TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN...3.Teoría de la Aproximación 1 3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN •...

ΠΘΜ

3.Teoría de la Aproximación 1

3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN

• Concepto de Aproximación

• Función Característica

• Comportamientos de la Aproximación

• Transformada de Darlignton

• Aproximación de Butterworth PB

• Aproximación de Chebychev PB

• Aprox. de Chebychev Inverso PB

• Aproximación de Cauer PB

• Análisis Comparativo

• Transformación de Frecuencias

ΠΘΜ


Aproximación

• Función Realizable

• Especificaciones de Tolerancia

• Módulo, |H(jw)|, Atenuación, α(w)

• Fase, φ(w), Retardo de Grupo, τg(w)

• Especificaciones de Atenuación

• Banda de Paso, α(w) ≤ αp

• Banda Atenuada, α(w) ≥ αa

• Banda de transición

• Discriminación, αp, αa

• Selectividad, wp, wa

|H(jw)|

w

α(w)

w

α(w)

wwawp

αp

αa

ΠΘΜ


Función Característica (I)

• Función Característica (Atenuación No Racional)

• α(w) = 10 log [ 1 + F(w2) ]

• F w HH jw

( )( )

2

2

1=

−

• Propiedades

• Función Racional, Real y Par en w

• No Negativa (supuesto α(w)>0)

• F(w2oi) = 0, Ceros de Atenuación

• F(w2∞i) = ∞, Ceros de Transmisión

• Igual Información que α(w)

ΠΘΜ


Función Característica (II)

• Considerando woi , w∞i ∈ ℜ

• F w kw w w

w w w

oii

L

ii

Q( )( )

( )

2 2

2n 2 2 2

1

2p 2 2 2

1

=−

−

=

∞=

∏

∏

• nº de C.T. = nº de C.A. = Orden del Filtro

• Comportamiento Asintótico

• W2 -> ∞ , F(w2) ≈ k2 w2 (n+2L-p-2Q)

α(w) ≈ 20 p∞ dB/dec ≈ 6 p∞ dB/oct , p∞=n+2L-p-2Q

• W2 -> 0 , F(w2) ≈ k2 w2 (n-p)

α(w) ≈ 20 p0 dB/dec ≈ 6 p0 dB/oct , p0=n-p

ww∞1w02w01

F(w2)

ΠΘΜ


Comportamientos

• ¿F(w2)? para min E(w2) = F(w2) – Fid(w2)

• Comportamiento Maximalmente Plano

• Minimiza E(w20) = F(w2

0)–Fid(w20) en w0

• Taylor, en la Banda de Paso

F w dF wd w

i no

i

iw wo

( ) ( )( )

, ,...,22

2 0 1 1= = = −=

F w k w wD w

on

( ) ( )( )

22 2 2

=−

; Orden (n), CT (D(w)), K (Ajuste)

• Comportamiento con Rizado de Amplitud Cte

• Minimiza E(w2)= F(w2)–Fid(w2) en Banda

• nº Alternancias = f(nºCT ó nºCA )

• Máximas Alternancias con raíces simples

• Aproximación Óptima y Única

• Transformada de Darlington

wwo

F(w2)

w

F(w2)

ΠΘΜ


Transformada de Darlington

• Objetivo: Rizado de Amplitud Constante

• Difícil directamente, s, Fácil en otro Plano, λ

• Si |H(λ)|=1 , λ∈R => H(λ)=ejφ(λ) , λ∈R

=>F HH

R( ) ( )( )

,λε

λλ

λ= ± ±

∈

2 2

41

= ε2 cos2(φ(λ)) = ε2 sen2(φ(λ)), λ∈R

• Rizado Amplitud Constante en λ∈R

• ¿Transformación? => Darlington

• R = Circunsferencia Unidad, λ = e j φ

• |H(λ)|=1 , H(λ)=λn, H i

i

n

( )*

λλλ

λ λ=

−−∏1

• Transformación R a Banda de Interés

swp= −2

1( )λλ , Banda de Paso PB

ΠΘΜ


Aproximación de Butterworth PB (I)

• Butterworth

• Maximalmente Plano en el Origen, ¿CA?

• Ceros de Transmisión en el Infinito

• F(w2) = (k wn)2

• Cálculo del Filtro de Butterworth, n y k

• Orden, α(wl) = 10 log (1+F(wl2)) >< αi

nkk

d

s

≥ln( )ln( )

• Discriminación, kd

p

a=

−−

10 110 1

10

10

1 2α

α

/

• Selectividad, kwws

p

a

=

• Constante, α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi

kwp

np= −

1 10 110 1 2

( )( ) /α

α(w)

w

α(w)

w

ΠΘΜ


Aproximación de Butterworth PB(II)

• Características

• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)

wk

wr a d s e gc n

p

n p= =

−

1

1 0 11 02α

/ => F w wwc

n

( )22

=

• Pendiente de la Atenuación

20 n dB/dec, 6 n dB/oct

• Función de Transferencia

H jw HF(w

H s H s HF( ss w s w( )

)( ) ( )

)2

2

2

2

21 12 2 2 2=+

= − =+ −=− = −

• Frecuencias Propias

1 0 122

2+ − = = +−

=F s s

ws s

wc

n

nc

( ) ;

s en i

j n in

,

( )

=+ +π π1 22 , i = 0, ..., n-1

• H s H

s sn n

n n ii

n( )( ),

=−

=

−

∏0

1 ; Desnorm. con s swn

c

=

ΠΘΜ


Aproximación de Chebychev PB (I)

• Chebychev

• RAC en Banda de Paso, ¿CA?

• Ceros de Transmisión en infinito

• Transformada de Darlington

λ = ejθ = jΩ => Ω = ejφ

H(λ) = λj

n

= Ωn ; w

wp= +

2

1Ω

Ω

F w HH

( ) ( )( )

22 2

41

= +

εΩ

Ω

F(w2) = ε2 cos2(nφ) , w = wp cos(φ)

• F wn w

www

ch n ch ww

ww

p p

p p

( )cos cos ,

,

2

2 2 1

2 2 1

1

1=

≤

≥

−

−

ε

ε

F w C wwn

p

( )2 2 2=

ε

α(w)

w

ΠΘΜ


Aproximación de Chebychev PB (II)

• Polinomios de Chebychev, Cn(w)

• Cn+1(w) = 2w Cn(w) – Cn-1(w)

• Propiedades

• Función Par o Impar según sea n

• Coeficiente de wn , an = 2n-1

• Valores extremos, Cn(1) = 1

• RAC en |w| ≤ 1 , MP en |w| ≥ 1

• Raíces Simples => Máxima Alternancia

• Cálculo del Filtro de Chebychev, n y ε


nch

k

chk

d

s

≥

−

−

1

1

1

1

α(w)

w

n=3

n=4

Cn(x)1

1x

ΠΘΜ


Aproximación de Chebychev PB (III)

• Cálculo del Filtro de Chebychev, n y ε

• Rizado, α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi

εα

= −10 110p



w w chn

ch rad segc p=

−1 11

ε/



• Ceros de Atenuación, (F(w0,i2)=0)

w w in

i no i p, cos ( ) , ,...,=+

= −π 2 1

20 1

ΠΘΜ


Aproximación de Chebychev PB(IV)


H jw HF(w


)( ) ( )

)2

2

2

2

21 12 2 2 2=+

= − =+ −=− = −

• Frecuencias Propias. Método 1 (Darlington)

1 02+ − =F s( ) => F s H

j Hj

swp

( ) ( )( )

( )

− = − = +

= −

22

2

21

14

1ε λλ

λλ

H jj

j

n

( )λε ε

λ= ± + +

=

1 1 12

λ ε ε

φπ π π

φi

j

n

i

rer

n ni i n

i= == + +

= + + = −

1 1 1

2 20 1

2

1

, ,...,=> s

wi

pi

i

= −

21

λλ

• H s) H

s s

n

ii

n(( )

=−

−

=

−

∏ε2 1

0

1

ΠΘΜ


Aproximación de Chebychev PB(V)


H jw HF(w


)( ) ( )

)2

2

2

2

21 12 2 2 2=+

= − =+ −=− = −

• Frecuencias Propias. Método 2 (Trigonometría)

1 0 12 2 2+ − = = +−

=F s C js

ws s

wnp

np

( ) ;ε

sn,i = σi + j wi

σπ

i sh a sen in

i n= −+

= −( ) ( ) , ,...,2 12

0 1

w ch a in

i ni = ++

= −( )cos ( ) , ,...,π 2 12

0 1

a nsh=

−1 11

ε

• H s H

s sn n

n

n n ii

n( )( ),

=−

−

=

−

∏ε2 1

0

1

• Desnormalización con s swn

p

=

ΠΘΜ


Aprox. Chebychev Inverso PB (I)

• Chebychev Inverso

• RAC en Banda de Atenuación, ¿CT ?

• Ceros de Atenuación en el origen

• Forma Modificada de Chebychev

• F wC w

wna

( )2

2 2

1=

ε

• Cálculo del Filtro de Chebychev Inverso, n y ε


n

c hk

c hk

d

s

≥

−

−

1

1

1

1

• Rizado, α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi

εα

=

−

1

10 110a

F(w2)

w

1

1

F((1/w)2)

w

1

1 1----------F((1/w)2)

w

1

1

α(w)

w

ΠΘΜ


Aprox. Chebychev Inverso PB (II)



w w

chn

chrad segc

a=

−1 11

ε

/



• Ceros de Transmisión, (F(w∞,i2)= ∞)

w win

i nia

∞ =+

= −,

cos ( ), ,...,

π 2 12

0 1

ΠΘΜ


Aprox. Chebychev Inverso PB(III)


H jw HF(w


)( ) ( )

)2

2

2

2

21 12 2 2 2=+

= − =+ −=− = −


1 0 12 2 2+ − = = +

F s C jwsn

a( ) ε

s

w wsia p

ich=

• H sHk s w

s s

n ii

Ent n

ii

n( )( )

( )

,

( )

=+

−

∞=

−

=

−

∏

∏

2 2

0

21

0

1

kn par

n w n imparn

a

= +=

=

ε

εε

1 2,

,

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB (I)

• Cauer

• RAC en Banda de Paso, ¿CA ?

• RAC en Banda de Atenuación, ¿CT?

• F(w2) = ε2 k02 g0

2(Ω0) , Ω0 =w

w wa p

gn par

n impar

i

ii

Ent n

i

ii

Ent n0 0

02

02

02

02

0

2

002

02

02

02

0

2

1

1( )

( )( )

,

( )( )

,

,

,

,

,

Ω

Ω ΩΩ Ω

ΩΩ Ω

Ω Ω

=

−−

=

−−

=

=

=

∏

∏

g g00 0 0

1 1Ω Ω

=

( ) ; RAC en BA (CT Ωoi) => RAC en BP (CA 1/Ωoi)

• Normalizaciones

Ω

Ω00 0

1 1p

p

a a

ww a

= = = ; ga k g a0

0 0 0 0

1 1 1

= =

( )

α(w)

w

w

Ωo

wp wa

1ao1

--ao

F(w2)

go(Ωo2)

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB (II)

• Cálculo del Filtro de Cauer, n, ε, k0 y Ω0,i

• T. de Darlington (g0(Ω0) tiene RAC)

g kg

g0 00

1 11 1

12

1( ) ( )( )

Ω ΩΩ

= +

; Ω Ω

Ω00

11

12

1= +

a

gn par

n impar

i

ii

Ent n

i

ii

Ent n1 1

12

12

12

12

0

2

112

12

12

12

0

2

1

1( )

( )( )

,

( )( )

,

,

,

,

,

Ω

Ω ΩΩ Ω

ΩΩ Ω

Ω Ω

=

−−

=

−−

=

=

=

∏

∏

a a a ao1 02 4

01= + − > ; k k ko1 02 4 1= + −

w

Ωo

wp wa

1ao

1--ao

F(w2)

1--a1

1a1

Ω1

go(Ωo2)

g1(Ω12)

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB(III)


• Método Iterativo

g kg

gt tt

t tt t

− −−

= +

1 1

1

12

1( ) ( )( )

Ω ΩΩ ; Ω Ω

Ωtt

tta−

−

= +

1

1

12

1

g

n par

n impar

t t

t i t

t t ii

Ent n

ti t

t t ii

Ent n( )

( )( )

,

( )( )

,

,

,

,

,

Ω

Ω ΩΩ Ω

ΩΩ Ω

Ω Ω

=

−−

=

−−

=

=

=

∏

∏

1

1

2 2

2 20

2

12 2

2 20

2

g1(Ω1) , g2(Ω2) , ... , gm(Ωm)

a a at t t= + −− −12

14 1 ; k k kt t t= + −− −1

21

4 1 , t=1,...,m

am»1»1/am≈0 => Cheb Inv ; am > 50 ; (m=4 en cualquier caso)

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB(IV)


• Aprox. Chebychev Inverso

g k

C am mm

nm

m

( )Ω

Ω

=

; gm(1)=1 => km≈2n-1amn

• Ceros de Transmisión

Ωm ima

in

,

cos ( )=

+

π 2 12

, i=0, ..., n-1

Ω ΩΩt i

tt i

t ia−−

= +

1

1

12

1, ,

, , t=m, ...,1


k kd0

1≥ => k

kd

'01

=

n ka

m

m

≥log( ' )log( )

22

α(w)

w

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB (V)


• Constante

n k

am

m

=log( )log( )

22

k kkt t

t− = +

1

12

1 , t=m, ...,1

• Rizado

α(wi) = 10 log (1+F(wi2)) = αi

εα

= −10 110p


H jw HF(w


)( ) ( )

)2

2

2

2

21 12 2 2 2=+

= − =+ −=− = −

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB(VI)



1 0 12 2

02

02 0

0

+ − = = +

=

F s k gj s

w wa p

( ) ελ

λ

g jjh0

00

λ

= ± ; h

k00

1=

ε

g

kg

gt tt

t tt t

− −−

= +

1 1

1

12

1( ) ( )( )

Ω ΩΩ , t=m, ...,1

h k h k ht t t t t= + +− − − −1 1 1 12 1( ) , t=1, ..., m

g

jjh k

C jamm

mm

m

m

λ

λ

= ± =

Chebychev Inverso => λλ

m

m

InvDir= −1

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB(VII)



λ

φπ π π

φm i

j

m

m

m

m

n

i

rer

kh

kh

n ni i n

i+ = =

= + +

= − − = −

1

21

1

2 20 1

,

, ,...,

λ λλt i

tt i

t ia−−

= −

1

1

12

1, ,

, , t=m+1, ...,1

• HHk

n

n ii

Ent n

ii

n( )( )

( )

,

( )

,

λλ

λ λ0

02

02

0

21

0 00

1=+

−

=

−

=

−

∏

∏

Ω

; Desnorm. con λ0 =s

w wa p

k

kn par

w w

kw

w w

n imparna p

i

a pi

Ent n=

+=

−

=

∞

=

−

∏

11 2

04

0

2

0

21

ε

ε

,

,

,

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB (VIII)



1 0 12 2

02

02 0

0

+ − = = +

=

F s k g sj

s sw wa p

( ) ε

gsj

jh00

0

= ± ; hk0

0

1=

ε

g

kg

gt tt

t tt t

− −−

= +

1 1

1

12

1( ) ( )( )

Ω ΩΩ , t=m, ...,1

h k h k ht t t t t= + −− − − −1 1 1 12 1( ) , t=1, ..., m

g s

jjh k

C jas

mm

mm

m

m

= ± =

Chebychev Inverso con an

sh kh

m

m

=

−1 1

ΠΘΜ


Aproximación de Cauer PB (IX)



s a

sm im

m ich,

,

=

s as

st it

tt

−−

= −

1

1

12

1, , t=m, ...,1

• H sHk s

s sn

n ii

Ent n

ii

n( )( )

( )

,

( )

,

0

02

02

0

21

0 00

1=+

−

=

−

=

−

∏

∏

Ω

k

kn par

w w

kw

w w

n imparna p

i

a pi

Ent n=

+=

−

=

∞

=

−

∏

11 2

04

0

2

0

21

ε

ε

,

,

,

• Desnormalización con s sw wa p

0 =

ΠΘΜ


Análisis Comparativo (I)

• Complejidad

• Orden

Cauer (óptimo)

Chebychev

Butterworth

• Nº de Elementos

LC depende de CT: infinito (1 )

finito(2 )

Activo depende CT finito o infinito

• Calidad

El Q depende de la parte resistiva

But

Chd

Cau

Chi

w

α(w)

ΠΘΜ


Análisis Comparativo (II)

• Respuesta Temporal

• Retardo de Grupo

La distorsión crece con:

la pendiente y el rizado BP

El retardo crece con:

la atenuación (Orden)

• Respuesta al Escalón

al Impulso

La distorsión como el R.G.


Amortiguamiento

Chi

ButCauChd

w

τg(w)

t

r(t)

Chd, Cau

But, Chi

jw

σ

s

Chi But Cau

Chd

ΠΘΜ


Análisis Comparativo (III)

• Butterworth

Características transitorias aceptables

Valores de LC prácticos y poco críticos

Debe usarse siempre que sea posible

• Chebychev

Rizado quita redondeo de la |H(jw)| en wp

Propiedades transitorias se deterioran (n)

Orden influye en la elección de Rg y Rc

Útil cuando lo que importa es |H(jw)|

• Cauer

Óptimo

Requiere ajuste preciso de resonancias

Comportamiento transitorio inaceptable

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