Parte 1 – Esercizi svolti da esercitazioni

ES. 1

La trave incastrata in figura è stata estensimetrata come indicato per misure di flessione.

Il ponte è alimentato con una VV 10 = . In assenza di carico il ponte risulta bilanciato e la resistenza di ogni

estensimetro è pari a Ω=120estR .

La centralina che condiziona il ponte introduce un guadagno incognito sullo sbilanciamento del ponte. Ai fini di valutare tale guadagno, una resistenza di calibrazione Ω= kRshunt 12 è applicata in parallelo al lato 1.

La lettura è pari a VV shuntLETTA 475.2−= .

Calcolare il guadagno introdotto dalla centralina.

Si consideri pari a 2 il gauge factor (k) degli estensimetri.

SOLUZIONE ES. 1

Parte1: taratura

0099.0120

1201200012012000120

1

11

1

1

1//

1

1 −=−

+⋅

=−

+=

−=

∆R

RRR

RR

RRR

RR shunt

shunt

1

10

4 RRV

GVLETTA∆

= ⇒ 10004

1

10

=∆

=

RRV

VG LETTA

P 1-3 2-4

1 3 P

ES. 2

Ai fini di stimare il modulo elastico di una trave in opera, si decide di applicarvi un carico noto e misurarne le deformazioni. La misura avviene per mezzo di estensimetri in configurazione a mezzo-ponte per misure di forze assiali, come indicato in figura:

Sapendo che

a = 10 mm (lato della sezione quadrata della trave)

F = 10 kN (forza applicata alla struttura)

k = 2 (sensibilità degli estensimetri utilizzati)

Valim = 2.5 V (tensione di alimentazione del ponte di Wheatstone)

G = 1000 (guadagno introdotto dalla centralina di condizionamento del ponte)

Vletta = 3.25 V (tensione di sbilanciamento del ponte letta a valle della centralina)

si chiede di stimare il modulo di Young del materiale

SOLUZIONE ES. 2

( )

MpaMPaE

mmV

V

VVVkkkVV

mVVG

VV

MpammmmN

AF

ALIM

ALIMALIMALIMALIM

LETTA

000'770013.0

100

/13005.2

00325.04

224

24

25.31000

25.3

1001010

000'10

31

===

==∆

=

⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=+=∆

===∆

=⋅

==

εσ

µε

εεεεε

σ

ES. 3

Facendo riferimento alla trave in figura, indicare come posizionare gli estensimetri sulla trave e all’interno del ponte di Wheatstone per effettuare una misura di momento flettente a ponte intero in corrispondenza della sezione tratteggiata.

Sapendo che:

- Modulo di resistenza a flessione della trave 3160mmW f =

- Modulo elastico della trave MPaE 000'70= - Alimentazione del ponte di Wheatstone VVALIM 5.2= - Guadagno introdotto dalla centralina di condizionamento 1000=G - Distanza sezione estensimetrata – punto di applicazione del carico cmL 20= - Carico applicato tramite una massa kgm 1=

calcolare il valore di tensione LETTAV a valle della centralina.

SOLUZIONE ES. 3

VkVGV

EWM

mmFLMNmgF

ALIMLETTA

f

f

f

875.01075.12445.210004

4

1075.116070000

1962

196220081.981.981.91

4

4

=⋅⋅⋅⋅==

⋅=⋅

==

=⋅===⋅==

−

−

ε

ε Unità di misura momento flettente N*mm

1

2 4

3 1 2

3 4

L

ES. 4

La trave in figura è stata estensimetrata come indicato per misure di deformazioni assiali a ponte intero. Calcolare il valore della deformazione quando la lettura della centralina di condizionamento del ponte restituisce un valore di 2.33V, sapendo che:

- il ponte di Wheatstone è alimentato a 1 V - la centralina di condizionamento del ponte introduce un guadagno pari a 1000 - gli estensimetri utilizzati sono di tipo metallico (gauge factor k=2) - la trave è in acciaio (modulo Young E=206'000 MPa, modulo Poisson v=0.3)

Estensimetro 3 come 1 sul retro della trave; Estensimetro 4 come 2 sul retro della trave.

SOLUZIONE ES. 4

( )

mmkGV

V

kVGkkkkVGRR

RR

RR

RRVGV

AL

LETTA

ALALALLETTA

/17923.1*2*1*1000

33.2*2)1(

2

)1(244 4

4

3

3

2

2

1

1

µν

ε

νενεενεε

==+

=

+=+++=

∆−

∆+

∆−

∆=

1 2

ES. 5

Si desidera misurare la deformazione nella sezione tratteggiata dovuta al momento flettente risultante dalla forza F applicata alla trave in figura.

1. Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a mezzo ponte e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone;

2. Sapendo che • la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 2.5 V; • la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2.001; • la centralina introduce un guadagno pari a 1000; • la lettura dello sbilanciamento del ponte ∆Vletta a valle della centralina è pari a 2.3 V; determinare la deformazione nella sezione estensimetrata.

SOLUZIONE ES. 5

Essendo una trave sollecitata a flessione, avrò uno sforzo a farfalla che generà deformazioni flessionali 𝜀𝜀𝑓𝑓 positive sul lato superiore della trave e negative sul lato inferiore. Per leggere la deformazione bisogna quindi sottrarre i due valori, estensimetrando a mezzo ponte in sottrazione:

Specificando che il ponte in 3 e 4 è completato con resistenze dummy. In questa situazione la lettura del ponte vale:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓 − −𝜀𝜀𝑓𝑓 =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓

Girando la formula ricaviamo:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =2Δ𝑉𝑉𝑘𝑘𝑉𝑉0

Lo sbilanciamento al ponte Δ𝑉𝑉 si ricava conoscendo la Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 e il guadagno:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =2Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺 ⋅ 𝑘𝑘𝑉𝑉0

A questo punto basta sostituire i valori nella formula precedente e otteniamo:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =2 ⋅ 2.3

1000 ⋅ 2.001 ⋅ 2.5= 919.5 𝜇𝜇𝜀𝜀

ES. 6

Si desidera misurare la deformazione nella sezione tratteggiata dovuta al momento flettente applicato alla trave in figura.

1. Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a ponte intero e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone;

2. Sapendo che • la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 1 V; • la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; • la centralina introduce un guadagno pari a 100; • la lettura dello sbilanciamento del ponte ∆Vletta a valle della centralina è pari a 140 mV; determinare la deformazione nella sezione estensimetrata.

SOLUZIONE ES. 5

Essendo una trave sollecitata a flessione con momento flettente concentrato sull’estremo libero, il taglio sarà nullo e il momento flettente sarà uguale in tutti i punti della trave.

In questa situazione si opta per un ponte intero flessionale come in figura:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀3 = 𝜀𝜀𝑓𝑓 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀4 = −𝜀𝜀𝑓𝑓

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 + 𝜀𝜀3 − 𝜀𝜀4)

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓 − −𝜀𝜀𝑓𝑓 + 𝜀𝜀𝑓𝑓 − −𝜀𝜀𝑓𝑓 = 𝑉𝑉0𝑘𝑘𝜀𝜀𝑓𝑓

Per ricavare il valore di deformazione flessionale, basta invertire la formula e si ottiene: 𝜀𝜀𝑓𝑓 = Δ𝑉𝑉𝑘𝑘𝑉𝑉0

. Per

ricavare lo sbilanciamento del ponte utilizziamo la Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 e il guadagno. Per cui si ricava la deformazione flessionale:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =Δ𝑉𝑉𝑘𝑘𝑉𝑉0

=Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑘𝑘𝑉𝑉0

=0,14

100 ⋅ 2 ⋅ 1= 700 𝜇𝜇𝜀𝜀

ES. 7

Si desidera realizzare una cella di carico per la misura della forza assiale cui è sottoposta una fune. Si decide di estensimetrare la piastra in figura da inserire in serie alla fune.

Predisporre gli estensimetri per una misura a ponte intero che compensi eventuali disturbi termici.

Sapendo che

• la piastra è in alluminio (E=70’000MPa, ν=0.33) • gli estensimetri hanno sensibilità k=2 • la centralina alimenta il ponte a 1V e introduce un guadagno pari a 1000

determinare la forza F se la lettura è di 4V.

SOLUZIONE ES. 7

( )

( ) ( )

kNAFMPaE

kGVV

kV

GkkV

GV

kkkkV

GV

al

letta

alalletta

alletta

3.6215210210003008.0000'70

003008.033.12110002

44)1(2

4

124

224

4

42

31

4321

=⋅⋅=⋅==⋅==

=⋅⋅⋅⋅

⋅=

+=

+=−=

−====

−+−=

σεσ

νε

νενεε

νεεεεεε

εεεε

F F15 mm

2 mm

ES. 8

In riferimento alla configurazione in figura, determinare il carico T sapendo che:

• la barra è in acciaio e la sezione ha modulo di resistenza a flessione 350mmWf =

• la centralina di condizionamento del ponte alimenta a V5.2 e introduce un guadagno di 500 • le due sezioni estensimetrata sono ad una distanza mml 50= e gli estensimetri hanno gauge

factor pari a 2 a fronte di un’uscita di V1

SOLUZIONE ES. 8

( ) ( )

NklGV

EVWfT

EWfkTlGV

EWfTb

EWfTakGV

EWfMf

EWfMfkGVkGVkGVV

al

letta

alal

baalbaalal

letta

165224

2

42

42

4 4321

=⋅

=

⋅=

⋅

−⋅

=

=

⋅

−⋅

=−=−+−= εεεεεε

ES. 9

Una resistenza di shunt da 1.2 k Ω è applicata ad un lato di un ponte di Wheatstone. Sapendo che:

• Il ponte è alimentato a 2.5 V • La lettura a valle della centralina, applicata la resistenza di shunt, è pari a -5674 mV • I lati del ponte sono estensimetri da 120 Ω, k=2

Determinare il guadagno introdotto dalla centralina.

SOLUZIONE ES. 9

∆

−∆

+∆

−∆

=∆43214

4321

RR

RR

RR

RRGV

V alletta

Ipotizziamo la resistenza di shunt applicata in parallelo al lato 1 del ponte

1000909.05.2674.54

/14

0909.0120

1200909.109

0909.10912001201200120//

14

11

1

1//

1

1

1

11//

1

=⋅⋅

=∆

∆=

−=−

=−

=∆

Ω=+⋅

=+⋅

==

∆=∆

RRVV

G

RRR

RR

RRRR

RRR

RRGV

V

al

letta

shunt

shuntshunt

alletta

ES. 10

Una trave in alluminio (E = 68000 MPa) a sezione rettangolare (A = 250mm2, Wf = 100mm3) è incastrata ad un estremità e sollecitata dall’estremità libera da un carico assiale (F=1.26 N) e un momento flettente (Mf

=13.6 Nm).

La trave è estensimetrata con 4 estensimetri a resistenza elettrica (R=120Ω, k=2). Calcolare lo sbilanciamento ∆V del ponte di Wheatstone sapendo che la tensione di alimentazione del ponte Val=1V.

SOLUZIONE ES. 10

Il carico assiale non è visto dal circuito a ponte in figura e non verrà pertanto considerato.

Calcolo della deformazione della sezione estensimetrata:

mmEW

M

f

f /200068000100

13600 µε =⋅

=⋅

=

Calcolo dello sbilanciamento del ponte

( ) ( ) mVkVkkkkV

V alal 4002.0214 4321 =⋅⋅==−+−=∆ εεεεε

ES. 11

Si desidera misurare la deformazione sulla superficie superiore della barra nella sezione tratteggiata dovuta al momento flettente applicato alla trave in figura.

1. Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a ponte intero e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

2. Sapendo che: • la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 5 V; • la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; • la centralina introduce un guadagno pari a 100; • la lettura dello sbilanciamento del ponte ∆Vletta a valle della centralina è pari a 320 mV; determinare la deformazione sulla superficie superiore della barra in corrispondenza della sezione estensimetrata.

SOLUZIONE ES. 11

Punto1

Punto2

( )

( )

mm

mm

kGVV

kGVkVGkkkkVG

kkkkVGRR

RR

RR

RRVGV

al

lettafl

flalflal

flflflflal

alalletta

µε

εεεεεε

εεεε

3201020.325100

320.0

44

)()(4

44

4

43214

4

3

3

2

2

1

1

=⋅=⋅⋅

=∆

=

==−−+−−=

=−+−=

∆−

∆+

∆−

∆=∆

−

ES. 12

Data la trave in figura, sottoposta alla forza F, si desidera misurare la deformazione sulla superficie superiore della trave stessa corrispondenza della sezione tratteggiata.

3. Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a mezzo ponte e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone;

4. Sapendo che • la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 5 V; • la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; • la centralina introduce un guadagno pari a 100; • la lettura dello sbilanciamento del ponte ∆Vletta a valle della centralina è pari a 1.2 V;

determinare la deformazione nella sezione estensimetrata.

SOLUZIONE ES. 12

Punto1

Punto 2

( ) ( )

mm

mm

kGVV

kVGkVGkkVGkkVG

RR

RR

RR

RRVGV

al

lettafl

flal

flal

flflalal

alletta

µε

εεεεεε

2400104.225100

2.1222

24

)(44

inattivi 4 e 3 lati 4

3

21

4

4

3

3

2

2

1

1

=⋅=⋅⋅

⋅=

∆=

==−−=−=

=

∆−

∆+

∆−

∆=∆

−

ES. 13

1. Si consideri una trave incastrata di altezza h=5mm e larghezza b=20mm in alluminio (E = 70000 MPa, ν = 0,33), di cui si voglia misurare il carico assiale applicato come in figura.

• Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a ponte intero, indicando la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

• Determinare la forza N sapendo che: - la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 5 V; - la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; - la centralina introduce un guadagno pari a 100: - la lettura dello sbilanciamento del ponte ΔVletta a valle della centralina è pari a 135 mV;

SOLUZIONE ES. 13

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

−∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

+∆𝑅𝑅3𝑅𝑅3

−∆𝑅𝑅4𝑅𝑅4

∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

=∆𝑅𝑅3𝑅𝑅3

= 𝑘𝑘𝜀𝜀 ∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

=∆𝑅𝑅4𝑅𝑅4

= −𝑘𝑘𝑘𝑘𝜀𝜀

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4[𝑘𝑘𝜀𝜀 − (−𝑘𝑘𝑘𝑘𝜀𝜀) + 𝑘𝑘𝜀𝜀 − (−𝑘𝑘𝑘𝑘𝜀𝜀)] =

𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜4

∙ 2𝑘𝑘𝜀𝜀(1 + 𝑘𝑘)

𝜀𝜀 =2𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝐺𝐺𝑉𝑉0𝑘𝑘(1 + 𝑘𝑘) =0.2701330

= 203 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐹𝐹 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴 = 1412 𝑁𝑁

N

N R3 R2

R1 R4

ES. 14

2. Si consideri una trave incastrata di altezza h=5mm e larghezza b=20mm in acciaio (E = 210000 MPa, ν = 0,33), di cui si voglia misurare il momento flettente applicato come in figura.

• Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a mezzo ponte, indicando la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

• Determinare la forza N sapendo che: - la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 2.5 V; - la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; - la centralina introduce un guadagno pari a 100: - la lettura dello sbilanciamento del ponte ΔVletta a valle della centralina è pari a 98 mV;

SOLUZIONE ES. 14

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

−∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

+∆𝑅𝑅3𝑅𝑅3

−∆𝑅𝑅4𝑅𝑅4

∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

= 𝑘𝑘𝜀𝜀 ∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

= −𝑘𝑘𝜀𝜀

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4[𝑘𝑘𝜀𝜀 − (−𝑘𝑘𝜀𝜀)] =

𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜4

∙ 2𝑘𝑘𝜀𝜀

𝜀𝜀 =2𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑉𝑉0𝑘𝑘

=0.1961000

= 196 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇

𝑀𝑀𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑏𝑏 ∙ ℎ2

6 = 3.42 𝑁𝑁𝜇𝜇

Mf

R2

R1

ES. 15

3. Si consideri una trave incastrata di altezza h=4mm e larghezza b=15 mm in acciaio (E = 210000 MPa, ν = 0,3), di cui si voglia misurare il carico assiale applicato come in figura.

• Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a ponte intero, indicando la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

• Determinare la forza N sapendo che: - la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 5 V; - la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; - la centralina introduce un guadagno pari a 100: - la lettura dello sbilanciamento del ponte ΔVletta a valle della centralina è pari a 115 mV;

SOLUZIONE ES. 15

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

−∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

+∆𝑅𝑅3𝑅𝑅3

−∆𝑅𝑅4𝑅𝑅4

∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

=∆𝑅𝑅3𝑅𝑅3

= 𝑘𝑘𝜀𝜀 ∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

=∆𝑅𝑅4𝑅𝑅4

= −𝑘𝑘𝑘𝑘𝜀𝜀

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4[𝑘𝑘𝜀𝜀 − (−𝑘𝑘𝑘𝑘𝜀𝜀) + 𝑘𝑘𝜀𝜀 − (−𝑘𝑘𝑘𝑘𝜀𝜀)] =

𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜4

∙ 2𝑘𝑘𝜀𝜀(1 + 𝑘𝑘)

𝜀𝜀 =2𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝐺𝐺𝑉𝑉0𝑘𝑘(1 + 𝑘𝑘) =0.2301300

= 177 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇

𝐹𝐹 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴 = 2230 𝑁𝑁

N

N R3 R2

R1 R4

ES. 16

4. Si consideri una trave incastrata di altezza h=5mm e larghezza b=20mm in acciaio (E = 210000 MPa, ν = 0,33), di cui si voglia misurare il momento flettente applicato come in figura.

• Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a mezzo ponte, indicando la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

• Determinare la forza N sapendo che: - la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 2.5 V; - la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; - la centralina introduce un guadagno pari a 100: - la lettura dello sbilanciamento del ponte ΔVletta a valle della centralina è pari a 98 mV;

SOLUZIONE ES. 16

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

−∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

+∆𝑅𝑅3𝑅𝑅3

−∆𝑅𝑅4𝑅𝑅4

∆𝑅𝑅1𝑅𝑅1

= 𝑘𝑘𝜀𝜀 ∆𝑅𝑅2𝑅𝑅2

= −𝑘𝑘𝜀𝜀

𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜

4[𝑘𝑘𝜀𝜀 − (−𝑘𝑘𝜀𝜀)] =

𝐺𝐺 ∙ 𝑉𝑉𝑜𝑜4

∙ 2𝑘𝑘𝜀𝜀

𝜀𝜀 =2𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑉𝑉0𝑘𝑘

=0.196500

= 392 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇

𝑀𝑀𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑏𝑏 ∙ ℎ2

6 = 6.84 𝑁𝑁𝜇𝜇

Mf

R2

R1

ES .17

Si consideri una trave incastrata di altezza h=10 mm e larghezza b=30 mm in alluminio (E = 70000 MPa, ν = 0,3), di cui si voglia misurare il momento flettente applicato come in figura.

3. Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a ponte intero e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone;

4. Sapendo che • la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 1 V; • la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; • la centralina introduce un guadagno pari a 100; • la lettura dello sbilanciamento del ponte ∆Vletta a valle della centralina è pari a 68 mV; determinare la deformazione nella sezione estensimetrata.

SOLUZIONE ES. 17

Punto1

Punto2

( )

( )

mm

mm

kGVV

kGVkV

GkkkkV

G

kkkkV

GRR

RR

RR

RRV

GV

al

lettafl

flalflal

flflflflal

alalletta

µε

εεεεεε

εεεε

3401040.321100

068.0

44

)()(4

44

4

43214

4

3

3

2

2

1

1

=⋅=⋅⋅

=∆

=

==−−+−−=

=−+−=

∆−

∆+

∆−

∆=∆

−

𝑀𝑀𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑏𝑏 ∙ ℎ2

6 = 11.9 𝑁𝑁𝜇𝜇

ES. 18

Si consideri una trave incastrata di altezza h=5mm e larghezza b=20mm in acciaio (E = 210000 MPa, ν = 0,33), di cui si voglia misurare il momento flettente applicato come in figura.

5. Posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a ponte intero e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone;

6. Sapendo che • la tensione di alimentazione Val del ponte è pari a 1 V; • la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2; • la centralina introduce un guadagno pari a 100; • la lettura dello sbilanciamento del ponte ∆Vletta a valle della centralina è pari a 78 mV; determinare la deformazione nella sezione estensimetrata.

SOLUZIONE ES. 18

Punto1

Punto2

( )

( )

mm

mm

kGVV

kGVkV

GkkkkV

G

kkkkV

GRR

RR

RR

RRV

GV

al

lettafl

flalflal

flflflflal

alalletta

µε

εεεεεε

εεεε

3901090.321100

078.0

44

)()(4

44

4

43214

4

3

3

2

2

1

1

=⋅=⋅⋅

=∆

=

==−−+−−=

=−+−=

∆−

∆+

∆−

∆=∆

−

𝑀𝑀𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 𝜀𝜀 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝑏𝑏∙ℎ2

6 = 6.805 𝑁𝑁𝜇𝜇

ES. 19 Si consideri la struttura di un paranco a bandiera. Lo schema strutturale equivalente è quello mostrato nella figura sottostante. Il carico da sollevare può essere posizionato in qualsiasi posizione della struttura compreso fra l’estremo della trave e il punto A posizionato ad una distanza 𝑠𝑠0 = 75 𝑐𝑐𝜇𝜇 dall’estremo libero.

a) Paranco a bandiera

b) Schema statico del paranco

La trave del paranco ha sezione rettangolare con base 𝑏𝑏 = 95 𝜇𝜇𝜇𝜇 e altezza ℎ = 50 𝜇𝜇𝜇𝜇, è costruita in fibra di vetro avente modulo elastico 𝐸𝐸 = 81𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎. La lunghezza della trave è pari a 2 metri.

Si chiede di:

a) Strumentare la trave con estensimetri in maniera da poter misurare il carico 𝐹𝐹 indipendentemente dalla posizione del carico sul paranco (cioè devo poter misurare il carico senza conoscerne la posizione sulla trave). Si chiede di trovare una configurazione che massimizzi la sensibilità del ponte.

b) Ipotizzando di avere estensimetri con resistenza pari a 120 Ω e gauge factor pari a 2, di alimentare il ponte a 2.5V, si esprima la formula che lega lo sbilanciamento del ponte alla forza applicata.

c) Quanto deve valere il guadagno di amplificazione imponendo che la lettura del ponte sia pari a 1.13 𝑉𝑉 quando il paranco solleva un carico di 500 𝑘𝑘𝑘𝑘 a velocità costante.

d) Discutere l’effetto della deformazione termica della trave sulla configurazione trovata.

SOLUZIONE ES. 19

Punto a

Per comprendere come strumentare adeguatamente la trave, scriviamo il valore di deformazione in un generico punto distante 𝑥𝑥 dal carico lungo la trave:

𝜀𝜀1 =𝐹𝐹 ⋅ 𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

Con 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 39600 𝜇𝜇𝜇𝜇3 per la trave in esame. Ora calcoliamo il valore di deformazione ad una generica distanza Δ𝑥𝑥 dal primo punto:

𝜀𝜀2 =𝐹𝐹 ⋅ (𝑥𝑥 − Δ𝑥𝑥)𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

I due valori di deformazione sono ovviamente dipendenti dalla posizione del carico lungo la trave, però se io faccio la differenza fra i due valori ottengo:

𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 =𝐹𝐹 ⋅ 𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

−𝐹𝐹 ⋅ (𝑥𝑥 − Δ𝑥𝑥)𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

=𝐹𝐹 ⋅ Δ𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

A

𝑠𝑠0

𝐹𝐹

𝐿𝐿

È evidente come il valore della differenza fra le due deformazioni sia indipendente dalla posizione di 𝐹𝐹 lungo la trave del paranco. Di conseguenza, sfruttando le proprietà del ponte di Wheatstone posso estensimetrare la trave in maniera opportuna per trasdurre la differenza di deformazione.

E’ quindi possibile definire lo schema di misura della trave utilizzando un ponte intero con estensimetri incollati a coppie a distanza Δ𝑥𝑥:

In questa maniera, agendo sul ponte intero posso massimizzare la sensibilità. Rimane solo da specificare il parametro Δ𝑥𝑥. Da un punto di vista ideale, potrei posizionare il carico in qualsiasi punto compreso fra l’incastro della trave e il punto A. Quindi idealmente potrei imporre Δ𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 − 𝑠𝑠0, massimizzando la sensibilità. Tuttavia tale scelta non è realizzabile perché sul punto A può insistere il carico e sulla radice della trave, trovandosi in prossimità del vincolo, l’ipotesi di De Saint Venant non è valida. Per cui, qualsiasi scelta Δ𝑥𝑥 < 𝐿𝐿 − 𝑠𝑠0 è valida. Una scelta sensata è quella di posizionare 2 e 4 ad una distanza:

Δ𝑥𝑥 =12

(𝐿𝐿 − 𝑠𝑠0) = 625 𝜇𝜇𝜇𝜇

Punto b

Specificato lo schema degli estensimetri si può ricavare il valore di sbilanciamento:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 + 𝜀𝜀3 − 𝜀𝜀4) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ Δ𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

+𝐹𝐹 ⋅ Δ𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

=𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ Δ𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

Sostituiamo i valori nella formula e otteniamo:

Δ𝑉𝑉(𝐹𝐹) =𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

Δ𝑥𝑥𝐸𝐸 ⋅ 𝑊𝑊𝑓𝑓

⋅ 𝐹𝐹 =2.52⋅ 2 ⋅

62581000 ⋅ 39600

⋅ 𝐹𝐹 = 487.12 × 10−9 ⋅ 𝐹𝐹

Punto c

La lettura a strumento è pari a Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺 ⋅ Δ𝑉𝑉(𝐹𝐹). Quando il carico è uguale a 500 kg, la forza vale

𝐹𝐹 = 500 ⋅ 9.81 = 4905 𝑁𝑁 → Δ𝑉𝑉 = 487.12 × 10−9 ⋅ 4905 = 2.389 𝜇𝜇𝑉𝑉

A questo punto il guadagno di amplificazione è presto calcolato come:

𝐺𝐺 =Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙Δ𝑉𝑉0

=1130 𝜇𝜇𝑉𝑉2.389 𝜇𝜇𝑉𝑉

= 473

𝐹𝐹Δ𝑥𝑥

𝜀𝜀1, 𝜀𝜀3𝜀𝜀2, 𝜀𝜀4

Punto d

La deformazione termica è identica per tutti i punti di misura e vale 𝜀𝜀𝑇𝑇 = 𝛼𝛼Δ𝑇𝑇, sicché:

Δ𝑉𝑉𝑇𝑇 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀𝑇𝑇 − 𝜀𝜀𝑇𝑇 + 𝜀𝜀𝑇𝑇 − 𝜀𝜀𝑇𝑇) = 0

Da cui consegue che tale configurazione compensa la deformazione termica della trave.

Parte 2 – Esercizi svolti da temi d’esame

ES. 20 Si desidera misurare la deformazione flessionale 𝜀𝜀𝑓𝑓 (dovuta al solo momento flettente) nella sezione A risultante dalla forza F applicata alla trave in figura con un angolo di disallineamento 𝜃𝜃0 = 10°.

Quesito 1

Si richiede di posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a mezzo ponte, capace di compensare i disturbi dovuti alle azioni assiali e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

N.B. è possibile posizionare gli estensimetri sia nel lato superiore, sia nel lato inferiore della trave.

Quesito 2

Determinare la lettura della centralina estensimetrica Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙, sapendo che:

• la tensione di alimentazione 𝑉𝑉0 del ponte è pari a 5 V;

• la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2;

• la centralina introduce un guadagno pari a 500;

• La trave è in acciaio e ha sezione quadrata avente lato 𝑏𝑏 = 50 𝜇𝜇𝜇𝜇

• Distanza sezione estensimetrata – punto di applicazione del carico 𝑠𝑠0 = 600 𝜇𝜇𝜇𝜇

• La forza applicata vale 𝐹𝐹 = 2980 𝑁𝑁

Quesito 3

Disponendo di un modulo di acquisizione dati capace di misurare tensioni fra 0 e 5V, specificare il numero di bit minimo 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 con il quale acquisire il segnale della centralina estensimetrica (Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙) per ottenere una risoluzione nella misura della deformazione pari a 0,5 𝜇𝜇𝜀𝜀

Soluzione

La forza non è allineata all’asse della trave, di conseguenza ho due azioni: una forza flessionale 𝐹𝐹𝑓𝑓 = 𝐹𝐹 ⋅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜃𝜃0 che produce una deformazione flessionale 𝜀𝜀𝑓𝑓, una forza assiale 𝐹𝐹𝑙𝑙 = 𝐹𝐹 ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃0 che produce una deformazione assiale 𝜀𝜀𝑙𝑙. Sul lato superiore della trave abbiamo deformazioni pari a 𝜀𝜀𝑙𝑙 , 𝜀𝜀𝑓𝑓. Nella parte inferiore 𝜀𝜀𝑙𝑙 ,−𝜀𝜀𝑓𝑓. Di conseguenza la configurazione a mezzo ponte adatta per misurare la sola 𝜀𝜀𝑓𝑓 è quella 1,2 mostrata in figura.

𝑠𝑠0𝐹𝐹

𝜃𝜃0

A

Per tale configurazione lo sbilanciamento del ponte vale:

𝛥𝛥𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘(𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘𝜀𝜀𝑓𝑓 + 𝜀𝜀𝑙𝑙 − −𝜀𝜀𝑓𝑓 + 𝜀𝜀𝑙𝑙 =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 2𝜀𝜀𝑓𝑓 =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓

Per la struttura in oggetto la deformazione flessionale è pari a:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =𝐹𝐹𝑓𝑓 ⋅ 𝑠𝑠0𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

=𝐹𝐹 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃0 ⋅ 𝑠𝑠0

𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Sostituendo nell’equazione precedente si ottiene

𝛥𝛥𝑉𝑉 =𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃0 ⋅ 𝑠𝑠0𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Inoltre sappiamo che 𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺 ⋅ 𝛥𝛥𝑉𝑉, quindi:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃0 ⋅ 𝑠𝑠0𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Calcoliamo tutti i valori incogniti:

• 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 16𝑏𝑏3 = 20833 𝜇𝜇𝜇𝜇3

• 𝐸𝐸 = 206000 𝑀𝑀𝐺𝐺𝑎𝑎

E risolviamo per la 𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 500 ⋅52⋅ 2 ⋅

2980 ⋅ 0,985 ⋅ 600206000 ⋅ 20833

= 1,026 𝑉𝑉

Per calcolare il numero minimo di bit, per prima cosa, dobbiamo trovare la relazione 𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝜀𝜀𝑓𝑓:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓

Da cui si ricava la sensibilità dello strumento:

𝑠𝑠 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 = 500 ⋅

52⋅ 2 = 2500

𝑉𝑉𝜀𝜀

Per cui è possibile ricavare la risoluzione in tensione 𝑟𝑉𝑉 dalla risoluzione in deformazione richiesta:

𝑟𝑉𝑉 = 𝑠𝑠 ⋅ 𝑟𝜀𝜀 = 2500 ⋅ 0,5 × 10−6 = 1,25 𝜇𝜇𝑉𝑉

A questo punto si utilizza la formula della risoluzione di conversione AD:

𝑟𝑉𝑉 =𝐹𝐹𝐹𝐹2𝑁𝑁

→ 2𝑁𝑁 =𝐹𝐹𝐹𝐹𝑟𝑉𝑉

→ 𝑁𝑁 = log2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑟𝑉𝑉

Il fondo scala è 5V. Quindi si ricava che il numero minimo di bit è pari a:

𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = log25

1,25 × 10−3= 11,966 = 12 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑏𝑏

ES. 21 Si desidera misurare la deformazione assiale 𝜀𝜀𝑙𝑙 (dovuta alla sola trazione) nella sezione A risultante dalla forza F applicata alla trave in figura con un angolo di disallineamento 𝜃𝜃0 = 10°.

Quesito 1

Si richiede di posizionare gli estensimetri sulla trave utilizzando una configurazione a mezzo ponte (cioè con due lati attivi), capace di compensare i disturbi dovuti alle azioni flessionali e indicare la rispettiva posizione sul circuito a ponte di Wheatstone.

N.B. è possibile posizionare gli estensimetri sia nel lato superiore, sia nel lato inferiore della trave.

Quesito 2

Determinare il valore del carico di trazione assiale e della forza 𝐹𝐹, sapendo che:

• la tensione di alimentazione 𝑉𝑉0 del ponte è pari a 5 V;

• la sensibilità k degli estensimetri è pari a 2;

• la centralina introduce un guadagno pari a 500;

• La trave è in acciaio e ha sezione quadrata avente lato 𝑏𝑏 = 40 𝜇𝜇𝜇𝜇

• La lettura della centralina estensimetrica Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 830 𝜇𝜇𝑉𝑉

Quesito 3

Disponendo di un modulo di acquisizione dati capace di misurare tensioni fra -5 e 5V, specificare il numero di bit minimo con il quale acquisire il segnale della centralina estensimetrica (Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙) per ottenere una risoluzione nella misura della deformazione pari a 0,25 𝜇𝜇𝜀𝜀

Soluzione

La forza non è allineata all’asse della trave, di conseguenza ho due azioni: una forza flessionale 𝐹𝐹𝑓𝑓 = 𝐹𝐹 ⋅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃0 che produce una deformazione flessionale 𝜀𝜀𝑓𝑓, una forza assiale 𝐹𝐹𝑙𝑙 = 𝐹𝐹 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜃𝜃0 che produce una deformazione assiale 𝜀𝜀𝑙𝑙. Sul lato superiore della trave abbiamo deformazioni pari a 𝜀𝜀𝑙𝑙 , 𝜀𝜀𝑓𝑓. Nella parte inferiore 𝜀𝜀𝑙𝑙 ,−𝜀𝜀𝑓𝑓. Di conseguenza la configurazione a mezzo ponte adatta per misurare la sola 𝜀𝜀𝑙𝑙 è quella 1,3 mostrata in figura.

𝑠𝑠0 𝐹𝐹𝜃𝜃0

A

Per tale configurazione lo sbilanciamento del ponte vale:

𝛥𝛥𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘(𝜀𝜀1 + 𝜀𝜀3) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘𝜀𝜀𝑓𝑓 + 𝜀𝜀𝑙𝑙 + −𝜀𝜀𝑓𝑓 + 𝜀𝜀𝑙𝑙 =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 2𝜀𝜀𝑙𝑙 =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙

Per la struttura in oggetto la deformazione flessionale è pari a:

𝜀𝜀𝑙𝑙 =𝐹𝐹𝑙𝑙𝐸𝐸𝐴𝐴

=𝐹𝐹 ⋅ cos 𝜃𝜃0

𝐸𝐸𝐴𝐴

Sostituendo nell’equazione precedente si ottiene

𝛥𝛥𝑉𝑉 =𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ cos 𝜃𝜃0𝐸𝐸𝐴𝐴

Inoltre sappiamo che 𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺 ⋅ 𝛥𝛥𝑉𝑉, quindi:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ cos 𝜃𝜃0𝐸𝐸𝐴𝐴

Invertiamo la relazione per trovare la forza:

𝐹𝐹 =2𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘𝑉𝑉0𝐺𝐺

⋅𝐸𝐸𝐴𝐴

cos𝜃𝜃0

Calcoliamo tutti i valori incogniti:

• 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏2 = 1600𝜇𝜇𝜇𝜇2

• 𝐸𝐸 = 206000 𝑀𝑀𝐺𝐺𝑎𝑎

E risolviamo per la 𝐹𝐹:

𝐹𝐹 =2 ⋅ 0,830

2 ⋅ 5 ⋅ 500⋅

206000 ⋅ 16000,985

= 111,1 𝑘𝑘𝑁𝑁

Per calcolare il numero minimo di bit, per prima cosa, dobbiamo trovare la relazione 𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝜀𝜀𝑓𝑓:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙

Da cui si ricava la sensibilità dello strumento:

𝑠𝑠 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 = 500 ⋅

52⋅ 2 = 2500

𝑉𝑉𝜀𝜀

Per cui è possibile ricavare la risoluzione in tensione 𝑟𝑉𝑉 dalla risoluzione in deformazione richiesta:

𝑟𝑉𝑉 = 𝑠𝑠 ⋅ 𝑟𝜀𝜀 = 2500 ⋅ 0,5 × 10−6 = 0,625 𝜇𝜇𝑉𝑉

A questo punto si utilizza la formula della risoluzione di conversione AD:

𝑟𝑉𝑉 =𝐹𝐹𝐹𝐹2𝑁𝑁

→ 2𝑁𝑁 =𝐹𝐹𝐹𝐹𝑟𝑉𝑉

→ 𝑁𝑁 = log2𝐹𝐹𝐹𝐹𝑟𝑉𝑉

Il fondo scala è 10V. Quindi si ricava che il numero minimo di bit è pari a:

𝑁𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = log210

0,625 × 10−3= 13,966 = 14 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑏𝑏

ES. 22

Per misurare la pressione 𝐺𝐺0 dei gas all’interno di un recipiente in pressione di diametro 𝑟𝑟 = 150 𝜇𝜇𝜇𝜇 e spessore 𝑠𝑠 = 3 𝜇𝜇𝜇𝜇 si vuole utilizzare un metodo estensimetrico. La pressione interna provoca una deformazione circonferenziale di trazione 𝜀𝜀𝐶𝐶 pari a:

𝜀𝜀𝐶𝐶 =𝐺𝐺0𝑟𝑟𝐸𝐸𝑠𝑠

1 −𝑘𝑘2

È possibile collocare gli estensimetri nel punto A e B mostrati in figura. Si richiede di:

• Specificare una configurazione estensimetrica capace di realizzare la misura utilizzando 2 estensimetri

• Utilizzando la configurazione scelta, calcolare il valore di pressione dei gas nell’ipotesi di avere una lettura alla centralina estensimetrica Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 pari a 780 𝜇𝜇𝑉𝑉

Dati: 𝐸𝐸 = 95 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎 𝑘𝑘 = 0.33 Gage factor estensimetri 𝑘𝑘 = 2 Alimentazione ponte 𝑉𝑉0 = 5 𝑉𝑉 Guadagno centralina 𝐺𝐺 = 1000

Soluzione

Per ottenere la misura devo attivare i lati 1 e 3 del ponte

A questo punto ricavo la deformazione 𝜀𝜀𝐶𝐶:

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺𝑉𝑉0

4⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 2𝜀𝜀𝐶𝐶 → 𝜀𝜀𝐶𝐶 =

2Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘𝐺𝐺𝑉𝑉0

= 156𝜇𝜇𝜀𝜀

A questo punto è possibile calcolare la pressione interna dei gas:

𝐺𝐺0 = 𝜀𝜀𝐶𝐶 ⋅ 𝐸𝐸 ⋅𝑠𝑠𝑟𝑟⋅

1

1 − 𝑘𝑘2

= 156 × 10−6 ⋅ 95 × 109 ⋅3

150⋅

10,835

= 355 𝑘𝑘𝐺𝐺𝑎𝑎

𝐺𝐺0A B 𝜀𝜀𝐶𝐶𝜀𝜀𝐶𝐶

ES. 23

Per determinare il modulo di Young di una lega di alluminio ignota (Coefficiente di Poisson 𝑘𝑘 = 0.33), si prepara una prova a trazione di una barra quadrangolare di sezione 𝐴𝐴 = 146,8 𝜇𝜇𝜇𝜇2, strumentata a ponte intero con estensimetri (resistenza nominale 120Ω con gage factor 𝑘𝑘 pari a 2,1) come mostrato in figura.

La centralina di condizionamento alimenta il ponte a 2,5 𝑉𝑉, ma ha guadagno ignoto. Per determinare il guadagno si utilizza una resistenza di shunt da 12 𝑘𝑘Ω che, una volta inserita a cavallo dell’estensimetro 1, genera una lettura alla centralina pari a 4,645 𝑉𝑉.

Fatto ciò viene applicato un carico 𝑁𝑁 = 3,17 𝑘𝑘𝑁𝑁. La lettura della centralina per il carico applicato è pari a 0,786 𝑉𝑉. Utilizzando i dati forniti, si calcoli il modulo di Young del materiale.

Soluzione

Per prima cosa si calcola il guadagno introdotto dalla centralina:

𝑅𝑅\\ = 1

120+

112000

−1

= 118.81 Ω →ΔRR

= 9,917 × 10−3

𝐺𝐺 =4Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑉𝑉0⋅

1ΔRR

= 750

A questo punto posso risolvere il ponte:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀3 = 𝜀𝜀𝑙𝑙; 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀4 = −𝑘𝑘𝜀𝜀𝑙𝑙

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺𝑉𝑉0

4⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2+𝜀𝜀3 − 𝜀𝜀4) =

𝐺𝐺𝑉𝑉02

⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙 ⋅ (1 + 𝑘𝑘) → 𝜀𝜀𝑙𝑙 =2Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘𝐺𝐺𝑉𝑉0

⋅1

1 + 𝑘𝑘= 300𝜇𝜇𝜀𝜀

Da cui ricavo il modulo elastico:

𝜀𝜀𝑙𝑙 =𝑁𝑁𝐸𝐸𝐴𝐴

→ 𝐸𝐸 =𝑁𝑁𝜀𝜀𝑙𝑙𝐴𝐴

= 72 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎

𝑁𝑁 𝑁𝑁1,32,4

ES. 23

Per determinare il modulo di Young di una lega di acciaio ignota, si prepara una prova a flessione di una barra avente sezione quadrata di area 𝐴𝐴 = 144 𝜇𝜇𝜇𝜇2, strumentata a ponte intero con estensimetri (resistenza nominale 350Ω con gage factor 𝑘𝑘 pari a 2,05) come mostrato in figura.

La centralina di condizionamento alimenta il ponte a 1 𝑉𝑉, ma ha guadagno ignoto. Per determinare il guadagno si utilizza una resistenza di shunt da 50 𝑘𝑘Ω che, una volta inserita a cavallo dell’estensimetro 1, genera una lettura alla centralina pari a 1,925 𝑉𝑉.

Fatto ciò viene applicato un momento flettente 𝑀𝑀𝑓𝑓 = 16,418 𝑁𝑁𝜇𝜇. La lettura della centralina per il carico applicato è pari a 0,631 𝑉𝑉. Utilizzando i dati forniti, si calcoli il modulo di Young del materiale.

Soluzione

Per prima cosa si calcola il guadagno introdotto dalla centralina:

𝑅𝑅\\ = 1

350+

150000

−1

= 347,6 Ω →ΔRR

= 6,86 × 10−3

𝐺𝐺 =4Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑉𝑉0

⋅1ΔRR

= 1120

A questo punto posso risolvere il ponte:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀3 = 𝜀𝜀𝑓𝑓; 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀4 = −𝜀𝜀𝑓𝑓

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺𝑉𝑉0

4⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2+𝜀𝜀3 − 𝜀𝜀4) = 𝐺𝐺𝑉𝑉0 ⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓 → 𝜀𝜀𝑓𝑓 =

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑘𝑘𝐺𝐺𝑉𝑉0

= 275 𝜇𝜇𝜀𝜀

Calcolo il modulo di resistenza a flessione della struttura:

𝑊𝑊𝑓𝑓 =16𝑏𝑏3 =

16𝐴𝐴32 = 288 𝜇𝜇𝜇𝜇3

Da cui ricavo il modulo elastico:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =𝑀𝑀𝑓𝑓

𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓→ 𝐸𝐸 =

𝑀𝑀𝑓𝑓

𝜀𝜀𝑓𝑓𝑊𝑊𝑓𝑓=

16.778275 × 10−6 ⋅ 288 × 10−9

= 207,3 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎

ES. 24

Una bilancia per fluidi chimici è costituita da una trave incastrata (sezione quadrata, lato 50 mm) alla cui estremità (cioè fra il punto A e il punto B) viene appoggiato il serbatoio da riempire come in figura sottostante.

• Poiché la posizione del serbatoio non è nota a priori, si strumenti la trave con 4 estensimetri, utilizzando una configurazione capace di misurare correttamente la forza peso indipendentemente dalla posizione del serbatoio stesso. N.B. è possibile posizionare liberamente gli estensimetri in qualsiasi punto della trave compreso fra l’incastro e il punto A

• Utilizzando la configurazione prescelta, si calcoli il valore della differenza di potenziale letta a display della centralina estensimetrica quando il carico della bilancia è pari a 110 kg.

Dati:

- distanza punto A dall’incastro: 50 cm

- distanza punto B dall’incastro: 70 cm

- gage factor estensimetri: 2,01

- guadagno della centralina: 1200

- tensione alimentazione ponte: 5V

- materiale trave: alluminio

Soluzione

Poiché il taglio è costante, la differenza fra la deformazione flessionale fra due qualsiasi punto compreso fra l’incastro e A dipende solo dal valore del peso 𝐺𝐺, non dalla sua posizione sulla trave. Di conseguenza, la differenza tra due punti generici vale:

𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ⋅ 𝑧𝑧𝑙𝑙𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

; 𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑏𝑏 =𝐺𝐺 ⋅ 𝑧𝑧𝑏𝑏𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

;

𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙 − 𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙 =𝐺𝐺 ⋅ (𝑧𝑧𝑙𝑙 − 𝑧𝑧𝑏𝑏)

𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓=𝐺𝐺 ⋅ Δ𝑧𝑧𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Ora disponendo gli estensimetri opportunamente, posso misurare la differenza fra le due deformazioni. Una soluzione può essere la seguente:

Infatti se risolviamo il ponte per questa configurazione abbiamo:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙; 𝜀𝜀2 = −𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙; 𝜀𝜀3 = −𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑏𝑏; 𝜀𝜀4 = 𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑏𝑏;

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 + 𝜀𝜀3 − 𝜀𝜀4) =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙 − 𝜀𝜀𝑓𝑓,𝑙𝑙 =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐺𝐺 ⋅ Δ𝑧𝑧𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

A questo punto è possibile inserire il guadagno della centralina e calcolare la differenza potenziale letta a display.

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺 ⋅ Δ𝑉𝑉 =𝐺𝐺𝑉𝑉0

2⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐺𝐺 ⋅ Δ𝑧𝑧𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Non resta che scegliere Δ𝑧𝑧 e specificare il restante set di dati. Imponiamo, per non stare troppo vicini ai vincoli, Δ𝑧𝑧 = 400 𝜇𝜇𝜇𝜇. I restanti dati sono:

• 𝐺𝐺 = 110 ⋅ 9,81 = 1079 𝑁𝑁 • 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 1

6𝑏𝑏3 = 20830 𝜇𝜇𝜇𝜇3

• 𝐸𝐸 = 70 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑎𝑎 • 𝑘𝑘 = 2,01 • 𝑉𝑉0 = 5 𝑉𝑉 • 𝐺𝐺 = 1200

Inserendo si ottiene:

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 =𝐺𝐺𝑉𝑉0

2⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐺𝐺 ⋅ Δ𝑧𝑧𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

= 1200 ⋅52⋅ 2,01 ⋅

1079 ⋅ 40070000 ⋅ 20830

= 1,785 𝑉𝑉

ES. 25

In laboratorio avete trovato una cella di carico costituita da una trave in alluminio (E=71 GPa) incastrata a sezione quadrata (lato 20 mm), estensimetrata a ponte intero come da disegno sottostante.

La distanza 𝐿𝐿 è pari a 200 mm. La cella di carico è collegata ad una centralina di condizionamento che introduce un guadagno pari a 700 ed alimenta il ponte in corrente continua a 5V. Gli estensimetri hanno gage factor pari a 2.

Si determini la sensibilità del trasduttore di forza così costruito facendo riferimento ad uno schema di misura dove la quantità fisica in ingresso è la forza 𝐹𝐹 e l’uscita del sensore è la differenza di potenziale letta a display

dalla centralina di condizionamento. Si esprima il risultato in 𝑚𝑚𝑉𝑉𝑁𝑁.

Soluzione

Per prima cosa si calcolano le deformazioni flessionali nei due punti estensimetrati:

𝜀𝜀𝑓𝑓,1 =𝐹𝐹 ⋅ (𝐿𝐿 + Δ𝑥𝑥)

𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓 𝜀𝜀𝑓𝑓,2 =

𝐹𝐹 ⋅ Δ𝑥𝑥𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Il modulo di resistenza a flessione vale 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 16𝑏𝑏3 = 1333 𝜇𝜇𝜇𝜇3. A questo punto si assegnano le deformazioni

a ciascun estensimetro:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑓𝑓,1 𝜀𝜀2 = −𝜀𝜀𝑓𝑓,1 𝜀𝜀3 = −𝜀𝜀𝑓𝑓,2 𝜀𝜀4 = 𝜀𝜀𝑓𝑓,2

Da cui è possibile risolvere il ponte:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 + 𝜀𝜀3−𝜀𝜀4) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 2

𝐹𝐹 ⋅ L𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

=𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐹𝐹 ⋅ L𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Di conseguenza essendo 𝐹𝐹 l’ingresso e Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺Δ𝑉𝑉 l’uscita, la sensibilità risulta:

𝑠𝑠 =𝐺𝐺𝑉𝑉0

2⋅ 𝑘𝑘 ⋅

L𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

=700 ⋅ 5

2⋅ 2 ⋅

20071000 ⋅ 1333

= 7.396 × 10−3𝑉𝑉𝑁𝑁

= 7.4𝜇𝜇𝑉𝑉𝑁𝑁

ES. 26

Si vuole determinare sperimentalmente il coefficiente di portanza 𝐶𝐶𝐿𝐿 di un profilo alare definito come:

𝐶𝐶𝐿𝐿 = 2𝐿𝐿𝜌𝜌𝑉𝑉2𝐹𝐹

Dove 𝐿𝐿 indica la forza portante generata dal profilo alare, 𝜌𝜌 la densità dell’aria, 𝑉𝑉 la velocità relativa aria-ala e 𝐹𝐹 la superficie alare.

Per effettuare la misura, il profilo alare viene inserito in camera del vento e montato sull’estremo libero di una trave incastrata in alluminio a sezione rettangolare. La trave è estensimetrata a mezzo ponte con lo scopo di misurare la portanza 𝐿𝐿. Il setup sperimentale così ottenuto è mostrato nella figura sottostante.

Gli estensimetri (gage factor pari a 2,06) sono posizionati alla distanza 𝑎𝑎 rispetto alla forza 𝐿𝐿. La lettura della deformazione viene effettuata utilizzando una centralina di condizionamento che alimenta il ponte a 5V ed introduce un guadagno pari a 2000.

Si chiede di determinare il coefficiente di portanza sapendo che la lettura della centralina estensimetrica è pari a 431 mV.

Dati:

• 𝜌𝜌 = 1,225 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚3

• 𝑉𝑉 = 21 𝑚𝑚𝑠𝑠

• 𝐹𝐹 = 0,4 𝜇𝜇2

• 𝑎𝑎 = 0,5 𝜇𝜇 • 𝑊𝑊𝑓𝑓 = 2666 𝜇𝜇𝜇𝜇3 • 𝐸𝐸 = 70500 𝑀𝑀𝐺𝐺𝑎𝑎

Soluzione

Risolvendo il ponte otteniamo che la deformazione flessionale 𝜀𝜀𝑓𝑓 vale:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =2Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝐺𝐺𝑉𝑉0𝑘𝑘

=2 ⋅ 0.431

2000 ⋅ 5 ⋅ 2.06= 42 𝜇𝜇𝜀𝜀

La deformazione flessionale è dovuta alla portanza poiché:

𝜀𝜀𝑓𝑓 =𝑀𝑀𝑓𝑓

𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓=𝐿𝐿 ⋅ 𝑎𝑎𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

→ 𝐿𝐿 =𝜀𝜀𝑓𝑓 ⋅ 𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

𝑎𝑎= 15,7 𝑁𝑁

A questo punto è possibile calcolare il coefficiente di portanza in maniera corretta:

𝐶𝐶𝐿𝐿 = 2𝐿𝐿𝜌𝜌𝑉𝑉2𝐹𝐹

= 0,38

ES. 27 Dovete realizzare un sensore di forza per la pressa idraulica rappresentata in figura. Per la realizzazione avete la possibilità di estensimetrare il mandrino della pressa nella sezione A-A. La sezione A-A è di forma circolare, con diametro di 30 mm. La pressa lavora leghe austenitiche, ragion per cui la temperatura del mandrino aumenta di circa 150°C durante la lavorazione.

Si richiede di:

A. Realizzare una configurazione a due estensimetri capace di misurare la forza P applicata dalla pressa, compensando gli effetti termici. Dettagliare la posizione degli estensimetri all’interno del ponte e delle relative resistenze di completamento.

B. Dimostrare che la configurazione ottenuta permette di cancellare gli effetti di dilatazione termica. C. Per il sistema ottenuto, si ricavi la legge che lega la differenza di potenziale letta a display dalla

centralina estensimetrica alla forza P.

Dati: • Gage factor estensimetri = 2,05 • Modulo di Young sezione A-A = 209,3 GPa • Coefficiente di Poisson sezione A-A=0,31 • Tensione alimentazione ponte = 3,3V • Guadagno centralina estensimetrica = 2000

Soluzione La sezione è sottoposta ad uno stato di compressione monoassiale, di conseguenza la configurazione migliore a due estensimetri è la seguente:

I punti 3 e 4 del ponte sono sostituiti da

resistenze di completamento

Per tale configurazione abbiamo:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑙𝑙; 𝜀𝜀2 = −𝑘𝑘𝜀𝜀𝑙𝑙

Di conseguenza lo sbilanciamento del ponte vale:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙 ⋅ (1 + 𝑘𝑘)

La verifica a carico termico va fatta ipotizzando una deformazione termica isotropa 𝜀𝜀𝑇𝑇 = 𝛼𝛼Δ𝑇𝑇. Ne consegue che tale deformazione appare identicamente in entrambi gli estensimetri, per cui:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑙𝑙 + 𝜀𝜀𝑇𝑇; 𝜀𝜀2 = −𝑘𝑘𝜀𝜀𝑙𝑙 + 𝜀𝜀𝑇𝑇

Se inseriamo tutto nel ponte otteniamo una reiezione degli effetti termici:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙 + 𝜀𝜀𝑇𝑇 − (−𝑘𝑘𝜀𝜀𝑙𝑙 + 𝜀𝜀𝑇𝑇) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙 ⋅ (1 + 𝑘𝑘)

A-A

𝐺𝐺

𝜀𝜀𝑙𝑙

12

𝜀𝜀𝑙𝑙

−𝑘𝑘𝜀𝜀𝑙𝑙 −𝑘𝑘𝜀𝜀𝑙𝑙

Considerando lo stato di sforzo monoassiale, possiamo ricavare il legame forza-differenza di potenziale:

𝜀𝜀𝑙𝑙 = −𝐺𝐺𝐸𝐸𝐴𝐴

Di conseguenza la Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 vale:

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺Δ𝑉𝑉 = −𝐺𝐺𝑉𝑉0

4⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐺𝐺𝐸𝐸𝐴𝐴

⋅ (1 + 𝑘𝑘) =

= −2000 ⋅3,34⋅ 2,05 ⋅

1,31209300 ⋅ 707

⋅ 𝐺𝐺 = −3 × 10−5 ⋅ 𝐺𝐺

Ne consegue che il sistema ha una sensibilità di circa 30𝑚𝑚𝑉𝑉𝑘𝑘𝑁𝑁

ES. 28 Dovete realizzare un sensore di coppia per equipaggiare la chiave dinamometrica mostrata in figura. Dal punto di vista strutturale, il sistema è schematizzabile come una trave incastrata. È possibile estensimetrare lo strumento in corrispondenza della sezione B-B. La sezione è quadrata di lato 15 mm. Poiché la chiave dinamometrica è azionata manualmente, non è possibile garantire l’assenza di azioni assiali all’interno della trave.

Si richiede di:

A. Realizzare una configurazione a due estensimetri capace di misurare la forza P applicata dalla chiave dinamometrica, compensando gli effetti dovuti alle azioni assiali. Dettagliare la posizione degli estensimetri all’interno del ponte e delle relative resistenze di completamento.

B. Dimostrare che la configurazione ottenuta permette di cancellare gli effetti di una generica deformazione assiale imposta 𝜀𝜀𝑙𝑙

C. Per il sistema ottenuto, si ricavi la legge che lega la forza P alla differenza di potenziale letta a display dalla centralina estensimetrica.

Dati: • Gage factor estensimetri = 2,05 • Modulo di Young sezione B-B = 80,1 GPa • Tensione alimentazione ponte = 2,5V • Guadagno centralina estensimetrica = 900 • Distanza L=22 cm

Soluzione La sezione è sottoposta a flessione retta, di conseguenza la configurazione migliore a due estensimetri è la seguente:

I punti 3 e 4 del ponte sono sostituiti da

resistenze di completamento

Per tale configurazione abbiamo:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑓𝑓; 𝜀𝜀2 = −𝜀𝜀𝑓𝑓

Di conseguenza lo sbilanciamento del ponte vale:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2) =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓

La verifica a carico assiale va fatta ipotizzando una deformazione di trazione monoassiale 𝜀𝜀𝑙𝑙. Ne consegue che tale deformazione appare identicamente in entrambi gli estensimetri, per cui:

𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑙𝑙 + 𝜀𝜀𝑓𝑓; 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀𝑙𝑙 − 𝜀𝜀𝑓𝑓

B-B 𝐺𝐺

𝐿𝐿

1

2

𝜀𝜀𝑓𝑓

−𝜀𝜀𝑓𝑓

Se inseriamo tutto nel ponte otteniamo una reiezione degli effetti termici:

Δ𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2) =

𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙 + 𝜀𝜀𝑓𝑓 − 𝜀𝜀𝑙𝑙 − 𝜀𝜀𝑓𝑓 =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑓𝑓

Considerando lo stato di sforzo flessionale, possiamo ricavare il legame forza-differenza di potenziale:

𝜀𝜀𝑓𝑓 = −𝐺𝐺 ⋅ 𝐿𝐿𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

Di conseguenza la Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 vale:

Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺Δ𝑉𝑉 = −𝐺𝐺𝑉𝑉0

2⋅ 𝑘𝑘 ⋅

𝐺𝐺 ⋅ 𝐿𝐿𝐸𝐸𝑊𝑊𝑓𝑓

=

= −900 ⋅2.52⋅ 2,05 ⋅

22080100 ⋅ 562.5

⋅ 𝐺𝐺 = −11.26 × 10−3 ⋅ 𝐺𝐺

Ne consegue che il sistema ha una sensibilità di circa 11,3𝑚𝑚𝑉𝑉𝑘𝑘𝑁𝑁

.

ES. 29 Una gru portuale dalla portata massima di 10 tonnellate, è costituita da una struttura a trave e controvento, come mostrato nello schema strutturale in figura. Per costruire un sistema di allarme in caso di sovraccarico (cioè quando il carico sollevato è superiore alla portata della gru), si è deciso di estensimetrare la sezione C-C per misurare lo stato di deformazione della struttura. Ovviamente, quando la lettura della centralina estensimetrica supera il valore limite, l’allarme verrà azionato automaticamente. Per la realizzazione del sistema si richiede di:

A. Specificare uno schema a 4 estensimetri capace di misurare le deformazioni strutturali B. Calcolare il valore limite di Δ𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 oltre il quale far suonare l’allarme di sovraccarico

• 𝑎𝑎 = 8 𝜇𝜇, 𝑏𝑏 = 6 𝜇𝜇 • Sezione C-C: rettangolare, base 50 mm e altezza 250 mm. • Materiale: acciaio strutturale • Guadagno centralina = 1200 • Gage factor estensimetri = 2,01 • 𝑉𝑉0 = 2,5 𝑉𝑉

Soluzione La struttura è un arco a tre punti isostatico. Per risolvere la struttura basta staccare e attaccare l’asta verticale e obliqua ed imporre l’equilibrio delle forze:

−𝐺𝐺 + 𝑁𝑁1 sin𝛼𝛼 = 0𝑁𝑁2 + 𝑁𝑁1 cos𝛼𝛼 = 0

Ne consegue che l’asta è sottoposta a trazione mono assiale, con carico 𝑁𝑁1 = 𝐺𝐺

sin𝛼𝛼. L’angolo si ricava con 𝛼𝛼 = atan 𝑏𝑏

𝑙𝑙≈ 36,9°. Da cui:

𝑁𝑁1 ≈ 1,66 ⋅ 𝐺𝐺

Di conseguenza la trave va estensimetrata con un ponte intero per deformazione assiale, vale a dire:

Le deformazioni sugli estensimetri valgono: 𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀3 = 𝜀𝜀𝑎𝑎 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀4 = −𝑘𝑘𝜀𝜀𝑎𝑎

Di conseguenza lo sbilanciamento del ponte vale:

𝛥𝛥𝑉𝑉 =𝑉𝑉04⋅ 𝑘𝑘 ⋅ (𝜀𝜀1 − 𝜀𝜀2 + 𝜀𝜀3 − 𝜀𝜀4) =

𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙(1 + 𝑘𝑘)

Applicando il guadagno, si ricava la lettura della centralina:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 𝜀𝜀𝑙𝑙(1 + 𝑘𝑘)

Utilizzando la legge di Hooke si ricava:

𝜀𝜀𝑎𝑎 =𝑁𝑁1

𝐸𝐸𝐴𝐴= 1,66 ⋅

𝐺𝐺𝐸𝐸𝐴𝐴

Inserendo tutto nel legame del ponte di Wheatstone:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐺𝐺𝑉𝑉02⋅ 𝑘𝑘 ⋅ 1,66 ⋅

𝐺𝐺𝐸𝐸𝐴𝐴

(1 + 𝑘𝑘) =

= 1200 ⋅2,52⋅ 2,01 ⋅ 1,66 ⋅

𝐺𝐺206000 ⋅ 50 ⋅ 250

⋅ 1,33 = 2,57 × 10−6 ⋅ 𝐺𝐺

𝐺𝐺

𝑎𝑎

𝑏𝑏𝑁𝑁1

𝑁𝑁2

α

Appurato il legame che intercorre fra la lettura della centralina, occorre determinare la tensione di allarme. Poiché la portata è 10 ton:

𝐺𝐺𝜇𝜇𝑎𝑎𝑥𝑥 = 10000 ⋅ 9,81 = 98,10 𝑘𝑘𝑁𝑁

Da cui si ricava:

𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝑉𝑉𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝐺𝐺𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚) = 2,57 × 10−6 ⋅ 98,10 × 103 = 252 𝜇𝜇𝑉𝑉