ Β΄ - ΑΝΑΛΥΣΗ

Κεφάλαιο 1ο: Ι . Συναρτήσεις

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”............................................................... 69 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ........................................................................ 72 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης .................................................................................... 86 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ................................................................................... 94 • Ερωτήσεις διάταξης............................................................................................ 98 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ......................................................................................... 99

Απαντήσεις - Υποδείξεις στις ερωτήσεις............................................................. 113

3

Page 4: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΙΙ . Όρια - Συνέχεια • Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”............................................................. 129 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...................................................................... 133 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης .................................................................................. 143 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ................................................................................. 149 • Ερωτήσεις διάταξης.......................................................................................... 151 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ....................................................................................... 152

Απαντήσεις - Υποδείξεις στις ερωτήσεις............................................................. 171 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή ....................................................... 187

Κεφάλαιο 2ο: ∆ιαφορικός Λογισµός

1ο ΜΕΡΟΣ • Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”............................................................. 201 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...................................................................... 206 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης .................................................................................. 214 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ................................................................................. 220 • Ερωτήσεις διάταξης.......................................................................................... 223 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ....................................................................................... 224

Απαντήσεις - Υποδείξεις στις ερωτήσεις............................................................. 231 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή ....................................................... 243 2ο ΜΕΡΟΣ

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”............................................................. 251 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...................................................................... 258 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης .................................................................................. 268 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ................................................................................. 276 • Ερωτήσεις διάταξης.......................................................................................... 279 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ....................................................................................... 280

Απαντήσεις - Υποδείξεις στις ερωτήσεις............................................................. 293 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή ....................................................... 311

4

Page 5: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 3ο: Ολοκληρωτικός Λογισµός

• Ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”............................................................. 317 • Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ...................................................................... 324 • Ερωτήσεις αντιστοίχισης .................................................................................. 338 • Ερωτήσεις συµπλήρωσης ................................................................................. 345 • Ερωτήσεις διάταξης.......................................................................................... 350 • Ερωτήσεις ανάπτυξης ....................................................................................... 351

Απαντήσεις - Υποδείξεις στις ερωτήσεις............................................................. 361 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του µαθητή ....................................................... 375

∆ακτυλογράφηση - Σελιδοποίηση: ∆ήµητρα Κοµνηνού Σχήµατα: Κλειώ Βερβέρη - Βιτζηλαίου

Φωτογραφία εξωφύλλου: Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή Επιµέλεια εξωφύλλου: Σ. Βογιατζόγλου, Π. Βουργάνας, Η. Γεωργακάκος

5

Page 6: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6

Page 7: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Με τα τελευταία βιβλία αξιολόγησης των µαθητών, που πρόκειται να δηµοσιευθούν στις αρχές του 2000, ολοκληρώνεται µια σηµαντική προσπάθεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας, στόχος της οποίας ήταν η εκπόνηση και διάδοση νέων µεθόδων αξιολόγησης των µαθητών του Ενιαίου Λυκείου. Στο πλαίσιό της εκπονήθηκαν τα τρία τελευταία χρόνια δεκάδες βιβλίων που καλύπτουν το σύνολο σχεδόν των µαθηµάτων, τα οποία διδάσκονται στο Λύκειο. Τα βιβλία αυτά περιέχουν οδηγίες µεθοδολογίας σχετικές µε την αξιολόγηση των µαθητών, παραδείγµατα ερωτήσεων διαφόρων τύπων, υποδείγµατα εξεταστικών δοκιµασιών, θέµατα συνθετικών - δηµιουργικών εργασιών και άλλα χρήσιµα στοιχεία για τους εκπαιδευτικούς.

Το έντυπο αυτό υλικό συνοδεύτηκε από την παραγωγή ανάλογου ηλεκτρονικού υλικού, από τη δηµιουργία Τράπεζας Θεµάτων και από πολυάριθµες επιµορφωτικές δραστηριότητες σχετικές µε την αξιολόγηση των µαθητών.

Η παραπάνω προσπάθεια δεν είχε σκοπό να επιβάλει ένα συγκεκριµένο τρόπο αξιολόγησης ούτε να αυξήσει το φόρτο εργασίας διδασκόντων και διδασκοµένων, όπως ισχυρίστηκαν ορισµένοι. Επιδίωξε να ενηµερώσει τους καθηγητές για τις σύγχρονες εξεταστικές µεθόδους, να τους δώσει πρακτικά παραδείγµατα εφαρµογής τους, να τους προβληµατίσει γύρω από τα θέµατα αυτά και να τους παράσχει ερεθίσµατα για αυτοµόρφωση. Πιστεύουµε ότι µε το έργο µας συµβάλαµε στη διεύρυνση της δυνατότητας των διδασκόντων να επιλέγουν οι ίδιοι τη µέθοδο που θεωρούν πιο κατάλληλη για την αξιολόγηση των µαθητών τους και βοηθήσαµε στην αύξηση της παιδαγωγικής τους αυτονοµίας.

Πεποίθησή µας είναι πως όλα αυτά άλλαξαν το τοπίο στον τοµέα της αξιολόγησης των µαθητών του Ενιαίου Λυκείου, έφεραν νέο πνεύµα και άρχισαν να τροποποιούν σταδιακά ξεπερασµένες αντιλήψεις και τακτικές που κυριάρχησαν επί πολλά χρόνια στο Ελληνικό σχολείο. Τα θετικά σχόλια που εκφράστηκαν από το σύνολο σχεδόν των επιστηµονικών και εκπαιδευτικών φορέων για τα θέµατα των εξετάσεων του περασµένου Ιουνίου, τα οποία

7

Page 8: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

διαµορφώθηκαν µε βάση το πνεύµα και τη µεθοδολογία της αντίστοιχης εργασίας του Κ.Ε.Ε., επιβεβαιώνουν όσα προαναφέρθηκαν.

Η κριτική που είχε αρχικά ασκηθεί για το έργο µας περιορίζεται συνεχώς, ενώ αυξάνει καθηµερινά η αποδοχή του από την εκπαιδευτική κοινότητα και η αναγνώρισή του. Σ’ αυτό συνέβαλε ασφαλώς και η βελτίωση του υποστηρικτικού υλικού που παράγεται από το Κ.Ε.Ε., η οποία οφείλεται, µεταξύ άλλων, και στις παρατηρήσεις και υποδείξεις των διδασκόντων στα Ενιαία Λύκεια. Η συνειδητοποίηση, τέλος, του τρόπου µε τον οποίο πρέπει να χρησιµοποιείται το υλικό αυτό στη διδακτική πράξη και ο περιορισµός των σφαλµάτων που διαπράχθηκαν στην αρχή (µηχανική αναπαραγωγή πλήθους ερωτήσεων, υπέρµετρη αύξηση της εργασίας των µαθητών, απουσία εναλλακτικών τρόπων αξιολόγησης κτλ.) οδήγησαν σε πολύ θετικά αποτελέσµατα, τα οποία όσο περνά ο καιρός θα γίνονται εµφανέστερα.

Η διαπίστωση αυτή µας ενισχύει να συνεχίσουµε την προσπάθειά µας και να την επεκτείνουµε, εκπονώντας ανάλογο υλικό και για άλλες εκπαιδευτικές βαθµίδες, εφόσον εξασφαλιστούν οι απαραίτητες οικονοµικές και λοιπές προϋποθέσεις.

Τελειώνοντας, επιθυµώ να ευχαριστήσω όλους τους συνεργάτες µου στο Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, οι οποίοι εργάστηκαν αφιλοκερδώς, µε αφοσίωση και σπάνιο ζήλο και επιτέλεσαν κάτω από δύσκολες συνθήκες σηµαντικό έργο. Ευχαριστώ ακόµη όλους τους εκπαιδευτικούς που µε ποικίλους τρόπους στήριξαν την προσπάθειά µας και βοήθησαν στην επιτυχία της. Ξέχωρες ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω στις δακτυλογράφους του Κ.Ε.Ε, στο τεχνικό προσωπικό του, στον Προϊστάµενο της Γραµµατείας του κ. Γεώργιο Κορκόντζηλα και στους εκδότες που συνεργάστηκαν µαζί µας από το 1997 µέχρι σήµερα.

Αθήνα, Ιούνιος 2000

Καθηγητής Μιχάλης Κασσωτάκης Πρόεδρος του ∆.Σ. του Κ.Ε.Ε.

8

Page 9: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Το Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (Κ.Ε.Ε.), µε την έκδοση του τεύχους

αυτού, συνεχίζει την προσπάθεια στήριξης των Εκπαιδευτικών σε ζητήµατα σχετικά µε την αξιολόγηση των µαθητών στα Μαθηµατικά της Γ΄ τάξης του Ενιαίου Λυκείου, σύµφωνα µε το πνεύµα της Εκπαιδευτικής Μεταρρύθµισης.

Παράλληλα, τα θέµατα του τεύχους αυτού (καθώς και τα αντίστοιχα των προηγουµένων εκδόσεων του Κ.Ε.Ε.) εισάγονται στην Τράπεζα Θεµάτων των προαγωγικών εξετάσεων. Για τον λόγο αυτό οι ερωτήσεις έχουν χωριστεί σε δύο κατηγορίες.

♦ Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες µετά τον αριθµό ακολουθεί ένας αστερίσκος (*) και είναι οι ερωτήσεις διαφόρων τύπων που αποτελούν απλή εφαρµογή της θεωρίας.

♦ Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες µετά τον αριθµό ακολουθούν δύο αστερίσκοι (**) και είναι προβλήµατα ή ασκήσεις για τη λύση των οποίων απαιτείται ικανότητα συνδυασµού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών.

Οι ερωτήσεις που περιέχονται στο τεύχος αυτό καθώς και τα σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης, έχουν ενδεικτικό και συµβουλευτικό χαρακτήρα για τον καθηγητή, ο οποίος έχει τη δυνατότητα να τα τροποποιήσει ή να διατυπώσει δικά του, αν το κρίνει αναγκαίο.

Αθήνα, Ιούνιος 2000

Σταύρος Παπασταυρίδης Καθηγητής Πανεπιστηµίου

9

Page 10: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10

Page 11: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

(εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 1999-2000)

ΜΕΡΟΣ Α΄: ΑΛΓΕΒΡΑ

Page 12: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

12

Page 13: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Αν z = α + βi, α, β ∈ R και z = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ

2. * Αν z = α + βi και αβ ≠ 0, τότε z1 =

β1

α1+ i.

Σ Λ

3. * Αν z = κ + λi κ, λ ∈ R, τότε Re (z) = κ. Σ Λ 4. * Αν z = x + (y - 1) i και Ιm (z) = 0, τότε y = 1. Σ Λ 5. * Αν z1, z2 ∈ C µε Re (z1 + z2) = 0, τότε Re (z1) + Re (z2) = 0. Σ Λ 6. * Οι εικόνες των φανταστικών αριθµών στο µιγαδικό επίπεδο

βρίσκονται πάνω στον άξονα y΄y.

Σ Λ 7. * Αν i2 = - 1 τότε i2003 = i. Σ Λ 8. * Οι εικόνες των αντίθετων µιγαδικών αριθµών στο µιγαδικό

επίπεδο είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x΄x.

Σ Λ 9. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ≠ 0 ορίζεται z° = 1. Σ Λ

10. * Αν Μ1, Μ2 είναι οι εικόνες των µιγαδικών z1 και z2 αντιστοίχως στο µιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x΄x είναι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος Μ1Μ2, τότε είναι z1 = 2z .

Σ Λ

11. * Αν z1 = α + βi , z2 ∈ C, και z1 + z2 = 2α, τότε z2 = 1z . Σ Λ

12. * Αν Re (z) = 2 τότε οι εικόνες των µιγαδικών z στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία x = 2.

Σ Λ

13. * Αν Ιm (z + i) = 8 τότε οι εικόνες των µιγαδικών z στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y = 8.

Σ Λ

14. * Η εξίσωση x2 - 2x + λ = 0, λ ∈ R, µπορεί να έχει ρίζες τους µιγαδικούς 1 + i και 1 - i.

Σ Λ

15. * Αν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0, α, β, γ ∈ R έχει ρίζα

τον 2 + i θα έχει και τον i2

5+

.

Σ Λ

16. * Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α, β, γ, ∈ R* έχει πάντοτε λύση

13

Page 14: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

στο C. Σ Λ 17. * Αν Re (z1z2) = 0 τότε ισχύει πάντα Re (z1) ⋅ Re (z2) = 0. Σ Λ

18. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ισχύει z - = z . Σ Λ

19. * Για κάθε z1, z2 ∈ C ισχύει 21 z z + = 1z + 2z . Σ Λ

20. * Η εξίσωση 1z - z = 2z - z , z ∈ C, παριστάνει στο µιγαδικό

επίπεδο τη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος που έχει άκρα τα σηµεία Α (z1) και B (z2).

Σ Λ

21. * Η εξίσωση 1z - z = 2z - z µε άγνωστο το z ∈ C και

z1, z2 ∈ C έχει µόνο µια λύση.

Σ Λ

22. * Η εξίσωση 0z - z = ρ, ρ > 0 παριστάνει στο µιγαδικό

επίπεδο κύκλο µε κέντρο Κ (z0) και ακτίνα ρ.

Σ Λ 23. * Για το µιγαδικό αριθµό z = 2 (συν (3π) + iηµ (3π)) ισχύει

Αrg (z) = 3π.

Σ Λ

24. * Αν z = 3 (συν 4π + iηµ

4π ) τότε ένα όρισµα του z είναι το

429π .

Σ Λ

25. * Αν ένας µιγαδικός αριθµός πολλαπλασιαστεί επί i τότε η

διανυσµατική του ακτίνα στρέφεται κατά γωνία 2π .

Σ Λ

26. * Η πολική µορφή του µιγαδικού αριθµού z = α + βi είναι

z = ρ (συνθ + iηµθ), όπου ρ = z και θ ένα όρισµά του.

Σ Λ

27. * Για τους µιγαδικούς αριθµούς z1 = ρ1 (συνθ1 + iηµθ1), ρ1 > 0 και z2 = ρ2 (συνθ2 + iηµθ2), ρ2 > 0 ισχύει z1z2 = ρ1ρ2 (συν (θ1θ2) + ηµ (θ1θ2)).

Σ Λ 28. * Αν τα ορίσµατα δύο µιγαδικών διαφέρουν κατά κπ, κ ∈ Ζ,

τότε οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Σ Λ 29. * Το θεώρηµα De Moivre ισχύει και για εκθέτη αρνητικό

14

Page 15: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ακέραιο αριθµό. Σ Λ

30. * Ισχύει (συν 12° + iηµ12°)5 = 21 +

23 i.

Σ Λ

31. * Η εξίσωση z5 = 32 έχει πέντε ρίζες, των οποίων οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 2.

Σ Λ 32. * Η εξίσωση z3 + i = 0 έχει µοναδική ρίζα τον z0 = i. Σ Λ 33. * Οι εξισώσεις xν = 1 και xµ = 1, ν, µ ∈ Ν* έχουν τουλάχιστον

µια κοινή ρίζα.

Σ Λ 34. * Οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης zν = α, α ≠ 0 και ν ∈ Ν*,

στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου.

Σ Λ 35. * Αν η εξίσωση αx3 + βx2 + γx + δ = 0, α ≠ 0, έχει

πραγµατικούς συντελεστές, τότε αυτή έχει οπωσδήποτε µια πραγµατική ρίζα.

Σ Λ 36. * Υπάρχει εξίσωση µε πραγµατικούς συντελεστές 3ου βαθµού

που έχει ρίζες τους αριθµούς 2, 1 + i, 2 + i.

Σ Λ 37. * ∆ύο ορίσµατα ενός µιγαδικού αριθµού διαφέρουν κατά

γωνία 2κπ µε κ ∈ Ζ.

Σ Λ 38. * Στο µιγαδικό επίπεδο η εικόνα του µιγαδικού αριθµού

2 + 3i είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου z = 4.

Σ Λ

39. * Όλα τα σηµεία της ευθείας y = x στο µιγαδικό επίπεδο είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z = α + αi µε α ∈ R.

Σ Λ

40. * Στο µιγαδικό επίπεδο του δι-πλανού σχήµατος η εξίσωση

του κύκλου είναι 2-z = 4.

y

2

20–2–2

4 6 x

Σ Λ

15

Page 16: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

41. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που ικανοποιούν τη σχέση

π-(z) Arg < 4π έχουν εικό-

νες στο µιγαδικό επίπεδο που απεικονίζονται στο γραµ-µοσκιασµένο τµήµα του δι-πλανού σχήµατος.

3π4

3π4

0

y

x

Σ Λ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. * Η ισότητα x + (y - 1) i = 3 + 4i ισχύει αν και µόνο αν

Α. x = 3 ή y = 5 Β. x = 3 και y = 4 Γ. x = 3 ή y = 4 ∆. x = 3 και y = 5 Ε. x + y = 7

2. * Αν i2 = - 1 και = 1, τότε η µικρότερη τιµή του θετικού ακεραίου κ

είναι

[ κ32 )(i ]

Α. 1 Β. 3 Γ. 6 ∆. 2 Ε. 5 3. * Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω

στην ευθεία µε εξίσωση Α. y = x Β. y = - x Γ. y = 0 ∆. x = 0 Ε. σε καµία από τις προηγούµενες.

4. * Οι εικόνες των µιγαδικών 2 + 3i και 3 + 2i στο µιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συµµετρίας την ευθεία Α. x = 2 Β. y = 3 Γ. y = x ∆. y = - x Ε. x = 0

16

Page 17: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Αν η διανυσµατική ακτίνα του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό επίπεδο έχει φορέα τη διχοτόµο της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου, τότε ο z µπορεί να είναι ο Α. 2 + i Β. - 2 + 2i Γ. 2 + 2i ∆. - 2 - 2i Ε. - 2 - i

6. * Αν η εικόνα του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο της ευθείας

2x + 3y - 1 = 0, τότε ο z δεν µπορεί να είναι ο

Α. 21 Β. 1 -

31 i Γ. 5 - 3i ∆.

31 i Ε. 1 + 2i

7. * Αν η εικόνα του µιγαδικού w = (x + 1) + (y - 1) i, x, y ∈ R, στο µιγαδικό

επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο z = x + yi ισούται µε Α. 1 - i Β. 1 + i Γ. - 1 - i ∆. - 1 + i E. 2 + 2i

8. * Αν ν ∈ Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η

Α. i4ν = 1 Β. i4ν+1 = - i Γ. i4ν+2 = - 1 ∆. iν+4 = iν Ε. i4ν+3 = - i 9. * Αν z = α + βi µε αβ ≠ 0 και z ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω

προτάσεις δεν είναι σωστή; Α. z + z πραγµατικός αριθµός Β. z - z φανταστικός αριθµός

Γ. z ⋅ z φανταστικός αριθµός ∆. zz- ⋅ πραγµατικός αριθµός

Ε. z +z πραγµατικός αριθµός 10. * Στο µιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι

σηµεία συµµετρικά Α. ως προς τον άξονα y΄y Β. ως προς τον άξονα x΄x Γ. ως προς την ευθεία y = x ∆. ως προς την ευθεία y = - x Ε. ως προς την αρχή των αξόνων

17

Page 18: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. * Η εξίσωση z2 - 6z + λ = 0, λ ∈ R, µπορεί να έχει ρίζα τον αριθµό Α. i Β. 1 - i Γ. 1 + i ∆. 2 - i Ε. 3 + i

12. * Η εξίσωση x2 + αx + 5 = 0, α ∈ R µπορεί να έχει ρίζα τον Α. - 3 + i Β. 2 - i Γ. 1 - i ∆. 3 - i Ε. - 3 - i

13. * Αν η εξίσωση z2 - κz + λ = 0, κ, λ ∈ Ζ έχει ρίζα τον 2 + i τότε ισχύει Α. κ = 6 και λ = 5 Β. κ = 4 και λ = 1 Γ. κ = 3 και λ = 4 ∆. κ = 4 και λ = 5 Ε. κ = 5 και λ = 4

14. * Αν z = x + yi ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή;

Α. z = z Β. z = z - Γ. z 2 = z2

∆. z = )(-y x 22 + Ε. 2z = z 2

15. * Αν 1z = 3 και z2 = 4 + 3i τότε η µεγαλύτερη τιµή του 21 z z + είναι

Α. 5 Β. 8 Γ. 9 ∆. 12 Ε. 14

16. * Αν 1z = 2 και 2z - = 5 τότε η ελάχιστη τιµή του 21 z z − είναι

Α. 2 B. 3 Γ. 5 ∆. 7 E. 10

17. * Αν z = 3 + yi και z = 5, τότε µια τιµή του y είναι η

Α. 5 B. 5 Γ. - 4 ∆. 3 E. 3

18

Page 19: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

18. * Αν οι εικόνες δύο µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών z1 και z2 στο µιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο τεταρτηµόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις µπορεί να ισχύει; Α. z1 = - z2 B. z1 = 2z Γ. z1 = - 2z

∆. Ιm (z1) + Im (z2) = 0 E. κανένα από τα παραπάνω

19. * Αν το σηµείο Ρ (x, y) είναι εικόνα του µιγαδικού z = x + yi στο µιγαδικό

επίπεδο για τον οποίο ισχύει 3 - z = 5, το Ρ βρίσκεται πάνω σε

Α. ευθεία B. έλλειψη Γ. κύκλο ∆. παραβολή E. υπερβολή

20. * Η εξίσωση 2i) (1 - z + = 4 παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο κύκλο µε

Α. κέντρο (- 1, 2) και ακτίνα 4 B. κέντρο (1, - 2) και ακτίνα 2

Γ. κέντρο (1, - 2) και ακτίνα 4 ∆. κέντρο (1, 2) και ακτίνα 2

E. κέντρο (1, 2) και ακτίνα 4

21. * Θεωρούµε στο µιγαδικό επίπεδο τον κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 10. Από τους παρακάτω αριθµούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο µιγαδικός αριθµός

Α. z = 2 + 3i B. z = 3 + i 7 Γ. z = 2 - i 8

∆. z = 8 + 6i E. z = 2 + i 8

22. * Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό

επίπεδο για τον οποίο ισχύει 2 - z = i - z είναι

Α. ο άξονας y΄y B. η ευθεία y = x Γ. ο άξονας x΄x ∆. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (2, 0) και

(0, 1) E. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (0, 2) και

(1, 0)

19

Page 20: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

23. * Στο µιγαδικό επίπεδο ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (2, 1) και ακτίνα 3 είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z για τον οποίο ισχύει

Α. i) - (2 - z = 3 B. 2i) (1 - z + = 3

Γ. i) (2 - z + = 9 ∆. i) (2 - z + = 3 E. i) (2 z ++ = 3

24. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που οι εικόνες

τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχή-µατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει

Α. 1 z + < 1 και i z + < 1

B. 1 z − < 1 και i z + < 1

Γ. 1 z − > 1 και i z − > 1

y

x1

1

0

∆. 1 z − < 1 και i z − < 1 Ε. 1 z + < 1 και i z − < 1

25. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που οι εικόνες

τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµα-τος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει

Α. 2 z − < 2 και 3 z − < 1

B. 2 z − < 2 και 3 z − > 1

Γ. 2 z + < 2 και 3 z − > 1

y

x1 2 3 4

2

1

0

∆. 2 z + < 2 και 3 z + > 1 Ε. 2 z − > 2 και 3 z − < 1

26. * Αν η εξίσωση 2 z − = κi z − επαληθεύεται από τους µιγαδικούς αριθµούς

που η εικόνα τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x, ο πραγµατικός αριθµός κ ισούται µε Α. 1 B. - 1 Γ. 2 ∆. - 2 E. 4

20

Page 21: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

27. * Αν οι εικόνες των µιγαδικών z1, z2, z3 στο µιγαδικό επίπεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήµατος

1z z − = 2z z − = 3z z − µε άγνωστο τον z είναι

Α. 2 B. 3 Γ. 1 ∆. 4 Ε. 0

28. * Για το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού z από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή η Α. Το Arg (z) βρίσκεται στο διάστηµα [0, 2π) B. Το Arg (z) είναι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα του z στο

µιγαδικό επίπεδο µε τον άξονα x΄x και παίρνει τιµές στο [0, 2π)

Γ. Αν Arg (z) = 4π ο z έχει πραγµατικό µέρος ίσο µε το φανταστικό

∆. Αν Arg (z) = 2π ο z είναι πραγµατικός αριθµός

E. Αν Arg (z) = 4

3π τότε Re (z) = - Im (z)

29. * Αν z = α +βi, αβ ≠ 0 και Αrg (z) = θ, θ ∈ (0, 2π ) τότε πάντοτε ισχύει

Α. βα = εφθ B. αβ = σφθ Γ.

αβ = εφθ

∆. αβ = εφθ E. α + β = σφθ

30. * Αν Αrg (z) = 4π , η εικόνα του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο της

ευθείας µε εξίσωση

Α. y = x B. y = - x Γ. y = 2x ∆. y = - 2x E. y = 22 x

21

Page 22: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

31. * Αν η εικόνα του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = - x, τότε από τις παρακάτω γωνίες Arg (z) µπορεί να είναι η

Α. 4π B.

49π Γ.

43π ∆. π E.

45π

32. * Αν z1 = z2 όπου z1 = ρ (συνθ + iηµθ), z2 = ρ (συν 3π + iηµ

3π ), ρ > 0, τότε η

γωνία θ δεν µπορεί να είναι Α. 420° B. 780° Γ. 1140° ∆. 1320° E. 1500°

33. * Το γινόµενο των µιγαδικών αριθµών z1 = 2 (συν30° + iηµ30°) και z2 = 7 (συν10° + iηµ10°) είναι Α. 14 (συν300° + iηµ300°) B. 9 (συν40° + iηµ40°) Γ. 14 (συν40° + iηµ40°) ∆. 9 (συν300° + iηµ300°) E. 27 (συν3° + iηµ3°)

34. * Ο µιγαδικός αριθµός (συν12° + iηµ12°)5 ισούται µε

Α. - 21 +

23 i B. -

21 -

23 i Γ.

23 +

23 i

∆. 21 -

23 i E. µε κανένα από τους προηγούµενους

35. * Αν z = )iηµ3 συν3( 5

)iηµ15 συν15( 20°+°°+° τότε ο z ισούται

Α. 4 B. 15 (συν5° + iηµ5°) Γ. 4 (συν12° + iηµ12°) ∆. 4 (συν5° + iηµ5°) E. 15 (συν12° + iηµ12°)

36. * Αν z = ρ (συν20° + iηµ20°), ρ > 0, τότε το Arg ( z ) ισούται µε

22

Page 23: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Α. (201 )° B. 70° Γ. (

701 )° ∆. 160° E. 340°

37. * Αν Α, Β είναι οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο των µιγαδικών z και iz

αντιστοίχως τότε η γωνία ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται µε

Α. 2

3π B. 3

2π Γ. π ∆. 6

5π E. 2π

38. * Αν z = συνθ + iηµθ τότε ο z1 ισούται µε

Α. συνθ

1 + i ηµθ

1 B. συν θ1 + iηµ

θ1 Γ. - συνθ - iηµθ

∆. συν (- θ) + iηµ (- θ) E. - συνθ + iηµθ

39. * Αν z = συν 4π + iηµ

4π , ο z2000 ισούται µε

Α. 22 + i

22 B. 1 Γ. - 1 ∆. 0 E. - i

40. * Αν Ρ (x) πολυώνυµο τουλάχιστον 2ου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές

και η εξίσωση P (x) = 0 έχει ρίζα τον αριθµό 2 - i, θα έχει οπωσδήποτε και τον

Α. 2 + i20 B. 20i 21+

Γ. 2 + i33 ∆. i-2

1 E. 2 - i4

41. * Αν η εξίσωση x3 + κx + λ = 0, κ, λ ∈ R, έχει ως λύση την x = 2 + 5i, τότε

αποκλείεται να έχει λύση την Α. x = 5 B. x = 2 - 5i Γ. x = 0 ∆. x = 1 + i E. x = - 3

23

Page 24: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

42. * Οι αριθµοί 2 + i, 3 - 5i, - 1 + 3i, 2 + 7i είναι ρίζες του πολυωνύµου f (x) = ανxν + αν-1 xν-1 + αν-2 xν-2 + … + α1 x + α0, αν ≠ 0, ν ∈ Ν*, µε πραγµατικούς συντελεστές. Για το ν ισχύει Α. ν = 4 B. ν = 6 Γ. 4 < ν < 8 ∆. ν ≥ 8 E. 6 ≤ ν < 8

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. * Ο z είναι µιγαδικός αριθµός. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

z Re (z) Im (z) - z z z1 z

- 2 + 3i

- 2i

- 5

i31

2. * Οι αριθµοί z1, z2 είναι µιγαδικοί. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

µιγαδικός αριθµός z z1 = 3 + i z2 = - 2 + 2 i z1⋅z2 = …

1

2

zz

= … 3

1

2

zz

= …

z

Agr (z)

τριγωνο-µετρική µορφή z

24

Page 25: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. * Αν z = α + βi, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε

παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

Α. z Β. z + z Γ. z - z ∆. z z

1. 2α

2. α2 + β2

3. α + βi

4. α - βi

5. 2βi

6. 2α + i

Α Β Γ ∆

25

Page 26: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z

γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z

στο µιγαδικό επίπεδο

Α. το πραγµατικό µέρος του z είναι 2

Β. το πραγµατικό µέρος του z

είναι ίσο µε το φανταστικό µέρος του

Γ. το πραγµατικό µέρος του z

είναι αντίθετο του φανταστικού µέρους του

1. ο άξονας x΄x

2. η ευθεία y = x

3. η ευθεία y = - x

4. η ευθεία x = 2

5. η ευθεία y = - 2

Α Β Γ

26

Page 27: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό επίπεδο είναι το σηµείο

Μ (21 , 1), να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε µιγαδικός

αριθµός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

µιγαδικός αριθµός σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο

Α. z1

Β. - z Γ. iz

1. (- 21 , 1)

2. (52 , -

54 )

3. (21 ,

54 )

4. (- 1, 21 )

5. (52 ,

54 )

Α Β Γ

27

Page 28: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε δύναµη του i που υπάρχει στη στήλη Α να αντιστοιχεί στην τιµή της που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

δύναµη του i

Α. i13 Β. i14 Γ. i15 ∆. i0

1. - i

2. i

3. - 1

4. 0

5. 1

6. 2i

Α Β Γ ∆

28

Page 29: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Αν z = - 21 +

23 i, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε

στοιχείο της στήλης Α να αντιστοιχεί στο ίσο του που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

Α. z1

Β. 1 - 20z

Γ. 2

31

z - 2)z(

1. 0

2. 1

3. 2

4. 21

5. 4

Α Β Γ

29

Page 30: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z

στο µιγαδικό επίπεδο

σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z

Α. κύκλος κέντρου Κ (2, 1) και ακτίνας 3

Β. µεσοκάθετος του τµήµατος

µε άκρα τα σηµεία (2, 0), (0, - 1)

Γ. κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και

ακτίνας 3

1. i 2 z ++ = 3

2. z = 3

3. i 2 z −− = 3

4. 2 z + = i z −

5. 2 z − = i z +

Α Β Γ

30

Page 31: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. * Αν z = x + yi, x, y ≠ 0 και c σταθερός πραγµατικός αριθµός, διάφορος του µηδενός, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z

γεωµετρικός τόπος του z στο µιγαδικό επίπεδο

Α. Re (z) = c Β. Im (z) = c Γ. Re (z) ⋅ Im (z) = c

1. y = x + c

2. y = xc

3. y = c

4. c⋅x + y = 0

5. x = c

Α Β Γ

31

Page 32: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. * Στα σχήµατα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό επίπεδο. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β Α. Β. Γ.

y

x420–2

2

–2

M(z)

y

x420–2

2

–2

M(z)

y

x420–2

2

–2M(z)

1. z = 2, Im (z) ≤ 0 και Re (z) ≤ 0

2. 2 - z = 2 και Im (z) ≥ 0

3. z = 2 και Re (z) ≤ 0

4. 2 z + = 2 και Re (z) < 0

Α Β Γ

32

Page 33: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

9. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε µιγαδικός αριθµός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο που βρίσκεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. z1 = 2 (συν 6π + iηµ

6π )

2. z2 = συν 6

5π + iηµ 6

3. z3 = συν 6

19π + iηµ 6π19

4. z4 = 2 (συν 6π - iηµ

6π )

y

x

A

E

M

Σ

Θ

Ρ Λ

ΒΖ

Í

Τ

ΗΓ

Κ N1 2

π6π6

1 2 3 4

33

Page 34: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε η εικόνα κάθε µιγαδικού αριθµού, το όρισµα του οποίου φαίνεται στη στήλη Α να βρίσκεται στην ευθεία που ανήκει και γράφεται στη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β

πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού αριθµού z

γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z

στο µιγαδικό επίπεδο

Α. Arg (z) = 2π

Β. Arg (z) = 4π

Γ. Arg (z) = 4

1. ο άξονας x΄x

2. ο άξονας y΄y

3. η ευθεία y = x

4. η ευθεία y = - x

5. η ευθεία y = c (c σταθερός)

Α Β Γ

34

Page 35: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι

ισότητες: α) x - 2 + 2yi = - 2i + 2 - yi β) y + 2i = 3 - (2 + i) x γ) 4y - 3yi - 2x = 2 - 5xi + 9i δ) (x2 + 1) i + 2x = x2 - 2xi - 3

2. ** ∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = x2 - x - 9i και w = 2 - y2i, x, y ∈ R.

α) Να βρείτε τους x, y ώστε z = w. β) Να βρείτε τον z.

3. ** ∆ίνεται ο µιγαδικός z = 6i - (3 - 4i) x - 3yi - (3i - 2) x + (4 - 2yi), x, y ∈ R. α) Να γράψετε τον z στη µορφή α + βi. β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re (z) = 0 ii) Im (z) = 0

iii) Re (z) = Im (z) iv) z = 0 4. ** ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = (2 + i) x + (y - 1) i - 5, x, y ∈ R.

α) Να τον γράψετε στη µορφή α + βi. β) Να γράψετε τον z συναρτήσει του x, αν Im (z) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (z) = Im (z).

5. ** ∆ίνονται οι µιγαδικοί

z1 = 1 + i, z2 = 21 +

31 i, z3 =

41 +

91 i,

z4 = 81 +

271 i, z5 =

161 +

541 i, + …

Να βρείτε το άθροισµα των απείρων όρων w = z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + … 6. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς:

α) z1 = 2i- 12i - 5 β) z2 =

i1 - i - 2i) - (1

2

35

Page 36: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς:

α) 3i (- 5i) β) (2 + i) (- i + 3) γ) 4i3

δ) i - 1

1 ε) 1i -

i - 1+

ζ) 2i-1

1) i (- 3i) (2 ++

8. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς:

α) (2 - 3i) (4 - 5i) + 7i - 1 β) 3i

2i - +

1⋅

13i1 2i

++ γ)

2

i 22

21

+

δ) 2i -3i 3 + ε) (1 - i)-3

9. ** Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ώστε οι µιγαδικοί

z1 = α + βi και z2 = 3i- 28i +12 +

13i13i 52 + να είναι ίσοι.

10. ** Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi)2 = i

5i 12 + .

11. ** Να υπολογιστεί το x ∈ R ώστε να ισχύει: 1 + 2 2 i = 3 xi-1 xi 1+ .

12. ** Να βρεθούν τα x, y ∈ R ώστε οι µιγαδικοί:

z1 = x + 2y - i και z2 = 11 - (4x - y) i να είναι συζυγείς. 13. ** Αν z φανταστικός αριθµός µε z ≠ - i να αποδείξετε ότι ο αριθµός

ω = i zi - z3

+ είναι αρνητικός πραγµατικός αριθµός.

36

Page 37: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

14. ** α) Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς που επαληθεύουν την ισότητα z z + (z - z ) = 3 + 2i.

β) Να βρεθεί ο µιγαδικός αριθµός που ικανοποιεί την ισότητα z = z2.

15. ** Για τις διάφορες τιµές του ν ∈ Ν να βρεθεί η τιµή της παράστασης

f (ν) = i1

i 1 1ν

−− +

.

16. ** Να αποδείξετε ότι για κάθε ν ∈ Ν ισχύει (1 + i)20ν = (1 - i)20ν.

17. ** α) Να δείξετε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός είναι ίσος µε το συζυγή του

και αντιστρόφως.

β) Να δείξετε ότι αν ω = iz

z+

και ω ∈ R τότε ο z είναι φανταστικός

αριθµός.

18. ** ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = x + yi, x, y ∈ R.

α) Να γράψετε στη µορφή α + βi τον µιγαδικό w = 6z8i z

++ .

β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ) Να δείξετε ότι η προηγούµενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να

βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο προηγούµενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

19. ** Η εξίσωση z2 + αz + β =0, α, β ∈ R έχει ρίζα τον µιγαδικό αριθµό 2 - i.

α) Να βρείτε την άλλη ρίζα. β) Να βρείτε τα α και β. 20. ** Να βρείτε τους µιγαδικούς z = x + yi, x, y ∈ R, για τους οποίους ισχύει:

z2 + 2 z + 1 = 0.

37

Page 38: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

21. ** Αν η εικόνα του µιγαδικού z = λ + (λ - 1) i στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = 4x + 1, να βρεθεί ο λ ∈ R.

22. ** Να συµπληρώσετε το διπλανό σχήµα

µε το σηµείο Μ1 (2z). Μετά να βρείτε τα σηµεία Μ2 (2 z ), Μ3 (-2z) êáé Μ4 (-2 z ). Να βρείτε το εµβαδόν του τετραπλεύ-ρου Μ1Μ2Μ3Μ4.

y

x1 2 3 4–2 –1

2

1

–1

–2

0

M(z)

23. ** Ο µιγαδικός z = 2 + i να αναλυθεί σε άθροισµα δύο µιγαδικών z1, z2 που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x - 2 και y = 2x - 1.

24. ** Να βρεθεί το µέτρο των µιγαδικών αριθµών:

α) z = 3i - 1i 2 + β) z =

i1i) (1 2

+− + 2 - 4i

25. ** Να βρεθεί το µέτρο των µιγαδικών αριθµών:

α) z = 2

3i - 1i 2

+ β) z =

ν

35i 2

+ , ν ∈ Ν.

26. ** Να βρεθεί ο µιγαδικός αριθµός z που ικανοποιεί την ισότητα z + z = 2 + i.

27. ** Αν z ∈ C και 9 z + = 3 1 z + , αποδείξτε ότι z = 3.

38

Page 39: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

28. ** ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός ω. α) Να δειχθεί ότι αν ω φανταστικός αριθµός, τότε ω = - ω και αντιστρόφως. β) Με βάση το προηγούµενο ή µε άλλο τρόπο δείξτε ότι αν ο αριθµός

ω = 1 z1- z+

, z ≠ - 1, είναι φανταστικός, τότε z = 1.

29. ** Να γράψετε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς z αν ξέρουµε ότι η απόλυτη

τιµή του πραγµατικού µέρους του z είναι 3 και η απόλυτη τιµή του φανταστικού µέρους του z είναι 4. Πού βρίσκονται οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο των παραπάνω µιγαδικών αριθµών;

30. ** Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει:

z = z1 = 1 - z .

31. ** Να λυθεί στο C η εξίσωση: z + 1 z + + i = 0.

32. ** Αν για το µιγαδικό αριθµό z ισχύει: z - 1 > z , δείξτε ότι Re (z) < 21 .

33. ** Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών z στο µιγαδικό επίπεδο που

ικανοποιούν τη σχέση 2 1 - z = 4 - z βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0)

και ακτίνας 2.

34. ** Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο

αν ο αριθµός 1 z2i z++ είναι πραγµατικός.

39

Page 40: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

35. ** Ο µιγαδικός αριθµός z ικανοποιεί τις σχέσεις: - 2 ≤ Re (z) ≤ 2 (1)

(z) Im ≤ 2 (2)

z ≥ 2 (3)

Να γραµµοσκιάσετε στο µιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του z και να βρείτε το εµβαδόν του.

36. ** Να βρεθεί στο µιγαδικό επίπεδο ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του

µιγαδικού z για τον οποίο ισχύει:

α) i - 1 z + = 3

β) i - 1 - z < 4

γ) 1 < i 1 - z + < 2

37. ** Ο κύκλος του διπλανού σχήµατος

εφάπτεται του άξονα των τετµηµένων και είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού αριθµού z = x + yi, x, y ∈ R στο µιγαδικό επί-πεδο. α) Από τις παρακάτω εξισώσεις, να

επιλέξετε δύο που τον αντιπροσω-πεύουν: i) (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9

y

x1 2 3 4

2

1

0

K

ii) 3x2 + 2y2 = 4

iii) z - 2i 3+ = 4

iv) x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0

v) 2i - 3 - z = 2

β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

40

Page 41: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

38. ** Στο διπλανό σχήµα η µεσοκάθετος (ε) του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ εί-ναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού αριθµού z = x + yi, x, y ∈ R στο µιγαδικό επίπεδο. α) Από τις παρακάτω εξισώσεις, να

επιλέξετε τρεις που τον αντιπροσω-πεύουν: i) x2 - i = y2 + 4

y

x1 2 3 4

2

1

0

(ε)

ΑΒ

Μ

ii) i- z = 4 - z

iii) 1 - z - 4 - z = 0

iv) y = 4x - 2

15

v) Re (z) = 2Im (z) vi) 8Re (z) = 15 + 2Im (z)

β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

39. ** Στο διπλανό σχήµα το ΟΑΒΓ είναι τετράγωνο. Αν Α, Β και Γ είναι οι εικόνες των µιγαδικών z1 = 3 + 4i, z2 = x + yi και z3 = κ + λi αντιστοί-χως στο µιγαδικό επίπεδο: α) Να δειχθεί ότι 3κ + 4λ = 0. β) Να βρεθούν οι z2 και z3.

y

x1 2 3 4

4

3

2

1

0

Α

Β

Γ 40. ** Να γραφούν στην τριγωνοµετρική µορφή οι µιγαδικοί:

α) 2

2i - 6 i1 - i⋅ β)

2i3 γ)

3

4πiηµ - 3

4π συν

1

41

Page 42: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

41. ** Να γραφούν στην τριγωνοµετρική µορφή οι µιγαδικοί αριθµοί: α) z = - συνθ + iηµθ β) z = - συνθ - iηµθ γ) z = ηµθ + iσυνθ

42. ** Αν z1 = i23

5i 1++ και z2 = - 2 (συν

3π + iηµ

3π ), να γραφούν σε τριγωνο-

µετρική µορφή οι αριθµοί: α) z1z2 β) 2

1

zz

43. ** Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο ν ισχύει: 3ν

i 23

21 -

+

= 1.

44. ** Να δείξετε ότι: (1 + i)ν + (1 - i)ν = 22ν

2+

συν 4νπ , ν ∈ Ν.

45. ** Να βρείτε το µέτρο και το όρισµα του µιγαδικού αριθµού:

z = 3

4

iηµθ) - (συνθiσυνθ)- (ηµθ .

46. ** ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = 3 + i.

α) Να γράψετε τον z στην τριγωνοµετρική του µορφή. β) Αν ν θετικός ακέραιος να βρείτε τον w = zν. γ) Να βρείτε τη µικρότερη τιµή του ν ώστε ο w να είναι πραγµατικός. δ) Να βρείτε τη µικρότερη τιµή του ν ώστε ο w να είναι φανταστικός.

47. ** Στο µιγαδικό επίπεδο έστω OA η διανυσµατική ακτίνα ενός µιγαδικού z1

και OB η διανυσµατική ακτίνα του z2 = z1⋅w, όπου w = 21 +

23 i.

α) Να γράψετε τον w στην τριγωνοµετρική του µορφή. β) Να δείξετε ότι w3 = - 1. γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.

δ) Να δείξετε ότι z = - z 1 και z 1 + z = z32

3 2 22 1z2.

42

Page 43: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

48. ** ∆ίνεται ο µιγαδικός z = 1 - συνα + iηµα, α ∈ [0, 2π).

α) Να δείξετε ότι z = 2ηµ 2α και Αrg (z) =

2α- π .

β) Να γραφεί σε τριγωνοµετρική µορφή ο αριθµός ω = 1 + συνθ + iηµθ.

γ) Να βρεθεί ο ω = (1 + συν 9

10π + iηµ 9

10π )18.

49. ** Να βρείτε το σύνολο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που είναι

εικόνες των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: Arg

+ i zi - z =

4π .

50. ** Να βρείτε το µιγαδικό αριθµό z για τον οποίο ισχύουν οι σχέσεις:

Arg (z - 1) = 4π και z = 13.

51. ** ∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί:

z1 = 21 -

23 i z2 = -

21 +

23 i z3 =

22 +

22 i

z4 = -21 -

23 i z5 =

23 +

21 i

α) Να βρείτε τα µέτρα τους. β) Να βρείτε το πρωτεύον όρισµά τους. γ) Να τους γράψετε σε µια σειρά ώστε να προηγείται αυτός που έχει το

µικρότερο όρισµα. δ) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο;

43

Page 44: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

52. ** ∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί:

z1 = 41 -

43 i z2 =

21 -

23 i z3 = -

21 +

323 i

z4 = 5 - 5 3 i z5 = 3 - 3 3 i

α) Να γράψετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς στη µορφή κ (1 - 3 i),

κ ∈ R και να τους τοποθετήσετε σε µια σειρά, ώστε να προηγείται αυτός που έχει το µικρότερο µέτρο.

β) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο; γ) Να βρείτε τον µιγαδικό z έτσι ώστε η εικόνα του z⋅z2 να συµπίπτει µε την

εικόνα του z3.

53. ** Στο διπλανό σχήµα το ΟΑΒΓ είναι παραλ-ληλόγραµµο. Αν z = κ + λi να δειχθεί ότι:

λ 3 = κ + 1. x0 21Γ

ΒΑ(κ,λ)

30°

54. ** Η ευθεία (ε) είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο. α) Να επιλέξετε δύο από τις παρακάτω

εξισώσεις που δίνουν σηµεία της ευθείας (ε) που ανήκουν στο δεύτερο τεταρτηµόριο

i) yx = -

31 ii) x2 = y

y

x0

120°

(ε)

iii) Arg (z) = 3

2π iv) z = 1 v) x + y 3 = 0

β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

44

Page 45: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

55. ** Να βρεθούν οι κυβικές ρίζες των αριθµών:

α) - 8i β) 1 + i

56. ** Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z5 = 1 + i 3 .

57. ** Να λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις:

α) (z - 2)3 = 1 β) (z - 1)4 = 1 58. ** Αν w είναι µια µη πραγµατική κυβική ρίζα της µονάδας, να δείξετε ότι:

α) 1 + w + w2 = 0 β) (1 + w)3 = - 1

γ) (1 + w2)2 = w2 δ) (1 - w) (1 - w2) (1 - w4) (1 - w5) = 9

59. ** Αν w είναι µια µη πραγµατική κυβική ρίζα της µονάδας να δείξετε:

α) w2 = w β) (1 + w w + w2 + w 2) ( w + w2)3 = 8

γ) (1 + w)2ν+1 + ( w )2ν+4 =0 60. ** α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυµο Ρ (z) = z3 - 3z2 + 4z - 12.

β) Να λύσετε την εξίσωση: z3 - 3z2 + 4z - 12 = 0. γ) Να παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία που είναι εικόνες των

ριζών. δ) Τι είδους τρίγωνο σχηµατίζουν οι εικόνες των ριζών; Να βρείτε το

εµβαδόν του.

61. ** Να βρεθεί για ποιες τιµές των α, β ∈ R το πολυώνυµο f (x) = 3x4 - αx3 + 5x2 - 9x + β έχει παράγοντα το x2 + 1. Στη συνέχεια να βρεθούν όλες οι ρίζες του f (x).

62. ** Αν οι συντελεστές του πολυωνύµου f (x) = αx3 + βx2 + γx + δ είναι

πραγµατικοί αριθµοί και το x - i είναι παράγοντάς του, να αποδείξετε ότι

45

Page 46: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

το x2 + 1 είναι παράγοντας του f (x). Στη συνέχεια να προσδιορίσετε τα α, β, γ, δ γνωρίζοντας ακόµα ότι f (0) = 1 και f (1) = 10.

63. ** ∆ίνεται η εξίσωση z3 + 3z2 + 3z - 7 = 0. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

64. ** ∆ίνεται η εξίσωση z2 - 2z ηµ 2β συν

2β + ηµ2

2β = 0, όπου β πραγµατική

παράµετρος µε β ∈ [0, 2π]. α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι

ηµ 2β συν

2β ± iηµ2

2β .

β) Να γράψετε τις ρίζες αυτές στην τριγωνοµετρική τους µορφή.

65. ** ∆ίνεται η εξίσωση z2 + βz + γ = 0, z ∈ C, µε ρίζες τους συζυγείς µιγαδικούς αριθµούς z1 και z2. Να αποδείξετε ότι: α) οι αριθµοί β και γ είναι πραγµατικοί β) η εξίσωση z2 + βz - γ = 0 έχει ρίζες πραγµατικές.

66. ** Αν Ρ (z) = z3 + 2z2 + 4z + 8 = 0:

α) να λύσετε την εξίσωση Ρ (z) = 0 και να γράψετε τις ρίζες της σε τριγωνοµετρική µορφή.

β) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει από τις εικόνες των τριών ριζών του Ρ (z).

67. ** ∆ίνεται η εξίσωση 1 - z = 3i - z , z ∈ C.

α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι η µεσοκάθετος (ε) του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ µε άκρα Α (1, 0) και Β (0, 3).

β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x - 3y + 4 = 0. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε). δ) Να βρεθεί η εικόνα του z για τον οποίο το z είναι ελάχιστο.

46

Page 47: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

68. ** Αν z µιγαδικός και f (ν) = iνz, ν ∈ Ν* τότε:α) Να δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + 1) + f (4λ + 2) + f (4λ + 3) = 0, λ ∈ Ν*.β) Αν z = ρ και Arg (z) = θ, να δειχθεί ότι:

f (4λ + 1) = ρ [συν (2π + θ) + iηµ (

2π + θ)].

γ) Αν Arg (z) = 3π και z = 2, να σχεδιαστούν οι διανυσµατικές ακτίνες των

z και f (4λ + 1) στο µιγαδικό επίπεδο και να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τις εικόνες των µιγαδικών 0, z και f (4λ + 1).

69. ** Αν z µιγαδικός αριθµός µε Re

z1

=

41 , τότε:

α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε εξίσωση 2 - z = 2.

β) Να δειχθεί ότι αν για τον z ισχύει Im (z) = 1, τότε Re (z) = 2 + 3 ή

Re (z) = 2 - 3 .

γ) Να βρεθεί η εξίσωση 4ου βαθµού που θα έχει ρίζες τους αριθµούς ± 1 και τους µιγαδικούς του ερωτήµατος (β).

70. ** Για τους µιγαδικούς z και w ισχύουν αντιστοίχως z z + i (z - z ) = 1 και

Arg (w + 1) = 4π . Να δειχθεί ότι:

α) ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος

C µε κέντρο Κ (0, 1) και ακτίνα ρ = 2 . β) το σύνολο των σηµείων των εικόνων του w στο µιγαδικό επίπεδο

βρίσκονται στην ευθεία µε εξίσωση y = x + 1. γ) η ευθεία (ε) του ερωτήµατος (β) τέµνει τον κύκλο C του ερωτήµατος (α)

σε δύο σηµεία αντιδιαµετρικά. δ) αν t1, t2 είναι οι µιγαδικοί που οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο είναι

οι τοµές των (ε) και C, τότε ισχύει: 3ν21 t t + + 2ν

21 t t − = 23ν+1.

47

Page 48: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

48

Page 49: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

49

Page 50: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

50

Page 51: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Σ 15. Σ 29. Σ 2. Λ 16. Σ 30. Σ 3. Σ 17. Λ 31. Σ 4. Σ 18. Σ 32. Λ 5. Σ 19. Λ 33. Σ 6. Σ 20. Σ 34. Σ 7. Λ 21. Λ 35. Σ 8. Λ 22. Σ 36. Λ 9. Σ 23. Λ 37. Σ

10. Σ 24. Λ 38. Σ 11. Σ 25. Σ 39. Σ 12. Σ 26. Σ 40. Σ 13. Λ 27. Λ 41. Σ 14. Σ 28. Σ

51

Page 52: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. ∆ 15. Β 29. Γ 2. ∆ 16. Β 30. Α 3. ∆ 17. Γ 31. Γ 4. Γ 18. Ε 32. ∆ 5. Β 19. Γ 33. Γ 6. Ε 20. Ε 34. Ε 7. ∆ 21. ∆ 35. Γ 8. Β 22. ∆ 36. Ε 9. Γ 23. ∆ 37. Ε

10. Β 24. ∆ 38. ∆ 11. Ε 25. Β 39. Β 12. Β 26. Γ 40. Γ 13. ∆ 27. Γ 41. ∆ 14. Γ 28. ∆ 42 ∆

52

Page 53: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. Α 3 2. Α 4 Β 1 Β 2 Γ 5 Γ 3 ∆ 2 3. Α 5 4. Α 2 Β 1 Β 3 Γ 4 Γ 1 ∆ 5 5. Α 2 6. Α 3 Β 1 Β 5 Γ 4 Γ 2 7. Α 5 8. Α 2 Β 3 Β 3 Γ 2 Γ 1 9. 1 Α 10. Α 2 2 Θ Β 3 3 Ζ Γ 4 4 Γ

53

Page 54: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης

5. w = (1 + 21 +

41 +

81 + ...) + i (1 +

31 +

91 +

271 +

541 + ...) = 2 +

23 i

6. z1 = 59 +

58 i, z2 = 1

9. α = 1, β = 0

10. (α = 3, β = - 2) ή (α = - 3, β = 2)

11. x = 22

12. x = 1, y = 5 13. Έστω z = λi, βρίσκουµε ω = - (λ2 - λ + 1) < 0

14. α) z = 2 + i ή z = - 2 + i

β) z = 0 ή z = 1 ή z = - 21 ± i

23

54

Page 55: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

15. Αν ν = 4κ, Α = 1 ν = 4κ + 1, Α = 1 + i ν = 4κ +2, Α = i ν = 4κ +3, Α = 0

16. Η δοθείσα γράφεται : ν20

i - 1i 1

+ =

ν20

i) (1 i) - (1i) (1 i) (1

+++

= ν20

2i - 1i 2i 1

++ =

ν20

22i

= i20ν = ( ) 1

5ν4i =

18. β) 4x + 3y + 24 = 0

γ) x2 + y2 + 6x + 8y = 0 δ) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25

19. α) 2 + i β) α = - 4, β = 5 20. - 1, 1 + 2i, 1 - 2i

21. λ = - 32

22. Ε = 32 τ.µ. 23. z1 = - 2i, z2 = 2 + 3i

55

Page 56: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

24. α) 22 β) 26

25. α) 21 β) 3ν

26. z = 43 + i

27. |z + 9|2 = 9 |z + 1|2 ⇔ (z + 9) ( 9 z + ) = 9 (z + 1) ( 1z + ) ⇔

(z + 9) ( z + 9) = 9 (z + 1) ( z + 1) κ.λπ.

28. β) ω = - ω ⇔ 1 z1 - z+

= - 1z1 - z+

⇔ (z - 1) ( z + 1) = - (z + 1) ( z - 1) ⇔ …

⇔ z z = 1 ⇔ |z|2 = 1 ⇔ |z| = 1

29. 3 + 4i, - 3 + 4i, 3 - 4i, - 3 - 4i κύκλος Κ (0, 0), R = 5

30. Έστω z = x + yi. Βρίσκουµε x = 21 , y = ±

23 .

56

Page 57: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

32. |1 - z| > |z| ⇔ |1 - z|2 > |z|2 ⇔ (1 - z) (1 - z ) > z z ⇔ 1 - z - z + z z > z z

⇔ z + z < 1 ⇔ 2Re(z) < 1 ⇔ Re(z) < 21

33. Υψώνουµε στο τετράγωνο κ.λπ. Βρίσκουµε |z| = 2 34. 2x + y + 2 = 0 36. α) Κ (- 1, 1), R = 3 β) Κ (1, 1), R < 4 γ) Κ (1, - 1), 1 < R < 2 37. iv, v 38. ii, iv, vi

39. α) Α (3, 4), Β (x, y), Γ (κ, λ) ισχύει OA ⋅OΓ = 0 κ.λπ. β) z2 = 7 + i, z3 = 4 - 3i

43. O µιγαδικός γράφεται: (3

2πiηµ 3

2π +συν )3ν

κ.λπ.

44. Γράφουµε τους µιγαδικούς αριθµούς 1 + i, 1 - i σε τριγωνοµετρική µορφή

κ.λπ.

57

Page 58: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

45. Εκφράζουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή σε τριγωνοµετρική µορφή κ.λπ.

46. α) z = 2 (6πiηµ

6π +συν ) β) zν = 2ν (

6νπiηµ

6νπ +συν )

γ) ν = 6 δ) ν = 3

47. α) w = 3πiηµ

3π συν +

β) w3 = συνπ + iηµπ = - 1

γ) Το ΟΑΒ είναι ισοσκελές µε γωνία κορυφής 3π

δ) z = 32

3

θ) 3π(iηµ θ)

3π( συν ρ

+++ = ρ3 ( )3θ) (πiηµ 3θ) (π συν +++ =

= ρ3 (- συν3θ - iηµ3θ) = - ρ3 (συνθ + iηµθ)3 = - z 31

2ος τρόπος: z = (z32 1w)3 = z 3

1 w3 = - z1 3

z + z = z 21 + (z2

122 1w)2 = z 1 + z1 w2 2 2 = z1 (1 + w2 2)

είναι όµως 1 + w2 = w

άρα z 1 + z = z 1 w = z2 22

21 (z1w) = z1z2

48. Ο µιγαδικός αριθµός z γράφεται z = 2ηµ 2α (ηµ

2α + iσυν

2α ) κ.λπ.

49. (x + 1)2 + y2 = 2, x < 0

58

Page 59: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

50. z = 2337 1+ +

2337 1- + i

53. zB = zA + zΓ άρα x + yi = κ + λi + 1 και xy = εφ30° κ.λπ.

54. i, iii

58. Είναι w3 = 1 κ.λπ.

59. γ) Είναι 1 + w = - w2 και w = w2 κ.λπ.

60. α) P (z) = z2 (z - 3) + 4 (z - 3) = (z2 + 4) (z - 3) = (z2 - 4i2) (z - 3) = = (z - 2i) (z + 2i) (z - 3)

δ) ισοσκελές, Ε = 6 τ.µ.

61. α = 9, β = 2

62. Αφού το f (x) έχει παράγοντα το x - i θα έχει ρίζα το i. Βρίσκουµε α = γ, β = δ κ.λπ.

63. Προφανής λύση η z1 = 1 κ.λπ. Βρίσκουµε z2 = - 2 + i 3 , z3 = - 2 - i 3

59

Page 60: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

64. Βρίσκουµε τη διακρίνουσα κ.λπ.

65. α) Αφού οι ρίζες είναι συζυγείς θα έχουν άθροισµα και γινόµενο πραγµατικό αριθµό.

β) ∆ = β2 + 4γ > 0, διότι το γ είναι το γινόµενο των συζυγών µιγαδικών.

66. α) z1 = - 2, z2 = 2i, z3 = - 2i β) x2 + y2 = 4

67. δ) Η εικόνα του z είναι το σηµείο τοµής της (ε) και της κάθετης προς αυτήν

που διέρχεται από το Ο (0, 0). Βρίσκουµε z = - 52 +

56 i.

68. β) f (4λ + 1) = i4λ+1 z = iz = (2πiηµ

2π συν + ) ⋅ ρ (συνθ + iηµθ) =

= ρ

+++ θ)

2π(iηµ θ)

2π( συν

γ) Ε = 2 τ.µ.

69. β) Στην εξίσωση x2 + y2 - 4x = 0 θέτουµε y = 1 και βρίσκουµε x = 2 + 3 ή

x = 2 - 3 .

70. α) x2 + (y - 1)2 = 2 γ) Σηµεία τοµής Α (1, 2), Β (-1, 0). (ΑΒ) = 2ρ δ) t1 = 1 + 2i, t2 = - 1

60

Page 61: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΣΧΕ∆ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝ ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ( ΚΕΦΑΛΑ Ι Ο 2 ο )

Page 62: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε

ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων,

ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου

τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

62

Page 63: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

∆ιδακτική Ενότητα: Μιγαδικοί

ΘΕΜΑ 1ο 1. Η ισότητα x + (y - 1) i = 3 + 4i ισχύει αν και µόνο αν

Α. x = 3 ή y = 5 Β. x = 3 και y = 4 Γ. x = 3 ή y = 4 ∆. x = 3 και y = 5 Ε. x + y = 7

2. Αν i2 = - 1 και = 1, τότε η µικρότερη τιµή του θετικού ακεραίου κ

είναι

[ κ32 )(i ]

Α. 1 Β. 3 Γ. 2 ∆. 6 Ε. 5 3. Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω

στην ευθεία µε εξίσωση Α. y = x Β. y = - x Γ. y = 0 ∆. x = 0 Ε. σε καµία από τις προηγούµενες.

4. Αν η εικόνα του µιγαδικού w = (x + 1) + (y - 1) i, x, y ∈ R, στο µιγαδικό

επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο z = x + yi ισούται µε Α. 1 - i Β. - 1 + i Γ. - 1 - i ∆. 1 + i E. 2 + 2i

5. Η εξίσωση x2 + αx + 5 = 0, α ∈ R µπορεί να έχει ρίζα τον

Α. - 3 + i Β. 2 - i Γ. 1 - i ∆. 3 - i Ε. - 3 - i

6. Αν 1z = 3 και z2 = 4 + 3i τότε η µεγαλύτερη τιµή του 21 z z + είναι

Α. 5 Β. 8 Γ. 9 ∆. 12 Ε. 14

63

Page 64: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. Αν z = 3 + yi, y ∈ R, και z = 5, τότε µια τιµή του y είναι η

Α. 5 B. 5 Γ. - 4 ∆. 3 E. 3

8. Η εξίσωση 2i) (1 - z + = 4, z ∈ C, παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο κύκλο

µε Α. κέντρο (- 1, 2) και ακτίνα 4 B. κέντρο (1, - 2) και ακτίνα 2

Γ. κέντρο (1, - 2) και ακτίνα 4 ∆. κέντρο (1, 2) και ακτίνα 2

E. κέντρο (1, 2) και ακτίνα 4

9. Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό

επίπεδο για τον οποίο ισχύει 2 - z = i - z είναι

Α. ο άξονας y΄y B. η ευθεία y = x

Γ. ο άξονας x΄x ∆. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (2, 0) και

(0, 1) E. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (0, 2) και

(1, 0) 10. Για το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού z από τις παρακάτω προτάσεις δεν

είναι σωστή η Α. Το Arg (z) βρίσκεται στο διάστηµα [0, 2π) B. Το Arg (z) είναι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα του z στο

µιγαδικό επίπεδο µε τον άξονα x΄x και παίρνει τιµές στο [0, 2π)

Γ. Αν Arg (z) = 4π ο z έχει πραγµατικό µέρος ίσο µε το φανταστικό

∆. Αν Arg (z) = 2π ο z είναι πραγµατικός αριθµός

E. Αν Arg (z) = 4

3π τότε Re (z) = - Im (z)

64

Page 65: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΘΕΜΑ 2ο

1. ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = x + yi, x, y ∈ R.

α) Να γράψετε στη µορφή α + βi τον µιγαδικό w = 6z8i z

++ .

β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ) Να δείξετε ότι η προηγούµενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να

βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο προηγούµενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

65

Page 66: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

66

Page 67: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΜΕΡΟΣ Β΄: ΑΝΑΛΥΣΗ

Page 68: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

68

Page 69: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 1ο

Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. * Αν Α = Ν - 0, 1, τότε η αντιστοιχία f : Α → 0, 1 µε

f (x) =

είναι συνάρτηση.

αριθµός σύνθετοςείναι x τοαν ,1

αριθµός οςείναι πρώτ x τοαν 0,

Σ Λ

2. * Για τη συνάρτηση f (x) = lnx, x > 0, ισχύει f (x⋅y) = f (x) + f (y) για κάθε x, y > 0.

Σ Λ

3. * Για τη συνάρτηση f (x) = ex, x ∈ R, ισχύει f (x + y) = f (x) ⋅ f (y) για κάθε x, y ∈ R.

Σ Λ

4. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω

από τον άξονα x΄x.

Σ Λ 5. * ∆ίνεται η συνάρτηση y = f (x). Οι τετµηµένες των σηµείων

τοµής της Cf µε τον άξονα x΄x µπορούν να βρεθούν, αν θέσουµε όπου y = 0 και λύσουµε την εξίσωση.

Σ Λ 6. * ∆ύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια

x ∈ R, ώστε να ισχύει f (x) = g (x).

Σ Λ 7. * Για να ορίζονται το άθροισµα και το γινόµενο δύο συναρτή-

σεων f και g θα πρέπει τα πεδία ορισµού τους να έχουν κοινά στοιχεία.

Σ Λ 8. ** Αν η συνάρτηση f είναι 1 - 1, οι συναρτήσεις g, h έχουν

πεδίο ορισµού το R και ισχύει f (g(x)) = f (h(x)) για κάθε x ∈ R, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες.

Σ Λ

9. * Η συνάρτηση f (x) = xx 2

, x ≠ 0, είναι σταθερή.

Σ Λ

10. * Αν το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα (α, β), τότε η f

69

Page 70: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

δεν έχει ελάχιστο ούτε µέγιστο. Σ Λ 11. * Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R, είναι γνησίως

αύξουσα και έχει σύνολο τιµών το (0, + ∞). Τότε η συνάρτηση

f1 είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Σ Λ

12. ** ∆ίνεται συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα διάστηµα ∆. Αν

ο λόγος 21

21

x - x)(x f - )(x f

είναι θετικός για κάθε x1, x2 ∈ ∆, µε x1 ≠

x2, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ∆.

Σ Λ 13. ** Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα

διάστηµα ∆, τότε η συνάρτηση - f είναι γνησίως φθίνουσα στο ∆.

Σ Λ

14. ** Η συνάρτηση f (x) = x1 είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).

Σ Λ 15. ** Αν µια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο στο

σηµείο x0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σηµείο - x0.

Σ Λ 16. ** Αν µια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο ση-

µείο x0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου στο σηµείο - x0.

Σ Λ 17. * Αν µια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι 1 - 1. Σ Λ 18. * Αν µια συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε είναι πάντοτε περιττή. Σ Λ 19. * Η συνάρτηση f (x) = xν, ν ∈ Ν* είναι:

i) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος ii) περιττή, αν ο ν είναι περιττός.

Σ Λ Σ Λ

20. ** Αν η συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε ισχύουν: i) f (f -1 (x)) = x για κάθε x που ανήκει στο σύνολο τιµών της f ii) f -1 (f (x)) = x για κάθε x ∈ Df.

Σ Λ Σ Λ

21. * Έστω η συνάρτηση f (x) = x2, x ∈ [0, + ∞). Τότε κάθε κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των Cf και Cf

-1 ανήκει στην ευθεία y = x.

Σ Λ

70

Page 71: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

71

22. * Αν µια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της.

Σ Λ

23. * Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισµού το R τότε ισχύει ότι: i) fog = f⋅g ii) fog = gof

Σ Λ Σ Λ

24. ** ∆ίνεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R και µια συνάρτηση I, για την οποία ισχύει Ι (x) = x, για κάθε x ∈ R. Τότε ισχύει (Iof) (x) = (foI) (x), για κάθε x ∈ R.

Σ Λ

25. ** Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως µονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είναι: i) γνησίως αύξουσα, αν οι f, g έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας ii) γνησίως φθίνουσα, αν οι f, g έχουν διαφορετικό είδος

µονοτονίας.

Σ Λ

Σ Λ 26. ** Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆ µε

f (x) < 0 για κάθε x ∈ ∆, τότε η συνάρτηση f 2 είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα ∆.

Σ Λ 27. * Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 - 1 στο R, τότε και η

συνάρτηση gof είναι 1 - 1 στο R.

Σ Λ

Page 72: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

διάγραµµα

Α.

y

0x

B.

y

0 x Γ.

y

0 x

∆.

y

0 x

Ε.

y

0 x

72

Page 73: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα

Α.

y

0 x

B.

y

0x

Γ.

yy

0 x

∆.

y

0x

Ε.

y

0x

3. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f (x) = 4 x

2 -x 2 +

είναι το σύνολο

Α. R - - 2, 2 Β. R Γ. R - - 2 ∆. [2, + ∞) Ε. R - 2

73

Page 74: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f (x) = ln (9 - x2) είναι το σύνολο Α. R - - 3, 3 Β. R - 3 Γ. [3, + ∞) ∆. (- 3, 3) Ε. (- ∞, - 3) ∪ (3, + ∞)

5. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f (x) = ln (2x - 1) είναι το σύνολο

Α. R Β. (- ∞, 21 ) Γ. [

21 , + ∞)

∆. (21 , + ∞) E. (- ∞,

21 ) ∪ (

21 ,+ ∞)

6. * Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις πέντε συναρτή-

σεων: f, g, h, φ, t.

y

0

1

–1–1 1 x

y

0–1 1 x

Cg

y

0

–1

1

x

Ch

y

0

–1

1

x

74

Page 75: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

y

0

1

–1–1 1 x

Ct

Το διάστηµα (- 1, 1) είναι το σύνολο τιµών της συνάρτησης Α. f Β. g Γ. h ∆. φ Ε. t

7. * Αν f (x) = x3 - 9x2 + 27x - 27, τότε το f (3) είναι ίσο µε Α. - 3 B. - 27 Γ. 27 ∆. 0 E. 81

8. * Αν f (x) = , τότε ισχύει ότι

≥<

0 x αν x,0 x αν ,0

Α. f (x) = x + x Β. f (x) = x - x

Γ. f (x) = 2

x x + ∆. f (x) =

2 x -x

Ε. f (x) = x

9. * Αν f (x) = x3 και α ≠ β, τότε το β- α

(β) f -(α) f είναι

Α. (α + β)2 Β. α2 + αβ + β2 Γ. α2 + β2 ∆. α2 - αβ + β2 Ε. 3α2

75

Page 76: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10. * Μια µπάλα αφήνεται από ένα ύψος h και αναπηδά στο έδαφος. Η ταχύτητα κατά την κάθοδό της έχει µέτρο υ = g⋅t ενώ κατά την άνοδο έχει µέτρο υ = υ0 - g⋅t, όπου t η χρονική διάρκεια της αντίστοιχης κίνησης. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα εκφράζει το µέτρο της ταχύτητας της µπάλας, κάθε χρονική στιγµή t; Α.

0 t

υ

B.

0 t

υ

Γ.

0 t

υ

∆.

0 t

υ

Ε.

0 t

υ

76

Page 77: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. * Αρχίζουµε να φουσκώνουµε ένα άδειο µπαλόνι µε σταθερή παροχή αέρα. Τη χρονική στιγµή t0 το µπαλόνι σκάει. Η µορφή της καµπύλης της συνάρτησης που εκφράζει την ποσότητα Q (t) του αέρα στο µπαλόνι συναρτήσει του χρόνου t είναι Α.

0

Q (t)

t0 t

B.

0 t

Q (t)

t0

Γ.

0 t

Q (t)

t0

∆.

0 t

Q (t)

t0

Ε. κανένα από τα προηγούµενα

12. * Το σύνολο των σηµείων που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x3 - 3x2 - x + 3 τέµνει τον άξονα x΄x είναι Α. - 1, 1 Β. 1 Γ. - 1, 1, 3 ∆. - 1, - 3, 1 Ε. 1, 3

13. * ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) =

=

3 x 0,1

3 x ,3 -x

1, g (x) =

=

≠+

3 x 0,1

3 x ,3 -x

2 2x -

και οι παρακάτω προτάσεις:

77

Page 78: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ι. f (21 ) = g (

21 ) ΙI. f (3) = g (3) III. f (x) = g (x) για κάθε x ∈ R

Τότε ισχύει Α. µόνο η Ι Β. µόνο η ΙΙ Γ. µόνο οι Ι και ΙΙ ∆. µόνο η ΙΙΙ Ε. κανένα από τα παραπάνω

14. * Αν η πολυωνυµική εξίσωση f (x) = 0 έχει ρίζες τους αριθµούς -1, 3, τότε η εξίσωση f (3x) = 0 έχει ρίζες τους αριθµούς

Α. 1, -3 Β. 31 , -1 Γ. -

31 , 1 ∆. -2, 6 Ε. 2, - 6

15. * Η συνάρτηση g της οποίας η γραφική παράσταση είναι συµµετρική ως προς

τον άξονα y΄y, της Cf µε τύπο f (x) = 1 - 2x έχει τύπο Α. g (x) = 1 + 2x B. g (x) = 1 - 2-x Γ. g (x) = 2x - 1

∆. g (x) = ln (x - 1) E. g (x) = ln (1 - x)

16. * Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι συµµετρική της γραφικής παράστασης της y = f (x) ως προς τον άξονα x΄x είναι η

Α. y = f (-x) B. y = - f (x) Γ. y = (x) f

∆. y = 2f (x) E. y = - f (-x) 17. * Το πλήθος των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f (x) = x6 + x4 + x2 + 1 µε τον άξονα x΄x είναι Α. 6 B. 5 Γ. 4 ∆. 3 E. 0

18. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 + κx2 + λx - 5. Αν f (1) = 8 και f (- 1) = 4, η τιµή της παράστασης κ + 2λ είναι ίση µε Α. 0 B. 8 Γ. 13 ∆. - 11 E. 11

78

Page 79: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

19. * Η συνάρτηση f (x) = αx αx 2 + , α < 0, έχει πεδίο ορισµού τους πραγµατικούς αριθµούς x για τους οποίους Α. x > 0 Β. x < - 1 Γ. - 1 ≤ x ≤ 0 ∆. x < α Ε. x > - 1

20. * H συνάρτηση f, της οποίας η γραφική

παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήµα, είναι

Α. f (x) = 2x , αν x ∈ [0, + ∞)

Β. f (x) =

∞+∈

) (1, x αν ,21

1] (0, x αν ,2x

0 1 2 3 x

y

1/2

3/2

1

2

Γ. f (x) =

∞+∈

<<

≤≤

) [2, x αν ,2x

2 x 1 αν ,21

1 x 0 αν ,x

∆. f (x) =

∞+∈

<<

≤≤

) [2, x αν ,23 -x

2 x 1 αν ,21

1 x 0 αν ,x

Ε. κανένα από τα προηγούµενα 21. * ∆ίνεται η γραφική παράσταση

µιας συνάρτησης f. Ο τύπος της συ-

νάρτησης αυτής µπορεί να είναι

Α. f (x) = x + 2

B. f (x) = 2 -x 4 - x 2

Γ. f (x) = 3 -x

6 - x - x 2

y

x

5

2

–53

∆. f (x) = 5 x

10 7x x 2

+++ E. κανένας από αυτούς

79

Page 80: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

22. * Η γραφική παράσταση Cf µιας γνη-σίως αύξουσας συνάρτησης f στο R, φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει Α. δύο τουλάχιστον ρίζες B. µία µόνο ρίζα Γ. καµία ρίζα ∆. περισσότερες από δύο ρίζες E. µία ρίζα θετική

y

0 x

23. * Για τις συναρτήσεις f και g που οι γρα-

φικές τους παραστάσεις φαίνονται στο διπλανό σχήµα, είναι λάθος ο ισχυ-ρισµός Α. f (x) > g (x) για κάθε x ∈ R B. f (x) < g (x) αν x < x0

Γ. f (x) > g (x) αν x > x0

∆. f (x0) = g (x0)

0 xx0

y CfCg

E. η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R

24. * Η µονοτονία µιας συνάρτησης f φαίνεται στον πίνακα.

x

f (x) - ∞

+ ∞ 0 11 2 + ∞

f (1) = 0 f (2) = - 1

Τότε δεν ισχύει ότι Α. Η f έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα (0, + ∞) B. Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα (0, 1] και [2, + ∞) Γ. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [1, 2] ∆. Η f έχει µέγιστο το 0 και ελάχιστο το - 1 E. Είναι f (x) < 0 όταν 0 < x < 1

80

Page 81: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

25. * Για τη συνάρτηση f, που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήµα, δεν ισχύει ότι: Α. Έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R B. Έχει σύνολο τιµών το διάστηµα [- 2, 2] Γ. Είναι περιττή

0-11

x

y

2

-2

∆. Έχει ελάχιστο το -2 και µέγιστο το 2 E. Είναι γνησίως µονότονη στο R

26. * ∆ίνεται η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα. Από τις παρακάτω προτάσεις λανθασµέ-νη είναι η Α. Η f έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R B. Η f έχει σύνολο τιµών το διάστηµα

[2, + ∞)

0-1 1 x

y

2

Γ. Η f είναι άρτια

∆. Η f είναι 1 - 1 E. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (- ∞, - 1],

σταθερή στο διάστηµα [-1, 1] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [1, + ∞)

27. * Η συνάρτηση f (x) = 1 -ηµx , x ∈ [0, 2π] έχει µέγιστη τιµή όταν το x είναι

ίσο µε

Α. - 1 B. 0 Γ. 2π ∆.

2π3 E. 2

81

Page 82: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

28. * Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το R. Από τις παρακάτω προτάσεις να βρείτε αυτήν η οποία είναι λάθος. Α. Η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε

διάστηµα της µορφής (κα, (κ + 1) α) (κ ακέραιος)

0 x

y

-2α -α α 2α

B. Η f είναι περιοδική Γ. Η f δεν είναι 1 -1 ∆. Η f είναι άρτια E. Ισχύει f (x) ≥ 0 για κάθε x του πεδίου ορισµού της

29. * Από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις γραφική παράσταση συνάρτησης 1 - 1 είναι η Α.

y

0 1 2–2 –1

–1

1

x

B.

y

0 1–1

1

x Γ.

1 2 x0

y

3/2

∆.

1 x0

y

Ε.

1 2 x0

y

2

82

Page 83: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

30. * Για τη συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήµα, ισχύει ότι Α. είναι 1 - 1 B. είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞)Γ. αντιστρέφεται ∆. είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ∞)Ε. κανένα από τα προηγούµενα

y

0 x

31. * Έστω µια συνάρτηση f, η οποία αντιστρέφεται. Τότε οι γραφικές παραστά-

σεις της f και της f -1 είναι συµµετρικές Α. ως προς την ευθεία y = x B. ως προς την ευθεία y = 2x Γ. ως προς τον άξονα y΄y ∆. ως προς την αρχή των αξόνων E. ως προς τον άξονα x΄x

32. * Η συνάρτηση f (x) = 2e-x έχει αντίστροφη την

Α. g (x) = ln

2x B. h (x) = ln

x2

Γ. φ (x) = 21 lnx ∆. σ (x) = lnx E. t (x) = ln (2 - x)

33. * Από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν έχει αντίστροφη η συνάρτηση

Α. y = ηµx, x ∈ [- 2π ,

2π ] B. y = x3 + 1

Γ. y = 1 x

x2

2

+ ∆. y =

32 ex E. y = ln (x - 3), x > 3

34. * Αν η συνάρτηση g έχει αντίστροφη την f, τότε το g (f(x)) είναι ίσο µε

Α. 1 B. g (x) ⋅ f (x) Γ. x1

∆. x E. κανένα από τα παραπάνω

83

Page 84: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

35. ** Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφι-κή παράσταση της αντίστροφης συ-νάρτησης f -1 µιας συνάρτησης f. Τότε λάθος είναι ο ισχυρισµός Α. πεδίο ορισµού της f είναι το [γ, δ] B. σύνολο τιµών της f είναι το [α, β] Γ. f -1 (ζ) = 0 ∆. f (0) = ζ

y

0 xζ β

δ

γ

α

Cf–1

E. Η f έχει ελάχιστο το α για x = 0

36. * Αν f (x) = αx2 µε Df = [0, + ∞) και α > 0, τότε

Α. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f -1(x) = 2αx1 , Df-1 = R*

B. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f -1(x) = xα1 , Df-1 = [0, + ∞)

Γ. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f -1(x) = αx , Df-1 = [0, + ∞)

∆. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f -1(x) = xα , Df-1 = [0, + ∞)

E. Η f δεν αντιστρέφεται

37. * Αν f (x) = 3 µε x > - 1, τότε η f 1 x + -1 έχει τύπο

Α. f -1(x) = (x - 1)3 B. f -1(x) = x3 - 1 Γ. f -1(x) = 3 1 x

1+

∆. f -1(x) = - 3 1 x + E. f -1(x) = (x + 1)3

38. * Αν f (x) = x4 - 4x3 - 3x + 7 και g (x) = 7, τότε η συνάρτηση gof έχει τύπο Α. 7x4 - 28x3 - 21x + 49 B. x2 - 4x - 14 Γ. 289 ∆. 7 E. (x2 - 7)2

84

Page 85: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

39. * Αν f (x) = lnx και g (x) = 16 - x2, τότε το πεδίο ορισµού της fog είναι Α. (- ∞, 4] B. [- 4, 4] Γ. (- ∞, 4) ∪ (4, + ∞) ∆. (- 4, 4) E. (0, 4)

40. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις h (x) = x, g (x) = x2. Αν f = goh, τότε η γραφική παράσταση της f είναι Α.

y

0x

θθ

B.

y

0 1–1

1

x Γ.

y

1

0-2 2 x

∆.

y

0 1 2

1

x

E. καµία από αυτές

41. * ∆ίνεται η συνάρτηση g (x) = 9 x 2 + . Τότε ισχύει ότι

Α. Dg = [- 9, +∞] B. Dg = R Γ. Η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα x΄x ∆. Η g είναι περιττή E. Έχει σύνολο τιµών το R

85

Page 86: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. * ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x- 7 και g (x) = 3 -x . Να αντιστοιχί-

σετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α στο πεδίο ορισµού της που γράφεται στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. f 2. g 3. f + g 4. f - g 5. f ⋅ g

6. gf

7. fg

α. R β. (- ∞, 7] γ. [3, 7] δ. (3, 7] ε. [3, 7) ζ. (3, 7) η. [3, + ∞)

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4 5 6 7

86

Page 87: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 2-x 2 x + . Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της

στήλης Α µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β του πίνακα Ι, συµπληρώνο-ντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. f (2x) 2. 2f (x) 3. f (x2) 4. [f (x)]2

α. 2 - x2 x

2

2 +

β. 2

2

2) -(x 2) (x +

γ. 2-x 2) (x 2 +

δ. 1-x 1 x +

ε. 4-2x 4 2x +

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

87

Page 88: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α το πεδίο ορισµού της συνάρτησης από τη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

y

x0 3/2

3/21.

y

x0 3

3

2.

y

x0 31 2

32

4

3.

y

x0

4.

α. Df = R β. Df = R - 0 γ. Df = [0, 3] δ. Df = (0, 3] ε. Df = [0, 3) ζ. Df = (0, 3) η. Df = [0, + ∞)

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

88

Page 89: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α στη γραφική της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. f (x) = x2 - 1 2. f (x) = x - 1

3. f (x) =

>+≤

0 x 1, x 0 x 1, -x

4. f (x) = 1 -x

y

x0–1

1

α.

y

x0–1 1

β.

y

x0

1γ.

y

x0

1

1

δ.

y

x0

1

–1

ε.

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

89

Page 90: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α το σύνολο τιµών της συνάρτησης από τη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

y

x0

1. 1

y

x0

2.

y

x0

3.

y

1

-1x

04.

α. (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) β. R γ. (0, + ∞) δ. (- ∞, 0] ∪ [1, + ∞) ε. (- 1, 1] ζ. (- ∞, 0] ∪ (1, + ∞) η. (- ∞, - 1) ∪ (0, 1]

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

90

Page 91: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. * Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α τον τύπο της συνάρτησης από τη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

y

x0

1

1

1.

y

x

2.21

1 2 3 y

x

2

2-2

3.

y

x

2

1-1

4.

α. f (x) = x

β. f (x) = 2 x

γ. f (x) = 1 x +

δ. f (x) =

<<

≤≤

2 x 1, -x

2 x 1 1,

1 x 0 x,

ε. f (x) = 21 x2

ζ. f (x) = x2

η. f (x) = x2

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

91

Page 92: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. * Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της από τη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπλη-ρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

y

x0 1

1

–2

1.

y

x0 1

1

4

2

2.

y

x0

11–1–1

3.

y

x0

6

6

4.

y

x0 1 4

12

α.

y

x0

11–1–1

β.

y

x0

1

1–2

γ.

y

x0

6

6

δ.

yx0–6

–6

ε.

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

92

Page 93: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. * Στην πρώτη σειρά του παρακάτω πίνακα Ι βρίσκονται τέσσερα ποτήρια τα οποία γεµίζουµε µε σταθερή παροχή µε νερό. Στη δεύτερη σειρά υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις του ύψους του νερού σε κάθε δοχείο συναρτήσει του χρόνου. Αντιστοιχίστε στο κάθε ποτήρι το κατάλληλο διάγραµµα συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

1.

2.

3.

4.

α.

β.

γ.

δ.

Πίνακας ΙΙ 1. 2. 3. 4.

93

Page 94: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. * Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f. Στο

ίδιο σχήµα να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y

x

α) - f (x) β) (x) f γ) 2f (x)

2. * Αν είναι γνωστό ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και h = gof, φ = fog, να

συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: x f (x) g (x) h (x) φ (x)

- 3 0 0 - 2 2 2 - 1 2 2 0 0 0 1 2 3

94

Page 95: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Παρατηρώντας τη γραφική παράσταση του παρακάτω σχήµατος, να συ-µπληρώσετε στον πίνακα το είδος µονοτονίας (αν είναι γνησίως µονότονη) και το είδος των ακροτάτων σε καθένα από τα διαστήµατα που ζητούνται:

y

x

ξν

κλµ

α β γ δΟ

∆ιάστηµα Μονοτονία Μέγιστο Ελάχιστο [0, α] [α, β] [0, γ] [β, γ] [γ, δ] [α, γ]

95

Page 96: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Κάτω από κάθε γραφική παράσταση να συµπληρώσετε: το κατάλληλο είδος µονοτονίας (αν είναι µονότονη) ή τη φράση “όχι µονότονη”.

y

0

1

x

…………………………

y

0

1

x

…………………………

y

0 x

…………………………

y

0

2

x

…………………………

y

0 x

…………………………

y

0 x

………………………… 5. * Κάτω από κάθε γραφική παράσταση συµπληρώστε την ιδιότητα: “άρτια”,

“περιττή”, “ούτε άρτια, ούτε περιττή”.

0 x

…………………………

y

0

3

x

…………………………

y

0 1 2–1–2 x

…………………………

y

0x

–1

–1

…………………………

y

0x

…………………………

y

0 x

…………………………

96

Page 97: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. * Κάτω από κάθε γραφική παράσταση συµπληρώστε την ιδιότητα: “περιοδι-κή” ή “µη περιοδική”.

y

0 1 2–1–2 x

………………………………………

y

0 x1 2–1–2

………………………………………

y

0 321 x4

4

3

2

1

………………………………………

y

x0 31 2

32

4

4

5

………………………………………

7. * Στο διπλανό σχήµα φαίνονται οι

γραφικές παραστάσεις των συναρτή-

σεων f (x) = 21 x και g (x) = ηµx.

Να βρείτε στο ίδιο σχήµα τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συ-νάρτησης h (x) = f (x) + g (x) για x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

y

01 2 3 4 5 6

97

Page 98: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

98

Ερωτήσεις διάταξης

1. ** ∆ίνονται δύο συναρτήσεις f, g µε f γνησίως φθίνουσα στο R και g γνησίως

αύξουσα στο R. Επιπλέον ισχύει f (x) > g (x) για κάθε x ∈ R. Αν x1, x2, x3, x4 είναι πραγµατικοί αριθµοί ώστε x1 < x2 < x3 < x4, να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς:

f (x1), f (x2), f (x3), f (x4), g (x1), g (x2), g (x3), g (x4)

2. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις:

α) f (x) = 2 -x , β) g (x) = ln (x - 2),

γ) h (x) = 4 x

1 x −

+ , δ) φ (x) = x

9 - x 2

Να τις τοποθετήσετε σε µια σειρά ώστε το πεδίο ορισµού καθεµιάς να είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού της επόµενης.

Page 99: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = x2 - 3x + 2.

α) Να βρείτε τις τιµές f (1), f (0), f (-3), f (2) β) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της Cf µε τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιµές f (t), f (xt), f (x + h), x, t, h ∈ R.

2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται

καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις:

α) f (x) = 1 x 1) -(x

x- 4 2

+

β) f (x) = 1 - 2 -x

2 + x - x- 4

3

γ) f (x) = 1 - 2 -x

x- x 2

+ x - 8 -3x

1

δ) f (x) = 1 - 3 -x

5

ε) f (x) = log (x2 + x - 2) + log x-33 x +

στ) f (x) = 1 -2ηµx

συνx + 1 -εφx

1 , x ∈ [0, 2π]

ζ) f (x) = 1 - ex + lnx - 1

99

Page 100: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x + 1. α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες

µε τη συνάρτηση f.

f1 (x) = 1 -x 1 - x 2

f2 (x) = 1 x - x

1 x2

3

++ f3 (x) = ( )21 x +

f4 (x) = x (x 1

+ 1) f5 (x) = lnex+1 f6 (x) = eln (x+1)

β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες.

4. ∆ίνονται οι συναρτήσεις

f1 (x) = 1 x 1 -x +

f2 (x) = 1 x 1 x

+

− f3 (x) =

x1 1

x1 - 1

+

f4 (x) = 1 - x

1) -(x 2

2

f5 (x) = 1 x

1 x 2 −

− f6 (x) = 1 x 1 x

1 x +−

α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού καθεµιάς συνάρτησης. β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω

συναρτήσεις είναι όλες ίσες.

5. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = 1-x 1 x + , g (x) =

1) - (x 2α 2αx 2x

2

2 ++ , α ∈ R,

x > 0. α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f, g β) Για ποια τιµή του α ισχύει f = g;

100

Page 101: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις

f (x) =

>

≤+

2 x ,x

2 x 1, 2x και g (x) =

≥+<<

3 x ,3 2x -3 x 0 lnx,

Να βρείτε τις συναρτήσεις:

α) f + g β) f ⋅ g γ) gf

7. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx1

x- 1+

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f

β) Να αποδείξετε ότι f (x1) + f (x2) = f

⋅+

+

21

21

x x 1 x x

για κάθε x1, x2 του

πεδίου ορισµού της.

8. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = lnx1

x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. β) Να αποδείξετε ότι f (x) = e για κάθε x του πεδίου ορισµού της. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

9. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [0, 1]. Ποιο είναι το

πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: α) f (x2) β) f (x - 4) γ) f (lnx)

10. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει f (x + y) + f (x - y) = 2f (x) + f (y) για κάθε x, y ∈ R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των

αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x ∈ R ισχύει ότι f ( x ) = f (x).

101

Page 102: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. ** Αν για µια συνάρτηση f ισχύει 2f (x) - 3f (x1 ) = x2, x ≠ 0, να βρείτε το

f (2).

12. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 4x3 - 7x2 + 19x - 7, x ∈ (- 5, 5). α) Να βρείτε τη διαφορά f (x) - f (4).

β) Να βρείτε τον αριθµό Μ > 0 τέτοιο ώστε (4) f - (x) f ≤ Μ ⋅ 4 -x για

κάθε x ∈ (- 5, 5). 13. ** Είναι γνωστό ότι µια συνάρτηση f είναι άρτια, όταν για κάθε x ∈ Df,

ισχύει - x ∈ Df και f (-x) = f (x), για κάθε x ∈ Df, ενώ είναι περιττή όταν f (-x) = - f (x) για κάθε x ∈ Df. α) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις παριστάνουν

άρτια ή περιττή συνάρτηση ή δεν παριστάνουν άρτια ούτε περιττή.

y

0 x

y

0 x

(Ι) (ΙΙ)

y

0 x

y

0 x

(ΙΙΙ) (ΙV)

102

Page 103: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

y

0 x

(V)

β) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R, να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση g (x) = f (x) + f (-x) είναι άρτια. γ) Αν µια συνάρτηση f είναι περιττή και παρουσιάζει µέγιστο για x = x0, να

αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για x = - x0.

14. ** Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [α, β] µε α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα [- β, - α].

15. ** α) Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι α + α1 ≥ 2.

β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x + x1 µε x > 0.

16. ** Έστω f, g δύο συναρτήσεις µε κοινό πεδίο ορισµού το διάστηµα ∆, οι

οποίες παίρνουν θετικές τιµές για κάθε x ∈ ∆ και οι οποίες είναι γνησίως

αύξουσες στο ∆. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g1

f1+ είναι γνησίως

φθίνουσα στο ∆.

103

Page 104: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. ** Η γραφική παράσταση Cf µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Από αυτό να βρείτε: α) το πεδίο ορισµού της f β) το σύνολο τιµών της f γ) το διάστηµα και το είδος µονοτο-

νίας της f δ) τα ακρότατα της f

y

5

2

1

-3 -2 -1 5 x2

ε) τον τύπο της f, αν είναι γνωστό ότι:

στο διάστηµα [- 1, 0) είναι υπερβολή της µορφής y = xα και

στο διάστηµα [0, 2) είναι παραβολή της µορφής y = αx2.

18. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x - 1, x ∈ [- 2, 3]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α) f1 (x) = f (x) + 1 β) f2 (x) = 2f (x) γ) f3 (x) = - f (x)

δ) f4 (x) = (x) f

19. ** Στο διπλανό σχήµα δίνεται η

γραφική παράσταση µιας συνάρτη-σης f µε πεδίο ορισµού το [2, 4]. Να παραστήσετε γραφικά τις συ-ναρτήσεις: α) g (x) = f (x) + 1

y

–2

0

–3/2

1 2 3 4 x

β) h (x) = - f (x) γ) φ (x) = (x) f .

104

Page 105: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

20. ** α) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων της µορφής f (x) = x2ν, ν θετικός ακέραιος.

β) Οµοίως των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f (x) = x2ν+1, ν θετικός ακέραιος.

21. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = 1 -x . Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις 2f,

f2 και ff . Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων αυτών στο ίδιο σύστηµα αξόνων. 22. ** Είναι γνωστό ότι µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Df είναι περιοδική µε

περίοδο Τ > 0, όταν για κάθε x ∈ Df ισχύουν: • x + T ∈ Df, x - T ∈ Df • f (x + T) = f (x - T) = f (x) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f µε τύπο: f (x) = |ηµx| µε x ∈ [- 4π, 4π]. Τι παρατηρείτε;

23. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις: f (x) = 1-x

1 , g (x) = 1x 1 -x +

.

α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού τους. β) Να βρείτε τις συναρτήσεις f + g, f ⋅ g. γ) Χρησιµοποιώντας τις f, g να δικαιολογήσετε ότι (gof) (x) ≠ g (x) ⋅ f (x). δ) Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις f, g οι συναρτήσεις fog

και gof είναι ίσες. 24. ** Ποια καµπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

g (x) = f (f (f (x))), αν f (x) = x-1

1 ;

25. ** Να γράψετε τη συνάρτηση f (x) = xx, x > 0 ως σύνθεση δύο άλλων

συναρτήσεων.

105

Page 106: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

26. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = αx, η οποία ονοµάζεται και γραµµική συνάρτηση. Να δείξετε ότι η σύνθεση δύο γραµµικών συναρτήσεων είναι γραµµική συνάρτηση. Να εξετάσετε αν το άθροισµα δύο γραµµικών συναρτήσεων είναι γραµµική συνάρτηση. Το ίδιο και για το γινόµενο.

27. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισµένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως µονότονες και έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα. β) Να εξετάσετε τη µονοτονία των συναρτήσεων fof και gog. γ) Να εξετάσετε τη µονοτονία της συνάρτησης f (x) = ln [ln (x)], x > 1.

28. ** Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R, για την οποία ισχύει (fof) (x) - f (x) = x, για κάθε x ∈ R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f.

29. ** Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις της µορφής f (x) = αx + β, α ≠ 0, σε καθεµιά από τις περιπτώσεις: α) f = f -1 β) f = - f -1 γ) f = f -1 + c (c ≠ 0, σταθερά)

30. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 1 x

x+

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 - 1. β) Να βρείτε την f -1.

31. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x1 και h (x) =

2x 1+

µε κοινό πεδίο

ορισµού το διάστηµα ∆ = (0, + ∞). Α. α) Να βρείτε µια συνάρτηση g ώστε fog = h.

β) Να βρείτε µια συνάρτηση φ ώστε φof = h. B. α) Να βρείτε τις f -1, g-1, h-1 (αντίστροφες των f, g, h).

β) Να βρείτε τις f -1og-1 και g-1of -1. γ) Να εξετάσετε αν g-1of -1 = h-1 (δικαιολογήστε την απάντησή σας).

106

Page 107: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

32. ** ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ = α και ύψος Α∆ = h. Ένα ορθο-γώνιο ΚΛΜΝ είναι εγγεγραµµένο στο ΑΒΓ, όπως δείχνει το σχήµα. α) Να εκφράσετε την περίµετρο L

του ορθογωνίου ως συνάρτηση του ύψους του x.

h

x

Α

Β Γ∆Κ Λ

ΜΝ

α

β) Να εκφράσετε το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x. 33. ** Ένας παίκτης Π του ποδοσφαίρου επιτίθεται προς το αντίπαλο τέρµα ΒΓ

κινούµενος πάνω στην ευθεία ΠΑ. Αν ΑΒ = 10 και ΒΓ = 6: Π Α

Β

Γ

10

6

x

ω

α) να υπολογίσετε τις εφαπτοµένες των γωνιών ΑΠΒ και ΑΠΓ ως

συνάρτηση της απόστασης ΠΑ = x β) να υπολογίσετε την εφω ως συνάρτηση του x γ) από ποια απόσταση x θα πρέπει να “σουτάρει” ο παίκτης ώστε να έχει το

ευρύτερο δυνατό οπτικό πεδίο προς το τέρµα;

∆ίνεται ότι εφ (α - β) = εφβ εφα 1εφβ- εφα⋅+

.

107

Page 108: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

34. ** ∆ύο κινητά διασταυρώνονται σε ένα σηµείο Α και το πρώτο κατευθύνεται βόρεια του Α µε σταθερή ταχύτητα υ1 = 60 km/h, ενώ το δεύτερο κατευθύ-νεται ανατολικά του Α µε σταθερή ταχύτητα υ2 = 80 km/h. α) Να εκφράσετε την απόσταση s των

κινητών ως συνάρτηση του χρόνου t. Με πόση ταχύτητα αποµακρύνεται το ένα από το άλλο;

Α

S (t)1

S (t)2

β) Αν Μ το µέσον της απόστασης s να εκφράσετε την απόσταση ΑΜ σαν συνάρτηση του t.

γ) Πόσο πρέπει να ελαττωθεί η ταχύτητα του δεύτερου κινητού, ώστε µετά από 4 ώρες το Μ να απέχει από το Α 180 km;

35. ** Μια µπάλα πετιέται κατακόρυφα από το έδαφος µε ταχύτητα 20 m/s. Το

ύψος h από το έδαφος στο οποίο φθάνει η µπάλα είναι συνάρτηση του χρόνου t και δίνεται από τον τύπο h = f (t) = 20t - 5t2. α) Να βρείτε το ύψος στο οποίο φθάνει η µπάλα τις χρονικές στιγµές:

21 s, 1 s, 2 s, 3 s,

27 s, 4 s.

β) Ποιο είναι το µεγαλύτερο ύψος στο οποίο φθάνει η µπάλα;

γ) Ύστερα από πόσο χρόνο η µπάλα θα φθάσει σε ύψος 9

160 m;

δ) Να βρείτε το λόγο υ (t) = 2-t

(2) f - (t) f , t ≠ 2.

108

Page 109: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

36. ** Το τµήµα παραγωγής µιας αυτοκινητοβιοµηχανίας λειτουργεί µέχρι 10 ώρες ηµερησίως και ο αριθµός των αυτοκινήτων που παράγει κάθε µέρα µετά από t ώρες λειτουργίας είναι N (t) = 100t - 5t2 (t ακέραιος). Το ηµερήσιο κόστος K (x) σε χιλιάδες “εύρο” για την παραγωγή x αυτοκινήτων είναι K (x) = 15 + 8x. α) Να βρείτε το ηµερήσιο κόστος Κ ως συνάρτηση του χρόνου λειτουργίας

του τµήµατος παραγωγής. β) Μέχρι πόσες ώρες µπορεί να λειτουργεί το τµήµα παραγωγής ώστε το

ηµερήσιο κόστος παραγωγής να µην υπερβαίνει τα 3,885 εκατοµµύρια “εύρο”;

37. ** Το εισιτήριο του τρένου που συνδέει δύο πόλεις κοστίζει 0 δρχ. για παιδιά µικρότερα των 3 ετών, 2.500 δρχ. για παιδιά από τριών ετών και άνω αλλά µικρότερα των 12 ετών και 6.000 δρχ. για κάθε άτοµο από 12 ετών και άνω. α) Να εκφράσετε την τιµή του εισιτηρίου ως συνάρτηση της ηλικίας. β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση.

38. ** Στο θερµόµετρο του σχήµατος µπορούµε να έχουµε τη θερµοκρασία ενός χώρου σε βαθµούς Κελσίου (C), αλλά και σε βαθµούς Φαρενάιτ (F). Θεωρούµε δεδοµένο ότι η σχέση που συνδέει τις τιµές της θερµοκρασίας σε C µε τις τιµές σε F είναι γραµµική (η γραφική της παράσταση είναι ευθεία). α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης η οποία µετα-

τρέπει τους βαθµούς C σε βαθµούς F.

320

100Co

212F o

β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης η οποία µετατρέπει τους βαθµούς F

σε βαθµούς C. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει θερµοκρασία που να εκφράζεται µε τον ίδιο

αριθµό και στις δύο κλίµακες.

109

Page 110: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

39. ** Σε πείραµα σχετικό µε την εκπαίδευση των ζώων, χρησιµοποιήθηκε ένας ποντικός, τον οποίο ανάγκασαν να διασχίσει πολλές φορές κάποιο λαβύρινθο σ’ ένα εργαστήριο. Ο χρόνος σε λεπτά, που ο ποντικός χρειάζεται για να

διασχίσει το λαβύρινθο, δίνεται από τη συνάρτηση f (x) = 4 + x

14 , όπου x ο

αριθµός των δοκιµών. α) Πόσο χρόνο χρειάστηκε ο ποντικός κατά την 7η δοκιµή; β) Από ποια δοκιµή και µετά θα χρειαστεί 5 λεπτά ή και λιγότερο; γ) Θα µπορέσει ποτέ να κάνει λιγότερο από 4 λεπτά;

40. ** Από µετρήσεις διαπιστώθηκε ότι η καρδιά της γυναίκας µπορεί να φθάσει τους 216 το πολύ σφυγµούς ανά λεπτό σε ηλικία 5 ετών και τους 196 το πολύ σε ηλικία 25 ετών. Αν ο µέγιστος αριθµός των σφυγµών ως συνάρτηση της ηλικίας είναι της µορφής y = αx + β, τότε: α) να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης β) να υπολογίσετε το µέγιστο αριθµό των σφυγµών ανά λεπτό στα 37 χρόνια

µιας γυναίκας. 41. ** Σε x έτη από τώρα, ο πληθυσµός µιας κοινότητας θα είναι

f (x) = 20 - 1 x

6+

χιλιάδες. Να βρείτε:

α) πόσος θα είναι ο πληθυσµός σε 7 χρόνια από τώρα β) πόσο θα αυξηθεί ο πληθυσµός κατά τη διάρκεια του 7ου χρόνου γ) τι θα συµβεί, αν το x αυξάνεται “απεριόριστα”;

110

Page 111: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

42. ** Για µικρές µεταβολές της θερµοκρασίας ο τύπος που δίνει το µήκος µιας µεταλλικής ράβδου, ως συνάρτηση της θερµοκρασίας t F°, είναι:

l

l - l 0 = αt0 (t - t0) όπου: l 0 είναι το αρχικό µήκος της ράβδου σε θερµοκρασία t0 F° και α σταθερά που εξαρτάται από τον τύπο του µετάλλου. α) Αν το αρχικό µήκος της ράβδου είναι 100 cm σε θερµοκρασία 60 F° και

α = 10-5, να γράψετε την εξίσωση που δίνει το µήκος της ράβδου ως συνάρτηση της θερµοκρασίας t F°.

l

β) Σε ποια θερµοκρασία το µήκος της ράβδου είναι ίσο µε 100, 012 cm;

43. ** Σε τρεις ασθενείς έχει δοθεί αντιπυρετικό φάρµακο και οι θερµοκρασίες τους σε βαθµούς C, ως συναρτήσεις του χρόνου σε ώρες, δίνονται από τους παρακάτω τύπους, οι οποίοι ισχύουν µέχρι την αποκατάσταση της φυσιολογικής θερµοκρασίας:

f1 (x) = 40 - 23 x f2 (x) = 39 - x f3 (x) = 38 -

21 x

Σε τέταρτο ασθενή έχει δοθεί διαφορετικό αντιπυρετικό, και η συνάρτηση της θερµοκρασίας του ως προς το χρόνο είναι η: f4 (x) = f1

-1 (x) + 12. α) Να βρείτε τη χρονική στιγµή x, κατά την οποία οι θερµοκρασίες των

τριών πρώτων ασθενών συµπίπτουν. β) Ποιο αντιπυρετικό είναι πιο αποτελεσµατικό έως τη δεδοµένη αυτή στιγµή;

44. ** α) Να εκφράσετε ως συνάρτηση

της γωνίας x rad όπου 0 ≤ x ≤ π το εµβαδόν Ε του διπλανού κυκλικού τµήµατος.

β) Να εκφράσετε το εµβαδόν Ε του µεικτογράµµου τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση της γωνίας x rad,

όπου 0 ≤ x < 2π .

B 0

E

x

1

Γ

A

111

Page 112: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

45. ** α) Το µέσο Μ µιας χορδής ΑΒ της καµπύλης µιας συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από το αντί-στοιχο σηµείο της καµπύλης. Να εκφράσετε µε τη βοήθεια µιας ανισότητας την παραπάνω πρόταση.

β) Να εξετάσετε αν για τη συνάρ-τηση f (x) = x2 ισχύει η παραπά-νω ιδιότητα.

y

xx2x1 x1+x22

A

M

B

γ) Οµοίως για τη συνάρτηση g (x) = ex.

112

Page 113: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Page 114: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

114

Page 115: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 1ο

Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Σ 11. Σ 20. i) Σ 2. Σ 12. Σ 20. ii) Σ 3. Σ 13. Σ 21. Σ 4. Λ 14. Λ 22. Λ 5. Σ 15. Σ 23. i) Λ 6. Λ 16. Σ 23. ii) Λ 7. Σ 17. Λ 24. Σ 8. Σ 18. Λ 25. i) Σ 9. Λ 19. i) Σ 25. ii) Σ

10. Σ 19. ii) Σ 26. Σ 27. Σ

115

Page 116: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Β 15. Β 29. ∆ 2. Γ 16. Β 30. ∆ 3. Β 17. Ε 31. Α 4. ∆ 18. Γ 32. Β 5. ∆ 19. Γ 33. Γ 6. ∆ 20. Γ 34. ∆ 7. ∆ 21. Γ 35. Ε 8. Γ 22. Β 36. Γ 9. Β 23. Α 37. Β

10. Γ 24. ∆ 38. ∆ 11. Α 25. Ε 39. ∆ 12. Γ 26. ∆ 40. Β 13. Γ 27. ∆ 41. Β 14. Γ 28. ∆

Μερικές ενδεικτικές λύσεις

11. Τη χρονική στιγµή t0 σκάει το µπαλόνι. Άρα για t > t0 η ποσότητα του αέρα που περιέχεται στο µπαλόνι είναι µηδέν. Εποµένως αποκλείονται οι Β και Γ. Επειδή το µπαλόνι αρχίζει να φουσκώνει ενώ είναι άδειο, θα έχουµε για t = 0, Q (t) = 0, άρα η γραφική παράσταση ξεκινάει από το 0. Έτσι αποκλείεται και η ∆. Η παροχή του αέρα είναι σταθερή µέχρι τη στιγµή t0, άρα είναι η Α.

116

Page 117: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

13. Με την ερώτηση αυτή θέλουµε να επισηµάνουµε ότι για να είναι δυο συναρτήσεις ίσες, πρέπει να έχουν ίσες τιµές για κάθε x στο (κοινό) πεδίο ορισµού τους. Οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισµού το R.

Φαίνεται εύκολα ότι f (3) = g (3) = 10 και f (21 ) = g (

21 ) = -

52 .

Αποκλείονται έτσι οι απαντήσεις Ε, Α, Β και ∆. Αποµένει η Γ (δεν χρειάζεται να εξετάσουµε για τις άλλες τιµές, αφού η ∆ γράφει µόνο η ΙΙΙ και έχουµε ήδη διαπιστώσει ότι ισχύει η Ι και ΙΙ).

15. Στην ερώτηση αυτή δεν µπορούµε εύκολα να αποκλείσουµε κάποιες

απαντήσεις. Ο στόχος της ερώτησης είναι να «θυµηθούµε» ότι δυο συµµετρικά σηµεία ως προς τον y΄y θα έχουν συντεταγµένες (x, y) και (- x, y). Έτσι, αν στον τύπο y = 1 - 2x θέσουµε όπου x το - x, βρίσκουµε y = 1 - 2-x και η σωστή απάντηση είναι Β.

21. Η Α δεν είναι σωστή γιατί έχει πεδίο ορισµού το R, ενώ η ευθεία του

σχήµατος δεν ορίζεται στο x0 = 3. Άρα αναζητούµε έναν τύπο συνάρτησης που να µην ορίζεται στο x0 = 3 και να δίνει (µετά από ενδεχόµενη απλοποίηση) γραφική παράσταση ευθεία. Αυτός είναι ο Γ. Η ευθεία που δίνει ο τύπος Γ είναι αυτή του σχήµατος, άρα αποκλείεται και η απάντηση Ε. Ο στόχος της ερώτησης είναι προφανής: Το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης, βρίσκεται πριν από ενδεχόµενη απλοποίηση του τύπου.

25. Εδώ έχουµε µια ερώτηση που οι διάφορες πιθανές απαντήσεις δεν δένουν

µεταξύ τους, αλλά αφορούν διαφορετικά γνωστικά αντικείµενα. Θέλοντας να µεταφέρουµε όσο το δυνατόν περισσότερες πληροφορίες από το σχήµα, ζητάµε να βρούµε αυτό που δεν ισχύει. Έτσι πρέπει να εξετάσουµε όλες τις πιθανές απαντήσεις µία προς µία. Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουµε στη σωστή απάντηση που είναι η Ε.

117

Page 118: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 β 2. 1 δ 2 η 2 γ 3 γ 3 α 4 γ 4 β 5 γ 6 δ 7 ε 3. 1 γ 4. 1 β 2 δ 2 α 3 ε 3 ε 4 α 4 δ 5. 1 ζ 6. 1 α 2 γ 2 δ 3 α 3 ε 4 η 4 β

7. 1 γ 8. 1 γ 2 α 2 δ 3 β 3 β 4 δ 4 α

118

Page 119: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης

1. g (x1) < g (x2) < g (x3) < g (x4) < f (x4) < f (x3) < f (x2) < f (x1) 2. h, φ, g, f

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης

3. α) f2, f5 β) (1, + ∞) 4. α) D1 = (- ∞, - 1) ∪ [1, + ∞) D2 = [1, + ∞) D3 = (- ∞, - 1) ∪ [1, + ∞)

D4 = (- ∞, - 1) ∪ (1, + ∞) D5 = D4 D6 = [1, + ∞) β) δεν υπάρχουν γ) D = (1, + ∞). Στο διάστηµα αυτό όλες οι συναρτήσεις έχουν τύπο

f (x) = f2 (x). 5. α) Df = Dg = R - 1, αφού x > 0

β) Θα πρέπει ο αριθµητής της g να έχει παράγοντα το x + 1, άρα α = 2 6. Πεδίο ορισµού του αθροίσµατος είναι το διάστηµα (0, + ∞) και ο τύπος είναι

(f + g) (x) =

≥+

<<+

≤<++

3 x 3, x 2 - x

3 x 2 nx, x

2 x 0 1, 2x nx

l

l

Οµοίως εργαζόµαστε και για τις f⋅g και gf

7. α) Πρέπει (1 - x) (1 + x) > 0, άρα Df = (- 1, 1)

119

Page 120: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

β) Καταρχήν αποδεικνύουµε ότι το 21

21

x x 1 x x

++

∈ (- 1, 1) ως εξής: Αν |x1| < 1

και |x2| < 1 τότε και 21

21

x x 1 x x

++

< 1 ⇔ (x1 + x2)2 < (1 + x1x2)2 ⇔ …

Στη συνέχεια έχουµε: f (x1) + f (x2) = log

+

⋅+

x 1 x-1

x 1 x-1

2

2

1

1 και

f

++

21

21

x x 1 x

x

= log

++

+

++

21

21

21

21

x x 1 x x

1

x x 1 x x

- 1

= … = log

)x 1( )x (1)x- 1( )x- (1

21

21

++

8. α) Df = (0, 1) ∪ (1, + ∞) β) y = x nx1l ⇔ ny = l nx

nx1

ll

= 1 ⇔ y = e

9. α) Πρέπει x2 ≤ 1 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 1

β) Πρέπει 0 ≤ x - 4 ≤ 1 ⇔ 4 ≤ x ≤ 5 γ) Πρέπει 0 ≤ lnx ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ e

10. α) Για x = y = 0, προκύπτει f (0) = 0 β) Για x = y έχουµε f (2x) = 3f (x)

Για y = - x, έχουµε f (2x) = 2f (x) + f (- x) απ’ όπου προκύπτει f (- x) = f (x)

γ) Αν x ≥ 0, ισχύει Αν x < 0, f (|x|) = f (- x) = f (x)

120

Page 121: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. Για x = 2 και x = 21 προκύπτουν δύο σχέσεις αν τις θεωρήσουµε σαν

σύστηµα, έχουµε f (2) = - 47

12. f (x) - f (4) = (x - 4) (4x2 + 9x + 55) µε x < 5 και

55 9x 4x 2 ++ ≤ 4 x 2 + 9 x + 55 ≤ 200, άρα

(4) f - (x) f ≤ 200 4 -x

13. α) Στο σχήµα (ΙΙ) περιττή, στο σχήµα (ΙΙΙ) άρτια και στα άλλα ούτε άρτια,

ούτε περιττή β) g (- x) = f (- x) + f (x) = g (x) γ) f (x) ≤ f (x0) ⇔ - f (x) ≥ - f (x0) ⇔ f (- x) ≥ - f (- x0) για κάθε x, άρα

παρουσιάζει ελάχιστο στο - x0

14. Αν - β ≤ x1 < x2 < - α, τότε α ≤ - x2 < - x1 ≤ β µε f (- x2) < f (- x1) - f (x2) < - f (x1), άρα f (x2) > f (x1)

15. α) α + α1 ≥ 2 ⇔ (α - 1)2 ≥ 0

β) f (x) = x + x1 ≥ 2 = f (1), άρα f (x) ≥ f (1)

121

Page 122: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

16. Αν x1 < x2, τότε f (x1) < f (x2), άρα )(x f

1

1 >

)(x f1

2. Όµοια για την g.

Εποµένως )(x f

1

1 +

)(x g1

1 >

)(x f1

2 +

)(x g1

2

17. α) Df = (- 3, 5]

β) [0, + ∞) δ) Παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 και στο 5. ∆εν παρουσιάζει µέγιστο

ε) f (x) =

≤<+

<≤

<<

≤<

≤<+

5 x 2 ,325 x

35 -

2 x 0 , x21

0 x 1 - ,x1 -

1- x 2 - , x-

2 x 3 - 6, 2x

2

18. α) Μετατόπιση της Cf κατά 1 προς τα πάνω

β) ∆ιπλασιασµός των τιµών της f γ) Συµµετρική ως προς τον άξονα x΄x δ) Τα τµήµατα της Cf πάνω από τον άξονα x΄x και τα συµµετρικά όσων

βρίσκονται κάτω από αυτόν. 19. α) Μετατόπιση κατά 1 προς τα πάνω

β) Συµµετρική της f ως προς τον άξονα y΄y γ) Τα τµήµατα κάτω από τον άξονα x΄x «ανεβαίνουν» συµµετρικά, ως προς

τον άξονα x΄x, επάνω.

122

Page 123: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

20. α) Έστω f (x) = x2κ και g (x) = x2λ, κ > λ (κ, λ θετικοί ακέραιοι) δύο από τις συναρτήσεις. Οι τετµηµένες των κοινών σηµείων θα προκύψουν από την εξίσωση x2κ - x2λ = 0 ⇔ x2λ (x2 (κ-λ) - 1) = 0, άρα x = 0 ή x = 1 ή x = - 1

β) Τα ίδια σηµεία

21. f (x) = x - 1, x ≥ 1 2

ff (x) = 1, x > 1

x´ x

y

0

1

1

C2f

Cf 2

C f–f

22. Είναι περιοδική 23. α) Df = R - 1, Dg = R - - 1

β) Df+g = Dfg = R - - 1, 1 µε (f + g) (x) = 1 - x x x

2

2 + , (fg) (x) = 1 x

1+

γ) (gof) (x) = x

x-2 , ενώ (fg) (x) = 1x

1+

δ) δεν είναι ίσες. 24. Για να ορίζεται η fofof θα πρέπει f (x) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 και f (f (x)) ≠ 1, που

ισχύει. Άρα f (f (f (x))) = x (ευθεία) µε x ≠ 0 και x ≠ 1

25. xx = e . Αν h (x) = enxx l⋅ x και g (x) = xlnx, θα είναι f = hog

123

Page 124: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

26. Γραµµική συνάρτηση ονοµάζεται µια συνάρτηση για την οποία ισχύει: f (κx1 + λx2) = κ f (x1) + λ f (x2) για κάθε x1, x2 ∈ Df (1) Για τη σύνθεση έχουµε (fog) (κx1 + λx2) = f (g (κx1 + λx2)) = f ((κg (x1) + λg (x2)) = κf (g (x1)) + λf (g (x2)), άρα η fog είναι γραµµική Το άθροισµα επίσης, το γινόµενο όχι Παρατηρούµε ότι η f (x) = αx έχει την ιδιότητα (1)

27. α) Αν f, g γνησίως αύξουσες στο R, τότε αν x1 < x2 ⇔ g (x1) < g (x2) ⇔

f (g (x1)) < f (g (x2), άρα fog γνησίως αύξουσα. Οµοίως αν f, g γνησίως φθίνουσες

β) Επειδή η f έχει την ίδια µονοτονία µε την f γ) Η f (x) = lnx είναι γνησίως αύξουσα, άρα από το (β) 28. Έστω f (x1) = f (x2) τότε f (f (x1)) = f (f (x2)),

άρα f (f (x1)) - f (x1) = f (f (x2)) - f (x2), δηλαδή x1 = x2. Άρα η f είναι 1 - 1

29. α) f -1 (x) = α1 x -

αβ άρα f = f -1 ⇔ α =

α1 και β = -

αβ ,

απ’ όπου έχουµε α2 = 1 και αβ + β = 0, άρα α = ± 1 και β (α + 1) = 0. Τελικά f (x) = x και f (x) = - x + β, β ∈ R

β), γ) οµοίως

124

Page 125: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

30. α) f (x1) = f (x2) ⇔ x1 |x2| + x1 = x2 |x1| + x2 ⇔ x1 = x2 (περιπτώσεις οµόσηµοι - ετερόσηµοι)

β) Είναι f -1 (x) =

<<

≤<+

1 x 0 , x- 1

x

0 x 1 - , x 1

x

31. Α. α) g (x) = x + 2, Dg = ∆ β) φ (x) = 2x1

x+

, Dφ = ∆

Β. α) f -1 = f g -1 = x + 2 x ∈ (2, + ∞) h -1 = x2x - 1 , x ∈ (0,

21 )

β) (f -1og -1) (x) = 2 -x

1 x ∈ (2, + ∞) (g-1of -1) (x) = x2x - 1 x ∈ (0,

21 )

γ) Είναι ίσες, αφού έχουν κοινό πεδίο ορισµού και ίδιο τύπο (γενικά ισχύει (fog)-1 = g-1of -1).

32. α) Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΓ είναι όµοια, άρα

αNM =

h x-h ⇔ ΝΜ =

h x)-(h α . Άρα L (x) = 2x + 2 (

h x)-(h α ) =

2α + 2 (1 - hα ) x

β) E (x) = NM⋅x = h

x)-(h α x = α (1 - hx ) x

125

Page 126: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

33. α) x

10 και x

16 β) εφω = 160 x

6x2 +

γ) Για να έχει το ευρύτερο οπτικό πεδίο θα πρέπει η εφω να γίνει µέγιστη. Ζητάµε το µέγιστο της παράστασης:

y = 100 x

6x2 +

⇒ yx2 - 6x + 160y = 0. Θα πρέπει ∆ ≥ 0 ⇔ y2 ≤ 160

9 ,

άρα ymax = 160

9 , για x = - 2αβ = 160 m

34. α) s (t) = 2222 t 80 t 60 ⋅+⋅ = 100t.

Άρα αποµακρύνονται µε ταχύτητα 100 km/h

β) AM = 2s = 50t

γ) Έστω ότι πρέπει να έχει ταχύτητα x km/h. Τότε ΑΜ = 2(t) s , άρα

180 = 2

t x t 60 2222 ⋅+⋅ . Για t = 4, έχουµε 90600 3 x 2 =⋅+ ,

οπότε x ≈ 67. Άρα ο δεύτερος πρέπει να ελαττώσει την ταχύτητά του κατά 13 km/h περίπου.

35. β) Η συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο για t = - 2αβ = 2 µε f (2) = 20 m

γ) 34 s,

38 s δ) 10 - 5t

36. α) Η ζητούµενη συνάρτηση είναι η σύνθεση της Κ (x) µε την Ν (t), δηλαδή: Κ (t) = 15 + 800t - 40t2, t ακέραιος µε 0 ≤ t ≤ 10

β) K (t) ≤ 3.885 και 0 ≤ t ≤ 10, άρα 0 ≤ t ≤ 8,2 ή t ≥ 11,8, άρα t = 8

126

Page 127: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

37. f (x) =

<≤

<<

12 x 6.000,

12 x 3 2.500,

3 x 0 0,

38. α) Aν x η θερµοκρασία σε βαθµούς Κελσίου και y σε Φαρενάιτ ζητάµε τα α, β ώστε y = αx + β. Από τα δεδοµένα έχουµε 32 = α⋅ 0 + β και 212 = α⋅100 + β, άρα β = 32 και α = 1,8

β) Η αντίστροφη σχέση της y = 1,8x + 32 είναι η x = 1,8

32 -y

γ) Για y = 1,8x + 32 και x = y, προκύπτει x = y = - 40

39. α) f (7) = 7

14 + 4 = 6 min β) Από τη 14η δοκιµή

γ) Όχι, αφού πρέπει 4 + x

14 < 4, µε x > 0

40. α) f (x) = - x + 221 β) f (37) = 184 41. α) f (7) = 19.250 β) f (7) - f (6) = 250

γ) Ο πληθυσµός δεν θα ξεπεράσει τις 20.000, αφού το κλάσµα 1 x

6+

για

µεγάλες τιµές του x γίνεται αµελητέο

127

Page 128: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

42. α) = 0,0006t + 99,964 β) 80 °F l

43. α) Θα πρέπει 39 - x = 40 - 23 x, άρα x = 2 (ώρες) και f3 (2) = f1 (2) = 37

β) f1-1 (x) = -

32 x +

380 άρα f4 (x) = -

32 x +

3116 .

Παρατηρούµε ότι f4 (2) = 37,3 °C, ενώ f1 (2) = f2 (2) = f3 (2) = 37

44. α) Ετοµέα = π2

xπR 2

= 2x , Ετριγώνου =

21 1⋅1⋅ηµx =

21 ηµx,

άρα Ε (x) = 21 (x - ηµx)

β) Η (x) = 2π - E (x)

45. α) Η τεταγµένη του Μ ισούται µε 2

)(x f )(x f 21 + (διάµεσος)

άρα f

+2 x x 21

< 2

)(x f )(x f 21 +

β) 2

21

2 x x

+ <

2 x x 2

221 + ⇔ (x1 - x2)2 ≥ 0, ισχύει

γ) e 2xx 21+

< 2

e e 21 xx + ⇔ 4e x < (e ⇔ ≥ 0,

ισχύει

21 x + 2xx )e 21 + 2xx )e - (e 21

128

Page 129: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΙΙ. ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. * Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σηµείο x0, έναν πραγµατικό αριθµό . Αναγκαστικά το xl 0 ανήκει στο πεδίο ορισµού της.

Σ Λ

2. * Τα πλευρικά όρια µιας συνάρτησης f, όταν το x παίρνει τιµές κοντά στο x0, συµπίπτουν πάντοτε.

Σ Λ

3. * Το όριο µιας συνάρτησης f στο x0 εξαρτάται από την τιµή της συνάρτησης στο σηµείο αυτό.

Σ Λ

4. * Αν µια συνάρτηση f έχει όριο στο σηµείο x0, τότε αυτό είναι µοναδικό.

Σ Λ

5. * Αν f (x) = , τότε υπάρχει συνάρτηση φ

µε φ (x) = 0 και f (x) = + φ (x). 0 xx

lim→

0 xlim→

l

x l

Σ Λ

6. ** Αν (f (x) + g (x)) = l , τότε οι συναρτήσεις f, g έχουν

πάντοτε όριο στο x0 xx

lim→

0.

Σ Λ

7. ** Αν για τις συναρτήσεις f, g : A → R υπάρχει το [f (x) ⋅ g (x)], τότε πάντοτε

0 xx lim→

0 xx lim→

[f (x) ⋅ g (x)] = f (x) ⋅ g (x) 0 xx

lim→ 0 xx

lim→

Σ Λ

8. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = xx

- 1.

Ισχύει f (x) = 0 = f (x). +→ 0 x

lim−→ 0 x

lim

Σ Λ

9. ** Μια συνάρτηση f έχει στο x0 = 2004 όριο το - 2004. Τότε η f παίρνει αρνητικές τιµές για κάποια x κοντά στο 2004.

Σ Λ

10. ** Αν 0 xx

lim→

(x) f = l , ≠ 0, τότε πάντοτε ισχύει

f (x) = l .

l

0 xx lim→

Σ Λ

129

Page 130: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. * Αν το f (x) είναι θετικός αριθµός, τότε η f παίρνει

θετικές τιµές κοντά στο x0 xx

lim→

0.

Σ Λ 12. * Έστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα διάστηµα που

περιέχει το 0. Τότε ισχύει πάντοτε f (x) = f (0). 0 x

lim→

Σ Λ

13. ** Αν f (x) = β, g (x) = γ και f (x) ≠ β κοντά στο α,

τότε g (f (x)) = γ.

α x lim→

α lim→

β x lim→

x

Σ Λ

14. * Ισχύει ότι 0 x

lim→ x

(αx)ηµ = 1 µε α ≠ 0, 1.

Σ Λ

15. * Αν 0 x

lim→ x

(x) f = , τότε l0 x

lim→ x

(3x) f = 3 . l

Σ Λ

16. * Αν 0 ≤ f (x) ≤ x1 + e-x, για κάθε x ∈ R, τότε το f (x) = 0.

∞+→ x lim

Σ Λ

17. ** Αν f (x) = + ∞ και g (x) < 0 κοντά στο x0 xx

lim→

0 xx lim→

0, τότε πάντα

ισχύει (f (x)⋅g (x)) = - ∞.

Σ Λ

18. * Αν f (x) = + ∞, τότε 0 xx

lim→ 0 xx

lim→ (x) f

1 = 0.

Σ Λ

19. * Αν f (x) = 0 και f (x) > 0 κοντά στο x0 xx

lim→

0, τότε 0 xx

lim→ (x) f

1

= + ∞.

Σ Λ

20. * Αν f (x) = l ≠ 0, τότε 0 xx

lim→ 0 xx

lim→ (x) f

1 = l

1 .

Σ Λ

21. ** Αν η συνάρτηση f : [0, + ∞) → R είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντοτε ισχύει f (x) = + ∞.

∞+→ x lim

Σ Λ

22. * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], η εξίσωση f (x)

= 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β) και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f (ξ) < 0, τότε θα ισχύει f (x) < 0 για κάθε x ∈ (α, β).

Σ Λ

130

Page 131: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

23. * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], και παίρνει δύο διαφορετικές τιµές f (x1), f (x2) µε x1, x2 ∈ [α, β], τότε παίρνει όλες τις τιµές µεταξύ των f (x1) και f (x2).

Σ Λ

24. ** Αν για µια συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f (x1) = 1 και f (x2) = 4, τότε υπάρχει x0 ∈ (x1, x2) τέτοιο ώστε f (x0) = e.

Σ Λ

25. * Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [α, β], τότε το σύνολο τιµών της είναι [f (α), f (β)].

Σ Λ

26. * Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [α, β], τότε το σύνολο τιµών της είναι [f (β), f (α)].

Σ Λ

27. ** Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] µε f (α) ≠ f (β), παίρνει µόνο τις τιµές µεταξύ των f (α) και f (β).

Σ Λ

28. ** Aν (1 - x) (1 + 5x) ≤ f (x) ≤ (3x + 1)2, τότε η f είναι συνεχής στο 0.

Σ Λ

29. * Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞), τότε το σύνολο τιµών της είναι το διάστηµα ( f (x), f (x)).

0 x lim→ ∞+→ x

lim

Σ Λ

30. ** Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι 1 - 1 στο [α, β], τότε είναι και γνησίως µονότονη στο [α, β].

Σ Λ 31. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 µε f (x0) ≠ 0, τότε

κοντά στο x0 οι τιµές της f είναι οµόσηµες του f (x0).

Σ Λ 32. ** Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα

στο διάστηµα ∆, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f (∆).

Σ Λ 33. * Αν η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα διάστηµα ∆ είναι

συνεχής και 1 - 1 στο ∆, τότε η συνάρτηση f -1 είναι συνεχής στο f (∆).

Σ Λ 34. * Κάθε συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το R έχει

µέγιστη και ελάχιστη τιµή.

Σ Λ

35. * Έστω η συνάρτηση f (x) = . Ισχύει ότι η f είναι

<+

1 x , x- 2

1 x 1, x 2

131

Page 132: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

συνεχής στο R - 1. Σ Λ

36. * Η συνάρτηση f, της οποί-ας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα, είναι συνεχής στο Df.

y

0 xx´

Σ Λ

37. * Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα, είναι συνεχής.

y

0 α 2α 3α-α xx´

Σ Λ 38. ** Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g

δεν είναι συνεχής στο x0, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ 39. ** Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο σηµείο x0

του κοινού πεδίου ορισµού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ 40. ** Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σηµείο x0 του

πεδίου ορισµού της, τότε και η f 2 είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

132

Page 133: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρ-

τησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Α. f (x) = 4 B. f (x) = 1

1 x lim→ -1- x

lim→

Γ. f (x) = 2 ∆. f (- 1) = 2 +→ 1- x

lim

E. f (1) = 4

y

21

1–1

4

0xx´

2. * Για τη συνάρτηση f του σχήµατος,

ισχύει Α. f (x) = 6 B. f (x) = 8

+→ 4 x lim

-4 x lim→

Γ. f (x) ≠ f (x) -4 x

lim→ +→ 4 x

lim

∆. υπάρχει το f (x) 4 x

lim→

y

6

4

8

0 xx´

E. f (x) = f (x)

+→ 4 x lim

-4 x lim→

3. * Αν f (x) ≤ g (x) µε x ∈ (1, 3) και οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο πραγµατικό αριθµό στο 2, τότε ισχύει ότι Α. f (x) > g (x) Β. f (x) > 0 και g (x) < 0

2 x lim→ 2 x

lim→ 2 x

lim→ 2 x

lim→

Γ. f (x) ≤ g (x) ∆. f (x) ≥ g (x) 2 x

lim→ 2 x

lim→ 2 x

lim→ 2 x

lim→

Ε. τίποτα από τα παραπάνω

133

Page 134: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Αν h (x) ≤ f (x) ≤ g (x) µε x ∈ (0, 2) και h (x) = g (x) = 3, τότε

ισχύει ότι 1 x

lim→ 1 x

lim→

Α. f (x) = 1 x

lim→ 2

3 Β. [f (x) - g (x)] = 3 1 x

lim→

Γ. [h (x) - f (x)] = 3 ∆. f (x) = 3 1 x

lim→ 1 x

lim→

Ε. τίποτα από τα παραπάνω

5. * Αν f (x) = 0 και g (x) = + ∞, τότε πάντοτε ισχύει ότι 0 xx

lim→ 0 xx

lim→

Α. [f (x) ⋅ g (x)] = 0 B. [f (x) ⋅ g (x)] = + ∞ 0 xx

lim→ 0 xx

lim→

Γ. για το όριο της συνάρτησης f⋅g στο x0 έχουµε απροσδιόριστη µορφή ∆. [f (x) ⋅ g (x)] > 0 E. [f (x) ⋅ g (x)] < 0

0 xx lim→ 0 xx

lim→

6. * Από τις παρακάτω ισότητες να βρείτε αυτήν που είναι λάθος

Α. 0 x

lim→ x

1 = + ∞ B. 0 x

lim→ 2x

3 -x = - ∞ Γ. -0 x

lim→ x

2 = + ∞

∆. 0 x

lim→ xσυν - 1

12 = + ∞ E.

0 x lim→ 3x

ηµx = + ∞

7. * Για τη συνάρτηση f µε f (x) =

=

≠+

1 x αν ,5

1 x αν ,1 -x

2 - x x 2

, δίνεται ο πίνακας

τιµών:

x 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 → 1 ← 1,001 1,01 1,05 1,1

f (x) 2,8 2,9 2,95 2,99 2,999 → ← 3,001 3,01 3,05 3,1

Τότε λάθος είναι

134

Page 135: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Α. µπορούµε να υποθέσουµε ότι f (x) = 3 -1 x

lim→

B. µπορούµε να υποθέσουµε ότι f (x) = 3 +→1 x

lim

Γ. µπορούµε να υποθέσουµε ότι η f δεν είναι συνεχής στο 1 ∆. f (1) = 5 E. µπορούµε να υποθέσουµε ότι η f έχει όριο στο 2 τον αριθµό 5

8. * Αν f (x) = 1 -2x

πx , τότε το συν (f (x)) είναι ίσο µε ∞+→ x

lim

Α. 1 B. 2π Γ. 0 ∆. - 1 E.

21

9. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =

=

≠+

3 x ,1

3 x ,3 -x

6 5x - x 2

. Τότε ισχύει

Α. η f δεν είναι συνεχής στο 3 B. η f είναι συνεχής στο 3 Γ. η f για x > 3 είναι γνησίως φθίνουσα ∆. δεν υπάρχει το f (x)

0 x lim→

E. f (x) ≠ f (0) 0 x

lim→

10. * Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R η οποία είναι συνεχής και

1 - 1. Τότε η f Α. είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα B. δεν µπορεί να είναι άρτια Γ. είναι πάντοτε περιττή ∆. f (1) = f (- 1) E. είναι σταθερή συνάρτηση

135

Page 136: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. * Αν η συνάρτηση f (x) =

=

0 x , κ

0 x ,x(πx) εφ

είναι συνεχής στο 0, τότε το κ

είναι ίσο µε

Α. 1 Β. 0 Γ. π ∆. 2π Ε. - π

12. * ∆ίνονται οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις κάποιων συναρτήσεων

f, g, h, φ, t.

x

yCf

Οα β

x

y

CgΟα β

(α) (β)

x

y

Ch

Οα β

x

yCφ

Ο α β

(γ) (δ)

x

Ct

Οα β

(ε)

136

Page 137: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Τότε οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano στο διάστηµα [α, β] ισχύουν για την περίπτωση Α. της συνάρτησης f Β. της συνάρτησης g Γ. της συνάρτησης h ∆. της συνάρτησης φ Ε. της συνάρτησης t

13. * Στα παρακάτω σχήµατα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτή-

σεων f, g, h, φ, t. Για ποια από τις συναρτήσεις ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος του Bolzano στο διάστηµα [α, β]; Α.

x

y

Cf

α βΟ

B.

x

y

Cg

α βΟ

Γ.

x

y

Ch

α βΟ

∆. x

y

α βΟ

Ε.

x

yCt

α βΟ

137

Page 138: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

14. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και ισχύει f (α) ⋅ f (β) > 0, τότε από τις παρακάτω προτάσεις σωστή είναι πάντοτε η Α. f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈ [α, β] Β. δεν υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f (ξ) = 0 Γ. η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο [α, β] ∆. η Cf δεν τέµνει ποτέ τον άξονα y΄y Ε. καµία από τις προηγούµενες προτάσεις

15. * Αν η συνάρτηση f έχει γραφική παρά-σταση που φαίνεται στο σχήµα, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει Α. περισσότερες από µία ρίζες Β. καµία ρίζα Γ. µόνο µία ρίζα ∆. δύο ρίζες Ε. τίποτα από τα παραπάνω

f(α)

f(β)

αβ x

y

xoO

16. * Αν η συνάρτηση f έχει γραφική παρά-

σταση που φαίνεται στο σχήµα, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει Α. δύο ρίζες Β. καµία ρίζα Γ. περισσότερες από µία ρίζες ∆. µόνο µία ρίζα Ε. τίποτα από τα παραπάνω

αβ

xo

f(α)

f(β)

y

xO

138

Page 139: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. * Η γραφική παράσταση της συνεχούς συ-νάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα. Το σύνολο τιµών της f είναι Α. (f (α), f (β)) Β. [f (α), f (β)] Γ. (f (β), f (α)) ∆. [f (β), f (α)] Ε. κανένα από τα προηγούµενα

α β

f(β)

f(α)

O

y

18. * Έστω συνάρτηση f (x) =

=

2 x 6,

2 x ,2 -x 4 - x 2

και οι προτάσεις:

Ι. υπάρχει το f (x) ΙΙ. η f ορίζεται στο 2 2 x

lim→

ΙΙΙ. η f είναι συνεχής στο 2. Τότε αληθεύουν Α. µόνο η Ι Β. µόνο η ΙΙ Γ. µόνο η Ι ή η ΙΙ ∆. καµία από τις τρεις Ε. η ΙΙΙ

19. * Η γραφική παράσταση της συνεχούς

συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα. Το σύνολο τιµών της f είναι Α. (f (α), f (β)) Β. [f (α), f (β)] Γ. (f (β), f (α)) ∆. [f (β), f (α)] Ε. κανένα από τα προηγούµενα

α β

f(α)

f(β)

O x

y

20. * Αν η συνάρτηση f έχει γραφική

παράσταση που φαίνεται στο σχή-µα, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει Α. καµία ρίζα Β. ακριβώς τρεις ρίζες Γ. µόνο µία ρίζα

αβ x

y

Ο

f(α)

f(β)

∆. το πολύ µία ρίζα Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες

139

Page 140: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

21. * Αν η γραφική παράσταση της συ-νάρτησης f φαίνεται στο σχήµα, τότε δεν ισχύει ότι Α. στο διάστηµα (x1, x2) η f (x) > 0 Β. στο διάστηµα (x2, x3) η f (x) < 0

x1 x2 x3 x4

y

Ο

Γ. στο διάστηµα (x3, x4) η f (x) > 0 ∆. στα διαστήµατα (- ∞, x1) και (x4, + ∞) η f (x) < 0 Ε. στο διάστηµα (x2, x4) η f (x) = 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες

22. * Η γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα. Το σύνολο τιµών της f είναι Α. [f (α), f (β)] Β. (f (xε), f (xµ)) Γ. [f (β), f (α)] ∆. [f (xε), f (xµ)] Ε. κανένα από τα προηγούµενα

f(α)

f(β)

f(xµ)

f(xε)

α xµ

xεβ

y

x

23. * Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και γνησίως φθίνουσα. Τότε το σύνολο τιµών της f είναι Α. [f (α), f (β)] Β. [f (β), f (α)] Γ. [β, α] ∆. (f (β), f (α)) Ε. το R

24. * ∆ίνεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R και οι προτάσεις:

Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτια ΙΙΙ. f γνησίως µονότονη Η αντίστροφη της f υπάρχει, όταν ισχύει Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι και ΙΙ ∆. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ

140

Page 141: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

25. * ∆ίνεται η συνάρτηση f µε f (x) = x3 + 2x2 - 3x - 2. Τότε λάθος είναι Α. f (- 1) > 0 Β. f (1) < 0 Γ. η f είναι συνεχής στο [- 1, 1] ∆. υπάρχει x0 ∈ (- 1, 1) ώστε f (x0) = 0 Ε. f (- 1)⋅f (1) > 0

26. * Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφι-κή παράσταση µια συνάρτησης f. Τότε ισχύει Α. f (x) = 180

∞+→ x lim

Β. f (x) = 140 0 x

lim→

x

y

5 10 15

180

140

Γ. f (x) = 140 ∆. f (x) ≠ f (x) ∞+→ x

lim+→ 5 x

lim−→ 5 x

lim

Ε. η f δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της

27. * Για τη συνάρτηση f µε τύπο f (x) = 4 - 2e-x ισχύει Α. f (x) = + ∞ B. f (x) = 4

∞+→ x lim

∞→ - x lim

Γ. η γραφική παράσταση της f µπορεί να είναι

αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα

y

0 xx´

4

2

∆. f (x) ≠ f (x) E. τίποτα από τα παραπάνω

+→ 2 x lim

−→ 2 x lim

28. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = . Τότε

∞+∈+

∞∈

) [0, x 1, 2x

0) , (- x x),(-n 2

l

Α. η f δεν είναι συνεχής στο (- ∞, 0) B. η f δεν είναι συνεχής στο (0, + ∞) Γ. η f δεν είναι συνεχής στο 0 ∆. f (x) = - ∞

∞+→ x lim

E. f (x) = 0 ∞→ - x

lim

141

Page 142: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

29. * Το ∞+→ x

lim x) (4 x)- (4

1 4x 2

++ είναι ίσο µε

Α. - 16 B. - 4 Γ. 1 ∆. + ∞ E. - ∞ 30. * Αν f (x) ≤ x3 + 1 για x < - 4, τότε το f (x) (αν υπάρχει) είναι ίσο µε

∞→ - x lim

Α. + ∞ B. - ∞ Γ. 0 ∆. - 1 Ε. - 12

31. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 7 4x

1 x x2

2

+++ . Η τιµή f (102004) προσεγγίζεται µε

ικανοποιητική ακρίβεια από τον αριθµό

Α. 1,4 B. 104 Γ. 0,75 ∆. 0,25 E. 71

32. * Από τις παρακάτω ισότητες λάθος είναι η

Α. συν ∞+→ x

limx1 = 1 B.

∞+→ x lim

xσυνx = 0 Γ.

∞+→ x lim

xηµx = 1

∆. ηµ ∞+→ x

limx1 = 0 E.

∞+→ x lim

x1 εφ

x1 = 0

142

Page 143: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ, ώστε σε κάθε γραφική παράσταση από τη

στήλη Α του πίνακα Ι να αντιστοιχούν οι σχέσεις που ισχύουν από τη στήλη Β. Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. 2. 3.

x

y

Οx0

f(x0)

x

y

Οx0

x

y

Ο x0

α. f (x) = - ∞ και

−→ 0 xx lim

+→ 0 xx lim f (x) = + ∞

β. f (x) ≠ f (x

0 xx lim→

0)

γ. f (x) = f (x

+→ 0 xx lim 0) ≠ f (x)

−→ 0 xx lim

δ. f (x) = f (x

−→ 0 xx lim 0) ≠ f (x)

+→ 0 xx lim

ε. f (x) = - ∞ και

+→ 0 xx lim

−→ 0 xx lim f (x) = + ∞

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

143

Page 144: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης που φαίνεται στη στήλη Α µε µία µόνο ιδιότητα που περιγράφεται στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

4.

x

y

Οαβ

x

y

Ο

β

α

x

y

Ο 112

2 3 4-1-2-3-4

xx0

y

Ο x

y

Ο

α. περιοδική β. άρτια γ. “1 - 1” και συνεχής στο [α, β] δ. συνεχής στο (α, β] ε. γνησίως φθίνουσα στα διαστή-

µατα (-∞, x0] και (x0, + ∞) ζ. γνησίως αύξουσα

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

144

Page 145: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης που φαίνεται στη στήλη Α µε την ιδιότητα ή το συµβολισµό που περιγράφεται στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

4.

5.

y

Ο x

y

xx΄

y

Ο

y

Ο

y

x

α. η f δεν είναι συνεχής στο 0 β. η f έχει πεδίο ορισµού το [0, + ∞) γ. η f είναι γνησίως αύξουσα δ. f (x) < 0 ε. η f είναι γνησίως φθίνουσα ζ. η f είναι περιττή η. f (- 1) = 0

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4 5

145

Page 146: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. ** Για τις συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις φαίνονται στη στήλη Α του πίνακα Ι, κάποια ή κάποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bol-zano στο διάστηµα [α, β] δεν ισχύουν. Οι συνθήκες αυτές φαίνονται στη στήλη Β. Να γίνει αντιστοίχιση, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. 2. 3. 4.

βα x

y

Ο

x0 βα

x

y

Ο

βα

x

y

Ο

βα x

y

Ο

α. f (α) ⋅ f (β) < 0 β. f συνεχής στο x0

γ. f συνεχής στο α

δ. f (α)⋅f (β) < 0 και f συνεχής στο β

ε. f συνεχής στο β

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

146

Page 147: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. ** Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ, έτσι ώστε σε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης της στήλης Α του πίνακα Ι, να αντιστοιχεί η σχέση που ισχύει από τη στήλη Β.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. 2. 3.

x0

f(x0)

x

y

Ο

x0

f(x0)x

y

Ο

x0

f(x0)

x

y

Ο

α. f (x) = f (x

−→ 0 xx lim 0) ≠ f (x)

+→ 0 xx lim

β. f (x) ≠ f (x

0 xx lim→

0)

γ. f (x) = - ∞

−→ 0 xx lim

δ. f (x) = f (x

+→ 0 xx lim 0)

ε. f (x) ≠ f (x)

−→ 0 xx lim

+→ 0 xx lim

Πίνακας ΙΙ

1 2 3

147

Page 148: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. ** ∆ίνεται µια συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστηµα ∆. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα στοιχείο της στήλης Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

πεδίο ορισµού σύνολο τιµών

1. ∆ = [α, β] 2. ∆ = [α, β) 3. ∆ = (α, β] 4. ∆ = (α, β)

α. ( f (x), f (x))

β x lim→ α x

lim→

β. [f (α), f (x))

β x lim→

γ. ( f (x), f (α)]

β x lim→

δ. [f (β), f (α)] ε. [f (β), f (x))

α x lim→

ζ. ( f (x), f (β)]

α x lim→

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

148

Page 149: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. ** Στη στήλη Α σηµειώνεται µία απροσδιόριστη µορφή. Στη στήλη Β δίνεται

ένα παράδειγµα που αναφέρεται σ’ αυτήν τη µορφή. Συµπληρώστε τη στήλη Γ µε ένα άλλο παράδειγµα που να δίνει διαφορετικό αποτέλεσµα από αυτό που έχει δοθεί.

Στήλη Α µορφή

Στήλη Β παράδειγµα που δίνεται

Στήλη Γ παράδειγµα που ζητείται

00

f (x) = x2 - 1 g (x) = x + 1

1 x lim

−→f (x) = 0

1 x lim

−→g (x) = 0

1 x lim

−→

(x) g(x) f = -2

∞∞

f (x) = 2x + 1 g (x) = x + 3

∞+→ x lim f (x) = + ∞

∞+→ x lim g (x) = + ∞

∞+→ x lim

(x) g(x) f = 2

0 ⋅ ∞

f (x) = x2

g (x) = 4x1

0 x lim→

f (x) = 0

0 x lim→

g (x) = + ∞

0 x lim→

(f (x) ⋅ g (x)) = + ∞

149

Page 150: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. ** Να συµπληρώσετε δίπλα σε κάθε γραφική παράσταση ποια ή ποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano δεν ισχύουν. Σε ποιες περιπτώ-σεις (παρότι δεν ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις) η εξίσωση f (x) = 0 έχει λύση;

x

y

Οα

β

x

y

Οα

β

x

y

Ο βα

150

Page 151: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

151

Ερωτήσεις διάταξης

1. * Αν κ, λ, µ, ν, ξ είναι τα όρια στο x0 = 1 των συναρτήσεων f, g, h, φ, s

αντιστοίχως και ισχύει:

h (x) ≤ g (x) ≤ f (x) ≤ s (x) ≤ φ (x) για κάθε x ∈ (21 , 1) ∪ (1,

23 )

να διατάξετε τους αριθµούς κ, λ, µ, ν, ξ από το µικρότερο (ή ίσο) προς το µεγαλύτερο.

2. * Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισµένες στο R, συνεχείς και ισχύει: f γνησίως αύξουσα, g γνησίως φθίνουσα και f (2) = g (2). Να διατάξετε σε µία σειρά από τη µικρότερη στη µεγαλύτερη τις παρακάτω διαφορές: α) f (e) - g (e) β) f (π) - g (π) γ) f (0) - g (0) δ) f (2) - g (2) ε) f (3) - g (3)

Page 152: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Η γραφική παράσταση της συ-

νάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) f (x) β) f (x)

+→ 2 x lim

-1- x lim→

γ) f (x) δ) f (x) +→ 1- x

lim-1 x

lim→

ε) f (x) στ) f (x) +→1 x

lim2 x

lim→

ζ) f (x) −→ 3 x

lim

y

23

4

1

-2

-2

1-1 2 3 x

2. **Να υπολογίσετε το 1 x

lim→ 1 - x

1 -x 1 - x2

2 + .

3. ** Να υπολογίσετε το 1 x

lim→

3x- 13 -

x- 11 .

4. ** Να υπολογίσετε τo (0 x

lim→ x

1 - xσυνx

1 ).

5. ** Να βρείτε τo 0 x

lim→

συνx - 11 -

xηµ2

2

6. ** Αν f (x) = 4, g (x) = - 6 και h (x) = 10, να βρείτε τα όρια:

0 xx lim→ 0 xx

lim→ 0 xx

lim→

α) 0 xx

lim→ 2(x))(h

(x) g - (x) f β) 0 xx

lim→ (x) 2f (x) g

(x)] [g 4 - (x) 3f 2

+

7. ** Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε η συνάρτηση

152

Page 153: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

f (x) =

≥+

<+

1 - x β), (x ln

1 - x ,1 - x1 αx

2

να έχει όριο πραγµατικό αριθµό στο x0 = - 1.

8. ** Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: 0 x

lim→ x

ηµνx ... ηµ2x ηµx +++ = 28.

9. ** Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: 0 x

lim→ νx

ηµνx ... ηµ2x ηµx ⋅⋅⋅ = 120.

10. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f µε Df = (0, 1) ∪ (1, + ∞) ώστε:

1 x lim→ 1 - x

1 - 2

1) -(x πηµ (x) f + =

2π . Να υπολογίσετε τα όρια:

α) f (x) β) 1 x

lim→ 1 x

lim→ 1-x

1 - (x) f

11. ** Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια:

α) της f (x) = 2) (x 1) -(x

2 -x +

στο x0 = - 2

β) της f (x) = 1 x

x x 23

++ στο x0 = - 1

12. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = 1 x + και g (x) = .

Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις f, g, gof στο x

<

≥+

1 - x 5 -x 4

1 - x 1 2x

0 = - 1.

13. ** α) Να δείξετε ότι : f (x) = (1) αν και µόνο αν 0 xx

lim→

l

153

Page 154: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

f (x0 h

lim→

0 + h) = (2) l

β) Αν για τη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R ισχύει η σχέση f (x + y) = f (x) + f (y) για κάθε x ∈ R: i) να βρείτε το f (0) ii) αν η f είναι συνεχής στο 0, να δείξετε ότι είναι συνεχής σε όλο το R.

14. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = ln (1 - lnx).

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. β) Να βρείτε τα όρια της f στα άκρα του Df. γ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Df. δ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f αφού πρώτα αποδείξετε ότι είναι

συνεχής.

15. ** Αν (x) f ≤ x για κάθε x ∈ R, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.

16. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f και g µε τύπους:

f (x) = 1 -x και g (x) = x- 4 α) Να βρείτε τις συναρτήσεις fog και gof. β) Να αποδείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο σηµείο x0 = 2. γ) Να εξετάσετε αν οι fog και gof είναι και αυτές συνεχείς στο x0 = 2.

17. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f (x) = .

>

≤+

1 x αν 1, -3x

1 x αν 1, x

α) Να µελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 - 1. γ) Να βρείτε την αντίστροφή της συνάρτηση f -1. δ) Να εξετάσετε τη µονοτονία των συναρτήσεων f και f -1.

154

Page 155: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

18. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =

=

+

+

0 x α,

0 x ,1 2

2 2

x1

x1

.

α) Να υπολογίσετε τα όρια: f (x), f (x), f (x), f (x). ∞+→ x

lim∞−→ x

lim+→0x

lim−→0x

lim

β) Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f. γ) Υπάρχει τιµή του α για την οποία η f να είναι συνεχής;

19. ** Αν µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R είναι συνεχής:

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x0 ∈ R ισχύει ότι (f (x0 h

lim→

0 + h) - f (x0 - h)) = 0.

β) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση

f (x) =

=

0 x 0,

0 x ,xηµx

.

20. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι

αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να βρείτε τα όρια: f (x),

-1 x lim→

+→1 x lim f (x), f (x), f (x).

∞+→ x lim

∞−→ x lim

β) Τι συµπεραίνετε για το 1 x

lim→ (x) f

1 ;

x

y

0

x´ 1

1

21. ** Να δείξετε ότι:

α) η εξίσωση (x + 1) 2x+1 = 1 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (- 1, 0) β) η εξίσωση x3 - 6x2 + 3 = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (- 1, 1).

22. ** Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + enxl x = 0 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο

(0, 1).

155

Page 156: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

23. ** Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) = x

και g (x) = συν2x τέµνονται σε ένα τουλάχιστον σηµείο του διαστήµατος

(0, 4π ).

24. ** ∆ίνεται µια συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµα [0, 8] για την οποία

ισχύουν ότι f (0) = 1, f (2) = - 2, f (4) = 2, f (6) = - 4 και f (8) = 1. α) Να βρείτε πόσες φορές τουλάχιστον, η γραφική παράσταση της f θα

τέµνει τον άξονα x΄x στο (0, 8). β) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα [0, 2] και [4, 6] και

γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα [2, 4] και [6, 8], τότε να βρείτε πόσες ρίζες θα έχει η εξίσωση f (x) = 0.

25. ** Θεωρούµε την εξίσωση:

xκ 2

+ 1x

λ 2

+ +

1-x µ 2

= 0, κ, λ, µ ≠ 0

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστηµα (-1, 1).

β) Αν οι δύο ρίζες είναι οι ρ1, ρ2, να δείξετε ότι: 1ρ

1 + 2ρ

1 = 2

22

κλ- µ .

26. ** ∆ίνεται το πολυώνυµο P (x) = xν+1 - 2x + 1 για ν ≥ 2. α) Να αποδείξετε ότι το P (x) διαιρείται µε το x - 1. β) Να βρείτε το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης. γ) Αν Q (x) το παραπάνω πηλίκο, να αποδείξετε ότι το Q (x) έχει µία

τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (0, 1). δ) Να δικαιολογήσετε ότι και το P (x) έχει την ίδια ρίζα στο διάστηµα (0, 1).

27. ** Έστω f µια συνεχής συνάρτηση στο [0, α] µε f (0) = f (α).

156

Page 157: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

α) Να αποδείξετε ότι η h (x) = f (x) - f (2α + x) είναι συνεχής στο (0,

2α ).

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = f (2α + x) έχει µία τουλάχιστον ρίζα

στο διάστηµα (0, 2α ).

28. ** ∆ίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f (x) = x3 + x - 1, x ∈ R.

α) Να δείξετε ότι η f έχει µία µόνο ρίζα σε καθένα από τα διαστήµατα (µε τη

σειρά που δίνονται): [0, 1], [21 , 1], [

21 ,

43 ].

β) Να παραστήσετε τα διαστήµατα στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών. Να περιγράψετε, µε βάση το (β), µια διαδικασία (αλγόριθµο) µέσω της οποίας µπορούµε να προσεγγίσουµε µια ρίζα ενός πολυωνύµου.

γ) Να λύσετε την εξίσωση x3 + x - 1 = 0. Να βρείτε τη ρίζα µε προσέγγιση δεκάκις χιλιοστού (µε υπέρβαση). Να κάνετε χρήση υπολογιστή τσέπης.

29. ** Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα

[α, β]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε:

f (ξ) = 3

)2β α( f (β) f (α) f +

++

30. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = x2.

α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος ενδιαµέσων

τιµών στα διαστήµατα [1, 23 ], [

23 , 2].

β) Με τη βοήθεια του πρώτου ερωτήµατος να δικαιολογήσετε ότι ο αριθµός

2 βρίσκεται στο διάστηµα (1, 23 ), ενώ ο 3 στο διάστηµα (

23 , 2).

31. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 2 -x - x- 6 .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f.

157

Page 158: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της. γ) Να εξετάσετε την f ως προς τη συνέχεια. δ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της.

ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό x0 έτσι ώστε f (x0) = 23 .

32. ** Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα [α, β]. Αν το

σύνολο τιµών της f είναι το [α, β], τότε α) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο x0 ∈ [α, β] τέτοιο ώστε

f (x0) = x0 β) να ερµηνεύσετε γεωµετρικά το συµπέρασµα αυτό.

33. ** Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞) µε f (x) = γ ∈ R και f (x) = δ ∈ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει µόνο

ένας αριθµός x

+→ 0 x lim

∞+→ x lim

0 > 0 τέτοιος ώστε να ισχύει: f (x0) + ex0+1 + = 1. 0nxl

34. ** Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f (x) = x5 + x + 1, x ∈ [- 1, 0].

α) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει ακριβώς µια ρίζα στο διάστηµα

(- 1, 0). 35. ** Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 10] και η εξίσωση

f (x) = 0 έχει µοναδικές ρίζες το 3 και το 7. α) Αν υπάρχει x0 ώστε f (x0) > 0 µε x0 < 3, να δείξετε ότι η f (x) > 0 για κάθε

x < 3. β) Αν υπάρχει x0 ώστε f (x0) < 0 µε x0 τέτοιο ώστε 3 < x0 < 7, να δείξετε ότι

f (x) < 0 για κάθε x: 3 < x < 7. 36. ** Η ανάβαση στην ψηλότερη κορυφή του Ολύµπου (Μύτικας, 2.917 µ.)

γίνεται συνήθως από τη θέση “Πριόνια” και διαρκεί για ένα µέσο ορειβάτη 6 ώρες. Η κατάβαση διαρκεί επίσης 6 ώρες. Ένας ορειβάτης ξεκινάει από τα

158

Page 159: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

“Πριόνια” στις 6 το πρωί και χωρίς να σταµατήσει βρίσκεται σε 6 ώρες στην κορυφή, όπου και διανυκτερεύει. Την άλλη µέρα ξεκινάει στις 6 το πρωί την κατάβαση από τον “Μύτικα” και σε 6 ώρες, ακολουθώντας την ίδια διαδροµή, βρίσκεται στα “Πριόνια”. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο της διαδροµής στο οποίο βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δύο ηµέρες.

37. ** Αν f είναι µια συνάρτηση, τότε λέγοντας χορδή της f εννοούµε ένα

ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα ανήκουν στη γραφική παράσταση της f. Έστω ότι f είναι µια συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το [0, 1] και µε f (0) = f (1) = 0.

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντια χορδή της f µε µήκος 21 .

β) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντια χορδή της f µε µήκος ν1 , όπου

ν = 2, 3, 4, …

38. ** Προεκτείνουµε την ακτίνα ΟΑ ενός κύκλου προς το Α και έστω Μ τυχόν σηµείο στην προέκταση. Από το Μ φέρνουµε την εφαπτοµένη στον κύκλο και έστω Τ το σηµείο επαφής. Από το Τ φέρνουµε την κάθετο στην ΟΑ και έστω Ν το ίχνος της καθέτου. Αν το Μ κινείται προς το Α, να δείξετε ότι ο

λόγος ΑΜΑΝ τείνει στο 1.

159

Page 160: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

39. ** Από σηµείο Μ φέρνουµε τις εφαπτόµενες σε έναν κύκλο (Ο, R) και έστω Α, Β τα σηµεία επαφής. Η εφαπτοµένη στο µέσον Ε του τόξου ΑΒ τέµνει τις ΜΑ και ΜΒ στα Γ και ∆. Να δείξετε ότι ο λόγος των εµβαδών των τριγώνων

(ΜΓ∆)(ΜΑΒ) τείνει στο 4, καθώς το Μ κινείται προς το Ε.

40. ** Η γραφική παράσταση µιας συνάρτη-

σης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να βρείτε τα όρια: α) f (x) β) f (x)

∞−→ x lim

1- x lim→

γ) f (x) δ) f (x) 0 x

lim→ 1 x

lim→

ε) f (x) ∞+→ x

lim

y

0 xx´ –1 1

41. ** Να βρείτε τα παρακάτω όρια:

α) ∞+→ x

lim1 µx

1 x 1) (µ x2)-(µ 2

3

++++ , αν µ ∈ R

β) (∞+→ x

lim 1 x - x 2 + - λx -µ), αν λ, µ ∈ R

γ) ∞+→ x

lim1 α

αx

x

+, αν α > 0 δ)

∞+→ x lim x1x

1 x x

2 α2 α+

++

+

, αν α > 0

42. ** Να βρείτε τα παρακάτω όρια:

α) (x⋅ηµ ∞+→ x

limx1 )

β) (x⋅ηµ 0 x

lim→ x

1 )

γ) (x⋅ηµ∞+→ x

lim ρ x1 ) µε ρ ∈ Ν* και ρ ≥ 2

160

Page 161: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

43. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = n l

+x

κ x 22

, κ > 0.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f. β) Να βρείτε τα όρια f (x), f (x).

0 x lim→ ∞+→ x

lim

γ) Να δείξετε ότι η f (x) - nx > 0 και να βρείτε το όριο (f (x) - nx). l∞+→ x

lim l

44. ** Να βρείτε ένα κατάλληλο ζεύγος συναρτήσεων f, g για τις οποίες ισχύει:

α) f (x) = 0, g (x) = 0 και 0 x

lim→ 0 x

lim→ 0 x

lim→ (x) g

(x) f = 5.

β) f (x) = 0, g (x) = + ∞ και f (x) ⋅ g (x) = 20. ∞+→ x

lim∞+→ x

lim∞+→ x

lim

γ) f (x) = 0, g (x) = + ∞ και f (x) ⋅ g (x) = + ∞. ∞+→ x

lim∞+→ x

lim∞+→ x

lim

δ) f (x) = + ∞, g (x) = + ∞ και (f (x) - g (x)) = 2. ∞+→ x

lim∞+→ x

lim∞+→ x

lim

ε) f (x) = + ∞, g (x) = + ∞ και (f (x) - g (x)) = + ∞. ∞+→ x

lim∞+→ x

lim∞+→ x

lim

ζ) f (x) = + ∞, g (x) = + ∞ και ∞+→ x

lim∞+→ x

lim∞+→ x

lim(x) g(x) f = + ∞.

45. ** Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ του δι-πλανού σχήµατος έχει σταθερό µήκος C. Το σηµείο Γ κινείται αποµακρυνό-µενο από το Α επάνω στην (ε). Να αποδείξετε ότι τα µήκη των ΒΓ και ΑΓ τείνουν να γίνουν ίσα.

C

B

A

Γ

(ε)

46. ** Αν f (x) = n l2x

3 -x , να βρείτε:

161

Page 162: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

α) το πεδίο ορισµού της f β) τα όρια f (x), f (x), f (x), f (x).

∞+→ x lim

∞−→ x lim

3 x lim→ 0 x

lim→

47. ** ∆ίνεται ένα τµήµα ΑΒ και στην προέκτασή

του προς το Β παίρνουµε σηµείο Μ. Να βρείτε A B M

το όριο του λόγου BMAM , καθώς το Μ αποµακρύνεται στο άπειρο.

48. ** Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το σηµείο

Α (1, 2) και τέµνει τους θετικούς ηµιάξονες Ox και Oy στα Μ και Ν αντιστοίχως. α) Να εκφράσετε το εµβαδόν του τριγώ-

νου ΟΜΝ ως συνάρτηση της τετµη-µένης κ του σηµείου Μ.

β) Να βρείτε το όριο του εµβαδού όταν κ → + ∞ και όταν κ → 1.

ε y

x

N

2

0 1 M ( , 0)κ

A(1,2)

49. ** Οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g και h φαίνονται στα

παρακάτω σχήµατα.

y

x

1

0 1–1

Cf

(α)

(β)

1/21

2y

x0

Cg

162

Page 163: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

(γ)

1

2–1

–1

y

x0

Ch

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων. β) Να βρείτε τα όρια:

+→ 1- x lim f (x), f (x), g (x), g (x), h (x), h (x).

∞+→ x lim

∞+→ x lim

∞−→ x lim

∞−→ x lim

∞+→ x lim

50. ** Η συνάρτηση f έχει γραφική

παράσταση που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού και

το πρόσηµο της f. β) Να βρεθούν τα όρια:

∞+→ x lim f (x), f (x),

∞−→ x lim

+→ 0 x lim f (x) , f (x),

−→ 0 x lim

+→1 x lim f (x), f (x),

−→1 x lim

21 x

lim→

f (x)

1

1/2

2–1

–4

y

x0 1/2

γ) Με τη βοήθεια των παραπάνω να προσδιορίσετε τις οριακές τιµές της f1

στα σηµεία του ερωτήµατος (β).

163

Page 164: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

δ) Να βρείτε τον τύπο της f, αν ξέρετε ότι είναι ένας από τους παρακάτω:

f1 (x) = 5 6x 1 2x

++ , f2 (x) =

x x1

2 +, f3 (x) =

1 - x 212

, f4 (x) = x x

12 −

ε) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση g (x) = (x) f1 .

51. ** Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική πα-ράσταση της ευθείας (ε) µε εξίσωση y = x + 1 και το σηµείο της Μ µε τετµηµένη x. Η από-σταση από το σηµείο Ο δίνεται από τη συνάρτηση f (x) = (OM) για κάθε x ∈ R. α) Για ποια τιµή του x ισχύει f (x) = 1; β) Για ποια τιµή του x η απόσταση γίνεται

ελάχιστη;

y=x+

1

–1

1

x

M

0

f(x)

γ) Να βρείτε τα όρια: f (x), f (x) και να εξηγήσετε τα αποτελέ-

σµατα γεωµετρικά (στο σχήµα). ∞+→ x

lim∞−→ x

lim

δ) Να αποδείξετε ότι (f (x) - ∞+→ x

lim 2 (x + 21 )) = 0.

52. ** Το ποσοστό της ανεργίας σε µια χώρα είναι 12% και εκτιµάται ότι σε x

έτη από τώρα θα δίνεται από τον τύπο f (x) = 32x 36 16x

++ .

α) Να αποδείξετε ότι: f (x) = 8 + 32x

21+

.

β) Να εξηγήσετε γιατί η ανεργία δεν θα πέσει ποτέ κάτω από το 8%. γ) Μετά από αρκετά χρόνια, ποιο θα είναι περίπου το ποσοστό ανεργίας;

53. ** Σε µια συνεχή βροχόπτωση διαπιστώθηκε ότι η ταχύτητα υ µιας σταγόνας της βροχής, ως συνάρτηση του χρόνου t, δίνεται από τη σχέση:

164

Page 165: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

υ (t) = κ (1 - e-t) όπου κ µια θετική σταθερά. α) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση υ όταν t ≥ 0. β) Να βρείτε το υ (t).

∞+→ t lim

γ) Να εξηγήσετε τι παριστάνει η σταθερά κ.

54. ** Ο αριθµός των βακτηριδίων σε µια καλλιέργεια t ώρες µετά την έναρξη ενός πειράµατος δίνεται, κατά προσέγγιση σε χιλιάδες από τη συνάρτηση:

f (t) =

>+⋅

≤≤+

4 t ,e 59 t e

51 -

4 t 0 ,e

33

12t

(σηµειώνεται ότι 4 ώρες µετά την έναρξη του πειράµατος εισήχθη µια τοξική ουσία µέσα στην καλλιέργεια). α) Να βρείτε τον αριθµό των βακτηριδίων κατά την έναρξη του πειράµατος

(θεωρήστε e ≈ 2,718). β) Να εξετάσετε αν µπορούµε να εκτιµήσουµε τον αριθµό των βακτηριδίων

κατά τη χρονική στιγµή t0 = 4. γ) Πότε ο πληθυσµός των βακτηριδίων θα εξαφανιστεί; δ) Να αποδείξετε ότι σε δύο χρονικές στιγµές του πειράµατος ο αριθµός των

βακτηριδίων θα είναι 18.950.

165

Page 166: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

55. ** Ο πληθυσµός µιας καλλιέργειας βακτηριδίων αναπτύσσεται σύµφωνα µε τον τύπο:

P (t) = 6 21

2

25 19t 5 t

++ χιλιάδες βακτηρίδια

όπου t ο χρόνος σε ηµέρες (από τη στιγµή της δηµιουργίας της). Πέντε ηµέρες µετά εισάγεται στο περιβάλλον της καλλιέργειας ένα φάρµακο που έχει ως αποτέλεσµα η ανάπτυξη του πληθυσµού να γίνεται πλέον σύµφωνα µε τον τύπο:

P (t) = 6 21

2 45 12t t5 t

+++ χιλιάδες βακτηρίδια

όπου t ο χρόνος σε ηµέρες αµέσως µετά τη χορήγηση του φαρµάκου. α) Να βρείτε µια συνάρτηση που να δίνει τον πληθυσµό της καλλιέργειας τις

10 πρώτες ηµέρες από τη δηµιουργία της. β) Να βρείτε τον πληθυσµό σε κλάσµατα του δευτερολέπτου πριν τη χορή-

γηση του φαρµάκου. γ) Να βρείτε τον πληθυσµό της κλάσµατα του δευτερολέπτου µετά τη χορή-

γηση του φαρµάκου. δ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση του (α) ερωτήµατος είναι συνεχής (στο

πεδίο ορισµού της).

56. ** Σε ένα σχολείο άρχισε να κυκλοφορεί µεταξύ των µαθητών µια φήµη για την πενθήµερη εκδροµή του σχολείου. Ο αριθµός Ν (t) των µαθητών που άκουσαν τη φήµη βρέθηκε ότι µεταβάλλεται σύµφωνα µε τον τύπο:

Ν (t) = M (1 - e- 0,5t) όπου M ο συνολικός αριθµός των µαθητών του σχολείου και t ο χρόνος σε ηµέρες (από τη στιγµή που πρωτοακούστηκε η φήµη). Ένας µαθητής υποστήριξε τελικά ότι όλοι οι συµµαθητές του θα ακούσουν τη φήµη. Πώς το σκέφτηκε αυτό;

166

Page 167: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

57. ** ∆ίνονται τα διαγράµµατα:

απόσταση

από το

σπίτι

χρόνος

∆ιάγραµµα Ι

0

απόσταση

από το

σπίτι

χρόνος

∆ιάγραµµα V

0

απόσταση

από το

σπίτι

χρόνος

∆ιάγραµµα ΙΙ

0

απόσταση

από το

σπίτι

χρόνος

∆ιάγραµµα ΙΙΙ

0

απόσταση

από το

σπίτι

χρόνος

∆ιάγραµµα ΙV

0

και οι αφηγήσεις τριών µαθητών:

167

Page 168: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Μαθητής Α: Το πρωί ξεκίνησα στην αρχή µε αργό ρυθµό για το σχολείο, όταν όµως κατάλαβα ότι επρόκειτο να αργήσω επιτάχυνα.

Μαθητής Β: Πήγαινα κανονικά µέχρι τη στιγµή που κλατάρισε ένα λάστιχο του ποδηλάτου µου. Το επισκεύασα επί τόπου και συνέχισα µε την ίδια ταχύτητα.

Μαθητής Γ: ∆εν είχα αποµακρυνθεί πολύ, όταν θυµήθηκα ότι είχα αφήσει στο σπίτι το τετράδιο των Μαθηµατικών. Αναγκάστηκα να γυρίσω πίσω να το πάρω και µετά ξεκίνησα πάλι για το σχολείο.

α) Συµπληρώστε τον ακόλουθο πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε αφήγηση το

διάγραµµα που της ταιριάζει:

Αφήγηση Α Β Γ ∆ιάγραµµα

β) Γράψτε από µια αφήγηση που να ταιριάζει στα υπόλοιπα διαγράµµατα. Μαθητής ∆: (∆ιάγραµµα …)

Μαθητής Ε: (∆ιάγραµµα ……)

168

Page 169: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

58. ** ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών των συναρτήσεων:

x f (x) g (x) h (x) φ (x) σ (x)

1 23 23 23 33 33 2 24 27 25 32 29 3 26 30 27 30 26 4 29 32 29 27 24 5 33 33 31 23 23

και τα διαγράµµατα:

∆ιάγραµµα I

0

∆ι άγραµµα ΙI

0

∆ιάγραµµα ΙIΙ

0

169

Page 170: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

170

α) Να αντιστοιχίσετε σε κάθε διάγραµµα την κατάλληλη από τις παραπάνω συναρτήσεις συµπληρώνοντας τον πίνακα:

∆ιάγραµµα Ι ΙΙ ΙΙΙ Συνάρτηση

β) Να φτιάξετε ένα σχεδιάγραµµα για καθεµιά από τις υπόλοιπες συναρτήσεις.

59. ** Να βρείτε µια συνάρτηση f τέτοια ώστε f (- 1) = - 1, f (1) = 1, f συνεχής

στο διάστηµα ( -1, 1), αλλά να µην υπάρχει αριθµός γ µεταξύ του - 1 και του 1 µε f (γ) = 0.

Page 171: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Page 172: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

172

Page 173: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

II. OΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Λ 27. Λ 2. Λ 15. Σ 28. Σ 3. Λ 16. Σ 29. Σ 4. Σ 17. Λ 30. Σ 5. Σ 18. Σ 31. Σ 6. Λ 19. Σ 32. Σ 7. Λ 20. Σ 33. Σ 8. Λ 21. Λ 34. Λ 9. Σ 22. Σ 35. Σ

10. Λ 23. Σ 36. Σ 11. Σ 24. Σ 37. Λ 12. Λ 25. Σ 38. Σ 13. Σ 26. Σ 39. Λ 14. Λ 40. Σ

173

Page 174: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. ∆ 12. Γ 23. Β 2. Γ 13. Γ 24. ∆ 3. Γ 14. Ε 25. Ε 4. ∆ 15. Γ 26. Γ 5. Γ 16. ∆ 27. Γ 6. Γ 17. Β 28. Γ 7. Ε 18. Ε 29. Β 8. Γ 19. ∆ 30. Β 9. Β 20. B 31. ∆

10. Β 21. Ε 32. Γ 11. Γ 22. ∆

Μερικές ενδεικτικές λύσεις

13. Προσπαθούµε να εφαρµόσουµε την αρχή του αποκλεισµού. Η απάντηση Α

αποκλείεται γιατί η f δεν είναι συνεχής στο α. Η Β αποκλείεται γιατί η g δεν έχει ετερόσηµες τιµές, το ίδιο και η Ε. Η ∆ γιατί η φ δεν είναι συνεχής σε κάποιο σηµείο. Μένει η σωστή απάντηση Γ (δεν µας ενδιαφέρει αν η h δεν είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο σηµείο). Σηµειώνουµε επίσης ότι το συµπέρασµα του θεωρήµατος ισχύει και στις περιπτώσεις Α και ∆.

14. Εδώ πρέπει να προσέξουµε ότι στην εκφώνηση αναφέρεται η λέξη πάντοτε,

η οποία βέβαια είναι απλώς και µόνο για έµφαση. Στα Μαθηµατικά, όταν λέµε ότι κάτι ισχύει, εννοούµε ότι ισχύει πάντοτε. Έτσι δεν προκύπτει από τα δεδοµένα ότι η f έχει µη αρνητικές τιµές, δεν υπάρχουν δεδοµένα ώστε να ισχύει η Β ή η Γ και η ∆, άρα η σωστή απάντηση είναι η Ε.

174

Page 175: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

31. Το 102004 είναι πολύ µεγάλος αριθµός (πρακτικά + ∞). Άρα η τιµή της f για x = 102004 δηλαδή το f (102004) προσεγγίζει ικανοποιητικά από το

f (x) ∞+→ x

lim41 = 0,25. Έτσι η σωστή απάντηση είναι η ∆.

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 γ 2. 1 γ 2 ε 2 δ 3 β 3 α 4 ε 3. 1 γ 4. 1 α 2 δ 2 β 3 ε 3 ε 4 α 4 δ 5 β 5. 1 β 6. 1 δ 2 ε 2 γ 3 α 3 ε 4 α

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης

1. µ ≤ λ ≤ κ ≤ ξ ≤ ν 2. γ, δ, α, ε, β.

175

Page 176: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης

1. α) 2 β) 0 γ) 2 δ) 3 ε) 1

στ) 2 ζ) 4

2. 1 + 22 (µε διάσπαση του κλάσµατος σε δύο κλάσµατα)

3. - 1 4. Είναι

0 x lim→

01συνx

1xηµxεφx-lim

1)(συνxxσυνx 1-xσυνlim

xσυνx1-συνx

0 x

2

0 x =

+⋅⋅=

+=

→→

5. 0 x

lim→ 2

1συνx11lim

xσυν-1συνx)(1 -2lim

συνx-11-

xηµ2

0 x 20 x 2 =+

=+

=

→→

6. α) 101 β) - 66

176

Page 177: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. Θέτουµε ,1 - x1αx(x) g 2

+= x < - 1, άρα αx + 1 = (x2 - 1) g (x)

άρα (αx + 1) = (x-1x

lim→ -1x

lim→

2 - 1) g (x) ⇒ - α + 1 = 0 ⇒ α = 1.

Άρα θα πρέπει f (x) = +→-1x

lim21- , οπότε

e11+=β

8. 1 + 2 + … + ν = 2

1) (ν ν + = 28 άρα ν = 7

9. 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ ν = 120 ⇒ ν = 5

10. α) Θέτουµε ( ) (x), g 1 - x 1 -2

1)-(x πηµ (x) =+f οπότε lim f (x) = 1 1x →

β) Είναι ( )1-x2

1)-(x πηµ-(x) g 1 - x 1 - (x) f =

άρα

21)-(x π

21)-(x πηµ

2π-(x) g

1 - x1

1-x1 - (x) f=

1x →

άρα lim4π-

1-x1 - (x) f=

11. πλευρικά όρια

177

Page 178: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

12. Η f είναι συνεχής στο x0 = - 1 H g δεν είναι συνεχής στο x0 = - 1 (µε πλευρικά όρια) Η f είναι συνεχής στο x0 = - 1, η g είναι συνεχής στο f (- 1) = 0, άρα η gof είναι συνεχής στο x0 = - 1

13. α) Θέτουµε x - x0 = h β) f (0) = 0 και χρήση του (α)

14. α) Df = (0, e) β) στο 0+ το + ∞, στο e- το - ∞ δ) R γ) µε τον ορισµό

15. Ισχύει ,x(x) fx - ≤≤ άρα f 0 (0) = και f (x) = 0 0x

lim→

18. α) 23 ,

23 , 1, 2

β) 2

0

1

y

xx΄

y = 32

γ) όχι, γιατί το f (x) δεν υπάρχει

0x lim→

19. α) Είναι f (x

0h lim→

0 + h) = f (x0) και f (x0h

lim→

0 - h) = f (x0)

β) δεν ισχύει το αντίστροφο 20. α) + ∞, - ∞, 1, 1 β) 0

178

Page 179: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

21. α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) = (x + 1) ⋅ 2x+1 - 1 και εφαρµόζουµε θεώρηµα Bolzano

β) Θεώρηµα Bolzano στα διαστήµατα [- 1, 0] και [0, 1] 22. f (x) = l + enx x και f (x) = - ∞,

+→ 0 x lim

άρα υπάρχει α < 1, ώστε f (α) < 0 f (1) > 0, θεώρηµα Bolzano στο [α, 1]

23. h (x) = συν2x - x και θεώρηµα Bolzano στο [0, 4π ]

24. α) µία τουλάχιστον φορά σε κάθε ένα από τα διαστήµατα (0, 2), (2, 4), (4, 6), (6, 8)

β) τέσσερις ρίζες 25. α) f (x) = κ2 (x2 - 1) + λ2x (x - 1) + µ2 x (x + 1), x ≠ 0, - 1, 1, θεώρηµα

Bolzano στα [-1, 0] και [0, 1], και η µοναδικότητα προκύπτει από το βαθµό της f (x)

β) Να κάνετε χρήση των τύπων ρ1 + ρ2 και ρ1 ⋅ ρ2, δεδοµένου ότι η f (x) είναι τριώνυµο.

26. Ρ (x) = x (xν - 1) - (x - 1) = (x - 1) Q (x) µε Q (0) = - 1, Q (1) = ν

27. α) Σύνθεση συνεχών β) θεώρηµα Bolzano για την h (x) στο [0, 2α ]

179

Page 180: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

28. β) Βρίσκουµε κάθε φορά το µέσον του διαστήµατος και εφαρµόζουµε το θεώρηµα Bolzano σε κάθε υποδιάστηµα.

29. h (x) = 3 f (x) - f (α) - f (β) - f (2β α + ) και θεώρηµα Bolzano στο [α, β]

30. β) y = 2 ∈ [1, 49 ], x2 = 2 άρα ο x = 2 ∈ (1,

23 ).

Όµοια 3 ∈ (49 , 4) άρα 3 ∈ (

23 , 2).

31. α) Df = [2, 6] α) µε τον ορισµό δ) f (A) = [- 2, 2]

ε) 23 ∈ f (A) και f γνησίως αύξουσα στο [2, 6]

32. α) Για την g (x) = f (x) - x, ισχύει g (α) = f (α) - α ≥ 0 και g (β) ≤ 0

β) Η γραφική παράσταση της f τέµνει την y = x

33. g (x) = - ∞ και g (x) = + ∞ µε g (x) = f (x) + e+→ 0 x

lim∞+→ x

lim x+1 + - 1

και g συνεχής και γνησίως αύξουσα

nxl

35. α) Αν υπάρχει x1 < 3 ώστε f (x1) < 0 τότε άτοπο από το θεώρηµα Bolzano. Οµοίως αν f (x1) > 0 µε 3 < x1 < 7.

180

Page 181: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

36. Έστω f (t), g (t) οι συναρτήσεις που εκφράζουν τη θέση του ορειβάτη κατά την ανάβαση και κατάβαση π.χ. την απόσταση από τα πριόνια. Θεωρήστε την h (x) = f (t) - g (t) στο [6, 12], τότε h (6) = f (6) - g (6) = 0 - 2977, h (12) = f (12) - g (12) = 2917 - 0.

37. α) h (x) = f (x + 21 ) - f (x) x ∈ [0,

21 ]

β) h (x) = f (x + ν1 ) - f (x) x ∈ [0,

ν1 - ν ] και θεώρηµα Bolzano

38. OT ⊥ TM, φέρνουµε ΑΡ ⊥ ΤΜ. Τότε ΑΝ = ΑΡ. (Τα τρίγωνα ΤΝΑ και ΤΡΑ

είναι ίσα).

Άρα ΑΜΑΝ =

ΑΜΑΡ = ηµω, όπου = .

Καθώς το Μ πλησιάζει το Α, η γωνία ω→

∧ω ΤΜΟ

2π ,

άρα A M

lim→ AΜ

AΝ = 2

ωlim

π→

ηµω = 1

39. (ΜΓ∆)(ΜΑΒ) =

2

ΜΕΜΝ

, όπου ΜΝ το ύψος του τριγώνου ΜΑΒ, αλλά, από την

προηγούµενη άσκηση (38), ΕΜΕΝ

→ 1,

άρα ΕΜΕΝ + 1 → 2, άρα

ΕΜΕΝ ΕΜ + → 2, άρα

( )( ) 421MMAB 2

22

==

ΕΜΕΝ

+=

ΜΕΕΝ+Ε

=ΜΓ∆

40. α) - ∞ β) 0 γ) 0 δ) 0 ε) + ∞

181

Page 182: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

41. α) Να διακρίνετε περιπτώσεις για µ < 0 ή µ > 2, 0 < µ < 2, µ = 2, µ = 0

β) για λ = 1, για λ ≠ 1 γ) περιπτώσεις για 0 < α < 1, α < 1, α = 1 δ) για 0 < α < 2, α > 2, α = 2

42. α) 1 β) 0 γ) 0

43. α) (0, + ∞) β) + ∞, + ∞ γ) f (x) - lnx = ln 0,xκx

2

22

>+

αφού 1,xκx

2

22

>+ (f (x) - lnx) = ln1 = 0

ω+→x lim

44. α) f (x) = ηµ5x, g (x) = x

β) f (x) = 1 x

12 +

, g (x) = 20x2 + x + 1 κ.ο.κ.

45. Αν ΑΓ = x, τότε (ΒΓ -ΑΓ) = (∞+→ x

lim∞+→ x

lim 22 c x + - x) = … = 0

ή ∞+→ x

lim =ΑΓΒΓ

∞+→ lim

x 1

xcx 22

=+

47. Αν ΑΒ = α και ΑΜ = x τότε ΒΜ = x - α, x → + ∞

οπότε ∞+→ x

lim =ΒΜΑΜ

∞+→ x lim 1

α-xx

=

182

Page 183: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

48. Πρέπει x > 1. H ευθεία ΑΜ : 2x + y (κ - 1) - 2κ = 0.

Για x = 0, y = 1-κ

2κ και ΕΜΟΝ = 1-κ

κ 2

= Ε (κ)

∞+→κ lim Ε (κ) = + ∞ και Ε (κ) = + ∞

+→κ 1 lim

50. α) (- ∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, + ∞)

f (x) > 0 για x ∈ (- ∞, 0) ∪ (1, + ∞) f (x) < 0 για x ∈ (0, 1)

β) f (x) = 0, f (x) = 0, f (x) = - ∞

f (x) = + ∞, f (x) = + ∞, f (x) = - ∞,

+∞→x lim

-0x lim→

−∞→x lim

→1x lim

+→0x lim

x + −→1lim

21x

lim→

f (x) = - 4

γ) +∞→x

lim(x) f1 = + ∞,

−∞→x lim

(x) f1 = + ∞,

+→0x lim

(x) f1 = 0

-0x lim→ (x) f

1 = 0, +1→x

lim(x) f1 = 0,

−→1x lim

(x) 1

f= 0,

21x

lim→ (x) f

1 = - 41

δ) ο µόνος τύπος που ταιριάζει µε τα όρια που έχουµε βρει είναι ο

1)(xx 1(x) f 4 −

=

ε) g (x) = x (x - 1)

183

Page 184: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

51. α) x = 0 ή x = - 1 β) Πρέπει να γίνει ελάχιστη η g (x) = x2 + (x + 1)2 = 2x2 + 2x + 1. Για

21-

2αβ-x ==

γ) + ∞, + ∞. Η απόσταση ΟΜ γίνεται άπειρη, όταν x → ± ∞ δ) µε συζυγή παράσταση

52. β) f (x) = 8, άρα f (x) < 8 ∞+→ x

lim

γ) Μετά από «αρκετά» χρόνια θα είναι 03x2

12lim =+

, άρα το ποσοστό θα

είναι 8%. 53. α)

t

υ

0

κ

β) κ (1 - e∞+→ t

lim -t) = κ

γ) Σε συνεχή βροχόπτωση µεγάλης διάρκειας η ταχύτητα της σταγόνας είναι περίπου ίση µε κ.

54. α) f (0) = e (2.718 βακτηρίδια)

β) f (t) = f (t) = e-4 t

lim→ +→ 4 t

lim 3 (20.079 περίπου)

γ) f (t) = 0 οπότε t = 9 δ) f (0) = 2.718 f (4) = 20.079. Είναι 2.718 < 18.950 < 20.079,

άρα κάποια στιγµή µεταξύ 0 και 4 ώρες ο αριθµός θα είναι 18.950. Οµοίως στο (4, 9)

184

Page 185: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

55. α) Ρ (t) =

≤<

+++

≤≤

++

10 t 5 , 45 5) -(t 12 5) -(t

5 5) -(t 6

5 t 0 , 25 19t 5 t 6

21

2

21

2

β) P (t) = 3 (χιλιάδες) γ) P (t) = 2 (χιλιάδες)

δ) όχι, δεν είναι στο x

-5 t lim→ +→ 5 t

lim

0 = 5 56. Ν (t) = Μ, άρα µετά από «αρκετό» χρόνο όλοι οι µαθητές θα ακούσουν

την φήµη (Για t = 30 ηµέρες το e∞+→ t

lim

-15 είναι ήδη πολύ µικρό) 57. α)

Αφήγηση Α Β Γ ∆ιάγραµµα Ι ΙΙΙ ΙV

β) Μια απάντηση θα µπορούσε να είναι και η εξής:

Μαθητής ∆ (∆ιάγραµµα II): Ξεκίνησα βιαστικά όταν όµως κατάλαβα ότι έχω µπροστά µου πολύ χρόνο έκοψα ταχύτητα.

Μαθητής Ε (∆ιάγραµµα V): Μόλις βγήκα από το σπίτι πρόσεξα ότι είχα ένα λάστιχο κλαταρισµένο. Το επιδιόρθωσα και ξεκίνησα βιαστικά επιταχύνοντας.

185

Page 186: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

58. α) ∆ιάγραµµα Ι ΙΙ ΙΙΙ Συνάρτηση σ (x) f (x) g (x)

β) Μια απάντηση θα µπορούσε να είναι και η εξής:

∆ιάγραµµα ΙV

0

∆ιάγραµµα V

0

ChCφ

59. Μια τέτοια συνάρτηση θα µπορούσε να είναι η παρακάτω:

2

1

10

–1

–1

186

Page 187: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΣΧΕ∆ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝ ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ΚΕΦΑΛΑ Ι Ο 1 ο )

Page 188: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε

ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων,

ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου

τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

188

Page 189: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

∆ιδακτική Ενότητα: Συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 1ο Α. 1. Για τη συνάρτηση f (x) = lnx, x > 0, ισχύει

f (x⋅y) = f (x) + f (y).

Σ Λ

2. Για τη συνάρτηση f (x) = ex, x ∈ R, ισχύει f (x + y) = f (x) ⋅ f (y).

Σ Λ

3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα x΄x.

Σ Λ

189

Page 190: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Β. 1. Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

διάγραµµα

Α.

y

0x

B.

y

0 x Γ.

y

0 x

∆.

y

0 x

Ε.

y

0 x

190

Page 191: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f (x) = ln (2x - 1) είναι το σύνολο

Α. R Β. (- ∞, 21 ) Γ. [

21 , + ∞)

∆. (21 , + ∞) E. (- ∞,

21 ) ∪ (

21 ,+ ∞)

3. Το πλήθος των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f (x) = x6 + x4 + x2 + 1 µε τον άξονα x΄x είναι Α. 6 B. 5 Γ. 4 ∆. 3 E. 0

4. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 + κx2 + λx - 5. Αν f (1) = 8 και f (- 1) = 4, η τιµή της παράστασης κ + 2λ είναι ίση µε Α. 0 B. 8 Γ. 13 ∆. - 11 E. 11

5. Για τη συνάρτηση f, της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήµα, ισχύει ότι Α. είναι 1 - 1 B. είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞)Γ. αντιστρέφεται ∆. είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ∞)Ε. κανένα από τα προηγούµενα

y

0 x

191

Page 192: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Γ.

1. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 2-x 2 x + . Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της

στήλης Α µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β του πίνακα Ι, συµπληρώνο-ντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. f (2x) 2. 2f (x) 3. f (x2) 4. [f (x)]2

α. 2 - x2 x

2

2 +

β. 2

2

2) -(x 2) (x +

γ. 2-x 2) (x 2 +

δ. 1-x 1 x +

ε. 4-2x 4 2x +

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

192

Page 193: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α στη γραφική της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. f (x) = x2 - 1 2. f (x) = x - 1

3. f (x) =

>+≤

0 x 1, x 0 x 1, -x

4. f (x) = 1 -x

y

x0–1

1

α.

y

x0–1 1

β.

y

x0

1γ.

y

x0

1

1

δ.

y

x0

1

–1

ε.

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

193

Page 194: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. Στην πρώτη σειρά του παρακάτω πίνακα Ι βρίσκονται τέσσερα ποτήρια τα οποία γεµίζουµε µε σταθερή παροχή µε νερό. Στη δεύτερη σειρά υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις του ύψους του νερού σε κάθε δοχείο συναρτήσει του χρόνου. Αντιστοιχίστε στο κάθε ποτήρι το κατάλληλο διάγραµµα συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

1.

2.

3.

4.

α.

β.

γ.

δ.

Πίνακας ΙΙ 1. 2. 3. 4.

194

Page 195: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

∆. 1. Στο διπλανό σχήµα φαίνονται οι

γραφικές παραστάσεις των συναρτή-

σεων f (x) = 21 x και g (x) = ηµx.

Να βρείτε στο ίδιο σχήµα τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συ-νάρτησης h (x) = f (x) + g (x) για x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

y

01 2 3 4 5 6

ΘΕΜΑ 2ο Το εισιτήριο του τρένου που συνδέει δύο πόλεις κοστίζει 0 δρχ. για παιδιά µι-κρότερα των 3 ετών, 2.500 δρχ. για παιδιά από τριών ετών και άνω αλλά µικρότερα των 12 ετών και 6.000 δρχ. για κάθε άτοµο από 12 ετών και άνω. α) Να εκφράσετε την τιµή του εισιτηρίου ως συνάρτηση της ηλικίας. β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση.

2ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

195

Page 196: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

∆ιδακτική Ενότητα: Όρια - Συνέχεια

ΘΕΜΑ 1ο Α.

1. Έστω η συνάρτηση f (x) = xx

- 1.

Ισχύει f (x) = 0 = f (x). +→ 0 x

lim−→ 0 x

lim

Σ Λ

2. Αν για µια συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f (x1) = 1 και f (x2) = 4, τότε υπάρχει x0 ∈ (x1, x2) τέτοιο ώστε f (x0) = e.

Σ Λ

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 µε f (x0) ≠ 0, τότε κοντά στο x0 οι τιµές της f είναι οµόσηµες του f (x0).

Σ Λ

4. Έστω η συνάρτηση f (x) = . Ισχύει ότι η f είναι

συνεχής στο R - 1.

<+

1 x , x- 2

1 x 1, x 2

Σ Λ

196

Page 197: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Β. 1. Αν h (x) ≤ f (x) ≤ g (x) µε x ∈ (0, 2) και h (x) = g (x) = 3, τότε ισχύει

ότι 1 x

lim→ 1 x

lim→

Α. f (x) = 3 x

lim→ 2

3 Β. [f (x) - g (x)] = 3 1 x

lim→

Γ. [h (x) - f (x)] = 3 ∆. f (x) = 3 1 x

lim→ 1 x

lim→

Ε. τίποτα από τα παραπάνω

2. Αν f (x) = 0 και g (x) = + ∞, τότε πάντοτε ισχύει ότι 0 xx

lim→ 0 xx

lim→

Α. [f (x) ⋅ g (x)] = 0 B. [f (x) ⋅ g (x)] = + ∞ 0 xx

lim→ 0 xx

lim→

Γ. για το όριο της συνάρτησης f⋅g στο x0 έχουµε απροσδιόριστη µορφή ∆. [f (x) ⋅ g (x)] > 0 E. [f (x) ⋅ g (x)] < 0

0 xx lim→ 0 xx

lim→

3. Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R η οποία είναι συνεχής και

1 - 1. Τότε η f Α. είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα B. δεν µπορεί να είναι άρτια Γ. είναι πάντοτε περιττή ∆. f (1) = f (- 1) E. είναι σταθερή συνάρτηση

4. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 7 4x

1 x x2

2

+++ . Η τιµή f (102004) προσεγγίζεται µε

ικανοποιητική ακρίβεια από τον αριθµό

Α. 1,4 B. 104 Γ. 0,75 ∆. 0,25 E. 71

Γ.

197

Page 198: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

1. Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ ώστε σε κάθε γραφική παράσταση από τη

στήλη Α του πίνακα Ι να αντιστοιχούν οι σχέσεις που ισχύουν από τη στήλη Β. Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. 2. 3.

x

y

Οx0

f(x0)

x

y

Οx0

x

y

Ο x0

α. f (x) = - ∞ και

−→ 0 xx lim

+→ 0 xx lim f (x) = + ∞

β. f (x) ≠ f (x

0 xx lim→

0)

γ. f (x) = f (x

+→ 0 xx lim 0) ≠ f (x)

−→ 0 xx lim

δ. f (x) = f (x

−→ 0 xx lim 0) ≠ f (x)

+→ 0 xx lim

ε. f (x) = - ∞ και

+→ 0 xx lim

−→ 0 xx lim f (x) = + ∞

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

198

Page 199: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. ∆ίνεται µια συνάρτηση f συνεχής και γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστηµα ∆. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα στοιχείο της στήλης Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

πεδίο ορισµού σύνολο τιµών

1. ∆ = [α, β] 2. ∆ = [α, β) 3. ∆ = (α, β] 4. ∆ = (α, β)

α. ( f (x), f (x))

β x lim→ α x

lim→

β. [f (α), f (x))

β x lim→

γ. ( f (x), f (α)]

β x lim→

δ. [f (β), f (α)] ε. [f (β), f (x))

α x lim→

ζ. ( f (x), f (β)]

α x lim→

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

199

Page 200: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

∆. 1. Αν κ, λ, µ, ν, ξ είναι τα όρια στο x0 = 1 των συναρτήσεων f, g, h, φ, s

αντιστοίχως και ισχύει:

h (x) ≤ g (x) ≤ f (x) ≤ s (x) ≤ φ (x) για κάθε x ∈ (21 , 1) ∪ (1,

23 )

να διατάξετε τους αριθµούς κ, λ, µ, ν, ξ από το µικρότερο (ή ίσο) προς το µεγαλύτερο.

2. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισµένες στο R, συνεχείς και ισχύει: f γνησίως αύξουσα, g γνησίως φθίνουσα και f (2) = g (2). Να διατάξετε σε µία σειρά από τη µικρότερη στη µεγαλύτερη τις παρακάτω διαφορές: α) f (e) - g (e) β) f (π) - g (π) γ) f (0) - g (0) δ) f (2) - g (2) ε) f (3) - g (3)

ΘΕΜΑ 2ο

Α. Να υπολογίσετε το 1 x

lim→ 1 - x

1 -x 1 - x2

2 + .

Β. Να βρείτε το όριο: ∞+→ x

lim1 µx

1 x 1) (µ x2)-(µ 2

3

++++ , αν µ ∈ R.

Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση x3 - 6x2 + 3 = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο

διάστηµα (- 1, 1).

200

Page 201: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 2ο: ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1ο ΜΕΡΟΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 του

πεδίου ορισµού της, αν το 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) fείναι

πραγµατικός αριθµός.

Σ Λ

2. * Αν ισχύει 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

= + ∞ ή - ∞, τότε η f δεν είναι

παραγωγίσιµη στο x0.

Σ Λ

3. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x0 ∈ R, τότε

ισχύει 0 h

lim→ h

)(x f - h) (x f 00 + = 0 h

lim→ h

)(x f - h)- (x f 00 .

Σ Λ

4. * Αν ισχύει -0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

≠ +→ 0 xx

lim0

0

x-x )(x f - (x) f

, τότε η

f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0.

Σ Λ

5. * Αν f (x) = ex, τότε f ΄ (x0) = 0 h

lim→ h

e - e 00 xh x +

.

Σ Λ

6. ** Η συνάρτηση f (x) = x είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της.

Σ Λ

7. * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της Μ (x0, f (x0)).

Σ Λ

8. * H εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της Μ (x0, f (x0)), δεν έχει άλλο κοινό σηµείο µε την Cf.

Σ Λ

9. * Αν µια ευθεία (ε) έχει µε τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης µόνο ένα κοινό σηµείο, τότε είναι οπωσδήποτε εφαπτοµένη της.

Σ Λ

201

Page 202: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10. * Μια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το [α, β] µπορεί να έχει κατακόρυφη εφαπτοµένη µόνο σε άκρο του πεδίου ορισµού της.

Σ Λ 11. * Αν η f είναι συνεχής στο x0, τότε η ευθεία x = x0 είναι

κατακόρυφη εφαπτοµένη της Cf.

Σ Λ 12. * Αν µια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0, τότε η

γραφική της παράσταση µπορεί να δέχεται µόνο κατακόρυφη εφαπτοµένη.

Σ Λ 13. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα ∆ µε

f ΄ (x) ≠ 0, για κάθε x ∈ ∆. Τότε η γραφική της παράσταση δεν δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη.

Σ Λ 14. * Για µια συνάρτηση f ισχύει f ΄ (x) = (x - 2)2 ex. Τότε η Cf

στο σηµείο (2, f (2)) δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη.

Σ Λ

15. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f δίνεται στο σχήµα. Η παράγωγος της f στο x0 = 2 είναι ίση µε 1.

2

y

0

2

Cf

x

Σ Λ

16. ** Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήµα, έχει εφαπτοµένη στο (x0, f (x0)).

x0

y

0 x

f(x )0

Cf

Σ Λ

17. ** Οι εφαπτοµένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f (x) = x2, g (x) = x2 + 3, h (x) = x2 - 20 στα σηµεία τοµής τους µε την ευθεία x = x0, είναι παράλληλες.

Σ Λ

202

Page 203: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

18. * Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα, έχει παράγωγο στο x0 = 0.

y

0 x

f(x)=1x

Σ Λ

19. * Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο της, συµπίπτει µε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Σ Λ 20. ** Η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f (x) = αx + β, σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού της, συµπίπτει µε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Σ Λ 21. * Αν δυο συναρτήσεις τέµνονται, τότε στο κοινό τους

σηµείο δέχονται κοινή εφαπτοµένη.

Σ Λ 22. ** Η ευθεία στο σχήµα (ε)

είναι εφαπτοµένη της Cf. Ισχύει f ΄ (2) = 1.

y

0 x

Cf (ε)

2

2

Σ Λ

23. * α) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x0, τότε θα είναι συνεχής στο x0.

β) Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0, τότε θα είναι παραγωγίσιµη στο x0.

γ) Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x0, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0.

δ) Αν µια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0, τότε δεν είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

203

Page 204: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

24. * Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x0, τότε η f ΄ είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

25. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 2, τότε [f (2)] ΄ = f ΄ (2).

Σ Λ

26. * Η συνάρτηση f (x) = αx, α > 0, είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει (αx)΄ = xαx-1.

Σ Λ

27. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, τότε ισχύει (f (f (x)))΄ = (f ΄ (x))2.

Σ Λ

28. * Αν το άθροισµα f + g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση στο x0, τότε και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο x0.

Σ Λ 29. * Αν η συνάρτηση f (g (x)) είναι παραγωγίσιµη, τότε οι

συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες.

Σ Λ

30. * Ισχύει dxdc = 0, όπου c σταθερά και x

0 xx = 0 ∈ R.

Σ Λ

31. ** Για µια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R ισχύει α) αν η f είναι άρτια, τότε η f ΄ είναι περιττή β) αν η f είναι περιττή, τότε η f ΄ είναι άρτια γ) αν η f είναι περιοδική, τότε η f ΄ είναι περιοδική µε την

ίδια περίοδο.

Σ Λ Σ Λ

Σ Λ

32. * Αν η συνάρτηση f είναι πολυωνυµική ν-οστού βαθµού, τότε η συνάρτηση f ΄ είναι επίσης πολυωνυµική ν-1 βαθµού.

Σ Λ

33. * Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες στο R. Σ Λ 34. * Σε κάθε χρονική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της

ταχύτητας ενός κινητού είναι η επιτάχυνση αυτού.

Σ Λ 35. * Αν f (x) = x4, τότε υπάρχουν σηµεία της Cf µε παράλληλες

εφαπτοµένες.

Σ Λ 36. * Αν y = αx + β, τότε ο ρυθµός µεταβολής των τιµών του y

εξαρτάται από τις τιµές της µεταβλητής x.

Σ Λ 37. * Αν f ΄ (x) = 3x2, τότε ισχύει πάντα f (x) = x3. Σ Λ

204

Page 205: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

38. ** Στο σχήµα η γραφική παράσταση της g προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της Cf. Ισχύει f ΄ (x) = g ΄ (x), για κάθε x στο κοινό πεδίο ορισµού τους.

y

0 x

cf

cg

y

0 x

cf

cg

Σ Λ

39. * Έστω f (x) = - x. Οι

γραφικές παραστάσεις των f και f ΄ είναι αυτές που φαίνονται στο σχήµα.

y

0 x

c ΄f

1

cf

-1

Σ Λ

40. * Αν η γραφική παράσταση

της g προκύπτει από την Cf µε κατακόρυφη µετατόπιση και ισχύει f ΄ (α) = 2, τότε θα είναι και g ΄ (α) = 2.

Cg

y

0 x

Cf

α

Σ Λ

205

Page 206: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x0 την

ευθεία y = αx + β, µε α ≠ 0, όταν

Α. 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

= α ∈ R

Β. η f είναι συνεχής στο x0 Γ. η f δεν είναι συνεχής στο x0

∆. το όριο 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

είναι + ∞

Ε. το όριο 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

είναι - ∞

2. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη

στο Α (x0, f (x0)), όταν Α. η f είναι συνεχής στο x0 Β. το x0 είναι άκρο του πεδίου ορισµού της f

Γ. 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

≠ 0

∆. είναι f ΄ (x0) = 0

Ε. 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

= + ∞ ή - ∞

3. * Αν 0 x

lim→ x

(0) f - (x) f = 2, τότε

Α. η f δεν ορίζεται στο x0 = 0 Β. f ΄ (0) = 2 Γ. f ΄ (2) = 0 ∆. η f δεν είναι συνεχής στο x0 = 0 Ε. δεν ισχύει κανένα από τα παραπάνω

4. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f (x) = - x3 + 5 στο σηµείο Α (1, 4) είναι Α. 5 Β. - 5 Γ. - 3 ∆. 3 Ε. 2

206

Page 207: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x0, τότε Α. το f (x) = f (x

0 xx lim→

0)

Β. το 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

δεν υπάρχει

Γ. το 0 h

lim→ h

)(x f - h) (x f 00 + είναι + ∞ ή - ∞

∆. τα όρια -0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

και +→ 0 xx

lim0

0

x-x )(x f - (x) f

είναι άνισα

E. το f (x) είναι + ∞ ή - ∞ 0 xx

lim→

6. * Η συνάρτηση f (x) = x , x ∈ [0, + ∞) είναι παραγωγίσιµη Α. στο πεδίο ορισµού της Β. στο x0 = 0 Γ. στο (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞) ∆. στο (0, + ∞) Ε. σε κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της

7. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο x0 µε f ΄ (x0) = 0, τότε η γραφική της παράσταση στο σηµείο Α (x0, f (x0)) δέχεται Α. κατακόρυφη εφαπτοµένη B. καµία εφαπτοµένη Γ. οριζόντια εφαπτοµένη ∆. εφαπτοµένη της µορφής y = αx + β, α ≠ 0 E. εφαπτοµένη µε συντελεστή διεύθυνσης λ = 1

8. * Η γραφική παράσταση Cf µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε λάθος είναι ότι Α. η f είναι παραγωγίσιµη στο x1 Β. η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x2

Γ. η Cf δέχεται εφαπτοµένη στο x3 ∆. η f είναι παραγωγίσιµη στο x4

Ε. η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x5

y

0 xx1 x3 x4x2 x5

207

Page 208: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

9. ** Η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f (x) = ηµx, x ∈ [0, π] και της ευθείας (ε) µε συντελεστή διεύθυνσης

λ = 21 , φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το

σηµείο Α (x0, f (x0)) στο οποίο η εφαπτοµένη της Cf είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) έχει τετµηµένη

y

0 xx0 π

(ε)

Cf

Α

Α. 6π Β.

4π Γ.

3π ∆.

2π Ε.

43π

10. ** Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2 και οι εφαπτοµένες στα σηµεία της µε τετµηµένες 1 και x1. Αν οι εφαπτοµένες αυτές είναι κάθετες, τότε το x1 είναι

y

-1

x

Cf

x1 0 1

38

12

Α. -21 Β. -

41 Γ. -

31 ∆. -

23 Ε. - 1

11. ** Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x) = lnx στο σηµείο (x0, f (x0)) είναι κάθετη στην

ευθεία y = -23 x - 2. Το x0 είναι

Α. 4

5 Β.

23 Γ. 2

y

0 xx0

Cf

32

208

Page 209: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

∆. 25 Ε. 3

12. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η εξίσωση f ΄ (x) = 0 έχει λύση την Α. x = 0 Β. x = 1 Γ. x = 2 ∆. x = 4 Ε. καµία από τις παραπάνω

1 x0

y

2 4

13. * Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R και ισχύει f ΄ (x0) = g ΄ (x0) για κάποιο x0 ∈ R. Τότε Α. f (x0) = g (x0) Β. x0 ≠ 0 Γ. οι εφαπτοµένες των Cf, Cg στα (x0, f (x0)) και (x0, g (x0)) αντίστοιχα, είναι

παράλληλες ∆. f ΄΄ (x0) = g ΄΄ (x0) Ε. f ΄ (x) = g ΄ (x), για κάθε x ∈ R.

14. * Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f ΄ (x0) = 2. Η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της Cf στο (x0, f (x0)) µε τον άξονα x΄x είναι περίπου Α. - 64° Β. 27,3° Γ. 63,4° ∆. 89° Ε. 106,4°

209

Page 210: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

15. * ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα.

y

x0

Cf

y

x0

Cg

y

x0

Ch

Στο σηµείο x0 = 0 δεν είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση Α. f B. g Γ. h ∆. όλες E. καµία

16. ** Για τη συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

= + ∞. Από

τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή η Α. Η Cf έχει κατακόρυφη εφαπτοµένη στο (x0, f (x0)) την ευθεία x = x0

B. 0 h

lim→ h

)(x f - h) (x f 00 + = + ∞

Γ. H f είναι παραγωγίσιµη στο x0 ∆. ∆εν ορίζεται η f ΄ (x0) E. f (x) = f (x

0 xx lim→

0)

210

Page 211: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. ** O τύπος (fog)΄ (x0) = f ΄ (g (x0)) g ΄ (x0) ισχύει, όταν Α. οι f και g είναι παραγωγίσιµες στο x0 B. η g είναι παραγωγίσιµη στο x0 και η f παραγωγίσιµη στο g (x0) Γ. η f είναι παραγωγίσιµη στο x0 και η g παραγωγίσιµη στο f (x0) ∆. οι f και g είναι παραγωγίσιµες στο g (x0) E. οι f και g είναι συνεχείς στο g (x0)

18. * Από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει παράγωγο την συνάρτηση

f (x) = - 3ηµ3x η Α. g (x) = συν3x Β. h (x) = συνx3

Γ. φ (x) = 3συνx ∆. s (x) = συν3x Ε. σ (x) = συν 3x

19. * Από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει παράγωγο την συνάρτηση

f (x) = αxlnα, α > 0, x ∈ R, η Α. xα Β. logαx Γ. eαlnx ∆. logxα Ε. αx

20. * Για τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις f, g στο διάστηµα [0, π] ισχύει

g (x) = f (ηµx). Η τιµή g΄ (2π ) είναι ίση µε

Α. 1 Β. f ΄ (1) Γ. 0 ∆. f ΄ (2π ) Ε.

2π f ΄ (

2π )

21. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 4x3 + 5x2 + 6x - 1. Η 5η παράγωγος της f είναι

Α. - 1 Β. 4 Γ. x ∆. 0 Ε. 24

22. * Αν f (x) = e2x, τότε η f (ν) (x) θα ισούται µε Α. e2x Β. eνx Γ. (e2x)ν ∆. 2νe2x Ε. νe2x

211

Page 212: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

23. ** Ένα σφαιρικό µπαλόνι φουσκώνει µε σταθερή παροχή αέρα. Τότε η ακτίνα του R συναρτήσει του χρόνου µπορεί να δίνεται από τη γραφική παράσταση

Α.

R(t)

t0

B.

0 t

R(t)

Γ.

0 t

R(t)

∆.

0 t

R(t)

Ε.

0 t

R(t)

212

Page 213: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

24. * Στο σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγωγίσιµης συνάρτησης

f (x) = .

>+

≤++

0 x 1, x

0 x 1, x x 2

Η εφαπτοµένη της στο σηµείο (0, 1) είναι η ευθεία

y

-1/2 x

1

0

Α. y = - x + 1 Β. y = x + 1 Γ. y = 1 ∆. x = 0 Ε. καµία από τις παραπάνω

25. * Οι συναρτήσεις f, g είναι δυο φορές παραγωγίσιµες στο κοινό πεδίο ορισµού τους R. Για να έχουν κοινή εφαπτοµένη στο Α (1, 2), από τις παρακάτω συνθήκες: Ι. f ΄ (1) = g ΄ (1) ΙΙ. f (1) = g (1) ΙΙΙ. f, g συνεχείς στο x0 = 1 ΙV. f ΄΄ (1) = g ΄΄ (1) απαραίτητες είναι Α. µόνο η Ι Β. µόνο η ΙΙ Γ. οι Ι και ΙΙ ∆. οι ΙΙ και IV E. όλες

213

Page 214: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. ** Να αντιστοιχίσετε µία ή περισσότερες από τις γραφικές παραστάσεις που φαίνονται στη στήλη Α του πίνακα Ι µε την εφαπτοµένη τους (αν υπάρχει) στο σηµείο (0, 0) που η εξίσωσή της γράφεται στη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. 2. 3. 4. 5.

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

α. y = 0 β. δεν υπάρχει γ. x = 0

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4 5

214

Page 215: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * H στήλη Α περιέχει γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και τις εφαπτοµένες τους στο σηµείο µε τετµηµένη x0 = 1. Σε κάθε σχήµα της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχίσετε τη σχέση της στήλης Β, η οποία ερµηνεύει αλγεβρικά στο συγκεκριµένο σχήµα, τη θέση της εφαπτοµένης, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

4.

x

y

0 1

εcf

y

0 x1ε

cf

x

y

0 1

ε

cf

x

y

0 1

εcf

α. f ΄ (1) = 0

β. ∞→ x

lim1-x

(1) f - (x) f = 0

γ. f ΄ (1) > 0

δ. 0 h

lim→ h

(1) f - h) (1 f + = + ∞

ε. f ΄ (1) < 0 ζ. f ΄ (1) > f ΄ (0)

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

215

Page 216: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Όλες οι συναρτήσεις της στήλης Α του πίνακα Ι διέρχονται από το (1, 0). Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης αυτής µε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της στο σηµείο αυτό που υπάρχουν στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. f (x) = x2 - 1

2. g (x) = - e10

e5x

+ e10

e5

3. h (x) = ln2x - ln2

4. φ (x) = x1 - 1

5. s (x) = 3x - 3

α. - 2e- 4

β. 23

γ. 1

δ. 3

ε. - 2e ζ. 2 η. - 1

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4 5

216

Page 217: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Σε κάθε σύµβολο της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχίσετε το σύµβολο από τη στήλη Β που έχει την ίδια σηµασία, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β

1. dtdf

⋅dxdt

2. 2

2

dxfd

3. dxdf 2

4. 2

dxdf

α. 2 f (x) ⋅ f ΄ (x) β. f ΄ (x)

γ. f 2 (x) ⋅ f ΄ (x)

δ. f ΄΄ (x)

ε. (f ΄ (x))2

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

217

Page 218: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Στη στήλη Α δίνονται οι γραφικές παραστάσεις παραγώγων συναρτήσεων f ΄. Στη στήλη Β δίνονται οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων f. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση f ΄ της στήλης Α τη γραφική παράσταση από τη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

γραφικές παραστάσεις f ΄ γραφικές παραστάσεις f 1. 2. 3.

x

y

0

f΄(x)=αα

x

y

0

f΄(x)=x2

x

y

0

f΄(x)= 1x

α. β. γ. δ.

x

y

0

y

0 x

x

y

0

f(x)= x3

3

x

y

0

f (x) = x

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

218

Page 219: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης που φαίνεται στη στήλη Α του πίνακα Ι µε τη γραφική παράσταση της παραγώγου της που φαίνεται στη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

γραφικές παραστάσεις f γραφικές παραστάσεις f ΄ 1. 2. 3. 4.

x

y

0

x

y

0

y= ex151/5

x

y

0

y=x3

x

y

0

y= 1x

α. β. γ. δ. ε. στ.

x

y

0

1/5

y

0 x1-1

3

y

0 x1

2

x

y

0

x

y

0

x

y

01

-1

Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4

219

Page 220: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. * Με βάση το σχήµα να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

τετµηµένη σηµείου x1 x2 x3 4 x4 παράγωγος της f

220

Page 221: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

γραφική παράσταση f γραφική παράσταση f ΄

1. x

y

0

1.

2. x

y

0 2

2.

3. x

y

0

y=x3

3.

4. x

y

0

1

4.

5. x

y

0

y=-ln3

5.

221

Page 222: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Συνάρτηση f (x) Πηλίκο h

(x) f - h) (x f + Όριο πηλίκου στο h → 0

f (x) = x

f (x) = x3

f (x) = x1 , x ≠ 0

f (x) = x , x > 0

f (x) = x

1 , x > 0

222

Page 223: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

223

Ερωτήσεις διάταξης

1. * Να διατάξετε τις κλίσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο σηµείο τους µε τετµηµένη x0 = 1.

α) f (x) = x3 β) g (x) = x2

γ) h (x) = 21 x δ) φ (x) = 5 ε) σ (x) = lnx

2. * Να διατάξετε από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο τους συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτοµένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων, στα αντίστοιχα σηµεία τους.

α) f (x) = - 5x + 4 στο σηµείο (1, - 1) β) g (x) = 2x στο σηµείο (0, 1)

γ) h (x) = x- στο σηµείο (- 4, 2)

δ) φ (x) = συν22x στο σηµείο (2π , 1)

ε) σ (x) = log2x στο σηµείο (1, 0)

3. * Τέσσερα κινητά κινούνται στον ίδιο άξονα και οι θέσεις τους σε κάθε

χρονική στιγµή t δίνονται από τους τύπους s1 (t) = 21 t2, s2 (t) = 3ηµ

2πt ,

s3 (t) = 2t3 - t2, s4 (t) = tlnt. Να διατάξετε τις ταχύτητες των κινητών από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη τη χρονική στιγµή t = 2.

4. * Στο διπλανό σχήµα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τεσσάρων συναρτήσεων f, g, h και φ. Να διατάξετε τους συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτοµένων τους στο σηµείο µε τετµηµένη x0 = 1, κατά αύξουσα σειρά. x

y

0

x´ 1

CgCfCh

1

Page 224: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια -0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

και +→ 0 xx

lim0

0

x-x )(x f - (x) f

είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x0.

β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

στο σηµείο x

<+

1 x αν 1) -(x

1 x αν 1 x -

2

0 = 1 εφαρµόζοντας το προηγούµενο συµπέρασµα.

2. ** Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιµες στο x0 ∈ (α, β) µε f ΄ (x0) = g΄ (x0) και f (x0) = g (x0). Αν ισχύει f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) για x ∈ (α, β), να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιµη στο x0 και µάλιστα ισχύει h ΄ (x0) = f ΄ (x0).

3. ** Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 1, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη

στο 1 και ισχύει f (x) = |x - 1| ⋅ g (x), x ∈ R. Να βρεθεί η τιµή g (1). 4. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = |x - 3| + x + 2. Να εξετάσετε αν η f είναι

παραγωγίσιµη α) στο σηµείο x0 = 3 και β) στο σηµείο x0 = 4.

5. ** Η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης

f (x) = x2 - |x| + 1 φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο

x0 = 0. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f ΄.

x

y

0

134

12

12

224

Page 225: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. ** Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στα

σηµεία µε τετµηµένες - 1, 1, 23 .

β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f ΄.

7. ** Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f (x) = x2 - x + 1 (εφόσον υπάρχει), σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3. β) σχηµατίζει γωνία 45° µε τον άξονα x΄x. γ) είναι παράλληλη στην ευθεία y = x + 4.

δ) είναι κάθετη στην ευθεία y = - 21 x + 3.

ε) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. στ) είναι παράλληλη στον άξονα y΄y. ζ) άγεται από το σηµείο (- 1, 0).

8. ** Να βρείτε την εφαπτοµένη (αν υπάρχει) των γραφικών παραστάσεων των

παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο σηµείο: α) f (x) = lnx στο (1, 0) β) f (x) = |2 - x| στο (2, 0)

γ) f (x) = 3x στο (0, 0)

δ) f (x) = 3 2x στο (0, 0)

ε) f (x) = x x στο (0, 0)

στ) f (x) = 2 -x 1 2x + στο (- 2,

43 )

225

Page 226: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

9. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του

διπλανού σχήµατος.

y

x05 22

45°

10. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = αx3 + βx2 + γx + δ, α ≠ 0. Να βρείτε τη

συνθήκη για τα α, β, γ ∈ R, ώστε η Cf να µην έχει σε κανένα της σηµείο οριζόντια εφαπτοµένη.

11. ** α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2 - 6x + 8,

να φέρετε τις εφαπτόµενες ε1, ε2 της Cf στα σηµεία τοµής της Cf µε τον x΄x και να δικαιολογήσετε από το σχήµα γιατί οι εφαπτόµενες τέµνονται πάνω στην ευθεία x = 3. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτοµένες της παραβολής y = αx2 + βx + γ, α ≠ 0

µε ∆ > 0, στα σηµεία τοµής της µε τον άξονα x΄x τέµνονται στον άξονα

συµµετρίας της παραβολής (x = - 2αβ ).

Σηµείωση: Με βάση την κεντρική ιδέα αυτής της άσκησης (συµµετρία) έχουµε τη δυνατότητα να κατασκευάσουµε όµοιες ασκήσεις που αναφέρονται, για παράδειγµα, σε άρτιες παραγωγίσιµες συναρτήσεις.

12. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x(αx)ln µε α > 0 και x > 0.

α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο (x0, f (x0)). β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόµενες στο σηµείο (x0, f (x0)),

καθώς µεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σηµείο.

226

Page 227: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

13. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = (x - 1)2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης, σε οποιοδήποτε σηµείο της, δεν έχει µε αυτήν άλλο κοινό σηµείο. Σηµείωση: Η παραπάνω άσκηση θα µπορούσε να γενικευθεί για οποιοδήποτε

τριώνυµο. 14. ** Για την παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει η σχέση:

f (2 + x) - f (2 - x) = - 2x για κάθε x ∈ R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης στο σηµείο (2, f (2)) είναι κάθετη στην ευθεία y = x.

15. ** α) Έστω δύο συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το R. Να γράψετε τις

συνθήκες ώστε η Cf και η Cg στο κοινό τους σηµείο µε τετµηµένη x = x0 να δέχονται κοινή εφαπτοµένη.

β) ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = 31 x3 - x2 + 1 και g (x) = x2 - 3x + 1. Να

αποδείξετε ότι οι Cf, Cg δέχονται κοινή εφαπτοµένη σε ένα σηµείο, του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγµένες.

16. ** Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη

στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο (0, f (0)). Μετακινούµε τη Cf παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε g τη συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί στη Cg. α) Να βρείτε µια σχέση η οποία να

συνδέει τις συναρτήσεις f και g. β) Με βάση την προηγούµενη σχέση να δείξετε ότι g ΄ (x0) = f ΄ (x0 - 4) για

κάθε x0 ∈ R. γ) Να βρείτε την g ΄ (4).

227

Page 228: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει f (lnx) = x⋅lnx - x, x > 0. α) Να αποδείξετε ότι η Cf΄ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο µε τετµηµένη 0. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηµατίζεται από την

εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο της µε τετµηµένη x0 = 1 και τους άξονες x΄x και y΄y.

18. ** Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f (x) = x , οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α (0, 1).

19. ** Να δείξετε ότι: α) αν f (x) = 3συνx - 2συν2x, τότε f ΄ (x) + f (x) εφx - ηµ2x = 0.

β) αν f (x) = ln x 1

1+

, τότε x f ΄ (x) + 1 = ef (x).

20. ** Αν f είναι µια πολυωνυµική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f ΄ (4) = 0 και (f ΄ (x))2 = f (x) για κάθε x ∈ R, α) να βρεθεί ο τύπος της f. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf που είναι παράλληλη στην

ευθεία y = - x + 1.

21. ** Μια δύναµη εφαρµόζεται σε κινητό που κινείται σε άξονα και του οποίου η απόσταση από την αρχή Ο τη χρονική στιγµή t δίνεται από τη συνάρτηση S (t) = ln (t + 1), t > 0 (όπου t ο χρόνος σε sec). α) Να δείξετε ότι το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεµίας όταν

εφαρµόστηκε η δύναµη. β) Να δείξετε ότι η κίνηση είναι επιβραδυνόµενη. γ) Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας και της επιβράδυνσης του κινητού, 3

sec µετά την εφαρµογή της δύναµης.

228

Page 229: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

22. ** Θεωρούµε µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: f (x + y) = ex⋅f (y) + ey⋅f (x) + xy + α για κάθε x, y ∈ R. α) Να δείξετε ότι f (0) = - α. β) Να δείξετε ότι η Cf περνά από την αρχή των αξόνων.

γ) Να δείξετε ότι f ΄ (x0) = f (x0) + f ΄ (0) e + x0x0, για κάθε x0 ∈ R.

23. ** Μια συνάρτηση είναι περιττή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. Να

δείξετε ότι: α) η γραφική της παράσταση διέρχεται από το (0, 0). β) f ΄΄ (0) = 0.

24. ** Γνωρίζουµε ότι για x ≠ 1 ισχύει: 1-x

1 - x 1ν+

= 1 + x + x2 + … + xν.

α) Να υπολογίσετε το άθροισµα: 1 + 2x + 3x2 + … + ν⋅xν-1, x ≠ 1.

β) Να υπολογίσετε το άθροισµα: 2 + 43 +

84 +

165 + … + 192

20 .

25. ** Εξηγήστε γιατί η παρακάτω διαδικασία οδηγεί σε άτοπο

x4 = x⋅x3 = , άρα (x444444 21οιx προσθετέ

3333 x ... x x x ++++

444 3444 2φορέςx

22 3x ... 3x +++

34)΄ =

δηλαδή

4x

΄

+++ 44 344 21

φορέςx

333 x ... x x ,

3 = , άρα 4x12 3x 3 = 3x3, εποµένως 4 = 3 !!!

229

Page 230: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

230

Page 231: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Page 232: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

232

Page 233: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 2ο: ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1ο ΜΕΡΟΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Σ 16. Λ 28. Λ 2. Σ 17. Σ 29. Λ 3. Λ 18. Λ 30. Σ 4. Σ 19. Σ 31. α) Σ 5. Σ 20. Σ β) Σ 6. Λ 21. Λ γ) Σ 7. Λ 22. Σ 32. Σ 8. Λ 23. α) Σ 33. Σ 9. Λ β) Λ 34. Σ

10. Λ γ) Σ 35. Λ 11. Λ δ) Λ 36. Λ 12. Σ 24. Λ 37. Λ 13. Σ 25. Λ 38. Σ 14. Σ 26. Λ 39. Σ 15. Σ 27. Λ 40. Σ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Α 9. Γ 17. Β 2. ∆ 10. Β 18. ∆ 3. Β 11. Β 19. Ε 4. Γ 12. Β 20. Γ 5. Α 13. Γ 21. ∆ 6. ∆ 14. Γ 22. ∆ 7. Γ 15. Β 23. Γ 8. ∆ 16. Γ 24. Β 25 Γ

233

Page 234: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Μερικές ενδεικτικές λύσεις

17. Ο µαθητής συνήθως ξέρει ότι αν f και g παραγωγίσιµες, τότε και fog παραγωγίσιµη. Η ερώτηση έχει στόχο την επισήµανση ότι για να είναι η fog είναι παραγωγίσιµη στο x0, θα πρέπει η g να είναι παραγωγίσιµη στο x0 και η f παραγωγίσιµη στο g (x0), δηλαδή σε διαφορετικά σηµεία. Έτσι σωστή απάντηση είναι η Β. Θα µπορούσε να προηγηθεί το εξής παράδειγµα:

∆ίνονται οι συναρτήσεις: f (x) = , g (x) = 3x + 4.

≥+

x ,x

1 x 1, x 2

Να εξεταστεί η παραγωγισιµότητα των g, f και fog στο σηµείο x0 = 1. Έχουµε g παραγωγίσιµη στο x0 = 1 και f όχι παραγωγίσιµη στο x0 = 1. Όµως fog παραγωγίσιµη στο x0 = 1, αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο g (1) = 7.

24. Εδώ θέλουµε να δείξουµε ότι µπορεί µια συνάρτηση να έχει εφαπτοµένη σ’ ένα σηµείο, στο οποίο αλλάζει τύπο. Η σωστή απάντηση είναι η Β, γιατί η εφαπτοµένη θα πρέπει να έχει συντελεστή διεύθυνσης f ΄ (0) = 1. Καµία άλλη ευθεία από τις δοσµένες δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης 1.

234

Page 235: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 α 2. 1 γ 2 γ 2 ε 3 β 3 α 4 γ 4 δ 5 β 3. 1 ζ 4. 1 β 2 α 2 δ 3 γ 3 α 4 η 4 ε 5 β 5. 1 β 6. 1 γ 2 γ 2 α 3 α 3 β 4 στ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης

1. φ΄ (1) < h΄ (1) < σ΄ (1) < g΄ (1) < f ΄ (1)

2. f ΄ (1) < h΄ (4) < φ΄ (2π ) < σ΄ (1) < g΄ (0)

3. υ2 < υ1 < υ4 < υ3 4. λh < λφ < λf < λg

235

Page 236: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης 1. α) Αν τα δύο όρια είναι ίσα τότε η f είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο

x0. Αν τα όρια είναι άνισα θέτουµε g (x) = 0

0

x-x )(x f - (x) f

, x < x0, και

h (x) = 0

0

x-x )(x f - (x) f

, x > x0.

Τότε [f (x) - f (x−→ 0 xx

lim 0)] = (x - x−→ 0 xx

lim 0) g (x) = 0

Οµοίως [f (x) - f (x+→ 0 xx

lim 0)] = 0, άρα η f είναι συνεχής στο x0.

β) −→1 x

lim1 -x

(1) f - (x) f = - 1 και +→1 x

lim1-x

(1) f - (x) f = 0, άρα η f είναι συνεχής

στο x0 = 1. Σχόλιο: Προφανώς το ερώτηµα (β) µπορεί να αντιµετωπισθεί µε πολύ απλούστερο

τρόπο, ο σκοπός του όµως είναι να αποτελέσει εφαρµογή της πρότασης του (α) ερωτήµατος.

2. Για x = x0 έχουµε f (x0) ≤ h (x0) ≤ g (x0) και αφού f (x0) = g (x0), άρα

h (x0) = f (x0) = g (x0). Ισχύει f (x) - f (x0) ≤ h (x) - h (x0) ≤ g (x) - g (x0),

οπότε για x > x0 0

0

x-x )(x f - (x) f

≤ 0

0

x-x )(xh - (x)h

≤ 0

0

x-x )(x g - (x) g

και από το

κριτήριο παρεµβολής προκύπτει ότι τα όρια αριστερά και δεξιά του x0 της

0

0

x-x )(xh - (x)h

συµπίπτουν, άρα h ΄ (x0) = f ΄ (x0) = g ΄ (x0). Όµοια

εργαζόµαστε για x < x0.

236

Page 237: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. Η g είναι συνεχής στο 1, άρα g (x) = g (1). Η f είναι παραγωγίσιµη στο

1, άρα:

1 x lim→

+→1 x lim

1 -x (x) f =

−→1 x lim

1-(x)

x f , αφού f (1) = 0. Το πρώτο όριο δίνει g (1)

ενώ το δεύτερο - g (1), άρα g (1) = - g (1), δηλαδή g (1) = 0

4. f (x) =

>

3 x 5

3 x 1 -2x

α) όχι β) ναι

5. α) −→ 0 x

limx

(0) f - (x) f ≠ +→ 0 x

limx

(0) f - (x) f , άρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο

0. Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε και από τη γραφική παράσταση η οποία στο σηµείο (0, 1) παρουσιάζει γωνιακό σηµείο.

β) f ΄ (x) =

>

<+

0 x αν1 -2x

0 x αν 1 2x

x

y

0x΄

1

-1

- 12

12

Cf ΄

237

Page 238: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. α) f (x) =

≤≤+

≤≤

<≤+

2 x 11 2x

1 x 1 -3

1 - x 2 -1 2x -

Στα x1 = - 1, x2 = 1 η f δεν είναι παραγωγίσιµη, ενώ στο x3 = 23 είναι

παραγωγίσιµη.

β)

x

y

0x΄

2

Cf ΄

1

-1-2

7. Αν (x0, f (x0)) το σηµείο επαφής, τότε:

α) f ΄ (x0) = 3 β) f ΄ (x0) = εφ 45° γ) f ΄ (x0) = 1 δ) f ΄ (x0) = 2

ε) f ΄ (x0) = 0 στ) 0 xx

lim→ 0

0

x-x )(x f - (x) f

= ± ∞ (που είναι αδύνατο)

ζ) Στην ευθεία y - (x - x20 0 + 1) = (2x0 - 1) (x - x0) ανήκει το σηµείο (- 1, 0).

Σε καθεµιά από τις παραπάνω περιπτώσεις υπολογίζουµε το x0 (αν υπάρχει).

8. α) y = x - 1 β) δεν υπάρχει γ) x΄x δ) y΄y

ε) x΄x στ) y - 41 = -

165 (x + 2)

238

Page 239: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

9. Το άνω ηµικύκλιο είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) = 22 x- ρ όπου ρ η ζητούµενη ακτίνα και - ρ ≤ x ≤ ρ.

Ισχύει f ΄ (-25 2 ) = εφ 45° = 1 µε f ΄ (x) =

22 x- ρ 2

2x - , άρα ρ = 5.

Άρα η εξίσωση του κύκλου θα είναι: x2 + y2 = 25.

10. Θα πρέπει f ΄ (x) ≠ 0 για κάθε x ∈ R. Άρα 3αx + 2βx + γ ≠ 0, δηλαδή ∆ < 0 ⇔ β2 < 3αγ.

11. α) Ο άξονας συµµετρίας της Cf είναι η ευθεία x = - 2αβ = 3 και οι εικόνες

των ριζών ρ1, ρ2 είναι συµµετρικές ως προς αυτή την ευθεία, αφού ρ1 = 2 και ρ2 = 4.

β) Έστω ρ1, ρ2 οι ρίζες του τριωνύµου. Τότε η f (x) = α (x - ρ1) (x - ρ2) έχει f ΄ (x) = α (x - ρ1) + α (x - ρ2), οπότε f ΄ (ρ1) = α (ρ1 - ρ2), f΄ (ρ2) = α (ρ2 - ρ1). Οι εφαπτόµενες στα σηµεία τοµής µε τον y΄y είναι:

(ε1) y = α (ρ2 - ρ1) (x - ρ1) και (ε2) y = α (ρ2 - ρ1) (x - ρ2) για x = - 2αβ

(επειδή - 2αβ =

2ρ ρ 21 + ) οι δυο εξισώσεις δίνουν το ίδιο y, άρα οι (ε1),

(ε2) τέµνονται πάνω στην x = - 2αβ

239

Page 240: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

12. α) y - 0

0

x)(αxln

= 20

0

x)(αxln - 1

(x - x0)

β) Για δυο κατάλληλες τιµές του α βρίσκουµε δυο ευθείες και µετά την τοµή τους.

Για α = 0x

1 προκύπτει η ευθεία (ε1): y = 20x

1 x - 0xl

Για α = 0x

e προκύπτει η (ε2): y = 0xl

Το σηµείο τοµής των (ε1), (ε2) είναι το (2x0, 0x

1 ), το οποίο

διαπιστώνουµε εύκολα ότι ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση την (α). 13. Έστω Α (x0, (x0 - 1)2) τυχαίο σηµείο της Cf. Η εφαπτοµένη (ε) στο Α έχει

εξίσωση y - (x0 - 1)2 = 2 (x0 - 1) (x - x0) και το σύστηµα αυτής της εξίσωσης µε την y = (x - 1)2 δίνει µοναδική λύση x = x0, y = (x0 - 1)2.

14. Προκύπτει f ΄ (2 + x) + f ΄ (2 - x) = - 2 για x = 0 f ΄ (2) = - 1 15. α) Ρ (x0) = Q (x0) (1) ⇔ τέµνονται στο x0, Ρ ΄ (x0) = Q ΄ (x0) ⇔ κοινή

εφαπτοµένη β) (3, 1)

16. α) g (x) = f (x - 4) + 3 β) g ΄ (x) = f ΄ (x - 4)

γ) g ΄ (4) = εφ120°

240

Page 241: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. α) Για x = 1 f ΄ (0) = 0

β) Παραγωγίζοντας τη δοσµένη σχέση προκύπτει: x1 f ΄ (lnx) = lnx.

Για x = 1 έχουµε f ΄ (0) = 0, άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y = f (0), όµως για x = 1 έχουµε f (0) = 0, όµως για x = 1 στη δοσµένη προκύπτει f (0) = - 1.

γ) Για x = e f (1) = 0 και f ΄ (1) = e, άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) στο (1, 0) είναι η y = e (x - 1). H (ε) τέµνει τους άξονες στα (0, - e) και

(1, 0), οπότε E = 21 |(- e) 1| =

21 e.

18. H (ε) έχει εξίσωση y - 0x =

0x21 (x - x0),

για x = 0 και y = 1 προκύπτει x0 = 4, άρα y0 = 2. Όµως το σηµείο (0, 1) ανήκει στην ευθεία x = 0 η οποία είναι εφαπτοµένη της Cf,

αφού +→ 0 x

lim0 -x

(0) f - (x) f = + ∞

x

y

0x΄

1

x0

(ε)

20. α) Αν ο βαθµός της f είναι ν τότε η f ΄ έχει βαθµό ν - 1, άρα 2 (ν - 1) = ν,

δηλαδή ν = 2. Προφανώς f (x) = αx2 + βx + γ µε f ΄ (4) = 0 ⇔ 8α + β = 0

και (2αx + β)2 = αx2 + βx + γ, άρα 4α2 = α, δηλαδή α = 41 και β = - 2, ενώ

γ = β2 = 4. β) Αν (x0, f (x0)) το σηµείο επαφής, τότε f ΄ (x0) = - 1 άρα x0 = 2 και η

εφαπτοµένη είναι η (ε): y = - x + 3.

21. α) υ (t) = s ΄ (t) = 1 t

1+

. Τη χρονική στιγµή t0 = 0 η ταχύτητα υ (0) = 1, άρα

το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεµίας.

β) γ (t) = υ΄ (t) = - 21) (t 1+

< 0, άρα έχουµε επιβράδυνση

241

Page 242: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

γ) |υ (3)| = 41 και |γ (3)| =

161

22. α) Για x = y = 0 στη δοσµένη σχέση προκύπτει f (0) = - α

β) Για x = 1 και y = 0 προκύπτει α (1 - e) = 0, άρα α = 0

γ) f ΄ (x0) = 0 h

lim→ h

)(x f - h) (x f 00 + µε βάση τη δοσµένη σχέση.

Για x = x0 και y = h προκύπτει:

f ΄ (x0) = 0 h

lim→ h

(h) f e 0x

+ f (x0 h

lim→

0) h1 - eh

+ x0,

αλλά 0 h

lim→ h

1 - eh

= g ΄ (0) όπου g (x) = ex, άρα g ΄ (0) = 1,

ενώ 0 h

lim→ h

(h) f e 0x

= 0 h

lim→

0xeh

(0)] f - (h) [f = e f ΄ (0). 0x

23. α) Αφού f (- x) = - f (x) (1) άρα f (0) = - f (0), δηλαδή f (0) = 0

β) Από την (1) έχουµε - f ΄ (- x) = - f ΄ (x), άρα f ΄΄ (- x) = - f ΄΄ (x), δηλαδή η f ΄΄ είναι και αυτή περιττή, άρα f ΄΄ (0) = 0.

24. α) Αν παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της αρχικής ισότητας προκύπτει

2

1νν

1) -(x 1) - (x - 1) -(x x1) (ν ++ = 1 + 2x + … + ν⋅xν-1

β) Παρατηρούµε ότι απλά εφαρµόζεται ο τύπος που προέκυψε στο (α)

ερώτηµα για x = 21 και ν = 20

25. Το x4 δεν µπορεί να γραφεί x3 + x3 + … + x3 για κάθε x ∈ R

242

Page 243: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΣΧΕ∆ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝ ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ΚΕΦΑΛΑ Ι Ο 2 ο - ΜΕ ΡΟ Σ 1 ο )

Page 244: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε

ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων,

ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου

τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

244

Page 245: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

∆ιδακτική Ενότητα: ∆ιαφορικός Λογισµός (1ο Μέρος)

ΘΕΜΑ 1ο

1. Αν 0 x

lim→ x

(0) f - (x) f = 2, τότε

Α. η f δεν ορίζεται στο x0 = 0 Β. f ΄ (0) = 2 Γ. f ΄ (2) = 0 ∆. η f δεν είναι συνεχής στο x0 = 0 Ε. δεν ισχύει κανένα από τα παραπάνω

2. Η εφαπτοµένη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f (x) = lnx στο σηµείο (x0, f (x0)) είναι κάθετη στην

ευθεία y = -23 x - 2. Το x0 είναι

Α. 4

5 Β.

23 Γ. 2

y

0 xx0

Cf

32

∆. 25 Ε. 3

3. Για τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις f, g στο διάστηµα [0, π] ισχύει

g (x) = f (ηµx). Η τιµή g΄ (2π ) είναι ίση µε

Α. 1 Β. f ΄ (1) Γ. 0 ∆. f ΄ (2π ) Ε.

2π f ΄ (

2π )

245

Page 246: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. Ένα σφαιρικό µπαλόνι φουσκώνει µε σταθερή παροχή αέρα. Τότε η ακτίνα του R συναρτήσει του χρόνου µπορεί να δίνεται από τη γραφική παράσταση

Α.

R(t)

t0

B.

0 t

R(t)

Γ.

0 t

R(t)

∆.

0 t

R(t)

Ε.

0 t

R(t)

246

Page 247: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. Οι συναρτήσεις f, g είναι δυο φορές παραγωγίσιµες στο κοινό πεδίο ορισµούτους R. Για να έχουν κοινή εφαπτοµένη στο Α (1, 2), από τις παρακάτωσυνθήκες:Ι. f ΄ (1) = g ΄ (1) ΙΙ. f (1) = g (1)ΙΙΙ. f, g συνεχείς στο x0 = 1 ΙV. f ΄΄ (1) = g ΄΄ (1)απαραίτητες είναιΑ. µόνο η Ι Β. µόνο η ΙΙ Γ. οι Ι και ΙΙ∆. οι ΙΙ και IV E. όλες

6. Στο σχήµα δίνεται η γραφική παράστασητης παραγωγίσιµης συνάρτησης

f (x) = .

>+

≤++

0 x 1, x

0 x 1, x x 2

Η εφαπτοµένη της στο σηµείο (0, 1) είναι η ευθεία

y

-1/2 x

1

0

Α. y = - x + 1 Β. y = x + 1 Γ. y = 1 ∆. x = 0 Ε. καµία από τις παραπάνω

7. Από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει παράγωγο την συνάρτησηf (x) = - 3ηµ3x ηΑ. g (x) = συν3x Β. h (x) = συνx3

Γ. φ (x) = 3συνx ∆. s (x) = συν3x Ε. σ (x) = συν 3x

247

Page 248: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα.

y

x0

Cf

y

x0

Cg

y

x0

Ch

Στο σηµείο x0 = 0 δεν είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση Α. f B. g Γ. h ∆. όλες E. καµία

248

Page 249: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

9. Στη στήλη Α δίνονται οι γραφικές παραστάσεις παραγώγων συναρτήσεων f ΄. Στη στήλη Β δίνονται οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων f. Να αντιστοιχίσετε σε κάθε γραφική παράσταση f ΄ της στήλης Α τη γραφική παράσταση από τη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι

Στήλη Α Στήλη Β 1. 2. 3.

x

y

0

f΄(x)=αα

x

y

0

f΄(x)=x2

x

y

0

f΄(x)= 1x

α. β. γ. δ.

x

y

0

y

0 x

x

y

0

f(x)= x3

3

x

y

0

f (x) = x

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

249

Page 250: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΘΕΜΑ 2ο Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

α) f (x) = 3x2 lnx β) g (x) = ηµ 2 -x γ) h (t) = 3t

e-2t

ΘΕΜΑ 3ο

Α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της t (x) = x + 3 στο Α (- 1, 0). 2x

Β. Μια συνάρτηση είναι περιττή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. Να δείξετε ότι: α) η γραφική της παράσταση διέρχεται από το (0, 0). β) f ΄΄ (0) = 0.

250

Page 251: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 2ο: ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) ≠ f (β),

α, β ∈ R, α < β, τότε ισχύει f ΄ (x) ≠ 0 για κάθε x ∈ (α, β).

Σ Λ

2. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και x0 ∈ R, τότε για κάθε x ∈ R υπάρχει ξ ∈ R ώστε f (x) - f (x0) = f ΄ (ξ) (x - x0).

Σ Λ

3. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β), τότε υπάρχει ένα µόνο ξ ∈ (α, β) ώστε f (α) - f (β) = f ΄ (ξ) (α - β).

Σ Λ 4. * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β],

παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο x0 εσωτερικό του διαστήµατος [α, β], στο οποίο η εφαπτοµένη του διαγράµµατος της f είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Σ Λ 5. * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και

παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο x0 ∈ (α, β) στο οποίο η εφαπτοµένη της Cf είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (α, f (α)), (β, f (β)).

Σ Λ 6. * Αν f είναι µια πολυωνυµική συνάρτηση, τότε µεταξύ δύο

ριζών της f, υπάρχει τουλάχιστον µια ρίζα της f ΄.

Σ Λ 7. ** Αν f είναι µια πολυωνυµική συνάρτηση, τότε µεταξύ δύο

διαδοχικών ριζών της f ΄, υπάρχει το πολύ µια ρίζα της f.

Σ Λ 8. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα

[α, β], τότε υπάρχει εφαπτοµένη της Cf στο Α (x0, f (x0)), µε

x0 ∈ (α, β), µε συντελεστή διεύθυνσης λ = α - β

(α) f - (β) f .

Σ Λ

251

Page 252: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

9. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β], τότε ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής για την f.

Σ Λ 10. * Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το

συµπέρασµα του θεωρήµατος Rolle, χωρίς να ισχύουν (όλες) οι υποθέσεις του θεωρήµατος.

Σ Λ 11. * Αν για µια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του

θεωρήµατος του Fermat, τότε υπάρχει x0 ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο (x0, f (x0)) να είναι παράλληλη µε τον άξονα x΄x.

Σ Λ 12. * Αν για µια συνάρτηση f εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle στο

[α, β], τότε εφαρµόζεται και το θεώρηµα της µέσης τιµής, στο ίδιο διάστηµα.

Σ Λ

13. * Για τη συνάρτηση του σχήµατος, υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο Μ (ξ, f (ξ)) της Cf µε ξ ∈ (α, β), όπου η εφαπτοµένη της f, να είναι παράλληλη µε την ΑΒ.

Σ Λ

14. * Αν f ΄ (x) = (x + 3) x2, τότε το x0 = - 3 είναι θέση τοπικού ελάχιστου.

Σ Λ

15. * Για τη συνάρτηση f (x) = 3x2, x ∈ [- 3, 2], υπάρχει µόνο ένα τοπικό ακρότατο.

Σ Λ

16. * Για τη συνάρτηση f (x) = ηµx, x ∈ R, υπάρχει τουλάχιστον ένα τοπικό ελάχιστο µεγαλύτερο από κάποιο τοπικό µέγιστο.

Σ Λ

17. * ∆ίνεται µια συνεχής συνάρτηση f, µε f ΄ (x) > 0 για 2 < x < 7. Αν f (3) = 5, τότε µπορεί να ισχύει f (5) = 4.

Σ Λ

18. * Η συνάρτηση f (x) = ηµx + 2ex, 0 < x < 2π , παρουσιάζει

τοπικό ελάχιστο στο x0 = 3π .

Σ Λ

19. * Αν f ΄ (x) = , τότε η f δεν µπορεί να έχει τοπικά ακρότατα.

16-x2e +

Σ Λ

252

Page 253: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

20. * Η συνάρτηση του σχήµατος έχει θετική παράγωγο για κάθε x ∈ (0, + ∞).

y

0x´ x5

12 Cf

Σ Λ

21. * ∆ίνονται οι συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιµες στο πεδίο ορισµού τους. Αν σ’ ένα σηµείο x0 παρουσιάζουν και οι δυο τοπικό µέγιστο, τότε και η συνάρτηση f + g, εφόσον ορίζεται, θα παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x0.

Σ Λ 22. * Αν µια άρτια συνάρτηση έχει στο x0 τοπικό ελάχιστο, τότε

στο - x0 θα έχει τοπικό µέγιστο.

Σ Λ

23. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, και η γραφική παράσταση της f ΄ είναι αυτή του σχήµατος, τότε η f δεν είναι γνησίως µονότονη.

y

0x´

x

C ´f

Σ Λ

24. * Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f ΄ (x) < 0, x ∈ R, τότε f (x) < 0, x ∈ R.

Σ Λ

25. * Αν για τη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει f ΄ (5) = 0, τότε η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 = 5.

Σ Λ

26. * Μια περιοδική συνάρτηση f µπορεί να έχει ένα µόνο τοπικό ακρότατο.

Σ Λ

27. * Για τη συνάρτηση f (x) = x1 , x ≠ 0, ισχύει f ΄ (x) = - 2x

1 < 0

για κάθε x ≠ 0. Εποµένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R*.

Σ Λ

28. * Αν µια παραγωγίσιµη συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, τότε θα ισχύει f ΄ (x) ≤ 0.

Σ Λ

29. * Αν για µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f, ισχύει f ΄ (x) = exηµ4, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Σ Λ

30. * Ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης f, µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f.

Σ Λ

253

Page 254: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

31. * Μια συνάρτηση f µπορεί να έχει τοπικό ακρότατο και σε σηµείο x0, στο οποίο δεν είναι συνεχής.

Σ Λ

32. * Αν µια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο x0, τότε ισχύει f ΄ (x0) = 0.

Σ Λ

33. * Αν η παράγωγος µιας συνάρτησης είναι µηδέν σε ένα διάστηµα ∆, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο ∆.

Σ Λ

34. * Αν στο εσωτερικό σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της f ισχύει ότι f ΄ (x0) = 0, τότε το x0 είναι τοπικό ακρότατο της f.

Σ Λ

35. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], τότε πιθανά ακρότατα της f είναι α) τα σηµεία του διαστήµατος (α, β) στα οποία η f ΄ µηδενίζεται β) τα σηµεία του διαστήµατος (α, β) στα οποία η f δεν

παραγωγίζεται γ) τα άκρα του [α, β].

Σ Λ

Σ Λ Σ Λ

36. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ΄ µιας συνάρτησης f. Τότε η f έχει δύο τουλάχιστον θέσεις τοπικών ακροτάτων.

y

0x´

xα β

C ´f

Σ Λ

37. * Αν f ΄ (x) = (x - 1)2, τότε το σηµείο x0 = 1 είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f.

Σ Λ

38. * Αν f ΄ (x) = |x - 1|, τότε το σηµείο x0 = 1 είναι τοπικό ακρότατο της f.

Σ Λ

39. * Αν f ΄ (x) = x2 + 1, τότε η εξίσωση f (x) = 0 έχει το πολύ µια ρίζα.

Σ Λ

40. * Αν f ΄ (x) = x2 - 5x + 6, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [2, 3].

Σ Λ

41. * Αν το διάγραµµα Cf΄ της παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε η f έχει ακρότατο στο x0 = 1.

y

0x´

x

C ´f

1

Σ Λ

254

Page 255: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

42. * Αν το διάγραµµα Cf΄ της παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

y

0x´

xCf´

Σ Λ

43. * Αν το διάγραµµα Cf΄ της παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.

y

0x´

x

C ´f

Σ Λ

44. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f (α) = f (β) και f ΄΄ (x) > 0, για κάθε x ∈ [α, β], τότε η εξίσωση f ΄ (x) = 0 έχει µια µόνο ρίζα στο (α, β).

Σ Λ 45. * Η γραφική παράσταση Cf µιας

συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε: α) το x1 είναι σηµείο καµπής β) το x2 είναι σηµείο καµπής γ) το x3 είναι σηµείο καµπής

y

0x´

xx3x1 x2

Cf

Σ Λ Σ Λ Σ Λ

46. * Αν f ΄΄ (x) = (x - 2)2, τότε η f έχει σηµείο καµπής στο x0 = 2. Σ Λ

47. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της Β ΄΄ (t), όπου Β (t) είναι η συνάρτηση του βάρους κάποιου ανθρώπου που βρίσκεται σε δίαιτα, µετά από χρόνο t. Τότε ο ρυθµός µείωσης του βάρους, στην αρχή µειώνεται και µετά αυξάνει.

0 t

CB´´

B´´(t)

Σ Λ

255

Page 256: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

48. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε ισχύει f ΄΄ (x) < 0 για κάθε x ∈ (0, + ∞).

y

0x´

x

Σ Λ

49. * Αν µια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη, και η γραφική παράσταση της f ΄ φαίνεται στο σχήµα, τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω.

y

0x´

xα β

y=f´(x)

Σ Λ 50. * Μια πολυωνυµική συνάρτηση 3ου βαθµού έχει

οπωσδήποτε σηµείο καµπής.

Σ Λ 51. * Μια πολυωνυµική συνάρτηση 4ου βαθµού έχει

τουλάχιστον ένα σηµείο καµπής.

Σ Λ 52. * Η f παρουσιάζει στο x0 σηµείο

καµπής.

y

0x´

x

Cf

x0

Σ Λ

53. * Αν µια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα ∆ και η f είναι κυρτή στο ∆, τότε f ΄΄ (x) ≥ 0 για κάθε x ∈ ∆.

Σ Λ

54. * Το σηµείο Α (x0, f (x0)) είναι σηµείο καµπής µιας συνάρτησης f, όταν η f ΄΄ αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του x0.

Σ Λ

55. * Η συνάρτηση f (x) = e-x είναι κυρτή στο R. Σ Λ

56. * H ευθεία x = 2 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης f, µε f (x) = 2

2

2) -(x 4 - x .

Σ Λ

256

Page 257: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

57. * H γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 2004 x x

2 - x x2

35

+++

έχει µια πλάγια ασύµπτωτη.

Σ Λ

58. * H γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1 - x

x2 έχει

δύο κατακόρυφες ασύµπτωτες.

Σ Λ

59. * Ισχύει 2π x

lim→

2π -x

συνx = - 1.

Σ Λ

60. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = e-x έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο - ∞.

Σ Λ

61. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε δεν έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη.

Σ Λ

62. * Η συνάρτηση f (x) = lnx έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = 0.

Σ Λ

63. * Η συνάρτηση f (x) = ex έχει οριζόντια ασύµπτωτη την ευθεία y = 0.

Σ Λ

257

Page 258: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος

του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ ∈ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο (ξ, f (ξ)) Α. να είναι παράλληλη µε τον άξονα y΄y Β. να έχει συντελεστή διεύθυνσης µηδέν Γ. να έχει συντελεστή διεύθυνσης ένα ∆. να είναι παράλληλη µε την ευθεία y = x Ε. να µην ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης

2. * Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα [α, β]. Το θεώρηµα

µέσης τιµής ισχύει για την f, όταν Α. η f είναι συνεχής στο [α, β] Β. η f έχει ίσες τιµές στα σηµεία α και β Γ. η f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) ∆. η f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) και συνεχής στα α και β Ε. η f είναι συνεχής στο (α, β)

3. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = c, µε πεδίο ορισµού το [α, β]. Το πλήθος των

σηµείων ξ ∈ (α, β) που προκύπτουν από το θεώρηµα του Rolle είναι Α. 1 Β. 2 Γ. το πολύ 2 ∆. κανένα Ε. άπειρο

4. * Για τη συνάρτηση f (x) = x2 - 4x, x ∈ [- 1, 2], το πλήθος των αριθµών

ξ ∈ (- 1, 2) που προκύπτουν από το θεώρηµα της µέσης τιµής είναι Α. τουλάχιστον τρεις Β. ακριβώς ένας Γ. τουλάχιστον δύο ∆. ακριβώς δύο Ε. κανένας

258

Page 259: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για τη συνάρτηση f (x) = lnx, για κάθε x1, x2 > 0, εξασφαλίζει ένα ξ µεταξύ των x1, x2 ώστε να ισχύει

Α. ln 2

1

xx

= 21 x- x

ξ Β. ln 2

1

xx

= ξ x- x 21

Γ. ln (x1 - x2) = ξ1 (x1 - x2) ∆. ln

2

1

xx

= ξ (x1 - x2)

E. ln (x1 - x2) = ξ (x1 - x2) 6. * ∆ίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f1, f2, f3, f4.

y

0x´

x

Cf1

βα

y

0x´

xCf2

βα

y

0x´

xCf3

βα

y

0x´

x

Cf4

βα

Αυτές που ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο [α, β] είναι οι Α. f2 και f4 Β. µόνο η f4 Γ. µόνο η f2 ∆. f2 και f3 Ε. f1 και f4

7. * Οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο R και είναι δύο φορές παραγωγίσιµες σ’

αυτό. Αν f ΄ (x) = g ΄ (x) για όλα τα x ∈ R, ποια από τις παρακάτω συνθήκες πρέπει να ισχύει επιπλέον, ώστε f (x) = g (x), για όλα τα x ∈ R; Α. f και g συνεχείς στο R B. f (0) = g (0) Γ. f ΄΄ (x) = g ΄΄ (x) + c ∆. f ΄΄ (0) = g ΄΄ (0) E. δεν χρειάζεται να προστεθεί άλλη συνθήκη

259

Page 260: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. * Αν για τις παραγωγίσιµες στο R συναρτήσεις f, g ισχύει f ΄ (x) = g ΄ (x), x ∈ R, τότε Α. f (x) = g (- x) + c B. f (x) = - g (x) + c Γ. f (x) = g (x) - c ∆. f (x) + g (- x) = c E. f (- x) = g (x) + c

9. * Αν η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το (0, + ∞) έχει παράγωγο την

f ΄ (x) = 2lnx + 1, τότε για τη µονοτονία της f ισχύει

Α. 0x + 8

f(x)

B. e12

-0 + 8

f(x)x

Γ. 0 + 8+ 8e

12

-

f(x)x

∆.

e12

-e

14

-0 + 8x

f(x)

Ε. 0 + 8

f(x)x

10. * Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και γνησίως φθίνουσα, τότε Α. f ΄ (x) > 0, για κάθε x ∈ R Β. f ΄ (x) ≥ 0, για κάθε x ∈ R Γ. f ΄ (x) ≤ 0, για κάθε x ∈ R ∆. f ΄ (x) < 0, για κάθε x ∈ R Ε. η f ΄ (x) δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R

11. * Η παράγωγος f ΄ της συνάρτησης f είναι ένα πολυώνυµο τρίτου βαθµού. Η f

έχει Α. τρία ακριβώς τοπικά ακρότατα Β. ένα ολικό µέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο Γ. τουλάχιστον τρία τοπικά ακρότατα ∆. ένα µόνο τοπικό µέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο Ε. τρία το πολύ τοπικά ακρότατα

260

Page 261: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

12. ** H συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο R και η f ΄ είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η γραφική παράσταση της f θα µπορούσε να έχει τη µορφή

Α. x´

y

0

x

B.

y

0x´

x

Γ.

y

0x´

x

∆.

y

0x´

x

Ε.

y

0x´

x

261

Page 262: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

13. * H γραφική παράσταση Cf΄ της παραγώγου µιας συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η γραφική παράσταση της f µπορεί να είναι

y

0

x

C ´f

1-1

1

Α.

y

0x´

x

B. x

y

0x´

y´ Γ.

y

0x´

x

∆. x

y

0x´

y´ Ε. καµία από τις προηγούµενες

14. * H γραφική παράσταση Cf΄ της παραγώγου µιας

συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε ισχύει ότι Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο (- ∞, 2] B. η f είναι γνησίως φθίνουσα µόνο στο [2, + ∞) Γ. η f έχει τοπικό µέγιστο το σηµείο x0 = 2

y

0

x

C ´f

2

∆. η f έχει τοπικό ελάχιστο το σηµείο x0 = 2 E. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R

262

Page 263: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

15. * Το διάγραµµα Cf΄της παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε δεν ισχύει ότι Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, 1] B. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [1, 2] Γ. η f έχει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο µε x = 0

y

0x´

xC ´f

1 2

∆. η f έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο µε x = 1 E. η f έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο µε x = 2

16. * Έστω µια συνεχής συνάρτηση f, η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα άνω

σ’ ένα διάστηµα ∆. Τότε καθώς το x αυξάνει, η κλίση της Cf Α. αυξάνει B. ελαττώνεται Γ. µένει σταθερή ∆. είναι µηδέν E. δεν µπορούµε να απαντήσουµε

17. * Αν µια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη και στρέφει τα κοίλα

προς τα άνω σ’ ένα διάστηµα ∆, τότε Α. f ΄΄ (x) > 0, για κάθε x ∈ ∆ Β. f ΄΄ (x) < 0, για κάθε x ∈ ∆ Γ. f ΄΄ (x) ≤ 0, για κάθε x ∈ ∆ ∆. f ΄΄ (x) ≥ 0, για κάθε x ∈ ∆ Ε. δεν µπορούµε να αποφανθούµε για το πρόσηµο της f ΄΄ (x) στο ∆

18. * Το διάγραµµα Cf΄΄ της δεύτερης παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η f ΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. (- ∞, 1] Β. [1, 3] Γ. [3, + ∞) ∆. R Ε. (- ∞, - 3]

y

0

x

Cf ´

1 3

3

263

Page 264: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

19. * H συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστηµα ∆ και x0 ∈ ∆. Θεωρούµε τις προτάσεις: Ι. Η Cf δέχεται εφαπτοµένη στο Α (x0, f (x0)) ΙI. Η f ΄ αλλάζει πρόσηµο στο x0

ΙΙΙ. Η f ΄΄ αλλάζει πρόσηµο στο x0 Τότε το Α (x0, f (x0)) είναι σηµείο καµπής της Cf αν ισχύουν οι προτάσεις Α. Ι και ΙΙ Β. Ι και ΙΙΙ Γ. ΙΙ και ΙΙΙ ∆. µόνο η ΙΙΙ Ε. µόνο η Ι

20. * Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R, µπορεί να έχει πλήθος πλάγιων

ασυµπτώτων Α. το πολύ τρεις Β. το πολύ δύο Γ. το πολύ µία ∆. εξαρτάται από το πλήθος των οριζοντίων ασυµπτώτων Ε. δεν υπάρχει περιορισµός για το πλήθος

21. * Στο διπλανό σχήµα έχουµε τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης f (x) = xe-αx µε α > 0 και x ∈ [0, + ∞). Για όλες τις συναρτήσεις f ισχύει ότι Α. έχουν µόνο 1 τοπικό ακρότατο Β. το 0 είναι σηµείο καµπής Γ. η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη

y

0

x

∆. η ευθεία y = 0 είναι οριζόντια ασύµπτωτη Ε. όλα τα παραπάνω

264

Page 265: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

22. ** Η ευθεία (ε) είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f. Τότε ισχύει ότι Α. f (x) = 1 Β. f (x) = - 2

∞+→ x lim

∞+→ x lim

Γ. f ΄ (x) = 0 ∆. f ΄ (x) = 1 ∞+→ x

lim∞+→ x

lim

E. f (x) = - ∞ ∞+→ x

lim

y

0x´

x0-2

(ε)Cf

45°

23. ** Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε η γραφική της παράσταση µπορεί να έχει Α. δύο πλάγιες ασύµπτωτες στο + ∞ B. οριζόντια και πλάγια ασύµπτωτη στο + ∞ Γ. κατακόρυφες ασύµπτωτες ∆. πλάγια ασύµπτωτη στο + ∞ και οριζόντια ασύµπτωτη στο - ∞ E. οριζόντια και πλάγια ασύµπτωτη στο - ∞

24. * Η ευθεία y = x + 1 είναι πλάγια ασύµπτωτη της

Α. f (x) = 3 2x

5 - x x2

23

++ Β. g (x) = x4 + 5x Γ. h (x) =

x x x 2 ++1

∆. φ (x) = ex - 1 E. κ (x) = x + ηµx

25. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ΄ µιας συνάρτησης f στο R. Τότε για τη συνάρτηση f ισχύει Α. στο διάστηµα [- 2, 0] η συνάρτηση f στρέφει

τα κοίλα προς τα κάτω

y

0x´

x

Cf´

1

-2

3 4

Β. στο διάστηµα [1, 3] ισχύει f ΄΄(x) = 0 Γ. στο διάστηµα [0, 1] η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω

265

Page 266: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

∆. στο διάστηµα [- 2, 1] η f είναι γνησίως φθίνουσα E. όλα τα παραπάνω

266

Page 267: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

26. * Αν µια συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, τότε η γραφική παράσταση της f ΄ µπορεί να είναι η Α. x´

y

0

x

1

B.

y

0x´

x1

-2

Γ.

y

0x´

x

∆.

y

0x´

x

Ε.

y

0x´

x

1

12

267

Page 268: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

27. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση

µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f. Η γραφική παράσταση της f ΄ µπορεί να είναι

y

xx1 x2 x3

x4 x5

0

Α.

y

0x´y´

xx1 x2

x3 x4x5

B.

x

y

0x´

x1

Γ.

y

0x´

xx1 x2 x3 x4 x5

∆.

y

0x´

xx1

x2

x3 x4 x5

Ε. καµία από αυτές

28. * Αν η γραφική παράσταση της παραγωγίσιµης συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε Α. η f έχει µόνο δύο τοπικά ακρότατα Β. η f δεν παραγωγίζεται σε όλα τα σηµεία

του διαστήµατος [x0, x3]

y

0 xx1 x2 x3x0

Γ. f ΄΄ (x) > 0 για όλα τα x ∈ (x2, x3) ∆. f ΄΄ (x) < 0 για όλα τα x ∈ (x0, x1) E. η f ΄ είναι γνησίως αύξουσα στο [x0, x3]

268

Page 269: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. * Να αντιστοιχίσετε κάθε θεώρηµα της στήλης Α του πίνακα Ι σε όσες συναρτήσεις της στήλης Β µπορεί να εφαρµοστεί στο [α, β], συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. Θεώρηµα Bolzano

2. Θεώρηµα Rolle

3. Θεώρηµα µέσης τιµής

x

y

0

x´ αβ

x

y

0

x´ αβ

α. β.

x

y

0

x´α β

x

y

0

x´ α β

γ. δ.

xx´

y

y´0 α β

ε. Πίνακας ΙΙ

1 2 3

269

Page 270: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * Κάθε συνάρτηση τη στήλης Α του πίνακα Ι να την αντιστοιχίσετε στις σχέσεις που ισχύουν γι’ αυτήν από τη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

4.

5.

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

α. f ΄ (x) > 0 και f ΄΄ (x) > 0

β. f ΄ (x) < 0 και f ΄΄ (x) < 0

γ. f ΄ (x) > 0 και f ΄΄ (x) < 0

δ. f ΄ (x) < 0 και f ΄΄ (x) > 0

ε. f ΄ (x) = 0

ζ. f ΄ (x) = 0 και f ΄΄ (x) > 0

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4 5

270

Page 271: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Στη στήλη Α του πίνακα Ι γράφονται συναρτήσεις. Στη στήλη Β γράφονται τα σηµεία που προκύπτουν από την εφαρµογή του θεωρήµατος µέσης τιµής για κάθε συνάρτηση. Να κάνετε την αντιστοίχιση, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

συνάρτηση και διάστηµα σηµείο που προκύπτει

1. f (x) = 3x2 - 4x + 1, x ∈ [0, 1]

2. f (x) =x1 , x ∈ [- 2, - 1]

3. f (x) = lnx, x ∈ [1, e]

4. f (x) =1 -x 1 x + , x ∈ [- 1, 0]

α. 21 e - 1

β. -21

γ. e - 1

δ. - 2

ε. 21

ζ. e - 2

η. 41

θ. 1 - 2

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

271

Page 272: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Σε κάθε σχέση της στήλης Α αντιστοιχεί ένα γράφηµα από τη στήλη Β του πίνακα Ι. Να κάνετε την αντιστοίχιση, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ (οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες στο R).

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. (f (x) - g (x))΄ > 0

2. (f (x) - g (x))΄ = 0

3. (f (x) - g (x))΄ < 0

4. (f (x) - g (x))΄ > 0, για x > 0και(f (x) - g (x))΄ < 0, για x < 0

α.

β.

γ.

δ.

x

y

0

Cf

Cg

x

y

0

Cf

Cg

x

y

0

Cf

Cg

x

y

0

Cf

Cg

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

272

Page 273: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Κάθε γραφική παράσταση Cf΄ της στήλης Α του πίνακα Ι να την αντιστοιχίσετε στη µονοτονία από τη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

Cf΄ µονοτονία της f

1.

2.

3.

4.

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

α.

β.

γ.

δ.

ε.

στ.

σταθερή συνάρτηση

f- 8 + 80

ff- 8 + 80

f- 8 + 80

f- 8 + 80

f+ 8- 8 κ0

273

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

Page 274: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. * Να αντιστοιχίσετε σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α του πίνακα Ι, το πλήθος των σηµείων καµπής που αναφέρεται στη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. f (x) = lnx, x > 0

2. g (x) = ηµx, x ∈ R

3. h (x) = 5x3 + x + 1, x ∈ R

4. t (x) = x4 - 2x3, x ∈ R

α. 2

β. 0

γ. 4

δ. άπειρα

ε. 1

στ. 3

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

274

Page 275: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. * Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ, έτσι ώστε σε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης της στήλης Α του πίνακα Ι, και η οποία δεν παρουσιάζει καµπή στο σηµείο x0, να αντιστοιχεί η σχέση που ισχύει από τη στήλη Β.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

x

y

0

x´ x0

x

y

0

x´ x0

α. η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0

β. η f δεν αλλάζει είδος κυρτότητας στο x0

γ. η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο R

Πίνακας ΙΙ 1 2

275

Page 276: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. * Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α του πίνακα Ι στις ασύµπτωτές της (αν υπάρχουν), που γράφονται στη στήλη Β, συµπληρώνο-ντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. f (x) =4 -2x 1 2x +

2. f (x) =1 x

7 5x 3x2

23

+++

3. f (x) = 3x3 - 3x2 + 6

4. f (x) =x

lnx

α. κατακόρυφη x = 1 οριζόντια y = - 2

β. δεν υπάρχουν

γ. κατακόρυφη x = 2 οριζόντια y = 1

δ. πλάγια y = 5x + 3

ε. πλάγια y = 3x + 5

στ. κατακόρυφη x = 0 οριζόντια y = 0

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

276

Page 277: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. * Να συµπληρώσετε κάθε στήλη του παρακάτω πίνακα µε ΝΑΙ αν ισχύει το αντίστοιχο θεώρηµα ή µε ΟΧΙ αν δεν ισχύει:

Γραφική παράσταση

Θεώρηµα Bolzano

Θεώρηµα Rolle

Θεώρηµα µέσης τιµής

x

y

0

x´ α β

x

y

0

x´α

β

x

y

0

x´α β

x

y

0

x´ αβ

x

y

0

x´α β

277

Page 278: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Γραφική παράσταση συνάρτησης f

Πίνακας Μεταβολών συνάρτησης f

x

y

0

x´1

x

y

0

-1 1

1

x

y

0

x´ -221

-13

x

y

0

x´ -2 21-13

4

1

278

Page 279: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * ∆ίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f ΄ µιας συνάρτησης f. x

y

0

x´-1 1

C ´f

α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα για τη µονοτονία της f: x - ∞ + ∞ f ΄ (x) f (x)

β) Να σχεδιάσετε µια πιθανή γραφική παράσταση της f.

4. * Στα σχήµατα Ι και ΙΙ έχουµε τις γραφικές παραστάσεις των |f | και f ΄ αντίστοιχα. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

x

y

0

x´ 243

C f

x

y

0

C ´f

43

23

I II

279

Page 280: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * H γραφική παράσταση Cf΄ της παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο σχήµα. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. x

y

0

x´21

-13 4 5

C ´f

∆ιάστηµα [0, 1]

∆ιάστηµα [1, 2]

∆ιάστηµα [2, 3]

∆ιάστηµα [3, 4]

∆ιάστηµα [4, 5]

Πρόσηµο της f ΄

Μονοτονία της f

Μονοτονία της f ΄

Είδος κυρτότητας της f

x0 = 1 x0 = 2 x0 = 3 x0 = 4 x0 = 5 Ακρότατα της f

Σηµεία καµπής της f

Ερωτήσεις διάταξης

1. * Να διατάξετε µε αύξουσα σειρά τις τετµηµένες των ακροτάτων και των σηµείων καµπής της συνάρτησης f (x) = (x - 1)3 (x + 1)3.

2. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 - 1 και τα διαστήµατα [-2, -1], [- 1, 0], [0, 1], [1, 2]. Να βρείτε τους αριθµούς ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 που προκύπτουν από την εφαρµογή του θεωρήµατος µέσης τιµής για την f στα παραπάνω διαστήµατα. Να διατάξετε τους παραπάνω αριθµούς µε φθίνουσα σειρά.

280

Page 281: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Αν µια συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα κάτω στο R και x1 < x2, να διατάξετε

τους αριθµούς f ΄ (x1), f ΄ (x2), f ΄

+2 x x 21

.

281

Page 282: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύοτουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα

της f ΄. β) Αν η f ΄ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο

διαδοχικών ριζών της f ΄ περιέχεται το πολύ µια ρίζα της f.

2. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx.α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής

στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

β) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1, 20) τέτοιο ώστε ξ = log2 1loge

+19 ⋅ .

3. ** ∆ίνεται η συνάρτηση g (x) = 3x2 + x + 1, x ∈ R.α) Να βρείτε µία τουλάχιστον συνάρτηση f για την οποία να ισχύει

f ΄ (x) = g (x) (1). β) Από όλες τις συναρτήσεις f οι οποίες έχουν την ιδιότητα (1) να βρείτε

εκείνη της οποίας η Cf διέρχεται από το σηµείο (- 2, - 2). γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f µε την ιδιότητα (1) της οποίας η Cf

να δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη.

4. ** α) ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = (x - α)µ (x - β)ν, µ, ν θετικοί ακέραιοι. Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε ξ = ν µ µβ να

++ .

β) Να αποδείξετε ότι το παραπάνω ξ χωρίζει το διάστηµα [α, β] σε λόγο νµ ,

δηλαδή ισχύει ξ - βα - ξ =

νµ .

282

Page 283: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

γ) Ένα πολυώνυµο P (x) είναι άρτιου βαθµού και έχει µοναδικές ρίζες τους αριθµούς 4 και 5 ενώ κάθε ρίζα έχει τον ίδιο βαθµό πολλαπλότητας. Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη στην Cp στο σηµείο µε τετµηµένη 5 είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Σηµείωση: Αν ένα πολυώνυµο P (x) έχει ρίζα ρ µε βαθµό πολλαπλότητας κ, τότε γράφεται P (x) = (x - ρ)κ ⋅ Q (x), µε Q (ρ) ≠ 0.

5. ** Να αποδειχθεί ότι ηµ (α + h) < ηµα + hσυνα, όπου 0 < α < α + h <2π .

6. ** Έστω f µια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιµη στο R και µια ευθεία (ε)µε εξίσωση y = αx + β, η οποία τέµνει τη γραφική παράσταση της f σε τρίαδιαφορετικά σηµεία. Αν x1, x2, x3 οι τετµηµένες των σηµείων αυτών (µεx1 < x2 < x3):α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x0 ∈ (x1, x3) τέτοιο ώστε f ΄΄ (x0) = 0,

εφαρµόζοντας το θεώρηµα της µέσης τιµής στα διαστήµατα [x1, x2] [x2, x3].

β) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση: Αν µια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο R και δέχεται σε δυο σηµεία της γραφικής της παράστασης παράλληλες εφαπτοµένες, τότε η f έχει τουλάχιστον ένα πιθανό σηµείο καµπής.

7. ** Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] και οι

αριθµοί f (α), f

+

2β α , f (β) είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι αριθµητικής προόδου.

α) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί α -

2β α

(α) f - )2β α( f

+

+

και β -

2β α

(β) f - )2β α( f

+

+

είναι

ίσοι.

283

Page 284: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

β) Να αποδείξετε ότι η δεύτερη παράγωγος της f µηδενίζεται σ’ ένα τουλάχιστον σηµείο.

8. ** Με τη βοήθεια των παραγώγων να δείξετε ότι:ηµ6x + συν6x + 3ηµ2xσυν2x = 1, για κάθε x ∈ R.

9. ** Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και η f ΄ µηδενίζεται σε καθένα απότα διαστήµατα (- ∞, x0), (x0, + ∞). Μπορούµε να αποφανθούµε ότι η f είναισταθερή στο R; Αν τα σηµεία, για τα οποία δεν γνωρίζουµε ότι έχουνπαράγωγο µηδέν, είναι x1, x2, …, xκ, µπορούµε να καταλήξουµε στο ίδιοσυµπέρασµα;Σηµείωση: Η παραπάνω άσκηση µπορεί να αποτελέσει θέµα για διαπραγµάτευση

µέσα στην τάξη.

10. ** ∆ίνεται µια συνάρτηση f µε πεδίοορισµού το [- 8, 7], της οποίας ηγραφική παράσταση φαίνεται στοσχήµα.α) Να µελετήσετε το πρόσηµο της f (x). β) Να λύσετε την ανίσωση f (x) > 1.

x

y

0

x -8 -6 -4 -2 -11 2 7

32

32-

4

γ) Να βρείτε το πρόσηµο της f ΄ (x) και να σχηµατίσετε τον πίνακαµεταβολής της f (x).

δ) Αν g (x) = ef (x) και h (x) = ln [f (x)], x ∈ (- 6, 2), να εξετάσετε τις g, h ως προς τη µονοτονία και το πρόσηµο.

11. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [0, + ∞) µε f (0) = 0.

α) Να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g (x) =x(x) f , x > 0, είναι

παραγωγίσιµη στο (0, + ∞).

β) Να αποδείξετε ότι ισχύει g ΄ (x) = x1 (f ΄ (x) -

x(x) f ).

284

Page 285: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

γ) Αν η f ΄ είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞), να αποδείξετε ότι και η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞).

285

Page 286: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

12. ** Ένα πολυώνυµο Ρ (x) ικανοποιεί τη σχέση Ρ (x) = P ΄ (x) + x3.α) Να βρείτε το βαθµό του πολυωνύµου.β) Να βρείτε το πολυώνυµο P (x).γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των πραγµατικών ριζών του.δ) Να βρείτε το πρόσηµο των ριζών του.

13. ** Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (x - 2000)2000 = x2000 + 20002000, x ∈ R, έχειµία µόνο λύση.

14. ** ∆ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x) και Q (x), ώστε Ρ (x) ≠ Q (x) καιΡ ΄΄ (x) ≠ Q ΄΄ (x) για κάθε x ∈ R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Ρ ΄ (x) = Q ΄ (x)έχει ακριβώς µια λύση, εξετάζοντας το βαθµό του S (x) = Ρ (x) - Q (x).

15. ** Έστω ότι xα ≥ αx (α > 0) για κάθε x > 0. Χρησιµοποιώντας το θεώρηµατου Fermat να αποδείξετε ότι α = e.

16. ** Έστω f παραγωγίσιµη συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το [0, 6]. Αν η Cf

περνά από το σηµείο Α (0, 1) και ισχύει: f ΄ (x) > x για κάθε x ∈ [0, 6], νααποδείξετε ότι:

α) η συνάρτηση g (x) = f (x) -2

x 2

είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 6].

β) g (x) > 0, x ∈ [0, 6].γ) το σηµείο Β (6, 18) δεν ανήκει στη Cf.

17. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = ex, x ∈ R και g (x) = lnx, x > 0.α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους δεν τέµνονται.β) Να βρείτε τη µικρότερη απόσταση την οποία µπορεί να έχει ένα σηµείο

της Cf από την ευθεία y = x. γ) Να βρείτε το σηµείο της y = ex, το οποίο απέχει τη µικρότερη απόσταση

από την y = x. δ) Ποια νοµίζετε ότι είναι τα σηµεία των Cf και Cg που να απέχουν την

ελάχιστη απόσταση;

286

Page 287: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

18. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 - αx2, α ≠ 0.α) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα. β) Να δείξετε ότι τα σηµεία που αντιστοιχούν στα τοπικά ακρότατα της f

ανήκουν στην καµπύλη µε εξίσωση y = - 21 x3.

19. ** Σε έναν υποτασικό ασθενή µε αρχική πίεση Π0 χορηγούνται δύοδιαφορετικά φάρµακα για την υπόταση σε διαφορετικές ηµεροµηνίες, τωνοποίων οι δράσεις καθορίζονται από τις συναρτήσεις:Π1 (t) = Π0 + t e-t όπου t ο χρόνος δράσης και Π1 η πίεσηΠ2 (t) = Π0 + t2 e-t όπου t ο χρόνος δράσης και Π2 η πίεσηΝα βρείτε:α) Σε πόση ώρα το κάθε φάρµακο φτάνει στη µέγιστη απόδοσή του.β) Ποιο είναι το πιο αποτελεσµατικό όσον αφορά στην άνοδο της πίεσης.

20. ** Έστω f µια συνάρτηση παραγωγίσιµη δυο φορές στο R, για την οποίαισχύει: xexf ΄΄ (x) + xex (f ΄ (x))2 = ex - 1, για κάθε x ∈ R.α) Να αποδείξετε ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο x0 ≠ 0, τότε αυτό θα

είναι τοπικό ελάχιστο. β) Να αποδείξετε ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο x0 = 0, τότε αυτό θα

είναι τοπικό ελάχιστο.

21. ** Έστω ένα πολυώνυµο τρίτου βαθµού Ρ (x) = αx3 + βx2 + γx + δ.α) Να αποδείξετε ότι έχει πάντοτε ένα σηµείο καµπής.β) Να βρείτε τη συνθήκη µεταξύ των συντελεστών του, ώστε στο σηµείο

καµπής να δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη. γ) Αν έχει δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων στα x1, x2, να αποδείξετε ότι

P ΄΄ (x1) + P ΄΄ (x2) = 0.

287

Page 288: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

22. ** Στο διπλανό σχήµα φαίνεται ηγραφική παράσταση µιας συνάρτησης f η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστηµα [α, β]. Να αποδείξετε ότι η Cf βρίσκεται στο [α, β], πάνω από την εφαπτοµένη της σε οποιοδήποτε σηµείο x0 ∈ [α, β] µε εξαίρεση το σηµείο επαφής.

x

y

0

x´ α βxx0

yf(x)

23. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x

lnx και g (x) = 2x + f (x).

α) Να αποδείξετε ότι lnx < x για κάθε x ∈ (0, + ∞).β) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ∞).γ) Να µελετήσετε τη g ως προς τα κοίλα - κυρτά και τα σηµεία καµπής.δ) Να εξετάσετε τη θέση της g ως προς την ευθεία y = 2x.ε) Να βρείτε ένα σηµείο x0, στο οποίο η εφαπτοµένη της g είναι παράλληλη

στην ευθεία y = 2x.

24. ** α) Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα ∆,παίρνει τιµές στο διάστηµα (0, + ∞) και ισχύει f (x)⋅f ΄΄ (x) > (f ΄ (x))2, να δείξετε ότι η g (x) = lnf (x) στρέφει τα κοίλα άνω.

β) Να βρεθεί το µέγιστο διάστηµα στο οποίο η συνάρτηση g µε g (x) = ln (x2 + 2) στρέφει τα κοίλα άνω.

25. ** Να γίνει η γραφική παράσταση της y = f (x) κοντά στο σηµείο x = - 1 ανισχύουν συγχρόνως:f (- 1) = 2, f ΄ (- 1) = - 1, f ΄΄ (- 1) = 0, f ΄΄΄ (x) > 0.

26. ** Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ασύµπτωτη στο + ∞ την

ευθεία y = 5x + 1, να βρεθεί το όριο: ∞+→ x

lim 32

2

5x - (x) fxηµx x 3x - (x) fx

⋅⋅+⋅ .

288

Page 289: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

27. ** Για ποιες τιµές του κ η συνάρτηση f (x) = x3 + κx2 + 1 έχει σηµείο καµπήςγια x = 1;

28. ** Για ποια χορδή ΒΓ παράλληλη προς την εφαπτοµένη ενός κύκλου σ’ ένασηµείο του Α, το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι µέγιστο;

29. ** ∆ίνεται µια συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (α) = f (β) = 0 και f ΄΄ (x) < 0,για κάθε x ∈ R. Να αποδείξετε ότι f (x) > 0 για κάθε x ∈ (α, β).

30. ** Ένα δοχείο γεµίζει µε νερό. Ο όγκος V (t) του νερού στο δοχείο µετά t secδίνεται από τον τύπο:

V (t) = 32 (20t2 -

6t 3

), 0 ≤ t ≤ 120

α) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του όγκου, όταν t = 20 sec. β) Πότε ο ρυθµός αυτός γίνεται µέγιστος;

31. ** Εξηγήστε γιατί η χρήση του κανόνα του L’ Hospital δεν δίνει την

πραγµατική τιµή του ορίου: 1 x

lim→ 4 5x - x

3 -2x x2

3

++ =

1 x lim→ 5-2x

2 3x 2 + = 1 x

lim→ 2

6x = 3

(η πραγµατική τιµή είναι - 35 ).

32. ** Η ενέργεια, που καταναλώνεται κατά την κίνηση σωµατιδίου, δίνεται από

τον τύπο Ε (υ) = υ1 [2 (υ - 35)2 + 750], υ > 0, όπου υ είναι η ταχύτητα του

σωµατιδίου.α) Να βρείτε την ταχύτητα που πρέπει να έχει το σωµατίδιο ώστε να

καταναλώνει την ελάχιστη ενέργεια. β) Πόση είναι η ελάχιστη αυτή ενέργεια;

289

Page 290: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

33. ** Στο σχήµα φαίνεται τµήµα παραβολής µε εξίσωση

y = 141 (48 - x2), και το ισοσκελές τρίγωνο ΟΒΓ µε

ΟΒ = ΟΓ.α) Να βρείτε τα σηµεία Β, Γ για τα οποία το εµβαδόν

του τριγώνου ΟΒΓ γίνεται µέγιστο.

x

y

0x´

x

ΒΓ

β) Ποιο είναι αυτό το µέγιστο εµβαδόν;

34. ** Έστω f η συνάρτηση της ποσότητας κάποιας ουσίας στο αίµα, σε σχέση

µε το χρόνο t. Αν ο ρυθµός µεταβολής της f είναι ίσος µε 2-t

1 , t > 2:

α) Να βρείτε τον τύπο της f, αν ισχύει f (3) = 4.β) Μέχρι ποια χρονική στιγµή θα ισχύει f (t) > 1;

35. ** Έστω f (x) = x2 (3 - x), όπου η f µετρά την αντίδραση του οργανισµού σεποσότητα x µιας ουσίας (αύξηση πίεσης, πτώση θερµοκρασίας σώµατοςκ.λπ.). Να βρείτε την τιµή του x για την οποία η αντίδραση έχει τη µέγιστητιµή. Ποια είναι η µέγιστη τιµή;

36. ** Η γραφική παράσταση Cf΄ της παραγώγου µιαςσυνάρτησης f είναι η παραβολή που φαίνεται στοδιπλανό σχήµα.α) Να κατασκευάσετε πίνακα µονοτονίας της f.β) Να βρείτε τον τύπο της f, αν f (0) = 1.

x

y

0x´

52

94

1

4

4

y=f ´(x)

γ) Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

290

Page 291: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

37. ** Η γραφική παράσταση Cf µιας συνάρτησης f είναιαυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να λυθούν:α) f ΄ (x) = 0 β) f ΄ (x) < 0 γ) f ΄ (x) > 0 x

y

0x´

-22

-11

38. ** Έστω η συνάρτηση f (x) = αx2, α > 0. Στο σηµείο Μ της Cf µε τετµηµένηx1 > 0 φέρνουµε εφαπτοµένη (ε) που τέµνει τον x΄x στο Τ. Θεωρούµε τασηµεία Ρ, Ν πάνω στον x΄x ώστε ΜΡ ⊥ x΄x και ΜΝ ⊥ (ε).α) Να δείξετε ότι:

i) ΟΡ = 2ΤΡ ii) ΤΡ =)(x f)(x f

1

1

iii) ΡΝ = f (x1)⋅f ΄ (x1) iv) ΤΜ =)(x f)(x f

1

1 ⋅ ( )21 )(x f 1+

β) Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση f (x) = ex το ΤΡ είναι σταθερό. Για ποια

εκθετική συνάρτηση ισχύει ΤΡ = 21 .

γ) Το κοµµάτι ΑΒ της πίστας δοκιµών αυτοκινήτων που αναπτύσσουν µεγάλες ταχύτητες είναι τµήµα παραβολής µε κορυφή στο Α. Στο σηµείο Κ, που απέχει 40 µέτρα από το προστατευτικό διάζωµα ΑΠ, το αυτοκίνητο Κ εκτρέπεται λόγω της πολύ µεγάλης oλισθη-

A

B

Π

Κ

ρότητας, κινείται σχεδόν ευθύγραµµα κατά τη διεύθυνση της εφαπτοµένης. και προσκρούει στο διάζωµα ΑΠ σε απόσταση 8 µέτρα από το Α. Ποια θα µπορούσε να είναι η εξίσωση του τµήµατος ΑΒ;

Σηµείωση: Η προηγούµενη άσκηση µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν βάση για ανάπτυξη και άλλων ερωτηµάτων όπως για παράδειγµα αν ισχύουν οι

ίδιες σχέσεις και για παραβολή της µορφής y2 = αx (y = κ x ).

291

Page 292: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

39. ** Στο σχήµα (α) να υπολογίσετε τη γωνία ω και στο σχήµα (β) ναυπολογίσετε τον αριθµό α. (Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα η (ε) είναι εφαπτοµένη της Cf).

x

y

0x´

A

y=lnx

ω

(ε)

x

y

0x´

A

y=α

x

45°

(ε)

(α) (β)

40. ** Ένα κέντρο έρευνας για την ασφάλεια των αυτοκινήτων εξετάζει τοδιάστηµα s που διανύει ένα αυτοκίνητο από τη στιγµή που ο οδηγός θα διακρίνει ένα εµπόδιο µέχρι την ακινητοποίησή του. Οι ερευνητές κατέληξαν

σε µια σχέση της µορφής 3Κ dtds - ets2 = 0 όπου t ο χρόνος που µεσολαβεί

από τη στιγµή που ο οδηγός αντιλαµβάνεται το εµπόδιο µέχρι να πατήσει το φρένο, Κ µια σταθερά που εξαρτάται από το µοντέλο και παριστάνει το διάστηµα που θα διανύσει το αυτοκίνητο από τη στιγµή που ο οδηγός θα πατήσει φρένο µέχρι την ακινητοποίησή του (υποτίθεται ότι στην έρευνα χρησιµοποιήθηκε για όλα τα αυτοκίνητα ταχύτητα 80 km/h). α) Να βρείτε τη συνάρτηση s (t) χρησιµοποιώντας µια κατάλληλη αρχική

συνθήκη. β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της συνάρτησης και να ερµηνεύσετε τα

αποτελέσµατα. γ) Κάποιος γνωρίζει ότι ο χρόνος αντίδρασής του είναι 0,8 sec. Πόση

απόσταση πρέπει να κρατά από ένα προπορευόµενο αµάξι όταν τρέχει µε υ = 80 km/h;

292

Page 293: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

41. ** Ο W. Estes έχει ασχοληθεί µε την καµπύλη εκµάθησης ενόςπειραµατόζωου. Το πειραµατόζωο µέσα σε έναν ελεγχόµενο χώρο έπρεπε να επιλέξει τον κατάλληλο µοχλό ώστε να πάρει το φαγητό του. Με την πάροδο του χρόνου ο αριθµός των σωστών επιλογών r (σε µια εβδοµάδα) βρέθηκε

ότι δίνεται από τον τύπο r (t) = 0,24t-25e 113

+ (t εβδοµάδες εκπαίδευσης).

α) Να εξετάσετε αν το πειραµατόζωο θα βελτιώνει συνεχώς τις επιδόσεις του.

β) Τι θα συµβεί αν το πείραµα συνεχιστεί για µεγάλο χρονικό διάστηµα;

42. ** Ο υπολογιστής τσέπης για να υπολογίσει τις δυνάµεις του αριθµού e,

δηλαδή τις τιµές του ex, χρησιµοποιεί το άθροισµα 1 + x +2

x 2

+6

x 3

+ 24x 4

(στην ουσία χρησιµοποιεί πολύ περισσότερους προσθετέους).α) Να δείξετε ότι για κάθε x > 0 η προσέγγιση του υπολογιστή είναι

µικρότερη από την πραγµατική τιµή του ex. β) Να εξετάσετε αν η εξίσωση 24ex = 12x2 + 4x3 + x4, x ≥ 0 έχει λύση. γ) Να δείξετε ότι για ολοένα µεγαλύτερες τιµές του ex, x > 0, έχουµε ολοένα

µεγαλύτερο σφάλµα.

43. ** Μια συνάρτηση f έχει f (0) = 1 και f ΄ (0) = 2. Να βρείτε προσεγγιστικέςτιµές για τα f (0, 1) και f (- 0,05).

293

Page 294: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

44. ** ∆ίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο f (x) = x3 + κx2 + x +λ, κ, λ ∈ R.

x

y

0x´

A

x1

Β

x2

Να δείξετε ότι x1 ⋅ x2 = 31 .

45. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + (x - 1000)2, x ∈ R.α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f.β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς 10002 και 9982 + 22.γ) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f (x) = (x - α)ν + xν, α ∈ R και

α > 0, ν ∈ Ν*, ν = 2ρ. Να συγκρίνετε τους αριθµούς 10000100 και 9000100 + 1000100.

46. ** ∆ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις f και g µε πεδίο ορισµού τοανοικτό διάστηµα ∆. Να δείξετε ότι αν η h (x) = f (x) - g (x) έχει στο x0 ∈ ∆µέγιστο, τότε η f και η g έχουν παράλληλες εφαπτοµένες στο x0 ∈ ∆.

294

Page 295: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

47. ** Το παρακάτω σχήµα παριστάνει την είσοδο µιας σήραγγας του εθνικούοδικού δικτύου. Όταν η κίνηση είναι αυξηµένη παρατηρείται«µποτιλιάρισµα» των αυτοκινήτων στη σήραγγα αυτή. Μια οµάδασυγκοινωνιολόγων µελέτησε τη ροή f των αυτοκινήτων για ένα µεγάλοχρονικό διάστηµα και κατέληξε σε έναν τύπο ο οποίος εκφράζει τη ροή(πλήθος αυτοκινήτων / sec) σαν συνάρτηση της ταχύτητας υ των

αυτοκινήτων µέσα στη σήραγγα. Ο τύπος είναι f (υ) =73

22υ υ

22υ2

++.

60km/hΜήκος

20km

α) Ποιες επεµβάσεις προτείνετε στη σήµανση που υπάρχει στην είσοδο της σήραγγας;

β) Ποια είναι η µέγιστη δυνατή ροή αυτοκινήτων µέσα στη σήραγγα;

48. ** Να αποδείξετε µε τη βοήθεια των παραγώγων ότι οι συναρτήσειςf (x) = (ex + e-x)2 και g (x) = (ex - e-x)2, x ∈ R, διαφέρουν κατά µία σταθερά.Να βρεθεί αυτή η σταθερά.

49. ** Η κατανάλωση ενός φορτηγού που τρέχει µε σταθερή ταχύτητα υ είναι

1 +300υ2

lt πετρέλαιο την ώρα, το πετρέλαιο κοστίζει 150 δρχ. το lt και η

αµοιβή του οδηγού είναι 4.000 δρχ. την ώρα. Να βρείτε την ταχύτητα τουφορτηγού για να έχουµε το ελάχιστο δυνατό κόστος µεταφοράς, καθώς καιτα έξοδα της µεταφοράς για µια απόσταση 500 km.

295

Page 296: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Page 297: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

297

Page 298: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 2ο: ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2o ΜΕΡΟΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Λ 24. Λ 43. Λ2. Σ 25. Λ 44. Σ3. Λ 26. Λ 45. α) Σ4. Σ 27. Λ β) Λ5. Σ 28. Σ γ) Σ6. Σ 29. Λ 46. Λ7. Σ 30. Σ 47. Σ8. Σ 31. Σ 48. Σ9. Σ 32. Λ 49. Σ

10. Σ 33. Σ 50. Σ11. Σ 34. Λ 51. Λ12. Σ 35. α) Σ 52. Λ13. Λ β) Σ 53. Σ14. Σ γ) Σ 54. Λ15. Λ 36. Σ 55. Σ16. Λ 37. Λ 56. Σ17. Λ 38. Λ 57. Λ18. Λ 39. Σ 58. Σ19. Σ 40. Σ 59. Σ20. Σ 41. Σ 60. Λ21. Σ 42. Σ 61. Σ22. Λ 62. Σ23. Σ 63. Σ

298

Page 299: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Β 10. Γ 20. Β2. ∆ 11. Ε 21. ∆3. Ε 12. Γ 22. ∆4. Β 13. Β 23. ∆5. Β 14. Ε 24. Γ6. Γ 15. Ε 25. Γ7. Β 16. Α 26. Β8. Γ 17. ∆ 27. ∆9. Γ 18. Β 28. Γ

19. Β

Μερικές ενδεικτικές λύσεις

7. Η υπόθεση f ΄ (x) = g ΄ (x), για κάθε x ∈ R, σηµαίνει ότι οι συναρτήσειςδιαφέρουν κατά µία σταθερά. Για να είναι ίσες θα πρέπει αυτή η σταθερά ναείναι µηδέν. άρα θα πρέπει f (x0) = g (x0), για κάποιο x0. Συγκεκριµέναέχουµε δώσει f (0) = g (0). Έτσι, η σωστή απάντηση είναι η Β.

12. Να προσεχθεί η έκφραση «θα µπορούσε να έχει τη µορφή». Αυτό σηµαίνειότι µόνο µε τις υποθέσεις της ερώτησης δεν υπάρχει µία γραφικήπαράσταση. Υπάρχει όµως µία από αυτές που δίνονται. ∆εν έχουµε παρά νααποκλείσουµε τις τέσσερις. Η f ΄ γνησίως αύξουσα σηµαίνει ότι η f στρέφειτα κοίλα πάνω. Άρα σωστή απάντηση είναι η Γ.

13. Εδώ θέλουµε από τη γραφική παράσταση της f ΄ να υποθέσουµε τη γραφικήπαράσταση της f. Στο διάστηµα (- ∞, 0) η f ΄ είναι θετική, άρα η f είναιγνησίως αύξουσα, ενώ στο (0, + ∞) η f ΄ είναι πάλι θετική, άρα η f είναιεπίσης γνησίως αύξουσα. Στο σηµείο x0 = 0 είναι συνεχής, άρα και η f είναισυνεχής, συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Τέτοια είναι µόνο η Β.

299

Page 300: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

22. Είναι µια δύσκολη ερώτηση. Η υπόθεση είναι ότι η (ε) είναι ασύµπτωτη τηςCf (στο + ∞) και από το σχήµα έχουµε ότι η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ

= εφ45° = 1. Άρα ∞+→ x

limx(x) f

∞+→ x lim

= 1. Έτσι οι πιθανές απαντήσεις περιορίζονται

στην Α και στη ∆. Είναιx(x) f =

∞+→ x lim

x΄(x) f = f ΄ (x) = 7, άρα

σωστή είναι η ∆.

∞+→ x lim

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 β 2. 1 ε 2 γ, δ 2 α 3 γ, δ, ε 3 γ

4 β 5 δ

3. 1 ε 4. 1 δ 2 δ 2 β 3 γ 3 γ 4 θ 4 α

5. 1 γ 6. 1 β 2 δ 2 δ 3 β 3 ε 4 στ 4 α

7. 1 α 8. 1 γ 2 β 2 ε

3 β 4 στ

300

Page 301: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης

1. - 1 < -55 < 0 <

55 < 1

2. ξ1 = -37 < ξ2 = -

31 < ξ3 = 3

1 < ξ4 = 37

3. f ΄ (x2) < f ΄

+2 x x 21 < f ΄ (x1)

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης

1. α) Αν ρ1, ρ2 δυο ρίζες της f τότε f (ρ1) = f (ρ2) = 0, άρα ισχύουν οι υποθέσειςτου θεωρήµατος Rolle για την f στο διάστηµα [ρ1, ρ2]

β) Αν η f ΄ είχε διαδοχικές ρίζες τις ρ΄1 και ρ΄ , ενώ η f είχε δυο ρίζες ρ2 1, ρ2

στο (ρ΄1 , ρ΄ ), τότε, σύµφωνα µε το (α), η f ΄ θα είχε ρίζα ρ΄ στο διάστηµα

(ρ΄1 , ρ΄ ) (άτοπο, αφού διαδοχικές)

2

2

2. α) Η f είναι συνεχής στο [1, 20] και παραγωγίσιµη στο (1, 20)

β) Θα υπάρχει ξ ∈ (1, 20) (από Θ.Μ.Τ.) ώστε f ΄ (ξ) = 19

log1 - log20 , άρα

ln10 ξ1 =

19log20 , όµως ln10 =

elog1

301

Page 302: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. α) f (x) = x3 +21 x2 + x + 5

β) Η f έχει τη µορφή f (x) = x3 + 21 x2 + x + κ και αφού f (- 2) = - 2,

προκύπτει κ = 6 γ) Θα πρέπει η εξίσωση f ΄ (x) = 0 να έχει µία τουλάχιστον λύση, η f ΄ όµως

έχει ∆ < 0

4. α) Εφαρµογή του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [α, β]:f ΄ (x) = (x - α)µ-1 (x - β)ν-1 [µ (x - β) + ν (x - α)]

β) Πράξεις γ) Ρ (x) = (x - 4)κ (x - 6)κ, οπότε κάνουµε εφαρµογή του (α) για µ = ν = κ και

α = 4, β = 6

5. Η ανισότητα γράφεταια - h) (αηµα - h) (αηµ

++ < συνα και Θ.Μ.Τ. για την

f (x) = ηµx στο [α, α + h].

6. α)12

12

x- x)(x f - )(x f

= α και 12

23

x- x)(x f - )(x f

= α, αφού α είναι η κλίση της

ευθείας, άρα από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ξ1, ξ2 ώστε f ΄ (ξ1) = f ΄ (ξ2) και λόγω θεωρήµατος του Rolle υπάρχει ξ ∈ (x1, x3) ώστε f ΄΄ (ξ) = 0

β) Είναι εφαρµογή του (α)

302

Page 303: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. α) Θ.Μ.Τ. σε δύο κατάλληλα διαστήµαταβ) Θεώρηµα Rolle στο [ξ1, ξ2] που έχει προκύψει από το (α)Σηµείωση: Μια άλλη λύση µπορεί να δοθεί από την παρατήρηση ότι τα σηµεία

(α, f (α)),

++

)2β α

( f ,2β α

και (β, f (β)) είναι συνευθειακά, οπότε η

άσκηση είναι όµοια µε την 6.

8. Η f (x) = ηµ6x + συν6x + 3ηµ2x συν2x είναι σταθερή

9. Για x > x0 f (x) = c1, για x < x0 f (x) = c2, λόγω συνέχειαςf (x) = f (x0) = c1, f (x) = f (x

-0 xx

lim→

0) = c2, άρα c1= c2 = f (x0)

10. α) f (x) < 0 όταν x ∈ [- 8, - 6) ∪ (2, 7). Ενώ f (x) ≥ 0 αν x ∈ [- 6, 2]β) x ∈ (- 4, - 1)γ) f ↑ στο [- 8, - 2], f ↓ στο (- 2, 4], f ↑ στο (4, 7]δ) g ΄ (x) = f ΄ (x) ⋅ ef (x), άρα η g έχει την ίδια µονοτονία µε την f στο

διάστηµα (- 6, 2). Το ίδιο ισχύει και για την h (x), αφού h ΄ (x) = (x) f(x) f

και η f (x) > 0 στο (- 6, 2)

11. γ)x(x) f =

0 -x (0) f - (x) f = f ΄ (ξ) από το Θ.Μ.Τ. µε ξ ∈ (0, x).

Επειδή όµως η f ΄ είναι ↑ στο (0, + ∞), άρα f ΄ (x) > f ΄ (ξ) για κάθε ξ στο διάστηµα (0, x), άρα g ΄ (x) > 0.

303

Page 304: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

12. α) Ο βαθµός του πρέπει να είναι πάνω από 2 και κάτω από 4, άρα είναι 3β) Ισχύει αx3 + βx2 + γx + δ = 3αx2 + 2βx + γ + x3, άρα α = 1, β = 3,

γ = 6 = δ, άρα Ρ (x) = x3 + 3x2 + 6x + 6 γ) Είναι περιττού βαθµού, άρα έχει µία τουλάχιστον ρίζα.

Ρ ΄ (x) = 3x2 + 6x + 6 > 0, άρα Ρ (x) ↑, άρα η ρίζα είναι µοναδική δ) Ρ (x) = - ∞ και Ρ (0) = 6, άρα η ρίζα είναι αρνητική. Θα

µπορούσαµε να πούµε ακόµα ότι Ρ (κ) > 0 για κάθε κ ≥ 0.

∞→ - x lim

13. Η προφανής λύση της εξίσωσης είναι η x = 0.Αν θεωρήσουµε την f (x) = (x - 2000)2000 - x2000 - 20002000,τότε f ΄ (x) = 2000 [((x - 2000)1999 - x1999] ≠ 0, γιατί αν υπήρχε ρίζα x0 της f ΄

τότε1999

0

0

x2000 - x

= 1, δηλαδή

0

0

x2000 - x

= 1 (άτοπο).

Άρα η f είναι γνησίως µονότονη.

14. Έστω ότι το S (x) = P (x) - Q (x) είναι άρτιου βαθµού. Τότε το S ΄ είναιπεριττού, άρα έχει πραγµατική ρίζα, αν όµως είχε δύο ρίζες, τότε το S ΄΄ θαείχε ρίζα (άτοπο). Αν S (x) περιττού βαθµού, τότε και S ΄΄ περιττού βαθµού,άρα θα είχε ρίζα (άτοπο)

15. Αν f (x) = xα - αx (x > 0), τότε f (x) ≥ 0, όµως f (α) = 0, άρα στο α η fπαρουσιάζει ελάχιστο, άρα f ΄ (α) = 0

16. α) g ΄ (x) = f ΄ (x) - x > 0, άρα g γνησίως αύξουσαβ) g (0) = 1, άρα g (x) ≥ 1 στο [0, 6], αφού g ↑γ) g (6) = f (6) - 18, άρα f (6) = g (6) + 18 ≥ 19 από (β)

304

Page 305: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. α) ex ≥ x + 1 > x και lnx ≤ x - 1 < x

β) d = 2

y - x 00 = 2 x- e 0

x0

και dmin = 2

1 , αφού e ≥ x0x0 + 1

γ) Μ (0, 1)δ) οι Cf, Cg είναι συµµετρικές ως προς την y = x

18. f ΄ (x) = 0 ⇒ x (3x - 2α) = 0, άρα τα τοπικά ακρότατα παρουσιάζονται στα

σηµεία µε τετµηµένες x1 = 0 και x2 = 3

2α και είναι τα 0 και - 274 α3

19. α) Π2΄ (t) = 0 ⇒ t = 2 Π1΄ (t) = 0 ⇒ t = 1β) το δεύτερο

20. α) Ισχύει f ΄ (x0) = 0. Αν αντικαταστήσουµε το x0 στην αρχική σχέση, θα

προκύψει f ΄΄ (x0) = 0xe

1

0

x

x1 -e 0

> 0 και αυτό γιατί ex - 1 και x είναι

οµόσηµοι αριθµοί για κάθε x ≠ 0 β) Η f ΄΄ είναι συνεχής συνάρτηση, όπως προκύπτει από τη δοσµένη σχέση,

άρα f ΄΄ (0) = f ΄΄ (x) = 0 x

lim→ 0 x

lim→

⋅2

x

x

(x)) (f - ex

1 - e = 1 > 0 (0 x

lim→ x

1 - ex

= 1,

αφού 0 x

lim→ x

1 - xe είναι η παράγωγος τιµή της ex στο 0).

21. α) Ρ ΄΄ (x) = 6αx + 2β και αφού α ≠ 0 έχει πάντα ρίζα x0 = -α3β

305

Page 306: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

β) Ρ ΄ (- α3β ) = 0, άρα β2 = 3αγ

γ) Αν και ⇒ 0(x Ρ

0 (x Ρ

2

1

= )

=)

=++

=++

0 γ 2βx 3αx

0 γ 2βx 3αx

222

121

3α (x1 - x2) (x1 + x2) + 2β (x1 - x2) = 0 ⇒ 2 (3αx1 + β) + 2 (3αx2 + β) = 0 ⇒ Ρ ΄΄ (x1) = Ρ ΄΄ (x2)

22. Αρκεί να δείξουµε ότι f (x) > y όπου y = f (x0) + f ΄ (x0) (x - x0), άρα αρκεί

0

0

x-x )(x f - (x) f

> f ΄ (x0) για x > x0 και από Θ.Μ.Τ. η σχέση γίνεται

f ΄ (ξ) > f ΄ (x0) µε ξ > x0, που ισχύει, αφού f ΄΄ (x) > 0, άρα f ΄ ↑. Όµοια για x < x0.

23. α) Η f ΄ (x) = 2xlnx - 1 = 0 ⇔ x = e. f (x) ≤ f (e) ⇔ lnx ≤

ex < x

β) g ΄ (x) = 2

2

xlnx - 1 2x + και επειδή 2x2 + 1 > x και - lnx > - x,

άρα 2x2 + 1 - lnx > 0

γ) Σηµείο καµπής το e 23

δ) g (x) > y ⇔ 2x + x

lnx > 0 ⇔x

lnx > 0 που ισχύει για x > 1, άρα για

0 < x < 1 g (x) < y, ενώ για x = 1 g (x) = y ε) g ΄ (x) = 2 ⇔ x = e

24. α) g ΄΄ (x) > 0 β) x ∈ (- 2 , 2 )

306

Page 307: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

25.

x

y

0

x´ -1

2

135°

26. ∆ιαίρεση αριθµητή και παρονοµαστή µε x2. Το όριο είναι 3

27. κ = - 3

28. Α΄ τρόποςΈστω Α (- ρ, 0) το σηµείο επαφής. Τότε το Β

έχει συντεταγµένες (x, 22 x- ρ ), άρα

(ΑΒΓ) = (ρ + x) 22 x- ρ = f (x) (- ρ ≤ x ≤ ρ).

f ΄ (x) =22 x- ρ

x)- (ρ x) (ρ + και όταν x = 2ρ ,

η f παρουσιάζει µέγιστο, άρα η ΒΓ πρέπει να

απέχει 3 2ρ από το Α.

ρ

X

B

Γ

A 0

(ε) (ε)

307

Page 308: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Β΄ τρόπος α) Αν ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y

στο Ο (0, 0), τότε αν Β (x, y), OK = x και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒ∆ το ΒΚ είναι ύψος, άρα y2 = BK2 = OK⋅K∆ = x (2ρ -

x), άρα y = 2 x-2ρx , οπότε το

εµβαδόν Ε = x 2 x-2ρx = f (x).

X

B

Γ

∆0X΄

y

κ

Για την f (x) προκύπτει το ίδιο µέγιστο και αυτό αποτελεί ισχυρή ένδειξη ότι η θέση των αξόνων είναι ανεξάρτητη του αποτελέσµατος.

β) Παρατηρούµε ότι στη θέση µεγίστου εµβαδού ΒΓ = 3 ρ, άρα το τρίγωνο

πρέπει να είναι ισόπλευρο. Το πρόβληµα της εγγραφής µέσα σε κύκλο τριγώνου µε µέγιστο εµβαδό είναι ένα κλασικό γεωµετρικό πρόβληµα, του οποίου η αναλυτική αντιµετώπιση θα µπορούσε να είναι η προτεινόµενη παραπάνω.

29. Θεώρηµα Rolle στο (α, β), υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f ΄ (ξ) = 0 και f ΄΄ (ξ) < 0,δηλαδή f (ξ) µέγιστο

30. α) 400 β) t = 80

31. Στο δεύτερο βήµα δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος L’ Hospital

32. α) υ = 40 β) Ε (40) = 20 µονάδες ενέργειας

308

Page 309: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

33. α) Ε =14

x-48x 3

Β (4, 7

16 ) Γ (- 4, 7

16 )

β) Ε = 764

34. α) f (t) = ln (t - 2) + 4 β) t > 2 + e-3

35. x = 2 f (2) = 4

36. α) (- ∞, 1] ↑, (1, 4] ↓ (4, + ∞) ↑β) Από το σχήµα προκύπτει ότι f ΄ (x) = x2 - 5x + 4, άρα

f (x) = 3

x 3

- 25 x2 + 4x + c και αφού f (0) = 1, άρα c = 1

γ)

x

y

0x´

176

1

14

37. α) x1 = - 1 x2 = 1 β) - 1 < x < 1 γ) - 2 < x < - 1 ή 1 < x < 2

309

Page 310: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

38. α) i) OP = x1, η (ε) έχει εξίσωση:

y - αx1 = 2αx21 (x - x1). Για y = 0

προκύπτει

x = 2

1x(η τετµηµένη του Τ), άρα ΟΡ

=2ΤΡ

ii) εφω =TPMP , άρα f ΄ (x1) = TP⋅f (x1)

ΝΤ Pω

iii) Στο ΤΜΝ ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ΡΝ⋅ΤΡ = ΜΡ2, άρα

ΡΝ = f2 (x1) ⋅ )(x f)(x f

1

1

iv) MPTM =

PNMN , άρα ΤΜ =

PNMNMP ⋅ και MN = 22 PN MP +

β) ΤΡ = 1 για την ex και αν ΤΡ = 21 α = e2

γ) ΑΤ = 8 άρα το ΟΤ του (α) ερωτήµατος είναι 8, δηλαδή ΟΡ = 16 εποµένως f (16) = 40, δηλαδή α⋅162 = 40, άρα η παραβολή έχει εξίσωση

y = 21640 x2

39. α) εφω = f ΄ (1) µε f (x) = lnx, άρα εφω = 1 δηλαδή ω = 45°

β) εφ45° = f ΄ (0) µε f (x) = αx, άρα 1 = α°⋅lnα, δηλαδή α = e

40. α)΄

(t) s1- =

΄

3κe t

. Άρα s (t) = 4 e-

3κt +

αφού για t = 0 s (t) = κ.

Αυτό σηµαίνει ότι ακόµη και αν ο οδηγός είχε µηδενικό χρόνο αντίδρασης (0 καθυστέρηση), το αυτοκίνητο θα διένυε διάστηµα κ.

310

Page 311: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

β) s ΄ (t) > 0 άρα s (t) ↑, δηλαδή µεγαλύτερος χρόνος αντίδρασης µεγαλύτερο διάστηµα ακινητοποίησης

γ) s (0, 8) = 1,7κ

41. α) r΄ (t) > 0, δηλαδή r (t) ↑β) r (t) = 13

∞+→ t lim

42. α) f (x) = ex - 1 - x -2

x 2

-6

x 3

- 24x 4

, x > 0, τότε f (3) (x) ↑ µε ελάχιστο το 0,

άρα f (2) (x) ↑ µε ελάχιστο το 0, άρα f ΄ (x) ↑ µε ελάχιστο το 0, άρα f ↑ µε f (x) > 0

β) αδύνατη γ) η f είναι ↑ και δίνει τη διαφορά του ex από το άθροισµα

43. (f (x) + ∆x) - f (x) ≈ f ΄ (x) ∆x για x = 0 και ∆x = 0,1f (0, 1) ≈ 1,2 ενώ µε όµοιο τρόπο f (- 0,05) ≈ 0,9

44. Στα σηµεία Α, Β οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες προς τον x΄x άρα τα x1, x2

είναι ρίζες της f ΄ (x) = 3x2 + 2κx + 1, όµως x1⋅x2 = αγ =

31

45. α) f ΄ (x) = 0 ⇔ x = 500, άρα για x < 500 f ↓, ενώ για x > 500 f ↑β) f (1000) > f (998) από το (α) ερώτηµα. Θα µπορούσαµε ακόµη να πούµε ότι

f (0) > f (2) και να καταλήξουµε στο ίδιο συµπέρασµα: 10002 > 9982 + 22

311

Page 312: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

γ) Παρατηρούµε ότι εδώ έχουµε µια γενίκευση των (α), (β) και

f ΄ (x) = ν [(x - α)ν-1 + xν-1], µια προφανής ρίζα της f ΄ είναι η x0 = 2α

(αφού ν = 2ρ) που είναι µοναδική, αφού f ΄΄ (x) > 0, άρα f ΄ (x) ↑.

Η µονοτονία της f είναι: f ↓ στο (- ∞, 2α ] και f ↑ στο (

2α , + ∞).

Για α = 10.000 και ν = 100 προκύπτει f (10.000) > f (9.000)

46. h ΄ (x0) = 0 ⇔ f ΄ (x0) = g ΄ (x0), άρα παράλληλες εφαπτοµένες

47. α) f ΄ (υ) = 0 τότε υ ≈ 40, άρα η σήµανση πρέπει να γίνει 40 km/hβ) f (40) ≈ 5 αυτ/sec

48. f ΄ (x) = g ΄ (x) άρα f (x) = g (x) + c για x = 0 c = 4

49. Σε t ώρες έξοδα καυσίµου 150 (1 +300υ2

) t, αφού θα κινηθεί επί t = υ

500 .

Άρα θεωρούµε την Κ (t) = 150 (1 + 300υ2

) t + 4.000t

Άρα Κ (υ) = 150 (1 + 300υ2

) υ

500 + 4.000υ

500

Βρίσκουµε υ = 300.8 ≈ 91 χιλ./ώρα και έξοδα Κ (91) ≈ 45.500 δρχ.

312

Page 313: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

313

Page 314: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΣΧΕ∆ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝ ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ΚΕΦΑΛΑ Ι Ο 2 ο - ΜΕ ΡΟ Σ 2 ο )

Page 315: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε

ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων,

ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου

τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

315

Page 316: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

∆ιδακτική Ενότητα: ∆ιαφορικός Λογισµός (2ο Μέρος)

ΘΕΜΑ 1ο 1. Οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο R και είναι δύο φορές παραγωγίσιµες σ’

αυτό. Αν f ΄ (x) = g ΄ (x) για όλα τα x ∈ R, ποια από τις παρακάτω συνθήκεςπρέπει να ισχύει επιπλέον, ώστε f (x) = g (x), για όλα τα x ∈ R;Α. f και g συνεχείς στο R B. f (0) = g (0)Γ. f ΄΄ (x) = g ΄΄ (x) + c ∆. f ΄΄ (0) = g ΄΄ (0)E. δεν χρειάζεται να προστεθεί άλλη συνθήκη

2. H γραφική παράσταση Cf΄ της παραγώγου µιαςσυνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η γραφικήπαράσταση της f µπορεί να είναι

y

0

x

C ´f

1-1

1

Α.

y

0x´

x B. x

y

0x´

Γ.

y

0x´

x ∆. x

y

0x´

Ε. καµία από τις προηγούµενες

316

Page 317: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. Το διάγραµµα Cf΄της παραγώγου µιας συνάρτησης fφαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τότε δεν ισχύει ότιΑ. η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, 1]B. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [1, 2]Γ. η f έχει τοπικό ελάχιστο στο σηµείο µε x = 0

y

0x´

xC ´f

1 2

∆. η f έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο µε x = 1E. η f έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο µε x = 2

4. H συνάρτηση f ορίζεται σε διάστηµα ∆ και x0 ∈ ∆. Θεωρούµε τις προτάσεις:Ι. Η Cf δέχεται εφαπτοµένη στο Α (x0, f (x0))ΙI. Η f ΄ αλλάζει πρόσηµο στο x0

ΙΙΙ. Η f ΄΄ αλλάζει πρόσηµο στο x0

Τότε το Α (x0, f (x0)) είναι σηµείο καµπής της Cf αν ισχύουν οι προτάσειςΑ. Ι και ΙΙ Β. Ι και ΙΙΙ Γ. ΙΙ και ΙΙΙ∆. µόνο η ΙΙΙ Ε. µόνο η Ι

5. Η ευθεία (ε) είναι ασύµπτωτη της γραφικήςπαράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f. Τότεισχύει ότιΑ. f (x) = 1 Β. f (x) = - 2

∞+→ x lim

∞+→ x lim

Γ. f ΄ (x) = 0 ∆. f ΄ (x) = 1 ∞+→ x

lim∞+→ x

lim

E. f (x) = - ∞ ∞+→ x

lim

y

0x´

x0-2

(ε)Cf

45°

6. Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση τηςf ΄ µιας συνάρτησης f στο R. Τότε για τησυνάρτηση f ισχύειΑ. στο διάστηµα [- 2, 0] η συνάρτηση f στρέφει

τα κοίλα προς τα κάτω

y

0x´

x

f (x)

1-2 3 4

Β. στο διάστηµα [1, 3] ισχύει f ΄΄(x) = 0 Γ. στο διάστηµα [0, 1] η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ∆. στο διάστηµα [- 2, 1] η f είναι γνησίως φθίνουσα

317

E. όλα τα παραπάνω

Page 318: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. Σε κάθε σχέση της στήλης Α αντιστοιχεί ένα γράφηµα από τη στήλη Β τουπίνακα Ι. Να κάνετε την αντιστοίχιση, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ (οισυναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες στο R).

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. (f (x) - g (x))΄ > 0

2. (f (x) - g (x))΄ = 0

3. (f (x) - g (x))΄ < 0

4. (f (x) - g (x))΄ > 0, για x > 0και(f (x) - g (x))΄ < 0, για x < 0

α.

β.

γ.

δ.

x

y

0

Cf

Cg

x

y

0

Cf

Cg

x

y

0

Cf

Cg

x

y

0

Cf

Cg

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

318

Page 319: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΘΕΜΑ 2ο

H γραφική παράσταση Cf΄ της παραγώγου µιας συνάρτησης f φαίνεται στο σχήµα. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x

y

0

x´21

-13 4 5

C ´f

∆ιάστηµα [0, 1]

∆ιάστηµα [1, 2]

∆ιάστηµα [2, 3]

∆ιάστηµα [3, 4]

∆ιάστηµα [4, 5]

Πρόσηµο της f ΄ Μονοτονία της f Μονοτονία της f ΄ Είδος κυρτότητας της f

x0 = 1 x0 = 2 x0 = 3 x0 = 4 x0 = 5 Ακρότατα της f Σηµεία καµπής της f

ΘΕΜΑ 3ο

Α. ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 - αx2, α ≠ 0. α) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα. β) Να δείξετε ότι τα σηµεία που αντιστοιχούν στα τοπικά ακρότατα της f

ανήκουν στην καµπύλη µε εξίσωση y = - 21 x3.

Β. Ένα δοχείο γεµίζει µε νερό. Ο όγκος V (t) του νερού στο δοχείο µετά t sec δίνεται από τον τύπο:

V (t) = 32 (20t2 -

6t 3

), 0 ≤ t ≤ 120

α) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του όγκου, όταν t = 20 sec. β) Πότε ο ρυθµός αυτός γίνεται µέγιστος;

319

Page 320: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. * Η συνάρτηση F (x) = xlnx - x είναι µια παράγουσα της συνάρτησης f (x) = lnx. Σ Λ

2. * Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα ∆, έχει µόνο µια παράγουσα στο ∆. Σ Λ

3. * Αν F1, F2 είναι δυο παράγουσες µιας συνάρτησης f, τότε αυτές διαφέρουν κατά µια σταθερά c. Σ Λ

4. * H συνάρτηση f (x) = 1 x1 lnx

2 ++ δεν έχει παράγουσα στο

διάστηµα [1, + ∞). Σ Λ

5. * Αν f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις, θα ισχύει ο τύπος

∫ = - (x) g (x) f dx (x) g (x) f ∫ dx (x) g (x) ΄΄ f . Σ Λ

6. * Αν f, g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις, θα ισχύει

.∫ += c (x) g (x) f dx (x))΄ g (x) (f Σ Λ

7. * Ισχύει: ∫ += c (x) f dx (x) f . Σ Λ 8. * Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη στο R, τότε θα

ισχύει: .∫ += c (x) f dx (x) ΄΄ f Σ Λ

9. * Οι γραφικές παραστάσεις των παραγουσών F1, F2, F3 µιας συνάρτησης f, που φαίνονται στο διπλανό σχήµα, έχουν παράλληλες εφαπτοµένες σε κάθε σηµείο τους µε τετµηµένη x0. y´

CF1 CF2

x0

y

0x´ x

Σ Λ

320

Page 321: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10. * Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων F (x) = ex + c, έχουν εφαπτόµενες παράλληλες σε κάθε σηµείο τους µε τετµηµένη x0. Σ Λ

11. * Ισχύει: ⋅∫ dx (x) f ∫ ∫= dx (x)) g (x) (f dx (x) g . Σ Λ

12. * Για x < 1 το ∫ 1 -x dx είναι ίσο µε ln (1 - x) + c. Σ Λ

13. * Αν f (t) = ∫ t

α

2 dx 2x - xx , τότε ∫ t

α

22 dx 2x - x x = x⋅f (t). Σ Λ

14. * Ισχύει ότι ∫ +

β

α 3

2

dx 1 x

4x - x =∫∫

α

3

β

α

2

dx 1) (x

dx 4x) - (x. Σ Λ

15. * Αν f ΄ (x) = (x) g1 , τότε .∫ +=⋅ c x dx (x) g(x) f

Σ Λ

16. * Ισχύει: - .∫ =α

0 (α) f α dx (x) fx ∫

α

0 dx (x) f Σ Λ

17. * Ισχύει: .∫ +β

α dx (x) f 0dx (x) f

α

β =∫ Σ Λ

18. * Ισχύει: ∫ =α

β - (x) g (x) f dx (x) g (x) f ∫

α

β dx (x) g (x) f . Σ Λ

19. * Ισχύει: ∫ =α

α 0 dx (x) f . Σ Λ

20. * Ισχύει: ΄

x

α dt (t) f = f (x). Σ Λ

21. * Ισχύει: ΄

∫(x) g

α dt (t) f

= f (g (x)) g ΄ (x). Σ Λ

22. * Ισχύει: ΄

∫α

xdt (t) f

= - f (x). Σ Λ

23. * Ισχύει: ΄

∫(x)h

(x) g dt (t) f

= f (h (x)) h ΄ (x) + f (g (x)) g ΄ (x). Σ Λ

321

Page 322: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

24. * Η διαφορική εξίσωση y΄ = κy (κ ∈ R) έχει µερική λύση την y = eκx. Σ Λ

25. * Μια λύση της διαφορικής εξίσωσης y΄ = y είναι η

συνάρτηση y = 21 ex. Σ Λ

26. * Η γραφική παράσταση του σχήµατος είναι µια µερική λύση της διαφορικής εξίσωσης y΄ = x.

y

0

x1

y= 12 x +12

Σ Λ

27. * Οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης dxdy = 3 είναι όλες οι

ευθείες µε συντελεστή διεύθυνσης λ = 3. Σ Λ

28. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που

παριστάνει το ∫ x

1 dt

t1 .

y

0x´

x1

y=lnx

Σ Λ

29. * Ισχύει , c σταθερά.∫∫ =8

6

4

2 cdx cdx Σ Λ

30. * Το εµβαδόν του σκιασµένου τµήµατος

είναι ίσο µε , c ≠ 0.∫ +β

α c dx (x) f

y

0x´

x

Cf

α βΣ Λ

31. * Αν f συνεχής στο R και f (10) = 100, τότε ισχύει:

100 = f (0) + . ∫10

0 dx (x) f Σ Λ

322

Page 323: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

32. * Ισχύει: .∫ =1

0 συν1 - 1 ηµxdx Σ Λ

33. * Αν θεωρήσουµε ότι e ≈ 2,7, τότε ισχύει . ∫ =1

0

x 1,7 dx e Σ Λ

34. * Αν Α = , τότε: ∫2

0 dx (x) f

α) = Α ∫2

0 dω (ω) f

β) - Α ∫0

2 dt (t) f =

γ) ∫ =2

0 8 -3A dz 4) - (z) f (3

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ 35. * Αν η f είναι περιοδική συνάρτηση στο R µε περίοδο Τ,

τότε θα ισχύει: ∫ ∫=T

0

2T

Tdt (t) f dt (t) f . Σ Λ

36. * Αν α ≥ β, τότε ∫ ≥+β

α

x 0 dx 1) (e . Σ Λ

37. * Αν f (x) > 0, τότε ισχύει . ∫ >ln2

1 0 dx (x) f Σ Λ

38. * Αν τότε f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈ [α, β].∫ ≥β

α 0 dx (x) f Σ Λ

39. * Αν f (x) ≤ g (x) για κάθε x ∈ [α, β], τότε θα ισχύει ότι

∫∫ ≤β

α

β

α dx (x) g dx (x) f . Σ Λ

40. * Αν α < β, τότε ισχύει ότι ∫β

α dx (x) f ≤ ∫

β

α dx (x) f .

Σ Λ 41. * Αν η f είναι συνεχής στο [1, 3], τότε ισχύει ότι

. ∫∫∫ +<3

2

2

1

3

1 dx (x) f dx (x) f dx (x) f Σ Λ

323

Page 324: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

42. * Για τη συνάρτηση του διπλανού σχήµατος ισχύει ότι:

∫∫ <3

0

2

0 dx (x) f dx (x) f .

y

x0

x´ 2 3Cf Σ Λ

43. * Ισχύει: . ∫ =2π

0 0 ηµxdx

Σ Λ

44. * Για τη συνάρτηση του σχήµατος,

ισχύει ότι , για κάθε α >

0.

∫ =α

α- 0 dx (x) f x

y

0

y=x3

Σ Λ

45. * Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], τότε το

εκφράζει το εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ της C

∫α

β dx (x) f

f, του άξονα x΄x και των ευθειών x = α, x = β. Σ Λ

46. * Ισχύει: ∫ > π

3 0 dx x)4συν - (1 . Σ Λ

47. * Ισχύει: ∫ =2 x

1 2lnx dt

t1 , x > 0. Σ Λ

48. * Αν , τότε f (x) = g (x) για κάθε

x ∈ [α, β].

∫∫ =β

α

β

α dx (x) g dx (x) f

Σ Λ

49. * Η ιδιότητα του ορισµένου ολοκληρώµατος

ισχύει µόνο εφόσον

α < γ < β.

∫∫∫ +=β

γ

γ

α

β

α dx (x) f dx (x) f dx (x) f , Σ Λ

50. * Ισχύει ο τύπος ΄

∫α

xdt (t) f

= - ΄

x

α dt (t) f . Σ Λ

51. * Ισχύει: α, β > 0. ∫ =lnβ

lnα

x α - β dx e , Σ Λ

324

Page 325: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

52. * Το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου του σχήµατος δίνεται από τη σχέση:

Ε = ∫1

0

23 dx ) x- (x .

(Οι γραφικές παραστάσεις στο σχήµα είναι οι f (x) = x2 και g (x) = x3).

x

y

0

x´ 1 Σ Λ

53. * Για το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου που φαίνεται στο σχήµα,

ισχύει: Ε = - .∫2

2- dx (x) f

y

0x

-2 2

Σ Λ

54. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1] και f (0) = f (1),

τότε ∫ = 0. 1

0 dx (x) f Σ Λ

55. ** Αν = 10, το ελάχιστο της f στο διάστηµα [0, 5]

δεν µπορεί να είναι 3.

∫5

0 dx (x) f

Σ Λ

56. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f. Αν Μ µέσον του ΟΑ και (ε) // x΄x, τότε

θα ισχύει: ∫ =ξ

0 ξ (OΓ) dx (x) f .

x

y

0x´

Γ ΜΑ

(ε)

ξ

Cf

Σ Λ

57. * Αν ξ ∈ (α, β) και f (ξ) = µ, όπου µ η µέση τιµή της συνεχούς συνάρτησης f στο [α, β], τότε Ε1 = Ε2. x

y

0x´

µ E2

ξ

CfE1

α β Σ Λ

325

Page 326: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

58. * Το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου είναι ίσο µε

Ε = ∫β

α dx (x) f . x

y

0x´

α β

Cf

Σ Λ

59. * Το σκιασµένο εµβαδόν του σχήµατος 1 είναι µεγαλύτερο από το σκιασµένο εµβαδόν του σχήµατος 2. Σ Λ

x

y

0

y=1

1

1 2-1

-1

π

Σχήµα 1

x

y

0

y=1+ηµ x2

1

1 2-1

-1

y=ηµ x2

π

Σχήµα 2

326

Page 327: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. * Αν η συνάρτηση f έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε µία παράγουσά της µπορεί να έχει γραφική παράσταση την

y

0x´

x1

1

Cf

Α.

y

0x´

x B.

y

0x´

x

1

Γ.

y

0x´

x

1∆.

y

0x´

x1

Ε.

y

0x´

x1

327

Page 328: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. * Αν f (x) = ex, τότε µία παράγουσα της f µπορεί να έχει γραφική παράσταση την

Α.

y

0x´

x

2

B.

y

0x´

x

2

Γ.

y

0x´

x1 ∆.

y

0x´

x2

Ε.

y

0x´

x

328

Page 329: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Αν F (x) = - ηµx είναι µία παράγουσα της συνάρτησης f στο [0, 2π], τότε η γραφική παράσταση της f είναι

Α.

y

x

y

0

1

x´ π2

π2

B.

y

x

y

0

1

x´ π2

-13π2

2ππ

Γ.

y

x

y

0

1

x´ π2

-1

3π2 2ππ ∆. x

y

0

3π2

π2 2ππ

Ε. x

y

0

x´ 3π2

π2

2ππ

329

Page 330: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Αν F (x) = 41 x4 +

41 είναι µία παράγουσα της συνάρτησης f, τότε η

γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι

Α.

x´ x

y

0B.

x´ x

y

0

1

Γ.

x´ x

y

00 -1∆.

x´ x

y

0

Ε.

x´ x

y

0

330

Page 331: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Αν µία παράγουσα F µιας συνάρτησης f έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι

y

0x´

x1

1

CF

y= αx

Α.

y

0x´

x

1B.

y

0x´

x

1

Γ.

y

0x´

x1 ∆.

y

0x´

x1

Ε.

y

0x´

x

331

Page 332: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. * Αν f (x) = 1, τότε µία παράγουσα της f µπορεί να έχει γραφική παράσταση την

Α. x´

y

x0

1B.

y

x

y

0 1

x´ -1

1

Γ.

y

x

y

0 1

x´1

∆. x´

y

x0

1-1

Ε. x´

y

x0

11

7. * Για τη συνάρτηση f (x) = 2 x- 1 ισχύει

Α. Β. ∫ =1

1 - 0 dx (x) f ∫ =

1

1 - 2 dx (x) f

Γ. ∫ =1

1 - 2π dx (x) f ∆. ∫ =

1

1 - πdx (x) f

y

x

y

0

x´ -1 1

1 y= 1-x2

Ε. ∫ =1

1 -

2 πdx (x) f

332

Page 333: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. * Το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστηµα ∆ Α. είναι αριθµός Β. είναι µια παράγουσα της f Γ. είναι το σύνολο των παραγουσών της f ∆. είναι ίσο µε f ΄ (x)

Ε. είναι ίσο µε f (x) + c, c ∈ R

9. * Έστω f συνεχής σε διάστηµα ∆ και α, β, γ ∈ ∆. Τότε ισχύει

Α. = + ∫β

α dx (x) f ∫

α

γdx (x) f ∫

β

α dx (x) f

Β. + + 0 ∫ γ

α dx (x) f ∫

β

γdx (x) f ∫

α

β dx (x) f =

=

Γ. = + ∫β

α dx (x) f ∫

γ

α dx (x) f ∫

γ

β dx (x) f

∆. + + 0 ∫ γ

α dx (x) f ∫

β

γdx (x) f ∫

β

α dx (x) f

Ε. = + ∫α

α dx (x) f ∫

β

α dx (x) f ∫

γ

α dx (x) f

10. * Μία παράγουσα της συνάρτησης f (x) = x

2

e 1x1 3x

+

+, x > 0, είναι η συνάρτηση

Α. F1 (x) = x

3

e x lnx x

++ Β. F2 (x) = x

2

ex1 -6x

Γ. F3 (x) = ∫

+

α x

2

dx

΄

e 1x1 3x

∆. F4 (x) = ∫ +

+ x

2004 t

2

dt e 1

t1 3t

Ε. καµία από τις προηγούµενες

333

Page 334: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. * Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα, µπορεί να είναι µια λύση της διαφορικής εξίσωσης Α. y΄ = x Β. y΄ = y Γ. y΄ = - 3 ∆. y΄ = - 2x Ε. y΄ = x3

x´ x

y

-1Cfy´

12. * Η διαφορική εξίσωση y΄ = xy, y > 0, έχει µία λύση τη συνάρτηση

Α. y = Β. y = e2xe x Γ. y = 2

x2

e ∆. y = x1 Ε. y = lnx

13. * Η συνάρτηση f (x) = x είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης

Α. 2xy΄ = y Β. y΄y =

x1 Γ.

yy΄ = x

∆. y΄y = x Ε. y2y΄ = x3

14. * Αν f είναι µια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστηµα ∆ και α ∈ ∆, τότε µία παράγουσα της f στο ∆ είναι η συνάρτηση

Α. F (x) = Β. F (x) = ∫α

(x) f dt (t) f ∫

β

α dx (x) f

Γ. F (x) = ∆. F (x) = ∫(x) f

α dt (t) f ∫ dt (t) f

Ε. F (x) = ∫ x

α du (u) f

15. * Η παράγωγος της συνάρτησης F (x) = ισούται µε ∫xe

1 dtlnt

Α. 0 B. x1 ex Γ. ex ∆. xex E. lnx⋅ex

334

Page 335: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

16. * Το ολοκλήρωµα Ι = ισούται µε( )∫β

α dx ΄(x) g (x) f

Α. f ΄ (β) g (β) - f (α) g ΄ (α) B. f (β) g (β) - f (α) g (α) Γ. (f⋅g) (α) - (f⋅g) (β) ∆. f (β) g ΄ (β) - f ΄ (α) g (α) E. 2 (β - α)

17. * Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], τότε η παράσταση ΄

β

α dx (x) f είναι ίση µε

Α. f (x) B. f (β) - f (α) Γ. (β - α) f (x) ∆. 0 E. F (β) - F (α) όπου F (x) παράγουσα της f

18. ** Ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα µε ταχύτητα υ (t) = 2t m/sec. Κατά τηδιάρκεια του νιοστού δευτερολέπτου το σώµα διάνυσε 9 µέτρα. Ισχύει:Α. ν = 1 B. ν = 3 Γ. ν = 4 ∆. ν = 5 E. ν = 10

19. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 2 x- 4 , x ∈ [- 2, 2]. Η µέση τιµή της συνάρτησης f στο διάστηµα [- 2, 2] είναι

Α. 1 Β. 21 Γ. π ∆. 2 Ε.

20. * Έστω ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. Τότε η µέση τιµή της f στο διάστηµα [-α, α] είναι ίση µε

Α. 2α Β. 0 Γ. - 2α ∆. 2α Ε. -

335

Page 336: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

21. * Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση

µιας συνάρτησης f. Αν f είναι η µέση τιµή της f στο διάστηµα [α, β], τότε θα ισχύει: Α. ΑΒ⋅Α∆ = f (β) - f (α)

Β. ΑΒ⋅ f = ∫β

α dx (x) f

y

0y´

α βΒΑ

Γ∆fCf

Γ. ΑΒ⋅ f = ∆. OA⋅∫ +β

α c dx (x) f f = ∫

β

α dx (x) f

Ε. όλα τα παραπάνω

22. * Αν Ι = και J = και Κ = Ι + J, τότε το Κ είναι

ίσο µε

∫ π/2

0

2 dxx ηµ ∫ π/2

0

2 dxx συν

Α. 1 B. 2 Γ. π ∆. 2π E. 2π

23. * Το ολοκλήρωµα Ι = είναι ίσο µε ∫β

α dx (x) g (x)) (g f

Α. f ΄ (g (β)) - f ΄ (g (α)) B. f (g ΄ (β)) - f (g ΄ (α)) Γ. f (g (β)) - f (g (α)) ∆. g (β) - g (α) E. f (β) - f (α)

24. * Έστω f µια συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [α, β]. Μέση τιµή της συνάρτησης αυτής στο [α, β] ονοµάζεται ο αριθµός

Α. α- β

(α) f - (β) f B. β - α

dx (x) fβ

α ∫ Γ. α- β

(α) f - (β) f

∆. 2α -β E.

α - β

dx (x) fβ

α ∫

336

Page 337: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

25. * Το είναι πάντα ∫β

α

x dxe 2

Α. θετικό B. αρνητικό Γ. ίσο µε το 0 ∆. θετικό αν β > α E. είναι θετικό αν β < α

26. ** Για τη συνάρτηση f του διπλανού σχήµατος το

είναι ίσο µε∫β

α dx (x) f

Α. Ε1 + Ε2 Β. 21 (Ε2 - Ε1) Γ. 2Ε1 + Ε2

∆. 21 (Ε1 + Ε2) Ε. Ε2 - Ε1

x´ x

y

0 βαΕ1

Ε2

Cf

27. ** Έστω f µια περιττή συνάρτηση. Τότε το

ολοκλήρωµα Ι = είναι ίσο µε∫α

α- dx (x) f

Α. 2 Β. 2 Γ. 0 ∫α

0 dx (x) f

∆. 2α Ε. - 2 ∫α

α- dx (x) f

x´ x

y

0 α-α

28. ** Έστω f µια άρτια συνάρτηση. Τότε το εµβαδόν τουσκιασµένου χωρίου είναι ίσο µε

Α. 2 Β. 2 Γ. 0 ∫α

0 dx (x) f

∆. 2α Ε. - 2 ∫α

α- dx (x) f

y

x-α α0

337

Page 338: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

29. * Το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου είναι ίσο µε Α. e Β. e - 1 Γ. 1 ∆. 1 - e Ε. 2e

x

y

0x´

e1

30. * Αν g (x) = f (x) + 1, το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου είναι ίσο µε Α. α⋅f (β) - β⋅f (α) B. β - α Γ. α⋅β ∆. 1 τ.µ. E. κανένα από τα προηγούµενα

x´ x

y

0α β

Cf

Cg

31. * Το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου που φαίνεται στο διπλανό σχήµα είναι ίσο µε

Α. Β. ( )∫β

α dx (x) f (x) g ( )∫

β

α dx (x) g - (x) f

Γ. (∫ dx (x) g - (x) f )

y

x0y´

x´ α βx0

CfCg

∆. Ε. τίποτα από τα παραπάνω ∫∫00 x

β

x

α dx (x) g - dx (x) f

32. * Οι καµπύλες του σχήµατος παριστάνουν συναρτήσεις του συνόλου

Α. Β. των παραγουσών της f (x) = 3x∫ 3dxx 2

Γ. ∆. ∫ 4dxx ∫ +

2 dx 2) (3x

Ε. τίποτα από τα παραπάνω

y

0x´

x

y=x +c3

338

Page 339: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

33. * Το µας δίνει το εµβαδόν του σκιασµένου τµήµατος στο σχήµα ∫α

β dx (x) f

Α.

y

0x´

xCf

α βB.

y

0x´

xCf

α β

Γ.

y

x

y

0

x´α β Cf ∆.

y

x

y

0

x´ α β

Cf

Ε.

xx´

y

y´0 α

β

Cf

34. * Το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου του διπλανού σχήµατος είναι ίσο µε

Α. Β. ∫4

1 dx (x) f ∫

4

1 dx (x)) (-f

Γ. ∆. ∫4

1 dx 4) - (x) (f ∫

4

1 dx (x)) f - (4

Ε. +∫2

1 dx (x)) f - (4 ∫

4

2 dx 4) - (x) (f

x

y

0x´

4

1 2 4

Cf

339

Page 340: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

35. ** Οι συναρτήσεις f και g είναι δυο φορές παραγωγίσιµες στο R και f (x) ≤ g (x)για κάθε x ∈ R. Από τις παρακάτω προτάσεις:

Ι. f ΄ (x) ≤ g ΄ (x) για κάθε x ∈ R ΙΙ. f ΄΄ (x) ≤ g ΄΄ (x) για κάθε x ∈ R

ΙΙΙ. ≤ ∫2

0 dx (x) f ∫

2

0 dx (x) g

αληθεύουν Α. όλες Β. καµία Γ. µόνο η Ι ∆. µόνο η ΙΙΙ Ε. µόνο οι Ι και ΙΙ

340

Page 341: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. * Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ, έτσι ώστε σε κάθε γραφική παράσταση συνάρτησης f της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχεί η γραφική παράσταση της παράγουσάς της από τη στήλη Β.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

Συνάρτηση f Παράγουσα F

1.

2.

3.

x´ x

y

0

2

y

0x´

x

1

y

0

x1

1

-1

α.

β.

γ.

δ.

x´ x

y

0 113

y

0x´

x1

y

0x´

x

2

y

0x´

x

2

1

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

341

Page 342: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α του πίνακα Ι µε τηνπαράγωγό της στη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. F (x) = ∫+

+3 x

1- dt 2) (t ηµ

2. F (x) = ∫ +2 x

α du 1) (u ln

3. F (x) = ∫ + x

0

2 dt 1) (t tln

4. F (x) = ∫ +

1 -

2 x dtηµt

5. F (x) = - ∫ +1

x2du 2) (u ln

α. f (x) = - ηµ (x + 2)

β. f (x) = ηµ (x + 2)

γ. f (x) = 2xln (x2 + 2)

δ. f (x) = ηµ (x + 5)

ε. f (x) = xln (x2 + 1)

ζ. f (x) = ln (x2 + 2)

η. f (x) = 2xln (x2 + 1)

θ. f (x) = ηµ (x + 3)

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4 5

342

Page 343: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. ** Να αντιστοιχίσετε το εµβαδόν κάθε χωρίου που φαίνεται στη στήλη Α τουπίνακα Ι στον τύπο που το υπολογίζει και υπάρχει στη στήλη Β,συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1.

2.

3.

4.

y

0 x-α α

CgCf

y

x0

Cf

α-α

y

0 x-α α

Cg

Cf

Cf

Cg

y

x0

α-α

f(x)=x3

α. Ε = ∫∫ +α

0

0

α- dx (x)) g - (x) (f dx (x)) f - (x) (g

β. Ε = ∫∫ +α

0

0

α- dx (x)) f - (x) (g dx (x)) g - (x) (f

γ. Ε = ∫α

α- dx (x)) g - (x) (f

δ. Ε = ∫α

α- dx (x) f

ε. Ε = - 2 ∫0

α- dx (x) f

ζ. Ε = ∫∫α

0

0

α- dx (x) f -dx (x) f

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

343

Page 344: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. * Σε κάθε διαφορική εξίσωση της στήλης Α να αντιστοιχίσετε µια λύση της που υπάρχει στη στήλη Β του πίνακα Ι, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. y΄ = y

2. yy΄ = 2x3 + 2x

3. y΄ = 3y

4. y΄x3 = -y1

α. y = e3x

β. y = 31 e2x

γ. y = 31 ex

δ. y = x2 + 1

ε. y = x - x1

ζ. y = - x1

Πίνακας ΙΙ 1 2 3 4

344

Page 345: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Να αντιστοιχίσετε τις διαφορικές εξισώσεις της στήλης Α του πίνακα Ι µε τις λύσεις τους στη στήλη Β, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ, αν Q > 0.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

1. 0 κ κQ,-dtdQ

>=

2. 0 κ Q), - (Bκ dtdQ

>=

3. 0 κ κQ,dtdQ

>=

α. Q (t) = Q0e+κt

β. Q (t) = Q0e-κt

γ. Q (t) = B + Ae-κt

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

345

Page 346: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

6. ** Στη στήλη Α του πίνακα Ι φαίνονται οι παράγουσες κάποιων συναρτήσεωνκαι στη στήλη Β οι συναρτήσεις αυτές. Να γίνει αντιστοίχιση, συµπληρώνοντας τον πίνακα ΙΙ.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

παράγουσα F συνάρτηση f

1. 31 συν3x + 3

2. εφx + ln2

3. ln |3x - 2| + 2

4. e2x+3

5. 2x

6. ln22x

α. 31 ηµ3x

β. 2x ln2

γ. xσυν

12

δ. e2x+3

ε. - ηµ3x

ζ. 2-3x

3

η. 2-3x

2

θ. 2x

ι. 2e2x+3 Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4 5 6

346

Page 347: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

7. * Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ, έτσι ώστε κάθε παράγουσα F που υπάρχει στη στήλη Α του πίνακα Ι να αντιστοιχεί η συνάρτηση f από τη στήλη Β.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

παράγουσα F συνάρτηση f

1. F (x) = x + c

2. F (x) = 2 x + c

3. F (x) = εφx + c

4. F (x) = - ln |συνx| + c

5. F (x) =x1 + c

6. F (x) = xlnx - x + c

α. f (x) = εφx

β. f (x) = - 2x1

γ. f (x) = ex

δ. f (x) = xσυν

12

ε. f (x) = 1

ζ. f (x) = - xηµ

12

η. f (x) = lnx

θ. f (x) = x

1

ι. f (x) = σφx Πίνακας ΙΙ

1 2 3 4 5 6

347

Page 348: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις συµπλήρωσης

1. ** Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

∆ιαφορική εξίσωση Γενική λύση Αρχική συνθήκη Μερική λύση

y΄ = 3x + 2 f (0) = 2

y΄ = ηµx f (0) = 1

y΄ = e-x f (0) = 0

y΄ = x1

, x > 0 η f διέρχεται

από το (1, e)

y΄ = x2 f (0) = - 1

y΄ = 5 f (2) = 8

y΄ = x

1, x > 0 f (1) = - 3

348

Page 349: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

2. ** Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

∫ dx (x) f F (x) + c (F (x) + c)΄ = f (x)

∫ +

dx 5) (2x

∫ ++ 23 dx 1) x (x

+ 2 dx

x1

x1

+x dx

x1e

dx 3συνx) -(2ηµx

+ 22 dx

xσυν1

xηµ1

∫ + 9 dx 1) (x

∫ + 22 dx 3) -(2x 5) 3x - (x

∫ 3 dxx ηµxσυν

∫ + 1 x dx xe2

∫ +dx

1 2x 1

∫ +++

2 dx 1 x x

1 2x

∫+2

dx 1 x

x

349

Page 350: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

3. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Συνάρτηση f Mια παράγουσα της f,

F ∫β

α dx (x) f

f (x) = x

1F (x) = 2 x ∫ =

2

1 (1) F - (2) F dx (x) f

f (x) = ηµ2x∫ =

π

0 dx (x) f ……………

f (x) = e3x ∫ =

1

0 dx (x) f ……………

f (x) = xηµ

12 ∫ =

π/4

π/4- dx (x) f ……………

f (x) = lnx ∫ =

e

1 dx (x) f ……………

f (x) = 1-x

1 ∫ =1/2

0 dx (x) f ……………

f (x) = x3 + 1 ∫ =

3

2- dx (x) f ……………

f (x) = 2x1 - 1 ∫ =

2

1 dx (x) f ……………

f (x) = c ∫ =β

α dx (x) f ……………

350

Page 351: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. ** Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:Συνάρτηση Εµβαδόν σκιασµένου χωρίου µέση τιµή της F

στο διάστηµα [0, 2]

y

0x2

στο διάστηµα [0, π]

στο διάστηµα [π, 2π] xx´

y

y´0 π 2π

y= xηµ

στο διάστηµα [- 1, 0]

στο διάστηµα [0, 1] x´

y

x0

1-1

y=x

351

Page 352: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. * Στη στήλη Α φαίνονται κάποια σκιασµένα χωρία. Να συµπληρώσετε στη στήλη Β τα τµήµατα των γραφικών παραστάσεων της συνάρτησης F (x) στο διάστηµα [0, 3].

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

x

y

0x´

y=3

Ε(x)33

x

y

0x´

y=x

Ε(x)

y

0 x

y=x2

E(x)

352

Page 353: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

353

Ερωτήσεις διάταξης

1. * Τα παρακάτω ολοκληρώµατα αναφέρονται στις συναρτήσεις του διπλανού σχήµατος. Να τα γράψετε σε µια σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο.

Ε1 = Ε∫1

0 xdx 2 = ∫

1

0 dx (x) f

Ε3 = Ε4 = ∫∫1

0 dx (x) g

1

0 dx (x)) g -(x

01 x

y

2. * Να διατάξετε τη µέση τιµή των συναρτήσεων f, g, h, φ στο διάστηµα [0, α] κατά αύξουσα σειρά.

0 α x

y

3. * ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = ∫0

1 - x t dt et . Να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά

τις τιµές της συνάρτησης f (1), f (2), f (3).

Page 354: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

συνάρτηση G (x) = α1 F (αx + β) είναι µια παράγουσα της h (x) = f (αx + β),

α ≠ 0 στο R.

2. ** α) Να δείξετε ότι ∫∫+

+=

β

α

γβ

γα dx (x) f dx γ)-(x f .

β) Να δώσετε γεωµετρική ερµηνεία της ισότητας.

3. ** Αν P (t) είναι ο πληθυσµός µιας χώρας, όπου t ο χρόνος σε έτη, ένας«νόµος της αύξησης» εκφράζεται από τη σχέση Ρ΄ (t) = κ Ρ (t) (1), όπου κ> 0 σταθερά που εξαρτάται από πολλούς παράγοντες. Αν θεωρήσουµε ότι ησυνάρτηση Ρ (t) είναι παραγωγίσιµη µε συνεχή παράγωγο:α) να λύσετε την εξίσωση (1).β) Αν υποθέσουµε ότι για τον πληθυσµό της Ελλάδας ισχύει ο νόµος της

αύξησης από το 1920 και µετά, που ο πληθυσµός ήταν 5.000.000 και ότι το 1990 ο πληθυσµός ήταν 10.000.000, να βρεθεί η σταθερά κ για την Ελλάδα.

γ) Αν υποθέσουµε ότι οι συνθήκες διαβίωσης δεν θα µεταβληθούν σηµαντικά, να «προβλεφθεί» ο πληθυσµός της Ελλάδας το έτος 2010.

4. ** Αν y = f (t) είναι η µάζα τη χρονική στιγµή t µιας ραδιενεργού ουσίας,τότε σύµφωνα µε το «νόµο της διάσπασης» ισχύει y΄ = - κy (1), όπου κθετική σταθερά και t ο χρόνος σε έτη.α) Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση (1).β) Αν ορίσουµε ως «χρόνο υποδιπλασιασµού» το χρόνο Τ, στον οποίο η

αρχική µάζα µειώνεται στο µισό, να αποδείξετε ότι Τ = κ

ln2 και ότι ο

χρόνος υποδιπλασιασµού είναι ο ίδιος για οποιαδήποτε µάζα µιας συγκεκριµένης ραδιενεργού ουσίας.

γ) Το ραδιενεργό στοιχείο ράδιο έχει χρόνο υποδιπλασιασµού 1600 χρόνια. Να βρείτε πόση µάζα θα έχει διασπαστεί µετά από 100 χρόνια, αν η αρχική µάζα είναι 5 kgr.

354

Page 355: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. ** Προφανώς > 0. Αλλά Ι = = και θέτουµε

u = x

∫1

2-

2 dx 2x ∫1

2-

2 dx 2x ∫ ⋅1

2- dxx 2 x

2, οπότε du = 2x dx, ενώ για x = 1 είναι u = 1 και για x = - 2 είναι u = 4.

Άρα Ι = ∫1

4 du u = - ∫

4

1 du u < 0. Πού βρίσκεται το λάθος;

6. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = Να

αποδείξετε ότι η f δεν έχει σηµεία καµπής.

∫ ++++ x

1

2003200119991997 dt t) t t t(t .

7. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = ∫2x

π/6dt

tηµt , µε x > 0.

α) Να υπολογιστεί η f ΄ (x).

β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (4π ,

3π ) ώστε η εφαπτοµένη

της Cf στο (x0, f (x0)) είναι παράλληλη στην ευθεία y = x.

8. ** Θεωρούµε τη συνάρτηση h (x) = (x - 1) ∫ x

2 dt

tlnt , x > 0.

α) Να αποδείξετε ότι η h είναι παραγωγίσιµη.β) Να αποδείξετε ότι µπορεί να εφαρµοστεί το θεώρηµα του Rolle για την h

στο [1, 2].

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (1, 2) τέτοιο ώστε ξξ - 1 lnξ = ∫

ξ

2 dt

tlnt .

9. ** Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι το

Ιλ = , λ ∈ R, γίνεται ελάχιστο όταν το λ είναι ίσο µε τη µέση

τιµή

∫β

α

2 dx λ) - (x) (f

f της f στο [α, β].

355

Page 356: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10. ** α) Να κατασκευάσετε το τµήµα µιαςκαµπύλης µε αρχή πάνω στον άξονα y΄y και τέλος το Β ώστε το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη και µεταξύ των ευθειών y = 0 και x = 1 να είναι ίσο µε το εµβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒΓ. Είναι δυνατόν η καµπύλη να παριστάνει γνησίως µονότονη συνάρτηση;

x

y

0x´

Β

Α1

Γ

β) Να παρατηρήσετε ότι η πρόταση: «Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, 1]

και ισχύει = f (1) δείξτε ότι η f διαθέτει ένα τουλάχιστον

σηµείο τοπικού ακροτάτου στο διάστηµα (0, 1)» απαντά στο ερώτηµα (α) και να την αποδείξετε.

∫1

0 dx (x) f

Σηµείωση: Η άσκηση αποτελεί δείγµα τροποποίησης της άσκησης 3 της σελίδας 342 του σχολικού βιβλίου και το ερώτηµα (α) ενδείκνυται για διαπραγµάτευση µέσα στην τάξη.

11. ** α) Στο διπλανό σχήµα να εκτιµήσετε τη σχέσηπου φαίνεται να έχουν τα εµβαδά Ε1, Ε2.β) Προσπαθήστε τώρα να ελέγξετε τα

συµπεράσµατά σας µε αυστηρά µαθηµατικό τρόπο, π.χ.: για το Ε1: θεωρήστε λ > 1 και υπολογίστε

το ∞+→ λ

lim ∫λ

1 2 dx x1 και

x

y

0x´

Ε2

1Ε1

1 y=1x2

για το Ε2: 0 < λ < 1 και υπολογίστε το +→ 0 λ

lim ∫1

λ 2 dx x1 .

Είναι συµβατά τα όσα είχατε υποθέσει στο ερώτηµα (α) µε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (β); Μπορείτε να δικαιολογήσετε τα αποτελέσµατά σας γεωµετρικά;

Σηµείωση: Η άσκηση αποτελεί δείγµα τροποποίησης της άσκησης 9 της σελίδας 353 του σχολικού βιβλίου, αποτελεί πρόταση για διαπραγµάτευση µέσα στην

356

Page 357: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

τάξη και απόδειξη ότι συχνά είναι ανάγκη η εποπτεία να ελέγχεται από µαθηµατικές µεθόδους.

12. ** ∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x + e-x, g (x) = x - e-x.α) Να βρείτε το πρόσηµο της f (x) - g (x) και της f (x) - x στο διάστηµα

[0, + ∞). β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις Cf, Cg και τις

ευθείες x = 0, x = 2. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την Cf και τις

ευθείες x = 0, x = 2, y = x.

13. ** Έστω µια πολυωνυµική συνάρτηση της µορφήςf (x) = αxν, α > 0, x ≥ 0 και τα σηµεία Α (x1, f (x1))και Β (x1, 0). Υπάρχει συνάρτηση f για την οποία ηCf να χωρίζει το τρίγωνο ΟΑΒ σε δύο ισεµβαδικάχωρία;

x

y

0x´

Β

Αy=αxν

14. ** α) Να λύσετε τις διαφορικές εξισώσεις xy΄ = 1, x > 0 (1) και y΄ + x = 0 (2).β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση κάθε λύσης της (1) και η γραφική

παράσταση κάθε λύσης της (2) στο σηµείο τοµής τους έχουν κάθετες εφαπτόµενες (όπως λέµε τέµνονται κάθετα).

Σηµείωση: Η απόδειξη ότι κάθε λύση της (1) έχει ένα κοινό σηµείο µε οποιαδήποτε λύση της (2) µπορεί να αποτελέσει ένα ενδιαφέρον θέµα διαπραγµάτευσης µέσα στην τάξη.

15. ** ∆ίνεται η f (x) = ∫ + x

0

2 dt 1) (t .

α) Να βρείτε το f ΄ (0).β) Να βρείτε το f (1).γ) Να υπολογίσετε το f ΄΄ (1).

357

Page 358: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

16. ** Ένα µέρος της γραφικής παράστασης τηςσυνάρτησης f έχει καλυφθεί από µια αδιαφανή ετικέτα. Η f είναι ορισµένη στο [0, 13] και έχει παράγωγο οποιασδήποτε τάξεως. Να εκτιµήσετε τα πρόσηµα των παρακάτω παραστάσεων:

y

0x´

x5 6 13

α) β) γ) ∫12

5 dx (x) f ∫

13

0 dx (x) f ∫

6

5 dx (x) ΄΄ f

Σηµείωση: Η παραπάνω άσκηση αποτελεί θέµα για διαπραγµάτευση µέσα στην τάξη. Τα ερωτήµατα θα µπορούσαν να αναφέρονται και σε άλλα σηµεία του διαστήµατος [0, 13] καθώς και σε ορισµένο ολοκλήρωµα της f ΄΄΄.

17. ** α) Η συνεχής συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω στο διάστηµα [α, β] καιείναι γνησίως αύξουσα. Να δικαιολογήσετε γεωµετρικά τη σχέση:

(β - α) f (α) ≤ ≤ (β - α) ∫β

α dx (x) f

2(β) f (α) f +

β) Αν η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο [α, β] και είναι γνησίως αύξουσα ποια θα είναι η αντίστοιχη σχέση;

γ) Αν Ι = ∫ +1

0

2 dx x 1 , να δείξετε ότι το Ι ανήκει στο διάστηµα (1, 1,21).

18. ** Η εφαπτοµένη του διαγράµµατος µιας συνάρτησης f στο σηµείο µε

τετµηµένη x = α σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία 3π και στο σηµείο µε

τετµηµένη x = β γωνία 4π

(x)

. Αν η f ΄΄ είναι συνεχής στο [α, β], να υπολογίσετε

το ολοκλήρωµα . ∫β

α dx ΄΄ f

358

Page 359: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

19. ** Κατά τη διάρκεια µιας περιόδου 12 ωρών η θερµοκρασία Τ σε βαθµούς Cτη χρονική στιγµή t (µετρηµένη σε ώρες από την αρχή της περιόδου) είναιΤ (t) = 25 + 0,3t - 0,05t3.α) Να βρείτε τη χρονική στιγµή που η θερµοκρασία γίνεται µέγιστη.β) Ποια είναι η µέγιστη θερµοκρασία;γ) Να βρείτε τη µέση θερµοκρασία κατά τη διάρκεια της περιόδου.

20. ** Αν η συνάρτηση f, που είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα[α, β], µε συνεχή δεύτερη παράγωγο, στρέφει τα κοίλα άνω και είναι γνησίωςαύξουσα, να βρεθεί το πρόσηµο της παράστασης:

∫β

α dx (x) ΄΄ f + ∫

β

α dx (x) f

21. ** Θεωρείται γνωστό ότι ο ρυθµός µε τον οποίο διαδίδεται µια είδηση σε µιαπόλη µε συνολικό πληθυσµό Α είναι ανάλογος του αριθµού των κατοίκων που δεν γνωρίζουν την είδηση. Να εκφράσετε τον αριθµό των κατοίκων που έχουν πληροφορηθεί την είδηση ως συνάρτηση του χρόνου t.

22. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) =

=

0 x 0

0 x x1

2, η οποία είναι προφανώς

ορισµένη σε όλο το R και παίρνει θετικές τιµές ή µηδέν. Υπολογίζουµε το

Ι = = ∫1

1- dx (x) f

1

1-x1-

= - 2 < 0. Αυτό όµως είναι αδύνατο, αφού f (x) ≥ 0.

Πού βρίσκεται το λάθος;

23. ** Θέλουµε να υπολογίσουµε το Ι = ∫+ π

0 dx

2συν2x 1 . Γράφουµε:

Ι = ∫ π

0

2

2xσυν2 = ∫

π

0 dxσυνx = 0. Όµως η συνάρτηση f (x) =

2συν2x 1+

είναι µη αρνητική στο διάστηµα [0, π], άρα δεν µπορεί να µηδενιστεί το Ι.Πού βρίσκεται το λάθος;

359

Page 360: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

24. ** Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα η καµπύλη Cf είναι παραβολή. Ναυπολογίσετε τα σκιασµένα εµβαδά.

y

0x´

x

Cf y

0x´

x

Cf

Α Β

Cf

y

0x´

x

y

0x´

x

Cf

1 1

1 1

Γ ∆

25. ** Να ερµηνεύσετε γεωµετρικά τις παρακάτω σχέσεις:

α) = 0 β)∫ π

0 dxηµ2x ∫

3

3-

2 dx x- 9 = 2

γ) = 4 δ) < ∫ +2

1 dx 1) (2x ∫

5

1/2 dxlnx ∫

5

1 dxlnx

26. ** α) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίουΑ΄Β΄∆΄.β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του σκιασµένου

χωρίου. Σηµείωση: Η άσκηση αποτελεί δείγµα τροποποίησης της

άσκησης 6 στη σελίδα 350 του σχολικού βιβλίου Θετικής Κατεύθυνσης.

360

Page 361: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

27. ** α) Να δείξετε ότι η µέση τιµή της συνάρτησης fµε τύπο f (x) = x2, x ≥ 0, στο διάστηµα

[κ, λ] είναι ίση µε 31 (κ2 + κλ + λ2).

Α

Γ΄

(ε) Β Γ

ΕΒ΄

C

β) Να δείξετε ότι υπάρχει αριθµός ξ ∈ (κ, λ) τέτοιος ώστε ξ2 = 31 (κ2 + κλ + λ2).

28. ** ∆ίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) =x1 , x > 0 και

g (x) = 2x1 , x > 0.

y

0 x1

1x´

y

0 x1

1

α) Να βρείτε τα εµβαδά Ε1 και Ε2.

β) Να βρείτε τα όρια: Ι1 = και Ι∞+→ λ

lim ∫λ

1 dx (x) f 2 =

∞+→ λlim ∫

λ

1 dx (x) g .

29. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 1 + 2x1 .

α) Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά.

β) Να αποδείξετε ότι45 ≤ ≤ 2. ∫

2

1 dx (x) f

γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf, τονάξονα x΄x και τις ευθείες x = 2 και x = 4.

δ) Να προσδιορίσετε την κάθετη ευθεία στον άξονα x΄x που χωρίζει το χωρίο του προηγούµενου ερωτήµατος σε δύο ισεµβαδικά χωρία.

361

Page 362: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

30. ** ∆ίνεται η συνάρτηση f : R* → (0, + ∞) για την οποία ισχύουν f (x) = x2 f ΄ (x)

και f (1) = e

2004 .

α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f (x) = 2004⋅e x1-

. β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης g (x) = 2x(x) f , τον άξονα x΄x και τις

ευθείες x = 1 και x = 2.

31. ** ∆ίνεται η συνάρτηση h (x) = ex.α) Να βρείτε µια άρτια συνάρτηση f και µια περιττή συνάρτηση g στο R,

τέτοιες ώστε f (x) + g (x) = h (x). β) Να βρείτε τη µονοτονία και τα ακρότατα των f, g. γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε (λ) του χωρίου που περικλείεται από τις f, g

και τις ευθείες x = 0 και x = λ > 1. δ) Να βρείτε το Ε (λ).

∞+→ λlim

362

Page 363: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

363

Page 364: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Page 365: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

365

Page 366: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Σ 22. Σ 41. Λ2. Λ 23. Λ 42. Λ3. Σ 24. Σ 43. Σ4. Λ 25. Σ 44. Σ5. Σ 26. Σ 45. Λ6. Σ 27. Σ 46. Σ7. Σ 28. Σ 47. Σ8. Σ 29. Σ 48. Λ9. Σ 30. Λ 49. Λ

10. Σ 31. Σ 50. Σ11. Λ 32. Σ 51. Σ12. Σ 33. Σ 52. Λ13. Λ 34. α) Σ 53. Σ14. Λ β) Σ 54. Σ15. Σ γ) Σ 55. Σ16. Σ 35. Σ 56. Σ17. Σ 36. Λ 57. Σ18. Λ 37. Λ 58. Σ19. Σ 38. Λ 59. Λ20. Σ 39. Σ21. Σ 40. Σ

366

Page 367: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. ∆ 13. ∆ 25. ∆2. Β 14. Ε 26. Ε3. Β 15. ∆ 27. Γ4. ∆ 16. Β 28. Β5. Ε 17. ∆ 29. Γ6. ∆ 18. ∆ 30. Β7. Γ 19. Ε 31. ∆8. Γ 20. Β 32. Β9. Β 21. Β 33. Γ

10. ∆ 22. Ε 34. Ε11. Β 23. Γ 35. ∆12. Γ 24. Ε

Μερικές ενδεικτικές λύσεις

11. Ένας τρόπος να απαντήσουµε είναι να «δούµε» τη λύση κάθε διαφορικής(όλες είναι εύκολες) και να διαπιστώσουµε ποια ταιριάζει στο σχήµα. Λύσηεκθετικής µορφής έχει µόνο η Β. Ένας άλλος τρόπος είναι να διαπιστώσουµεαπό το σχήµα ότι η λύση είναι εκθετικής µορφής και µετά να εξετάσουµεποια διαφορική θα µπορούσε να έχει τέτοια λύση.

21. Η ερώτηση είναι για τον έλεγχο της γνώσης του ορισµού της µέσης τιµής

συνάρτησης. Είναι f = α - β

dx (x) f α

β ∫ ⇔ (β - α) f = . Προφανώς

β - α = ΑΒ, άρα απαντάµε Β.

∫α

β dx (x) f

367

Page 368: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

25. Εδώ θέλουµε να τονίσουµε ότι το πρόσηµο ενός ορισµένου ολοκληρώµατοςεξαρτάται βέβαια από τη συνάρτηση, αλλά και από τα άκρα. Εδώ έχουµε µεν

e > 0, αλλά = (β - α) f (ξ), ξ ∈ (α, β), άρα είναι θετικό, µόνο αν

και β - α > 0, δηλαδή β > 0. Έτσι απαντάµε ∆.

2x ∫α

β

x dxe 2

30. Έξυπνη ερώτηση. Το εµβαδόν ισούται µε Όµως

g (x) - f (x) = 1, άρα = = β - α. Σωστή απάντηση

είναι η Β.

∫β

α dx (x)) f - (x) (g .

dx∫β

α dx (x)) f - (x) (g ∫

β

α

368

Page 369: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης

1. 1 δ 2. 1 δ 2 γ 2 η 3 α 3 ε

4 α 5 γ

3. 1 γ 4. 1 γ 2 ζ 2 δ 3 α 3 α 4 ε 4 ζ

5. 1 β 6. 1 ε 2 γ 2 γ 3 α 3 ζ

4 ι 5 β 6 θ

7. 1 ε 2 θ 3 δ 4 α 5 β 6 η

369

Page 370: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης

1. Ε4 < Ε2 < Ε1 < Ε3

2. φ < h < g < f

3. f (3) < f (2) < f (1)

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης

1. G ΄ (x) =α1⋅ [F (αx + β)]΄ = F ΄ (αx + β) = f (αx + β)

2. α) Θέτουµε x - γ = uβ) Το εµβαδόν παραµένει σταθερό αν η γραφική παράσταση µεταφερθεί

κατά διάνυσµα γr // x΄x

3. α)(t) P(t) P = κ ⇔ ln P (t) = κt + c΄ ⇔ P (t) = eκt+c ⇔ P (t) = ceκt µε c = P (0)

β) Ρ (1990) = f (1920) eκ⋅70 κ = 70ln2

γ) Ρ (2010) ≈ 12.000.000

4. α) y = f (0)⋅e-κt

β) f (t) =2(0) f άρα Τ =

κln2

γ) 0,21 kgr

370

Page 371: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

5. Στο [- 2, 1] η g (x) = x2 δεν είναι 1-1

6. f ΄΄ (x) = t1996 + t1998 + t2000 + t2002 > 0

7. α) f ΄ (x) =x

ηµ2x . Αν g (x) =x

ηµ2x - 1, τότε g συνεχής στο [4π ,

3π ] και

g (4π ) =

π4 - 1 > 0 και g (

3π ) =

2π3 - 1 < 0, άρα υπάρχει x0 ∈ (

4π ,

3π )

ώστε g (x0) = 0, δηλαδή f ΄ (x0) = 1

β) Θεώρηµα Bolzano για την g (x) = f ΄ (x) - 1 στο [4π ,

3π ]

8. α) H h είναι γινόµενο δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεωνβ) h (1) = h (2) = 0γ) Η εφαρµογή του θεωρήµατος Rolle για την h (x) εξασφαλίζει έναν αριθµό

ξ ∈ (1, 2) ώστε h ΄ (ξ) = 0 ⇔ ξξ - 1 lnξ = ∫

ξ

2 dx

tlnt

9. Ιλ = (β - α) λ2 - λ + που είναι τριώνυµο ως προς λ

και γίνεται ελάχιστο όταν λ = -

∫β

α dx (x) 2f ∫

β

α dx (x) f

2αβ =

α)

dx (x)

- (β 2

f α 2β

α ∫ = f

371

Page 372: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

10. α) Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις καµπυλών που ικανοποιούν τιςαπαιτήσεις του ερωτήµατος και γίνεται αντιληπτό ότι δεν µπορεί η καµπύλη να παριστάνει µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, άρα θα παρουσιάζει ένα τουλάχιστον σηµείο τοπικού ακροτάτου (εφόσον προέρχεται από παραγωγίσιµη συνάρτηση.

x

y

0x´

x

y

0x´

x

y

0x´

β) Ας υποθέσουµε ότι f (x) > 0 στο [0, 1]. Αν επιχειρήσουµε να «µεταφράσουµε» τα σύµβολα µέσα στο πλαίσιο που καθορίζει το σχήµα

της (α), τότε είναι «το εµβαδόν κάτω από την καµπύλη και

µεταξύ των ευθειών y = 0 και x = 1».

∫1

0 dx (x) f

f (1) = f (1) ⋅ 1 = f (1) ⋅ OA = AB⋅OA είναι «το εµβαδόν του ορθογωνίου

ΟΑΒΓ», άρα η ισότητα = f (1) έχει την ίδια σηµασία που

προκύπτει από τα σχήµατα του ερωτήµατος (α). Η τυπική απόδειξη θα µπορούσε να έχει ως εξής: Αν η f είναι γνησίως µονότονη, τότε θα είναι

και 1-1. Από γνωστή πρόταση υπάρχει ξ ∈ (0, 1) ώστε = f (ξ) (1

- 0), δηλαδή f (ξ) = f (1), άρα ξ = 1 (άτοπο).

∫1

0 dx (x) f

∫1

0 dx (x) f

372

Page 373: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

11. α) Εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι Ε1 = Ε2

β) ∞+→ λ

lim ∫λ

1 2 dx x1 = (1 -

∞+→ λlim

λ1 ) = 1 αυτό είναι το Ε1

+→ 0 λlim ∫

λ

1 2 dx x1 = (1 -

+→ 0 λlim

λ1 ) = + ∞ αυτό εκφράζει το µέγεθος του Ε2

Μια πρόταση για γεωµετρική ερµηνεία είναι η παρακάτω: Αν το χωρίο Ε1 διαιρεθεί σε ορθογώνια µε πολύ µικρή βάση, τότε τα ύψη των ορθογωνίων µικραίνουν µε τέτοιο ρυθµό, ώστε αν και το πλήθος είναι θεωρητικά άπειρο, το άθροισµα των εµβαδών τους να είναι πραγµατικός αριθµός, πράγµα που δεν συµβαίνει στο Ε2.

12. α) f (x) - g (x) = 2e-x > 0 και f (x) - x = e-x > 0

β) E = = 2 (1 - e∫2

0 dx (x)) g - (x) (f -2)

γ) E = = 1 - e∫2

0 dx x)- (x) (f -2

13. To OAB έχει εµβαδόν21 ΟΒ⋅ΑΒ =

21 x1 ⋅ αx 1 , άρα θα πρέπει

=

ν

∫1 x

0

ν dx αx 21 (

21 x1 ⋅ αx ), άρα ν = 3 και f (x) = αxν

13

373

Page 374: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

14. α) y ΄ =x1 ⇔ y = lnx + c1 και y ΄ = - x ⇔ y = -

21 x2 + c1, y = lnx + c2

β) Αν (x1, y1) είναι σηµείο τοµής δυο καµπυλών, εκ των οποίων η µία ναείναι λύση της πρώτης και η άλλη λύση της δεύτερης εξίσωσης, τότε οι συντελεστές διεύθυνσης λ1, λ2 των εφαπτοµένων σε κάθε καµπύλη είναι

αντίστοιχα 1x

1 και - x1, οπότε λ1⋅λ2 = - 1. Για να εξασφαλίσουµε ότι δυο

οποιεσδήποτε καµπύλες, µία από κάθε εξίσωση, τέµνονται, θα πρέπει να

δειχθεί ότι η εξίσωση lnx + c1 = - 21 x2 + c2 έχει για οποιαδήποτε c1, c2

λύση ή ότι υπάρχει x > 0 ώστε lnx + 21 x2 = c2 - c1 για κάθε c1, c2. Η

συνάρτηση f (x) = lnx + 21 x2 έχει σύνολο τιµών το R, άρα για κάθε c2 - c1

υπάρχει x > 0 ώστε f (x) = c2 - c1.

15. α) f ΄ (x) = x2 + 1, άρα f ΄ (0) = 1

β) f (1) = =∫ +1

0

2 dx 1 x34

γ) f ΄΄ (x) = 2x άρα f ΄΄ (1) = 2

16. α) = f (12) - f (5) < 0, αφού f (5) η µέγιστη τιµή ∫12

5 dx (x) f

β) > 0, αφού το εµβαδόν της ετικέτας κάτω από τον x΄x είναι

αρκετά µικρότερο από αυτό που φαίνεται να βρίσκεται πάνω από τον x΄x

∫13

0 dx (x) f

γ) = f ΄ (6) - f ΄ (5) όµως f ΄ (5) = 0 και f ΄ (6) < 0, αφού στο

σηµείο αυτό η καµπύλη «κατέρχεται».

∫6

5 dx (x)΄΄ f

374

Page 375: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

17. α) (β - α) f (α) = εµβαδόν ορθογωνίου, (β - α)

2(β) f (α) f + = εµβαδόν τραπεζίου

β) (β - α)

+

2(β) f (α) f ≤ ≤ (β -α) f (β) ∫

β

α dx (x) f

x´ x

y

0

B

βα

Α

Γ

γ) f ↑ και f ΄΄ (x) > 0 άρα 1 < Ι < 2

2 +1 ≈ 1,207

18. = f ΄ (β) - f ΄ (α) = εφ ∫β

α dx (x) ΄΄ f

4π - εφ

3π = 1 - 3

19. α) Τ΄ (t) = 0, άρα t0 = 2

β) Τ ( 2 )

γ) Για διακριτά ποσά η µέση τιµή έχει τη µορφήν1 (α1 + α2 + … + αν). Για

συνεχείς µεταβολές (όπως είναι η µεταβολή του χρόνου) η αντίστοιχη

σχέση θα είναι: α - β

1 , άρα στην περίπτωση του προβλήµατος ∫β

α dt (t) f

Τ = 121∫

12

0 dt (t) T

20. f ΄΄ (x) > 0, άρα f ΄ (x) ↑, οπότε f ΄ (β) - f ΄ (α) > 0 και f ΄ (x) > 0, άρα

= f (β) - f (α) > 0. (Στα ίδια συµπεράσµατα θα µπορούσαµε να

φτάσουµε αν χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα: f (x) > 0 στο [α, β], τότε

> 0)

∫β

α dx (x) f

∫β

α dx (x) f

21. Αν Α ο συνολικός πληθυσµός f η ζητούµενη συνάρτηση τότε

dtdf = K (A - f (t)) και f (t) = A + ce- κt

375

Page 376: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

22. Η f δεν είναι συνεχής στο 0.

23. xσυν 2 = |συνx| στο [0, π]

24. Α. ∫1

0 dx x =

32 Β. = ∫

1

0

2 dx x31

Γ. ∆. ∫ +1

1-

2 dx 1) x(- ∫1

1-

2 dx x

25. α)

x

y

0x´

ππ2

∫ π/2

0 dx (x) f = - ∫

π

π/2dx (x) f

β)

x

y

0x´

3-3

είναι εµβαδόν ηµικυκλίου

γ)

x

y

0x´

21

3 5

εµβαδόν τραπεζίου

δ)

x

y

0x´

1 5½

E1

E2

Ε1 > Ε2

376

Page 377: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

26. α) (Α΄Β΄∆΄) = 3ln3 - 2

β) (O∆Γ) =29 , (ΑΟΓΒ) =

29 - (3ln3 - 2) λόγω συµµετρίας

27. α) κ- λ

1 = ∫λ

κ

2 dx x31

κ-λ κ- λ 33

= 31 (κ2 + κλ + λ2)

β) Υπάρχει ξ ∈ (κ, λ) ώστε κ-λ

1 = f (ξ) = ξ∫λ

κ

2 dx x 2

28. α) Ε1 = lnλ, Ε2 = λ1 - λ β) Ι1 = + ∞ Ι2 = 1

29. α)

x´ x

y

0

1

β) Στο [1, 2] η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα f (2) ≤ ≤ f (1) ∫2

1 dx (x) f

γ) 49 δ) ∫

α

2 dx (x) f =

89

30. α) [ln f (x)]΄ = ΄

x1- … β) 2004 (

e1 -

e1 )

31. α) f (x) =2

e e -xx + και g (x) = 2e - e -xx

γ) Ε (λ) = 1 - λe1 δ) 1

377

Page 378: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

ΣΧΕ∆ ΙΑ ΚΡ ΙΤΗΡ ΙΩΝ ΑΞ ΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ΚΕΦΑΛΑ Ι Ο 3 ο )

Page 379: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά.

Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε

ενιαία θέµατα, επιλογής ή τροποποίησης των θεµάτων,

ανάλογα µε τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριµένου

τµήµατος στο οποίο απευθύνεται.

379

Page 380: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή

∆ιδακτική Ενότητα: Ολοκληρωτικός Λογισµός

ΘΕΜΑ 1ο

1. Μια παράγουσα της συνάρτησης f (x) = x

2

e 1x1 3x

+

+, x > 0, είναι η συνάρτηση

Α. F1 (x) = x

3

e x lnx x

++ Β. F2 (x) = x

2

ex1 -6x

Γ. F3 (x) = ∫

+

α x

2

dx

΄

e 1x1 3x

∆. F4 (x) = ∫ +

+ x

2004 t

2

dt e 1

t1 3t

Ε. καµία από τις προηγούµενες

2. Η παράγωγος της συνάρτησης F (x) = ισούται µε ∫xe

1 dtlnt

Α. 0 B. x1 ex Γ. ex ∆. xex E. lnx⋅ex

3. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. Τότε η µέση τιµή της f στο διάστηµα[-α, α] είναι ίση µε

Α. 2α Β. 0 Γ. - 2α ∆. 2α Ε. -

380

Page 381: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

4. Το εµβαδόν του σκιασµένου χωρίου που φαίνεται στοδιπλανό σχήµα είναι ίσο µε

Α. Β. ( )∫β

α dx (x) f (x) g ( )∫

β

α dx (x) g - (x) f

Γ. (∫ dx (x) g - (x) f )

y

x0y´

x´ α βx0

CfCg

∆. Ε. τίποτα από τα παραπάνω ∫∫00 x

β

x

α dx (x) g - dx (x) f

5. Για τη συνάρτηση f (x) = 2 x- 1 ισχύει

Α. Β. ∫ =1

1 - 0 dx (x) f ∫ =

1

1 - 2 dx (x) f

Γ. ∫ =1

1 - 2π dx (x) f ∆. ∫ =

1

1 - πdx (x) f

y

x

y

0

x´ -1 1

1 y= 1-x2

Ε. ∫ =1

1 -

2 πdx (x) f

6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], τότε η παράσταση ΄

∫β

α dx (x) f

είναι ίση µεΑ. f (x) B. f (β) - f (α) Γ. (β - α) f (x) ∆. 0 E. F (β) - F (α) όπου F (x) παράγουσα της f

7. Η διαφορική εξίσωση y΄ = xy, y > 0, έχει µία λύση τη συνάρτηση

Α. y = Β. y = e2xe x Γ. y = 2

x2

e ∆. y =x1 Ε. y = lnx

381

Page 382: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

8. Να συµπληρώσετε τον πίνακα ΙΙ, έτσι ώστε σε κάθε γραφική παράστασησυνάρτησης f της στήλης Α του πίνακα Ι να αντιστοιχεί η γραφικήπαράσταση της παράγουσάς της από τη στήλη Β.

Πίνακας Ι Στήλη Α Στήλη Β

Συνάρτηση f Παράγουσα F

1.

2.

3.

x´ x

y

0

2

y

0x´

x

1

y

0

x1

1

-1

α.

β.

γ.

δ.

x´ x

y

0 113

y

0x´

x1

y

0x´

x

2

y

0x´

x

2

1

Πίνακας ΙΙ 1 2 3

382

Page 383: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ …users.sch.gr/anitus/04_seimioseis_downloads/Cl... · Όρια - Συνέχεια ... άλλων, και

Α. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα:

α) ∫ +++1

0 3

2

dx 2 3x x

1 x β) γ) ∫1

0

x-2 dx e x ∫2

1 dx xlnx

Β. Να υπολογίσετε το εµβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f (x) = x3 - 4x και τον άξονα x΄x.

ΘΕΜΑ 3ο

Κατά τη διάρκεια µιας περιόδου 12 ωρών η θερµοκρασία Τ σε βαθµούς Κελσίου τη χρονική στιγµή t (µετρηµένη σε ώρες από την αρχή της περιόδου) είναι Τ (t) = 25 + 0,3t - 0,05t3. α) Να βρείτε τη χρονική στιγµή που η θερµοκρασία γίνεται µέγιστη. β) Ποια είναι η µέγιστη θερµοκρασία; γ) Να βρείτε τη µέση θερµοκρασία κατά τη διάρκεια της περιόδου.

383

ΘΕΜΑ 2ο