ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ∆ΩΝ : ΠΕΝΤΕ (5)

ΘΕΜΑ Α

Α1. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι :

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B) I

Μονάδες 7

Α2. Έστω ένας δειγματικός χώρος Ω=ω1, ω2, . . . , ων με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων . Να διατυπώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας .

Μονάδες 4

Α3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της Α;

Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν x>0, τότε )( x ′=x1

β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ∆ και ισχύει >0 για κάθε εσωτερικό σημείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆.

)(f x′

γ) Η αθροιστική συχνότητα Νi μίας κατανομής εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

δ) Στην κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (x – s, x + s), όπου x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση .

ε) Η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται πάντα ως η μεσαία παρατήρηση.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ B Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες (σε Co ) σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 24ώρου προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης θ(t)=t–4 t +α , όπου α∈ και t∈(0,24] ο χρόνος σε ώρες . Β1. Να αποδείξετε ότι για t∈(0,4] η θερμοκρασία μειώνεται και

για t∈(4,24] η θερμοκρασία αυξάνεται . Μονάδες 7

Β2. Να υπολογίσετε την τιμή του α , αν γνωρίζετε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 24ώρου είναι -1 . Co

Μονάδες 6 B3. Για α=3 να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της

περιοχής είναι 0 . Co

Μονάδες 5

Β4. Να υπολογίσετε το 4t

lim→

16t

)t(

2 −

′θ

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ Οι ηλικίες των εργαζομένων σε μια εταιρεία έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους , όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων .

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια)

ix iν fi % Ν i Fi % ii xν

[25, ) x [ , ) x+20

[ , ) 2x [ , ) x2–6x 50

ΣΥΝΟΛΟ

Γ1. Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες f i % i=1,2,3,4 Μονάδες 6

Γ2. Αν η διάμεσος της κατανομής των ηλικιών είναι δ=50 χρόνια , να αποδείξετε ότι το πλάτος της κλάσης είναι c=10.

Μονάδες 8 Γ3. Aφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω

πίνακα συμπληρωμένο κατάλληλα , να υπολογίσετε την μέση τιμή x των ηλικιών.

Μονάδες 6

Γ4. Πόσοι εργαζόμενοι, των οποίων οι ηλικίες ανήκουν στην πρώτη κλάση, πρέπει να προσληφθούν, ώστε η νέα μέση ηλικία να είναι 40 χρόνια ;

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ ∆ Εξακόσιοι απόφοιτοι ∆ευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οι οποίοι έχουν τα ίδια τυπικά και ουσιαστικά προσόντα, υποβάλλουν αίτηση πρόσληψης σε δύο εταιρείες Α και Β. ∆ίνεται ότι η πιθανότητα, ένας τυχαία επιλεγμένος από αυτούς :

• να κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη σε μια μόνο από

τις εταιρείες Α και Β είναι λ

λ31+ , λ ≠ 0

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

• να κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη το πολύ σε μια από

τις εταιρείες Α και Β είναι λ

λ313 − , λ ≠ 0

• να μην κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη σε καμμία από

τις δύο εταιρείες είναι 21−λ

, λ ≠ 2

∆1. Να αποδείξετε ότι λ=4.

Μονάδες 8 ∆2. Από τους 600 αποφοίτους που υπέβαλαν αίτηση

πρόσληψης στις εταιρείες Α και Β, η εταιρεία Α έκρινε κατάλληλους για πρόσληψη 50 λιγότερους από όσους έκρινε η εταιρεία Β.

α) Πόσοι απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη μόνο από την εταιρεία Α, πόσοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη μόνο από την εταιρεία Β και πόσοι απόφοιτοι θα βρεθούν στο δίλημμα να επιλέξουν σε ποια από τις δύο εταιρείες στις οποίες κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, επιθυμούν να εργαστούν;

Μονάδες 7

β) Να αποδείξετε ότι 300 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, από τις εταιρείες Α ή Β.

Μονάδες 6 ∆3. Στους αποφοίτους που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για

πρόσληψη δίνεται η δυνατότητα παρακολούθησης προγράμματος επιμόρφωσης . Αν η πιθανότητα εύρεσης εργασίας για αυτούς που θα παρακολουθήσουν το πρόγραμμα είναι διπλάσια από την αντίστοιχη εκείνων που δεν θα το παρακολουθήσουν, να υπολογίσετε πόσοι απόφοιτοι από αυτούς, που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, θα βρουν εργασία .

Μονάδες 4

ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

Ο∆ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία ,

εξεταζόμενο μάθημα) . Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο .

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. ∆εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα .

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα . 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο

στυλό . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια , διαγράμματα και πίνακες .

5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ . 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή . 7. ∆ιάρκεια εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των

φωτοαντιγράφων . 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : 18.30.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com

[1]

Θέμα Α

Α1. Απόδεημε νξηζκόο ζειίδα 151

Α2. Οξηζκόο ζειίδα 149

Α3. Οξηζκόο ζειίδα 22

Α4. α)Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ

Θέμα Β

Β1. Γηα t (0,24] έρνπκε όηη ε ζπλάξηεζε (t) είλαη ζπλερήο σο πξάμεηο ζπλερώλ κε

2 t 2(t) 1 , t (0,24]

t t

άξα ην πξόζεκν ηεο παξαγώγνπ θαζνξίδεηαη από ην πξόζεκν ηνπ αξηζκεηή

επνκέλσο,

(t) 0 t 2 0 t 4

(t) 0 t 2 0 t 4

Ο πίλαθαο κεηαβνιώλ

t 0 4 24

(t) – +

ζ(t) > <

Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε (t) είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα (0,4]θαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [4, 24]

νπόηε ε ζεξκνθξαζία κεηώλεηαη ζην πξώην δηάζηεκα θαη απμάλεηαη ζην δεύηεξν.

Β2. Πξέπεη ζ(t) = – 1 δειαδή α – 4 = – 1 νπόηε α = 3

Β3. Αλαδεηνύκε ηα t ηέηνηα ώζηε ζ ( t ) = 0, νπόηε έρνπκε δηαδνρηθά,

2

(t) 0 t 4 t 3 0 t 4 t 3 0 t 3 t 1 0 t 9 ή t 1

Β4. Έρνπκε,

t 4 t 4 t 4 t 42 2 2

21

t t 2 t 4t

t 16 t 16 t 16 tlim lim lim lim

t 4

1

64t 4 t t 2

Θέμα Γ

Γ1. Έρνπκε, 4

2 2

i

i 1

f % 100 x x 20 2x x 6x 100 x 2x 80 0

νη ιύζεηο είλαη – 8 θαη 10.

Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com

[2]

Η ιύζε -8 απνξξίπηεηαη αθνύ ε πηζαλόηεηα είλαη αξλεηηθή (1f % 8 )

Η ιύζε x = 10 είλαη δεθηή θαη καο δίλεη:

1 2 3 4f % 10, f % 30, f % 20, f % 40

Γ2. Δύθνια βξίζθνπκε ηηο αζξνηζηηθέο ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο ηνηο

εθαηό, 1 2 3 4F % 10, F % 40, F % 60, F % 100

Αλ θάλνπκε ην πνιύγσλν αζξνηζηηθήο ζρεηηθήο ζπρλόηεηαο ηνηο

εθαηό βξίζθνπκε κε νκνηόηεηα ηξηγώλσλ ΔΓΑ θαη ΑΒΓ:

AB 20 c

50 4c c c 10A 10 50 25 2c

Γ3. Ο πίλαθαο ζπκπιεξσκέλνο θαίλεηαη παξαθάησ

Κιάζεηο ix

iv if % iN

iF % i ix v

[25, 35) 30 5 10 5 10 150

[35, 45) 40 15 30 20 40 600

[45, 55) 50 10 20 30 60 500

[55, 65) 60 20 40 50 100 1200

Σύλνια 50 100 - - 2450

Άξα ε κέζε ηηκή είλαη:

4

i i

i 1

x v2450

x 49v 50

Γ4) Έζησ όηη πξνζιεθζνύλ y άηνκα ζηελ πξώηε θιάζε, ηόηε 1v 5 y ελώ v 50 y νπόηε,

4

i i

i 1

x v 30y30 5 y 40 15 50 10 60 20 2450 30y

x ' 40 40 y 4550 y 50 y 50 y

άξα πξέπεη λα πξνζιεθζνύλ 45 άηνκα από ηελ πξώηε θιάζε, γηα λα έρνπκε λέα κέζε ηηκή ηα 40 ρξόληα.

Θέμα Γ

Έρνπκε από ηα δεδνκέλα,

1P A B B A , 0 1

3

3 1P A , 0 2

3

1, 2 3

2

Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com

[3]

Γ1. Έρνπκε, 3 1 3 1 1

P A 1 43 3 3

θαη 1 1 3

1 52 2 2

Οπόηε,

42

5

1 1P A B B A

3 3

1 1

3 3

3 1 1 3 22 9 4 0

2 3 3 2 3

Οη ιύζεηο είλαη 1

2 πνπ απνξξίπηεηαη αθνύ δίλεη αξλεηηθή πηζαλόηεηα θαη ε 4 πνπ είλαη δεθηή.

Γ2. Τα ελδερόκελα είλαη ηζνπίζαλα θαη έρνπκε από ηα δεδνκέλα,

600, 50, , όκσο γηα ι = 4 παίξλνπκε,

1 1 5

, , P A B B A12 2 12

α) Άξα,

1 1 50 1 1

2002 2 600 600 12 2

θαη

1 1 150

12 12 600 12

Μόλν γηα ηελ εηαηξεία Α θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε:

150 50 100

Μόλν γηα ηελ εηαηξεία Β θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε::

200 50 150

Καη γηα ηηο δύν εηαηξείεο θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε: 50

β) Οη ππνςήθηνη πνπ θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε από ηηο εηαηξίεο Α ή Β είλαη

150 200 50 300

Γ3. Οη ππνςήθηνη πνπ δελ θξίζεθαλ θαηάιιεινη είλαη 600 300 300 άηνκα

Έζησ ηα ελδερόκελα: Κ: «Δύξεζε εξγαζίαο πνπ παξαθνινύζεζαλ πξόγξακκα επηκόξθσζεο»

Λ: «Δύξεζε εξγαζίαο πνπ δελ παξαθνινύζεζαλ πξόγξακκα επηκόξθσζεο», πξνθαλώο

Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο http://lisari.blogspot.com

[4]

Γίλεηαη, 2 άξα 2

2 2 13

θαη επεηδή ηα ελδερόκελα

είλαη ηζνπίζαλα έρνπκε

2

200300 3

ελώ 100

Δπνκέλσο νη 200 από ηνπο 300 πνπ δελ θξίζεθαλ θαηάιιεινη γηα πξόζιεςε ζα βξνπλ εξγαζία.