ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Γιάννης Γκούμας

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣΓ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

www.ygoumas.gr

Γιάν νης

Γκούμας

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γιάννης Γκούμας

ΘΕΜΑ ΑΑ1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 30Α2. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 13Α3. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 59Α4. α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Λάθος , δ) Λάθος, ε) Σωστό

Θέμα ΒΒ1. Το πλήθος των πωλητών είναι 1 2 3 4 12 8 14 6 40ν ν ν ν ν= + + + = + + + = .B2.

Κλάσεις Κεντρικές

τιμές ix

Συχνότητα iν

Σχετική συχνότητα

if [2, 4) 3 12 0,3 [4,6) 5 8 0,2 [6,8) 7 14 0.35 [8,10) 9 6 0.15

Σύνολο 40 1 1

112 0,340

f νν

= = = , 22

8 0,240

f νν

= = = , 22

14 0,3540

f νν

= = = , 22

6 0,1540

f νν

= = =

Β3. α) Η μέση τιμή είναι 4

13 0,3 5 0,2 7 0,35 9 0,15i i

ix x f

=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑

0,9 1 2,45 1,35 5,7= + + + = χιλιάδες ευρώ. β) Έστω ότι η κλάση [4,5 , 6) έχει x παρατηρήσεις. Αφού οι παρατηρήσεις της κλάσης [4,6)

είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες 6 4 6 4,5 2 1,5 1,5 4 6

8 8x x

x x− −

= ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = .

Συνεπώς το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον 4,5 χιλιάδων ευρώ ισούται με το άθροισμα των παρατηρήσεων των κλάσεων [4,5 , 6) , [6,8) και [8,10)

3 46 6 14 6 26ν ν+ + = + + = . Θέμα Γ Γ1. Η f είναι πολυωνυμική άρα παραγωγίσιμη στο .

2'( ) 12 7 1f x x x= − +

2'( ) 0 12 7 1 0f x x x= ⇔ − + = , 27 4 12 1 1∆ = − ⋅ ⋅ = άρα 7 1 12 12 3

x x±= ⇒ =

⋅ ή

14

x = .

'( ) 0f x < όταν 1 1,4 3

x ∈

και '( ) 0f x > όταν 1 1, ,4 3

x ∈ −∞ +∞

.

Άρα στο 114

x = παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο 213

x = τοπικό ελάχιστο. Συνεπώς

11(K)4

P x= = και 21(A)3

P x= = .

Σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό

www.ygoumas.gr 1

www.ygoumas.gr

Γιάννης Γκούμας

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γιάννης Γκούμας

1 1 5( ) (A) ( ) 1 ( ) 1 ( ) (A) ( ) 1 ( )4 3 12

P K P P P P K P P P+ + Π = ⇔ Π = − − ⇔ Π = − − ⇔ Π = .

Γ2. ,

ασυμβίβαστα 1 1 7( ) (K A) (K) (A)4 3 12

P P P PΚ Α

Γ = ∪ + = + =

[ ] 7 5( ) (K A) ' 1 (K A) 1 ( ) 112 12

P P P P∆ = ∪ = − ∪ = − Γ = − =

( ) ( ') (A) ( ') ( ') (A) (1 ( )) (P( ) ( ))P P P P P P P PΕ = Α∪Π = + Π − Α∩Π = + − Π − Α − Α∩Π =

5 7(A) 1 ( ) P( ) 1 ( ) 112 12

P P P= + − Π − Α = − Π = − =

Γ3. ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N N N NN NN N N N N

Α Π − Α ΠΑ = Π − ⇔ = ⇔ = − ⇔

Ω Ω Ω Ω Ω

1 5 4 4 5 1 4 1 ( ) 483 12 ( ) ( ) 12 3 ( ) 12

NN N N

= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ Ω =Ω Ω Ω

ΘΕΜΑ Δ Δ1.

Αρχικά θα υπολογίσουμε το μήκος y . Η βάση του κουτιού είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓ∆ άρα 2 2 20 10 10x y x y y x+ = ⇔ + = ⇔ = − . Η συνολική επιφάνεια του κουτιού είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

( )

2 22 5 2 5 ,

(10 ) 10(10 ) 1010 100 10 10

10 100

E x

x y y xx x x x

x x x xx x

= ΑΒΓ∆ + ∆ΑΕΘ + ΓΒΖΗ + ΑΒΖΕ + ∆ΓΗΘ

= ΑΒΓ∆ + ∆ΑΕΘ + ΑΒΖΕ

= ⋅ + ⋅ + ⋅= − + − +

= − + − +

= − + +

με (0,10)x∈ από υπόθεση. Η E είναι πολυωνυμική άρα παραγωγίσιμη στο (0,10) .

'( ) 2 10E x x= − + '( ) 0 2 10 0 2 10 5E x x x x= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =

www.ygoumas.gr 2

www.ygoumas.gr

Γιάννης Γκούμας

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γιάννης Γκούμας

'( ) 0 2 10 0 10 2 5E x x x x< ⇔ − + < ⇔ < ⇔ > '( ) 0 2 10 0 10 2 5E x x x x> ⇔ − + > ⇔ > ⇔ <

Άρα για 5 dmx = το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια.

Δ2. α) Για την εξίσωση 22 5 2 0s s− + = έχουμε ( )25 4 2 2 25 16 9∆ = − − ⋅ ⋅ = − = άρα

25 3 5 3

12 2 42

s

± ± = = = ⋅

Επειδή το δείγμα δεν είναι ομοιογενές 0,1 0,1 0,1 0,88

s sCV sx

> ⇔ > ⇔ > ⇔ > .

Συνεπώς 2s = .

β)

2 22

1 12 2 2 2 212

1

1 i iii ii

ii

t tts t s x x

ν νν

ν

ν ν ν ν= ==

=

= − = − ⇔ = −

∑ ∑∑∑ .

Αντικαθιστώντας έχουμε 2 2 2 2 22 8 4 64 68x x x= − ⇔ = − ⇔ = . Δ3. Έχουμε 1 15ix x x≤ ≤ , 1,2,...,15i = . Επειδή η E είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,9]

( ) ( ) ( )1 15 1 15i iE x E x E x y y y≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ , 1,2,...,15i = .

Άρα 2 2 2 21 15 5 10 5 100 ( 9 10 9 100) 5 10 5 9 10 9 16R y y= − = − + ⋅ + − − + ⋅ + = − + ⋅ + − ⋅ = .

Συνεπώς 2 24 9 1 10 100 4 9 16 1 10 100 4 9 16 1i i i i i i i iy x R x x x x x x> − + + ⇒ − + + > − + ⋅ + ⇒ − + + > − + ⋅ +

2 14 45 0 5 9i i ix x x⇒ − + < ⇒ < < .

Άρα (x , y ), 2,3,...,14i i iB A i= = . Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε

(B) 13( )( ) 15

NP BN

= =Ω

.

www.ygoumas.gr 3