επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015

135
- 1 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://mathhmagic.blogspot.com/ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ∆ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ -∆ΡΟΥΓΑΣ -ΜΗΤΑΛΑΣ–ΠΑΤΣΗΣ Οι λύσεις σελ 49
  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    13.010
  • download

    1

description

.

Transcript of επαναληπτικά θέματα μαθηματικά γενικής παιδείας 2015

- 1 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

- 2 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Το γκράφιτι στο εξώφυλλο µε τον Αϊνστάιν και τον Καραθεωδορή βρίσκεται στην Ιερά Οδό αριθµός 23 σε παρκινγκ στον

Κεραµικό ,από µια ιδέα που προέκυψε από το TEDx Athens, και υλοποιήθηκε µε τη βοήθεια του οργανισµού designwars και

του street artist ino

"Φτασµένες οι προλήψεις σε µια καθαρότητα µαθηµατική, µας οδηγούν στη

βαθύτερη γνώση του κόσµου."

Οδυσσέας Ελύτης, 1911-1996

ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΔΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ

- 3 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Oδηγίες επανάληψης προς ναυτιλλομένους στα μαθηματικά γενικής παιδείας !!

• Προσοχή στην εύρεση μέγιστης και ελάχιστης τιμής του ρυθμού μεταβολής συνάρτησης f(x) ή

του συντελεστή διεύθυνσης εφαπτομένης, όπου πρέπει να εξετάσουμε τη δεύτερη παράγωγο .

• Από το κεφάλαιο της στατιστικής είναι πολύ πιθανό να ζητηθεί η συμπλήρωση ελλιπούς

πίνακα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων απολύτων και αθροιστικών (κυρίως

ομαδοποιημένων παρατηρήσεων!). Συνδυαστικά πάντα με την αντίστοιχη γραφική παράσταση

στο mm χαρτί του τετραδίου! Ενδεχομένως να απατηθεί η χρήση της τελευταίας

χιλιοστομετρικής σελίδας (ακόμα και για την εύρεση διαμέσου). Όπως επίσης και το εμβαδό που

περικλείεται από την πολυγωνική γραμμή στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων

και τον οριζόντιο άξονα!

Δώστε βάση στην κανονική κατανομή, καθώς επίσης και την σχέση διαμέσου-μέσης τιμής όταν

έχουμε θετική ή αρνητική ασυμμετρία .

• Προσοχή στις ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες είτε με χρήση των βασικών σχέσεων των

πιθανοτήτων, είτε σε συνδυασμό με χρήση μονοτονίας ή ακροτάτων συνάρτησης ή σε

συνδυασμό με τον πίνακα. Ο αξιωματικός ορισμός στις πιθανότητες επιβάλλει να

χρησιμοποιηθεί όταν δεν αναφέρεται ότι τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.

• Κάποια άλλα σημεία που θα πρέπει να προσέξετε είναι : άσκηση 3 σελίδα 146 ομάδα β΄, μην

ξεχάσετε τα προβλήματα των σελίδων 45 και 46 –οι εφαρμογές του σχολικού: σελίδα 34

εφαρμογή 2 – σελίδα 98 εφαρμογή 2 – σελίδα 99 εφαρμογή 3, πως εξετάζουμε αν τα ενδεχόμενα

Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τους τύπους της αριθμητικής και της γεωμετρικής

προόδου 1[2 ( 1) ]

2v

a vS

ω ν+ −= και 1

1

1vS aνλλ

−=

−.

•Οι αγωνιστές της τελευταίας στιγμής μπορούν να επαναλάβουν την θεωρία στο φυλλάδιο:

http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/03/blog-post_30.html ή στον παρακατω σύνδεσµο: http://cutemaths.wordpress.com/2014/03/03/%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%B1-%CE%B3%CF%80-%CE%B3-%CE%BB%CF%85%CE%BA%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%85-%CF%84%CE%BF-%CE%B1-%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B1/ από το µαθηµατικό Βαγγέλη Νικολακάκη

•Εξαιρετική συλλογή επαναληπτικών ασκήσεων από το mathematica μπορείτε να βρείτε και

στο σύνδεσμο http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/05/mathematica.html

Διαβάζουμε προσεκτικά τα θέματα αρκετές φορές και δεν αποχωρούμε προτού εξαντλήσουμε

το τρίωρο της εξέτασης όσο σίγουροι και αν είμαστε.

Καλή επιτυχία σε όλους!

- 4 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

1.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1) Όταν έχουμε κανονική κατανομή η μέση τιμή συμπίπτει με την διάμεσο.

2) Η μέση τιμή των παρατηρήσεων ενός δείγματος είναι μεγαλύτερη ή ίση της μικρότερης

παρατήρησης και μικρότερη ή ίση της μεγαλύτερης τιμής των παρατηρήσεων του δείγματος.

3)Η διάμεσος των παρατηρήσεων ενός συνόλου δεδομένων δεν επηρεάζεται από τις ακραίες

τιμές .

4) Όταν ελαττώσουμε τις τιμές όλων των παρατηρήσεων ενός δείγματος κατά c , τότε η τυπική

απόκλιση ελαττώνεται κατά c.

5) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και f '(x) 0< για κάθε εσωτερικό

σημείο x∈∆ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

6)Υπάρχουν ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε

1P( )

5Α = ,

4P(B)

5= ,

3P(A B)

5∩ = .

7)Αν ' BΑ ⊆ τότε P( ) P(B) 1Α + < .

8)Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P( ) 0.5Α = και P(B) 0.6= , τότε τα Α και Β είναι

ασυμβίβαστα.

9)Σε ένα σύνολο παρατηρήσεων αντικαθιστούμε την μικρότερη τιμή με μια μικρότερη τότε

μεταβάλλεται η μέση τιμή αλλά όχι η διάμεσος .

10)Είναι δυνατό να υπάρξει δειγματικός χώρος πειράματος τύχης που να αποτελείται από ένα

μόνο απλό ενδεχόμενο.

11)Ένα τοπικό μέγιστο στην γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι δυνατό να είναι

μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας γραφικής παράστασης.

12) Στην καμπύλη συχνοτήτων μιας κανονικής κατανομής, το 68% περίπου των παρατηρήσεων

βρίσκεται στο διάστημα ( x 2s− , x 2s+ )

13) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής ονομάζεται ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής

του CV δεν ξεπερνά το 10%

14) Το εύρος R ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι μέτρο θέσης .

15) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής

μεταβλητής.

16) Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής X είναι ίσο με το

μέγεθος του δείγματος.

- 5 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

17) Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης.

18) Για την κλάση [α , β) η κεντρική τιμή είναι α-β

2.

19) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν

για οποιαδήποτε σημεία 1x , 2x ∈Δ με 1x < 2x ισχύει f( 1x )<f( 2x ).

20) Η συχνότητα της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ μπορεί είναι αρνητικός αριθμός.

ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ ΟΤΙ….

Μέση τιμή

Διάμεσος

Πλεονεκτήματα

Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούνται

όλες οι τιμές.

Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων.

Είναι εύκολα κατανοητή.

Ο υπολογισμός της είναι σχετικά εύκολος

Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω

στατιστική ανάλυση.

Μειονεκτήματα

Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές .

Συνήθως δεν αντιστοιχεί σε τιμή της

μεταβλητής .

Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα.

Πλεονεκτήματα

Είναι εύκολα κατανοητή.

Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές.

Ο υπολογισμός της είναι απλός .

Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων.

Μειονεκτήματα

Δεν χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές για τον

υπολογισμό της .

Είναι δύσκολη η εφαρμογή της για περαιτέρω

στατιστική ανάλυση.

Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα.

Εύρος

Διακύμανση-τυπική απόκλιση

Συντελεστής μεταβολής

Πλεονεκτήματα

Ο υπολογισμός του

είναι σχετικά εύκολος .

Χρησιμοποιείται συχνά

στον έλεγχο ποιότητας .

Είναι δυνατόν να

χρησιμοποιηθεί για την

εκτίμηση της τυπικής

απόκλισης .

Πλεονεκτήματα

Λαμβάνονται υπόψη για τον

υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις .

έχουν μεγάλη εφαρμογή στην

στατιστική συμπερασματολογια.

Σε πληθυσμούς που ακολουθουν την

κανονική κατανομή το 68%, το 95% και

99,7% των παρατηρήσεων ανήκουν στα

διαστήματα

Πλεονεκτήματα

Είναι καθαρός αριθμός.

Χρησιμοποιείται ως

μέτρο σύγκρισης της

μεταβλητότητας ,όταν

έχουμε ίδιες η και

διαφορετικές μονάδες

μέτρησης

Χρησιμοποιείται ως

- 6 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Μειονεκτήματα

Δεν θεωρείται

αξιόπιστο μέτρο

διασποράς επειδή

βασίζεται μόνο στις δυο

ακραίες παρατηρήσεις .

Δεν χρησιμοποιείται

για περαιτέρω

στατιστική ανάλυση

( ),− +x s x s , ( )2 , 2− +x s x s , ( )3 , 3− +x s x s

αντίστοιχα.

Μειονεκτήματα

Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές

πράξεις για τον υπολογισμό τους από

άλλα μέτρα.

Το κυριότερο μειονέκτημα της

διακύμανσης είναι ότι δεν εκφράζεται

στις ίδιες μονάδες με το χαρακτηριστικό

ως προς το οποίο εξετάζουμε το δείγμα.

Το μειονέκτημα αυτό παύει να υπάρχει

με την χρησιμοποίηση της τυπικής

απόκλισης.

μέτρο ομοιογένειας ενός

στατιστικού πληθυσμού.

Μειονεκτήματα

Δεν ενδείκνυται στην

περίπτωση που η μέση

τιμή είναι κοντά στο

μηδέν.

2.Έστω 1 2 3 4 5 , , , , ω ω ω ω ωΩ = ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και

1 2 3 , , ω ω ωΑ = , 3 4 5 , , ω ω ωΒ = δυο ενδεχόμενα του Ω με 1

( )2

P Α = .Αν είναι 1 2( ) , ( ) ,P a Pω ω β= = με

2 226 10 2 1 0α α αβ β− − + + = , 3( )P ω γ= και η συνάρτηση 34( ) ( ) ,g x P x xω= ∈ℝ ,τότε :

Α)Να αποδείξετε ότι 1

5α β= = και

1

10γ = .

Β)Να βρείτε το 4( )P ω , αν η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g,στο σημείο

(1,g(1)), είναι παράλληλη προς την ευθεία y=x,και στην συνέχεια να βρείτε το 5( )P ω .

Γ)Αν είναι 4

1( )

3P ω = , 5

1( )

6P ω = , τότε να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων Κ,Λ, όπου:

Κ: «Ένα μόνο από τα Α και τα Β να πραγματοποιείται»

Λ: «Να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β.»

(Επαναληπτικές 2012)

3.Ο Γιάννης μπορεί να πάει στην δουλειά του από το σπίτι του επιλέγοντας ανάμεσα στο

αστικό λεωφορείο της γραμμής Α ή το τρόλεϊ της γραμμής Β.Ο χρόνος που χρειάζεται και

στις δυο περιπτώσεις ακολουθεί την κανονική κατανομή. Το αστικό λεωφορείο της

γραμμής Α έχει μέσο χρόνο διαδρομής 20Ax = λεπτά με τυπική απόκλιση 3As = λεπτά ενώ

το τρόλεϊ της γραμμής Β έχει μέσο χρόνο διαδρομής 21Bx = λεπτά με τυπική απόκλιση

2Bs = λεπτά. Ποιο από τα δύο μέσα πρέπει να επιλέξει ο Γιάννης για να φτάσει στο σπίτι

του

Α) το λιγότερο σε 23 λεπτά. Β) το αργότερο σε 17 λεπτά.

- 7 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

4.Σε μια εταιρεία με 400 υπαλλήλους πραγματοποιήθηκαν σε διαφορετικές ημερομηνίες

δυο σεμινάρια επαγγελματικής κατάρτισης , το σεμινάριο Α και το σεμινάριο Β. Κάθε

υπάλληλος ήταν υποχρεωμένος να παρακολουθήσει τουλάχιστον ένα από τα δυο

σεμινάρια. Από τους 400 υπαλλήλους είναι γνωστό ότι 340 παρακολούθησαν το σεμινάριο

Α και 240 το σεμινάριο Β. Επιλέγουμε τυχαία έναν υπάλληλο της παραπάνω εταιρείας .

Α) να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα A και Β είναι ασυμβίβαστα.

Β) Να αποδείξετε ότι 3

( )20

P B A− = .

Γ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε μόνο το σεμινάριο Α.

Δ) Να βρείτε την πιθανότητα ο υπάλληλος να παρακολούθησε ακριβώς ένα από τα δυο

σεμινάρια.

5.Δίνεται ο παρακάτω πίνακας με τις τιμές ix μιας διακριτής μεταβλητής και οι

αντίστοιχες συχνότητες.

ix iν

1x 1ν

2x 2ν

3x 3ν

4x 4ν

ν

Είναι γνωστό ότι 3x x= και για την διάμεσο δ του δείγματος ισχύει:

2

22 2

2

lim2 1 2x x

x xx

x xδ

−=

− + −

Α) Να δείξετε ότι 2xδ =

Β)Αν επιλέξουμε στην τύχη μια παρατήρηση και 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )P x P x P x P x είναι οι αντίστοιχες

πιθανότητες να επιλέξουμε παρατήρηση 1 2 3 4, , ,x x x x .

i)Να αποδείξετε ότι 1

1( )

2P x ≤ .

ii)Να δείξετε ότι η παράσταση 1 1 2 2 4 4

1 2 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x P x x P x x P xA

P x P x P x

+ +=

+ +είναι μια από τις παρατηρήσεις

στου δείγματος .

- 8 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

6.Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με 1

( )6

P A B∩ = .Στον παρακάτω

πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή 3x = και οι αντίστοιχες

συχνότητες τους.

Α)Να αποδείξετε ότι 1

( )2

P B = .

Β)Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β

είναι 1

2, να βρεθεί η πιθανότητα ( )P A . Στη συνέχεια αν επιλέξουμε

τυχαία κάποια από τις παρατηρήσεις της μεταβλητής Χ, να βρεθεί

η πιθανότητα αυτή να είναι μικρότερη του 3.

Γ) Να βρεθεί η διάμεσος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής της

μεταβλητής Χ.

7.Δίνεται η μεταβλητή Χ με τιμές 0 και 1 και αντίστοιχες συχνότητες 1 2,v v .Το μέγεθος του

δείγματος είναι ν.Δίνεται ότι 1

2x = .

Α) Να δείξετε ότι 1 2v v= .

B) Βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγματος.

Γ) Εξετάστε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

Δ) Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση:

2 2( ) 2f x s x xx= −

Ε) Να βρείτε την μέση τιμή των τετραγώνων των παρατηρήσεων του δείγματος .

Δίνεται ο τύπος:

2

12 2

1

1 ii

ii

t

s t

ν

ν

ν ν=

=

= −

∑∑

ix iν

1 3 ( )P B A−

2 2 ( )P B

3 3 ( ) 2P A +

4 3

- 9 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

8. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων.

Α) Να βρεθούν τα α, β, γ.

Β) ; ;x δ= =

9. Έστω 1 2 6, ,...,x x x 6 παρατηρήσεις με 15x = και 3xS = . Αν στο παραπάνω δείγμα

επισυνάψουμε και το 7 8x = , να βρεθεί η , yy S .Ποια είναι η ποσοστιαία μεταβολή του x ;

10. Αν 1,2,3,4,5Ω = και ,Α Β⊆ Ω :

( )( ) ( )2

/ 0 ln( 1) ln 3

/ 5 1 6 1

A x x

B x x x x x

= ∈Ω ≤ − <

= ∈Ω − − = − −

Α) ( ) ;P A B− = , ( ) ;P B A′∪ =

Β) Αν 1

( )4

P A = , ( ) ;P A B′ ′∪ =

Γ) Αν 1

( )4

P A = και ( ) 1

8P B A− = , να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή του ( )P x

ώστε A X B∪ = .

11. Έστω οι 11 τιμές: 7,5, ,2,5, ,8,6, ,5,3a β γ όπου , ,α β γ φυσικοί με α β γ< < . Αν 6, 6x δ= =

και 8R =

Α) 2 2 2; ; ; : 217α β γ α β γ= = = + + =

ix iv

11 2 10 50a γ− +

3 2 2aβ −

4 2 6γ β−

Σύνολα 15

- 10 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β) Για τις τιμές των , ,α β γ που βρέθηκαν, να δειχθεί ότι 58

11Sx = και να εξεταστεί αν το

δείγμα είναι ομοιογενές.

Γ) Έστω 1 2 11, ,...,y y y παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις 1 2 11, ,...,x x x

επί μία θετική σταθερά 1C , και στη συνέχεια προσθέσουμε μία σταθερά 2C . Αν 9y = και

2Sy Sx= να βρεθούν τα 1C , 2C .

12. Έστω 1 2, ,...,x x xκ τιμές μιας x. Αν ( )2

22 101 , 1,2,..., , 0

Ni Ni aFi Fi i a

− ++ − = = ≠

Α) Δείξτε ότι 10v = .

Β) Αν

2

2

1 1

10 i i i ii i

x v x vκ κ

= =

⋅ = ⋅

∑ ∑ , δείξτε ότι:

i) 0s =

ii) 1 2 ...x x xκ= = =

13. ( ) ln ln( 1)f x x x= − + , 2,3,...,vΩ = . Αν 9 ( ) 22 ( ) (1)′= ∈ΩP f άκ κ για κ θε κ , δείξτε ότι:

10v = .

14. Δίνεται η συνάρτηση ( )3( ) 2f x x= + και τα σημεία της καμπύλης f 1 2 10, ,...,A A A με

τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x που έχουν μέση τιμή -2 και διασπορά 20.

Α) Να βρείτε την μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της καμπύλης

f στα σημεία 1 2 10, ,...,A A A .

Β) Να δείξετε: 1 2 10( ) ( ) ... ( ) 0f x f x f x′′ ′′ ′′+ + + = .

Γ) Αν τα σημεία 1 2 10, ,...,B B B έχουν τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x και ανήκουν στην καμπύλη της

f ′′ να εξετάσετε αν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής των τεταγμένων των σημείων

1 2 10, ,...,B B B .

- 11 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

15. Έστω η συνάρτηση 2( ) ( 2)f x x= − και τα σημεία της καμπύλης f, 1 2 10, ,...,A A A με

τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x .

Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Αν η τυπική απόκλιση των τετμημένων των σημείων 1 2 10, ,...,A A A είναι 3s = και 2x = ,

να βρείτε την μέση τιμή των τεταγμένων τους.

Γ) Αν η μέση τιμή των 1 2 10, ,...,x x x είναι 3x = , να βρείτε τη μέση τιμή των εφαπτομένων των

γωνιών που σχηματίζουν οι εφαπτομένες στην καμπύλη f στα σημεία 1 2 10, ,...,A A A .

Δ) Αν ισχύουν 1 2 10... 2x x x< < < ≤ , το εύρος των 1 2 10, ,...,x x x είναι 5 και 2 210 1 15x x= − , να βρείτε

το εύρος των τεταγμένων των σημείων 1 2 10, ,...,A A A .

16. Δίνεται η συνάρτηση 9

( )f x xx

= + .

Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Να βρείτε την εφαπτομένη ε στην καμπύλη της f στο 0 1x = .

Γ) Έστω τα σημεία 1 2 10, ,...,A A A της ε που έχουν τετμημένες 1 2 10, ,...,x x x με μέση τιμή 4x =

και διασπορά 2 1

4s = . Να βρείτε τον συντελεστή μεταβλητότητας των τεταγμένων των

σημείων 1 2 10, ,...,A A A .Ποια σταθερά θα πρέπει να προσθέσουμε στις παραπάνω τιμές,ώστε

το δείγμα μας να γίνει ομοιογενές;

Δ) Έστω 1 2 100 ... 3x x x< < < < < .

i) Αν η διάμεσος των 1 2 9, ,...,x x x είναι 2, να βρείτε τη διάμεσο των αριθμών

( )1 2 9( ), ,..., ( )f x f x f x .

ii) Αν 10 1

5

4x x⋅ = και 10 1 2x x− = , να βρείτε το εύρος των ( )1 2 10( ), ,..., ( )f x f x f x .

- 12 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

17. Έστω ο δειγματικός χώρος 1 2 100, ,...,ω ω ωΩ = ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση

( ) ( ) ( )3 3 3

1 2 100( ) ( ) ( ) ... ( )f x P x P x P xω ω ω= − + − + + − .

Α) Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών 1 2 100( ), ( ),..., ( )P P Pω ω ω .

Β) Να δείξετε ότι: 21300

100f s ′ = −

, όπου s η τυπική απόκλιση των ( ), 1,2,..,100iP iω = .

Γ) Αν η ευθεία 1

75y = − είναι εφαπτομένη στην καμπύλη της f ′ , να βρείτε το συντελεστή

μεταβολής των αριθμών 1 2 100( ), ( ),..., ( )P P Pω ω ω .

18. Έστω ο δειγματικός χώρος 1 2, ,..., vω ω ωΩ = ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση

31

( )9

f x x = −

. Δίνεται ότι η μέση τιμή των αριθμών 1 2( ), ( ),..., ( )vP P Pω ω ω είναι 1

9.

Α) Να βρείτε το πλήθος των απλών ενδεχομένων.

Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο δ των αριθμών 1 2( ), ( ),..., ( )vP P Pω ω ω , ισχύει 0,2δ ≤ .

Γ) Αν ( ) ( ) ( )1 2

1( ) ( ) ... ( )

12vf P f P f Pω ω ω′ ′ ′+ + + = , να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής.

19. Έστω ,f g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο ℝ τέτοιες ώστε

2 2( ) (3 2) ( 1)g x f x f x x= − + − + για κάθε x∈ℝ και (1) 1f = − , (1) 1f ′ = .

Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της g στο

σημείο ( )1, (1)A g είναι η 5 5y x= − + .

Β) Αν πάρουμε 2004 διαφορετικά σημεία ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2004 2004, , , ,..., ,x y x y x y της προηγούμενης

εφαπτομένης και οι τετμημένες τους έχουν μέση τιμή 400x = και τυπική απόκλιση 200s = ,

αν βρεθούν:

i) Η μέση τιμή των τεταγμένων.

ii) Η μέση τιμή των τετραγώνων των τετμημένων, δηλαδή των 2 2 21 2 2004, ,...,x x x .

- 13 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

20. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln 2011f x x x= − + και η κατανομή x με παρατηρήσεις 1 2, ,..., vt t t

με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Αν η μέση τιμή των τετραγώνων των

παρατηρήσεων είναι 10 και η μέση τιμή x είναι η θέση στην οποία η ( )f x παρουσιάζει

ακρότατο, τότε:

Α) Να μελετηθεί η ( )f x ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Να υπολογισθεί η x , η s και ο CV.

Γ) Αν 1 2 ... vt t t< < < να εξεταστεί η κατανομή ως προς την ασυμμετρία της, αν επιπλέον

ισχύει ( )3

2

,..., 1,v vt t− ∈ +∞ .

21. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )3 3 3

1 2 ...( )

3vt x t x t x

f xv

− + − + + −= , όπου 1 2, ,..., vt t t είναι

παρατηρήσεις ενός δείγματος με τυπική απόκλιση s και μέση τιμή x . Η μέγιστη κλίση της

( )f x εμφανίζεται στο σημείο ( )4, 4A − .

Α) Δείξτε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC ′ στο σημείο ( )2,4B .

Γ) Αν 1 2 9, ,...,M M M είναι 9 σημεία στην παραπάνω εφαπτομένη με μέση τιμή των

τεταγμένων 7 και τυπική απόκλιση των τεταγμένων 2, να βρείτε την μέση τιμή και την

τυπική απόκλιση των τετμημένων. Επίσης βρείτε την μέση τιμή των τετραγώνων των

τεταγμένων.

22.Έστω ,2, , 3x y xΑ = + ένα σύνολο που αποτελείται από παρατηρήσεις που παίρνουμε

από την μελέτη ενός δείγματος με μέση τιμή 2.5x = και διάμεσο 2.5δ = .

( ,x y∈ℝ , 2 3x y x< < < + ).

A) Να βρεθούν οι αριθμοί , .x y

B) Εκλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο Α και ένα αριθμό β από το σύνολο

2,4,8Β = .Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος .

Γ) Να βρεθεί η πιθανότητα να ισχύει :

2 2 2 3

2 2

2lim lim

2 23 2x x

x ax a x

xx a aα β

β ββ→ →

+ − −≥

−+ −

- 14 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

23. Δίνεται η συνάρτηση : 21 2 10( ) ( ... ) 5f x t t t x x= + + + − όπου 1 2 10, ,..,t t t οι παρατηρήσεις ενός

δείγματος .

Α) Μελετήστε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα της .

Β)Αν 2 2 21 2 10( ) ( ) ( ) .... ( )g x t x t x t x= − + − + + − μια άλλη συνάρτηση και ( ) 810g a = όπου α το x για

το οποίο παρουσιάζει ακρότατο η f και '(0) 2000g = να εξετάσετε αν το δείγμα είναι

ομογενές .

24.Δίνεται η συνάρτηση 3 3 3

1 2( ) ( ) .... ( )( )

3

t x t x t xf x ν

ν− + − + + −

= όπου 1 2, ,..,x x xν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος με

τυπική απόκλιση s και μέση τιμή x .

Α) Αποδείξτε ότι 2'( )f x s= −

Β) Βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f .

Γ) Μελετήστε την μονοτονία της συνάρτησης f.

Δ)Μελετήστε την μονοτονία της πρώτης παραγώγου της συνάρτηση f .

Ε) Βρείτε για ποια τιμή του x η f’ παρουσιάζει μέγιστη κλίση.

25. Θεωρούμε την συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και την συνάρτηση g για

την οποία ισχύει:

3( ) ( ) ( 1),g x f x x f x x= − − − ∈ℝ

Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που τέμνει τον άξονα y’y έχει

εξίσωση y=2x+2011.

Α)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της καμπύλης της g στο σημείο της

Μ(1, g(1))

Β) Πάνω στην (ε )παίρνουμε τα σημεία 1 1 2 2 3 3 11 11( 5, ), ( 4, ), ( 3, ),..... (5, )A y A y A y A y− − − .Να βρείτε την

μέση τιμή y , την τυπική απόκλισηy

S και τον συντελεστή μεταβολής yCV των

1 2 3 11, , ,.....,y y y y .

Γ)Παίρνουμε στην τύχη ένα από τα σημεία 1 2 3 11, , ,.....A A A A .Να βρείτε την πιθανότητα να

βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα 'x x

- 15 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

26.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω , που αποτελείται από 15.000 στοιχεία , τα οποία είναι

ισοπίθανα . Θεωρούμε και τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ του Ω , με 0 ( ) 1P A< < .

Α) Να αποδείξετε ότι ( ) 1

4 5( ') ( )

P Aa

P A P A⋅ + ≥ .

Όπου 24 2

lim , , 02 2x

x

λα λ λ

λ→

−= ∈ >

−ℤ

Β) Αν στην σχέση του ερωτήματος (Α) ισχύει η ισότητα , τότε:

i) να βρείτε το Ν(Α) , δηλαδή το πλήθος των στοιχείων του Α .

ii) αν κάποιο ενδεχόμενο Β του Ω έχει 10.500 στοιχεία , να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν

είναι ασυμβίβαστα.

27. Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 10 11,f x s x x x x= ⋅ + ⋅ + ∈ℝ , όπου x η μέση τιμή και s η τυπική

απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγματος .Αν η εφαπτόμενη της καμπύλης της f στο

σημείο Α(-1,f(-1)) είναι παράλληλη στην : 2011yε = τότε :

Α) Να υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f .

B) Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές.

Γ)Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο.

Δ) Αν η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 1 τότε:

i)Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγματος .

ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο Α.

28.Σε ένα δείγμα μεγέθους 20 μιας μεταβλητής Χ έχουμε : 20

1

100ii

t=

=∑ και 20

2

1

1000ii

t=

=∑

Έστω δείγμα του ίδιου μεγέθους μιας μεταβλητής Y , που συνδέεται με το Χ με την

σχέση 2 5Y X= + .Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση κάθε μεταβλητής .

29.Σε ένα χωριό υπάρχουν ν άνθρωποι που ο καθένας είναι 1 2, ,..., vx x x ετών.

Α) Αν το δείγμα 1 2, ,..., vx x x των ηλικιών τους έχει συντελεστή μεταβλητότητας 20% και μετά

από 25 χρόνια γίνεται για πρώτη φορά ομοιογενές .

i) Να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των ηλικιών τους .

ii) Να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος 2 2 21 2, ,..., vx x x .

iii) αν ο μικρότερος σε ηλικία είναι 10 ετών , να βρείτε προσεγγιστικά την μεγαλύτερη

ηλικία, αν υποθέσουμε ότι η κατανομή είναι κανονική.

Β) Στο παραπάνω χωριό υπάρχουν μονό 2 καφενεία , το Α και το Β. Αν το 30% των

κατοίκων πηγαίνει στο Α καφενείο και το 60% δεν πηγαίνει στο Β ενώ το 50% πηγαίνει σε

ένα τουλάχιστον από τα δυο καφενεία, να βρείτε:

- 16 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

i) Τι ποσοστό των κατοίκων πηγαίνει και στα δύο καφενεία.

ii) Απ’ αυτούς που πηγαίνουν μονο στο ένα καφενείο, ποιοι είναι οι περισσότεροι , αυτοί

που πηγαίνουν μόνο στο Α ή αυτοί που πηγαίνουν μόνο στο Β.

Γ) Καθένα από τα ν άτομα αγοράζει ένα λαχνό. Οι λαχνοί είναι αριθμημένοι από το 1 έως

το ν και έχουν ίδια πιθανότητα κλήρωσης .Αν η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός αριθμός

είναι κατά 0.8% μεγαλύτερη από το να κληρωθεί άρτιος να βρείτε ποσά άτομα έχει το

χωριό. (οεφε 2007)

30 (Θέμα διασαφήνισης συντελεστή μεταβολής )

Α)Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος ,για τον

συντελεστή μεταβολής CV ενός δείγματος .

i) Κάθε δείγμα έχει συντελεστή μεταβολής .

ii) Ο τύπος s

CVx

= ισχύει και όταν 0x < .

iii) Ο CV έχει ως μονάδα μέτρησης την ίδια με τις παρατηρήσεις .

iv) Ένα δείγμα είναι ομοιογενές , αν και μονό αν έχει 50%CV = .

v) Όταν ορίζεται ο CV , τότε πάντα 100%CV ≤ .

vi) Είναι δυνατόν να έχουμε και 0CV < .

vii) Αν σε δείγμα παρατηρήσεων η μέση τιμή και η διάμεσος είναι ίσες, μπορούμε να

πούμε ότι η κατανομή είναι κανονική.

31.Μια βιομηχανία παράγει εξαρτήματα πλοίων .Το αναμενόμενο κέρδος P(x) (σε

χιλιάδες ευρώ) από την πώληση x εξαρτημάτων μηνιαίως δίνεται από την συνάρτηση

3 2( ) 15 600 300,0 30P x x x x x= − + + − < <

Α) Να υπολογίσετε το αναμενόμενο κέρδος από την πώληση 10 εξαρτημάτων μηνιαίως .

Β) Να βρείτε τον αριθμό των εξαρτημάτων που πρέπει να πουληθούν μηνιαίως για να έχει

η βιομηχανία αυτή το μέγιστο κέρδος καθώς και την μέγιστη τιμή του κέρδους .

Γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους για 10x = .

Δ) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής του κέρδους .

32.Α)Δίνονται τα Α ,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.Αν A B⊆ και ( ) 0.2P A = και 2

2

( ) 4 ( )( ) lim

2x

x P A B P AP B

x→

∪ −=

−, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων ( ')P B και ( )P B A∩ .

Β) Δίνονται ο δειγματικός χώρος 1,2,..,1.000Ω = με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα.

Αν Α ,Β δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω για τα οποία ισχύει: 216[ ( )] 25 ( ) ( ) 10 0(1)P B P B P− − Α + = να βρείτε:

i) τις πιθανότητες ( ), ( )P B P Α

ii) το πλήθος των στοιχείων Α και Β.

Τι συμπέρασμα βγαίνει για τα Α και Β.

- 17 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

33.Το IQ αποτελεί το δείκτη ευφυΐας των ατόμων και ακόλουθει την κανονική κατανομή

με μέσο x και διασπορά 2s .Αν είναι γνωστό ότι το IQ μικρότερο του 85 έχει το 16% του

πληθυσμού και μεγαλύτερο από του 130 έχει το 2.5% του πληθυσμού, να βρείτε:

Α) την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της κατανομής, το συντελεστή

μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενές το δείγμα;

Β) το ποσοστό του πληθυσμού που έχει IQ μεγαλύτερο του 145.

34.Μια γαλακτοβιομηχανία παρασκευάζει παγωτό το οποίο το συσκευάζει σε πλαστικά

κύπελλα χωρητικότητας 210 gr .Σε δειγματοληπτικό έλεγχο που έγινε για το βάρος του

παγωτού που περιέχεται στα κυπελλάκια πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας κατανομής

σχετικών συχνοτήτων.

Βάρος παγωτού %if

[ )195 197− 10

[ )197 199− 10

[ )199 201− 55

[ )201 203− 20

[ )203 205− 5

Α) Να δείξετε ότι το μέσο βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κύπελλα είναι 200 gr.

Β)Να βρείτε την διάμεσο του δείγματος .

Γ) Παίρνουμε στην τύχη ένα από τα κύπελλα του δείγματος .Να βρείτε την πιθανότητα να

περιέχει παγωτό βάρους μικρότερου των 200 gr.

Δ)Λόγω λανθασμένου προγραμματισμού μια ημέρα το βάρος του παγωτού που περιείχαν

τα κύπελλα αυξήθηκε κατά 8 gr. Παίρνουμε ένα από τα κύπελλα παγωτού που είχαν

συσκευαστεί εκείνη την μέρα .Ποια η πιθανότητα το κύπελλο να ξεχειλίσει.

35.θεωρούμε 8 ευθύγραμμα τμήματα που έχουν μήκη όχι μικρότερα από 1 και όχι

μεγαλύτερα από 10.

Α) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το εύρος R.

B) Να αποδείξετε ότι για την μέση τιμή x των μηκών των 8 ευθυγράμμων τμημάτων

ισχύει [ ]1,10x∈ .

Γ)Αν 10x = να υπολογίσετε τα μήκη των 8 τμημάτων.

- 18 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

36.Έστω ο δειγματικός χώρος 1, 2 3 4, ,ω ω ω ωΩ = .Αν το δείγμα των αριθμών

1 2 3 4

1 1 1 1( ) , ( ) , ( ) , ( )

4 4 4 4P P P Pω ω ω ω+ + + + έχει τυπική απόκλιση

1

9. Να δείξετε ότι:

2 2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1 2( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

4 4 4 4 9P P P Pω ω ω ω− + − + − + − = και μετά να υπολογίσετε τον

συντελεστή μεταβολής CV του δείγματος .

37.Μια εταιρεία που κατασκευάζει υπολογιστές παράγει την ημέρα κ υπολογιστές τύπου

Α, 6 υπολογιστές τύπου Β και λ υπολογιστές τύπου Γ. Επιλεγούμε τυχαία ένα υπολογιστή

της εταιρείας .Η πιθανότητα να είναι τύπου Α είναι 1

2 και η πιθανότητα να είναι τύπου Γ

είναι 1

5.Αν οι τιμές πώλησης των υπολογιστών τύπου Α και Γ είναι 1400 ευρώ και 2000 ευρώ

αντίστοιχα, τότε:

Α) Να βρεθεί το πλήθος των υπολογιστών τύπου Α και Γ.

Β)Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s των τιμών πώλησης όλων των υπολογιστών της

εταιρείας , ώστε ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος να είναι 20% και η τιμή πώλησης

των υπολογιστών τύπου Β να είναι 3000 ευρώ.

Γ)Αν η εταιρεία αποφασίσει να διακόψει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Γ και να

αυξήσει την παραγωγή υπολογιστών τύπου Α κατά 80% , πόση πρέπει να είναι η τιμή

πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, ώστε ο συντελεστής μεταβολής να παραμείνει ο ίδιος

και η τυπική απόκλιση s των τιμών πώλησης όλων των υπολογιστών να είναι 300 ευρώ.

38.Σε μια φανταστική χώρα ο ασφαλιστικός φορέας Μ.Ι.Κ.Α αύξησε τις συντάξεις όλων

των συνταξιούχων του κατά 15%.Ταυτοχρονα παρακράτησε ένα σταθερό ποσό από την

νέα σύνταξη κάθε συνταξιούχου ως εισφορά για την υγειονομική περίθαλψη του ,ώστε ο

συντελεστής μεταβολή των συντάξεων να είναι 10% μεγαλύτερος από τον αρχικό. Αν η

αρχική μέση σύνταξη είναι 1000 ευρώ (είπαμε είναι μια φανταστική χώρα), να βρείτε:

Α) Το ποσό της εισφοράς που ο ασφαλιστικός φορέας παρακράτησε από κάθε

συνταξιούχο.

Β) Βγήκαν κερδισμένοι οι συνταξιούχοι την απόφαση του Μ.Ι.Κ.Α;

- 19 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

39.Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται

μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις

γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς x μέτρων,

0 x 3< < και στην συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα:

Α) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του x είναι:

2f (x) 4x(3 x) ,0 x 3= − < <

(δίνεται ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α,β,γ είναι V = αβγ ).

Β) Να βρείτε για ποια τιμή του x η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο.

Γ) Να βρείτε το όριοx 0

f (x 2) 8lim

x→

+ −.

Δ) Θεωρούμε τις τιμές i iy f (x ), i 1,2,3,4,5= = με 1 2 3 4 51 x x x x x 2= < < < < = , οι οποίες έχουν μέση

τιμή y 12= ,τυπική απόκλιση ys 2= και συντελεστή μεταβολής yCV .Να βρείτε το εύρος R των

τιμών iy , i 1,2,3,4,5= .Στην συνέχεια να βρείτε τον αριθμό α∈ℝ με 12 0− < α < ο οποίος , αν

προστεθεί σε καθεμία από τις τιμές iy προκύπτει δείγμα με συντελεστή μεταβολής CV

τέτοιον ώστε y

RCV 2CV

12= + .

Ε) Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν

είναι A ≠ ∅ , B ≠ ∅ και A B⊆ , να αποδείξετε ότι ισχύει:

2

P(A) 3 P(B)

P(B) 3 P(A)

−≤ −

- 20 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

40.Εστω ο δειγματικός χώρος 1,2,3,4,5,6Ω = του πειράματος ρίψης ενός αμερόληπτου

ζαριού. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) (4 ) 4,= − + − ∈ℝxf x e x xλλ λ όπου ∈ℝλ .

Α)Nα βρείτε τις συναρτήσεις '( ), ''( )f x f x

Β)Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) της καμπύλης της f στο σημείο (0, (0))M f έχει

εξίσωση

2(5 )= − −y xλ λ λ

Γ)Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων

Α= /λ∈Ω η ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ευθεία (η) με εξίσωση 1

20144

= − +y x

Β= /λ∈Ω η συνάρτηση 'f είναι γνησίως φθίνουσα

E) Για 1λ = να υπολογίσετε:

i)τις τιμές '(0), (0)f f

ii)το όριο0

3 3lim→

+ −h

h

e h

h.

41.( Μεζεδάκια θεωρίας)

A)Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις

1)Ο λόγος της μέσης τιμής προς την τυπική απόκλιση καλείται συντελεστής μεταβολής

και είναι καθαρός αριθμός. Σ Λ

2)Σε κάθε κατανομή το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες της μέσης τιμής και το

50% είναι μεγαλύτερες της μέσης τιμής Σ Λ

3)Αν σε ένα δείγμα 3 0x s= ≠ , τότε το δείγμα είναι ομοιογενές . Σ Λ

4)Αν όλες οι παρατηρήσεις ενός δείγματος έχουν την ίδια τιμή ,τότε η τυπική απόκλιση

αυτών είναι ίση με μηδέν. Σ Λ

B)Τα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζουν την κατανομή του σωματικού βάρους των

αθλητών σε δυο ομάδες ποδοσφαίρου.

i) Ποιο είναι το μέσο βάρος των δυο ομάδων;

ΟΜΑ∆Α Α ΟΜΑ∆Α Β

70 90 75 85

- 21 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ii) Ποια ομάδα έχει την μεγαλύτερη διασπορά;

iii) Ποια ομάδα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια στο σωματικό βάρος των παικτών;

42.Έστω ο δειγματικός χώρος 1,2,3,...., 2 νΩ = ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά

ενδεχόμενα. Αν το εύρος R και η διάμεσος δ των αριθμών 1,2,3,..,2ν συνδέονται με την

σχέση 2 40R δ+ = .Να υπολογίσετε:

Α)τους αριθμούς R,δ,ν.

Β)την πιθανότητα του ενδεχομένου 1,2,3,...., A R=

Γ)την πιθανότητα λαμβάνοντας τυχαία ένα αριθμό λ από το σύνολο Ω η συνάρτηση

2( ) ln( 5 )f x x x λ= + +

Να έχει πεδίο ορισμού το ℝ .

Δ) Αν 20

2

1

2870ii

x=

=∑ να δείξετε ότι η τυπική απόκλιση των αριθμών 1,2,3,…,2ν ( ω η τιμή που

υπολογίσατε στο ερώτημα α) είναι 33.25s = .

43.Δίνεται η συνάρτηση ( ) 39,xf x e xα λ= − + ∈ℝ με α πραγματικό αριθμό.

Α) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α( 0,f(0)) είναι

παράλληλη στον άξονα x΄x να βρείτε την τιμή του α.

Β) Δίνονται οι παρατηρήσεις 1 2 100( ), ( ),..., ( )f x f x f x με 1 2 100( ) ( ) ... ( )f x f x f x< < < οι οποίες

ακολουθούν περίπου κανονική κατανομή με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s.Αν το

δείγμα δεν είναι ομοιογενές να αποδείξετε ότι

i) η ελάχιστη τιμή της f είναι 40.

ii) 40δ >

iii) 4s >

iv)Η συνάρτηση 3 2( ) 6 3 ,g x x x sx x x= + + + ∈ℝ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

44.Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1 ln( ), 0f x x a a= + + > .

Α)Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο Α(1,f(1)) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45o να

υπολογίσετε την τιμή του α.

Β)Για α=1 να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Γ)Εστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α,Β δυο ενδεχόμενα του για τα

οποία ισχύει η σχέση f(P(A))=P(B).Να αποδείξετε ότι το Β είναι το βέβαιο ενδεχόμενο και το

Α το αδύνατο ενδεχόμενο.

- 22 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

45.Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις

1)Αν Α ,Β ενδεχόμενα ενός δ,χ Ω ενός πειράματος τύχης και ισχύει A B≠ τότε ( ) ( )P A P B≠ .Σ

Λ

2)Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες %iF μιας κατανομής εκφράζουν το ποσοστό των

παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ίσες της τιμής ix .Σ Λ

3)Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για την γραφική παράσταση μόνο ποιοτικών

δεδομένων. Σ Λ

4)Η καμπύλη συχνοτήτων του παρακάτω σχήματος εκφράζει μια ασύμμετρη κατανομή

με θετική ασυμμετρία. Σ Λ

5)Το εύρος ενός δείγματος βασίζεται στις δυο ακραίες παρατηρήσεις . Σ Λ

46.(Μεζεδάκια θεωρίας)

Α) Εξετάζουμε δυο δείγματα μεγέθους ν και μ ως προς μια ποσοτική μεταβλητή Χ.Αν x και

y είναι οι μέσες τιμές των παρατηρήσεων των δυο δειγμάτων , να δείξετε ότι η μέση τιμή

του συνόλου των παρατηρήσεων των δυο δειγμάτων ισούται με: x y

zν µµ ν+

=+

Β)Να αποδείξετε ότι σε μια κατανομή συχνοτήτων η διακύμανση 2s δίνεται και από την

σχέση :

2

22 1

v

i ii

xs x

ν

ν== −∑

Γ)Αν σε ένα δείγμα μεγέθους ν( *v∈ℕ ) η μεταβλητή x παίρνει μόνο τις τιμές 1 και 0, να

αποδείξετε ότι για την διακύμανση 2s ισχύει 2 1

4s ≤ ( Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε το

ερώτημα (β)).

Δ)Να αποδείξετε ότι αν από τις παρατηρήσεις 1 2, ,...., vx x x αφαιρέσουμε την μέση τιμή τους

x και στην συνέχεια διαιρέσουμε με την τυπική τους απόκλιση xs , τότε οι νέες

παρατηρήσεις που προκύπτουν έχουν μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1, δηλαδή αν

ii

x

x xy

s

−= , τότε 0y = και 1ys = ( δίνεται ότι 0xs ≠ ).

Ε) Αν σε ένα δείγμα μεγέθους ν( *v∈ℕ ) με θετικές παρατηρήσεις η μεταβλητή x ακολουθεί

την κανονική κατανομή τότε για το συντελεστή μεταβολής CV ισχύει:

Do or do not… there is no try.

Yoda

- 23 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1

3CV < .

47)Αν ε η εφαπτομένη (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) της fC στο σημείο της Α(1,1)

και 1 2 9....x x x< < < οι τετμημένες των σημείων 1 2 9, ,..,M M M αντίστοιχα με μέση τιμή -2 και

διάμεσο -1.

Α)Να βρείτε την μέση τιμή των τεταγμένων των σημείων 1 2 9, ,..,M M M .

Β)Την διάμεσο των τεταγμένων των σημείων 1 2 9, ,..,M M M .

Γ)το όριο 0

(1 ) (1)limh

f h f

h→

+ −

1

x1 x2 x9

A(1,1)

Cf

M1

M2

M9

1

120ο

Όταν ήµουν µικρός, κόµπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε µία ώρα. Στο κολέγιο έµαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες µαθηµατικά την ηµέρα µπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθµός. Ακόµα και µία σελίδα, όµως, µπορεί να είναι αρκετή.

William Paul Thurston Μετάλλιο Fields 1982

- 24 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

48)Δινεται η συνάρτηση 2 2 21( ) ( 20 ( 1) ( )),

60g x x x xγ β α γ= + + + − + ∈ℝ

με α,β,γ πραγματικές παραμέτρους.Αν η γραφική παράσταση της g τεμνει τον αξονα y’y

στο σημείο A(0, 1

3) και ισχύει :

20

(1 )lim

1

x

x

e x

x x

συνγ

ηµ συν→

−=

+ −

Α)Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ.

Β) Για α=1,β=0 και γ=1.

Αν έχουμε ένα δείγμα 30 παρατηρήσεων ως προς μια μεταβλητή Χ με 1 2 3, ,x x x τις

διακεκριμένες τιμές της μεταβλητές Χ, 1 2 3, ,ν ν ν οι αντίστοιχες συχνότητες και 1 2 3, ,f f f οι

αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να αποδείξετε ότι:

α) 1 2 3( ) ( ) ( ) 1g΄ g΄ g΄ν ν ν+ + =

β) 1 2 3

1( ) ( ) ( )

30g΄ f g΄ f g΄ f+ + =

γ)αν x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση του δείγματος ,τότε:

i) 1 1 2 2 3 3( )g΄ v x v x v x x+ + =

ii) 2

1 1 2 2 3 3

20( ) ( ) ( )

2

sv g x x v g x x v g x x

+− + − + − =

Γ) Έστω μια συνάρτηση h δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ με ( 1) 7h − = .Αν

( ) (180 ( 2) 20) (2 5),f x g x h x x= − − ⋅ − ∈ℝ τότε:

α) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο (2, (2))A f είναι παράλληλη στον άξονα χ’χ.

β)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο (2, (2))A f .

γ)Να υπολογίσετε την ''(2)f .

- 25 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

49.Εστω Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω.Αν 1

( )4

P B = και 1

( )6

P A B∩ = ,τότε:

Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( )P B A− , ( ')P B .

Β)Να δείξετε ότι 1

( ' ') ( )12

P A B P B A− = − =

Γ)Να δείξετε ότι 11

( )12

P A ≤

50. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθουν ως σωστές ή λάθος .

1. lim( )ox x

x xσυν συν→

= Σ Λ

2. ( )( ) ' '( )cf x cf x= Σ Λ

3.Σε μια ποσοτική διακριτή μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το

διάγραμμα συχνοτήτων . Σ Λ

4.Ενα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται ομοιογενές όταν ο συντελεστής

μεταβολής ξεπερνά το 10%. Σ Λ

5.Δυο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα , όταν

A B∩ ≠ ∅ Σ Λ

51.Εστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω.

Α)Να δείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P A P B∩ + ∪ = +

Β)Αν ( ') 0.4P A ≤ και ( ') 0.5P B ≥ να δείξετε ότι :

i) ( ) 0.6P A ≥ και ( ) 0.5P B ≥ ii) ( ) ( ) 1.1P A B P A B∩ + ∪ ≥

iii)Να δείξετε ότι A B∩ ≠ ∅ .

52.Αν η μεταβλητή Χ παίρνει μόνο δυο τιμές 1 2,x x με συχνότητες 1 2,ν ν αντίστοιχα ,

αποδείξετε ότι :

i)η τυπική απόκλιση s δίνεται από τον τύπο 1 21 2

1 2

v vs x x

v v

⋅= −

+

ii)Αν 1 2v v= τότε 1 2

1 2

x xCV

x x

−=

+

“May the Force be with you.”

Yoda

- 26 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

53.i)(άσκηση μπριαμ) Να εξετάσετε την συνάρτηση ln

( ) , 0x

f x xx

= > ως προς την

μονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της .

iii) Αν ,A B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ,A B A B⊆ ≠ τότε να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση

( )3 2 ( ) ( )1( ) ( ) ( ) 1 1974

3P A B P A Bg x x x P A B P A B x∩ ∪= − + ∪ − ∩ + + είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

(Υπόδειξη: να χρησιμοποιήσετε το ερώτημα(i))

iii)Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων 3 3 4 4 5 5 1 1

2 (2), ( ), ( ), ( ),...., ( )2 2 3 3 4 4

vf f f f f

νν ν+ +

είναι

ln 2014x

ν= .Να βρείτε το πλήθος ν του δείγματος .

54.Αν 1 2, ,...,t t tν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή x και διάμεσο δ ,

τυπική απόκλιση s και η συνάρτηση:

2

1

( ) ( )ii

f x t xν

=

= −∑

Α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα 'y y στο σημείο 22(0, ( ))A s xν +

Β)Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα 'x x , να δείξετε ότι xδ = .

Γ) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι για

κάθε x∈ℝ ισχύει 2( )f x sν≥ .

55.Εστω 1 2, ,...,t t tν οι ηλικίες σε ακέραιο αριθμό ετών των μελών του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το

2014.

Θεωρούμε την συνάρτηση

3 3 31 2

1( ) [( ) ( ) ... ( ) ]

3f x t x t x t xν= − − + − + + −

Α) Να δείξετε ότι 2 '( )f xs

ν= , όπου 2s η διακύμανση και x η μέση τιμή των τιμών της

μεταβλητής.

Β) Αν ισχύει ''(2 ) 3 5f x a= − , να βρείτε το 1

ii

=∑ αν

3 2

21

1lim

( 3 2)x

x x xa

x→

− − +=

+ −

Γ)Αν 3

1

6042ii

=

=∑ , να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο (0, (0))fΑ είναι22( ) 2014y s x xν= + −

- 27 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Δ)Αν 1 2, ,...,t t tκ , (κ ν< ) οι ηλικίες σε ακέραιο αριθμό ετών των ιδρυτικών μελών του

συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 2014 και το δείγμα έχει συντελεστή μεταβολής 16% ενώ το 2029 θα

γίνει πρώτη φορά ομοιογενές .

i) να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των ηλικιων των κ ιδρυτικών μελών.

ii) Αν η κατανομή του δείγματος των κ ηλικιών είναι περίπου κανονική να βρείτε κατά

προσέγγιση την μικρότερη ηλικία αν το μικρότερο σε ηλικία άτομο είναι 13 ετών.

iii)Να βρείτε το πλήθος των κ ατόμων που ίδρυσαν τον σύλλογο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν αν 8 υδρυτικά

μέλη το 2014 έχουν ηλικία άνω των 29 ετών.

56.Α)Δίνεται η συνάρτηση 2( ) (0.6 ) ,0 0.6g x x x x= − ≤ ≤ .

Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β)Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων της βαθμολογίας

ν μαθητών μιας τάξης στο μάθημα της Χημείας .Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4

κλάσεις .

i)Να δείξετε ότι 23 4 0.032f f ≤ .

( Υπόδειξη :μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

το ερώτημα (Α))

ii) Αν 4 0.3f = να βρείτε την μέση τιμή των

παραπάνω βαθμολογιών και να βρείτε την

διάμεσο. Ακολουθούν οι βαθμολογίες την

κανονική κατανομή; Αιτιολογήστε την

απάντηση σας.

iii) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους

παραπάνω μαθητές, να βρεθεί η πιθανότητα ώστε να έχει βαθμολογία στα διαστήματα:

α) [ )16,20 β) [ )17,19 γ) [ )12,15

Βαθμολογία [ )− Σχετικές

συχνότητες if

12-14 0.1

14-16 0.3

16-18 3f

18-20 4f

Πωλ Έρντος

Ένας µαθηµατικός είναι µια µηχανή που µε την χρήση καφέ παράγει θεωρήµατα.

- 28 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

57.Εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν ως προς μία ποσοτική μεταβλητή Χ και

ομαδοποιούμε τις παρατηρήσεις του δείγματος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως

φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Δίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες 3F και 5F είναι οι ρίζες της εξίσωσης :

25 8 3 ,x x κ κ− + ∈ℝ

α) Να αποδείξετε κ =1 και λ=10.

β)Να αποδείξετε ότι 1 2 3 4% 10, % 30, % 20, % 30f f f f= = = = και 5% 10f = .

γ)Αν το 25% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του 16 και το 25% των παρατηρήσεων

είναι μεγαλύτερες ή ισες του 24 , τότε να αποδείξετε ότι α=10 και c =4. Να συμπληρώσετε

τον πίνακα.

δ)Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες ή ισες του 22 είναι 800, τότε να

υπολογίσετε το μέγεθος των δείγματος .

58.Εστω ο δ.χ Ω και τα ενδεχόμενα του Α,Β.Αν για τις πιθανότητες των ενδεχομένων

, , ,A B A B A B B A∪ ∩ − − ισχύουν:

( ) ( )( )

2 2

P B P AP A B< ∩ < ,

1( )

8P A B∩ = ,

η μέση τιμή τους είναι 5

16x =

η διάμεσος τους είναι 1

4δ = ,να βρείτε:

Α) τη πιθανότητα του ενδεχομένου A B∪ .

Β) τη πιθανότητα των ενδεχομένων ,A B .

Γ) τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ,A B .

Δ)την διακύμανση των αριθμών ( ), ( ), ( ), ( )P A B P A P B P B A∪ −

"Είναι κάτι που οι µαθηµατικοί δεν µπορούν να αντιληφτούν πλήρως . Τα µαθηµατικά στην πραγµατικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτηµα αισθητικής!!"

John H.Conway

- 29 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

58.Επικαιρο!!!!

Στο εκλογικό τμήμα του χωριού Άνω Πλατανιά κάθε κάτοικος - με δικαίωμα ψήφου-

ψήφισε ένα από τα κόμματα Α,Β,Γ και Δ. Κατά την καταμέτρηση διαπιστώθηκε ότι δεν

υπήρξαν λευκά ή άκυρα .Το πλήθος των ψηφοφόρων του κόμματος Α είναι το 150% του

αριθμού των ψηφοφόρων του κόμματος Β, οι ψηφοφόροι του κόμματος Γ είναι το 10%

όλων των κατοίκων του χωριού που ψήφισαν .Ενώ είναι γνωστό ότι το πλήθος των

ψηφοφόρων του κόμματος Δ είναι το 200% των ψηφοφόρων του κόμματος Β. Επιλέγουμε

τυχαία ένα κάτοικο του χωριού που ψήφισε. Ποια είναι η πιθανότητα

i)Να ψήφισε το κόμμα Α ή το κόμμα Γ.

ii)Να ψήφισε το κόμμα Γ.

iii)Να ψήφισε το κόμμα Γ ή να μην ψήφισε το κόμμα Β.

59.Εστω 0,1,2,3Ω = είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης έτσι ώστε

4 (0) (1) 2 (2) 4 (3)P P P P= = =

i)Να βρείτε τις πιθανότητες όλων των απλών ενδεχομένων.

ii)Δίνεται η συνάρτηση 2 23( ) ( 3 5) 666

2f x x xλ λ= − − + + ,λ∈Ω , x∈ℝ .Να βρείτε την

πιθανότητα του ενδεχομένου

/ 1f xλ η συναρτηση παρουσιαζει ελαχιστο γιαΑ = ∈Ω =

iii) Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι οι παρακάτω:

21,1,6, ,3,3,2,6 3λ λ− λ απλό ενδεχόμενο του Ω. Αν x η μέση τιμή των παραπάνω

παρατηρήσεων να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου

/ 2.5B xλ η µεση τιµη= ∈Ω ≥

iv)Να βρείτε τις πιθανότητες :

( ), ( ), ( ), ( ), ( ' ), ( ' ), ( ' '), ( ' ')P A B P A B P A B P B A P B A P A B P A B P A B∩ ∪ − − − − ∩ −

- 30 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

60.Σε ένα δείγμα μεγέθους ν , οι 1ν παρατηρήσεις έχουν την τιμή 0 και οι 2ν παρατηρήσεις

την τιμή 1, με 1 2ν ν ν+ = . Θεωρούμε τον δ.χ. Ω ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά

ενδεχόμενα και τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α,Β του Ω, για τα οποία υποθέτουμε ότι ισχύει

1( )Pνν

Α = , 2( )P Bνν

= .

Να δείξετε ότι:

Α) 'Α = Β .

Β) το δείγμα έχει μέση τιμή ίση με ( )P Β .

Γ) η διακύμανση του δείγματος ισούται με ( ) ( )P PΒ ⋅ Α .

Δ) Αν ν άρτιος, να βρείτε για ποιά τιμή του ( )P Α η διακύμανση του δείγματος γίνεται

μέγιστη.

61.Δίνεται η συνάρτηση ( ) , , 1x xf x e e xλ λ λ= − ∈ >ℝ

Α) Να βρείτε τις '( ), ''( )f x f x

Β)Να δείξετε ότι ''( ) ( 1) '( ) ( )f x f x f xλ λ= + −

Γ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της Α(0,f(0)).

Δ)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της .

Ε)Να δείξετε ότι 1x xe eλ λ λ+ ≥ + για κάθε x∈ℝ .

62.Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη

διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το

αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις:

A(8,0),B(10,10),Γ(12,20),Δ(14,yΔ),Ε(16,yΕ) Z(18,10),H(20,0)

όπου yΔ , yΕ οι τεταγμένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου ABΓΔΕΖΗ.

A) Να υπολογιστούν οι τεταγμένες yΔ , yΕ των κορυφών Δ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι

το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα

B) Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi%.

Γ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) της κατανομής

των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους.

Το ενεργητικό άτοµο µαθαίνει µόνο του!!

Φ.Νίτσε

- 31 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Δ) Να βρείτε την μέση τιμή x και την διάμεσο δ του δείγματος .

Ε) Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε

όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το

ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό.

ΣΤ) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής

των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός

έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που

δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα.

63.ΜΕΖΕΔΑΚΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α)Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που

αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση.

1.Αν 2( ) ln 2f x x= + , τότε η '( )f x είναι :

Α. 1

22

x + Β. x Γ. 2x Δ. 1

22

xx

+

2.Αν για την συνάρτηση ( ) x xf x e ηµ+= ισχύει : ( ) '( )f a f a= , τότε

Α. 1

2a = Β. 0α = Γ. ,

2

πα κπ κ= + ∈ℤ Δ. ,α κπ κ= ∈ℤ

3.Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 2

( ) xf x e= στο

σημείο της (1, (1))fΑ είναι:

Α. 2y x e= + Β. 2y ex e= + Γ. 2y ex e= − Δ. 2y x e= − +

4.Δίνεται η συνάρτηση 2

2( )f x

x= .Η κάθετη στην εφαπτομένη της fC στο σημείο

1(2, )

2A

έχει συντελεστή διεύθυνσης :

Α.-2 Β. 1

2 Γ.

1

2− Δ. 1 Ε. 2

5.Δίνεται η συνάρτηση 1 ( )( ) xf x e ηµ π+= τότε '(1)f =

Α.0 Β. e Γ. eπ Δ. eπ− Ε. 1

- 32 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β)Στην στήλη του πίνακα Α αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα ενδεχόμενα Α και Β

διατυπωμένες στη καθημερινή γλώσσα , και στην στήλη Β αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις

αλλά διατυπωμένες στην γλώσσα των συνολων.Να κάνετε την αντιστοίχιση.

Στήλη Α Στήλη Β

1.Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται. Α. ω∈Α∩Β

2.Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται. Β. ω∈Α∪Β

3.Ενα τουλάχιστον από τα Α και Β

πραγματοποιείται.

Γ. ω∈Α−Β

4.Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β. Δ. ( ) 'ω∈ Α∪Β

5.Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Ε. 'ω∈Α

6. Πραγματοποιείται μόνο το Α ΣΤ. Α⊆ Β

7.Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την

πραγματοποίηση του Β

Ζ. ω∈Α

64.Δίνεται η συνάρτηση 2014( ) ,f x ax xβ= + ∈ℝ , α,β πραγματικές παράμετροι.

Α)Αν η fC έχει κοινά σημεία με την y x= τα σημεία Α(0,0) και Β(1,1) ,να υπολογίσετε τις

τιμές των α,β.

B)Για α=1 και β=0 ,να βρείτε

i) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της fC στο σημείο Α(3,f(3)).

ii) το όριο 2014 2014

0

(3 ) 3lim

( 2014)h

h

h h→

+ −+

iii) την εξίσωση της εφαπτομένης της fC που είναι παράλληλη στην ευθεία

(η): 2014y x=

iv)Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της fC οι οποίες διέρχονται από το

σημείο Μ(0,-2013).

- 33 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

65.Η προϋπηρεσία των συμβασιούχων μιας δημόσιας υπηρεσίας έχει ομαδοποιηθεί σε 4

κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το εύρος είναι R=16.

Α)Να δείξετε ότι το πλάτος των

κλάσεων είναι c=4 και α=20.

Β)Να συμπληρώσετε τον πίνακα

με στήλες : 2, , %, , %, ,i i i i i i i i ix f f F F x f x f

Γ)Να βρείτε την μέση τιμή x , την

τυπική απόκλιση s και να

εκτιμήσετε το ποσοστό των

συμβασιούχων που έχουν χρόνια

υπηρεσίας τουλάχιστον x s− και

το πολύ x s+ .

Δ)Η πολιτεία αποφασίζει να απολύσει τους συμβασιούχους που έχουν προϋπηρεσία

λιγότερη από 4 έτη. Να βρείτε την νέα μέση τιμή του χρόνου προϋπηρεσίας .

Χρόνια υπηρεσίας Κέντρα κλάσεων fi%

[ )−

2

a

[ )− a

[ )− 10 3

2

a

[ )− 2a

Σύνολο

G.H.Hardy

Είναι γεγονός ότι υπάρχουν λίγα µόνο αντικείµενα µελέτης πιο "δηµοφιλή" από τα µαθηµατικά .Οι περισσότεροι άνθρωποι τρέφουν κάποια εκτίµηση γι’ αυτά ,όπως ακριβώς οι περισσότεροι απολαµβάνουν ένα ευχάριστο µουσικό σκοπό. Και πιθανό να υπάρχουν περισσότεροι που να ενδιαφέρονται πραγµατικά για τα µαθηµατικά απ ΄ότι για την µουσική .Τα φαινόµενα ίσως να δείχνουν το αντίθετο , αλλά αυτό µπορεί εύκολα να εξηγηθεί.Η µουσική µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ενεργοποιήσει το συναίσθηµα των µαζών,ενώ τα µαθηµατικά δεν µπορούν .Και ενώ η µουσική ανικανότητα αναγνωρίζεται (σωστά, χωρίς αµφιβολία) ως ελαφρώς επικριτέα , οι περισσότεροι φοβούνται τόσο πολύ το όνοµα των µαθηµατικών ώστε είναι διατεθειµένοι, χωρίς να τους υποχρεώνει κανείς, να υπερβάλλουν την µαθηµατική τους ανοησία.

- 34 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

66.Εστω Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χωρου Ω και μια συνάρτηση

3 21 9 1( ) 2014,

2 40 20f x x x x x= − + − + ∈ℝ

Οι πιθανότητες ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P A B∩ ∪ είναι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με

διάμεσο δ την θέση τοπικού μέγιστου της f και οι πιθανότητες

( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P B A P A B P A B∩ − − ∪ έχουν μέση τιμή x την θέση τοπικού ελαχίστου

της f. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( ), ( )P A B P A B∩ ∪ .

67Εστω ο δειγματικός χώρος Ω και ένα ενδεχόμενο του Α, A ≠ ∅ .

Α) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης 2( ) 2 2 1,f x x x x= − + ∈ℝ .

Β) Θεωρούμε τις παρατηρήσεις: ( ), ( '), ( ), ( )P A P A P P∅ Ω

i)Να υπολογίσετε την μέση τιμή και την διάμεσο τους .

ii)Να δείξετε ότι η διακύμανση τους είναι:

2 21(2 ( ) 2 ( ) 1)

4s P A P A= − +

iii)Να δείξετε ότι 2

2CV ≥ και ότι η ισότητα ισχύει όταν ( ) ( ')P A P A=

68.A)Έστω x η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση 30 θετικών παρατηρήσεων

1 2 30, ,....,x x x .Αν ισχύει 30

2 2

1

3030ii

x s=

=∑ τότε να βρείτε το συντελεστή μεταβολής του δείγματος

και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές .

Β) Έστω , , 'A B B A≠ ∅ ≠ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω .Δίνονται οι

συναρτήσεις:

3 240( ) 2 ( ) ( ) 2,

3f x CVx P A B x P A B x x= − ∪ + ∪ + ∈ℝ , με CV το συντελεστή μεταβολής του

ερωτήματος (Α) και

23( ) 666,

2g x x ax x= − + ∈ℝ , α πραγματική παράμετρος .

i) Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.

- 35 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ii)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(0,f(0)).

iii)Αν η παραπάνω εφαπτομένη σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τ.μ, τότε να

αποδείξετε ότι 1

( )2

P A B∪ = .

iv)Αν 0

(1 ) (1)lim 2h

g h g

h→

+ −= να βρείτε την τιμή του α.

v) Αν η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση ( )x P A B= − να βρείτε την πιθανότητα ( )P B .

69.Α.Εξετάσαμε ένα δείγμα ως μια μεταβλητή Χ και πρόεκυψε ο παρακάτω πίνακας

αθροιστικών συχνοτήτων

Η μέση τιμή και η διάμεσος του δείγματος διαφέρουν κατά

0.46

A1.Να δείξετε ότι λ=16.

A2.Να βρείτε την μέση τιμή x και την διάμεσοδ του δείγματος.

B. Δίνεται μια συνάρτηση 2

( ) 1,xf x e xα α α= − + ∈ℝ και ο

δειγματικός χώρος ( )3 / 3.31

2xα α δΩ = ∈ ≤ − +ℤ .

Β1) Να βρείτε τις ', ''f f .

Β2)Για ποια τιμή του α το '(0)f γίνεται ελάχιστο ;

ix iN

1 λ

2 30

3 50

4 100

Το να γνωρίζεις δεν είναι απολύτως τίποτα. Το να φαντάζεσαι είναι το παν.

Ανατόλ Φρανς

- 36 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β3) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α,Β με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα έτσι ώστε να ισχύει:

/ '(0) (0)A f fλ= ∈Ω > και / ''(0) 256B fλ= ∈Ω <

Να βρείτε τις πιθανότητες:

i) ( )P A B∩ ii) ( )P A B−

iii) ( )P B A− iv) ( )( ) ( )P A B B A− ∪ −

δ)Αν x είναι μέση τιμή 5 , 6 ,3 ,10α α α α− με α ∈Ω ,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου

1 / 1

1

x

−Γ = ∈Ω >

+.

70. Έστω 1 2, ,..., νx x x οι ν παρατηρήσεις ενός δείγματος με μέση τιμή 0≠x και τυπική

απόκλιση s. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με ( )21( ) 1

8f x xx s x= − + .

Α. Αν η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία

2y x= − + , να υπολογίσετε το συντελεστή CV του δείγματος και να εξετάσετε αν το

δείγμα είναι ομοιογενές.

Β. Αν είναι γνωστό ότι 2

lim ( ) 2x s

f x→

= − , να βρείτε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s.

Γ. Αν 4 και 1x s= = και γνωρίζουμε ότι ισχύει ο τύπος

2

12 2

1

1

ν

iνi

ii

X

s Xν ν

=

=

= −

∑∑ , να

υπολογίσετε το άθροισμά 1 2( ) ( ) ... ( )νf x f x f x+ + + , συναρτήσει του πλήθους ν των

παρατηρήσεων.

Δ. Εάν υποθέσουμε ότι η καμπύλη κατανομής του δείγματος είναι περίπου κανονική, να

βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που περιέχονται στο διάστημα (2, 5)

καθώς και το εύρος R των τιμών του δείγματος.

- 37 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

71. Στα δυο τμήματα Γ1 και Γ2 της Γ τάξης ενός Λυκείου ο μέσος όρος της βαθμολογίας στο

πρώτο τετράμηνο στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας ήταν 12x = και η

διακύμανση 4. Στο δεύτερο τετράμηνο όλοι οι μαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθμολογία τους

στο μάθημα κατά 1 μονάδα, ενώ οι μαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθμολογία τους στο

μάθημα κατά 10%.

Α. Να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη νέα τυπική απόκλιση για το κάθε τμήμα.

Β. Ποιου τμήματος η βαθμολογία παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια κατά το δεύτερο

τετράμηνο;

Γ. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής

Παιδείας για τους μαθητές του Γ1 κατά το δεύτερο τετράμηνο ήταν 4325, να βρείτε το

πλήθος των μαθητών του Γ1.

Δ. Αν οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανομή, να

βρείτε το πλήθος των μαθητών που είχε βαθμό τουλάχιστον 14 στο πρώτο τετράμηνο.

Ε. Αν σε ένα μαθητή του Γ1 κατά λάθος αντί 15 που ήταν ο βαθμός του στο δεύτερο

τετράμηνο είχε σημειωθεί 11, να υπολογίσετε την κανονική μέση τιμή και διακύμανση

των βαθμών των μαθητών στο Γ1.

72. Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) ( )2 2 1, 0,f x x x x Rα α α µε και α= − + + ∈ ∈ +∞ .

Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της fC στο σημείο της ( )( )0, 0fΜ

Β 1) Να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες

x x′ και y y′ είναι ( ) ( )21

4E

+=

αα

α.

2) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το εμβαδό αυξάνεται και για ποιες μειώνεται.

3) Να βρείτε για ποια τιμή του α το εμβαδό γίνεται ελάχιστο και ποια είναι η ελάχιστη

τιμή του.

4) Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού αυξάνεται συνεχώς

Γ. Αν οι τετμημένες 10 σημείων της ευθείας (ε) του Α ερωτήματος έχουν μέση τιμή 4 και

διακύμανσή 1

4να βρείτε την τιμή του α ώστε οι τεταγμένες των παραπάνω 10 σημείων

να έχουν συντελεστή μεταβλητότητας 10%.

- 38 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

73.Αν θεωρήσουμε ένα ενδεχόμενο Γ ενός δειγματικού χώρου Ω που ικανοποίει την

ισότητα ( ) 2 ( ) 1 2 9,P P λ λΓ − − Γ + = + ∈ℝ και μια συνάρτηση ( ) (2 3)2

xa ef x x β

− ⋅= + + , x∈ℝ

με ,α β αντίστοιχα την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το λ.

Α)Να βρείτε τις τιμές των α,β.

Β)Για 4, 5α β= − = − .

i) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

ii) Αν A,B δυο ενδεχόμενα του παραπάνω δειγματικού χώρου Ω με 1( )P A x= και

1( )( )

6

f xP B

e

−= όπου η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο 1x , να βρείτε τις τιμές των

( ), ( )P A P B .

iii) Αν 1 2

( ) , ( )2 3

P A P B= = να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ασυμβίβαστα.

iv) Να αποδείξετε ότι 1 2

( ' ')6 3

P A B≤ − ≤ .

74.Δίνεται η συνάρτηση 2

( ) 1,1

xf x x

x= + ∈

+ℝ και ο δειγματικός χώρος 1 2 3 4 , , , ω ω ω ωΩ =

όπου 1 1ω = − , 2 0ω = και 3 41 ω ω< < .Δίνονται επίσης , οι πιθανότητες 1

( ) ( )3i iP fω ω= − , 1,2i =

και 3 1

1 '( )( ) lim

6 1x

f xP

→= −

Α.Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ του δειγματικού χώρου Ω με

/ '( ) 0A fω ω= ∈Ω ≤ , / ( ) 1fω ωΒ = ∈Ω > 2 1 / ,

4x x xω ω για καθεΓ = ∈Ω + ≥ − ∈ℝ

i)Να βρείτε τις πιθανότητες 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )P P P Pω ω ω ω ii)Να βρείτε τις πιθανότητες

( ), ( ), ( )P P PΑ Β Γ και ( )P BΑ−

Β.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f , η οποία

σχηματίζει με τον άξονα χ’χ γωνία 45ο .

Γ.Αν ( , )yκ κ κωΜ , 1,2,3,4κ = είναι σημεία της εφαπτομένης (ε): 1y x= + με

- 39 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

2 yκ κωδ δ= και 5kyR = −

Τότε να υπολογίσετε τα 3ω και 4ω του δειγματικού χώρου Ω,οπου

κωδ :η διάμεσος των τετμημένων των σημείων κΜ

yκδ :η διάμεσος των τεταγμένων των σημείων κΜ

kyR : το εύρος των τεταγμένων των σημείων κΜ

75.Έστω ένα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω=1,2,…,ν, *ν ∈ℕ που αποτελείται από

ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και ισχύει:

3 3 3(2014 100 ) (40 1000) (60 1014) 0ν ν ν− + − + − =

i) Να δείξετε ότι ( ) 25Ν Ω = .

ii) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν αριθμό από το Ω, ορίζουμε τα ενδεχόμενα :

Α= ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 3 ή του 4

Β= ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 4

Να βρείτε τις πιθανότητες ( ), ( )P PΑ Β .

Bertrand A. W. Russell

Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε να αποστηθίσω:‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’. ∆εν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.

- 40 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

76)Θεωρούμε ένα κουτί σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώνιο και

ανοικτό από πάνω

Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm.Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 20 dm και μια

πλευρά της είναι x dm με 0<x<10.

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του x είναι

( )2( ) 10 100, 0,10x x x xΕ = − + + ∈

Και να βρείτε για ποια τιμή του χ το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια.

Στην συνέχεια , θεωρούμε τα σημεία ( , )i iA x y , όπου ( ), 1,2,..,15i iy E x i= = με 1 2 155 ... 9x x x= < < < =

Δ2.Αν το δείγμα των τετμημένων , 1,2,..,15ix i = των παραπάνω σημείων ( , )i iA x y

• Δεν είναι ομοιογενές

• Έχει μέση τιμή 8x = και

• Τυπική απόκλιση s τέτοια ,ώστε: 22 5 2 0s s− + =

Τότε:

α) Να δείξετε ότι η 2s =

β) Να βρείτε την μέση τιμή των 2ix με 1,2,..,15i =

Δίνεται:

2

12 2

1

1 i

i

t

s t

ν

νι

ιν ν=

=

= −

∑∑

Δ3.Επιλεγουμε τυχαία ένα από τα παραπάνω στοιχεία ( , )i iA x y , 1,2,..,15i = .Να βρείτε την

πιθανότητα του ενδεχομένου: ( , ), 1,2,..,15 4 9 1i i i iB A x y i έ ώ y x Rτ τοια στε= = > − + + όπου R είναι το

εύρος των ( ), 1,2,..,15i iy E x i= = ( Πανελλήνιες 2014)

- 41 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

77)Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 100 m. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο Γ του ΑΒ

τέτοιο , ώστε το μήκος του τμήματος ΑΓ να είναι x m.

Δ1.Κατασκευζουμε τα τετράγωνα ΑΓΔΖ και ΓΒΘΗ, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

i)Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δυο τετραγώνων, ως συνάρτηση του x

στο διπλανό σχήμα είναι:

( )2( ) 2 200 10000 , 0,100E x x x x= − + ∈

ii)Να βρείτε για ποια τιμή του x το εμβαδόν ( )E x γίνεται ελάχιστο.

Στην συνέχεια για x=50 , χωρίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ σε ν διαδοχικά ευθύγραμμα

τμήματα , 1,2,..,il i ν= με αντίστοιχα μήκη , 1,2,..,ix i ν=

Αν η μέση τιμή των μηκών , 1,2,..,ix i ν= είναι 2x = και η τυπική απόκλιση είναι 0,2s = τότε:

Δ2. Να δείξετε ότι ν=25.

Δ3. Να βρείτε την μέση τιμή των εμβαδών των τετραγώνων που κατασκευάζονται μ

πλευρές τα διαδοχικά τμήματα il με αντίστοιχα μήκη ix ,όπου 1,2,..,25i = .

Δίνεται:

2

12 2

1

1 i

i

t

s t

ν

νι

ιν ν=

=

= −

∑∑

Δ4.Επιλεγουμε τυχαία ένα από τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα il , 1,2,..,25i = .Να βρείτε

την πιθανότητα του ενδεχομένου.

, 1,2,..,25il iΛ = = ,τέτοια ώστε ο δείκτης i να είναι πολλαπλάσιο του 3 ή πολλαπλάσιο του 4

- 42 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

78)Μια μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x 1=α, x2=α+5, x3=α+10 και x4=α+35, όπου α

πραγματικός αριθμός. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών

δίνονται από τον τύπο:

7 3

i

iF

λ−

= , για 1, 2, 3, 4i = ,

όπου λ θετικός ακέραιος.

α. Να αποδείξετε ότι λ=25.

β. Να βρείτε τις σχετικές συχνότητες f 1 , f 2 , f 3 και f 4 .

.

γ. Αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι 19x = , να βρείτε την τιμή του α.

79)Οι μηνιαίοι μισθοί των υπαλλήλων μιας Αμερικανικής εταιρείας έχουν μέση

τιμή 1AX = .000 δολάρια και τυπική απόκλιση 125AS = δολάρια. Οι μισθοί των υπαλλήλων

μιας Ευρωπαϊκής εταιρείας έχουν μέση τιμή 800EX = ευρώ και τυπική απόκλιση 90ES =

ευρώ.

α) Να βρείτε ποια από τις δύο εταιρείες έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια μισθών.

β) Η Αμερικανική εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει το μηνιαίο μισθό κάθε υπαλλήλου κατά

250 δολάρια.

Επίσης η Ευρωπαϊκή εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει το μηνιαίο μισθό κάθε υπαλλήλου

κατά 20%.

Να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη νέα τυπική απόκλιση των μηνιαίων μισθών και για τις

δύο εταιρείες.

γ) Ποια από τις δύο εταιρείες έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια των μηνιαίων μισθών μετά τις

αυξήσεις; (2005 εσπερινά Επαναλ.)

- 43 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

80)Έστω x1, x

2, x

3, x

4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν=72 με αντίστοιχες

(απόλυτες) συχνότητες ν1, ν

2, ν

3, ν

4, όπου ν

4 = 3ν

3 . ∆ίνεται επίσης ότι τα τόξα του κυκλικού

διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις τιμές x1 και x

2 είναι αντίστοιχα 50° και

30°.

α. Να βρεθούν οι συχνότητες νi, i=1,2,3,4

β. Να βρεθούν τα τόξα που αντιστοιχούν στις τιμές x3 και x

4

γ. ∆ίνεται ότι x1 <−7, x

2 =−7, x

3 = 3, και x

4 >3. Να δειχθεί ότι

10 R+72 x =52 δ

όπου R, x , δ είναι αντίστοιχα το εύρος, η μέση τιμή και η διάμεσος των παρατηρήσεων.

(2009 Επαναληπτικές )

81)∆ίνεται η συνάρτηση 32

4( )f x x

xν= + , x∈∈∈∈ (0,1), όπου ν ακέραιος αριθμός με ν >2

A. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα

στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι f(x) ≥ 3ν2

για κάθε

x∈∈∈∈ (0,1)

B. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω = 1, 2, ..., ν με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και το

ενδεχόμενό του, Α για το οποίο ισχύει

( )

3 22

4( ) 3

( )ν νΡ Α + =

Ρ Α και Ν(Α)=ν

2

−9ν−8

όπου Ρ(Α) είναι η πιθανότητα του Α και Ν(Α) το πλήθος των στοιχείων του Α

α. Να δείξετε ότι 1

( )5

P Α =

β. Αν επιπλέον Β είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω με 1

( )6

P BΑ∩ = , να

υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α′∪Β .( (2009 επαναληπτικές )

- 44 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

82)Έστω πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω = 1,2,3,4,5,6,7 και m η ελάχιστη τιμή της

μέσης τιμής των αριθμών x , 5 e x, x + 4, – 7x, 1 με x∈∈∈∈ℝ . Επιλέγουμε τυχαίο κ∈∈∈∈Ω και

σχηματίζουμε τη συνάρτηση

g(x) = m x2 – κ2 x + 3 , x∈∈∈∈R

Α. Να δείξετε ότι m=2.

Β. Θεωρούμε το ενδεχόμενο Ε= κ∈∈∈∈Ω / η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης g στο σημείο της Α(1, g(1)) δεν είναι παράλληλη στον άξονα x΄x. Nα βρεθεί η

πιθανότητα του ενδεχομένου E.

Γ. Αν Α,Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Α⊆ Β, Α≠Β, να δειχτεί ότι η συνάρτηση

h (x)= − ∩3 2P (A B )

12 x 3 +

P (A )

2x 2 + x +2008 είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

83)Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθουην ως Σωστό η λάθος

α)Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε σημείο χο του πεδίου ορισμού της, τότε

ισχύει:0

( ) ( )'( ) lim o o

oh

f x h f xf x

h→

+ +=

β)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η

γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο σημείο ( xο,f(xo)) θα είναι

f’(xo) δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της f(x) ως προς χ όταν x=xo.

γ) Αν η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση ενός

ενδεχομένου Β τότε A B⊆ .

δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο

δείγμα.

ε) Ο δειγματικός χώρος κάθε πειράματος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά

ενδεχόμενα.

Τα µαθηµατικά είναι η µουσική της λογικής !

Τζέιµς Τζ. Συλβέστερ

- 45 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

84)Στο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων του παρακάτω σχήματος, τα δεδομένα είναι

ομαδοποιημένα σε κλάσεις ίσου πλάτους c.Αν θεωρηθεί ότι το πολύγωνο σχετικών

συχνοτήτων είναι τρίγωνο, τότε:

Α) Να βρείτε το πλάτος c συναρτήσει του πλήθους των κλάσεων κ.

Β)Αν f1%=25 ,να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

Γ) Να βρείτε το εύρος R, την μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s του δείγματος.

Είναι το δείγμα ομοιογενές;

Δ) Αν ισχύει 2

1

27000i ii

ν=

=∑ ,να βρείτε το μέγεθος ν του δείγματος.

Ε) Κατά πόσες μονάδες μ τουλάχιστον πρέπει να αυξηθούν οι παρατηρήσεις

του δείγματος ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές;

85)) Οι χρόνοι σε ώρες (παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν

επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι:

t1 = 0, t2 = 0, t3 = 1, t4 = 2, t5 = 4, t6 = 5 .

α) Να βρείτε τη μέση τιμή x και τη διάμεσο δ των παρατηρήσεων.

β) Αν f(x)=(t1–x)2+(t2–x)2+(t3–x)2+(t4–x)2+(t5–x)2+(t6–x)2,τότε:

i) να αποδείξετε ότι f΄ ( x ) = 0

ii)να αποδείξετε ότι f( x ) = 6s2 , όπου s2 είναι η διακύμανση των παρατηρήσεων και

iii)να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f

στο σημείο Α( x , f( x )).

50

fi

5 45

- 46 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

86)Σε ένα πρόβλημα που δόθηκε στον διαγωνισμό μαθηματικών O Τοτος , οι χρόνοι σε (

min), που χρειάστηκαν οι διαγωνιζόμενοι μαθητές για να λύσουν το πρόβλημα, έχουν

ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους με αντίστοιχες συχνότητες 6,10,7,7.

Αν η συνάρτηση 2 2 2 21 2 3 4( ) 6( ) 10( ) 7( ) 7( )f x x x x x x x x x= − + − + − + − παρουσιάζει ακρότατο για x=7

με τιμή ακρότατου 134 όπου 1 2 3 4, , ,x x x x τα κέντρα των αντιστοίχων κλάσεων.

Α) Να βρεθούν τα κέντρα των κλάσεων και να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων.

Β) Να βρεθεί η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος.

Γ) Αν πρόκειται να βραβευτούν οι μαθητές που έλυσαν το πρόβλημα σε λιγότερο από 4

λεπτά πόσοι μαθητές θα βραβευτούν;

Οι παρατηρήσεις στις κλάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα.

87)Δίνεται η συνάρτηση 3 2

( )3 2

x axf x xβ γ= + + + με , ,α β γ ∈ℝ .Οι τιμές των ,α β διατρέχουν το

σύνολο Ω=1,2,3,4.

Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχoμένων:

i) Α= , /a β ∈Ω1

1lim '( )

3xf x

→∈ℤ

ii) Β= η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει ακρότατο

88)Δίνεται η συνάρτηση ( )21 2

0( ) , ,x

f x xx

−= ∈ +∞ .

Α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία .

Β) Να βρείτε την τιμή 1

2( )f .

Γ) Να λυθεί η ανίσωση 34 1( )f x < .

Δ) Να υπολογίστε το όριο

2 3

2

1

2 21

1

'( )

limx

x f x x

xax→

+ +−

=−

.

Ε) Να αποδείξετε ότι: 2 2( ) '( )xf x x f x− = .

- 47 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

89)Δίνεται η συνάρτηση f με : 2015

( ) 1 1 ,f x x x= − − ∈ℝ

Α) Να δείξετε :

i) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,f(1)).

ii)το σημείο Α είναι ολικό μέγιστο.

Β) Θεωρούμε την συνάρτηση : ( ) 2020 6 ( ),g x f x x= − ∈ℝ .Να δείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό

ελάχιστο , το οποίο και να βρείτε.

Γ) Οι τιμές 2 (1)f ,4λ,6,2α έχουν συντελεστές βαρύτητας 2α,6,4,α αντίστοιχα. Όπου λ η θέση

που παρουσιάζει ολικό ελάχιστο η συνάρτηση g. Αν ο σταθμικός μέσος είναι το 4, να

βρείτε τον πραγματικό αριθμό α.

Δ) Οι παρατηρήσεις , , 3,4aλλλλ είναι ανάλογες προς τις σχετικές συχνότητες

1 2 3 4, , ,f f f f αντίστοιχα. Να βρείτε:

i)την μέση τιμή τους x .

ii)την τυπική απόκλιση s

iii) τις συχνότητες 1 2 3 4, , ,ν ν ν νν ν ν νν ν ν νν ν ν ν αν είναι γνωστό ότι:

1 2 3 42 3 4 120ν ν ν νν ν ν νν ν ν νν ν ν ν+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

90)Έστω ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω με 0 ( ) 1P A< < .Επίσης , δίνεται η

συνάρτηση :

3 2( ) 4 6 ( ) 3 ( ') 2018,f x x P A x P A x x= − − + ∈ℝ

Α) Να αποδείξετε ότι :

i) η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα.

ii) 2015 ( ( )) 2019 3 ( )f P A P A< < −

Β) Να βρείτε:

i)την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(0,f(0))

ii)το εμβαδό του χωρίου που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τους άξονες.

- 48 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

iii)την πιθανότητα P(A) αν το παραπάνω εμβαδό είναι ίσο με 20152.

Γ) Αν 1 1 1 2 2 2 20 20 20( , ), ( , ),..., ( , )A x y A x y A x y 20 σημεία της παραπάνω εφαπτομένης με μέση τιμή των

τεταγμένων 2000y = και τυπική απόκλιση 200yS = .Να υπολογίσετε την μέση τιμή των

τετμημένων των σημείων 1 2 20, ,...,A A A .

Δίνεται:

2

12 2

1

1 i

i

x

s x

ν

νι

ιν ν=

=

= −

∑∑

Andrew Wiles ,o μαθηματικός που κατόρθωσε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του

Fermat περιγράφει , τι αισθάνεται ο μαθηματικός από την στιγμή που έρχεται

αντιμέτωπος με ένα άλυτο πρόβλημα.

Ίσως ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψω την

εμπειρία μου ως μαθηματικός είναι ο εξής: φανταστείτε ότι

μπαίνετε σε μια σκοτεινή έπαυλη. Περνάτε στο πρώτο

δωμάτιο το οποίο είναι κατασκότεινο. Σκοντάφτετε και

πέφτετε πάνω στα έπιπλα, αλλά την ίδια στιγμή μαθαίνετε

που βρίσκεται το καθετί. Στο τέλος ,ίσως μετά από

αρκετούς μήνες, βρίσκεστε επιτέλους τον διακόπτη, τον

πατάτε, και ξάφνου, τα πάντα φωτίζονται και ξέρετε που

ακριβώς είσαστε!!

- 49 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ΛΥΣΕΙΣ

- 50 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1.1)Σ 2)Σ 3)Σ 4)Λ 5)Λ 6)Λ 7) Λ 8) Λ 9)Σ 10)Λ 11)Σ 12)Λ 13)Σ 14)Λ 15) Σ 16) Λ 17) Σ 18)

Λ 19) Λ 20)Λ

2.Α)

( )

2 2

2 2 2

22

26 10 2 1 0

25 10 1 2 0

(5 1) 0

5 1 0 0

1

5

α α αβ β

α α α αβ β

α α β

α και α β

α β

− − + + = ⇔

− + + − + = ⇔

− + − = ⇔

− = − =

= =

1 2 3

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 21 1 1 1 1

2 5 5 2 10

P P P P

a

ω ω ω

β γ γ γ

Α = ⇔ + + = ⇔

+ + = ⇔ + + = ⇔ =

Β)

3

4

24

( ) ( )

( ) 3 ( )

g x P x

g΄ x P x

ω

ω

=

=

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (1,g(1)) είναι παράλληλη στην

ευθεία =y x άρα (1) 1g΄ = ⇔

4 4

13 ( ) 1 ( )

3= ⇔ =P Pω ω

1 2 3 4 5

5 5

5 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

1 1 1 1 5( ) 1 ( ) 1

5 5 10 3 65 1

( ) 1 ( )6 6

P P P P P

P P

P P

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω

+ + + + = ⇔

+ + + + = ⇔ + = ⇔

= − ⇔ =

Γ) 1 2 5 4( ) ( ) , , , K A B B A ω ω ω ω= − ∪ − =

άρα 3

1 9( ) 1 ( ) 1

10 10P K P ω= − = − =

'A BΛ = ∪ = Α άρα 1

( ) ( )2

P PΛ = Α =

3.

- 51 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Εφόσον οι χρόνοι των δυο διαδρομών ακολουθούν την κανονική κατανομή έχουμε:

Α) Παρατηρούμε ότι και στα δύο μέσα ο επιβάτης φτάνει στο τέλος στις διαδρομής τουλάχιστον

σε 23 λεπτά στο 16% των περιπτώσεων άρα δεν έχει σημασία ποιο μέσο θα διαλέξει σε αυτήν

την περίπτωση ο Γιάννης .

11 14 17 20 23 26 29

99,7% 95% 68%

34%

εεε34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

2.35% 2.35%

15 17 19 21 23 25 27

99,7% 95% 68%

34%

εεε34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

2.35% 2.35%

Αστικό λεωφορείο γραµµής Α µε

20Ax =

λεπτά με

τυπική

απόκλιση

3As = λεπτά

Τρόλει γραµµής Β µε

21Bx =

λεπτά με

τυπική

απόκλιση

2Bs = λεπτά

- 52 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β) Το αργότερο σε 17 λεπτά το λεωφορείο της γραμμής Α φτάνει στο 16% των περιπτώσεων ενώ

το τρόλεϊ Β στο 2,5% των περιπτώσεων άρα σε αυτήν την περίπτωση ο Γιάννης πρέπει να

επιλέξει το λεωφορείο της γραμμής Α.

4.Α)Από υπόθεση: 240 340

( ) , ( )400 400

P B P A= =

Έστω ότι είναι ασυμβίβαστα τότε θα ισχύει:

240 340 580( ) ( ) ( ) 1

400 400 400P B A P B P A∪ = + = + = > άτοπο άρα δεν είναι ασυμβίβαστα.

Β) Εφόσον κάθε υπάλληλος παρακολούθησε ή το ένα ή το άλλο σεμινάριο θα ισχύει

( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

340 60 3( ) 1 ( ) ( )

400 400 20

P B A P B P A P B A P B P B A P A

P B A P B A P B A

∪ = ⇔ + − ∩ = ⇔ − ∩ = − ⇔

− = − ⇔ − = ⇔ − =

Γ)Από το ερώτημα Β)

3 3( ) ( ) ( )

20 203 240 3

( ) ( ) ( )20 400 20

180 9( ) ( )

400 20

P B A P B P B A

P B A P B P B A

P B A P B A

− = ⇔ − ∩ = ⇔

∩ = − ⇔ ∩ = − ⇔

∩ = ⇔ ∩ =

340 9 8( ) ( ) ( ) ..

4 2

2

500 0 20P A B P A P B A− = − ∩ = − = = =

Δ)

(( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

9 11( ) ( ) 1

20 20

P A B B A P A B P B A

P A P B A P B P B A

P B A P B A

− ∪ − = − + − =

= − ∩ + − ∩ =

= ∪ − ∩ = − =

5.Α) ( )

( )( )2 2

22 2 22 2

2 2 2

( ) 1 11lim lim

22 1 2 1 1 1 1x x x x

x x x x xx xx

x x x x x xδ

→ →

− − + +−= = =

− + − − + − − + +

( )( )2

2 2 2

22

2

( ) 1 11lim

2 1 1x x

x x x x x

x x→

− − + += =

− + −

( )2

2 2 2

2

( ) 1 11lim

2 1 1x x

x x x x x

x x→

− − + +

− + −

( ) ( )2

2 2 2

2 2 2 2 22

( ) 1 11 1 1lim 1 1 2

2 2 2x x

x x x x xx x x x x

x x→

− − + += − + + = =

- 53 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β) i)Έστω ότι ισχύει 11 1

1 1( )

2 2 2P x

ν νν

ν> ⇔ > ⇔ > , αυτό σημαίνει ότι περισσότερες από τις μισές

παρατηρήσεις έχουν τιμή 1x , άτοπο γιατί τότε η διάμεσος θα ήταν 1x και όχι 2x .Άρα 1

1( )

2P x ≤ .

ii)

1 2 41 2 4

1 1 2 2 4 4

1 2 41 2 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x xx P x x P x x P xA

P x P x P x

ν ν νν ν νν ν νν ν ν

+ ++ += = =

+ + + +

33 3 3 3 3 3 31 1 2 2 4 4

31 2 4 3 3 3

(1 )

1 1 1

x xx x f x x f x fx f x f x fx

f f f f f f

=− − −+ += = = = =

+ + − − −

6.A)

ix iν i ixν

1 3 ( )P B A− 3 ( )P B A−

2 2 ( )P B 4 ( )P B

3 3 ( ) 2P A + 9 ( ) 6P A +

4 3 12

3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5v P B A P B P A= − + + +

3 ( ) 4 ( ) 9 ( ) 18P B A P B P A− + + +

3 ( ) 4 ( ) 9 ( ) 18 3 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 9 ( ) 183

3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 5

1 17 ( ) 3 9 ( ) 18 7 ( ) 9 ( ) 18

6 23 31 1

5 ( ) 3 3 ( ) 5 5 ( ) 3 ( ) 56 2

315 ( ) 9 ( ) 15 7 (

2

P B A P B P A P B P B A P B P Ax

P B A P B P A P B P B A P B P A

P B P A P B P A

P B P A P B P A

P B P A P

− + + + − ∩ + + += ⇔ = ⇔

− + + + − ∩ + + +

− + + − + += ⇔ = ⇔

− + + − + +

− + + =1 1

) 9 ( ) 18 8 ( ) 14 18 8 ( ) 4 ( )2 2

B P A P B P B P B− + + ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

- 54 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

B)

1(( ) ( ))

21

( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 1( ) 2 ( ) ( ) ( )

2 2 3 21

( )3

P B A A B

P B P B A P A P B A

P B P B A P A P A

P A

− ∪ − = ⇔

− ∩ + − ∩ = ⇔

− ∩ + = ⇔ − + = ⇔

=

1 1 1(( ) ( ) ( )

2 6 3P B A P B P B A− = − ∩ = − =

Άρα ο πίνακας παίρνει την μορφή:

ix iν

1 1

2 1

3 3

4 3

8

Και η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1

4.

Γ)δ=3

ix iν ix x− ( )2

ix x− ( )2

i iv x x−

1 1 1 3 2− = − 4 4

2 1 2 3 1− = − 1 1

3 3 3 3 0− = 0 0

4 3 4 3 1− = 1 3

8 8

2 81 1

8s s= = ⇒ = άρα

1

3CV = .

7.Α) Η μέση τιμή είναι 1 2 20 1x

ν ν νν ν

⋅ + ⋅= = αλλά 2

2

1 12

2 2x

νν ν

ν= ⇔ = ⇔ = (1)

2 1ν ν ν+ = (2).Από (1) ,(2) προκύπτει 2 1 2 1 22ν ν ν ν ν+ = ⇔ = .

- 55 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β)

2 2

2 2 1 2 1 2 1 22 1 2

1 1 1 1 1 11 ( )(0 ) (1 ) 12 2 4 4 4 44

vx xs

ν ν ν ν ν νν νν ν ν ν ν

+ − + + − + − = = = = = =

2 1 1

4 2s s= ⇒ =

Γ)

12 112

sCV

x= = = ,άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές .

Δ) 2 2 21( ) 2 ( )

4f x s x xx f x x x= − ⇒ = − , έχουμε

1'( ) 1

2f x x= −

Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον πίνακα

x −∞ 2 +∞

( )f x - +

'( )f x ց ր

Ε) Ο τύπος της διακύμανσης παίρνει την μορφή:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2i i i 2 2

i 12 2 2 2 2i 1 i 1i

i 1

t t t1

s t x x s x xv

ν ν ν

ν= = =

=

= − = − = − ⇔ = −

ν ν ν

∑ ∑ ∑∑ (3)

Με αντικατάσταση στον τύπο (3)

2 22 2 21 1 1 1 5

x x x4 2 16 4 16

= − ⇔ + = ⇔ =

.

8. Α) 2 2 21 2 3 10 50 2 6 15v v v v a γ β α γ β+ + = ⇒ − + + − + − =

( ) ( ) ( )

50 15 352 2 2

25 9 1

2 2 2

2 5 25 2 3 9 2 1 0

5 3 1 0

5 0 5

3 0 3

1 0 1

γ γ β β α α

γ β α

γ γβ βα α

− = =

= + +⇒ − ⋅ + + − ⋅ ⋅ + + − + =

⇒ − + − + − = ⇒

− = =

⇒ − = ⇒ =

− = =

Minf=f(2)=-1

- 56 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Τα μεταφέρω στον πίνακα.

2 210 50 1 10 5 50 1a γ− + = − ⋅ + =

2 22 3 2 1 9 2 7aβ − = − ⋅ = − =

2 26 5 6 3 25 18 7γ β− = − ⋅ = − =

Β)

3

1 604 4

15

i ii

x vx x

v== = = ⇒ =∑

Αφού 15v = περιττός 1 15 1 16

82 2 2

vi

+ += = = =

Άρα, 8 4 4tδ δ= = ⇒ =

Άρα, x δ=

9. 1 2 61 2 6

...15 15 ... 90 (1)

6

x x xx x x x

+ + += ⇒ = ⇒ + + + =

( )

26 62

26

12 2 1

1

2 2 2 22 2 2 2 2 21 6 1 6

1 2 6

2 2 21 2 6

19 9 9

6 6 6 6

... ...9 15 9 ... 15 9 6

6 6

... 234 6 (2)

i ix

i

xi xixi

S xi

x x x xx x x x

x x x

= =

=

= ⇒ − = ⇒ − = ⇒

+ + + +⇒ − = ⇒ − = ⇒ + + = + ⋅ ⇒

⇒ + + = ⋅

∑ ∑ ∑∑

Αφού επισυνάπτω την 7x οι παρατηρήσεις γίνονται 7, άρα:

ix iv

11 1

3 7

4 7

15

ix iv i ix v iN θέσεις

3 7 21 7 1η-7η

4 7 28 14 8η-14η

11 1 11 15 15η

15 60

- 57 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

(1)1 2 6 7... 90 8 98

14 14 (3)7 7 7

x x x xy y

+ + + + += = = = ⇒ =

( )

2 27 7 72

712 2 2 1 1

1

2 2 2 2 2(2),(3)22 2 2 21 2 6 7

1

7 7 7 7

( ... ) 234 6 8 96 9614

7 7 7 7

i i iy y

i

y y y y

yi yi yiS yi S

x x x xS y S S S

= = =

=

= − ⇒ = − ⇒

+ + + + ⋅ +⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

∑ ∑ ∑∑

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ x

14 15100% 100% 6,67%

15ποσ

ΤΕΛ −ΑΡΧ −= ⋅ = ⋅ = −

ΑΡΧ

Επήλθε μείωση 6,67%.

10.

0 ln( 1) ln 3 ln1 ln( 1) ln 3 1 1 3 2 4

2,3 2,3x

x x x x

x Ά Aρα∈Ω

≤ − < ⇒ ≤ − < ⇒ ≤ − < ⇒ ≤ <

⇒ = =

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2 2

5 1 6 1 1 5 6 1 0

1 5 6 0 1, 5 6 0 2,3

1,2,3

x x x x x x x x

x x x x x x x

Άρα

− − = − − ⇒ − − + − = ⇒

⇒ − − + = ⇒ = − + = ⇒ =

Β =

Α) A B− ≠ ∅ ( ) 0P A B− =

( )

1,4,5

1,2,3,4,5 ( ) 1

A

B A P B A P

′ =

′ ′∪ = ∪ = Ω =

Β) 4,5 1,4,5B A B′ ′ ′= ∪ = άρα

( ) (1) (4) (5) (1)P A B P P P′ ′∪ = + +

Όμως, 1 1

( ) (2) (3)4 4

P A P P= ⇒ + =

(1)

1(1) (2) (3) (4) (5) 1 (1) (4) (5) 1

41 4 1 3

( ) 14 4 4

P P P P P P P P

P A B

+ + + + = ⇒ + + = −

−′ ′⇒ ∪ = − = =

- 58 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

11 1

( ) (1)8 8

1 1( ) (2) (3)

4 4

B A

P B A P

P A P P

− =

− = ⇒ =

= ⇒ + =

Γ) 2,3 1,2,3A B= =

Αφού A X B∪ = , τότε:

1 1,2 1,3 1,2,3X ή X ή X ή X= = = =

Άρα, 1

min ( ) (1)8

P x P= =

1 1 3max ( ) (1) (2) (3)

8 4 8P X P P P= + + = + =

11. Α) 7 5 2 5 8 6 5 3

6 6 41 66 2511

ax a a

β γβ γ β γ

+ + + + + + + + + += ⇒ = ⇒ + + + = ⇒ + + =

Αφού 6δ = , τότε δεξιά του 6 βρίσκονται 5 αριθμοί και αριστερά άλλοι 5. Δηλαδή,

2,3,5,5,5,6, , , , , Άρα, οι αριθμοί 7, , ,8,α β γ βρίσκονται δεξιά του 6.

Όμως, 8 max min 8 max 2 8 max 10R = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

Άρα, 10γ = , αφού α β γ< < .

( )

2 2 2 2 22 2 2

22 2 2 2 2

2 2

25 10 25 15 15

10 217 117217

117 15 117 225 30 117 0

2 30 108 0 15 54 0

54 6 9

15 9 6

6, 9

PΆ ύ

S

Ά

α β γ α β α β α βα β α βα β γ

α β β β β β β

β β β β

β ατοπο αϕο α β

β α

ρα α β

+ + = + + = + = ⇒ = −⇒ ⇒

+ + = + =+ + =

+ = ⇒ − + = ⇒ − + + − =

⇒ − + = ⇒ − + =

= = =⇒ ⇒ <

= = =

= =

Β) Άρα ( ) ( ) ( )

2,3,5,5,5,6, 6 ,7,8, 9 ,10α β γ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2 6 3 6 5 6 3 6 6 2 7 6 1 8 6 9 6 10 6

11

16 9 3 0 1 4 9 16 58 58

11 11 11

S

S S

− + − + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − + − + −=

+ + + + + + +⇒ = = ⇒ =

- 59 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Γ)

1 1 1 2

2 2 1 21 2

11 11 1 2

...

y x C C

y x C CY X C C

y x C C

= ⋅ +

= ⋅ +⇒ = ⋅ +

= ⋅ +

Θέτω: 1 1 1 6z x C z C x C= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅

1 1Sz C Sx C Sx= ⋅ = ⋅

Άρα, 1 21 22

2 2 21 1 1

9 69 69 6 2 3

2 2

C CC Cy z Cy z C C C

Sy C Sx Sx Sx C CSy Sz

= += ⋅ += += + ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ = −

= ⋅ = ⋅ ⇒ ==

12. Α) Αφού 1Fκ = , N vκ = , τότε θέτω i κ=

( ) ( )2 2

2 22 2

22 2

10 101 1 1 1

101 10 10 0 ( 10) 0

0

10 0 10

N N a v v aF F

a a

v v aa v v a v v v v

av ί

ή

v v

κ κκ κ

απορρ πτεται

− + − ++ − = ⇒ + − = ⇒

− +⇒ = ⇒ = − + ⇒ − = ⇒ − = ⇒

⇒ =

− = ⇒ =

Β) i)

2 2

2

1 12 2 2 12 2

1

1

10 10 10

i i i ii ii ii

i ii

x v x vx vs x v s

κ κκ

κ

κ= ==

=

= − ⇒ = − ⇒

∑ ∑∑∑ DEN EINAI K

2 2 2 2

2 2 21 1 1 12

100 0

10 10 10 10

i i i i i i i ii i i i

x v x v x v x vs s s s

κ κ κ κ

= = = == − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

ii) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 22...

0 0x x v x x v x x v

sv

κ κ− + − + + −= ⇒ =

- 60 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

( )( )

( )

2

1 11

2

22 21 2

2

0

0...

......

0

x x vx x

x xx x vx x x

x xx x v

κ

κκ κ

− = =

=− =⇒ ⇒ = = =

=− =

13. 1 1

( )1

f xx x

′ = −+

( )

( )

( )

( ) [ ]

2

3( )

(1) 9 (2) 22 (2)

9 (3) 22 (3) 9 (2) (3) ... ( ) 22 (2) (3) ... ( )...

9 ( ) 22 ( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 19 1 22 ...

2 3 3 4 4 5 1 1

1 19 22

2 1

v

P f

P f P P P v f f f v

P v f v

v v v v

v

κ

κ

κ

=

=+

=

′⇒ =

′⇒ = ′ ′ ′⇒ + + + = + + +

′⇒ =

⋅ = − + − + − + + − + − − +

⇒ = − +

1 2 ( 1)9 22 9 11

2( 1) 1

9 9 11 11 2 20 10

v v

v v

v v v v

+ − −⇒ = ⋅ ⇒ = + +

⇒ + = − ⇒ = ⇒ =

14. Α) 22, 20x s= − =

( )2( ) 3 2f x x′ = +

Οι συντελεστές διεύθυνσης είναι: ( ) ( ) ( )1 2 10, ,...,f x f x f x′ ′ ′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 10 1 2 10

2 2 2

2 1 2 10 2

... 3 2 3 2 ... 3 2

10 10

...3 3 3 20 60 60

10

x

f x f x f x x x xx

x x x x x xs x

ε

ε

=−

′ ′ ′+ + + + + + + + += = ⇒

− + − + + −⇒ ⋅ = = ⋅ = ⇒ =

Β) ( ) 6( 2)f x x′′ = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2 10 1 2 10

1 2 10

... 6 2 6 2 ... 6 2

6 ... 20 6 10 20 6 10 ( 2) 20 6 20 20 6 0 0

f x f x f x x x x

x x x x

′′ ′′ ′′+ + + = + + + + + +

= + + + + = + = ⋅ − + = − + = ⋅ =

Γ) Οι τεταγμένες των σημείων είναι: 1 2 10, ,...,y y y

- 61 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 101 2 10

6 2

...... 00 0

10 10 10

i i iy x f x

f x f x f xy y yy y

′′= + =

′′ ′′ ′′+ + ++ + += = = = ⇒ =

Άρα δεν υπάρχει CV.

15. Α) ( )( ) 2 2f x x′ = −

( ) 0 2f x x′ = ⇒ =

Β) ( ) ( )2 2

1 101 2 102 ... 2...

10 10

x xy y yy

− + + −+ + += = =

( ) ( )2 2

1 10 2 2...

3 9 910

x x x xs y

− + + −= = = = ⇒ =

Γ) ( )( ) 2 2f x x εϕω′ = − =

( )( )

( )

1 1 1

2 2 2

10 10 10

( ) 2 2

( ) 2 2

....

( ) 2 2

f x x

f x x

f x x

εϕω

εϕω

εϕω

′ = − =

′ = − =

′ = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 10 1 2 10

1 2 10

... 2 2 2 2 ... 2 2

10 10

2 10 2 102 ... 2 10 30 20 102 2 2

10 10 10 10

f x f x f x x x x

xx x x

′ ′ ′+ + + − + − + + −= =

− ⋅+ + + − ⋅ −= = = ⋅ = ⋅ =

Δ) 1 2 10... 2x x x< < < ≤

10 15 5R x x= ⇒ − =

Όμως, ( )( )2 2 2 210 1 10 1 10 1 10 115 15 15x x x x x x x x= − ⇒ − = − ⇒ − + = − ⇒

( )10 1 10 15 15 3 (1)x x x x⇒ + ⋅ = − ⇒ + = −

Τεταγμένες 1 1 2 2 10 10( ), ( ), ...., ( )y f x y f x y f x= = =

- 62 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

( ]1 2 10, ,..., ,2x x x ∈ −∞ όπου f ց

1 2 10 1 2 10... ( ) ( ) ... ( )f

x x x f x f x f x< < < ⇒ > > >ց

. Άρα,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 10 1 10 1 10 1 10

1 10 1 10

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

4 5 3 4 5 7 35

R f x f x x x x x x x

x x x x

= − = − − − = − − + ⋅ − + − =

= − ⋅ + − = − − − = − ⋅ − =

16. Α) ( ) ( ),0 0,fD = −∞ ∪ +∞

2

2 2

9 9( ) 1 ( ) 0 3

xf x f x x

x x

−′ ′= − = ⇒ = ⇒ = ±

Β) 1 9

(1) 81

f−′ = = −

(1) 1 9 10

(1) (1) ( 1) 10 8( 1) 8 18

f

y f f x y x y x

= + =

′− = ⋅ − ⇒ − = − − ⇒ = − +

Γ) 1 18 18y x= − +

2 2

10 10

8 18

...

8 18

y x

y x

= − +

= − +

8 18

8 8 32

8 4

i i

i i

z x

y x

z x z x

S S

= − +

= − ⇒ = − = −

= − =

18 32 18 14

18 4

4 4 228,57%

14 14 7

i i y z

y y

y z

y z S S

CV CV

= + = − + = −

= + = =

= = = ⇒ =−

- 63 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Για να μειωθεί ο CV πρέπει να προσθέσω μια αρνητική σταθερά, αφού 0y < .

, 0 14

4

4 410% 0,1 0,1 4 1,4 0,1 26, 26

14 14

y

y

S S

CV ά

ω

ω

ω κ κ ω κ

κ κ τουλ χιστονκ κ

= − > ⇒ = − −

= =

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ + ⇒ ≥− − +

Δ) i) Τιμές διεταγμένες και πλήθος περιττός, άρα 5 5 2x xδ = ⇒ =

Στο (0,3) η ( )f x ց άρα 1 2 9 1 2 9... ( ) ( ) ... ( )x x x f x f x f x< < < ⇒ > > >

Άρα 5

9 4 9 13( ) (2) 2

2 2 2f x fδ

+= = = + = =

ii) 10 11 10 1 10

1 10 1 10

9( )9 9 9 2 18 4 62( ) ( ) 2 2 2

5 5 54

x xR f x f x x x

x x x x

− ⋅ ⋅= − = + − − = − + = − + = − + =

17. Α) 1 2 100( ) ( ) ... ( ) 1 1

100 100 100

P P Px x

ω ω ω+ + += = ⇒ =

Β) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

1 2 100( ) 3 3 ... 3f x P x P x P xω ω ω′ = − − − − − − −

( ) ( )

2 2 2

1 2 100

2 2

1 100 2 2

1 1 1( ) ( ) ... ( )

100 100 10013 100

100 100

( ) ... ( )1 13 100 3 100 300

100 100 100

P P P

f

P x P xf s f s

ω ω ω

ω ω

− + − + + − ′ = − ⋅

− + + − ′ ′= − ⋅ = − ⋅ ⇒ = −

Γ) Η 1

75y = − εφαπτ. Της f g′ =

Έστω ( )0 0, ( )x g x σημείο επαφής

( )0 0 0 0 0 0 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

75y g x g x x x y g x x g x x g x y′ ′ ′− = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = −

0 0

0 0

0 0 0

( ) 0 ( ) 01 1

( ) ( ) ( )175 100( ) ( )

75

g x f xg x f x f x f

g x x g x

′ ′= ⇒ = ′ ′ ′⇒ = − = = = ′− ⋅ + = −

2 2

1 1002

1 1( ) ... ( )

100 100100

P Ps

ω ω − + + − =

- 64 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Άρα, 2 2 21 1 1 1 1 1300

100 75 75 300 75 22500 150f s s s s ′ = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

1100 2150

1 150 3100

sCV

x= = = =

18. Α) 1( ) ... ( ) 1 19

9vP P

x vv v

ω ω+ += ⇒ = ⇒ =

Β) 1 9( ),..., ( )P Pω ω . Όλες οι ( )iP ω είναι 1≤ , άρα σε οποιαδήποτε διάταξη επειδή είναι 9, τότε

έστω: ( )5= Pδ ω . Έστω 0,2δ > . Αφού 9 5v δ η= ⇒ = παρατήρηση. Άρα, οι επόμενες 4

παρατηρήσεις θα είναι και αυτές μεγαλύτερες του 0,2. Άτοπο, άθροισμα πάνω από 1.

Γ)

21

( ) 3 09

f x x f ′ = − > ⇒

ր

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22 1 9

1 1 2 2( ) 1 9

2

2 29 9

13 ( ) ... ( )

1 12( ) 3 ( )9 ( ) ... ( )1

... 3 912 9

1 1 1 1( ) 3 ( ) 279 12 12 27 18

P x P xf P P

P x P x

f P P s s s

ω ωω ω

ω ω

ω ω

+

= − + + − ⇒ ′ = − − + + −

⇒ = ⋅ ⇒

′ = − = ⇒ = ⇒ = ⋅

Άρα,

19 1 118

1 18 2 29

sCV CV

x= = = = ⇒ =

19. Α) ( ) ( )22 2(1) (3 1 2) (1 1 1) (1) (1) 1 1 0g f f f f= ⋅ − + − + = + = − + − =

2

2

1

( ) 2 (3 2) (3 2)(3 2) ( 1)(2 1)

( ) 2 (3 2) (3 2) 3 ( 1)(2 1)

(1) 2 (1) (1) 3 (1) 1 2( 1) 1 3 1 1 5x

g x f x f x x f x x x

g x f x f x f x x x

g f f f=

′ ′ ′ ′= − − − + − + −

′ ′ ′⇒ = − − ⋅ + − + −

′ ′ ′⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = −

Άρα, ( )(1) (1) 1 0 5( 1) 5 5y g g x y x y x′− = ⋅ − ⇒ − = − − ⇒ = − +

Β) 5 5y x= − +

Θέτω: 5z x= − , άρα 5 5 400 2000z x z= − = − ⋅ ⇒ = −

- 65 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

5 5 2000 5 1995y z y z y= + ⇒ = + = − + ⇒ = −

( )

( ) ( )

( )

22004

2 2 2 2

1

222

2 2 2

2 2 2 2

1200 200

2004 2004

200 2002004 2004

200 400 200.000

i

ii

i i

xs x

x xx x

x x

=

= ⇒ − =

⇒ − = ⇒ − = ⇒

⇒ = + ⇒ =

∑∑

∑ ∑

20. Α) ( )0,fD = +∞ ( )f x :συνεχής

1 1( ) 1 ( )

xf x f x

x x

−′ ′= − ⇒ =

( ) 0 1 0 1f x x x′ = ⇒ − = ⇒ =

• Αν ( ) ( ]0,1 ( ) 0 ( ) 0,1x f x f x x′∈ ⇒ > ⇒ ∀ ∈ր

• Αν ( ) [ )1, ( ) 0 ( ) 1,x f x f x x′∈ +∞ ⇒ < ⇒ ∀ ∈ +∞ց

Επίσης (1) 0f ′ = , άρα η ( )f x παρουσιάζει μέγιστο (ολικό) στο ( ) ( )1, (1) 1,2010A f A→

(1) ln1 1 2011 0 2010 (1) 2010f f= − + = + ⇒ =

Β) Αφού η x είναι η θέση στην οποία η f παρουσιάζει ακρότατο, τότε 1x = . Επίσης 2 10x = . Έχω:

( )

2 2

2

212 2 2 2 2 21 1

1

110 1

v v v

i i ivi i i

ii

t t ts t s s x x s

v v v v= = =

=

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

∑ ∑ ∑∑

2 9 3s s= ⇒ = . Άρα, 3

300%1

sCV

x= = =

- 66 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Γ) Αφού ( )3

2

,..., 1,v vt t− ∈ +∞ ,περισσότερες από τις μισές παρατηρήσεις, τότε αναγκαστικά και η

διάμεσος (ασχέτως αρτίου ή περιττού πλήθους) θα ανήκει στο ( )1,+∞ , άρα ( )1,δ ∈ +∞ . Όμως

1x = , άρα x δ<

Οπότε έχει αρνητική ασυμμετρία.

21. Α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 23 3 ... 3( )

3v vt x t x t x t x t x t x

f xv

′ ′ ′− ⋅ − + − ⋅ − + + − ⋅ −′ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

3 3 ... 3( )

3

...( ) 3

3

...( ) (1)

v

v

v

t x t x t xf x

v

t x t x t xf x

v

t x t x t xf x

v

− − − − − − −′⇒ =

− + − + + −′⇒ = −

− + − + + −′⇒ = −

Θέτω: ( ) ( ) ( )2 2 2

1 2( ) ... vg x t x t x t x= − + − + + −

Από εφαρμογή η ( )g x γίνεται ελάχιστη στο σημείο ( ), ( )K x g x . Άρα,

( ) ( )1

(1)1 1( ) ( ) ( ) ( )

v

g x g x x g x g x f x f xv v

⋅ −

′ ′≥ ∀ ∈ ⇒ − ≤ − ⇒ ≤ℝ

Άρα η ( )f x′ γίνεται μέγιστη στο ( ), ( )K x f x′ , όμως από τα δεδομένα η f ′ γίνεται μέγιστη στο

( )4, 4A − και επειδή η ( )f x′ είναι τριώνυμο θα έχει μοναδικό ακρότατο, άρα A K≡ , δηλαδή

4x = .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2(1) 1 2 2 2

...4 4 4 4 2

vt x t x t xf x s s s

v

− + − + + −′ = − ⇒− = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

Άρα, 2 1

50%4 2

sCV

x= = = = όχι ομοιογενές.

- 67 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 22 2 ... 2

( ) v vt x t x t x t x t x t xf x

v

′ ′ ′− − + − − + + − −′′ = −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 ... 2 ...( ) ( ) 2

2 ( )( ) 2 ( ) ( ) 2( ) (2)

v vt x t x t x t t t v xf x f x

v v

vx vx v x xf x f x f x x x

v v

− + − + + − + + + − ⋅′′ ′′= ⇒ =

− −′′ ′′ ′′⇒ = ⇒ = ⇒ = −

Θέλω την εξίσωση της εφαπτομένης της fC ′ στο ( )2,4B , άρα: ( )(2) (2) 2y f f x′ ′′− = ⋅ −

Όμως (2)

(2) 4, (2) 2( 2) 2(4 2) 4f f x′ ′′= + = − = − =

Άρα, ( )4 4 2 4 8 4 4 4 ( )y x y x y x ε− = ⋅ − ⇒ = − + ⇒ = −

Γ) ( )1 2 9, ,...,M M M εϕ∈ . Άρα,

1 1

2 2

9 9

4 4

4 4: 7 2

...

4 4

y

y x

y xy S

y x

µε και

= −

= −= =

= −

Λύνω ως προς ix

1 1

2 2

9 9

11

41

1 114

4...

11

4

x y

x yX Y

x y

= +

= +⇒ = +

= +

Θέτω: 1

4z y= , άρα

1 1 77

4 4 4z y= = ⋅ =

1 1 2 12

4 4 4 2z yS S= = ⋅ = =

Άρα, 1x z= +

7 7 4 11 111 1

4 4 4 4x z x

+= + = + = = ⇒ =

1 1

2 2x z xS S S= = ⇒ =

Θέλω μέση τιμή των τετραγώνων των τεταγμένων (άρα διασπορά).

- 68 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

( )

2 29 9 92

9 212 2 2 2 21 1

1

2 2 2 2 2

1

9 9 9 9

2 7 4 49 53

i i ii i i

y i y yi

y y yS y S S y y

y y y

= = =

=

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ + = ⇒ =

∑ ∑ ∑∑

22.Α) Αν ,2, , 3Α = +x y x και 2 3< < < +x y x ,τότε 2

2.5 2.5 32

+= ⇔ = ⇔ =

yyδ

2 3 32.5 2.5 1

4

+ + + += ⇔ = ⇔ =

x xx x

Β) Άρα το Α έχει την μορφή: 1,2,3,4Α = ,και το 2,4,8Β = επιλέγουμε τυχαία ένα αριθμό α

από το Α και έναν αριθμό β από το σύνολο Β, οπότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος

αποτελείται από διατεταγμένα ζεύγη της μορφής: (α,β) με την χρήση ενός πινάκα διπλής

εισόδου:

2 4 8

1 (1,2) (1,4) (1,8)

2 (2,2) (2,4) (2,8)

3 (3,2) (3,4) (3,8)

4 (4,2) (4,4) (4,8)

Ω= (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (1,8), (2,8), (3,8), (4,8).

Γ)

2

02 2 2 2 2 2 2 2 2 20

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 : , 2

2 2

2 ( 2 )( 3 2 ) ( 2 )( 3 2 )lim lim lim

( 3 4 )3 2 ( 3 2 )( 3 2 )

( 2 )( 3 2 )lim

( )

→ → →

− +

+ − + − + + + − + += = =

+ −+ − + − + +

+ − + +=

x x x

ί ύ ί ό x a

x

x ax a x ax a x a a x ax a x a a

x a ax a a x a a x a a

x ax a x a a

x a

α α α

οι ρ ζες του τριων µου ε ναι α α οπ τε

α

22 ( )( 2 )

( )lim

− = − +

=

x a x x

x

x

α α

α

α 2 2( 2 )( 3 2 )

( )

+ + +

x x a a

x a

α 2 2( 2 )( 3 2 ) (3 )(4 )lim 6

( ) (2 )( ) →

+ + += = =

++ x

x x a a a

x a ax a α

α αα

2 3 2 2 ( )( )

lim lim lim2 2 2( )→ → →

−− −= =

− −x x x

xx x

x xβ β β

β ββ β β ββ β

( )

2 ( )

+

x

x

β

β2= β

2 2 2 3

2

2 2

2lim lim 6

2 23 2→ →

+ − −≥ ⇔ ≥

−+ −x x

x ax a x

xx a aα β

β βα β

β

Το ενδεχόμενο την πιθανότητα του οποίου αναζητούμε είναι :

Γ= (1,2), (2,2), (3,2), (4,2),(3,4), (4,4).

6( )

12Γ =P

- 69 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

23.

A) 1 2 10'( ) ( ... ) 10= + + + −f x t t t x και έχω :

1 2 101 2 10

...'( ) 0 ( ... ) 10 0

10

+ + += ⇔ + + + − = ⇔ = =

t t tf x t t t x x t

x −∞ +∞ '( )f x + -

( )f x ր ց

max

Β) ( ) 810 ( ) 810g a g t= ⇔ = 2 2 2

1 2 10

2

( ) ( ) .... ( ) 810

81 9

⇔ − + − + + − = ⇔

= ⇔ =

t t t t t t

s s

Ακόμα έχουμε :

1 2 10'( ) 2( ) 2( ) .... 2( )= − − − − − − −g x t x t x t x

Άρα

1 2 10 1 2 10

1 2 101 2 10 1 2 10

'(0) 2000 2 2 .... 2 2000 2( .... ) 2000

....2000 1000( .... ) .... 1000

2 10 10

100

= ⇔ − − − = ⇔ − + + = ⇔

+ + −+ + = ⇔ + + = − ⇔ = ⇔

= −

g t t t t t t

t t tt t t t t t

t

Άρα 9

0.09100

= = =s

CVt

δηλαδή 9%<10% όποτε το δείγμα είναι ομοιογενές .

24.Α)

3 3 32 2 21 2

1 2

( ) ( ) .... ( ) 1'( ) ( ) ' ( 3( ) 3( ) .... 3( ) )

3 3

1

3

− + − + + −= = − − − − − − − =

t x t x t xf x t x t x t xν

νν ν

( 3)−ν

2 2 22 2 2 21 2

1 2

( ) ( ) .... ( )(( ) ( ) .... ( ) )

− + − + + −− + − + + − = − = −

t x t x t xt x t x t x Sν

ν ν

Β)

2 2 21 2

1 2

1 2

( ) ( ) .... ( ) 1''( ) ( ) ' (2( ) 2( ) .... 2( ))

2(( ) ( ) .... ( ))

− + − + + −= − = − + − + + − =

− + − + + −

t x t x t xf x t x t x t x

t x t x t x

νν

ν

ν ν

ν

Γ) 2 2 2

1 2( ) ( ) .... ( )'( ) 0

− + − + + −= − <

t x t x t xf x ν

ν για κάθε x∈ℝ . Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα

στο ℝ .

Δ) Η δεύτερη παράγωγος 1 2

2''( ) (( ) ( ) .... ( ))= − + − + + −f x t x t x t xνν

.

t

- 70 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1 2 1 2

1 21 2

2''( ) 0 (( ) ( ) .... ( )) 0 (( ) ( ) .... ( )) 0

....( .... ) 0

= ⇔ − + − + + − = ⇔ − + − + + − =

+ + +⇔ + + + − = ⇔ = ⇔ =

f x t x t x t x t x t x t x

t t tt t t x x x t

ν ν

νν

ν

νν

x −∞ +∞ '( )f x + -

( )f x ր ց

max

Ε) Η f’ παρουσιάζει μέγιστο στη θέση =x t .

25.Α) Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y’y έχει τετμημενη χ=0

και η εφαπτόμενη 2 2011y x= + έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=2 ,άρα f’(0)=2. Για κάθε x∈ℝ

είναι: 3 3 3 2'( ) '( )( ) ' '( 1)( 1) ' '( )(3 1) '( 1)= − − − − − = − − − −g x f x x x x f x x f x x x f x έτσι έχουμε:

3 2'(1) '(1 1)(3 1 1) '(1 1) '(0)(2) '(0) '(0) 2= − ⋅ − − − = − = =g f f f f f

Επιπλέον είναι:

3(1) (1 1) (1 1) (0) (0) 0= − − − = − =g f f f f

Άρα η εξίσωση της εφαπτόμενης της καμπύλης της g στο σημείο της Μ(1,0) είναι της μορφής

2= +y x β .Επειδή το Μ είναι σημείο της (ε) έχουμε:

0 2 1 2= ⋅ + ⇔ = −β β

Όποτε η εξίσωση της εφαπτόμενης της (ε) είναι : 2 2= −y x

Β) Η μέση τιμή των τετμημένων των σημείων 1 2 3 11, , ,.....A A A A είναι:

5 4 3 2 1 0 1 3 4 5

011

− − − − − + + + + += =x

Άρα 2 2 2 0 2 2= − = ⋅ − = −y x .Η διακύμανση των τετμημένων των 1 2 3 11, , ,.....A A A A , είναι :

211

1112 2

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

11 11

1 0( 5) ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) (0) 1 2 3 4 5 .... 10

11 11

=

=

= − =

= − + − + − + − + − + + + + + + − = =

∑∑

ii

x ii

x

s x

Άρα 10=xs και έτσι 2 10 2 10= =ys .Ο συντελεστής μεταβολής των 1 2 3 11, , ,.....y y y y είναι;

2 1010

2= = =

−y

y

sCV

y

Γ) Έστω ( , )k k kA x y κάποιο από τα σημεία 1 2 3 11, , ,.....A A A A .Είναι 2 2= −k ky x .

Για να είναι το σημείο kA κάτω απο τον άξονα 'x x , πρέπει :

0 2 2 0 1< ⇔ − < ⇔ <k k ky x x

t

- 71 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Άρα τα σημεία 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A είναι κάτω από τον άξονα 'x x και η ζητούμενη πιθανότητα

είναι η p=6

11

26.Α) Υπολογίζουμε αρχικά την τιμή του α: 0

2 2 2 2 20

2 2

2 2

2

4 2 ( 4 2 )( 4 2 ) 4 4lim lim lim

2 2 (2 2 )( 4 2 ) (2 2 )( 4 2 )

2 ( )4( )lim lim

2( )( 4 2 )

→ → →

→ →

− − + −= = = =

− − + − +

−−=

− +

x x x

x x

x x x x

x x x x x

xx

x x

λ λ λ

λ λ

λ λ λ λα

λ λ λ λ λ

λλ

λ λ

( )

( )

+

x

x

λ

λ 2

41

4( 4 2 )= =

+x

λλλ

Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

2

2 2

2

2

( ) 14 5

( ') ( )

( ) 14 5

1 ( ) ( )

4( ( )) 1 ( ) 5 ( )(1 ( ))

4( ( )) 1 ( ) 5 ( ) 5( ( ))

9( ( )) 6 ( ) 1 0

(3 ( ) 1) 0

⋅ + ≥

⋅ + ≥−

+ − ≥ −

+ − ≥ −

− + ≥

− ≥

P A

P A P A

P A

P A P A

P A P A P A P A

P A P A P A P A

P A P A

P A

που ισχύει.

Β) i) Από το ερώτημα (Α) έχουμε 3 ( ) 1 0− =P A , δηλαδή

1 ( ) 1 ( ) 15.000( ) ( ) 5000

3 ( ) 3 3 3

Ω= ⇔ = ⇔ = = =

ΩN A N

P A N AN

ii)Αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα , τότε:

( ) ( ) 5000 10500 15500( ) ( ) ( ) 1

( ) ( ) 15000 15000 15000

Ν Α Ν Β∪Β = + Β = + = + = >

Ν Ω Ν ΩP A P A P

άτοπο αφού ( ) 1P A∪Β ≤ άρα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

27. Α) 2'( ) (10 11) ' 20= ⋅ + ⋅ + = ⋅ +f x s x x x s x x

Β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης της καμπύλης της f στο σημείο Α(-1,f(-1))

ισούται με: '( 1) 20= − = − +f s xλ . Επειδή η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία : 2011=yε

θα ισχύει: 0= =ελ λ οπότε 20 0 20 0− + = ⇔ = >s x x s και 100% 100% 5%20

= = =s s

CVsx

οπότε το

δείγμα είναι ομοιογενές .

Γ) Είναι 20

'( ) 0 20 0 0 ( 1) 0 1=

= ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ + = ⇔ = −x s

f x s x x x x x x x x

Για 1< −x είναι '( ) ( 1) 0= ⋅ + <f x x x άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ], 1−∞ − .

Για 1> −x είναι '( ) ( 1) 0= ⋅ + >f x x x άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ )1,− +∞ .

- 72 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Όποτε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1= −x ίσο με το '( 1) 10 ( 1) 11 11 112 2

− = + − + = − + = −x x

f s x x

Δ) i) Έστω ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 1 .Τότε θα ισχύει:

11 1 202

− = ⇔ =x

x ,οπότε 20

120 20

= = =x

s .

ii)Είναι Α(-1,1) και '( 1) 0= − =fελ οπότε η εξίσωση της εφαπτόμενης της καμπύλης της f στο

σημείο Α(-1,1) είναι 1y = .

28.Έχουμε :

20

1 1005

20 20== = =∑ ii

t

x

Είναι:

2

12 2

1

1 1 10000 1 5001000 (1000 500) 25

20 20 20 20 20=

=

= − = − = − = =

∑∑

ii

x ii

t

S t

ν

ν

ν

Οπότε 5=xS

Επειδή 2 5= +Y X έχουμε :

2 5 10 5 15= + = + =y x

Για την τυπική απόκλιση 2 2 5 10= = ⋅ =y xS S .

29.Α. i)Σήμερα ισχύει ότι 20%=CV άρα:

0.2 0.2= ⇔ =s

s xx

(1)

Μετά από 25 χρόνια είναι ' 25= +x x ενώ η τυπική απόκλιση παραμένει ίδια.Επειδή το δείγμα

γίνεται για πρώτη φορά ομοιογενές θα είναι 10%=CV ,άρα:

0.125

=+

s

x ή 0.1 2.5= +s x (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε:

0.2 0.1 2.5= +x x ή 25x = έτη, 5s = έτη.

ii) Η μέση τιμή των 2 2 21 2, ,..., vx x x είναι

22 2 2

21 2 1... =+ + += =∑ i

v i

xx x x

x

ν

ν ν

Ισχύει 2 2 2 2

2 2 1 2 3

1

( ) ( ) ( ) ..... ( )1( )

=

− + − + − + + −= − =∑ i

i

x x x x x x x xs x x

νν

ν ν με 25=x και 5s = ,άρα

Αν = +Y aX β , τότε :

= +y xα β και

=y xS Sα

- 73 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

2 2 21 1 2 2

2 2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

2 2 21 2 1 2

2

50 625 50 625 ..... 50 62525

.. 50 50 ..... 50 625 625 ... 62525

.. 50( ..... ) 62525

.. 50( ..... ) 62525

25 5

− + + − + + + − += ⇔

+ + + − − − − + + + += ⇔

+ + + − + + + += ⇔

+ + + + + += − + ⇔

= −

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν

νν

νν

ν ν ν2 20 625 25 1250 625 650+ ⇔ = − + ⇔ =x x x

iii) Το εύρος είναι(η κατανομή είναι κανονική)περίπου 6 30= =R s έτη. Άρα , max min 30− =X X η

max 10 30− =X ή max 40=X .Η μεγαλύτερη ηλικία κατά προσέγγιση είναι 40 έτη .

Β) Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους κατοίκους του χωριού .Θεωρούμε τα ενδεχόμενα

Α = «Ο κάτοικος πηγαίνει στο καφενείο Α»

Β =«Ο κάτοικος πηγαίνει στο καφενείο Β»

Είναι P(A)=0.3 και P(Β’)=0.6 η P(Β’)=1-P(Β)=1-0.6=0.4. Επίσης επειδή το 50% των κατοίκων πηγαίνει

σε ένα τουλάχιστον από τα δύο καφενεία θα είναι ( ) 0.5∪ =P A B .

i) Το ενδεχόμενο κάποιος να πηγαίνει και στα δυο καφενεία είναι A B∩ ,άρα

( ) ( ) ( ) ( ) 0.20∩ = + − ∪ =P A B P A P B P A B .

Επομένως το ποσοστό των κατοίκων που πηγαίνει και στα δύο καφενεία είναι 20%.

ii) Το ενδεχόμενο ένας κάτοικος να πηγαίνει μόνο στο καφενείο Α είναι Α-Β, άρα

( ) ( ) ( ) 0.10− = − ∩ =P A B P A P A B δηλαδή το 10% των κατοίκων πηγαίνει μόνο στο Α καφενείο. Το

ενδεχόμενο ένας κάτοικος να πηγαίνει μόνο στο καφενείο Β είναι Β-Α ,

άρα ( ) ( ) ( ) 0.20− = − ∩ =P B A P B P A B , δηλαδή το 20% των κάτοικων πηγαίνουν μόνο στο Β

καφενείο. Επομένως αυτοί που πηγαίνουν μόνο στο Β καφενείο είναι περισσότεροι.

Γ)Αφού όλοι οι αριθμοί έχουν την ίδια πιθανότητα και η πιθανότητα να κληρωθεί περιττός είναι

μεγαλύτερη από την πιθανότητα να κληρωθεί άρτιος το πλήθος των περιττών είναι

μεγαλύτερο και συμπεραίνουμε ότι το πλήθος ν είναι περιττός αριθμός. Τελικά οι περιττοί

είναι κατά 1 περισσότεροι από τους αρτίους άρα:

10.8%=

v ή

10.008=

v ή 1 0.008= v ή 125=v .

30 .

i) Λάθος , αφού όταν ένα δείγμα έχει 0x = , τότε δεν ορίζεται συντελεστής μεταβολής

αυτού του δείγματος.

ii) Λάθος .Ο τύπος s

CVx

= ισχύει μονό όταν 0x > .γενικά , ισχύει s

CVx

= , όπου 0x ≠ .

iii) Λάθος. Ο CV είναι καθαρός αριθμός , δηλαδή είναι ανεξάρτητος των μονάδων μέτρησης

των παρατηρήσεων.

iv) Λάθος .Ένα δείγμα είναι ομοιογενές , αν και μόνο αν έχει 10%CV ≤ .

v) Λάθος ,αν 0 x s< < , τότε 1s

CVx

= > , δηλαδή 100%CV > .

- 74 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

vi) Λάθος .Ο CV , όταν ορίζεται είναι πάντα θετικός ή μηδέν διότι 0s

CVx

= ≥ .

vii) Λάθος. Πάρε για παράδειγμα τις παρατηρήσεις: 7, 7, 7, 7, 7.

Έχουν μέση τιμή 7 και διάμεσο 7, αλλά κανονική δεν είναι.

31.Α) Είναι 3 2(10) 10 15 10 600 10 300 6200= − + ⋅ + ⋅ − =P χιλ.ευρώ

Β)Η παράγωγος της συνάρτησης του κέρδους είναι: 3 2 2'( ) ( 15 600 300) ' 3 30 600= − + + − = − + +P x x x x x x

Οπότε 2 2'( ) 0 3 30 600 0 10 200 0 10( ) .. 20= ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = − =P x x x x x x ί ή xαπορρ πτεται Επίσης είναι:

'( ) 0P x > για 20<x και '( ) 0P x < για 20>x

Επομένως η συνάρτηση ( )P x παρουσιάζει μέγιστο για x=20 , με μέγιστη τιμή 3 2(20) 20 15 20 600 20 300 8000 6000 12000 300 9700= − + ⋅ + ⋅ − = − + + − =P χιλ.ευρώ

Γ) Η παράγωγος συνάρτηση του κέρδους είναι: 3 2 2'( ) ( 15 600 300) ' 3 30 600= − + + − = − + +P x x x x x x

Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους για x=10 είναι: 2'(10) 3 10 30 10 600 600= − ⋅ + ⋅ + =P χιλιάδες ευρώ ανά μονάδα.

Δ) Η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης του κέρδους είναι :

2''( ) ( 3 30 600) ' 6 30P x x x x= − + + = − +

Και είναι ''( ) 0 6 30 0 6 30 5P x x x x= ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =

Επίσης είναι

''( ) 0P x > για 5<x και ''( ) 0P x < για 5>x .

32.

Α) Επειδή A B⊆ έχουμε A B∩ = Α και A B∪ = Β .Άρα: 2 2 2

2 2 2

2

( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )( 4)lim lim lim

2 2 2

( ) ( 2)lim

→ → →

∪ − − −= = =

− − −

x x x

x

x P A B P A x P A P A P A x

x x x

P A x ( 2)

2

+

x

x 2lim( ( )( 2)) 4 ( ) 4 0.2 0.8→

= + = = ⋅ =x

P A x P A

Οπότε ( ) 0.8P Β = , ( ) ( ) 0.8Α∪Β = Β =P P και ( ') 1 ( ) 1 0.8 0.2Β = − Β = − =P P

Β)

2 2

2 2

16[ ( )] 25 ( ) ( ) 10 0 16[ ( )] 24 ( ) ( ) ( ) 10 0

16[ ( )] 24 ( ) ( ( ) ( )) 10 0 16[ ( )] 24 ( ) 10 ( ) ( )

− − Α + = ⇔ − − − Α + =

− − + Α + = ⇔ − + = + Α

P B P B P P B P B P B P

P B P B P B P P B P B P B P

Όμως ( ) ( ) ( ) 1Β + Α = Α∪Β ≤P P P .Άρα:

- 75 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

2 2

2

16[ ( )] 24 ( ) 10 1 16[ ( )] 24 ( ) 9 0

3(4 ( ) 3) 0 4 ( ) 3 0 ( )

4

− + ≤ ⇔ − + ≤

⇔ − ≤ ⇔ − = ⇔ =

P B P B P B P B

P B P B P B

Αντικαθιστώντας το ( )P B στην (1) έχουμε :1

( )4

=P A .

Επειδή ( ) 1 ( )

( )( ) 4 ( )

= ⇒ =Ω Ω

N A N AP A

N N.

Άρα ( ) 250=N A .Όμοια βρίσκουμε ότι ( ) 750Β =N .Επειδή A B∩ =∅ και ( ) ( ) 1000 ( )+ Β = = Ν ΩN A N

θα πρέπει A∪Β = Ω .

33. Α) Από την καμπύλη της κανονικής κατανομής είναι προφανές ότι :

85

2 130

− =

+ =

x s

x sκαι λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι

100

15

=

=

x

s

1515%

100= = =

sCV

x>10% .Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Β) Με τις τιμές της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης το σχήμα γίνεται:

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

34%

εεε34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

2.35% 2.35%

- 76 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Από το σχήμα προκύπτει ότι το ποσοστό του πληθυσμού που έχει IQ μεγαλύτερο του 145 είναι

0.15%.

34.Α) Κατασκευάζουμε τον πινάκα

Βάρος παγωτού Μέσο

κλάσης

ix

if i ix f

[ )195 197− 196 0.1 19.6

[ )197 199− 198 0.1 19.8

[ )199 201− 200 0.55 110

[ )201 203− 202 0.2 40.4

[ )203 205− 204 0.05 10.2

1 200

Γενικά έχουμε:

1 1 1

1

= = =

= = =∑ ∑ ∑ii i i i i

i i i

vx v x x f x

ν ν ν

ν ν. Άρα

1

200=

= =∑ i ii

x f xν

.

Β)Κατασκευάζουμε τον πινάκα κατανομής αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων:

x s x s x s x x s x s x s− − − + + +3 2 2 3

99,7% 95% 68%

34%

εεε34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

2.35% 2.35%

55 70 85 100 115 130 145

- 77 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Βάρος παγωτού if % %iF

[ )195 197− 10 10

[ )197 199− 10 20

[ )199 201− 55 75

[ )201 203− 20 95

[ )203 205− 5 100

Σύνολο 100

Το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων παριστάνεται στο παρακάτω σχήμα:

Από το σχήμα και το θεώρημα του Θαλή

30 6 125 12 6 1.09

2 25 2 5 11= ⇔ = ⇔ = − ⇔ =

− −≃

x xx x x gr

x x

Άρα δ=199+1.09=200.09 gr.

Γ)Από το επόμενο σχήμα και το θεώρημα του Θαλή παίρνουμε:

75 1 9575 20 47.5

20 1 2

−= ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

−x

x x x xx

- 78 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Έτσι το ποσοστό από τα κύπελλα που περιέχουν παγωτό με βάρος μικρότερο από 200 gr είναι

47.5%. Επομένως , η πιθανότητα που ζητάμε είναι p=47.5%=0.475.

Δ)Επειδή το βάρος του παγωτού σε κάθε κύπελλο αυξήθηκε κατά 8 gr , θα έχουμε τον επόμενο

πινάκα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

Βάρος παγωτού if % %iF

[ )203 205− 10 10

[ )205 207− 10 20

[ )207 209− 55 75

[ )209 211− 20 95

[ )211 213− 5 100

Σύνολο 100

- 79 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων είναι:

Από το σχήμα και το θεώρημα του Θαλή παίρνουμε:

95 195 75 85

75 1

−= ⇔ − = − ⇔ =

−x

x x xx

Επομένως το ποσοστό από τα κύπελλα που ξεχείλισαν είναι 100-85=15%.

Έτσι η πιθανότητα που ζητάμε είναι q=15%=0.15.

35. Α) Έστω τα μήκη είναι 1 2 7 8, ,..., ,x x x x .Το μέγιστο εύρος είναι 10 1 9= − =maxR αν ένα μήκος

τουλάχιστον είναι ίσο με 1 και ένα τουλάχιστον ίσο με 10.

Β)

- 80 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

[ ]

1

2

( )3 1 2 3 7

1 2 3 8

8

1 10

1 10

1 10 ..8 808 .. 8 10

8 8 8.

.

1 10

1 10 1,10

+

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + + +

⇒ ≤ + + + + ≤ ⋅ ⇔ ≤ ≤ ⇔

≤ ≤

⇔ ≤ ≤ ⇔ ∈

x

x

x x x x xx x x x

x

x x

Γ)Αν 10=x θα πρέπει τα 8 μήκη να είναι ίσα με 10 δηλαδή 1 2 3 8.. 10= = = = =x x x x

36. Υπολογίζουμε την μέση τιμή

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4

4 4 4 4 44 4

1 1 2 1

4 4 2

+ + + + + + + + + + + ⋅= = =

+= =

P P P P P P P Px

ω ω ω ω ω ω ω ω

Όποτε εφόσον η τυπική απόκλιση είναι 1

9 η διακύμανση θα είναι 21 1

( )9 81

= και θα ισχύει:

2 2 2 21 2 3 4

2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

4 2 4 2 4 2 4 24

1 1 1 1( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 14 4 4 4

4 81

+ − + + − + + − + + −=

− + − + − + −=

P P P P

P P P P

ω ω ω ω

ω ω ω ω

άρα τελικά: 2 2 2 2 21 2 3 4

1 1 1 1 2( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

4 4 4 4 9− + − + − + − =P P P Pω ω ω ω .

Για τον συντελεστή μεταβολής CV θα έχω :

129 22.2%

1 92

= = = =s

CVx

.

37. Α) Έστω Ω ο δειγματικός χώρος που δημιουργούν οι υπολογιστές όλων των τύπων της

εταιρείας με Ν(ω)=κ+λ+6 και τα ενδεχόμενα:

Α: «ο υπολογιστής τύπου Α» με Ν(Α)=κ

Β: «ο υπολογιστής τύπου Β» με Ν(Β)=6

Γ: «ο υπολογιστής τύπου Α» με Ν(Γ)=λ

Είναι:

1( ) 2 6 6

6 2= = ⇔ = + + ⇔ − =

+ +P A

κκ κ λ κ λ

κ λ (1)

1( ) 5 6 4 6

6 5Γ = = ⇔ = + + ⇔ − = −

+ +P

λλ κ λ κ λ

κ λ (2)

- 81 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Από την λύση του συστήματος των (1) και (2) προκύπτει κ=10 και λ=4.

Β) Η μέση τιμή πώλησης όλων των υπολογιστών της εταιρείας είναι:

10 1400 6 3000 4 2000 14000 18000 8000 400002000

20 20 20

⋅ + ⋅ + ⋅ + += = = =x

Έχουμε:

1 1 120% 400

5 5 2000 5= = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

s sCV s

xευρώ.

Γ) Η εβδομαδιαία παραγωγή της εταιρείας διαμορφώνεται ως εξής ,18 υπολογιστές τύπου Α και

6 υπολογιστές τύπου Β.

Αν συμβολίσουμε x την νέα τιμή πώλησης των υπολογιστών τύπου Β, η νέα μέση τιμή πώλησης

θα είναι:

18 1400 6 25200 6'

24 24

⋅ + ⋅ + ⋅= =

x xx (3)

Είναι:

1 1 120% ' 5 5 300 1500

5 5 5''= = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⋅ =

s sCV x s

xx(4)

Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει ότι:

18 1400 61500 .. 1800

24

⋅ + ⋅= ⇔ ⇔ =

xx .

38. A) Έστω iy η τελική σύνταξη κάθε συνταξιούχου και ix η αρχική σύνταξη και α το σταθερό

ποσό της εισφοράς που παρακράτησε το Μ.Ι.Κ.Α. Τότε:

1,15= −i iy x a και 1,15= −y x a και 1,15=y xS S

Ο συντελεστής μεταβολής είναι :

1,151,1 1,1 1,1

1,15

1,15 1 1,15 1,11,1

1,15 1000 1000 1150 1000

1150 1,1(1150 ) ... 104,55

= ⇔ = ⇔ = ⇔+

⇔ = ⇔ = ⇔⋅ + +

= + ⇔ ⇔ =

y x x xy x

S S S SCV CV

y x x a x

a a

a a

ευρώ.

B) Η μέση σύνταξη αυξήθηκε κατά 15% δηλαδή αυξήθηκε κατά15

1000 150100

= ευρώ. Άρα οι

συνταξιούχοι ευνοήθηκαν κατά 150-104,55= 45,45 ευρώ.

39.Α) Οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι:

6 2x, 6 2x,g xα = − β = − = .Κατά συνέπεια ο όγκος της δεξαμενής είναι:

2f (x) (6 2x)(6 2x)x 2(3 x)2(3 x)x 4(3 x) x,0 x 3= − − = − − = − < <

- 82 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β) 2'( ) (4 (3 ) ) ... 12(3 )(1 )f x x x x x= − = = − −

x 0 1 3

f '(x) + −

f (x) ր ց

Η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο όταν x=1 m.

Γ) x 0 x 0

f (x 2) 8 f (x 2) f (2)lim lim f '(2) 12

x x→ →

+ − + −= = = −

Δ) [ ]f (x) 1,3

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 x x x x x 2 f (1) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (2)

16 y y y y y 8

= < < < < = ⇔ = > > > > = ⇔

= > > > > =

ց

R=16-8=8

yy

S 1CV

6y= =

Αν σε όλες τις τιμές iy τις μεταβλητής y προσθέσουμε μια σταθερά α τότε οι νέες τιμές iβ που

προκύπτουν , έχουν:

y

y 12 0

S S 2β

β = +α = +α >

= =

s 2CV

12β= =

+ αβ Κατά συνέπεια

y

R 2 1 8CV 2CV 2 ... 10

12 12 6 12= + ⇔ = + ⇔ ⇔ α = −

Ε) [ ]f 0,1

2 20 P( ) P( ) 1 f (P(A)) f (P(B)) 4 P(A)(3 P(A)) 4 P(B)(3 P(B))∅ ≠ Α ⊆ Β⇒ < Α ≤ Β ≤ ⇒ ≤ ⇔ ⋅ − ≤ ⋅ −ր

Και επειδή P( ) 0Β > και ( )23 ( ) 0− Α >P

( )( )

22

2

3 P(B)P(A) P(A) 3 P(B)

P(B) P(B) 3 P(A)3 P(A)

− −≤ ⇔ ≤ −−

- 83 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

40.Α) Οι συναρτησεις f ,f’είναι παραγωγωγισιμες στοℝ σαν πολυωνιμικες ετσι:

'( ) (4 ) xf x eλλ λ λ= − +

2''( ) (4 ) xf x eλλ λ λ= −

B) 2'(0) (4 ) 5f λ λ λ λ λ= − + = − , (0) (4 ) 4f λ λ= − − = −

Η εφαπτομένη έχει εξίσωση ( ) ( )2 2(0) '(0)( 0) 5 5y f f x y x y xλ λ λ λ λ λ− = − ⇒ − = − ⇔ = − +

Γ) 1

1 1 44ε η ε εε η λ λ λ λ ⊥ ⇒ = − ⇔ − = − ⇔ =

όμως 25ελ λ λ= − έτσι

2 24 5 5 4 0 1 5ήλ λ λ λ λ λ= − ⇔ − + = ⇔ = =

Άρα 2 1

( )6 3

P Α = =

Αρκεί ''( ) 0f x > για κάθε x∈ℝ , 2 2(4 ) 0 (4 ) 0 4xeλλ λ λ λ λ λ− > ⇔ − > ⇔ < οπότε 3 1

( )6 2

P Β = =

Ε) Για 1λ = εχουμε: ( ) 3 4xf x e x= + − , '( ) 3 1xf x e= + οποτε 0'(0) 3 1 4f e= + = , 0(0) 3 0 4 1f e= + − = − .Οµως από τον ορισµο της παραγωγου,

0 0 0 0

(0 ) (0) ( ) (0) 3 4 ( 1) 3 3'(0) lim lim lim lim

0

x x

h x x x

f h f f x f e x e xf

h x x x→ → → →

+ − − + − − − + −= = = =

Τελικά 0

3 3lim 4

x

x

e x

x→

+ −=

41.i) 80 , 80A Bx x= = ii) A Bs s>

iii) 80 80

A B A BA B A B

A B

s s s ss s CV CV

x x> ⇔ > ⇔ > ⇔ >

άρα το δείγμα Β έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το Α.

42.

Α)

2 110

( 1)... 19

210.52 40

R

R

R

νν

ν νδ

δδ

− = = + + = ⇔ ⇔ =

=+ =

Β) 10( ) 19

( )( ) 20

N AP A

N

ν =

= =Ω

γ) Πρέπει 2 5 0,x x λ+ + > για κάθε x∈ℝ , δηλαδή

2

1 01 007,8,9,..., 2025

0 5 4 04

a λ

λλλ

∈>>>

⇔ ⇔ ⇒ = ∆ < >− <

, άρα 14

( )20

P Β =

- 84 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Δ)

2 220

2201 12 2 2 2 2

1 1

2 2 2

1 1 1 210( ) ( ) (2870 )

20 20 20 20

1 665(2870 2205) 33.25 33.25

20 20

i ii i

i ii i

x x

s x s x sv

s s s s

ν

ν

ν= =

= =

= − ⇒ = − ⇔ = − ⇔

= − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

∑ ∑∑ ∑

( )1

201 2 ... 20 1 20 210

2

ν

=

= + + + = + =∑ ii

x

43.A) '( ) xf x e α= − , η εφαπτομένη (ε) της fC στο Α είναι παράλληλη στο x΄x άρα

0'(0) 0 0 1f eελ α α= = ⇒ − = ⇔ = .Έτσι ( ) 39xf x e x= − +

Β) i) '( ) 0 .... 0f x x= ⇒ ⇔ = και f ր στο [ )0,+∞ , f ց στο ( ],0−∞ οποτε η f παρουσιαζει

ελαχιστο στο x=0 .Δηλαδη για κάθε x∈ℝ ισχυει : ( ) (0) ( ) 40f x f f x≥ ⇒ ≥

ii) 1 2 100( ) ( ) ... ( ) 40 40 ... 40 100 4040 40

100 100 100

f x f x f xx x

+ + + + + + ⋅= > = = ⇒ ≥ (1)

Η κατανομη είναι περιπου κανονικη οποτε x δ= ,τελικα 40δ > .

( Το συγκεκριμένο ερώτημα μπορεί να αποδειχθεί και με χρήση του ορισμού της διαμέσου)

iii)το δειγμα δεν είναι ομοιογενες αρα

(1)1 1

10 40 10 40 410 10

sCV s x s s

x> ⇔ > ⇔ > > ⇒ > ⇔ > (2)

iv) 2 2'( ) 3 12 3 3( 4 )g x x x s x x s= + + = + +

16 4 4(4 ) 0s s∆ = − = − < άρα '( ) 0g x > για κάθε x∈ℝ οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

44.Α) Αν (ε) η εφαπτομένη της fC στο σημείο Α(1,f(1)) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45o

οπότε 2

2'( )

xf x

x a=

+, 0 2

'(1) 45 1 1 11

faελ εϕ α= = = ⇒ = ⇔ =

+.

Οπότε 2( ) 1 ln( 1)f x x= + + .

Β) 2

2'( ) 0 0 ... 0

1

xf x x

x= ⇒ = ⇔ ⇔ =

+,

'( ) 0f x > όταν ( )0,x∈ +∞ , '( ) 0f x < όταν ( ),0x∈ −∞ .

Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 0=x

f ց όταν [ )0,x∈ +∞ και f ր όταν ( ],0x∈ −∞

Γ)Είναι 0 ( ) 1P A≤ ≤ και 0 ( ) 1P B≤ ≤

Επειδή f րστο [ )0,+∞ έχουμε:

0 ( ) 1 (0) ( ( )) (1) 1 ( ) 1 ln 2P A f f P A f P B≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ + άρα ( ) 1P B = και

( )2( ( )) 1 1 ln( ( ) 1) 1 ( ) 0f P A P A P A= ⇔ + + = ⇔ = .

45. 1) Σ 2) Λ3) Λ 4) Σ 5) Σ

- 85 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

46.Α) Έστω 1 2, ,...,t t tν οι παρατηρήσεις του 1ου δείγματος και 1 2, ,...,t΄ t ΄ tµ οι παρατηρήσεις του 2ου

δείγματος .Τότε είναι:

( )1 21 2

...... 1

t t tx t t t vxν

νν+ + +

= ⇔ + + + =

1 21 2

...... (2)

t΄ t ΄ t ΄y t΄ t ΄ t ΄ yµ

µ µµ

+ + += ⇔ + + + =

( ) ( ) (2)1 2 1 2

(1)

... ...t t t t΄ t ΄ t ΄ x yz

ν µ ν µµ ν µ ν

+ + + + + + + +=

+ +=

Β)

2 2

2 2

212 2 1 1 1

1

1

v v v v

i i i i i i i ivi i i i

i ii

x x x xs x x

ν ν ν νν

ν ν ν ν ν= = = =

=

= − = − = −

∑ ∑ ∑ ∑∑

Γ)Αν 1ν η συχνότητα της τιμής 1 0x = και 2ν η συχνότητα της τιμής 2 1x = τοτε 1 2ν ν ν+ = .

1 1 2 2 1 2 20 1x xx

ν ν ν ν νν ν ν+ ⋅ + ⋅

= = = και

22

22 1 2 2

v

i ii

xs x

νν ν

ν ν ν= = − = −

∑.Η ζητούμενη σχέση

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1

4 4 4 4

vs

ν ν ν ν ν νν ν ν ν ν

− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔

( )22 2 2 22 2 2 2 24 4 0 4 4 0 2v vν ν ν ν ν ν ν ν− ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ ≤ − ,που ισχύει.

Δ) Με χρήση βασικής εφαρμογής του σχολικού βιβλίου

αν i iz x x= − έχουμε 0z x x= − = και z xs s=

αν 1

i ix

y zs

= τότε έχουμε1 1

0 0x x

y zs s

= = ⋅ = και 1 1

1y x zx x

s s ss s

= = =

Ε) Επειδή όλες οι παρατηρήσεις είναι θετικές και υπάρχουν παρατηρήσεις αριστερότερα από το

3x s− , συμπεραίνουμε ότι 1 1

3 0 33 3

sx s x s CV

x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > .

- 86 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

47) Α)Αν ε η εφαπτομένη τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι 0120 3ελ εϕ= = −

Οπότε έχει την μορφή (1,1)

: 3 1 3 1 1 3y xε

ε β β βΑ ∈

= − + ⇒ = − ⋅ + ⇔ = +

Έτσι : 3 1 3y xε = − + +

Η μέση τιμή των τεταγμένων είναι 3 1 3 3 ( 2) 1 3 3 3 1y x= − ⋅ + + = − ⋅ − + + = +

Β) Η διάμεσος των τεταγμένων (*) είναι

3 1 3 3 ( 1) 1 3 2 3 1y xδ δ= − ⋅ + + = − ⋅ − + + = +

Γ) 0

(1 ) (1)lim '(1) 3h

f h ff

h ελ→

+ −= = = −

(*)Έστω 1 2, ,....,x x xν ,ν παρατηρήσεις με διάμεσο δ.

Α)Αν 1 2, ,....,y y yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε καθεμία από

τις 1 2, ,....,x x xν μια σταθερά c , να δείξετε ότι για την διάμεσο τους ισχύει: y cδ δ= + .

Β)Αν 1 2, ,....,y y yν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε σε

καθεμία από τις 1 2, ,....,x x xν με μια σταθερά c , να δείξετε ότι για την διάμεσο τους ισχύει:

y cδ δ= .

Λύση

‘Εχουμε: , 1,2,...,i iy x c i ν= + = , οπότε αν το πληθος των παρατηρήσεων είναι περιττό με μεσαία

παρατήρηση yκ τότε είναι: y k k xy x c cδ δ= = + = + .Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο

με τις δυο μεσαίες παρατηρήσεις ky , 1ky + τότε είναι

1 1 1 12

2 2 2 2k k

y x

y y x c x c x x c x xc cκ κ κ κ κ κδ δ+ + + ++ + + + + + +

= = = = + = +

Άρα σε κάθε περίπτωση y cδ δ= +

Β. Έχουμε: , 1,2,...,i iy c x i ν= ⋅ = , οπότε αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό με

μεσαία παρατήρηση yκ τότε είναι: y k k xy c x cδ δ= = ⋅ = ⋅ .Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι

άρτιο με τις δύο μεσαίες παρατηρήσεις ky , 1ky + τότε είναι

1 1 1 1( )

2 2 2 2k k

y x

y y c x c x c x x x xc cκ κ κ κ κ κδ δ+ + + ++ ⋅ + ⋅ ⋅ + +

= = = = ⋅ = ⋅

- 87 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Άρα σε κάθε περίπτωση y cδ δ= ⋅

48)Α) Αρχικά υπολογίζουμε το όριο

0/0

2 20 0

(1 ) (1 )lim lim

1 1 1

x x

x x

e x e x

x x x x

συν συνγ

ηµ συν συν συν→ →

− −= = =

+ − − + −

20 0

(1 )(1 )lim lim

xx

x x

e xe x

x x

συνσυνσυν συν→ →

−−= =

− + (1 )x xσυν συν− 0lim 1

x

x

e

xσυν→= =

H Cg διέρχεται από από το Α(0, 1

3)

1(0)

3g = .Οπότε

2 2

2 2 2

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 02 2

1 1(0) 0 (0 20 ( 1) (0 1))

60 3

( 1) 0 0 1x x x x

g

και

β α

β α β και αΑ +Β = ⇔Α = Β =

= ⇔ + + + − + = ⇔

⇔ + − = ⇔ = =

Άρα 21( ) ( 20),

60g x x x= + ∈ℝ

Β) 2

( )60 30

x xg΄ x = =

α) 3 1 2 31 21 2 3

30( ) ( ) ( ) 1

30 30 30 30 30g΄ g΄ g΄

ν ν ν νν νν ν ν

+ ++ + = + + = = =

β) 1 2 31 2 3

1( ) ( ) ( )

30 30

f f fg΄ f g΄ f g΄ f

+ ++ + = =

γ) i) 1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3( )

30

v x v x v xg΄ v x v x v x x

+ ++ + = =

ii)

- 88 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3

22 23 3 31 1 1 2 2 2

2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3

21 1

( ) ( ) ( )

1 1 1(( ) 20) (( ) 20) (( ) 20)

60 60 60

( ) 20( ) 20 ( ) 20

60 60 60 60 60 60

( ) ( ) ( ) 20 20 20

60 60

( )

v g x x v g x x v g x x

v x x v x x v x x

v x x vv x x v v x x v

v x x v x x v x x v v v

v x x

− + − + − =

− + + − + + − + =

−− −+ + + + + =

− + − + − + ++ =

− + 2 22 2 3 3 1 2 3

2 2 21 1 2 2 3 3

2 2

( ) ( ) 20( )

60 60

( ) ( ) ( )1 20 30

2 30 60

20 20

2 2 2

v x x v x x v v v

v x x v x x v x x

s s

− + − + ++ =

− + − + − ⋅+ =

++ =

Γ)α) 21( ) (180 ( 2) 20) (2 5) (180 (( 2) 20) 20) (2 5)

60f x g x h x x h x= − − ⋅ − = − + − ⋅ − =

2 2(3( 2) 20) 20) (2 5) 3( 2) (2 5)x h x x h x= − + − ⋅ − = − ⋅ −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2

'( ) 3( 2) (2 5) ' 3( 2) ' (2 5) 3( 2) (2 5) '

6( 2)( 2) ' (2 5) 3( 2) '(2 5)(2 5) ' 6( 2) (2 5) 3( 2) '(2 5) 2

6( 2) (2 5) 6( 2) '(2 5)

f x x h x x h x x h x

x x h x x h x x x h x x h x

x h x x h x

= − ⋅ − = − ⋅ − + − ⋅ − =

− − ⋅ − + − ⋅ − − = − − + − ⋅ − ⋅ =

− − + − ⋅ − Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της cf στο Α(2,f(2)) είναι '(2)fλ = και

2'(2) 6(2 2) (2 2 5) 6(2 2) '(2 2 5) 0f h h= − ⋅ − + − ⋅ ⋅ − = ρα η εφαπτομένη ευθεία είναι παράλληλη στο

άξονα χ’χ

β) 2(2) 3(2 2) (2 2 5) 0f h= − ⋅ ⋅ − = . Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι :

(2) '(2)( 2) 0y f f x y− = − ⇔ =

γ) ( )2''( ) 6( 2) (2 5) 6( 2) '(2 5) 'f x x h x x h x= − − + − ⋅ − =

26 (2 5) 6( 2) '(2 5) 2 12( 2) '(2 5) 6( 2) ''(2 5) 2h x x h x x h x x h x⋅ − + − − ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ = .

26 (2 5) 12( 2) '(2 5) 12( 2) '(2 5) 12( 2) ''(2 5)h x x h x x h x x h x⋅ − + − − + − ⋅ − + − ⋅ − =

''(2) .. 6 ( 1) 6 7 42f h= = − = ⋅ =

49.Α) 1 1 1

( ) ( ) ( )4 6 12

P B A P B P A B− = − ∩ = − =

- 89 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1 3( ') 1 ( ) 1

4 4P B P B= − = − =

Β)

[ ]( ' ') ( ') ( ' ') 1 ( ) ( ) '

1 ( ) (1 ( )) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

P A B P A P A B P A P A B

P A P A B P A P A B P A P A B

P A P A P B P A B P B P A B P B A

− = − ∩ = − − ∪ =

− − − ∪ = − − + ∪ = − + ∪ =

− + + − ∩ = − ∩ = − =

Γ) 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 12

P A B P A P B P A B P A P A∪ = + − ∩ = + − = +

1 11( ) 1 ( ) 1 ( )

12 12P A B P A P A∪ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤

50. 1. Σ 2. Σ 3. Σ 4. Λ 5. Λ

51.Α) Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B P A B P A B P A P B∪ = + − ∩ ⇔ ∪ + ∩ = +

Β)i) ( ') 0.4 1 ( ) 0.4 ( ) 0.6P A P A P A≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ (1)

( ') 0.5 1 ( ) 0.5 ( ) 0.5P B P B P B≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ (2)

ii) (1) +(2): ( ) ( ) 0.5 0.6 1.1P A P B+ ≥ + = και από το ερώτημα (Α)

( ) ( ) 1.1P A B P A B∩ + ∪ ≥

iii) Υποθέτουμε ότι A B∩ =∅ οπότε τα ενδεχόμενα Α , Β είναι ασυμβίβαστα και ισχύει ο απλός

προσθετικός νόμος : ( ) ( ) ( ) 1.1 ( ) 1.1P A B P A P B P A B∪ = + ≥ ⇒ ∪ ≥ , άτοπο . Αρα ισχυει

: A B∩ ≠ ∅ .

52. i) 1 1 2 2

1 2

x v x vx

v v

+=

+(1), θα είναι 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

11 2 1 2

( )v x v x v x v x v x xx x

v v v v

+ − − −− = =

+ + και

1 2 12

1 2

( )...

v x xx x

v v

−− = =

+

2 2

2 21 1 2 2 1 21 2 2

1 2 1 2

( ) ( )... ( )

( )

x x x xs x x

ν ν ν νν ν ν ν

− + −= = = −

+ + (1)

- 90 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ii) Από την (1) :2 1

1 1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 1

( )

2 2

v vx v x v v x x x xx

v v v

=+ + += = =

+

Από την (2) :2 2

1 22 2 21 2 1 1 21 2 1 22 2

1 2 1

( )( ) ( )

( ) (2 ) 4 2

x xx xs x x x x s

ν ν νν ν ν

−−= − = − = ⇒ =

+

Οπότε:

1 2

1 2

1 2 1 2

2

2

x xx xs

CVx x x xx

−−

= = =+ +

53.i) H f είναι παραγωγίσιμη για κάθε 0x > .έτσι:

2 2

1lnln 1 ln

'( ) 'x xx xxf x

x x x

− − = = =

2

1 ln'( ) 0 0 1 ln 0

xf x x x e

x

−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

( ) ln

2

1 ln'( ) 0 0 1 ln 0 ln ln

h x xxf x x e x e x

x

=−> ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >

ր

( ) ln

2

1 ln'( ) 0 0 1 ln 0 ln ln

h x xxf x x e x e x

x

=−< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <

ր

Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x e= το 1

( )f ee

=

Άρα η f ր στο ( ]0,e , η f ց στο [ ),e +∞

ii)H g είναι παραγωγίσιμη στο ℝ άρα

( )3 2 ( ) ( )

2 ( ) ( )

1'( ) ( ( ) ( ) 1 1974) '

3

2 ( ) ( ) 1

P A B P A B

P A B P A B

g x x x P A B P A B x

x x P A B P A B

∩ ∪

∩ ∪

= − + ∪ − ∩ + + =

= − + ∪ − ∩ +

Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου υπολογίζουμε την διακρίνουσα

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4( ( ) ( ) 1) 4 4( ( ) ( ) ) 4

4( ( ) ( ) )

P A B P A B P A B P A B

P A B P A B

P A B P A B P A B P A B

P A B P A B

∩ ∪ ∩ ∪

∩ ∪

∆ = − ∪ − ∩ + = − ∪ − ∩ − =

− ∪ − ∩

Πρέπει να εξετάσουμε το πρόσημο της παράστασης ( ) ( )( ) ( )P A B P A BP A B P A B∪ ∩∩ − ∪

Όμως

- 91 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

A B A

A B A

⊆ ∪Β = Β ⇒

≠ ∩Β = Α και

( ] 0,

( ) ln (1)( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ln ( ) ln ( )0 ( ) ( ) 1 ( ( )) ( ( ))

( ) ( )

( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

f e

h x xP B P A P B P A

P A B P A B P A B P A B

P A P BP A P B f P A f P B

P A P B

P B P A P A P B P A P B P A P B

P A B P A B P A B P A B

οταν

=

∪ ∩ ∩ ∪

< < < ⇔ < ⇔ < ⇔

< ⇔ < ⇔ < ⇔

∩ < ∪ ⇔ ∪ − ∩ >

ր

ր

Άρα 0, 1 0α∆ < = > οπότε '( ) 0g x > για κάθε x∈ℝ και η g γνησίως αύξουσα στο ℝ .

iii)

3 3 4 4 5 5 1 1 3 4 5 12 (2) ( ) ( ) ( ) .... ( ) ln 2 ln ln ln .... ln

2 2 3 3 4 4 2 3 4v

f f f f fx x

ν νν ν ν

ν ν

+ + ++ + + + + + + + + +

= ⇔ = ⇔

ln 20143 4 5 1 ln 2ln 2 ....ln 20142 3 4

x

νν

ν ν

=+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇔ =

3⋅

2

4⋅

3

5⋅

4

1....

νν+

⋅ ⋅ln 2014 ln( 1)

... 2013ν

νν ν ν

+ ⇔ = ⇔ ⇔ =

54.Α) Έχουμε: 2 2

1 1

(0) ( 0) (1)i ii i

f t tν ν

= =

= − =∑ ∑

2 2 2

2 2 2

21 12 2 1 1 1 12

1

1 i ii i i ii ii i i i

ii

t tt t t ts t x

ν νν ν ν ν

ν

ν ν ν ν ν ν ν= == = = =

=

= − = − = − = −

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑

Οπότε

( )2

(1)2 2 2 22 2 2 2 2 21

1 1

(0)i

ii i

i i

ts x s t x t s x f s x

ν

ν ν

ν ν ν ν νν=

= =

= − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = +∑

∑ ∑

Άρα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα 'y y στο σημείο 22(0, ( ))A s xν + .

Β) Εφόσον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον 'x x θα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της

μορφής : 1( ,0)x

τέτοιο ώστε

2 2 2 21 1 1 1 2 1 1 1 2 1

1

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) .... ( ) 0 .....ii

f x t x t x t x t x t t t xν

ν ν=

= ⇔ − = ⇔ − + − + + − = ⇔ = = = =∑

Έτσι:

1 2 11

.....t t t tx tν ν

ν ν+ + +

= = =

-Αν ν είναι άρτιος τότε η διάμεσος είναι το ημιαθροισμα των δυο μεσαίων παρατηρήσεων

δηλαδή

- 92 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1 1 11

2

2 2

t t ttδ

+= = =

-Αν ν είναι περιττός τότε η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση 1tδ =

Σε κάθε περίπτωση ισχύει x δ= .

Γ) Είναι:

2 2 2 21 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )ii

f x t x t x t x t xν

ν=

= − = − + − + + −∑

Άρα

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

'( ) 2( )( ) ' 2( )( ) ' ... 2( )( ) ' 2( ) 2( ) ... 2( )

2( ... ) 2( ( ... ))

f x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

t t t x x t t tν ν ν

ν νν ν

= − − + − − + + − − = − − − − + − − =

− + + + − = − + + +

Έχουμε:

1 21 2

...'( ) 0 2( ( ... )) 0

t t tf x x t t t x x xν

ννν

+ + += ⇔ − + + + = ⇔ = ⇔ =

1 21 2

...'( ) 0 2( ( ... )) 0

t t tf x x t t t x x xν

ννν

+ + +< ⇔ − + + + < ⇔ < ⇔ <

'( ) 0 ..f x x x> ⇔ ⇔ >

Η f παρουσιάσει ελάχιστο για x x=

Άρα κάθε x∈ℝ τότε 2 2 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )f x f x f x t x t x t xν≥ ⇔ ≥ − + − + + − ⇔

2 2 221 2( ) ( ) ... ( )

( ) ( )t x t x t x

f x f x sνν νν

− + − + + −≥ ⇔ ≥

55. Α)

3 3 3 2 2 21 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 21 2 1 2

1 1'( ) [( ) ( ) ... ( ) ] ' [3( ) ( ) ' 3( ) ( ) ' ... 3( ) ( ) ']

3 3

13[( ) ( ) ... ( ) ] ( ) ( ) ... ( )

3

f x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

t x t x t x t x t x t x

ν ν ν

ν ν

= − − + − + + − = − − − + − − + + − − =

− + − + − = − + − + −

2 2 2

21 2( ) ( ) ... ( )'( ) t x t x t xf xsν

ν ν− + − + −

= =

Β)

- 93 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

3 2 2 2

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2

2 2 21 1 1

1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)lim lim lim lim

( 3 2) ( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 3 2) ( 1) ( 1)( 3lim lim lim

( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)

x x x x

x x x

x x x x x x x x x x xa

x x x x

x x x x x x x x

x x x

→ → → →

→ → →

− − + − − − − − − − += = = = =

+ − + − + − + −

− + − + + + − + + += =

+ − + − + + ( )( )

( )( ) ( )

( )

2

2

2 2 2 2

2 221 1

2 22 2

21 1

2)

3 2 3 2 )

( 1) ( 1)( 3 2) ( 1) ( 1)( 3 2)lim lim

3 43 4

( 1) ( 1)( 3 2)lim lim( 1)( 3 2) 2( 1 3 2) 2 16 32

1

x x

x x

x x

x x x x x x

xx

x x xx x

x

→ →

→ →

=+ − + +

− + + + − + + += =

+ −+ −

− + + += + + + = + + = ⋅ =

Υπολογίζουμε την δεύτερη παραγωγό της f

( )2 2 21 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

''( ) ( ) ( ) ... ( ) ' 2( )( ) ' 2( )( ) '... 2( )( ) '

2( ) 2( )... 2( ) 2( ... ) 2( ... )

f x t x t x t x t x t x t x t x t x t x

t x t x t x t x t x t x t t t x

ν ν ν

ν ν ν ν

= − + − + − = + − − + − − + − − =

− − − − − − = − − + − + − = − + + −

1 2''(2 ) 2( ... 2 ) 2( 2 ) 2f x t t t x x x xν ν ν ν ν= − + + − = − − =

1

1

91''(2 ) 3 32 5 2 91 45.5 45.5

2

ii

ii

tf x x x t

ν

ν

ν ν νν=

=

= ⋅ − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =∑

Γ) 3 3 3 3 3 3 31 2 1 2

1

1 1 1 1(0) [( 0) ( 0) ... ( 0) ] ( ... ) 6042 2014

3 3 3 3ii

f t t t t t t tν

ν ν=

= − − + − + + − = − + + + = − = − = −∑

2

1

'(0) ii

f tν

=

=∑ Όμως ισχύει:

2

22 2 2

2 2 212 2 2 21

1 1 1

1... ( )

i ii i

i i ii i i

t ts t s x s t vx t s x

v

ν ν

ν ν ν

ν νν ν

= =

= = =

= − ⇔ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = +

∑ ∑∑ ∑ ∑

Οπότε 22'(0) ( )f s xν= + .Έτσι η ζητούμενη εφαπτομένη είναι:

2 22 2(0) '(0)( 0) 2014 ( ) ( ) 2014y f f x y s x x y s x xν ν− = − ⇔ + = + ⇔ = + −

Δ)Το δείγμα 1 2, ,...,t t tκ έχει μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s και CV=16%, δηλαδή

16

100

s sCV

x x= ⇔ = (1)

Το 2029 το δείγμα ηλικιών θα είναι 1 215, 15,..., 15t t tκ+ + + με μέση τιμή ' 15x x= + και τυπική

απόκλιση 's s= και CV’=10%,δηλαδη 10

'10015 15

s sCV

x x= ⇔ =

+ +(2)

- 94 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Από την λύση του συστήματος (1) ,(2) προκύπτει 25x = και 4s =

Το εύρος της κανονικής κατανομής είναι 6 24R s R≈ ⇔ ≈

R =μεγαλύτερη ηλικία – μικρότερη ηλικία ή 24= μεγαλύτερη ηλικία – 13 άρα μεγαλύτερη

ηλικία =37

Εφόσον οι χρόνοι των δυο διαδρομών ακολουθούν την κανονική κατανομή έχουμε:

Παρατηρούμε ότι 25 4 29x s+ = + = .Από την κανονική κατανομή το 16% των παρατηρήσεων

έχουν τιμή πάνω από 29x s+ = Άρα:

168 50

100v v= ⇔ = .

56. A) Αν 0 0.6x≤ ≤ έχουμε

( )2 2'( ) (0.6 ) ' (0.6 ) 2 (0.6 ) (0.6 )(0.6 2 ) (0.6 )(0.63 )g x x x x x x x x x x x= − = − − − = − − − = − −

Όταν 0 0.2x≤ ≤ ισχύει '( ) 0g x < άρα g ց στο[ ]0,0.2

Όταν 0.2 0.6x≤ ≤ ισχύει '( ) 0g x > άρα g ր στο[ ]0.2,0.6

Οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο όταν 0.2x = και ισχύει: ( ) (0.2) ( ) 0.032g x g g x≤ ⇒ ≤

Β)i) Επειδή 4

1

1ii

f=

=∑ και 4 3 30.6 , 0 0.6 (1)f f f= − ≤ ≤

Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι 23 3(0.6 ) 0.032f f− ≤ που ισχύει από το ερώτημα Α) διότι

3( ) 0.032g f ≤ όταν 30 0.6f≤ ≤ .

13 17 21 25 29 33 37

99,7% 95% 68%

34%

εεε34%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

13.5%

50%

16%

2.5%

0.15%

2.35% 2.35%

- 95 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ii)

4 4

1 1

... 16.4i i i ii i

x x f x f= =

= ⇒ = =∑ ∑

Κατασκευάζουμε πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %iF και βρίσκουμε

16.5δ = . Έτσι x δ≠ οπότε η κατανομή δεν είναι κανονική .

iii) Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στις κλάσεις .

A=επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή ώστε η βαθμολογία του να ανήκει στο διάστημα [ )16,20

4 3( ) 0.6P A f f= + =

Β=επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή ώστε η βαθμολογία του να ανήκει στο διάστημα [ )17,19

34( ) 0.32 2

ffP B = + =

Γ=επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή ώστε η βαθμολογία του να ανήκει στο διάστημα [ )12,15

21( ) 0.25

2

fP fΓ = + =

57.α) 5 1F = και 5% 100F =

Από τους τύπους του vieta έχουμε:

53 5 13

3 5

83

5 ... 53

15

FF F

F

F Fκ κ

=

+ = = ⇔ ⇔

==

12 2

5% 100 3 30 100 3 30 100

10 7

F

ή

κ

κλ λ λ λ

λ λ

=

= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= = −

Όμως 1% 0,F λ= ≥ άρα 10λ =

[ )− ix if i ix f iF %

12-14 13 0.1 1.3 10

14-16 15 0.3 4.5 40

16-18 17 0.4 7.6 80

18-20 19 0.2 3.4. 100

- 96 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

β)

1 1

2

2 2 1

3 3

3 3 2

24

4 4 3

5 5 4

% % 10

% 3 10 40

% % % 40 10 30

% 100 60

% % % 60 40 20

% 2 10 90

% % % 90 60 30

% % % 100 90 10

f F

F

f F F

F F

f F F

F

f F F

f F F

λ

λ

κλ λ

= = =

= + =

= − = − =

= =

= − = − =

= − + =

= − = − =

= − = − =

γ)

21 1

45 4

(1)

4 2(2)

%25% % ... 16 (1)

2%

25% % ... 24 (2)2

2 2 8 4

ff x

ff x

x x c c c

= + ⇔ ⇔ =

= + ⇔ ⇔ =

− = ⇔ = ⇔ =

1η κλάση [ ), 4 ,a a + 2η κλάση [ )4, 8 ,a a+ +

2

4 8 4 8 2 1216 16 16 6 10

2 2 2

a a a a ax a a

+ + + + + + += ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ =

Κλάσεις Κεντρικές τιμές ix %if iF %iF

[ )10,14 12 10 0.1 10

[ )14,18 16 30 0.4 40

[ )18,22 20 20 0.6 60

[ )22,26 24 30 0.9 90

[ )26,30 28 10 1 100

ΣΥΝΟΛΑ 100

δ)Το 40% (f4%+ f5%) των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ισες του 22.

Στο 40% των παρατηρήσεων αντιστοιχουν 800 παρατηρήσεις

- 97 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Στο 100% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις

40 800 100 ... 2000ν ν= ⋅ ⇔ ⇔ =

57.Α) Είναι:

5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5

16 4 16

P A B P A B P B A P B Ax

∪ + ∩ + − + −= ⇔ = ⇔

5( ) ( ) ( ) ( )

4P A B P A B P B A P B A∪ + ∩ + − + − = ⇔

5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4P A P B P A B P A B P A B P B P A B+ − ∩ + ∩ − ∩ + − ∩ = ⇔

5 5 52( ( ) ( ) ( )) 2 ( ) ( )

4 4 8P A P B P A B P A B P A B+ − ∩ = ⇔ ∪ = ⇔ ∪ =

Β) Από υπόθεση :

( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 2

P B P AP A B P B P A B P A< ∩ < ⇔ < ∩ < ⇔

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )P B P A B P A B P A B P A P A B− ∩ < ∩ − ∩ < − ∩ ⇔

( ) ( ) ( )P B A P A B P A B− < ∩ < − (1)

Όμως διότι ( ) ( )A B A B P A B P A B− ⊆ ∪ ⇒ − ≤ ∪ (2)

Από (1) ,(2): ( ) ( ) ( ) ( )P B A P A B P A B P A B− < ∩ < − ≤ ∪

1 ( ) ( ) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 2 4 2 21 1

( ) ( ) ( ) ( )2 2

P A B P A BP A B P A B P A B P A P A B

P A B P A P A B P A

δ∩ + −

= ⇔ = ⇔ ∩ + − = ⇔ ∩ + − ∩ = ⇔

∩ + − ∩ = ⇔ =

Από τον προσθετικό νόμο

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 1 1 1( ) ( )

8 2 8 4

P A B P A P B P A B P B P A B P A P A B

P B P B

∪ = + − ∩ ⇔ = ∪ − + ∩ ⇔

= − + ⇔ =

Γ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B B A P A B P B A P A P A B P B P A B− ∪ − = − + − = − ∩ + − ∩ =

1 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) 2

2 4 8 2P A P B P A B+ − ∩ = + − ⋅ =

- 98 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Δ) 1 2 3 4

5 1 1 1( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,

8 2 4 8x P A B x P A x P B x P A B= ∪ = = = = = = ∩ =

4

1

5 1 1 1 3

8 2 4 8 2ix = + + + =∑

2 2 2 224

1

5 1 1 1 23

8 2 4 8 32ix = + + + =

24

2412

1

1 5

4 4 128

i

i

x

s x

= − =

∑∑

58.Θεωρούμε τα ενδεχόμενα

Α: να ψήφισε το κόμμα Α

Β: να ψήφισε το κόμμα Β

Γ: να ψήφισε το κόμμα Γ

Δ: να ψήφισε το κόμμα Δ

Τα ενδεχόμενα Α,Β,Γ,Δ είναι ανά δυο ξένα μεταξύ τους .Από την εκφώνηση έχουμε:

•150 3

( ) ( ) ( )100 2

N A N B N B= =

•10 1

( ) ( ) ( )100 10

N N NΓ = Ω = Ω οπότε ( ) 1

( )( ) 10

NP

ΓΓ = =

Ν Ω

•200

( ) ( ) 2 ( )100

N N N∆ = Β = Β όμως

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N Α +Ν Β + Ν Γ + Ν ∆ = Ν Ω ή 3 1

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 10

B N B BΝ + + Ν Ω + Ν = Ν Ω ή

9 9 2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )

2 10 10 ( ) 10

2( )

10

BB B

P B

ΝΝ = Ν Ω ⇔ Ν = Ν Ω ⇔ = ⇔

Ν Ω

=

- 99 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

3 ( ) 3 ( ) 3 2 3( ) ( ) ( )

2 ( ) 2 ( ) 2 10 10

N A NN A N B P

N N

Β= ⇔ = ⇔ Α = =

Ω Ω

Ι) Η πιθανότητα να ψήφισε το κόμμα Α ή το κόμμα Γ είναι 3 1 4

( ) ( ) ( )10 10 10

P A P A P∪Γ = + Γ = + =

ii) 1

( )10

P Γ =

iii)Η πιθανότητα να ψήφισε το κόμμα Γ ή να μην ψήφισε το κόμμα Β είναι :

( ') ( ) ( ') ( ') ( ) 1 ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ( ) ( ))

2 8( ) 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) 1

10 10

P P P P P P P

P P P P

P P P P

Γ∪Β = Γ + Β − Γ∩Β = Γ + − Β − Γ −Β =

Γ + − Β − Γ − Γ∩Β =

= Γ + − Β − Γ + = − Β = − =

59.i)Θέτουμε 4 (0) (1) 2 (2) 4 (3)P P P P κ= = = = οπότε προκύπτει:

(0) , (1) , (2) , (3)4 2 4

P P P Pκ κ κ

κ= = = = και

1(0) (1) (2) (3) 1 1 ...

4 2 4 2P P P P

κ κ κκ κ+ + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ =

1 1 1 1(0) , (1) , (2) , (3)

8 2 4 8P P P P= = = =

ii)Είναι 2 23( ) ( 3 5) 666

2f x x xλ λ= − − + + , x∈ℝ

2'( ) 3 ( 3 5)f x x λ λ= − − + . Η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και παρουσιάζει ελάχιστο στο 1x = θα

έχουμε:

2 3 5'( ) 0 ..

3f x x

λ λ− += ⇔ ⇔ =

2 3 5'( ) 0

3f x x

λ λ− +< ⇔ < και

2 3 5'( ) 0

3f x x

λ λ− +> ⇔ > .Άρα η f έχει ελάχιστο , οπότε

2 3 51 ... 1 2

λ λλ λ

− += ⇔ ⇔ = =

- 100 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Άρα είναι 1,2Α = , οπότε 1 1 3

( ) (1) (2)2 4 4

P P PΑ = + = + =

iii) Έχουμε τις παρατηρήσεις 21,1,6, ,3,3,2,6 3λ λ− .Η μέση τιμή των παρατηρήσεων ισούται με:

2 21 1 6 3 3 2 6 3 3 222.5

8 8x

λ λ λ λ+ + + + + + + − − += = >

2 23 22 20 3 2 0 .. 2 1ήλ λ λ λ λ λ− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔ > < οπότε 3 0ήλ λ= = δηλ 0,3Β = .

iv) Έχουμε 1,2Α = , 0,3Β = , 0,1,2,3Ω = ,

ισχύει: Α∩Β =∅ ,Α∪Β = Ω ,Β−Α = Β ,Α−Β = Α , 'Α = Β , 'Β = Α ,

( ) 0P Α∩Β = , ( ) 1P Α∪Β = , 3

( ) ( ) (1) (2)4

P P P PΑ−Β = Α = + =

1 1 1( ) ( ) (0) (3)

8 8 4P B A P B P P− = = + = + =

( ' ) ( ) ( ) 0P A B P B B P− = − = ∅ =

( ' ') ( ) ( ) 0P A B P B A P∩ = ∩ = ∅ =

1( ' ') ( ) ( )

4P A B P B A P B− = − = =

60.Α) Έχουμε:

11( ) ( )P P

νν ν

νΑ = ⇔ = Α (1) 2

2( ) ( )P B Pν

ν νν

= ⇔ = Β (2)

(1) +(2): 1 2 ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))P P B P P Bν ν ν ν ν+ = Α + ⇔ = Α + ⇔

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 'B B

P P B P B P B BΑ∩ =∅ Α∩ =∅

Α + = ⇔ Α∪ = Ω ⇔ Α∪ = Ω ⇔ Α =

Β) Είναι 1 20 1 ( )( )

v v P Bx P

v v

ν⋅ + ⋅= = = Β και έχουμε το ζητούμενο.

Γ) Για τη διακύμανση έχουμε:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 21 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2

( ) ( ) 1

1 1 1( ) ( ( ) ) (0 ( )) (1 ( ))

1 1 1(0 ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i i ii i

P P B

s x x P B x P B P B

P B P P B P P P B P B P P P B P B P

P P B P P B P P B

ν ν

ν ν ν νν ν ν

ν ν ν ν ν νν ν ν

= =

Α + =

= − = − = − + − =

− + Α = + Α = Α + Α = Α + Α =

Α Α + = Α

∑ ∑

το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.

Παρατήρηση Αν Α,Β είναι δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω- πεπερασµένου πλήθους - µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα .Τότε ισχύει: 1)Αν A B⊆ , A B≠ τότε ( ) ( )P A P B< 2) Αν ( ) 1P A = τότε A = Ω 3) Αν ( ) 0P A = τότε A = ∅ ∆εν ισχύουν εν γένει τα παραπάνω αν τα απλά ενδεχόµενα δεν είναι ισοπίθανα.

- 101 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Δ) Είναι ( ) ( ) 1P P BΑ + = και 2 2( ) ( ) ( )(1 ( )) ( ) ( )s P P B P P P P= Α = Α − Α = Α − Α

Η διακύμανση γίνεται μέγιστη όταν η συνάρτηση 2( )f x x x= − , 0 1x≤ ≤ γίνεται μέγιστη, και αυτό

συμβαίνει στο 0

1

2x = . Άρα η τιμή του

1( )

2P A =

61.Α) ( )'( ) ' ( )x x x x x xf x e e e e e eλ λ λλ λ λ λ= − = − = −

( ) 2''( ) ( ) 'x x x xf x e e e eλ λλ λ λ= − = −

Β) Έχουμε:

( )2 2 2

2 2 2 2

: ( 1) '( ) ( )

( 1) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ''( )

x x x x

x x x x

x x x x

f x f x

e e e e

e e e e

e e e e f x

λ λ

λ λ

λ λ

µελος λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ

Β + − =

+ − − − =

+ − + − + =

+ − − + − = − =

Γ) (0) 1f λ= − ,άρα ( )0,1 λΑ − . Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f

στο σημείο της Α ισούται με 0 0'(0) ( ) 0f e eλ λ= = − = . Αν y xλ β= + η εξίσωση της ζητούμενης

εφαπτομένης για 0λ = γίνεται y=β και επειδή αυτή διέρχεται από το σημείο ( )0,1 λΑ − είναι

1β λ= − , οπότε η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι 1 , 1y λ λ= − > .

Δ) Είναι 1

'( ) 0 ( ) 0 ( 1) 0 0x x x xf x e e e e x x x xλ

λ λλ λ λ>

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Για 0x < και 1λ > ισχύει 0 '( ) 0x x x xx x e e e e f xλ λλ < ⇒ < ⇒ − < ⇒ <

Για 0x > και 1λ > ισχύει 0 '( ) 0x x x xx x e e e e f xλ λλ > ⇒ > ⇒ − > ⇒ >

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( ],0−∞ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα

[ )0,+∞ .Η συνάρτηση f παρουσιάζει για 0x = ελάχιστο ισο με (0) 1f λ= −

Ε) Επειδή η f έχει ελάχιστο ίσο με 1 λ− ισχύει ( ) 1f x λ≥ − για κάθε x∈ℝ , οπότε

1 1x x x xe e e eλ λλ λ λ λ− ≥ − ⇔ + ≥ + για κάθε x∈ℝ .

- 102 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

62.Α) Είναι πολύγωνο σχ. συχνοτήτων επί τοις εκατό.

Αφού ΔE// x’x θα είναι f3 %= f4 % ,έτσι: f1 %+ f2 % + f3 %+ f4 % + f5 %=100 ή 40+2f3 %=100 ή

f3 %=30% . Οπότε yΔ = yΕ=30

Β) Πολύγωνο σχ. συχνοτήτων

Γ) Μια προσέγγιση είναι, να θεωρήσουμε ότι οι κλάσεις έχουν την μορφή

[ ) [ ), ,..., 4 , 5a a c a c a c+ + + και θα ισχύει:

10 22 ...4 5 9

182

cc

c c

α α

α α α

+ + = =⇔ ⇔

+ + + = =

Οπότε ο πίνακας κατανομής σχ. Συχνοτήτων( fi, fi %Fi, Fi%) είναι ο παρακάτω:

Πωλήσεις σε

χιλιάδες ευρώ

[ )−

ix if iF if % iF %

9-11 10 0.1 0.1 10 10

11-13 12 0.2 0.3 20 30

13-15 14 0.3 0.6 30 60

15-17 16 0.3 0.9 30 90

17-19 18 0.1 1 10 100

Σύνολο 1 100

Δ) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 .. 14.2x x f x f x f x f x f= + + + + = =

Για την διάμεσο κατασκευάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις

εκατό και χρησιμοποιούμε όμοια τρίγωνα.

fi%

Z

H

- 103 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

15 13 60 30

... 14,313 50 30

δδ− −

= ⇔ ⇔ ≈− −

Ε) Το ποσοστό των πωλητών με τουλάχιστον 15000 ευρώ είναι: 4 5% % 30% 10% 40%f f+ = + =

ΣΤ) Αφού το εμβαδό του χωρίου μεταξύ του πολυγώνου συχνοτήτων και του οριζόντιου άξονα

είναι 80 , τότε με μονάδα το c ,το πλήθος των πωλητών είναι ν=80.

Έτσι ο ζητούμενος αριθμός πωλητών είναι: 80(40/100)+32.

63. 1. Γ 2. Γ 3. Γ 4.Γ 5. Γ 6.

Β) 1.Ζ 2.Ε 3.Β 4.Α 5.Δ 6.Γ 7.ΣΤ

64.A) 2014(0) 0 0 0 0fC f a β βΑ∈ ⇒ = ⇔ ⋅ + = ⇔ =

2014(1) 1 1 1 1fC f a aβΒ∈ ⇒ = ⇔ ⋅ + = ⇔ =

Fi%

9 11 19 17 15 13

δ

100

10

50

60

30

20

90

- 104 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Β) i) 2014( )f x x= , 2013'( ) 2014f x x= .Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της fC στο

σημείο Α(3,f(3)) είναι 2013'(3) 2014 3f = ⋅ . Όμως από 2014 2014

0

(3 ) 3'(3) lim

h

hf

h→

+ −= έτσι

2014 20142013

0

(3 ) 3lim 2014 3h

h

h→

+ −= ⋅ .

ii)Το ζητούμενο όριο θα είναι:

2014 2014 2014 20142013

0 0

(3 ) 3 (3 ) 3 1 1lim lim 2014 3

( 2014) 2014 2014h h

h h

h h h h→ →

+ − + −= = = + +

iii)Αν ε η ζητούμενη εφαπτομένη ελ ο συντελεστής διεύθυνσης της και 0 0( , ( ))x f xΓ το σημείο

επαφής της ε με την fC με ε//η τότε θα ισχύει

2013 20130 0 0 0'( ) 2014 2014 2014 1 1f x x x xελ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .Άρα (1, (1))fΓ ή (1,1)Γ

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:

.... 2014 2013y x y xελ β= + ⇔ ⇔ = −

iv)Αν ζ: y xλ β= + η ζητούμενη εφαπτομένη τότε 2013 0 2013λ β β− = ⋅ + ⇔ − =

Οπότε η ζητούμενη εφαπτόμενη έχει την μορφή 2013y xλ= −

Αν 0 0( , ( )x f x∆ το σημείο επαφής τότε:

2014 20130 0 0 0 0 0 0

2014 2014 2014 20140 0 0 0 0

'( ) 2013 ( ) '( ) 2013 2014 2013

2014 2013 2013 2013 1 1

y f x x f x f x x x x x

x x x x x

ζ∆∈

= − ⇒ = − ⇔ = − ⇔

= − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

Οπότε έχουμε δυο σημεία επαφής (1, (1))f και ( 1, ( 1))f− − ,κατά συνέπεια και δύο εφαπτόμενες.

65.A)Έστω ότι η πρώτη κλάση είναι [ ), cκ κ + τότε η τέταρτη κλάση είναι [ )3 , 4c cκ κ+ + άρα το

εύρος είναι ( 4 ) 4R c cκ κ= + − = και 4 16 4c c= ⇔ = .Έχουμε επίσης

1 2 3 4

3% % % % 100 2 100 ... 20

2 2

af f f f a a a

α+ + + = ⇔ + + + = ⇔ ⇔ =

Β)Η τρίτη κλάση είναι [ )2 , 3c cκ κ+ + και το κέντρο της είναι 10 άρα

42 3 2 2010 10 .... 0

2 2

cc cκ κ κκ

=+ + + += ⇔ = ⇔ ⇔ =

Έτσι οι κλάσεις είναι [ ) [ ) [ ) [ )0,4 , 4,8 , 8,12 , 12,16και ο ζητούμενος πίνακας γίνεται

- 105 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Χρόνια

υπηρεσίας

Κέντρα

κλάσεων

fi fi% Fi Fi% i ix f 2i ix f

[ )0 4− 2 0.1 10 0.1 10 0.2 0.4

[ )4 8− 6 0.2 20 0.3 30 1.2 7.2

[ )8 12− 10 0.3 30 0.6 60 3 30

[ )12 16− 14 0.4 40 1 100 5.6 78.4

Σύνολο - 1 10 - - 10 116

Γ.Για την μέση τιμή : 4

1

10i ii

x x f=

= =∑ .Επίσης είναι:

( )

2 24 4

4 4 4 21 12 2 2 2

21 1 1

1116 100 16

i i i ii ii

x i i i i ii i i

x x

s x x f x x

ν νν

νν ν ν ν

= =

= = =

= − = − = − = = − =

∑ ∑∑ ∑ ∑

Άρα 4xs = .Είναι 10 4 6xx s− = − = , 10 4 14xx s+ = + =

Έτσι το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 43

% % 20 40% 30 % 60%

2 2 2 2

f ff

+ + = + + =

Δ) Αφού αποσύρθηκε η κλάση [ )0,4 έχουμε τις κλάσεις [ ) [ ) [ )4,8 , 8,12 , 12,16 με αντίστοιχες

συχνότητες 2 3 4, ,ν ν ν .Άρα οι σχετικές συχνότητες είναι:

2

2 21

11 1

'1

ff

f

νν ν

ν νν νν

= = =−− −

,

3

3 32

11 1

'1

ff

f

νν ν

ν νν νν

= = =−− −

, 43

1

'1

ff

f=

Η νέα μέση τιμή :

- 106 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

332 4

2 1 3 2 4 3 2 3 41 1 1 1

2 2 3 3 4 4

1

' ' ' ' '1 1 1

1.2 3 5.612.25

1 1 0.2

i ii

ff fx x f x f x f x f x x x

f f f

x f x f x f

f

=

= = + + = + + =− − −

+ + + += = =

− −

66. 3 2 21 9 1 9 1'( ) 2014 '

2 40 20 20 20f x x x x x x

= − + − + = − + −

1 2

1 1'( ) 0 ... ,

4 5f x x x= ⇔ ⇔ = = .Ο πίνακας μεταβολών είναι:

x −∞

1

5

1

4 +∞

f '(x) − + −

f (x) ց ր ց

Οπότε η διάμεσος των παρατηρήσεων ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P A B∩ ∪ είναι δ=1

4 ενώ η μέση τιμή

των παρατηρήσεων ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )P A P B P A B P B A P A B P A B∩ − − ∪ είναι 1

5x = .

Είναι ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∩ ≤ ≤ ≤ ∪ ή

( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A P A B∩ ≤ ≤ ≤ ∪ σε κάθε περίπτωση όμως ( ) ( )

2

P B P Aδ

+= . Άρα

( ) ( ) 1 1( ) ( )

2 4 2

P B P AP B P A

+= ⇔ + = (1)

- 107 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

(1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

6 51

3 2 ( )3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 126 5 6 5

3 4 ( )1 3 4 ( ) 12 15 20 ( ) 12

6 5 12 5

20 ( ) 3 ( )

P A P B P A B P B A P A B P A Bx

P A P B P A B P B A P A B P A P B P A B

P A BP A P B P A B

P A BP A B

P A B

P A B P A B

+ + ∩ + − + − + ∪= ⇔

+ + ∩ + − + − + + + ∩= ⇔

− ∩+ − ∩= ⇔ = ⇔

− ∩− ∩

= ⇔ = ⇔ − ∩ = ⇔

− ∩ = − ⇔ ∩3

20=

Όμως:1 3 7

( ) ( ) ( ) ( )2 20 20

P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = − =

67)A) ( )2'( ) 2 2 1 ' 4 2f x x x x= − + = − ,

1'( ) 0 4 2 0

2f x x x= ⇒ − = ⇔ =

'( ) 0f x < για 1

2x < άρα f ց στο διάστημα

1,2

−∞

'( ) 0f x > για 1

2x > άρα f ր στο διάστημα

1,

2 +∞

Η f παρουσιάζει ελάχιστο για 1

2x = το

1 1( ) ..2 2

f = =

Β) i)Έχουμε :

4

1 ( ) ( ') ( ) ( ) 1 0 1 1

4 4 4 2

ii

tP A P A P P

x = + + ∅ + Ω + += = = =∑

Διατάσσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και λαμβάνουμε :

( ) 0, ( ), ( '), ( ) 1P P A P A P∅ = Ω = ( A ≠ ∅ άρα ( ) 0P A ≠ και ( ') 1P A ≠ οπότε 0 ( ) 1P A< ≤ )

( ) ( ) ( ') ( )P P A P A P∅ < ≤ ≤ Ω ή 0 ( ) ( ') 1P A P A< ≤ ≤ .

- 108 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

( ) ( ') 1

2 2

P A P Aδ

+= =

ii)

( )4 2

2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1[( ( ) ) ( ( ') ) ( ( ) ) ( ( ) ) ]

4 4 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ( ) ) (1 ( ) ) ( ) ( ) ] [( ( ) ) ( ( )) ]

4 2 2 2 2 4 2 2 4 41 1 1 1 1 1 1 1

[2( ( ) ) ] [2( ( ) ( ) ) ] [2 ( ) 2 ( )4 2 2 4 4 2 4 2

ii

s t x P A P A P P

P A P A P A P A

P A P A P A P A P A

=

= − = − + − + Ω − + ∅ − =

− + − − + + − = − + − + + =

− + = − + + = − + +

2

1]

21

[2 ( ) 2 ( ) 1]4

P A P A

=

− +

iii)Είναι 2 1( ( ( ))

4s f P A= από το ερώτημα (Α) έχουμε ότι

1( )

2f x ≥ για κάθε x∈ℝ αφού η

ελάχιστη τιμή της f είναι 1

2, άρα:

21 1 1 1 1 1( ( )) ( ( ))

2 4 8 8 8 2 2f P A f P A s s s≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ και η ισότητα ισχύει όταν

1( )

2P A = .Άρα

11 22 2

1 1 222 2

s sCV

x= = ≥ = = .Οπότε

2

2CV ≥ και η ισότητα ισχύει όταν

1( )

2P A = , άρα

1( ') 1 ( )

2P A P A= − = δηλαδή όταν ( ') ( )P A P A=

68.A)Έχουμε:

2 2

2 2 2

2 212 2 21 1 1 1

1

1 i i i i ii i i i i

ii

x x x x xs x x s x

ν ν ν ν ν

ν

ν ν ν ν ν ν= = = = =

=

= − = − = − ⇔ = −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑

- 109 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

302

2 2 02 2 2 22 2 2 2 212

3030 1 1 1101 100

30 30 100 10 10

i xi

xs s s

s x s x s s x x s CVxx

>== − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =∑

Άρα το δείγμα είναι ομοιογενές .

Β.i) Από το ερώτημα (Α)

3 2 3 2

3 2

40 40 1( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2

3 3 104

( ) 2 ( ) ( ) 23

f x CVx P A B x P A B x f x x P A B x P A B x

f x x P A B x P A B x

= − ∪ + ∪ + ⇒ = − ∪ + ∪ + ⇔

= − ∪ + ∪ +

3 2 24'( ) 2 ( ) ( ) 2 ' 4 4 ( ) ( )

3f x x P A B x P A B x x P A B x P A B

= − ∪ + ∪ + = − ∪ + ∪

2'( ) 0 4 4 ( ) ( ) 0f x x P A B x P A B= ⇒ − ∪ + ∪ =

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:

216 ( ) 16 ( ) 16 ( )( ( ) 1)P A B P A B P A B P A B∆ = ∪ − ∪ = ∪ ∪ −

Όμως

, ( ) 0, ( ) 00 ( ) 1

' '

A B P A P BP A B

B A B A

≠ ∅ ≠ ≠ ⇒ ⇒ < ∪ <

≠ ≠

Άρα 0∆ < για κάθε x∈ℝ οπότε '( ) 0f x > για κάθε x∈ℝ άρα f ր στο x∈ℝ οπότε δεν έχει

ακρότατα.

ii) (0) '(0)( 0) 2 ( ) ( ) 2y f f x y P A B x y P A B x− = − ⇒ − = ∪ ⇔ = ∪ +

iii)Τα σημεία τομής τις εφαπτομένης με τους άξονες της υπολογίζονται

Για τον x’x : 2

0 ( ) 2 0( )

y P A B x xP A B

= ⇔ ∪ + = ⇔ = −∪

άρα 2

( ,0)( )

AP A B

−∪

Για τον y’y : 0 2x y= ⇔ = άρα (0,2)A

Άρα το εμβαδό του τριγώνου είναι: 1 2 2

22 ( ) ( )

EP A B P A B

= − =∪ ∪

τ.μ

Όμως από υπόθεση 2 1

4 4 ( )( ) 2

E P A BP A B

= ⇔ = ⇔ ∪ =∪

- 110 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

iv) 23'( ) 666 ' 3

2g x x ax x a

= − + = −

αλλά 0

(1 ) (1)'(1) lim 2 3 1 2 1

h

g h gg a a

h→

+ −= = ⇔ ⋅ − = ⇔ =

άρα 23( ) 666

2g x x x= − + .

v) 1

'( ) 0 3 1 03

g x x x= ⇔ − = ⇔ =

1 1'( ) 0 3 1 0 , ,

3 3g x x x g xαρα > ⇔ − > ⇔ > ∈ +∞

ր

1 1'( ) 0 3 1 0 , ,

3 3g x x x g xαρα < ⇔ − < ⇔ < ∈ −∞

ց

η g παρουσιάζει ελάχιστο στην θέση 1

3x = ,από υπόθεση όμως

1( )

3P A B− =

Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 3 6

P A B P A P B P A B P A B P B P A B

P B P A B P A B P B

∪ = + − ∩ ⇔ ∪ = + − ⇔

= ∪ − − ⇔ = − =

69

Α1,

60 2 60 200 3203.2

100 100 100x

λ λ λ λ+ − + + −= = = −

3 43.5

+= = , λ∈ℕ αρα xδ >

0.46 3.5 3.2 0.46 0.3 0.46 30 46 16100 100

xλ λ

δ λ λ− = ⇔ − + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

ix iN iν i ixν

1 λ λ λ

2 30 30-λ 60-2λ

3 50 20 60

4 100 50 200

- 111 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Α2.Οποτε 16

3.2 3.2 0.16 3.04100

x = − = − =

Β1. Για κάθε x∈ℝ είναι:

( )2 22'( ) 1 'x xf x e x eα αα α α= − + = − και ( )2 22 4''( ) 'x xf x e eα αα α α= − =

B2.Ειναι 22 0 2'(0)f eαα α α α⋅= − = − .Θεωρουμε την συναρτηση

2( )g α α α= − και '( ) 2 1g α α= −

1'( ) 0 2 1 0

2g α α α= ⇔ − = ⇔ =

1'( ) 0 2 1 0

2g α α α> ⇔ − > ⇔ >

1'( ) 0 2 1 0

2g α α α< ⇔ − < ⇔ <

Επομενως το '(0)f γινεται ελαχιστο για 1

2α =

Β3) ( )3 3 3 / 3.31 / 0.46 3.31 / 0.46 3.31

2 2 2xα α δ α α α αΩ = ∈ ≤ − + = ∈ ≤ + = ∈ ≤ +ℤ ℤ ℤ

/ 4 / 4 4 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4α α α α= ∈ ≤ = ∈ − ≤ ≤ = − − − −ℤ ℤ

2 2'(0) (0) 2 2 0 1 2f f ήα α α α α α> ⇔ − > ⇔ − − > ⇔ < − > και α ∈Ω

4, 3, 2,3,4Α = − − −

Επιπλεον

4 4''(0) 256 256 256 4 4 4f α α α α< ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < < και α ∈Ω

3, 2, 1,0,1,2,3B = − − −

i) ( ) 3 1

( )( ) 9 3

A BP A B

Ν ∩∩ = = =

Ν Ω ii) 4,3,4A B− = − αρα

( ) 3 1( )

( ) 9 3

A BP A B

Ν −− = = =

Ν Ω

iii) 1,0,1,2B −Α = − αρα ( ) 4

( )( ) 9

NP

N

Β−ΑΒ−Α = =

Ω

α −∞

1

2 +∞

'( )g α − +

( )g α ց ր

- 112 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

iv) ( ) ( ) 4,1,0,1,2,3,4Α−Β ∪ Β−Α = − ,αρα :

(( ) ( )) 7(( ) ( ))

( ) 9

NP

N

Α−Β ∪ Β−ΑΑ−Β ∪ Β−Α = =

Ω

Δ)Εχουμε: 5 6 3 10 12

34 4

xα α α α α

α− + +

= = = .Ειναι:

1 3 1 11 1 ....

3 1 31

x

x

αα

α− −

> ⇔ > ⇔ ⇔ < −++

Αρα 4, 3, 2, 1Γ = − − − − , οποτε ( ) 4

( )( ) 9

NP

N

ΓΓ = =

Ω

70. Α) ( )1f (x) x x s 1

4′ = ⋅ − + .

Αφού η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία 2y x= − +

έχουμε ότι 1 1

f (1) 1 x 1 (s 1) 1 x s x 4s4 4

′ = − ⇔ ⋅ − + = − ⇔ = ⇔ = (1). Συνεπώς:

s s s 1CV 25% 10%

x 4s 4s 4= = = = = > , άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Β) ( ) ( ) ( )2

222

2 22 2 2

2

1 1lim ( ) lim 1 1 2

8 8→ →

= − −

= − + − + =x s x s

xss s sf x xx s x x s s

Οπότε 2 2(1)

2 2 3 2

2

42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

2 2lim ( ) 2→

⋅− − = − − − = − ⇔ − − + == − ⇔ ⇔x s

xs s ss s s s s s sf x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 22s s 1 2 s 1 0 2 s 1 s 1 0 2 s 1 s 1 0 s 1 ή s 1⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = = − κι αφού s 0≥

είναι s 1= και από (1) x 4= .

Γ) 212

2( ) = −f x x x , οπότε

2 21 2

1 1 1 1

1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 2

2 2= = = =

+ + + = = − = −

∑ ∑ ∑ ∑ν ν ν ν

ν i i i i ii i i i

f x f x f x f x x x x x (2)

Είναι: i

i 1i i

i 1 i 1

xx x x x 4

ν

ν ν=

= =

= ⇔ = ν ⇔ = νν

∑∑ ∑ (3) και

- 113 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

( )

2 2

2 2

212 2 2 21 1 1

1

1 = = = =

=

= − ⇔ = − ⇔ = −

∑ ∑ ∑ ∑∑

ν ν ν ν

i i i iνi i i i

ii

x x x xs x s s x

ν ν ν ν ν

( ) ( )2 22 2 2 2i i

i 1 i 1

s x x x s xν ν

= =

⇔ ν = −ν ⇔ =ν + ν∑ ∑ ,

άρα ( )22 2i

i 1

x 1 4 17ν

=

=ν ⋅ + ν = ν∑ (4).

Από (2), (3) και (4) προκύπτει ότι 1 2

1 1( ) ( ) ... ( ) 17 2 4

2 2+ + + = − ⋅ =νf x f x f x ν ν ν .

Δ) Εύρος R 6 s 6⋅ =≃ .

Το διάστημα ( )2,5 αντιστοιχεί στο διάστημα ( )x 2s, x s− + όπου στην κανονική κατανομή έχουμε

ότι αντιστοιχεί το 95 68

68 % 81,5%2

− + =

των παρατηρήσεων.

71.Α) Στο δεύτερο τετράμηνο όλοι οι μαθητές του Γ1 αύξησαν τη βαθμολογία τους στο μάθημα

κατά 1 μονάδα, οπότε η νέα μέση τιμή θα είναι y x 1 12 1 13= + = + = και η τυπική απόκλιση

ys s 2= = .

Στο δεύτερο τετράμηνο όλοι οι μαθητές του Γ2 αύξησαν τη βαθμολογία τους στο μάθημα κατά

10% , άρα οι νέες τιμές θα είναι i i i i

10t x x 1,1 x

100= + = ⋅ ,για i 1, 2,...,= ν . Συνεπώς οι νέες τιμές θα

είναι t 1,1 x 1,1 12 13,2= ⋅ = ⋅ = η μέση τιμή και ts 1,1 s 1,1 2 2,2= = ⋅ = η τυπική απόκλιση.

Β) Κατά το δεύτερο τετράμηνο έχουμε ότι

- για το Γ1 ο συντελεστής μεταβολής είναι y

y

s 2CV

y 13= =

- για το Γ2 ο συντελεστής μεταβολής είναι tt

s 2,2 2CV

t 13,2 12= = =

συνεπώς αφού y t

2 2CV CV

13 12< ⇔ < , άρα η βαθμολογία του Γ1 στο μάθημα παρουσιάζει

μεγαλύτερη ομοιογένεια κατά το δεύτερο τετράμηνο.

Γ) Έχουμε ότι y 13= , ys 2= και 2i

i 1

y 4325ν

=

=∑ . Ξέρουμε ότι:

( )

2 2

2 2

212 2 2 21 1 1

1

1 = = = =

=

= − ⇔ = − ⇔ = −

∑ ∑ ∑ ∑∑

ν ν ν ν

i i i iνi i i i

y i y yi

y y y ys y s s y

ν ν ν ν ν

( )( ) ( )22 2 2 2

1

2 13 4325 173 4325 25=

+ ⋅ = ⇔ + ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =∑ν

y ii

s y ν y ν ν ν .

- 114 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Δ) Επειδή οι βαθμολογίες των μαθητών του Γ1 ακολουθούν κανονική περίπου κατανομή κατά το

πρώτο τετράμηνο με μέση τιμή 12x = και τυπική απόκλιση s 2= , βαθμό τουλάχιστον

14 x s= + έχει το 100 68

% 16%2

−= των μαθητών, δηλαδή

1625 4

100⋅ = μαθητές.

Ε) Είναι

25

i 25i 1

ii 1

yy 13 13 y 325

25=

=

= ⇔ = ⇔ =∑

∑ . Επειδή ο βαθμός ενός μαθητή από 15 είχε περαστεί

ως 11, η κανονική μέση τιμή θα είναι: 25

ii 1

1

y 11 15325 4 329

y 13,1625 25 25

=

− ++

= = = =∑

.

Έχουμε επίσης ότι 2i

i 1

y 4325ν

=

=∑ , άρα το σωστό άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών είναι

2 24325 11 15 4429− + = , οπότε η σωστή διακύμανση θα είναι : 1

22y

1 329s 4429 3,9744

25 25

= − =

.

72. Α. Είναι ( )f x 2 x 2′ = α − α .

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης (ε) της fC στο σημείο της ( )( )0, 0fΜ είναι

f (0) 2′λ = = − α , οπότε (ε): y 2 x= − α +β . Το σημείο ( )( ) ( )0, 0Μ ∈f ε , άρα

f (0) 2 0 1= α ⋅ +β ⇔ α + = β . Οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η (ε):

( )y 2 x 1, 0,= − α +α+ α∈ +∞ .

Β. 1) Από την εξίσωση της ευθείας (ε) για x 0= είναι y 1= α + και για y 0= είναι 1

x , 02

α += α >

α.

Συνεπώς η (ε) τέμνει τον x x′ στο σημείο 1

A ,02

α + α

και τον y y′ στο σημείο ( )B 0, 1α+ . Το

εμβαδό που σχηματίζει η (ε) με τους άξονες είναι:

( )1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 1 , 0 και 1 0 για 0

2 2 2 2 2 2

α + α + α + Ε = ΟΑ ⋅ ΟΒ = ⋅ α + = α + > α + > α > α α α Άρα

( ) ( )2

1( ) , µε 0,

4

α +Ε α = α∈ +∞

α.

2) Για κάθε ( )0,α∈ +∞ είναι:

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2( 1) 1 4 ( 1) 4 8 8 4 8 4 4 4 1( )

16 16 44

α + ⋅ ⋅ α − α + ⋅ α + α − α − α − α − α −′Ε α = = = =

α α αα, άρα

22 2

2

1( ) 0 0 1 0 1 1 ή 1( . αφού 0)

4

α −′Ε α = ⇔ = ⇔ α − = ⇔ α = ⇔ α = α = − απορ α >

α

- 115 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

α 0 1 +∞

( )E′ α

-

0

+

( )E α

ελ

Συνεπώς το εμβαδό μειώνεται για ( ]0,1α∈ και αυξάνεται για [ )1,α∈ +∞ .

3) το εμβαδό παίρνει την ελάχιστή τιμή του για 1α = και αυτή είναι ( )21 1 4

(1) 14 1 4

+Ε = = =

4) Για κάθε ( )0,α∈ +∞ είναι:

( )

( )

2 22 3 3

22 4 4 32

2 4 1 81 8 8 8 8 1( ) 0

4 16 16 24

′ α ⋅ α − α − ⋅ α α − α − α + α α′′Ε α = = = = = > α α α α α για κάθε

( )0,α∈ +∞ . Συνεπώς η (x)′Ε γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ , οπότε ο ρυθμός μεταβολής του

εμβαδού αυξάνετε συνεχώς.

Γ. Για τις τετμημένες 1 2 10x , x ,..., x των σημείων της (ε) έχουμε x 4= και 1

s2

= . Οι τεταγμένες των

αντίστοιχων σημείων θα είναι i iy 2 x 1, i 1,2,...,10= − α ⋅ + α + = , οπότε θα έχουν μέση τιμή

y 2 x 1 2 4 1 7 1= − α ⋅ + α + = − α ⋅ + α + = − α + και 2 0

y

1s 2 s 2

2

− α<

= − α = α ⋅ = α . Για

1

7α ≠ είναι:

yy

s 1CV 10% 10 7 1

y 7 1 7 1 10

α α= = = ⇒ = ⇒ α = − α +

− α + − α +

( )1 17 1 10 ή 7 1 10 ή απορ. αφού 0

17 3

−⇔ − α + = α − α + = − α ⇔ α = α = α >

- 116 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

73.A) 0 ( ) 1 2 ( ) 2 1 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 2 ( )P P P P P≤ Γ ≤ ⇔ − ≤ Γ − ≤ − ⇔ − ≤ Γ − ≤ − ⇒ Γ − = − Γ

0 ( ) 1 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1P P P P≤ Γ ≤ ⇔ ≤ Γ + ≤ ⇒ Γ + = Γ +

( ) 2 ( ) 1 2 9 2 ( ) ( ) 1 2 9

1 2 ( ) 2 9 2 ( ) 2 8 ( ) 4 ( ) 4

P P P P

P P P P

λ λ

λ λ λ λ

Γ − − Γ + = + ⇔ − Γ − Γ − = + ⇔

− Γ = + ⇔ − Γ = + ⇔ − Γ = + ⇔ Γ = − −

Όμως 0 ( ) 1 0 4 1 4 5 5 4P λ λ λ≤ Γ ≤ ⇒ ≤ − − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

Άρα η ελάχιστη τιμή του λ είναι -5 και η μέγιστη -4, οπότε 4, 5α β= − = − ,

Β)Η συνάρτηση γίνεται( 4)

( ) (2 5 3) ( ) 2 (2 3)2

xxe

f x x f x e x− −

= − + ⇒ = −

i) ( )'( ) 2 (2 3) ' 2 (2 3) 2 (2 3) '

2 (2 3) 2 2 2 (2 3) 4 2 (2 3 2) 2 (2 1)

x x x

x x x x x x

f x e x e x e x

e x e e x e e x e x

= − = − + − =

− + = − + = − + = −

1'( ) 0 2 (2 1) 0 2 1 0

2xf x e x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

1'( ) 0 ...

2f x x f> ⇔ ⇔ > ⇒ ր όταν

1,

2x

∈ +∞

1'( ) 0 ...

2f x x f< ⇔ ⇔ < ⇒ ց όταν

1,2

x ∈ −∞

Η f παρουσιάζει ελάχιστο όταν 1

2x = το

1( ) 42

f e= −

ii) 1

1

2x = τότε

1( )

2P A = ,

4 2( )

36

eP B

e

−= − =

iii) Υποθέτουμε ότι Α,Β είναι ασυμβίβαστα οπότε θα ισχύει ( ) 0A B P A B∩ =∅⇒ ∩ =

1 2 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,

2 3 3P A B P A P B P A B P A B άτοπο∪ = + ⇔ ∪ = + ⇔ ∪ = > .Άρα τα Α,Β δεν είναι

ασυμβίβαστα.

iv) ( )' ' ' ' ' ' 'A B A B A B B A B A− = ∩ = ∩ = ∩ = −

Ισχύει: 2 2

( ) ( ) ( ) ( ' ')3 3

B A B P B A P B P B A P A B− ⊆ ⇒ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤

- 117 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Έχουμε:

1 1 1( ' ') ( ) ( ) ( )

6 6 6P A B P B A P B P B A≤ − ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ∩ ⇔

1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 3 3 6 2P B A P B A P B A P B A P A≤ − ∩ ⇔ ∩ ≤ − ⇔ ∩ ≤ ⇔ ∩ ≤ που ισχύει άρα ισχύει

και η αρχική.

74.Α. i) 1 1

1 1( ) ( ) ...

3 6P fω ω= − = =

2 2

1 2( ) ( ) ...

3 3P fω ω= − = =

( ) ( )2 2

2 22 2 2

1 (2 ) 1'( ) 1 '

1 1 1

x x x x xf x

x x x

+ − − + = + = = + + +

( ) ( )( )

2

2 22 2

3 21 1 1 1 2

1 ( 1)( 1)

1 11 '( ) 1 1 1 ( 1) 1( ) lim lim lim lim

6 1 6 1 6 1 6 121x x x x

x x x

x xf x xP

x x x xω

→ → → →

− + − − +

+ + − += − = − = − = − =

− − − +

4 1 2 3

1 2 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1

6 3 12 12P P P Pω ω ω ω= − − − = − − − =

ii)

• 22 1 0

22 2

1'( ) 0 0 1 0 ... 1 1

( 1)f ή

ωωω ω ω ω

ω

+ >−≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ⇔ ≥ ≤ −

+

Άρα 3 4 1, , ω ωΑ = − και 3 4

1 1 1 1( ) ( 1) ( ) ( )

6 12 12 3P P P Pω ωΑ = − + + = + + =

• 2 1 0

2 2( ) 1 1 1 0 0

1 1f

ωω ωω ω

ω ω

+ >

> ⇔ + > ⇔ > ⇔ >+ +

,οπότε 3 4 , ω ωΒ =

3 4

1 1 1( ) ( ) ( )

12 12 6P P Pω ωΒ = + = + =

• 2 214 4 1 0

4x x x xω ω+ ≥ − ⇔ + + ≥ για κάθε x∈ℝ .

Πρέπει 20 1 0 .. 1 1ω ω∆ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ άρα 1,0Γ = −

- 118 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1 2 5( ) ( 1) (0)

6 3 6P P PΓ = − + = + =

• 1Α−Β = − οπότε 1

( ) ( 1)6

P PΑ−Β = − =

Β. 2

0 00 02 2

0

1'( ) 45 1 ... 0

( 1)

xf x x

xεϕ

−= ⇔ = ⇔ ⇔ =

+ άρα '(0) 1, (0) 1f f= = έχουμε:

ε: (0) '(0)( 0) .. 1y f f x y x− = − ⇔ ⇔ = +

Γ. 3 41,0, ,iω ω ω= −

• 1 1 1 1 1 1 0M yε ω∈ ⇔ = + = − + = • 2 2 2 1 0 1 1M yε ω∈ ⇔ = + = + =

• 3 3 3 1M yε ω∈ ⇔ = + • 4 4 4 1M yε ω∈ ⇔ = +

Όμως από υπόθεση 3 41 ω ω< < άρα 1 2 3 4y y y y< < <

4 1 4 45 ( 1) 0 .. 4yR y y ω ω= − ⇔ = + − ⇔ ⇔ =

• 3 30

2 2κω

ω ωδ

+= = • 3 31 1 2

2 2yκ

ω ωδ

+ + += =

Από υπόθεση 3 33

22 2 ... 2

2 2yκ κω

ω ωδ δ ω

+= ⇔ = ⇔ ⇔ =

75.i) Η δοθείσα σχέση από την ταυτότητα του Euler παίρνει την μορφή:

3 3 3

3

(2014 100 ) (40 1000) (60 1014) 0

3(2014 100 )(40 1000)(60 1014) 0

2014

1002014 100 0

100040 1000 0 25

40

60 10141014

60

ί

ήή

ήή

ί

ν ν ν

ν ν ν

ν απορρ πτεταιν

ν ν

νν απορρ πτεται

− + − + − = ⇔

− − − = ⇔ ±

= ∉− =

− = ⇔ = =

− = ∉

ℕ Άρα ( ) 25Ν Ω = .

ii) ( ) 12 ( ) 2

( ) , ( )( ) 25 ( ) 25

P PΝ Α Ν Β

Α = = Β = =Ν Ω Ν Ω

- 119 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

76)Δ1.Αν «ανοίξουμε» το κουτί, τότε διαπιστώνουμε ότι:

Περίμετρος Βάσης =20 οπότε 2 2 20 10 10 ,x z x z z x+ = ⇔ + = ⇔ = − 0 10x< <

1 2 3

2

2

( ) 2 2 ( ) 2(5 ) 2(5 )

( ) 2(5 ) 2 5(10 ) (10 ) ( ) 10 100 10 10

( ) 10 100,0 10

E x E E E E x x z xz

E x x x x x E x x x x x

E x x x x

= + + ⇔ = + + ⇔

= + ⋅ − + − ⇔ = + − + − ⇔

= − + + < <

( )2'( ) 10 100 ' 2 10

'( ) 0 2 10 0 5

E x x x x

E x x x

= − + + = − +

= ⇔ − + = ⇔ =

Το εμβαδό γίνεται ελάχιστο όταν 5x = .

Δ2.α) 1 1 1 8

0,810 10 8 10 10

s sCV s s

x> ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ >

22 5 2 0s s− + = , 2s = δεκτή ή 1

2s = απορρίπτεται. Οπότε 2s = .

- 120 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

β)

2 2

2 2

212 2 1 1 1

1

1 i i i i

i

t t t ts t x

ν ν ν ν

νι ι ι ι

ιν ν ν ν ν= = = =

=

= − = − = − ⇔

∑ ∑ ∑ ∑∑

2 2 2

22 2 21 1 12 8 68i i it t t

s x

ν ν ν

ι ι ι

ν ν ν= = == + ⇔ = + ⇔ =∑ ∑ ∑

Άρα η μέση τιμή των 2ix με 1,2,..,15i = είναι 68.

Δ3. [ ]( ) 5,9

1 2 15 1 2 155 ... 9 (5) ( ) ( ) ... ( ) (9)E x

x x x E E x E x E x E= < < < = ⇔ = > > < = ⇔ց

1 2 14...y y y> > >

(5) 125E = , (9) 109E =

1 15 125 109 16R y y= − = − =

2

21 2 14

4 9 1 ( ) 4 9 16 1 10 100 4 9 16 1

14 45 0 .... 5 9 , ,...,

i i i i i i i

i i i

y x R E x x x x x

x x x B A A A

> − + + ⇔ > − + ⋅ + ⇔ − + + > − + ⋅ + ⇔

− + − > ⇔ ⇔ < < =

( ) 13( )

( ) 15

N BP B

N= =

Ω

77)Δ1.i) Αν ΑΓ=x , τότε ΒΓ=100-x και

2 2 2 2 2( ) (100 ) 10000 200 2 200 10000 ,E x x x x x x x xΑΖ∆Γ ΒΓΗΘ= Ε +Ε = + − = + − + = − +

00 100

100 0

xx

x

>⇒ < <

− >

ii) ( )2'( ) 2 200 10000 ' 4 200E x x x x= − + = − , '( ) 0 4 200 0 50E x x x= ⇔ − = ⇔ =

Το εμβαδό γίνεται ελάχιστο για χ=50.

Δ2. 1 1 ( ) 5025

2 2 2

i ii i

x xx

xx

ν ν

νν= = ΑΓ

= ⇒ = = = = =∑ ∑

Δ3.

- 121 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

2 2

2 2

21 12 2 2 21 12

1

2 2

22 2 2 2 21 1 1

1

0,2 2 4,04 4,04

i ii i

i

i i i

x xx xs x s s x

x x Es x m E m

ν νν ν

νι ιι ι

ι

ν ν ν

ι ι ι

ν ν ν νν

ν ν ν

= == =

=

= = =

= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔

= + ⇔ = + ⇔ = ⇔ =

∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑

Δ4. Το i είναι πολλαπλάσιο του 3 ή του 4,με 1,2,..,25i = άρα 3i = ή 4i = ή 6i = ή 8i = ή 9i = ή 12i =

ή 15i = ή 16i = ή 18i = ή 20i = ή 21i = ή 24i =

3 4 6 8 9 12 15 16 18 20 21 24 , , , , , , , , , , , l l l l l l l l l l l lΛ = ,

( ) 12

( )( ) 25

NP

N

ΛΛ = =

Ω

78)α. 4

251 1 25F λ

λ= ⇔ = ⇔ = .Για λ=25 έχουμε:

β. 1 1 1

40,16, 0,16

25F f F= = = = , 2 2 2 1

110,44, 0.28

25F f F F= = = − =

3 3 3 2

180,72, 0.28

25F f F F= = = − = , 4 4 4 31, 0.28F f F F= = − =

Γ.

4

1 1 2 2 3 3 4 41

19 0,16 0,28( 5) 0,28( 10) 0,28( 35)

19 0,16 0,28 1,4 0,28 2,8 0,28 9,8

19 14 5

i ii

x x f x f x f x f x f

a a a a

a a a a

a a

=

= = + + + ⇔

= + + + + + + ⇔

= + + + + + + ⇔

= + ⇔ =

79)α)125

100% 100% 12,5%1000

AA

A

sCV

x= = =

90100% 100% 11,25%

800E

EE

sCV

x= = =

Οπότε έχουμε A ECV CV> , έτσι η ευρωπαϊκή εταιρεία έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια μισθών.

β) Οι τιμές στην εταιρεία Α αυξάνουν κατά 250 και είναι γνωστό από εφαρμογή του σχολικού

βιβλίου ότι :

' 250 1000 250 1250A Ax x= + = + =

' 125A As s= =

- 122 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Οι τιμές στην εταιρεία Ε αυξάνουν κατά 20% δηλαδή κάθε τιμή

πολλαπλασιάζεται επί 1,2.Απο εφαρμογή του σχολικού βιβλίου:

' 1,2 800 1,2 960E Ex x= ⋅ = ⋅ =

' 1,2 90 1,2 108E Es s= ⋅ = ⋅ =

γ) ' 125

' 100% 100% 10%1250'

AA

A

sCV

x= = =

' 108

' 100% 100% 11,25%960'

EE

E

sCV

x= = =

Έχουμε: ' 'A ECV CV< , άρα η αμερικανική εταιρεία έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια

μισθών μετά τις αυξήσεις .

80)α) 0 0 0 01 11 1 1360 50 360 5 50 10

72a

ν νν ν

ν= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

0 0 0 02 22 2 2360 30 360 5 30 6

72a

ν νν ν

ν= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

1 2 3 4ν ν ν ν ν+ + + = άρα 3 3 310 6 3 72 14ν ν ν+ + + = ⇔ = και 4 42ν =

β) 0 0 033

14360 360 70

72a

νν

= = =

0 0 044

42360 360 210

72a

νν

= = =

γ)

Όμως 4 1R x x= − και

4

1 1 2 3 410 6 14 42

72

i ii

x vx x x x

= + + += =∑

72 721

36 372 2 4 442 2 2

x xx x x x

xδ+

++ +

= = = = .Έχουμε:

- 123 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

1 2 3 44 1

4 1 1 2 3 4 4 2 3

4 4

10 6 14 4210 72 10( ) 72

7210 10 10 6 14 42 52 6 14

52 6( 7) 14 3 52 52

x x x xR x x x

x x x x x x x x x

x x δ

+ + ++ = − + =

− + + + + = + + =

+ − + ⋅ = =

81) Α.α. ( )3 3

3 2 3 3 33 3

8 8'( ) ( 4 ) ' 8 , 0,1

xf x x x x x

x x

νν ν ν− − −

= + = − = − = ∈

Όταν ( )0,1x∈ : 33 3

3 3 3 33 3

8 8 2 2'( ) 0 0 8 0

xf x x x x x

x

νν

ν νν− > ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ >

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα2

,1ν

ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

20,ν

Β. Η f παρουσιάζει ελάχιστο για 2

= την τιμή 3 2 2 2 2 22

2 2

42 2 4 4 1( ) 2 2 2 3

4 42f ν ν ν ν ν νν ν

ν νν

= + = + = + = + =

Οπότε για κάθε ( )0,1x∈ είναι : 22( ) ( ) ( ) 3f x f f x ν

ν≥ ⇔ ≥

Β. α. Ισχύει ( ) 0P A >

-Αν ( ) 1P A = τότε 3 22

4( ) 3

( )P A

P Aν ν+ = γίνεται 3 2 3 24 3 3 4 0 1 2ήν ν ν ν ν ν+ = ⇔ − + = ⇔ = − = Από τον

δειγματικό χώρο Ω προκύπτει ότι ν ∈ℕ άρα 2ν = και Ν(Α)=-22 ,άτοπο.

-Αν 0 ( ) 1P A< < τότε 3 2 22

4( ) 3 ( ( )) 3

( )P A f P A

P Aν ν ν+ = ⇔ =

• Αν 22 20 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 3

f

P A f P A f f P A νν ν

< < ⇔ > ⇔ >ց

, άτοπο.

• Αν 22 2( ) 1 ( ) ( ( )) ( ( )) 3

f

P A f f P A f P A νν ν< < ⇔ < ⇔ >

ր

, άτοπο.

- 124 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Άρα 2 22 ( ) 2( ) ( ) 2 9 8 2 9 10 0P A ν ν ν ν

ν ν νΝ Α

= ⇔ = ⇔ Ν Α = ⇔ − − = ⇔ − − = από οπου προκύπτει: 10ν =

ή 1ν = − απορρίπτεται (ν ∈ℕ )

Έτσι 2 1

( )10 5

P A = =

β. ( ' ) ( ') ( ) ( ' )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ = 1 ( ) ( ) ( )P A P B P B A− + − − =

1 1 291 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 ( ) ( ) 1

5 6 30P A P B P B P B A P A P B A= − + − − ∩ = − − ∩ = − − =

82)Α. Είναι 5 4 7 1 5 5 5

15 5

x xxx e x x e x

x e x+ + + − + − +

= = = − +

Έστω ( ) 1,xf x e x x= − + ∈ℝ

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με '( ) 1,xf x e x= − ∈ℝ

Έχουμε: 0'( ) 0 1 0 1 0x x xf x e e e e x≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Για x=0 η f παρουσιάζει ελάχιστο το (0) 2m f= =

Β. Για 2m = είναι 2 2( ) 2 3g x x xκ= − +

Η g είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με 2'( ) 4g x x κ= −

Η εφαπτομένη της Cg στο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον x’x όταν '(1) 0g =

24 0 2 2ήκ κ κ− = ⇔ = = − απορρίπτεται αφού κ ∈Ω .Άρα 2κ = .

Ε=1,3,4,5,6,7 οπότε ( ) 6

( )( ) 7

N EP E

N= =

Ω.

- 125 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Γ. Αφού Α ⊆ Β τότε Α∩Β = Α και ( ) ( )P PΑ∩Β = Α οπότε

3 23 2 ( ) ( )( ) 2008,

12 2

P A P Ah x x x x x

−= + + + ∈ℝ

Η h είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με 23 2 ( )'( ) ( ) 1

4

P Ah x x P A x

−= + + , x∈ℝ και

2 23 2 ( )( ) 4 1 ( ) 2 ( ) 3

4

P AP A P A P A

−∆ = − ⋅ = + − .Όμως A ≠ Ω διότι αν A = Ω και Β = Ω άτοπο καθώς

A ≠ Β .

( ) ( )2 20 ( ) 1 1 ( ) 1 2 1 ( ) 1 4 3 ( ) 1 4 0P A P A P A P A≤ < ⇔ ≤ + < ⇔ ≤ + < ⇔ − ≤ + − <

Άρα 0∆ < και η '( )h x παίρνει τιμές ομόσημες του 3 2 ( )

12

P A− για κάθε x∈ℝ .Εφόσον

3 2 ( )0

12

P A−> τότε '( ) 0h x > για κάθε x∈ℝ αρα και γ συνάρτηση h είναι γνησίως

αύξουσα στο ℝ .

- 126 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

83) α)Λ β)Σ γ)Σ δ)Λ ε)Λ

84)A)Έστω κ το πλήθος των κλάσεων.

Ισχύει40 40

45 5 (1 ) 40 1 1 (1)2 2

c cc c

c cκ κ κ κ+ + = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =

Η βάση του τριγώνου έχει μήκος 40

c.Το εμβαδό του τριγώνου είναι:

(1)1 45 5 1 40 150 100 50 100 ( 1)50 100 3

2 2 2E

c cκ κ

−= = ⇔ = ⇔ + = ⇔ =

Άρα 40 40

3 1 4 10cc c

= + ⇔ = ⇔ = .

Β) Επειδή f 1%=25 και από το πολύγωνο έχουμε f 2%=50.Άρα f 3%=25.

Γ) Έχουμε τον πίνακα:

Κλάσεις ix if

[ )10,20 15 0,25

[ )20,30 25 0,5

[ )30,40 35 0,25

Οπότε: 3

1

25i ii

x x f=

= =∑ και 3

2 2 2 2 2

1

15 0,25 25 95 35 0,25 25 50i ii

s x f x=

= − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − =∑

Άρα 50s = . 50 5 2 2 1

25 25 5 10

sCV

x= = = = >

Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Δ.

3 22 2

3 32 21 2 2

3 2 1 12 2

1

1

1 127000 675 40

i ii

i i i ii i

i ii

s x x

x x x f x

s x f x

νν

ν νν ν

=

= =

=

= −

⇒ − = − ⇔ = ⇔ = = −

∑∑ ∑

∑.

45

25

30 40 20 10 5

50

f i

%

- 127 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Ε.Έστω ότι όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν κατά μ μονάδες (μ>0) τότε:

Η νέα μέση τιμή y των παρατηρήσεων είναι : y x µ= +

Η νέα τυπική απόκλιση ys των παρατηρήσεων είναι : y xS S=

Το νέο δείγμα πρέπει να είναι ομοιογενές άρα

1 1 1 50 1

10 10 10 25 10

5 2 150 2 25 50 2 25

25 10

y xy

S SCV

y x µµ

µ µµ

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔++

≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤+

Οπότε οι παρατηρήσεις πρέπει να αυξηθούν κατά τουλάχιστον 50 2 25− μονάδες.

85)α)

6

1 0 0 1 2 4 52

6 6

ii

tx = + + + + += = =∑

και 3 4 3

2 2

t tδ

+= =

β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ με:

1 1 2 2 6 6

1 2 6 1 2 6

2

'( ) 2( )( ) ' 2( )( ) ' ... 2( )( ) '

'( ) 2( ) 2( ) ... 2( ) '( ) 2( .. 6 )

'( ) 2(6 6 ) '( ) 12( ) '( ) 12( ) '( ) 12( 2)x

f x t x t x t x t x t x t x

f x t x t x t x f x t t t x

f x x x f x x x f x x x f x x=

= − − + − − + + − − ⇔

= − − − − − − − ⇔ = − + + + − ⇔

= − − ⇔ = − − ⇔ = − ⇔ = −

Άρα '( ) 12( 2)f x x= −

Είναι '( ) 12( 2) 12(2 2) 0f x x= − = − =

Β.i) Είναι 6

2 2 2 21 2 6

1

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )ii

f x t x t x t x f x t x=

= − + − + + − ⇔ = −∑

Όμως 6

2 2 2 2

1

1 ( ) ( )( ) ( ) 6

6 6 6ii

f x f xs t x s f x s

=

= − = ⇔ = ⇔ =∑

i i)Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Α είναι :

2 2( ) '( )( ) 6 0 6y f x f x x x y s y s− = − ⇔ − = ⇔ =

Όμως:2 2 2 2 2 2

2 (0 2) (0 2) (1 2) (2 2) (4 2) (5 2) 23

6 6s

− + − + − + − + − + −= =

Οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση:

2 236 6 23

6y s y y= ⇔ = ⇔ = .

- 128 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

86)Α) Από την εφαρμογή 2 του σχολικού βιβλίου, σελ 98

Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για

1 2 3 4 1 2 3 46 10 7 7 6 10 7 7

6 10 7 7 30

x x x x x x x xx x

+ + + + + += ⇔ =

+ + + ( )

1 2 3 41 2 3 4

1 1 1 1 1

6 10 7 77 6 10 7 7 210

306 10 7( 2 ) 7( 3 ) 210 30 45 210

x x x xx x x x

x x c x c x c x c

+ + += ⇔ + + + = ⇔

+ + + + + + = ⇔ + =

Όπου c το πλάτος των κλάσεων. Λύνουμε ως προς 1x

1 1

32 3 14 7

2x c x c+ = ⇔ = −

Ισχύει

2 2 2 21 1 1 1(7) 134 6( 7) 10( 7) 7( 2 7) 7( 3 7) 134f x x c x c x c= ⇔ − + + − + + − + + − = ⇔

13

72

2 2 2 23 3 3 36(7 7) 10(7 7) 7(7 2 7) 7(7 3 7) 134

2 2 2 2

x c

c c c c c c c= −

⇔ − − + − + − + − + − + − + − = ⇔

2 2 2 23 3 3 36( ) 10( ) 7( 2 ) 7( 3 ) 134

2 2 2 2c c c c c c c⇔ − + − + + − + + − + = ⇔

- 129 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

2 2 2 29 1 1 36 10 7 7 134

4 2 2 2c c c c⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇔ 2 2 2 29 1 1 9

6 10 7 7 1344 4 4 4

c c c c⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇔

2 2 2 2 2 254 10 7 63 134134 134 4 2

4 4 4 4 4c c c c c c c+ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Άρα 1 12 3 2 14 4x x+ ⋅ = ⇔ =

Κλάσεις ix iν i ixν 2ix 2

i ix ν

[ )3,5 4 6 24 16 96

[ )5,7 6 10 60 36 360

[ )7,9 8 7 56 64 448

[ )9,11 10 7 70 100 700

ν=30 210 1604

β)

4

1 2107

30 30

i ii

xx

ν== = =∑

, 2

2 1 2101604 .. 4,46 2,11

30 30s s

= − = = ⇔ =

2,110,3

7

sCV

x= = ≈

γ) Οι παρατηρήσεις στις κλάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα άρα θα βραβευτούν

1 32

v= μαθητές.

87)i) Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

3 22( ) '

3 2

x axf ΄ x x x axβ γ β

= + + + = + +

. Τότε

( )2

1

1 1lim

3 3x

ax ax

ββ

+ ++ + = ∈ℤ

Κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα διπλής εισόδου

- 130 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

α β 1 2 3 4

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)

Ω=(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) ,Ν(Ω)=16

Α=(1,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,4) ,N(B)=6

Έτσι ( ) 6

( )( ) 16

NP

N

ΑΑ = =

Ω

ii)3 2

2( ) '3 2

x axf ΄ x x x axβ γ β

= + + + = + +

Για να μην έχει ακρότατο η συνάρτηση f αρκεί η διακρίνουσα της f’ να είναι 2 20 4 0 4α β α β∆ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

Για την εύρεση του ενδεχομένου Α δημιουργούμε τον πίνακα:

α2 4β 4 8 12 16

1 (1,4) (1,8) (1,12) (1,16)

4 (4,4) (4,8) (4,12) (4,16)

9 (9,4) (9,8) (9,12) (9,16)

16 (16,4) (16,8) (16,12) (16,16)

Ω=(1,4), (1,8), (1,12), (1,16), (4,4), (4,8), (4,12), (4,16), (9,4), (9,8), (9,12), (9,16), (16,4), (16,8), (16,12),

(16,16) ,Ν(Ω)=16

Β=(1,4), (1,8), (1,12), (1,16), (4,4), (4,8), (4,12), (4,16), (9,12), (9,16),(16,16) ,Ν(Α)=11

Έτσι ( ) 11

( )( ) 16

N BP

NΒ = =

Ω.

- 131 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

88)Α)Η f παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, άρα έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 4 1 21 2 4 1 2 2 10

''( ) '

x ΄x x x x x xx x x xf΄ x

x x x x x

− − − − − − − − − + − −= = = = = <

Άρα

η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )0,+∞ ενώ δεν έχει ακρότατα.

Β) 1

2( )f =1

Γ) 3 3 3 31 1 1 14 1 4 4

2 2 8 2( ) ( ) ( )

f

f x f x f x x x< ⇔ < ⇔ > ⇔ > ⇔ >ց

.

Δ)

22 3

2 3 2

2 2

1 1

2 3

2

1

2 12 2

2 21 1

1 1

2 1 2 21

1

x x

x

xx x

x f x x xx xax x

x x

xx

→ →

− −+ ++ +

− −= = =

− −

− − + +−

=−

'( )

lim lim

lim

2 3 2 3

0 02 2

1 1

2 3 2 3

2 2

1 2 3

2

2 1 2 2 1 21 1

1 1

2 1 2 2 1 21 1

2 1 21 1

x x

x

x x x x

x xx x

x x x x

x x

x xx

x

→ →

− + + − + +− −

= =− −

− + + − + +− +

− + +− +

/

lim lim

( )( )lim

( )( )

2 3 2 3

2 2

1 12 3 2 3

2 2

2 3 2

2

1 2 3

2

2 1 2 2 1 21 1

2 1 2 2 1 21 1 1 1

2 1 2

2 1 21 1

x x

x

x x x x

x x

x x x xx x

x x

x x x

x

x xx

x

→ →

− + + − + +− −

= = =− + + − + +

− + − +

− + + −

=− + +

− +

lim lim

( )( ) ( )( )

lim

( )( )

- 132 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

2 3

3 22

1 12 3 2 32

2 2

3 2

1 2 32

2

1

3 1 22 3 1

2 1 2 2 1 21 1 1 1

2 3 1

2 1 21 1

1

x x

Horner

x

x

x xx xx

x x x xx x x

x x

x x

x xx x

x

x

σχηµα

→ →

− + +− +

= =− + + − + +

− + − +

− +=

− + +− +

−=

lim lim

( )( ) ( )( )

lim

( )( )

( )lim

2

2

2 1

1

x x

x x

− −

( )

( )

2

2 3 2 32

2 2

2 1 1 10

2 1 2 2 1 1 2 11 1 1

1

x x

x

⋅ − −= =

− + + − ⋅ + + ⋅+ +

( )

( ) ( )

Ε) 2( ) '( )xf x x f x x− =21 2x

x

− 2x−2

2

2 1x

x

− − 2 21 2 2 1 2( )x x= − − − − = .

89)Α)i)Αρκεί να δείξουμε ότι: (1) 1f = . Πραγματικά 2015

(1) 1 1 1 1f = − − =

ii) Ισχύει 2015 2015 2015

1 0 1 0 1 0 1 1 1 ( ) (1)x x x x f x f− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤

άρα η f παρουσιάζει στο σημείο 1x = ολικό μέγιστο το (1) 1f = .

Β) ( ) (1) ( ) 1 6 ( ) 6 2020 6 ( ) 2020 6 ( ) 2014f x f f x f x f x g x≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ ⇒

( ) (1)g x g≥ άρα η g παρουσιάζει στο σημείο x=1 ολικό ελάχιστο το (1) 2014g = .

Γ) Από το ερώτημα Β προκύπτει λ=1.Χρησιμοποιουμε τον τύπο του σταθμικού μέσου

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

2 2 4 6 6 4 24

2 6 4

x w x w x w x w a a ax

w w w w a a

+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= ⇒ = ⇔

+ + + + + +

22

2 2 2

2 4 484 12 40 2 4 48

3 10

2 8 8 0 2( 4 4) 0 2( 2) 0 2

a aa a a

a

a a a a a a

+ += ⇔ + = + + ⇔

+− + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

Δ)i) Για λ=1 και α=2 έχουμε:

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 1010

1f f f f f f f f

+ + += = = = = =

+ + +

Άρα 1 2 3 4

1 2 3 4, , ,

10 10 10 10f f f f= = = =

Συνεπώς: 4

1 1 2 2 3 3 4 41

1 2 3 41 2 3 4 3

10 10 10 10i ii

x x f x f x f x f x f=

= = + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑

- 133 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 22

1

1 2 3 41 3 2 3 3 3 4 3

10 10 10 10i ii

s x x f=

= − = − + − + − + − =∑4 2 4 10

110 10 10 10

+ + = =

iii)Είναι: 4

1 2 3 41

3 1 2 3 4 3 120 40i ii

x xν ν ν ν ν ν ν ν ν=

= ⇔ = + + + ⇔ = ⇔ =∑

Άρα: 1 1

140 4

10fν ν= = =

2 2

240 8

10fν ν= = =

3 3

340 12

10fν ν= = =

4 4

440 16

10fν ν= = =

90)Α) i) 3 2 3 2( ) 4 6 ( ) 3 ( ') 2018 4 6 ( ) 3(1 ( )) 2018f x x P A x P A x x P A x P A x= − − + = − − − + =

3 2 3 24 6 ( ) 3 3 ( ) 2018 4 6 ( ) 3 ( ) 2015x P A x P A x x P A x P A x= − − + + = − + + .Τελικά:

3 2( ) 4 6 ( ) 3 ( ) 2015f x x P A x P A x= − + + .

Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της f: 2'( ) 12 12 ( ) 3 ( )f x x P A x P A= − + ,

( ) ( ) ( )2 212 ( ) 4 12 3 ( ) 144 ( ) 144 ( ) 144 ( ) ( ) 1 0P A P A P A P A P A P A∆ = − − ⋅ ⋅ = − = − <

( 0 ( ) 1 1 ( ) 1 0P A P A< < ⇔ − < − < )

Έτσι , '( )f x είναι ομόσημο του 12 0α = > για κάθε x∈ℝ άρα '( ) 0f x f> ⇒ ր για κάθε x∈ℝ . Οπότε

η f δεν έχει ακρότατα.

ii) 0 ( ) 1 (0) ( ( )) (1) 2015 ( ( )) 2019 3 ( )f

P A f f P A f f P A P A< < ⇒ < < ⇔ < < −ր

Β)i)Η ζητούμενη εφαπτομένη με σημείο επαφής Μ(0,f(0)) ή Μ(0,2015) έχει εξίσωση : y xλ β= + με

'(0) 3 ( )y f P Aλ= = = άρα ε: 3 ( )y P A x β= + . Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο επαφής Μ άρα οι

συντεταγμένες του ,την επαληθεύουν κατά συνέπεια 2015 3 ( ) 0 2015P A β β= ⋅ + ⇔ = .Τελικά, η

ζητούμενη εφαπτομένη είναι: ε: 3 ( ) 2015y P A x= + .

ii) Για x=0 ,θα βρούμε το σημείο τομής Γ της (ε) με τον άξονα y’y

3 ( ) 0 2015 2015y P A= ⋅ + = έτσι Γ(0,2015)

- 134 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

Για y=0 ,θα βρούμε το σημείο τομής Β της (ε) με τον άξονα x’x

2015

0 3 ( ) 20153 ( )

P A x xP A

= ⋅ + ⇔ = − έτσι 2015

,03 ( )

BP A

Το ζητούμενο εμβαδό είναι:

21 1 2015 2015

( )( ) 20152 2 3 ( ) 6 ( )

E OB OAP A P A

= = − =

iii) 2 2

22015 2015 12015 ( )

6 ( ) 6 ( ) 6E P A

P A P A= ⇔ = ⇔ =

Γ) Για 1

( )6

P A = η εξίσωση της εφαπτομένη παίρνει την μορφή: 1 1

3 2015 20156 2

y x y x= + ⇔ = +

Για 1,2,..., 20i = ισχύει: 1

2015 2 4030 2 40302i i i i i iy x y x x y= + ⇔ = + ⇔ = − .

Από την εφαρμογή του σχολικού βιβλίου προκύπτει:

2 4030 2 2000 4030 30

2 2 200 400x y

x y

S S

= − = ⋅ − =

= = ⋅ =

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

1 12 2 2 12

1

2

2 2 22 2 2 2 21

22 2 2

1

400 30 160900

i ii

i

i

x xxs x s

xs x s x x x s x

x x

ν νν

νι ιι

ι

ν

ι

ν ν ν ν

ν

= ==

=

=

= − ⇔ = − ⇔

⇔ = − ⇔ = − ⇔ = + ⇒

= + ⇔ =

∑ ∑∑∑

Γ(0,2015)

2015,0

3 ( )B

P A

Ο

- 135 – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ hhttttpp::////mmaatthhhhmmaaggiicc..bbllooggssppoott..ccoomm//

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ΧΧΑΑ∆∆ΟΟΣΣ-- ΓΓΕΕΡΡΜΜΑΑΝΝΟΟΣΣ --∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ --ΜΜΗΗΤΤΑΑΛΛΑΑΣΣ––ΠΠΑΑΤΤΣΣΗΗΣΣ ΟΟιι λλύύσσεειιςς σσεελλ 4499

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

• Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής.Αδαμόπουλος ,Δαμιανου,Σβερκος

• Στατιστική, Α.Καραγεωργος

•Πιθανότητες, Θ. Καζαντζης

•Πιθανότητες, Γεωργακακης

•Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας, Τζουβαρας –Τζιρωνης, εκδόσεις Σαββάλας

•Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας , Μαυριδης, εκδόσεις Μαυρίδη

•Μαθηματικά Γ Λυκείου Γενικής παιδείας , Μάμαλης,Μιχαήλογλου,Τόλης, εκδόσεις Λιβάνη

•Κριτήρια αξιολόγησης ,Ζανταριδης –Γκατζουλης,εκδοσεις Γκατζουλης

•Κριτήρια αξιολόγησης, Χαλιδης –Μουταφιδης, εκδόσεις Όλυμπος

• Επαναληπτικά θέματα,Λεων Παπαδοπουλος

• Επαναληπτικά θέματα, Μ.Τουμάσης-Γ.Τσαπακίδης

•Το 4ο θεμα , Γ.Μπαιλακης

•M.Spigel, Πιθανοτητες και Στατιστικη

•Μαθηματικα Γ λυκειου Γενικης παιδειας ,Στεργιου,Νακης

•Κ.Ε.Ε

•ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

•Μαθηματικό βήμα

•Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ

•Μαθηματική κοινότητα Mathematica (http://www.mathematica.gr)

•Θέματα Bacalaureat

•Θέματα S.A.T

•Τράπεζα θεμάτων Σ.Ο.Κ.Ο.Ν