TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006

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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006 Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006. Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006. WIEDERHOLUNG. Dirac Gleichung Dualität Teilchen Welle: ( ℏ = c =1) KG: - neg. Energien + neg. Wahrsch.-Dichte  Dirac : kov. Gleichung linear in E und p: - PowerPoint PPT Presentation

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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 18. April 2006

Robert Klanner

Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

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RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 2

WIEDERHOLUNG

Dirac GleichungDualität Teilchen Welle: (ℏ = c =1)

KG: - neg. Energien + neg. Wahrsch.-Dichte Dirac: kov. Gleichung linear in E und p:

mit Bedingung i , … 4x4 Matrizen

Lösung ψ Spinor mit 4 Komponenten beschreibt Spin ½ Teilchen mit Masse m Lösung mit neg. Energien Antiteilchen

freies Elektron in Ruhe:

freies Positron in Ruhe:

Elektron im em Potential: Pauli-Gleichung

Dirac Gleichung beschreibt korrekt Elektronen und Positronen

DGL in kovarianter Schreibweise: - kovariante und kontravariante Vektoren: - -Matrizen: - Ableitungen:

- kovariante Form DGL: - vollständige Lösungen:

2,2

, eeeePot gSm

egBE

mpE

Schrödinger Gleichung (SG) Klein-Gordon Gleichung (KG)

),( A

222

2 2/

mpE

mpE

mtimti ee

1

0,

0

1

mtimti ee

1

0,

0

1

222 mpE

ipp

tiEE

ˆ

AepPp

babababaaaaaaa 0000 ,),(),,(

),(

),/(/

,),/(/

tx

tx

0)()( xmi

4-Stromdichte:

0

),(

jj

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RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 18.4.2006 - 3

DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE

„anschauliche“ Erläuterung: Streuung geladener (punktf!) -Mesonen an Potential V(t)

+-Streuung

mit+ absorbiert Photon der Energie --Streuungeinlaufend - mit E1>0 = ausl. + mit Eout= -E1

auslaufend - mit E2>0 = einl. + mit Ein= -E2

mit

- absorbiert Photon der Energie - -Paarerzeugungrücklaufendes + vorlauf. - mit E1+E2 = ℏ

- -PaarvernichtungPotential: V nimmt Energie auf

- vernichten in Photon mit

dttVMee inouttiE

outtiE

inoutin )(,, *

)()(2 inoutiEt EEMEdte

)(2

)(

12)(

)(*

12

EEdte

dtedttVM

EEi

EEiinout

inout

)(2 12)( EEdteM inout EEi

ti

ti

eVtV

eVtV

0

0

)(

)( V gibt Energie abV nimmt Energie auf

tieVtV 0)(

)(2 12)( EEdteM inout EEi

21 EE

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ÜBERBLICK

1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen

2. Feynman-Regeln und –Diagramme2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED2.2 Ableitung der Regeln (1)2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung2.4 Ableitung der Regeln (2)2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen)2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d2.8 Berechnung des Matrix-Elements2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse2.10 PETRA und das JADE-Experiment2.11 Helizität und Chiralität2.12 d-Funktionen

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Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur QED ie. Photonen, geladene Leptonen, (Quarks)):– Vertizes: Umwandlung von Teilchen, Teilchenzahländerung:

– äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen– innere Linien (Propagatoren): z.B. in

Zuordnung:– einlaufende Fermionen:– auslaufende Fermionen: – einlaufende Antifermionen:– auslaufende Antifermionen: – Photon-Absorption/Emission: (Polarisationsvektor , Coulomb-Eichung 0=0)

2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED

– innere Photonen mit Impuls q: (“Propagator”)

– innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls p, Masse m

– Vertex mit Ladung Qe: (+-Funktion zur Energieerhaltung)

– Schleifen: Integration über mögliche Impulse:

Ableitung des Matrixelements / des Wirkungs-querschnitts des Prozesses durch (geschicktes) Multiplizieren der Beiträge.

? ? ?

21s ),,( pEpp

),( spu

2q

gi

),( spv

),( spu

),( spv

22 mp

mpi

,,0,0

iQe

4

4

2pd

q qp

q-p

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man spricht von der Strom-Strom-Wechselwirkung

2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED

Zeit

2q

gi

)( 134 qppie )( 24

4 qppie

)( 1pu )( 2pu

)( 3pu )( 4pu

e–

e–

)()()()()()()2( 24213134

244442)1( pupu

iq

gpupuqppqppqdieS fi

Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer Störungsreihe in der Kopplung e dar:

Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle (Schleifen-) Korrekturen auf.

Matrixelement Sfi

(1) 1te Ordnung

Störungstheorie

)()(*3 xSxxdS

S

isfi

iStreu

)(2

)(

j

iq

gj e

...... 42)2()1( eeSS fifi

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2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (1)

Vorgehensweise:1.Berechnung Elektron-Propagator

(zeitliche Entwicklung Spinor im Vektorpotential A)

2.Berechnung Photon-Propagator(Vektorpotential vom Target)

Lösung mit Hilfe Greens-Funktion (GF)Erinnerung Elektrostatik:

Poisson Gl:

Lösung:

GF:

GF: Potential Ladung Stärke 1

)'4

)'(')(

)()(

3

2

xx

xxdx

xx

'4

1)'(

)'()'(')(

)'()'(3

32

xxxxG

xxxGxdx

xxxxG

Wir betrachten ein Elektron im elektromagnetischen Feld A:Die Dirac-Gleichung mit Potentialterm:

Diese Gleichung löst man mithilfe einer Greens-Funktion K(x-x’) mit dem Ansatz:

Falls man K(x-x’) gefunden hat, dann gilt:

Problem: Dies ist eine Integralgleichung für Lösung iterativ durch Entwicklung nach Potenzen von e.

Aufgaben: – Finden von K(x-x’)– Iterative Lösung obiger Gleichung– Interpretation von K(x-x’)

AA

,

Aexmi )(

)()( 4 xxxxKmi

)()()()( 4 xxAxxKxdex

(Heaviside-Lorentz Einheiten von SI-E mit =1)

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2.2 “ABLEITUNG” FEYNMAN-REGELN (2)

Es gilt: Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung kann man immer eine Lösung (freies Teilchen) der homogenen Gleichung hinzuaddieren

Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts wird als kleine Störung behandelt!0te Näherung:

1te Näherung:

2te Näherung:

)()()()()( 4 xxAxxKxdexx

)()()0( xx

)()()()(

)()()()()(

4

)0(4)1(

xxAxxKxdex

xxAxxKxdexx

)()()()()(

)()()()(

)()()()()(

442

4

)1(4)2(

xxAxxKxdxAxxKxde

xxAxxKxdex

xxAxxKxdexx

Weiter durch Berechnung der Fourier-Transformierten von K(x-x’):

Einsetzen in …

… ergibt:

Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man:

Das ist aber der Propagator des Elektrons! K beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p2-m20 gelten muss! Einsetzen des Ergebnisses in die Fourier-Transformation ergibt (länglich):

)(~pK

xxippKpdxxK exp)(~

2)'( 44

)()( 4 xxxxKmi

4)(~

IpKmp

22)(

~

mp

mppK

ttE

mpEpedixxK

ttE

mpEpedixxK

ttiExxpi

ttiExxpi

2

)2()(

2

)2()(

0)()(33

0)()(33

für p2 –m20

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2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (3)

Anmerkung:Bei Berechnung komplexes Integral:

Pole bei p0=±E verschiedene Integrationswege - für t>t‘ (p0=+E … Ausbreitung in Zukunft) - t<t‘ (p0=-E … Ausbreitung in Vergangenheit)

„verhindert“ durch Verschiebung Pol um i

Auf analoge Weise kann man sich aus der inhomogenen Wellengleichung des Viererpotentials eines geladenen (+e) Teilchens mit dem Strom J …

… mit der Lorentz-Bedingung … einer Greens-Funktion

… mit Lösung:

… den Propagator des Photons verschaffen:

Warum heißt K(x-x’) Propagator? K(x-x’) bewirkt die zeitliche Entwicklung eines freien Dirac-Spinors von x nach x’ (Beweis lang!):

eJxA )(

)()(D 4 xxgxx

iq

gqD

2

)(~

)()()( 4 xJxxDxdexA

022 mpE

)()(

)(

00

)'(

0

0

EpEp

empdp

ttpi

mit

imp

mppK

22)(

~

0 A

)()()(

,)()()(

03

03

xxKxxdix

xxxKxdix

für t > t‘ = 0 t < t‘ für t < t‘ = 0 t > t‘

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2.3 MATRIXELEMENT DER e–-STREUUNG

Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen (Streuprozessen). Kollimierter e–-Strahl, der an Potential A gestreut wird:

Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit pf gemessen Entwickle streu nach ebenen Wellen und projiziere f(pf) heraus:

streu wird entwickelt: z.B.

Die “Wahrscheinlichkeit” für den Übergang f (das “Matrixelement”) ist dann gegeben durch (QM!):

Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung …

da (siehe vorher):

ip

1tt 2tt

tt Streuung

fp

Potential

Detektor, dEinlaufendeebene Welle

Streuwelle

xStreumatriS ,1 iistreu TS

)()()()()( 24

22)1( xxAxxKxdexx iistreu

)()(

)()(

2223

2223

xSxxd

xxxdSS

if

streufifstreuffi

)()()(

)()()()(

4

22234)1(

xxAxxdie

xxAxxKxxdxdeS

if

iffi

)()()( 2223 xxKxxdix ff

K(x2-x’) extrapoliert am Detektor gemessene Wellenfunktion f(x2) ins Target bei x’ zurück

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2.4 ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (4)

Potential A des „Targetteilchens“ (p)? Rückgriff auf Berechnung des -Propagators (nicht explizit gezeigt)mit

und mit

folgt nach einiger Rechnung:

Damit sind die Feynman-Regeln gezeigt!

Ausführliche Rechnung:)()()(4 xxAxxdieS iffi

)()()( pi

pfeeJxA

xppip

xipf

xipi

epupuexeJ

epuxepux)(

24)(

42

24

42

)()()(

)()( ,)()(

)()()(

)()()(

2422444

4

pupueiq

gqppqde

xJxxDxdexA

iqx

)(2)(

214342

)(2)(

134

244442)1(

1)(

1)()()2(

pe

pe

fi

Jiq

Jppppie

Jiq

JqppqppqdieS

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2.5 FERMIS GOLDENE REGEL UND WIRKUNGSQUERSCHNITTE

Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert!

Ursache: Annahme von ebenen Wellen und nicht von Wellenpaketen

Wellenpakete mathem. kompliziert – gleiches Ergebnis ebene Welle ∫ über endliche Zeiten

Energieunschärfe:

Übergangswahrscheinlichkeit der Reaktion:

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:

Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als:

mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen jein.

22)( iffi EES

tEEifi

xptEiff

xptEiii

iffi

if

ffii

edtMS

eueu

xxAxxdieS

)(

)()(

4

,

)()()(

22

2/

2/

)2(

)2sin()(

)2(

)2sin(

)(!!!)(2

TfS

TedtS

EEedt

fi

T

T

tifi

ifti

TEM

dfEMdEES

EdEESdW

f

ffffi

ffffi

2)(

)()()(W

etandsdichtEnergiezus )( ,)(

2

22

2

)(22

fEMw

2

2

2

)/(

/)(2m

smTeilchen

sWW

j

EM

j

w

ein

f

ein

2 TE if

Fermi‘s Goldene Regel