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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 18. April 2006
Robert Klanner
Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 2
WIEDERHOLUNG
Dirac GleichungDualität Teilchen Welle: (ℏ = c =1)
KG: - neg. Energien + neg. Wahrsch.-Dichte Dirac: kov. Gleichung linear in E und p:
mit Bedingung i , … 4x4 Matrizen
Lösung ψ Spinor mit 4 Komponenten beschreibt Spin ½ Teilchen mit Masse m Lösung mit neg. Energien Antiteilchen
freies Elektron in Ruhe:
freies Positron in Ruhe:
Elektron im em Potential: Pauli-Gleichung
Dirac Gleichung beschreibt korrekt Elektronen und Positronen
DGL in kovarianter Schreibweise: - kovariante und kontravariante Vektoren: - -Matrizen: - Ableitungen:
- kovariante Form DGL: - vollständige Lösungen:
2,2
, eeeePot gSm
egBE
mpE
Schrödinger Gleichung (SG) Klein-Gordon Gleichung (KG)
),( A
222
2 2/
mpE
mpE
mtimti ee
1
0,
0
1
mtimti ee
1
0,
0
1
222 mpE
ipp
tiEE
ˆ
/ˆ
AepPp
babababaaaaaaa 0000 ,),(),,(
),(
),/(/
,),/(/
tx
tx
0)()( xmi
4-Stromdichte:
0
),(
jj
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 3
DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE
„anschauliche“ Erläuterung: Streuung geladener (punktf!) -Mesonen an Potential V(t)
+-Streuung
mit+ absorbiert Photon der Energie --Streuungeinlaufend - mit E1>0 = ausl. + mit Eout= -E1
auslaufend - mit E2>0 = einl. + mit Ein= -E2
mit
- absorbiert Photon der Energie - -Paarerzeugungrücklaufendes + vorlauf. - mit E1+E2 = ℏ
- -PaarvernichtungPotential: V nimmt Energie auf
- vernichten in Photon mit
dttVMee inouttiE
outtiE
inoutin )(,, *
)()(2 inoutiEt EEMEdte
)(2
)(
12)(
)(*
12
EEdte
dtedttVM
EEi
EEiinout
inout
)(2 12)( EEdteM inout EEi
ti
ti
eVtV
eVtV
0
0
)(
)( V gibt Energie abV nimmt Energie auf
tieVtV 0)(
)(2 12)( EEdteM inout EEi
21 EE
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 4
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
2. Feynman-Regeln und –Diagramme2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED2.2 Ableitung der Regeln (1)2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung2.4 Ableitung der Regeln (2)2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen)2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d2.8 Berechnung des Matrix-Elements2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse2.10 PETRA und das JADE-Experiment2.11 Helizität und Chiralität2.12 d-Funktionen
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 5
Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur QED ie. Photonen, geladene Leptonen, (Quarks)):– Vertizes: Umwandlung von Teilchen, Teilchenzahländerung:
– äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen– innere Linien (Propagatoren): z.B. in
Zuordnung:– einlaufende Fermionen:– auslaufende Fermionen: – einlaufende Antifermionen:– auslaufende Antifermionen: – Photon-Absorption/Emission: (Polarisationsvektor , Coulomb-Eichung 0=0)
2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED
– innere Photonen mit Impuls q: (“Propagator”)
– innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls p, Masse m
– Vertex mit Ladung Qe: (+-Funktion zur Energieerhaltung)
– Schleifen: Integration über mögliche Impulse:
Ableitung des Matrixelements / des Wirkungs-querschnitts des Prozesses durch (geschicktes) Multiplizieren der Beiträge.
? ? ?
21s ),,( pEpp
),( spu
2q
gi
),( spv
),( spu
),( spv
22 mp
mpi
,,0,0
iQe
4
4
2pd
q qp
q-p
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 6
man spricht von der Strom-Strom-Wechselwirkung
2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED
Zeit
2q
gi
)( 134 qppie )( 24
4 qppie
)( 1pu )( 2pu
)( 3pu )( 4pu
e–
e–
–
–
)()()()()()()2( 24213134
244442)1( pupu
iq
gpupuqppqppqdieS fi
Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer Störungsreihe in der Kopplung e dar:
Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle (Schleifen-) Korrekturen auf.
Matrixelement Sfi
(1) 1te Ordnung
Störungstheorie
)()(*3 xSxxdS
S
isfi
iStreu
)(2
)(
j
iq
gj e
...... 42)2()1( eeSS fifi
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2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (1)
Vorgehensweise:1.Berechnung Elektron-Propagator
(zeitliche Entwicklung Spinor im Vektorpotential A)
2.Berechnung Photon-Propagator(Vektorpotential vom Target)
Lösung mit Hilfe Greens-Funktion (GF)Erinnerung Elektrostatik:
Poisson Gl:
Lösung:
GF:
GF: Potential Ladung Stärke 1
)'4
)'(')(
)()(
3
2
xx
xxdx
xx
'4
1)'(
)'()'(')(
)'()'(3
32
xxxxG
xxxGxdx
xxxxG
Wir betrachten ein Elektron im elektromagnetischen Feld A:Die Dirac-Gleichung mit Potentialterm:
Diese Gleichung löst man mithilfe einer Greens-Funktion K(x-x’) mit dem Ansatz:
Falls man K(x-x’) gefunden hat, dann gilt:
Problem: Dies ist eine Integralgleichung für Lösung iterativ durch Entwicklung nach Potenzen von e.
Aufgaben: – Finden von K(x-x’)– Iterative Lösung obiger Gleichung– Interpretation von K(x-x’)
AA
,
Aexmi )(
)()( 4 xxxxKmi
)()()()( 4 xxAxxKxdex
(Heaviside-Lorentz Einheiten von SI-E mit =1)
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 8
2.2 “ABLEITUNG” FEYNMAN-REGELN (2)
Es gilt: Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung kann man immer eine Lösung (freies Teilchen) der homogenen Gleichung hinzuaddieren
Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts wird als kleine Störung behandelt!0te Näherung:
1te Näherung:
2te Näherung:
)()()()()( 4 xxAxxKxdexx
)()()0( xx
)()()()(
)()()()()(
4
)0(4)1(
xxAxxKxdex
xxAxxKxdexx
)()()()()(
)()()()(
)()()()()(
442
4
)1(4)2(
xxAxxKxdxAxxKxde
xxAxxKxdex
xxAxxKxdexx
Weiter durch Berechnung der Fourier-Transformierten von K(x-x’):
Einsetzen in …
… ergibt:
Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man:
Das ist aber der Propagator des Elektrons! K beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p2-m20 gelten muss! Einsetzen des Ergebnisses in die Fourier-Transformation ergibt (länglich):
)(~pK
xxippKpdxxK exp)(~
2)'( 44
)()( 4 xxxxKmi
4)(~
IpKmp
22)(
~
mp
mppK
ttE
mpEpedixxK
ttE
mpEpedixxK
ttiExxpi
ttiExxpi
2
)2()(
2
)2()(
0)()(33
0)()(33
für p2 –m20
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 9
2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (3)
Anmerkung:Bei Berechnung komplexes Integral:
Pole bei p0=±E verschiedene Integrationswege - für t>t‘ (p0=+E … Ausbreitung in Zukunft) - t<t‘ (p0=-E … Ausbreitung in Vergangenheit)
„verhindert“ durch Verschiebung Pol um i
Auf analoge Weise kann man sich aus der inhomogenen Wellengleichung des Viererpotentials eines geladenen (+e) Teilchens mit dem Strom J …
… mit der Lorentz-Bedingung … einer Greens-Funktion
… mit Lösung:
… den Propagator des Photons verschaffen:
Warum heißt K(x-x’) Propagator? K(x-x’) bewirkt die zeitliche Entwicklung eines freien Dirac-Spinors von x nach x’ (Beweis lang!):
eJxA )(
)()(D 4 xxgxx
iq
gqD
2
)(~
)()()( 4 xJxxDxdexA
022 mpE
)()(
)(
00
)'(
0
0
EpEp
empdp
ttpi
mit
imp
mppK
22)(
~
0 A
)()()(
,)()()(
03
03
xxKxxdix
xxxKxdix
für t > t‘ = 0 t < t‘ für t < t‘ = 0 t > t‘
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 10
2.3 MATRIXELEMENT DER e–-STREUUNG
Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen (Streuprozessen). Kollimierter e–-Strahl, der an Potential A gestreut wird:
Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit pf gemessen Entwickle streu nach ebenen Wellen und projiziere f(pf) heraus:
streu wird entwickelt: z.B.
Die “Wahrscheinlichkeit” für den Übergang f (das “Matrixelement”) ist dann gegeben durch (QM!):
Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung …
da (siehe vorher):
ip
1tt 2tt
tt Streuung
fp
Potential
Detektor, dEinlaufendeebene Welle
Streuwelle
xStreumatriS ,1 iistreu TS
)()()()()( 24
22)1( xxAxxKxdexx iistreu
)()(
)()(
2223
2223
xSxxd
xxxdSS
if
streufifstreuffi
)()()(
)()()()(
4
22234)1(
xxAxxdie
xxAxxKxxdxdeS
if
iffi
)()()( 2223 xxKxxdix ff
K(x2-x’) extrapoliert am Detektor gemessene Wellenfunktion f(x2) ins Target bei x’ zurück
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 11
2.4 ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (4)
Potential A des „Targetteilchens“ (p)? Rückgriff auf Berechnung des -Propagators (nicht explizit gezeigt)mit
und mit
folgt nach einiger Rechnung:
Damit sind die Feynman-Regeln gezeigt!
Ausführliche Rechnung:)()()(4 xxAxxdieS iffi
)()()( pi
pfeeJxA
xppip
xipf
xipi
epupuexeJ
epuxepux)(
24)(
42
24
42
)()()(
)()( ,)()(
)()()(
)()()(
2422444
4
pupueiq
gqppqde
xJxxDxdexA
iqx
)(2)(
214342
)(2)(
134
244442)1(
1)(
1)()()2(
pe
pe
fi
Jiq
Jppppie
Jiq
JqppqppqdieS
RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 12
2.5 FERMIS GOLDENE REGEL UND WIRKUNGSQUERSCHNITTE
Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert!
Ursache: Annahme von ebenen Wellen und nicht von Wellenpaketen
Wellenpakete mathem. kompliziert – gleiches Ergebnis ebene Welle ∫ über endliche Zeiten
Energieunschärfe:
Übergangswahrscheinlichkeit der Reaktion:
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:
Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als:
mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen jein.
22)( iffi EES
tEEifi
xptEiff
xptEiii
iffi
if
ffii
edtMS
eueu
xxAxxdieS
)(
)()(
4
,
)()()(
22
2/
2/
)2(
)2sin()(
)2(
)2sin(
)(!!!)(2
TfS
TedtS
EEedt
fi
T
T
tifi
ifti
TEM
dfEMdEES
EdEESdW
f
ffffi
ffffi
2)(
)()()(W
etandsdichtEnergiezus )( ,)(
2
22
2
)(22
fEMw
2
2
2
)/(
/)(2m
smTeilchen
sWW
j
EM
j
w
ein
f
ein
2 TE if
Fermi‘s Goldene Regel