Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad...

48
Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”

Transcript of Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad...

Page 1: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”

Page 2: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad

1 2 3 4 5 6 7 8

Los Naturales El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1)

0 1x

y

Dist(3,3) < 0.5 Dist(0.5) < 0.05 Dist(π) < π/5dist(5) < 0.5

Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente pequeña)

Mundos con vecinos arbitrariamente cerca SE PUEDE HACER ANALISIS (Derivar … Integrar …)

Page 3: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Métricas en Espacios no Euclideos,

funciones, imágenes, genes y neuronas

En general, dadas dos observaciones, un problema típico con el que uno se encuentra es decir si son iguales, si pertenecen a una misma categoría, si se parecen poco o mucho, si a su vez se asemejan mas que a un tercera observación, cuanto varia a medida que uno la repite muchas veces y si uno manipula el sistema. En fin, uno quiere establecer una DISTANCIA entre distintas observaciones. Algunos ejemplos que veremos son distancias en respuestas de neuronas (trenes de espigas) y entre genes.

Page 4: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Distancia en el Espacio de Funciones

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1

-0.5

0

0.5

1 Distancia entre una función lineal y una sinusoidal, marcada por el área gris. Una de las distancias mas simples en el espacio de funciones, dada por la suma de la distancia euclidea en cada punto de la función.

Page 5: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Distancia en el Espacio de Funciones

Esta es la idea de cuadrados mínimos, y permite ajustar una función a una serie de datos. La función que “mejor” ajusta los datos (de una familia de funciones) es la que resulta más cercana a los datos originales.

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

Constante ExponencialD

ista

ncia

Page 6: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Distancia en el Espacio de Funciones

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

Constante ExponencialD

ista

ncia

Longitud promedio de los segmentos definen la

distancia a la curva

Page 7: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Distancia en el Espacio de Funciones

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

Constante ExponencialD

ista

ncia

Longitud promedio de los segmentos definen la

distancia a la curva

Page 8: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

PER

T IM

Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del trafico de proteínas en la célula)

PER

T IM

Meyer et al (2005)

Medida analoga a la distancia entre funciones, la suma del valor absoluto de la luminosidad de todos los pixels.

La importancia de poder cuantificar para establecer modelos correctos. PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado?

Page 9: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

PER

T IM

Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del trafico de proteínas en la célula)

PER

T IM

Meyer et al (2005)

Medida analoga a la distancia entre funciones, la suma del valor absoluto de la luminosidad de todos los pixels.

La importancia de poder cuantificar para establecer modelos correctos. PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado?

Page 10: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Un problema con la distancia “euclidea”

en el espacio de imágenes (y de caras)

Una descomposición mas inteligente del espacio de caras: una

base de “caras fundamentales” o auto-caras.

El problema de una distancia dada por la suma de la diferencia de

luminosidad a través de todos los pixels de la imagen es que distintos ángulos de vista, o oclusiones dan

imágenes muy distintas correspondientes al mismo objeto.

Page 11: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos

numero necesito dar para decir de quien hablo?

Imagen Original

Detección de rasgos por comparación a un marco de referencia

Descripción de una cara en el espacio de rasgos (mucho mas eficiente que el espacio de pixels)

Page 12: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Un problema parecido: Similitud entre genes

AGTAAGCTAGCAGCA….

AGTAAGCGGGCAGCA….

La métrica de comparación punto a punto funciona bien en este ejemplo, estas dos secuencias son parecidas y su distancia es corta.

AGTAAGCTAGCAGCA….

XXXAGTAAGCTAGCA ….

La métrica de comparación punto a punto NO FUNCIONA BIEN en este ejemplo, Una traslacion hace que punto a punto niguna base coincida y sin embargo los genes se asemejan.

Page 13: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Midiendo distancias entre respuestas neuronales (del saltamontes)

Respuesta de una neurona (del saltamontes) a distintos olores

Problema (del saltamontes y del investigador): Como reconstruir el olor a partir de la respuesta? En este caso, el conteo de espigas no alcanza…

Una metrica que tiene en cuenta la distancia alcanza para separar cualquier para de olores (tomando la distancia al centro de cada distribucion)

Una manipulacion farmacologica (Picotoxina) que perturba el orden temporal sin modificar la respuesta total (baraja en el tiempo) hace que la respuesta a los olores sea inclasifcable.

Macleod, Backer, Laurent (1998)

Page 14: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Una buena métrica en el espacio de

respuestas neuronales

Definir la distancia entre dos secuencias como el numero de operaciones, inserciones, deleciones, traslaciones, necesarias para pasar de una secuencia a la otra.

J Victor (2005)

Page 15: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Métrica en el espacio de terremotos (y

sus ecos) Una pregunta importante en sismología es:

Dado un gran terremoto, cual es la secuencia temporal de terremotos (ecos, rebotes) que le siguen?

LOS DATOSSOLUCION, LA SECUENCIA QUE MINIMIZA LA DISTANCIA A TODAS LAS OBSERVACIONES

Schoenberg and Tranbarger.

Page 16: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

FIN DE LA RUTA (y resumen)

1. Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos.

2. Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)

3. Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes.

4. Espacios métricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

Page 17: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Repaso Clase 2: “Fundamentos de la mecanica”

Page 18: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

HISTORIA DE LA INVARIANZA

Un sistema de referencia en el que son válidas las leyes de la física clásica es aquel en el cual todo cuerpo permanece en un estado de movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia de fuerzas.

Aristoteles (III AC): El estado natural de las cosas es la ausencia de movimiento. Luego, en ausencia de fuerzas, estas pierden su “impetu” y se detienen. La fuerza es por lo tanto necesaria para mantener los objetos en movimiento.

Buridan (XIV) “el del burro”: Proponia que un objeto no pierde espontaneamente su impetu sino que esto es la consecuencia de fuerzas que se le oponen (resistencia del aire, gravedad…)

Galileo (XVI) Un objeto continua en la misma dirección y a velocidad constante salvo que sea perturbado. Es imposible determinar la diferencia entre un objeto estacionario y uno en movimiento sin una referencia externa.

PRIMERA LEY

Page 19: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Primera ley a partir de la Ecuación de

Newton

)( vmdt

dF

Una ecuación diferencial.

El significado de este “igual” es que las dos funciones coinciden.

Los operadores que actúan sobre las incógnitas no son solo

aritméticos sino que incluyen derivadas e integrales.

La ecuación es vectorial.

Page 20: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Dos aspectos importantes de la

Segunda Ley

La masa es un parámetro físico que caracteriza a un objeto.

En particular, de la ecuación de Newton se asume implícitamente

que:

LA MASA NO DEPENDE DE LA VELOCIDAD.

)( vmdt

dF

amv

dt

dmF

)(

Esta es una igualdad vectorial que corresponde en realidad a tantas ecuaciones como dimensiones hayan (en general 3)

zz

yy

xx

amF

amF

amF

Page 21: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Agnosticismo de las Fuerzas

Gravedad

ElásticaEléctrica

RozamientoF=FELECTRICA + FROZAMIENTO + FGRAVEDAD + FELASTICA

La fuerza resultante es la suma de fuerzas de distintos tipos. Uno de los enunciados implícitos en la ecuación de Newton es que estas fuerzas pueden tratarse, a los efectos del movimiento, como un solo objeto.

Fuerza Resultante

Page 22: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Tercer principio: Acción y reaccion

F1 F2

Y por lo tanto:

0)()()( 22111211 vmvmdt

dvm

dt

dvm

dt

d

Es decir: F1 = -F2 o dicho de otra manera, F1+ F2 = 0:

)( 22 vmdt

dF

)( 11 vm

dt

dF

yDe la ley de Newton:

pppvmvm

212211 )(

Se tiene que:

Page 23: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos con fuerzas extensas

F1 F2

211211 )()()( FFvmdt

dvm

dt

dp

dt

d

EXTEXTEXTEXT FFFFFFvmdt

dvm

dt

d212211121211 )()(

EXTFpdt

d)(

Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)

Page 24: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Repaso Clase 2: “Introduciendo la gravedad”

Page 25: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Introduciendo la gravedad

M1 M2

221

r

MMGFGravedad

r

•Siempre el mismo signo (atractiva) ... salvo rarezas...•Proporcional a las dos masas.•Proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia.

Page 26: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

La gravedad entre masas y tamaños muy distintos

M1 m2r

R

La gravedad es distinta a distintas alturas? Si, lo es, porque se puede hablar de un valor de g y no de una función g(h)?

221

r

mMGF

221

)( hR

mMGF

22

21

)1(Rh

R

mMGF

Estimando la diferencia

Page 27: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

El experimento (moderno) de Galileo

El experimento de Galileo mejorado:Dejar caer objetos en una cámara de vació y fotografiarlos

con una cámara suficientemente rápida.

Page 28: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

El experimento (mental) de Galileo

El experimento de Galileo de los cuerpos que caen:Misma “demostracion” para un ojbeto de masa (3m).

Generalizar esto para masas arbitrarias.

Page 29: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Clase 3:Gravedad, integrales y primeras reglas de conservación.

Page 30: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Gravedad (literalis) caída libre y conservación de la energía: Evidencia Empírica

Page 31: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Gravedad (literalis) caída libre y conservación de la energía: Evidencia Empírica

Dos conceptos importantes.

¿Puede la física aportar al grado de verdad de esta afirmación?

Page 32: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio. )( vm

dt

dF

mg

Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:

dt

dvmmg

0

Page 33: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio. )( vm

dt

dF

mg Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al masa y

aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra.

Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:

dt

dvmmg

0

La masa no aparece en la ecuacion de movimiento. Una rareza de la gravedad (y potencialmente de cualquier

fuerza proporcional a la masa).

Page 34: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio. )( vm

dt

dF

mg Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al masa y

aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra.

Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:

gtvgtvdt

dvmmg 0

0

Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude interesarnos otras relaciones como por ejemplo v(x)

Page 35: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio. )( vm

dt

dF

mg Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al masa y

aproximadamente constante cerca de la superficie de la tierra.

Podemos resolver las ecuaciones del movimiento:

gtvgtvdt

dvmmg 0

2

2

gtxgtv

dt

dx

0

Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude interesarnos otras relaciones como por ejemplo v(x)

Page 36: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 1: Resolver el sistema de ecuaciones ya integrado.

gtv

0

h=(H-x)

2

2

gtx

Page 37: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 1: Resolver el sistema de ecuaciones ya integrado.

gtv

g

v

g

gtgtx

22

)(

2

222

0

2

2vgx

h=(H-x)

2

2

gtx

Page 38: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 1: Resolver el sistema de ecuaciones ya integrado.

gtv

g

v

g

gtgtx

22

)(

2

222

0

Con esto hemos determinado x(v) y a partir de esa relación encontramos que hay una cantidad que se conserva.

2

2vgx

h=(H-x)22

)(22 v

ghgHv

hHg

Page 39: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?

0

Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.

h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

Page 40: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?

0

Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.

h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg

Page 41: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?

0

Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.

h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg

g

v

dv

dxv

dx

dvg

Page 42: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?

0

h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg

g

v

dv

dxv

dx

dvg

?????? xg

v

dv

dx

Page 43: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Funciones del movimiento, velocidad,

tiempo y espacio.

mg

Posibilidad 2: Resolver directamente las ecuaciones para v(x) o x(v). ¿Como?

0

Podemos resolver directamente las ecuaciones de movimiento sobre una variable que no sea el tiempo.

h=(H-x)

)( vmdt

dF

dt

dvg

dt

dvmmg

dt

dx

dx

dv

dt

dvg

g

v

dv

dxv

dx

dvg

22

22 vgx

g

vx

g

v

dv

dx

Page 44: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Fundamentos de fisica aplicada.

mg

0gxv

g

vx 22

2

Page 45: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Fundamentos de fisica aplicada.

mg

0gxv

g

vx 22

2

Si H es un 7 piso (22 metros):

h

km

s

mm

s

mv 722020102

2

Page 46: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Fundamentos de fisica aplicada.

mg

0gxv

g

vx 22

2

Si H es un 7 piso (22 metros):

Si H es un 1 piso (3 metros):

h

km

s

mm

s

mv 722020102

2

h

km

s

mm

s

mv 2883102

2

Pipino Cuevas en el primer piso, de donde, parece, pudo producirse la caída.

Page 47: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Conservación. Integrando funciones desconocidas: Saber

algo cuando no se puede saber todo.

)(),,,,( vmdt

dtqvxF

Page 48: Repaso Clase 1: “Teoría de la medida”. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad 12345678 … ∞ Los Naturales El PlanoEl Intervalo (I1)El Circulo.

Conservación. Integrando funciones desconocidas: Saber

algo cuando no se puede saber todo.

)()( vmdt

dxF

Consideremos el caso, mas simple, en que la fuerza es solo una función de la posición, como es el caso para dos fuerzas que nos interesan: la gravedad y la elástica (y, veremos, modulo una constante también la eléctrica)