Sezioni in c.a. La flessione composta · 2007-10-09 · Per chi non c’era … 1. Compressione:...

Sezioni in c.a.La flessione composta

Catania, 16 marzo 2004

Marco Muratore

Per chi non c’era …

1. Compressione: verifica

sydccd

Rd AfAfN +α

=25.1

)(7.0max scc AnAN +σ=

Tensioni ammissibili

Risultati comparabili per il calcestruzzo non comparabili per l’acciaio


1. Compressione: progetto

Risultati comparabili per il calcestruzzo non comparabili per l’acciaio

25.1/85.0

cd

Sdc f

NAα

≥

yd

Sds f

NA 15.0≥


cc

NAσ

≥784.0

cs AA 008.0≥


2. Flessione semplice: sezione in calcestruzzo

bMrd sd

SLU=

2

=

dMrb sd

SLU

bMrd sk

TA=

2

=

dMrb sk

TA


Risultati comparabili


2. Flessione semplice: armatura tesa

Risultati comparabili

yd

sds fd

MA9.0

=


s

sks d

MAσ9.0

=


2. Flessione semplice: armatura compressa

Risultati non comparabili

( )ss cd'

M'A−σ

∆=

RdcSd MMM ,−=∆


( )ss cd'

M'A−σ

∆=

clsSk MMM −=∆

Sezioni in c.a.La flessione composta

ARGOMENTI1. Verifica di sezioni tenso-presso inflesse

2. Progetto di sezioni tenso-presso inflesse

3. Differenze tra T.A. e S.L.U.

4. Metodo semplificato

Verifica a tenso-pressoflessione retta: T.A.

Verifica in termini di tensioni: procedura generale

Determinazione della posizione dell’asse neutro

Calcolo del momento d’inerzia della sezione reagente

Calcolo del momento statico della sezione reagente

Calcolo delle tensioni massime nel calcestruzzo compresso e nell’acciaio teso

Verifica che le tensioni massime siano inferiori ai valori ammissibili


c = γ d Asb

x= ξ d

σc

σs

nNC

NS

A’s

σ’s

N’S

d

kd

G

dC

dS

d’S

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0663 2''2''23 =+++−+++++ cscscscsc ddAddAbnxddAddA

bnxdx

( ) ( )cxAndxAnxbS ssn −+−+= '2

2

cn

c xSN

σσ ≤=max

( ) Sn

s dxSNn σσ ≤−=

Verifica in termini di tensioni: sezione rettangolare


Ciascun diagramma per il quale si raggiunge la tensione ammissibile nel calcestruzzo e/o nell’acciaio è un diagramma di tensione ammissibile.

Diagrammi ammissibili di tensione

σ + (trazione) − (compressione)

tensioni

σs

σc0.7σcMc, NcMs, Ns

Costruzione del dominio M-N : T.A.

Assegnato un diagramma di tensioni si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione NC, N’S ed NS:

Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro geometrico della sezione

Le coordinate N ed M corrispondono ad una deformata di rottura ed individuano sul piano N-M un punto del dominio.

'''

max

21

SSS

SsS

cC

AN

AN

xbN

σ

σ

σ

=

=

='SSC NNNN ++=

c = γ d Asb

x= ξ d

σc

σs

nNC

NS

A’s

σ’sN’S

d

kd

G

dC

dS

d’S

''SSSSCC dNdNdNM ⋅+⋅+⋅=

Verifica a tenso-pressoflessione retta: S.L.U.

Si possono individuare diagrammi limite di deformazione, nei quali si raggiunge il valore ultimo della deformazione del calcestruzzo εcu o dell’acciaio εsu ; hanno particolare importanza anche situazioni nelle quali si raggiunge la deformazione limite di snervamento εyd nell’acciaio.

deformazioniεcεc1

Mc, NcMs, Ns

Diagrammi limite di deformazione

ε + (allungamento) − (accorciamento)

εsu

εcuεc1

Costruzione del dominio M-N : S.L.U.Assegnata una deformata di rottura, si determina il diagramma delle deformazioni ed attraverso i legami costitutivi quello delle tensioni. Quindi si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione NC, N’S ed NS:

c = γ d As

b

x = ξ d

εc

εs

nNC

NT

αfcd

fyd

A’s

ε’s

N’C

d

k d

G

dC

dS

d’S

sydssS AfsAN =σ=

sydssS Afu's'A''N =σ=

dbfN cdC ξβα=

1≤σ=

yd

s

fs

1≤σ=

yd

s

f''s

s

s

A'Au =

β è tabellato in funzione di ξ

Equilibrio alla traslazione:

Equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro geometrico della sezione

Le coordinate N ed M corrispondono ad una deformata di rottura ed individuano sul piano N-M un punto del dominio.

'SSC NNNN ++=

''SSSSCC dNdNdNM ⋅+⋅+⋅=

Verifica a tenso-pressoflessione retta: S.L.U.

Si possono individuare diagrammi limite di deformazione, nei quali si raggiunge il valore ultimo della deformazione del calcestruzzo εcu o dell’acciaio εsu ; hanno particolare importanza anche situazioni nelle quali si raggiunge la deformazione limite di snervamento εyd nell’acciaio.


εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

Diagrammi limite di deformazione

Particolari diagrammi limite di deformazione


εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

A) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore che in quella superiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

A’) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εyd in quella superiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

B) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e nulla al bordo superiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

C) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

C’) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsynell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

D) sezione tutta compressa, con deformazione nulla al bordo inferiore e εcu a quello superiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

E) sezione tutta compressa, con deformazione pari a εc1sia al bordo inferiore che a quello superiore


A) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore che in quella superiore;

A’) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εsy in quella superiore;

B) sezione tutta tesa, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e nulla al bordo superiore;

C) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsunell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;

C’) sezione parzializzata, con deformazione pari a εsynell’armatura inferiore e εcu al bordo superiore;

D) sezione tutta compressa, con deformazione nulla al bordo inferiore e εcu a quello superiore;

E) sezione tutta compressa, con deformazione pari a εc1sia al bordo inferiore che a quello superiore

Campi limite di deformazione


εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

1) compreso tra A e B: sezione tutta tesa, deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

2) compreso tra B e C: sezione parzializzata, deformazione pari a εsu nell’armatura inferiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

3) compreso tra C e C’: sezione parzializzata, deformazione pari a εcu al bordo superiore deformazione compresa tra εyd e εsu al bordo inferiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

4) compreso tra C’ e D: sezione parzializzata, deformazione pari a εcu al bordo superiore deformazione minore di εyd al bordo inferiore;



εsu εcu

DC

B

E

1

43

2

deformazioni

εc1εyd

A

5

5) compreso tra D ed E: sezione tutta compressa, deformazione pari a εc1 in un punto opportunamente situato

rispetto al bordo superiore.


I diagrammi limite individuano i seguenti campi di comportamento:1) compreso tra A e B: sezione tutta tesa, con deformazione pari a

εsu nell’armatura inferiore;2) compreso tra B e C: sezione parzializzata, con deformazione

pari a εsu nell’armatura inferiore;3) compreso tra C e C’: sezione parzializzata, con deformazione

pari a εcu al bordo superiore e deformazione compresa tra εyd e εsu al bordo inferiore;

4) compreso tra C’ e D: sezione parzializzata, con deformazione pari a εcu al bordo superiore e deformazione minore di εyd al bordo inferiore;

5) compreso tra D ed E: sezione tutta compressa, con deformazione pari a εc1 in un punto opportunamente situato rispetto al bordo superiore.

Domini di resistenza

Confronto tra Tensioni Ammissibili e S.L.U.T.A.Per ciascun diagramma di tensione che porta al raggiungimento del valore ammissibile della tensione nel calcestruzzo o nell’acciaio si può calcolare la corrispondente coppia M-N. L’insieme di queste coppie definisce un curva all’esterno della quale si trovano le coppie M-N non ammissibili.

S.L.U.Per ciascun diagramma di deformazione che porta al raggiungimento del valore ultimo della deformazione nel calcestruzzo o nell’acciaio si può calcolare la corrispondente coppia limite M-N. L’insieme di queste coppie definisce un curva (dominio limite), all’esterno della quale si trovano le coppie M-N non accettabili.


Questi domini:

- consentono una valutazione immediata della capacitàresistente della sezione

- dipendono :

1. dalle caratteristiche del materiale,

2. dalla geometria della sezione

3. dall’armatura presente


Confronto tra S.L.U. e Tensioni Ammissibili

Col metodo delle tensioni ammissibili si utilizzano i valori caratteristici dei carichi, mentre allo stato limite ultimo questi sono moltiplicati per il coefficiente γ = 1.4 - 1.5.

Per effettuare un confronto a titolo esemplificativo si può sovrapporre il dominio relativo alle tensioni ammissibili incrementato di 1.45 a quello valutato secondo le prescrizioni dell’Eurocodice 2.



compressione

-400

-200

0

200

400

-1000 0 1000 2000 3000

Eurocodice 2, senza armatura

tensioni ammissibili × 1.45, senza armatura

SEZIONE 30×60

N

M

trazione

cc σσ 7.0max ≤

25.1cdfα



compressione

-400

-200

0

200

400

-1000 0 1000 2000 3000

Eurocodice 2,con armatura

Eurocodice 2,senza armatura

tensioni ammissibili × 1.45,con armatura

tensioni ammissibili ×1.45, senza armatura

SEZIONE30×60

N

M

armatura18 cm2

per lato

trazione



compressione

-400

-200

0

200

400

-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000

Eurocodice 2

×tensioni ammissibili 1.45,con armatura

SEZIONE30×60

N

M

armatura18 cm2

per lato

trazione

Msd, NsdT.A. = Verifica S.L.U. = Verifica

Msd, NsdT.A. = Verifica As=0S.L.U. = Verifica As=0

Msd, NsdT.A. = NON VerificaS.L.U. = Verifica

Verifica a pressoflessione

Considerazioni

in assenza di armatura i domini sono abbastanza prossimi l’un l’altro

si ha una buona concordanza per sforzi normali di trazione

in caso di compressione la differenza è notevole per il contributo dell’armatura compressa

(vedi anche Sforzo normale – Flessione semplice)

Esempio – verifica a pressoflessione

Applicazione del Metodo rigoroso

Sollecitazioni

Nsd = 1300 kN

Msd = 350 kNm

Dati geometrici

Sezione: 40x70

As=A’s=3φ14

3 φ144.6 cm2

2 φ143.1 cm2

As,tot = 15.4 cm


SEZIONE40×70

armatura3 φ14per lato


( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0663 2''2''23 =+++−+++++ cscscscsc ddAddAbnxddAddA

bnxdx

Confronto con il metodo delle Tensioni Ammissibili

Sollecitazioni

Nsd = 896 kN (1300/1.45)

Msd = 241 kNm (350/1.45)

Dati geometrici

Sezione: 40x70

As=A’s=3φ14

mNMyc 270.−=−= mhyd cc 080

2.=−=

Per tentativi x =37.3 cm


( ) ( )

( ) ( ) 32

2

2842243376241562337624152

337402

cmS

cxAndxAnxb

S

n

ssn

=−××+−××+×

=

−+−+=

.....

'

cc MPa σσ >=××= 7111033728422896 ..max

( ) Sn

s MPadxSNn σσ <=×××=−= 713510728

2842289615 ..

Confronto con il metodo delle Tensioni Ammissibili

Sollecitazioni

Nsd = 896 kN (1300/1.45)

Msd = 241 kNm (350/1.45)

Dati geometrici

Sezione: 40x70

As=A’s=3φ14

L’isola Lachea(ACITREZZA)

Foto © Amastray

Progetto a tenso-pressoflessione

Progetto a tenso-pressoflessione retta: T.A.

Strumenti progettuali

Buona dose di esperienza

Dimensionamento valutando un opportuno tasso di lavoro della sezione per sforzo normale (bassa eccentricità)

Dimensionamento valutando un’opportuna geometria per momento flettente (alta eccentricità)

Verifica ed eventuale riprogettazione

Progetto a tenso-pressoflessione retta: S.L.U.

Strumenti progettuali

Buona dose di esperienza

Dimensionamento valutando un opportuno tasso di lavoro della sezione per sforzo normale (bassa eccentricità)

Dimensionamento valutando un’opportuna geometria per momento flettente (alta eccentricità)

Verifica ed eventuale riprogettazione

Metodo semplificato per il progetto e la verifica allo S.L.U. di sezioni rettangolari a tenso-

pressoflessione retta

Metodo semplificato per il progetto e la verifica allo S.L.U. di sezioni rettangolari a tenso-

pressoflessione retta

Il metodo si basa sull’approssimazione del dominiodi resistenza con equazioni lineari e paraboliche che consentono una formulazione analitica chiusa della frontiera del dominio.

Le ipotesi di partenza è la simmetria dell’armatura tesa e compressa (caso assai frequente nei pilastri).

Si mostra un metodo semplificato per la progettazione o la verifica di sezioni rettangolari tenso - pressoinflesse.

Prossima pubblicazione sulla rivista Ingegneria Sismica

Metodo semplificatoIl metodo trae spunto dalla regolarità della frontiera del dominio limite

M

N

As

As = 0 Mc,Rd

Nc,Rd Ns,Rd

Ms,Rd tratti parabolici

punto di massimo

Geometria “quasi parabolica” : 3 punti per tracciamento

M

N

As

As = 0 Mc,Rd

Nc,Rd Ns,Rd


punto di massimo

2

Metodo semplificato

Punto di massimo

M

N

As

As = 0 Mc,Rd

Nc,Rd Ns,Rd


punto di massimo

−+

−= chfAxhfxbM ydscd 2

22

καβ

022

0 =

κ−αβ⇒= xhfb

dxdM

cd

hhhx 60.0198119

4≅=

κ=

ydscdydscd fchAfhbfchAfhbM )2(12.0)2(2376289 22 −+α≅−+α=

cdcd fhbfhbN α≅α= 48.0594289

Metodo semplificato

2° punto: sola trazione

M

N

As

As = 0 Mc,Rd

Nc,Rd Ns,Rd

cdRdc fhbM α= 2

, 2376289

( ) ydsRds fchAM 2, −=

ydsRds fAN 2, =

cdRdc fhbN α=594289

,


punto di massimo

Progetto e verifica di sezioni rettangolaria tenso-pressoflessione retta

Calcestruzzo

+

−−+=

m

RdsRdc

RdcRdRdsRdcRd NN

NNMMM

,,

,,, 1)(

++=

RdsRdc

Rdc

NNN

m,,

,1


, ydsRds fAN 2, =

cdRdc fhbM α= 2, 2376

289ydsRds fchAM )2(, −=

Acciaio

N

M

Metodo semplificato: verificaFormula di verifica

1,,

,

,,

≤+−

++

m

RdsRdc

RdcSd

RdsRdc

Sd

NNNN

MMM

++=

RdsRdc

Rdc

NNN

m,,

,1

Calcestruzzo


, ydsRds fAN 2, =



Acciaio

N

M

Metodo semplificato: verificaFormula di verifica alternativa

− per NSd < 0 (tensoflessione)

− per 0 < NSd < Nc,Rd

− per NSd > Nc,Rd

1,,

≤−Rds

Sd

Rds

Sd

NN

MM

12

,

,

,

, ≤

−+

−

Rdc

RdcSd

Rdc

RdsSd

NNN

MMM

1,,

,

,,

≤

+

−+

+

n

RdsRdc

RdcSd

RdsRdc

Sd

NNNN

MMM 2

,,

,1

+

+=RdsRdc

Rdc

NNNn

Calcestruzzo


, ydsRds fAN 2, =



Acciaio

N

M

Progetto e verifica di sezioni rettangolaria tenso-pressoflessione retta

Esempio – Sezione 30x70

-600

-450

-300

-150

0

150

300

450

600kNm

-1200 -600 0 600 1200 1800 2400 3000 3600kN

As = 15 cm2

As = 0

5

10

M

N

rigorosa

approssimata3 tratti

1,,

,

,,

≤+−

++

m

RdsRdc

RdcSd

RdsRdc

Sd

NNNN

MMM

Esempio - verifica a pressoflessione retta

Applicazione del Metodo approssimato

Sollecitazioni

Nsd = 1300 kN

Msd = 350 kNm

Dati geometrici

Sezione: 40x70

As=A’s=3φ14

3 φ144.6 cm2

2 φ143.1 cm2

As,tot = 15.4 cm> As,min



Calcolo dei valori resistenti del calcestruzzo

kNN

fhbN

Rdc

cdRdc

1481

1002.1170.040.048.0594289

,

3,

=

××××≅= α

kNmM

fhbM

Rdc

cdRdc

7262

1002117004001202376289 322

.

....

,

,

=

⋅×××≅= α



Calcolo dei valori resistenti dell’armatura

kNNfAN

Rds

ydsRds

534510937362422 1

...

,

,

=

×××== −

( ) ( )kNmM

fchAM

Rds

ydsRds

110710937304027006242 1

.....

,

,

=

×××−×=−= −



Verifica

1,,

,

,,

≤+−

++

m

RdsRdc

RdcSd

RdsRdc

Sd

NNNN

MMM

81.15.3451481

148111,,

, =+

+=

++=

RdsRdc

Rdc

NNN

m

196053451481

1481130011077262

350 811

≤=+−

++

....

,


Controllo mediante domini M-N

Progetto della sezione a pressoflessione retta

Le espressioni possono essere trasformate in formule per il progetto della sezione

Il coefficiente r è in questo caso dipendente da:

- sforzo normale adimensionalizzato ν = NSd / 2Nc,Rd

- percentuale geometrica di armatura che si vuole disporre ρ = As / b h

- dalle caratteristiche dei materiali

bMrd =

Valori del coefficiente r

Progetto della sezione a pressoflessione retta

Tabella 1. Valori di r per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa, acciaio FeB44k, c/h = 0.1ν ρ=0 ρ=0.002 ρ=0.004 ρ=0.006 ρ=0.008 ρ=0.010

0.0 - 0.0368 0.0260 0.0212 0.0184 0.01650.1 0.0410 0.0274 0.0220 0.0189 0.0168 0.01530.2 0.0307 0.0236 0.0199 0.0175 0.0158 0.01450.3 0.0268 0.0217 0.0187 0.0167 0.0152 0.01400.4 0.0251 0.0207 0.0181 0.0162 0.0148 0.01380.5 0.0246 0.0204 0.0179 0.0161 0.0147 0.01370.6 0.0251 0.0210 0.0184 0.0165 0.0152 0.01410.7 0.0268 0.0222 0.0193 0.0173 0.0158 0.01460.8 0.0307 0.0243 0.0208 0.0184 0.0166 0.01530.9 0.0410 0.0281 0.0229 0.0198 0.0177 0.01611.0 - 0.0357 0.0262 0.0218 0.0190 0.0171

Progetto dell’armatura a pressoflessione retta

Il momento affidato alle armature è

−−−=

2

,

,,, 1

Rdc

RdcSdRdcSdredSd N

NNMMM

yd

redSds fz

MA ,=

L’armatura necessaria per portare tale momento è

z = h–2c ≅ 0.9d è il braccio della coppia interna costituita dalle armature.


La formula per l’armatura

- è valida solo per NSd compreso tra 0 e Nc,Rd,

yd

redSds fz

MA ,=

M

N

As

As = 0

5.02

0,

<=<Rdc

Sd

NN

ν



- fornisce un utile riferimento anche oltre tale intervallo;

yd

redSds fz

MA ,=

M

N

As

As = 0



- è cautelativa per la tensoflessione,

yd

redSds fz

MA ,=

M

N

As

As = 0

02 ,

<=Rdc

Sd

NN

ν



-è a svantaggio di sicurezza per forte compressione

yd

redSds fz

MA ,=

M

N

As

As = 0

5.02 ,

>=Rdc

Sd

NN

ν


La formula per l’armaturayd

redSds fz

MA ,=

M

N

As

As = 0

Esempio - progetto a pressoflessione retta


Sollecitazioni

Nsd = 1400 kN

Msd = 250 kNm

Dati geometrici

Sezione: 30x ?

As=A’s= ?


Scelta dei parametri di progetto ν e ρ

Tabella 1. Valori di r per calcestruzzo di classe Rck = 25 MPa, acciaio FeB44k, c/h = 0.1 ν ρ=0 ρ=0.002 ρ=0.004 ρ=0.006 ρ=0.008 ρ=0.010

0.0 - 0.0368 0.0260 0.0212 0.0184 0.0165 0.2 0.0410 0.0274 0.0220 0.0189 0.0168 0.0153 0.4 0.0307 0.0236 0.0199 0.0175 0.0158 0.0145 0.6 0.0268 0.0217 0.0187 0.0167 0.0152 0.0140 0.8 0.0251 0.0207 0.0181 0.0162 0.0148 0.0138 1.0 0.0246 0.0204 0.0179 0.0161 0.0147 0.0137 1.2 0.0251 0.0210 0.0184 0.0165 0.0152 0.0141 1.4 0.0268 0.0222 0.0193 0.0173 0.0158 0.0146 1.6 0.0307 0.0243 0.0208 0.0184 0.0166 0.0153 1.8 0.0410 0.0281 0.0229 0.0198 0.0177 0.0161 2.0 - 0.0357 0.0262 0.0218 0.0190 0.0171

NOTA: r varia poco con ν, molto con ρ


Progetto della sezione

mbMrd 53.0

30.02500184.0 === Si assume h=0.60 m

kNN

fhbN

Rdc

cdRdc

1952

100211600300480594289 3

.

....

,

,

=

××××≅= α

kNmM

fhbM

Rdc

cdRdc

8142

1002116003001202376289 322

.

....

,

,

=

××××≅= α


Progetto dell’armatura

L’armatura necessaria è

0041.0

4.7109.37350.0

8.138 2,

==

=×⋅

==

hbA

cmfz

MA

s

yd

redSds

ρ

kNmM

NNN

MMM

redSd

Rdc

RdcSdRdcSdredSd

8.1381,952

1,952140018,142250

1

2

,

2

,

,,,

=

−−−=

−−−=


Verifica con domini M-N

Pressoflessione deviataLa nuova Ordinanza 3274 impone la verifica della struttura sottoposta simultaneamente a forze sismiche in due direzioni ortogonali, una principale e l’altra secondaria.

Punto 4.6I valori massimi della risposta ottenuti da ciascuna delle due azioni orizzontali applicate separatamente potranno essere combinati calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati, per la singola componente della grandezza da verificare, oppure sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione il 30 % dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione.

Pressoflessione deviata

Come devono essere verificati gli elementi verticali?

Pressoflessione retta?

Pressoflessione deviata?

Cosa cambia?


Qualche considerazioneIl procedimento per la costruzione del dominio limite My-Mz-N ricalca concettualmente quello giàdescritto per la pressoflessione retta, ma si presenta notevolmente più complicato a causa della possibile inclinazione dell’asse neutro.

d

Asz

b

x

n

a) deformazioni ε

εcu

εydεyd

0

cls acc

b) tensioni σ

h

c

α fcdfyd

fyd

Aszα

AsyAsy

z

y


IpotesiLe armature sono disposte lungo tutti i quattro lati della sezione. A rigore, bisognerebbe tener conto della posizione di ciascuna barra, ma èugualmente accettabile ipotizzare che l’armatura sia disposta uniformemente lungo ciascun lato.

d

Asz

b

x

n

a) deformazioni ε

εcu

εyd εyd

0

cls acc

b) tensioni σ

h

c

α fcd fyd

fyd

Asz α

Asy Asy

z

y


Formulazione analitica

scacc

sscls

cc NNdAdAN +=σ+σ= ∫∫

szysyycyzacc

ssyacc

sscls

ccy MMMdAzdAzdAzM ,,,,,

++=σ−σ−σ−= ∫∫∫

szzsyzczzacc

ssyacc

sscls

ccz MMMdAydAydAyM ,,,,,

++=σ+σ+σ= ∫∫∫

Utilizzando i legami costitutivi dei materiali si possono ricavare i valori delle tensioni e quindi le caratteristiche della sollecitazione


Rappresentazione del dominio

My

N

Mz

a)

-600

-450

-300

-150

0

150

300

450

600 kNm

-1200 -600 0 600 1200 1800 2400 3000 3600 kN

As = 15 cm2

As = 0

5

10

M

N


Rappresentazione del dominio

My

N

Mz

a)

RdcN

N

,2=ν

Mz

My

ν = 0.5

ν = 0.25

ν = 0

ν = 0.75

ν = 1

ν = −0.25

a)

1,,

=

+

q

Rdy

yp

Rdz

z

MM

MM

Verifica della sezione a pressoflessione deviata

La verifica a pressoflessione deviata in modo rigoroso è complessa ed è formulata in termini di soluzione numerica.

L’utilizzo dei domini spaziali risulta poco agevole.

Non esistono formule per il progetto della sezione.

Verifica della sezione a pressoflessione deviata: metodo semplificato

La verifica a pressoflessione deviata può essere facilmente effettuata determinando preliminarmente i momenti resistenti Mz,Rd e My,Rd corrispondenti ad N assegnato (le stesse espressioni valgono per entrambi i momenti, purché si scambi b con h e y con z)

++

−−++=

m

RdsyRdszRdc

RdcRdRdsyRdszRdcRd NNN

NNMMMM

,,,

,,,, 1)(

++

++=

RdsyRdszRdc

RdsyRdc

NNNNN

m,,,

,,1

εcu

εyd εyd

0 α fcd fyd

fyd

d

Asz

b

nh

c

Aszα

AsyAsy

z

y

Asy

fyd

fyd

AszMszy,Rd≅ 0.40xAsyx(h-2c)

Verifica della sezione a pressoflessione deviata

La verifica a pressoflessione deviata può essere facilmente effettuata determinando preliminarmente i momenti resistenti Mz,Rd e My,Rd corrispondenti ad N assegnato (le stesse espressioni valgono per entrambi i momenti, purché si scambi b con h e y con z)

e verificando che

15.1

,

,5.1

,

, ≤

+

Rdy

Sdy

Rdz

Sdz

MM

MM

++

−−++=

m

RdsyRdszRdc

RdcRdRdsyRdszRdcRd NNN

NNMMMM

,,,

,,,, 1)(

++

++=

RdsyRdszRdc

RdsyRdc

NNNNN

m,,,

,,1

Progetto della sezione a pressoflessione deviata

Progetto della sezione e dell’armaturaNella maggior parte dei casi reali le sezioni rettangolari non sono soggette a forti momenti contemporaneamente rispetto ad entrambi gli assi.

Ad esempio, la nuova norma sismica italiana richiede di considerare l’effetto del sisma agente in una direzione più il 30% del sisma nella direzione ortogonale.


Progetto della sezione e dell’armaturaSi può facilmente controllare che perMy,Sd = 0.3 My,Rd il massimo momento Mz che puòessere sopportato dalla sezione è pari a 0.89 Mz,Rd.

RdcN

N

,2=ν

Mz

My

ν = 0.5

ν = 0.25

ν = 0

ν = 0.75

ν = 1

ν = −0.25

a)

Mz,Rd

0.3My,Rd

My,Rd

M*z,Rd


Progetto della sezione e dell’armatura

La presenza della componente trasversale riduce la capacità portante della sezione di circa un 10%.

Tale riduzione è compensata, spesso ampiamente, dal contributo delle armature secondarie che in genere viene trascurato nella pressoflessioneretta.


Asz = 15 cm2, Asy = 6 cm2

Asz = 0, Asy = 6 cm2

-600

-450

-300

-150

0

150

300

450

600 kNm

-1200 -600 0 600 1200 1800 2400 3000 3600 kN

Asz = 15 cm2

M

N

Asz = 0


ConsiderazioniSi consiglia quindi:

- per bassi valori del momento “ortogonale” di progettare la sezione e l’armatura a pressoflessione retta senza tener conto né del contributo peggiorativo del momento trasversale né dell’incremento di resistenza fornito dall’armatura secondaria;

- per alti valori del momento “ortogonale” di progettare la sezione e l’armatura a pressoflessione deviata

Esempio di verifica a pressoflessione deviata

Applicazione del Metodo semplificato

Sollecitazioni

Nsd = 1400 kN

Mz,sd = 300 kNm

My,sd = 60 kNm

Dati geometrici

Sezione: 30x 70

Asz = A’sz = 15 cm2

Asy = A’sy = 6 cm2



Valori resistenti del calcestruzzo

6301002117003004802

14002 3 .

....,=

×××××==

Rdc

Sd

NN

ν

kNN Rdc 8.11101002.1170.030.048.0 3, =××××=

kNmM Rdcz 4194100211700300120 32 ....., =××××=

kNmM Rdcy 383100211300700120 32 ....., =××××=



Valori resistenti dell’armaturakNN Rdsz 611211093730152 1 ..., =×××= −

( )( )[ ] kNm

M Rdsz

440310937340040270006

10937304027000153

1

..........,

=××××−×+

+×××−×= −

kNN Rdsy 8448109373062 1 ..., =×××= −

( )( )[ ] kNm

M Rdsy

798109373400402300015

1093730402300063

1

..........,

=××××−×+

+×××−×= −

Contributo armatura Asz a Mz,rd =347.7

Contributo armatura Asy a Mz,rd=55.7


83184486112181110

61121811101 ....

..=

+++

+=zm 58184486112181110

8448811101 ....

..=

+++

+=ym

+++

+=RdsyRdszRdc

RdszRdcz NNN

NNm

,,,

,,1

++

++=

RdsyRdszRdc

RdsyRdcy NNN

NNm

,,,

,,1

CLS

kNN Rdsz 61121., =

kNmM Rdsz 7347., =

kNN Rdsy 8448., =

kNmM Rdsy 755., =

kNN Rdc 8.1110, =

kNmM Rdcz 4194., =

kNmM Rdyc 3.83, =

kNmM Rdsz 449., =

kNmM Rdsy 449., =

MYMz


kNm

NNNNN

MMMMm

RdsyRdszRdc

RdcRdRdsyRdszRdcRdz

658784486112181110

811101400175573474194

1

831

....

.)...(

)(

.

,,,

,,,,,

=

++−

−++=

=

++−

−++=

581.=ym831.=zm

CLS

kNN Rdsz 61121., =

kNmM Rdsz 7347., =

kNN Rdsy 8448., =

kNmM Rdsy 755., =

kNN Rdc 8.1110, =

kNmM Rdcz 4194., =

kNmM Rdyc 3.83, =

kNmM Rdsz 449., =

kNmM Rdsy 449., =

MYMz


kNm

NNNNN

MMMMm

RdsyRdszRdc

RdcRdRdsyRdszRdcRdy

117684486112181110

8111014001449449383

1

531

....

.)...(

)(

.

,,,

,,,,,

=

++−

−++=

=

++−

−++=

531.=ym881.=zm

CLS

kNN Rdsz 61121., =

kNmM Rdsz 7347., =

kNN Rdsy 8448., =

kNmM Rdsy 755., =

kNN Rdc 8.1110, =

kNmM Rdcz 4194., =

kNmM Rdyc 3.83, =

kNmM Rdsz 449., =

kNmM Rdsy 449., =

MYMz


kNmM Rdz 6587., =

kNmM Rdy 1176., =1570200370

117660

6587300

1

5151

5151

≤=+=

+

≤

+

.....

..

.

,

,.

,

,

Rdy

Sdy

Rdz

Sdz

MM

MM

CLS

kNN Rdsz 61121., =

kNmM Rdsz 7347., =

kNN Rdsy 8448., =

kNmM Rdsy 755., =

kNN Rdc 8.1110, =

kNmM Rdcz 4194., =

kNmM Rdyc 3.83, =

kNmM Rdsz 449., =

kNmM Rdsy 449., =

MYMz

531.=ym881.=zm


Confronto con verifica a pressoflessione retta

kNfhbN cdRdc 81110100211700300480594289 3 ....., =××××≅= α

kNmfhbM cdRdc 41941002117003001202376289 322 ....., =⋅×××≅= α

kNfAN ydsRds 7112110937301522 1 ..., =×××== −

( ) ( ) kNmfchAM ydsRds 839710937304027000152 1 ....., =⋅××−×=−= −

15607112181110

81110140083974194

300 491

≤=+−

++

=+−

++

...

...

.

,,

,

,,

m

RdsRdc

RdcSd

RdsRdc

Sd

NNNN

MMM

4917112181110

8111011 ...

.,,

, =+

+=

++=

RdsRdc

Rdc

NNN

m

Considerazioni conclusive

Il metodo approssimato:- rappresenta un valido strumento di verifica di sezioni

di pilastri tenso-pressoinflessi;

- fornisce un semplice strumento di progetto nel campo della pressoflessione per la sezione e per l’armatura;

- può essere esteso anche al caso di pressoflessione deviata;

- sarà presto esteso anche a sezioni circolari

Sezioni in c.a. La flessione composta · 2007-10-09 · Per chi non c’era … 1. Compressione:...

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