Grupos livres

Seja S um conjunto. Diremosque um grupo G e livre gerado

por S se existir uma funcaof : S → G

com a propriedade seguinte:

para todo grupo G′

para todo grupo G′ e toda funcao

g : S → G′

para todo grupo G′ e toda funcao

g : S → G′

existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′

para todo grupo G′ e toda funcao

g : S → G′

existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′ tal que g = ϕ ◦ f .

para todo grupo G′ e toda funcao

g : S → G′

existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′ tal que g = ϕ ◦ f .

S −→ Gg↓ f↙ϕ

G′

para todo grupo G′ e toda funcao

g : S → G′

existe um e um so homomorfismo degrupos ϕ : G → G′ tal que g = ϕ ◦ f .

S −→ Gg↓ f↙ϕ

G′

Dizemos entao que

f : S → G apresenta G.

exemplo

S = {s}

exemplo

S = {s} −→ Zs 7→ f(s) = 1

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G,

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G, S

g→ G

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G, S

g→ G

apresentacoes de grupos livres gerados

pelo mesmo S.

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G, S

g→ G

apresentacoes de grupos livres gerados

pelo mesmo S. Entao existe um e so

um isomorfismo ϕ : G → G

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G, S

g→ G

apresentacoes de grupos livres gerados

pelo mesmo S. Entao existe um e so

um isomorfismo ϕ : G → G tal que

ϕ ◦ f = f .

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G, S

g→ G

apresentacoes de grupos livres gerados

pelo mesmo S. Entao existe um e so

um isomorfismo ϕ : G → G tal que

ϕ ◦ f = f .Em palavras, se existir,

Lema. Seja S um conjunto e sejam

Sf→ G, S

g→ G

apresentacoes de grupos livres gerados

pelo mesmo S. Entao existe um e so

um isomorfismo ϕ : G → G tal que

ϕ ◦ f = f .Em palavras, se existir, o grupo livre e unico,

a menos de isomorfismo unico.

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef =

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f =

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG ◦ f .

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG ◦ f .

Por unicidade, vem IG = ϕ ◦ ϕ

Dem. Por definicao , existehomomorfismo ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f .Idem, temos ϕ : G → G

tal que ϕ ◦ f = f . Seguef = ϕ ◦ f = ϕ ◦ ϕ ◦ f = IG ◦ f .

Por unicidade, vem IG = ϕ ◦ ϕ e

analogamente, IG = ϕ ◦ ϕ.

existencia

Seja S um conjunto nao vazio.

existencia

Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas

uma bijecao S → S ′,

existencia

Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas

uma bijecao S → S ′, queescreveremos s 7→ s′.

existencia

Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas

uma bijecao S → S ′, queescreveremos s 7→ s′. Seja

S = S ·∪S ′ ∪· {1},

existencia

Seja S um conjunto nao vazio.Fixemos de uma vez por todas

uma bijecao S → S ′, queescreveremos s 7→ s′. Seja

S = S ·∪S ′ ∪· {1},uniao disjunta.

Vamos pensar em S como umalfabeto.

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn),

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada

xi ∈ S.

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada

xi ∈ S.Convencionaremos que a palavravazia,

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada

xi ∈ S.Convencionaremos que a palavravazia, (),

Vamos pensar em S como umalfabeto. Uma palavra em S decomprimento n e uma sequenciax = (x1, . . . , xn), com cada

xi ∈ S.Convencionaremos que a palavravazia, (), tem comprimento 0.

Palavras podem ser justapostas:

Palavras podem ser justapostas:x = (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , ym)

Palavras podem ser justapostas:x = (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , ym)

;

x ? y = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym).Vale a associatividade.

Definimos a palavra inversa

Definimos a palavra inversade uma palavra

x = (x1, . . . , xn),

Definimos a palavra inversade uma palavra

x = (x1, . . . , xn),

pondo

x−1 = (x′n, . . . , x′1).

O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras.

O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras

obtidas por supressao doelemento distinguido 1

O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras

obtidas por supressao doelemento distinguido 1 sao

declaradas equivalentes: e.g., 1

(x1, 1, x3, . . . , xn)

O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras

obtidas por supressao doelemento distinguido 1 sao

declaradas equivalentes: e.g., 1

(x1, 1, x3, . . . , xn) ∼ (x1, x3, . . . , xn)

O proximo passo e definir umarelacao de equivalencia entrepalavras. Primeiro, palavras

obtidas por supressao doelemento distinguido 1 sao

declaradas equivalentes: e.g., 1

(x1, 1, x3, . . . , xn) ∼ (x1, x3, . . . , xn)1

do latim, exempli gratia : por exemplo

(1, 1)

(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b)

(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)

Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma

s, s′

(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)

Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma

s, s′ ou s′, s,

(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)

Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma

s, s′ ou s′, s, suprimimos ambasas letras, e.g.,

(a, b, b′)

(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)

Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma

s, s′ ou s′, s, suprimimos ambasas letras, e.g.,

(a, b, b′) ∼ (a)

(1, 1) ∼ (1) ∼ ()(1, a, 1, b) ∼ (a, b)

Por fim, se duas entradasconsecutivas sao da forma

s, s′ ou s′, s, suprimimos ambasas letras, e.g.,

(a, b, b′) ∼ (a) ∼ (b′, b, a)

A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de

equivalencia:

A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de

equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒

A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de

equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β

A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de

equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β

x−1 ∼ α−1.

A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de

equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β

x−1 ∼ α−1.Toda palavra e equivalente a

uma expressao reduzida, unica,

A justaposicao e a inversaorespeitam a relacao de

equivalencia:x ∼ α, y ∼ β ⇒ x ? y ∼ α ? β

x−1 ∼ α−1.Toda palavra e equivalente a

uma expressao reduzida, unica,de significado evidente.

Denotemos por [x1, . . . , xn] aclasse de equivalencia da palavra(x1, . . . , xn).

Denotemos por [x1, . . . , xn] aclasse de equivalencia da palavra(x1, . . . , xn). As operacoes de

justaposicao e de inversaodefinem uma estrutura de grupo

na colecao G das classes deequivalencia de palavras.

Teorema. Seja Sf→ G a

aplicacao dada por s 7→ [s].

Teorema. Seja Sf→ G a

aplicacao dada por s 7→ [s].Entao G e o grupo livre

gerado por S.

Dem. Facamos o teste comg : S → G′ = grupo.

Devemos produzir ϕ : G → G′

unico com a propriedadeg = ϕ ◦ f .

Devemos produzir ϕ : G → G′

unico com a propriedadeg = ϕ ◦ f . Cada elemento de Gadmite uma unica representacao

reduzida, x = [x1, . . . , xn].

Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1

Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.

Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.

Podemos entao fazerϕ(x) =

Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.

Podemos entao fazerϕ(x) = g(x1) · · · g(xn) ∈ G′.

Comecemos por estenderg(s′) = g(s)−1 para cada s ∈ S.

Podemos entao fazerϕ(x) = g(x1) · · · g(xn) ∈ G′.

Verifica-se sem surpresas que ϕsatisfaz o requerido.

exercıcios1. Se f : S → G apresenta um grupo livre, entao f e

injetiva.

2. Sejam f : S → G,f ′ : S ′ → G′ apresentacoes de

grupos livres. Mostre que para cada σ : S → S ′ existe

um e um so homomorfismo de grupos, σ : G → G′

tal que σ ◦ f = f ′ ◦ σ. Mostre que σ e injetivo (resp.

sobre) ⇐⇒ σ . . .

3. Encontre matrizes A,B tais que o subgrupo 〈A,B〉 ⊂GLn e livre em 2 geradores.

Theorem (Sanov).

For any complex number z satisfying |z| > 2,the matrices ( 1 0

z 1 ) , ( 1 z0 1 ) generate

a nonabelian free subgroup of GL2(C).

Prepare uma exposicao.