Post on 20-Apr-2020
Per chi non c’era …
1. Compressione: verifica
sydccd
Rd AfAfN +α
=25.1
)(7.0max scc AnAN +σ=
Tensioni ammissibili
Risultati comparabili per il calcestruzzo non comparabili per l’acciaio
Per chi non c’era …
1. Compressione: progetto
Risultati comparabili per il calcestruzzo non comparabili per l’acciaio
25.1/85.0
cd
Sdc f
NAα
≥
yd
Sds f
NA 15.0≥
Tensioni ammissibili
cc
NAσ
≥784.0
cs AA 008.0≥
Per chi non c’era …
2. Flessione semplice: sezione in calcestruzzo
bMrd sd
SLU=
2
=
dMrb sd
SLU
bMrd sk
TA=
2
=
dMrb sk
TA
Tensioni ammissibili
Risultati comparabili
Per chi non c’era …
2. Flessione semplice: armatura tesa
Risultati comparabili
yd
sds fd
MA9.0
=
Tensioni ammissibili
s
sks d
MAσ9.0
=
Per chi non c’era …
2. Flessione semplice: armatura compressa
Risultati non comparabili
( )ss cd'
M'A−σ
∆=
RdcSd MMM ,−=∆
Tensioni ammissibili
( )ss cd'
M'A−σ
∆=
clsSk MMM −=∆
Sezioni in c.a.La flessione composta
ARGOMENTI1. Verifica di sezioni tenso-presso inflesse
2. Progetto di sezioni tenso-presso inflesse
3. Differenze tra T.A. e S.L.U.
4. Metodo semplificato
Verifica a tenso-pressoflessione retta: T.A.
Verifica in termini di tensioni: procedura generale
Determinazione della posizione dell’asse neutro
Calcolo del momento d’inerzia della sezione reagente
Calcolo del momento statico della sezione reagente
Calcolo delle tensioni massime nel calcestruzzo compresso e nell’acciaio teso
Verifica che le tensioni massime siano inferiori ai valori ammissibili
Verifica a tenso-pressoflessione retta: T.A.
c = γ d Asb
x= ξ d
σc
σs
nNC
NS
A’s
σ’s
N’S
d
kd
G
dC
dS
d’S
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0663 2''2''23 =+++−+++++ cscscscsc ddAddAbnxddAddA
bnxdx
( ) ( )cxAndxAnxbS ssn −+−+= '2
2
cn
c xSN
σσ ≤=max
( ) Sn
s dxSNn σσ ≤−=
Verifica in termini di tensioni: sezione rettangolare
Verifica a tenso-pressoflessione retta: T.A.
Ciascun diagramma per il quale si raggiunge la tensione ammissibile nel calcestruzzo e/o nell’acciaio è un diagramma di tensione ammissibile.
Diagrammi ammissibili di tensione
σ + (trazione) − (compressione)
tensioni
σs
σc0.7σcMc, NcMs, Ns
Costruzione del dominio M-N : T.A.
Assegnato un diagramma di tensioni si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione NC, N’S ed NS:
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro geometrico della sezione
Le coordinate N ed M corrispondono ad una deformata di rottura ed individuano sul piano N-M un punto del dominio.
'''
max
21
SSS
SsS
cC
AN
AN
xbN
σ
σ
σ
=
=
='SSC NNNN ++=
c = γ d Asb
x= ξ d
σc
σs
nNC
NS
A’s
σ’sN’S
d
kd
G
dC
dS
d’S
''SSSSCC dNdNdNM ⋅+⋅+⋅=
Verifica a tenso-pressoflessione retta: S.L.U.
Si possono individuare diagrammi limite di deformazione, nei quali si raggiunge il valore ultimo della deformazione del calcestruzzo εcu o dell’acciaio εsu ; hanno particolare importanza anche situazioni nelle quali si raggiunge la deformazione limite di snervamento εyd nell’acciaio.
deformazioniεcεc1
Mc, NcMs, Ns
Diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu
εcuεc1
Costruzione del dominio M-N : S.L.U.Assegnata una deformata di rottura, si determina il diagramma delle deformazioni ed attraverso i legami costitutivi quello delle tensioni. Quindi si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione NC, N’S ed NS:
c = γ d As
b
x = ξ d
εc
εs
nNC
NT
αfcd
fyd
A’s
ε’s
N’C
d
k d
G
dC
dS
d’S
sydssS AfsAN =σ=
sydssS Afu's'A''N =σ=
dbfN cdC ξβα=
1≤σ=
yd
s
fs
1≤σ=
yd
s
f''s
s
s
A'Au =
β è tabellato in funzione di ξ
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro geometrico della sezione
Le coordinate N ed M corrispondono ad una deformata di rottura ed individuano sul piano N-M un punto del dominio.
'SSC NNNN ++=
''SSSSCC dNdNdNM ⋅+⋅+⋅=
Verifica a tenso-pressoflessione retta: S.L.U.
Si possono individuare diagrammi limite di deformazione, nei quali si raggiunge il valore ultimo della deformazione del calcestruzzo εcu o dell’acciaio εsu ; hanno particolare importanza anche situazioni nelle quali si raggiunge la deformazione limite di snervamento εyd nell’acciaio.
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
Diagrammi limite di deformazione
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
A) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore che in quella superiore;
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
A’) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εyd in quella superiore;
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
B) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e nulla al bordo superiore;
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
C) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
C’) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsynell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
D) sezione tutta compressa, con deformazione nulla al bordo inferiore e εcu a quello superiore;
Particolari diagrammi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
E) sezione tutta compressa, con deformazione pari a εc1sia al bordo inferiore che a quello superiore
Particolari diagrammi limite di deformazione
A) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore che in quella superiore;
A’) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εsy in quella superiore;
B) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e nulla al bordo superiore;
C) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;
C’) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsynell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;
D) sezione tutta compressa, con deformazione nulla al bordo inferiore e εcu a quello superiore;
E) sezione tutta compressa, con deformazione pari a εc1sia al bordo inferiore che a quello superiore
Campi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
1) compreso tra A e B: sezione tutta tesa, deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore;
Campi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
2) compreso tra B e C: sezione parzializzata, deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore;
Campi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
3) compreso tra C e C’: sezione parzializzata, deformazione pari a εcu al bordo superiore deformazione compresa tra εyd e εsu al bordo inferiore;
Campi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
4) compreso tra C’ e D: sezione parzializzata, deformazione pari a εcu al bordo superiore deformazione minore di εyd al bordo inferiore;
Campi limite di deformazione
ε + (allungamento) − (accorciamento)
εsu εcu
DC
B
E
1
43
2
deformazioni
εc1εyd
A
5
5) compreso tra D ed E: sezione tutta compressa, deformazione pari a εc1 in un punto opportunamente situato
rispetto al bordo superiore.
Campi limite di deformazione
I diagrammi limite individuano i seguenti campi di comportamento:1) compreso tra A e B: sezione tutta tesa, con deformazione pari a
εsu nell’armatura inferiore;2) compreso tra B e C: sezione parzializzata, con deformazione
pari a εsu nell’armatura inferiore;3) compreso tra C e C’: sezione parzializzata, con deformazione
pari a εcu al bordo superiore e deformazione compresa tra εyd e εsu al bordo inferiore;
4) compreso tra C’ e D: sezione parzializzata, con deformazione pari a εcu al bordo superiore e deformazione minore di εyd al bordo inferiore;
5) compreso tra D ed E: sezione tutta compressa, con deformazione pari a εc1 in un punto opportunamente situato rispetto al bordo superiore.
Domini di resistenza
Confronto tra Tensioni Ammissibili e S.L.U.T.A.Per ciascun diagramma di tensione che porta al raggiungimento del valore ammissibile della tensione nel calcestruzzo o nell’acciaio si può calcolare la corrispondente coppia M-N. L’insieme di queste coppie definisce un curva all’esterno della quale si trovano le coppie M-N non ammissibili.
S.L.U.Per ciascun diagramma di deformazione che porta al raggiungimento del valore ultimo della deformazione nel calcestruzzo o nell’acciaio si può calcolare la corrispondente coppia limite M-N. L’insieme di queste coppie definisce un curva (dominio limite), all’esterno della quale si trovano le coppie M-N non accettabili.
Domini di resistenza
Questi domini:
- consentono una valutazione immediata della capacitàresistente della sezione
- dipendono :
1. dalle caratteristiche del materiale,
2. dalla geometria della sezione
3. dall’armatura presente
Domini di resistenza
Confronto tra S.L.U. e Tensioni Ammissibili
Col metodo delle tensioni ammissibili si utilizzano i valori caratteristici dei carichi, mentre allo stato limite ultimo questi sono moltiplicati per il coefficiente γ = 1.4 - 1.5.
Per effettuare un confronto a titolo esemplificativo si può sovrapporre il dominio relativo alle tensioni ammissibili incrementato di 1.45 a quello valutato secondo le prescrizioni dell’Eurocodice 2.
Domini di resistenza
Confronto tra S.L.U. e Tensioni Ammissibili
compressione
-400
-200
0
200
400
-1000 0 1000 2000 3000
Eurocodice 2, senza armatura
tensioni ammissibili × 1.45, senza armatura
SEZIONE 30×60
N
M
trazione
cc σσ 7.0max ≤
25.1cdfα
Domini di resistenza
Confronto tra S.L.U. e Tensioni Ammissibili
compressione
-400
-200
0
200
400
-1000 0 1000 2000 3000
Eurocodice 2,con armatura
Eurocodice 2,senza armatura
tensioni ammissibili × 1.45,con armatura
tensioni ammissibili ×1.45, senza armatura
SEZIONE30×60
N
M
armatura18 cm2
per lato
trazione
Domini di resistenza
Confronto tra S.L.U. e Tensioni Ammissibili
compressione
-400
-200
0
200
400
-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000
Eurocodice 2
×tensioni ammissibili 1.45,con armatura
SEZIONE30×60
N
M
armatura18 cm2
per lato
trazione
Msd, NsdT.A. = Verifica S.L.U. = Verifica
Msd, NsdT.A. = Verifica As=0S.L.U. = Verifica As=0
Msd, NsdT.A. = NON VerificaS.L.U. = Verifica
Verifica a pressoflessione
Considerazioni
in assenza di armatura i domini sono abbastanza prossimi l’un l’altro
si ha una buona concordanza per sforzi normali di trazione
in caso di compressione la differenza è notevole per il contributo dell’armatura compressa
(vedi anche Sforzo normale – Flessione semplice)
Esempio – verifica a pressoflessione
Applicazione del Metodo rigoroso
Sollecitazioni
Nsd = 1300 kN
Msd = 350 kNm
Dati geometrici
Sezione: 40x70
As=A’s=3φ14
3 φ144.6 cm2
2 φ143.1 cm2
As,tot = 15.4 cm
Esempio – verifica a pressoflessione
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0663 2''2''23 =+++−+++++ cscscscsc ddAddAbnxddAddA
bnxdx
Confronto con il metodo delle Tensioni Ammissibili
Sollecitazioni
Nsd = 896 kN (1300/1.45)
Msd = 241 kNm (350/1.45)
Dati geometrici
Sezione: 40x70
As=A’s=3φ14
mNMyc 270.−=−= mhyd cc 080
2.=−=
Per tentativi x =37.3 cm
Esempio – verifica a pressoflessione
( ) ( )
( ) ( ) 32
2
2842243376241562337624152
337402
cmS
cxAndxAnxb
S
n
ssn
=−××+−××+×
=
−+−+=
.....
'
cc MPa σσ >=××= 7111033728422896 ..max
( ) Sn
s MPadxSNn σσ <=×××=−= 713510728
2842289615 ..
Confronto con il metodo delle Tensioni Ammissibili
Sollecitazioni
Nsd = 896 kN (1300/1.45)
Msd = 241 kNm (350/1.45)
Dati geometrici
Sezione: 40x70
As=A’s=3φ14
Progetto a tenso-pressoflessione retta: T.A.
Strumenti progettuali
Buona dose di esperienza
Dimensionamento valutando un opportuno tasso di lavoro della sezione per sforzo normale (bassa eccentricità)
Dimensionamento valutando un’opportuna geometria per momento flettente (alta eccentricità)
Verifica ed eventuale riprogettazione
Progetto a tenso-pressoflessione retta: S.L.U.
Strumenti progettuali
Buona dose di esperienza
Dimensionamento valutando un opportuno tasso di lavoro della sezione per sforzo normale (bassa eccentricità)
Dimensionamento valutando un’opportuna geometria per momento flettente (alta eccentricità)
Verifica ed eventuale riprogettazione
Metodo semplificato per il progetto e la verifica allo S.L.U. di sezioni rettangolari a tenso-
pressoflessione retta
Metodo semplificato per il progetto e la verifica allo S.L.U. di sezioni rettangolari a tenso-
pressoflessione retta
Il metodo si basa sull’approssimazione del dominiodi resistenza con equazioni lineari e paraboliche che consentono una formulazione analitica chiusa della frontiera del dominio.
Le ipotesi di partenza è la simmetria dell’armatura tesa e compressa (caso assai frequente nei pilastri).
Si mostra un metodo semplificato per la progettazione o la verifica di sezioni rettangolari tenso - pressoinflesse.
Prossima pubblicazione sulla rivista Ingegneria Sismica
Metodo semplificatoIl metodo trae spunto dalla regolarità della frontiera del dominio limite
M
N
As
As = 0 Mc,Rd
Nc,Rd Ns,Rd
Ms,Rd tratti parabolici
punto di massimo
Geometria “quasi parabolica” : 3 punti per tracciamento
M
N
As
As = 0 Mc,Rd
Nc,Rd Ns,Rd
Ms,Rd tratti parabolici
punto di massimo
2
Metodo semplificato
Punto di massimo
M
N
As
As = 0 Mc,Rd
Nc,Rd Ns,Rd
Ms,Rd tratti parabolici
punto di massimo
−+
−= chfAxhfxbM ydscd 2
22
καβ
022
0 =
κ−αβ⇒= xhfb
dxdM
cd
hhhx 60.0198119
4≅=
κ=
ydscdydscd fchAfhbfchAfhbM )2(12.0)2(2376289 22 −+α≅−+α=
cdcd fhbfhbN α≅α= 48.0594289
Metodo semplificato
2° punto: sola trazione
M
N
As
As = 0 Mc,Rd
Nc,Rd Ns,Rd
cdRdc fhbM α= 2
, 2376289
( ) ydsRds fchAM 2, −=
ydsRds fAN 2, =
cdRdc fhbN α=594289
,
Ms,Rd tratti parabolici
punto di massimo
Progetto e verifica di sezioni rettangolaria tenso-pressoflessione retta
Calcestruzzo
+
−−+=
m
RdsRdc
RdcRdRdsRdcRd NN
NNMMM
,,
,,, 1)(
++=
RdsRdc
Rdc
NNN
m,,
,1
cdRdc fhbN α=594289
, ydsRds fAN 2, =
cdRdc fhbM α= 2, 2376
289ydsRds fchAM )2(, −=
Acciaio
N
M
Metodo semplificato: verificaFormula di verifica
1,,
,
,,
≤+−
++
m
RdsRdc
RdcSd
RdsRdc
Sd
NNNN
MMM
++=
RdsRdc
Rdc
NNN
m,,
,1
Calcestruzzo
cdRdc fhbN α=594289
, ydsRds fAN 2, =
cdRdc fhbM α= 2, 2376
289ydsRds fchAM )2(, −=
Acciaio
N
M
Metodo semplificato: verificaFormula di verifica alternativa
− per NSd < 0 (tensoflessione)
− per 0 < NSd < Nc,Rd
− per NSd > Nc,Rd
1,,
≤−Rds
Sd
Rds
Sd
NN
MM
12
,
,
,
, ≤
−+
−
Rdc
RdcSd
Rdc
RdsSd
NNN
MMM
1,,
,
,,
≤
+
−+
+
n
RdsRdc
RdcSd
RdsRdc
Sd
NNNN
MMM 2
,,
,1
+
+=RdsRdc
Rdc
NNNn
Calcestruzzo
cdRdc fhbN α=594289
, ydsRds fAN 2, =
cdRdc fhbM α= 2, 2376
289ydsRds fchAM )2(, −=
Acciaio
N
M
Progetto e verifica di sezioni rettangolaria tenso-pressoflessione retta
Esempio – Sezione 30x70
-600
-450
-300
-150
0
150
300
450
600kNm
-1200 -600 0 600 1200 1800 2400 3000 3600kN
As = 15 cm2
As = 0
5
10
M
N
rigorosa
approssimata3 tratti
1,,
,
,,
≤+−
++
m
RdsRdc
RdcSd
RdsRdc
Sd
NNNN
MMM
Esempio - verifica a pressoflessione retta
Applicazione del Metodo approssimato
Sollecitazioni
Nsd = 1300 kN
Msd = 350 kNm
Dati geometrici
Sezione: 40x70
As=A’s=3φ14
3 φ144.6 cm2
2 φ143.1 cm2
As,tot = 15.4 cm> As,min
Esempio - verifica a pressoflessione retta
Applicazione del Metodo approssimato
Calcolo dei valori resistenti del calcestruzzo
kNN
fhbN
Rdc
cdRdc
1481
1002.1170.040.048.0594289
,
3,
=
××××≅= α
kNmM
fhbM
Rdc
cdRdc
7262
1002117004001202376289 322
.
....
,
,
=
⋅×××≅= α
Esempio - verifica a pressoflessione retta
Applicazione del Metodo approssimato
Calcolo dei valori resistenti dell’armatura
kNNfAN
Rds
ydsRds
534510937362422 1
...
,
,
=
×××== −
( ) ( )kNmM
fchAM
Rds
ydsRds
110710937304027006242 1
.....
,
,
=
×××−×=−= −
Esempio - verifica a pressoflessione retta
Applicazione del Metodo approssimato
Verifica
1,,
,
,,
≤+−
++
m
RdsRdc
RdcSd
RdsRdc
Sd
NNNN
MMM
81.15.3451481
148111,,
, =+
+=
++=
RdsRdc
Rdc
NNN
m
196053451481
1481130011077262
350 811
≤=+−
++
....
,
Progetto della sezione a pressoflessione retta
Le espressioni possono essere trasformate in formule per il progetto della sezione
Il coefficiente r è in questo caso dipendente da:
- sforzo normale adimensionalizzato ν = NSd / 2Nc,Rd
- percentuale geometrica di armatura che si vuole disporre ρ = As / b h
- dalle caratteristiche dei materiali
bMrd =
Valori del coefficiente r
Progetto della sezione a pressoflessione retta
Tabella 1. Valori di r per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa, acciaio FeB44k, c/h = 0.1ν ρ=0 ρ=0.002 ρ=0.004 ρ=0.006 ρ=0.008 ρ=0.010
0.0 - 0.0368 0.0260 0.0212 0.0184 0.01650.1 0.0410 0.0274 0.0220 0.0189 0.0168 0.01530.2 0.0307 0.0236 0.0199 0.0175 0.0158 0.01450.3 0.0268 0.0217 0.0187 0.0167 0.0152 0.01400.4 0.0251 0.0207 0.0181 0.0162 0.0148 0.01380.5 0.0246 0.0204 0.0179 0.0161 0.0147 0.01370.6 0.0251 0.0210 0.0184 0.0165 0.0152 0.01410.7 0.0268 0.0222 0.0193 0.0173 0.0158 0.01460.8 0.0307 0.0243 0.0208 0.0184 0.0166 0.01530.9 0.0410 0.0281 0.0229 0.0198 0.0177 0.01611.0 - 0.0357 0.0262 0.0218 0.0190 0.0171
Progetto dell’armatura a pressoflessione retta
Il momento affidato alle armature è
−−−=
2
,
,,, 1
Rdc
RdcSdRdcSdredSd N
NNMMM
yd
redSds fz
MA ,=
L’armatura necessaria per portare tale momento è
z = h–2c ≅ 0.9d è il braccio della coppia interna costituita dalle armature.
Progetto dell’armatura a pressoflessione retta
La formula per l’armatura
- è valida solo per NSd compreso tra 0 e Nc,Rd,
yd
redSds fz
MA ,=
M
N
As
As = 0
5.02
0,
<=<Rdc
Sd
NN
ν
Progetto dell’armatura a pressoflessione retta
La formula per l’armatura
- fornisce un utile riferimento anche oltre tale intervallo;
yd
redSds fz
MA ,=
M
N
As
As = 0
Progetto dell’armatura a pressoflessione retta
La formula per l’armatura
- è cautelativa per la tensoflessione,
yd
redSds fz
MA ,=
M
N
As
As = 0
02 ,
<=Rdc
Sd
NN
ν
Progetto dell’armatura a pressoflessione retta
La formula per l’armatura
-è a svantaggio di sicurezza per forte compressione
yd
redSds fz
MA ,=
M
N
As
As = 0
5.02 ,
>=Rdc
Sd
NN
ν
Progetto dell’armatura a pressoflessione retta
La formula per l’armaturayd
redSds fz
MA ,=
M
N
As
As = 0
Esempio - progetto a pressoflessione retta
Applicazione del Metodo approssimato
Sollecitazioni
Nsd = 1400 kN
Msd = 250 kNm
Dati geometrici
Sezione: 30x ?
As=A’s= ?
Esempio - progetto a pressoflessione retta
Scelta dei parametri di progetto ν e ρ
Tabella 1. Valori di r per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa, acciaio FeB44k, c/h = 0.1 ν ρ=0 ρ=0.002 ρ=0.004 ρ=0.006 ρ=0.008 ρ=0.010
0.0 - 0.0368 0.0260 0.0212 0.0184 0.0165 0.2 0.0410 0.0274 0.0220 0.0189 0.0168 0.0153 0.4 0.0307 0.0236 0.0199 0.0175 0.0158 0.0145 0.6 0.0268 0.0217 0.0187 0.0167 0.0152 0.0140 0.8 0.0251 0.0207 0.0181 0.0162 0.0148 0.0138 1.0 0.0246 0.0204 0.0179 0.0161 0.0147 0.0137 1.2 0.0251 0.0210 0.0184 0.0165 0.0152 0.0141 1.4 0.0268 0.0222 0.0193 0.0173 0.0158 0.0146 1.6 0.0307 0.0243 0.0208 0.0184 0.0166 0.0153 1.8 0.0410 0.0281 0.0229 0.0198 0.0177 0.0161 2.0 - 0.0357 0.0262 0.0218 0.0190 0.0171
NOTA: r varia poco con ν, molto con ρ
Esempio - progetto a pressoflessione retta
Progetto della sezione
mbMrd 53.0
30.02500184.0 === Si assume h=0.60 m
kNN
fhbN
Rdc
cdRdc
1952
100211600300480594289 3
.
....
,
,
=
××××≅= α
kNmM
fhbM
Rdc
cdRdc
8142
1002116003001202376289 322
.
....
,
,
=
××××≅= α
Esempio - progetto a pressoflessione retta
Progetto dell’armatura
L’armatura necessaria è
0041.0
4.7109.37350.0
8.138 2,
==
=×⋅
==
hbA
cmfz
MA
s
yd
redSds
ρ
kNmM
NNN
MMM
redSd
Rdc
RdcSdRdcSdredSd
8.1381,952
1,952140018,142250
1
2
,
2
,
,,,
=
−−−=
−−−=
Pressoflessione deviataLa nuova Ordinanza 3274 impone la verifica della struttura sottoposta simultaneamente a forze sismiche in due direzioni ortogonali, una principale e l’altra secondaria.
Punto 4.6I valori massimi della risposta ottenuti da ciascuna delle due azioni orizzontali applicate separatamente potranno essere combinati calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati, per la singola componente della grandezza da verificare, oppure sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione il 30 % dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione.
Pressoflessione deviata
Come devono essere verificati gli elementi verticali?
Pressoflessione retta?
Pressoflessione deviata?
Cosa cambia?
Pressoflessione deviata
Qualche considerazioneIl procedimento per la costruzione del dominio limite My-Mz-N ricalca concettualmente quello giàdescritto per la pressoflessione retta, ma si presenta notevolmente più complicato a causa della possibile inclinazione dell’asse neutro.
d
Asz
b
x
n
a) deformazioni ε
εcu
εydεyd
0
cls acc
b) tensioni σ
h
c
α fcdfyd
fyd
Aszα
AsyAsy
z
y
Pressoflessione deviata
Qualche considerazioneIl procedimento per la costruzione del dominio limite My-Mz-N ricalca concettualmente quello giàdescritto per la pressoflessione retta, ma si presenta notevolmente più complicato a causa della possibile inclinazione dell’asse neutro.
d
Asz
b
x
n
a) deformazioni ε
εcu
εydεyd
0
cls acc
b) tensioni σ
h
c
α fcdfyd
fyd
Aszα
AsyAsy
z
y
Pressoflessione deviata
IpotesiLe armature sono disposte lungo tutti i quattro lati della sezione. A rigore, bisognerebbe tener conto della posizione di ciascuna barra, ma èugualmente accettabile ipotizzare che l’armatura sia disposta uniformemente lungo ciascun lato.
d
Asz
b
x
n
a) deformazioni ε
εcu
εyd εyd
0
cls acc
b) tensioni σ
h
c
α fcd fyd
fyd
Asz α
Asy Asy
z
y
Pressoflessione deviata
Formulazione analitica
scacc
sscls
cc NNdAdAN +=σ+σ= ∫∫
szysyycyzacc
ssyacc
sscls
ccy MMMdAzdAzdAzM ,,,,,
++=σ−σ−σ−= ∫∫∫
szzsyzczzacc
ssyacc
sscls
ccz MMMdAydAydAyM ,,,,,
++=σ+σ+σ= ∫∫∫
Utilizzando i legami costitutivi dei materiali si possono ricavare i valori delle tensioni e quindi le caratteristiche della sollecitazione
Pressoflessione deviata
Rappresentazione del dominio
My
N
Mz
a)
-600
-450
-300
-150
0
150
300
450
600 kNm
-1200 -600 0 600 1200 1800 2400 3000 3600 kN
As = 15 cm2
As = 0
5
10
M
N
Pressoflessione deviata
Rappresentazione del dominio
My
N
Mz
a)
RdcN
N
,2=ν
Mz
My
ν = 0.5
ν = 0.25
ν = 0
ν = 0.75
ν = 1
ν = −0.25
a)
1,,
=
+
q
Rdy
yp
Rdz
z
MM
MM
Verifica della sezione a pressoflessione deviata
La verifica a pressoflessione deviata in modo rigoroso è complessa ed è formulata in termini di soluzione numerica.
L’utilizzo dei domini spaziali risulta poco agevole.
Non esistono formule per il progetto della sezione.
Verifica della sezione a pressoflessione deviata: metodo semplificato
La verifica a pressoflessione deviata può essere facilmente effettuata determinando preliminarmente i momenti resistenti Mz,Rd e My,Rd corrispondenti ad N assegnato (le stesse espressioni valgono per entrambi i momenti, purché si scambi b con h e y con z)
++
−−++=
m
RdsyRdszRdc
RdcRdRdsyRdszRdcRd NNN
NNMMMM
,,,
,,,, 1)(
++
++=
RdsyRdszRdc
RdsyRdc
NNNNN
m,,,
,,1
εcu
εyd εyd
0 α fcd fyd
fyd
d
Asz
b
nh
c
Aszα
AsyAsy
z
y
Asy
fyd
fyd
AszMszy,Rd≅ 0.40xAsyx(h-2c)
Verifica della sezione a pressoflessione deviata
La verifica a pressoflessione deviata può essere facilmente effettuata determinando preliminarmente i momenti resistenti Mz,Rd e My,Rd corrispondenti ad N assegnato (le stesse espressioni valgono per entrambi i momenti, purché si scambi b con h e y con z)
e verificando che
15.1
,
,5.1
,
, ≤
+
Rdy
Sdy
Rdz
Sdz
MM
MM
++
−−++=
m
RdsyRdszRdc
RdcRdRdsyRdszRdcRd NNN
NNMMMM
,,,
,,,, 1)(
++
++=
RdsyRdszRdc
RdsyRdc
NNNNN
m,,,
,,1
Progetto della sezione a pressoflessione deviata
Progetto della sezione e dell’armaturaNella maggior parte dei casi reali le sezioni rettangolari non sono soggette a forti momenti contemporaneamente rispetto ad entrambi gli assi.
Ad esempio, la nuova norma sismica italiana richiede di considerare l’effetto del sisma agente in una direzione più il 30% del sisma nella direzione ortogonale.
Progetto della sezione a pressoflessione deviata
Progetto della sezione e dell’armaturaSi può facilmente controllare che perMy,Sd = 0.3 My,Rd il massimo momento Mz che puòessere sopportato dalla sezione è pari a 0.89 Mz,Rd.
RdcN
N
,2=ν
Mz
My
ν = 0.5
ν = 0.25
ν = 0
ν = 0.75
ν = 1
ν = −0.25
a)
Mz,Rd
0.3My,Rd
My,Rd
M*z,Rd
Progetto della sezione a pressoflessione deviata
Progetto della sezione e dell’armatura
La presenza della componente trasversale riduce la capacità portante della sezione di circa un 10%.
Tale riduzione è compensata, spesso ampiamente, dal contributo delle armature secondarie che in genere viene trascurato nella pressoflessioneretta.
Progetto della sezione a pressoflessione deviata
Asz = 15 cm2, Asy = 6 cm2
Asz = 0, Asy = 6 cm2
-600
-450
-300
-150
0
150
300
450
600 kNm
-1200 -600 0 600 1200 1800 2400 3000 3600 kN
Asz = 15 cm2
M
N
Asz = 0
Progetto della sezione a pressoflessione deviata
ConsiderazioniSi consiglia quindi:
- per bassi valori del momento “ortogonale” di progettare la sezione e l’armatura a pressoflessione retta senza tener conto né del contributo peggiorativo del momento trasversale né dell’incremento di resistenza fornito dall’armatura secondaria;
- per alti valori del momento “ortogonale” di progettare la sezione e l’armatura a pressoflessione deviata
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
Applicazione del Metodo semplificato
Sollecitazioni
Nsd = 1400 kN
Mz,sd = 300 kNm
My,sd = 60 kNm
Dati geometrici
Sezione: 30x 70
Asz = A’sz = 15 cm2
Asy = A’sy = 6 cm2
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
Applicazione del Metodo semplificato
Valori resistenti del calcestruzzo
6301002117003004802
14002 3 .
....,=
×××××==
Rdc
Sd
NN
ν
kNN Rdc 8.11101002.1170.030.048.0 3, =××××=
kNmM Rdcz 4194100211700300120 32 ....., =××××=
kNmM Rdcy 383100211300700120 32 ....., =××××=
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
Applicazione del Metodo semplificato
Valori resistenti dell’armaturakNN Rdsz 611211093730152 1 ..., =×××= −
( )( )[ ] kNm
M Rdsz
440310937340040270006
10937304027000153
1
..........,
=××××−×+
+×××−×= −
kNN Rdsy 8448109373062 1 ..., =×××= −
( )( )[ ] kNm
M Rdsy
798109373400402300015
1093730402300063
1
..........,
=××××−×+
+×××−×= −
Contributo armatura Asz a Mz,rd =347.7
Contributo armatura Asy a Mz,rd=55.7
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
83184486112181110
61121811101 ....
..=
+++
+=zm 58184486112181110
8448811101 ....
..=
+++
+=ym
+++
+=RdsyRdszRdc
RdszRdcz NNN
NNm
,,,
,,1
++
++=
RdsyRdszRdc
RdsyRdcy NNN
NNm
,,,
,,1
CLS
kNN Rdsz 61121., =
kNmM Rdsz 7347., =
kNN Rdsy 8448., =
kNmM Rdsy 755., =
kNN Rdc 8.1110, =
kNmM Rdcz 4194., =
kNmM Rdyc 3.83, =
kNmM Rdsz 449., =
kNmM Rdsy 449., =
MYMz
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
kNm
NNNNN
MMMMm
RdsyRdszRdc
RdcRdRdsyRdszRdcRdz
658784486112181110
811101400175573474194
1
831
....
.)...(
)(
.
,,,
,,,,,
=
++−
−++=
=
++−
−++=
581.=ym831.=zm
CLS
kNN Rdsz 61121., =
kNmM Rdsz 7347., =
kNN Rdsy 8448., =
kNmM Rdsy 755., =
kNN Rdc 8.1110, =
kNmM Rdcz 4194., =
kNmM Rdyc 3.83, =
kNmM Rdsz 449., =
kNmM Rdsy 449., =
MYMz
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
kNm
NNNNN
MMMMm
RdsyRdszRdc
RdcRdRdsyRdszRdcRdy
117684486112181110
8111014001449449383
1
531
....
.)...(
)(
.
,,,
,,,,,
=
++−
−++=
=
++−
−++=
531.=ym881.=zm
CLS
kNN Rdsz 61121., =
kNmM Rdsz 7347., =
kNN Rdsy 8448., =
kNmM Rdsy 755., =
kNN Rdc 8.1110, =
kNmM Rdcz 4194., =
kNmM Rdyc 3.83, =
kNmM Rdsz 449., =
kNmM Rdsy 449., =
MYMz
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
kNmM Rdz 6587., =
kNmM Rdy 1176., =1570200370
117660
6587300
1
5151
5151
≤=+=
+
≤
+
.....
..
.
,
,.
,
,
Rdy
Sdy
Rdz
Sdz
MM
MM
CLS
kNN Rdsz 61121., =
kNmM Rdsz 7347., =
kNN Rdsy 8448., =
kNmM Rdsy 755., =
kNN Rdc 8.1110, =
kNmM Rdcz 4194., =
kNmM Rdyc 3.83, =
kNmM Rdsz 449., =
kNmM Rdsy 449., =
MYMz
531.=ym881.=zm
Esempio di verifica a pressoflessione deviata
Confronto con verifica a pressoflessione retta
kNfhbN cdRdc 81110100211700300480594289 3 ....., =××××≅= α
kNmfhbM cdRdc 41941002117003001202376289 322 ....., =⋅×××≅= α
kNfAN ydsRds 7112110937301522 1 ..., =×××== −
( ) ( ) kNmfchAM ydsRds 839710937304027000152 1 ....., =⋅××−×=−= −
15607112181110
81110140083974194
300 491
≤=+−
++
=+−
++
...
...
.
,,
,
,,
m
RdsRdc
RdcSd
RdsRdc
Sd
NNNN
MMM
4917112181110
8111011 ...
.,,
, =+
+=
++=
RdsRdc
Rdc
NNN
m
Considerazioni conclusive
Il metodo approssimato:- rappresenta un valido strumento di verifica di sezioni
di pilastri tenso-pressoinflessi;
- fornisce un semplice strumento di progetto nel campo della pressoflessione per la sezione e per l’armatura;
- può essere esteso anche al caso di pressoflessione deviata;
- sarà presto esteso anche a sezioni circolari