Post on 17-Dec-2015
MatematicasAvanzadas
paraIngeniera:
Transformadade Fourier
Departamentode
Matematicas
F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Matematicas Avanzadas para Ingeniera:Transformada de Fourier
Departamento de Matematicas
MA3002
MatematicasAvanzadas
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Transformadade Fourier
Departamentode
Matematicas
F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Transformada de FourierDada una funcion f (x) una funcion, no necesariamenteperiodica, tal que
|f (x)| dx
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Codigo en la TI para la transformada deFourier
No olvide asignar adecuadamente la variable asumes antes deejecutar este programa. Puede inicializarla haciendo:true asumes
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 1Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:
P (x) = f (x) =
0 para < x < 121 para 12 < x < 120 para 12 < x <
/2 /2
1
F {f (x)} = f (x) e i x dx=
/2/2 e
i x dx = 1 i[e i x
]x=/2x=/2
= 1 i[e i /2 e i /2]
= 1 i [(cos( /2) sen( /2) i)(cos( /2) + sen( /2) i)]
= 2sen( 12 )
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 1Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:
P (x) = f (x) =
0 para < x < 121 para 12 < x < 120 para 12 < x <
/2 /2
1
F {f (x)} = f (x) e i x dx=
/2/2 e
i x dx = 1 i[e i x
]x=/2x=/2
= 1 i[e i /2 e i /2]
= 1 i [(cos( /2) sen( /2) i)(cos( /2) + sen( /2) i)]
= 2sen( 12 )
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Solucion del ejemplo 1 en la TI
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Tabla
f (x) f ()
P (x) 2sen( 12 )
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Propiedad de LinealidadSi f (x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entoncestambien c1 f (x) + c2 g(x) la admite y
F {c1 f (x) + c2 g(x)} = c1F {f (x)}+ c2F {g(x)}
F1{c1 f () + c2 g()
}= c1 f (x) + c2 g(x)
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Tabla
f (x) f ()
P (x) 2sen( 12 )
12 P2 a(x)
sen(a)
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 2Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:
f (x) =
0 para < x < 12b para 12 < x < 120 para 12 < x <
F {f (x)} = F {b P (x)}= bF {P (x)}= b 2
sen( 12 )
= 2 bsen( 12 )
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 2Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:
f (x) =
0 para < x < 12b para 12 < x < 120 para 12 < x <
F {f (x)} = F {b P (x)}= bF {P (x)}= b 2
sen( 12 )
= 2 bsen( 12 )
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
(x) = lim0
1
P (x)
2 21/4
1 11/2
1/2 1/2
1
1/4 1/4
2
1/8 1/8
4
F {(x)} = lim0F{
1 P (x)
}= lim0
(1 2
sen( 12 )
)= lim0
sen( 12 )12
= 1
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Solucion del ejemplo 3 en la TI
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Tabla
f (x) f ()
P (x) 2sen( 12 )
12 P2 a(x)
sen(a)
(x) 1
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 4Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) ea x :
f (x)
f () =
0
ea x e x i dx
=
0
e(a+ i) x dx
= limN
( 1a + i
[e(a+ i) x
]x=Nx=0
)= 1
a + ilim
N
(e(a+ i)N 1
)= 1
a + ilim
N
(eaN (cos(N) sen(N) i) 1
)= 1a+ i =
aa2+2
a2+2
i
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 4Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) ea x :
f (x)
f () =
0
ea x e x i dx
=
0
e(a+ i) x dx
= limN
( 1a + i
[e(a+ i) x
]x=Nx=0
)= 1
a + ilim
N
(e(a+ i)N 1
)= 1
a + ilim
N
(eaN (cos(N) sen(N) i) 1
)= 1a+ i =
aa2+2
a2+2
i
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Solucion del ejemplo 4 en la TI
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Tabla
f (x) f ()
P (x) 2sen( 12 )
12 P2 a(x)
sen(a)
(x) 1
u(x) ea x 1a+ i =a
a2+2
a2+2i
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 5Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = ea |x |:
f (x)
f (x)
F () = f () =2 a
a2 + 2
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 5Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = ea |x |:
f (x)
f (x)
F () = f () =2 a
a2 + 2
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Solucion del ejemplo 5 en la TI
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Tabla
f (x) f ()
P (x) 2sen( 12 )
12 P2 a(x)
sen(a)
(x) 1u(x) ea x 1a+ i =
aa2+2 a2+2 i
ea |x| 2 aa2+2
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Traslacion en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier xo tambien f (x xo) la admite y
F {f (x xo)} = ei xoF {f (x)} = ei xo f ()
F1{ei xo f ()
}= f (x xo)
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 6Calcule la transformada de Fourier de g(x):
g(x) =
{0 para t < 3 y t > 76 para 3 x < 7
3 7
6
5
4
Observamos que g(x) = 6P4(x 5), y por tanto
g() = F {6P4(x 5)} = 6 ei 5F {P4(x)}=
(6 ei 5
) (2
sen( 124)
)= 12 e5 i sen(2)
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 6Calcule la transformada de Fourier de g(x):
g(x) =
{0 para t < 3 y t > 76 para 3 x < 7
3 7
6
5
4
Observamos que g(x) = 6P4(x 5), y por tanto
g() = F {6P4(x 5)} = 6 ei 5F {P4(x)}=
(6 ei 5
) (2
sen( 124)
)= 12 e5 i sen(2)
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 7Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):
G () =e2 i
5 + i
F1 {G ()} = F1{
e2 i
5+i
}= F1
{ei (2) 15+i
}= F1
{1
5+i
}x=x(2)
=[u(x) e5 x
]x=x+2
= u(x + 2) e5 (x+2)
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 7Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):
G () =e2 i
5 + i
F1 {G ()} = F1{
e2 i
5+i
}= F1
{ei (2) 15+i
}= F1
{1
5+i
}x=x(2)
=[u(x) e5 x
]x=x+2
= u(x + 2) e5 (x+2)
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Matematicas
F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Escalamiento en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier a 6= 0 tambien f (a x) la admite y
F {f (a x)} = 1|a| F {f (x)}=/a =1
|a| f(a
)
F1{f(a
)}= |a| f (a x)
Otra propiedad: Simetra
F{f (x)
}= 2pi f ()
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 8Calcule las transformadas de Fourier de:
f (x) =
{1 |x | para 1 x 10 otro caso
g(x) =
{1 |7 x | para 1/7 x 1/70 otro caso
1 11/7 1/7
1
De la definicion de la transformada de Fourier:
f () = 22cos()2
g() =1414cos( 17 )
2
observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg() = 17 f (
17 ).
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Ejemplo 8Calcule las transformadas de Fourier de:
f (x) =
{1 |x | para 1 x 10 otro caso
g(x) =
{1 |7 x | para 1/7 x 1/70 otro caso
1 11/7 1/7
1
De la definicion de la transformada de Fourier:
f () = 22cos()2
g() =1414cos( 17 )
2
observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg() = 17 f (
17 ).
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Traslacion en frecuenciaSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier o tambien e
io x f (x) la admite y
F{e io x f (x)
}= F {f (x)}=o = f ( o)
Su version la la transformada de Fourier inversa queda:
F1{f ( o)
}= e io x f (x)
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F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Diferenciacion respecto a la primera variableSea n un entero positivo. Suponga que
f (n1)(x) es continua; f (n)(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito f (x) es absolutamente convergente en (,+); y que
limx f
(k)(x) = 0 = limx+ f
(k)(x)
para k = 0, 1, . . . , n 1. Entoncesentonces
F{f (n)(x)
}= (i)n f ()
MatematicasAvanzadas
paraIngeniera:
Transformadade Fourier
Departamentode
Matematicas
F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad
Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
EjemploResuelva la ecuacion diferencial
y (x) a y(x) = u(x) eb x
suponga que a y b con reales positivos (a 6= b).Tomando la transformada de Fourier en ambos tenemos:
F {y (x) a y(x)} = F {u(x) eb x}F {y (x)} aF {y(x)} = F {u(x) eb x}
i f () a f () = 1b+ iDespejando y():
f () =1
(a + i) (b + i) =A
a + i +B
b + i
donde
A =1
b + (a i) i =1
b + ay B =
1
a + (b i) i = 1
a + b
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
De
f () =1
(b + a) 1
(a + b i) 1
(a + b)
1
(b + i)
deducimos que
f (x) = F1{f ()
}=
1
(b + a)u(x) ea x 1
(a + b)u(x) eb x
Ejercicio: trate el caso a = b.
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSea n un entero positivo. Suponga que
f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito xn f (x) es absolutamente convergente en (,+);
entonces
F {xn f (x)} = in dn
dnf ()
Esta es una consecuencia de la Regla de Leibniz para ladiferenciacion bajo la integral:
d
d
f (x , ) dx =
(
f (x , )
)dx
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
EjemploCalcule
F{x u(x) ea x
}F{x2 ea |x |
}suponga que a es real positivo.
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSuponga que
f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito f (x) es absolutamente convergente en (,+); f ( = 0) = 0
entonces
F
{ x
f (y) dy
}=
1
if ()
Recuerde que si
g(x) =
x
f (y) dy
entonces g (x) = f (x). Tambien observe que
limx g(x) = 0 = limx g(x)
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F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
ConvolucionSean f (x) y g(x) funciones definidas en la recta real quecumplen:
1
ba
f (x) dx y
ba
g(x) dx existen para todo intervalo [a, b].
2 Para todo x |f (y) g(x y)| dy
converge.
En este caso la convolucion f g de f (x) con g(x) se definecomo la funcion
(f g)(x) =
f (y) g(x y) dy
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F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
EjemplosObservando que para senales f (x) y g(x) que son cero parax < 0:
(f g)(x) =
f (y) g(x y) dy = x0
f (y) g(x y) dx
Realice algunas convoluciones de la liga del MIT:
http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/
Para senales que en el par no son cero calcule
ea |x | u(x)ea |x | eb |x |ea |x | sen(b x)
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F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Convolucion en el tiempoSean f (x) y g(x) funciones que admiten transformada deFourier y sean f () y g() sus transformadas de Fourier.Entonces
F {(f g)(x)} = f () g()Es decir, la transformada de la convolucion entre dos funcioneses el producto de las transformadas de ambas funciones. Estaformula en su version para la transformada inversa queda:
F1{f () g()
}= (f g)(x)
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Ejemplo 2
F {(x)}Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion
Derivacion x
Derivacion
Calcule:
F1{
1
(4 + 2) (9 + 2)
}
F{f(x)}TI:F{f(x)}F{P(x)}LinealidadEjemplo 2F{(x)}Ejemplo 4Ejemplo 5Traslacin xEjemplo 6EscalamientoEjemplo 8Traslacin Derivacin xDerivacin