Elemento finito Triangular Lineal - Bienvenidos · es un elemento bidimensional de aproximación...
32
es un elemento bidimensional de aproximación lineal de tres nudos y un grado de libertad por nudo, cuya función de aproximación es φi φk φj ) ( 3 2 1 ) , ( ) , ( e y x y x y x Ω ∈ ∀ + + = α α α φ Elemento finito Triangular Lineal Función de aproximación k k k k k j j j j j i i i i i y x y x y x y x y x y x 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( α α α φ φ α α α φ φ α α α φ φ + + = = + + = = + + = = Valores nodales
Transcript of Elemento finito Triangular Lineal - Bienvenidos · es un elemento bidimensional de aproximación...
es un elemento bidimensional de aproximación lineal de tres nudos y un grado de libertad por nudo, cuya función de aproximación es
φi
φk
φj
)(
321 ),(),(eyxyxyx Ω∈∀++= αααφ
Elemento finito Triangular Lineal
Función de aproximación
kkkkk
jjjjj
iiiii
yxyx
yxyx
yxyx
321
321
321
),(
),(
),(
αααφφ
αααφφ
αααφφ
++==
++==
++==
Valores nodales
Área del elemento finito
Aplicando la regla de Cramer
kijjikijk
kk
jj
ii
kijjikijk
kk
jj
ii
kijjijikkiijkkj
kkk
jjj
iii
ijjiikkijkkj
kk
jj
ii
xxxxxx
x
x
x
yyyyyy
y
y
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yx
yx
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α
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Z
Z
Z
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det,
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det,
det
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22
11 === ααα
Elemento finito Triangular Lineal
Función de aproximación
Sean
ke
kje
jie
i yxNyxNyxNyx φφφφ ),(),(),(),()()()( ++=
[ ]
[ ]
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φφφα
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−+−+−=
−+−+−=
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La función de aproximación se puede expresar como:
ijjik
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yxyxa
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−=
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jik
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Elemento finito Triangular Lineal
Función de aproximación
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Tria
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Tria
ng
ula
r L
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)(2
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)(2
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ijjik
kiikj
jkkji
yxyxa
yxyxa
yxyxa
−=
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−=jik
ikj
kji
yyb
yyb
yyb
−=
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ijk
kij
jki
xxc
xxc
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φ
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e NNN=NMatriz de funciones de forma
Vector de valores nodales
Función de aproximación (expresión matricial)
Elemento finito Triangular Lineal
Funciones de forma
A
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N
A
c
y
N
A
c
y
N
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A
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x
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x
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x
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∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
Derivadas de la función de aproximación
[ ]
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ek
ej
ei
ek
ej
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y
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BBNNB Φ=∇Φ=Φ∇=∇∇=∴
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∂=
∂∂∂
∂∂∂=
∂
∂=∇
∂
∂=∇∴
φφ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φφ
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma
donde
expresada matricialmente
=
∂∂∂
∂∂∂=
kji
kji
eky
ejy
eiy
ekx
ejx
eixe
ccc
bbb
ANNN
NNN
2
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)()()(
)(B
Elemento finito Triangular Lineal
Derivadas de las funciones de forma
Coordenadas de área kk
jj
ii
LL11
LL22
LL33
jj
ii
LL11
kk
4
11 =L
2
11 =L
4
31 =L
11 =L01 =L
kk
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ii
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kk
jj
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A
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11
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⋅=
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Elemento finito Triangular Lineal
Coordenadas de área
L
xx
yy
kk
jj
ii
hh22
bb22A
A
hb
sbL
2
2 2
22
222 =
⋅
⋅=
AA11
AA33
AA22 ss22 L
xx
yykk
jj
ii
bb33
hh33A
A
hb
sbL
2
2 3
33
333 =
⋅
⋅=
AA11AA22
ss33AA33
[ ] iiiijkkjjkkj
jkkjjkkj
kk
jj
NycxbaA
yxxxyyyxyxA
L
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yx
yx
yx
A
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⋅−+⋅−+⋅−⋅==
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ii
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yx
yx
A
1
1
1
2 2 =
jj
ii
yx
yx
yx
A
1
1
1
2 3 =
k
j
i
NL
NL
NL
=
=
=
3
2
1
Elemento finito Triangular Lineal
Coordenadas de área
∫ ⋅+++
⋅⋅=⋅⋅
A
cba Acba
cbadALLL 2
)!2(
!!!321
EisenbergEisenberg & & MalvernMalvern. 1973. 1973
b
sL
b
shb
sbh
A
AL
''1
2
22
)'(2
2
22
1
1 =−=
−
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L
xx
yy
kk
jj
ii
bb
hh
AA22
AA33=0=0
AA11
ss’’AA11
ji NlLNlL ==== 2211
AbramowitzAbramowitz & & StegunStegun. 1964. 1964
Integral de Integral de áárearea
Integral de lIntegral de líínea. lado nea. lado ijij
∫ +++
⋅⋅=⋅⋅
1
021
)!1(
!!
cba
baLdlllL ba
ElemElem. . UnidimUnidim. lineal. lineal
Elemento finito Triangular Lineal
Coordenadas de área
sttsts 4321),( ααααφ +++=
Elemento finito rectangular bilineal
Función de aproximación
es un elemento bidimensional de aproximación bilineal de cuatro nudos y un grado de libertad por nudo, cuya función de aproximación es
Valores nodales
aa
ababab
bb
m
k
j
i
2)2,0(
422)2,2(
2)0,2(
)0,0(
31
4321
21
1
ααφφ
ααααφφ
ααφφ
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+==
+++==
+==
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),
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Elemento finito rectangular Elemento finito rectangular bilinealbilineal Funciones de forma
ab
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st
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),
( )(
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Elemento finito rectangular bilineal
Función de aproximación
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em
em
ek
ek
ej
ej
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[ ]Tem
ek
ej
ei
e )()()()()( φφφφ=Φ
[ ] TeTe
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ek
ej
ei
em
ek
ej
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)(
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)(
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=Φ= φ
φ
φ
φ
φ
φ
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ek
ej
ei
e NNNN=NMatriz de funciones de forma
Vector de valores nodales
Función de aproximación (expresión matricial)
ab
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k4
),()( =
ab
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ab
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j4
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)( −=
Elemento finito rectangular bilineal
Derivadas de la función de aproximación
)(
)(
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)(
)(
)(
)(
)(
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)()(
)(
)(
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em
eme
k
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j
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i
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k
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j
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N
t
N
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N
t
N
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s
N
s
N
s
N
s
N
sx
φφφφφφ
φφφφφφ
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
Derivadas de la función de aproximación
[ ]
TeTeTeeeeee
em
ek
ej
ei
em
ek
ej
ei
y
x
em
ek
ej
ei
emy
eky
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ejx
eix
y
x
y
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NNNN
NNNN
NNNN
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)(
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,,
,
BBNNB Φ=∇Φ=Φ∇=∇∇=∴
∂
∂=∇
∂∂∂∂
∂∂∂∂=
∂
∂=∇
∂
∂=∇∴
φφ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φφ
expresada matricialmente
Elemento finito rectangular bilineal
Derivadas de la función de aproximación
Matriz de operadores diferenciales actuando sobre funciones de forma
−−−−
−−−−=
∂∂∂∂
∂∂∂∂=
)2()2(
)2()2(
4
1),(
),(
)(
)()()()(
)()()()(
)(
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tttata
abts
NNNN
NNNNts
e
emy
eky
ejy
eiy
emx
ekx
ejx
eixe
B
B
33
22
11
Triangular LinealTriangular Lineal
33
22
11
Triangular cuadrTriangular cuadrááticotico
44
55
66yx 321 αααφ ++=
2
6
2
54321 yxxyyx ααααααφ +++++=
432234
3223
22
1
yxyyxyxx
yxyyxx
yxyx
yx
TriTriáángulo ngulo de Pascalde Pascal
Elementos finitos de orden superior
Elementos triangulares
x
yx
y
33
22
11
4455
66
7788
1010
99
x
yTriangular Triangular ccúúbicobico
3
10
2
9
2
8
3
7
2
6
2
54321
yxyyxx
yxxyyx
αααα
ααααααφ
++++
++++++=
xx
yy
33
2211
Rectangular Rectangular BilinealBilineal. . LagrangeLagrange
44
xx
yy33
2211
Rectangular de 9 nudos. Rectangular de 9 nudos. LagrangeLagrange
44
55
66
77
88 99
xx
yy33
2211
Rectangular de 5 nudos. Rectangular de 5 nudos. SerendipitySerendipity
44
55
xx
yy33
2211
Rectangular de 8 nudos. Rectangular de 8 nudos. SerendipitySerendipity
44
55
66
77
88
Ele
me
nto
s finito
s de o
rde
n s
uperi
or
Ele
me
nto
s finito
s de o
rde
n s
uperi
or
Ele
men
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ngu
lare
s
33
2211
44
Elemento PatrElemento Patróónn
Rectangular Rectangular BilinealBilineal
xx
yy33
2211
Cuadrilateral Lineal. Cuadrilateral Lineal. IsoparamIsoparaméétricotrico
44
ξξ
ηη
33
2211
44
Elemento PatrElemento Patróónn
77
6688
55
99
xx
yy33
2211
Cuadrilateral de 9 nudos. Cuadrilateral de 9 nudos. IsoparamIsoparaméétricotrico
44
55
66
77
88 99 ξξ
ηη
Ele
me
nto
s finito
s E
lem
ento
s finito
s is
opa
ram
isopa
ram
éétr
ico
str
ico
sE
lem
en
tos c
uadri
late
rale
s
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1),(
)1)(1(4
1),(
)1)(1(4
1),(
)1)(1(4
1),(
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4
)(
3
)(
2
)(
1
ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
+−=
++=
−+=
−−=
e
e
e
e
N
N
N
N
xx
yy
33
2211
44
ss
tt
ξξ
ηη
bb bb
aa
aa
Coordenadas globalesCoordenadas globales
Coordenadas localesCoordenadas locales
Coordenadas naturalesCoordenadas naturales
Rectangular Rectangular BilinealBilineal
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
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Funciones de Forma en coordenadas naturales
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Elemento patrón
Función de aproximación
)1)(1(4
1),(
)1)(1(4
1),(
)1)(1(4
1),(
)1)(1(4
1),(
)(
4
)(
3
)(
2
)(
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ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
+−=
++=
−+=
−−=
e
e
e
e
N
N
N
N
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)(
4
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)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1 ),(),(),(),(),(eeeeeeee NNNN φηξφηξφηξφηξηξφ +++=
Funciones de Forma en coordenadas naturales
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Definición
Función de aproximación
xx
yy
33
2211
44
ξξ
ηη
( )11, yx( )22 , yx
( )33, yx( )44 , yx
( )yx,
Cuadrilateral LinealCuadrilateral Lineal
Las funciones de forma del elemento cuadrilaterial lineal son iguales a las de su elemento patrón: el rectangular bilineal
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Función de aproximación
xx
yy
33
2211
44
ξξ
ηη
( )11, yx( )22 , yx
( )33, yx( )44 , yx
( )yx,
Cuadrilateral LinealCuadrilateral Lineal
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1 ),(),(),(),(),(eeeeeeee NNNN φηξφηξφηξφηξηξφ +++=
Función de aproximación
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
),(),(),(),(),(
),(),(),(),(),(
eeeeeeee
eeeeeeee
yNyNyNyNy
xNxNxNxNx
ηξηξηξηξηξ
ηξηξηξηξηξ
+++=
+++=
Geometría del elemento
Las funciones de forma de la función de aproximación definen la geometría del elemento finito
Ejemplo: geometría del lado 3-4
)(
421)(
321
)(
421)(
321
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
)1()1()(
)1()1()(
)1(2
1)(,)1(
2
1)(
0,01,11
ee
ee
ee
ee
yyy
xxx
NN
NN
ξξξ
ξξξ
ξξξξ
ηξ
−++=
−++=
−=+=
==→=≤≤−
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Función de aproximación y geometría
xx
yy
33
2211
44
ξξ
ηη
( )11, yx( )22 , yx
( )33, yx( )44 , yx
( )yx,
[ ]
[ ])1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(4
1
),(),(),(
)(
)()(
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
ηξηξηξηξ
ηξηξφ
φ
φ
φ
φ
ηξφ
+−++−+−−=
Φ=
=
e
ee
e
e
e
e
eeee NNNN
N
NFunción de aproximación (expresión matricial)
[ ] [ ]
)()()(
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
),(),(~ eee
ee
ee
ee
ee
eeee
yx
yx
yx
yx
NNNNyx
xx ηξηξ Ν=
=
Geometría del elemento (expresión matricial)
Función de forma (expresión matricial)
[ ]
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇=∴=∇=∇=
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
)(
4
)(
3
)(
2
)(
1
)(
)()()()()()()()(,),(),(
~
ee
ee
ee
ee
eeee
eeee
e
eeeeeeee
yx
yx
yx
yx
NNNN
NNNN
yxyx
yx
ηηηη
ξξξξ
ηξηξ
η
ξ
ηη
ξξ
J
NBxBxNxJ
)()(
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(),(
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
4
1),(
ee
ee
ee
ee
ee
e
yx
yx
yx
yx
xBJ ηξξξξξ
ηηηηηξ =
−++−−−
+−+−−−=
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz Jacobiano
ηξηξηξ ddfdtdstsfdydxyxf eeee
∫ ∫∫∫∫∫− −
⋅==1
1
1
1
)()()()(),(det),(),(),( J
Cambio de variables para integrales dobles
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Cuadratura de Gauss – Legendre
n ξi WiMayor P.
1
2
3
-0.577350
0.0
0.0
1.0
1.0
8/9
2.0
5/9
5/9
3
2
1
5
4
+0.577350
+0.774597
-0.774597
∑∫=−
=n
iii gWdg
1
1
1
)()( ξξξ
)577350.0(0.1)577350.0(0.1)(
1
1
+⋅+−⋅=∫−
ggdg ξξ
-0.577350 +0.577350-1 +1
g(ξ)
g(-0.577350) g(+0.577350)
ξξ dg∫−
1
1
)(
ξ
ξdepotenciamayorn ≥−12
Espacio unidimensional
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Cuadratura de Gauss – Legendre
∑∑∫ ∫= =− −
⋅⋅=n
i
m
jjiji gWWddg
1 1
1
1
1
1
),(),( ηξηξηξ
η
ξ
depotenciamayorm
depotenciamayorn
≥−
≥−
12
12
n óm
ξi WiMayor P.
1
2
3
-0.577350
0.0
0.0
1.0
1.0
8/9
2.0
5/9
5/9
3
2
1
5
4
+0.577350
+0.774597
-0.774597
Espacio bidimensional
33
2211
44
ξξ
ηη
( )11, yx( )22 , yx
( )33, yx( )44 , yx
( )5773.0,5773.0:1 −−PG ( )5773.0,5773.0:2 −+PG
( )5773.0,5773.0:4 +−PG
( )5773.0,5773.0:3 ++PG
n=m=2
[ ]
∑∑
∫ ∫∫∫∫∫
= =
− −
⋅=
⋅===
n
i
m
jji
eji
Teji
ee
TeeTeeTeee
WWQ
ddJQdtdstsQdydxyxQ
1 1
)()()()(
1
1
1
1
)()()()()()()(
),(det),(
det),(),(),(
ηξηξ
ηξηξ
JNf
NNNf
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Vector de términos independientes
−−
−−==
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)()()(
1111
1111
4
1)0,0()0,0(
ee
ee
ee
ee
eee
yx
yx
yx
yx
xBJ
Matriz Jacobiano evaluada en el punto de Gauss
)0,0(det)0,0(221)()()()( eTeee Qmn JNf ⋅⋅⋅⋅=→==
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 1
[ ]11114
1)0,0(
)( =eN
Matriz de funciones de forma evaluada en el punto de Gauss
33
2211
44
ξξξξ
η
( )11, yx( )22 , yx
( )33, yx( )44 , yx
( )0.0,0.0:1PG
n=m=1
[ ])(
4
)(
3
)(
2
)(
1
)()(
)(1)()()()()(
)()()(
)(
),(
)(
),(
)(
),(
)(
),(
)()()(
)()()(
),(
),(),(),(),(),(),(
,
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
eeeeee
eeeeee
TT
eeee
yxy
eyxx
e
e
eee
eee
NNNN
yxyx
yx
yxyx
yx
y
yxy
x
yxx
y
yxy
x
yxx
∂
∂∂
∂
=∇=
=→=
∂
∂
∂
∂=∇
∂
∂
∂
∂=∇
∇=∇=
∂
∂
∂∂
∂∂=
∂
∂
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
∂
∂
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
∂
∂
−
η
ξηξ
ηξηξηξηξ
ηξ
ηξηξ
ηηη
ηξ
ξξξ
ηξ
ηη
ξξ
ηξη
ηξξ
NB
BJBBJB
NJNN
N
N
N
NNN
NNN
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de operadores diferenciales actuando funciones de forma
∑∑
∑∑
∫ ∫∫∫
= =
−−
= =
− −
⋅=
⋅=
⋅==
n
i
m
jji
eji
eji
eeji
Teji
Teji
eD
n
i
m
jji
eji
eeji
Teji
eD
eeeTeeeTeeD
WW
WW
dddydxyxyx
1 1
)()(1)()()()()(
1 1
)()()()()(
1
1
1
1
)()()()()()()()(
),(det),(),(),(),(
),(det),(),(
),(det),(),(),(),(
ηξηξηξηξηξ
ηξηξηξ
ηξηξηξηξ
JBJDJBK
JBDBK
JBDBBDBK
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
)()()(
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)()(
),(),(
,)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
4
1),(
eji
eji
e
ee
ee
ee
ee
e
iiii
jjjj
jie
yx
yx
yx
yx
xBJ
xB
ηξηξ
ξξξξ
ηηηηηξ
=
=
−++−−−
+−+−−−=
siendo
Elementos finitos de campo bidimensional. Cuadrilateral Lineal
PG (PG (kk)) ξξ ηη WW
11 --0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0
22 --0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0
33 0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0
44 0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0
n=m=2n=m=2
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
∑=
−− ⋅=4
1
)()(1)()()()()(),(det),(),(),(),(
kkk
ekk
ekk
eekk
Tekk
TeeD ηξηξηξηξηξ JBJDJBK
)()()(
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)()(
),(),(
,)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
4
1),(
ekk
ekk
e
ee
ee
ee
ee
e
kkkk
kkkkkk
e
yx
yx
yx
yx
xBJ
xB
ηξηξ
ξξξξ
ηηηηηξ
=
=
−++−−−
+−+−−−=
siendo
(ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)
(ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
),()(
kke ηξB
puntopunto ξξ ηη WW
11 --0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0
22 --0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0
33 0.5773500.577350 --0.5773500.577350 1.01.0
44 0.5773500.577350 0.5773500.577350 1.01.0
n=m=2n=m=2
∑∑
∫ ∫∫∫
= =
− −
⋅=
⋅==
n
i
m
jji
eji
eji
Teeji
eG
eeTeeeTeeeG
GWW
ddGdydxyxyxG
1 1
)()()()()(
1
1
1
1
)()()()()()()()(
),(det),(),(
),(det),(),(),(),(
ηξηξηξ
ηξηξηξηξ
JNNK
JNNNNK
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
Considerando que la mayor potencia de la función integrada es 2
∑=
⋅=4
1
)()()()()(),(det),(),(
kkk
ekk
ekk
TeeeG G ηξηξηξ JNNK
−++−−−
+−+−−−=
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
4
1),(
)(
kkkk
kkkkkk
e
ξξξξ
ηηηηηξB
Matriz de funciones de forma
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
[ ])1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(4
1),(
)(
kkkkkkkkkke ηξηξηξηξηξ +−++−+−−=N
)()()(),(),(
ekk
ekk
exBJ ηξηξ =
Matriz de coordenadas de los nudos
=
)(
4
)(
4
)(
3
)(
3
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
ee
ee
ee
ee
e
yx
yx
yx
yx
x
Matriz de operadores diferenciales en coordenadas naturales actuando sobre funciones de forma
Matriz Jacobiano
(ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(--0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)
(ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350, --0.577350)0.577350) (ξ,η)=((ξ,η)=(0.577350, 0.577350)0.577350, 0.577350)
0.386894 0.103668 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.027778 0.007443 0.001994 0.007443
0.103668 0.027778 0.007443 0.027778
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.007443 0.001994 0.007443 0.027778
0.027778 0.007443 0.027778 0.103668
0.103668 0.027778 0.103668 0.386894
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.103668 0.386894 0.103668 0.027778
0.027778 0.103668 0.027778 0.007443
0.007443 0.027778 0.007443 0.001994
0.001994 0.007443 0.027778 0.007443
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
0.027778 0.103668 0.386894 0.103668
0.007443 0.027778 0.103668 0.027778
1 2
3 4
Elemento finito cuadrilaterial lineal
Matriz de rigidez
),(),()()(
kke
kkTe ηξηξ NN
