Mecánica Cuántica IIIIEl Espín

Aplicación de los Postulados de Mecánica Cuántica a problemas de Espín

Producción: Roberto Ortiz Edición: Juan Calderón

1 0

0 12zS

Establecemos:Establecemos:

0 1

1 02xS

0

02y

iS

i

0|

1z

Establecemos:Establecemos:

11|

12x

11|

2y i

11|

12x

11|

2y i

1|

0z

ProblemaProblema

Al medir la componente xx del espín de un electrón, calcular la probabilidad de que resulte ++ћћ/2/2 o, --ћћ/2/2, si antes de la medición, el estado | | ψψ > > del sistema es :1.1. | 0 >| 0 >2.2. | 1 > ,| 1 > ,3.3. (1/√2)*(| 0 > + | 1 > ) (1/√2)*(| 0 > + | 1 > )

Donde | 0 > | 0 > es el +z+z estado polarizado |+ >z |+ >z y |1> |1> es el –z–z estado polarizado | - >z| - >z.

Postulados de la Mecánica Postulados de la Mecánica CuánticaCuántica El valor esperado del observable MMkk es:

Por medio de la descomposición espectral de la matriz MMkk apodemos expresarla en términos de sus valores y vectores propios.

Podemos hacer lo mismo con el vector de estado:

k kM M

k n k kn n

M nP n n n

n kn

a n

En la parte derecha de la última ecuación se ha tomado el caso específico en que el observable solo puede arrojar dos valores. Precisamente el caso de nuestro interés en que:

k n k k k kn

M nP n n

Postulados de la Mecánica Postulados de la Mecánica CuánticaCuántica

2n

, , _ _k x y ó z

Postulados de la Mecánica Postulados de la Mecánica CuánticaCuántica

Las mediciones cuánticas son descritas por un grupo de operadores matemáticos que determinan los observables físicos MMkk de medición, actuando en los vectores de estado del sistema medido. Si el estado del sistema antes de la medición es |ψ>|ψ>, entonces el resultado m, m, ocurre con una probabilidad:

*

* *

2*

n nk k k k k kn n

n n n nm n nmk k k kn n n n

m m m

p m m m a n m m a n

a n m a m n a a

a a a

Postulados de la Mecánica Postulados de la Mecánica CuánticaCuántica

De acuerdo a los postulados, justo después de la medición, el espinor colapsa a un nuevo estado. En este caso es:

Ahora recordamos el hecho de que |ψ>|ψ> se puede expresar en términos de los vectores propios del operador MMkk en cuestión:

Donde los coeficientes aann constituyen todo el espacio de posibilidades.

new k k k k

k k

m m m m

p m m m

n kn

a n

Lo cual nos lleva a:

La probabilidad de la suma de todos los resultados es uno:

2 21 1mk k

m m m

p m m m a

2

new k k kn nk k k

n nmk k

m m ma n a m n

am m

Postulados de la Mecánica Postulados de la Mecánica CuánticaCuántica

mk kn mn k

nm m

m a ma m

a a

El estado |ψ > = a|0 > + b|1 >|ψ > = a|0 > + b|1 > entonces tiene una probabilidad:

0 1

1 0 0 00 0 , 1 1

0 0 0 1P P

2

00 0 0p P a

Dados:

De rendir |0 >, y probabilidad después de la medición, con nuevos estados

De rendir |1 >, después de la medición, con nuevos estados

2†1 1 11p M M M b

0 10 , 1M Ma b

a a b b

1. El operador Sx = (ћ/2) σx tiene la siguiente descomposición espectral:

Donde Pm = |m >< m |, con |m > siendo loseigenvectores de Sx.

| 0 0 | |1 1|2 2x m

m

S mP

1 11 1 1 1

1 12 2xS

1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 02 2 2xS

Por lo tanto, si |ψ > = |0 >, la probabilidad de

medir +ћ/2 es igual a:

Y la probabilidad de medir -ћ/2 es igual a

0 | | 0 0 | | 0 12

p

1 1 11 1 11 1 1

1 1 12 22 2p

0 | |1 1| | 0 02

p

1 1 11 1 11 1 0

1 1 12 22 2p

2. Si |ψ > = |1>, tenemos

y

1| | 0 0 | |1 02

p

1| |1 1| |1 12

p

1 1 11 1 11 1 0

1 1 12 22 2p

1 1 11 1 11 1 1

1 1 12 22 2p

3. Finalmente si 1/√2(| 0 > + | 1 > ) , encontramos

1 1| 0 1| | 0 0 | | 0 1|

2 2 2p

1 11 0 0 1

2 2 2p

1 1 21 1 1 1 1| 0 |1

1 1 022 2 2 2

1 1 21 1 1 12 0

1 1 02 2 2 2 2p

Y similar p(- /2) = 1/2ħ

1 1| 0 1| |1 1| | 0 1|

2 2 2p

1 11 0 0 1

2 2 2p

1 1 21 1 1 12 0

1 1 02 2 2 2 2p

Justo después de la medición, el espinor colapsa en el estado

| 0 0 || |

/ 2new

p

| 0 0 | | 0 |1| | 0

1/ 2 2new

1 1

1 11 1 1 1 1|

1 11/ 2 2 2 2new

11| | 0

12new

Si medimos la componente z del espín de un electrón, aplique el postulado de la medición proyectiva cuántica para calcular la probabilidad de la medición de dar el resultado +ћ/2 o , -ћ/2 respectivamente, si a priori a la medición, el estado del sistema | ψ > es:1.| 0 >2.| 1 > o,3.1/√2(| 0 > + | 1 > )

Donde | 0 > es el z estado polarizado |+ >z y |1>Es el –z estado polarizado | - >z.

1. El operador Sz = (ћ/2) σz tiene la siguiente descomposición espectral:

Donde Pm = |m >< m |, con |m > siendo loseigenvectores de Sz.Por lo tanto, si |ψ > = |0 >, la probabilidad demedir +ћ/2 es igual a:

| 0 0 | |1 1|2 2z m

m

S mP

0 | | 0 0 | | 0 12

p

Y la probabilidad de medir -ћ/2 es igual a

Y la suma de las probabilidades es en realidad

Igual a la unidad.2.Si |ψ > = |1>, tenemos

y

0 | |1 1| | 0 02

p

1| | 0 0 | |1 02

p

1| |1 1| |1 12

p

3. Finalmente si 1/√2(| 0 > + | 1 > ) , encontramos

Y similar p(- /2) = 1/2ħ

1 1| 0 1| | 0 0 | | 0 1|

2 2 2p

1 11 0 0 1

2 2 2p

1 1| 0 1| |1 1| | 0 1|

2 2 2p

1 11 0 0 1

2 2 2p

De acuerdo con el postulado 3 discutido en el capitulo 15 justo después de la medición, el espinor colapsa en el estado

| 0 0 || |

/ 2new

p

| 0 0 | | 0 |1| | 0

1/ 2 2new

Supriyo Bandyopadhyay, M. C. (2008). Introduction to Spintronics (1th ed.). (T. &. Group, Ed.) 6000 Broken Sound Parkway NW, Boca Raton FL, USA: CRC Press.

 Griffiths, D. J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ 07458: Prentice Hall, Inc.

Nantional Taiwan University. (1 de Octubre de 2003). Recuperado el 1 de Mayo de 2011, de Neural Network Laboratory: http://red.csie.ntu.edu.tw/QC/peng/slides1.pdf

BibliografíaBibliografía

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