Post on 04-Jan-2016
description
TRANSFORMADA DE FOURIER (FT)
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Transformada de Fourier
Série de Fourier Análise espectral de sinais periódicos Conteúdo espectral
Freqüências múltiplas de kω (ou 2πkf)
Como analisar conteúdo espectral para sinais aperiódicos?
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise desejada
Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise atual
Avaliação de sistema usando sinais periódicos
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Aproximação viável
Criar sinal periódico a partir de trecho a periódico
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Qual o efeito da aproximação nas séries de
Fourier?)t(
w
trect)t(x
0T
)t(
w
trect)t(x )T5( 0
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)
2
ksinc
2
1]k[X
10
ksinc
10
1]k[X
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise de pulso retangular (w=1)
corrigida
2
ksinc
2
12]k[XT0
10
ksinc
10
1)25(]k[X)T5( 0
Transformada de Fourier
Série de Fourier “no limite” Análise do pulso retangular
T0 f0
Maior resolução da SF “Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF
Manutenção da “área” da envoltória da SF
Análise do pulso retangular corrigida T0 f0
Maior resolução da SF Envoltória da SF inalterada
Note: abscissa passou de k para (kf0)
Transformada de Fourier
Definição Pares de transformadas para freqüência
em radiano
ou
de)j(X2
1)j(XFT)t(x
dte)t(x)t(xFT)j(X
tj1
tj
)j(X)t(x FT
Transformada de Fourier
Definição Pares de transformadas para freqüência
em Hz
ou
dfe)f2j(X)f2j(XFT)t(x
dte)t(x)t(xFT)f2j(X
ft2j1
ft2j
)f2j(X)t(x FT
Transformada de Fourier
Definição Ortogonalidade de e-jΩt
Projeções de x(t) no espaço e+jΩt X(jΩ) Projeções de X(jΩ) no espaço e-jΩt x(t)
)(2dte
)t(2de
tj
tj
Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento
temporal Sinal pulso unitário x(t) = rect(t) X(jΩ) = ?
Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento
temporal Sinal pulso unitário
Ω= 2πF=1
Transformada de Fourier
Análise de alguns resultados Efeito de amplificação e deslocamento
temporal Sinal pulso unitário
Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Situações de falha de convergência da
integração Exemplos:
x(t) = A x(t) = u(t) x(t) = sen(2πf0t) ou x(t) = cos(2πf0t) x(t) = sgn(t)
Uso de fator de convergência e-σ|t|, σ zero
Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Uso de fator de convergência
e-σ|t|, σ zero
j
1)()t(u)t(x
j
2)tsgn()t(x
)()(j)j(X)t(sen)t(x
)()()j(X)tcos()t(x
)(2)j(X1)t(x
FT
FT
00FT
0
00FT
0
FT
Transformada de Fourier
Transformada Generalizada Existe freqüência negativa? Explique cos(Ω0t) 0.5 {δ(Ω + Ω0) + δ(Ω -
Ω0)}
Transformada de Fourier
Computação numérica No Matlab/Octave/Scilab
X(jkΩ) = Ta fftshift(fft(x[n], NFFT)) onde x[n] = x(nTa) x[n] é amostragem de x(t) Ta = (1/fa) = período de amostragem de x[n]
Corresponde ao valor da FT na freqüência kΩ -NFFT/(2Ta) ≤ f k ≤ +NFFT/(2Ta)
Em coordenadas discretas: 1 ≤ k ≤ NFFT
Transformada de Fourier
Propriedades Linearidade
)j(bY)j(aX)j(Z)t(by)t(ax)t(z
)j(Y)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
FT
Transformada de Fourier
Propriedades Deslocamento tempo
Deslocamento em freqüência
0tjFT0
FT
e)j(X)j(Y)tt(x)t(y
)j(X)t(x
))(j(X)j(Ye)t(x)t(y
)j(X)t(x
0FTtj
FT
0
Transformada de Fourier
Propriedades Deslocamento no tempo
Alteração linear da fase de todas as componentes espectrais do sinal
Deslocamento em freqüência Usada em modulação para sistemas de
comunicação Rádio AM
Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo
Escala em freqüência
)ajX(a1)j(Y)at(x)t(y
)j(X)t(xFT
FT
))a(j(X)j(Y)atx(a1)t(y
)j(X)t(xFT
FT
Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo e em freqüência
Compressão em um domínio gera expansão no outro
Transformada de Fourier
Propriedades Escala no tempo e em freqüência
Princípio de incerteza Conceito de localidade de energia
Transformada de Fourier
Propriedades Conjugado
Qual o efeito para x(t) ∈ R?
)j(X)j(Y)t(x)t(y
)j(X)t(xFT
FT
Transformada de Fourier
Propriedades Conjugado
Exemplos
Transformada de Fourier
Propriedades Modulação
Convolução
)j(X)j(Y)j(Z)t(y)t(x)t(z
)j(Y)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
FT
)j(X)j(Y)j(Z)t(y)t(x)t(z FT
Transformada de Fourier
Propriedades Modulação e Convolução
Dualidade Sistemas
Convolução no tempo resposta ao impulso Modulação em freqüência resposta em
freqüência
Transformada de Fourier
Propriedades Diferenciação
Integração
)f2j()0(X2
1
f2j
)f2j(X)f2j(Y
)()0(Xj
)j(X)j(Y
d)(x)t(y FTt
)j(Xj)j(Ydt
)t(dx)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
Transformada de Fourier
Propriedades Integração
Como conseqüência da definição da FT
df)f2j(X2
1
d)j(X)0(x
dt)t(x)0(X
Transformada de Fourier
Propriedades Dualidade
Útil em cálculos
)(x2)j(Y)jt(X)t(y
)(x2)j(Y)jt(X)t(y
)j(X)t(x
FT
FT
FT
Transformada de Fourier
Propriedades Dualidade
)2sinc()t(rect FT )2(rect)tsinc( FT
Transformada de Fourier
Propriedades Sinais periódicos
Naturalmente não são absolutamente integráveis
São decompostos em séries de Fourier
k
t)f2k(j
k
t)k(j aa e]k[Xe]k[X)t(x
ka
FS
ka
FS
)kffδ(]k[X)f2j(X)t(x
)kδ(]k[X2)j(X)t(x
Transformada de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval
Lembre-se: energia total de x(t) pode ser calculada em qualquer domínio
d)j(X2
1
df)f(Xdt)t(x
2
22
)j(X)t(x FT
Transformada de Fourier
Propriedades Teorema de Parseval
Densidade espectral de energia/potência Densidade de energia/potência espectral Power Spectral Density (PSD)
|X(f)|2 ou |X(jΩ)|2