Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad...

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  • Repaso Clase 1: Teora de la medida

  • Propiedades emergentes de la mtrica: 1) Continuidad12345678Los NaturalesEl PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo (S1)01xyDist(3,3) < 0.5 Dist(0.5) < 0.05Dist() < /5dist(5) < 0.5 Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente pequea) Mundos con vecinos arbitrariamente cerca SE PUEDE HACER ANALISIS (Derivar Integrar )

  • Mtricas en Espacios no Euclideos, funciones, imgenes, genes y neuronas En general, dadas dos observaciones, un problema tpico con el que uno se encuentra es decir si son iguales, si pertenecen a una misma categora, si se parecen poco o mucho, si a su vez se asemejan mas que a un tercera observacin, cuanto varia a medida que uno la repite muchas veces y si uno manipula el sistema. En fin, uno quiere establecer una DISTANCIA entre distintas observaciones. Algunos ejemplos que veremos son distancias en respuestas de neuronas (trenes de espigas) y entre genes.

  • Distancia en el Espacio de Funciones Distancia entre una funcin lineal y una sinusoidal, marcada por el rea gris. Una de las distancias mas simples en el espacio de funciones, dada por la suma de la distancia euclidea en cada punto de la funcin.

  • Distancia en el Espacio de Funciones Esta es la idea de cuadrados mnimos, y permite ajustar una funcin a una serie de datos. La funcin que mejor ajusta los datos (de una familia de funciones) es la que resulta ms cercana a los datos originales.

  • Distancia en el Espacio de Funciones Longitud promedio de los segmentos definen la distancia a la curva

  • Distancia en el Espacio de Funciones Longitud promedio de los segmentos definen la distancia a la curva

  • PER

    T IMDistancia en el Espacio de Imgenes (Dinmica del trafico de protenas en la clula) PER

    T IMMeyer et al (2005)Medida analoga a la distancia entre funciones, la suma del valor absoluto de la luminosidad de todos los pixels.

    La importancia de poder cuantificar para establecer modelos correctos. PER y TIM entran juntos al ncleo o por separado?

  • PER

    T IMDistancia en el Espacio de Imgenes (Dinmica del trafico de protenas en la clula) PER

    T IMMeyer et al (2005)Medida analoga a la distancia entre funciones, la suma del valor absoluto de la luminosidad de todos los pixels.

    La importancia de poder cuantificar para establecer modelos correctos. PER y TIM entran juntos al ncleo o por separado?

  • Un problema con la distancia euclidea en el espacio de imgenes (y de caras) Una descomposicin mas inteligente del espacio de caras: una base de caras fundamentales o auto-caras.El problema de una distancia dada por la suma de la diferencia de luminosidad a travs de todos los pixels de la imagen es que distintos ngulos de vista, o oclusiones dan imgenes muy distintas correspondientes al mismo objeto.

  • La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos numero necesito dar para decir de quien hablo? Imagen OriginalDeteccin de rasgos por comparacin a un marco de referenciaDescripcin de una cara en el espacio de rasgos (mucho mas eficiente que el espacio de pixels)

  • Un problema parecido: Similitud entre genesAGTAAGCTAGCAGCA.AGTAAGCGGGCAGCA.La mtrica de comparacin punto a punto funciona bien en este ejemplo, estas dos secuencias son parecidas y su distancia es corta. AGTAAGCTAGCAGCA.XXXAGTAAGCTAGCA .La mtrica de comparacin punto a punto NO FUNCIONA BIEN en este ejemplo, Una traslacion hace que punto a punto niguna base coincida y sin embargo los genes se asemejan.

  • Midiendo distancias entre respuestas neuronales (del saltamontes)Respuesta de una neurona (del saltamontes) a distintos oloresProblema (del saltamontes y del investigador): Como reconstruir el olor a partir de la respuesta? En este caso, el conteo de espigas no alcanzaUna metrica que tiene en cuenta la distancia alcanza para separar cualquier para de olores (tomando la distancia al centro de cada distribucion)Una manipulacion farmacologica (Picotoxina) que perturba el orden temporal sin modificar la respuesta total (baraja en el tiempo) hace que la respuesta a los olores sea inclasifcable. Macleod, Backer, Laurent (1998)

  • Una buena mtrica en el espacio de respuestas neuronales Definir la distancia entre dos secuencias como el numero de operaciones, inserciones, deleciones, traslaciones, necesarias para pasar de una secuencia a la otra. J Victor (2005)

  • Mtrica en el espacio de terremotos (y sus ecos) Una pregunta importante en sismologa es:Dado un gran terremoto, cual es la secuencia temporal de terremotos (ecos, rebotes) que le siguen?LOS DATOSSOLUCION, LA SECUENCIA QUE MINIMIZA LA DISTANCIA A TODAS LAS OBSERVACIONESSchoenberg and Tranbarger.

  • FIN DE LA RUTA (y resumen) Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relacin establecida por una funcin entre dos conjuntos.

    Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)

    Formas cannicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes.

    Espacios mtricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imgenes, caras y terremotos.

  • Repaso Clase 2: Fundamentos de la mecanica

  • HISTORIA DE LA INVARIANZA Un sistema de referencia en el que son vlidas las leyes de la fsica clsica es aquel en el cual todo cuerpo permanece en un estado de movimiento rectilneo y uniforme en ausencia de fuerzas. Aristoteles (III AC): El estado natural de las cosas es la ausencia de movimiento. Luego, en ausencia de fuerzas, estas pierden su impetu y se detienen. La fuerza es por lo tanto necesaria para mantener los objetos en movimiento.

    Buridan (XIV) el del burro: Proponia que un objeto no pierde espontaneamente su impetu sino que esto es la consecuencia de fuerzas que se le oponen (resistencia del aire, gravedad)

    Galileo (XVI) Un objeto continua en la misma direccin y a velocidad constante salvo que sea perturbado. Es imposible determinar la diferencia entre un objeto estacionario y uno en movimiento sin una referencia externa.

    PRIMERA LEY

  • Primera ley a partir de la Ecuacin de Newton Una ecuacin diferencial.

    El significado de este igual es que las dos funciones coinciden.Los operadores que actan sobre las incgnitas no son solo aritmticos sino que incluyen derivadas e integrales. La ecuacin es vectorial.

  • Dos aspectos importantes de la Segunda Ley La masa es un parmetro fsico que caracteriza a un objeto. En particular, de la ecuacin de Newton se asume implcitamente que: LA MASA NO DEPENDE DE LA VELOCIDAD. Esta es una igualdad vectorial que corresponde en realidad a tantas ecuaciones como dimensiones hayan (en general 3)

  • Agnosticismo de las Fuerzas GravedadElsticaElctricaRozamientoF=FELECTRICA + FROZAMIENTO + FGRAVEDAD + FELASTICALa fuerza resultante es la suma de fuerzas de distintos tipos. Uno de los enunciados implcitos en la ecuacin de Newton es que estas fuerzas pueden tratarse, a los efectos del movimiento, como un solo objeto. Fuerza Resultante

  • Tercer principio: Accin y reaccion F1F2Y por lo tanto:Es decir: F1 = -F2 o dicho de otra manera, F1+ F2 = 0:yDe la ley de Newton:Se tiene que:

  • Dinmica de (conjunto) de dos cuerpos con fuerzas extensasF1F2Extensin de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)

  • Repaso Clase 2: Introduciendo la gravedad

  • Introduciendo la gravedadM1M2rSiempre el mismo signo (atractiva) ... salvo rarezas...Proporcional a las dos masas.Proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia.

  • La gravedad entre masas y tamaos muy distintosM1m2rRLa gravedad es distinta a distintas alturas? Si, lo es, porque se puede hablar de un valor de g y no de una funcin g(h)?Estimando la diferencia

  • El experimento (moderno) de Galileo El experimento de Galileo mejorado:Dejar caer objetos en una cmara de vaci y fotografiarlos con una cmara suficientemente rpida.

  • El experimento (mental) de GalileoEl experimento de Galileo de los cuerpos que caen:Misma demostracion para un ojbeto de masa (3m). Generalizar esto para masas arbitrarias.

  • Clase 3:Gravedad, integrales y primeras reglas de conservacin.

  • Gravedad (literalis) cada libre y conservacin de la energa: Evidencia Emprica

  • Gravedad (literalis) cada libre y conservacin de la energa: Evidencia EmpricaDos conceptos importantes.Puede la fsica aportar al grado de verdad de esta afirmacin?

  • Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y espacio. Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:0

  • Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y espacio. Una fuerza un tanto extica, proporcional a al masa y aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra. Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:0La masa no aparece en la ecuacion de movimiento. Una rareza de la gravedad (y potencialmente de cualquier fuerza proporcional a la masa).

  • Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y espacio. Una fuerza un tanto extica, proporcional a al masa y aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra. Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:0Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude interesarnos otras relaciones como por ejemplo v(x)

  • Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y espacio. Una fuerza un tanto extica, proporcional a al masa y aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra. Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:0Con esto hemos determinad