Post on 07-Jan-2020
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 1
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN
• Concepto de Aproximación
• Función Característica
• Comportamientos de la Aproximación
• Transformada de Darlignton
• Aproximación de Butterworth PB
• Aproximación de Chebychev PB
• Aprox. de Chebychev Inverso PB
• Aproximación de Cauer PB
• Análisis Comparativo
• Transformación de Frecuencias
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 2
Aproximación
• Función Realizable
• Especificaciones de Tolerancia
• Módulo, |H(jw)|, Atenuación, α(w)
• Fase, φ(w), Retardo de Grupo, τg(w)
• Especificaciones de Atenuación
• Banda de Paso, α(w) ≤ αp
• Banda Atenuada, α(w) ≥ αa
• Banda de transición
• Discriminación, αp, αa
• Selectividad, wp, wa
|H(jw)|
w
α(w)
w
α(w)
wwawp
αp
αa
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 3
Función Característica (I)
• Función Característica (Atenuación No Racional)
• α(w) = 10 log [ 1 + F(w2) ]
• F w HH jw
( )( )
2
2
1=
−
• Propiedades
• Función Racional, Real y Par en w
• No Negativa (supuesto α(w)>0)
• F(w2oi) = 0, Ceros de Atenuación
• F(w2∞i) = ∞, Ceros de Transmisión
• Igual Información que α(w)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 4
Función Característica (II)
• Considerando woi , w∞i ∈ ℜ
• F w kw w w
w w w
oii
L
ii
Q( )( )
( )
2 2
2n 2 2 2
1
2p 2 2 2
1
=−
−
=
∞=
∏
∏
• nº de C.T. = nº de C.A. = Orden del Filtro
• Comportamiento Asintótico
• W2 -> ∞ , F(w2) ≈ k2 w2 (n+2L-p-2Q)
α(w) ≈ 20 p∞ dB/dec ≈ 6 p∞ dB/oct , p∞=n+2L-p-2Q
• W2 -> 0 , F(w2) ≈ k2 w2 (n-p)
α(w) ≈ 20 p0 dB/dec ≈ 6 p0 dB/oct , p0=n-p
ww∞1w02w01
F(w2)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 5
Comportamientos
• ¿F(w2)? para min E(w2) = F(w2) – Fid(w2)
• Comportamiento Maximalmente Plano
• Minimiza E(w20) = F(w2
0)–Fid(w20) en w0
• Taylor, en la Banda de Paso
F w dF wd w
i no
i
iw wo
( ) ( )( )
, ,...,22
2 0 1 1= = = −=
F w k w wD w
on
( ) ( )( )
22 2 2
=−
; Orden (n), CT (D(w)), K (Ajuste)
• Comportamiento con Rizado de Amplitud Cte
• Minimiza E(w2)= F(w2)–Fid(w2) en Banda
• nº Alternancias = f(nºCT ó nºCA )
• Máximas Alternancias con raíces simples
• Aproximación Óptima y Única
• Transformada de Darlington
wwo
F(w2)
w
F(w2)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 6
Transformada de Darlington
• Objetivo: Rizado de Amplitud Constante
• Difícil directamente, s, Fácil en otro Plano, λ
• Si |H(λ)|=1 , λ∈R => H(λ)=ejφ(λ) , λ∈R
=>F HH
R( ) ( )( )
,λε
λλ
λ= ± ±
∈
2 2
41
= ε2 cos2(φ(λ)) = ε2 sen2(φ(λ)), λ∈R
• Rizado Amplitud Constante en λ∈R
• ¿Transformación? => Darlington
• R = Circunsferencia Unidad, λ = e j φ
• |H(λ)|=1 , H(λ)=λn, H i
i
n
( )*
λλλ
λ λ=
−−∏1
• Transformación R a Banda de Interés
swp= −2
1( )λλ , Banda de Paso PB
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 7
Aproximación de Butterworth PB (I)
• Butterworth
• Maximalmente Plano en el Origen, ¿CA?
• Ceros de Transmisión en el Infinito
• F(w2) = (k wn)2
• Cálculo del Filtro de Butterworth, n y k
• Orden, α(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< αi
nkk
d
s
≥ln( )ln( )
• Discriminación, kd
p
a=
−−
10 110 1
10
10
1 2α
α
/
• Selectividad, kwws
p
a
=
• Constante, α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi
kwp
np= −
1 10 110 1 2
( )( ) /α
α(w)
w
α(w)
w
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 8
Aproximación de Butterworth PB(II)
• Características
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)
wk
wr a d s e gc n
p
n p= =
−
1
1 0 11 02α
/ => F w wwc
n
( )22
=
• Pendiente de la Atenuación
20 n dB/dec, 6 n dB/oct
• Función de Transferencia
H jw HF(w
H s H s HF( ss w s w( )
)( ) ( )
)2
2
2
2
21 12 2 2 2=+
= − =+ −=− = −
• Frecuencias Propias
1 0 122
2+ − = = +−
=F s s
ws s
wc
n
nc
( ) ;
s en i
j n in
,
( )
=+ +π π1 22 , i = 0, ..., n-1
• H s H
s sn n
n n ii
n( )( ),
=−
=
−
∏0
1 ; Desnorm. con s swn
c
=
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 9
Aproximación de Chebychev PB (I)
• Chebychev
• RAC en Banda de Paso, ¿CA?
• Ceros de Transmisión en infinito
• Transformada de Darlington
λ = ejθ = jΩ => Ω = ejφ
H(λ) = λj
n
= Ωn ; w
wp= +
2
1Ω
Ω
F w HH
( ) ( )( )
22 2
41
= +
εΩ
Ω
F(w2) = ε2 cos2(nφ) , w = wp cos(φ)
• F wn w
www
ch n ch ww
ww
p p
p p
( )cos cos ,
,
2
2 2 1
2 2 1
1
1=
≤
≥
−
−
ε
ε
F w C wwn
p
( )2 2 2=
ε
α(w)
w
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 10
Aproximación de Chebychev PB (II)
• Polinomios de Chebychev, Cn(w)
• Cn+1(w) = 2w Cn(w) – Cn-1(w)
• Propiedades
• Función Par o Impar según sea n
• Coeficiente de wn , an = 2n-1
• Valores extremos, Cn(1) = 1
• RAC en |w| ≤ 1 , MP en |w| ≥ 1
• Raíces Simples => Máxima Alternancia
• Cálculo del Filtro de Chebychev, n y ε
• Orden, α(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< αi
nch
k
chk
d
s
≥
−
−
1
1
1
1
α(w)
w
n=3
n=4
Cn(x)1
1x
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 11
Aproximación de Chebychev PB (III)
• Cálculo del Filtro de Chebychev, n y ε
• Rizado, α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi
εα
= −10 110p
• Características
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)
w w chn
ch rad segc p=
−1 11
ε/
• Pendiente de la Atenuación
20 n dB/dec, 6 n dB/oct
• Ceros de Atenuación, (F(w0,i2)=0)
w w in
i no i p, cos ( ) , ,...,=+
= −π 2 1
20 1
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 12
Aproximación de Chebychev PB(IV)
• Función de Transferencia
H jw HF(w
H s H s HF( ss w s w( )
)( ) ( )
)2
2
2
2
21 12 2 2 2=+
= − =+ −=− = −
• Frecuencias Propias. Método 1 (Darlington)
1 02+ − =F s( ) => F s H
j Hj
swp
( ) ( )( )
( )
− = − = +
= −
22
2
21
14
1ε λλ
λλ
H jj
j
n
( )λε ε
λ= ± + +
=
1 1 12
λ ε ε
φπ π π
φi
j
n
i
rer
n ni i n
i= == + +
= + + = −
1 1 1
2 20 1
2
1
, ,...,=> s
wi
pi
i
= −
21
λλ
• H s) H
s s
n
ii
n(( )
=−
−
=
−
∏ε2 1
0
1
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 13
Aproximación de Chebychev PB(V)
• Función de Transferencia
H jw HF(w
H s H s HF( ss w s w( )
)( ) ( )
)2
2
2
2
21 12 2 2 2=+
= − =+ −=− = −
• Frecuencias Propias. Método 2 (Trigonometría)
1 0 12 2 2+ − = = +−
=F s C js
ws s
wnp
np
( ) ;ε
sn,i = σi + j wi
σπ
i sh a sen in
i n= −+
= −( ) ( ) , ,...,2 12
0 1
w ch a in
i ni = ++
= −( )cos ( ) , ,...,π 2 12
0 1
a nsh=
−1 11
ε
• H s H
s sn n
n
n n ii
n( )( ),
=−
−
=
−
∏ε2 1
0
1
• Desnormalización con s swn
p
=
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 14
Aprox. Chebychev Inverso PB (I)
• Chebychev Inverso
• RAC en Banda de Atenuación, ¿CT ?
• Ceros de Atenuación en el origen
• Forma Modificada de Chebychev
• F wC w
wna
( )2
2 2
1=
ε
• Cálculo del Filtro de Chebychev Inverso, n y ε
• Orden, α(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< αi
n
c hk
c hk
d
s
≥
−
−
1
1
1
1
• Rizado, α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi
εα
=
−
1
10 110a
F(w2)
w
1
1
F((1/w)2)
w
1
1 1----------F((1/w)2)
w
1
1
α(w)
w
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 15
Aprox. Chebychev Inverso PB (II)
• Características
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)
w w
chn
chrad segc
a=
−1 11
ε
/
• Pendiente de la Atenuación
20 n dB/dec, 6 n dB/oct
• Ceros de Transmisión, (F(w∞,i2)= ∞)
w win
i nia
∞ =+
= −,
cos ( ), ,...,
π 2 12
0 1
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 16
Aprox. Chebychev Inverso PB(III)
• Función de Transferencia
H jw HF(w
H s H s HF( ss w s w( )
)( ) ( )
)2
2
2
2
21 12 2 2 2=+
= − =+ −=− = −
• Frecuencias Propias
1 0 12 2 2+ − = = +
F s C jwsn
a( ) ε
s
w wsia p
ich=
• H sHk s w
s s
n ii
Ent n
ii
n( )( )
( )
,
( )
=+
−
∞=
−
=
−
∏
∏
2 2
0
21
0
1
kn par
n w n imparn
a
= +=
=
ε
εε
1 2,
,
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 17
Aproximación de Cauer PB (I)
• Cauer
• RAC en Banda de Paso, ¿CA ?
• RAC en Banda de Atenuación, ¿CT?
• F(w2) = ε2 k02 g0
2(Ω0) , Ω0 =w
w wa p
gn par
n impar
i
ii
Ent n
i
ii
Ent n0 0
02
02
02
02
0
2
002
02
02
02
0
2
1
1( )
( )( )
,
( )( )
,
,
,
,
,
Ω
Ω ΩΩ Ω
ΩΩ Ω
Ω Ω
=
−−
=
−−
=
=
=
∏
∏
g g00 0 0
1 1Ω Ω
=
( ) ; RAC en BA (CT Ωoi) => RAC en BP (CA 1/Ωoi)
• Normalizaciones
Ω
Ω00 0
1 1p
p
a a
ww a
= = = ; ga k g a0
0 0 0 0
1 1 1
= =
( )
α(w)
w
w
Ωo
wp wa
1ao1
--ao
F(w2)
go(Ωo2)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 18
Aproximación de Cauer PB (II)
• Cálculo del Filtro de Cauer, n, ε, k0 y Ω0,i
• T. de Darlington (g0(Ω0) tiene RAC)
g kg
g0 00
1 11 1
12
1( ) ( )( )
Ω ΩΩ
= +
; Ω Ω
Ω00
11
12
1= +
a
gn par
n impar
i
ii
Ent n
i
ii
Ent n1 1
12
12
12
12
0
2
112
12
12
12
0
2
1
1( )
( )( )
,
( )( )
,
,
,
,
,
Ω
Ω ΩΩ Ω
ΩΩ Ω
Ω Ω
=
−−
=
−−
=
=
=
∏
∏
a a a ao1 02 4
01= + − > ; k k ko1 02 4 1= + −
w
Ωo
wp wa
1ao
1--ao
F(w2)
1--a1
1a1
Ω1
go(Ωo2)
g1(Ω12)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 19
Aproximación de Cauer PB(III)
• Cálculo del Filtro de Cauer, n, ε, k0 y Ω0,i
• Método Iterativo
g kg
gt tt
t tt t
− −−
= +
1 1
1
12
1( ) ( )( )
Ω ΩΩ ; Ω Ω
Ωtt
tta−
−
= +
1
1
12
1
g
n par
n impar
t t
t i t
t t ii
Ent n
ti t
t t ii
Ent n( )
( )( )
,
( )( )
,
,
,
,
,
Ω
Ω ΩΩ Ω
ΩΩ Ω
Ω Ω
=
−−
=
−−
=
=
=
∏
∏
1
1
2 2
2 20
2
12 2
2 20
2
g1(Ω1) , g2(Ω2) , ... , gm(Ωm)
a a at t t= + −− −12
14 1 ; k k kt t t= + −− −1
21
4 1 , t=1,...,m
am»1»1/am≈0 => Cheb Inv ; am > 50 ; (m=4 en cualquier caso)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 20
Aproximación de Cauer PB(IV)
• Cálculo del Filtro de Cauer, n, ε, k0 y Ω0,i
• Aprox. Chebychev Inverso
g k
C am mm
nm
m
( )Ω
Ω
=
; gm(1)=1 => km≈2n-1amn
• Ceros de Transmisión
Ωm ima
in
,
cos ( )=
+
π 2 12
, i=0, ..., n-1
Ω ΩΩt i
tt i
t ia−−
= +
1
1
12
1, ,
, , t=m, ...,1
• Orden, α(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< αi
k kd0
1≥ => k
kd
'01
=
n ka
m
m
≥log( ' )log( )
22
α(w)
w
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 21
Aproximación de Cauer PB (V)
• Cálculo del Filtro de Cauer, n, ε, k0 y Ω0,i
• Constante
n k
am
m
=log( )log( )
22
k kkt t
t− = +
1
12
1 , t=m, ...,1
• Rizado
α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi
εα
= −10 110p
• Función de Transferencia
H jw HF(w
H s H s HF( ss w s w( )
)( ) ( )
)2
2
2
2
21 12 2 2 2=+
= − =+ −=− = −
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 22
Aproximación de Cauer PB(VI)
• Función de Transferencia
• Frecuencias Propias. Método 1 (Darlington)
1 0 12 2
02
02 0
0
+ − = = +
=
F s k gj s
w wa p
( ) ελ
λ
g jjh0
00
λ
= ± ; h
k00
1=
ε
g
kg
gt tt
t tt t
− −−
= +
1 1
1
12
1( ) ( )( )
Ω ΩΩ , t=m, ...,1
h k h k ht t t t t= + +− − − −1 1 1 12 1( ) , t=1, ..., m
g
jjh k
C jamm
mm
m
m
λ
λ
= ± =
Chebychev Inverso => λλ
m
m
InvDir= −1
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 23
Aproximación de Cauer PB(VII)
• Función de Transferencia
• Frecuencias Propias. Método 1 (Darlington)
λ
φπ π π
φm i
j
m
m
m
m
n
i
rer
kh
kh
n ni i n
i+ = =
= + +
= − − = −
1
21
1
2 20 1
,
, ,...,
λ λλt i
tt i
t ia−−
= −
1
1
12
1, ,
, , t=m+1, ...,1
• HHk
n
n ii
Ent n
ii
n( )( )
( )
,
( )
,
λλ
λ λ0
02
02
0
21
0 00
1=+
−
=
−
=
−
∏
∏
Ω
; Desnorm. con λ0 =s
w wa p
k
kn par
w w
kw
w w
n imparna p
i
a pi
Ent n=
+=
−
=
∞
=
−
∏
11 2
04
0
2
0
21
ε
ε
,
,
,
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 24
Aproximación de Cauer PB (VIII)
• Función de Transferencia
• Frecuencias Propias. Método 2 (Trigonometría)
1 0 12 2
02
02 0
0
+ − = = +
=
F s k g sj
s sw wa p
( ) ε
gsj
jh00
0
= ± ; hk0
0
1=
ε
g
kg
gt tt
t tt t
− −−
= +
1 1
1
12
1( ) ( )( )
Ω ΩΩ , t=m, ...,1
h k h k ht t t t t= + −− − − −1 1 1 12 1( ) , t=1, ..., m
g s
jjh k
C jas
mm
mm
m
m
= ± =
Chebychev Inverso con an
sh kh
m
m
=
−1 1
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 25
Aproximación de Cauer PB (IX)
• Función de Transferencia
• Frecuencias Propias. Método 2 (Trigonometría)
s a
sm im
m ich,
,
=
s as
st it
tt
−−
= −
1
1
12
1, , t=m, ...,1
• H sHk s
s sn
n ii
Ent n
ii
n( )( )
( )
,
( )
,
0
02
02
0
21
0 00
1=+
−
=
−
=
−
∏
∏
Ω
k
kn par
w w
kw
w w
n imparna p
i
a pi
Ent n=
+=
−
=
∞
=
−
∏
11 2
04
0
2
0
21
ε
ε
,
,
,
• Desnormalización con s sw wa p
0 =
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 26
Análisis Comparativo (I)
• Complejidad
• Orden
Cauer (óptimo)
Chebychev
Butterworth
• Nº de Elementos
LC depende de CT: infinito (1 )
finito(2 )
Activo depende CT finito o infinito
• Calidad
El Q depende de la parte resistiva
But
Chd
Cau
Chi
w
α(w)
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 27
Análisis Comparativo (II)
• Respuesta Temporal
• Retardo de Grupo
La distorsión crece con:
la pendiente y el rizado BP
El retardo crece con:
la atenuación (Orden)
• Respuesta al Escalón
al Impulso
La distorsión como el R.G.
• Frecuencias Propias
Amortiguamiento
Chi
ButCauChd
w
τg(w)
t
r(t)
Chd, Cau
But, Chi
jw
σ
s
Chi But Cau
Chd
ΠΘΜ
3.Teoría de la Aproximación 28
Análisis Comparativo (III)
• Butterworth
Características transitorias aceptables
Valores de LC prácticos y poco críticos
Debe usarse siempre que sea posible
• Chebychev
Rizado quita redondeo de la |H(jw)| en wp
Propiedades transitorias se deterioran (n)
Orden influye en la elección de Rg y Rc
Útil cuando lo que importa es |H(jw)|
• Cauer
Óptimo
Requiere ajuste preciso de resonancias
Comportamiento transitorio inaceptable