2 - 2016

501

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2 / /

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4 / / / / 1-1 /

5

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8 Rolle / /

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12 Bolzano / / Rolle

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31 Bolzano / Rolle / /

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217 Bolzano / / / / / 218 / Bolzano / Fermat / / /

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224 225 226 / !

227 / / / 1-1

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229 / / Fermat / / Bolzano / Rolle /

230 / Fermat / Rolle / /

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240 / Bolzano / Fermat / / Rolle /

241 / / Bolzano

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286 Bolzano Rolle

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: 2016

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x h x h 0 h x 0

.

h

0 x h x h 0 h x 0

.

0

f x

f x 2 1

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f h . f .

ii. 1

f 12

f 1 1 . ,

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2 2 . :

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y g xx x11 3 1

x x x x 0 x 3x 3x 1 03 3 6 2 3 3y x2

3 2x 1 3x x 1 0 x 1 x x 1 3x x 1 0

2 2 2x 1 x x 1 3x 0 x 1 x 2x 1 0 x 1 x 1 0 x 1

10

: 2016

- 501 - :

: g

C 1 , g 1 3

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[ ,

y g 1 g 1 x 1 ]. , Bii

.

iii.

0

0

x x x x x

11f x h x x lnxx lnx 1xlim lim lim lim lim 1

x x x 1 x

.

11

: 2016

- 501 - :

5

z w 0 0 , z w 0 .

i. w , w i , 0 . : 2 2w z zi i i zi

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2 2 2 2 2i zi i x yi i i xi y x i y x 0 y 0

2x , y .

, 2z i . ,

2 4 2 4 2 4z w i 0 0 , .

ii. 2 2w z zi w z zi w zz zi w z z i w z z i z i z i 1 .

, z x yi , x , y , z 0 , 1 1.

, 2 2x y 1 1 1 .

w a i , a , .

2 2 2 2 2w z zi i x y x yi i a i x y xi y

2 2a x y y

2 x

.

2 21 x y 2y . ,

a y2 3

x

5

:

i. w .

ii. z, w .

iii. z, w .

12

: 2016

- 501 - :

, z x yi w y xi .

z : 2 21C : x y 1 1 . 3

w 2 22C : 1 x y 1 . ( 1 , 0

1). 1 2

C , C , 2 1 1 2 .

iii. z , w , ( ). 0 , 0 1 , 1 .

[ , 1 , 1 1 , 2 ]. ,

z w 0 ( z w 0 ) z w 1 i ( 2w z zi

1 i 2 1 i i i 0 , ).

:

2w 1 1

w z zi *z i 1

.

, . * ,

1 2C , C .

13

: 2016

- 501 - :

6

A)

i.

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ii.

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x x x xe h x e h x xe 1 e i)

x x x x xe h x xe 1 e e h x x xe

x xx e h x x xe c , x . x 0 0 c .

,

x x x xe h x x xe h x xe x h x x e 1 , x .

iii. xxe x , x .

x 0 0 0 .

x x 0ex 0 x xx 0 e e e 1 xe x .

x x 0ex 0 x xx 0 e e 1 e 1 xe x .

6

h, :

A.

i. .

ii. h.

iii.

B. f : (2)

(3).

14

: 2016

- 501 - :

)

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0 0 0 0

g x dx 1 f x dx dx f x dx 0 .

, g x 1 f x f x 1 g x . ,

1 1

f x g x 1

0 0

1 f x e dx 0 g x e dx 0

1 1 1 1

g x g x g x

0 0 0 0

1g x e dx 0 g x e dx 0 g x e dx g x dx

e

1

g x

0

g x e g x dx 0 1 1

g x

0 0

g x e 1 dx 0 h g x dx 0 1 .

hog 0 , 1 hog x 0 ,

x 0 , 1 . hog 1

0

0 , 1 h g x dx 0 ,

1 . , h g x 0 , x 0 , 1 , g x 0 , x 0 , 1 ( h x 0

x 0 ), 1 f x 0 , f x 1 , x 0 , 1 .

15

: 2016

- 501 - :

7

a) 21

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2 24 t 1 0 t 1 4

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0 , 2x 1 3 , 1 . , 3 2x 1 1 2 2x 2 x 1 , 1 .

, F 1 , 1 . 3 , 1 ,

, F 1 , 1 ,

2x 1

20

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2 2

2 1

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.

b)

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,

g x F x x6

. g ,

2 2

,

:

2 2

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1 x x

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,

2 2

x x1 1 0

xx

,

x2

. , g ,

2 2

. 0

0

g F t dt 0

6 6 6 6

. ,

7

a. F.

b. :

c. ,

f

d.

16

: 2016

- 501 - :

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2 2 6 2.

c) f t 0 , t 3 , 1 .

3

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32 13 1 )2

0 0

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2 3 3 6 6

..

d) 3

21

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x 1 t 0 . x 3 t 3 1 .

,

3 1 )

20

1 I dt

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.

17

: 2016

- 501 - :

8

A)

i. f f a

a

.

: y x .

8

f R

C f

.

A. :

i.

ii. f ,

.

B. f :

i.

ii. .

C.

:

18

: 2016

- 501 - :

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af

B f

f a

a

f .

ii. f x

: a , , xx

. a , , .

a , , .

a ( i)

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2

x f x f x x

x

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, 0 0 0 0 x 0 x f x f x . , 0 0 0 : y f x f x x x fC

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Rolle f 0 1 0 1x , x x , x : f 0 , .

)

i. f , 0 f , 0 . x 0

... f

x x

f x f x 1x 1 , x x 1 , x : f f x f x 1

x x 1

.

f

x xx 1 x f x 1 f f x f x 1 f x f x 1 f x f x 1 f x 1 f x f x

: x 0 f x 1 f x 1 f x f xx x x

. ,

x

f xlim L

x

19

: 2016

- 501 - :

x x

f x 1

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x x 1

x 1

x

x 1

x

f x 1 f lim lim L

x 1

. ,

x

f x 1 f xlim L

x.

ii. g , 0 , ,

2

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x

x 0 .

... f

x x

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0 x x

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,

f x 0

x x

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C) f

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f x f a, x a ,

m x x a

f a , x a

m a , , a ,

x a x a

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m a , ,

2

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x a

.

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20

: 2016

- 501 - :

9

) i) g : 0 , 3 x

0

g x f x f t dt . f f

x

0

f t dt g 0 , 3 g x f x f x 0 , x 0 , 3 g

0 , 3 g 0 , 3 . ,

x

0

x 0 g x g 0 0 f x f t dt 0 , x 0 , 3 .

9

A. :

i.

ii.

iii.

B. :

i.

ii.

C. ,

:

21

: 2016

- 501 - :

ii) h 0, 3 , , 0 , 3 , :

x x x x

x x x x x

0 0 0 0

h x e f t dt e f t dt e f t dt e f x e f x f t dt 0

,

0 , 3 ( )) xe 0 ). , h 0 , 3 .

iii)

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0

0

x 0 h x h 0 e f t dt 0 h x 0

, x 0 , 3 .

,

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0 0

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) i) 0 , 3 , 2

x

0

x f t dt

x x x

0 0 0

2 f t dt f t dt 2 f t dt f x x

2

0

x 2 f x f t dt f x 0

, (*)

f x f x f x 0 , x 0 , 3 . , x

0

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x 0 x 0 , 3 0 , 3 .

ii)

21 1

21 1A))2 2

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2

.

...

1 1

1 0

21 1 10 , x 0 , : x 2

2 2 1 20

2

.

...

2 2

1 1

21 1 1, 1 x , 1 : x 2 1 2

2 2 1 21

2

.

,

1 2 1 2

1 1 1 1x x x x 2 2 1 2 4 2 1 2 1

2 2 2 2.

C) 2

2

0

f t dt 1 2 1 1 .

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y 2 2 x 2

y 1 2f 2 x 2

22

: 2016

- 501 - :

y 2f 2 x 1 4f 2

x 2f 2 x 1 4f 2 ( x 2 )

x 2f 2 x 1 4f 2 0 , x 0 , 3

3 3 3

32

22 2 2

x 2 f 2 x 1 4 f 2 dx 0 x dx f 2 x 1 4f 2 0 x dx f 2 1

3

2

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23

: 2016

- 501 - :

10

i. x a 3

3 f 0 f 88

. f 2 f

a , , x

2

a

f t dt a , . ,

f a , ,

2f x f x , x a , .

2x a f a f a 2 3 4 3 1 .

ii. 2f x 1 f x 0 , x a , f a , f a , . ,

a x f a f x f 3 f x 8 f x 0 , x a , .

iii.

2 2

2

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1 u.

x a u f a 3

x u f 8

:

10

i.

ii.

iii.

iv.

24

: 2016

- 501 - :

8 8 8

2 2

2 3a 3 3

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1 u

2 21 8 1 3 9 4 1

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a

F x f t dt . F a ,

a , . ,

F F a

a , : F a

,

iii)a

f t dt1

f a a

.

, f a , , 1 1.

25

: 2016

- 501 - :

11

i.

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1

f

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f x 0 , x 0

.

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xlim f x

, 1fD 0 ,

iii.

x

0

x f f x

x h xh x f f x dt

x h x C C 0

iv. x 0 , . f x x hf x x , f 0 0 .

v. g x f x x , x 0

11

i. .

ii.

iii.

iv.

v. .

vi.

vii.

viii. ,

26

: 2016

- 501 - :

1g x f x 1 f x 1

1x 0 x 0 x 0lim g x lim f x 1 lim f x 1 0 1 1 0

.

, g x 0 0 a 0 : g a 0

1x x xlim g x lim f x 1 lim f x 1 0

, g x 0 , , a 0 : g 0

. .

a , a , : g 0

11

g x f x 1 , x 0g

f

g

0 g g 0 0

. , g 0

x x x

x

1

DLHx x x

f xlim g x lim f x x lim x 1

xlim g x

f xlim lim f x lim f x

x

.

, g x 0 . , 0 : g 0 .

. .

, , : g 0

g

g

g

x g x g 0

x g g x g 0

0 x g 0 g x g

x 0 .

vi. x g x g 0 f x x .

0 x g x 0

0 x g x 0 f x x x g x 0

vii.

21

x f x x2

x f x x 1x f x x 1x 0 f x x f x x x

x

1

2

g x - +

g x 2 1

..

g

27

: 2016

- 501 - :

1x f x x 0 f x x 0 x 0

viii. 1xf x af x , x 0

a 1x

axf x af x 0 f x c x

, x 0

1 aa ax f c c c

,

1 a a

1 a af x x , x 0

f x xf 0 0

x 0

x + -

x 1 2

28

: 2016

- 501 - :

12

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g a 1 , a a , a 1 , f , g .

g a 1 f a 1 a 1 0

g a 1 g a 0g a f a a 0

g a f a a 0

g a g a 1 0g a 1 f a 1 a 1 0

, 1x a 1 , a 2x a , a 1 1 1 1g x 0 f x x

2 2 2g x 0 f x x

ii) f x 1 f x x

h x f x x x x xh x h x e h x e h x 0 e h x 0

Rolle xx e h x 1 2x , x .

1 2x , x .

1 2x , x x xx e h x e h x

1 1x x1 1 1 1x e h x e f x x 0

12

f , :

.

i. , f 1 -3

.

ii. ,

iii. f

:

29

: 2016

- 501 - :

2 2x x2 2 2 2x e h x e f x x 0

0 1 2x x , x 0 0x x

0 0 0x 0 e h x e h x 0

0 0

0 0 0

h x h x 0

f x x f x 1

iii) ... f a 1 , a .

1 a 1 , a :

1

f a f a 1f f a f a 1

a a 1

.

... f a , a 1 .

2 a, a 1 :

2f a 1 f a

f f a 1 f aa 1 a

.

... f 1 2

, .

1 2 , : 2 1

2 1

f f f

.

2 1 2 1

f a 1 f a f a f a 1 f a 1 f a 1 2f af 1

.

2 1

f a 1 a 1f a 1 f a 1 2a

f a 1 a 1

f a a 2f a 2a

f a 1 f a 1 2f a 0

0.

, 1 : f 0 .

30

: 2016

- 501 - :

13

)

f

f 1f x 0 , x

:

1 1 1

2 2 4

0 0 0

g x f t dt 2 t f t dt x 5x t dt

151 1

2 2

0 0 0

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5

1 1

2 2

0 0

g x f t dt 2 t f t dt x x .

11

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0

f x 0 , x f t dt 0 ,

)

b) g x 0 1 1

2 2

0 0

x 2 t f t dt x f t dt 0

.

2 21 1 1 1

2 2

0 0 0 0

0 4 t f t dt 4 f t dt 0 t f t dt f t dt .

13

f :

. ,

a. .

b. .

c. :

i. f,

xx

ii. .

31

: 2016

- 501 - :

1

2

0

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21 1

2 2 2

0 0

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1 1 1

2 2

0 0 0

t f t f t dt t 1 f t dt 0 .

2g t t 1 f t , t 0 , 1 g t 0 , t 0 , 1

( 2 20 t 1 0 t 1 t 1 0 f t 0 ). , g 0 , 1 .

1

0

g t dt 0 .

0

c)

i. 1

0

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1 1z , z . Vieta

1

201 1 1

f t dt

z z E z E E 3 1

.

ii. ,

1 1

2 2 21 1 1 1 1

0 0

z z 2 t f t dt 2Re z 2 t f t dt 2 1 2 Re z 1 Re z 1

( 1

21

0

Re z t f t dt 0 )

2 21 1Re z Im z 3 2 2

1 1 13 Im z 1 Im z 2 Im z 2 .

,

2 2 2 21 1 1 1 1Re z Im z 3 Im z 3 Re z 3 Im z 3 .

32

: 2016

- 501 - :

14 i) g 0 , 0 , :

2x xxg x e 1 x e 1 x , x 0

2.

, : lnx x 1 , x 0 . x xe :

x xlne e 1

xx e 1

xe 1 x 0 ( x 0 )

, g x 0 , x 0 . , g 0 , ( g 0).

ii)

g

x 0 g 0 0g x 0 , x 0

x 0 g x g 0 g x 0. x 0 .

iii) f 0 , , . f 0 , , :

2xf x e

14

i. g .

ii. ;

iii. f .

iv. , f

v.

vi.

33

: 2016

- 501 - :

22 xx 2e x 2xe 0 , x 0 ,

2xe 0 , x . , f

0 , f . 2xy e 2ln y x lny 0 ,

x 0

x ln y x ln y . ( lny 0 y 1 ). , 1 1f : 1 , , f x lnx .

iv) 1f fC , C y x . xe x 1 , x ,

x 2x : 2x 2e x 1 . , 2x 1 x ( ). ,

2xf x e x . ,

fC y x .

f

f 0 , 1 f 0 , f 1 1 , e

v)

e

1

I lnx dx .

2u

2

x e

u

1 1 1 1u lnx du lnx dx du dx du dx

2u x 2ue2 lnx.

x 1 u 0 . x e u 1 .

,

2 2 2 2 2 2

11 1 1 1 1u u u u x x

0 0 0 0 00

I u 2ue du u e du ue e du e e dx I e dx e

()

2

1x

0

e dx 3

f

C .

e

1

lnx dx 2 1fC . , , 2 1 .

34

: 2016

- 501 - :

, 2

1 ex

3 2 3 10 1

e dx lnx dx 1 e e .

vi) ii) : g x 0 , x 0 . x 2x : 2g x 0 . h

2h x g x 0 0 , 1 . ,

2

41 1x 2

0 0

xh x dx 0 e 1 x 0

2

2

13 51

x

0 0

x x 1 1 43 ee dx x 1

3 10 3 10 30 2.

35

: 2016

- 501 - :

15

i. x 1 :

1

3 3 2

1

f (1) f 1 2 tf t dt 0 f 1 f 1 0 f 1 f 1 1 0 f 1 0 , 2f 1 1 0 .

ii. f 1 , f 1 , t f t x

1

1 , tf t dt

1 , , x

1

tf t dt xf x

.

, f 3f 2x f x . ,

, :

x x

3 2 3 2

1 1

f x x f x 2 tf t dt x 1 f x x f x 2 tf t dt 1

2 2 2 2

2 2

13f x f x 2xf x x f x 2xf x 1 f x 3f x x 1 f x 0

3f x x

,

x 1 . , f 1 ( ). , f 1 , .

15

.

i.

ii. f .

iii. .

iv. f .

v. f.

vi. .

36

: 2016

- 501 - :

iii.

f

x 1 , f 1 0f x 0 , x 1

x 1 f x f 1 0

. ( x 1 ).

,

22 21 1

f xx3f x x

, 21 1

x 1 f x 0 , x 1 f x 0 , x 1xx

.

, g : 1 , , 1

g x f xx

1 , ( 1).

,

x 11 1

x 1 g x g 1 f x 1 f x 1 f xx x x

.

:

x 1 x 1, x 1

x 2

.

[,

22

2

x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1x 1 0

x 2 x 2 2 2 2x

2

2

2x 2 xx 1 0

2x

,

, 2 2x 1 0 , 2x 0 , x 2x 2 0 ( )].

,

x 1

f x , x 12

1 1f 1 0

2

. ,

x 10 f x , x 1

2

.

iv. 2 21

f x , x 13f x x

, f 1 , ,

.

2 2

2 22 22 2 2 2

6f x f x 2x1 1f x 3f x x 0 , x 1

3f x x 3f x x 3f x x,

2x 0 , f x 0 , f x 0 . , f 1 , ,

f 1. f 1 , .

v. f :

f

xf 1 , lim f x , f 1 0 , 1

,

37

: 2016

- 501 - :

1

f 1 13 0 1

22 21 1

f xx3f x x

. 21

0 f xx

2x x

1lim 0 lim 0

x . ,

, xlim f x 0

.

vi. f

C 1 , f 1 : : y f 1 f 1 x 1

: y 0 x 1

: y x 1

f f

C f x x 1 , x 1 ( = x 1 ).

, x f x x 1 1 , 3 ,

33 3 3 2

1 1 1 1

x x dx 0 f x x 1 dx 0 f x dx x 0

2

3

1

3 1f x dx 3 1 0

2 2 3 3

1 1

f x dx 3 2 0 f x dx 2 3

38

: 2016

- 501 - :

16

i) F. f , 0 0 , . F

1, x f. 1 0 , x 0 .

, FA 0 , .

f 0 , F 0 , x F x 0 , 1

x F x 0 , 1 G 0 , 1 .

t t t

2

2

e te ef (t) ,t 0 f (1, ) x f(x) (1, )

t t

G (1, )

F

1x 1 x 1

f 2 2

1x 1 x 1

lim G x lim x F x 1 F 1 0G 1 1 f 1 0 G 1.

lim G x lim x f x 1 f 1 1 0 0

G 0, x 0lim G x g 0

, tx

x 01

elim x dt 0

t

.

16

: f, F : .

:

:

i. G .

ii. G .

iii. G .

iv. : .

39

: 2016

- 501 - :

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x x x

e ee e e e0 x t 1 e e e dt dt dt

t t t t t t

t t1 1 1 x x xt

1 1x x x

x xx x x 1 1

e e1 e 1e dt dt e dt e lnt dt e lnt e lnx dt e lnx

t t t t t

tx

x

1

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t

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

2

1lnxlnx xlim xlnx lim lim lim lim x 0

1 11x xx

.

, xx 0 x 0lim xlnx e lim e xlnx 0

. , , tx

x 01

elim x dt 0

t

,

tx

x 01

elim x dt 0

t

. : G 0 , .

ii) G

x

x

1

0 x 1 , G x xF x F x xf x f t dt e

.

2 2x 1 , G x x f x 2xf x x f x .

:

xx x x 2 x x

2 3

e xe e x e 2xe 2ef x , f x

x x x

.

,

x x 2 x x x

2 x2xe 2e x e 2xe 2eG x 2xf x x f x xe , x 1x x

.

,

0

0

x 1 x 1 x 1 x 1

xF xG x G 1 xF x F x xf xlim lim lim lim F 1 f 1 e

x 1 x 1 1x 1

,

02 0

x 1 x 1 x 1

G x G 1 x f xlim lim lim 2xf x 2x f x 2f 1 2f 1 0 e e

x 1 x 1

. , G 1 e .

,

40

: 2016

- 501 - :

x

x

1x

f t dt e , 0 x 1G x

xe , x 1

G 0 , 1 1 , , .

, x 1 x 1lim G x lim G x G 1 e

. , G 0 , .

, xx 0 , 1 , G x f x e 0 x 1 , x x xG x xe e xe 0 . , G

1. :

x0x

x01

x 1 x 1 x 1

f t dt e eG x G 1 f x e

lim lim lim 2ex 1 x 1 1

0

x x x0

x 1 x 1 x 1

G x G 1 xe e e xelim lim lim 2e

x 1 x 1 1

.

, G 1 2e 0 .

, G x 0 0 , G 0 , .

t :

tt e 1e t 1 1 , t 0

t t .

,

t t1 1 x1

xx x 1

e e1dt 1 dt t lnt 1 x lnx dt x lnx 1

t t t, x 0 , 1 .

,

tx

x 0 x 01

elim x lnx 1 lim dt

t.

:

G 0 , 1 .

x

x

x 0 x 01

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G 1 e 0

, Bolzano G 1x , 1 0 1 0x x , 1 : G x 0 ( 0x

, G ).

G

0 0x x G x G x 0 G 00 , x .

G

0 0x x G x G x 0 G 0x , 1 .

41

: 2016

- 501 - :

, G 0

x .

iii) ) G 0 , .

iv) G ,

G. G A 1 , f 1 :

: y G 1 G 1 x 1

: y 0 e x 1

: y e x 1

, G x e x 1 , x 0 ( x 1 ).

42

: 2016

- 501 - :

17

a) x x x x

22 2 2

0 0 0 0

2f t dt t f t dt tdt tf t t dt 0 1

2

tf t t

2

tf t 0 ,

x

2

0

tf t t dt 0 , x 0 2 .

1 2

x

2

0

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x

2 2

0

tf t t dt 0 xf x x xf x x,x 0

.

b)

i.

x, x 0

xf x f x xf 0 , x 0

.

17

f

a.

b. f

i. f .

ii. .

iii. .

c. , x

d. N x.

43

: 2016

- 501 - :

0 , 0,

x 0 x 0

xf 0 lim f x lim 1

x .

,

x

, x 0f x x

1 , x 0

x 0 f

2xx xx

f xx x

.

0

x 0 , :

0

0

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x 0 x 2 x 2x x

.

, 0, f 0 0 .

2xx x

, x 0f x x

0 , x 0

.

ii. g x xx x , x 0 0, g 0 0 0 0 0

g x xx x xx 0 , x 0 , , g 0 ,

.

x 0 g x g 0 g x 0 f x 0 , f 0 ,

.

, 0.

f 0 1

f 0

.

iii. 0 1 2 3 2009f x f x f x f x .

2009 2 2009 2

2009 8 2

8 8

x x f x f xx 1 f x f x f x f x

x x f x f x.

1 , .

0 x 1 2009 8 2f x f x f x f x , 0 , 1 .

0 1.

44

: 2016

- 501 - :

: 0 1 0 , .

c) f y x 1 , x ,

x 1 1 x x x 1

x x 2 2 6 .

h x f x x 1 , x 0

0 , .

h 1 0 h x f x 1 0 , h , 1 .

f x x *f x 0 x , .

1 , x .

y x 1 x x y 0 x 0 .

f

x x , C y x 1 , E :

1

1E 1 1 f x dx

2 .

x 1

, x 1 , x x

1 x

0 , x 1 , x x

(

x2

)

11 1 1

1 xdx 0 f x dx lnx f x dx ln 1

x x

.

,

1

1 1 12

.

45

: 2016

- 501 - :

d) s x x

y x 1 .

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1, w 0 0 0 1 0 , w 1 1 11 0 .

x 0 , w x 0 f x 1 f x f 1 x 1 .

0 1 .

0 x 1

x

f x f 1 1 x x 1 0 w x 0x

.

,

11 1 2

0 0 0

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2

11 1

2

.

46

: 2016

- 501 - :

18

)

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g 1 , e g 1 g e 2 e 2 0 . , Bolzano

1 , e : g 0 , ln 3 0 . g , 1

g x x 0 , x 0x

.

, g 0 , . , .

)

i. f 0 , ,

21 1 1 1 1

f x 1 lnx 2 1 lnx 2 lnx 2 1x x x xx

2 2

g xlnx 2 lnx 2 x 1 lnx x 31 1 11 , x 0

x x x x x x x

.

,

f x 0 g x 0 x

g

f x 0 g x 0 g x g x .

18

A.

B.

i. .

ii. , :

a. :

b.

47

: 2016

- 501 - :

ii.

x - 0 +

f x - +

f x 2 1

f 0 , , . f .

a f :

2 2 1 1

f x f , x 0 f x f

2 2 2)

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1 1 1 1 1 111 ln 2 3 2

2 2 2 1 1 1

0. , f x 0 , x 0.

b

: , , x f x f x . , f f

1 ln 21

1 ln 2 0 0

.

0

1 e 1 0 . , 0 , 1 0,

ln l 1

,

ne 2

ln 2 0.

, ()>0. ,

x x xlim x lim f x lim f x 0

( xlim f x 1 0 2

2x x x 2

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x x

x

11 0 1xlim 0

2x

).

,

xlim x : 0

Bolzano , 0 0x : x 0 ,

0 0f x f x 0 .

O

48

: 2016

- 501 - :

19

i. f , ,

f x 2x z 4 3i , x .

1f 02

. 1f 1 z 4 3i2

. ,

1 z 4 3i 0 z 4 3i 1 z 4 3i 1 .

z

4 , 3 1 .

1c : z 4 3i 1 , 2 2

1c : x 4 y 3 1

( z).

z 2c

x x ,

2 2

2c : x 4 y 3 1 ( 4 , 3 ,

1 ).

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minz z 2 6 2 4

19

z

. f(x) a

xx, :

i. z.

ii.

iii.

49

: 2016

- 501 - :

ii. :

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,

z 4 3i z 4 3i 8 6i z 4 3i 8 6i 1 10 9 .

,

9 z 4 3i 11 .

50

: 2016

- 501 - :

20

) f . f , , :

2008 2006f x 2009 x 2007 x 1 ,

2007 2005f x 2009 2008 x 2006 2007 x ,

2005 2f x x 2009 2008 x 2007 2006 .

, f x 0 , x f f 1 1 .

:

2005f x 0 x 0 x 0

2005f x 0 x 0 x 0

x - 0 +

f(x) + +

f(x) - +

f(x) 4 3

, f 0 , , 0 . f A 0 , f 0 A 0 , 0 .

b)

20

a. f f

.

b.

c. f (0,0)

f

d. :

51

: 2016

- 501 - :

f

f

fog .

[ 1 2

x , x

g f

1 2 1 2 1 2 1 2x x g x g x f g x f g x fog x fog x , fog

.]

,

fog

2008 2009 fog 2008 fog 2009

.

c) f

C A 0 , 0 : : y f 0 f 0 x 0 , : y 0 1 x 0 , : y x :

1f fC , C .

d)

x 0 f y x

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1f x f x x 0 2 . :

a 0 1f a f a

1f1f f a f f a f f a a f f a a f a

f

f f a f a f a a

, 1 . , 2 .

: x 0 f y x

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:

a 0 1f a f a

3f f1f f a f f a f f a a f f a a f a f f a f a f a a ,

3 . , 3 .

( )

x 0 f y x fC O 0,0 f x x x 0

f

1 1f x x f f x f x x f x

1

1 1f x x

f x x f x f x f x , x 0f x x

52

: 2016

- 501 - :

x 0 f y x fC f x x x 0

f

1 1f x x f f x f x x f x

1

1 1f x x

f x x f x f x f x , x 0x f x

53

: 2016

- 501 - :

21

) x 0 .

. . .

f 0 ,

f , x

x

0

f x f 0 f x

0 , x : f f x x f x 0 x

, x 0 .

f

0 x f f x x f x f x f x x f x

, x 0 * .

g 0 , ,

*

2

f x x f x f xg x 0

x x

, x 0 . , g 0 , .

) g , F 0 , ,

F x g x F x g x 0 , x 0 . , F 0 , .

) G : 0 , , x 1

x

G x g t dt

.

G ( g )

21

f(0)=0 .

() g.

() F .

()

()

.

54

: 2016

- 501 - :

x 1 x 11

x x 1

G x g t dt g t dt g t dt

x 1x

1 1

g t dt g t dt g x g x 1 x 1 g x 1 g x

.

,

g

x 0 x x 1 g x g x 1 G

0 , .

3 4 4G

2 3 3

2 3 G 2 G 3 g t dt g t dt F 3 g t dt

.

) 1 2

x , x 0 1 2 2 1

x x 4 x 4 x .

H : 0 , , H x F x F 4 x .

H , F x , F 4 x ,

H x F x F 4 x F x F 4 x 4 x g x g 4 x .

g

1 1H x 0 g x g 4 x x 4 x x 2

g

H x 0 g x g 4 x x 4 x x 2

.

x 0 2

H x

H x 2 1

min

H () x 2 , H 2 F 2 F 2 0 0 0 .

1 2F x F x 1 2x x 2 .

O

55

: 2016

- 501 - :

22

i. ln t

tt 1

0 , . f 1,x

0 , . F FA 0 , . 0 , ,

f 0 , , 1, 1

x 11

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.

,

2x 1 x 1

f x x 1 f x x 1lim lim

x 1 x 1x 1

, ,

0

0

x 1 x 1 x 1

f x f x xlim lim lim 1 0

x 1 1x 1

x 1

u x 1

x 1 u 0u 0

x 1 ulim lim 1

x 1 u. ,

2x 1

f x x 1lim 0 1 0

x 1

22

i.

ii. :

iii.

iv. , , xx

v. :

56

: 2016

- 501 - :

ii. lnx

f x x , x 0x 1

.

f x 0 lnx 0 x 1

x 1 0

f x 0 lnx 0 x 1

, f 0 , 1 . ,

1 1 1 1f f

3 2 3 2

1 1

3 2

1 1

ln t lntdt dt

1 t 1 t.

iii. g 0 , , :

2 2

1ln 1 lnx 11 1 1 lnx lnxxg x f x f f x f

x x x x 1 1 x 1 x 1x x1

x x

2

2

lnx x 1 ln xlnx xlnx 1 lnx lnx 1 lnx lnx1

x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x x 2x x x 1.

, 2ln x

g x2

x 0 . , 2ln x

g x c , x 02

. x 1 g 1 0 c c 0 .

, 2ln x

g x , x 02

.

iv. g x 0 , x 0 . :

e e 2

1 1

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2

e e e ee

2 2 2

11 1 1 1

1 1 1 1 1 1ln xdx x ln xdx xln x x 2lnx dx e lnxdx

2 2 2 2 x 2

e ee

11 1

e 2e e ex lnxdx xlnx dx e e 1

2 2 2 2 .

x 0 1

f(x) - +

f(x) 2 1

min

57

: 2016

- 501 - :

v. : g : 1 , , g x f x x 1 . g 1 ,

1 , ,

lnx x 1lnx

g x f x 1 1 0x 1 x 1

x 1 , lnx x 1 .

, lnx x 1 1 1 2 0 . , g x 0 .

, g 1 , , x 1 g x g 1 0 f x x 1 0 f x x 1 .

x 1 f x x 1 0 0 .

: x 1 0 0 .

x 1 . ... f 1 , x 1 , x :

f x f 1 f xlnf

x 1 1 x 1.

ln

1 1

ln 1 . ,

ln 1 1 ,

ln 1 .

58

: 2016

- 501 - :

23

i f x f x f x x 2 , 2 2

f x f x f x f x 1 ,

x 2 , 2 1 . f 0x 2 , 2 , 0f x 0 .

0

x x 1

0f x 02 2

0 0 0 0 0f x f x f x f x 1 f x 1 , . ,

fC

2 , 2

ii :

f x f x f x x , x 2

2f x f x 2f x 2x , x 2

2 2f x 2f x x , x 2 .

23

f

.

z

:

i. f .

ii.

iii. .

iv. f

v.

vi. f z

, z

, xx.

vii.

59

: 2016

- 501 - :

,

2 2 : f x 2f x x , x 2 , 2 .

( 2f x 22f x x 2 , 2 ).

2x 0 f 0 2f 0 9 6 3 .

, 2 2f x 2f x x 3 , x 2 , 2 2f x 2f x x 3 0 , x 2 .

iii

2 2 2 2f x 2f x x 3 , x 2 f x 2f x 1 1 x 3 0 , x 2

2

2 2 2f x 1 x 4 0 , x 2 g x 4 x , x 2 .

,

2 2g x 0, x 2 4 x 0 2 , 2 .

, g x 0 , x 2 , 2 g 2 , 2 g 2 , 2 .

iv 1 :

2

f x f x 1 1 f x , x 2 , 2 2

.

g 2 , 2 , g 0 f 0 1 2 0 . , g x f x 1 0 , x 2 .

, 2 :

2

1 f xf x 0 , x 2

f x 1

.

, f 2 , 2 ( f 2 , 2 ).

v )

2 2

2 2f x 1 4 x , x 2 f x 1 4 x , x 2

f x 1 02 2

2 , 2f x 1 4 x , x 2 f x 1 4 x , x 2 , 2 .

, ) : 2 2f x 2f x x 3 0 , x 2 , 2 .

2

2x 2 f 2 2f 2 1 0 f 2 1 0 f 2 1 .

, x 2 , f 2 1 . , 2f x 1 4 x , x 2 , 2 .

vi z i 2 z 0 i 2 . z K 0 , 1 2

60

: 2016

- 501 - :

f

2y f x 1 4 x , 22 2y 1 y 1 4 x y 1 x 4 , y 1 .

, f

C z i 2 .

z z max

z x yi , 1 y 3 . ,

2 22 2x y 1 4 x 4 y 1 .

,

22 2 2z x y 4 y 1 y 3 2y .

y g : 1 , 3 , g y 3 2y .

1 y 3 2 2y 6 1 3 2y 9 1 3 2y 3 .

, g 0

y :

0 0 o 03 2y 3 3 2y 9 2y 6 y 3 .

22

0 0x y 1 4 2

0 0x 0 x 3 . , 0 0x , y 0 , 3 .

f 0 f 0 . x 0 f x f x f x x :

f 0 f 0 f 0 3 f 0 f 0 f 0 0 .

, f

C 0 , 3 x x .

vii

61

: 2016

- 501 - :

2 2

2

0 0

I f x 1 dx 4 x dx .

x 2 dx 2d , ,

2 2.

x 0 0 0 .

x 2 1 2

.

,

2 2 2 22 2

0 0 0 0

1 2 2 I 4 4 2d 4 d 4 d 2 d 2 0

2 2 2

.

2

2

0

I 4 x dx 2 2x y 4 . ,

2 2I

4

.

62

: 2016

- 501 - :

24

i 2 2f x x 2xf x , x . x o 0 :

2 2

2 2 2

f x 2xf x x

x x x

2 2

f x f xx2

x x x

, x 0. (1)

x 0

f xlim

x

2

x 0

f xlim

x

. (1), :

2 22

2

x 0 x 0 x 0 x 0

f x f x f x f xxlim lim 2 lim 1 2 lim

x x x x x

222 2z 2 z 2 z 2 z 2

1 2 1 0 1 z 2 2z 1 z 2 2z 12z 1 2z 1 2z 1 2z 1

2 2 2 2

z 2 z 2 2z 1 2z 1 z 2z 2z 4 4 z 2z 2z 1 3 z 3 z 1 z 1 .

ii

2 1

z 1 z 1 z z 1 z * z 0 , z 1z

.

,

24

i.

ii. .

iii.

iv.

63

: 2016

- 501 - :

1010

10 1010

* 10

10 10 10 1010

10

1 zi1iz i z iz i z z

wz 1 1 zz 1 1z 1 1

zz

10

10 10 10 1010

10 10 10 10 10

1i z

1 zi i i z i z z iiw

1 z 1 z 1 z 1 z z 1.

, w .

iii

2 2x 0 x 0 x 0

f x f x f xx x 1lim lim lim 1 1 1 1

x x x x 1x x x x,

x 0

u x a)

x 0 x 0 u 0u 0

f x f uxlim 1 , lim lim 1

x x u.

iv :

z 3 4i z 3 4i 1 5 6 .

,

6 z 3 4i 0 1 .

,

z 3 4i z 3 4i 1 5 4 .

,

2 z 3 4i 8 8 2 z 3 4i 0 2 .

g : 1 , 2 , 3g x x 10 5 z 3 4i x . g

1 , 2 , .

, 1

g 1 6 z 3 4i 0 (2)

g 2 8 2 z 3 4i 0 .

g 1 0 , 1 1 , 2 g x 0 .

g 2 0 , 2 1 , 2 g x 0 .

g 1 0 g 2 0 Bolzano, 0 0x (1,2) : g x 0 .

, 0 0x 1 , 2 : g x 0

64

: 2016

- 501 - :

25

i) x f x ln f x 1 , x 0 1 ( 1 f x 0 , x 0 ).

a 0 : f a 1 .

x a 1 a f a ln f a 1 a 1 ln1 1 a 0 1 0 1 , .

ln

a 0 : f a 1 lnf a 0

. ,

f a ln f a 0 , 1 .

, f x 1 , x 0 .

ii) f ln f x , .

1 : x f x ln f x 1 f x ln f x x f x lnf x x f x 0

f x ln f xf x x ln f x x f x ln f x f x 0 , x 0 f

xlnf x x

0 , .

iii) x f x 1 :

f x f f x ln f f x 1 .

,

1f x f f x

ln f f x , x 0

25

f, :

i. :

ii. f

iii. :

iv. :

v.

65

: 2016

- 501 - :

( f x 1 , x 0 f f x 1 ln f f x 0 ).

,

1f 1

ln f f x f 1 ln f f x 1 .

, 1 f 1 ln f 1 ( 1 x 1 ).

,

f 1 ln f f x f 1 ln f 1 ln f f x ln f 1

( f 1 0 ) f f x f 1 ( ln ) f x 1 ( f ). ,

, . , f x f f x f 1 , x 0 .

iv) 1

x x 1 : 1 1 1 1 11

x f x ln f x 1 x elne 1 xe

.

2x x 1 : 2 2 22 2 2 2 2 2 21

x f x ln f x 1 x e lne 1 x e 2 1 x2e

v) f , , 2

1

x

x

f x dx .

22

1

1

x 2e 1

x 1

e

f x dx f x dx

2

1

2e

1

e

1dx

x ln f x .

f x ln f x u lnu 1 lnudxu f x du f x dx du dx du dx du

x ulnux 1 lnux 1 ln f x.

)1 1x u f e

e e.

)2

2 2

1 1x u f e

2e 2e.

, :

22

2

1e e2e

21 e ee

1 lnu 1 lnu1 dx 1I du du

x lnu ulnu uln ulnf x

.

1

t lnu dt duu

.

u e t 1 .

2u e t 2 .

,

11

22 2

1 t 1 1 1I dt lnt 1 0 ln2 ln2

t 2 2t.

66

: 2016

- 501 - :

26

i) 2f x 2lnx x 1 , 0 , . f 0 , ,

2

f x 2x 0 , x 0.x

, f 0 , .

ii) f ,

2

2 2

x 12 2f x 2x 2 2 , x 0

x x x

.

x 0

2f x 0 x 1 0 x 1

x 0

2f x 0 x 1 0 x 1

f 1, 0 , 1 . A 1 , f 1 A 1 , 0 .

iii)

f

0 x 1 f x f 1 0 .

f

x 1 f x f 1 0 .

x 0 1

f(x) - +

f(x) 4 3

..

26

:

i. f .

ii. f .

iii. f.

iv. f.

v. :

vi.

O

67

: 2016

- 501 - :

iv) ,

2

x xlim f x lim 2lnx x 1

2

x 0 x 0

lim f x lim 2lnx x 1 2 0 1 .

,

f

xx 0

f 0 , lim f x , lim f x , .

v)

5f5

5 10 2

10 2 10 2

f x f xx x0 x 1 f x f x f x f x

x x f x f x

.

5f5

5 10 2

10 2 10 2

f x f xx xx 1 f x f x f x f x

x x f x f x

x 1 2 5 10f x f x f x f x ( f 1 0 ).

, x 1 .

vi) 2

2 2 2 2

2

2 2 2 ln 1 1 a a a 2 a 2

2 2 a

a aa ee e a e e

e

2 2 2 22 a 2 2 a 2 2 2ln a e ln e ln a lne ln lne 2ln a a 2ln

f

2 2

f 1 12lna a 1 2ln 1 f a f a

.

x 0 1

f(x) - + O

68

: 2016

- 501 - :

27

i) a , a . f a f .

f a f . 3 3f a f ( 3x ) f a f e e ( xe ). :

3 3

f a f 3 3 3 3

f a f

f a f

f a f f a f a e 2 f e f 2 a a

e e

2 2

.

, f a f . ii) a ,

a

f f 2 3a f 2 32 3a 2 3

3 2 3 2a f 3 2 f 3 2a

f 2 3a f 3 2 f 2 3 f 3 2a

f 2 3a f 3 2a f 2 3 f 3 2

g a g

, g .

iii) f g

2 2 2f g x x 1 f g x 4 x g x x 1 g x 4 x x x 1 x 4 x

2 2

2 2

x x 1 x 4 x 0 x x 1 x x 4 0 x x x 1 x 4 0

x x x x 4 0 x x 4 0 x 2 0 x 2.

- -2 0 2 +

x - - + +

2x 4 + - - +

2x x 4 - + - +

27

f : .

i. : f .

ii. : g

.

iii. :

O

O O

69

: 2016

- 501 - :

28

) f x g x , x a , f x g x 0 , x a , f g ,

a a a a a

f x g x dx 0 f x dx g x dx 0 f x dx g x dx .

)

i.

... f a

a , :2

1 1

a a f f a f f a

2 2a x a , : f x

2 a aa

2 2

.

... f a

, :2

2 2

a a f f f f

2 2a x , : f x

2 a a

2 2

.

,

28

A. f g

:

B. f , .

:

i.

ii.

iii.

70

: 2016

- 501 - :

f

1 2 1 2

a a f f a f f

2 2 a x x f x f x 2f f a f

a a 2

2 2

f a f a f

2 2.

ii. x a 0 0 .

x a , :

... f a , x

x x

f x f a a , x :f

x a

.

,

f

x x x

f x f aa x f f f f x f a f x a

x a.

iii. g : a , , g x f x f a f x a . ,

g x 0 , x a , g a , . :

a a

g x dx 0 f x f a f x a dx 0

2

aa

x af x dx f a a f 0

2

2

a

f af x dx f a a 0

2

2

a

2 f x dx 2f a a a f .

x

71

: 2016

- 501 - :

29

i) 1 i , :

3 2 2 31 i f 1 1 i 1 i f 0 0 1 3i 3i i f 1 2i 1 i f 0 0

1 3i 3 i 2if 1 1 i f 0 0 f 0 3 i 2f 1 1 0

1

f 0 3 0 2f 1 1 f 0 3 f 12

Bolzano f 0 , 1 1 1 0 , 1 : f 0 .

ii) f 0 , 1

. . .

0 , 1

2 2

f 1 f 0 1 7 0 , 1 : f 3

1 0 2 2

.

, 22f 7 0 .

iii) ... f 10 ,

1

3 1 3

1 1 1

f f 0 f 0 3 0 , : f

0

.

... f 1 , 1

1

4 1 4

1 1 1

1f 1 f 12 , 1 : f

1 1 2 2

.

,

29

f (-1,1)

: (1). (1) :

i. :

ii. :

iii. :

iv. ,

(-1,1).

72

: 2016

- 501 - :

3 4 21 1 1 1

3 1 3f f

2 2 2 2

.

iv) : 3 4 21 1

3f f 0

2 2

,

10 1 .

,

f

3 4 3 4 3 4f f 0 f f 0 f f 0 .

Bolzano f 3 4 , 1 , 1 : 0 3 4 0x , : f x 0 .

, 0x 1 , 1 .

73

: 2016

- 501 - :

30

A) : 0 , , x

x ln x 1x 1

.

(0, ) ,

2 2 2

x 1 x x 1 11 x x , x 0

x 1 x 1 x 1 x 1

. , 0 , .

xx 0 x 0 0 ln x 1 , x 0

x 1.

h t ln t 1 ... 0 , x 0 , x :

h x h 0 ln x 11

h x 0 1 x

.

,

1 10 x 1 1 x 1 1

1 x 1

x 0ln x 1 1 x1 ln x 1

x x 1 x 1.

30

( )

A.

B. .

i. f

ii. f

.

iii. g .

iv. h ,

h 1-1.

74

: 2016

- 501 - :

) i) x 0lim f x f 0

, 1

x

x 0lim 1 x e

.

x 01

x1 x 1 :

. 1

x

ln 1 x1ln 1 x xx1 x e e

0

0

x 0 x 0 x 0

ln 1 xln 1 x 1lim lim lim 1

x x x 1

.

,

1

1x

x 0lim 1 x e e . , f 0x 0 .

ii) f 0 , ,

ln 1 x ln 1 x1x xx

ln 1 xf x 1 x e e

x

2

xln 1 x

x 1f x 0 , x 0

x

,

2x

f x 0 , x 0 , ln 1 x 0x 1

, () .

, f x 0 , x 0 f 0x 0 . , f 0 , . , x 0 f x f 0 e ,

x 0 . , f 0, e.

iii) xg x e 2x , x

xg x e 2 , x

xg x 0 e 2 x ln2 xg x 0 e 0 x ln2 .

x ln2

g x - +

g x 2 1

min

, g ln2ln2 , g ln2 e 2ln2 2 2ln2 2 1 ln2 .

, g x g ln2 , x

g x 2 1 ln2 0 1 ln2 .

, g x 0 , x g .

iv) 1 2 1 2 1 2x , x x x h x h x .

1 2

x x 1 2

x , x 0 , 1 2 1 2h x h x f x f x , f 1 1 , .

1 2

x x 1 2

x , x 0 , 1 2 1 2h x h x g x g x , g 1 1 , .

1 2

0 x x 0 . 1 2h x h x 1 2f x g x .

.

O

75

: 2016

- 501 - :

f

1xf 0 , lim f x , f 0 1 , e A

ln 1 x1xx

x x x lim f x lim 1 x lim e

K

0

x x x x

ln x 1ln x 1 1lim lim lim 0. , lim f x e 1

x x x 1

g

g , 0

2x x 0lim g x , lim g x , 0 A

.

x 2x x

lim g x lim e x 1

0 1

x 2x 0 x 0lim g x lim e x 1 0.

, 1 2A A 1 2f x g x . , h 1 1 .

76

: 2016

- 501 - :

31

i) f x 0 , x 0 , 1 f 0 , 1 . , f 0 , 1 . , 0 1 f 0 f 1

f 1 f 0

f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0 f 1 0 . Bolzano f 0 , 1

0 0x 0 , 1 : f x 0 . 0x f .

ii) :

g : 0 , 1 , g x f x 2f 1 x . g 0 , 1 ,

0 , 1 .

f 0 f 1 0

g 0 f 0

g 1 f 1 2f 1 f 1 f 0

, . Rolle, 0 , 1 : g 0 . , f 2f 1 0 f 2f 1 .

:

f 0,1

f 0,1

0,1

(1)f 1 f 0 2f 1

f 2f 11 0 1

31

( )

f (0,1)

:

:

i. ,

ii. ,

iii.

iv.

77

: 2016

- 501 - :

iii) 0 x 1 .

... f 0 , x 1x 0 , x :

1

f x f 0f x :

x

.

:

1

f x f 00 f x 4 0 4 0 f x f 0 4x f 0 f x 4x f 0 1

x

... f x , 1 : 2x x , 1 :

2

f 1 f xf x :

1 x

.

:

2

f 1 f x0 f x 4 0 4 0 f 1 f x 4 1 x f 1 f x 4 1 x f 1

1 x

f 1 4 1 x f x f 1 2 .

:

f 0 f 1 0

1 2 f 0 f 1 4 1 x 2 f x f 1 f 0 4x 2x 2 f x 2x , x 0 , 1

iv) :

)

0 f x 4 f 1 f 0

f 2f 1 0 2f 1 4 0 f 1 2 0 f 0 2 2 f 0 0 . ,

0 f 1 2 2 f 0 0 .

x f x 2x , x 0 , 1 x 0 , x 0 , 1

0 , 1 ( ) ).

,

11 1 1 1

2

0 0 0 0 0

x dx 0 f x 2x dx 0 f x dx 2xdx x 1 .

, x f x 2x 2 , x 0 , 1 x 0 , x 0 , 1

0 , 1 ( ) ) .

,

11 1 1

2

0 0 0 0

x dx 0 f x dx 2x 2 dx x 2x 1 . , 1 1

0 0

1 f x dx 1 f x dx 1 .

:

1 1 10 0 02x 2 f x 2x 2x 2 dx f x dx 2xdx

1 11 12 2

0 00 0x 2x f x dx x 1 f x dx 1

10f x dx 1

78

: 2016

- 501 - :

32

i) f , 1 ,

1 x 11 1

f x ln 1 x x 1 x 1 11 x x 1 x 1

2 x

0x 1

,

x 1 ( x 1 x 1 0 2 x 0 ). , f , 1 .

ii) f 0 0 . f x 0 , f

. , h, , x x ,

O 0 , 0 .

iii) f , 1 1.

f

1 1 1 1

1 1f 2008 f x 0 f 2008 f x f 0 2008 f x 0 f x 2008

f 2008 x x ln 2009 2008 .

iv) gA

fA , 1

x xfog g fA x A : g x A x : 1 e 1 x : e 0

32

( )

,

i. f .

ii.

, (0,0).

iii. f

iv.

v. f,

xx

79

: 2016

- 501 - :

x x x x x xfog x f g x f 1 e ln 1 1 e 1 e lne 1 e x 1 e .

gof f gA x A : f x A x 1 , f x , 1 .

ln 1 x x

ln 1 x x

x x x

e 1 x e 1 xgof x g f x g ln 1 x x 1 e 1 1

e e e

.

xfog x e gof x , x 1 .

v)

f

x 0 f x f 0 0 .

, :

0 0 0 0

1 e 1 e 1 e 1 e

E f x dx ln 1 x x dx ln 1 x dx xdx

0 220 00

1 e1 e 1 e1 e

1 ex xx ln 1 x dx xln 1 x dx

2 1 x 2

2 20 0

1 e 1 e

e 1 1 1 x e 1x1 e lne dx e 1 dx

1 x 2 1 x 2

2 20 0 01 e

1 e 1 e

e 1 e 11e 1 dx dx e 1 ln 1 x e 1

1 x 2 2

2 2e 1 e 2e 31 ..

2 2

80

: 2016

- 501 - :

33

)

i) , f x

0

1 , 1 f t dt

x

0

1 , 1 f t dt

1 ,1 . , :

x x x x

0 0 0 0

f t dt x , x 1 , 1 f t dt x , x 1 f t dt f t dt 1 , x 1

f x 0x x

0 0

1f x f t dt 1 , x 1 f t dt , x 1 1

f x

ii) x 0 1 :

0

0

1 1 1 f t dt 0 1 f 0 1

f 0 f 0 f 0.

,

f 1 , 1

f x 0 , x 1 f 1 , 1 .

f 0 1 0 f x 0 , x 1 .

33

( )

f

A. :

i.

ii.

iii.

B.

i. g.

ii. g.

81

: 2016

- 501 - :

iii) 2 2 1 , x

0

f t dt .

,

2

2 2 2 2

22 2 2

1 1 1 1 1x 1 1 x f x f x f x

1 xf x f x 1 x 1 x

)

2

1f x , x 1

1 x.

) f 0 1 . , 4 3 2g x 3x 4x 12x 1 , x . g , ,

:

3 2 2g x 12x 12x 24x 12 x x 2 , x

2

2

x x 2 0

g x 0 x 0 x x 2 0 x 0 x 1 x 2

2 0 1

12x - - + +

2x x 2 + - - +

g x - + - +

g x 2 1 2 1

min max min

i) g 2 , 0 1 , .

g , 2 , 0 , 1 .

ii) g 2 , g 2 31 .

g 0, g 0 1 .

g 1, g 1 4 .

O O

O

82

: 2016

- 501 - :

34

i) u t x :

du x dt .

t 1 u x .

2t x u x .

,

2 2x xu u

x x

e eduF x du

u x u

x

.

g ue

g uu

A , 0 0 , .

F 2x , x . :

2 2

x 0 x 0 x 0 ,

x 0 x 0.

, F 0 , . :

2 2x xu u u1 xu

x 1 1 1

e e eeF x du du F x du du , x 0

u u u u.

g ux

1

e0 , du

u 0 , . ,

ux2

1

edu , x

u

2x u

1

e0 , du

u 0 , ( ). , F

0 , .

34

F

i. F

ii.

iii.

iv. F.

83

: 2016

- 501 - :

:

2 2 2 2x x x xu u u x xx xu

2

21 1 1 1

e e e e e 2e eeF x du du du du x , x 0

u u u u x xx

ii)

x 1 x 1

F x F x F 1 2e elim lim F 1 e

x 1 x 1 1

.

iii) txx

1

eF x dt , x 0

t . x 0 , 1 . 0 x t 1 .

,

0 x t te e e e 1 e e

x 1tx x tx x1 1 1x tx x tx x

x x

e e e e1 11 e e 1 e e dt dt dt

t t t t t t

tx xx x x

x

1 1 1

e e1dt dt dt lnx F x e lnx , x 0 , 1

t t t

iv) x 0lim F x

. :

x

x 0

x 0

lim e lnx 1

lim lnx

)

x 0lim F x .

84

: 2016

- 501 - :

35

i) x 0 :

1

xf x f xx

xf x lnx , x 0

, xf x lnx c , x 0 (c : ) (1)

f

C

1 1A e , f e

e e.

x e (1) :

1

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85

: 2016

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86

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87

: 2016

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89

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: 2016

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